aula 00 - raciocínio lógico

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Raciocínio Lógico p/ STJ - Todas as Áreas

Professor: Marcos Piñon

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Raciocínio Lógico p/ STJ

Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Piñon – Aula 00

Prof. Marcos Piñon www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 42

AULA 00: Conjuntos

Observação importante : este curso é protegido por direitos autorais (copyright), nos termos da Lei 9.610/98, que altera, atualiza e consolida a legislação sobre direitos autorais e dá outras providências. Grupos de rateio e pirataria são clandestinos, violam a lei e prejudicam os professores que elaboram os cursos. Valorize o trabalho de nossa equipe adquirindo os cursos honestamente através do site Estratégia Concursos ;-)

SUMÁRIO PÁGINA 1. Apresentação 01 2. Conjuntos 05 3. Exercícios comentados nesta aula 33 4. Exercícios propostos 36 5. Gabarito 42 1 - Apresentação Olá, meu nome é Marcos Piñon, sou casado, baiano, torcedor do Bahêa e formado em Engenharia Eletrônica pela Universidade Federal da Bahia. Atualmente moro em Brasília e trabalho na Secretaria de Orçamento Federal do Ministério do Planejamento (MPOG), onde fui aprovado em 8º lugar para o cargo de Analista de Planejamento e Orçamento - APO, no concurso realizado em 2008. Fiz faculdade de Engenharia por sempre ter tido afinidade com a Matemática, pois realmente é um assunto que tenho prazer em estudar (cheguei até a dar aulas de reforço de Matemática na época da faculdade para ganhar um trocado). Após me tornar APO, decidi criar um site no intuito de aprender um pouco mais de informática e também poder ajudar os concurseiros (raciociniologico.50webs.com). Foi uma experiência maravilhosa, apesar de ser algo bem primitivo, mas que tenho um carinho enorme. Também recebi vários e-mails com agradecimentos, o que causou uma sensação muito boa. Isso me fez tomar gosto pela coisa e comecei a preparar materiais e estudar bastante a matéria. Com isso, recebi um convite do Professor Sérgio Mendes, para fazer parte desta equipe, onde permaneço desde a fundação do site em 2011. Para o nosso curso de Raciocínio Lógico para o Superior Tribunal de Justiça - STJ, resolvi não restringir o curso ao conteúdo exigido no último concurso, que ocorreu em 2008. Resolvi colocar em nosso curso o formato de edital que tem sido cobrado pelo CESPE em Raciocínio Lógico, em praticamente todos os concursos organizados por esta banca desde então, como por exemplo, o concurso do STF realizado em 2013. Vamos dar uma olhada nesse conteúdo: 1 - Estruturas lógicas. 2 - Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões.

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3 - Lógica sentencial (ou proposicional): proposições simples e compostas; tabelas-verdade; equivalências; leis de De Morgan; diagramas lógicos. 4 - Lógica de primeira ordem. 5 - Princípios de contagem e probabilidade. 6 - Operações com conjuntos. 7 - Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. Trata-se de um conteúdo que agrega vários assuntos da matemática básica estudada no ensino fundamental e médio. Conforme já mencionado, esse conteúdo é bastante comum em provas do CESPE, o que nos garante uma boa quantidade de questões. Pretendo chegar ao final do curso com cerca de 500 questões resolvidas, inclusive com várias questões recentes, o que fará com que apareçam na prova várias questões semelhantes às resolvidas em nosso curso. Com base nesse conteúdo, resolvi montar o curso da seguinte maneira:

Aula Conteúdo Data

Aula 00 Conjuntos Já disponível

Aula 01 Lógica (Parte 1) 24/06/2015



Aula 04 Princípios de contagem 15/07/2015

Aula 05 Probabilidade 22/07/2015

Aula 06 Problemas aritméticos 29/07/2015

Aula 07 Problemas matriciais, Verdades e Mentiras e Associação de Informações 05/08/2015

Aula 08 Problemas geométricos 12/08/2015

Aula 09 Bateria de Questões Resolvidas 19/08/2015

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Apenas para não passar despercebido, todo o conteúdo cobrado em 2008 também estará contemplado em nosso curso, especificamente nas aulas de 00 a 04. Segue o edital do concurso do STJ de 2008: 1. Lógica sentencial (ou proposicional).

1.1 Proposições simbólicas (fórmulas) usando os conectivos e, ou, não, implica. 1.2 Tradução de proposições da linguagem natural para a forma simbólica. 1.3 Fórmulas e suas tabelas-verdade. 1.4 Equivalências lógicas. 1.5 Leis de De Morgan. 1.6 Argumentos válidos e inválidos. 1.7 Contradições. 1.8 Diagramas lógicos.

2 Contagem.

2.1 Princípios da adição e da multiplicação. 2.2 Contagem dos elementos de uma lista. 2.3 Contagem dos elementos de conjuntos disjuntos. 2.4 Contagem dos elementos da interseção de dois ou três conjuntos.

3 Combinatória.

3.1 Permutações. 3.2 Arranjos (permutações com um número selecionado de elementos). 3.3 Combinações (selecionar subconjuntos de um conjunto).

Procurarei abordar a teoria até o limite necessário e de forma resumida, e darei um foco maior na resolução de questões. Em outras matérias, talvez, o melhor seja aprofundar a teoria e resolver algumas questões. Posso afirmar sem medo de errar que em Raciocínio Lógico a “lógica” é outra. Sempre vou procurar, a cada assunto exposto, colocar exemplos de questões, e no final da aula mais uma relação com mais questões, com gabarito, para o aluno treinar. A resolução dessas questões será apresentada na aula seguinte, juntamente com o próximo conteúdo. As questões comentadas em cada aula estão listadas no final do arquivo, caso o aluno queira tentar resolvê-las antes de ver a solução (eu recomendo!). A última aula reunirá quatro simulados, com 20 questões cada, para um treino final antes da prova. Nosso curso já contém várias vídeo-aulas disponíveis, e outras em breve estarão disponíveis para vocês. Ainda não gravei todo o conteúdo do curso, mas já temos cerca de 90% do conteúdo teórico disponível. Logo, logo, todo o conteúdo teórico também estará disponível em vídeo, além da resolução de algumas questões do curso. Caso o edital venha diferente do que estamos abordando, todo o curso será reformulado a tempo para que você não seja prejudicado. Mas espero que isso não aconteça.

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Espero que gostem do curso, não economizem na resolução de questões e não deixem de aproveitar o fórum, seja para tirar dúvidas, ou para enviar críticas e sugestões. Um abraço e bons estudos!!!

