raciocínio lógico - aula 06

7/26/2019 Raciocnio Lgico - Aula 06

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Curso Online - Raciocnio Lgico-Quantitativo para Traumatizados emExerccios, incluindo Matemtica, Matemtica Financeira e Estatstica

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior

Aula 6 - Questes Comentadas e Resolvidas

Estatstica Descritiva. Grficos, tabelas, sries, tipos de variveis,

distribuies de freqncia, medidas de posio (mdia, mediana emoda), medidas de disperso (desvio padro etc.), medidas deassimetria, medidas de curtose, diagramas de caixa (box plots) ediagrama de ramo-e-folhas.

Ol, tudo bem? Esperamos que voc esteja aproveitando bastante as nossasaulas de raciocnio lgico-quantitativo. Hoje inicia-se uma nova etapa destecurso, em que aprenderemos, juntos, probabilidade, estatstica e anlisecombinatria, ou simplesmente "estatstica", como alguns preferem.Reconhecemos que o assunto no de fcil compreenso. Um bom

aproveitamento desta nova matria requerer muita dedicao e esforo, oque significar, na prtica, que voc dever treinar exaustivamente por meioda resoluo dos exerccios. Garantimos que se voc treinar, treinar e treinar,o bom desempenho na prova de raciocnio lgico-quantitativo ser meraconsequncia do treinamento. Por outro lado, a tarefa dos professoresconsistir em apresentar os elementos sensveis do assunto, numa ordemsugestiva e com uma distribuio adequada do contedo. Ns o incentivamos aperguntar via forum web sempre que tiver dvidas.

Acreditamos que o segredo para ser aprovado em qualquer concurso reside nacapacidade de abstrair, que consiste, a rigor, em apreender o essencial eignorar o incidental, ver o que significativo e pr de lado o irrelevante,

reconhecer o importante como importante e o negligencivel como

negligencivel. Portanto, o importante que voc chegue ao final destemdulo com uma compreenso razovel das ideias fundamentais da estatsticaque ser cobrada na prova. No tente aprender tudo o que ser ensinado deuma s vez. H que digerir os conceitos. A nossa experincia mostra quequemtenta aprender tudo de uma s tacada no aprende nada.

Voltemos ao curso. Aprenderemos estatstica atravs de exerccios at a aula13 (11/11). uma longa caminhada (mas valer a pena, pode estar certo(a)

disso!). No obstante, continuaremos a propor exerccios para revisar osassuntos que foram ensinados at a aula 5 (matemtica bsica, matemtica eraciocnio lgico). Esses exerccios sero propostos ao final da aula, na seointitulada "Exerccios de Reviso". Na aula 7 (prxima aula) sero propostosexerccios de reviso dos conceitos vistos at a aula 6, e assimsucessivamente. Com esta metodologia, esperamos que voc mantenha otreinamento nos tpicos vistos at a aula atual.

Vamos comear?

Julgue os itens a seguir.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior1. A estatstica descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativase testar hipteses a respeito das caractersticas de uma populao.

Resoluo

O item d a definio de Inferncia Estatstica. Aproveitaremos aoportunidade para enunciar os conceitos depopulao eamostra.

POPULAO

Uma populao o conjunto de todos os elementos de interesse emdeterminado estudo.

AMOSTRA

Uma amostra um subconjunto de uma populao.

GABARITO: Errado

2. A inferncia estatstica aborda a organizao e a descrio dos dadosexperimentais.

Resoluo

O item define a Estatstica Descritiva. Detalhemos um pouco mais adefinio.

A maioria das informaes estatsticas publicadas no jornais, revistas,relatrios de empresas, etc., consiste em dados sumariados e apresentados deforma fcil de entender para o leitor. Esses sumrios de dados, que podem sertabulares, grficos ou numricos, so conhecidos como Estatstica Descritiva.

GABARITO: Errado

3. Uma varivel estatstica ser qualitativa quando resultar de umaclassificao por tipos ou atributos.

Resoluo

A varivel ser qualitativa quando resultar de uma classificao por tipos ouatributos, como, por exemplo:

a) Populao: moradores de uma cidade.Varivel: sexo (masculino ou feminino).

b) Populao: peas produzidas por uma mquina.

Varivel: qualidade (perfeita ou defeituosa).GABARITO: Certo

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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior4. Uma varivel estatstica ser quantitativa quando seus valores foremexpressos em nmeros.

Resoluo

Item certo. As variveis quantitativas podem ser discretas ou contnuas. Umavarivel contnua aquela cujos possveis valores pertencem a um intervalo denmeros reais e que resulta de uma mensurao, como, por exemplo, aestatura de um indivduo. Uma varivel discreta aquela cujos possveisvalores formam um conjunto finito ou enumervel de nmeros, e queresultam, freqentemente, de uma contagem.

Exemplos de variveis discretas:

a) Populao: casais residentes em um distrito de uma cidade.Varivel: nmero de filhos.

b) Populao: carros produzidos em uma linha de montagem.Varivel: nmero de defeitos por unidade.

Exemplos de variveis contnuas:

a) Populao: detergentes de uma certa marca e tipo.Varivel: peso lquido.

b) Populao: peas produzidas por uma mquina.Varivel: dimetro externo.

GABARITO: Certo

5.O rol um arranjo dos dados brutos.

Resoluo

Um rol um arranjo dos dados em ordem crescente ou decrescente.

Assim, {10, 8, 20, 12, 15, 3, 2, 4} so dados brutos e {2, 3, 4, 8, 10, 12, 15,20} constituem o rol.

GABARITO: Errado

6. Srie estatstica toda tabela que apresenta um conjunto de dadosestatsticos distribudos em funo da poca, do local ou da espcie.

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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorResoluo

A definio correta. As sries estatsticas podem ser classificadas em

histricas; geogrficas;

especficas; e

IPCA (%)Jun/2011 0,15Mai/2011 0,47Abr/2011 0,77Mar/2011 0,79Fev/2011 0,80Jan/2011 0,83Dez/2010 0,63Nov/2010 0,83Out/2010 0,75

Set/2010 0,45Ago/2010 0,04Jul/2010 0,01Jun/2010 0,00

Fonte: IBGE

2) Srie geogrfica: os 10 maiores PIB do mundo

PIB 2010Pas US$ (bilhes)

EUA 14.582China 5.878Japo 5.497Alemanha 3.309Frana 2.560Reino Unido 2.246Brasil 2.087Itlia 2.051Canad 1.574

Fonte: Banco Mundial


distribuio de frequncias.

Exemplos:

1) Srie histrica: ndice Nacional de Preos ao Consumidor Amplo (IPCA)


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior3) Srie especfica: nmero de formandos por curso de graduao de umauniversidade

NMERO DE ALUNOS

EGRESSOS - 2010Cursos No de egressosEngenharia 100Direito 250Administrao 150Economia 50Contabilidade 50

(*) Valores hipotticos

4) Distribuio de frequncias:

Altura dos alunos de umaacademia ginstica

Alturas (m) No de alunos1,50 |-- 1,60 251,60 |-- 1,70 451,70 |-- 1,80 801,80 |-- 1,90 151,90 |-- 2,00 52,00 |-- 2,10 1

(*) Valores hipotticos

A frequncia de um dado valor de uma varivel (qualitativa ou quantitativa) definida como o nmero de vezes que esse valor foi observado. Seja f afrequncia do i-simo valor observado. Se o nmero total de elementosobservados n, ento vale a relao

em que k denota o nmero de diferentes valores existentes da varivel.

A associao das respectivas frequncias a todos os diferentes valoresobservados define a distribuio de frequncias do conjunto de valoresobservados. Tambm podemos trabalhar com a noo de frequncia relativade um valor observado, definida como



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorObserve que

10,4 10,5 10,8 10,2 10,610,6 10,2 10,7 10,4 10,510,3 10,5 10,4 10,7 10,4

10,9 10,5 10,3 10,6 10,510,4 10,5 10,6 10,9 10,7

Na Tabela abaixo, temos os dados acima organizados em termos defrequncias e de frequncias relativas, simples e acumuladas.

xi fi Fi pi Pi10,2 2 2 0,08 0,0810,3 2 4 0,08 0,1610,4 5 9 0,20 0,36

10,5 6 15 0,24 0,6010,6 4 19 0,16 0,7610,7 3 22 0,12 0,8810,8 1 23 0,04 0,9210,9 2 25 0,08 1,00

25 1,00

A prxima figura uma representao grfica das duas primeiras colunas daTabela acima. importante que voc aprenda a interpretar corretamente ogrfico da figura a seguir. Por exemplo, a frequncia 2 associada ao valor 10,3

quer dizer, na verdade, que temos dois valores compreendidos entre os limites10,25 e 10,35, que foram aproximados, no processo de medio, para 10,3.Portanto, uma representao grfica correta dever associar a frequncia 2 aointervalo 10,25 - 10,35. Isto feito por meio de uma figura formada com

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retngulos cujas reas representam as frequncias dos diversosintervalos existentes.

