raciocínio lógico - estratégia concursos

Aula 01

Raciocnio Lgico p/ INSS - Tcnico do Seguro Social - Com Videoaulas - 2016

Professores: Arthur Lima, Luiz Gonalves

RACIOCNIO LGICO P/ INSS TEORIA E EXERCCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima Aula 01

Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 01: LGICA DE PROPOSIES (INTRODUO)

SUMRIO PGINA 1. Teoria 01 2. Resoluo de questes 23 3. Lista das questes apresentadas na aula 88 4. Gabarito 112

Ol! Hoje comeamos o estudo do seguinte tpico:

Proposies; valores lgicos das proposies; sentenas abertas; nmero de linhas da tabela verdade; conectivos; proposies simples; proposies compostas. Tautologia.

Costumo chamar essHV WHPDV VLPSOHVPHQWH GH OyJLFD SURSRVLFLRQDO RXOyJLFD GH SURSRVLo}HV. Dedicaremos a prxima aula para reforar o seu entendimento sobre os assuntos que iniciaremos hoje.

1. TEORIA 1.1 Introduo Para comear este assunto, voc precisa saber que uma proposio uma orao declarativa que admita um valor lgico (V verdadeiro ou F falso). Ex.: A bola azul. Veja que no existe meio termo: ou a bola realmente de cor azul, tornando a proposio verdadeira, ou a bola de outra cor, sendo a proposio falsa. Observe que nem toda frase pode ser considerada uma proposio. Por exemplo, a exclamamR %RP GLD QmR SRGH VHU FODVVLILFDGD FRPR YHUGDGHLUD RXIDOVD 2 PHVPR RFRUUH FRP DV IUDVHV 4XDO R VHX QRPH" RX 9i GRUPLU TXHtambm no tm um valor lgico (V ou F). No estudo de lgica de argumentao, usamos letras (principalmente p, q e r) para simbolizar uma proposio.




importante tambm conhecer alguns princpios relativos s proposies. O princpio da no-contradio diz que uma proposio no pode ser, ao mesmo tempo, Verdadeira e Falsa. Ou uma coisa ou outra. J o princpio da excluso do terceiro termo diz que no h um meio termo entre Verdadeiro ou Falso. Portanto, se temos uma proposio p H[HPSORPDLVQmRpLJXDODVDEHPRVTXH - se essa frase verdadeira, ento ela no pode ser falsa, e vice-versa (no-contradio), e - QmRpSRVVtYHOTXHHVVDIUDVHVHMDPHLRYHUGDGHLUDRXPHLRIDOVDHODGHYHVHUsomente Verdadeira ou somente Falsa (excluso do terceiro termo). Uma observao importante: no se preocupe tanto com o contedo da proposio. Quem nos dir se a proposio verdadeira ou falsa o enunciado do exerccio. Ao resolver exerccios voc ver que, a princpio, consideramos todas as proposies fornecidas como sendo verdadeiras, a menos que o exerccio diga o contrrio. Se um exerccio disser que a proposiomR p9HUGDGHLUDYRFrdeve aceitar isso, ainda que saiba que o contedo dela no realmente correto. Isto porque estamos trabalhando com Lgica formal.

Vejamos duas proposies exemplificativas: p: Chove amanh. q: Eu vou escola.

Note que, de fato, p e q so duas proposies, pois cada uma delas pode ser Verdadeira ou Falsa. Duas ou mais proposies podem ser combinadas, criando proposies compostas, utilizando para isso os operadores lgicos. Vamos conhec-los estudando as principais formas de proposies compostas. Para isso, usaremos como exemplo as duas proposies que j vimos acima. Vejamos como podemos combin-las:

a) &RQMXQomR H trata-se de uma combinao de proposies usando o RSHUDGRUOyJLFRHRXVHMDGRWLSRp e q3RUH[HPSOR&KRYHDPDQKme eu YRXjHVFROD8WLOL]DPRVRVtPERORASDUDUHSUHVHQWDUHVWHRSHUDGRU2XVHMDao invs de escrever SHT SRGHPRVHVFUHYHU p q




9HMDTXHDRGL]HUTXH&KRYHDPDQKmHHXYRXjHVFRODHVWRXafirmando que as duas coisas acontecem (chover e ir escola). Em outras palavras, esta proposio composta s pode ser Verdadeira se as duas proposies simples que a compem forem verdadeiras, isto , acontecerem. Se chover e, mesmo assim, eu no for escola, significa que a conjuno acima Falsa. Da mesma forma, se no chover e mesmo assim eu for escola, a expresso acima tambm Falsa.

Portanto, para analisar se a proposio composta Verdadeira ou Falsa, devemos olhar cada uma das proposies que a compem. J vimos que se p acontece (p Verdadeira) e q acontece (q Verdadeira), a expresso p e q Verdadeira. Esta a primeira linha da tabela abaixo. J se p acontece (V), isto , se chove, e q no acontece (F), ou seja, eu no vou escola, a expresso inteira torna-se falsa. Isto tambm ocorre se p no acontece (F) e q acontece (V). Estas so as duas linhas seguintes da tabela abaixo. Finalmente, se nem p nem q acontecem (ambas so Falsas), a expresso inteira tambm ser falsa. Veja esta tabela:

Valor lgico de p &KRYHDPDQKm

Valor lgico de q (XYRXjHVFROD

Valor lgico de p e q ( p q )

V V V V F F F V F F F F

A tabela acima chamada de tabela-verdade da proposio combinada S e qNesta tabela podemos visualizar que a nica forma de tornar a proposio verdadeira ocorre quando tanto p quanto q so verdadeiras. E que, para desmenti-la (tornar toda a proposio falsa), basta provar que pelo menos uma das proposies que a compem falsa.

b) 'LVMXQomRRX: eVWDpXPDFRPELQDomRXVDQGRRRSHUDGRURXLVWRpp ou qWDPEpPSRGHPRVHVFUHYHU p q ([&KRYHDPDQKm ou HXYRXjHVFROD

Veja que, ao dizer esta frase, estou afirmando que pelo menos uma das coisas vai acontecer: chover amanh ou eu ir escola. Se uma delas ocorrer, j estou dizendo a verdade, independentemente da outra ocorrer ou no. Agora, se




nenhuma delas acontecer (no chover e, alm disso, eu no for escola), a minha frase estar falsa. A tabela abaixo resume estas possibilidades:



Valor lgico de p ou q ( p q )

V V V V F V F V V F F F

Como voc pode ver na coluna da direita, a nica possibilidade de uma Disjuno do tipo p ou q ser falsa ocorre quando tanto p quanto q no acontecem, isto , so falsas. Talvez voc tenha estranhado a primeira linha da tabela. Na lngua SRUWXJXHVD RXpXWLOL]DGRSDUD UHSUHVHQWDUDOWHUQDWLYDVH[FOXGHQWHVHQWUHVL LVWR, s uma coisa poderia acontecer: chover ou ento eu ir escola). Assim, talvez voc esperasse que, caso p fosse verdadeira e q tambm fosse verdadeira, a frase inteira seria falsa. Veja que isto no ocorre aqui. Veremos isso no prximo item, ao estudar a disjuno exclusiva.

c) Disjuno exclusiva (Ou exclusivo): HVWDpXPDFRPELQDomRGRWLSRRXp ou T (simbolizada por p q ). Ex.: 2XFKRYHDPDQKmRXHXYRXjHVFROD Aqui, ao contrrio da Disjuno que vimos acima, a proposio composta s

verdadeira se uma das proposies for verdadeira e a outra for falsa. Isto , se eu GLJR 2X FKRYH DPDQKm RX HX YRX j HVFROD SRUpP DV GXDV FRLVDV RFRUUHP(amanh chove e, alm disso, eu vou escola), a frase ser falsa como um todo. Veja abaixo a tabela-YHUGDGHGHVWHRSHUDGRUOyJLFRFKDPDGRPXLWDVYH]HVGH2XH[FOXVLYRHPRSRVLomRDRRXDOWHUQDWLYRTXHYLPRVDFLPD



Valor lgico de Ou p ou q ( p q )

V V F V F V F V V F F F




Marquei em vermelho a nica mudana que temos em relao ao caso anterior.

d) Condicional (implicao): uma condicional uma combinao do tipo VH SHQWmRT(simbolizada por p qo ). Usando o nosso exemplo, podemos montar a SURSRVLomRFRPSRVWD6HFKRYHDPDQKmHXYRXjHVFROD Esta a proposio composta mais comum em provas de concurso. Chamamos

este caso de Condicional porque temos uma condio VH FKRYH DPDQKm TXHcaso venha a ocorrer, faz com que automaticamente a sua consequncia HXYRXjHVFROD tenha que acontecer. Isto , se p for Verdadeira, isto obriga q a ser tambm Verdadeira.

Se a condio p VHFKRYHDPDQKm no ocorre ( Falsa), q pode ocorrer (V) ou no (F), e ainda assim a frase Verdadeira. Porm se a condio ocorre (p V) e o resultado no ocorre (q F), estamos diante de uma proposio composta que Falsa como um todo. Tudo o que dissemos acima leva a esta tabela:



Valor lgico de Se p, ento q ( p qo )

V V V V F F F V V F F V

e) %LFRQGLFLRQDOVHHVRPHQWHVH: uma bicondicional uma combinao do tipo SVHHVRPHQWHVHT(simbolizada por p ql ([&KRYHDPDQKmVHHVRPHQWHVHHXYRXjHVFROD

Quando algum nos diz a frase acima, ela quer dizer que, necessariamente, as duas coisas acontecem juntas (ou ento nenhuma delas acontece). Assim, sabendo que amanh chove, j sabemos que a pessoa vai escola. Da mesma forma, sabendo que a pessoa foi escola, ento sabemos que choveu. Por outro lado, sabendo que no choveu, sabemos automaticamente que a pessoa no foi escola. Note, portanto, que a expresso p ql s verdadeira quando tanto p quanto q acontecem (so Verdadeiras), ou ento quando ambas no acontecem




(so Falsas). Se ocorrer outro caso (chover e a pessoa no for escola, por exemplo), a expresso p ql Falsa. Isso est resumido na tabela abaixo:



Valor lgico de p se e somente se q ( p ql )

V V V V F F F V F F F V

Novamente, marquei em vermelho a nica coisa que mudou em relao condicional p qo .

IMPORTANTE: 6DLED TXH H RX RX RX VH HQWmR VH HVRPHQWHVHVmRDVIRUPDVEiVLFDVGRVFRQHFWLYRVFRQMXQomRGLVMXQomRGLVMXQomRexclusiva, condicional e bicondicional. Entretanto, vrias questes exploram formas DOWHUQDWLYDVGHVHH[SUHVVDUFDGDXPDGHVVDVSURSRVLo}HVFRPSRVWDV$R ORQJRdas questes que resolvermos nessa e na prxima aula, voc aprender a lidar com estas alternativas. Veja os casos que considero mais importantes:

- CoQHFWLYRPDVFRPLGpLDGHFRQMXQomRHEx.: Chove, mas vou escola. Observe que quem diz esta frase est afirmando que duas coisas acontecem: 1 = FKRYHH YRXjHVFROD1RHVWXGRGDOyJLFDLVWRpRPHVPRTXHGL]HU&KRYHHYRXjHVFROD3RUWDQWRRPDVHVWiVHQGRXVDGRSDUDIRUPDUXPDconjuno.

- &RQHFWLYR RX SUHFHGLGR SRU YtUJXOD FRP LGpLD GH RX H[FOXVLYR Ex.: Chove, ou vou escola. Aqui a pausa criada pela vrgula nos permite depreender que apenas uma coisa ocorre: ou chove, ou vou escola. Assim, temos uma forma DOWHUQDWLYDGHUHSUHVHQWDURRXRXTXHHVWXGDPRVQDdisjuno exclusiva.

