www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 1 Probabilidade PROBABILIDADE 1.CONCEITOS INICIAIS A Teoria da Probabilidade faz uso de uma nomenclatura prpria, de modo que h trs conceitosfundamentaisquetemosquepassarimediatamenteaconhecer:Experimento Aleatrio, Espao Amostral e Evento. #ExperimentoAleatrio:oexperimentoquemesmorepetidodiversasvezessobas mesmas condies, podem apresentar resultados diferentes. Exemplos de experimento aleatrio: lanar um dado e observar o resultado; lanar duas moedas e observar o nmero de caras obtidas; selecionar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar seu naipe. #EspaoAmostral:nadamais,senooconjuntodosresultadospossveisdeum Experimento Aleatrio.DesignaremosoEspaoAmostralporS.Consideremososexemplosabaixo,e determinemos os respectivos espaos amostrais: a)lanar um dado, e observar a face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b)lanar duas moedas e observar as faces de cima. S = { (cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa) } c)Verificar, uma a uma, o nmero de peas defeituosas em um lote de 15 peas. S = {0, 1, 2, 3,..., 14, 15} Ateno:saberdeterminarqualoespaoamostralSdeumexperimentoaleatrio,e conheceronmerodeelementosdesseespaoamostraln(S)meiocaminhoandadopara acertarmos muitas questes de Probabilidade. Como foi dito, designaremos o nmero de elementos de um espao amostral porn(S).Assim, repetindo alguns exemplos acima, teremos que: lanar um dado, e observar a face de cima. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}E: n(S)=6 lanar duas moedas e observar as faces de cima. S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)} E: n(S)=4 Faremos mais alguns exemplos de determinao do tamanho do espao amostral. Exemplo 01:Paracadaexperimentoaleatrioabaixo,determinaronmerode elementos do respectivo espao amostral. Experimento A) Um casal quer ter trs filhos. Observar a seqncia do sexo dos trs filhos. Usaremos o Princpio Fundamental da Contagem.Cada filho do casal poder nascer menino ou menina, havendo, pois, duas possibilidades para cada um deles! Teremos: 1 filho 2 possibilidades2 filho 2 possibilidades 2x2x2=8 Logo: n(S)=8 3 filho 2 possibilidades ExperimentoB)Colocartrspessoas(A,BeC)emfilaindiana,eobservarcomoficaram dispostas. Novamente, camos no Princpio Fundamental da Contagem, (ou no Arranjo)! 1 lugar da fila 3 possibilidades2 lugar da fila 2 possibilidades3x2x1=6 Logo: n(S)=6 3 lugar da fila 1 possibilidade www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 2 Probabilidade ExperimentoD)Escolher,entreumgrupodecincopessoas(A,B,C,D,E),duasdelaspara formar uma comisso. Nestecaso,conformejfoiestudadoanteriormente,trabalharemosutilizandouma Combinao! Teremos: 10! 3 1 2! 3 4 5! 3 ! 2! 52 , 5= = = CLogo: n(S)=10 Constatamos,pois,quenecessitaremosfreqentementedautilizaodaAnlise Combinatria,parachegarmosaonmerototaldepossibilidadesderealizaodeum experimento aleatrio, ou seja, para chegarmos a conhecer o nmero de elementos n(S) de um Espao Amostral (S). O terceiro conceito essencial ao estudo da Probabilidade o conceito de Evento. # EVENTO: um evento ser um subconjunto do Espao Amostral. Designaremos um evento por uma letra maiscula. Entendamos melhor por meio do exemplo abaixo: Experimento Aleatrio: lanar um dado e observar a face para cima. Espao Amostral:S={1, 2, 3, 4, 5, 6} n(S) = 6 Evento A: obter um resultado par no lanamento do dado. A = {2, 4, 6} n(A)=3 Se o resultado do lanamento do dado pertencer ao conjuntoA, diremos que ocorreu o evento A. Maisoutrosexemplosdeeventosquesepodemconstruirnoexperimentodelanaro dado: Evento B: obter um mltiplo de 3 no lanamento do dado. B = {3, 6} n(B)=2 Evento C: obter um resultado maior ou igual a 7 no lanamento do dado. C = { } (ou seja: vazio!) n(C)=0 Quando isso acontecer, estaremos diante de um evento impossvel! Evento D: obter um resultado menor do que 7 no lanamento do dado. D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (igual ao espao amostral) n(D)=6 Quando isso acontecer, estaremos diante de um evento certo! Observemosnosexemplosacimaque,paracadaeventoX,designamosporn(X)o nmero de elementos de cada evento! 2.CLCULO DA PROBABILIDADE Frmula da Probabilidade: a probabilidade de ocorrncia de um evento X, num determinado experimento aleatrio, e considerando que cada elemento do espao amostral deste experimento tem a mesma probabilidade, ser calculada por: P(X) =n(X)=nmero de resultados favorveis ao evento X n(S) nmero de resultados possveis Onde: n(S) o nmero de elementos do espao amostral do experimento; e n(X) o nmero de elementos do evento X. Comoestdito,afrmulaacimaaplicvelquandooselementosdoespaoamostral tiveremamesmaprobabilidade.Porexemplo,podemosaplicarafrmulaacimanum experimento de lanamento de uma moeda honesta (no viciada), pois as faces cara e coroa www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 3 Probabilidade tm amesmaprobabilidade de sorteio. Noentanto,no podemosaplicarnumexperimento de lanamento de uma moeda no honesta (viciada), pois a probabilidade de sorteio de uma das faces maior do que a da outra. Exemplo 02:Umaurnacontmdezbolinhas,sendoquatrodelasazuiseseis vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela seja vermelha? Soluo: Antesdemaisnada,convmsaberqueaquestodeProbabilidadeinconfundvel. Havernoenunciadosempreapergunta:Qualaprobabilidadede...?Nomximo,aquesto trocarapalavraprobabilidadepelapalavrachance.(Masissotambmnoalgocomumde ocorrer!) Da, procuraremos saber qual a probabilidade de realizao de um determinado evento! Teremos, ento, que o conceito que buscamos o seguinte: Probabilidade = possveis resultados de nfavorveis resultados de n Poisbem!Vejamoscomofcilacoisa.Qualoeventoemanlisenesteexemplo? Retirarumabolaazuldaurna!Ora,a talurnacontmdezbolas.Da, se queroretirar apenas uma delas, quantos sero os resultados possveis para essa retirada? Dez, claro! J temos o nosso denominador! Passemosaonumerador,osresultadosfavorveis.Apergunta:favorveisaquem? Favorveisrealizaodoevento!Ora,seeupretendoretirarumabolaazuldaurna,ento quantos sero os resultados que satisfaro essa exigncia do evento (bola azul)? Quatro! (S h quatro bolas azuis na urna!) De posse dos resultados favorveis e possveis para o evento em tela, faremos: P = 4/10 = 0,40 = 40% (Resposta!) Exemplo 03:Umaurnacontm10bolinhasnumeradasde1a10.Umabolinha escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um mltiplo de 2 e de 4? Soluo: Resolvendo passo a passo: 1 Passo) Definio do experimento aleatrio: escolher uma bola, de uma urna que contm 10 bolas. O espao amostral dado pelo conjunto: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Teremos, ento, que n(S)=10. 2 Passo) Definio do evento: a bolinha retirada seja um mltiplo de 2 e de 4. NoconjuntoS,quais soosnmerosquesomltiplosde2 ede4?Soosseguintes nmeros: {4, 8}. Portanto, h apenas 2 resultados favorveis, ou seja: n(X)=2! 3 Passo) Aplicao da frmula da probabilidade! A probabilidade dada pela razo entre resultados favorveis e possveis: % 20 2 , 0102) () (P(X) = = = =S n X n(Resposta!) Exemplo 04:Doisdadossolanadoseobservadososnmerosdasfacesdecima. Qual a probabilidade de ocorrerem nmeros iguais? Sol.: Novamente os trs passos: 1 Passo) Definindo o experimento aleatrio: lanar dois dados diferentes. Quantas seqncias de resultados so possveis? Pelo Princpio Fundamental da Contagem, teremos: www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 4 Probabilidade 1 dado 6 possibilidades6x6=36 n(S)=36 2 dado 6 possibilidades 2Passo)Definiodoevento:oenunciadoexigequeosresultadosdosdoisdadossejam iguais. fcil constatar que as nicas possibilidades de isso acontecer seriam as seguintes: {1, 1} ou {2, 2} ou {3, 3} ou {4, 4} ou {5, 5} ou {6, 6}. S h, portanto, 6 (seis) resultados favorveis para esse evento. Logo: n(X)=6. 