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ADMINISTRAÇÃO DA FILA DE ESPERA nota técnica 1

A D M I N I S T R A Ç Ã O D A P R O D U Ç Ã O E O P E R A Ç Õ E S

para Vantagens Competitivas

1 1 a e d i ç ã o

R I C H A R D B . C H A S E

F. R O B E R T J A C O B S

N I C H O L A S J . A Q U I L A N O

Tradução

Claudia Freire

Lucas M. F. Yassumura

Monica Rosemberg

Revisão TécnicaDiógenes de Souza BidoMestre e Doutor em Administração de Empresas pela FEA/USPDocente do CCSA/Mackenzie e da FAC/FITO

Bangcoc Beijing Bogotá Caracas Cidade do México Cingapura

Londres Madri Milão Montreal Nova Delhi Nova York

Santiago São Paulo Seul Sydney Taipé Toronto

2 seção 2 SELEÇÃO E PROJETO DE PROCESSO

nota técnica seteADMINISTRAÇÃO DA FILA DE ESPERA

NO

TA

TÉ

CN

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no

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a

Definição de filas 3 A Economia no Problema das Filas de Espera Equilíbrio custo-benefício Visão prática das filas de espera

5 O Sistema de Organização de Filas Chegada dos clientes Definição do sistema de organização de filas Distribuição das chegadas Definição de taxa de chegada O sistema de organização de filas: fatores Definição de distribuição exponencial Saída Definição de distribuição de Poisson Definição de taxa de atendimento

12 Modelos de Fila de Espera

20 Cálculo aproximado do Tempo de Espera do Cliente

23 Simulação Computadorizada das Filas de Espera

23 Conclusão


Compreender as fi las de espera, ou simplesmente filas, e aprender como administrá-las, é uma das áreas mais importantes na administração de operações. É um elemento básico para a criação de cro-nogramas, projetos de trabalho, níveis de estoque e assim por diante. Na nossa economia de serviços, pegamos fi las todos os dias — desde quando dirigimos para o trabalho até quando passamos no caixa do supermercado. Também encontramos fi las de espera em fábricas — as tarefas esperam em fi las para ser executadas em máquinas diferentes, e as próprias máquinas esperam sua vez para serem inspecionadas. Em resumo, as fi las de espera estão espalhadas por toda parte.

Nesta nota técnica, discutiremos os elementos básicos dos problemas relacionados às fi las de espera e apresentaremos fórmulas para resolvê-los, supondo o processo em equilíbrio (estado estacionário). Essas fórmulas, desenvolvidas por meio da teoria das fi las, permitem que os planejadores analisem as exigências de serviços e elaborem instalações de serviço adequadas às condições propostas. A teoria das fi las é abran-gente o sufi ciente para cobrir esperas desiguais, como aquelas enfrentadas pelos clientes em um shopping center ou um avião na fi la de aterrissagem esperando a liberação de uma pista para pousar. Recentemente, provedores de acesso à Internet tiveram problemas para fornecer linhas telefônicas sufi cientes para os assinantes se conectarem. Esse problema também pode ser analisado por modelos de fi las.

A ECONOMIA NO PROBLEMA DAS FILAS DE ESPERA

O problema principal em praticamente toda situação de fi la de espera é uma decisão de trade-off. O gerente precisa pesar o custo adicional de oferecer um serviço mais rápido (mais pistas de tráfego, pistas de aterrissagem adicionais, mais caixas), em relação ao custo inerente da espera.

Geralmente, a decisão de trade-off referente a custos é direta. Por exemplo, se percebemos que o tempo total gasto por nossos funcionários na fi la, esperando para usar a copiadora, poderia, de outra forma, ser gasto em atividades produtivas, poderíamos comparar o custo da instalação de outra máquina considerando o valor do tempo do funcionário que será economizado. A decisão fi caria reduzida ao valor em dinheiro e a escolha seria feita sem grandes difi culdades.

No entanto, suponha que o nosso problema de fi las de espera esteja centrado na demanda por leitos em um hospital. Podemos calcular o custo de camas adicionais somando os custos da constru-ção de uma nova ala, novos equipamentos necessários e mais manutenção. Mas o que colocamos no outro lado da balança? Aqui nos confrontamos com o problema de tentar fi xar um valor em dinheiro para a necessidade do paciente por um leito que não está disponível. Apesar de conseguirmos estimar a perda de faturamento do hospital, como fi ca a questão do custo humano que surge dessa falta de atendimento hospitalar adequado?