A distribuio de frequncias o tipo de srie mais importante para a prova.

Exemplo. Considere a varivel comprimento de peas produzidas em umafbrica, dada em centmetros:

histograma.Tal figura denominada


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No caso das variveis contnuas, as frequncias sempre sero associadas aintervalos de variao da varivel e no a valores individuais. Tais intervalosso chamados de classes de frequncias. Estas classes so usualmenterepresentadas pelos seus pontos mdios.

GABARITO: Certo

7.A mdia dos nmeros 3, 4, 8, 11 e 13 maior que 7.

Resoluo

Generalizando o resultado obtido, temos que a mdia aritmtica, ou mdia, deum conjunto den nmeros xl3x2,...,xn definida por (leia-se "x barra")

GABARITO: Certo

8. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequncias 3, 2, 4 e 1, respectivamente, amdia aritmtica ser um nmero entre 5 e 6.


Mdia =

Resoluo


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorEm geral, se k valores distintos observados x l3x2,. .. ,x k ocorrerem com as

frequncias f1, f2,..., fk, respectivamente, a mdia ser

em que pj denota a j-sima frequncia relativa.

INTERPRETAO DA MDIA

A mdia caracteriza o centro da distribuio de frequncias; fazendo umaanalogia com a mecnica, poderamos interpretar a mdia como sendo o

"centro de gravidade" de uma distribuio de frequncias.

PROPRIEDADES DA MDIA

a) multiplicando-se todos os valores de uma varivel por uma constante, amdia do conjunto fica multiplicada por essa constante. Seja x a varivel de

GABARITO: Errado

9.Seja a distribuio em classes de frequncia dada na tabela abaixo.

Classe(limites reais)

fi xi (pontomdio do

intervallo)

xifi

40,0 - 45,0 6 42,5 25545,0 - 50,0 16 47,5 760

50,0 - 55,0 32 52,5 1.68055,0 - 60,0 24 57,5 1.38060,0 - 65,0 14 62,5 87565,0 - 70,0 6 67,5 40570,0 - 75,0 2 72,5 145

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Ento a mdia da distribuio inferior a 60.

Resoluo

interesse, cum valor constante ey= cx. Ento

b) somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de umavarivel, a mdia do conjunto fica acrescida ou diminuda dessa constante.Sejax a varivel de interesse, cum valor constante e

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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorO clculo acima mostra que todos os valores includos num certo intervalo declasse devem ser considerados coincidentes com o ponto mdio do intervaloquando os dados so apresentados em uma distribuio de frequncias.

GABARITO: Certo

GABARITO: Errado

11. O desempenho em um curso de graduao avaliado por meio das notasobtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). Sabendo-

se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, ento amdia final do aluno que obteve as notas (em uma escala de 0 a 10) P1 = 5,0,P2 = 4,5 e A=8,5 maior que 5,0.

Resoluo

MDIA PONDERADA


10. As mdias geomtrica e harmnica dos nmeros 2, 4 e 8 so, em valoresaproximados, iguais a 3,43 e 4, respectivamente.

Resoluo

MDIA GEOMTRICA

MDIA HARMNICA

Generalizao das frmulas das mdias geomtrica e harmnica:


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorGeneralizao da frmula da mdia ponderada:

iguais.

GABARITO: D

13. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informaessobre a distribuio salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salriomdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observado para homens foi de R$1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta:


denotam os fatores de ponderao ou pesos.

Nota: a mdia geomtrica de um conjunto de nmeros positivos

menor do que ou igual a sua mdia aritmtica, mas maior do que ou igual asua mdia harmnica:

GABARITO: Certo

12. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de

Resoluo

A mdia geomtrica (G) de um conjunto de nmeros positivos

menor ou igual a mdia aritmticaharmnica:

mas maior ou igual a mdia

A igualdade entre as mdias ocorre quando todos os nmeros

nmeros positivos temos: como a mdia aritmtica, G como a mdiageomtrica e H como a mdia harmnica, podemos afirmar que


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA) O nmero de homens na amostra igual ao nmero de mulheres.

B) O nmero de homens na amostra o dobro do nmero de mulheres.

C) O nmero de homens na amostra o triplo do nmero de mulheres.

D) O nmero de mulheres na amostra o dobro do nmero de homens.E) O nmero de homens na amostra o qudruplo do nmero de mulheres.

Resoluo

Dados fornecidos:

Os dados fornecidos pela banca sugerem que a questo poder ser resolvidaatravs da aplicao da frmula da mdia combinada, a qual corresponde

1.300 Nh + 1.100 NM = 1.200 NH + 1.200 NM

A nossa tentativa deu certo. Conclumos que o nmero de homens na amostra igual ao nmero de mulheres (alternativa "A").

GABARITO: A


- mdia salarial dos homens:

- mdia salarial das Mulheres:

- salrio mdio (mdia combinada)

Variveis incgnitas:

- NH: nmero de homens;

- NM: nmero de mulheres.

O que esta questo est cobrando? O que est por detrs das alternativas?

Diramos que a pergunta a ser respondida a seguinte:

Qual a relao existente entre as variveis

mdia ponderada das mdias salariais

certo? Ento vamos l.

No custa nada tentar,


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorJulgue os itens a seguir.

14. A mediana da srie ordenada {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30} 20.

Resoluo

A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n mpar, definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Na questo, n = 9 e(n+1)/2 = (9+1)/2 = 10/2 = 5, ou seja, a mediana o quinto valor da srie:

{12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30}.

Classe frequncia40,0 - 45,0 645,0 - 50,0 1650,0 - 55,0 3255,0 - 60,0 2460,0 - 65,0 1465,0 - 70,0 670,0 - 75,0 2

Soma: 100


mediana = 20

Se n for par, consideraremos a mediana como o valor mdio entre os valoresde ordemn/2e (n/2) + 1 do conjunto de dados. Exemplo:

A mediana dos oito valores j ordenados,

12 14 15 19 20 26 27 30

igual a (19+20)/2 = 19,5.

A mediana caracteriza o centro de uma distribuio de frequncias com basena ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana ovalor que ocupa a posio central dos dados ordenados. A mediana ovalor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50% menoresvalores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado.

GABARITO: Certo

15. Considere os dados da tabela a seguir. A mediana dessa distribuio menor que 50.


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Voc no precisa decorar nenhuma frmula para saber determinar o valor damediana, haja vista que ela pode ser obtida atravs da aplicao de uma mera

regra de trs. Ento como que a gente calcula a mediana? Vamos l. Aprincpio no sabemos o valor exato da mediana. Mas isso no nos impede dedeterminar a sua classe (esse o "pulo do gato"!). A tabela mostra que aprimeira classe tem frequncia 6%, a segunda tem frequncia 16% e aterceira tem frequncia 32%. Note que 6% + 16% = 22%, sendo este o valorda frequncia acumulada at a segunda classe. A frequncia acumulada daterceira classe 22% + 32% = 54%. Agora precisamos dar uma parada.Repare que a frequncia acumulada da terceira classe 54% > 50%. Logo, aterceira classe contm a mediana (e por isso que o item errado). Deve-semontar a seguinte regra de trs:

a amplitude da classe da mediana (55,0 - 50,0 = 5,0) est para afrequncia da classe da mediana (32), assim como a amplitude da classeat a mediana (X) est para a frequncia acumulada at a medianasubtrada da frequncia acumulada at a classe inferior classe da

mediana (50% - 22% = 28%):


Portanto,

mediana = 50,0 + X = 54,375.

O procedimento de clculo da mediana descrito acima pode ser generalizadopor meio da frmula

acima supe que os valores observados da varivel tenham se distribudohomogeneamente dentro das diversas classes.

COMENTRIOS

Em certos casos prticos, como aqueles que envolvem distribuies de

frequncia com valores extremos, mais conveniente usar a mediana comomedida de tendncia central, pois a mdia sofre influncia de valores

em que L o limite inferior da classe que contm a mediana,n o nmero de

elementos do conjunto de dados, a soma das frequncias das classes

anteriores que contm a mediana, a frequncia da classe que contm a

a amplitude da classe que contm a mediana. A expresso


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorextremos. Neste caso, a mediana fornecer uma melhor idia do centro dadistribuio de frequncias da varivel sob anlise.

