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RRaacciiooccnniioo LLggiiccoo P PO OL L C CI IA A F FE ED DE ER RA AL L - - C CE ES SP PE E Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com Agora Eu Passo - AEP www.cursoagoraeupasso.com.br www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico2 Prof Weber Campos NDICE 1. LGICA PROPOSICIONAL3 Proposio3 Conectivos Lgicos3 Conjuno: A e B3 Disjuno: A ou B3 Disjuno Exclusiva: ou A ou B, mas no ambos4 Condicional: Se A ento B4 Bicondicional: A se e somente se B4 Negao: no A5 Ordem de Precedncia dos Conectivos5 Construo da Tabela-Verdade para uma Proposio Composta5 Tautologia, Contradio e Contingncia6 Negao dos termos Todo, Algum e Nenhum7 Negao de Proposies Compostas8 Proposies Logicamente Equivalentes8 Regras de Simplificao9 Diagramas Lgicos Proposies Categricas 10 Representao das Proposies Categricas por Diagramas de Conjuntos11 Argumento13 Sentenas Abertas e Quantificadores (Lgica de 1 Ordem)15 EXERCCIOS18 GABARITO36 PROGRAMA DE RACIOCNIO LGICO: Polcia Federal de 2004 e 2009 Cespe: 1 Compreenso de estruturas lgicas.2 Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses.3 Diagramas lgicos.4 Princpios de contagem e probabilidade. Programa Recente das Provas do Cespe: 1 Estruturas lgicas.2 Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses.3Lgicasentencial(ouproposicional):proposiessimplesecompostas;tabelas-verdade; equivalncias; leis deDe Morgan; diagramas lgicos.4 Lgica de primeira ordem.5 Princpios de contagem e probabilidade.6Operaes com conjuntos.7 Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico3 Prof Weber Campos LGICA PROPOSICIONAL 1. PROPOSIO Denomina-se proposio a toda frase declarativa, expressa em palavras ou smbolos, que exprima um juzo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lgicos possveis: verdadeiro ou falso. So exemplos de proposies as seguintes sentenas declarativas:A capital do Brasil Braslia.23 > 10 Existe um nmero mpar menor que dois. Joo foi ao cinema ou ao teatro. No so proposies: 1)frases interrogativas: Qual o seu nome? 2)frases exclamativas: Que linda essa mulher! 3)frases imperativas: Estude mais. 4)frases optativas: Deus te acompanhe. 5)frases sem verbo: O caderno de Maria. 6)sentenasabertas(ovalorlgicodasentenadependedovalor(donome)atribudoa varivel): x maior que 2;x+y = 10; Z a capital do Chile. 2. CONECTIVOS LGICOS Conectivos (linguagem idiomtica) Conectivos (Smbolo) Estrutura lgicaExemploeConjuno: A BJoo ator e alagoano. ouDisjuno: A BIrei ao cinema ou praia. ou ... ou, mas no ambos Disjuno exclusiva: A B Ou Tiago mdico ou dentista, mas no ambos. se ... entoCondicional: A " BSe chove, ento faz frio. se e somente seBicondicional: A BVivo se e somente se sou feliz. # CONJUNO: A e B ABA e B VVV VFF FVF FFF # DISJUNO: A ou B ABA ou B VVV VFV FVV FFF www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico4 Prof Weber Campos # DISJUNO EXCLUSIVA: ou A ou B, mas no ambos ABA ou B VVF VFV FVV FFF # CONDICIONAL: Se A, ento B ABA B VVV VFF FVV FFV As seguintes expresses podem se empregar como equivalentes de "Se A, ento B": 1) Se A, B.5) Todo A B.2) B, se A.6) A condio suficiente para B.3) Quando A, B.7) B condio necessria para A.4) A implica B. 8) A somente se B. Exemplo: Dada a condicional Se chove, ento fico molhado, so expresses equivalentes: 1) Se chove, fico molhado.5) Toda vez que chove, fico molhado.2) Fico molhado, se chove.6) Chover condio suficiente para fico molhado.3) Quando chove, fico molhado.7) Ficar molhado condio necessria para chover.4) Chover implica ficar molhado.8) Chove somente se fico molhado. # BICONDICIONAL: A se e somente se B AB A # B VVV VFF FVF FFV Uma proposio bicondicional "A se e somente se B" equivale proposio composta: se A ento Bese B ento A, ou seja, A ! B a mesma coisa que (A B) e (B A) Podem-seempregartambmcomoequivalentesde"AseesomenteseB"asseguintes expresses: 1) A se e s se B.2) Se A ento Bese B ento A.3) A implica B e B implica A. 4) Todo A Betodo B A.5) A somente se BeB somente se A.6) A condio suficiente e necessria para B.7) B condio suficiente e necessria para A. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico5 Prof Weber Campos 3. MODIFICADOR NO # NEGAO: no A As seguintes frases so equivalentes entre si: Lgica no fcil. No verdade que Lgica fcil. falso que Lgica fcil. No o caso que Lgica fcil. A~A VF FV 4. VISO GERAL DOS CONECTIVOS ABA e BA ou BA ou BA BA # B VVVVFVV VFFVVFF FVFVVVF FFFFFVV Noquadroabaixo,apresentamosumatabelamuitointeressantearespeitodosconectivos, mostrando as condies em que o valor lgico verdade e em que falso. Estrutura lgica verdade quando falso quando A e BA e B so, ambos, verdadepelo menos um dos dois for falso A ou Bpelo menos um dos dois for verdadeA e B, ambos, so falsos A ou BA e B tiverem valores lgicos diferentesA e B tiverem valores lgicos iguais A Bnos demais casosA verdade e B falso A BA e B tiverem valores lgicos iguaisA e B tiverem valores lgicos diferentes 5. ORDEM DE PRECEDNCIA DOS CONECTIVOS 1) ~ (Negao)2) (Conjuno) 3) (Disjuno)4) (Condicional) 5) (Bicondicional) www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico6 Prof Weber Campos 6. CONSTRUO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIO COMPOSTA Onmerodelinhasdatabela-verdadedeumasentenaiguala2n,ondenonmerode proposies simples (letras) que h na sentena. Exemplo 01) ~( P ~Q)nmero de linhas = 22 = 4 linhas PQ~Q(P ~Q)~(P ~Q) VVFFV VFV VF FV FFV FFV FV Exemplo 02) (P ~R) (Q ~R ) nmero de linhas = 23 = 8 linhas PQR~R(P ~R)(Q ~R)(P ~R) (Q ~R) VVVFVFF VVFVVVV VFVFVFF VFFVVFF FVVFFFV FVFVVVV FFVFFFV FFFVVFF 7. TAUTOLOGIA: UmaproposiocompostaformadaporduasoumaisproposiesA,B,C,...serditauma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos das proposies A, B, C, ... que a compem.Empalavrasmaissimples:parasaberseumaproposiocompostaumaTautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Da, se a ltima coluna da tabela-verdade s apresentar verdadeiro (e nenhum falso), ento estaremos diante de uma Tautologia. S isso! Exemplo: A proposio (A B) (A B) uma tautologia, pois sempre verdadeira, independentemente dos valores lgicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: ABA BA B(A B) (A B) VVVVV VFFVV FVFVV FFFFV Observemos que o valor lgico da proposio composta(A B) (A B), que aparece na ltima coluna, sempre verdadeiro. 8. CONTRADIO: UmaproposiocompostaformadaporduasoumaisproposiesA,B,C,...serditauma contradioseela forsempre falsa, independentemente dos valores lgicosdas proposiesA,B,C, ... que a compem. Ouseja,construindoatabela-verdadedeumaproposiocomposta,setodososresultadosda ltima coluna forem FALSO, ento estaremos diante de uma contradio. Exemplo: A proposio (A ~B) (A B)tambm uma contradio, conforme verificaremos por meio da construo de sua da tabela-verdade. Vejamos: www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico7 Prof Weber Campos AB(A ~B)(A B)(A ~B) (A B) VVFVF VFVFF FVVFF FFFFF Observemos que o valor lgico da proposio composta (A ~B) (A B), que aparece na ltima colunadesuatabela-verdade,sempreFalso,independentementedosvaloreslgicosqueAeB assumem. 9. CONTINGNCIA: Umaproposiocompostaserditaumacontingnciasemprequenoforumatautologianem uma contradio. Exemplo: A proposio "A (A B)" uma contingncia, pois o seu valor lgico depende dos valores lgicos de A e B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: AB(A B)A (A B) VVVV VFFF FVFV FFFV E por que essa proposio acima uma contingncia? Porque nem uma tautologia e nem uma contradio! 10. NEGAO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM ProposioNegao da proposio Algum ...Nenhum ... Nenhum ...Algum ... Todo ...Algum ... no ... Algum ... no ...Todo ... Exemplos: 1) Negao de Algum carro veloz :Nenhum carro veloz.2) Negao de Nenhuma msica triste :Alguma msica triste.3) Negao de Nenhum exerccio no difcil :Algum exerccio no difcil. 