- &RQGLFLRQDOXWLOL]DQGR4XDQGRRX7RGDYH]TXHExemplos: 1)Quando chove, vou escola.

2) Toda vez que chove vou escola.




Veja que nos dois casos acima temos formas alternativas de apresentar uma FRQGLomR FKRYHTXH OHYDDXPDFRQVHTXrQFLD YRXjHVFROD3RUWDQWRHVWDVVmRIRUPDVDOWHUQDWLYDVDRFOiVVLFRVHHQWmRGDcondicional.

- 8VRGRRXPDVQmRDPERVFRPLGpLDGHGLVMXQomRH[FOXVLYD([-RJREROD RX FRUUR PDV QmR DPERV 5HSDUH TXH D SULPHLUD SDUWH GHVVD IUDVH p XPDGLVMXQomRFRPXPLQFOXVLYDPDVDH[SUHVVmRPDVQmRDPERVH[FOXLRFDVRRQGHMRJR EROD p 9 H FRUUR WDPEpP p 9 ,VWR p SDssamos a ter uma disjuno exclusiva. Alguns autores entendem que s temos disjuno exclusiva se a H[SUHVVmR PDV QmRDPERV HVWLYHU SUHVHQWH DLQGD TXH WHQKDPRV RX RX mas isso no pode ser considerado uma verdade absoluta. Trabalharemos esse problema ao longo das questes.

Sobre proposies compostas, veja uma questo introdutria:

1. FCC ICMS/SP 2006) &RQVLGHUHDSURSRVLomR3DXODHVWXGDPDVQmRSDVVDQRFRQFXUVR1HVVDSURSRVLomRRFRQHFWLYROyJLFRp a) condicional b) bicondicional c) disjuno inclusiva d) conjuno e) disjuno exclusiva RESOLUO: 9LPRV ORJR DFLPD TXH R PDV SRGH VHU XWLOL]DGR SDUD UHSUHVHQWDU RFRQHFWLYR FRQMXQomR H 'R SRQWR GH YLVWD OyJLFR D IUDVH 3DXOD HVWXGD H QmRSDVVDQRFRQFXUVRWHPRPHVPRYDOor da frase do enunciado. Isto porque o autor da frase quer dizer, basicamente, que duas coisas so verdadeiras:

- Paula estuda - Paula no passa no concurso

Portanto, temos uma conjuno (letra D). $RHVWXGDU3RUWXJXrVYRFrYHUiTXHRPDVWHPIXQomRadversativa. Isto ,

o autor da frase no quer dizer apenas que as duas coisas so verdadeiras. Ele usa R PDVSDUD UHVVDOWDU R IDWRGH TXH HVVDVFRLVDV VmR HP WHVH RSRVWDV HQWUH VL(espera-se que quem estuda seja aprovado). Por mais importante que seja este




detalhe semntico naquela disciplina, aqui na Lgica Proposicional devemos tratar estas proposies como sendo equivalentes. Resposta: D

1.2 Negao de proposies simples 5HSUHVHQWDPRVDQHJDomRGHXPDSURSRVLomRVLPSOHVSSHORVtPERORaS(leia no-p).Tambm podemos usar a notao p , que menos usual. Sabemos TXH R YDORU OyJLFR GH S H aS VmR RSRVWRV LVWR p VH S p XPD SURSRVLomRverdadeira, ~p ser falsa, e vice-versa. Quando temos uma proposio simples (por ex &KRYH DJRUD Todos os QRUGHVWLQRV VmR IRUWHV Algum EUDVLOHLUR p PLQHLUR SRGHPRV QHJDU HVVDSURSRVLomRVLPSOHVPHQWHLQVHULQGR1mRpYHUGDGHTXHHPVHXLQtFLR9HMD - No verdade que chove agora - No verdade que todos os nordestinos so fortes - No verdade que algum brasileiro mineiro Entretanto, na maioria dos exerccios sero solicitadas outras formas de negar uma proposio. Para descobrir a negao, basta voc se perguntar: o que eu precisaria fazer para provar que quem disse essa frase est mentindo? Se voc for capaz de desmenti-lo, voc ser capaz de neg-lo. 6H -RmR QRV GLVVH TXH &KRYH DJRUD EDVWDULD FRQILUPDU TXH QmR HVWichovendo agora para desmenti-OR 3RUWDQWR D QHJDomR VHULD VLPSOHVPHQWH No FKRYHDJRUD EntreWDQWR FDVR -RmR QRV GLJD TXH Todos os nordestinos so IRUWHVbastaria encontrarmos um nico nordestino que no fosse forte para desmenti-lo. Portanto, a negao desta afirmao pode ser, entre outras possibilidades: - Pelo menos um nordestino no foUWH - Algum nordestino no pIRUWH - Existe nordestino que no pIRUWH -iVH-RmRQRVGLVVHVVHTXHAlgum QRUGHVWLQRpIRUWHEDVWDTXHXP~QLFRnordestino seja realmente forte para que a frase dele seja verdadeira. Portanto, aqui mais difcil desmenti-lo, pois precisaramos analisar todos os nordestinos e mostrar que nenhum deles forte. Assim, a negao seria, entre outras possibilidades:




- Nenhum nordestino IRUWH - No existe QRUGHVWLQRIRUWH

A tabela abaixo resume as principais formas de negao de proposies simples. Veja que, assim como voc pode usar as da coluna da direita para negar frases com as expresses da coluna da esquerda, voc tambm pode fazer o contrrio.

3URSRVLomRS 3URSRVLomRaS Meu gato preto Meu gato no preto

Todos gatos so pretos Algum/pelo menos um/existe gato (que) no preto

Nenhum gato preto Algum/pelo menos um/existe gato (que) preto

Note ainda que ~(~p) = p, isto , a negao da negao de p a prpria proposio p. Isto , negar duas vH]HV p LJXDO D IDODU D YHUGDGH ([ No verdade que meu gato no pSUHWR HVWDIUDVHpHTXLYDOHQWHD0HXJDWRpSUHWR Veja abaixo uma questo inicial sobre negao de proposies simples.

2. FCC Banco do Brasil 2011) Um jornal publicou a seguinte manchete: 7RGD$JrQFLDGR%DQFRGR%UDVLOWHPGpILFLWGHIXQFLRQiULRV

Diante de tal inverdade, o jornal se viu obrigado a retratar-se, publicando uma negao de tal manchete. Das sentenas seguintes, aquela que expressaria de maneira correta a negao da manchete publicada : a) Qualquer Agncia do Banco do Brasil no tm dficit de funcionrios b) Nenhuma Agncia do Banco do Brasil tem dficit de funcionrios c) Alguma Agncia do Banco do Brasil no tem dficit de funcionrios d) Existem Agncias com dficit de funcionrios que no pertencem ao Banco do Brasil e) O quadro de funcionrios do Banco do Brasil est completo RESOLUO: Olhando a manchete publicada pelo jornal, bastaria que um leitor constatasse que em pelo menos uma agncia do BB no h dficit e ele j teria argumento




suficiente para desmentir o jornal, afinal o jornal tinha dito que todas as agncias possuem dficit. Uma forma desse leitor expressar-se seria dizendo:

Pelo menos uma DJrQFLDGR%%QmRWHPGpILFLWGHIXQFLRQiULRV Uma outra forma de dizer esta mesma frase seria:

Alguma DJrQFLDGR%%QmRWHPGpILFLWGHIXQFLRQiULRV Portanto, essa foi a frase que o jornal precisou usar para a retratao (negao) da anterior. Resposta: C

1.3 Negao de proposies compostas Quando temos alguma das proposies compostas (conjuno, disjuno, disjuno exclusiva, condicional ou bicondicional), podemos utilizar o mesmo truque para obter a sua negao: buscar uma forma de desmentir quem estivesse falando aquela frase. Vejamos alguns exemplos:

D &RQMXQomR &KRYH KRMH e YRX j SUDLD 6H -RmR QRV GL] HVVD IUDVH HOH HVWiafirmando que as duas coisas devem ocorrer (se tiver dvida, retorne tabela-verdade da conjuno). Isto , para desmenti-lo, bastaria provar que pelo menos uma delas no ocorre. Isto , a primeira coisa no ocorre ou a segunda coisa no ocorre (ou mesmo as duas no ocorrem). Veja que para isso podemos usar uma disjuno, negando as duas proposies simples como aprendemos no item DQWHULRU 1mRFKRYHKRMH ou no vou SUDLD'DPHVPD IRUPD VH-RmR WLYHVVHGLWR7RGRQRUGHVWLQRpIRUWHHQHQKXPJDWRpSUHWRSRGHUtDPRVQHJDUXWLOL]DQGRXPD GLVMXQomR QHJDQGR DV GXDV SURSRVLo}HV VLPSOHV $OJXP QRUGHVWLQR QmR pforte ou DOJXPJDWRpSUHWR

E 'LVMXQomR &KRYH KRMH ou YRX j SUDLD (VVD DILUPDomR p YHUGDGHLUD VH SHORmenos uma das proposies simples for verdadeira. Portanto, para desmentir quem a disse, precisamos provar que as duas coisas no acontecem, isto , as duas proposies so falsas. Assim, a negao seriDXPDFRQMXQomRNo chove hoje e no YRXjSUDLD-iDQHJDomRGH7RGRQRUGHVWLQRpIRUWHou QHQKXPJDWRpSUHWRVHULD$OJXPQRUGHVWLQRQmRpIRUWHe DOJXPJDWRpSUHWR




F 'LVMXQomR H[FOXVLYD Ou chove hoje ou YRX j SUDLD 5HFRUUHQGR j WDEHOD-verdade, voc ver que a disjuno exclusiva s verdadeira se uma, e apenas uma das proposies verdadeira, sendo a outra falsa. Assim, se mostrssemos que ambas so verdadeiras, ou que ambas so falsas, estaramos desmentindo o autor da frase. Para issR SRGHPRV XVDU XPD ELFRQGLFLRQDO &KRYH KRMH se e somente se HXYRXjSUDLD9HMDTXHHVWDIUDVHLQGLFDTXHRXDFRQWHFHPDVGXDVcoisas (chover e ir praia) ou no acontece nenhuma delas.

G&RQGLFLRQDOSe chove hoje, ento YRXjSUDLD/HPEUD-se que a condicional s falsa caso a condio (p) seja verdadeira e o resultado (q) seja falso? Portanto, justamente isso que deveramos provar se quisssemos desmentir o autor da frase. $ VHJXLQWH FRQMXQomR QRV SHUPLWH QHJDU D FRQGLFLRQDO &KRYH KRMH e no vou SUDLD

H%LFRQGLFLRQDO &KRYHKRMHse e somente se YRXjSUDLD2DXWRUGDIUDVHHVWiafirmando que as duas coisas (chover e ir praia) devem ocorrer juntas, ou ento nenhuma delas pode ocorrer. Podemos desmenti-lo provando que uma das coisas ocorre ( verdadeira) enquanto a outra no ( falsa). A disjuno exclusiva nos SHUPLWHID]HULVVROu chove hoje, ou YRXjSUDLD

Veja na tabela abaixo as principais formas de negao de proposies compostas:

Proposio composta Negao Conjuno ( p q )

Ex.: Chove hoje e vou praia Disjuno (~ ~p q )

Ex.: No chove hoje ou no vou praia Disjuno ( p q )

Ex.: Chove hoje ou vou praia Conjuno ( ~ ~p q )

Ex.: No chove hoje e no vou praia Disjuno exclusiva ( p q )

Ex.: Ou chove hoje ou vou praia Bicondicional ( p ql )

Ex.: Chove hoje se e somente se vou praia Condicional ( p qo )

Ex.: Se chove hoje, ento vou praia Conjuno ( ~p q )

Ex.: Chove hoje e no vou praia Bicondicional ( p ql )

Ex.: Chove hoje se e somente se vou praia. Disjuno exclusiva ( p q )

Ex.: Ou chove hoje ou vou praia




Outra forma de negar a bicondicional escrevendo outra bicondicional, porm negando uma das proposies simples. Por exemplo, l~p q uma forma alternativa de negar p ql . Esta negaR SRGH VHU HVFULWD FRPR &KRYH VH Hsomente se NO vou praia).

