raciocínio lógico - aula 11

8/19/2019 Raciocínio Lógico - Aula 11

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados emExercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 11 - Questões Comentadas e Resolvidas

Estimação de Parâmetros. Estimador e estimativa, justeza, vício de

estimação, eficiência, erro quadrático médio, método da máximaverossimilhança. Estimação por ponto e por intervalo. Intervalos deconfiança.

Gostaríamos de tecer alguns comentários antes de iniciarmos a nossa aula dehoje. Primeiramente, sabemos que o assunto “Estimação” não é óbvio. Nãoobstante, este tópico está sendo cobrado nas últimas provas para Analista doBACEN, Analista da SUSEP, Fiscal do ICMS-RJ, etc. Logo, você precisa adquiriruma noção desta matéria, ainda que não consiga entender 100% do queensinaremos para você nesta aula. Mas quem disse que o(a) candidato(a)

aprovado(a) é aquele(a) que sabe 100% de tudo que cai na prova?!Em segundo lugar, e que talvez seja o ponto mais importante seconsiderarmos a “média” de tudo que vem sendo cobrado pelas bancas deRaciocínio Lógico Quantitativo na parte de Estatística, esta aula visa criar umaponte para as próximas duas aulas, as quais cobrirão tópicos que têm sidocobrados com frequência nas provas da área fiscal e correlatas, a saber: testesde hipóteses e inferência estatística e análise de variância do modelo deregressão linear.

Como a nossa política é ensinar o que poderá cair na prova, e nãosimplesmente colocar você para memorizar fórmulas que não fazem o menorsentido, optamos por incluir esta aula “ponte” entre a aula anterior e aspróximas duas aulas visando a um melhor aproveitamento da parte deEstatística do curso.

Are you ready ? Let’s go! Voltemos à nossa aula.

1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para examinar a opinião de uma população sobreuma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta.

Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desseresultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontospercentuais, para mais ou para menos.

Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual,para mais ou para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativaque indique o número de pessoas que deveriam ser ouvidas.

A) 840

B) 2520C) 3360


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D) 5040

E) 6720

Resolução

PRELIMINARES: ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

INTRODUÇÃO

A partir desta aula, focaremos o estudo da Inferência Estatística, cujoobjetivo é inferir propriedades da população a partir de uma amostra.

A Inferência Estatística pode ser dividida em duas partes: estimação deparâmetros e testes de hipóteses. Nesta aula abordaremos a estimação,

mas apenas no que diz respeito à estimação dos parâmetros de umadistribuição populacional.

A teoria da Probabilidade fornece vários modelos probabilísticos (distribuiçõesde probabilidades), tais como binomial, Poisson, normal, etc. Tais modelosrepresentam famílias de distribuições que dependem de um ou maisparâmetros. Por exemplo, uma distribuição normal é caracterizada pela médiaµ e desvio-padrão σ .

Quando descrevemos uma população, fazemos isso por meio de algum modelo

probabilístico, cujos parâmetros, portanto, devem ser estimados da melhorforma possível com base na amostra obtida.

Há duas técnicas de estimação de parâmetros: por ponto e porintervalo. Na estimação por ponto, a estimativa do parâmetro populacionalcorresponde a um único valor estimado. Na segunda técnica, constrói-se umintervalo, o qual deverá, com probabilidade conhecida, conter o parâmetro.Neste curso admitiremos, salvo menção em contrário, que aamostragem sempre será aleatória.

ESTIMADOR E ESTIMATIVA

Um estimador (ou estatística) é qualquer função das observações deuma amostra, que será usado no processo de estimação do parâmetropopulacional desejado. A média amostral X , por exemplo, é um estimador damédia µ de uma população. Um estimador é uma variável aleatóriacaracterizada por uma distribuição de probabilidades. Chamamos de estimativa um particular valor assumido por um estimador.

A estimação por ponto consiste em adotar a melhor estimativa possível

como sendo o valor do parâmetro. A qualidade da estimação irá dependerfundamentalmente da escolha do estimador. Assim, dentre os possíveisestimadores que podem ser especificados para um determinado parâmetro


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populacional, devemos ter a preocupação de escolher aquele que melhorsatisfaça as propriedades estatísticas de um bom estimador.

PROPRIEDADES DOS ESTIMADORES

Justeza ou Não Tendenciosidade

Um estimador Θ̂ é justo (ou não viesado, ou não viciado, ou nãotendencioso) se o seu valor esperado (ou média) for igual ao valor doparâmetro θ que se pretende estimar, isto é, se

(1) .ˆ )(E θ=Θ

A Eq. (1) afirma que os valores aleatórios de um estimador justo ocorrerão em

torno do valor do parâmetro, o que é desejável (veja a figura abaixo).

Um estimador não viesado é aquele que, na média, acerta o valorcorreto do parâmetro populacional.

Se o estimador for tendencioso, então a diferença

(2) θ−Θ̂)(E

é o viés (tendência ou vício) do estimador Θ̂ , conforme ilustrado pelapróxima figura. Deste modo, a adoção de um estimador que não seja justoimplica um vício de estimação.


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Exemplo (Média Amostral). Seja uma população com média µ . A média X da amostra aleatória )X,...,X,X( n21 extraída dessa população é dada por

n

X...XXX n21

+++= .

Então, o valor esperado de X é

=

+++=

nX...XXE)X(E n21

( ) ( ) ( ) µ=µ×

=+++=n

nXE

n

1...XE

n

1XE

n

1n21

Portanto, a média amostral é um estimador justo da médiapopulacional, haja vista que a média do estimador é igual à média dapopulação.

Exemplo. Seja uma população com média µ e variância σ2. Verifique que o

estimador da variância populacional definido por

n

)XX(

ˆ

n

1i

2

i2

∑=

−=σ

é viesado.

Nota: o entendimento da demonstração que se segue não é essencial para aprova. Mas é importante saber que o estimador da variânciapopulacional considerado neste exemplo é viesado.

Demonstração:


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Calculemos a esperança de 2σ̂ :

−µ+µ−=

−µ+µ−=

−=σ

∑∑∑ ===n

1i

2

i

n

1i

2

i

n

1i

2

i

2 )]X()X[(En

1)XX(E

n

1)XX(E

n

1)ˆ(E

−µ+−µµ−+µ−=σ ∑=

n

1i

2

i

2

i

2 ])X()X)(X(2)X[(En

1)ˆ(E

−µ+−µµ−+µ−=σ ∑ ∑∑

= ==

n

1i

n

1i

2

i

n

1i

2

i

2 )X()X)(X(2)X(En

1)ˆ(E

−µ+µ−−µ+µ−=σ ∑∑

==

n

1i

2

i

n

1i

2

i

2 )X(n)X()X(2)X(En

1)ˆ(E

como ∑= =n

1i

i XnX , temos que

−µ+µ−−µ+µ−=σ ∑

=

2n

1i

2

i

2 )X(n)X)(X(n2)X(En

1)ˆ(E

−µ+−µ−µ−µ−=σ ∑

=

2n

1i

2

i

2 )X(n)X)(X(n2)X(En

1)ˆ(E

−µ+−µ−µ−=σ ∑

=

22n

1i

2

i

2 )X(n)X(n2)X(En

1)ˆ(E

−µ−µ−=σ ∑

=

2n

1i

2

i

2 )X(n)X(En

1)ˆ(E

levando em conta que 22 )X()X( µ−=−µ , obtemos

µ−−µ−=σ ∑

=

2n

1i

2

i

2 )X(n)X(En

1)ˆ(E

aplicando a expectância, obtemos

µ−−

µ−=σ ∑

=

])X[(nE)X(En

1)ˆ(E 2

n

1i

2

i

2 .

Como a esperança da soma é igual à soma das esperanças, tem-se que

µ−−µ−=σ ∑

=

])X[(nE)X(En

1)ˆ(E 2

n

1i

2

i

2 .

Mas 2i2i )Xvar()X(E σ==µ− e .n/)Xvar(])X[(E 22 σ==µ− Logo,


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.n

1n)n(

n

1

nn

n

1)ˆ(E 2222

2n

1i

22 σ≠σ−

=σ−σ×=

σ−σ=σ ∑

=

Conclui-se que 2σ̂ é um estimador viesado da variância populacional σ 2. Essedefeito do estimador pode ser corrigido se multiplicarmos 2σ̂ pelo fator

)1n/(n − , o que nos leva à definição do estimador

1n

)XX(

ˆ1n

nS

n

1i

2

i22

−

−=σ

−=

∑= ,

o qual, não por acaso, corresponde à variância amostral definida em umaanterior.