4) Negao de Toda meditao relaxante : Alguma meditao no relaxante. 5) Negao de Todo poltico no rico : Algum poltico rico. 6) Negao de Alguma arara no amarela : Toda arara amarela.7) Negao de Algum ganhou o bingo :Ningum ganhou o bingo.8) Negao de: Algum dia ela me amar : Nenhum dia ela me amar, ou melhor: Nunca ela me amar.9) Nem todo livro ilustrado o mesmo que: O termo nem na frente do todo significa que devemos negar a proposio todo livro ilustrado. E para obter a negao desta proposio, basta trocar o termo TODO por ALGUM...NO. Teremos: Algum livro no ilustrado. (Resposta!) 10) No verdade que algum gato tem sete vidas o mesmo que: O termo no verdade que significa que devemos negar tudo o que vem em seguida, ou seja, negar a proposio algum gato tem sete vidas. E para obter a negao desta proposio, basta trocar o termo ALGUM por NENHUM. Nenhum gato tem sete vidas. (Resposta!) www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico8 Prof Weber Campos 11. NEGAO DE PROPOSIES COMPOSTAS ProposioNegao da Proposio (A e B)~A ou ~B (A ou B)~A e ~B (A B)A e ~B (A B) 1 forma)~(AB e BA) = (A e ~B) ou (B e ~A) 2 forma)A ou B (A ou B)A B 12. PROPOSIES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemosqueduasproposiessologicamenteequivalentes(ousimplesmentequeso equivalentes) quando so compostas pelas mesmas proposies simples e os resultados de suas tabelas-verdade so idnticos. 12.1.Equivalncias que envolvem a Condicional: 1) Se A, ento B = Se no B, ento no A. A B=~B ~A Observando a relao simblica acima, percebemos que a forma equivalente para AB pode ser obtida pela seguinte regra: 1) Trocam-se os termos da condicional de posio;2) Negam-se ambos os termos da condicional. 2) Se A, ento B = no A ou B. A B=~A ou B Observando a relao simblica acima, percebemos que essa outra forma equivalente para AB pode ser obtida pela seguinte regra: 1) Nega-se o primeiro termo; 2) Mantm-se o segundo termo. 3) Troca-se o smbolo do implica pelo ou; 3) A ou B=se no A, ento B A ou B=~A B A relao simblica acima nos mostra que podemos transformar uma disjuno numa condicional equivalente, atravs da seguinte regra: 1) Nega-se o primeiro termo; 2) Mantm-se o segundo termo. 3) Troca-se o ou pelo smbolo ; 12.2.Equivalncia entre nenhum e todo: 1) Nenhum A no B = Todo A B Exemplo: Nenhuma arte no bela = Toda arte bela. 2) Todo A no B = Nenhum A B Exemplo:Todo mdico no louco = Nenhum mdico louco. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico9 Prof Weber Campos 12.3.Equivalncias Bsicas: 1) A e A=A5) A B=B A 2) A ou A=A6) A B=(A B) e (B A) 3) A e B=B e A 4) A ou B=B ou A 12.4.Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negao: 1) Leis associativas: (A e B) e C=A e (B e C)(A ou B) ou C=A ou (B ou C) 2) Leis distributivas: A e (B ou C) =(A e B) ou (A e C)A ou (B e C) =(A ou B) e (A ou C) 3) Lei da dupla negao:~(~A)=ADa, concluiremos ainda que: A no no B=AB Todo A no noB=Todo AB Algum A no no B=Algum A B Nenhum A no no B =Nenhum A B 13. REGRAS DE SIMPLIFICAO: 1.p ou p = p(Lei idempotente)2.p e p = p (Lei idempotente)3.p ou ~p = V(tautologia)4.p e ~p = F(contradio)5.p ou V = V(na disjuno, o V quem manda)6.p ou F = p(na disjuno, o F elemento neutro)7.p e V = p(na conjuno, o V elemento neutro)8.p e F = F (na conjuno, o F quem manda)9.p p = V (tautologia)10. p ~p = F(contradio)11. p ou (p e q) = p(Lei da Absoro)12. p e (p ou q) = p(Lei da Absoro) www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico10 Prof Weber Campos 14. PROPOSIES CATEGRICAS Asproposiesformadascomostermostodo,algumenenhumsochamadasdeproposies categricas. Temos as seguintes formas:1. Todo A B 2. Nenhum A B 3. Algum A B4. Algum A no B 1. Todo A BProposies do tipo Todo A B afirmam que o conjunto A est contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A tambm elemento de B.Ateno: dizer que Todo A B no significa o mesmo que Todo B A. Todo gacho brasileiroTodo brasileiro gacho Tambm, so equivalentes as expresses seguintes:Todo A B = Qualquer A B = Cada A B 2. Nenhum A BEnunciados da formaNenhumABafirmam que os conjuntosA e B so disjuntos,isto,Ae B no tem elementos em comum.Dizer que Nenhum A B logicamente equivalente a dizer que Nenhum B A. Exemplo:Nenhum diplomata analfabeto = Nenhum analfabeto diplomata 3. Algum A BPorconvenouniversalemLgica,proposiesdaformaAlgumABestabelecemqueo conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.Contudo,quandodizemosqueAlgumAB,pressupomosquenemtodoAB.Entretanto,no sentido lgico de algum, est perfeitamente correto afirmar que alguns alunos so ricos, mesmo sabendo que todos eles so ricos. Dizer que Algum A B logicamente equivalente a dizer que Algum B A.Exemplo:Algum mdico poeta = Algum poeta mdicoTambm, so equivalentes as expresses seguintes:Algum A B = Pelo menos um A B = Existe um A que B Exemplo: Algum poeta mdico = Pelo menos um poeta mdico = Existe um poeta que mdico 4. Algum A no BProposiesdaformaAlgumAnoBestabelecemqueoconjuntoAtempelomenosum elemento que no pertence ao conjunto B.Dizer que AlgumA no B logicamente equivalente a dizer queAlgumA no B, e tambm logicamente equivalente a dizer que Algum no B A.Exemplo: Algum fiscal no honesto = Algum fiscal no honesto = Algum no honesto fiscal Ateno: dizer que Algum A no B no significa o mesmo que Algum B no A.Exemplo:Algum animal no mamfero Algum mamfero no animalwww.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico11 Prof Weber Campos IMPORTANTE:Nasproposiescategricas,usam-setambmasvariaesgramaticaisdosverbossere estar, tais como , so, est, foi, eram, ..., como elo de ligao entre A e B. # REPRESENTAO DAS PROPOSIES CATEGRICAS Asproposiescategricasserorepresentadaspordiagramasdeconjuntosparaasoluode diversas questes de concurso.Cadaproposiocategricatemumsignificadoemtermosdeconjunto,eissoquemdefiniro desenhododiagrama;everemosadiantequeumaproposiocategricapodepossuirmaisdeum desenho.Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposies categricas: Todo A B = todo elemento de A tambm elemento de B.Nenhum A B = A e B no tem elementos em comum. Algum A B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Algum A no B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que no pertence ao conjunto B. 1. Se a proposio Todo A B verdadeira, ento temos duas representaes possveis: O conjunto A dentro do conjunto BO conjunto A igual ao conjunto B 2. Se a proposio Nenhum A B verdadeira, ento temos somente a representao: No h elementos em comum entre os dois conjuntos (No h interseco!) 