Comece a exercitar a negao de proposies compostas a partir da questo abaixo:

3. CESPE TRT/17 2009) $ QHJDomR GD SURSRVLomR 2 MXL] GHWHUPLQRX Dlibertao de um estelionatrio e dH XP ODGUmR p H[SUHVVD QD IRUPD 2 MXL] QmRGHWHUPLQRXDOLEHUWDomRGHXPHVWHOLRQDWiULRQHPGHXPODGUmR RESOLUO: 2EVHUYHTXHDSULPHLUDIUDVHSRGHVHUHVFULWDQDIRUPD2MXL]GHWHUPLQRXDlibertao de um estelionatrio E o juiz determinou a liberWDomRGHXPODGUmR,VWRpWHPRVXPDSURSRVLomRGRWLSRSHTRQGH

p: O juiz determinou a libertao de um estelionatrio q: O juiz determinou a libertao de um ladro

6DEHPRVTXHXPDSURSRVLomRGRWLSRSHTVypYHUGDGHLUDVHDPERVSHTforem verdadeiros. Portanto, basta que um dos dois (p ou q), ou ambos, sejam falsos para que a proposio inteira seja falsa. Com isso, sabemos que para neg-la basta dizer que o juiz no determinou a libertao de um estelionatrio OU o juiz no determinou a libHUWDomRGHXPODGUmR5HHVFUHYHQGR2MXL]QmRGHWHUPLQRXDOLEHUWDomRGHXPHVWHOLRQDWiULRRXGHXPODGUmR Lembrando da teoria que vimos acima, a negao de p q ~ ~p q , o que leva ao resultado que obtivemos. Item ERRADO. Resposta: E.

1.4 Construo da tabela-verdade de proposies compostas Alguns exerccios podem exigir que voc saiba construir a tabela-verdade de proposies compostas. Para exemplificar, veja a proposio [(~ ) ]A B C . A primeira coisa que voc precisa saber que a tabela-verdade desta proposio ter sempre 2n linhas, onde n o nmero de proposies simples envolvidas. Como s temos 3 proposies simples (A, B e C), esta tabela ter 23, ou seja, 8 linhas.




Para montar a tabela verdade de uma expresso como [(~ ) ]A B C , devemos comear criando uma coluna para cada proposio e, a seguir, colocar todas as possibilidades de combinaes de valores lgicos (V ou F) entre elas:

Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de C

V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F

Agora, note que em [(~ ) ]A B C temos o termo ~B entre parnteses. Devemos, portanto, criar uma nova coluna na nossa tabela, inserindo os valores de ~B. Lembre-se que os valores de no-B so opostos aos valores de B (compare as colunas em amarelo):

Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de C

Valor lgico de ~B

V V V F V V F F V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F V

Agora que j temos os valores lgicos de ~B, e tambm temos os de C, podemos criar os valores lgicos da expresso entre colchetes: [(~ ) ]B C . Observe TXHVH WUDWDGHXPDFRQMXQomRHTXHVy WHPYDORU OyJLFR9TXDQGRDPERVRVmembros (no caso, ~B e C) so V:




Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de C

Valor lgico de ~B

Valor lgico de [(~ ) ]B C

V V V F F V V F F F V F V V V V F F V F F V V F F F V F F F F F V V V F F F V F

Agora que j temos os valores lgicos de A e tambm os valores lgicos de [(~ ) ]B C , podemos analisar os valores lgicos da disjuno [(~ ) ]A B C . Lembre-se que uma disjuno s F quando ambos os seus membros so F (marquei esses casos em amarelo):

Valor lgico de

A

Valor lgico de

B

Valor lgico de

C

Valor lgico de

~B

Valor lgico de

[(~ ) ]B C

Valor lgico de

[(~ ) ]A B C V V V F F V V V F F F V V F V V V V V F F V F V F V V F F F F V F F F F F F V V V V F F F V F F

Assim, podemos omitir a 4 e 5 coluna, de modo que a tabela-verdade da expresso [(~ ) ]A B C :




Valor lgico de

A

Valor lgico de

B

Valor lgico de

C

Valor lgico de

[(~ ) ]A B C V V V V V V F V V F V V V F F V F V V F F V F F F F V V F F F F

Veja que essa tabela nos d os valores lgicos da expresso [(~ ) ]A B C para todos os possveis valores das proposies simples que a compem (A, B e C).

1.5 Tautologia e contradio Ao construir tabelas-verdade para expresses, como fizemos acima, podemos verificar que uma determinada expresso sempre verdadeira, independente dos valores lgicos das proposies simples que a compem. Trata-se de uma tautologia. Por outro lado, algumas expresses podem ser sempre falsas, independente dos valores das proposies que a compem. Neste caso, estaremos diante de uma contradio. Vejamos alguns exemplos:

a) Veja abaixo a tabela-verdade de ~p p (ex.: Sou bonito e no sou bonito). Pela simples anlise desse exemplo, j vemos uma contradio (no d para ser bonito e no ser ao mesmo tempo). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela falsa para todo valor lgico de p:

Valor lgico de p Valor lgico de ~p Valor lgico de ~p p

V F F F V F




Obs.: notou que essa tabela-verdade possui apenas duas linhas? Isso porque temos apenas 1 proposio simples (p), e 21 = 2.

b) Veja abaixo a tabela-verdade de ~p p (ex.: Sou bonito ou no sou bonito). Pela simples anlise desse exemplo, j vemos uma tautologia (essa frase sempre ser verdadeira, independente da minha beleza). Olhando na coluna da direita dessa tabela, vemos que ela verdadeira para todo valor lgico de p:

Valor lgico de p Valor lgico de ~p Valor lgico de ~p p

V F V F V V

Pratique o que discutimos at aqui atravs da questo a seguir.

4. FCC ICMS/SP 2006) Considere as afirmaes abaixo. I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par.

,,$SURSRVLomR (10 10) (8 3 6) l pIDOVD ,,,6HSHTVmRSURSRVLo}HVHQWmRDSURSRVLomR (~ )p q qo pXPDWDXWRORJLD verdade o que se afirma APENAS em: a) I e II b) I e III c) I d) II e) III RESOLUO: I. O nmero de linhas de uma tabela-verdade sempre um nmero par. O nmero de linhas de uma tabela verdade 2n, onde n o nmero de proposies simples. Isto , 2x2x2...x2, n vezes. Este nmero certamente divisvel por 2, isto , par. Item VERDADEIRO.

,,$SURSRVLomR (10 10) (8 3 6) l pIDOVD Temos uma bicondicional onde a primeira parte falsa (pois 10 maior que a raz quadrada de 10), e a segunda parte tambm falsa (pois 8 3 = 5). Na tabela-




verdade da bicondicional, veja que esta proposio composta verdadeira quando temos F lF. Item FALSO.

,,,6HSHTVmRSURSRVLo}HVHQWmRDSURSRVLomR (~ )p q qo pXPDWDXWRORJLD Para avaliar se temos uma tautologia, vamos construir a tabela verdade desta proposio. Repare que temos 2 proposies simples (p e q), de modo que a tabela-verdade da proposio composta ter 22 = 4 linhas. A tabela, construda da esquerda para a direita, fica assim:

Valor lgico de p

Valor lgico de q

Valor lgico de ~q

Valor lgico de

p qo Valor lgico de

(~ )p q qo V V F V V V F V F V F V F V V F F V V V

De fato a proposio (~ )p q qo possui valor lgico V para qualquer valor das proposies simples p e q. Isto , temos uma tautologia. Item VERDADEIRO. Resposta: B

1.6 Equivalncia de proposies lgicas Dizemos que duas proposies lgicas so equivalentes quando elas possuem a mesma tabela-verdade. Como exemplo, vamos verificar se as proposies p qo e ~ ~q po so equivalentes. Faremos isso calculando a tabela verdade das duas, para poder compar-las. Mas intuitivamente voc j poderia ver que elas so equivalentes. Imagine que p qo p6HFKRYHHQWmRYRXjSUDLD6DEHPRVTXHVHDFRQGLomRFKRYHRFRUUHnecessariamente o resultado (vou praia) ocorre. Portanto, se soubermos que o resultado no ocorreu (no vou praia), isso implica que a condio no pode ter ocorrido (no chove) ,VWR p SRGHPRV GL]HU TXH 6H QmR YRX j SUDLD HQWmR QmRFKRYH2XVHMD~ ~q po . A tabela-verdade de p qo encontra-se abaixo. Calcule-a sozinho, para exercitar:




Valor lgico de

p

Valor lgico de q

Valor lgico de

p qo V V V V F F F V V F F V

J a tabela-verdade de ~ ~q po foi obtida abaixo: Valor

lgico de p

Valor lgico de q

Valor lgico de

~q

Valor lgico de

~p

Valor lgico de ~ ~q po

V V F F V V F V F F F V F V V F F V V V

Repare na coluna da direita de cada tabela. Percebeu que so iguais? Isso nos permite afirmar que ambas as proposies compostas so equivalentes. Veja ainda a tabela verdade de ~p ou q:

Valor lgico de p

Valor lgico de q

Valor lgico de ~p

Valor lgico de ~p ou q

V V F V V F F F F V V V F F V V

Perceba que a tabela-verdade de ~p ou q igual s duas anteriores (pq e ~q~p). Assim, essas 3 proposies so equivalentes. No usei este exemplo toa. Ele cai bastante em concursos, portanto bom voc gravar: ( p qo ), ( ~ ~q po ) e (~p ou q) so proposies equivalentes!!! Veja as questes abaixo para comear a treinar as equivalncias lgicas:




5. FCC ALESP 2010) Durante uma sesso no plenrio da Assemblia Legislativa, o presidente da mesa fez a seguinte declarao, dirigindo-se s galerias da casa: Se as manifestaes desrespeitosas no forem interrompidas, ento eu no GDUHLLQtFLRjYRWDomR Esta declarao logicamente equivalente afirmao: a) se o presidente da mesa deu incio votao, ento as manifestaes desrespeitosas foram interrompidas b) se o presidente da mesa no deu incio votao, ento as manifestaes desrespeitosas no foram interrompidas c) se as manifestaes desrespeitosas forem interrompidas, ento o presidente da mesa dar incio votao d) se as manifestaes desrespeitosas continuarem, ento o presidente da mesa comear a votao e) se as manifestaes desrespeitosas no continuarem, ento o presidente da mesa no comear a votao. RESOLUO: Observe que temos uma condicional ( p qo ), onde:

p = As manifestaes desrespeitosas no forem interrompidas q = Eu no darei incio votao

Esta uma proposiomR PDQMDGD SRLV VDEHPRV TXH HOD p HTXLYDOHQWH D~ ~q po HWDPEpPDaSRXT&RPRaTpHXGDUHL LQtFLRjYRWDomRHaSpDVPDQLIHVWDo}HVGHVUHVSHLWRVDVIRUDPLQWHUURPSLGDVWHPRV

~ ~q po : 6H HX GHL LQtFLR votao, ento as manifestaes desrespeitosas IRUDPLQWHUURPSLGDV aSRXTAs manifestaes desrepeitosas foram interrompidas ou eu no dei incio YRWDomR

Repare que a alternativa A similar expresso ~ ~q po que escrevemos acima, sendo este o gabarito. Resposta: A




6. ESAF ATRFB 2009) $DILUPDomR-RmRQmRFKHJRXRX0DULDHVWiDWUDVDGDequivale logicamente a: a) Se Joo no chegou, Maria est atrasada. b) Joo chegou e Maria no est atrasada. c) Se Joo chegou, Maria no est atrasada. d) Se Joo chegou, Maria est atrasada. e) Joo chegou ou Maria no est atrasada. RESOLUO: $IUDVHGRHQXQFLDGRSRGHVHUHVFULWDFRPRaSRXTRQGH

p = Joo chegou q = Maria est atrasada

Novamente estamos diante de uma proSRVLomRPDQMDGDSRLVVDEHPRVTXH~p ou q equivalente a pq e tambm a ~q~p. Essas duas ltimas frases so, respectivamente:

- Se Joo chegou, ento Maria est atrasada. - Se Maria no est atrasada, ento Joo no chegou.

