aula 04 - raciocínio lógico

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PACOTE DE TEORIA E EXERCCIOS PARA MINISTRIO DA FAZENDA

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 4 Lgica de Argumentao .......................................................................................................................... 2

Condio suficiente e condio necessria ..................................................................................... 18

Equivalncias lgicas ............................................................................................................................... 20

Negao das Proposies Usuais ........................................................................................................ 24

Sentenas abertas, quantificadores................................................................................................... 26

Diagramas de Euler-Venn ...................................................................................................................... 32

Relao das questes comentadas nesta aula .............................................................................. 41

Gabaritos ...................................................................................................................................................... 49






Lgica de Argumentao

01. (ANVISA 2010/CETRO) Seja e seja . Se escrevermos a proposio No verdade que ela baixa ou no charmosa na forma simblica, usando , teremos: a) b) c) d) e) Resoluo

Antes de analisar a questo propriamente dita, vejamos o seguinte fato.

Se falso que Pedro rico, no podemos afirmar que Pedro seja pobre. Ele apenas no RICO!!!

Se falso dizer que Maria linda, no podemos afirmar que Maria seja feia.

Ela apenas no LINDA!!!

Esse um erro feio que as bancas costumam cometer.

Rigorosamente, se falso dizer que Maria linda, s podemos afirmar que

MARIA NO LINDA!!

Mas, como costumamos dizer, no adianta brigar com a banca. Seja amigo dela. A alternativa menos errada a letra E, que considera que a negao de

Ela alta como Ela baixa. 02. (FUNAI 2010/CETRO) Observe a afirmao X abaixo

X: Y ou Z falsa. Y e Z significam, respectivamente,

Y: Felipe nutricionista Z: Se Fbio pesquisador, ento Rafael engenheiro Com base nas informaes apresentadas, pode-se afirmar que (A) Felipe no nutricionista, Fbio no pesquisador e Rafael no

engenheiro. (B) Felipe nutricionista, Fbio pesquisador e Rafael engenheiro.

(C) Felipe no nutricionista, Fbio pesquisador e Rafael engenheiro. (D) Felipe nutricionista, Fbio no pesquisador e Rafael engenheiro.

(E) Felipe no nutricionista, Fbio pesquisador e Rafael no engenheiro.

Resoluo

A proposio X a disjuno das proposies Y, Z (conectivo ou). O texto nos

informou que X falsa, e sabemos que a disjuno Y ou Z s falsa quando






ambas, Y e Z so falsas. A proposio Y falsa e da conclumos que Felipe no

nutricionista. A condicional Z falsa. Uma proposio condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso;

donde Fbio pesquisador (antecedente verdadeiro) e Rafael no engenheiro (consequente falso).

Lembre-se sempre: uma proposio composta pelo conectivo se...,ento... s falsa quando ocorre VF. E como o enunciado nos disse que Z falsa, ento ocorreu VF.

Se Fbio pesquisador, ento Rafael engenheiro

O antecedente verdadeiro, logo Fbio pesquisador.

O consequente falso, logo Rafael no engenheiro.

Letra E

03. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma empresa mantm a seguinte regra em relao

a seus funcionrios: Se um funcionrio tem mais de 45 anos de idade, ento ele dever, todo ano, realizar pelo menos um exame mdico e tomar a vacina

contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, correto concluir que, necessariamente, se um funcionrio dessa empresa

(A) anualmente realiza um exame mdico e toma a vacina contra a gripe,

ento ele tem mais de 45 anos de idade. (B) tem 40 anos de idade, ento ele no realiza exames mdicos anualmente

ou no toma a vacina contra a gripe. (C) no realizou nenhum exame mdico nos ltimos dois anos, ento ele no

tem 50 ou mais anos de idade.

(D) tem entre 55 e 60 anos de idade, ento ele realiza um nico exame mdico por ano, alm de tomar a vacina contra a gripe.

(E) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames mdicos nos ltimos dois anos, ento ele tem pelo menos 47 anos de idade.

Resoluo

Vamos dar nomes s proposies:

p: um funcionrio tem mais de 45 anos de idade. q: ele dever, todo ano, realizar pelo menos um exame mdico.

r: ele dever, todo ano, tomar a vacina contra a gripe.

Em Lgica, o smbolo do conectivo se...,ento... uma seta e o smbolo do conectivo e . A proposio expressa no enunciado simbolizada assim: . Para que a regra seja cumprida, a proposio deve ser sempre verdadeira.






Vamos construir a tabela-verdade correspondente a esta proposio. A tabela-verdade dispe as relaes entre os valores lgicos das proposies.

Tabelas-verdades so especialmente usadas para determinar os valores lgicos de proposies construdas a partir de proposies simples.

Lembre-se que o nmero de linhas de uma tabela verdade composta por proposies simples igual a . Como so 3 proposies simples componentes, ento a tabela ter 23 = 8

linhas. Para calcular o valor lgico de , devemos calcular o valor lgico da proposio e, em seguida, conectar a proposio com atravs do conectivo se..., ento....

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

Este o modelo inicial de uma tabela-verdade composta por 3 proposies

simples. Para listar todas as possibilidades, devemos proceder assim:

Para a primeira proposio, colocamos 4 Vs seguidos de 4 Fs. Para a segunda proposio, colocamos 2 V, 2F, 2V, 2F.

Para a terceira proposio colocamos 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F, 1V, 1F.

Lembre-se que uma proposio composta pelo conectivo e ( ) s verdadeira quando todas as proposies componentes forem verdadeiras.

Portanto, a proposio verdadeira nas linhas 1 e 5.

V V V V

V V F F

V F V F

V F F F

F V V V

F V F F

F F V F

F F F F






Vamos agora conectar a proposio com a proposio formando a proposio . Lembre-se que uma proposio do tipo s falsa quando A verdadeira e B falsa. Ou seja, uma condicional s falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso.

O antecedente a proposio (1 coluna) e o consequente a proposio (4 coluna).

V V V V V

V V F F F

V F V F F

V F F F F

F V V V V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

Para que a regra seja cumprida, devemos nos ater apenas s linhas em que a proposio verdadeira. Vamos tomar esta tabela como referncia.

V V V V V

F V V V V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

... correto concluir que, necessariamente, se um funcionrio dessa empresa

(A) anualmente realiza um exame mdico e toma a vacina contra a gripe, ento ele tem mais de 45 anos de idade.

Esta alternativa falsa, pois se q verdadeira (o funcionrio realiza

anualmente pelo menos um exame mdico) e r verdadeira (o funcionrio anualmente toma a vacina contra a gripe), ento p pode ser verdadeira ou

falsa (o funcionrio pode ter qualquer idade).

Basta olhar as duas primeiras linhas da ltima tabela construda.






V V V V V

F V V V V

(B) tem 40 anos de idade, ento ele no realiza exames mdicos

anualmente ou no toma a vacina contra a gripe.

Se o funcionrio tem 40 anos de idade, ento a proposio falsa. Neste caso, o funcionrio pode se sentir a vontade para realizar os exames mdicos ou no e tomar a vacina contra a gripe ou no. Basta olhar as 4 ltimas linhas

da tabela. A alternativa B falsa.

F V V V V

F V F F V

F F V F V

F F F F V

(C) no realizou nenhum exame mdico nos ltimos dois anos, ento ele no tem 50 ou mais anos de idade.

Se o funcionrio no realizou os exames mdicos nos ltimos dois anos, ento

a proposio q falsa. Devemos olhar apenas para as duas ltimas linhas da tabela de referncia.

F F V F V

F F F F V

Percebemos que quando q falsa, p tambm o .

Portanto, o funcionrio tem menos de 45 anos. A alternativa C verdadeira.

(D) tem entre 55 e 60 anos de idade, ento ele realiza um nico exame mdico por ano, alm de tomar a vacina contra a gripe.

Se ele tem entre 55 e 60 anos de idade, ento ele deve realizar anualmente

pelo menos um exame mdico por ano e tomar a vacina contra a gripe. Esta alternativa falsa pois est escrito que o funcionrio deve realizar apenas um

exame mdico.

(E) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames mdicos nos ltimos dois anos, ento ele tem pelo menos 47 anos de idade.

A alternativa E fala que q verdadeira ou r verdadeira. Vamos olhar para as

quatro primeiras linhas da tabela de referncia.






V V V V V

F V V V V

F V F F V

F F V F V

Observe que p pode ser verdadeira ou falsa. Portanto, o funcionrio pode ter qualquer idade. A alternativa E falsa.

Letra C

04. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere as seguintes afirmaes:

I. Se ocorrer uma crise econmica, ento o dlar no subir. II. Ou o dlar subir, ou os salrios sero reajustados, mas no ambos.