3 Passo) Aplicando, finalmente, a frmula da probabilidade, teremos que: ) () () ( PS n X nX = % 7 , 16 167 , 061366) ( P = = = = X (Resposta!) 3.AXIOMAS DA PROBABILIDADE Destacamos os seguintes axiomas: 1 )Aprobabilidadetemvalormximode100%.Nestecaso(P=100%),estaremos diante do chamado evento certo! Por exemplo: qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lanamento de um dado? Ora, trata-se de um evento certo! H aqui uma certeza matemtica! A probabilidade ser, portanto, de 100%.A idia oposta ao do evento certo a do evento impossvel: aquele cuja probabilidade de ocorrncia de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteria sem jogar? Nenhuma! Qualquer criana acerta essa resposta! Entreumeventoimpossveleumeventocerto,infindveissoaspossibilidades(eas probabilidades!), ou seja: 0 P(evento X) 1 2 )A soma das probabilidades de cada elemento do espao amostral igual a 1. Por exemplo, no caso do lanamento de um dado, teremos: P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 No caso do lanamento de uma moeda, teremos: P(cara) + P(coroa) = 1 Vejamos outro exemplo: Exemplo 05:Trsatletascompetemnumapistadecorrida.Andrtem3vezesmais probabilidadedevencerdoqueMauro;esteporsuavez,tem2vezesmaisprobabilidadede vencer do que Lus. Quais so as probabilidades de vitria de cada atleta? Soluo: O nosso espao amostral (S) relativo ao vencedor da corrida dado por: S = {Lus vence, Mauro vence, Andr vence} Faamos P(Lus vencer)=x. Desta forma, teremos: P(Mauro vencer) = 2x P(Andr vencer) = 3.P(Mauro vencer) = 3 . 2x = 6x A soma das probabilidades deve ser igual a 1. Da: x + 2x + 6x = 1 9x = 1 x = 1/9 www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 5 Probabilidade Logo, temos os seguintes resultados: P(Lus vencer)= 1/9 P(Mauro vencer)= 2 . 1/9 = 2/9 P(Andr vencer)= 6 . 1/9 = 6/9 = 2/3 3 )AprobabilidadedeocorrnciadeumeventoXsomadacomaprobabilidadede no ocorrncia desse mesmo evento igual a 1.Prob(X ocorrer) + Prob(X no ocorrer) = 1 Dizemos que os eventos X ocorrer e X no ocorrer soeventos complementares. Portanto, a soma das probabilidades de eventos complementares igual a 1.Em termos de conjunto, dois eventos complementares A e B podem ser representados como (onde o retngulo representa o espao amostral S): OconjuntodoeventoArepresentadoporumcrculoearegioforadocrculo corresponde ao conjunto do evento B. Observe que A B = e A B = S (espao amostral). Vejamos mais alguns exemplos de eventos complementares: P(ganhar o jogo) + P(no ganhar o jogo) = 1 P(ru inocente) + P(ru culpado) = 1 P(cara) + P(coroa) = 1 P(par no dado) + P(mpar no dado) = 1 P(mnimo de 3 meninos) + P(mximo de 2 meninos) = 1 P(mais de 3 defeitos) + P(mximo de 3 defeitos) = 1 P(nascer pelo menos 1 menina) + P(nascer nenhuma menina) = 1 Estarelaoserutilizadamuitasvezesnassoluesdequestesdeprobabilidade. Atravs dela, podemos calcular a probabilidade de um evento ocorrer a partir da probabilidade doeventocomplementar.Porexemplo,umaquestopedeaprobabilidadedeocorrerpelo menos uma cara no lanamento decinco moedas viciadas: P(pelo menos 1 cara) = ?. mais fcil calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, calcular P(nenhuma cara), pois destaformashaverumasituaofavorvel:(coroa,coroa,coroa).Calculadaessa probabilidade, s lanar o resultado na relao existente entre eventos complementares para encontrar a probabilidade da ocorrncia do evento desejado na questo: P(pelo menos 1 cara) = 1 P(nenhuma cara) Resolveremosmaisadiantequestesdeconcursoondeaplicaremosoconceitode evento complementar. 4.PROBABILIDADE DA INTERSECO DE EVENTOS (Regra do E) Esta situao se verificar sempre que a questo solicitar a probabilidade de ocorrncia conjunta de dois ou mais eventos, ou seja, eventos ligados pelo conectivo E. Por exemplo: a)Qual a probabilidade de, ao retirarmos duas cartas de um baralho, obtermos um s E um valete? b)Qualaprobabilidadede,aolanarmosumamoedaeumdado,obtermosuma coroa na moeda E um nmero par no dado? c)Quala probabilidadede,aoretirarmosduas bolasdeumaurna,obtermosduas bolas brancas? (Refere-se situao: a 1 branca E a 2 branca.) A B www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 6 Probabilidade d)Qualaprobabilidadede,nonascimentodosdoisprimeirosfilhosdeumcasal, nascerem duas meninas? (Refere-se situao: a 1 menina E a 2 menina.) e)Qualaprobabilidadede,entreosdoisfilhos(RmuloeRemo)deumcasal, somente o Rmulo seja aprovado no vestibular? (Refere-se situao: o Rmulo aprovado E o Remo reprovado.) O conectivo E aparece explicitamente apenas nas probabilidades pedidas nos itens (a) e (b).Nasdemaisprobabilidades, emboraoEno esteja explcito,tivemoscondiesdefaz-lo aparecer.Em termos de conjunto, o conectivo E significa interseco! Trabalharemos, assim, com umafrmulaprpria:a daProbabilidadeda IntersecodeDoisEventos,ou,simplesmente, a regra do E.Dados dois eventos, A e B, a probabilidade de que ocorram A e B igual a: P(A e B) = P(A) x P(B|A) AProb(B|A)significaaprobabilidade deocorreroeventoBsabendoqueoeventoAj tenhaocorrido.Ou,simplesmente:aprobabilidadedeBdadoA.(NotequeB|Anouma frao.) Voc perceber daqui a pouco que tudo isso bem intuitivo! Vamos a um exemplo: 5.PROBABILIDADE DE EVENTOS INDEPENDENTES Dois eventos, A e B, soindependentes quando a ocorrncia, ou no-ocorrncia, de um deles no afeta a probabilidade de ocorrncia do outro.Porexemplo,aoefetuarmosdoislanamentossucessivosdeumamoeda,oseventos caranoprimeirolanamentoecoroanosegundolanamentosoeventosindependentes, umavezqueoresultadodoprimeirolanamentodamoedanoafetaaprobabilidadede ocorrncia do resultado coroa no segundo lanamento. Porm,aoretirarmosduascartassemreposiodeumbaralho,oseventossna primeira retirada e valete na segunda retirada so eventos dependentes, porque ao retirarmos aprimeira carta,dadaaocorrncia,ouno, dos,ototaldecartasdobaralho sofreruma reduo, alterando desta forma a probabilidade da segunda carta.E se retirarmos duas cartas com reposio, esses eventos sero independentes? Quando se repe a carta retirada, o nmero de cartas de cada tipo (s, valete, dama,...) no se altera e nem,claro,ototaldecartas.Destaforma,aprobabilidadedasegundacartaretiradano depender da primeira carta, por conseguinte, esses eventos so independentes! Mastemosquetercuidadoaoverificarsedoiseventossoindependentes.Noscasos supracitados,notivemosdificuldadeemefetuaressaverificao,masnemsempreassim. Veja, por exemplo, os casos a seguir que retirei de questes de concursos. Os eventos: pedir para verificar o nvel de leo e pedir para verificar a presso dos pneus so independentes? E oseventos:AdaltonconvideBeraldoparaparticipardojogoeCauanconvideBeraldopara participar do jogo so independentes? Nos casos da moeda e do baralho, foi fcil verificar a independncia dos eventos, porque osexperimentoseramconstitudosemlanamentoseretiradas,respectivamente.Noentanto, noscasosdopargrafoanterior,temossituaesmaissubjetivas.Quandoissoocorre, normalmente a questo vai informar se os eventos so ou no so independentes, ou fornecer mais dados que nos permita essa verificao.Paramataracuriosidade,oseventospedirparaverificarleoepedirparaverificar pressodopneueramdependentes,porque,combasenasprobabilidadesinformadasna questo,tnhamoscomochegarnessaconcluso.