A mediana de uma distribuio em classes de frequncias pode ser

geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por elatraada divide a rea sob o histograma em duas partes iguais.

A mediana e a mdia so coincidentes quando a distribuio simtrica. Emdistribuies assimtricas, a mdia tende a deslocar-se para o lado da caudamais longa (vide figura abaixo).

DistribuioDistribuio assimtrica

simtrica

mdia = mediana

A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntoscom igual nmero de elementos. H outras maneiras de se dividir os dadosordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valoresem quatro subconjuntos com igual nmero de elementos. O primeiro quartil(Q1) ou quartil inferior (Q) delimita os 25% menores valores; o segundoquartil a prpria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) ovalor que separa os 25% maiores valores (veja a prxima figura). Alm dosquartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que so os valores quedividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana

corresponde ao quinto decil D5) e os percentis, que so os valores quedividem os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados porP1, P 2 , . . . ,P99(a mediana o percentil P50).

De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidosmediante subdivises dos dados em partes iguais so denominadosquantis.



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GABARITO: Errado

16. Considere os dados do item anterior. O valor aproximado da moda dadistribuio 53,3.

Resoluo

A moda de uma distribuio pode ser calculada pelo mtodo de Czuber ou pelomtodo de King. Caso a questo da prova no especifique o mtodo, assumaque o clculo deve ser feito pela frmula de Czuber.

FRMULA DE CZUBER


A moda de uma distribuio dada pelo valor mais freqente ou demxima frequncia. Assim, a classe modal da distribuio 50,0 55,0,pois esta classe possui a maior frequncia, cujo valor 32.

em que L o limite inferior da classe modal, d1 a diferena entre afrequncia da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d2 adiferena entre a frequncia da classe modal e a da classe imediatamenteseguinte e h a amplitude das classes.


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classe modal e h a amplitude da classe modal.

Se todas as realizaes do conjunto de valores observados ocorrem com amesma frequncia, diz-se que a srie estatstica amodal, ou seja, no tem

valor modal.

Exemplo. Seja a srie estatstica {2, 1, 9, 4, 5, 20, 8, 7, 11, 19}. Essa srie amodal, pois no h repetio de valores (todos ocorrem o mesmo nmero devezes).

Pode haver mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenasuma moda, a distribuio dita unimodal. Se houver duas, bimodal, sepossuir trs trimodale assim sucessivamente.

A figura a seguir ilustra as posies relativas da moda, mediana e mdia parauma distribuio de frequncia (levemente) inclinada para a direita.

GABARITO: Certo



Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorINFORMAES ADICIONAIS

Mtodo de King:

em que L denota o limite inferior da classe modal,

classe posterior a classe modal, a frequncia da classe anterior a


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver asprximas duas questes, considere a tabela de frequncias relativas abaixo,que mostra a distribuio dos valores arrecadados, em 2008, sobredeterminado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para anlise.

Sabe-se que:

I - As frequncias absolutas correspondem s quantidades de recolhimentos,sendo as frequncias relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguaisa x e y, respectivamente.

II - A mdia aritmtica da distribuio, valor arrecadado por recolhimento, igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valoresincludos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdiodesse intervalo).

Valores Arrecadados (R$) Frequncias Relativas1.000,00 | 2.000,00 0,102.000,00 | 3.000,00 x3.000,00 | 4.000,00 y4.000,00 | 5.000,00 0,205.000,00 | 6.000,00 0,10

Total 1,00

17. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ouiguais a R$ 3.000,00

A) 70%

B) 65%

C) 55%

D) 45%

E) 40%

Resoluo

Seja a tabela abaixo, em que xdenota o ponto mdio da classe i, prepresentaa frequncia relativa da classe iePi a frequncia acumulada da classe i.

Classes (em R$ mil) xi Pi Pi1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,102,0 |--- 3,0 2,5 x 0,10 + x3,0 |--- 4,0 3,5 y 0,10 + x + y4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,30 + x + y5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 0,40 + x + y

Total 1,00

Temos duas frequncias relativas incgnitas: xey. Logo, precisaremos montarum sistema de duas equaes a duas incgnitas para resolverxey.Profs. Alexandre Lima e.Moraes Junior www.pontodosconcursos. com. br 51


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Classes (em R$ mil) xi Pi Pi1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10

2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,453,0 |--- 4,0 3,5 0,25 0,704,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,905,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00

Total 1,00

E a porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ouiguais a R$ 3.000,00: 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 = 55%.

GABARITO: C


Por outro lado, sabemos que

Chegamos ento ao sistema

Podemos resolver o sistema da seguinte forma: multiplique a equao (2) por-2,5 e some-a com a equao (1):

-2,5x - 2,5y +2,5x + 3,5y = 1,75 - 1,50

O enunciado diz que

0x + 1,0y = 0,25

Substituindo o valor de y em (2), tem-se que

= 0,60 - 0,25 = 0,35.

Ento a soluo :

A verso final da tabela :


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior18. Utilizando o mtodo da interpolao linear, tem-se que o valor darespectiva mediana

A) R$ 3,120,00

B) R$ 3,200,00C) R$ 3,400,00

D) R$ 3,600,00

E) R$ 3,800,00

Resoluo

Classes (em R$ mil) xi Pi Pi1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10

2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,453,0 |--- 4,0 (classe da mediana) 3,5 0,25 0,704,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,905,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00Total 1,00

A mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50%menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado.Fazendo a interpolao linear (regra de trs), temos que: (4,0 - 3,0) = 1,0(amplitude da classe da mediana) est para X (amplitude na classe da

mediana correspondente mediana) assim como (70% - 45%) est (50% -45%):


Logo:md= 3,0 + 0,2 = R$ 3,2 mil.

GABARITO: B

19. (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das seguintesobservaes:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24,9

A) 13,5

B) 17

C) 14,5

D) 15,5E) 14


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A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n mpar, definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, a

mediana poderia ser definida como qualquer valor situado entre o de ordemn/2 e o de ordem (n/2) + 1. Por simplificao, para n par, consideraremos amediana como o valor mdio entre os valores de ordem n/2 e (n/2) + 1do conjunto de dados

Total de elementos do conjunto =n= 23 (mpar)

Mediana (nmero mpar de elementos) => Posio = (n+1)/2 = 24/4 = 12

Vamos colocar os elementos do conjunto em ordem crescente:

3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34,42

Elemento na Posio 12 = 17

GABARITO: B

20. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequncias absolutas, abaixo,demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinadotributo, no ano de 2005, em uma regio a ser analisada:


Observao: Considere que todos os intervalos de classe de histograma sofechados esquerda e abertos direita.

Utilizando-se as informaes contidas neste histograma, calculou-se a mdiaaritmtica destes valores arrecadados, considerando que todos os valoresincludos num certo intervalo de classe so coincidentes com o ponto mdiodeste intervalo. Tambm calculou-se a mediana de tais valores pelo mtodo da


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorinterpolao linear. Ento, o mdulo da diferena entre a mdia aritmtica e amediana igual a

A) R$ 100,00

B) R$ 400,00C) R$ 800,00

D) R$ 900,00

E) R$ 1.000,00

Resoluo

Quando os dados so apresentados em uma distribuio de freqncias, todosos valores includos num certo intervalo de classe so considerados

coincidentes com o ponto mdio do intervalo.

Seja a tabela para o clculo da mdia aritmtica:

Ento,

Aprendemos que a mediana o valor que divide a distribuio ao meio,deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores

valores do outro lado.

Considere a tabela abaixo (clculo da mediana):



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorFazendo a interpolao linear (regra de trs), temos que: (4,0 - 3,0) = 1,0(amplitude da classe da mediana) est para X (amplitude na classe damediana correspondente a mediana) assim como (55% - 30%) est (50% -30%):

GABARITO: A

21.A amplitude do conjunto 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 10

A) 6

B) 13

C) 10

D) 3

E)7

Resoluo

A amplitude a diferena entre o maior valor e o menor valor do conjunto dedados:

Ento R = 10 - 3 = 7.

GABARITO: E

22. Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Ento a varincia desseconjunto

A) 8

B) 20,25

C) 18

D) 24

E) 22


Ento,md= 3,0 + 0,8 = 3,8 (em R$ mil).


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Varincia =82 - 64 = 18.