Filas

O SISTEMA DE COBRANÇA DE PEDÁGIO E-Z PASS, EM NEW JERSEY, UTILIZA UMA “ETIQUETA ELETRÔNICA” INSTALADA NOS CARROS. UMA ANTENA RECEPTORA

PRÓXIMA DAS CABINES FAZ A LEITURA

DESSA ETIQUETA, QUE PODE SER PRÉ-PAGA OU VINCULADA A UM CARTÃO DE CRÉDITO. O E-Z PASS AUMENTOU A CAPACIDADE

DE COBRANÇA DE PEDÁGIO EM 250% A 300% POR PISTA.

Serviço


EQUILÍBRIO CUSTO-BENEFÍCIOA Figura NT7.1 mostra a relação essencial de trade-off sob condições típicas (estado de equilíbrio) de tráfego de clientes. Inicialmente, com capacidade mínima de serviço, o custo da fi la de espera está no máximo. À medida que a capacidade de atendimento aumenta, há uma redução no número de clientes na fi la e nos tempos de espera, o que reduz o custo da fi la de espera. A variação dessa função, em geral, é representada por uma curva exponencial negativa. O custo de instalação de capacidade de serviço é exibido de forma simplifi cada, como uma função linear em vez de escalonada. O custo agregado ou total é demonstrado com uma curva em formato de U, uma aproximação comum nesses tipos de problemas de equilíbrio. O custo ótimo idealizado é encontrado no ponto de cruzamento entre as curvas de capacidade de serviço e fi la de espera.

VISÃO PRÁTICA DAS FILAS DE ESPERAAntes de prosseguirmos com a apresentação técnica da teoria das fi las, é útil observar o lado intuitivo da questão para enxergar o que signifi ca. A Figura NT7.2 mostra chegadas em um estabelecimento de serviços (como um banco) e as exigências de serviços desse local (como caixas e gerentes). Uma variá-vel importante é o número de chegadas ao longo das horas em que o local permanece aberto. Do ponto de vista da prestação do serviço, os clientes demandam quantidades variáveis de serviço, geralmente excedendo a capacidade normal. Podemos controlar as chegadas de diversas maneiras. Por exemplo, podemos ter uma fi la curta (como um drive-through em um restaurante fast-food com delimitação de espaços), podemos estabelecer horários específi cos para determinados clientes ou oferecer promoções especiais. Quanto ao prestador de serviço, podemos modifi car o tempo de atendimento utilizando

Serviço

Serviço

MínimoCusto agregado

Custo da capacidadede serviço

Custo da filade espera

Capacidade ótimaCapacidade do estabelecimento de serviço

Custo

US$

fi gura NT7.1 Trade-off Capacidade do Serviço versus Fila de Espera

Chegadas Exigências do Serviço

Número dechegadas

Tempo doserviço

Capacidadenormal

TempoTempo

fi gura NT7.2 Perfi s de Chegada e Atendimento


atendentes mais rápidos ou mais lentos, máquinas mais rápidas ou mais lentas, ferramentas diferentes, materiais diferentes, layout diferente, preparação mais rápida e assim por diante.

O ponto essencial é que as fi las de espera não são uma condição fi xa de um sistema produtivo, mas estão em grande parte inseridas no controle de administração e projeto do sistema. O professor Richard Larson (o famoso “observador de fi las”) e seus colegas propõem idéias úteis para a adminis-tração de fi las em sua pesquisa realizada no setor bancário. (Ver quadro intitulado “Sugestões para a Administração de Filas”.)

Sistema de organização de filas

O SISTEMA DE ORGANIZAÇÃO DE FILAS

O sistema de organização de filas consiste essencialmente em três componentes prin-cipais: 1. a população de origem e a forma como os clientes chegam ao sistema; 2. o sistema de aten-dimento; e 3. a condição em que o cliente deixa o sistema (de volta à população de origem ou não?), como vemos na Figura NT7.3. As seções a seguir descrevem cada um desses itens.