(Essaformadeverificaraindependnciaa partir dosvaloresde probabilidade serensinadamaisadiante.)EnaquestodoBeraldo,era informado explicitamente que os eventos eram independentes.Quando dois eventos (A e B) so independentes, a probabilidade do eventoB ocorrer dadoqueAocorreu,simbolizadaporP(B|A),sersempreigualaP(B),poiscomoso independentes, ento B no depende de A (e vice-versa): P(B|A) = P(B) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 7 Probabilidade Naturalmente, tambm teremos: P(A|B) = P(A) Portanto, para eventos independentes, a regra do E pode ser modificada para:P(A e B) = P(A) x P(B) E podemos afirmar que: Dois eventos, A e B, so independentes se, e somente se, ocorrer a igualdade P(A e B)=P(A)xP(B).Portanto,seasprobabilidadesforemfornecidas,entotemoscomotestara independnciadedois eventosA eB pelacomparao do valordeP(AeB)comodo produto P(A)xP(B). Sendo iguais sero independentes; caso contrrio, dependentes. Exemplo 06:(ICMS RJ 2008 FGV) Sejam A e B dois eventos definidos em um espao amostral S de modo que P(A) = 0,70, P(B) = 0,20 e P(A B) = 0,14. Ento, pode-se dizer que A e B so eventos: (A) mutuamente exclusivos. (B) complementares. (C) independentes. (D) condicionais. (E) elementares. Soluo: TemosdoiseventosAeBdefinidosemumespaoamostralS,comasseguintes probabilidades: P(A) = 0,70; P(B) = 0,20; P(AB) = 0,14. Vamos verificar qual o valor do produto P(A)xP(B): P(A)xP(B) = 0,70x0,20 = 0,14 Qual foi o valor fornecido no enunciado para P(AB)? Tambm foi 0,14. Da, a igualdade P(AB)=P(A)xP(B) foi verificada. Portanto, A e B so eventos independentes!Resposta: Alternativa C! Exemplo 07:Umaurnacontm4bolasbrancase6bolaspretas.Soretiradasduasbolas desta urna, uma aps a outra, com reposio. Qual a probabilidade das duas bolas retiradas sejam brancas? Soluo: A nica diferena deste exemplo para o exemplo 12 quanto questo da reposio das bolasnaurna.Nesteexemplo,asretiradassofeitascomreposioenoexemplo12,sem reposio. SeasretiradasforemfeitasCOMREPOSIO(bolasretiradassorepostasantesda prxima extrao), ento as retiradas sero independentes! Pois como a quantidade de bolas dentrodaurnapermanece inalteradaao longodasretiradas,aprobabilidadedeocorrnciade um resultado no influenciada pela retirada anterior.Se as retiradas forem feitas SEM REPOSIO (bolas retiradas no so repostas na urna), entoasretiradasserodependentes!Poiscomoaquantidadedebolasdentrodaurna reduzidaacadaretirada,entoaprobabilidadedeocorrnciadeumresultadoinfluenciada pela retirada anterior. No exemplo 12, aps dividir o experimento em etapas e aps a aplicao da regra do E, chegamos a expresso: P(1 br E 2 br) = P(1 br) x P(2 br|1 br) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 8 Probabilidade Podemos ler essa expresso como: A probabilidade de ocorrer duas bolas brancas igual aoprodutoentreaprobabilidadedaprimeirabolaretiradasejabrancaeaprobabilidadeda segunda bola retirada seja branca dado que a primeira foi branca.Em retiradas com reposio, as retiradas so independentes entre si. Da, a regra do E ser simplificada para o seguinte produto de probabilidades:P(1 br e 2 br) = P(1 br) x P(2 br) A probabilidade de bola branca na 1 retirada de 4/10 (4 bolas brancas no total de 10 bolas da urna).A probabilidade de bola branca na 2 retirada tambm 4/10 (4 bolas brancas no total de 10 bolas da urna).Substituindo esses resultados parciais, teremos: P(1 br e 2 br) = 4/10 x 4/10 = 0.16 (Resposta) 6.PROBABILIDADE DE EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Doiseventos,AeB,somutuamenteexclusivosseelesnopodemocorrer simultaneamente. Quer dizer que se um evento ocorre, o outro certamente no ocorreu.Por exemplo, em apenas dois lanamentos de uma moeda, os resultados possveis so: S = {(cara, cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)} Oseventosobterduascaraseobterduascoroassomutuamenteexclusivos,pois elesnopodemocorrersimultaneamente:ocorreumououtro.Masoseventosobter exatamente1caraeobterexatamente1coroanosomutuamenteexclusivos,poisseo resultadodoprimeirolanamentoforcaraeoresultadodosegundolanamentoforcoroa, teremos uma situao em que esses dois eventos ocorrem ao mesmo tempo. Se A e B forem eventos mutuamente exclusivos, ento teremos: P(A|B) = 0 (Probabilidade de A ocorrer dado que B ocorreu zero); P(B|A) = 0 (Probabilidade de B ocorrer dado que A ocorreu zero); P(A e B) = 0 (Probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente zero). Doiseventos(AeB)mutuamenteexclusivossorepresentadosgraficamentepordois crculos sem interseo (A B = ). Observe o prximo exemplo. Exemplo 08:Considereoexperimentoaleatriodolanamentodeumdado,eosseguintes eventos: Evento A: resultado no dado menor do que 3 Evento B: resultado no dado maior do que 4 Evento C: resultado no dado maior do que 1 e menor do que 6 Os eventos A e B so mutuamente exclusivos? E A e C? E B e C? Soluo: O conjunto dos resultados do evento A : {1, 2}. O conjunto dos resultados do evento B : {5, 6}. O conjunto dos resultados do evento C : {2, 3, 4, 5}. Observe que A e B no tm elementos em comum (A B = ). Logo os eventos A e B so mutuamente exclusivos.Noentanto,temoselementosemcomumentreAeC,logoesseseventosnoso mutuamente exclusivos. E tambm temos elementos comunsentre B e C, ento tambm esses no so eventos mutuamente exclusivos. A representao por diagramas de conjuntos para esses trs eventos a seguinte (onde o retngulo representa o espao amostral S): www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 9 Probabilidade Vejamos mais alguns exemplos de eventos mutuamente exclusivos: 1)Experimento: Retirada de uma carta do baralho. Evento A: resultar um s. Evento B: resultar um rei. 2)Experimento: Nascimento de duas crianas. Evento A: nascer 2 meninas Evento B: nascer 2 meninos 3)Experimento: Numa partida de futebol. Evento A: time do Flamengo ganhar Evento B: time do Flamengo perder 4)Experimento: Em dois lanamentos do dado. Evento A: obter duas caras Evento B: obter duas coroas 5)Experimento: Competio esportiva. Evento A: o atleta fulano ganhar medalha de ouro Evento B: o atleta fulano no ganhar medalha de ouro 6)Experimento: Sorteio de um nmero. Evento A: o nmero sorteado mpar Evento B: o nmero sorteado par 7)Experimento: Defeitos encontrados num conjunto de peas. Evento A: pelo menos uma pea defeituosa Evento B: nenhuma pea defeituosa Existe,frequentemente,algumaconfusocomrespeitodistinoentreeventos mutuamente exclusivos, eventos independentes e eventos complementares.Se dois eventos so complementares, ento certamente eles so mutuamente exclusivos; masarecprocanemsempreverdadeira.