COMENTRIOS

A varincia tem, entre outras, as seguintes propriedades:

a) Se multiplicarmos todos os valores de uma srie por uma constante, entoa varincia da nova srie ficar multiplicada pelo quadrado dessa constante.Por exemplo, multiplique a srie desta questo por 2. Voc obter a nova srie{4, 10, 16, 22, 28}, cuja varincia ser 22 x 18 = 4 x 18 = 72. A prova destapropriedade ser dada em outro exerccio, mais adiante.

b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de umasrie, a varincia no se altera. Por exemplo, some 2 a todos os valores dasrie desta questo. Obteremos a nova srie {4, 7, 10, 13, 16}, que possui amesma varincia (confira!).

Frmula para clculo da varincia

GABARITO: C




Frmula "maceteada" da varincia:

Mdia (aritmtica) do conjunto:

VARINCIA = Mdia dos Quadrados - Quadrado da Mdia

Mdia (aritmtica) dos quadrados:

Quadrado da mdia:


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior23. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) O setor de recursos humanosde uma empresa tem o hbito de divulgar separadamente a mdia e avarincia das notas das avaliaes dos funcionrios do sexo feminino e domasculino. Na ltima avaliao, os resultados obtidos foram:

Feminino MasculinoNmero de funcionrios 20 30

Mdia 6 7Varincia 3,4 4

A mdia e a varincia das notas dos funcionrios dessa empresa,respectivamente, valem:

A) 6,5 e 3,7

B) 6,6 e 3,4C) 6,6 e 4,0

D) 7,5 e 3,7

E) 13,0 e 7,5

Resoluo

= 4 (conjunto masculino).

A mdia combinada corresponde mdia ponderada das mdias dosconjuntos:

www.pontodosconcursos. com. br51 24Profs. Alexandre Lima e.Moraes Junior

Considere o conjunto de dados A com NAelementos,

Pode-se demonstrar

que a varincia da populao conjunta A+B, tambm denominadavarincia combinada, dada por

o conjunto B com NB elementos, mdia


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorO resultado acima j nos permite eliminar as opes A, D e E. Restaram asalternativas B e C.

Avarincia combinada dada por

Calcularemos a varincia combinada se soubermos os valores das somatrias

(soma dos quadrados de B).

A mdia do conjunto A 6

A mdia do conjunto B 7

(soma de A = 120).

(soma de B = 210),

A varincia de A 3,4. Ento,

A varincia de B 4,0. Logo,

Finalmente, temos que

varincia combinada = 4,0.

COMENTRIO

Se as mdias dos conjuntos A e B forem iguais, ou seja, sevarincia combinada pode ser calculada por meio da frmula simplificada



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorem que N = NA + NB. Repare que trata-se de uma mdia ponderada dasvarincias individuais.

Ateno: a frmula acima um caso particular da frmula geral da varincia

combinada. Voc s poder aplic-la quando as mdias dos conjuntos A e Bforem iguais!

GABARITO: C

24.Sejam os conjuntos de nmeros {2, 5, 8, 11, 14} e {2, 8, 14}. Assinale aopo com a varincia dos conjuntos combinados ou reunidos.

A) 8

B) 20,25

C) 18D) 24

E) 22

Resoluo

Temos a srie estatstica A ={2, 5, 8, 11, 14} com mdia

e a srie B = {2, 8, 14} com mdia

Como as mdias so iguais, podemos aplicar a frmula simplificada

Varincia do 1 conjunto:

Varincia do 2 conjunto:

Varincia combinada:

GABARITO: B


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior25. (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC) Considerando as respectivasdefinies e propriedades relacionadas s medidas de posio e devariabilidade, correto afirmar:

A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salrios de uma empresa,tem-se tambm que a respectiva varincia fica multiplicada por 1,10.

B) Definindo-se coeficiente de variao (CV) como sendo o quociente dadiviso do desvio padro pela respectiva mdia aritmtica (diferente de zero)de uma sequncia de valores, tem-se ento que CV tambm poder ser obtidodividindo a correspondente varincia pelo quadrado da mdia aritmtica.

C) Subtraindo um valor fixo de cada salrio dos funcionrios de uma empresa,tem-se que o respectivo desvio padro dos novos valores igual ao valor dodesvio padro dos valores anteriores.

D) Dividindo todos os valores de uma sequncia de nmeros estritamentepositivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padro fica dividido por 2.

E) Em qualquer distribuio de valores em estudo, a diferena entre a medianae a moda sempre diferente de zero.

Resoluo

Anlise das alternativas:

Mdia dos Quadrados - Quadrado da Mdia.

de um conjunto de dados dada pela frmula

PROVA: a varivel x representa o salrio de um empregado. Se concedidoum reajuste de 10% em todos os salrios (ento o salrio reajustado passar

tem-se que a nova

ou seja, a nova varincia ficar multiplicada pelo quadrado da constante.

B) O Coeficiente de Variao (CV) definido como o quociente entre o desviopadro (que por sua vez dado pela raiz quadrada positiva da varincia) e amdia, sendo frequentemente expresso em porcentagem:

Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior www.pontodosconcursos.com.br 27

Se multiplicarmos todos os salrios por 1,1 (reajuste de 10%), ento avarincia da nova srie ficar multiplicada por 1,12 = 1,21 (a demonstrao


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Grupo A

Grupo B

A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas:

I. O salrio mdio dos dois grupos o mesmo.

II. A distribuio dos salrios nogrupo A assimtrica direita.III. H mais pessoas nogrupo Ado que no grupo B.

Assinale:

A) se somente a afirmativa I for verdadeira.

B) se somente a afirmativa II for verdadeira.

C) se somente a afirmativa III for verdadeira.

D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras.

E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras.


alternativa VERDADEIRA.

D) Quando todos os valores de uma srie so multiplicados por uma constante,a varincia do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. Logo,se dividirmos todos os valores de uma srie por 4, tem-se que o desvio padrotambm ficar dividido por 4 ^ FALSA.

E) Esta afirmao verdadeira somente para distribuies assimtricas ^

FALSA.

GABARITO: C

26. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos depessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots)com os valores observados dos salrios, representados na figura a seguir:


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PRELIMINARES

O desvio interquartlico( I n t e r Q u a r t i l e R an g e - IQR), definido por

1 BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatstica Bsica. So Paulo: Ed. Saraiva, 2010.2 A mdia aritmtica sensvel a outliers. Um nico valor "ruim" do conjunto de dados pode distorcer a mdia, ou seja,

pode mover a mdia para longe do centro da dis tribuio de frequncias . As mdias geomtrica e harmnica, ass im

como a aritmtica, tambm no so robustas a outliers. Elas so teis quando os dados so bem modelados peladistribuio log-normal ou quando a distribuio fortemente assimtrica.3MON TGOM ERY , Douglas C.; RUNGE R, George C. Estatstica Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de

Janeiro: LTC, 2008.


em que dq denota o desvio interquartlico, Qs o quartil superior (ou terceiroquartil Q3) e Qo quartil inferior (ou primeiro quartil Q1), pode ser usado comouma medida de disperso. Em distribuies mais dispersas, os valores dosquartis ficam mais distantes. Em distribuies simtricas, a distncia entre oquartil inferior e a mediana igual distncia entre a mediana e o quartilsuperior, enquanto que em distribuies assimtricas essas distncias sodiferentes.

Exemplo. O primeiro e o terceiro quartis da distribuio das alturas dosestudantes da Universidade de So Paulo so 165,56 cm e 178,59 cm,respectivamente. Calcule o desvio interquartlico dessa distribuio.

diagrama (veja a prxima figura), consideramos um retngulo onde esto

representados a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3). Apartir do retngulo, para cima, segue uma linha at o ponto mais remoto queno pode exceder LS = Q3 + 1,5.IQR, chamado limite superior. De modoanlogo, a partir do retngulo, para baixo, segue uma linha at o ponto maisremoto que no seja menor que LS = Q1 -1,5.IQR, chamado limite inferior.Os valores compreendidos entre esses dois limites so chamandos valoresadjacentes. As observaes que estiverem acima do limite superior ou abaixodo limite inferior sero denominadas pontos exteriores. Essas observaesso destoantes das demais e podem ou no ser o que chamamos deo u t l i e r sou valores atpicos1,2. Um outlier pode ser produto de um erro de observao

ou de arredondamento. Contudo, as denominaes pontos exteriores e outliersso frequentemente usadas com o mesmo significado por alguns autores3:observaes fora de lugar, discrepantes ou atpicas.

O box plot nos d uma noo da posio, disperso, assimetria, caudas edados discrepantes da distribuio. A posio central dada pela mediana e adisperso por IQR. As posies relativas de Q1, Q2 e Q3 nos do uma idia da


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorassimetria da distribuio. Os comprimentos das caudas so dados pelas linhasque vo do retngulo aos valores remotos e pelos valores atpicos. Oscomprimentos das caudas so dados pelas linhas que vo do retngulo aosvalores remotos e pelos valores atpicos.