III. Os salrios sero reajustados se, e somente se, no ocorrer uma crise econmica.

Sabendo que as trs afirmaes so verdadeiras, correto concluir que, necessariamente,

(A) o dlar no subir, os salrios no sero reajustados e no ocorrer uma crise econmica.

(B) o dlar subir, os salrios no sero reajustados e ocorrer uma crise econmica.

(C) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e ocorrer uma crise econmica.

(D) o dlar subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer uma crise

econmica. (E) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer uma crise

econmica.

Resoluo

Vamos dar nomes s proposies simples envolvidas: I. Se ocorrer uma crise econmica, ento o dlar no subir.

II. Ou o dlar subir, ou os salrios sero reajustados, mas no ambos.

III. Os salrios sero reajustados se, e somente se, no ocorrer uma crise econmica.

Em smbolos, temos:

I. II.

III.

De acordo com o enunciado, as trs proposies compostas so verdadeiras. Vamos construir a tabela verdade correspondente e verificar quando que isso






ocorre. Como so trs proposies simples envolvidas, ento a tabela ter

linhas. Lembre-s que o nmero de linhas de uma tabela verdade com proposies simples igual a .

Devemos lembrar as regras dos conectivos. A proposio composta pelo se..., ento... falsa quando o antecedente verdadeiro e o consequente falso. A proposio composta pelo conectivo da disjuno exclusiva ou...ou verdadeira quando apenas um dos componentes verdadeiro.

A proposio composta pelo bicondicional se e somente se verdadeiro quando os componentes tm o mesmo valor lgico (ou ambos so verdadeiros

ou ambos so falsos).

A tabela comea assim:

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

A proposio a negao da proposio , portanto seus valores lgicos so opostos aos valores de .

A proposio a negao da proposio , portanto seus valores lgicos so opostos aos valores de .

V V V F F

V V F F F

V F V F V

V F F F V

F V V V F

F V F V F

F F V V V

F F F V V

A proposio s falsa quando verdadeiro e falso (linhas 1 e 2).






V V V F F F

V V F F F F

V F V F V V

V F F F V V

F V V V F V

F V F V F V

F F V V V V

F F F V V V

A proposio verdadeira quando apenas um dos componentes for

verdadeiro. Ou seja, verdadeira quando verdadeira e falso ou

quando falso e verdadeiro (linhas 2, 3, 6 e 7).

V V V F F F F

V V F F F F V

V F V F V V V

V F F F V V F

F V V V F V F

F V F V F V V

F F V V V V V

F F F V V V F

A proposio s verdadeira quando e tm valores lgicos iguais.

V V V F F F F F

V V F F F F V V

V F V F V V V F

V F F F V V F V

F V V V F V F V

F V F V F V V F

F F V V V V V V

F F F V V V F F

Como as trs proposies compostas so verdadeiras, estamos interessados

apenas na stima linha desta tabela.

V V V F F F F F

V V F F F F V V

V F V F V V V F

V F F F V V F V

F V V V F V F V

F V F V F V V F

F F V V V V V V

F F F V V V F F






Para que as compostas sejam verdadeiras, a proposio deve ser falsa, a proposio deve ser falsa e a proposio deve ser verdadeira.

Conclumos que no ocorrer uma crise econmica, o dlar no subir e os salrios sero reajustados.

(E) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer

uma crise econmica.

Letra E

O que um argumento?

A expresso concreta do raciocnio lgico o argumento. Um argumento se sustenta ou cai medida que o raciocnio que incorpora bom ou ruim. Cada

argumento composto de dois elementos bsicos, dois diferentes tipos de proposies: uma proposio premissa e uma proposio concluso. Uma premissa uma proposio que sustenta. o ponto inicial de um argumento que contm a verdade conhecida, da qual parte o processo inferencial. Uma

concluso uma proposio sustentada, a proposio aceita como verdade na base da premissa. (D.Q. McInerny) Argumento toda afirmao de que uma sequncia finita de proposies,

chamadas premissas, nPPPP ,...,,, 321 tem como consequncia uma proposio

final Q, chamada concluso do argumento. Diz-se que um argumento vlido

se e somente se a concluso for verdadeira, todas as vezes que as premissas forem verdadeiras. Desse modo, a verdade das premissas incompatvel com

a falsidade da concluso. A validade de um argumento depende to somente da relao existente entre as premissas e a concluso. Um argumento no

vlido chamado de sofisma ou falcia. Um argumento composto de duas premissas e uma concluso chamado de silogismo.

Vejamos um exemplo para sedimentar a teoria.

Jair est machucado ou no quer jogar. Mas Jair quer jogar, logo:

a) Jair no est machucado nem quer jogar. b) Jair no quer jogar nem quer jogar.

c) Jair no est machucado e quer jogar.

d) Jair est machucado e no quer jogar. e) Jair est machucado e quer jogar.

O enunciado nada fala sobre a verdade das proposies expostas.

Perguntamo-nos: Quem Jair? Quem est nos falando que Jair est machucado? Isto verdade? Como podemos inferir uma concluso se no






tenho certeza sobre o valor lgico das premissas? Em suma, como testar a

validade de um argumento? Existe um teste semntico, isto , um teste que se baseia nos valores de verdade das suas premissas e concluso. Um

argumento vlido se, e s se, no for possvel ter concluso falsa e premissas verdadeiras. Portanto, para termos um argumento vlido devemos

supor que as premissas so verdadeiras. Se (e este um grande se) as premissas forem verdadeiras, ento a concluso tambm ser.

Ora, se admitimos a proposio Jair quer jogar como verdadeira, devemos assumir a proposio Jair no quer jogar como falsa. Temos ento o seguinte esquema:

Perguntamo-nos: Quando que uma disjuno (proposio composta pelo

conectivo ou) qp verdadeira? Se ao menos uma das proposies p

ou q verdadeira; qp falsa se e somente se ambas p e q so

falsas. No nosso caso, temos uma disjuno que verdadeira, e uma das

proposies que a compe falsa. Conclumos que a outra proposio Jair est machucado verdadeira.

Letra E

Jair est machucado e quer jogar.

Temos ento o seguinte argumento VLIDO. Jair est machucado ou no quer jogar.

Mas Jair quer jogar, logo: Jair est machucado e quer jogar.

No estamos afirmando que premissas do enunciado so verdadeiras nem que

a concluso tambm o seja. Dizemos apenas que, SE as premissas forem verdadeiras, ento a concluso tambm ser verdadeira.

Proposies so verdadeiras ou falsas. Argumentos so vlidos ou invlidos. A

validade de um argumento depende da conexo das premissas com a concluso, no do valor lgico das premissas que formam o argumento.

Ento, como determinar a validade de um argumento?






Admita que as premissas sejam verdadeiras, mesmo que no sejam. H a

possibilidade de, considerando-se as premissas verdadeiras, a concluso ser falsa? Se isso pode acontecer (premissas verdadeiras e concluso falsa) ento

o argumento invlido, um sofisma, uma falcia. Se no, ento o argumento vlido.

Utilizaremos agora as ferramentas que temos a disposio (proposies,

conectivos e argumentao) para resolver algumas questes de concursos.

05. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou no estudo. Ora, no velejo. Assim:

a) estudo e fumo. b) no fumo e surfo.

c) no velejo e no fumo.

d) estudo e no fumo. e) fumo e surfo.

O que esta questo est nos pedindo? Que escolhamos uma concluso

adequada para que o argumento seja vlido. Devemos ento, de acordo com a teoria exposta, assumir que as premissas so verdadeiras. Temos o seguinte

esquema:

A proposio No velejo verdadeira. Como a proposio Velejo a sua negao, temos que seu valor lgico falso.

A proposio acima uma disjuno e, para que seja verdadeira, ao menos uma das proposies que a compe deve ser verdadeira. Como a proposio

Velejo falsa, conclumos que No estudo verdadeira. Estudo, que a negao de No estudo, , portanto, falsa.

Analogamente, a proposio Surfo verdadeira e a sua negao No surfo falsa.

Da mesma maneira, temos que a proposio Fumo verdadeira.

Concluso: Surfo, no estudo, fumo, no velejo. Letra E






Observao: Daqui em diante, por motivos tipogrficos, tambm para evitar

uma poluio visual, no colocaremos mais as chaves nas proposies compostas que assumiremos como verdadeiras. Estar implcito, levando em

considerao a teoria exposta. Simplesmente aplicaremos as regras dos conectivos para que as compostas sejam verdadeiras. Por exemplo:

Em resumo, as seguintes regras tornam as proposies compostas

verdadeiras.