(Paradoiseventosseremcomplementares,um evento deve ser a negao do outro!) Na lista acima de eventos mutuamente exclusivos, apenas os trs ltimos (5, 6 e 7) so eventos complementares.Porqueoseventosdoterceiroexemplodalistaacimanosocomplementares?Para seremcomplementares,anegaodoeventoAdeveriaseroeventoB;masno,poisa negao do Flamengo ganhar o Flamengo perder ou empatar. Eoseventosdosegundoexemplo,porquenosocomplementares?Anegaode nascer2meninas(emdoisnascimentos)nonascerdoismeninos,massimnascerno mximo1(uma)meninaqueincluiosresultados:(menina,menino),(menino,menina)e (menino, menino). Eventoscomplementaresoueventosmutuamenteexclusivosapresentamamesma caracterstica de no ocorrerem simultaneamente, ou seja, a ocorrncia de um evento implica na noocorrnciadooutro.Portanto,oseventoscomplementareseoseventosmutuamente B A C www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 10 Probabilidade exclusivos so altamente dependentes! Enquanto que eventos independentes so aqueles em que a probabilidade de ocorrncia de um, no afetada pela ocorrncia do outro. 7.PROBABILIDADE DA UNIO DE DOIS EVENTOS (Regra do OU) Esta situao se verificar sempre que a questo de probabilidade trouxer uma pergunta referente a dois eventos, conectados entre si pelo conectivo ou. Por exemplo, pode ser que a questo apresente uma srie de dados e no final pergunte: Qual a probabilidade de ocorrncia do evento A ou do evento B?Saberemos,ento,deimediato,queapartculaousignificarunio!Trabalharemos, assim,comumafrmulaprpria:adaProbabilidadedaUniodeDoisEventosou, simplesmente, a regra do OU. P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Reparemosbemnaterceiraparceladafrmulaacima:P(AeB).Estaparcelatrata acerca da probabilidade de ocorrncia simultnea dos eventos A e B. Lembremos que para eventos dependentes, teremos: P(A e B) = P(A) x P(B|A) Para eventos independentes: P(A e B) = P(A) x P(B) E para eventos mutuamente exclusivos: P(A e B) = 0 Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudaro a entender melhor essa teoria. Exemplo 09:Se P(A)=1/2, P(B)=1/5, P(B|A)=2/9 e A e B so eventos dependentes, calcule: a)P(A no ocorrer)d) P(A ou B) b)P(B no ocorrer)e) P(A e B no ocorrerem) c)P(A e B) Soluo do item a: O evento A no ocorrer complementar do evento A ocorrer, logo podemos escrever que: P(A no ocorrer) = 1 P(A ocorrer)A probabilidade de A ocorrer foi dada no enunciado: P(A)=1/2. Da: P(A no ocorrer) = 1 1/2 = 1/2 (Resposta!) Soluo do item b: O evento B no ocorrer complementar do evento B ocorrer, logo podemos escrever que: P(B no ocorrer) = 1 P(B ocorrer) = 1 1/5 = 4/5 (Resposta!) Soluo do item c: Para calcular a probabilidade P(A e B), devemos usar a regra do E: P(A e B) = P(A) x P(B|A) Substituindo os dados, teremos: P(A e B) = 1/2 x 2/9 = 1/9 (Resposta!) Soluo do item d: Para calcular a probabilidade P(A ou B), devemos usar a regra do OU: P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Substituindo os dados, teremos: www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 11 Probabilidade P(A ou B) = 1/2 + 1/5 1/9 P(A ou B) = 53/90 (Resposta!) Soluo do item e: Muitasquestesdeprobabilidadesoresolvidas atravsdoeventocomplementar,esta uma delas.Paraencontrarmosoeventocomplementar,devemosfazeranegaodoeventoAeBno ocorrerem. O evento A e B no ocorrerem equivalente a conjuno A no ocorrer e B no ocorrer. Para encontrarmos a negao desse evento, podemos usar as regras de negao da Lgica.Usando os smbolos da Lgica, o evento A no ocorrer e B no ocorrer pode ser escrito como: (~A e ~B).A negao de (~A e ~B) obtida negando-se os termos e trocando o e pelo ou. Vamos fazer passo a passo: 1. Negao de ~A : A. 2. Negao de ~B : B. 3. Trocar o e pelo ou. Pronto! Temos que a negao de (~A e ~B) (A ou B). Portanto,oeventocomplementardeAeBnoocorreremAouBocorrerem,ou simplesmente: A ou B. J calculamos no item anterior a probabilidade do evento A ou B que foi igual a: P(A ou B) = 53/90 ComososeventosAeBnoocorreremeAouBsocomplementares,entopodemos escrever: P(A e B no ocorrerem) = 1 P(A ou B) P(A e B no ocorrerem) = 1 53/90 = 37/90 (Resposta!) Exemplo 10:SeP(A)=2/3,P(B)=1/4eAeBsoeventosmutuamenteexclusivos, calcule: a)P(A e B) b)P(A ou B) Soluo do item a: Como A e B so eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade do evento A e B ocorrerem zero: P(A e B) = 0 (Resposta!) Soluo do item b: Para calcular a probabilidade P(A ou B), devemos usar a regra do OU: P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Como P(A e B) = 0, teremos: P(A ou B) = P(A) + P(B) Substituindo os dados: P(A ou B) = 2/3 + 1/4 P(A ou B) = 11/12 (Resposta!) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 12 Probabilidade Exemplo 11:Umaurnacontm5bolaspretas,3bolasbrancase2bolasverdes. Retiram-se, aleatoriamente, 3 bolas sem reposio. Calcule: a)A probabilidade de se obter todas pretas. b)A probabilidade de se obter todas da mesma cor. c)A probabilidade de nenhuma bola preta. d)A probabilidade de obter ao menos 1 bola preta. Soluo: Esta questo sobre retirada de bolas de uma urna, mas os conceitos que sero vistos notranscorrerdassoluesdositenssotambmaplicveisaoutrostiposdequesto.Por exemplo:noexercciopropostodenmero12,asaladeaulacomosefosseaurna,as meninasseriamasbolasdeumamesma cor(digamos branca) e,os meninos,bolasdeoutra cor(digamospreta).Oexercciopropostodenmero15outroexemploparaaplicaodos conceitos. Soluo do item a: ... obter todas pretas. Emprobabilidade,podemosresolverasquestesqueenvolvemretiradas,sorteiose lanamentos atravs de etapas. Assim, no item (a): obter todas pretas, podemos dividir nas seguintes etapas: a primeira bola retirada preta, a segunda bola retirada preta e a terceira bola retirada preta. A probabilidade que calcularemos : P(1 preta e 2 preta e 3 preta) Observe que estamos usando o conectivo E, e uma conjuno de trs termos (do tipo: A e B e C). O modo de resolver muito semelhante a situao com dois eventos. A regra do E para trs eventos dada por: P(A e B e C) = P(A) x P(B|A) x P(C| B e C) No preciso memorizar a frmula acima, basta lembrar que a regra do E dada pelo produto das probabilidades obtidas em cada etapa. Vejamos: 1 etapa) Qual a probabilidade da 1 bola retirada seja preta?Naurna temos5 bolaspretaseum totalde10 bolas, logoaprobabilidade iguala: 5/10. 2 etapa) Qual a probabilidade da 2 bola retirada seja preta (dado que a 1 bola retirada foi preta)?Asbolassoretiradassemreposio,econsiderandoqueaprimeirabolaretiradafoi preta, h agora na urna: 4 pretas, 3 brancas e 2 verdes. Como temos 4 bolas pretas e um total de 9 bolas, logo a probabilidade desta etapa igual a: 4/9. 3etapa)Qual aprobabilidadeda3bolaretiradasejapreta(dadoqueasduasprimeiras foram pretas)?Depoisderetirarmosduasbolaspretas,aurnaestcom:3pretas,3brancase2 verdes.Comotemos3bolas pretaseumtotalde8bolas, logoa probabilidade destaltima etapa igual a: 3/8. Calculada as probabilidades de cada etapa, faremos o produto dos resultados: P(preta e preta e preta) = 5/10 x 4/9 x 3/8 Observequeosnumeradoresedenominadoresdasfraesacimaseguemuma sequncia decrescente (os numeradores: 5, 4, 3, e os denominadores: 10, 9, 8).Isto sempre ocorrerquandotivermosretiradas semreposiode bolasdamesmacor!Entodaprxima vezquetivermosdiantedetalsituao,calcularemossomenteaprobabilidadedaprimeira retirada e as demais sero obtidas decrementando o numerador e denominador de 1 unidade.Voltemos ao clculo da probabilidade: P(preta e preta e preta) = 5/10 x 4/9 x 3/8 P(preta e preta e preta) = 1/1 x 1/3 x 1/4 www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 13 Probabilidade P(preta e preta e preta) = 1/12 (Resposta!) Podemos tambm resolver esta questo atravs da Anlise Combinatria.Aordemdasretiradasdasbolas relevante,porexemplo,a sequncia:(1preta,2 brancae3verde)diferentedasequncia(1verde,2brancae3preta).Portanto, devemos usar a tcnica de Arranjo ou o princpio fundamental da contagem. Clculo