Exemplo. Considere um conjunto de dados com os seguintes percentis:

0% 25% 50% 75% 100%1,7524 4,6901 5,7004 6,1768 7,3658

A prxima figura um box plot do conjunto de dados que gerou a tabela depercentis acima. A cauda inferior longa e isto indica que a distribuio assimtrica. Note tambm a presena de outliers na parte inferior do box plot

(so os pontos vermelhos).



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A figura abaixo mostra o histograma associado aobox plotdo exemplo.

ANLISE DAS AFIRMATIVASI- Os diagramas de caixas indicam que as medianas dois grupos A e B so

iguais e no as suas respectivas mdias ^ FALSA.

II- A distribuio dos salrios no grupo A assimtrica direita porque adistncia entre o terceiro quartil (Q3) e a mediana (md), ou seja, Q3 md, maior do que a distncia entre a mediana e o primeiro quartil, dada por md Q1. ^ VERDADEIRA.

III- O nmero de pessoas nos dois grupos igual, haja vista que as distnciasentre os extremos superior e inferior nas distribuies dois dois grupos aproximadamente 2.500 (3.100 600 = 2.500 para o grupo A e 2.900 400).

^ FALSA.

GABARITO: B



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior27. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliaode desempenho de seus funcionrios por meio de dois indicadores de

performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefasso realizadas.

Os funcionrios receberam, na ltima avaliao, as medidas indicadas natabela a seguir:

Medidas

Indicador

Medidas Qualidade Tempestividade

Mdia 50 25

Desvio-Padro 10,0 6,0

Coeficiente deVariao (%) 20 24

Com base na tabela, correto afirmar que:

A) a mdia aritmtica no uma boa medida para representar aperformancedos funcionrios em face do elevado nvel de disperso das avaliaes.

B) as avaliaes da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliaes da

Tempestividade.C) as avaliaes da Qualidade foram mais homogneas do que as daTempestividade.

D)os funcionrios demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade dastarefas, mas a qualidade das tarefas melhor.

E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra.

Resoluo

Anlise das afirmativas:

A) A mdia aritmtica uma medida de posio de uma distribuio defrequncias. Logo, uma medida vlida ("boa") para caracterizar odesempenho dos funcionrios. Alm disso, no se pode afirmar que a mdiano seja uma medida "boa" devido ao elevado nvel de disperso dadistribuio. Posio e disperso so caractersticas distintas de umadistribuio de frequncias ^ ERRADA.


B) As medidas de coeficiente de variao

ou seja, as avaliaes da Tempestividade foram mais dispersas do que as


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorC) As avaliaes da Qualidade foram mais homogneas, ou seja, menosdispersas, do que as da Tempestividade, haja vista quecv(qualidade) = 20 < 24 = cv(tempestividade) ^ CERTA.

D) Qualidade e Tempestividade so variveis distintas; logo, essa comparaono faz sentido (no podemos comparar "banana" com "laranja"). A qualidadedas tarefas melhor em relao a qu? Os funcionrios demoram mais pararealizar as tarefas em relao a qual mtrica de comparao? ^ ERRADA.

E) Est implcito que a companhia avaliou todos os seus funcionrios. Logo, asmedidas referem-se populao dos funcionrios. As medidas tabeladas noso estimativas de parmetros da populao, mas sim os verdadeirosvalores de mdia, desvio-padro e coeficiente de variao das variveisQualidade e Tempestividade ^ ERRADA.

GABARITO: C

28. (Assessor Especializado/IPEA/2004/FCC) Numa distribuio defrequncias com assimetria negativa mais de 50% dos dados situam-se

A) sobre a mdia

B) acima da mdia

C) entre a mdia e a moda

D) entre a mdia e a mediana

E)acima da mediana

Resoluo

PRELIMINARES

em que s3 denota o desvio padro elevado ao cubo e


Assimetria o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de umadistribuio. As distribuies alongadas direita so ditas positivamenteassimtricas, e as alongadas esquerda, negativamente assimtricas.

Uma medida conveniente de assimetria, por ser adimensional, dada pelocoeficiente de assimetria (A), definido como:


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior o momento centrado de terceira ordem. O coeficiente de assimetria indica osentido da assimetria e pode ser usado para comparar vrios casos porque adimensional. O sinal do coeficiente de assimetria ser positivo ou negativo sea distribuio for assimtrica direita ou esquerda, respectivamente.

A assimetria tambm pode ser medida pelo primeiro coeficiente deassimetria de Pearson:


em que x a mdia e mo denota a moda.

Para evitar o emprego da moda, pode-se adotar a frmula emprica

(mdia - moda) = 3(mdia - mediana),

de forma que a frmula do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson podeser reescrita como

conhecida como segundo coeficiente de assimetria de Pearson.

Uma outra medida de assimetria, denominada coeficiente quartlico deassimetria (Aq), definida pela frmula

Voltando resoluo da questo ...

Assimetria Negativa ou Esquerda: Mdia < Mediana < Moda


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Assimetria Negativa (voc puxa a seta com a moesquerda):

1) A seta puxa a mdia

2) A moda est no topo

3) A mediana est no meio

Note que uma distribuio de frequncias com assimetria negativa alongada esquerda.

A mediana o valor que divide a distribuio ao meio, deixando os 50%menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Logo,numa distribuio de frequncias com assimetria negativa, mais de50% dos dados esto acima da mdia (pois a mdia menor do que amediana).

Assimetria Positiva ou Direita: Mdia > Mediana > ModaouModa < Mediana < Mdia



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Assimetria Positiva ou Direita (voc puxa a seta com a modireita):

1) A seta puxa a mdia

2) A moda est no topo

3) A mediana est no meio

GABARITO: B

29. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informaes contidas no Box Plotabaixo, referente aos salrios dos engenheiros de uma empresa, por sexo.



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior correto afirmar que:

A) o salrio mdio dos homens igual ao das mulheres.

B) a distribuio dos salrios das mulheres assimtrica negativa.

C) o desvio interquartlico dos salrios das mulheres maior do que o doshomens.

D) a distribuio dos salrios dos homens atpica.

E) o salrio mediano das mulheres superior ao dos homens.

Resoluo

Anlise das afirmativas:

A) Os diagramas de caixa indicam que as medianas dos salrios, e no ossalrios mdios, so iguais, com um valor aproximado de R$ 3.700 ^ERRADA.

B) A distribuio dos salrios das mulheres assimtrica positiva, pois alongada direita (a distncia entre o quartil superior e a mediana maior doque distncia entre o quartil inferior e a mediana) ^ ERRADA.

C) O desvio interquartlico dos salrios das mulheres aproximadamente iguala 4.400 3.400 = 1.000. O desvio interquartlico dos salrios dos homens

aproximadamente igual a 3.900 3.300 = 600. Logo a afirmativa est CERTA.

D) O enunciado no fornece dados para se fazer este tipo de concluso. Qualseria a distribuio dos salrios dos homens tpica? ^ ERRADA.

E) O salrio mediano das mulheres igual ao dos homens ^ ERRADA.

GABARITO: C

30. (Analista IRB/2004/ESAF) O desenho esquemtico (diagrama de caixa)

apresentado abaixo representa o resumo de cinco nmeros{51,00;54,75;69,50;78,00;95,00} para um conjuntoamostrais do atributo Y. Assinale a opo que d o valorassimetria de Pearson para a amostra em apreo.

de observaesdo coeficiente de



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA) -0,269

B) -0,500

C) 0,000

D) 0,294E) -0,294

Resoluo

Temos cinco nmeros: {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00}. razovel admitirque eles representem as seguintes medidas:

- Valor Mnimo = 51,00- Q1 = 54,75

- Mediana (md) = 69,50- Q3 = 78,00- Valor Mximo = 95,00

Note que o diagrama de caixa apresentado no representa de forma fidedignaas cinco medidas do atributo Y. Pacincia! No vale a pena brigar com a banca.O objetivo ser aprovado no concurso!

Vimos que o primeiro coeficiente de assimetria de Pearson dado pela frmula

Entretanto, no possvel calcular o coeficiente de assimetria de Pearson comos dados da questo (quais so os valores da mdia e da moda?). O que estacontecendo nesta questo? Calma ... pode ser que a banca tenha algumaoutra medida de assimetria em mente. Que tal calcular o coeficiente quartlicode assimetria? No custa nada. Ento vamos l!