Conjuno qp As duas proposies p, q devem ser verdadeiras

Disjuno qp Ao menos uma das proposies p, q deve ser verdadeira. No pode ocorrer o caso de as duas serem falsas.

Condicional qp

No pode acontecer o caso de o antecedente ser verdadeiro e o consequente ser falso. Ou seja, no pode

acontecer V(p)=V e V(q)=F. Em uma linguagem informal, dizemos que no pode acontecer VF, nesta ordem.

Bicondicional p q

Os valores lgicos das duas proposies devem ser iguais.

Ou as duas so verdadeiras, ou as duas so falsas.

06. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana prima de Bia, ou Carlos filho de Pedro. Se Jorge irmo de Maria, ento Breno no neto de Beto. Se Carlos filho de

Pedro, ento Breno neto de Beto. Ora, Jorge irmo de Maria. Logo:

a) Carlos filho de Pedro ou Breno neto de Beto. b) Breno neto de Beto e Ana prima de Bia.

c) Ana no prima de Bia e Carlos filho de Pedro. d) Jorge irmo de Maria e Breno neto de Beto.

e) Ana prima de Bia e Carlos no filho de Pedro. Resoluo

Relembrando o que falamos a respeito de argumentao. Em um argumento

vlido, impossvel ao assumirmos que as premissas sejam verdadeiras que a concluso seja falsa.

Dessa forma, admitiremos que TODAS as proposies, simples e compostas,

so verdadeiras. Para tal, deveremos aplicar as regras de cada um dos conectivos.






Assim, supomos que a proposio Jorge irmo de Maria verdadeira. Ora, uma proposio condicional no pode ter o antecedente verdadeiro e o consequente falso. De fato, na proposio condicional Se Jorge irmo de Maria, ento Breno no neto de Beto, o antecedente verdadeiro. Para no ocorrer VF, o consequente no pode ser falso, deve ser verdadeiro. Assim,

Breno no neto de Beto verdade. A sua negao falsa.

Novamente, na condicional Se Carlos filho de Pedro, ento Breno neto de Beto, o consequente falso. Para no ocorrer VF, o antecedente no pode ser verdadeiro, deve ser falso.

Consequentemente Carlos filho de Pedro falso. Para que uma disjuno seja verdadeira, ao menos uma das proposies que a compe deve ser

verdade.

Na composta Ana prima de Bia ou Carlos filho de Pedro, tem-se que Carlos filho de Pedro falsa. Dessa forma, Ana prima de Bia deve ser verdade. Temos ento que Ana prima de Bia e Carlos no filho de Pedro.

Letra E

As questes que seguem apresentam uma peculiaridade em relao s

questes anteriormente resolvidas. At agora, as questes apresentavam uma proposio simples, que servia de passo inicial para a nossa estratgia de

argumentao. As prximas questes no apresentam proposies simples. A soluo geral a seguinte: escolha uma proposio qualquer e d o seu

palpite: escolha V ou F. Se o seu palpite der certo, timo! Caso contrrio, troque-o. Se voc escolheu V, troque por F e vice-versa.

07. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero no honesto, ou Jlio justo. Homero honesto, ou Jlio justo, ou Beto bondoso. Beto bondoso, ou Jlio no

justo. Beto no bondoso, ou Homero honesto. Logo, a) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio no justo.

b) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio no justo. c) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio justo.

d) Beto no bondoso, Homero no honesto, Jlio no justo. e) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio justo.

Resoluo






Esta questo no apresenta a proposio simples que usualmente aparece em

questes de argumentao.

Adotaremos ento a estratgia descrita acima. Escolheremos uma proposio qualquer e arbitrariamente daremos um valor lgico a ela. Por exemplo,

escolheremos a primeira Homero no honesto e diremos que ela verdadeira. No h razo especfica para termos feito essa escolha. Como

estamos assumindo que Homero no honesto uma proposio verdadeira, a sua negao Homero honesto falsa. Para que a disjuno Beto no bondoso,ou Homero honesto seja verdadeira, a proposio Beto no bondoso deve ser verdadeira e, consequentemente, a sua negao Beto bondoso falsa. Analogamente, Jlio no justo verdade, e sua negao Jlio justo falsa. Dessa forma, Homero honesto, ou Jlio justo, ou Beto bondoso uma proposio composta falsa, pois uma disjuno em que todas as proposies

que a compem so falsas. Ora, mas, para testarmos a validade de um argumento, temos que ter TODAS as premissas verdadeiras. Temos ento que

trocar a nossa escolha inicial. Admitiremos ento que a proposio Homero no honesto seja falsa. Construiremos ento o seguinte esquema:

Letra C

08. (Tcnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogrio e Renato so irmos. Um deles mdico, outro professor e o outro msico. Sabe-se

que: 1) ou Ricardo mdico, ou Renato mdico;, 2) ou Ricardo professor, ou Rogrio msico; 3) ou Renato msico, ou Rogrio msico; 4) ou

Rogrio professor, ou Renato professor. Portanto, as profisses de Ricardo, Rogrio e Renato so respectivamente:

a) professor, mdico, msico.

b) mdico, professor, msico. c) professor, msico, mdico.

d) msico, mdico, professor. e) mdico, msico, professor.

Resoluo






Utilizando a mesma estratgia da questo anterior, escolhemos uma proposio qualquer e arbitrariamente damos um valor lgico a ela.

Escolhemos (ao acaso) a proposio Ricardo mdico e diremos que ela verdadeira. Como cada um deles possui uma nica profisso, a proposio

Ricardo professor falsa. Assim, para que a disjuno seja verdadeira, Rogrio msico tem que ser uma proposio verdadeira (uma disjuno verdadeira quando pelo menos uma das proposies que a compe

verdadeira). Sendo Rogrio msico uma verdade, Rogrio professor falsa. Portanto, Renato professor verdade. No tivemos proposies compostas falsas, nenhuma contradio. O nosso palpite foi correto, por acaso. Letra E

09. (Ipea 2004/FCC) Quando no vejo Lcia, no passeio ou fico deprimido.

Quando chove, no passeio e fico deprimido. Quando no faz calor e passeio, no vejo Lcia. Quando no chove e estou deprimido, no passeio. Hoje,

passeio. Portanto, hoje: a) vejo Lucia, e no estou deprimido e no chove, e faz calor.

b) no vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor. c) no vejo Lucia, e estou deprimido, e no chove, e no faz calor.

d) vejo Lucia, e no estou deprimido, e chove, e faz calor. e) vejo Lucia, e estou deprimido, e no chove, e faz calor.

Resoluo

Passeio verdade; no passeio falso. Preenchemos as chaves do esquema acima onde aparecem essas proposies. Olhemos para a quarta






premissa: o consequente falso, e, assim, o antecedente tambm o .

Observe que o consequente da segunda premissa uma conjuno e uma das proposies que compe essa conjuno (no passeio) falsa. Ora, sabemos

que uma conjuno s verdadeira quando ambas as proposies simples componentes so verdadeiras. Como esse fato no ocorre, a conjuno no passeio e fico deprimido falsa. Consequentemente o antecedente chove falso e a sua negao no chove verdade. Coloquemos nossa ateno agora na quarta premissa. O consequente no passeio falso e assim temos que o antecedente (que a conjuno No chove e estou deprimido) tambm falso.Temos ento uma conjuno falsa em que uma das proposies que a constitui (no chove) verdadeira. Para que a conjuno seja falsa, a outra componente estou deprimido deve ser falsa. Vamos para a primeira premissa. O consequente da condicional Quando no vejo Lcia, no passeio ou fico deprimido uma disjuno que falsa, pois ambas as proposies componentes (no passeio, fico deprimido) so falsas. Dessa forma, o antecedente no vejo Lcia deve ser falsa (para que a proposio condicional seja verdadeira no deve ocorrer VF). Finalmente indo para a terceira premissa, o consequente no vejo Lcia falso, logo o antecedente No faz calor e passeio tambm falso. Temos ento uma conjuno falsa e uma das proposies que a constitui (passeio) verdadeira. A outra, no faz calor deve ento ser falsa e, consequentemente, a sua negao faz calor verdadeira.

Letra A

10. (FUNAI 2010/CETRO) Quando no trabalho, no fico feliz ou fico desiludido. Quando fao compras, no fico feliz e fico desiludido. Quando no

fao compras e fico feliz, trabalho. Quando no fao compras e estou desiludido, no fico feliz. Hoje, fico feliz. Portanto, hoje,

(A) trabalho, no estou desiludido, no fico feliz e fao compras.

(B) no trabalho, estou desiludido, fico feliz e fao compras. (C) trabalho, no estou desiludido, fico feliz e no fao compras.