do nmero de resultados possveis: Temos 10 bolas na urna para selecionar 3, da o nmero de resultados possveis igual a: A10,3 = 10x9x8 = 720. Clculo do nmero de resultados favorveis: Temos 5 bolas pretas para selecionar 3, da o nmero de resultados favorveis igual a: A5,3 = 5x4x3 = 60. A probabilidade a razo entre o nmero de resultados favorveis e possveis: P(preta e preta e preta) = 60/720 = 1/12 (mesma resposta!) Soluo do item b: ... obter todas da mesma cor. Com todas da mesma cor, temos dois eventos favorveis: 1 evento: (1 preta e 2 preta e 3 preta); 2 evento: (1 branca e 2 branca e 3 branca). Oseventosacimasomutuamenteexclusivos,umavezqueelesnopodemocorrer simultaneamente.Da,podemoscalcularaprobabilidadeindividualdecadaeventoedepois somar os resultados para encontrar a resposta da questo. A probabilidade do primeiro evento (1 preta e 2 preta e 3 preta) foi calculada no item anterior, e e encontramos o valor de 1/12. Vamos calcular a probabilidade do segundo evento (1 branca e 2 branca e 3 branca). Comodissemosnoitemanterior,podemosencontraraprobabilidadedasretiradassem reposio de bolas da mesma cor, calculando apenas a probabilidade da primeira retirada.As demais sero obtidas decrementando o numerador e denominador de 1 unidade. Na urna temos 3 bolas brancas e um total de 10 bolas, logo a probabilidade da primeira bola retirada seja branca igual a: 3/10.Da, a probabilidade de retirada de trs bolas brancas : P(branca e branca e branca) = 3/10 x 2/9 x 1/8 P(branca e branca e branca) = 1/5 x 1/3 x 1/8 P(branca e branca e branca) = 1/120Vamos somar as probabilidades obtidas para os dois eventos: 1/12 + 1/120 = 11/120 (Resposta!) Soluo do item c: ... nenhuma bola preta. Vamos dividir o evento nenhuma bola preta em etapas: (no preta e no preta e no preta).Passemos ao clculo das probabilidades de cada etapa: 1 etapa) Qual a probabilidade da 1 bola retirada no seja preta? Na urna temos 5 (=3+2) bolas no pretas e um total de 10 bolas, logo a probabilidade igual a: 5/10. 2 etapa) Qual a probabilidade da 2 bola retirada no seja preta (dado que a 1 bola retirada no foi preta)?www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 14 Probabilidade Aps a retirada de uma bola no preta, passamos a ter na urna 4 bolas no pretas e um total de 9 bolas. Logo a probabilidade desta etapa igual a: 4/9. 3etapa)Qual aprobabilidade da3 bolaretiradano sejapreta(dadoqueasduasbolas retiradas no eram pretas)?Aps a retirada de duas bolas no pretas, passamos a ter na urna 3 bolas no pretas e um total de 8 bolas. Logo a probabilidade desta etapa igual a: 3/8. Encontradas as probabilidades de cada etapa, faremos o produto dos resultados: P(no pr e no pr e no pr) = 5/10 x 4/9 x 3/8 P(no pr e no pr e no pr) = 1/2 x 1/3 x 1/2 P(no pr e no pr e no pr) = 1/12 (Resposta!)Esseresultadofoi igualaprobabilidadedo eventobolastodaspretas.Isso apenas umacoincidncia,devidoaofatodonmerode bolaspretasnaurnaser igual aonmerode bolas no pretas. Podemos tambm resolver esta questo atravs da Anlise Combinatria. Vamos usar o princpio fundamental da contagem. Clculo do nmero de resultados possveis: Temos10bolasnaurnaparaselecionar3.Na1retiradah10possibilidades(10bolas),na2retiradah9possibilidades(9bolas)ena3retiradah8possibilidades(8 bolas). Portanto, o nmero de resultados possveis igual a: 10x9x8. Clculo do nmero de resultados favorveis: Para a 1 retirada temos 5 possibilidades (5 bolas no pretas), para a 2 retirada temos 4 possibilidades (4 bolas no pretas) e para a 3 retirada temos 3 possibilidades (3 bolas no pretas). Da, o nmero de resultados favorveis igual a: 5x4x3. A probabilidade a razo entre o nmero de resultados favorveis e possveis: P(no pr e no pr e no pr) = (5x4x3) / (10x9x8) = 1/12 a mesma resposta! Soluo do item d: ... obter ao menos 1 bola preta. Aomenos1pretacontemplaosseguinteseventos:1)exatamente1preta;2) exatamenteduaspretas;e3)exatamente3pretas.Enquantooeventocomplementar contempla apenas um evento: nenhuma preta. Da, mais fcil encontrarmos a probabilidade atravs do evento complementar. Dividindooeventonenhumapretaemetapas,teremos:(nopreta,nopreta,no preta).Aprobabilidadedesteeventojfoicalculadanoitemc,eencontramosovalorde 1/12. Da relao entre eventos complementares, teremos: P(ao menos 1 bola preta) = 1 P(nenhuma preta) P(ao menos 1 bola preta) = 1 1/12 P(ao menos 1 bola preta) = 11/12 (Resposta!) Exemplo 12:(TCE-RN2000ESAF)Aprobabilidadedeumgatoestarvivodaquia5 anos 3/5. A probabilidade de um co estar vivo daqui a 5 anos 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o co estar vivo daqui a 5 anos de:Sol.: www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 15 Probabilidade O enunciado solicita: a probabilidade de somente o co estar vivo daqui a 5 anos?Apalavrachavedessaperguntaapalavrasomente!Ora,aquestofalavadeduas figuras: o co e o gato. Se deseja saber a probabilidade de somente o co estar vivo daqui a 5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: Qual a probabilidade de o co estar vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto? Ora, se quero somente o co vivo, porque quero tambm o gato morto! Precisamos, pois, calcular a probabilidade: P(co vivo e gato morto). Observe que aparece um E entre os bichinhos, sinal de que podemos utilizar a regra do E, a qual dada por: P(A e B) = P(A) x P(B|A) Masoenunciadodizqueoseventossoindependentes,assimpodemossimplificara regra do E para: P(A e B) = P(A) x P(B) Portanto, precisamos resolver a probabilidade: P(co vivo e gato morto) = P(co vivo) x P(gato morto) A probabilidade do co vivo foi informada no enunciado: P(co vivo) = 4/5. E podemos encontrar a probabilidade do gato morto a partir da probabilidade do gato vivo que de 3/5.Oeventocomplementardeogatoestarvivojustamenteogatoestarmorto!Ou seja, se o gato estiver vivo porque no estar morto; e vice-versa: se estiver morto porque no estar vivo. E no h uma terceira possibilidade! Da,sabendoqueaprobabilidadedeogatoestarvivode(3/5),entoafraoque representaroeventodeogatoestarmortoserexatamentede(2/5).Claro!Poissomando (2/5) a (3/5) dar igual a 1, que 100%. Substituindo os valores de probabilidade, teremos: P(co vivo e gato morto) = P(co vivo) x P(gato morto) P(co vivo e gato morto) = 4/5 x 2/5 = 8/25 (Resposta!) 8.PROBABILIDADE CONDICIONAL Exemplo 13:Atabelaabaixoapresentaadistribuiode500pessoasclassificadas porSexo(MasculinoeFeminino)eNveldeescolaridade(Fundamental,Mdioe Superior). Nvel de escolaridade Sexo MF Fundamental 100 40 Mdio 150 100 Superior 50 60 Uma pessoa selecionada ao acaso. Sabendo-se que a pessoa selecionada foi do sexo feminino, a probabilidade de que ela tenha nvel superior : (A) 0,2.(B) 0,3.(C) 0,35.(D) 0,4.(E) 0,45. Soluo: Novamente uma questo de probabilidade condicional. Na linguagem da probabilidade, a questo quer: P(nvel superior| sexo feminino) = ? Oespaoamostraldoexperimento(selecionarumapessoa)compostopelas500 pessoas.Contudo,porsetratar de probabilidade condicional, trabalharemoscomapenasparte desse espao amostral. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 16 Probabilidade Encontraremosoespaoamostralreduzidoapartirdofatodadodequeapessoa selecionada foi do sexo feminino.Do sexo feminino, h 200 pessoas na tabela, conforme coluna destacada abaixo: Nvel de escolaridade Sexo MF Fundamental 100 40 Mdio 150 100 Superior 50 60 Logo, nosso espao amostral reduzido tem 200 resultados possveis. Dentro desse espao amostral reduzido, procuraremos as pessoas que tem nvel superior (resultados favorveis). A ltima quadrcula da coluna do sexo feminino apresenta 60 pessoas de nvel superior. Portanto, a frao da probabilidade igual a 60/200, que resulta em 0,3.Resposta: alternativa B. Exemplo 14:(MPU2004ESAF)CarlossabequeAnaeBeatrizestoviajandopela Europa. Com as informaes que dispe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris 2/7,equeaprobabilidadedeambas,AnaeBeatriz,estaremhojeemParis1/7. CarlosentorecebeumtelefonemadeAna,informandoqueelaesthojeemParis. Com a informao recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz tambm estar hoje em Paris igual a: a) 1/7d) 5/7 b) 1/3e) 4/7 c) 2/3 Soluo: Vamos estabelecer uma diviso em partes do enunciado dessa questo! Vejamos: Carlos sabe que Ana e Beatriz esto viajando pela Europa. Com as informaes... Ana e Beatriz, estaremhoje emParis 1/7.Carlos entorecebeumtelefonemadeAna, informando que ela esthojeemParis.ComainformaorecebidapelotelefonemadeAna,Carlosagoraestima corretamente que a probabilidade de Beatriz tambm estar hoje em Paris igual a? A primeira parte (em vermelho) informa algumas probabilidades: P(Ana em Paris) = 3/7 P(Beatriz em Paris) = 2/7 P(Ana em Paris e Beatriz em Paris) = 1/7 A segunda parte (em azul) uma informao adicional que nos revela um fato. Algo que passa a ser do nosso conhecimento! No uma probabilidade: um fato dado! A terceira parte a pergunta da questo! Juntando essa pergunta ao fato dado, teremos a seguinte pergunta completa: Qual a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris, dado que Ana estar hoje em Paris? Estamos diante de uma probabilidade condicional! Na linguagem da probabilidade, teremos:P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = ? A s aplicar a frmula da probabilidade condicional: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) =P(Beatriz em Paris e Ana em Paris) P(Ana em Paris) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 17 Probabilidade Nsjdispomos dasprobabilidadesqueaparecemnonumerador eno denominadorda frmula acima, da, s substituirmos os valores e efetuarmos a diviso: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = 1/7 = 1_(Resposta!) 3/7 3 EXERCCIOS RESOLVIDOS 01. (MinistriodaFazendaATA2009Esaf)Aosejogarumdeterminadodadoviciado,a probabilidadedesaironmero6de20%,enquantoasprobabilidadesdesairqualquer outronmerosoiguaisentresi.Aosejogarestedadoduasvezes,qualovalormais prximo da probabilidade de um nmero par sair duas vezes? a) 20%c) 25% e) 50% b) 27%d) 23% Soluo: Aprobabilidadedesaironmero6 de20%.Vamoschamar dexaprobabilidadede sair qualquer outro nmero do dado. Desta forma, teremos as seguintes probabilidades para os nmeros do dado: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = x P(6) = 20% = 0,2 A soma das probabilidades de todos os nmeros do dado tem que ser igual a 1, ou seja: P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 Vamos substituir as probabilidades P(1) a P(5) por x, e a P(6) por 0,2: x + x + x + x + x + 0,2 = 1 Resolvendo, vem: 5x + 0,2 = 15x = 0,8 x = 0,8/5 x = 0,16 Pronto! Encontramos as probabilidades dos nmeros do dado. Passemos ao clculo da probabilidade pedida na questo. Nalinguagemda probabilidade a questo quer: P(par e par) = ? Vocachaqueoprimeirolanamentododadoinfluenciarnoresultadodosegundo lanamento?claroqueno!Assim,osdoislanamentossoindependentes!Destaforma, podemos separar a probabilidade acima num produto de probabilidades: P(par) x P(par) = ? Oresultadonodadopar,quandoocorreumdosseguintesnmeros:2,4ou6. Portanto,aprobabilidadedoresultadoparnodadoserobtidapelasomadasprobabilidades desses nmeros: P(par) = P(2) + P(4) + P(6) P(par) = 0,16 + 0,16 + 0,2 = 0,52 Da: P(par) x P(par) = 0,52 x 0,52 = 0,2704 @ 27% Resposta: Alternativa B! 02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial 0,4. Supondo que as decises de compra dos clientes so eventos independentes, ento a probabilidade de que o vendedor faa no mnimo uma venda em trs visitas igual a: a) 0,624d) 0,568 b) 0,064e) 0,784 c) 0,216 www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 18 Probabilidade Soluo: A questo solicita a probabilidade de que o vendedor faa no mnimo uma venda em trsvisitas.Amelhormaneiradeobtermosoresultadodessaprobabilidadecalculandoa probabilidade do evento complementar ( a negao do evento dado). Anegaodoevento:ovendedorfaanomnimoumavendaemtrsvisitaso evento complementar: o vendedor no faa nenhuma venda em trs visitas. Da relao entre as probabilidades de eventos complementares, teremos:P(no mnimo uma venda) = 1 P(nenhuma venda) Da,seencontrarmosaprobabilidadedoeventocomplementar,automaticamente encontraremos a probabilidade solicitada na questo.Passemos ao clculo da probabilidade: P(nenhuma venda). Considerequeostrsclientessejam:A,BeC.Dessaforma,aprobabilidade P(nenhuma venda) igual a:P(no vender p/ A e no vender p/ B e no vender p/ C) Comofoiditonaquestoqueasdecisesdecompradosclientessoindependentes, ento essa probabilidade pode ser transformada no produto de trs probabilidades, ou seja:P(nenhuma venda) = P(no vender p/ A) x P(no vender p/ B) x P(no vender p/ C) Segundooenunciado,aprobabilidadedevendaaumcliente0,4.Sendoassim,a probabilidade de no vender a um cliente ser 0,6 (=1 0,4).Substituiremos esse resultado na expresso de probabilidade acima: P(nenhuma venda) = 0,6 x 0,6 x 0,6 Resolvendo, vem:P(nenhuma venda) = 0,216 Emboraesseresultadoapareaentreasopesderesposta,elenoarespostada questo. A probabilidade acima a do evento complementar, que utilizaremos para encontrar a probabilidade solicitada. Teremos: P(no mnimo uma venda) = 1 P(nenhuma venda) P(no mnimo uma venda) = 1 0,216 = 0,784(Resposta!) 03. (MPU/2004)Andrestrealizandoumtestedemltiplaescolha,emquecadaquesto apresenta5alternativas,sendoumaeapenasumacorreta.SeAndrsaberesolvera questo,elemarcaarespostacerta.Seelenosabe,elemarcaaleatoriamenteumadas alternativas.Andrsabe60%dasquestesdo teste.Ento,aprobabilidadedeeleacertar uma questo qualquer do teste (isto , de uma questo escolhida ao acaso) igual a: a) 0,62d) 0,80 b) 0,60e) 0,56 c) 0,68 Soluo:OAndraotentarresolverasquestesdoteste,elepodersaberresolverounoas questes! Se ele sabe, claro que acertar a questo; se ele no sabe, ainda poder acertar a questo chutando uma das cinco alternativas, com probabilidade de acerto de (1/5).Veja que nesta questo podemos traar mais de um caminho (sabe a questo e acerta; no sabe a questo e acerta;...). Logo, podemos utilizar a rvore de probabilidades para traar os possveis caminhos para nos ajudar a chegar a resposta da questo. Nossa rvore com as probabilidades fornecidas no enunciado:

www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 19 Probabilidade sabe resolveracerta(60%) (100%) acerta(1/5) no sabe resolver(40%)erra(4/5) Aperguntadaquesto:Qualaprobabilidadedeeleacertarumaquesto qualquer do teste? Hdoiscaminhosquenosconduzemaesseresultadoacertarumaquesto.No esquema abaixo, destacamos esses dois caminhos na cor azul, e j calculamos a probabilidade de cada um deles. Vejamos: sabe resolver acerta 0,6 x 1 = 0,6 (60%) (100%) acerta 0,4 x 1/5 = 0,08 (1/5) no sabe resolver (40%)erra (4/5) Ora,comosodoisoscaminhosquenosconduzemaoresultadoprocurado,teremos portanto que somar essas duas probabilidades. Teremos, pois, que: P(acertar uma questo) = 0,6 + 0,08 = 0,68 (Resposta!) 04. (POTIGS2006FGV)Umamoedano-tendenciosalanadaatqueocorramdois resultados sucessivos iguais. A probabilidade de que ela seja lanada quatro vezes : (A) 1/8. (B) 3/8. (C) 1/2. (D) 5/8. (E) 2/3. Sol.: Umamoedano-tendenciosa(no-viciada)significaqueaprobabilidadedoresultado caraigualadoresultadocoroa.Eessaprobabilidadejdenossoconhecimento: P(cara)=1/2 e P(coroa)=1/2. Segundoaquesto,amoedalanadaatqueocorramdoisresultadossucessivos iguais. Isso ocorrer em quatro lanamentos da moeda somente em duas situaes: 1234 1 situao:caracoroacaracara 2 situao:coroacaracoroacoroa Vamos calcular a probabilidade nessas duas situaes. A probabilidade da 1 situao pode ser escrita como: P(cara e coroa e cara e cara) = ? Os resultados (cara e coroa) dos lanamentos da moeda so independentes entre si, ou seja,oresultadoobtidonumlanamentonoinfluencianoresultadodoprximolanamento. Destaforma,podemossepararaprobabilidadeacimaemumprodutodeprobabilidades individuais: P(cara e coroa e cara e cara) = P(cara)xP(coroa)xP(cara)xP(cara) Substituindo P(cara) e P(coroa) por 1/2, obteremos: questo qualquer do teste questo do teste www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 20 Probabilidade P(cara e coroa e cara e cara) = 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16 O clculo da probabilidade da segunda situao semelhante ao da primeira. Teremos: P(coroa e cara e coroa e coroa) = 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16 Somandoos valoresdessasduasprobabilidades, encontraremosaprobabilidadepedida na questo: 1/16 + 1/16 = 1/8Resposta: Alternativa A. 05. (SEFAZ-RJ2008FGV)Umcandidatosesubmeteaumaprovacontendotrsquestesde mltiplaescolhaprecisandoacertarpelomenosduasparaseraprovado.Cadaquesto apresenta cinco alternativas, mas apenas uma correta. Se o candidato no se preparou e deciderespondera cadaquestoao acaso, aprobabilidadedeser aprovadonoconcurso igual a: (A) 0,104. (C) 0,096.(E) 0,200. (B) 0,040.(D) 0,008. Soluo: Vamos iniciar pelo clculo da probabilidade de o candidato acertar uma questo de cinco alternativas, ao responder ao acaso. A probabilidade razo entre resultados favorveis e possveis.Cadaquestoapresenta5alternativas(logo,5resultadospossveis),masapenas1 correta (logo, 1 resultado favorvel). Da: P(acertar a alternativa correta da questo) = 1/5 = 0,2

E qual a probabilidade de errar uma questo? Como sabemos que a probabilidade de acertar 0,2, ento a de errar igual a 0,8 (=1-0,2). Segundooenunciado,ocandidatoseraprovadonoconcursoseacertarpelomenos duas questes das trs que vem na prova. Vamoscalcularaprobabilidadedeocandidatoacertarexatamente2questesda prova. Para esse evento, temos as seguintes situaes favorveis nas trs questes da prova: 1) acerta a 1, acerta a 2 e erra a 3; 2) acerta a 1, erra a 2 e acerta a 3; 3) erra a 1, acerta a 2 e acerta a 3. As probabilidades para cada uma das situaes acima sero representadas por: 1) P(acerta, acerta e erra); 2) P(acerta, erra e acerta); 3) P(erra, acerta e acerta). Asquestessoindependentesentresi,ejtemososvaloresdasprobabilidadesde acertar e a de errar uma questo. Com isso, teremos:1) P(acerta) x P(acerta) x P(erra) = 0,2 x 0,2 x 0,8 = 0,032 2) P(acerta) x P(erra) x P(acerta) = 0,2 x 0,8 x 0,2 = 0,032 3) P(erra) x P(acerta) x P(acerta) = 0,8 x 0,2 x 0,2 = 0,032 A soma desses resultados de probabilidade 0,096 (= 0,032+0,032+0,032). Portanto,aprobabilidadedeocandidatoacertarexatamente2questesiguala 0,096. Aindanoterminou!Poishoutrasituaoaqualocandidatoseraprovado:ele acertando as 3 questes da prova. No verdade?www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 21 Probabilidade A probabilidade para esta situao dada por: P(acerta, acerta e acerta) = P(acerta) x P(acerta) x P(acerta) = 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008 Aprobabilidadepedidanaquestoserigualsomadasprobabilidadesdeacertar exatamente duas questes e de acertar as trs questes. Da, teremos: P(o candidato ser aprovado) = 0,096 + 0,008 = 0,104 Resposta: Alternativa A. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 22 Probabilidade EXERCCIOS DE PROBABILIDADE 01. (TCU 2004 CESPE) Um baralho comum possui 52cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus (P),espada(E),copas(C)eouros(O).Emcadanaipe,queconsistede13cartas,3dessas cartascontmasfigurasdorei,dadamaedovalete,respectivamente.Combasenessas informaes, julgue os itens subseqentes. 1. A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma das figuras citadas no texto igual a 3/13. 2.Sabendoqueh4asesemumbaralhocomum,sendoumdecadanaipe,conclui-sequea probabilidade de se extrair uma carta e ela no ser um s de ouros igual a 1/52. 3. A probabilidade de se extrair umacarta e ela conter umafigura ou ser uma carta de paus igual a 11/26. 02. (TJ/ES 2010 Cespe) Em uma cidade, uma emissora de televiso inaugurou os programas A e B. Posteriormente, para avaliar a aceitao desses programas, a emissora encomendou uma pesquisa,cujoresultadomostrouque,das1.200pessoasentrevistadas,770pretendem assistir ao programa A; 370 pretendem assistir apenas ao programa B e 590 no pretendem assistiraoprogramaB.Escolhendo-seaoacasoumadaspessoasentrevistadas,julgueos prximos itens, com base no resultado da pesquisa. 1. A probabilidade de essa pessoa pretender assistir aos dois programas superior a 1/4.2. A probabilidade de essa pessoa pretender assistir a apenas um dos programas igual a 3/4. 03. (Agente da Polcia Federal/2009 Cespe) Considerandoque, em um torneio debasquete, as 11equipesinscritasserodivididasnosgruposAeB,eque,paraformarogrupoA,sero sorteadas 5 equipes, julgue os itens que se seguem. 1. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formaro o grupo A ser inferior a 400.2.Considerandoquecadaequipetenha10jogadores,entretitularesereservas,queos uniformes de 4 equipes sejam completamente vermelhos, de 3 sejam completamente azuis ede4equipesosuniformestenhamascoresazulevermelho,entoaprobabilidadedese escolher aleatoriamente um jogador cujo uniforme seja somente vermelho ou somente azul ser inferior a 30%. 04. (PolciaCivil/CE2012Cespe)Dos420detentosdeumpresdio,verificou-seque210foram condenados por roubo, 140, por homicdio e 140, por outros crimes. Verificou-se, tambm, quealgunsestavampresosporrouboehomicdio.Acercadessasituao,julgueositens seguintes. 1.Aquantidadedemaneirasdistintasdeseselecionaremdoisdetentosentreoscondenados poroutroscrimes,quenorouboouhomicdio,paraparticiparemdeumprograma destinado ressocializao de detentos inferior a 10.000.2.Menosde60dosdetentosestavampresosporteremsidocondenadosporrouboe homicdio.www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 23 Probabilidade 3.Selecionando-seaoacasodoisdetentosdessepresdio,aprobabilidadedequeambos tenham sido condenados por roubo ou ambos por homicdio ser superior a 1/6. 05. (AnalistaPetrobrs2001Cespe)Considerandodoiseventosindependentes,AeB,com probabilidades de ocorrncia iguais a 0,3 e 0,6, respectivamente, julgue os itens a seguir. 1. A probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente 0. 2. A probabilidade de ocorrer ao menos um dos eventos A ou B 0,90. 3. A probabilidade de no ocorrer A nem B 0,10. 4. A probabilidade de ocorrer exatamente um dos eventos A e B 0,54. 5. A probabilidade de no ocorrer exatamente um dos eventos A e B 0,46. 