Não é difícil mostrar que S2 é um estimador justo da variânciapopulacional:

.n

1n

1n

n)ˆ(E

1n

n)S(E 2222 σ=σ×

−×

−=σ

−=

Consistência

Um estimador é consistente, se, à medida que a amostra cresce,

converge para o verdadeiro valor do parâmetro. Ou seja, quando otamanho da amostra vai aumentando, o viés (se existir) vaidiminuindo e a variância também. Um estimador consistente é aquele queconverge para o valor do parâmetro quando o tamanho da amostra tende ainfinito.

A média amostral é um estimador consistente da média, pois é umestimador justo e para o qual vale

0

n

lim)Xvar(lim2

nn

=

=

→∞→∞

σσσ

em que n denota o tamanho da amostra aleatória.

ESTIMAÇÃO POR PONTO DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL

Se desejarmos estimar a proporção p dos elementos da população com umadada característica, usaremos como estimador a proporção ou freqüênciarelativa p̂ com que essa característica foi observada na amostra. Talprocedimento, além de intuitivo, corresponde a adotar um estimador justo e

consistente, uma vez que


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pn

npE(f)

n

1

n

f E) p̂E( ===

=

n

p) p(1

) p̂var(

−

= ⇒ 0.n p) p(1

lim) p̂var(lim nn =

−

= →∞→∞

ESTIMAÇÃO POR INTERVALO

Intervalo de Confiança para uma Proporção Populacional

Uma freqüência relativa amostral p̂ apresenta uma distribuição binomial, cujamédia é o próprio parâmetro populacional p e cuja variância é dada por

p)/n p(1− . Sendo 5np ≥ e 5 p)n(1 ≥− , é possível aproximar a binomial pelanormal. Como p é desconhecido, adotaremos como condições de aproximação

5 p̂n ≥ e 5) p̂n(1 ≥− .

Sendo a amostra suficientemente grande, o intervalo de confiança para p seráda forma ε p̂ ± , onde ε é a semiamplitude do intervalo, dada por

(3) n

p) p(1z) p̂var(zε α/2α/2

−=×=

em que a grandeza α1− representa o nível de confiança da estimação

( 1α10


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(5) n

) p̂(1 p̂z p̂ α/2

−± .

Exemplo. Retirou-se uma amostra de 1.000 peças de uma linha de produção

e verificou-se que 35 eram defeituosas. Estime o intervalo de confiança aonível de 95% da proporção de peças defeituosas fornecidas pela linha deprodução.

Solução:

n = 1.0000,03535/1.000f/n p̂ ===

1,96zz 2,5%α/2 == (vide tabela da normal reduzida)

Logo,

0,01141.000

0,035)0,035(11,96

n

) p̂(1 p̂zε α/2 =

−×=

−=

0,01140,035 p0,01140,035 +≤≤− ⇒ 0,0464 p0,0236 ≤≤ com 95% de confiança.

Voltemos à resolução da questão.

Dados:

• 0,513 p̂ = : proporção de pessoas favoráveis à proposta;• 1680n = ;• 0,02%2ε == : margem de erro; e• 0,01%1ε' == : margem de erro desejada

Qual é o valor de n’ (novo número de pessoas que deveriam ser ouvidas)correspondente a 0,01ε' = ?

Sabemos que

n

) p̂(1 p̂zε α/2

−= .

Conhecendo 2/α z (não foi fornecido) é possível calcular n’ por meio de

) p̂1( p̂'

z'n

2

2/ −

ε

= α .

Cálculo de 2/α z :


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n

) p̂(1 p̂zε α/2

−= ⇒

1680

)513,01(513,0z02,0 2/

−= α ⇒ .6401,12/ =α z

Cálculo de n’:

22,6720)513,01(513,001,0

6401,1'

2

≈−

=n ⇒ alternativa (E)

Nota: como a estimativa p’ = 0,513 indica que p está próxima de 50%, temosa alternativa de usar a fórmula aproximada

725.601,02

6401,1

'2'

22

0

2/ ≈

×=

=

e

z n α ⇒ valor mais próximo é a alternativa (E).

GABARITO: E

2. (ICMS-RJ/2008/FGV) Considere uma Amostra Aleatória Simples de nunidades extraídas de uma população na qual a característica, X, estudada temdistribuição Normal com média µ e variância σ2, ambas desconhecidas, mas

finitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, ∑=

=n

1i

iXn

1X , e

variância da amostra ∑= −=n

1i

2i

2 )XX(n1S . Então, é correto afirmar que:

A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e davariância da população, respectivamente.

B) X é não tendencioso, mas 2S é tendencioso para a estimação da média eda variância da população, respectivamente.

C) X é tendencioso, mas 2S é não tendencioso para a estimação da média eda variância da população, respectivamente

D) X e2

S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variânciada população, respectivamente.

E) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e davariância da população, mas apenas X é consistente.

Resolução

Sabe-se que

• X é um estimador justo (não tendencioso) e consistente damédia populacional µ;


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• se definirmos o estimador da variância populacional σ2 por meio da

fórmula ∑=

−n

1i

2

i )X(Xn

1, então esse estimador é tendencioso, porém

consistente e

• se definirmos o estimador da variância populacional σ2 por meio da

fórmula ∑=

−−

n

1i

2

i )X(X1n

1, então esse estimador é não tendencioso

e consistente.

Atenção: o estimador 2S do enunciado desta questão corresponde ao

estimador viesado ∑=

−=σn

1i

2

i

2 )X(Xn

1ˆ da exposição teórica da questão anterior.

Neste curso, temos usado o símbolo 2S para denotar o estimador justo davariância populacional. Não se confunda!

Análise das alternativas:

(A) Somente X é não tendencioso ⇒ INCORRETA.

(B) X é não tendencioso e 2S é tendencioso ⇒ CORRETA.

(C) X é não tendencioso e 2S é tendencioso ⇒ INCORRETA.

(D) Somente 2S é tendencioso ⇒ INCORRETA.

(E) Somente X é não tendencioso. Além disso, 2S também é consistente ⇒ INCORRETA.

GABARITO: B

3. (ICMS-RJ/2007/FGV) Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar opercentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turísticopara constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso,selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma populaçãoinfinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse pontoturístico.

Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais oupara menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas,aproximadamente:

A) 50 pessoas

B) 2.400 pessoasC) 1.200 pessoas

D) 100 pessoas


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E) 4.800 pessoas

Resolução

Vimos quen

)' p1(' pz /2

−=ε α . Elevando os dois membros da igualdade ao

quadrado, obtemos

n

)' p1(' pz2 2/

2 −=ε α ⇒ 22

2/ )' p1(' pznε

−= α .

Substituindo p’ = 50% = 1/2 na expressão de n, obtemos

400.2401.202,02

96,1

2

z

4

z1

4

1z4

1z21

21z)

211(

21z

n

22

2/

2

2

2/

2

2

2/2

22/

2

22/

2

22/

≈=

×

=

ε

=ε

=ε

×=ε

=ε

×=

ε−

= αααααα

GABARITO: B

4. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para que o erro padrão damédia amostral X seja reduzido à metade, deve-se

A) multiplicar o tamanho da amostra por 2.

B) multiplicar o tamanho da amostra por 4.C) multiplicar o tamanho da amostra por 16.

D) dividir o tamanho da amostra por 2.

E) dividir o tamanho da amostra por 4.

Resolução

O erro padrão (ou desvio padrão) da média X de uma amostra de n observações proveniente de uma população de média µ e variância σ 2 é dado

por

n)X( σ=σ .

Seja o novo erro padrão de X denotado por )X(∗σ . Então

∗

∗ σ=σ

=σ

=σ

=σnn4n22

)X()X( ⇒ n4n =∗ (deve-se multiplicar o tamanho da

amostra por 4).GABARITO: B


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5. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Os itens 2,30; 4,11; 5,20; 6,30;7,20 formam uma ordenação de uma amostra aleatória de tamanho 5 dadistribuição uniforme no intervalo [0,θ] sendo θ>0. Assinale a opção que

corresponde à estimativa de máxima verossimilhança de θ.

A) 5,20

B) 5,02

C) 7,20

D) 5,00

E) 8,00

Resolução

PRELIMINARES: ESTIMAÇÃO POR MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA

Introdução

Alguns critérios têm sido propostos com o objetivo de resolver o problema daescolha do estimador adequado. Dentre eles, podemos citar os métodos damáxima verossimilhança, dos momentos e de Bayes. Destacamos aimportância, para a prova (e também na prática), do método da máximaverossimilhança, que será apresentado a seguir.