CHEGADA DOS CLIENTESAs chegadas em um sistema de serviços podem ser originadas de uma população fi nita ou infi nita. Essa distinção é importante, porque as análises se baseiam em premissas diferentes e exigem equa-ções diferentes para sua solução.

P o p u l a ç ã o F i n i t a Uma população fi nita se refere ao grupo de tamanho limitado de clien-tes que usará o serviço e, em alguns momentos, formará uma fi la. O motivo pelo qual essa classifi ca-ção fi nita é importante é que, quando um cliente deixa sua posição como integrante dessa população (por exemplo, uma máquina quebrada que necessita de serviço), o tamanho do grupo de usuários é reduzido em um, o que reduz a probabilidade de uma próxima ocorrência. No entanto, quando um

SUGESTÕES PARA A ADMINISTRAÇÃO DE FILAS

Vejamos a seguir algumas sugestões úteis para a administração de filas que transcendem os modelos quantitativos de filas de espera.

1 Estabeleça um tempo de espera aceitável para seus clientes. Quanto tempo seus clientes estão dispostos a esperar? Trace objetivos operacio-nais com base no que seria aceitável.

2 Tente distrair seus clientes enquanto eles esperam. Música, filmes ou alguma outra forma de entretenimento podem ajudar a distrair os clien-tes e driblar o tédio.

3 Informe os clientes o que terão de esperar. Isso é particularmente importante quando o tempo de espera for mais longo que o normal. Explique a eles por que o tempo de espera é maior que o normal e o que você está fazendo para que as filas andem mais rápido.

4 Mantenha os funcionários que não estão atendendo longe da vista dos clientes. Não há nada mais frustrante para alguém em uma fila do que ver funcionários, que potencialmente poderiam atender às pessoas na fila, fazendo outras atividades.

5 Separe os clientes. Se um grupo de clientes precisa de algo que pode ser feito rapidamente, forme uma fila especial para que eles não precisem esperar pelos clientes mais demorados.

6 Treine os atendentes para que sejam simpáticos. Cum pri-men tar o cliente pelo nome, ou oferecer alguma atenção especial, são atitudes que podem aliviar muito a sensação negativa de uma espera longa. (Dica: Em vez de simples-mente recomendar aos atendentes que sejam “simpáticos”, psicólogos sugerem que se deve indicar ao atendente quais são os momentos de recorrer a ações gentis específicas, como sorrir — ao cumprimentar o cliente, ao tirar pedidos e ao retornar o troco [em uma loja de conveniência]. Testes usando essas ações comportamentais específicas demons-traram melhoras significativas na percepção de simpatia dos atendentes, nas avaliações dos clientes.)

7 Incentive os clientes a chegarem em períodos de mais folga. Informe aos clientes sobre as horas em que não cos-tuma haver espera; informe também quais são os períodos de pico — isso pode ajudar a aliviar o movimento.

8 Assuma uma perspectiva de longo prazo para se livrar das filas. Desenvolva planos para formas alternativas de aten-der a seus clientes. Quando for apropriado, elabore pla nos de automatização e aceleração do processo. Isso não significa que você deva abolir a atenção personalizada; alguns clien-tes esperam isso.

FONTE: BASEADO EM KATZ, K. ET AL. PRESCRIPTION FOR THE WAITING-LINE BLUES. SLOAN MANAGEMENT REVIEW, P. 51-52, INVERNO 1991.

Serviço

Origem dapopulação

InfinitaFinita


cliente é atendido e retorna ao grupo de usuários, a população aumenta e a probabilidade de um usuá-rio solicitar o serviço também aumenta. Essa categoria fi nita de problemas requer um conjunto de fórmulas separado daquele usado no caso da população infi nita.

Como exemplo, considere um conjunto de seis máquinas cuja manutenção é feita por um operário. Quando uma máquina quebra, a população de origem é reduzida para cinco, e a probabilidade de uma das cinco máquinas restantes quebrar e precisar de conserto certamente é menor que quando seis máqui-nas estavam em operação. Se duas máquinas param de funcionar, deixando apenas quatro em operação,

a probabilidade de outra quebrar muda novamente. No entanto, quando uma máquina é conser-tada e colocada de volta em funcionamento, a população de máquinas aumenta, elevando assim a probabilidade da próxima pane. Um modelo de população fi nita com um atendente que pode ser usado nesses casos é apresentado nas Figuras NT7.8 e NT 7.10.