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2 – Conjuntos Vamos começar esta aula relembrando alguns conceitos fundamentais para o nosso estudo. Relembraremos apenas alguns tópicos para nos familiarizarmos com os símbolos e a linguagem utilizados. A definição de conjuntos é bastante intuitiva, mas podemos dizer que os conjuntos são coleções de “coisas”. Exemplos: - Os carros de uma locadora de veículos Z formam o conjunto de carros da locadora de veículos Z. - Os policiais do 1º Batalhão em Fortaleza formam o conjunto dos policiais do 1º Batalhão em Fortaleza. Vemos que realmente é um conceito muito intuitivo. Os conjuntos, normalmente simbolizados com letras maiúsculas, são representados com a enumeração dos seus elementos entre chaves. Ex: V = {a, e, i, o, u} (conjunto das vogais). Esse mesmo conjunto pode ser representado por meio da propriedade de seus elementos, ou seja, uma característica que defina todos os elementos que pertencem àquele conjunto. No nosso exemplo V = {x | x é uma vogal} (lemos: V é igual ao conjunto dos elementos “x” tal que x seja uma vogal). Assim, V = {a, e, i, o, u} = {x | x é uma vogal} E se o conjunto tiver milhares de elementos? Ou então, infinitos elementos? Calma, pois nós podemos utilizar a enumeração dos elementos, mesmo quando o conjunto é infinito. Para isso enumeramos alguns elementos que evidenciem a lei de formação do conjunto e finalizamos com reticências. I = {1, 3, 5, 7, 9, ...} (conjunto dos números ímpares positivos) Além disso, podemos utilizar esta mesma notação quando o conjunto é finito, mas possui uma enorme quantidade de elementos. J = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 5.000} (conjunto dos números inteiros de 0 a 5.000) Podemos, também, representar os conjuntos por meio de diagramas. O conjunto A = {0, 1, 2} pode ser representado por: A =

0 2

1

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Relação de pertinência Aqui estamos falando da relação dos elementos com os conjuntos. Não são relações entre conjuntos, mas dos elementos com eles. O elemento pode fazer parte de um conjunto (dizemos que o elemento pertence ao conjunto) ou o elemento pode não fazer parte do conjunto (dizemos que o elemento não pertence ao conjunto). Os símbolos que utilizamos para representar essa relação são: x ∈ A (lemos: x pertence ao conjunto A, ou x é elemento de A) y ∉ K (lemos: y não pertence ao conjunto K, ou y não é elemento de K) Pode existir algum conjunto que não possua nenhum elemento? Pode sim, é o que chamamos de conjunto vazio. Ele não possui nenhum elemento e é representado pelo símbolo ∅ ou por {}. Do lado oposto ao conjunto vazio, temos o conjunto universo, que é aquele ao qual pertencem todos os elementos. Representamos o conjunto universo por meio do símbolo U. Cabe destacar que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto, por exemplo, o conjunto dos times que disputam o Campeonato Brasileiro de Futebol. Cada time é um elemento desse conjunto e, ao mesmo tempo, cada time é um conjunto de jogadores de futebol. Relação entre conjuntos A primeira relação entre os conjuntos é a relação de igualdade . Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A. Outra relação importante é a relação de subconjunto . Podemos definir que o conjunto C possui como subconjunto o conjunto D, se todos os elementos do conjunto D também pertencerem ao conjunto C. Assim, dizemos que D é subconjunto de C e indicamos isto por D ⊂ C (D é subconjunto de C ou D está contido em C). Com essa definição, podemos destacar alguns pontos:

- Conjuntos iguais são subconjuntos um do outro (para A = B; A ⊂ B e B ⊂ A)

- Todo conjunto é subconjunto de si próprio (A ⊂ A)

Como vimos na definição de subconjunto, todos os elementos do conjunto A pertencem ao conjunto A.

- O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto (∅ ⊂ Y)

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Com vimos na definição de subconjunto, todos os elementos do conjunto ∅ (ou seja, nenhum elemento) pertencem ao conjunto Y.

- Se A ⊂ B e B ⊂ C, então A ⊂ C

Ora, se todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, e se todos os elementos de B pertencem ao conjunto C, podemos concluir que todos os elementos de A pertencem ao conjunto C.

Vimos aqui relações entre conjuntos. Essa representação “X ⊂ Y” quer dizer que o conjunto X está contido no conjunto Y, que é mesmo que dizer que X é um subconjunto de Y. De forma inversa, quando o conjunto A possui todos os elementos do conjunto B, podemos dizer que A contém B, e representamos por A ⊃ B. Vamos ilustrar com um exemplo: K = {1, 2, 3} J = {1, 2} Podemos afirmar que J é um subconjunto de K, ou seja, que J está contido em K (J ⊂ K), ou, podemos dizer que K contém J (K ⊃ J). Existem também os símbolos ⊄ (não está contido ou não é subconjunto de) e ⊃ (não contém). Usando diagramas, podemos representar essa relação da seguinte forma: Podemos dizer que J ⊂ K (J está contido em K) e que K ⊃ J (K contém J) Quantidade de Subconjuntos Podemos definir a quantidade de subconjuntos de um conjunto qualquer da seguinte forma: se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2n subconjuntos. Vamos ver alguns exemplos para demonstrar isso: Ex1: Conjunto A = {1} Esse conjunto só possui um único elemento (chamamos de conjunto unitário), o número 1, então o número de subconjuntos é igual a 21 = 2. Quais seriam esses subconjuntos? Subconjunto 1 = ∅ Subconjunto 2 = {1}

J K

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Lembrem que todo conjunto possuirá o conjunto vazio e ele mesmo como subconjuntos. Ex2: Conjunto B = {1, 2} Esse conjunto possui dois elementos, os números 1 e 2, então o número de subconjuntos é igual a 22 = 4. Quais seriam esses subconjuntos? Subconjunto 1 = {} Subconjunto 2 = {1} Subconjunto 3 = {2} Subconjunto 4 = {1, 2} Só mais um exemplo: Ex3: Conjunto C = {} Isso mesmo, quantos subconjuntos possui o conjunto vazio? Esse conjunto não possui nenhum elemento, então o número de subconjuntos é igual a 20 = 1. Qual seria esse subconjunto? Subconjunto 1 = {} Exatamente, apenas ele mesmo, o conjunto vazio. Mais um conceito importante é o que define o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A. Ele é denominado de “conjunto das partes de A” e é indicado por P(A). Assim, se A = {1, 2}, o conjunto das partes de A é dado por P(A) = { ∅ , {1} , {2} , {1, 2} }. Assim, todo subconjunto de A é também denominado parte de A, pois é um elemento do conjunto das partes de A. Vamos ver como isso já foi cobrado em concurso. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 01 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Arge ntina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se B é o conjunto formado pelos países que participarão da conferência e não pertencem à América do Sul, então o número de subconjuntos formados a part ir dos elementos de B é igual a 128. Solução: Temos, nessa questão, como conjunto universo, todos os países que participarão da conferência internacional. Assim,

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U = {Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela} Temos, também, que B é formado pelos países que participarão da conferência, mas não pertencem à América do Sul. Assim, B = {Alemanha, Canadá, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Suíça} Vimos que para sabermos o número de subconjuntos de qualquer conjunto basta sabermos a quantidade de elementos deste conjunto, já que o número de subconjuntos é dado por 2n onde n é o número de elementos do conjunto. Assim, como B possui 7 elementos, o número de subconjuntos de B é dado por 27 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 128. Portanto, o item está correto . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Conjuntos numéricos fundamentais Definimos conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são apenas números. Teremos, então, infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais. Isso você já viu há muuuuito tempo atrás, mas cabe relembrá-los agora! - Conjunto dos números naturais : Simbolizamos por um Ν (n maiúsculo). Ele é formado por todos os números inteiros não negativos. Ν = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Um importante subconjunto de Ν é chamado de Ν* e é dado por todos os números naturais estritamente positivos, ou seja, o conjunto Ν excluindo-se o zero. Ν* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...} - Conjunto dos números inteiros : Simbolizamos por um Ζ (z maiúsculo). Como o próprio nome já diz, ele é formado por todos os números inteiros. Ζ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...} Três importantes subconjuntos de Ζ são: Ζ*, dado por todos os números inteiros diferentes de zero, ou seja, o conjunto Ζ excluindo-se o zero; Ζ+, dado por todos os números inteiros não negativos (Ζ+ = Ν) e Ζ-, dado por todos os números inteiros não positivos. Ζ* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4...} Ζ+ = {0, 1, 2, 3, 4...} = Ν Ζ- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

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- Conjunto dos números racionais : Simbolizamos por um Q (q maiúsculo). Ele é

formado por todos os números que podem ser escritos em forma de uma fração yx

onde x e y são números inteiros e y é diferente de zero (devemos lembrar que não existe divisão por zero).