Estimação por Máxima Verossimilhança

Os dicionários definem o termo verossímil como aquilo que parece serverdadeiro ou o que tem probabilidade de ser verdadeiro ou aquilo que seassemelha com a realidade. Neste sentido, qual seria a idéia fundamental daestimação por verossimilhança de um parâmetro populacional? A respostaé a seguinte: a estimação por verossimilhança fornece a estimativa quecorresponde ao valor mais provável do parâmetro.

Vejamos a seguir como a Estatística define o conceito de estimação pormáxima verossimilhança.

O método da máxima verossimilhança consiste em adotar para oparâmetro o valor que maximize a função de verossimilhança associada aoresultado obtido na amostra. Mas o que é a função de verossimilhança?

Definição (Método da Máxima Verossimilhança). Seja uma populaçãocom função densidade de probabilidade caracterizada pelo parâmetropopulacional desconhecido θ. Então a distribuição de probabilidades dessa

população pode ser denotada por );x(f θ . Sejam n observações independentesn21 X,...,X,X (ou seja, uma amostra aleatória com n elementos provenientes da

população em questão). Então a função densidade conjunta para estas


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observações, também conhecida como função de verossimilhança daamostra, é dada por

);x(f ...);x(f );x(f )(L n21 θ××θ×θ=θ .

Note que )(L θ é função somente do parâmetro desconhecido θ. A Estimativa

de Máxima Verossimilhança (EMV) de θ é o valor θ̂ que maximiza a função)(L θ . A raiz da equação 0d/)(dL =θθ (derivada da função )(L θ em relação a θ )

é o ponto de máximo de )(L θ . Em muitos casos, é mais conveniente tomar aprimeira derivada da função de log-verossimilhança )(Lln θ (logaritmo natural

de )(L θ ), a qual possui um máximo no mesmo ponto θ̂ que maximiza )(L θ .Deste modo,

0d

);x(df );x(f

1...d

);x(df );x(f

1d

);x(df );x(f

1 n

n

2

2

1

1

=θ

θθ

++θ

θθ

+θ

θθ

A solução para a equação acima (θ em termos dos xk) é a estimativa demáxima verossimilhança de θ.

Nota: no caso de uma variável aleatória discreta, a função deverossimilhança )(L θ é a probabilidade

)xX,...,xX,xX(P nn2211 ===θ .

Ou seja, )(L θ é apenas a probabilidade de obter os valores amostrais

n21 x,...,x,x . Logo, no caso discreto, a estimativa de máximaverossimilhança é aquela que maximiza a probabilidade de ocorrênciados valores da amostra.

Exemplo. Um jogador de cassino trocou o seu dinheiro por dez fichas, dasquais θ são pretas e 10 – θ são brancas. Uma amostra de quatro fichas comreposição é retirada do seu bolso e verifica-se que ela contém três fichas

brancas e uma ficha preta. Estime o parâmetro θ pelo método da máximaverossimilhança.

Solução:

Devemos determinar a função de verossimilhança correspondente ao resultadoamostral obtido, a qual será dada pela probabilidade de, em uma amostra de n= 4, obter-se exatamente uma ficha preta, dada em função do parâmetrodesconhecido θ. Tal probabilidade pode ser obtida pela aplicação dadistribuição binomial, em que a probabilidade de sucesso será 10/ p θ= , n = 4 e

x = 1. Designando por )(L θ a função de verossimilhança, temos


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500.2

)10(

101

101

4) p1( p

x

n)(L

331

xnx θ−θ=

θ−

θ

= −

=θ −

A Tabela a seguir mostra que o valor de máxima verossimilhança é 3=θ . Logo,a estimativa de máxima verossimilhança é 3ˆ =θ .

θθθ L(θθθ) θθθ L(θθθ)0 0 6 384/2.5001 729/2.500 7 189/2.5002 1.024/2.500 8 64/2.5003 1.029/2.500 9 9/2.5004 864/2.500 10 05 625/2.500

Exemplo. Suponha uma população com distribuição uniforme entre 0 e θ.Retirou-se uma amostra aleatória de n valores dessa população com o objetivode estimar-se θ. Admita que maxx seja o maior valor obtido nessa amostra.

Calcule a EMV de θ.

Solução:

Evidentemente que maxx≥θ . Logo, a estimativa “mais verossímil” (ou a EMV) é

adotar maxxˆ =θ . Contudo, detalhemos o raciocínio como a seguir.

Sabe-se que maxx≥θ . A função densidade de probabilidade da distribuiçãouniforme é θ= /1)x(f para θ≤≤ x0 e 0)x(f = caso contrário.

A função de verossimilhança de uma amostra aleatória com n observações é

n

n

1i

11)(L

θ=

θ=θ ∏

=

,

Cujo domínio é maxx≥θ , ou seja, o menor valor possível para o parâmetro θ émaxx=θ . O gráfico abaixo mostra que o maior valor (máximo absoluto) de )(L θ

ocorre em maxx=θ . Portanto, a EMV é maxxˆ =θ .


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Este exemplo indica que nem sempre é possível usar diretamente métodos de

cálculo para determinar o máximo de )(θ L .

Voltemos à resolução

O enunciado fornece uma amostra aleatória com cinco elementos extraídos deuma distribuição uniforme:

}20,7x;30,6x;20,5x;11,4x;30,2x{ 54321 ===== .

O valor máximo da amostra é 20,7xx 5max == . A Estimativa de Máxima

Verossimilhança (EMV) de θ é 20,7xˆ max ==θ (alternativa C).

GABARITO: C

6. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Tem-se duas amostrasindependentes ambas de tamanho 21 de duas populações normais com amesma variância σ2 > 0. Deseja-se construir um intervalo de confiança paraσ2, no nível de 95%, com base numa estimativa combinada das variânciasamostrais 4,0s21 = e 6,0s

2

2 = . Se 0< a < b são duas constantes tais que P{Xb} = 0,025, onde X tem distribuição qui-quadrado, assinale aresposta que corresponde ao intervalo procurado e ao número de graus deliberdade da distribuição de X.

A) [17/b; 17/a] e 20 graus de liberdade

B) [5/3b; 5/2a] e 40 graus de liberdade

C) [17/b; 17/a] e 41 graus de liberdade

D) [20/b; 20/a] e 40 graus de liberdade

E) [5/3b; 5/2a] e 20 graus de liberdade

Resolução


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PRELIMINARES

Estimação com Base em Diversas Amostras

Sejam k amostras e um parâmetro populacional a ser estimado. Cada amostrafornecerá uma estimativa para o parâmetro que está sendo estimado e essasestimativas irão diferir entre si, pois correspondem a observações de variáveisaleatórias. Entretanto, pode-se, em geral, combinar esses resultados, obtendo-se uma estimativa única para o parâmetro em questão.

No caso de estimação da média µ µµ ou de uma proporção p, pode-secombinar as estimativas se todas as amostras forem provenientes deuma mesma população ou de populações infinitas com mesma média µ µµ e mesma proporção p. Ou seja, pode-se calcular a média ponderada das

diversas médias e freqüências relativas amostrais tomando comopesos de ponderação os tamanhos das respectivas amostras. Issoequivale a fundir as diversas amostras em uma única amostra maior, usando amédia X e a freqüência p̂ fornecidas por essa amostra.

No caso da variância populacional σσσ2, deve-se realizar a ponderaçãousando como pesos os graus de liberdade (*) de cada amostra. Seja n1 o tamanho da amostra 1, n2 o tamanho da amostra 2, ..., nk o tamanho daamostra k (as amostras i, i = 1,2,...,k, possuem desvio padrão S i). Então aestimativa combinada de σσσ2 será dada pela estatística

k n...nn

S)1n(...S)1n(S)1n(S

k 21

2

k k

2

22

2

112

p −+++−++−+−

= ,

que possui k n...nn k 21 −+++ graus de liberdade.

(*) Considere a amostra k. O número de graus de liberdade da estatística 2k S é)1n( k − porque um grau de liberdade já foi “gasto” para estimar a média

amostral k X . Lembre que o cálculo de k X é dado por

k

n21

k n

x...xxX k

+++=

e isto implica dizer que a estatística k X possui nk graus de liberdade.

Note-se que a estimativa não será idêntica à que se obteria pela reunião dosdados em uma amostra única, embora ambos os processos sejam válidos nascondições acima mencionadas.


17/53




A estimativa 2 pS tem a vantagem de poder ser usada se as diversas amostras

forem provenientes de populações com médias diferentes, porém de mesmavariância σ 2.

Se as amostras forem razoavelmente grandes, poderemos adotar pS comouma boa estimativa para o desvio padrão σ.

Intervalo de Confiança para a Variância

Considere, na distribuição 2 1n−χ , os dois particulares valores2

2/1,1n α−−χ (qui-

quadrado inferior) e 2 2/,1n α−χ (qui-quadrado superior), conforme ilustrado pela

figura a seguir (α /2 representa a área sob a distribuição à direita de 2 2/,1n α−χ ).