Coeficiente quartlico de assimetria = -0,269

GABARITO: A


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior31. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma populao decontas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas amdia amostral M = 100 e o desvio-padro s = 13 da varivel transformada (X 200)/5. Assinale a opo que d o coeficiente de variao amostral de X:

A) 3,0%

B) 9,3%

C) 17,0%

D) 17,3%

E) 10,0%

Resoluo

Y = (X - 200)/5 => X = 5Y + 200

(AFRF/2002/ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuio de umatributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contbildo balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela defreqncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores deX em reais e a coluna P representa a freqncia relativa acumulada. Noexistem observaes coincidentes com os extremos das classes. Asquestes de 32 a 37 referem-se a esses ensaios.

Classes P (%)70-90 590-110 15110-130 40130-150 70150-170 85170-190 95190-210 100

32.Assinale a opo que d o valor mdio amostral de X.


+ 200 = 5 x 100 + 200 = 700

s = sy = 13Logo, sx = 5sy = 5 x 13 = 65

GABARITO: B


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorA) 140,10

B) 115,50

C) 120,00

D) 140,00E) 138,00

Resoluo

conforme a tabela acima.


em que pj denota a j-sima frequncia relativa.

Quando os dados so apresentados em uma distribuio de freqncias, todosos valores includos num certo intervalo de classe so consideradoscoincidentes com o ponto mdio do intervalo. As frmula acima ser vlida

GABARITO: E

ocorrerem com as freqnciasSe k valores distintos observados

respectivamente, a mdia ser

como o ponto mdio epara esses dados agrupados quando se interpretar

como a frequncia relativa


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior33. Assinale a opo que corresponde estimativa do quinto decil dadistribuio de X.

A) 138,00

B) 140,00C) 136,67

D) 139,01

E) 140,66

Resoluo

Amediana o quinto decil. A mediana (md) de uma distribuio em classesde freqncias dada pela expresso

Classe(limitesreais)

Pj fj Fj

70 90 0,05 200 x 0,05 = 10 1090 110 0,10 200 x 0,10 =20 10 + 20 = 30110 130 0,25 200 x 0,25 =50 30 + 50 = 80130 150 0,30 200 x 0,30 =60 80 + 60 = 140150 170 0,15 200 x 0,15 =30 140 + 30 = 170

170 190 0,10 200 x 0,10 =20 170 + 20 = 190190 210 0,05 200 x 0,05 = 10 190 + 20 = 200

Soma 1,00 200 =n

GABARITO: C


em que Ll o limite inferior da classe que contm a mediana,n o nmero de

a soma das frequncias das classeselementos do conjunto de dados,

anteriores que contm a mediana, a frequncia da classe que contm a

a amplitude da classe que contm a mediana.

Seja a Tabela das freqncias freqncias acumuladas


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior34. Seja S o desvio padro do atributo X. Assinale a opo que corresponde medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson.

A) 3/S

B) 4/SC) 5/S

D) 6/S

E) 0

Resoluo

A questo aborda o clculo do ndice de assimetria de Pearson, dado por

Inicialmente, temos que calcular a moda mo. Como a questo no especificou omtodo de clculo, se de Czuber ou de King, devemos usar a frmula deCzuber:

Classe f j(limites reais)

70 - 90 1090 - 110 20110 - 130 50130 - 150 60150 - 170 30170 - 190 20190 - 210 10

Soma 200 =n


em que:- L o limite inferior da classe modal,

- d a diferena entre a freqncia da classe modal e a da classeimediatamente anterior,

- d2 a diferena entre a freqncia da classe modal e a da classeimediatamente seguinte e- h a amplitude das classes.

Seja a Tabela das freqncias (f) abaixo (a classe modal est destaca emnegrito):


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Nmero de elemento abaixo de 145 = 10 + 20 + 50 + 45 = 125

Total de elementos = 200

Freqncia Relativa = 125/200 = 0,625 = 62,5%

GABARITO: A


GABARITO: A

35. Assinale a opo que corresponde estimativa da freqncia relativa deobservaes de X menores ou iguais a 145.

A) 62,5%B) 70,0%

C) 50,0%

D) 45,0%

E) 53,4%

Resoluo


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior36. Considere a transformao Z = (X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se

A) 720,00

B) 840,20

C) 900,10

D) 1200,15

E) 560,30

Resoluo

GABARITO: B


transformado. Assinale a opo que d a varincia amostral do atributo

a freqncia simples da classe i e Zo ponto mdio de

e Alm disso,

varincia de Z. Seja a Tabela abaixo:frmula que facilita o clculo da


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior37. Entende-se por curtose de uma distribuio seu grau de achatamento emgeral medido em relao distribuio normal. Uma medida de curtose dadapelo quociente

onde Q a metade da distncia interquartlica e P90 e P10 representam ospercentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opo que d o valor dacurtosekpara a distribuio de X.


A) 0,263

B) 0,250

C) 0,300

D) 0,242

E) 0,000

Resoluo

em que D9 denota o nono decil e D1 representa o primeiro


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pode ser generalizada para os quantis, como aA frmula

seguir

Logo,

GABARITO: D

38. (Analista do BACEN/2006/FCC) A mdia aritmtica dos valores dasvendas dirias realizadas pelas 50 empresas do Setor A de R$ 1.000,00, comdesvio padro de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a mdia aritmtica dos valoresdas vendas dirias realizadas pelas 200 empresas do Setor B de R$2.000,00, com desvio padro de R$ 200,00. A varincia em (R$)2 dos valoresdas vendas dirias realizadas pelos dois setores reunidos

A) 34.000,00

B) 50.000,00

C) 194.000,00

D) 207.500,00

E) 288.000,00


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A banca pediu para o candidato calcular a nvarincia em (R$)2 dos valores dasvendas dirias realizadas pelos dois setores reunidos". O que ela quis dizer

com isso?

Considere que os valores das vendas dirias realizadas pelas 50 empresas doSetor A constituem a populaoA

em que N1 = 50, e que os valores das vendas dirias realizadas pelas 200empresas do Setor B constituem a populaoB

em queN2= 200.

A banca pediu para o candidato determinar a varincia da populaoconjunta

A frmula da varincia da populao conjunta A+B

em queN = N1 + N2 = 50 + 200 = 250. A varincia

vez conhecidos os valores dos somatrios

somatrios sero calculados em funo das mdias aritmticas A

respectivamente. Os somatrios sero determinados em

funo de respectivamente.

A fim de facilitar as contas, cortaremos trs zeros dos dados fornecidos:



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GABARITO: C

39. (ICMS-RJ/2010/FGV) A mdia, a mediana e a varincia das idades deum grupo de vinte pessoas so, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24.Daqui a dez anos, os valores da mdia, da mediana e da varincia das idadesdessas pessoas sero, respectivamente:

A) 44, 35 e 34

B) 44, 45 e 12

C) 44, 45 e 24D) 34, 35 e 12

E) 44, 45 e 124

Resoluo

Est implcito que todas as pessoas do grupo estaro vivas daqui a dez anos. Adisperso da distribuio de frequncias (das idades) no mudar com oenvelhecimento das pessoas do grupo (ou seja, a forma da distribuio semantm ao longo do tempo). Logo, a varincia daqui a dez anos ainda serigual a 24. A nica opo com este valor a C.

Para dar a resposta final, devemos multiplicar a varincia (= quadrado dodesvio-padro) obtida acima por (1.000)2, haja vista que dividimos as mdiase desvios-padro por 1.000:


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorDaqui a dez anos, a mdia e a mediana sero acrescidas de 10 unidades(anos), haja vista que a distribuio de frequncias sofrer um deslocamentopara a direita de 10 unidades. Assim, a mdia e a mediana sero iguais a 44 e45, respectivamente.

GABARITO: C

40. (AFPS/2002/ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo correspondes observaes (82, ..., 158) do atributo X. Assinale a opo que d o valormediano de X

A) 105

B) 110

C) 104

D) 107

E) 115

Resoluo

No existe uma regra fixa para construir o diagrama de ramo-e-folhas, mas aidia bsica dividir cada observao em duas partes: a primeira (o ramo) colocada esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) colocada direita. Assim, para os valores 90 e 93, o 9 o ramo e 0 e 3 so as folhas.



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorNa tabela abaixo, f denota a frequncia simples e Fi a freqncia acumuladadas observaes:

Ramos Folhas fi Fi

8 2 1 18 0 19 003 3 49 9 1 510 0011222344 10 1510 577777 6 2111 013 3 2411 55679 5 2912 00114 5 3412 5557 4 38

13 004 3 4113 5556 4 4514 03 2 4714 5 1 4815 0 4815 8 1 49

A tabela acima mostra que foram acumuladas 24 observaes at a ltimafolha do stimo ramo. Note que h 49 observaes no total e que a mediana

corresponde 1a folha do oitavo ramo, cujo valor 115.