Exemplos: 52

; 94−

; 0,385 (pois pode ser escrito como 1000385

); 3,3333... (pois pode

ser escrito como 3

10), 9 (pois pode ser escrito como

19

), etc..

Assim, toda fração, todo número decimal, toda dízima periódica e todo número inteiro pertencem ao conjunto Q. Da mesma forma que fizemos para os números inteiros, existem três subconjuntos de Q que são importantes: Q* (números racionais não nulos), Q+ (números racionais não negativos) e Q- (números racionais não positivos) - Conjunto dos números irracionais : Simbolizamos por um Ι (i maiúsculo). Ele é formado por todas as dízimas não periódicas, ou seja, números decimais com infinitas casas decimais que não se repetem. Exemplos: π (pi = 3,1416...); 5 (toda raiz não exata); 2,5694348667... (dízima não periódica); etc... - Conjunto dos números reais : Simbolizamos por um R (r maiúsculo). Ele é formado por todos os números racionais e todos os números irracionais. Assim, todo número Real, ou é Racional ou é Irracional, não existe outra possibilidade. Podemos fazer algumas observações a partir destes conjuntos: - ΝΝΝΝ ⊂⊂⊂ ⊂ ΖΖΖΖ ⊂⊂⊂ ⊂ Q ⊂⊂⊂ ⊂ R. Ou seja, Ν é um subconjunto de Ζ, que é um subconjunto de Q, que é um subconjunto de R. - ΙΙΙΙ ⊂ R. Ou seja, Ι também é um subconjunto de R. Intervalos numéricos Dados dois números quaisquer a e b, chamamos de intervalo o conjunto de todos os números compreendidos entre a e b, podendo inclusive incluir a e b. Os números a e b são os limites do intervalo, sendo o módulo da diferença a – b, chamada amplitude do intervalo.

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Se o intervalo incluir a e b, o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. Representamos o intervalo fechado por um colchete e o intervalo aberto por um parêntese ou um colchete ao contrário: [1 , 3]: Lemos “Intervalo fechado em 1 e fechado em 3” ]1 , 3[ ou (1 , 3): Lemos “Intervalo aberto em 1 e aberto em 3” [1 , 3[ ou [1 , 3): Lemos “Intervalo fechado em 1 e aberto em 3” ]1 , 3] ou (1 , 3]: Lemos “Intervalo aberto em 1 e fechado em 3” Operações Vamos, agora, à parte mais importante da aula de hoje, que são as operações. - União ( ∪∪∪ ∪ ) Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto união A ∪ B como { x ; x ∈ A ou x ∈ B}. Vamos ver um exemplo: A = {0, 1, 2} B = {2, 3, 4} A ∪ B = {0, 1, 2} ∪ {2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4} Podemos perceber que o conjunto união abrange todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B. Se o elemento pertencer aos dois conjuntos, ele também pertencerá ao conjunto união (no nosso exemplo “2” pertence ao conjunto A e ao conjunto B e também pertence ao conjunto união). Usando diagramas, podemos representar a união das formas a seguir:

• J e K possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro não possui:

• J e K não possuem nenhum elemento em comum:

• J ⊂ K (K possui todos os elementos de J e mais alguns que J não possui):

J K J K ∪ =

J K K ∪ = J

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• J = K (J e K possuem os mesmos elementos): J ∪ K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. Cabe destacar desde já algumas propriedades da união dos conjuntos. Vejamos: - A ∪ A = A - A ∪ ∅ = A - A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) - (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) - A ∪ U = U, onde U é o conjunto universo - Se B ⊂ A, então A ∪ B = A

- Interseção ( ∩∩∩∩ )

Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção A ∩ B como {x ; x ∈ A e x ∈ B}. Vamos ver um exemplo: A = {0, 1, 2} B = {2, 3, 4} A ∩ B = {0, 1, 2} ∩ {2, 3, 4} = {2} Podemos perceber que o conjunto interseção abrange apenas os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. É preciso que o elemento pertença aos dois conjuntos para pertencer ao conjunto interseção (no nosso exemplo apenas o “2” pertence ao conjunto A e ao conjunto B e, assim, também pertence ao conjunto interseção). Usando diagramas, podemos representar a interseção das formas a seguir:


J K J K ∪ =

J K J K ∪ =

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• J e K não possuem nenhum elemento em comum (a interseção destes conjuntos resulta no conjunto vazio):


• J = K (J e K possuem os mesmos elementos): J ∩ K corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. Agora, vamos destacar algumas propriedades da interseção dos conjuntos. Vejamos: - A ∩ A = A - A ∩ ∅ = ∅ - A ∩ B = B ∩ A (a interseção dos conjuntos é uma operação comutativa) - A ∩ U = A, onde U é o conjunto universo. - A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C - Se B ⊂ A, então A ∩ B = B Agora, vamos ver algumas propriedades que misturam a união com a interseção. Vejamos: - A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) (propriedade distributiva) - A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva) - A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção) - A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção)

J K ∩ = K J

J K ∩ = K J

J K ∩ = K J

J K ∩ = K J

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- Se A ∪ B = A ∩ B, então A = B Uma observação importante é que se A ∩ B = ∅ , dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos , ou seja, eles não possuem nenhum elemento em comum. Ufa, quanto assunto! Para quebrar um pouco o ritmo, vamos ver algumas questões.

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02 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n ∈∈∈ ∈ N*; n é par}, B = {n ∈∈∈ ∈ N*; n é ímpar} e C = {n ∈∈∈ ∈ N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos, o conjunto C ∩∩∩∩ A é vazio. Solução: Vamos organizar as informações: A = {n ∈ N*; n é par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8,...} B = {n ∈ N*; n é ímpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9,...} C = {n ∈ N*; n é primo}, ou seja, C = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} Só para lembrar, um número natural é dito primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo. Por definição, nem o zero nem o número um são considerados primos. Uma observação importante é que o único número primo que é par é o número dois, já que todos os outros números pares são, no mínimo, divisíveis por um, por ele mesmo e por dois. Assim, com o que acabamos de lembrar sobre números primos e olhando para os conjuntos A e C, podemos concluir que C ∩ A = {2}, pois 2 é o único elemento que é par e primo ao mesmo tempo. Portanto, o item está errado ! 03 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Arge ntina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se P representa o conjunto formado pelos países que participarão da conferênci a, e A, o conjunto formado pelos países da América do Sul, então o con junto A ∩∩∩∩ P tem 5 elementos. Solução: Organizando as informações, temos:

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P = {Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela} A = {x; x é um país da América do Sul} A ∩ P = {Argentina, Bolívia, Brasil, Chile, Colômbia, Peru, Uruguai, Venezuela} Bom, podemos ver que A ∩ P possui 8 elementos. Assim, o item está errado ! -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - Diferença entre conjuntos (A - B ou A \ B) Podemos definir o conjunto resultante da diferença entre os conjuntos A e B como o conjunto dos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, ou seja, A - B = {x | x ∈ A e x ∉ B}. Observe que os elementos do conjunto da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Vamos ver alguns exemplos: {1, 2, 3, 4} - {1, 2, 3} = {4} {0, 1, 2} - {2, 3, 4} = {0, 1}. Usando os diagramas, podemos representar a diferença das formas a seguir:


• J e K não possuem nenhum elemento em comum (a diferença J - K resulta

no próprio conjunto J):


J K - = K J

J K - = K J

J K - = K J

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• J = K (J e K possuem os mesmos elementos, o resultado da diferença é o conjunto vazio):

A diferença corresponde à área pintada de amarelo nos diagramas. Podemos observar algumas propriedades interessantes:

• A - ∅ = A • ∅ - A = ∅ • A - A = ∅ • A - B ≠ B - A (a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

- Complementar de um conjunto O complementar de um conjunto é um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim, dados dois conjuntos A e B, com B ⊂ A, a diferença A - B chamaremos de complementar de B em relação a A. Simbolizamos como CAB ou Ā (sempre para B ⊂⊂⊂ ⊂ A). Existe um caso particular que cabe fazermos um destaque. É o complementar de um conjunto A em relação ao conjunto universo U, ou seja, CUA = U - A. Batizamos este conjunto de A’. O conjunto A’ é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto A, ou seja, A’ = {x; x ∉ A}. Podemos observar mais algumas propriedades interessantes:

• CAA = ∅ • A ∩ A' = ∅ • A ∪ A' = U • ∅ ' = U • U' = ∅

Bom, você deve estar se perguntando, “será que preciso decorar todas essas propriedades?” e eu lhe respondo “Claro que não!” eu só estou colocando elas no final de cada tópico para você raciocinar e assimilar melhor cada assunto. Isso não

J K - = K J

J K - = K J

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será cobrado na prova de forma direta, mas poderá lhe ajudar a ganhar tempo. Vamos ver mais uma questão! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

04 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n ∈∈∈ ∈ N*; n é par}, B = {n ∈∈∈ ∈ N*; n é ímpar} e C = {n ∈∈∈ ∈ N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos. Assim, o conjunto N* \ (A ∪∪∪ ∪ B) é vazio. Solução: Vamos organizar as informações: A = {n ∈ N*; n é par}, ou seja, A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} B = {n ∈ N*; n é ímpar}, ou seja, B = {1, 3, 5, 7, 9, ...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ....} Podemos perceber que A ∪ B = N*, pois a união de todos os números pares positivos com todos os números ímpares positivos resulta no conjunto de todos os números naturais positivos. Assim, N* \ (A ∪ B) = N* \ N* = N* – N* = ∅ Portanto, o item está correto ! ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

- Número de elementos dos conjuntos

Agora, vamos ver uma equação que é a parte da aula que mais interessa para a prova. Não é nada excepcional, mas lhe ajudará bastante a ganhar tempo. Consideremos dois conjuntos A e B, de modo que o número de elementos do conjunto A seja n(A) e o número de elementos do conjunto B seja n(B). Agora, consideremos o número de elementos da interseção A ∩ B por n(A ∩ B) e o número de elementos da união A ∪ B por n(A ∪ B). Assim, podemos definir a seguinte equação:

n(A ∪∪∪ ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩∩∩∩ B) Essa equação é a parte mais importante desta aula. Você verá como ela é útil na resolução de diversas questões. Essa vale a pena decorar! Vamos demonstrar essa equação com três exemplos: Ex1:

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A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 B = {2, 3, 4}, assim, n(B) = 3 A ∩ B = {2}, assim, n(A ∩ B) = 1 A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4}, assim, n(A ∪ B) = 5 Voltando para a equação, temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 5 = 3 + 3 – 1 5 = 5 Ex2: A = {0, 1}, assim, n(A) = 2 B = {2, 3}, assim, n(B) = 2 A ∩ B = {}, assim, n(A ∩ B) = 0 A ∪ B = {0, 1, 2, 3}, assim, n(A ∪ B) = 4 Voltando para a equação, temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 4 = 2 + 2 – 0 4 = 4 Ex3: A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 B = {0, 1, 2}, assim, n(B) = 3 A ∩ B = {0, 1, 2}, assim, n(A ∩ B) = 3 A ∪ B = {0, 1, 2}, assim, n(A ∪ B) = 3 Voltando para a equação, temos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) 3 = 3 + 3 – 3 3 = 3 Viram? Mesmo quando A e B não possuem nenhum elemento em comum, ou quando possuem os mesmos elementos, essa equação sempre pode ser usada. Vale apresentar mais uma equação. Considerando como n(A \ B) o número de elementos do conjunto A \ B, temos: n(A \ B) = n(A) – n(A ∩∩∩∩ B) Só um exemplo para você visualizar:

A B

0 1

2 3

4

A B

0 1 2

3

A

0 1

2

B

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A = {0, 1, 2}, assim, n(A) = 3 B = {2, 3, 4} A ∩ B = {2}, assim, n(A ∩ B) = 1 A \ B = {0, 1}, assim, n(A \ B) = 2 Voltando para a equação, temos: n(A \ B) = n(A) – n(A ∩ B) 2 = 3 – 1 2 = 2 Bom, vamos ver mais algumas questões do CESPE, para treinar a utilização dessas equações. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 05 - (STJ - 2008 / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 del es falam inglês e 46 falam espanhol. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol. Solução: Bom, vamos começar organizando as informações: I = Conjunto dos técnicos que falam inglês (42 elementos) E = Conjunto dos técnicos que falam espanhol (46 elementos) I ∪ E = Conjunto dos técnicos que falam inglês e/ou espanhol (64 elementos) I ∩ E = Conjunto dos técnicos que falam inglês e espanhol (x elementos) Acabamos de ver que n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B). Assim, nesse caso, temos: n(I ∪ E) = n(I) + n(E) - n(I ∩ E) 64 = 42 + 46 - x x = 42 + 46 - 64 x = 24 Portanto, podemos concluir que a quantidade de técnicos que falam inglês e espanhol é igual a 24. Item correto ! 06 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) Considerando que, em um concurso público no qual as provas para determinado cargo constituía m-se de conhecimentos básicos (CB) e de conhecimentos específicos (CE), 4 30 inscritos fizeram as provas e, deles, 210 foram aprovados em CB, 230 for am aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas, então é correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas.

A B

0 1

2 3

4

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Solução: Mais uma vez, vamos começar organizando as informações: T: Total de alunos que fizeram a prova = 430 CB: Alunos aprovados em Conhecimento Básicos = 210 CE: Alunos aprovados em Conhecimento Específicos = 230 CB ∩ CE: Alunos aprovados nas duas provas = 16 AR: Total de alunos reprovados nas duas provas = ??? Para a resolução desta questão, vamos construir um diagrama para facilitar o entendimento: O que queremos calcular é quantidade de elementos da área pintada de amarelo. Para isso, basta diminuir o total de alunos que fizeram a prova do total de alunos que passaram em pelo menos uma prova (CB ∪ CE). Para saber a quantidade de alunos que passaram em pelo menos uma prova, devemos calcular a quantidade de elementos da união dos conjuntos CB e CE. Para isso, usamos aquela mesma equação: n(CB ∪ CE) = n(CB) + n(CE) – n(CB ∩ CE) n(CB ∪ CE) = 210 + 230 – 16 n(CB ∪ CE) = 424 Agora podemos calcular a quantidade de elementos da área pintada de amarelo: n(AR) = n(T) – n(CB ∪ CE) n(AR) = 430 – 424 n(AR) = 6 Portanto, apenas 6 alunos foram reprovados nas duas provas. Item correto ! 07 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) É possível que existam conjuntos A e B com a A ≠≠≠≠ B e que A ∪∪∪ ∪ B = A ∩∩∩∩ B. Solução:

CB CE

T

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Vimos lá em cima que “se A ∪ B = A ∩ B, então, A = B”. Se você se lembrasse disso na hora da prova já acertaria esta questão sem perder tempo. Mas, e se você não se lembrasse? Bom, aí você teria que ir para os conceitos. Vamos lá: Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto união A ∪ B como {x ; x ∈ A ou x ∈ B}. Ou seja, o conjunto união A ∪ B é formado por todos os elementos que pertençam a pelo menos um dos conjuntos A e B. Dados os conjuntos A e B, definimos o conjunto interseção A ∩ B como {x ; x ∈ A e x ∈ B}. Ou seja, o conjunto interseção A ∩ B é formado por todos os elementos que pertençam ao mesmo tempo aos dois conjuntos A e B.

Dizemos que dois conjuntos A e B são iguais quando todos os elementos de A pertencem ao conjunto B e, reciprocamente, todos os elementos de B pertencem ao conjunto A. Com isso, sabemos que dois conjuntos podem ter a seguinte relação entre eles (a área pintada de amarelo corresponde à área do conjunto interseção e a área pintada de verde corresponde a área do conjunto união):

• A e B possuem alguns elementos em comum e cada um possui elementos que o outro não possui:

• A e B não possuem nenhum elemento em comum:

• A ⊂ B (B possui todos os elementos de A e mais alguns que A não possui):

• A = B (A e B possuem os mesmos elementos):

B A

B A

B A

A B

A ∪ B A ∩ B

A ∪ B A ∩ B (conjunto vazio)

A ∩ B

B A

A ∪ B

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Assim, a única forma de A ∪ B ser igual a A ∩ B é A ser igual a B. Portanto, este item está errado . 08 - (MPS - 2010 / CESPE) Se A for um conjunto não vazio e se o número de elementos do conjunto A ∪∪∪ ∪ B for igual ao número de elementos do conjunto A ∩∩∩∩ B, então o conjunto B terá pelo menos um elemento. Solução: Da mesma forma que a questão anterior, devemos perceber que se n(A ∪ B) = n(A ∩ B), podemos concluir que A e B possuem os mesmo elementos. Assim, se A é um conjunto não vazio, com certeza B também será um conjunto não vazio, pois A e B possuem os mesmos elementos. Portanto, o item está correto . 09 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionad as à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionad os a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. Em face dessa situação, é correto afirmar q ue, nessa amostra, menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendim ento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneament e à documentação de veículos e a multas. Solução: Começamos organizando as informações: Total de pessoas (T): 210 Pessoas com problemas relacionados a documentação (D): 105 Pessoas com problemas relacionados a multas (M): 70 Pessoas com problemas não relacionados à documentação ou a multas (N): 70 Pessoas com problemas relacionados à documentação e a multas (D ∩ M): ??? Podemos desenhar o seguinte diagrama para esta situação:

B A B A

A ∩ B A ∪ B

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Assim, podemos montar a seguinte equação: n(T) = n(N) + n(D ∪ M) 210 = 70 + n(D ∪ M) n(D ∪ M) = 210 – 70 n(D ∪ M) = 140 Lembrando aquela equação do número de elementos da união de dois conjuntos, temos: n(D ∪ M) = n(D) + n(M) – n(D ∩ M) 140 = 105 + 70 – n(D ∩ M) n(D ∩ M) = 175 – 140 n(D ∩ M) = 35 Portanto, o número de pessoas que foram resolver problemas relacionados simultaneamente a documentação e a multas é igual a 35. Item errado ! 10 - (PC/ES - 2010 / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sa biam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema onli ne para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sab iam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicaçã o online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é corr eto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma d essas questões. Solução: Organizando as informações, temos: Não sabiam do sistema online (S): 60 pessoas Não sabiam do crime de denúncia caluniosa (D): 85 pessoas Não sabiam do sist. online e do crime de denúncia caluniosa (S ∩ D) :10 pessoas Não sabiam de pelo menos uma das questões (S ∪ D): ??? Lembrando aquela equação do número de elementos da união de dois conjuntos, temos:

T

D M

D ∩∩∩∩ M

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n(S ∪ D) = n(S) + n(D) – n(S ∩ D) n(S ∪ D) = 60 + 85 – 10 n(S ∪ D) = 135 Portanto, o item está correto ! 11 - (MPS - 2010 / CESPE) Considerando que A, B e C sejam três conjuntos não vazios com a, b e c elementos cada, respectivam ente, que a união

A ∪∪∪ ∪ B ∪∪∪ ∪ C tenha 3

c2a ++++ elementos, que a interseção A ∩∩∩∩ C tenha

2b

elementos e que o conjunto A ∩∩∩∩ B seja vazio, então o conjunto B ∩∩∩∩ C terá mais elementos do que o conjunto A ∩∩∩∩ C. Solução: Vamos começar organizando as informações: n(A) = a n(B) = b n(C) = c

n(A ∪ B ∪ C) = 32ca +

n(A ∩ B) = ∅

n(A ∩ C) = 2b

Como A e B não possuem elementos em comum, vamos desenhar os conjuntos da seguinte forma: Assim, temos:

n(A ∪ B ∪ C) = 32ca +

a − 2b

+ 2b

+ c − 2b

− n(B ∩ C) + n(B ∩ C) + b – n(B ∩ C) = 32ca +

A

C

B

b/2

n(B∩C)

a − b/2

b – n(B∩C)

c − b/2 – n(B∩C)

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a + c − 2b

+ b − n(B ∩ C) = 32ca +

a + c + 2b

− n(B ∩ C) = 3a

+ 32c

n(B ∩ C) = 2b

+ a − 3a

+ c − 32c

n(B ∩ C) = 2b

+ 32a

+ 3c

Ou seja,

n(B ∩ C) = n(A ∩ C) + 32a

+ 3c

Assim, podemos concluir que B ∩ C possui mais elementos do que A ∩ C. Item correto ! 12 - (IFB - 2010 / CESPE) O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para avaliar a adesão da população local à s campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos pais questi onava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus filhos ti nham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independ entemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informações adv indas de 480 crianças, apontou que: - 120 crianças tomaram as três doses; - 130 tomaram a primeira e a segunda dose; - 150 tomaram a segunda e a terceira dose; - 170 tomaram a primeira e a terceira dose; - 270 tomaram a primeira dose; - 220 tomaram a segunda dose; - 50 não tomaram nenhuma das três doses. Na situação considerada, mais de 80 crianças tomara m apenas a terceira dose da vacina tetravalente. Solução: Essa questão só é um pouco trabalhosa e não devemos nos assustar com isso. Mais uma vez, é bom desenhar o diagrama para facilitar o entendimento:

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Agora, vamos preencher as regiões com os valores correspondentes, a partir das informações da questão: - 120 crianças tomaram as três doses; - 130 tomaram a primeira e a segunda dose; Bom, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que 130 – 120 = 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2a doses. - 150 tomaram a segunda e a terceira dose;

120

1ª

3ª

2ª Total de entrevistados

1ª

3ª


120

1ª

3ª


10

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Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que 150 – 120 = 30 crianças tomaram apenas a 2ª e a 3a doses. - 170 tomaram a primeira e a terceira dose; Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, podemos concluir que 170 – 120 = 50 crianças tomaram apenas a 1ª e a 3a doses. - 270 tomaram a primeira dose; Bom, como 120 crianças tomaram as três doses, 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2a doses e 50 crianças tomaram apenas a 1ª e a 3a doses, podemos concluir que 270 – 120 – 10 – 50 = 90 crianças tomaram apenas a 1ª dose.