(D) no trabalho, estou desiludido, no fico feliz e no fao compras. (E) trabalho, estou desiludido, no fico feliz e fao compras.

Resoluo

i) Quando no trabalho, no fico feliz ou fico desiludido. ii) Quando fao compras, no fico feliz e fico desiludido.

iii) Quando no fao compras e fico feliz, trabalho. iv) Quando no fao compras e estou desiludido, no fico feliz.

v) Fico feliz.

Vamos comear pela proposio simples. Estamos assumindo que hoje fico feliz.

Vejamos a segunda proposio.






Como a proposio no fico feliz falsa, ento a proposio no fico feliz e fico desiludido falsa.

Como o consequente falso, o antecedente tambm deve ser falso (j que no admitimos VF no Se...,ento...).

Concluso: no fao compras.

Podemos excluir as alternativas a, b, e.

(A) trabalho, no estou desiludido, no fico feliz e fao compras. (B) no trabalho, estou desiludido, fico feliz e fao compras.

(C) trabalho, no estou desiludido, fico feliz e no fao compras. (D) no trabalho, estou desiludido, no fico feliz e no fao compras.

(E) trabalho, estou desiludido, no fico feliz e fao compras.

Vejamos a terceira frase.

Como o antecedente verdadeiro, o consequente tambm ser verdadeiro (para que no ocorra VF).

Com isso, marcamos a alternativa C. Gabarito: C

Condio suficiente e condio necessria

Diz-se que p condio suficiente de (ou para) q sempre que p q . Em

outras palavras, uma condio suficiente aparece como antecedente de uma

proposio condicional. Usando a mesma expresso, q se diz condio necessria de (ou para) p. Em outras palavras, uma condio necessria

aparece como consequente de uma condicional. Por exemplo, a proposio Se Joo pernambucano, ento Joo brasileiro pode ser lida das seguintes maneiras:

Joo ser pernambucano condio suficiente para Joo ser brasileiro. Joo ser brasileiro condio necessria para Joo ser pernambucano.

Diz-se que p condio necessria e suficiente de (ou para) q, ou que q

condio necessria e suficiente de (ou para) p sempre que p q . Por

exemplo, a proposio Uma pessoa recifense se, e somente se, nasceu no Recife pode ser lida das seguintes maneiras:






Ser recifense condio necessria e suficiente para ter nascido no Recife.

Ter nascido no Recife condio necessria e suficiente para ser recifense. Em resumo:

11. (MEC/2008/FGV) Com relao naturalidade dos cidados brasileiros,

assinale a alternativa logicamente correta:

a) Ser brasileiro condio necessria e suficiente para ser paulista.

b) Ser brasileiro condio suficiente, mas no necessria para ser paranaense.

c) Ser carioca condio necessria e suficiente para ser brasileiro. d) Ser baiano condio suficiente, mas no necessria para ser brasileiro.

e) Ser maranhense condio necessria, mas no suficiente para ser brasileiro.

Resoluo

a) Brasileiro paulista. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser

brasileira e no ser paulista. Contradio, pois os valores lgicos das proposies componentes de uma bicondicional devem ser iguais. Uma

proposio bicondicional equipara-se a dois condicionais: Se uma pessoa

brasileira, ento ela paulista e, se uma pessoa paulista, ento ela brasileira.

b) Brasileiro paranaense. Falso, pois pode ocorrer o caso de uma pessoa ser

brasileira e no ser paranaense. Como vimos, no pode ocorrer VF em uma condicional.

c) Carioca brasileiro. Falso, pela mesma razo da alternativa A.

d) Baiano brasileiro. Verdadeiro, pois impossvel que uma pessoa seja

baiana e no seja brasileira. Neste caso impossvel ocorrer VF. impossvel que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.

e) Brasileiro maranhense. Falso, pela mesma razo da alternativa B.

Letra D

12. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposies: p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.

p q p condio suficiente para q

q condio necessria para p p q p condio necessria e

suficiente para q q condio necessria e

suficiente para p






q: fazer frente ao fluxo positivo.

Se p implica q, ento: a) Fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a

atuao compradora de dlares por parte do Banco Central. b) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no

condio suficiente e nem necessria para fazer frente ao fluxo positivo. c) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio

necessria para fazer frente ao fluxo positivo. d) Fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao

compradora de dlares por parte do Banco Central. e) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio

suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

Resoluo

Dizer que p implica q, significa dizer que Se p, ento q. Ou seja, temos uma

proposio do tipo .

Sabemos que: p condio suficiente para q.

q condio necessria para p.

Portanto:

A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio

suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. Fazer frente ao fluxo positivo condio necessria para A atuao

compradora de dlares por parte do Banco Central. Letra E

Equivalncias lgicas

Duas proposies so logicamente equivalentes se e somente se p q uma

tautologia. E o que tautologia? uma proposio que sempre verdadeira,

independentemente dos valores lgicos das proposies componentes. Numa linguagem coloquial, podemos dizer que duas proposies so

equivalentes quando dizem a mesma coisa, de formas diferentes. Quando p equivalente a q escrevemos p q .

Voltemos ao conceito de equivalncia. Dissemos que Duas proposies so

logicamente equivalentes se e somente se p q uma tautologia. E tautologia

a proposio que sempre verdadeira. E quando que uma proposio

bicondicional (se e somente se) sempre verdadeira? Quando os valores de p e q so sempre iguais: ou ambas so verdadeiras, ou ambas so falsas.

Vamos mostrar, por exemplo, que a proposio p q equivalente a

( ) ( )p q q p . Ou seja, que ( ) ( ) ( )p q p q q p . Construmos a tabela-verdade e verificamos se os valores lgicos das duas proposies so sempre iguais.






p q p q q p ( ) ( )p q q p p q

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

Assim, acabamos de mostrar que uma proposio bicondicional equivale

conjuno de dois condicionais. H algumas equivalncias notveis que so muito cobradas em concursos.

Vamos enunciar as equivalncias, demonstr-las e aplic-las.

Teorema: As proposies p q , ~ ~q p e ~ p q so logicamente

equivalentes. Demonstrao:

p q ~ q ~ p p q ~ ~q p ~ p q

V V F F V V V

V F V F F F F

F V F V V V V

F F V V V V V

Como os valores lgicos das trs proposies so iguais, elas so ditas logicamente equivalentes.

Em uma linguagem informal, poderamos construir o seguinte algoritmo para construir essas proposies equivalentes notveis, dada a proposio

condicional p q .

~ ~q p Negue o antecedente e o

consequente, troque a ordem e mantenha o conectivo

se...,ento ~ p q Negue apenas o antecedente e

troque o conectivo por ou. Por exemplo, dada a proposio Se bebo, ento no dirijo, temos que as seguintes proposies so equivalentes a ela: i) Se dirijo, ento no bebo.

ii) No bebo ou no dirijo.

13. (Agente Penitencirio SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmao equivalente afirmao Se bebo, ento no dirijo (A) Se no bebo, ento no dirijo. (B) Se no dirijo, ento no bebo.

(C) Se no dirijo, ento bebo. (D) Se no bebo, ento dirijo.

(E) Se dirijo, ento no bebo.

Resoluo






Como foi dito anteriormente, h duas proposies equivalentes (notveis):

i) Se dirijo, ento no bebo. ii) No bebo ou no dirijo.

Letra E

14. (Polcia Civil 2007/Ipad) A sentena Penso, logo existo logicamente equivalente a:

a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo.

c) No penso ou existo. d) Penso ou no existo.

e) Existo, logo penso

Resoluo

Dada a proposio penso existo, temos, trivialmente, duas proposies equivalentes a ela: i) Se no existo, ento no penso. (Nega o antecedente e o consequente, troca

a ordem e mantm o conectivo.) ii) No penso ou existo. (Nega o antecedente e troca o conectivo por ou). Letra C

15. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro.

b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro.

c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro. d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista.

e) Andr no artista e Bernardo engenheiro. Resoluo

Dada uma proposio p q podemos construir uma proposio logicamente

equivalente negando o antecedente e trocando o conectivo por ou obtendo a proposio ~ p q . Podemos seguir o caminho contrrio; dada uma proposio

com o conectivo ou, construmos uma equivalente negando a primeira proposio e trocando o conectivo por se..., ento. Assim, a proposio Andr artista ou Bernardo no engenheiro equivalente a Se Andr no artista, ento Bernardo no engenheiro, que, por sua vez, equivalente a Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista.

Letra D

16. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine no ensaia, Elisa no estuda. Logo:

a) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa no estudar.






b) Elaine ensaiar condio suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine no ensaiar condio necessria para Elisa no estudar. d) Elaine no ensaiar condio suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa estudar.