06. (PoliciaFederal2004CESPE)Emumescritrio,Rosa,SimoneeTiagoexecutamtarefas diferenteseapenasumdelesserpromovido.SuponhaqueaprobabilidadedeRosaser promovida seja igual a 5/12 e a de Simone, seja igual a 1/4. Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes. 1. A probabilidade de Rosa ou Simone ser promovida inferior a 5/9. 2.Entreostrsindivduosconsiderados,Tiagooquetemamenorprobabilidadedeser promovido. 07. (Agente da Polcia Federal/2009 Cespe) De acordo com o jornal espanhol El Pas, em 2009 o contrabandodearmasdisparounospasesdaAmricaLatina,tendocrescido16%nos ltimos 12 anos. O crime apontado como o principal problema desses pases, provocando umagrandequantidadedemortes.Ondicedehomicdiospor100.000habitantesna AmricaLatinaalarmante,sendo,porexemplo,28noBrasil,45emElSalvador,65na Colmbia, 50 na Guatemala. Internet: . Tendocomorefernciaasinformaesapresentadosnotextoacima,julgueoitemquese segue. 1.Se,emcadagrupode100.000habitantesdaEuropa,aprobabilidadedequeumcidado dessegruposejaassassinado30vezesmenorqueessamesmaprobabilidadepara habitantes de El Salvador ou da Guatemala, ento, em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida inferior a 10-5. 08. (PolciaCivil/CE2012Cespe)EstudodivulgadopeloInstitutodePesquisasEconmicas Aplicadas (IPEA) revela que, no Brasil, a desigualdade social est entre as maiores causas da violnciaentrejovens.Umdosfatoresqueevidenciamadesigualdadesocialeexpema populaojovemviolnciaacondiodeextremapobreza,queatinge12,2%dos34 milhes de jovens brasileiros, membros de famlias com renda per capita de at um quarto do salrio mnimo, afirma a pesquisa. Como a violncia afeta maisos pobres, usual fazer umraciocniosimplistadequeapobrezaaprincipalcausadoradaviolnciaentreos jovens, mas isso no verdade. O fato de ser pobre no significa que a pessoa ser violenta. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 24 Probabilidade Existeminmerosexemplosdeatosviolentospraticadosporjovensdeclassemdia. Internet: (com adaptaes). Tendo como referncia o texto acima, julgue os itens seguintes. 1. Selecionando-se ao acaso dois jovens brasileiros, a probabilidadede ambos serem atingidos pela condio de extrema pobreza ser inferior a 1,5%. 09. (Delegado da Polcia Federal 2004 Cespe) Comacampanhanacionaldodesarmamento,aPolciaFederaljrecolheuemtodooBrasil dezenasdemilharesdearmasdefogo.Atabelaacimaapresentaaquantidadedearmasde fogorecolhidasemalgunsestadosbrasileiros.Considerandoquetodasessasarmastenham sido guardadas em um nico depsito, julgue os itens que se seguem. 1. Escolhendo-se aleatoriamenteuma arma de fogo nesse depsito, aprobabilidade de ela ter sido recolhida no Rio Grande do Sul superior a 0,11.2. Escolhendo-se aleatoriamenteuma arma de fogo nesse depsito, aprobabilidade de ela ter sido recolhida em um dos dois estados da regio Sudeste listados na tabela superior a 0,73.3. Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nesse depsito, a probabilidade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco inferior a 0,011. 10. (PRF2004CESPE)Considerequeatabelaabaixomostraonmerodevtimasfataisem acidentes de trnsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003. A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatrios, um para cada uma das vtimas fatais mencionadas na tabela abaixo, contendo operfilda vtima e as condies em que ocorreu o acidente. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatrio escolhido aleatoriamente entre os citados acima. www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 25 Probabilidade 1.Considerandoqueorelatrioescolhidocorrespondaaumavtimadosexomasculino,a probabilidadedequeoacidentenelemencionadotenhaocorridonoestadodoParan superior a 0,5.2.Considerandoqueorelatrioescolhidocorrespondaaumavtimadeumacidentequeno ocorreunoParan,aprobabilidadedequeelasejadosexomasculinoedequeoacidente tenha ocorrido no estado do Maranho superior a 0,27. 11. (TCE-ES 2004 CESPE) Considere que dois controladores de recursos pblicos de um tribunal de contas estadual sero escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido s suas qualificaes tcnicas, a probabilidade de Jos ser escolhido para essa tarefasejade3/8,enquantoaprobabilidadedeCarlosserescolhidosejade5/8.Emface dessas consideraes, julgue os itens subseqentes. 1.Considereque,nacertezadequeCarlostenhasidoescolhido,aprobabilidadedeJosser escolhido 1/5. Nessas condies, a probabilidade de Jos e Carlos serem ambos escolhidos menor que 1/4. 12. (TRT 16 regio Anal. Jud. CESPE 2005) Uma moeda jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada,podeocorrer1(cara)ou0(coroa)easocorrnciassoregistradasemuma seqncia de dez dgitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informaes, julgue o prximo item. 1. A probabilidade de serem obtidas seqncias nas quais ocorra coroa nas primeiras 3 jogadas inferior a 1/4 . 13. (MCT 2004 CESPE) A senha de acesso a uma conta em determinado banco formada por 7 smbolosalfanumricos:3letras,escolhidasentreas26doalfabeto,seguidasde4dgitos numricos,escolhidosentreosalgarismos0,1,2,...,9.Considerandoessasinformaese que,paraaformaodeumasenha,admite-searepetiodesmbolos,julgueoseguinte item. 1. Escolhendo-se uma senha ao acaso, a probabilidade de que as 2 primeiras letras dessa senha sejam iguais superior a 5%. 14. (Anal.Jud.TRT10regio2004CESPE)Umjuizdeveanalisar12processosdereclamaes trabalhistas,sendo4demdicos,5deprofessorese3debancrios.Considereque, inicialmente,ojuizselecionealeatoriamenteumgrupode3processosparaserem analisados. Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir. 1.Aprobabilidadedeque,nessegrupo,todososprocessossejamdebancriosinferiora 0,005. 2. As chances de que, nesse grupo, pelo menos um dos processos seja de professor superior a 80%. (OBS.: Na videoaula do AEP, no final da soluo do item 2, acabei esquecendo de subtrair a probabilidade do evento negao por 1, a fim de encontrar a probabilidade do evento definida no item. Por favor, faam essa correo. O gabarito correto , portanto, Certo) www.cursoagoraeupasso.com.brProf. Weber Campos Raciocnio Lgico 26 Probabilidade 15. (TRT/21Regio2010Cespe)Suponhaquedeterminadopartidopolticopretendater candidatos prprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e que tenha, hoje, 5 possveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de senador e 12 para o cargodedeputadofederal.Comotodosospr-candidatossomuitobons,opartido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e deputado federal) ser por sorteio. Considerando que todos os nomes tm chances iguais de serem escolhidos, julgue ositens seguintes. 1. A probabilidade de uma chapa ser sorteada maior que (1/20)2.2. Considerando que Jos seja um dos pr-candidatos ao cargo de governador, a probabilidade de que Jos esteja na chapa sorteada ser maior que 0,1.3.CasoJooeRobertosejampr-candidatosaocargodesenadoreMariaeAnasejampr-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa sorteada tenha qualquer um desses nomes ser maior que 49%.4.ConsiderandoqueMarianasejapr-candidataaocargodegovernadoreCarlossejapr-candidato ao cargo de senador, ento a probabilidade de que a chapa sorteada ou no tenha o nome de Maria ou no tenha o nome de Carlos ser inferior a 0,75. Gabarito:01 CEC11 C 02 EC12 C 03 EE13 E 04 CE Oitem3foiconsiderado ErradopeloCespe,mas conformecomproveina aula, esse item est certo. 14 CC 05 EEECE15 ECE 06 EE 07 E 08 C 09 CEE 10 EC