GABARITO: E

41. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartio, foi tomada uma amostra donmero de filhos de 4 funcionrios. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A mdiageomtrica simples dessa amostra

A) 2,25.

B) 1,75.

C) 2.

D) 2,4

E) 2,5

Resoluo

MDIA GEOMTRICA

GABARITO: C



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior42. (Tcnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheresadultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se:"Quantos filhos voc tem?". O entrevistador foi anotando cada uma dasrespostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido pressa,

esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz asrespostas dadas, na ordem em que foram registradas.

2 0 3 1 1 0 1 4 1

A partir das informaes acima, analise as afirmativas a seguir.

I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe daresposta no registrada.

II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da

resposta no registrada.III - A mdia das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe daresposta no registrada.

Est corretoAPENASo que se afirma em

A) I.

B) II.

C) III.

D) I e II.E) II e III.

Resoluo

ANLISE DAS AFIRMATIVAS

I - A observao de maior frequncia (moda) possvel forosamente o valor"1", haja vista que poder ocorrer at 5 vezes (estamos assumindo que aresposta no registrada tenha sido um filho). Caso a reposta no registradatenha sido zero filho, ento o valor "0" poder ocorrer 3 vezes, e assimsucessivamente para os demais valores. Desta maneira, a moda dasquantidades de filhos das dez mulheres o valor 1, independentemente daresposta no registrada. Afirmativa correta.

II - Temos uma distribuio de frequncias sem intervalos de classe. Nestecaso, basta identificar a freqncia acumulada imediatamente superior metade da soma das freqncias, que igual a 5 nesta questo, pois h 10mulheres. A mediana ser aquele valor da varivel que corresponde a talfreqncia acumulada. Para responder se a mediana das quantidades de filhos

das dez mulheres depende ou no da resposta no registrada, faremos umaanlise exaustiva de vrias hipteses:



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior Hiptese 1: trs mulheres responderam que tm zero filho;

Hiptese 2: cinco mulheres responderam que tm 1 filho;

Hiptese 3: duas mulheres responderam que tm 2 filhos; e

Assim sucessivamente.


Hiptese 1: 3 mulheres responderam que tm 0 filho.

Hiptese 2: 5 mulheres responderam que tm 1 filho.

mediana

mediana

Hiptese 3: 2 mulheres responderam que tm 2 filhos.

mediana

Hiptese 4: 2 mulheres responderam que tm 3 filhos.

mediana


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Hiptese 5: 2 mulheres responderam que

mediana

tm 4 filhos.

Hiptese 6:1 mulher respondeu que tm 5 ou mais filhos.

mediana

Observe que a mediana igual a 1 para todos os casos. Portanto, a medianadas quantidades de filhos dessas dez mulheres INDEPENDE da resposta no

registrada. Afirmativa incorreta.

III - Calcule a mdia considerando a hiptese 1 (3 mulheres responderam quetm 0 filho):

GABARITO: A


Agora, calcule a mdia considerando a hiptese 2 (5 mulheres responderamque tm 1 filho):

Constatamos que a mdia das quantidades de filhos das dez mulheresDEPENDE da resposta no registrada. Afirmativa incorreta.


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior43. (AFTE-R0/2010/FCC) Em uma cidade realizado um levantamentoreferente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no perodo deum ms. Analisando os documentos de arrecadao, detectou-se 6 nveis devalores conforme consta no eixo horizontal do grfico abaixo, em que as

colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes.

Com relao s medidas de posio deste levantamento tem-se que o valor da

A)mdia aritmtica igual ao valor da mediana..

B)mdia aritmtica supera o valor da moda em R$ 125,00.

C)moda supera o valor da mediana em R$ 500,00.

D)mediana supera o valor da mdia aritmtica em R$ 25,00.E)mdia aritmtica igual a metade da soma da mediana e a moda.

Resoluo

Freq. Freq.Acumulada

Valor x Freq

30 30 15.00050 80 50.00060 140 90.00030 170 60.00020 190 50.00010 200 30.000

200 295.000

Temos que:

Moda = 1.500 (valor mais frequente)

Mdia = 295.000/200 = 1.475

Mediana (*) = 1.500 = Mdia + 25 ^ alternativa A.



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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior(*) Lembre do procedimento de clculo da mediana para uma distribuio defrequncias sem intervalos de classe. Voc dever identificar a freqnciaacumulada imediatamente superior metade da soma das freqncias, cujovalor 100, uma vez que a soma das frequncias d 200. Na tabela acima, a

frequncia acumulada para o valor 1.500 140, valor imediatamente superiora 100.

GABARITO: A

(Analista de Estatstica/Perito/MPU/2010/CESPE) Considere que umperito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto X , em meses,por empresas notificadas para quitar suas pendncias com a PrevidnciaSocial. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendncias foiselecionada de um banco de dados da Previdncia. A partir dessa amostra, o

perito fez uma anlise exploratria da varivel X, cujos resultados soapresentados a seguir.

Estatsticas Descritivas:

tempo mnimo = 2 mesestempo mximo = 128 meses

Grfico 1



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Nesse estudo, o perito efetuou avaliaes acerca do nmero de irregularidades- Y - que geraram pendncias em funo do porte das empresas: com menosde 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram osseguintes.

Com base nessas informaes julgue os itens de 44 a 49.

44. O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuiode X assimtrica. Portanto, o nmero de observaes acima do segundoquartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao nmero de observaes abaixode Q2.

Resoluo

correto afirmar que o boxplot indica que a distribuio de X assimtrica,

pois a distribuio tem cauda levemente alongada para a direita (note que adistncia entre o quartil superior e a mediana maior que a distncia entre oquartil inferior e a mediana). Mas incorreto dizer que o nmero deobservaes acima do segundo quartil (mediana) foi proporcionalmente


amediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntoscom igual nmero de elementos. Portanto, o item est errado.

GABARITO: Errado

superior ao nmero de observaes abaixo da mediana, haja vista que


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior45.O tempo mediano da varivel X foi aproximadamente igual a 29,34 meses.

Resoluo

Obox plot indica que a mediana inferior a 20 meses. Item errado.

GABARITO: Errado

46. No diagrama de caixas, quatro observaes foram identificadas comovalores atpicos por estarem fora do intervalo [0; 77,25].

Resoluo

Obox plot indica que os valores 88, 92, 110 e 128 (vide diagrama de ramo e

folhas) so outliers. Item Certo.GABARITO: Certo

47. O diagrama apresentado a seguir o resumo dos 5 nmeros para adistribuio de X.

Resoluo

O diagrama com o resumo dos 5 nmeros tem a seguinte interpretao:

Os diagramas de caixas e de ramo e folhas confirmam que os dadosrelacionados acima esto corretos.

GABARITO: Certo

48. Nessa situao, a variabilidade do nmero de irregularidades nasempresas com menos de 20 empregados corresponde metade davariabilidade do nmero de irregularidades nas empresas com 20 ou maisempregados.



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Considere que o nmero de irregularidades nas empresas com menos de 20empregados seja representado pela varivel A e o nmero de irregularidades

nas empresas com 20 ou mais empregados pela varivel B. A comparaoentre as variabilidades (disperses) das distribuies de A e B deveser feita em termos r e l a t i v o s . Para tal, deve-se usar o coeficiente devariao (cv), que definido como a razo entre o desvio padro e amdia. Esta medida de disperso caracteriza o espalhamento dos valores dadistribuio em termos relativos ao seu valor mdio (*).

(*) No faz sentido comparar objetos diferentes (por exemplo, banana comlaranja), utilizando uma medida absoluta como o desvio padro. por isso que necessrio trabalhar com um adimensional como o coeficiente de variao.

GABARITO: Certo

49.O desvio padro amostral de X foi inferior a 31 meses.

Resoluo

Varincia = Mdia dos Quadrados - Quadrado da Mdia

ou

QUADRADO DA MDIA:

MDIA DOS QUADRADOS:



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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorO desvio padro superior a 31 meses.

GABARITO: Errado

(Analista de Estatstica/Perito/MPU/2010/CESPE) Uma pesquisa sobreobesidade resultou na seguinte distribuio da massa corporal para um grupode 100 pessoas.

frequnciaabsoluta

102030

2515

assimetria, respectivamente, em que Dk representa o k-simo decil e Qkrepresenta o k-simo quartil, julgue os itens subsequentes.

50.A moda dessa distribuio igual a 65.