Sabemos que os valores 2 2/1,1n α−−χ e2

2/,1n α−χ são tais que

.1)(P 2 2/,1n2

1n2

2/1,1n α−=χ≤χ≤χ α−−α−−

Vimos que o estimador da variância tem distribuição

2

1n

22

1nS −χ−

σ=

⇒ qui-quadrado com 1n − graus de liberdade vezes o fator1n

2

−σ

o que nos permite escrever as desigualdades entre parênteses acima como


18/53




2

2/,1n2

22

2/1,1n

S)1n(α−α−− χ≤σ

−≤χ .

Vamos dividir todos os membros da expressão acima por 2S)1n( − , e, após,

tomar os inversos. Invertendo as desigualdades, obtemos

2

2/1,1n

22

2

2/,1n

2 S)1n(S)1n(

α−−α− χ−

≤σ≤χ

−

que é o intervalo de confiança para σσσ2, ao nível de α−1 .

A fórmula acima pode ser reescrita na forma

2

2/1,1n

n

1i

2i

2

2

2/,1n

n

1i

2i )XX()XX(

α−−

=

α−

=

χ

−≤σ≤

χ

− ∑∑

Exemplo. Uma amostra de onze elementos, extraída de uma populaçãonormal, forneceu variância S2 = 7,08. Determine o intervalo de 90% deconfiança para a variância da população.

Solução:

Entrando na tabela da distribuição χ2 com 10 graus de liberdade, obtemos:

,94,32 %95,102

2/1,1n =χ=χ α−−

.3,182 %5,102

2/,1n =χ=χ α−

Logo,

2

2/1,1n

22

2

2/,1n

2 S)1n(S)1n(

α−−α− χ−

≤σ≤χ

− ⇒

94,3

08,710

3,18

08,710 2 ×≤σ≤×

⇒ 9695,178689,3 2 ≤σ≤

Logo, 9695,178689,3 2 ≤σ≤ com 90% de confiança.

Voltemos à resolução

Esta questão pede que o(a) candidato(a) determine: i) o intervalo de confiançaao nível de 95% da variável aleatória X que possui distribuição qui-quadrado eii) o número de graus de liberdade de X.

Do enunciado, depreende-se que X é resultante da combinação das estatísticas21S e 22S .


19/53




A estimativa combinada das variâncias amostrais 4,0s21 = e 6,0s2

2 = é dada por

5,040

6,0204,020

2nn

s)1n(s)1n(sx

21

2

22

2

112

p =×+×

=−+

−+−==

a qual possui (n1 + n2 - 2) = 21 + 21 – 2 = 40 graus de liberdade ⇒ estefato, por si só, já elimina as alternativas A, C e E.

O intervalo de confiança de 2σ é dado pela fórmula

2

2/1,1n

22

2

2/,1n

2 S)1n(S)1n(

α−−α− χ−

≤σ≤χ

−.

A fórmula acima pode ser generalizada para o problema em questão como

2

2/1,1n

2

2

2

2/,1n

2

p pS)k n(S)k n(

α−−α− χ

−≤σ≤

χ

−

em que 21 nnn += .

O enunciado forneceu os qui-quadrados superior e inferior: b2sup2

2/,1n =χ=χ α− e

a2inf 2

2/1,1n =χ=χ α−− . Portanto,

2

inf

2

2

2

sup

2

p pS)k n(S)k n(

χ

−≤σ≤

χ

− ⇒

a

5,0)242(

b

5,0)242( 2 ×−≤σ≤×−

a

5,040

b

5,040 2 ×≤σ≤×

⇒a

20

b

20 2 ≤σ≤ .

GABARITO: D

7. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Os preços de um determinadoproduto vendido no mercado têm uma distribuição normal com desvio padrãopopulacional de R$ 20,00. Por meio de pesquisa realizada com uma amostraaleatória de tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se,para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08 ; R$68,92]. A mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho daamostra anterior e utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos doiscasos considerou-se infinito o tamanho da população. O novo intervalo deconfiança encontrado no segundo caso foi

A) [R$ 63,04 ; R$ 66,96]B) [R$ 62,06 ; R$ 67,94]

C) [R$ 61,57 ; R$ 68,43]


20/53




D) [R$ 61,33 ; R$ 68,67]

E) [R$ 61,20 ; R$ 68,80]

Resolução

Dados: σ = 20, n = 100, 61,08 < µ < 68,92.

Podemos montar o seguinte sistema de equações:

=+

=−

92,68eX

08,61eX

0

0

em que 0e denota a semiamplitude do intervalo de confiança.

Somando as duas equações obtemos:

130X2 = ⇒ 65= X

Subtraindo a primeira da segunda equação temos:

84,708,6192,68e2 0 =−= ⇒ 92,3e0 =

Sabemos que

nze 2/0

σ= α ⇒

100

20z92,3 2/α= ⇒ 96,1z 2/ =α .

Quadruplicando o tamanho da amostra teremos n’=400. Logo,

'nz'e 2/0

σ= α ⇒

400

2096,1'e0 = ⇒ 96,1'e0 =

E o novo intervalo de confiança (IC) será

IC = [65,00 – 1,96 ; 65,00 + 1,96] = [63,04 ; 66,96].

GABARITO: A

8. (Estat./IBGE/2010/CESGRANRIO) Sejam );( N~X,...,X,X 2iid

n21 σµ econsiderados dois estimadores para σ2

∑= −−=

n

1i

2

i1 )XX(1n

1

T e

.)XX(n

1

T

n

1i

2

i2

∑= −=

Observe as afirmativas a seguir a respeito desses estimadores.


21/53




I – T 1 é não tendencioso.

II – O erro médio quadrático de T 1 é 41n

2σ

−, enquanto que o de T 2 é 42n

)1n(2σ

−.

III – A tendência de

σ−=

nT

2

2 .

É (São) correta(s) a(s) afirmativa(s)

A) I apenas.

B) I e II, apenas.

C) I e III, apenas.

D) II e III, apenas.E) I, II e III.

Resolução

Primeiramente, é necessário investigar as propriedades dos estimadores T 1 eT 2. Mas, antes disso, vamos relembrar a distribuição χ 2.

Seja uma amostra );( N~X,...,X,X 2iid

n21 σµ (ou seja, cada elemento da amostra é

normalmente distribuído com média µ e variância σ 2) Aprendemos que aestatística

∑∑==

=

σ

µ−=χ

n

1i

2

i

n

1i

2

i2

n ZX

em que Z i denota a variável aleatória normal reduzida, tem distribuição χ 2 comn graus de liberdade. Vimos também que,

n)(E 2χn

=

n2)var( n =2χ .

A estatística

,

)XX(XX

2

n

1i

2

in

1i

2

i

σ

−=

σ− ∑∑ =

=


22/53




obtida por substituição de por X na expressão de 2nχ acima tem distribuiçãodo tipo χ 2 com n-1 graus de liberdade (um grau de liberdade foi “gasto” nocálculo de X ). Logo,

.

)XX(

2

n

1i

2

i2

1n σ

−=χ

∑=

−

Cálculo da média e da variância de T1:

2

1n

22

2

n

1i

2

i

n

1i

2

i

11n1n

)XX(

1n

)XX(

T −== χ

−σ

=−

σσ

−=

−

−=

∑∑

ou seja, o estimador T 1, a menos da constante )1n/(2 −σ , tem distribuição χ 2 com n-1 graus de liberdade. Então,

22

2

1n

2

1 )1n(1n1n

E)T(E σ=−×−

σ=

χ

−σ

= − ⇒ T 1 é um estimador não tendencioso de

σ σσ 2 (viés é nulo).

1n

2)1n(2

)1n()var(

)1n(1nvar )Tvar(

4

2

42

1n2

42

1n

2

1 −σ

=−×−σ

=χ−σ

=

χ

−σ

= −−

como 01n

2lim)Tvar(lim

4

n1

n=

−σ

=∞→∞→

, T 1 é um estimador consistente de σ σσ 2.

O Erro Quadrático Médio de T 1 é dado por

+= )Tvar()T(EQM 11 [viés )( 1T ]2

.1n

2)Tvar(0)Tvar()T(EQM

4

111 −σ

==+=

Cálculo da média e da variância de T 2:

2

1n

22

2

n

1i

2

i

n

1i

2

i

2nn

)XX(

n

)XX(

T −== χ

σ=

σσ

−=

−=

∑∑

ou seja, o estimador T 2, a menos da constante n/2σ , tem distribuição χ 2 comn-1 graus de liberdade. Então,

2

2

2

2

21n

2

2n

)1n(nn

E)T(E σ≠σ−σ=−×σ =

χσ= − ⇒ T 2 é um estimador tendencioso

de σ σσ 2. O seu viés é dado por


23/53




viés(T 2) =nn

)T(E2

22

22

2

σ−=σ−

σ−σ=σ− . Note que 0

nlim

2

n =

σ−

→∞, ou seja, o viés

de T 2 tende a desaparecer com o aumento do tamanho da amostra.