Resoluo

Temos que:

i) Elaine no ensaiar condio suficiente para Elisa no estudar.

ii) Elisa no estudar condio necessria para Elaine no ensaiar.

Como no h alternativas com essas proposies, procederemos da seguinte

maneira. Construiremos uma proposio equivalente proposio dada e em seguida escreveremos na linguagem de condio suficiente e condio

necessria.

A proposio Se Elaine no ensaia, Elisa no estuda equivalente a Se Elisa estuda, ento Elaine ensaia. Temos que:

i) Elisa estudar condio suficiente para Elaine ensaiar.

ii) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa estudar.

Letra E

17. (TCE/MG/2007/FCC) So dadas as seguintes proposies: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, ento ele eficiente.

(2) Se Jaime no trabalha no Tribunal de Contas, ento ele no eficiente. (3) No verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e no eficiente.

(4) Jaime eficiente ou no trabalha no Tribunal de Contas.

correto afirmar que so logicamente equivalentes apenas as proposies de nmeros

a) 2 e 4 b) 2 e 3

c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3

e) 1, 3 e 4

Resoluo

Chamando de p : Jaime trabalha no Tribunal de Contas e de q : Jaime

eficiente, as proposies (1), (2), (3) e (4) podem, simbolicamente, ser reescritas das seguintes maneiras:

(1) p q (2) ~ ~p q (3) ~ ( ~ )p q (4) ~q p






Vamos ento construir a tabela-verdade e verificar quais so equivalentes.

p q ~ p ~ q ~p q (1): p q (2): ~ ~p q (3): ~ ( ~ )p q (4): ~q p

V V F F F V V V V

V F F V V F V F F

F V V F F V F V V

F F V V F V V V V

Observe que as proposies (1), (3) e (4) possuem as mesmas valoraes e,

portanto, so equivalentes.

Letra E

18. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposio:

Se uma pessoa no faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho, ent o ela n o melhora o seu desempenho profissional. Uma proposio logicamente equivalente proposio dada : (A) falso que, uma pessoa no melhora o seu desempenho profissional ou

faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho. (B) No verdade que, uma pessoa no faz cursos de aperfeioamento

profissional e no melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa no melhora seu desempenho profissional, ento ela no

faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou no faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho. (E) Uma pessoa no melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho.

Resoluo

Temos, trivialmente, duas proposies equivalentes a ela: i) Se a pessoa melhora o seu desempenho profissional, ento ela faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho. (Nega o antecedente e o consequente, troca a ordem e mantm o conectivo.)

ii) Uma pessoa faz cursos de aperfeioamentos na sua rea de trabalho ou ela no melhora o seu desempenho profissional. (Nega o antecedente e troca o

conectivo por ou). O que a FCC fez foi trocar a ordem das proposies no caso ii. Isto

perfeitamente permitido, j que a o conectivo ou permite a troca da ordem das frases sem alterar o seu sentido.

Letra E

Negao das Proposies Usuais Dada uma proposio p qualquer, uma outra proposio, chamada negao de

p, pode ser formada escrevendo-se falso que ... antes de p ou, se possvel, inserindo a palavra no. Simbolicamente, a negao de p designada por

p~ ou p . Para que p~ seja uma proposio, devemos ser capazes de






classific-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular

(decretar) o seguinte critrio de classificao: A proposio p~ tem sempre

o valor lgico oposto de p , isto , p~ verdadeira quando p falsa e

p~ falsa quando p verdadeira.

Exemplo:

p : Paris est na Frana.

p~ : falso que Paris est na Frana.

p~ : Paris no est na Frana.

p~ : No verdade que Paris est na Frana.

Para evitar dvidas, enunciaremos as frmulas de negao das proposies compostas e, em seguida, aplicaremos nas diversas questes de concurso.

Negao das proposies usuais

Afirmao Negao p ~ p

p q ~ ~p q

p q ~ ~p q

p q ~p q

p q ( ~ ) ( ~ )p q q p

p v q

Como voc pode observar, existem vrias maneiras de negar uma proposio composta pelo se e somente se. Sinceramente, no acho que voc deva perder tempo com essa negao. Poderamos montar esta tabela em uma linguagem informal para um melhor

entendimento do leitor iniciante.

Afirmao Negao p q Negue as duas proposies e troque o

conectivo e pelo conectivo ou p q Negue as duas proposies e troque o

conectivo ou pelo conectivo e p q Afirme o antecedente, troque o conectivo

condicional pelo conectivo e e negue o consequente.

As frmulas de negao do conectivo e e do conectivo ou so comumente denominadas Leis de De Morgan. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1: Conjuno qpqp ~~)(~

Afirmao: Vou ao cinema e vou ao teatro.

Negao: No vou ao cinema ou no vou ao teatro.

p p~

V F

F V






Exemplo 2: Disjuno qpqp ~~)(~

Afirmao: Eu te ensino Lgica ou meu nome no Guilherme. Negao: No te ensino Lgica e meu nome Guilherme.

Exemplo 3: Condicional ~ ( ) ~p q p q

Afirmao: Se for beber, ento no dirija. Negao: Bebo e dirijo.

Sentenas abertas, quantificadores

Observe as seguintes expresses: a)2 6 0x

b) 3 0x

Elas contm variveis e seus valores lgicos (verdadeira ou falsa) dependem

do valor atribudo varivel. a) 2 6 0x verdadeira se trocarmos x por 3 e falsa para qualquer outro

valor atribudo a x

b) 3 0x verdadeira, por exemplo, para 8x e falsa, por exemplo, para

1x .

Expresses que contm variveis so chamadas de sentenas abertas ou

funes proposicionais. Como j comentamos no incio da aula, tais expresses no so proposies, pois seus valores lgicos dependem dos valores

atribudos s variveis. Entretanto, temos duas maneiras de transformar funes proposicionais em proposies: atribuir valor s variveis ou utilizar

quantificadores.

Quantificadores so palavras ou expresses que indicam que houve quantificao. So exemplos de quantificadores as expresses: existe, algum,

todo, cada, pelo menos um, nenhum. Note que os dicionrios, de modo geral, no registram quantificador. Esse termo, no entanto, de uso comum na Lgica.

Uma proposio dita categrica quando caracterizada por um quantificador seguido por uma classe ou de atributos,um elo e outra classe de atributos.

Vejamos exemplos de proposies quantificadas.

Proposio universal

afirmativa

Todo recifense

pernambucano.

Proposio universal negativa

Nenhum recifense pernambucano.

Proposio particular

afirmativa

Algum recifense

pernambucano.






Observe que a proposio universal negativa Nenhum recifense pernambucano equivale a dizer que Todo recifense no pernambucano. Dessa forma, a expresso nenhum pode ser substituda pela expresso todo... no .... O quantificador universal indicado pelo smbolo , que se l: todo, qualquer que seja, para todo. O quantificador existencial indicado pelo smbolo , que se l: algum, existe, existe pelo menos um, pelo menos um, existe um. Note que uma funo proposicional (ou sentena aberta) quantificada uma proposio. Ento, como proposies, podem ser negadas.

Negao de proposies quantificadas

Em resumo, temos o seguinte quadro para negao de proposies quantificadas.

Afirmao Negao

Particular afirmativa (algum...) Universal negativa (nenhum... ou todo... no ...)

Universal negativa (nenhum... ou todo... no...)

Particular afirmativa (algum...)

Universal afirmativa (todo...) Particular negativa (algum... no) Particular negativa (algum... no) Universal afirmativa (todo...)

Vejamos alguns exemplos:

p : Algum poltico honesto.

p : Existe poltico honesto.

~ p : Nenhum poltico honesto.

~ p : Todo poltico no honesto.

q : Nenhum brasileiro europeu.

q : Todo brasileiro no europeu.

~ q : Algum brasileiro europeu.

~ q : Existe brasileiro que europeu.

r : Todo concurseiro persistente.

~ r : Algum concurseiro no persistente.

~ r : Existe concurseiro que no persistente.

t : Algum recifense no pernambucano.

t : Existe recifense que no pernambucano.

~ t : Todo recifense pernambucano.

Observao: Como saberemos se uma questo qualquer se refere negao? De trs maneiras:

Proposio particular

negativa

Algum recifense no

pernambucano.






i) A questo explicitamente pede a negao de uma proposio dada.

ii) A questo fornece uma proposio verdadeira e pede uma falsa. iii) A questo fornece uma proposio falsa e pede uma verdadeira.

19. (AFC/2002/Esaf) Dizer que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto logicamente equivalente a dizer que verdade que:

a) Pedro no pobre ou Alberto no alto.

b) Pedro no pobre e Alberto no alto.

c) Pedro pobre ou Alberto no alto.

d) se Pedro no pobre, ento Alberto alto.

e) se Pedro no pobre, ento Alberto no alto.