Veja que a primeira das duas frases acima similar alternativa D, sendo este o gabarito. Resposta: D

1.7 Condio necessria e condio suficiente Quando temos uma condicional pq, sabemos que se a condio p acontecer, com certeza o resultado q deve acontecer (para que pq seja uma proposio verdadeira). Portanto, podemos dizer que p acontecer suficiente para afirmarmos que q acontece. Em outras palavras, p uma condio suficiente para q. PRU H[HPSOR VH GLVVHUPRV 6H FKRYH HQWmR R FKmR ILFD PROKDGR suficiente saber que chove para afirmarmos que o cho fica molhado. Chover uma condio suficiente para que o cho fique molhado. Por outro lado, podemos dizer que sempre que chove, o cho fica molhado. necessrio que o cho fique PROKDGR SDUD SRGHUPRV DILUPDU FKRYH 3RUWDQWR R FKmR ILFD PROKDGR p XPD




condio necessria para podermos dizer que chove (se o cho estivesse seco, teramos certeza de que no chove). Ou seja, q uma condio necessria para p. Resumidamente, quando temos uma condicional pq, podemos afirmar que p suficiente para q, e, por outro lado, q necessria para p. Por outro lado, quando temos uma bicondicional p ql , podemos dizer que p necessria e suficiente para q, e vice-YHUVD 3DUD D SURSRVLomR &KRYH VH HVRPHQWH VH R FKmR ILFD PROKDGR VHU YHUGDGHLUD SRGHPRV GL]HU TXH p SUHFLVR(necessrio) que chova para que o cho fique molhado. No dada outra possibilidade. E suficiente saber que chove para poder afirmar que o cho fica molhado. Da mesma forma, suficiente saber que o cho ficou molhado para afirmar que choveu; e a nica possibilidade de ter chovido se o cho tiver ficado molhado, isto , o cho ter ficado molhado necessrio para que tenha chovido.

1.8 Sentenas abertas Sentenas abertas so aquelas que possuem uma ou mais variveis, como o exemplo abaixo (do tipo pq):

6H;pGLYLVtYHOSRUHQWmR;pGLYLVtYHOSRU

Temos a varivel X nessa frase, que pode assumir diferentes valores. Se X for igual a 10, teremos:

6HpGLYLVtYHOSRUHQWmRpGLYLVtYHOSRU

Esta frase verdadeira, pois p V e q V. Se X = 11, teremos: 6HpGLYLVtYHOSRUHQWmRpGLYLVtYHOSRU

Esta frase verdadeira, pois p F e q tambm F. J se X = 12.5, teremos: 6HpGLYLVtYHOSRUHQWmRpGLYLVtYHOSRU

Agora a frase falsa, pois p V e q F! Portanto, quando temos uma sentena aberta, no podemos afirmar de antemo que ela verdadeira ou falsa, pois isso depender do valor que as variveis assumirem. Assim, uma sentena aberta no uma proposio (s ser uma proposio aps definirmos o valor da varivel).




Trabalhe o conceito de sentenas abertas na questo a seguir.

7. FCC ICMS/SP 2006) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005. II. (x+y)/5 um nmero inteiro. III. Joo da Silva foi o Secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000. verdade que APENAS: a) I uma sentena aberta b) II uma sentena aberta c) I e II so sentenas abertas d) I e III so sentenas abertas e) II e III so sentenas abertas RESOLUO: Uma sentena aberta aquela que possui uma varivel cujo valor pode tornar a proposio V ou F. O caso clssico aquele presente na alternativa II. Dependendo dos valores atribudos s variveis x e y, a proposio pode ser V ou F. Entretanto, a alternativa I tambm uma sentena aberta. Isto porque, GHSHQGHQGR GH TXHP IRU (OH D SURSRVLomR SRGH VHU9RX ) 3UHFLVDPRV VDEHUquem a pessoa referida pelo autor da frase para atribuir um valor lgico. Resposta: C

Agora hora de praticar tudo o que vimos at aqui, resolvendo uma bateria de questes.




2. RESOLUO DE QUESTES ATENO: embora a banca do INSS seja o CESPE, vamos comear trabalhando algumas questes de outras bancas para que voc comece a fixar os conceitos que tratamos ao longo desta aula afinal em regra as questes do CESPE tem um nvel de dificuldade superior. Em seguida trabalharemos muitas questes da sua banca!

8. ESAF STN 2012) $QHJDomRGDSURSRVLomRVH&XULWLEDpDFDSLWDOGR%UDVLOHQWmR6DQWRVpDFDSLWDOGR3DUDQipORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR a) Curitiba no a capital do Brasil e Santos no a capital do Paran. b) Curitiba no a capital do Brasil ou Santos no a capital do Paran. c) Curitiba a capital do Brasil e Santos no a capital do Paran. d) Se Curitiba no a capital do Brasil, ento Santos no a capital do Paran. e) Curitiba a capital do Brasil ou Santos no a capital do Paran. RESOLUO: Temos no enunciado a condicional pq onde:

p = Curitiba a capital do Brasil q = Santos a capital do Paran

A negao de pTpGDGDSHODGLVMXQomRSHaTRQGH ~q = Santos no a capital do Paran

Assim, a negao escrita como: &XULWLEDpDFDSLWDOGR%UDVLOH6DQWRVQmRpDFDSLWDOGR3DUDQi

Resposta: C

9. ESAF RECEITA FEDERAL 2012) $QHJDomRGDSURSRVLomRVH3DXORHVWXGDHQWmR0DUWDpDWOHWDpORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR a) Paulo no estuda e Marta no atleta. b) Paulo estuda e Marta no atleta. c) Paulo estuda ou Marta no atleta. d) se Paulo no estuda, ento Marta no atleta. e) Paulo no estuda ou Marta no atleta. RESOLUO:




A proposio do enunciado a condicional pq onde: p = Paulo estuda q = Marta atleta

Para negar pTEDVWDHVFUHYHUDFRQMXQomRSHaTVHQGRTXH ~q = Marta no atleta

Assim, a negao : 3DXORHVWXGDH0DUWDQmRpDWOHWD

Resposta: B

10. ESAF MINISTRIO DA FAZENDA 2012) A proposio p STplogicamente equivalente proposio: a) p q b) ~ p c) p d) ~ q e) p q RESOLUO:

Para a conjuno p STVHUYHUGDGHLUDpSUHFLVRTXHDPERVRVODGRVsejam V. Isto , preciso que p seja V, e tambm que pq seja V. Para esta condicional ser verdadeira, como p V preciso que q tambm seja V. Assim, a proposio p STVypYHUGDGHLUDTXDQGRSHTVmR9VHQGRIDOVDQRVGHPDLVcasos.

Veja que isso tambm ocorre com a conjuno p q da alternativa E, que s verdadeira quando p e q so ambas V. Assim, temos uma proposio com mesma tabela-verdade que a do enunciado, ou seja, equivalente. Resposta: E

11. ESAF RECEITA FEDERAL 2012) $DUPDomR$PHQLQDWHPROKRVD]XLVRXRPHQLQRpORLURWHPFRPRVHQWHQoDORJLFDPHQWHequivalente: a) se o menino loiro, ento a menina tem olhos azuis. b) se a menina tem olhos azuis, ento o menino loiro.




c) se a menina no tem olhos azuis, ento o menino loiro. d) no verdade que se a menina tem olhos azuis, ento o menino loiro. e) no verdade que se o menino loiro, ento a menina tem olhos azuis. RESOLUO: Temos no enunciado a disjuno:

A menina tem olhos azuis ou o menino loiro

Veja que algumas alternativas de resposta so condicionais. Sabemos que h uma equivalnFLD PDQMDGD HQWUH FRQGLFLRQDLV H GLVMXQo}HV SRLV Sq HTXLYDOHQWH D aS RX T $VVXPLQGR TXH D IUDVH GR HQXQFLDGR p HVVD GLVMXQomRtemos que:

~p = A menina tem olhos azuis q = o menino loiro

Portanto, p = A menina NO tem olhos azuis

Escrevendo a condicional pq, temos: 6HDPHQLQDQmRWHPROKRVD]XLVHQWmRRPHQLQRpORLUR

Resposta: C

12. ESAF DNIT 2012) $SURSRVLomR3DXORpPpGLFRRX$QDQmRWUDEDOKDplogicamente equivalente a: a) Se Ana trabalha, ento Paulo mdico. b) Se Ana trabalha, ento Paulo no mdico. c) Paulo mdico ou Ana trabalha. d) Ana trabalha e Paulo no mdico. e) Se Paulo mdico, ento Ana trabalha RESOLUO: No enunciado temos uma disjuno:

Paulo mdico ou Ana no trabalha

Veja que algumas opes de resposta so condicionais. Sabemos que h XPDHTXLYDOrQFLDPDQMDGDHQWUHXPDGLVMXQomRHXPDFRQGLFLRQDOSRLV

pTpHTXLYDOHQWHDaSRXT




$IUDVHGRHQXQFLDGRSRGHVHUUHSUHVHQWDGDSRUaSRXTRQGH ~p = Ana no trabalha

q = Paulo mdico

Com essas mesmas proposies simples, podemos escrever a condicional pq assim:

Se Ana trabalha, ento Paulo mdico Resposta: A

13. ESAF DNIT 2012) $ SURSRVLomR FRPSRVWD S S T p HTXLYDOHQWH jproposio: a) p v q EST c) p d) ~ p v q e) q RESOLUO: 3DUDDSURSRVLomRGRHQXQFLDGRVHUIDOVDpSUHFLVRTXHSVHMD9HSTseja F, o que ocorre quando q F. Em qualquer outro caso essa proposio Verdadeira. Vejamos o que ocorre em cada alternativa de resposta:

a) p v q : falsa quando p e q so F, ou seja, tem tabela-verdade diferente da proposio do enunciado.

ESTSRGHVHUIDOVDTXDQGRSp), ao contrrio da do enunciado.

c) p : possui tabela-verdade diferente da proposio do enunciado, at porque uma proposio simples.

d) ~ p v q : j vimos que essa proposio equivalente condicional pq , que s falsa quando p V e q F. Portanto, trata-se de uma proposio com tabela-verdae igual da proposio do enunciado.

e) q : incorreta pelo mesmo raciocnio da alternativa C. Resposta: D




14. IDECAN AGU 2014) $ILUPDU TXH QmR p YHUGDGH TXH VH 3HGUR QmR pEUDVLOHLURHQWmR-RmRpFRULQWLDQRpHTXLYDOHQWHDGL]HUTXH a) ou Pedro brasileiro ou Joo no corintiano. b) Pedro no brasileiro e Joo no corintiano. c) Pedro no brasileiro ou Joo no corintiano. d) se Joo no corintiano, ento Pedro brasileiro. e) se Pedro no brasileiro, ento Joo corintiano. RESOLUO: 1HVVDDOWHUQDWLYDWHPRVXPDSURSRVLomRFRQGLFLRQDOGRWLSRVHSHQWmRTonde:

p = Pedro no brasileiro q = Joo corintiano

Afirmar que no verdade essa proposio significa NEGAR essa proposio. Para neg-la, precisamos desmentir o seu autor. Veja que o autor desta frase nos disse que, caso uma condio ocorra (Pedro no ser brasileiro), ento obrigatoriamente um resultado deve ocorrer (Joo ser corintiano). Portanto, caso a condio ocorra (Pedro no seja brasileiro) e, mesmo assim, o resultado NO ocorra (Joo no seja corintiano), ento estamos desmentindo ou negando o autor da frase. Por isso essa negao pode ser escrita assim:

3HGURQmRpEUDVLOHLUR(-RmRQmRpFRULQWLDQR

De maneira simblica, a negao da coQGLFLRQDO VH S HQWmR T SRGH VHUHVFULWDVLPSOHVPHQWHSRUSHQmR-TRQGH

no-q = Joo no corintiano

Veja que temos essa negao na alternativa B, que nosso gabarito. b) Pedro no brasileiro e Joo no corintiano.