P o p u l a ç ã o I n f i n i t a Uma população infi nita é grande o sufi ciente em relação ao sistema de serviço, de modo que o tamanho da população resultante de subtrações ou a dições à população (um cliente que solicite um serviço ou um cliente que já foi atendido retorna à popu-lação) não afeta signifi cativamente as probabilidades do sistema. Supondo que na explicação anterior sobre população fi nita houvesse 100 máquinas em vez de seis, se uma ou duas máquinas parassem, a probabilidade de ocorrência das próximas panes não seria muito diferente, e a supo-sição de que a população (para todos os fi ns práticos) era infi nita poderia ser feita sem grande margem de erro. E nem as fórmulas para problemas “infi nitos” de organização de fi las gerariam muito erro, se aplicadas a um médico com 1.000 pacientes ou uma loja de departamento com 10.000 clientes.

DISTRIBUIÇÃO DAS CHEGADASAo descrever um sistema de espera, precisamos defi nir a maneira pela qual os clientes ou as unidades em espera são organizados para o atendimento.

As fórmulas de fi las de espera normalmente requerem uma taxa de chegada ou o núme-ro de unidades por período (como uma média de um a cada seis minutos). Uma distribuição de chegadas constante é periódica, com exatamente o mesmo tempo entre chegadas suces-sivas. Em sistemas produtivos, as únicas chegadas que realmente apresentam um período constante de intervalos são aquelas sujeitas ao controle de máquinas. As distribuições de chegadas variáveis (aleatórias) são muito mais comuns.

Observando as chegadas em um estabelecimento de serviços, podemos analisá-las por meio de duas perspectivas: em primeiro lugar, podemos analisar o tempo entre as chegadas

sucessivas, para verifi car se esses tempos seguem alguma distribuição estatística. Costumamos partir do princípio de que o tempo entre as chegadas é distribuído exponencialmente. Em segundo lugar, podemos estabelecer alguma duração de tempo (T) e tentar determinar quantas chegadas devem ingressar no sistema dentro de T. Geralmente supomos que o número de chegadas por unidade de tempo segue a distribuição de Poisson.

Chegadasde clientes

Fila de espera Atendentes

Saída

Sistema de Serviço

fi gura NT7.3 Componentes de um Sistema de Filas

OS USUÁRIOS DO PROGRAMA FAST LANE DO PARQUE DE DIVERSÕES SIX FLAGS PODEM COMPRAR INGRESSOS EM PAPEL SIMPLES OU UM DISPOSITIVO DE ALTA TECNOLOGIA CHAMADO “Q-BOT”. OS “Q-BOTS” SÃO BEEPERS QUE SERVEM PARA FAZER RESERVAS VIRTUAIS DE LUGARES NAS FILAS. ELES VIBRAM E EMITEM UMA MENSAGEM DE TEXTO QUANDO CHEGA O MOMENTO DE IR ATÉ O BRINQUEDO, SEM PRECISAR ENFRENTAR HORAS NA FILA.

Administraçãode Operações

Interativa

Taxa de chegada


D i s t r i b u i ç ã o E x p o n e n c i a l No primeiro caso, quando as chegadas a um estabelecimento ocorrem de uma maneira puramente aleatória, uma demonstração dos tempos entre chegadas gera uma distribuição exponencial como a que vemos na Figura NT 7.4. A função densidade de probabilidade é

[NT7.1] f (t) � λe-λt

em que λ é o número médio de chegadas por período.A área cumulativa abaixo da curva da Figura NT 7.4 é a integral da Equação (NT7.1) sobre seu

intervalo positivo, que é e�λt. Essa integral nos permite calcular as probabilidades de chegadas dentro de um tempo especifi cado. Por exemplo, para o caso de chegadas únicas a uma fi la de espera (λ � 1), a seguinte tabela pode ser derivada seja pela solução de e�λt ou pelo uso do Apêndice F. A coluna 2 mostra a probabilidade de que demorará mais que t minutos para a próxima chegada. A coluna 3 indica a probabilidade de que a próxima chegada ocorra em t minutos (calculado como 1 menos coluna 2).