3. Se a proposio Algum A B verdadeira, temos quatro representaes possveis: A B AB A B A = B B A ab a a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum.b Todos os elementos de A esto em B.www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico12 Prof Weber Campos 4. Se a proposio Algum A no B verdadeira, temos trs representaes possveis: Exerccio: (Especialista em Polticas Pblicas Bahia 2004 FCC) Considerando todo livro instrutivo como uma proposio verdadeira, correto inferir que: a)Nenhum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. b)Algum livro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. c)Algum livro no instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. d)Algum livro instrutivo uma proposio verdadeira ou falsa. e)Algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira. Sol.:Temosqueaproposiotodolivroinstrutivoverdadeira.Baseando-senestaproposio, construiremosasrepresentaesdosconjuntosdoslivrosedascoisasinstrutivas.Comovimos anteriormente h duas representaes possveis: A B A = B A B A B A B c Todos os elementos de B esto em A. d O conjunto A igual ao conjunto B a Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum. b Todos os elementos de B esto em A. c No h elementos em comum entre os dois conjuntos. livro instrutivo livroinstrutivo = ab www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico13 Prof Weber Campos A opoA descartada de pronto: nenhum livro instrutivo implica a total dissociao entre os diagramas. E estamos com a situao inversa!AopoBperfeitamenteescorreita!Percebamquenosdoisdesenhosacimaosconjuntosem vermelhoeemazulpossuemelementosemcomum.Restanecessariamenteperfeitoquealgumlivro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.Resposta: opo B. J achamos a resposta correta, mas continuaremos a anlise das outras opes. AopoCincorreta!Poisaproposioalgumlivronoinstrutivonecessariamentefalsa. Issopodeserconstatadonosdoisdesenhosacima,vejamquenohumlivrosequerquenoseja instrutivo.AopoDincorreta!PoisnaanlisedaopoBjhavamosconcludoquealgumlivro instrutivo uma proposio necessariamente verdadeira.A opoE incorreta! Pois na anlise da opo C j havamos concludo que algum livro no instrutivo uma proposio necessariamente falsa. 15. ARGUMENTO Chama-seargumentoaafirmao de que um grupode proposiesiniciaisredundaem uma outra proposio final, que ser conseqncia das primeiras! Dito de outra forma, argumento a relao que associa um conjunto de proposiesp1, p2, ... pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposio c, chamada de concluso do argumento. Nolugardostermospremissaeconclusopodemsertambmusadososcorrespondentes hiptese e tese, respectivamente. # ARGUMENTO VLIDO: Dizemosqueumargumentovlido(ouaindalegtimooubemconstrudo),quandoasua concluso uma conseqncia obrigatria do seu conjunto de premissas.Paratestaravalidadedeumargumento,devemosconsideraraspremissascomoverdadeiras, mesmo quando o contedo da premissa falso. # ARGUMENTO INVLIDO: Dizemosqueumargumentoinvlidotambmdenominadoilegtimo,malconstrudo, falaciosoousofisma quando a verdade das premissas no suficiente para garantir a verdade da concluso. # MTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS Na seqncia, um quadro que resume os quatro mtodos, e quando se deve lanar mo de um ou de outro, em cada caso. Vejamos:Deve ser usado quando...O argumento vlido quando... 1 Mtodo Consideraraspremissas verdadeiraseverificara validadedaconclusopor meiodautilizaodos Diagramas (circunferncias) oargumentoapresentaras palavrastodo,nenhum,ou algum a partir dos diagramas verificarmos queaconclusouma conseqnciaobrigatriadas premissas. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico14 Prof Weber Campos 2 Mtodo ConstruodaTabela-Verdade do argumento emqualquercaso,mas preferencialmentequandoo argumentotivernomximo duas proposies simples. naslinhasdatabelaemqueos valoreslgicosdaspremissastm valor V, os valores lgicos relativos acolunadaconclusoforem tambm V. 3 Mtodo Consideraraspremissas verdadeiraseverificaro valor lgico da concluso o1Mtodonopuderser empregado,ehouveruma premissa... ...quesejaumaproposio simples; ou ...queestejanaformadeuma conjuno (e). ovalorencontradoparaa conclusoobrigatoriamente verdadeiro. 4 Mtodo Considerar a Concluso como Falsa e verificar se as premissas podem ser verdadeiras for invivel a aplicao dos mtodos anteriores. Tambm necessrio que a concluso seja uma proposio simples ou uma disjuno ou uma condicional. no for possvel a existncia simultnea de concluso falsa e premissas verdadeiras. 16. SENTENAS ABERTAS E QUANTIFICADORES 1. Sentenas Abertas No captulo um, comentamos sobre as sentenas abertas, que so sentenas do tipo: a)x + 3 = 10 b)x > 5 c)(x+1)2 5 = x2 d)x y = 20 e)Em 2004 foram registradas 800+z acidentes de trnsito em So Paulo.f)Ele o juiz do TRT da 5 Regio. Taissentenasnosoconsideradasproposiesporqueseuvalorlgico(VouF)dependedo valor atribudo varivel (x, y, z,...). O pronomeele que aparece na ltima sentena acima, funciona como uma varivel, a qual se pode atribuir nomes de pessoas.H, entretanto, duas maneiras de transformar sentenas abertas em proposies: 1) atribuir valor s variveis; 2) utilizar quantificadores. A primeira maneira foi mostrada no captulo um, mas vejamos outros exemplos: Ao atribuir a x o valor 5 na sentena aberta x + 3 = 10, esta transforma-se na proposio 5 + 3 = 10, cujo valor lgico F.Ao atribuir a x o valor 2 na sentena aberta (x+1)2 5 = x2, esta transforma-se na proposio (2+1)2 5 = 22, que resulta em 4 = 4, tendo, portanto, valor lgico V.Aseguir,veremosatransformaodeumasentenaabertanumaproposiopormeiode quantificadores. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico15 Prof Weber Campos 2. Quantificadores Consideremos as afirmaes: a)Todo sangue vermelho. b)Cada um dos alunos participar da excurso.c)Algum animal selvagem. d)Pelo menos um professor no rico. e)Existe uma pessoa que poliglota. f)Nenhum crime perfeito. Expressescomotodo,cadaum,$algum$,$pelomenosum$,existe,nenhumso quantificadores. H fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial. 2.1.O Quantificador Universal O quantificador universal indicado pelo smbolo " que se l: para todo, para cada, qualquer que seja.Veremos agora exemplos de transformaes de sentenas abertas em proposies: 1) ("x)(xN)(x + 3 = 10)O smbolo " o quantificador universal, x a varivel, N o conjunto dos nmeros naturais e x + 3 =10asentenaaberta.(freqenteemquestesdeconcursoasentenaabertaserchamadade predicado ou propriedade.) Aproposio("x)(xN)(x2 = 4)seldaseguintemaneira:Paratodoelementoxdoconjuntodos nmeros naturais, temos que x + 3 = 10.Qual o valor lgico dessa proposio? claro que Falso, pois se fizermos, por exemplo, o x igual ao nmero natural 1, teremos 1 + 3 = 10 (resultado falso!). 2) ("x)(xZ)(x2 x)O smbolo " o quantificador universal, x a varivel, Z o conjunto dos nmeros inteiros e x2 x a sentena aberta. Aproposio("x)(xZ)(x2x)seldaseguintemaneira:Paratodoelementoxdoconjuntodos nmeros inteiros, temos que x2 x.Qualovalorlgicodessaproposio?Osnmerosinteirosso{...-3,-2,-1,0,1,2,3...}.Se substituirmosqualquerumdessesnmerosnasentenax2x,oresultadosersempreverdadeiro. Portanto, o valor lgico da proposio Verdade.Semudssemosdoconjuntodosinteiros(Z)paraoconjuntodosnmerosracionais(Q),a proposio ("x)(xQ)(x2 x) tornar-se-ia Falsa. Pois, se substituirmos x por 1/2, teremos (1/2)2 1/2, que resulta em 1/4 1/2 (resultado falso!). Podemos simplificar a notao simblica das proposies, conforme mostrado abaixo: ("x)(xN)(x + 3 = 10) pode ser escrita como ("x N)(x + 3 = 10); ("x)(xZ)(x2 x) pode ser escrita como ("x Z)(x2 x). 2.2. O Quantificador Existencial O quantificador existencial indicado pelo smbolo $ que se l: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. Passemosaexemplosdetransformaesdesentenasabertasemproposiesusandoo quantificador existencial: 1) ($x)(xN)(x2 = 4)O smbolo $ o quantificador existencial, x a varivel, N o conjunto dos nmeros naturais e x2 = 4 a sentena aberta. A proposio ($x)(xN)(x2 = 4) se l da seguinte maneira: Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos nmeros naturais tal que x2 = 4.www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico16 Prof Weber Campos Qualovalorlgico dessaproposio?Ao resolveraequao x2= 4, encontramos como razes os valores 2 e -2, sendo apenas o primeiro um nmero natural. Como existe uma raiz que um nmero natural, ento a proposio tem valor lgico Verdade. 