2

4

2

42

1n2

42

1n

2

2n

)1n(2)1n(2

n)var(

nnvar )Tvar(

−σ=−×

σ=χ

σ=

χ

σ= −−

como 0n

1

n

1lim2

n

)1n(2lim)Tvar(lim

2n

4

2

4

n2

n=

−×σ=−σ

=∞→∞→∞→

(e 22 )(lim σ =∞→ T E n ), T 2 é um

estimador consistente de σ σσ 2.

O Erro Quadrático Médio de T 2 é dado por

+= )Tvar()T(EQM 22 [viés )( 2T ]2

.)12()1(2)1(2

)( 422

4

2

42

2

2

4

2 σ σ σ σ σ

n

n

nn

n

nn

nT EQM

−=+

− =

−+

−=

Análise das afirmativas:

(I) VERDADEIRA, pois 21)T(E σ= .

(II) VERDADEIRA, pois1n

2)T(EQM

4

1

−

σ= e 4

22

n

)1n2()T(EQM σ

−= .

(II) VERDADEIRA, pois viés(T 2) =n

2σ− .

GABARITO: E

9. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Considere uma amostragemaleatória simples, sem reposição, de uma população de tamanho muitogrande. Qual o tamanho aproximado de amostra que permite estimar a médiade uma variável y, cujo desvio padrão populacional é igual a 5, com margemde erro 0,1, a um nível de confiança 95%?

A) 100

B) 400

C) 1.000

D) 4.000

E) 10.000

ResoluçãoDados: %951 =α− , σ = 5 e 1,00 =e .


24/53




A semiamplitude do intervalo de confiança para a média populacional quando odesvio padrão é conhecido é (*)

nze 2/0 σ= α

Então

2

0

2/

e

zn

σ= α

(*) Você reparou que, dado o nível de confiança α−1 , 0e corresponde à

multiplicação entre a variável normal reduzida 2/zα e o desvio padrão da médiaamostral n/σ ? Ou seja,

=0e (variável normal reduzida 2/zα ) x (desvio padrão da média amostral)

Note que 96,1z %5,2 = é um valor “manjado”. Portanto,

604.91,0

596,1n

2

=

×= ⇒ alternativa com valor mais próximo é a letra E (n ≈

10.000)

GABARITO: E

10. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para avaliar a taxa dedesemprego em uma determinada localidade, selecionou-se uma amostraaleatória de 900 indivíduos em idade produtiva. O resultado dessa amostrarevelou que o número de desempregados era de 36%. O intervalo de 95% deconfiança para a proporção de desempregados, nessa localidade, é

A) 36% ± 0,1%B) 36% ± 2,6%

C) 36% ± 3,1%

D) 36% ± 3,7%

E) 36% ± 4,1%

Resolução

Dados: n = 900, p’ = 0,36 e (1 - α ) = 0,95 (que implica um 96,1z 2/ =α ).

Neste caso, o Intervalo de Confiança (IC) será dado por:


25/53




IC = %14,3%36900

)36,01(36,096,1%36

n

)' p1(' pz' p 2/ ±≈

−±=

−± α ⇒ alternativa com

valor mais próximo é C.

GABARITO: C

11. (Analista/Área 2/BACEN/2010/CESGRANRIO) Em um estudo sobre aeconomia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra paraestimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$

400,00. Sabendo-se que z ~ N[0,1] e que ∫ =96,1

04750,0dz)z(f , onde f(z) é a

função de densidade de probabilidade de z, pode-se concluir que o número depessoas da amostra será

A) 321

B) 308

C) 296

D) 271

E) 246

Resolução

Dados:

• %951 =α− (nível de confiança)

• ∫ =96,1

04750,0dz)z(f ( 96,1z %5,2 = )

• σ = 400

• e0 = 50 (margem de erro).

Neste caso o tamanho n da amostra é dado pela fórmula

nze %5,20

σ= ⇒

n

40096,150 = ⇒ 896,1

50

40096,1n ×== ⇒ 24686,245n ≈= .

GABARITO: E

(Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Instruções(adaptadas): Para responder às questões de números 12 e 13, considere as

tabelas a seguir.


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Elas fornecem alguns valores da função de distribuição F(x). A tabela 1 refere-se à variável normal padrão, as tabelas 2 e 3 referem-se à variável t deStudent com 15 e 16 graus de liberdade, respectivamente:

Tabela 1 Tabela 2 Tabela 3x F(x) x F(x) x F(x)1,60 0,945 1,753 0,95 1,746 0,951,64 0,950 2,248 0,98 2,235 0,982,00 0,977 2,583 0,99 2,567 0,99

12. Um engenheiro encarregado do controle de qualidade deseja estimar aproporção p de lâmpadas defeituosas de um lote, com base numa amostra detamanho 400. Sabe-se, com base em experiâncias anteriores, que p deveestar próximo de 0,5. Usando o teorema central do limite para estimar a

amplitude do intervalo de confiança de 90% para p, podemos afirmar que talamplitude é, aproximadamente, igual a

A) 0,041

B) 0,045

C) 0,058

D) 0,070

E) 0,082

Resolução

Dados: (1 - α ) = 0,90, n = 400 e p’ ≈ 50%.

A tabela 1 indica que z = 1,64 para α /2 = 5%. Como a estimativa p’ ≈ 50%,podemos usar a fórmula

2

0

2/

e2

zn

= α ⇒

400

64,1

n

)z()e2(

22

2/2

0 == α ⇒ 082,0

400

64,1)e2(

2

0 == ⇒ alternativa (E).

Atenção: a questão pede que o candidato calcule a AMPLITUDE (= dobro dasemi-amplitude e0) do intervalo de confiança.

GABARITO: E

13. Supondo-se que a porcentagem da receita investida em educação, dos 600municípios de uma região, tem distribuição normal com média µ, deseja-seestimar essa média. Para tanto se sorteou dentre esses 600, aleatoriamente ecom reposição, 16 municípios e se observou os porcentuais investidos por elesem educação. Os resultados indicaram uma média amostral de 8% e desviopadrão amostral igual a 2%. Um intervalo de confiança para µ, com coeficientede confiança de 96%, é dado por


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A) (8 ± 1,124)%

B) (8 ± 1,117)%

C) (8 ± 0,877)%

D) (8 ± 0,870)%E) (8 ± 0,755)%

Resolução

A questão aborda a construção do intervalo de confiança da médiapopulacional µµµ quando o desvio padrão populacional σσσ é desconhecido.Para tal, deve-se utilizar a fórmula

n

StX

2/,1n α−±

em que 2/,1nt α− representa a distribuição t de Student com 1n − graus de

liberdade cuja área à direita de 2/,1nt α− tem o valor 2/α .

Nota: a fórmula para cálculo da semiamplitude do intervalo de confiança damédia populacional µ quando o desvio padrão populacional σ é desconhecido

n

Ste 2/,1n0 α−=

é muito parecida com a fórmula da semiamplitude do intervalo de confiançapara a média populacional quando o desvio padrão é conhecido

nze 2/0

σ= α

Para obter a primeira fórmula a partir da segunda, basta substituir 2/zα por

2/,1n

tα−

e n/σ (erro padrão da média amostral) por n/S (estimador do erro

padrão da média amostral).

Dados: %8X = , %2S = , 16n = .

A tabela 2 fornece o valor de 248,2tt %2,152/,1n ==α− (entrada correspondente ao

valor F(x) = 98%, que implica α /2 = 1 – 98% = 2%). Logo,

%124,1%816

%2248,2%8

n

StX 2/,1n ±=±=± α−

GABARITO: A


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(ANPEC/2009/Adaptada) Verifique se as afirmativas 14 a 17 sãoverdadeiras:

14. Em uma pesquisa de opinião a proporção de pessoas favoráveis a uma

determinada medida governamental é dada por ∑= n/X p̂i . O menor valor de n

para o qual a desigualdade de Chebyshev resultará em uma garantia de que01,0)01,0| p p̂(|P ≤≥− é 200.000.

Resolução

A proporção de pessoas favoráveis a uma determinada medidagovernamental, denotada por p̂ , é uma variável aleatória com valoresperado

p) p̂(E =

em que p denota o verdadeiro valor do parâmetro populacional, e variância

n/) p1( p) p̂var( −=

em que n é o número de elementos da amostra.