(1) (2) (3) PROBABILIDADE DE QUE A PRÓXIMA CHEGADA OCORRA PROBABILIDADE DE QUE EM t MINUTOS OU MAIS A PRÓXIMA CHEGADA OCORRA

(PELO APÊNDICE F EM t MINUTOS OU MENOS

t (MINUTOS) OU RESOLVENDO e�t) [1 – COLUNA (2)]

0 1,00 0 0,5 0,61 0,39 1,0 0,37 0,63 1,5 0,22 0,78 2,0 0,14 0,86

D i s t r i b u i ç ã o d e P o i s s o n No segundo caso, em que se deseja descobrir o número de chegadas durante determinado período T, a distribuição aparece como na Figura NT 7.5 e é obtida encontrando a probabilidade de exatamente n chegadas durante T. Se o processo de chegada for alea-tório, a distribuição é a de Poisson, e a fórmula é

[NT7.2]

(λT)n e�λT

n!PT (n) �

A Equação (NT7.2) mostra a probabilidade de haver exatamente n chegadas no tempo T.1 Por exem-plo, se a taxa média de chegadas de unidades em um sistema for três por minuto (λ � 3), e desejarmos descobrir qual é a probabilidade de que exatamente cinco unidades cheguem em um período de um minuto (n � 5, T � 1), teremos

P1 (5) �

(3 � 1)5 e�3�1

5! �35 e�3

120 � 2,025e�3 � 0,101

Ou seja, há uma probabilidade de 10,1% de haver cinco chegadas em um intervalo qualquer de um minuto.

Distribuição exponencial

f(t)

t

Distribuição Exponencial fi gura NT7.4

Distribuição de Poisson


Embora muitas vezes mostrada como uma curva suavizada, como na Figura NT7.5, a Poisson é uma distribuição discreta. (A curva se torna mais suavizada conforme n aumenta.) A distribuição é dis creta porque n se refere, em nosso exemplo, ao número de chegadas em um sistema, e esse deve ser um número inteiro. (Não pode haver, por exemplo, 1,5 chegada.)

Observe ainda que as distribuições exponencial e Poisson podem ser derivadas uma da outra. A média e a variância da Poisson são iguais e simbolizadas por λ. A média da exponencial é 1/λ e sua variância é 1 / λ2. (Lembre-se que o tempo entre as chegadas é distribuído exponencialmente, e que o número de chegadas por unidade de tempo tem distribuição de Poisson).

Outras características das chegadas incluem padrões de chegada, tamanho das unidades de che-gada e nível de paciência (ver Figura NT 7.6.)

Padrões de chegadas. As chegadas em um sistema são muito mais controláveis do que normalmen-te se pensaria. Barbeiros, por exemplo, podem reduzir sua taxa de chegadas aos sábados (e suposta-mente transferi-lo para outros dias da semana) cobrando US$ 1 a mais pelos cortes para adultos ou

Média = � = 3Variância = � = 3

1 2 3 4 5 6 8 10 12

Número de chegadas (n)

Probabilidadede n chegadas

no tempo T

0,20

0,10

0,05

0

Curva suavizada

0,224 0,224

0,1490,16

0,102

0,050

fi gura NT7.5 Distribuição de Poisson para λT � 3

Distribuição

Constante

Exponencial ou Poisson

Outros

PadrãoControlável

Incontrolável

Tamanho da chegadaÚnico

Lote

Nível de paciência

Paciente (entra na fila e fica)

ImpacienteChega, olha e sai

Chega, espera um pouco e então sai

fi gura NT7.6 Chegadas de Clientes em Filas


cobrando taxas de adultos nos cortes para crianças. As lojas de departamento promovem liquidações entre estações ou liquidações de apenas um dia, em parte para fi ns de controle. Companhias aéreas ofe-recem taxas para excursões e para baixa temporada por motivos semelhantes. O método mais simples dentre todos usados para o controle de chegadas é a determinação do horário comercial.