Resposta: B




15. IDECAN AGU 2014) &RQVLGHUHDVHJXLQWHSURSRVLomRVHUHLDSURYDGRVHHVRPHQWHVHHXHVWXGDUPXLWR$VXDQHJDomRSRGHVHUHVFULWDFRPR D6HUHLDSURYDGRRXHVWXGDUHLPXLWR E(VWXGDUHLPXLWRHQmRVHUHLDSURYDGRRXVHUHLDSURYDGRHQmRHVWXGDUHL PXLWR F 6HUHL DSURYDGR RX QmR HVWXGDUHL PXLWR H HVWXGDUHL PXLWR RX QmR VHUHLDSURYDGR G 6HUHL DSURYDGR H QmR HVWXGDUHL PXLWR RX QmR HVWXGDUHL PXLWR H QmR VHUHLDSURYDGR H 1mR VHUHL DSURYDGR H QmR HVWXGDUHL PXLWR RX HVWXGDUHL PXLWR H QmR serei DSURYDGR RESOLUO: Quem diz a bicondicional VHUHLDSURYDGRVHHVRPHQWHVHHXHVWXGDUPXLWR pretende dizer que essas duas coisas (ser aprovado e estudar) s ocorrem simultaneamente, de modo que caso uma ocorra a outra tambm no pode ocorrer. Para neg-la, basta mostrarmos que possvel uma coisa acontecer e, mesmo assim, a outra no ocorrer. Isto , precisamos mostrar que possvel:

- estudar e NO ser aprovado; Ou

- NO estudar e ser aprovado

Temos isso na alternativa B: (VWXGDUHLPXLWRHQmRVHUHLDSURYDGRRXVHUHLDSURYDGRHQmRHVWXGDUHLPXLWR Resposta: B

16. IDECAN CNEN 2014) $ QHJDomRGDSURSRVLomR $QGUp QmR p VROWHLURRX%UXQRpFDVDGRp a) Andr casado ou Bruno solteiro. b) Andr solteiro e Bruno no casado. c) Andr casado e Bruno no solteiro. d) Andr no casado e Bruno solteiro. e) Andr solteiro ou Bruno no casado. RESOLUO:




Para negar a disjuno simples $QGUp QmR p VROWHLUR RX %UXQR p FDVDGRTXH UHSUHVHQWDPRV SRU S RX T EDVWD OHPEUDU TXH GHYHPRV HVFUHYHU aS H aTonde:

p = Andr no solteiro q = Bruno casado

~p = Andr solteiro ~q = Bruno no casado

Logo, temos a negao: $QGUppVROWHLUR(%UXQRQmRpFDVDGR

Repare que eu tomei o cuidado de no consLGHUDU TXH DV H[SUHVV}HV pVROWHLUR H QmR p FDVDGR VmR VLQ{QLPDV 9RFr WDPEpP GHYH HYLWDU ID]HU HVVDVextrapolaes em questes de lgica proposicional. Resposta: B

17. IDECAN CNEN 2014) Sejam as proposies: Se a porta est fechada, ento a janela est aberta ou a porta est fechada; Se a porta est fechada, ento a janela est fechada e a porta no est fechada; Se a porta ou a janela esto fechadasento a porta est fechada e a janela est aberta; Tais proposies so, respectivamente, exemplos de a) tautologia, contingncia e contradio. b) contingncia, contradio e tautologia. c) tautologia, contradio e contingncia. d) contradio, contingncia e tautologia. e) contingncia, tautologia e contradio. RESOLUO: Vamos avaliar cada proposio: Se a porta est fechada, ento a janela est aberta ou a porta est fechada; Veja que se a primeira parte for V (a porta estiver fechada), a segunda QHFHVVDULDPHQWHVHUi9WDPEpPSRLVDGLVMXQomRDMDQHODHVt aberta ou a porta HVWi IHFKDGD VHUi 9 $VVLP HVVD FRQGLFLRQDO VHUi YHUGDGHLUD QHVVHV FDVRV (quando a primeira parte for F, a condicional automaticamente verdadeira.




Portanto, essa proposio sempre ser verdadeira, o que caracteriza uma tautologia.

Se a porta est fechada, ento a janela est fechada e a porta no est fechada; 6HDSULPHLUDSDUWHIRU9DSRUWDHVWLYHUIHFKDGDDVHJXQGDVHUi)SRLVDSRUWDQmRHVWiIHFKDGDVHUi)HHVWDVHJXQGDSDUWHpXPDFRQMXQomR$VVLPDcondicional ser F, pois teremos VF. Se a primeira parte for F, a condicional automaticamente ser verdadeira. Assim, temos uma proposio que pode ser V ou F, dependendo do caso, o que caracteriza uma contingncia.

Se a porta ou a janela esto fechadas ento a porta est fechada e a janela est aberta; Veja que possvel que essa proposio seja V (caso a porta esteja fechada e a janela esteja aberta), e tambm pode ser F (por exemplo, quando a porta est fechada e a janela est fechada tambm). Outra contingncia.

9HMD TXH QmR WHPRV HVVD RSomR GH UHVSRVWD WDXWRORJLD FRQWLQJrQFLD HFRQWLQJrQFLD $ ,'(&$1 FRQVLGHURX TXH D VHJXQGD IUDVH SRGHULD VHU HQFDUDGDFRPRXPDFRQWUDGLomRYLVWRTXHHODWHPDSRUWDHVWiIHFKDGDHDSRUWDQmRHVWiIHFKDGD na mesma frase. Isto permitiria marcar a alternativa C. Embora no concorde com este gabarito (pois, como mostrei acima, em uma condicional pTAaSpYHUGDGHLUDTXDQGRDFRQGLomRSp)GHYHPRVUHVSHLWDUDSRVLomRGDbanca. Resposta: C

18. IDECAN CNEN 2014) -RmRGLVVH6HHXDFRUGRFHGRHQWmRHXQmRGXUPRGHWDUGH&RQVLGHUDQGRTXH-RmRPHQWLXpFRUUHWRDfirmar que ele: a) dormiu de tarde. b) no acordou cedo. c) no acordou cedo e dormiu de tarde. d) no acordou cedo e no dormiu de tarde. e) no acordou cedo ou no dormiu de tarde. RESOLUO:




A frase de Joo uma condicional pq onde p = Acordo cedo e q = No durmo tarde. Se ela mentira, sua negao ser verdadeira. Por sua vez, a QHJDomRpHVFULWDFRPRSHaTRQGHaT= durmo tarde. Logo, a negao pode ser escrita como:

$FRUGRFHGRHGXUPRWDUGH Uma vez que a frase acima verdadeira, correto afirmar que Joo dormiu tarde (bem como poderamos afirmar que ele acordou cedo). Resposta: A

19. IDECAN Pref. Ubatuba 2015) Se Andr est com sono, ento ele dormiu tarde. Porm, Andr NO est com sono, logo, A) Andr dormiu tarde. B) algum est com sono. C) Andr no dormiu tarde. D) algum no est com sono RESOLUO: Temos a condicional pq onde:

p = Andr est com sono q = Andr dormiu tarde

Se Andr NO est com sono, a proposio p Falsa. Isto j torna automaticamente a condicional pq verdadeira, independente de q ser verdadeira ou falsa. Portanto, Andr pode ter dormido tarde ou no ter dormido tarde, e ainda assim a condicional respeitada. Deste modo, no poderamos concluir que Andr dormiu tarde ou no. A nica certeza que temos que Andr no est com sono, o que permite afirmar que ALGUM no est com sono. Temos isto na alternativa D. Resposta: D

20. IDECAN Pref. Rio Novo 2015) 6HMDDSURSRVLomRFRPSRVWDDVHJXLU6HDJDUDJHPHVWLYHUWUDQFDGDHQWmR0DUFRVYLDMRX$1(*$d2GHVVD proposio : A) A garagem no est trancada e Marcos viajou. B) A garagem est trancada e Marcos no viajou. C) Se a garagem no estiver trancada, ento Marcos viajou. D) Se a garagem estiver trancada, ento Marcos no viajou.




RESOLUO: Temos a condicional pq onde p = a garagem est trancada e q = Marcos YLDMRX$VXDQHJDomRpGDGDSRUSH aTRQGHaT 0DUFRV12YLDMRX$VVLPpodemos escrever a negao assim:

$JDUDJHPHVWiWUDQFDGD(0DUFRV12YLDMRX Resposta: B

21. IDECAN Pref. Rio Pomba 2015) 1HJDUTXHVH)OiYLDpPRUHQD/tYLDQmRpORLUDpRPHVPRTXHGL]HU A) Flvia morena e Lvia loira. B) Flvia loira ou Lvia morena. C) Se Lvia loira, Flvia no morena. D) Flvia no morena, nem Lvia loira RESOLUO: Para negar pTEDVWDHVFUHYHUSHaTTXHQHVWHFDVRVHULD

Flvia morena E Lvia loira Resposta: A

22. ESAF PECFAZ 2013) $QHJDomRGDSURSRVLomR%UDVtOLDpD&DSLWDO)HGHUDOHRV7HUULWyULRV)HGHUDLVLQWHJUDPD8QLmRp a) Braslia no a Capital Federal e os Territrios Federais no integram a Unio. b) Braslia no a Capital Federal ou os Territrios Federais no integram a Unio. c) Braslia no a Capital Federal ou os Territrios Federais integram a Unio. d) Braslia a Capital Federal ou os Territrios Federais no integram a Unio. e) Braslia no a Capital Federal e os Territrios Federais integram a Unio. RESOLUO: 7HPRVDFRQMXQomRSHTRQGH

p = Braslia a Capital Federal q = os Territrios Federais integram a Unio

$QHJDomRGDFRQMXQomRSHTpDGLVMXQomRaSRXaTRQGH

~p = Braslia no a Capital Federal ~q = os Territrios Federais no integram a Unio




3RUWDQWRDGLVMXQomRaSRXaTp Braslia no a Capital Federal ou os Territrios Federais no integram a Unio

Resposta: B

23. ESAF PECFAZ 2013) Conforme a teoria da lgica proposicional, a SURSRVLomRa33p a) uma tautologia. b) equivalente proposio ~ P V P . c) uma contradio. d) uma contingncia. e) uma disjuno RESOLUO: 9HMDTXHDFRQMXQomRa3H3pXPDFRQWUDGLomRSRLVHVWDSURSRVLomRpfalsa tanto quando P V como quando P F. Resposta: C

24. FGV TJSC 2015) &RQVLGHUHDVHQWHQoD6HFRPHWLXPFULPHHQWmRVHUHLFRQGHQDGR8PDVHQWHQoDORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjVHQWHQoDGDGDp (A) No cometi um crime ou serei condenado. (B) Se no cometi um crime, ento no serei condenado. (C) Se eu for condenado, ento cometi um crime. (D) Cometi um crime e serei condenado. (E) No cometi um crime e no serei condenado. RESOLUO: Temos a condicional pq no enunciado, onde:

p = cometi um crime q = serei condenado

(ODpHTXLYDOHQWHDaTaSHWDPEpPDaSRXT3DUDLVVRQRWHTXH ~p = NO cometi um crime ~q = NO serei condenado