2) ($y)(yR)(y + 1 = y + 2)O smbolo $ o quantificador existencial, y a varivel, R o conjunto dos nmeros reais e y + 1 = y + 2 a sentena aberta. Aproposio($y)(yR)(y+1=y+2)seldaseguintemaneira:Existepelomenosumy pertencente ao conjunto dos nmeros reais tal que y + 1 = y + 2.Podemos simplificara sentenay+ 1=y+2, cortandooyde cadaladodaigualdade, resultando em 1 = 2. No h y que d jeito de fazer 1 igual a 2, portanto a proposio Falsa. Houtroquantificadorquederivadoquantificadorexistencial,elechamadodequantificador existencial de unicidade, simbolizado por $| que se l: existe um nico, existe um e um s. Exemplos: 1)($|x)(xN)(x+5=7)quesel:"existeumniconmeroxpertencenteaoconjuntodosnmeros naturais tal que x + 5 = 7". Realmente, s existe o nmero 2 que satisfaz essa sentena, da a proposio tem valor lgico Verdade. Damesmaformaqueoquantificadoruniversal,tambmpodemossimplificararepresentao simblica das proposies com quantificador existencial, por exemplo: ($x)(xZ)(x3 = 5x2) pode ser escrita como ($x N)(x3 = 5x2); ($| x)(x N)(x + 5 = 7) pode ser escrita como ($| x N)(x + 5 = 7). 3. Negao de Proposies Quantificadas 3.1Negao do Quantificador Universal Faremosanegaodoquantificadoruniversal"doseguintemodo:primeirosubstituiremoso" (para todo) pelo $ (existe um) e depois negaremos a sentena aberta. Simbolicamente, podemos escrever: A negao de ("x)(P(x)) a sentena ($x)(P(x)). Onde P(x) representa a sentena aberta. Passemos a alguns exemplos de negao do quantificador universal: 1) proposio: ("x)(x N)(x + 1 > 4) negao:($x)(x N)(x + 1 % 4) 2) proposio: ("x)(x R)(x(x-2) = x2 2x) negao:($x)(x R)(x(x-2) x2 2x) 3) proposio: ("x)(x {2, 3, 5, 7, 11})(x um nmero primo) negao: ($x)(x {2, 3, 5, 7, 11})(x no um nmero primo) 3.2Negao do Quantificador Existencial Faremosanegaodoquantificadorexistencial$doseguintemodo:primeirosubstitui-seo$ (existe) pelo " (para todo), e depois nega-se a sentena aberta. Simbolicamente, podemos escrever: A negao de ($x)(P(x)) a sentena ("x)(P(x)). Onde P(x) representa a sentena aberta. Passemos a alguns exemplos de negao do quantificador existencial: www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico17 Prof Weber Campos 1) proposio: ($x)(x R)(x2 x) negao:("x)(x R)(x2 < x) 2) proposio: ($x)(x Q)(1/x um nmero natural)negao: ("x)(x Q)(1/x no um nmero natural) 3) proposio: ($x)(x N)(x no negativo) negao:("x)(x N)(x negativo) Tambmpossvelfazeranegaodoquantificadorexistencialdeoutraforma:anegaode Existe pode ser No existe, que simbolizamos por ~$. Por esta forma de negar o quantificador existencial, no preciso negar a sentena aberta. Exemplos: 1) proposio: ($x)(x R)(x2 x) negao:(~$x)(x R)(x2 x) 2) proposio: ($x)(x Q)(1/x um nmero natural)negao: (~$x)(x Q)(1/x um nmero natural) 4. Representao Simblica das Proposies Categricas A tabela abaixo mostra a representao simblica (na linguagem da lgica de 1. ordem) de cada uma das proposies categricas. Proposio CategricaRepresentao Simblica Todo A B("x)(A(x) B(x)) Algum A B($x)(A(x) e B(x)) Nenhum A B (~$x)(A(x) e B(x)) Algum A no B($x)(A(x) e ~B(x)) ComoeradeseesperararepresentaodotodoABumacondicional.OAlgumABsignifica interseco entre A e B, portanto representado pela conjuno.O Nenhum A B a negao do Algum A B, por isso que sua representao a do algum com um til (~) na frente. E por ltimo, oAlgum A no B a negao deTodoA B.Poder-se-ia colocarapenas um til (~)na frente, mas optou-se pornegaro quantificador ", que feita pela troca do " pelo $ e a negao da sentena aberta (a negao de A B A e ~B). www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico18 Prof Weber Campos EXERCCIOS PROPOSIES E CONECTIVOS 01. (BB2/2007/CESPE) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) oufalsa(F),masnocomoambas.Asproposiessousualmentesimbolizadasporletras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R etc.A partir desses conceitos, julgue o prximo item. 1. H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:(I) O BB foi criado em 1980. (II) Faa seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 02. (SEBRAE/2010/CESPE)Entreasfrasesapresentadasaseguir,identificadasporletrasdeAaE, apenas duas so proposies. A: Pedro marceneiro e Francisco, pedreiro. B: Adriana, voc vai para o exterior nessas frias? C: Que jogador fenomenal! D: Todos os presidentes foram homens honrados. E: No deixe de resolver a prova com a devida ateno. 03. (SEBRAE/2008/CESPE)Umaproposioumasentenaafirmativaounegativaquepodeser julgadacomoverdadeira(V)oufalsa(F),masnocomoambas.Nessesentido,considereo seguinte dilogo: (1) Voc sabe dividir? perguntou Ana. (2) Claro que sei! respondeu Mauro. (3) Ento, qual o resto da diviso de onze milhares, onze centenas e onze por trs? perguntou Ana. (4) O resto dois. respondeu Mauro, aps fazer a conta. (5) Est errado! Voc no sabe dividir. respondeu Ana. A partir das informaes e do dilogo acima, julgue os itens que se seguem. 1. A frase indicada por (3) no uma proposio.Certo. 2. A sentena (5) F.Errado 3. A frase (2) uma proposio.Certo 04.(BB1/2007/CESPE)Nalgicasentencial,denomina-seproposioumafrasequepodeser julgadacomoverdadeira(V)oufalsa(F),masno,comoambas.Assim,frasescomoComo est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e asegundanopodesernemV nemF.Asproposiessorepresentadassimbolicamente por letrasmaisculasdoalfabetoA,B,Cetc.UmaproposiodaformaAouBFseAeB forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V.Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subseqente.www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico19 Prof Weber Campos 1. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies. A frase dentro destas aspas uma mentira. A expresso X + Y positiva. O valor de7 3 4 = + . Pel marcou dez gols para a seleo brasileira. O que isto? 05. (MRE 2008 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. Considere a seguinte lista de sentenas: I Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores? IIO Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX. IIIAsquantidadesdeembaixadaseconsuladosgeraisqueoItamaratypossuiso, respectivamente, x e y. IV O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel.Nessasituao,corretoafirmarqueentreassentenasacima,apenasumadelasnouma proposio. 06. (TRT 17 Regio/2009/CESPE) Julgue o item a seguir. 1. A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies. - A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica. - Por que existem juzes substitutos? - Ele um advogado talentoso. 07. (PM Acre 2008 Cespe) Considere as seguintes sentenas: I O Acre um estado da Regio Nordeste. II Voc viu o cometa Halley? III H vida no planeta Marte. IV Se x < 2, ento x + 3 > 1. Nesse caso, entre essas 4 sentenas, apenas duas so proposies. 08. (MPETocantinsTcnico2006CESPE)Umaproposioumafraseafirmativaquepodeser avaliadacomoverdadeira(V)oufalsa(F),masnoseadmitem,paraaproposio,ambasas interpretaes. Considerando as informaes apresentadas acima, julgue os itens subseqentes. 1. Considere as seguintes proposies. (7 + 3 = 10) (5 12 = 7) A palavra crime disslaba. Se lmpada uma palavra trisslaba, ento lmpada tem acentuao grfica. (8 4 = 4) (10 + 3 = 13) Se x = 4 ento x + 3 < 6. Entre essas proposies, h exatamente duas com interpretao F. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico20 Prof Weber Campos 09. (SEBRAE/CESPE) Julgue os itens a seguir. 1.A proposio O SEBRAE facilita e orienta o acesso a servios financeiros uma proposio simples.Errado 2.A frase Pedro e Paulo so analistas do SEBRAE uma proposio simples.Certo 10. (SEBRAE/2010/Cespe) Julgue os itens seguintes. 1. As proposies No precisa mais capturar, digitar ou ditar o cdigo de barras e O dbito no automtico, o pagamento s efetuado aps a sua autorizao so, ambas, compostas de trs proposies simples. 2.AsfrasesTransformeseusboletosdepapelemboletoseletrnicoseOcarroquevoc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas. 11. (STF/2008/CESPE) dada as seguintes frases: - Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. - A resposta branda acalma o corao irado. - O orgulho e a vaidade so as portas de entrada da runa do homem. - Se o filho honesto ento o pai exemplo de integridade. Tendo como referncia as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. 