Algumas demandas de serviços são obviamente incontroláveis, como demandas em pron-tos-socorros de hospitais. Mas, mesmo nessas situações, as chegadas em prontos-socorros de determinados hospitais são controláveis até certo ponto, por exemplo, mantendo os motoristas de ambulâncias da região onde se presta o serviço, informados sobre a situação dos respectivos hospitais que atendem.Tamanho das unidades em espera. Uma chegada única pode ser considerada uma unidade. (A unidade é o menor número atendido). Uma chegada única no pregão da Bolsa de Valores de Nova York (Nyse) é de 100 ações; uma chegada única em uma fábrica de processamento de ovos pode ser uma dúz ia de ovos ou um número fi xo de 2½ dúzias; uma chegada única em um restaurante seria uma pessoa.

Uma chegada em lote é algum múltiplo da unidade, como um bloco de 1.000 ações na Nyse, uma caixa de ovos na processadora ou um grupo de cinco pessoas em um restaurante.Nível de paciência. Uma chegada paciente é aquela que espera quanto tempo for necessário para que o estabelecimento a atenda. (Mesmo que as pessoas resmunguem ou demonstrem irri-tabilidade, o fato de esperarem já é sufi ciente para rotulá-las como chegadas pacientes de acordo com a teoria das fi las.)

Existem duas categorias de chegadas impacientes. Membros da primeira categoria chegam, observam o local de atendimento e o comprimento da fi la e, então, decidem ir embora. Os da segunda categoria chegam, observam a situação, entram na fi la de espera e, então, depois de algum tempo, saem da fi la. O comportamento do primeiro tipo é denominado recusa, ao passo que o segundo é chamado renúncia.

O SISTEMA DE ORGANIZAÇÃO DE FILAS: FATORESO sistema de organização de fi las consiste primordialmente em fi la(s) de espera e número de aten-dentes disponíveis. Aqui discutiremos questões referentes às características e gerenciamento da fi la de espera, estrutura da fi la e taxa de atendimento. Os fatores a serem considerados quanto às fi las de espera incluem o comprimento da fi la, o número de fi las e a disciplina das fi las.

Comprimento. Em um sentido prático, uma fi la infi nita é simplesmente uma fi la muito extensa em termos de capacidade do sistema de atendimento. Exemplos de comprimento infi nito potencial são uma fi la de veículos engarrafados por quilômetros em uma ponte, e clientes que precisam formar uma fi la ao longo do quarteirão à espera para comprar ingressos para o teatro.

Postos de gasolina, terminais de carga e estacionamentos possuem capacidade limitada de fi las, resultante de restrições legais ou características físicas de espaço. Isso torna o problema da fi la de espera mais complicado não só na utilização do serviço e cálculos de fi las de espera, mas também no formato da distribuição efetiva das chegadas. O impedimento da entrada em uma fi la em razão da falta de espaço pode acabar acumulando a população, que vai tentar de novo em outro horário ou tentará obter o serviço em outro local. Ambas as opções fazem uma diferença óbvia no caso da população fi nita.Número de fi las. Uma fi la única ou registro único é, obviamente, apenas uma fi la. O termo fi las múltiplas se refere às fi las únicas que se formam na frente de dois ou mais atendentes ou às fi las únicas que convergem em algum ponto central de redistribuição. A desvantagem das fi las múl-tiplas em uma instalação movimentada é que as pessoas geralmente mudam de fi las se outros serviços executados anteriormente demora-ram menos ou se outros clientes, naquele momento em outras fi las, aparentemente demoram menos para ser atendidos.Disciplina das fi las. A disciplina da fi la é uma regra de prioridades ou um conjunto de regras que determinam a ordem de atendimento dos clientes que estão em uma fi la. As regras selecionadas podem exercer um efeito drástico no desempenho geral do sistema. O número de clientes na fi la, o tempo médio de espera, a amplitude da variabilida-de no tempo de espera e a efi ciência do local de serviços são apenas alguns fatores infl uenciados pela escolha das regras de prioridades.

Comprimento da fila

Número de filas

Múltiplo

Único

Comprimento infinitopotencial

Capacidade limitada


Provavelmente, a regra de prioridades mais comum é o atendimento por ordem de chegada (FCFS — First Come, First Served). Segundo essa regra, os clientes na fi la são atendidos com base na ordem de chegada cronológica; nenhuma outra característica possui qualquer infl uência no processo de seleção. Essa é popularmente aceita como a regra mais justa, embora na prática desfavoreça as chegadas que requerem um tempo de serviço curto.