$VVLPWHPRVDVHTXLYDOrQFLDVaTaSHaSRXTDEDL[R 6H12IRUFRQGHQDGRHQWmR12FRPHWLXPFULPH

e

12FRPHti um crLPH28VHUHLFRQGHQDGR

Temos esta ltima na alternativa A. Resposta: A

25. FCC SEFAZ/PE 2015) Observe a afirmao a seguir, feita pelo prefeito de uma grande capital. Se a inflao no cair ou o preo do leo diesel aumentar, ento o preo das passagens de nibus ser reajustado. Uma maneira logicamente equivalente de fazer esta afirmao : (A) Se a inflao cair e o preo do leo diesel no aumentar, ento o preo das passagens de nibus no ser reajustado. (B) Se a inflao cair ou o preo do leo diesel aumentar, ento o preo das passagens de nibus no ser reajustado. (C) Se o preo das passagens de nibus for reajustado, ento a inflao no ter cado ou o preo do leo diesel ter aumentado. (D) Se o preo das passagens de nibus no for reajustado, ento a inflao ter cado ou o preo do leo diesel ter aumentado. (E) Se o preo das passagens de nibus no for reajustado, ento a inflao ter cado e o preo do leo diesel no ter aumentado. RESOLUO: Temos a proposio condicional que pode ser sintetizada assim:

(inflao no cair ou diesel aumentar) passagem reajustada

Essa proposio do tipo (P ou Q) R, onde: P = inflao no cair Q = diesel aumentar

R = passagem reajustada

Essa proposio equivalente a ~R~(P ou Q), que por sua vez equivalente a ~R (~P e ~Q), onde:




~P = inflao cair ~Q = diesel NO aumentar

~R = passagem NO SER reajustada

Escrevendo ~R-->(~P e ~Q), temos: passagem no ser reajustada (inflao cai e diesel no aumenta)

Temos isso na alternativa E. Resposta: E

26. FCC SEFAZ/PE 2015) Antes da rodada final do campeonato ingls de futebol, um comentarista esportivo apresentou a situao das duas nicas equipes com chances de serem campes, por meio da seguinte afirmao: 3DUDTXHR$UVHQDOseja campeo, necessrio que ele vena sua partida e que o &KHOVHDSHUFDRXHPSDWHDVXD Uma maneira equivalente, do ponto de vista lgico, de apresentar esta informao p3DUDTXHR$UVHQDOVHMDFDPSHmRpQHFHVViULRTXHHOH (A) vena sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vena a sua partida e o &KHOVHDHPSDWHDVXD (B) vena sua partida ou o Chelsea perca a sua ou que ele vena a sua partida ou o &KHOVHDHPSDWHDVXD (C) empate sua partida e o Chelsea perca a sua ou que ele vena a sua partida e o &KHOVHDQmRYHQoDDVXD (D) vena sua partida e o Chelsea perca a sua e que ele vena a sua partida e o &KHOVHDHPSDWHDVXD (E) vena sua partida ou o Chelsea perca a sua e que ele vena a sua partida ou o &KHOVHDHPSDWHDVXD RESOLUO: A proposio do enunciado pode ser resumida assim:

Arsenal vena E (Chelsea perca OU Chelsea empate)

Sabemos que a proposio composta "p E (q OU r)" equivalente a "(p E q) OU (p E r)". Escrevendo essa ltima, teramos algo como:

(Arsenal vena E Chelsea perca) OU (Arsenal vena E Chelsea empate) Temos isso na alternativa A. Resposta: A




27. FCC MANAUSPREV 2015) Considere a afirmao: Se os impostos sobem, ento o consumo cai e a inadimplncia aumenta. Uma afirmao que corresponde negao lgica dessa afirmao (A) Se os impostos no sobem, ento o consumo aumenta e a inadimplncia cai. (B) Os impostos no sobem e o consumo no cai e a inadimplncia no aumenta. (C) Se os impostos no sobem, ento o consumo no cai e a inadimplncia no aumenta.

(D) Se o consumo no cai ou a inadimplncia no aumenta, ento os impostos no sobem. (E) Os impostos sobem e o consumo no cai ou a inadimplncia no aumenta. RESOLUO: A afirmao do enunciado a proposio condicional p-->(q e r), onde:

p = os impostos sobem q = o consumo cai

r = a inadimplncia aumenta

Uma forma de negar essa proposio escrevendo "p e ~(q e r)". Repare que ~(q e r) o mesmo que (~q ou ~r). Portanto, uma forma de escrever a negao lgica da proposio do enunciado "p e (~q ou ~r)", onde:

~q = o consumo no cai ~r = inadimplncia no aumenta

Portanto, "p e (~q ou ~r)" simplesmente: Os impostos sobem e o consumo no cai ou a inadimplncia no aumenta. Resposta: E

28. FGV TJRJ 2014) Considere a seguinte sentena: 6HKiPXLWRVSURFHVVRVHQWmRRVMXt]HVWUDEDOKDPPXLWR Uma sentena logicamente equivalente a essa : (A) se no h muitos processos, ento os juzes no trabalham muito; (B) se os juzes trabalham muito, ento h muitos processos; (C) h muitos processos e os juzes no trabalham muito; (D) no h muitos processos ou os juzes trabalham muito; (E) h muitos processos e os juzes trabalham muito.




RESOLUO: Temos no enunciado a condicional pq onde:

p = h muitos processos q = juzes trabalham muito

Vimos exaustivamente que esta condicional equivalente s proposies: ~q~p ~p ou q

Escrevendo-as, temos: - Se os juzes no trabalham muito, ento no h muitos processos - No h muitos processos ou os juzes trabalham muito

Note que somente a segunda frase aparece nas alternativas de resposta, sendo este o gabarito. Resposta: D

29. FGV TJRJ 2014) Joo e Jos conversam. Joo diz: - Todo pas que realiza eleies democrtico. Jos diz: - Essa frase falsa. O que Jos disse significa que: (A) algum pas no realiza eleies e democrtico; (B) se um pas no realiza eleies ento no democrtico; (C) algum pas realiza eleies e no democrtico; (D) se um pas no democrtico ento no realiza eleies; (E) todo pas que realiza eleies no democrtico. RESOLUO:

Jos diz que a frase "Todo pas que realiza eleies democrtico" falsa. Ele quer dizer que pode haver excees, isto , pode existir algum pas que realize eleies e, mesmo assim, NO seja democrtico.

Portanto, uma forma de expressar o que Jos quer dizer : - "algum pas realiza eleies e no democrtico"




Temos isso entre as alternativas de resposta. Outras possibilidades seriam: - nem todo pas que realiza eleies democrtico - existe pas que realiza eleies e no democrtico - pelo menos um pas realiza eleies e no democrtico

E assim por diante... observe que Joo no havia afirmado nada sobre os pases que NO realizam eleies (ele falou apenas dos pases que realizam eleies). Assim, as opes de resposta que tratam dos pases que NO realizam eleies esto todas incorretas. Resposta: C

30. FGV TJ/SC 2015) &RQVLGHUHDVHQWHQoD6HFRPHWLXPFULPHHQWmRVHUHLFRQGHQDGR8PDVHQWHQoDORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjVHQWHQoDGDGDp (A) No cometi um crime ou serei condenado. (B) Se no cometi um crime, ento no serei condenado. (C) Se eu for condenado, ento cometi um crime. (D) Cometi um crime e serei condenado. (E) No cometi um crime e no serei condenado. RESOLUO: Temos a condicional pq no enunciado, onde: p = cometi um crime q = serei condenado

(ODpHTXLYDOHQWHDaTaSHWDPEpPDaSRXT3DUDLVVRQRWHTXH ~p = NO cometi um crime ~q = NO serei condenado

$VVLPWHPRVDVHTXLYDOrQFLDVaTaSHaSRXTDEDLxo: 6H12IRUFRQGHQDGRHQWmR12FRPHWLXPFULPH

e

12FRPHWLXPFULPH28VHUHLFRQGHQDGR

Temos esta ltima na alternativa A. Resposta: A




31. CESPE TRE/BA 2009) $QHJDomRGDSURSRVLomR2SUHVLGHQWHpRPHPEURmais antigo do tribunal e o corregedor o vice-SUHVLGHQWH p 2 SUHVLGHQWH p Rmembro mais novo do tribunal e o corregedor no o vice-SUHVLGHQWH RESOLUO: Para desmentir o autor da primeira frase (que uma conjuno), precisaramos provar que pelo menos uma das suas afirmaes no verdadeira. Assim, a negao seria simplesmente: O presidente no o membro mais antigo do tribunal OU o corregedor no o vice-presidente. Item ERRADO. Resposta: E

32. CESPE STF 2008) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho.

A resposta branda acalma o corao irado. O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem.

Se o filho honesto ento o pai exemplo de integridade.

Tendo como referncia as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. ( ) A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno. ( ) A segunda frase uma proposio lgica simples. ( ) A terceira frase uma proposio lgica composta. ( ) A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos. RESOLUO: ( ) A primeira frase composta por duas proposies lgicas simples unidas pelo conectivo de conjuno. ERRADO. Trata-VH GH XP SHGLGR GR SDL 1mR p SRVVtYHO DWULEXLU YDORUHVlgicos (V ou F), portanto no temos proposies.

( ) A segunda frase uma proposio lgica simples. CERTO. Aqui possvel atribuir valor V ou F.

( ) A terceira frase uma proposio lgica composta. ERRADO. Temos uma proposio simples.




( ) A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos. ERRADO. Temos apenas 1 conectivo lgico, que a condicional ou implicao.

Resposta: E C E E

33. CESPE Polcia Federal 2009) As proposies [ (~ )] (~ )A B A o e [(~ ) ] (~ )A B A so equivalentes. RESOLUO: Duas proposies so equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade. Portanto, devemos construir a tabela verdade de cada uma delas. Inicialmente, veja que ambas possuem apenas 2 proposies simples (A e B). O nmero de linhas da tabela-verdade igual a 2n, onde n o nmero de proposies simples (neste caso, n = 2). Portanto, teremos 4 linhas em cada tabela. Vamos comear montando a tabela para [ (~ )] (~ )A B A o . Devemos seguir os passos abaixo:

1. Escrever todas as possveis combinaes de valores lgicos (V ou F) para A e B: Valor lgico

de A Valor lgico

de B V V V F F V F F

2. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de ~B (ser o oposto do valor lgico de B):

Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de ~B

V V F V F V F V F F F V




3. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de (~ )A B . Como trata-se GHXPDGLVMXQomRRXHODVypIDOVDTXDQGR$Ha%VmRDPERVIDOVRV

Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de ~B

Valor de (~ )A B

V V F V V F V V F V F F F F V V

4. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de ~A (sero o oposto de A): Valor lgico

de A Valor lgico

de B Valor lgico

de ~B Valor

de (~ )A B Valor lgico

de ~A

V V F V F V F V V F F V F F V F F V V V

5. Inserir a ltima coluna, colocando os valores lgicos de [ (~ )] (~ )A B A o . Por se tratar de uma condicional, ela s ser falsa quando a condio ( [ (~ )]A B ) for falsa e o resultado (~ )A verdadeiro:

Valor lgico de

A

Valor lgico de

B

Valor lgico de

~B

Valor de (~ )A B

Valor lgico de

~A

[ (~ )] (~ )A B A o

V V F V F F V F V V F F F V F F V V F F V V V V

Podemos obter a tabela verdade de [(~ ) ] (~ )A B A seguindo os mesmos passos. Tente mont-la. O resultado ser a tabela abaixo:




Valor lgico de

A

Valor lgico de

B

Valor lgico de

~A

Valor de (~ )A B

Valor lgico de

~A

Valor de [(~ ) ] (~ )A B A

V V F F F F V F F F F F F V V V V V F F V F V V

Note que as tabelas-verdade de [ (~ )] (~ )A B A o igual de [(~ ) ] (~ )A B A . Portanto, essas proposies so equivalentes. Resposta: C (certo).