1.Aprimeirafrasecompostaporduasproposieslgicassimplesunidaspeloconectivode conjuno.2. A segunda frase uma proposio lgica simples. 3. A terceira frase uma proposio lgica composta.4. A quarta frase uma proposio lgica em que aparecem dois conectivos lgicos. 12. (TRT1Regio/2008/CESPE)Utilizandoasletrasproposicionaisadequadasnaproposio composta Nem Antnio desembargador nem Jonas juiz, assinale a opo correspondente simbolizao correta dessa proposio. A. (AB)D. (A)B B. (A)(B)E. [A(B)] C. (A)(B) 13. (Agente da Polcia Federal/2004/CESPE) Considere as sentenas abaixo. i.Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. ii.Fumar no deve ser proibido e fumar faz bem sade. iii. Se fumar no faz bem sade, deve ser proibido. iv. Se fumar no faz bem sade e no verdade que muitos europeus fumam, ento fumar deve ser proibido. v.Tantofalsoquefumarnofazbemsadecomofalsoquefumardeveserproibido; consequentemente, muitos europeus fumam. Considere tambm que P, Q, R e T representem as sentenas listadas na tabela a seguir. P Fumar deve ser proibido. Q Fumar deve ser encorajado. R Fumar no faz bem sade. T Muitos europeus fumam. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico21 Prof Weber Campos Combasenasinformaesacimaeconsiderandoanotaointroduzidanotexto,julgueositens seguintes. 1. A sentena I pode ser corretamente representada por P ( T). 2. A sentena II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). 3. A sentena III pode ser corretamente representada por R P. 4. A sentena IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 5. A sentena V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)). 14. (MRE 2008 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. A sentena O Departamento Cultural do Itamaraty realiza eventos culturais e o Departamento dePromooComercialnoestimulaofluxodeturistasparaoBrasilumaproposioque pode ser simbolizada na forma A(B). 2.ConsiderandoqueAeBsimbolizem,respectivamente,asproposiesApublicaousaecita documentos do Itamaraty e O autor envia duas cpias de sua publicao de pesquisa para a BibliotecadoItamaraty,entoaproposioBAumasimbolizaocorretaparaa proposio Uma condio necessria para que o autor envie duas cpias de sua publicao de pesquisaparaaBibliotecadoItamaratyqueapublicaouseecitedocumentosdo Itamaraty. 15. (MPE Tocantins/2006/CESPE) Julgue o item subseqente. 1.AproposioP:Serhonestocondionecessriaparaumcidadoseradmitidonoservio pblicocorretamentesimbolizadanaformaAB, em queA representaser honestoeB representa para um cidado ser admitido no servio pblico. 16. (BB1/2007/CESPE) Um raciocnio lgico considerado correto formado por uma seqncia de1.AproposioOpilotovenceracorridasomentese ocarroestiverbempreparadopodeser corretamente lida como O carro estar bem preparado condio necessria para que o piloto vena a corrida. 17.(TRT 5 Regio/2008/Cespe) Julgue os itens seguintes. 1. Considere as proposies seguintes. Q: Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder, cair para a segunda diviso; A: O Estrela Futebol Clube vence; B: O Estrela Futebol Clube perde; C: O Estrela Futebol Clube cair para a segunda diviso. Nesse caso, a proposio Q pode ser expressa, simbolicamente, por ABC. 2. Considere as proposies a seguir. R: Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cair para a segunda diviso; A: O Saturno Futebol Clube vence; B: O Saturno Futebol Clube perde; C: O Saturno Futebol Clube cair para a segunda diviso. Nesse caso, a proposio R pode ser expressa, simbolicamente, por A(BC). www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico22 Prof Weber Campos 3. Considere as proposies abaixo. T: Joo ser aprovado no concurso do TRT ou do TSE, mas no em ambos; A: Joo ser aprovado no concurso do TRT; B: Joo ser aprovado no concurso do TSE. Nesse caso, a proposio T estar corretamente simbolizada por (AB) [(AB)]. 18. (Assemblia Leg./CE 2011 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. A proposio Os cartes pr-pagos so uma evoluo dos cartes tradicionais, pois podem ser usados,porexemplo,pelopblicojovemequivalenteaSepodemserusados,porexemplo, pelo pblico jovem, ento os cartes pr-pagos so uma evoluo dos cartes tradicionais. 19. (EBC 2011 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. Considere que P, Q, R e S representem, respectivamente, as proposies Meus filhos estudam emescoladeensinotradicional,Meusfilhosfarovestibulares,Meusfilhosnotm problemasemocionaiseMeusfilhosseroaprovadosnosvestibulares.Nessecaso,correto afirmarqueaproposioCasoestudememescoladeensinotradicional,quandofizerem vestibularesmeusfilhosseroaprovados,desdequenotenhamproblemasemocionaisestar corretamente simbolizada por PQRS. 20. (EBC 2011 Cespe) Considerando que P, Q e R representem, respectivamente, as proposies O dispositivoestligado,OdispositivoestconectadoaoPCeAbaterianoest carregando, julgue os itens a seguir, acerca de lgica proposicional. 1.AproposioQuandoodispositivoestiverligadoeconectadoaoPC,abaterianoestar carregando pode ser corretamente representada por PQR. 2. Simbolicamente, P[QR] representa a proposio Se o dispositivo estiver ligado, ento, caso o dispositivo esteja conectado ao PC, a bateria no estar carregando. 21. (SESA/ES2011Cespe)Considerandoqueasproposieslgicassimplessejamrepresentadas porletrasmaisculaseutilizandoossmbolosusuaisparaosconectivoslgicosparaa conjunoe;paraadisjunoou;paraanegaono;paraaimplicaose..., ento ...; para a equivalncia se ..., e somente se ... , julgue os prximos itens. 1.AproposioOjovemmodernoumsolitrioconectadocomomundo,poiseleviveemseu quartodiantedocomputadoreelenoserelacionacomaspessoassuavoltapodeser representada,simbolicamente,porP(QR),emqueP,QeRsoproposiessimples adequadamente escolhidas. 2. A proposio A assistncia mdica de qualidade e gratuita um direito de todos assegurado na ConstituiodaRepblicapodeserrepresentadasimbolicamenteporumaexpressodaforma PQ, em que P e Q so proposies simples escolhidas adequadamente. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico23 Prof Weber Campos 3. A proposio O trnsito nas grandes cidades est cada vez mais catico; isso consequncia de nossaeconomiatercomoimportantefatoraproduodeautomveispodeserrepresentada, simbolicamente,porumaexpressodaformaPQ,emquePeQsoproposiessimples escolhidas adequadamente. 22. (TRT21Regio2010Cespe)Considerandoquecadaproposiolgicasimplesseja representadaporumaletramaisculaeutilizandoossmbolosusuaisparaosconectivos lgicos, julgue os itens seguintes. 1.AsentenaHomensemulheres,oumelhor,todosdaraahumanasoimprevisveis representada corretamente pela expresso simblica (PQ) R. 2.AsentenaTrabalharnoTRTosonhodemuitaspessoase,quanto maiselasestudam,mais chances elas tm de alcanar esse objetivo representada corretamente pela expresso simblica ST. 3. A sentena Maria mais bonita que Slvia, pois Maria Miss Universo e Slvia Miss Brasil representada corretamente pela expresso simblica (PQ) R. 4.AsentenaMaisseismeseselogoviroverorepresentadacorretamente pelaexpresso simblica P Q. 23. (AnalistadoINSS2008CESPE)Proposiessosentenasquepodemserjulgadascomo verdadeiras V ou falsas F , mas no como ambas. Se P e Q so proposies, ento a proposio Se P ento Q, denotada por PQ, ter valor lgico F quando P for V e Q for F, e, nos demais casos, ser V. Uma expresso da forma P, a negao da proposio P, ter valores lgicos contrrios aos de P. PQ, lida como P ou Q, ter valor lgico F quando P eQ forem, ambas, F; nos demais casos, ser V. Considereasproposiessimplesecompostasapresentadasabaixo,denotadasporA,BeC, que podem ou no estar de acordo com o artigo 5. da Constituio Federal. A: A prtica do racismo crime afianvel. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C:Todocidadoestrangeiroquecometercrimepolticoemterritriobrasileiroser extraditado. DeacordocomasvaloraesVouFatribudascorretamentesproposiesA,BeC,apartirda Constituio Federal, julgue os itens a seguir. 1.Paraasimbolizaoapresentadaacimaeseuscorrespondentesvaloreslgicos,aproposio BC V. 2. De acordo com a notao apresentada acima, correto afirmar que a proposio (A)(C) tem valor lgico F. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico24 Prof Weber Campos 24. (UNIPAMPA 2009/CESPE-UnB) O artigo 5., XL, da Constituio Federal de 1988 estabelece que a lei penal no retroagir, salvo para beneficiar o ru, isto , se a lei penal retroagiu, ento a lei penal beneficiou o ru. luz dessa regra constitucional, considerando as proposies P: A leipenalbeneficiouorueQ:Aleipenalretroagiu,ambasverdadeiras,easdefinies associadas lgica sentencial, julgue os itens a seguir. 1. A proposio Ou a lei penal retroagiu, ou a lei penal no beneficiou o ru tem valor lgico F. 2.Aproposionecessrioquealeipenalnoretroajaparanobeneficiarorutemvalor lgico V. 3. A proposio Embora a lei penal no tenha retroagido, ela beneficiou o ru tem valor lgico F. 25. (Agente da PF/2004/Cespe) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposies e que ossmbolos,,esejamoperadoreslgicosqueconstroemnovasproposiese significamno,e,oueento,respectivamente.Nalgicaproposicional,cadaproposio assumeumnicovalor(valor-verdade),quepodeserverdadeiro(V)oufalso(F),masnunca ambos. 1. Se as proposies P e Q so ambas verdadeiras, ento a proposio ( P) ( Q) tambm verdadeira. 2. Se a proposio T verdadeira e a proposio R falsa, ento a proposio R ( T) falsa. 3.Se as proposies P e Q so verdadeiras e a proposio R falsa, ento a proposio (P R) ( Q) verdadeira. 26. (PC/ES 2010 Cespe) Julgue os prximos itens, relativos lgica sentencial, em que os smbolos ,,~erepresentam,respectivamente,asoperaeslgicase,ou,noe implicao. 1. Se a proposio R for falsa e se a proposio composta (PQ)(~QR) for verdadeira, ento a proposio P ser verdadeira. 27. (TRE/ES2010Cespe)Emdeterminadomunicpio,h,cadastrados,58.528eleitores,dosquais 29.221 declararam ser do sexo feminino e 93 no informaram o sexo. Nessa situao, julgue os prximos itens. 1. Considere como verdadeiras as seguintes proposies: Se o eleitor A do sexo masculino ou o eleitor B no informou o sexo, ento o eleitor C do sexo feminino; Se o eleitor C no do sexo femininoeoeleitorDnoinformouosexo,entooeleitorAdosexomasculino.Considere tambmquesejafalsaaseguinteproposio:OeleitorCdosexofeminino.Nessecaso, conclui-se que o eleitor D no informou o sexo. 28. (MRE 2008 CESPE) Julgue o item a seguir. 1. Considere que as proposies B e A(B) sejam V. Nesse caso, o nico valor lgico possvel para A V. 29. (BB3 2007 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1.ConsiderequeasafirmativasSeMaraacertounaloteriaentoelaficouricaeMarano acertounaloteriasejamambas proposiesverdadeiras.Simbolizando adequadamente essas proposies pode-se garantir que a proposio Ela no ficou rica tambm verdadeira.www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico25 Prof Weber Campos 2.ConsiderequeaproposioSlviaamaJoaquimouSlviaamaTadeusejaverdadeira.Ento pode-se garantir que a proposio Slvia ama Tadeu verdadeira. 30. (Agente da PF 2009 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. Considere as proposies A, B e C a seguir.A:SeJanepolicialfederalouprocuradoradejustia,entoJanefoiaprovadaemconcurso pblico. B: Jane foi aprovada em concurso pblico. C: Jane policial federal ou procuradora de justia. Nesse caso, se A e B forem V, ento C tambm ser V. 31. (TRT 1 Regio Anal. Jud. 2008 CESPE) Considere que todas as proposies listadas abaixo so V. I Existe uma mulher desembargadora ou existe uma mulher juza. IISeexisteumamulherjuzaentoexisteumamulherqueestabelecepuniesouexisteuma mulher que revoga prises. III No existe uma mulher que estabelece punies. IV No existe uma mulher que revoga prises. Nessasituao,corretoafirmarque,porconseqnciadaveracidadedasproposiesacima, tambm V a proposio A. Existe uma mulher que estabelece punies mas no revoga prises. B. Existe uma mulher que no desembargadora. C.Senoexisteumamulherqueestabelecepunies,entoexisteumamulherquerevoga prises. D. No existe uma mulher juza. E. Existe uma mulher juza mas no existe uma mulher que estabelece punies. 32. (PETROBRAS2007 CESPE) Julgue o item seguinte. 1. Considere que as seguintes proposies compostas a respeito de um programa de computador sejam todas V. O programa tem uma varivel no-declarada ou o programa possui erro sinttico nas 4 ltimas linhas. Se o programa possui erro sinttico nas 4 ltimas linhas, ento ou falta um ponto-e-vrgula ou h uma varivel escrita errada. No falta um ponto-e-vrgula. No h uma varivel escrita errada. Simbolizandoadequadamenteessasproposies,possvelobter-seumadeduocuja concluso a proposio:O programa no possui erro sinttico nas 4 ltimas linhas. 33. (BB12007CESPE)Umraciocniolgicoconsideradocorretoformadoporumaseqnciade proposiestaisquealtimaproposioverdadeirasemprequeasproposiesanteriores na seqncia forem verdadeiras. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico26 Prof Weber Campos Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue os itens subseqentes.1. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes: Se Antnio for bonito ou Maria for alta, ento Jos ser aprovado no concurso. Maria alta. Portanto Jos ser aprovado no concurso. 2. correto o raciocnio lgico dado pela seqncia de proposies seguintes: Se Clia tiver um bom currculo, ento ela conseguir um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Clia tem um bom currculo. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIO COMPOSTA 34. (TRT 21 Regio 2010 Cespe) Considerando que R e T so proposies lgicas simples, julgue os itens a seguir, acerca da construo de tabelas-verdade.1. Se a expresso lgica envolvendo R e T for (R T) R, a tabela-verdade correspondente ser a seguinte. 2. Se a expresso lgica envolvendo R e T for (RT)(R), a tabela-verdade correspondente ser a seguinte. 35. (TRT 5 REGIO Anal Jud 2008 CESPE) Julgue o item a seguir. 1.Natabelaabaixo,altimacolunadadireitacorrespondetabela-verdadedaproposio (A)B(AB). www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico27 Prof Weber Campos 36. (TRT 5 REGIO Tec Jud 2008 CESPE) Julgue o item seguinte. 1.SeA,B,CeDforemproposiessimplesedistintas,entoonmerodelinhasdatabela-verdade da proposio (AB)(CD) ser superior a 15. 37. (SEFAZ/ES2010Cespe)Considerandoossmboloslgicos(negao),(conjuno), (disjuno), (condicional) e as proposiesS: (p q) ( p r) q re T: ((p q) ( p r)) ( q r), julgue o item que se segue. 1. As tabelas-verdade de S e de T possuem, cada uma, 16 linhas. 38. (TRT 5 REGIO Anal Jud 2008 CESPE) Julgue o item a seguir. 1. Considerando que, alm de A e B, C, D, E e F tambm sejam proposies, no necessariamente todas distintas, e que N seja o nmero de linhas da tabela-verdade da proposio [A(BC)] [(DE)F], ento 2 ! N ! 64. 39. (PETROBRAS2007 CESPE) Julgue o item a seguir. 1. Uma proposio da forma (PQ)(RS) tem exatamente 8 possveis valoraes V ou F. 40. (Papiloscopista 2004 Cespe) Julgue o item seguinte. 1.O nmero de tabelas de valoraes distintas que podem ser obtidas para proposies com exatamente duas variveis proposicionais igual a 24. NEGAO DE PROPOSIES 41. (Agente da PF 2009 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. Se A for a proposio Todos os policiais so honestos, ento a proposio A estar enunciada corretamente por Nenhum policial honesto. 42. (TRT 5 REGIO Anal Jud 2008 CESPE) Julgue o item seguinte. 