120

1ª

3ª


10

30

120

1ª

3ª


10

30 50

120

1ª

3ª


10

30 50

90

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- 220 tomaram a segunda dose; Da mesma forma que o item anterior, como 120 crianças tomaram as três doses, 10 crianças tomaram apenas a 1ª e a 2a doses e 30 crianças tomaram apenas a 2ª e a 3a doses, podemos concluir que 220 – 120 – 10 – 30 = 60 crianças tomaram apenas a 2ª dose. - 50 não tomaram nenhuma das três doses. Pronto, agora é só calcular quantas crianças tomaram apenas a 3ª dose (x): x = Total de entrevistados - (120 + 10 + 30 + 50 + 90 + 60 + 50) x = 480 - 410 x = 70 Portanto, menos do que 80 crianças tomaram apenas a 3ª dose. Item errado ! (Texto para as questões 13 e 14) . Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar discip linas de outros cursos para integralização de seus currículos. Por solicit ação da diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90 , do curso de Biologia;

120

1ª

3ª


10

30 50

90 60

120

1ª

3ª


10

30 50

90 60

50

120

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55, do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Q uímica; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário inform ou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Mat emática. Com relação a essa situação, julgue os itens seguin tes. 13 - (TRT - 2008 / CESPE) Se as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos em disciplinas estiverem corr etas, então, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentração de alunos estará no curso de Física. Solução: Essa questão é bem parecida com a questão anterior. Vamos começar desenhando o diagrama: Agora, vamos preencher os espaços com as quantidades de elementos. Aqui vai uma dica, é bom começar pelo espaço que já temos a informação clara da quantidade de elementos (nesse caso, a interseção dos três conjuntos). “8 cursam disciplinas desses três cursos”

Física

Biologia

Química

Total de alunos do curso de Matemática

Física

Biologia

Química

Total de alunos do curso de Matemática 8

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“32, dos cursos de Biologia e Física” (como 8 alunos cursam os três cursos, 32 – 8 = 24 cursam apenas Biologia e Física) “23, dos cursos de Química e Física” (como 8 alunos cursam os três cursos, 23 – 8 = 15 cursam apenas Química e Física) “16, dos cursos de Biologia e Química” (como 8 alunos cursam os três cursos, 16 – 8 = 8 cursam apenas Biologia e Química)

Física

Biologia

Química


24

Física

Biologia

Química


24

15

Física

Biologia

Química


24

15

8

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“80 cursam disciplinas do curso de Física” (como 8 alunos cursam os três cursos, 15 cursam apenas Física e Química e 24 cursam apenas Física e Biologia, 80 – 8 – 15 – 24 = 33 cursam apenas Física) “90, do curso de Biologia” (como 8 alunos cursam os três cursos, 24 cursam apenas Física e Biologia e 8 cursam apenas Química e Biologia, 90 – 8 – 24 – 8 = 50 cursam apenas Biologia) “55, do curso de Química” (como 8 alunos cursam os três cursos, 15 cursam apenas Química e Física e 8 cursam apenas Química e Biologia, 55 – 8 – 15 – 8 = 24 cursam apenas Química)

Física

Biologia

Química


24

15

8

33

Física

Biologia

Química


24

15

8

33

50

Física

Biologia

Química


24

15

8

33

50

24

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Portanto, podemos concluir que o item está errado , pois a maior concentração de alunos de um único curso é em Biologia. Questão 14 - (TRT - 2008 / CESPE) De acordo com os dados da situação em apreço, as informações do secretário estão realment e corretas. Solução: Vamos voltar para o texto para verificar o que pode estar errado: “o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90 , do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Q uímica; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário inform ou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Mat emática.” Para checar se essa informação está correta, devemos somar todos os alunos que estão matriculados nas outras disciplinas e verificar se algum dos 200 alunos ficou de fora da distribuição. Assim, temos: 8 + 8 + 15 + 24 + 24 + 33 + 50 = 162 Ou seja, com as informações que ele passou, 38 alunos (200 – 162) ficaram de fora da distribuição, o que contradiz a informação passada de que “essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Mat emática” . Portanto, o item está errado . -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bom, por hoje é isso. Vou deixar umas questões para vocês treinarem. Na próxima aula eu trago a resolução. Bons estudos! 00000000000

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3 - Questões comentadas nesta aula 01 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se B é o conjunto formado pelos países que participarão da conferência e não pertencem à América do Sul, então o número de subconjuntos formados a partir dos elementos de B é igual a 128. 02 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n ∈ N*; n é par}, B = {n ∈ N*; n é ímpar} e C = {n ∈ N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos, o conjunto C ∩ A é vazio. 03 - (SEGER/ES - 2008 / CESPE) Uma conferência internacional reunirá representantes dos seguintes países: Alemanha, Argentina, Bolívia, Brasil, Canadá, Chile, Colômbia, Escócia, Estados Unidos da América, França, Inglaterra, Peru, Suíça, Uruguai e Venezuela. Se P representa o conjunto formado pelos países que participarão da conferência, e A, o conjunto formado pelos países da América do Sul, então o conjunto A ∩ P tem 5 elementos. 04 - (SEFAZ/ES - 2008 / CESPE) Sejam A = {n ∈ N*; n é par}, B = {n ∈ N*; n é ímpar} e C = {n ∈ N*; n é primo}, em que N* é o conjunto dos números naturais estritamente positivos. Assim, o conjunto N* \ (A ∪ B) é vazio. 05 - (STJ - 2008 / CESPE) Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e(ou) espanhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol. 06 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) Considerando que, em um concurso público no qual as provas para determinado cargo constituíam-se de conhecimentos básicos (CB) e de conhecimentos específicos (CE), 430 inscritos fizeram as provas e, deles, 210 foram aprovados em CB, 230 foram aprovados em CE e apenas 16 foram aprovados nas duas provas, então é correto afirmar que menos de 10 desses candidatos foram reprovados nas duas provas. 07 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) É possível que existam conjuntos A e B com A ≠ B e que A ∪ B = A ∩ B. 08 - (MPS - 2010 / CESPE) Se A for um conjunto não vazio e se o número de elementos do conjunto A ∪ B for igual ao número de elementos do conjunto A ∩ B, então o conjunto B terá pelo menos um elemento.