34. CESPE Polcia Militar/AC 2008) Considere as seguintes proposies: A 6 - 1 = 7 ou 6 + 1 > 2 B 6 + 3 > 8 e 6 - 3 = 4 C 9 3 > 25 ou 6 7 < 45 D 5 + 2 um nmero primo e todo nmero primo mpar. Nesse caso, entre essas 4 proposies, apenas duas so F. RESOLUO: Vejamos: A 6 - 1 = 7 ou 6 + 1 > 2 Nessa disjuno, sabemos que 6 + 1 maior que 2. Assim, a proposio inteira V.

B 6 + 3 > 8 e 6 - 3 = 4 Aqui vemos que 6 3 no igual a 4. Isso torna a segunda proposio sLPSOHV)DOVD&RPRWHPRVXPDFRQMXQomRHRQGHXPDSURSRVLomRp)HQWmRDfrase inteira F.

C 9 3 > 25 ou 6 7 < 45 Veja que 9 x 3 maior que 25, o que suficiente para afirmar que a disjuno V.




D 5 + 2 um nmero primo e todo nmero primo mpar. Aqui temos uma conjuno, onde a primeira parte V (5 + 2 = 7, que primo), porm a segunda parte F (o nmero 2 primo, porm par). Assim, a conjuno F. Portanto, apenas 2 proposies so F (B e D). Item CERTO. Resposta: C

35. CESPE Polcia Militar/AC 2008) Considere as seguintes proposies: A) 3 + 4 = 7 ou 7 - 4 = 3 B) 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8 C) 32 = -1 ou 32 = 9 D) 32 = -1 ou 32 = 1 Nesse caso, entre essas 4 proposies, apenas duas so V. RESOLUO: Vamos analisar cada proposio: A 3 + 4 = 7 ou 7 - 4 = 3

9HMDTXHpUHDOPHQWHLJXDOD3DUDXPDGLVMXQomRRXVHU9EDVWDque pelo menos uma das proposies simples seja V. Nem precisaramos analisar se 7 4 realmente igual a 3.

B 3 + 4 = 7 ou 3 + 4 > 8 Assim como vimos acima, 3+4 realmente igual a 7, o que j torna a disjuno V.

C 32 = -1 ou 32 = 9 Como 32 realmente igual a 9, j temos elementos suficientes para dizer que essa disjuno V.

D 32 = -1 ou 32 = 1 Veja que ambas as proposies simples desta disjuno so F. Isso torna a disjuno Falsa.

Portanto, 3 proposies so V e uma F, o que torna o item ERRADO.

Resposta: E




36. CESPE Polcia Militar/AC 2008) Considere as seguintes sentenas: I O Acre um estado da Regio Nordeste. II Voc viu o cometa Halley? III H vida no planeta Marte. IV Se x < 2, ento x + 3 > 1. Nesse caso, entre essas 4 sentenas, apenas duas so proposies. RESOLUO: Veja que a primeira frase uma afirmao, que pode ser Verdadeira ou Falsa (neste caso, sabemos que falsa). Portanto, trata-se de uma proposio. O mesmo vale para a terceira frase. A segunda frase uma pergunta, no podendo ser valorada como V ou F. Assim, no uma proposio. A ltima frase uma condicional. Trata-se de uma proposio aberta, que pode ser V ou F dependendo dos valores da varivel x. Portanto, 3 sentenas so proposies (I, III e IV). Item ERRADO. Resposta: E

37. CESPE MPS 2009) Julgue os itens que se seguem, acerca de tautologia, proposies e operaes com conjuntos. ( ) Considerando as proposies P e Q e os smbolos lgicos: (negao); v (ou); ^ (e); (se, ... ento), correto afirmar que a proposio (P)^Q (P)v Q uma tautologia. ( ) Se A for um conjunto no vazio e se o nmero de elementos do conjunto A B for igual ao nmero de elementos do conjunto A B , ento o conjunto B ter pelo menos um elemento. $QHJDomRGDSURSRVLomR3HGURQmRVRIUHXDFLGHQWHGHWUDEDOKRRX3HGURHVWiDSRVHQWDGRp3HGURVRIUeu acidente de trabalho RX3HGURQmRHVWiDSRVHQWDGR RESOLUO: ( ) Considerando as proposies P e Q e os smbolos lgicos: (negao); v (ou); ^ (e); (se, ... ento), correto afirmar que a proposio (P)^Q (P)v Q uma tautologia.




Vamos construir a tabela-verdade dessa proposio: p q ~p ~q (P)^Q (P)v Q (P)^Q

(P)v Q V V F F F V V V F F V F F V F V V F V V V F F V V F V V

Observando a coluna da direita, vemos que a expresso sempre Verdadeira, independentemente dos valores lgicos de P e Q. Portanto, trata-se de uma Tautologia. Item CERTO.

( ) Se A for um conjunto no vazio e se o nmero de elementos do conjunto A B for igual ao nmero de elementos do conjunto A B , ento o conjunto B ter pelo menos um elemento. Se o nmero de elementos comuns aos 2 conjuntos (interseco) igual ao total de elementos dos 2 conjuntos (unio), podemos afirmar que os conjuntos A e B so iguais. Como A no vazio, ele tem pelo menos um elemento. O mesmo ocorre com B. Item CERTO.

$QHJDomRGDSURSRVLomR3HGURQmRVRIUHXDFLGHQWHGHWUDEDOKRRX3HGURHVWiDSRVHQWDGRp3HGURVRIUHXDFLGHQWHGHWUDEDOKRRX3HGURQmRHVWiDSRVHQWDGR Para desmentir o autor da primeira proposio, precisaramos provar que nenhuma das afirmaes verdadeira (pois se trata de uma disjuno). Assim, a negao feita com a conjuno: Pedro sofreu acidente de trabalho E Pedro no est aposentado. Item ERRADO. Resposta: C C E

38. CESPE PREVIC 2011) Um argumento uma sequncia finita de proposies, que so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Um argumento vlido quando contm proposies assumidas como verdadeiras nesse caso, denominadas premissas e as demais proposies so inseridas na sequncia que constitui esse argumento porque so verdadeiras em consequncia da veracidade das premissas e de proposies anteriores. A




ltima proposio de um argumento chamada concluso. Perceber a forma de um argumento o aspecto primordial para se decidir sua validade. Duas proposies so logicamente equivalentes quando tm as mesmas valoraes V ou F. Se uma proposio for verdadeira, ento a sua negao ser falsa, e vice-versa. Com base nessas informaes, julgue o item a seguir. $QHJDomRGDSURSRVLomR 6HXP WUDEDOKDGRU WLQKDTXDOLGDGHGHVHJXUDGRGDSUHYLGrQFLD VRFLDO DR IDOHFHU HQWmR VHXV GHSHQGHQWHV WrP GLUHLWR D SHQVmR pORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR8PWUDEDOKDGRUWLQKDTXDOLGDGHGHVHJXUDGRda previdncia sRFLDODRIDOHFHUPDVVHXVGHSHQGHQWHVQmRWrPGLUHLWRDSHQVmR RESOLUO: A primeira proposio p q, onde p = o trabalhador era segurado e q = os dependentes tem direito a penso (resumidamente). J a segunda proposio p e ~q. Temos, de fato, a negao de pq, pois a condio (p) foi cumprida e, mesmo assim, o resultado (q) no ocorreu. Item CERTO. Resposta: C

39. CESPE TRE/ES 2011) Entende-se por proposio todo conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto , que afirmam fatos ou exprimam juzos a respeito de determinados entes. Na lgica bivalente, esse juzo, que conhecido como valor lgico da proposio, pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), sendo objeto de estudo desse ramo da lgica apenas as proposies que atendam ao princpio da no contradio, em que uma proposio no pode ser simultaneamente verdadeira e falsa; e ao princpio do terceiro excludo, em que os nicos valores lgicos possveis para uma proposio so verdadeiro e falso. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir. ( ) Segundo os princpios da no contradio e do terceiro excludo, a uma proposio pode ser atribudo um e somente um valor lgico. $IUDVH4XHGLDPDUDYLOKRVRFRQVLVWHHPXPDSURSRVLomRREMHWR de estudo da lgica bivalente. RESOLUO: Vamos analisar as proposies dadas: ( ) Segundo os princpios da no contradio e do terceiro excludo, a uma proposio pode ser atribudo um e somente um valor lgico.




CERTO. Como uma proposio no pode ser V e F ao mesmo tempo (no contradio), e deve obrigatoriamente ter um desses 2 valores lgicos, podemos concluir que uma proposio sempre ter um, e apenas um valor lgico: ou V, ou F.

$IUDVH4XHGLDPDUDYLOKRVRFRQVLVWHHPXPDSURSRVLomRREMeto de estudo da lgica bivalente. ERRADO. Uma frase como essa no pode ser classificada em Verdadeira ou Falsa, portanto no uma proposio. Veja que, ainda que voc discorde do autor da frase (ou seja, voc no considere o dia maravilhoso), voc no pode dizer que a opinio do autor Falsa. Resposta: C E

40. CESPE Polcia Federal 2009) 6H$IRUDSURSRVLomR7RGRVRVSROLFLDLVVmRKRQHVWRV HQWmR D SURSRVLomR $ HVWDUi HQXQFLDGD FRUUHWDPHQWH SRU 1HQKXPSROLFLDOpKRQHVWR RESOLUO: Se Joo nRVGL]TXHWRGRVRVSROLFLDLVVmRKRQHVWRVEDVWDHQFRQWUDUPRVpolicial desonesto e j teremos argumento suficiente para desmentir Joo, isto , negar a sua afirmao. Portanto, basta dizer alguma das frases abaixo: - 3HORPHQRVXPSROLFLDOQmRpKRQHVWRRX - $OJXPSROLFLDOQmRpKRQHVWRRX - ([LVWHSROLFLDOTXHQmRpKRQHVWRRX - 1mRpYHUGDGHTXHWRGRVRVSROLFLDLVVmRKRQHVWRV -i1HQKXPSROLFLDOpKRQHVWRVHULDDQHJDomRGHSURSRVLo}HVFRPR3HORPHQRVXPSROLFLDOpKRQHVWRRX([LVWHDOJXPSROLFLDOKRQHVWR Resposta: E (errado).

41. CESPE ABIN 2010) Julgue os itens a seguir. $ QHJDomR GD SURSRVLomR HVWHV SDSpLV VmR UDVFXQKRV RX QmR WrP PDLVVHUYHQWLDSDUDRGHVHQYROYLPHQWRGRVWUDEDOKRVpHTXLYDOHQWHDHVWHVSDSpLVQmRVmRUDVFXQKRVHWrPVHUYHQWLDSDUDRGHVHQYROYLPHQWRGRVWUDEDOKRV $ SURSRVLomR XP SDSHO p UDVFXQKR RX QmR WHP PDLV VHUYHQWLD SDUD RGHVHQYROYLPHQWRGRVWUDEDOKRVpHTXLYDOHQWHDVHXPSDSHOWHPVHUYHQWLDSDUDRdesenvolvimento dos trabalhos, entmRpXPUDVFXQKR




RESOLUO: - primeiro item: $QHJDomRGHSRXTpGDGDSRUQmR-p e no-TLVWRpSUHFLVDPRVQHJDURV GRLV ODGRV H FULDU XPD FRQMXQomR (VWHV SDSpLV no so rascunhos e tm serventia ,WHP&(572 - segundo item: 8PSDSHOpUDVFXQKRRXQmRWHPPDLVVHUYHQWLDpXPDSURSRVLomRGRWLSRSRXTRQGHS XPSDSHOpUDVFXQKRHT XPSDSHOQmRWHPPDLVVHUYHQWLD

-iDSURSRVLomR VHXPSDSHO WHPVHUYHQWLDHQWmRpXP UDVFXQKRVHULDaT S9HMDPRVDWDEHOD-verdade dessas duas proposies:

p q ~q p ou q ~q p V V F V V V F V V V F V F V V F F V F F

Note que as duas colunas da direita so iguais, isto , as proposies so equivalentes. Item CERTO. Resposta: C C

42. CESPE Polcia Federal 2009) As proposieV6HRGHOHJDGRQmRSUHQGHUo chefe da quadrilha, ento a operao agarra no ser bem-VXFHGLGD H 6H Rdelegado prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra ser bem-VXFHGLGDVmRHTXLYDOHQWHV RESOLUO: Vamos trabalhar com as 2 proposies simples abaixo:

p: o delegado no prender o chefe da quadrilha q: a operao no ser bem-sucedida

A primeira afirmao nos diz pq. Sabemos que, se a condio acontecer (p for Verdadeira), obrigatoriamente o resultado deve acontecer (q deve ser Verdadeiro).