1. Considerando que P seja a proposio Todo jogador de futebol ser craque algum dia, ento a proposioPcorretamenteenunciadacomoNenhumjogadordefutebolsercraque sempre. 43. (PM/AC 2008 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. Se A a proposio Todo bom soldado pessoa honesta, considere as proposies seguintes: B Nenhum bom soldado pessoa desonesta. C Algum bom soldado pessoa desonesta. D Existe bom soldado que no pessoa honesta. E Nenhuma pessoa desonesta um mau soldado. Nesse caso, todas essas 4 ltimas proposies podem ser consideradas como enunciados para a proposio A. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico28 Prof Weber Campos 44. (MPE Tocantins Tcnico 2006 CESPE)Julgue o item seguinte. 1. A negao da proposio algum promotor de justia do MPE/TO tem 30 anos ou mais nem todo promotor de justia do MPE/TO tem 30 anos ou mais. 45. (MPE/RR2008 CESPE) Considere as seguintes proposies. A: Jorge briga com sua namorada Slvia. B: Slvia vai ao teatro. Julgue os itens seguintes. 1. Nesse caso, (AB) a proposio C: Se Jorge no briga com sua namorada Slvia, ento Slvia no vai ao teatro.2.IndependentementedasvaloraesVouFparaAeB,aexpresso(AB)correspondente proposio C: Jorge no briga com sua namorada Slvia e Slvia no vai ao teatro. 46. (TRT1RegioTcJud2008CESPE)Assinaleaopocorrespondentenegaocorretada proposioOsocupantesdecargosemcomissoCJ.3eCJ.4notmdireitocarteira funcional. A) Os ocupantes de cargos em comisso CJ.3 e CJ.4 tm direito carteira funcional. B)OsocupantesdecargosemcomissoCJ.3ouosocupantesdecargosemcomissoCJ.4tm direito carteira funcional. C)NoocasodeosocupantesdecargosemcomissoCJ.3eCJ.4teremdireitocarteira funcional. D) Nem ocupantes de cargos em comisso CJ.3, nem CJ.4 no tm direito carteira funcional. E) Os ocupantes de cargos em comisso CJ.3 no tm direito carteira funcional, mas os ocupantes de cargos em comisso CJ.4 tm direito carteira funcional. 47. (TRT 17 Regio Tc Jud 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. A proposio Carlos juiz e muito competente tem como negao a proposio Carlos no juiz nem muito competente. 2.AproposioAConstituiobrasileiramodernaouprecisaserrefeitaserVquandoa proposio A Constituio brasileira no moderna nem precisa ser refeita for F, e vice-versa. 48. (Papiloscopista2004Cespe)Denomina-secontradioumaproposioquesemprefalsa. Umaformadeargumentaolgicaconsideradavlidaembasadanaregradacontradio, ouseja,nocasodeumaproposioRverdadeira(ouRverdadeira),casoseobtenhauma contradio,entoseconcluiqueRverdadeira(ouRverdadeira).Considerandoessas informaes e o texto de referncia, e sabendo que duas proposies so equivalentes quando possuem as mesmas valoraes, julgue os itens que se seguem.1.De acordo com a regra da contradio, P Q verdadeira quando ao supor PQ verdadeira, obtm-se uma contradio. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico29 Prof Weber Campos 49. (TRT 1 Regio 2008 CESPE) correto afirmar que, para todos os possveis valores lgicos, V ou F,quepodemseratribudosaPeaQ,umaproposiosimbolizadapor[P(Q)]possuios mesmos valores lgicos que a proposio simbolizada por (A) (P)Q.(C) [(P)(Q)].(E)) PQ. (B) (Q)P.(D) [(PQ)]. 50. (PC/ES 2010 Cespe) Julgue os prximos itens, relativos lgica sentencial, em que os smbolos ,,~erepresentam,respectivamente,asoperaeslgicase,ou,noe implicao. 1. A negao da proposio (P~Q)R (~PQ)(~R). 51. (IBAMA 2004 CESPE) Com relao s estruturas lgicas, julgue os seguintes itens. 1. Se verdade que P Q , ento falso que P ( Q). 2. (P ( Q)) logicamente equivalente Q (P). 3. Considere a seguinte proposio. Ocorreconflitoambientalquandohconfrontodeinteressesemtornodautilizaodomeio ambiente ou h confronto de interesses em torno da gesto do meio ambiente. A negativa lgica dessa proposio : No ocorre conflito ambiental quando no h confronto de interesses em torno da utilizao do meio ambiente ou no h confronto de interesses em torno da gesto do meio ambiente. 4. Considere a seguinte assertiva. Produo de bens dirigida s necessidades sociais implica na reduo das desigualdades sociais. Anegativalgicadessaassertiva:Anoproduodebensdirigidasnecessidadessociais implica na no reduo das desigualdades sociais. 52. (Analista Petrobrs 2004 CESPE) As sentenas S1, S2 e S3 a seguir so notcias acerca da bacia de Campos RJ, extradas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS. S1: Foi descoberto leo no campo de Garoupa, em 1974. S2: Foi batido o recorde mundial em perfurao horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995. S3: Foi iniciada a produo em Moria e foi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnolgico em guas Profundas (PROCAP), em 1986. Quanto s informaes das sentenas acima, julgue os itens subseqentes. 1. A negao da unio de S1 e S2 pode ser expressa por: Se no foi descoberto leo no campo de Garoupa,em1974,entonofoibatidoorecordemundialemperfuraohorizontal,em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico30 Prof Weber Campos 2.AnegaodeS3podeserexpressapor:OunofoiiniciadaaproduoemMoriaounofoi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnolgico em guas Profundas (PROCAP), em 1986. 53. (MRE 2008 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1. Considerando todos os possveis valores lgicos, V ou F, atribudos s proposies simples A e B, corretoafirmarqueaproposiocomposta[(A)(B)]possuiexatamentedoisvalores lgicos V.2.Sabe-sequeasproposies(AB)e(A)(B)tmosmesmosvaloreslgicosparatodasas possveisvaloraesdeAedeB.EntoanegaodaproposioOBrasilpossuiembaixada em Abu Dhabi e no em Marrocos pode ser simbolizada da forma (A)B. 54. (TRT5REGIOTecJud2008CESPE)ConsiderandoaproposioNesseprocesso,trsrus foramabsolvidoseosoutrosdoisprestaroservioscomunidade,simbolizadanaforma AB, em que A a proposio Nesse processo, trs rus foram absolvidos e B a proposio Nesse processo, dois rus prestaro servios comunidade, julgue os itens que se seguem. 1. A proposio (A)A pode ser assim traduzida: Se, nesse processo, trs rus foram condenados, ento trs rus foram absolvidos.2. correto inferir, aps o preenchimento da tabela abaixo, se necessrio, que a tabela-verdade da proposioNesseprocesso,trsrusforamabsolvidos,maspelosmenosumdosoutrosdois no prestar servios comunidade coincide com a tabela-verdade da proposio simbolizada por (AB). EQUIVALNCIA ENTRE PROPOSIES 55.(Agente da PF 2009 Cespe) Julgue o item a seguir. 1. As proposies Se o delegado no prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra no ser bem-sucedida e Se o delegado prender o chefe da quadrilha, ento a operao agarra ser bem-sucedida so equivalentes. 56. (ABIN 2010 Cespe) Considerando as regras da lgica sentencial, julgue os itens a seguir. 1.Aproposioumpapelrascunhoounotemmaisserventiaparaodesenvolvimentodos trabalhosequivalenteaseumpapeltemserventiaparaodesenvolvimentodostrabalhos, ento um rascunho.2.Anegaodaproposioestespapissorascunhosounotmmaisserventiaparao desenvolvimento dos trabalhos equivalente a estes papis no so rascunhos e tm serventia para o desenvolvimento dos trabalhos. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico31 Prof Weber Campos 57. (Senado Federal 2002 CESPE) O Teorema Fundamental da Aritmtica afirma que: Senforumnmeronaturaldiferentede1,entonpodeserdecompostocomoumprodutode fatores primos, de modo nico, a menos da ordem dos fatores. Julgue se cada um dos itens subseqentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima. 1.condiosuficientequensejaumnmeronaturaldiferentede1paraquenpossaser decompostocomoumprodutodefatoresprimos,demodonico,amenosdaordemdos fatores. 2.condionecessriaquensejaumnmeronaturaldiferentede1paraquenpossaser decompostocomoumprodutodefatoresprimos,demodonico,amenosdaordemdos fatores. 3. Se n no possuir decomposio como um produto de fatores primos, que seja nica, a menos da ordem dos fatores, ento n no um nmero natural diferente de 1. 