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09 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) Considere que, em uma amostra composta por 210 pessoas atendidas em unidade de atendimento do DETRAN, 105 foram ao DETRAN para resolver pendências relacionadas à documentação de veículos; 70, para resolver problemas relacionados a multas; e 70, para resolver problemas não relacionados à documentação de veículos ou a multas. Em face dessa situação, é correto afirmar que, nessa amostra, menos de 30 pessoas procuraram a unidade de atendimento do DETRAN para resolver problemas relacionados simultaneamente à documentação de veículos e a multas. 10 - (PC/ES - 2010 / CESPE) Uma pesquisa de rua feita no centro de Vitória constatou que, das pessoas entrevistadas, 60 não sabiam que a polícia civil do Espírito Santo possui delegacia com sistema online para registro ou denúncia de certos tipos de ocorrência e 85 não sabiam que uma denúncia caluniosa pode levar o denunciante à prisão por 2 a 8 anos, além do pagamento de multa. Considerando-se que também foi constatado que 10 dos entrevistados não sabiam do canal de comunicação online nem das penalidades cabíveis a denúncias caluniosas, é correto concluir que 135 pessoas não tinham conhecimento de pelo menos uma dessas questões. 11 - (MPS - 2010 / CESPE) Considerando que A, B e C sejam três conjuntos não vazios com a, b e c elementos cada, respectivamente, que a união A ∪ B ∪ C

tenha 3

c2a + elementos, que a interseção A ∩ C tenha

2b

elementos e que o

conjunto A ∩ B seja vazio, então o conjunto B ∩ C terá mais elementos do que o conjunto A ∩ C. 12 - (IFB - 2010 / CESPE) O prefeito de certo município encomendou uma pesquisa para avaliar a adesão da população local às campanhas de vacinação. Uma das perguntas feitas aos pais questionava quais doses entre as três doses da vacina tetravalente seus filhos tinham tomado, considerando que cada dose pode ser tomada independentemente da outra. O resultado da pesquisa, que obteve informações advindas de 480 crianças, apontou que: - 120 crianças tomaram as três doses; - 130 tomaram a primeira e a segunda dose; - 150 tomaram a segunda e a terceira dose; - 170 tomaram a primeira e a terceira dose; - 270 tomaram a primeira dose; - 220 tomaram a segunda dose; - 50 não tomaram nenhuma das três doses. Na situação considerada, mais de 80 crianças tomaram apenas a terceira dose da vacina tetravalente.

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(Texto para as questões 13 a 15) Em uma universidade, setorizada por cursos, os alunos de cada curso podem cursar disciplinas de outros cursos para integralização de seus currículos. Por solicitação da diretoria, o secretário do curso de Matemática informou que, dos 200 alunos desse curso, 80 cursam disciplinas do curso de Física; 90, do curso de Biologia; 55, do curso de Química; 32, dos cursos de Biologia e Física; 23, dos cursos de Química e Física; 16, dos cursos de Biologia e Química; e 8 cursam disciplinas desses três cursos. O secretário informou, ainda, que essa distribuição inclui todos os alunos do curso de Matemática. Com relação a essa situação, julgue os itens seguintes. 13 - (TRT - 2008 / CESPE) Se as informações do secretário acerca das matrículas dos alunos em disciplinas estiverem corretas, então, dos alunos que cursam disciplinas de apenas um desses cursos, a maior concentração de alunos estará no curso de Física. 14 - (TRT - 2008 / CESPE) De acordo com os dados da situação em apreço, as informações do secretário estão realmente corretas.

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4 - Questões para praticar! A solução será apresent ada na próxima aula (Texto para as questões 15 a 17) Considere que A e B sejam conjuntos finitos e não-vazios e sejam S1, S2, S3, S4, S5 e S6 os seguintes números inteiros: S1: quantidade de elementos do conjunto A; S2: quantidade de elementos do conjunto B; S3: quantidade de elementos do conjunto A ∪ B; S4: quantidade de elementos do conjunto A ∩ B; S5: quantidade de elementos do conjunto A \ B; S6: quantidade de elementos do conjunto B \ A. Com base nessas informações, é correto afirmar que, para quaisquer conjuntos A e B nas condições especificadas, 15 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S1 + S6. 16 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 + S4 = S1 + S2. 17 - (AFRE/ES - 2008 / CESPE) S3 = S5 + S6. (Texto para as questões 18 e 19) Sabendo-se que dos 110 empregados de uma empresa, 80 são casados, 70 possuem casa própria e 30 são solteiros e possuem casa própria, julgue os itens seguintes. 18 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Mais da metade dos empregados casados possui casa própria. 19 - (DETRAN/DF - 2008 / CESPE) Dos empregados que possuem casa própria há mais solteiros que casados. (Texto para as questões 20 a 23) Os conjuntos A, B, C e D são tais que A e B são disjuntos de C e D e suas partes têm as quantidades de elementos conforme mostra a tabela a seguir.

subconjunto elemento [A / B] ∪ [C / D] 15

C 18 [A ∩ B] ∪ [C ∩ D] 24

A ∩ B 8 A ∪ B 32

[C / D] ∪ [D / C] 25

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Com relação a esses conjuntos e subconjuntos e aos números de elementos, julgue os itens seguintes. 20 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C ∪ D tem mais de 40 elementos. 21 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) [A / B] ∪ [B / A] tem mais de 25 elementos. 22 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) C / D tem mais de 4 elementos. 23 - (SEBRAE - 2010 / CESPE) D / C tem mais de 20 elementos. (Texto para as questões 24 e 25) Em uma blitz, de 150 veículos parados, 60 foram flagrados com extintor de incêndio com data de validade vencida. Além disso, em 45 veículos, o motorista estava sem o documento de habilitação para dirigir. O total de veículos em pelo menos uma dessas duas situações foi de 90. Acerca dessa situação, julgue os itens seguintes. 24 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O número de veículos que não apresentaram as irregularidades mencionadas foi superior a 50. 25 - (DETRAN/ES - 2010 / CESPE) O número de veículos flagrados simultaneamente nas duas situações foi inferior a 20. (Texto para as questões 26 e 27) Secretaria da Fazenda (SEFAZ/ES) realiza campanha educativa sobre a importância da nota fiscal. Em 2009, o Programa de Educação Fiscal da SEFAZ realizou 48 eventos, entre reuniões, seminários, palestras, capacitações de professores e treinamento de servidores. A atuação abrangeu 27 municípios capixabas. Internet: <www.sefaz.es.gov.br> (com adaptações). Suponha que todos os eventos mencionados no texto acima atraíram público e que, entre os participantes, 2 mil pessoas compareceram às palestras, 1.500 pessoas, aos seminários e 500 pessoas, aos demais eventos. Considere também que 500 pessoas participaram de palestras e seminários, 800 pessoas participaram apenas de seminários, 200 pessoas não participaram de palestras ou seminários e 25 pessoas participaram de todos os tipos de eventos. De acordo com essa situação hipotética e com o texto acima, julgue os itens a seguir. 26 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Menos de 1.400 pessoas participaram apenas de palestras.