Vimos que a Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expressão

2k

1]k |X[|P ≤σ≥µ− .

Nesta questão, podemos reescrever a desigualdade acima como

01,0]01,0| p p̂[|P ≤≥− .

Sendo assim, podemos calcular o valor de k :

01,0k 12 = ⇒ 10k = .

Como 01,0k =σ ⇒ 31010/01,0 −==σ ⇒ 62 10−=σ .

Note que n/) p1( p) p̂var(2 −==σ . Temos o valor de σ 2 = 10-6. Porém, não hácondição de calcular 2/) p1( pn σ−= , pois a questão não forneceu o valor damédia populacional ( p). Logo, não podemos afirmar que o menor valor de n para o qual a desigualdade de Chebyshev resultará em uma garantia de que

01,0)01,0| p p̂(|P ≤≥− é 200.000 (faltam dados!).

GABARITO: FALSA


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15. Quando o número de graus de liberdade δ cresce, a distribuição 2δ χ aproxima-se de uma distribuição normal com média δ e desvio padrão 2δ .

Resolução

A média da variável 2δ χ é δ δδ e a variância é 2δ δδ . Logo, a afirmativa é FALSA,

pois diz que o desvio padrão de 2δ χ é 2δ ..

De acordo com Teorema Central do Limite, a família de distribuições do tipo 2δ χ tende à distribuição normal com média δ e variância 2δ quando o número degraus de liberdade δ aumenta.

GABARITO: FALSA

16. Um intervalo de confiança de 99% para a média µ de uma população,calculado para uma amostra aleatória, como [2,75; 8,25], pode serinterpretado como: a probabilidade de µ estar no intervalo calculado é de 99%.

Resolução

Uma estimativa do intervalo de confiança da média populacional µ (desconhecida) é um intervalo da forma l ≤ µ ≤ u, em que os limites inferior l e superior u dependem do valor numérico do estimador X para uma amostra

particular. Como amostras distintas produzirão diferentes estimativas para ˆ e, por conseguinte, valores diferentes para os limites l e u, esses limites sãovalores de variáveis aleatórias, como L e U , respectivamente. Da distribuiçãoamostral de X somos capazes de determinar valores de L e U , tais que aseguinte afirmação probabilística seja verdadeira:

α−=≤µ≤ 1)UL(P ,

sendo 10


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Na prática, obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos umaestimativa do intervalo de confiança. Uma vez que esse intervalo conteráou não o valor verdadeiro de µ µµ , não é razoável fixar um nível deprobabilidade para essa realização. A afirmação apropriada é: o

intervalo observado [l , u] contém o valor verdadeiro de µ , com)%1(100 α− de confiança. Essa afirmação tem uma interpretação defreqüência; ou seja, não sabemos se a afirmação é verdadeira para essaamostra específica, mas o método usado para obter o intervalo [l , u] resultaem afirmações corretas em )%1(100 α − do tempo.

GABARITO: FALSA

17. Se existe, todo estimador de máxima verossimilhança calculado para umaamostra aleatória possui distribuição Normal em grandes amostras.

Resolução

O Estimador de Máxima Verossimilhança possui distribuição assintótica normal⇒ VERDADEIRA.

GABARITO: VERDADEIRA

18. (Analista da SUSEP/2002/ESAF) A função de verossimilhança parauma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição de probabilidades

dependente de um parâmetro real θ vem dada por

0 é a média das observações amostrais e b é a menor observaçãoamostral. Assinale a opção que corresponde a estimativa de máximaverossimilhança de θ.

A) nm

B) b C) m

D) nb

E) m /b

Resolução

A Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) do parâmetropopulacional desconhecido θ é o valor θ ̂ que maximiza a função deverossimilhança )(θ l .


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Podemos reescrever a função de verossimilhança )(θ l como:


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Resolução

A freqüência relativa amostral p̂ apresenta uma distribuição binomial, com

média p e variância n/) p1( p − . Sendo 5np ≥ e 5) p1(n ≥− , é possível aproximar abinomial pela normal. Como p é desconhecido, adotamos como condições deaproximação 51601,01600'np >=×= e 514409,01600)' p1(n >=×=− .

Como a amostra é suficientemente grande, o intervalo de confiança para p será da forma ε± p̂ , em que ε é dado por

015,01600

9,01,096,1

n

) p̂1( p̂ze %5,20 ≈

××=

−= .

Logo, 115,0015,01,0 p̂ ≈+=ε+ e 085,0015,01,0 p̂ ≈−=ε− .

⇒ IC = (0,085, 0,115).

GABARITO: B

20. (ICMS-RJ/2010/FGV). Suponha que os salários dos trabalhadores numacerta região sejam descritos por uma variável populacional com médiadesconhecida e desvio padrão igual a R$200,00. Para se garantir, com 95% de

probabilidade, que o valor da média amostral dos salários não diferirá do valorda média populacional por mais de R$10,00, a amostra aleatória simplesdeverá ter no mínimo, aproximadamente, o seguinte tamanho:

A) 3.568.

B) 3.402.

C) 2.489.

D) 2.356.

E) 1.537.

Resolução

Dados: 10X =µ− , %951 =α− e 200=σ .

600.1n2n/200

1096,1

n/200

10z

n/

Xz

n/

X%5,22/ ≈∴≈∴=∴=

σ

µ−∴=

σ

µ−α

O valor mais próximo é o da opção E.

Nota: não é correto dizer que o valor da média amostral dos salários nãodiferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00 com 95% deprobabilidade, dado que a amostra tenha um tamanho mínimo de 1.537


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elementos. A afirmação correta seria: o valor da média amostral dos saláriosnão diferirá do valor da média populacional por mais de R$10,00 com 95% deconfiança, dado que a amostra tenha um tamanho mínimo de 1.537elementos. Na prática, obtemos somente uma amostra aleatória e calculamos

uma estimativa do intervalo de confiança. Uma vez que esse intervalo conteráou não o valor verdadeiro do parâmetro populacional µ, não é razoável fixarum nível de probabilidade para essa realização. A afirmação apropriada é: ointervalo observado [l , u] contém o valor verdadeiro do parâmetro µ, com

)%1(100 α − de confiança. Essa afirmação tem uma interpretação de freqüência;ou seja, não sabemos se a afirmação é verdadeira para essa amostraespecífica, mas o método usado para obter o intervalo [l , u] resulta emafirmações corretas em )%1(100 α − do tempo.

GABARITO: E

21. (Analista da SUSEP/Atuária/2010/ESAF). Deseja-se estimar aproporção p de pessoas com determinada característica em uma população.Um levantamento preliminar forneceu 7/2 p̂ = . Usando essa estimativa,obtenha o menor tamanho de amostra aleatória simples necessária paraestimar p com um intervalo de 95% de confiança e um erro de amostragem

%2n/q̂ p̂z ≤ , onde p̂1q̂ −= .

A) 7840

B) 2500C) 1960

D) 9604

E) 2401

Resolução

A semi-amplitude do intervalo de confiança para a proporção é dada por

=0e (variável normal reduzida 2/zα ) x (desvio padrão da proporção amostral)

ou

n/q̂ p̂zn/) p̂1( p̂z 2/2/ αα =−=ε .

O examinador especificou que a relação %2n/q̂ p̂z ≤ deve ser obedecida, a fimde que p seja estimado com um intervalo de 95% de confiança e um erro deamostragem ε menor ou igual a 0,02. “Moral da história”: a banca forneceu a

fórmula a ser utilizada na solução da questão! De vez em quando issoacontece.


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Isolemos a incógnita n na fórmula dada:

100

2

n

q̂ p̂z

2/1

≤

⇒ 2

2

22/1

10

2

n

q̂ p̂z

≤

⇒

≤

4

2

10

4

n

q̂ p̂z ⇒

n4q̂ p̂z10 24 ≤ ⇒ n4

q̂ p̂z10 24≤ ⇒

4

q̂ p̂z10n

24

≥

Então o valor limitante inferior para n, denotado por nmin, é dado por

4

q̂ p̂z10n

24

min = .

Substituindo os valores 7/2 p̂ = , 7/5 p̂1q̂ =−= e z = 1,96 (pois α=5%) na

expressão acima, obtemos

7

5

7

2

4

96,110n

24

min ×××

= ,

utilizando as aproximações 1,96 ≅ 2 e 49 ≅ 50, chegamos ao valor aproximado

000.25

000.10

50

5210n

4

min ==××

≈ .

A opção C nos dá o valor mais próximo (1.960). Se você fizer as contas com acalculadora obterá o valor exato de 1.960.