Agora, se a condio no ocorrer (p for Falsa, ou seja, ~p for Verdadeira), nada podemos afirmar a respeito do resultado (q). Ele pode ser F ou V, e ainda assim a afirmao pq continua verdadeira. Ou seja, no podemos afirmar ~pq , nem afirmar ~p~q. Note que a segunda frase do enunciado justamente uma das que no podemos afirmar: ~p~q. Portanto, este item est errado. Resposta: E (errado) Obs.: note que poderamos afirmar que, caso o resultado no ocorresse (~q), a condio certamente no poderia ter ocorrido (~p), pois se ela tivesse ocorrido tornaria obrigatria a ocorrncia do resultado. Isto , poderamos afirmar que ~q~p. por isso que dizemos que as proposies pq e ~q~p so equivalentes.

43. CESPE Polcia Civil/ES 2011) Para descobrir qual dos assaltantes Gavio ou Falco ficou com o dinheiro roubado de uma agncia bancria, o delegado constatou os seguintes fatos: F1 se Gavio e Falco saram da cidade, ento o dinheiro no ficou com Gavio; F2 se havia um caixa eletrnico em frente ao banco, ento o dinheiro ficou com Gavio; F3 Gavio e Falco saram da cidade; F4 havia um caixa eletrnico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue mulher de Gavio. Considerando que as proposies F1, F2, F3 e F4 sejam verdadeiras, julgue os itens subsequentes, com base nas regras de deduo. $QHJDomRGDSURSRVLomR)pORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR1mRKDYLDum caixa eletrnico em frente ao banco ou o dinheiro no foi entregue mulher de *DYLmR $SURSRVLomRO dinheiro foi entregue PXOKHUGH*DYLmRpYHUGDGHLUD $SURSRVLomR)pORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR6HRGLQKHLURQmRILFRXFRP*DYLmRHQWmRQmRKDYLDXPFDL[DHOHWU{QLFRHPIUHQWHDREDQFR RESOLUO: ( ) A negao da proposio F4 ORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR1mRKDYLDum caixa eletrnico em frente ao banco ou o dinheiro no foi entregue mulher de *DYLmR




F4 uma disjuno (p ou q), onde p = havia um caixa eletrnico em frente ao banco, e q = o dinheiro foi entregue mulher de Gavio. A sua negao uma conjuno (~p e ~q): No havia um caixa eletrnico em frente ao banco E o dinheiro no foi entregue mulher de Gavio. J a proposio dada nesse item ~p ou ~q, que no equivalente a ~p e ~q. Item ERRADO.

( ) $SURSRVLomR2GLQKHLURIRLHQWUHJXHjPXOKHUGH*DYLmRpYHUGDGHLUD Para descobrir se essa proposio verdadeira, precisamos analisar as 4 dadas pelo enunciado. Com a informao da proposio simples (F3) em mos, vamos analisar a F1: F1 se Gavio e Falco saram da cidade, ento o dinheiro no ficou com Gavio; Nessa condicional, a primeira parte V, portanto a segunda deve ser V tambm: o dinheiro no ficou com Gavio. Vejamos F2: F2 se havia um caixa eletrnico em frente ao banco, ento o dinheiro ficou com Gavio; Nessa condicional, a segunda parte F, logo a primeira deve ser F tambm. Assim, no havia um caixa eletrnico em frente ao banco. Vejamos F4: F4 havia um caixa eletrnico em frente ao banco ou o dinheiro foi entregue mulher de Gavio. Nessa disjuno, a primeira parte F, portanto a segunda tem de ser V: o dinheiro foi entregue mulher de Gavio. Assim, esse item est CERTO.

$SURSRVLomR)pORJLFDPHQWHHTXLYDOHQWHjSURSRVLomR6HRGLQKHLURQmRILFRXcom Gavio, eQWmRQmRKDYLDXPFDL[DHOHWU{QLFRHPIUHQWHDREDQFR F2 do tipo pq, onde p = havia um caixa eletrnico em frente ao banco, e q = o dinheiro ficou com Gavio. J a frase desse item seria ~q ~p. Sabemos que p q equivalente a ~q ~p, portanto o item est CERTO. Resposta: E C C




44. CESPE Polcia Federal 2009) Independentemente dos valores lgicos atribudos s proposies A e B, a proposio [( ) (~ )] (~ )A B B Ao o tem somente o valor lgico F. RESOLUO: Uma proposio que Falsa em todos os casos chamada de contradio. Para descobrir se a proposio do enunciado uma contradio, devemos montar a sua tabela-verdade. Vamos seguir os passos abaixo:

1. Escrever todas as possveis combinaes de valores lgicos (V ou F) para A e B: Valor lgico

de A Valor lgico

de B V V V F F V F F

2. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de A Bo (que s falso quando A V e B F):

Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de A Bo

V V V V F F F V V F F V

3. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de ~ B (que o oposto do valor lgico de B):

Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de A Bo

Valor lgico de ~B

V V V F V F F V F V V F F F V V




4. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de [( ) (~ )]A B Bo , que XPDFRQMXQomRHVHQGRYHUGDGHLUDDSHQDVTXDQGRDPERVRVPHPEURVVmRverdadeiros: Valor lgico

de A Valor lgico

de B Valor lgico de A Bo

Valor lgico de ~B

Valor lgico de [( ) (~ )]A B Bo

V V V F F V F F V F F V V F F F F V V V

5. Inserir mais 1 coluna, colocando os valores lgicos de (oposto dos valores de A) Valor

lgico de A

Valor lgico de

B

Valor lgico de

A Bo

Valor lgico de ~B

Valor lgico de [( ) (~ )]A B Bo

Valor lgico de

~A

V V V F F F V F F V F F F V V F F V F F V V V V

6. Inserir uma ltima coluna com os valores lgicos de [( ) (~ )] (~ )A B B Ao o , que uma condicional, portanto s falsa quando o primeiro membro V e o segundo F: Valor lgico de A

Valor lgico de B

Valor lgico de

A Bo

Valor lgico de ~B

Valor lgico de

[( ) (~ )]A B Bo Valor lgico de ~A

Valor lgico de

[( ) (~ )] (~ )A B B Ao o

V V V F F F V V F F V F F V F V V F F V V F F V V V V V

Observe que a expresso [( ) (~ )] (~ )A B B Ao o possui valor Verdadeiro para qualquer valor lgico de A e de B. Portanto, no se trata de uma contradio, mas sim de uma tautologia. Resposta: E (errado)




45. CESPE Polcia Militar/CE 2008) Julgue os itens a seguir. ( ) Se Q o conjunto dos nmeros racionais, ento a proposio

2( )( )( 1 0)x x Q x x julgada como V. ( ) Se N o conjunto dos nmeros inteiros, ento a proposio ( )( )[( 1) ( 1) divisvel por 3]x x N x x x julgada como V.

RESOLUO: ( ) Se Q o conjunto dos nmeros racionais, ento a proposio

2( )( )( 1 0)x x Q x x julgada como V. Veja que temos aqui uma questo de lgica de primeira ordem. A expresso GRHQXQFLDGRSRGHVHU OLGDDVVLP H[LVWH[SHUWHQFHQWHDRFRQMXQWRGRVQ~PHURVracionais tal que 2 1 0x x 3DUD YHULILFDU VH HVWD SURSRVLomR p YHUGDGHLUDvejamos quais valores de x nos permitem resolver esta equao de segundo grau. As razes dessa equao so dadas pela frmula de Bskara:

22 1 1 4 1 ( 1)42 2 1

1 52

b b a cx

a

x

r u u r u u u u r

Portanto, os valores de x que atendem a equao so 1 52

e

1 52

.

Como 5 um nmero irracional ( 5 2,236067977... ), ento apenas valores irracionais de x atendem a equao 2 1 0x x . Portanto, no conjunto dos nmeros racionais, a proposio dada Falsa. Item ERRADO. Veja que, se estivssemos no conjunto dos nmeros reais, a proposio seria verdadeira.

( ) Se N o conjunto dos nmeros inteiros, ento a proposio ( )( )[( 1) ( 1) divisvel por 3]x x N x x x julgada como V.

3RGHPRV OHU D H[SUHVVmR DVVLP SDUD WRGR [ SHUWHQFHQWH DR FRQMXQWR GRVnmeros naturais, o nmero dado pela multiplicao entre (x-1), x e (x+1) divisvel SRU2EVHUYHTXHRVQ~PHURV[-1, x e x+1 so consecutivos. Exemplificando, se x = 7, teramos x-1=6 e x+1=8. Observe que, quando temos trs nmeros consecutivos, um deles sempre mltiplo de 3 (no exemplo dado, x-1=6 mltiplo de 3). Portanto, esse nmero ser divisvel por 3, tornando Verdadeira a proposio dada.




Item CORRETO. Resposta: E C Obs.: segue abaixo uma pequena reviso sobre equaes de segundo grau, cujos conceitos usamos para resolver o primeiro item desta questo. Uma equao de segundo grau, do tipo 2 0ax bx c , onde a, b e c so chamados coeficientes, possui duas razes (ou seja, valores que resolvem a equao):

2

14

2b b a c

xa

u u u e 2

24

2b b a c

xa

u u u Podemos escrever as duas razes acima atravs da expresso abaixo, conhecida como frmula de Bskara:

2 42

b b a cx

a

r u u u

46. CESPE DETRAN/DF 2009) Considerando que A, B e C sejam proposies, que os smbolos e UHSUHVHQWDPRVFRQHFWLYRV RXH H UHVSHFWLYDPHQWHHque o smbolo denota o modificador negao, julgue os itens a seguir. ( ) Se a proposio AB C verdadeira, ento C necessariamente verdadeira. ( ) Se a proposio ABC verdadeira, ento a proposio ( )C A B o tambm verdadeira.

( ) A proposio @( ) [( ) ( )A B A B sempre falsa. RESOLUO: Vamos analisar cada item do enunciado: ( ) Se a proposio AB C verdadeira, ento C necessariamente verdadeira. ERRADO. Essa condicional pode ser verdadeira, por exemplo, se a primeira parte for falsa (AB) e a segunda parte for falsa, isto , C for Falsa.

( ) Se a proposio ABC verdadeira, ento a proposio ( )C A B o tambm verdadeira. CERTO. Veja que, se voc considerar p = AB, e q = C, a estrutura do enunciado justamente:

6HSq verdadeira, ento ~qaSpWDPEpPYHUGDGHLUD Sabemos que a condicional pq equivalente condicional ~q ~p.




( ) A proposio @( ) [( ) ( )A B A B sempre falsa. CERTO. Veja que temos uma conjuno entre as proposies ( )A B e

@[( ) ( )A B . Para que essa conjuno seja verdadeira, ambos os seus lados precisam ser verdadeiros. Vamos analisar cada um dos lados.

Note que @[( ) ( )A B outra conjuno, neste caso entre A e B. Para ela ser verdadeira, tanto A quanto B precisam ser verdadeiros.

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