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27 - (SEFAZ/ES - 2010 / CESPE) Mais de 750 pessoas participaram de dois ou mais tipos de eventos. (Texto para as questões 28 a 30) Um instituto de ensino oferece três cursos profissionalizantes: de contabilidade, de informática e de administração. As matrículas dos alunos desse instituto estão assim distribuídas: 100 em contabilidade, 70 em informática, 55 em administração, 30 em contabilidade e informática e 25 em informática e administração. Com base nessas informações e sabendo que nenhum aluno está matriculado, ao mesmo tempo, nos cursos de contabilidade e administração, julgue os itens que se seguem. 28 - (MEC - 2011 / CESPE) A quantidade de alunos matriculados apenas no curso de administração é igual ao dobro da de alunos matriculados apenas em informática. 29 - (MEC - 2011 / CESPE) Se 15 alunos matriculados apenas em contabilidade trocarem de curso e se matricularem apenas em administração e se 10 alunos matriculados apenas em contabilidade se matricularem também em informática, então informática será o curso com o maior número de alunos matriculados. 30 - (MEC - 2011 / CESPE) O instituto possui mais de 200 alunos matriculados nos três cursos. (Texto para as questões 31 e 32) Em uma página da Polícia Federal, na Internet, é possível denunciar crimes contra os direitos humanos. Esses crimes incluem o tráfico de pessoas — aliciamento de homens, mulheres e crianças para exploração sexual — e a pornografia infantil — envolvimento de menores de 18 anos de idade em atividades sexuais explícitas, reais ou simuladas, ou exibição dos órgãos genitais do menor para fins sexuais. Com referência a essa situação hipotética e considerando que, após a análise de 100 denúncias, tenha-se constatado que 30 delas se enquadravam como tráfico de pessoas e como pornografia infantil; outras 30 não se enquadravam em nenhum desses dois crimes e que, em relação a 60 dessas denúncias, havia apenas a certeza de que se tratava de pornografia infantil, julgue os itens subsequentes, acerca dessas 100 denúncias analisadas. 31 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Dez denúncias foram classificadas apenas como crime de tráfico de pessoas. 32 - (Polícia Federal - 2012 / CESPE) Os crimes de tráfico de pessoas foram mais denunciados que os de pornografia infantil.

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(Texto para a questão 33) Em um conjunto E de empresas, indica-se por Ex o subconjunto de E formado pelas empresas que já participaram de pelo menos x procedimentos licitatórios, em que x = 0, 1, 2, ..., e por Nx a quantidade de elementos do conjunto Ex. Julgue o item seguinte, a respeito desses conjuntos. 33 - (TCDF - 2012 / CESPE) Se x e y forem números inteiros não negativos e x ≤ y, então Ey ⊂ Ex. (Texto para as questões 34 e 35) Para cada x = 0, 1, 2, 3 ou 4, a partir de um conjunto E de pessoas, Ex corresponde ao conjunto de indivíduos do conjunto E que são clientes de pelo menos x operadoras de telefonia móvel e Nx, à quantidade de elementos de Ex. Considerando essas informações, julgue os itens que se seguem. 34 - (Anatel - 2012 / CESPE) Para cada x do conjunto {0, 1, 2, 3, 4}, tem-se que N4 ≥ Nx. 35 - (Anatel - 2012 / CESPE) Se x e y forem elementos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4} e x ≤ y, então, Ey será um subconjunto de Ex. (Texto para as questões 36 e 37) Em razão da limitação de recursos humanos, a direção de determinada unidade do MPU determinou ser prioridade analisar os processos em que se investiguem crimes contra a administração pública que envolvam autoridades influentes ou desvio de altos valores. A partir dessas informações, considerando P = conjunto dos processos em análise na unidade, A = processos de P que envolvem autoridades influentes, B = processos de P que envolvem desvio de altos valores, CP(X) = processos de P que não estão no

conjunto X, e supondo que, dos processos de P, 32

são de A e 53

são de B, julgue

os itens a seguir. 36 - (MPU - 2013 / CESPE) O conjunto CP(A) ∪ CP(B) corresponde aos processos da unidade que não são prioritários para análise. 37 - (MPU - 2013 / CESPE) A quantidade de processos com prioridade de análise por envolverem, simultaneamente, autoridades influentes e desvios de altos valores é inferior à de processos que não são prioritários para análise. (Texto para as questões 38 e 39) Considerando que Ν seja o conjunto de todos os números inteiros maiores ou iguais a 1 e que, para cada m ∈ Ν, o conjunto A(m) seja o subconjunto de Ν formado por todos os números divisíveis por m, julgue os itens a seguir. 38 - (ANS - 2013 / CESPE) O conjunto A(15) ∩ A(10) contém o conjunto A(60).

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39 - (ANS - 2013 / CESPE) O conjunto A(6) ∪ A(8) contém o conjunto A(14). (Texto para as questões 40 e 41) Os convênios celebrados por um órgão enquadram-se em uma das seguintes situações:

• em execução: quando o convenente ainda não está obrigado a prestar contas ao concedente;

• aguardando prestação de contas: quando, após o período de vigência do

convênio, o convenente tem determinado prazo para prestar contas;

• prestação de contas em análise: quando, após a entrega da prestação de contas pelo convenente, o órgão concedente tem determinado prazo para analisar;

• concluído: quando a prestação de contas foi analisada e aprovada;

• em instrução de tomada de contas especial (TCE): quando a prestação de

contas foi analisada e rejeitada. Considere que, dos 180 convênios celebrados pelo referido órgão neste ano, 21 estão concluídos, 10 estão em fase de instrução de TCE, 35 estão com a prestação de contas em análise, 80 estão em execução e o restante está aguardando prestação de contas. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 40 - (FUNASA - 2013 / CESPE) Mais de 30 convênios já tiveram suas prestações de contas analisadas. 41 - (FUNASA - 2013 / CESPE) O complementar do conjunto dos convênios que estão aguardando prestação de contas tem mais elementos que o complementar do conjunto dos convênios em execução. (Texto para as questões 42 a 45) No triênio 2011-2013, 240 grupos internacionais de pesquisa patentearam seus produtos em pelo menos um dos seguintes países: Brasil, Estados Unidos da América (EUA) e França. Desses grupos, 50 patentearam produtos somente no Brasil e na França; 27 patentearam seus produtos nos três países; 36 patentearam seus produtos somente no Brasil; 40 patentearam seus produtos somente nos EUA e na França; 60 patentearam somente nos EUA e no Brasil; e 130 patentearam seus produtos na França. Com base nessa situação hipotética, julgue os itens a seguir, considerando somente as patentes feitas por esses 240 grupos.

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42 - (INPI - 2014 / CESPE) Menos de 60 grupos patentearam seus produtos na França e nos EUA. 43 - (INPI - 2014 / CESPE) Mais de 30 grupos patentearam seus produtos somente na França. 44 - (INPI - 2014 / CESPE) Menos de 110 grupos não patentearam nenhum de seus produtos nos EUA. 45 - (INPI - 2014 / CESPE) Mais de 170 grupos patentearam seus produtos no Brasil. (Texto para as questões 46 a 48) Uma pesquisa realizada com um grupo de 35 técnicos do MPU a respeito da atividade I — planejamento estratégico institucional — e da atividade II — realizar estudos, pesquisas e levantamento de dados — revelou que 29 gostam da atividade I e 28 gostam da atividade II. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem. 46 - (MPU - 2013 / CESPE) A quantidade máxima de técnicos desse grupo que não gosta de nenhuma das duas atividades é inferior a 7. 47 - (MPU - 2013 / CESPE) Se 4 técnicos desse grupo não gostam de nenhuma das atividades citadas, então mais de 25 técnicos gostam das duas atividades. 48 - (MPU - 2013 / CESPE) Infere-se dos dados que a quantidade mínima de técnicos desse grupo que gostam das duas atividades é superior a 20.

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5 - Gabaritos 01 - C 02 - E 03 - E 04 - C 05 - C 06 - C 07 - E 08 - C 09 - E 10 - C 11 - C 12 - E 13 - E 14 - E 15 - C 16 - C 17 - E 18 - E 19 - E 20 - C 21 - E 22 - E 23 - C 24 - C

25 - C 26 - E 27 - C 28 - C 29 - E 30 - E 31 - C 32 - E 33 - C 34 - E 35 - C 36 - E 37 - E 38 - C 39 - E 40 - C 41 - C 42 - E 43 - E 44 - C 45 - C 46 - C 47 - C 48 - C

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aula 00 - raciocínio lógico

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