GABARITO: C

Exercícios de Revisão

22. (Analista Técnico/SUSEP/2002/ESAF) Seja X uma variável aleatóriacom valor esperado µ e desvio padrão σ>0. Pode-se afirmar que

A) pelo menos 75% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ]

B) pelo menos 80% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ]

C) pelo menos 90% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ]

D) pelo menos 95% das realizações de X pertencerão ao intervalo [µ-2σ;µ+2σ]

E) apenas com o conhecimento de µ e σ não é possível fazer afirmação sobre opercentual de realizações de X que cairão no intervalo [µ-2σ;µ+2σ].

Resolução

Uma rápida leitura das alternativas indica que a questão aborda o teorema(desigualdade) de Chebyshev:


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⇒ Seja X uma variável aleatória arbitrária com média µ e variância σ 2. Então,para qualquer 0k >σ , vale

2k 11]k Xk [P −≥σ+µ


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A Desigualdade de Tchebysheff pode ser dada pela expressão

2k

1]k |X[|P ≤σ≥µ− .

Dados: i) 12k =σ , ii) distribuição de probabilidades de X (logo é possívelcalcular a média µ e o desvio padrão σ de X).

14

32

4

12)x(f x)X(E

i

ii =

×+

×−===µ ∑

314

32

4

1)2()x(f x)X(E 222

i

2

i

2

i

222 =−

×+

×−=µ−=µ−=σ ∑

Então

3

12k =

σσ

⇒ k = 2.

22

1]32|1X[|P ≤≥− ⇒ 25,0]32|1X[|P ≤≥− ⇒ limite superior da probabilidade de

que X difira da média populacional por 32± é 0,25.

GABARITO: B

24. (Especialista em Assistência Social/Estatística/SEJUS-DF/2010/Fundação Universa) Um torneio de tênis será disputado porquatro jogadores (A, B, C e D). Na primeira rodada, A jogará contra B, e C

jogará contra D. Os vencedores dessas duas partidas irão disputar a grandefinal e desse jogo sairá o campeão. Dada a tabela a seguir, que informa asprobabilidades de cada jogador vencer o outro, e sabendo que o jogador Avenceu o jogador B, assinale a alternativa que apresenta a probabilidade de Csagrar-se campeão.

jogador A B C D

Probabilidade de vencer o jogador A

- 40% 30% 20%

Probabilidade de vencer o jogador B

60% - 55% 10%

Probabilidade de vencer o jogador C

70% 45% - 65%

Probabilidade de vencer o jogador D

80% 90% 35% -

A) 7%

B) 10,5%C) 13%


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D) 19,5%

E) 30,0%

Resolução

P[C ser campeão] = P[C vencer D] x P[C vencer A] = 0,35 x 0,30 = 0,105

P[C ser campeão] = 10,5%

GABARITO: B

25. (Especialista em Assistência Social/Estatística/SEJUS-DF/2010/Fundação Universa) Considere o algoritmo a seguir:

S=0k=0

ENQUANTO (k < 5) FAÇAS = S + X k k=k+1FIM

S = S/k

Sabendo que X0 = 1, X1 = 7, X2 = 3, X3 = 2 e X4 = 5, assinale a alternativaque contém a medida de posição que o algoritmo apresentado calcula e o valorfinal da variável S quando o algoritmo finalizar o seu processamento.

A) Média, S = 4

B) Variância, S = 4,8

C) Média, S = 3

D) Variância, S = 5

E) Média, S = 2

Resolução

O fato de a variância não ser uma medida de posição, mas de dispersão dosdados, já nos permite eliminar as alternativas B e D. Analisemos o algoritmo.

Valores iniciais das variáveis S e k:

• k=0

• S=0

A rotina


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ENQUANTO (k < 5) FAÇAS = S + X k k=k+1

FIM

especifica um loop de programação em que k é a variável que controla o fimdo loop.

O passo zero do algoritmo é a inicialização das variáveis S = k =0.Vejamos a evolução do algoritmo após a inicialização a seguir.

Passo 1: k = 0 e S = 0 (valores iniciais)

Como k = 0 é menor que 5, faça:• S(atual) = S(anterior) + X0 = 0 + 1 = 1

• k(atual) = k(anterior) + 1 = 0 + 1 = 1

Passo 2: k = 1 e S = 1 (valores determinados no passo anterior)

Como k = 1 é menor que 5, faça:

• S(atual) = S(anterior) + X1 = 1 + 7 = 8


Passo 3: k = 2 e S = 8




Passo 4: k = 3 e S = 11




Passo 5: k = 4 e S = 13




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Passo 6: k = 5 e S = 18

Como k = 5, faça

• S(atual) = S(anterior)/k = 18/5 = 3,6

O valor final de S é 3,6. Observe que o algoritmo calcula a média aritmética doconjunto de dados fornecido. A alternativa com o valor mais próxima é a A (S= 4).

GABARITO: A

26. (Especialista em Assistência Social/Estatística/SEJUS-DF/2010/Fundação Universa) Considere a variável X com média 5 e desviopadrão 2 e a variável Y com média 2 e desvio padrão 5. Se a variância de X +Y é igual a 8 e a variância de X - Y é igual a 4, assinale a alternativa queapresenta o coeficiente de correlação de X e Y.

A) 1

B) 0,5

C) 0,1

D) -0,1E) -1

Resolução

Dados:

• Variável X: 5X = e 2x =σ

• Variável Y: 2Y = e 5y =σ

• 8)YXvar( =+ • 4)YXvar( =−

Deseja-se calcular o coeficiente de correlação de X e Y:

yx

)Y,Xcov()Y,X(

σσ=ρ

A banca forneceu os valores 2x

=σ e 5y

=σ . Logo, saberemos o valor da

correlação se calcularmos o valor da covariância.


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Sejam os coeficientes (ou valores constantes) α e β. Sabemos que

)Yvar()Y,Xcov(2)Xvar()YXvar( 22 β+αβ+α=β+α

e que

)Yvar()Y,Xcov(2)Xvar()YXvar( 22 β+αβ−α=β−α

pois o enunciado não diz que X e Y são independentes.

Substituindo os valores α = β = 1, obtemos

)Yvar()Y,Xcov(2)Xvar()YXvar( ++=+ (1)

)Yvar()Y,Xcov(2)Xvar()YXvar( +−=− (2)

Como 8)YXvar( =+ e 4)YXvar( =− , chegamos ao seguinte sistema deequações:

=+−

=++

4)Yvar()Y,Xcov(2)Xvar(


Multipliquemos a segunda equação do sistema por -1:

−=−+−

=++



Somando as duas equações, obtemos a equação

48)yvar()Yvar()Y,Xcov(2)Y,Xcov(2)Xvar()Xvar( −=−+++−

4)Y,Xcov(4 =

14

4)Y,Xcov( ==

Logo,

1,010

1

52

1)Y,Xcov()Y,X(

yx

==×

=σσ

=ρ

GABARITO: C


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27. (Especialista em Assistência Social/Estatística/SEJUS-DF/2010/Fundação Universa) Considere a sequência a seguir e assinale aalternativa que apresenta, respectivamente, sua média, mediana e moda.

1, 1, 1, 1, 2, 5, 6, 9, 10

A) 4, 2 e 1

B) 4, 1 e 2

C) 2, 4 e 1

D) 2, 1 e 4

E) 1, 4 e 2

Resolução

Média:

49

36

9

1096521111X ==

++++++++=

A mediana de uma série de n valores ordenados, sendo n ímpar (n = 9), é ovalor de ordem (n+1)/2 = 10/2 = 5:

1, 1, 1, 1, 2, 5, 6, 9, 10

Então a mediana é 2.

A moda é 1, pois é o valor de maior frequência (ocorre 4 vezes).

GABARITO: A

28. (Especialista em Assistência Social/Estatística/SEJUS-

DF/2010/Fundação Universa) A tabela a seguir evidencia uma entrevistafeita com 50 clientes, dividida por faixa etária.

ordem dafaixa etária

faixa etária número de clientes

1ª 18 |— 25 122ª 25 |— 32 243ª 32 |— 40 84ª 40 |— 48 6

Com base nos dados dessa entrevista, é correto afirmar queA) há, na primeira faixa etária, ao menos 1 entrevistado com 25 anos.

quinto valor


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B) 12% dos entrevistados têm mais de 40 anos de idade.

C) pelo menos 1 entrevistado, na terceira faixa etária, tem 32 anos.

D) 48% dos entrevistados têm entre 18 e 32 anos.

E) 88% dos entrevistados têm menos de 40 anos de idade.