Resoluo

MODA (MTODO DE CZUBER)

em que Li o limite inferior da classe modal (= 60), d1 a diferena entre a

frequncia da classe modal e a da classe imediatamente anterior (= 30 - 20 =10) e d2 a diferena entre a frequncia da classe modal e a da classeimediatamente seguinte (= 30 - 25 = 5) eh representa a amplitude da classe.

51. A distribuio da massa corporal, segundo a medida A2, assimtricapositiva.


Considerando que so medidas de curtose e de

GABARITO: Errado


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frequnciaabsoluta (%)

frequnciaacumulada (%)

10 1020 3030 6025 8515 100

PRIMEIRO QUARTIL (Q1)

A classe de Q1 (ponto que delimita os 25% menores valores) 50 60, poisa sua frequncia acumulada 30% e a frequncia da classe anterior 10%.

Regra de trs: "a amplitude da classe de Q1 (= 10) est para a frequnciaabsoluta da classe de Q1 (= 20) assim como X est para 25 (frequnciaacumulada at Q1) subtrado da frequncia acumulada da classeimediatamente anterior (= 10)":


Logo,Q1= 50 + 7,5= 57,5.

SEGUNDO QUARTIL ou MEDIANA (Q2)

A classe de Q2 (ponto que divide a distribuio ao meio) 60 70, pois a suafrequncia acumulada 60% e a frequncia acumulada da classe anterior 30%.

Regra de trs: "a amplitude da classe de Q2 (= 10) est para a frequnciaabsoluta da classe de Q2 (= 30) assim como X est para 50 (frequnciaacumulada at Q2) subtrado da frequncia acumulada da classeimediatamente anterior (=30)":

Logo,Q2 = 60 + 6,7= 66,7.




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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorTERCEIRO QUARTIL (Q3)

A classe de Q3 (ponto em que a frequncia acumulada 75%) 70 80,pois a sua frequncia acumulada 85% e a frequncia acumulada da classe

anterior 60%.

Regra de trs: "a amplitude da classe de Q3 (= 10) est para a frequnciaabsoluta da classe de Q3 (= 25) assim como X est para 75 (frequnciaacumulada at Q3) subtrado da frequncia acumulada da classeimediatamente anterior (=60)":

A assimetria positiva.

GABARITO: Certo

52.A medida de curtose K superior a 0,3.

Resoluo

NONO DECIL (D9)

A classe de D9 (ponto em que a frequncia acumulada 90%) 80 90,pois a sua frequncia acumulada 100% e a frequncia acumulada da classeanterior 85%.

Regra de trs: "a amplitude da classe de D9 (= 10) est para a frequnciaabsoluta da classe de D9 (= 15) assim como X est para 90 (frequnciaacumulada at D9) subtrado da frequncia acumulada da classeimediatamente anterior (= 85)":


Logo,Q3= 70 + 6= 76.

ASSIMETRIA A2

Logo,D9 = 85 + 3,33= 88,33.


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Profs. Alexandre Lima e Moraes JuniorCURTOSE

Exerccios de Reviso

53. (AFT/2010/ESAF) Em um grupo de pessoas, h 20 mulheres e 30homens, sendo que 20 pessoas esto usando culos e 36 pessoas estousando cala jeans. Sabe-se que, nesse grupo, i) h 20% menos mulheres

com cala jeans que homens com cala jeans, ii) h trs vezes mais homenscom culos que mulheres com culos, e iii) metade dos homens de cala jeansesto usando culos. Qual a porcentagem de pessoas no grupo que sohomens que esto usando culos mas no esto usando cala jeans?

A) 5%.

B)10%.

C)12%.

D)20%.

E)18%.

Resoluo

20 mulheres + 30 homens = 50 pessoas20 pessoas usam culos36 pessoas usam cala jeans

i) h 20% menos mulheres com cala jeans que homens com cala jeansHomens com cala jeans = X

Mulheres com cala jeans = X - 20% x X = 0,80X


A curtose inferior a 0,3.

GABARITO: Errado

Homens com Cala Jeans = 20Mulheres com Cala Jeans = 20 - 4 = 16


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Juniorii) h trs vezes mais homens com culos que mulheres com culosHomens com culos = 3YMulheres com culos = Y


Homens com culos = 15Mulheres com culos = 5

iii) metade dos homens de cala jeans esto usando culos.Homens com Cala Jeans e com culos = 20/2 = 10

Homens com culos sem Cala Jeans = (15 - 10) = 5Percentual = 5/50 = 10%

GABARITO: B

54. (AFT/2010/ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam emcursos da rea de cincias humanas e os outros 44% estudam em cursos darea de cincias exatas, que incluem matemtica e fsica. Dado que 5% dosalunos da universidade estudam matemtica e 6% dos alunos da universidadeestudam fsica e que no possvel estudar em mais de um curso nauniversidade, qual a proporo dos alunos que estudam matemtica ou fsicaentre os alunos que estudam em cursos de cincias exatas?

A) 20,00%.

B) 21,67%.C) 25,00%.

D) 11,00%.

E) 33,33%.

Resoluo

Vamos supor que h um total de 100 alunos56% dos alunos = rea de Cincias Humanas = 56 alunos

44% dos alunos = rea de Cincias Exatas = 44 alunos5% estudam matemtica = 5 alunos6% estudam fsica = 6 alunosNo possvel estudar mais de um curso.

Percentual (Matemtica ou Fsica/Cincias Exatas)= (5 + 6)/44 = 11/44 = 1/4= 25%

GABARITO: C


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior55. (AFC-CGU/2004/ESAF) Lcio faz o trajeto entre sua casa e seu local detrabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Nestepercurso, ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em quehaveria uma reunio importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para

chegar ao trabalho 8 minutos antes do incio da reunio. Ao passar em frenteao Cine Bristol, Lcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse devolta sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho,sempre mesma velocidade, chegaria atrasado reunio em exatos 10minutos. Sabendo que a distncia entre o Cine Bristol e a casa de Lcio de540 metros, a distncia da casa de Lcio a seu local de trabalho igual a:

A) 1.200m

B) 1.500m

C) 1.080m

D) 760m

E) 1.128m

Resoluo

Percurso Normal = D1 (da casa at o Cine Bristol) + D2 (do Cinde Bristol at otrabalho)Tempo Total (percurso normal) = 20 minutos


Velocidade Mdia

Como Lcio foi at o Cine Bristol (D1), voltou para casa (D1) e foi para otrabalho (D1+ D2), o percurso total foi:Percurso Total = D1 + D1 + D1 + D2

Se antes iria chegar com 8 minutos de antecedncia (caso fosse direto da casapara o trabalho) e, agora, com o novo percurso total, vai chegar 10 minutosatrasado, h uma perda de tempo de 18 minutos (8 + 10). Ou seja, o tempopara ir de sua casa at o Cine Bristol e voltar para casa de 18 minutos.Portanto:

Como D1 = 540 m (dado da questo)

Substituindo (II) em (I):

GABARITO: A


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior56. (AFC-CGU/2004/ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares comdiferentes hbitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanas em seupeso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso.A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que

fez Alice ganhar 20% de peso. Aps, ela visitou uma sobrinha que estavafazendo um rgido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha emseu regime, Alice tambm emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente,visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou,para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, aps essas visitasa esses quatro familiares, com relao ao peso imediatamente anterior aoincio dessa seqncia de visitas, ficou:

a) exatamente igualb) 5% maior

c) 5% menord) 10% menore) 10% maior

Resoluo


I - Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso.P1= P - 20%.P = 0,8.P

II - A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, oque fez Alice ganhar 20% de peso.P2 = 0,8.P + 20%.0,8.P = 0,8.P + 0,16.P = 0,96.P

III - Aps, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rgido regime deemagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice tambmemagreceu, perdendo 25% de peso.P3 = 0,96.P - 25%.0,96.P = 0,96.P - 0,24.P = 0,72.P

IV - Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria,

visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final deAlice, aps essas visitas a esses quatro familiares, com relao ao pesoimediatamente anterior ao incio dessa seqncia de visitas, ficou:PFinal= 0,72.P + 25%.0,72.P = 0,72.P + 0,18.P = 0,90.P

O peso final 10% menor que o peso imediatamente anterior ao inciodessa seqncia de visitas.

GABARITO: D


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Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior57. (APO-MPOG/2003/ESAF) Ana, Bia e Ctia disputaram um torneio detnis. Cada vez que uma jogadora perdia, era substituda pela jogadora queestava esperando sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Anavenceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Ctia no jogou

a partida inicial, o nmero de vezes que Ana e Bia se enfrentaram

raciocínio lógico - aula 06

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