4. Ou n no um nmero natural diferente de 1, ou n tem uma decomposio como um produto de fatores primos, que nica, a menos da ordem dos fatores. 5.numnmeronaturaldiferentede1sepuderserdecompostocomoumprodutodefatores primos, de modo nico, a menos da ordem dos fatores. 58. (DETRAN/ES2010Cespe)Considerandoasentenasemprequeummotoristapassarem excessodevelocidadeporumradar,seoradarnoestiverdanificadooudesligado,o motorista levar uma multa, julgue os itens subsecutivos. 1.Aafirmaodoenunciadologicamenteequivalentesentenaseummotoristapassarem excesso de velocidade por um radar e este no estiver danificado ou desligado, ento o motorista levar uma multa. 2. A sentena o radar no est danificado ou desligado logicamente equivalente sentena o radar no est danificado e tambm no est desligado. 59. (MRE 2008 CESPE) Julgue o item a seguir. 1.AsproposiescompostasA(B)eB(A)tmexatamenteosmesmosvaloreslgicos, independentemente das atribuies V ou F dadas s proposies simples A e B. 60. (DETRAN-DF 2009 ESAF) Considerando que A, B e C sejam proposies, que os smbolos e representamosconectivosouee,respectivamente,equeosmbolodenotao modificador negao, julgue os itens a seguir. 1. Se a proposio ABC verdadeira, ento C necessariamente verdadeira. 2. Se a proposio ABC verdadeira, ento a proposio C(AB) tambm verdadeira. 61. (Papiloscopista 2004 Cespe) Julgue os itens seguintes. 1.As tabelas de valoraes das proposies PQ e Q P so iguais. 2.As proposies (PQ) S e (P S)(Q S) possuem tabelas de valoraes iguais. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico32 Prof Weber Campos 62. (Escrivo da PF 2009 Cespe) A partir dessas informaes, julgue o item que se segue. 1. As proposies [A(B)](A) e [(A)B] (A) so equivalentes. 63. (EBC 2011 Cespe) Considerando que P, Q e R representem, respectivamente, as proposies O dispositivoestligado,OdispositivoestconectadoaoPCeAbaterianoest carregando, julgue os itens a seguir, acerca de lgica proposicional. 1. As proposies PQR e P[QR] so logicamente equivalentes. 64. (Tc.Jud.TRE-MG2008CESPE)Proposiessosentenasquepodemserjulgadassomente como verdadeiras ou falsas. A esse respeito, considere que p represente a proposio simples deverdoservidorpromoveroatendimentocordialaclientesinternoseexternos,queq represente a proposio simples O servidor dever instruir procedimentos administrativos de suportegerencialequerrepresenteaproposiosimplestarefadoservidorpropor alternativasepromoveraesparaoalcancedosobjetivosdaorganizao.Acercadessas proposies p, q e r e das regras inerentes ao raciocnio lgico, assinale a opo correta. A. ~(p q r ) equivalente a ~p ~q ~ r. B. p q equivalente a ~p ~q. C. p ( q r ) equivalente a p q r. D.~ (~ ( ~ r ) ) r. E. A tabela-verdade completa das proposies simples p, q e r tem 24 linhas. TAUTOLOGIA, CONTRADIO E CONTIGNCIA 65. (MRE 2008 CESPE) Julgue o item a seguir. 1.AsentenaNoPalcioItamaratyhquadrosdePortinariounoPalcioItamaratynoh quadros de Portinari uma proposio sempre verdadeira. 66. (Serpro2010Cespe)Tendocomorefernciaasinformaesapresentadas,julgueositens seguintes. 1. A proposio (AA)(AA) logicamente falsa, mas (AA)(AA) uma tautologia. 2. A proposio (AB) (BA) ser V apenas quando A for V e B for Fou quando A for F e B for V. 67. (PETROBRAS2007 CESPE) Julgue o item a seguir. 1. Uma proposio da forma (BA)(AB) F exatamente para uma das possveis valoraes V ou F, de A e de B. 68. (Escrivo da PF 2009 Cespe) Julgue o item que se segue. 1.IndependentementedosvaloreslgicosatribudossproposiesAeB,aproposio [(AB) (B)] (A) tem somente o valor lgico F. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico33 Prof Weber Campos 69. (DETRAN-DF 2009 ESAF) Considerando que A, B e C sejam proposies, que os smbolos e representamosconectivosouee,respectivamente,equeosmbolodenotao modificador negao, julgue o item a seguir. 1. A proposio (AB)[(A)(B)] sempre falsa. 70. (TRE/ES 2010 Cespe) Julgue os itens seguintes. 1. As proposies ~[(PQ)(QP)] e (~PQ)(~QP) possuem tabelas-verdade distintas. 2. A proposio ~(~PP) verdadeira, independentemente do valor lgico da proposio P. 71.(BB32007CESPE)Asafirmaesquepodemserjulgadascomoverdadeiras(V)oufalsas(F), masnoambas,sochamadasproposies.Asproposiessousualmentesimbolizadaspor letras maisculas: A, B, C etc. Com base nessas definies, julgue os itens que se seguem. 1. Uma expresso da forma (AB) uma proposio que tem exatamente as mesmas valoraes V ou F da proposio AB.2. A proposio simbolizada por (AB) (BA) possui uma nica valorao F. 72. (TRT 17 Regio Tc Jud 2009 CESPE) Julgue os itens a seguir. 1.ParatodosospossveisvaloreslgicosatribudossproposiessimplesAeB,aproposio composta [A(B)]B tem exatamente 3 valores lgicos V e um F. 2.ConsiderequeumaproposioQsejacompostaapenasdasproposiessimplesAeBecujos valores lgicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo. Nessa situao, uma forma simblica correta para Q [A(B)][(A)(B)]. 73. (TRT1RegioTcJud2008CESPE)Assinaleaopocorrespondenteproposiocomposta quetemexatamente2valoreslgicosFe2valoreslgicosV,paratodasaspossveis atribuies de valores lgicos V ou F para as proposies A e B. A) B(A) B) (AB) C) [(A)(B)] D) [(A)(B)](AB) E) [(A)B][(B)A] 74. (PolciaMilitarDF2009CESPE)Julgueoitemquesesegue,acercadeproposieseseus valores lgicos. 1. A proposio (AB)(AB) uma tautologia. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico34 Prof Weber Campos 75. (TRT 5 REGIO Tec Jud 2008 CESPE) Julgue o item seguinte. 1. Se A e B so proposies, ento a proposio AB (A)(B) uma tautologia. 76. (TRT 5 REGIO Anal Jud 2008 CESPE) Julgue os itens seguintes. 1. A proposio (AB)(A)B uma tautologia. 2. A proposio A(B)(AB) uma tautologia. 3. Na tabela abaixo, a proposio [AB] [(B)(A)] uma tautologia. 77. (MPE Tocantins Analista 2006 CESPE) Julgue o item subseqente. 1. No possvel avaliar como V a proposio (AB) A (CAC). 78. (SEFAZ/ES2010Cespe)Considerandoossmboloslgicos(negao),(conjuno), (disjuno), (condicional) e as proposiesS: (p q) ( p r) q re T: ((p q) ( p r)) ( q r), julgue o item que se segue. 1. A proposio T S uma tautologia. 79. (MPE/PI 2011 Cespe) Considerando que P e Q sejam proposies simples, julgue o item que se segue. 1. A proposio composta [PQ][(Q)P] uma tautologia. 80. (TJ/ES2010Cespe)ConsiderandoasproposiessimplespeqeaproposiocompostaS: [(pq)(~q)](~p), julgue os itens que se seguem. 1. A proposio S uma tautologia. 2.Considerandotodosospossveisvaloreslgicosdas proposiespe q,corretoafirmarquea proposio (pq)(~q) possui valores lgicos V e F em quantidades iguais. 81. (SESA/ES2011Cespe)Considerandoqueasproposieslgicassimplessejamrepresentadas porletrasmaisculaseutilizandoossmbolosusuaisparaosconectivoslgicosparaa conjunoe;paraadisjunoou;paraanegaono;paraaimplicaose..., ento ...; para a equivalncia se ..., e somente se ... , julgue os prximos itens. www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico35 Prof Weber Campos 1. A expresso {(PQ) [(P) (R)]} (RQ), em que P, Q e R so proposies simples, uma tautologia. 2.SeP,Q,ReSsoproposiessimples,entoaproposioexpressapor{[(PQ)(RS)] (RS)} (PQ) uma tautologia. 82. (TRT1RegioTcJud2008CESPE)ConsiderandotodosospossveisvaloreslgicosVouF atribudos sproposiesAeB,assinaleaopocorrespondente proposiocomposta que tem sempre valor lgico F. A) [A(B)][(A)B] B) (AB)[(A)(B)] C) [A(B)](AB) D) [A(B)]A E) A[(B)A] www.cursoagoraeupasso.com.br Raciocnio Lgico36 Prof Weber Campos GABARITO 01C42E 02C43E 03CEC44E 04E45EC 05E46B 06E47EC 07E48C 08E49E 09EC50E 10EE51CEEE 11ECEE52EC 12C53EC 13ECCCE54EC 14CC55E 15E56CC 16C57CECCE 17ECC58CC 18C59C 19C60EC 20CC61EE 21EEC62C 22EECE63C 23EE64A 24ECC65C 25EEC66CC 26E67E 27E68E 28E69C 29EE70EC 30E71CC 31D72EE 32C73E 33CE74C 34EC75E 35E76CCC 36C77E 37E78E 38C79E 39E80CE 40C81CC 41E82A