Resolução

Reproduzimos a seguir a tabela dada pelo enunciado acrescida das colunas “frequência” e “frequência acumulada”.

ordem dafaixa

etária

faixaetária

número declientes

frequênciafreq.

acumulada

1ª 18 |— 25 12 12/50 = 24% 24%2ª 25 |— 32 24 24/50 = 48% 72%3ª 32 |— 40 8 8/50 = 16% 88%4ª 40 |— 48 6 6/50 = 12% 100%

Análise das alternativas:

A) a classe 18 |— 25 não inclui quem tem 25 anos, pois a classe é aberta àdireita ⇒ afirmativa incorreta (*). Suponha que a 1ª classe fosse 18 |– 26.

Ainda assim a afirmativa estaria incorreta, pois não se pode assegurar que aclasse conterá pelo menos 1 entrevistado com 25 anos.

(*) A notação 18 |— 25 é equivalente a usar a notação [18, 25) para designaro intervalo de números contendo o extremo 18 mas não contendo o extremo25.

B) incorreta, haja vista que 12% dos entrevistados têm pelo menos 40 anos(lembre que o intervalo da classe é fechado à esquerda).

C) o fato de a classe 32 |— 40 incluir o extremo esquerdo (= 32) não garanteque pelo menos 1 entrevistado, nesta faixa etária, tem 32 anos. Por exemplo,os 8 clientes podem ter 35 anos de idade. Assertiva incorreta.

D) incorreta, pois 72% dos entrevistados têm entre 18 e 32 anos (vide colunade frequências acumuladas na tabela acima).

E) correta, pois a frequência acumulada até a 3ª classe é de 88%.

GABARITO: E

Abraços e até a próxima aula.

Bons estudos!


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Moraes [email protected]

Alexandre [email protected]


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Questões Comentadas e Resolvidas Nesta Aula

1. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para examinar a opinião de uma população sobre

uma proposta, foi montada uma pesquisa de opinião em que foram ouvidas1680 pessoas, das quais 51,3% se declararam favoráveis à proposta.

Os analistas responsáveis determinaram que a margem de erro desseresultado, em um determinado nível de confiança, era de 2 pontospercentuais, para mais ou para menos.

Considerando que fosse desejada uma margem de erro de 1 ponto percentual,para mais ou para menos, no mesmo nível de confiança, assinale a alternativaque indique o número de pessoas que deveriam ser ouvidas.

A) 840

B) 2520

C) 3360

D) 5040

E) 6720

2. (ICMS-RJ/2008/FGV) Considere uma Amostra Aleatória Simples de nunidades extraídas de uma população na qual a característica, X, estudada tem

distribuição Normal com média µ e variância σ2

, ambas desconhecidas, masfinitas. Considere, ainda, as estatísticas média da amostra, ∑

=

=n

1i

iXn

1X , e

variância da amostra ∑=

−=n

1i

2

i

2 )XX(n

1S . Então, é correto afirmar que:

A) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e davariância da população, respectivamente.

B) X é não tendencioso, mas 2S é tendencioso para a estimação da média e

da variância da população, respectivamente.C) X é tendencioso, mas 2S é não tendencioso para a estimação da média eda variância da população, respectivamente

D) X e 2S são, ambos, tendenciosos para a estimação da média e da variânciada população, respectivamente.

E) X e 2S são, ambos, não tendenciosos para a estimação da média e davariância da população, mas apenas X é consistente.

3. (ICMS-RJ/2007/FGV) Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o

percentual da população favorável à eleição de um determinado ponto turísticopara constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso,selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população


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infinita. O resultado apurou 50% de intenção de votos para esse pontoturístico.

Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos percentuais, para mais ou

para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas,aproximadamente:

A) 50 pessoas

B) 2.400 pessoas

C) 1.200 pessoas

D) 100 pessoas

E) 4.800 pessoas

4. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para que o erro padrão damédia amostral X seja reduzido à metade, deve-se

A) multiplicar o tamanho da amostra por 2.

B) multiplicar o tamanho da amostra por 4.

C) multiplicar o tamanho da amostra por 16.

D) dividir o tamanho da amostra por 2.

E) dividir o tamanho da amostra por 4.

5. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Os itens 2,30; 4,11; 5,20; 6,30;7,20 formam uma ordenação de uma amostra aleatória de tamanho 5 dadistribuição uniforme no intervalo [0,θ] sendo θ>0. Assinale a opção quecorresponde à estimativa de máxima verossimilhança de θ.

A) 5,20

B) 5,02

C) 7,20

D) 5,00

E) 8,00

6. (Analista Técnico/SUSEP/2001/ESAF) Tem-se duas amostrasindependentes ambas de tamanho 21 de duas populações normais com amesma variância σ2 > 0. Deseja-se construir um intervalo de confiança paraσ2, no nível de 95%, com base numa estimativa combinada das variânciasamostrais 4,0s21 = e 6,0s

2

2 = . Se 0< a < b são duas constantes tais que P{Xb} = 0,025, onde X tem distribuição qui-quadrado, assinale aresposta que corresponde ao intervalo procurado e ao número de graus de

liberdade da distribuição de X.

A) [17/b; 17/a] e 20 graus de liberdade


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B) [5/3b; 5/2a] e 40 graus de liberdade

C) [17/b; 17/a] e 41 graus de liberdade

D) [20/b; 20/a] e 40 graus de liberdade

E) [5/3b; 5/2a] e 20 graus de liberdade

7. (Analista/Área 3/BACEN/2006/FCC) Os preços de um determinadoproduto vendido no mercado têm uma distribuição normal com desvio padrãopopulacional de R$ 20,00. Por meio de pesquisa realizada com uma amostraaleatória de tamanho 100, com um determinado nível de confiança, apurou-se,para a média destes preços, um intervalo de confiança sendo [R$ 61,08 ; R$68,92]. A mesma média amostral foi obtida quadruplicando o tamanho daamostra anterior e utilizando também o mesmo nível de confiança. Nos doiscasos considerou-se infinito o tamanho da população. O novo intervalo de

confiança encontrado no segundo caso foiA) [R$ 63,04 ; R$ 66,96]

B) [R$ 62,06 ; R$ 67,94]

C) [R$ 61,57 ; R$ 68,43]

D) [R$ 61,33 ; R$ 68,67]

E) [R$ 61,20 ; R$ 68,80]

8. (Estat./IBGE/2010/CESGRANRIO) Sejam );( N~X,...,X,X 2iid

n21 σµ econsiderados dois estimadores para σ 2

∑=

−−

=n

1i

2

i1 )XX(1n

1T e .)XX(

n

1T

n

1i

2

i2 ∑=

−=

Observe as afirmativas a seguir a respeito desses estimadores.

I – T 1 é não tendencioso.

II – O erro médio quadrático de T 1 é 41n

2σ

−, enquanto que o de T 2 é 4

2n

)1n(2σ

−.

III – A tendência de

σ−=

nT

2

2 .

É (São) correta(s) a(s) afirmativa(s)

A) I apenas.

B) I e II, apenas.

C) I e III, apenas.D) II e III, apenas.

E) I, II e III.


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9. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Considere uma amostragemaleatória simples, sem reposição, de uma população de tamanho muitogrande. Qual o tamanho aproximado de amostra que permite estimar a média

de uma variável y, cujo desvio padrão populacional é igual a 5, com margemde erro 0,1, a um nível de confiança 95%?

A) 100

B) 400

C) 1.000

D) 4.000

E) 10.000

10. (Estatística/IBGE/2010/CESGRANRIO) Para avaliar a taxa dedesemprego em uma determinada localidade, selecionou-se uma amostraaleatória de 900 indivíduos em idade produtiva. O resultado dessa amostrarevelou que o número de desempregados era de 36%. O intervalo de 95% deconfiança para a proporção de desempregados, nessa localidade, é

A) 36% ± 0,1%

B) 36% ± 2,6%

C) 36% ± 3,1%

D) 36% ± 3,7%E) 36% ± 4,1%

11. (Analista/Área 2/BACEN/2010/CESGRANRIO) Em um estudo sobre aeconomia informal de uma cidade, deseja-se determinar uma amostra paraestimar o rendimento médio dessa população, com um grau de confiança de95% de que a média da amostra aleatória extraída não difira de mais de R$50,00 da média do rendimento dessa população, cujo desvio padrão é R$

400,00. Sabendo-se que z ~ N[0,1] e que ∫ =96,1

04750,0dz)z(f , onde f(z) é a

função de densidade de probabilidade de z, pode-se concluir que o número depessoas da amostra será

A) 321

B) 308

C) 296

D) 271

E) 246

(Analista Ministerial/Estatística/MPE-PE/2006/FCC) Instruções(adaptadas): Para responder às questões de números 12 e 13, considere astabelas a seguir.


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junio

raciocínio lógico - aula 11

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