Resoluo

Comentamos que quando uma questo nos fornece uma proposio falsa e nos

pede uma verdadeira, deveremos assinalar a negao da proposio dada. Assim, quando a questo fala que no verdade que Pedro pobre e Alberto alto, temos que a proposio Pedro pobre e Alberto alto falsa. Para assinalarmos uma proposio verdadeira, deveremos negar a proposio dada. Lembremos: para negar uma proposio composta pelo conectivo e, negamos as duas proposies constituintes e trocamos o conectivo e pelo conectivo ou (Lei de De Morgan). Dessa forma, a negao de Pedro pobre e Alberto alto Pedro no pobre ou Alberto no alto.

Letra A

Afirmao Pedro pobre e Alberto alto

Negao Pedro no pobre ou Alberto no alto

20. (Fiscal Trabalho/1998/Esaf) A negao da afirmao condicional "se estiver

chovendo, eu levo o guarda-chuva" :

a) se no estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.

b) no est chovendo e eu levo o guarda-chuva.

c) no est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

d) se estiver chovendo, eu no levo o guarda-chuva.

e) est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.

Resoluo

Para negar uma proposio condicional: afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo e e negue o consequente. Assim, a negao de se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva" est chovendo e eu no levo o guarda-chuva.






Letra E

Afirmao Se estiver chovendo

ento eu levo o guarda-chuva

Negao Est chovendo e eu no levo o guarda-chuva

21. (TRT/9 Regio/2004/FCC) A correta negao da proposio "todos os cargos deste concurso so de analista judicirio. :

a) alguns cargos deste concurso so de analista judicirio.

b) existem cargos deste concurso que no so de analista judicirio.

c) existem cargos deste concurso que so de analista judicirio.

d) nenhum dos cargos deste concurso no de analista judicirio.

e) os cargos deste concurso so ou de analista, ou no judicirio.

Resoluo

A negao de uma proposio universal afirmativa (todo...) a particular negativa (algum... no). Lembrando que o quantificador existencial algum equivale expresso existe. Dessa forma, a correta negao da proposio dada existem cargos deste concurso que no so de analista judicirio. Para negar uma proposio com a expresso todo..., troca-se o quantificador por algum/existe e modifica-se o verbo, nega-se o verbo.

Letra B

Afirmao Todos Os cargos deste concurso so de analista judicirio.

Negao Existem Cargos deste concurso que no so de analista

judicirio.

22. (TJ/PE/2007/FCC) Considere a afirmao abaixo. Existem funcionrios

pblicos que no so eficientes. Se essa afirmao FALSA, ento verdade

que: a) nenhum funcionrio pblico eficiente.

b) nenhuma pessoa eficiente funcionrio pblico. c) todo funcionrio pblico eficiente.

d) nem todos os funcionrios pblicos so eficientes. e) todas as pessoas eficientes so funcionrios pblicos.

Resoluo

Como vimos, quando o enunciado nos fornece uma proposio falsa e nos

pede uma proposio verdadeira, devemos obter a sua negao. Assim, a negao de uma proposio particular negativa (algum... no) a proposio






universal afirmativa (todo...). Temos ento que a negao de Existem funcionrios pblicos que no so eficientes todo funcionrio pblico eficiente. Em outras palavras, para negar uma proposio com a expresso existe/algum, trocamos o quantificador por todo e modificamos o verbo, negamos o verbo. Como a negao de no ser eficiente ser eficiente, temos o resultado acima.

Letra C

Afirmao Existem funcionrios pblicos que no so eficientes.

Negao Todo funcionrio pblico eficiente.

23. (Bacen) Assinale a frase que contradiz a seguinte sentena: Nenhum pescador mentiroso. a) Algum pescador mentiroso.

b) Nenhum pescador mentiroso. c) Todo pescador no mentiroso.

d) Algum mentiroso no pescador.

e) Algum pescador no mentiroso.

Resoluo

A negao de uma proposio universal negativa a proposio particular afirmativa. Em outras palavras, para negar uma proposio com a expresso

nenhum, troque o quantificador por algum e mantenha o verbo. Assim, a negao de nenhum pescador mentiroso algum pescador mentiroso. Observe que a proposio nenhum pescador mentiroso equivale a todo pescador no mentiroso; vimos na questo 3 que, para negar uma proposio com a expresso todo, trocamos o quantificador por algum/existe e modificamos o verbo.

Letra A

Afirmao Nenhum Pescador mentiroso.

Negao Algum Pescador mentiroso.

Afirmao Todo Pescador no mentiroso.

Negao Algum Pescador mentiroso.

24. (Agente de Estao Metro SP 2010/FCC) Considere as proposies simples: p: Maly usuria do Metr e q: Maly gosta de dirigir automvel

A negao da proposio composta p ~ q :






(A) Maly no usuria do Metr ou gosta de dirigir automvel.

(B) Maly no usuria do Metr e no gosta de dirigir automvel. (C) No verdade que Maly no usuria do Metr e no gosta de dirigir

automvel. (D) No verdade que, se Maly no usuria do Metr, ento ela gosta de

dirigir automvel. (E) Se Maly no usuria do Metr, ento ela no gosta de dirigir automvel.

Resoluo

Lembre-se que o smbolo representa o conectivo e. Para negar uma proposio composta pelo e, negue as duas proposies e troque o conectivo e pelo conectivo ou.

Desta forma, a negao de p ~ q ~ p q. ~p : Maly no usuria do Metr.

q: Maly gosta de dirigir automvel.

~ p q: Maly no usuria do Metr ou Maly gosta de dirigir automvel.

Letra A

25. (METRO-SP 2009/FCC)So dadas as seguintes proposies simples:

p : Beatriz morena; q : Beatriz inteligente;

r : Pessoas inteligentes estudam. Se a implicao FALSA, ento verdade que (A) Beatriz uma morena inteligente e pessoas inteligentes estudam. (B) Pessoas inteligentes no estudam e Beatriz uma morena no inteligente.

(C) Beatriz uma morena inteligente e pessoas inteligentes no estudam. (D) Pessoas inteligentes no estudam mas Beatriz inteligente e no morena.

(E) Beatriz no morena e nem inteligente, mas estuda.

Resoluo

O enunciado fornece uma proposio falsa e pede uma verdadeira. Devemos negar a proposio dada. E como negamos uma proposio composta pelo

se..., ento...? Afirme o antecedente, troque o conectivo condicional pelo conectivo

e e negue o consequente. Na proposio o antecedente e o consequente . Afirmamos o antecedente . Colocamos o conectivo e.

Negamos o consequente . Ora, a negao de a proposio .

: Beatriz morena; : Pessoas inteligentes no estudam. q: Beatriz inteligente;






: Beatriz morena e pessoas inteligentes no estudam e Beatriz inteligente.

(C) Beatriz uma morena inteligente e pessoas inteligentes no

estudam.

Diagramas de Euler-Venn O estudo das proposies categricas pode ser feito utilizando os diagramas de

Euler-Venn. habitual representar um conjunto por uma linha fechada e no entrelaada.

A

Relembremos o significado, na linguagem de conjuntos, de cada uma das proposies categricas.

Todo A B Todo elemento de A tambm elemento de B.

Nenhum A B A e B so conjuntos disjuntos, ou seja, no possuem

elementos comuns. Algum A B Os conjuntos A e B possuem pelo menos 1 elemento em

comum. Algum A no B O conjunto A tem pelo menos 1 elemento que no

elemento de B. Vejamos como representar cada uma das proposies categricas utilizando os

diagramas de Euler-Venn.

Todo A B

A proposio categrica Todo A B equivalente a: A subconjunto de B.

A parte de B. A est contido em B.

B contm A. B universo de A.

B superconjunto de A.

Se sabemos que a proposio Todo A B verdadeira, qual ser o valor lgico das demais proposies categricas?

Algum A B necessariamente verdadeira. Nenhum A B necessariamente falsa. Algum A no B necessariamente falsa. Algum A B






A proposio categrica Algum A B equivale a Algum B A. Se algum A B uma proposio verdadeira, qual ser o valor lgico das demais proposies categricas?

Nenhum A B necessariamente falsa. Todo A B e Algum A no B so indeterminadas. Observe que quando afirmamos que Algum A B estamos dizendo que existe pelo menos um elemento de A que tambm elemento de B. Nenhum A B

A proposio categrica Nenhum A B equivale a: Nenhum B A. Todo A no B.

Todo B no A.

A e B so conjuntos disjuntos.

Se nenhum A B uma proposio verdadeira, qual ser o valor lgico das demais proposies categricas?

Todo A B necessariamente falsa. Algum A no B necessariamente verdadeira. Algum A B necessariamente falsa. Algum A no B

Observe que Algum A no B no equivale a Algum B no A. Por exemplo, dizer que Algum brasileiro no pernambucano no equivale a dizer que Algum pernambucano no brasileiro.

Se algum A no B uma proposio verdadeira, qual ser o valor lgico das demais proposies categricas?

Nenhum A B indeterminada, pois poderia haver elementos na interseo dos conjuntos A e B.

Algum A B indeterminada, pois pode haver ou no elementos na interseo dos conjuntos A e B.

Todo A B necessariamente falsa.






26. (TRF 2004/FCC) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que: a) Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. b) Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. c) Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. d) Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. e) Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. Resoluo

Diante do diagrama e da teoria exposta, conclumos facilmente que a resposta

correta a letra B. Se todo livro instrutivo, podemos afirmar que algum livro instrutivo.

27. (IPEA 2004/FCC) Considerando toda prova de Lgica difcil uma proposio verdadeira, correto inferir que:

a) nenhuma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

b) alguma prova de Lgica difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

c) alguma prova de Lgica difcil uma proposio verdadeira ou falsa. d) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio necessariamente verdadeira.

e) alguma prova de Lgica no difcil uma proposio verdadeira ou falsa.

Resoluo

Questo idntica anterior.

Ora, se todas as provas de lgica so difceis, podemos garantir que alguma prova de lgica difcil.

Letra B

28. (TRT/2006/FCC) As afirmaes seguintes so resultados de uma pesquisa feita entre os funcionrios de certa empresa. Todo indivduo que fuma tem bronquite. Todo indivduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho. Relativamente a esses resultados, correto concluir que:






a) existem funcionrios fumantes que no faltam ao trabalho.

b) todo funcionrio que tem bronquite fumante. c) todo funcionrio fumante costuma faltar ao trabalho.

d) possvel que exista algum funcionrio que tenha bronquite e no falte habitualmente ao trabalho.

e) possvel que exista algum funcionrio que seja fumante e no tenha bronquite.

Resoluo

Pelo diagrama exposto, percebemos que todo funcionrio fumante costuma faltar ao trabalho.

Letra C

29. (TRT-PR 2004/FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos so

desonestos", correto concluir que:

a) quem no corrupto honesto. b) existem corruptos honestos.

c) alguns honestos podem ser corruptos. d) existem mais corruptos do que desonestos.

e) existem desonestos que so corruptos.

Resoluo

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

a) Esta alternativa falsa, pois podem existir pessoas que no so corruptas e que so desonestas.

b) Esta alternativa falsa, pois todo corrupto desonesto.

c) Esta alternativa falsa, pois todo corrupto desonesto.






d) Esta alternativa falsa, pois podem existir pessoas que no so corruptas e

que so desonestas.

e) Esta alternativa verdadeira, pois todos os corruptos so desonestos e, portanto, existem desonestos corruptos.

Letra E

30. (TCE-PB 2006/FCC) Sobre as consultas feitas a trs livros X, Y e Z, um

bibliotecrio constatou que: Todas as pessoas que haviam consultado Y tambm consultaram X. Algumas pessoas que consultaram Z tambm consultaram X. De acordo com suas constataes, correto afirmar que, com certeza:

a) pelo menos uma pessoa que consultou Z tambm consultou Y. b) se alguma pessoa consultou Z e Y, ento ela tambm consultou X.

c) toda pessoa que consultou X tambm consultou Y. d) existem pessoas que consultaram Y e Z.

e) existem pessoas que consultaram Y e no consultaram X.

Resoluo

A proposio Todas as pessoas que haviam consultado Y tambm consultaram X representada assim:

Algumas pessoas que consultaram Z tambm consultaram X. Isto

significa que h elementos comuns aos conjuntos X e Z. Porm, no sabemos qual a relao que existe entre o conjunto Z e o conjunto Y. Por essa razo,

deixaremos uma parte do conjunto Z pontilhada para demonstrar esta

incerteza.






Observe que no sabemos se o conjunto Z e o conjunto Y possuem elementos comuns. Vamos analisar as alternativas.

a) pelo menos uma pessoa que consultou Z tambm consultou Y.

No temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta

alternativa falsa.

b) se alguma pessoa consultou Z e Y, ento ela tambm consultou X.

Esta alternativa verdadeira. Se alguma pessoa consultou Z e Y, ento esta pessoa consultou Y. Se esta pessoa consultou Y, ento ela

tambm consultou X. Conclumos que se alguma pessoa consultou Z e

Y, ento ela tambm consultou X.

c) toda pessoa que consultou X tambm consultou Y.

Esta alternativa falsa. Podemos apenas afirmar que toda pessoa que consultou Y tambm consultou X.

d) existem pessoas que consultaram Y e Z.

No temos certeza se os conjuntos Z e Y possuem elementos comuns. Esta alternativa falsa.

e) existem pessoas que consultaram Y e no consultaram X.

Esta alternativa falsa, pois todas as pessoas que haviam consultado Y tambm consultaram X.

Resposta: Letra B

31. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere o diagrama a seguir, em que U o

conjunto de todos os professores universitrios que s lecionam em faculdades da cidade X, A o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade

A, B o conjunto de todos os professores que lecionam na faculdade B e M o conjunto de todos os mdicos que trabalham na cidade X.






Em todas as regies do diagrama, correto representar pelo menos um

habitante da cidade X. A respeito do diagrama, foram feitas quatro afirmaes:

I. Todos os mdicos que trabalham na cidade X e so professores

universitrios lecionam na faculdade A.

II. Todo professor que leciona na faculdade A e no leciona na faculdade B mdico.

III. Nenhum professor universitrio que s lecione em faculdades da cidade X,

mas no lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, mdico.

IV. Algum professor universitrio que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas no mdico.

Est correto o que se afirma APENAS em

(A) I.

(B) I e III. (C) I, III e IV.

(D) II e IV.

(E) IV.

Resoluo

Vamos analisar cada uma das alternativas de per si. I. Todos os mdicos que trabalham na cidade X e so professores

universitrios lecionam na faculdade A.






O item I falso, como pode bem ser visto no diagrama acima. A regio

pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que mdico que trabalha na cidade X (pois elemento de M), professor universitrio que s

leciona em faculdades da cidade X e no leciona na faculdade A. II. Todo professor que leciona na faculdade A e no leciona na

faculdade B mdico.

O item II falso, como pode ser visto no diagrama acima. A regio pintada de vermelho possui pelo menos um elemento que leciona na faculdade A, no

leciona na faculdade B e no mdico.

III. Nenhum professor universitrio que s lecione em faculdades da

cidade X, mas no lecione nem na faculdade A e nem na faculdade B, mdico.

A regio pintada de vermelho indica o conjunto das pessoas que s lecionam

em faculdades da cidade X (elementos de U), no leciona nem na faculdade A e nem na faculdade B e no so mdicos. O item III falso.

IV. Algum professor universitrio que trabalha na cidade X leciona, simultaneamente, nas faculdades A e B, mas no mdico.






De acordo com a regio pintada de vermelho, percebemos que todos os

professores universitrios que trabalham na cidade X e que lecionam simultaneamente nas faculdades A e B no so mdicos. O item IV

verdadeiro. Letra E






Relao das questes comentadas nesta aula

01. (ANVISA 2010/CETRO) Seja e seja . Se escrevermos a proposio No verdade que ela baixa ou no charmosa na forma simblica, usando , teremos: a) b) c) d) e)

02. (FUNAI 2010/CETRO) Observe a afirmao X abaixo

X: Y ou Z falsa. Y e Z significam, respectivamente,

Y: Felipe nutricionista Z: Se Fbio pesquisador, ento Rafael engenheiro Com base nas informaes apresentadas, pode-se afirmar que (A) Felipe no nutricionista, Fbio no pesquisador e Rafael no

engenheiro. (B) Felipe nutricionista, Fbio pesquisador e Rafael engenheiro.

(C) Felipe no nutricionista, Fbio pesquisador e Rafael engenheiro. (D) Felipe nutricionista, Fbio no pesquisador e Rafael engenheiro.

(E) Felipe no nutricionista, Fbio pesquisador e Rafael no engenheiro.

03. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Uma empresa mantm a seguinte regra em relao a seus funcionrios: Se um funcionrio tem mais de 45 anos de idade, ento

ele dever, todo ano, realizar pelo menos um exame mdico e tomar a vacina contra a gripe. Considerando que essa regra seja sempre cumprida, correto

concluir que, necessariamente, se um funcionrio dessa empresa

(A) anualmente realiza um exame mdico e toma a vacina contra a gripe, ento ele tem mais de 45 anos de idade.

(B) tem 40 anos de idade, ento ele no realiza exames mdicos anualmente ou no toma a vacina contra a gripe.

(C) no realizou nenhum exame mdico nos ltimos dois anos, ento ele no

tem 50 ou mais anos de idade. (D) tem entre 55 e 60 anos de idade, ento ele realiza um nico exame

mdico por ano, alm de tomar a vacina contra a gripe. (E) tomou a vacina contra a gripe ou realizou exames mdicos nos ltimos dois

anos, ento ele tem pelo menos 47 anos de idade.

04. (SEFAZ-SP 2009/FCC) Considere as seguintes afirmaes: I. Se ocorrer uma crise econmica, ento o dlar no subir.

II. Ou o dlar subir, ou os salrios sero reajustados, mas no ambos. III. Os salrios sero reajustados se, e somente se, no ocorrer uma crise

econmica. Sabendo que as trs afirmaes so verdadeiras, correto concluir que,

necessariamente,






(A) o dlar no subir, os salrios no sero reajustados e no ocorrer uma

crise econmica. (B) o dlar subir, os salrios no sero reajustados e ocorrer uma crise

econmica. (C) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e ocorrer uma crise

econmica. (D) o dlar subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer uma crise

econmica. (E) o dlar no subir, os salrios sero reajustados e no ocorrer uma crise

econmica.

05. (Aneel/2004/Esaf) Surfo ou estudo. Fumo ou no surfo. Velejo ou no estudo. Ora, no velejo. Assim:

a) estudo e fumo.

b) no fumo e surfo. c) no velejo e no fumo.

d) estudo e no fumo. e) fumo e surfo.

06. (CGU/2003-2004/Esaf) Ana prima de Bia, ou Carlos filho de Pedro. Se

Jorge irmo de Maria, ento Breno no neto de Beto. Se Carlos filho de Pedro, ento Breno neto de Beto. Ora, Jorge irmo de Maria. Logo:

a) Carlos filho de Pedro ou Breno neto de Beto. b) Breno neto de Beto e Ana prima de Bia.

c) Ana no prima de Bia e Carlos filho de Pedro. d) Jorge irmo de Maria e Breno neto de Beto.

e) Ana prima de Bia e Carlos no filho de Pedro.

07. (CGU/2003-2004/Esaf) Homero no honesto, ou Jlio justo. Homero

honesto, ou Jlio justo, ou Beto bondoso. Beto bondoso, ou Jlio no justo. Beto no bondoso, ou Homero honesto. Logo,

a) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio no justo. b) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio no justo.

c) Beto bondoso, Homero honesto, Jlio justo. d) Beto no bondoso, Homero no honesto, Jlio no justo.

e) Beto no bondoso, Homero honesto, Jlio justo.

08. (Tcnico/MPU/Administrativa/2004/Esaf) Ricardo, Rogrio e Renato so irmos. Um deles mdico, outro professor e o outro msico. Sabe-se

que: 1) ou Ricardo mdico, ou Renato mdico;, 2) ou Ricardo professor, ou Rogrio msico; 3) ou Renato msico, ou Rogrio msico; 4) ou

Rogrio professor, ou Renato professor. Portanto, as profisses de Ricardo, Rogrio e Renato so respectivamente:

a) professor, mdico, msico.

b) mdico, professor, msico. c) professor, msico, mdico.

d) msico, mdico, professor. e) mdico, msico, professor.






09. (Ipea 2004/FCC) Quando no vejo Lcia, no passeio ou fico deprimido.

Quando chove, no passeio e fico deprimido. Quando no faz calor e passeio, no vejo Lcia. Quando no chove e estou deprimido, no passeio. Hoje,

passeio. Portanto, hoje: a) vejo Lucia, e no estou deprimido e no chove, e faz calor.

b) no vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor. c) no vejo Lucia, e estou deprimido, e no chove, e no faz calor.

d) vejo Lucia, e no estou deprimido, e chove, e faz calor. e) vejo Lucia, e estou deprimido, e no chove, e faz calor.

10. (FUNAI 2010/CETRO) Quando no trabalho, no fico feliz ou fico

desiludido. Quando fao compras, no fico feliz e fico desiludido. Quando no fao compras e fico feliz, trabalho. Quando no fao compras e estou

desiludido, no fico feliz. Hoje, fico feliz. Portanto, hoje,

(A) trabalho, no estou desiludido, no fico feliz e fao compras. (B) no trabalho, estou desiludido, fico feliz e fao compras.

(C) trabalho, no estou desiludido, fico feliz e no fao compras. (D) no trabalho, estou desiludido, no fico feliz e no fao compras.

(E) trabalho, estou desiludido, no fico feliz e fao compras.

11. (MEC/2008/FGV) Com relao naturalidade dos cidados brasileiros, assinale a alternativa logicamente correta:

a) Ser brasileiro condio necessria e suficiente para ser paulista.

b) Ser brasileiro condio suficiente, mas no necessria para ser paranaense.

c) Ser carioca condio necessria e suficiente para ser brasileiro. d) Ser baiano condio suficiente, mas no necessria para ser brasileiro.

e) Ser maranhense condio necessria, mas no suficiente para ser

brasileiro.

12. (Bacen/2006/FCC) Sejam as proposies: p: atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.

q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica q, ento:

a) Fazer frente ao fluxo positivo condio necessria e suficiente para a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.

b) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central no condio suficiente e nem necessria para fazer frente ao fluxo positivo.

c) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio necessria para fazer frente ao fluxo positivo.

d) Fazer frente ao fluxo positivo condio suficiente para a atuao compradora de dlares por parte do Banco Central.

e) A atuao compradora de dlares por parte do Banco Central condio

suficiente para fazer frente ao fluxo positivo.

13. (Agente Penitencirio SJDH-BA 2010/FCC) Uma afirmao equivalente afirmao Se bebo, ento no dirijo (A) Se no bebo, ento no dirijo.






(B) Se no dirijo, ento no bebo.

(C) Se no dirijo, ento bebo. (D) Se no bebo, ento dirijo.

(E) Se dirijo, ento no bebo.

14. (Polcia Civil 2007/Ipad) A sentena Penso, logo existo logicamente equivalente a:

a) Penso e existo. b) Nem penso, nem existo.

c) No penso ou existo. d) Penso ou no existo.

e) Existo, logo penso

15. (MPOG/2006/Esaf) Dizer que Andr artista ou Bernardo no engenheiro logicamente equivalente a dizer que: a) Andr artista se e somente se Bernardo no engenheiro.

b) Se Andr artista, ento Bernardo no engenheiro. c) Se Andr no artista, ento Bernardo engenheiro.

d) Se Bernardo engenheiro, ento Andr artista. e) Andr no artista e Bernardo engenheiro.

16. (Aneel/2006/Esaf) Se Elaine no ensaia, Elisa no estuda. Logo:

a) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa no estudar.

b) Elaine ensaiar condio suficiente para Elisa estudar. c) Elaine no ensaiar condio necessria para Elisa no estudar.

d) Elaine no ensaiar condio suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar condio necessria para Elisa estudar.

17. (TCE/MG/2007/FCC) So dadas as seguintes proposies: (1) Se Jaime trabalha no Tribunal de Contas, ento ele eficiente.

(2) Se Jaime no trabalha no Tribunal de Contas, ento ele no eficiente. (3) No verdade que, Jaime trabalha no Tribunal de Contas e no eficiente.

(4) Jaime eficiente ou no trabalha no Tribunal de Contas.

correto afirmar que so logicamente equivalentes apenas as proposies de nmeros

a) 2 e 4 b) 2 e 3

c) 2, 3 e 4 d) 1, 2 e 3

e) 1, 3 e 4

18. (Administrador DNOCS 2010/FCC) Considere a seguinte proposio:

Se uma pessoa n o faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho, ent o ela n o melhora o seu desempenho profissional. Uma proposio logicamente equivalente proposio dada :






(A) falso que, uma pessoa no melhora o seu desempenho profissional ou

faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho. (B) No verdade que, uma pessoa no faz cursos de aperfeioamento

profissional e no melhora o seu desempenho profissional. (C) Se uma pessoa no melhora seu desempenho profissional, ento ela no

faz cursos de aperfeioamento na sua rea de trabalho. (D) Uma pessoa melhora o seu desempenho profissional ou no faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho. (E) Uma pessoa no melhora seu desempenho profissional ou faz cursos de

aperfeioamento na sua rea de trabalho.

19. (AFC/2002/Esaf) Dizer que no verdade que

aula 04 - raciocínio lógico

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