Reservas primeiro, emergências primeiro, cliente que gera maior lucro primeiro, pedidos maiores primeiro, melhores clientes primeiro, tempo de espera mais longo na fi la e data de promessa mais cedo são outros exemplos de regras de prioridade. Existem dois problemas práticos principais na aplicação de qualquer regra: um é garantir que os clientes conheçam e sigam a regra. O outro é garantir que se imple-mente um sistema permitindo que os funcionários administrem a fi la (como os sistemas de senhas).

D i s t r i b u i ç ã o d o Te m p o d e A t e n d i m e n t o Outro importante recurso da estrutu-ra de espera é o tempo que o cliente ou unidade gasta com quem presta o serviço uma vez que este é iniciado. As fórmulas de fi la de espera geralmente especifi cam a taxa de atendimento do prestador de serviço em número de unidades por período (como 12 conclusões por hora) e não como o tempo do atendimento, que pode ter em média cinco minutos cada. A regra de tempo de atendimento cons-tante determina que todo atendimento demora exatamente o mesmo tempo. Nas chegadas constantes, essa característica geralmente é limitada a operações controladas por máquinas.

Quando os tempos de serviço são aleatórios, podem ser aproximados por meio da distribuição expo-nencial. Ao utilizar a distribuição exponencial como uma aproximação dos tempos de serviço, iremos nos referir a μ como o número médio de unidades ou clientes que podem ser atendidos por período.

E s t r u t u r a s d a F i l a Conforme mostra a Figura NT7.7, o fl uxo de itens a serem atendidos pode passar por uma fi la única, múltiplas fi las ou alguma combinação entre ambas. A escolha do formato depende, em parte, do volume de clientes atendidos e, em parte, das restrições impostas por exigências seqüenciais que regem a ordem em que o serviço deve ser executado.

1. Canal único, fase única. Esse é o tipo mais simples de estrutura de fi la de espera, e fórmulas diretas estão disponíveis para solucionar o problema para modelos-padrão de distribuição de chegada e serviço. Quando as distribuições não são padrão, o problema é solucionado com mais facilidade pela simulação em computador. Um exemplo típico de uma situação de canal único, fase única é o de uma pessoa na barbearia.

2. Canal único, fases múltiplas. Uma lavadora de automóveis ilustraria esse caso porque uma série de serviços (passar aspirador, molhar, lavar, tirar o sabão, secar, limpar janelas e estacionar) é realizada em uma seqüência consideravelmente uniforme. Um fator fundamental no caso do canal único com serviço em séries é a quantidade de itens acumulados permitidos na frente de cada serviço, o que, por sua vez, constitui fi las de espera separadas.

3. Canais múltiplos, fase única. Guichês de caixas de um banco e caixas de supermercado em lojas de departamento de grande volume exemplifi cam este tipo de estrutura. A difi culdade com este formato é que o tempo de atendimento desigual dado a cada cliente resulta em velocidade ou fl uxo desiguais entre as fi las. Isso faz que alguns clientes sejam atendidos antes de outros que chegaram antes e que mudem de fi las. Modifi car essa estrutura para garantir o atendimento às chegadas em ordem cronológica exigiria a formação de uma fi la única, a partir da qual, assim que um atendente fi ca livre, o próximo cliente da fi la é atendido.

Taxa de atendimento

Disciplina da fila

Atendimento por ordemde chegada

Tempo de processamentomais curto

Reservas Primeiro

Emergências Primeiro

Necessidades limitadas

Outros


O principal problema relacionado a essa estrutura é que ela exige um controle rígido da fi la para manter a ordem e direcionar os clientes aos atendentes disponíveis. Em alguns casos, distribuir núme-ros aos clientes na ordem de chegada ajuda a sanar esse problema.

4. Canais múltiplos, fases múltiplas. Esse caso é semelhante ao anterior, exceto pelo fato de que dois ou mais serviços são realizados em seqüência. A internação de pacientes em um hospital segue esse padrão, porque uma seqüência específi ca de etapas geralmente é seguida: contato inicial no balcão de atendimento, preenchimento de fi cha, confecção de etiquetas de identifi cação, obtenção de leito, acompanhamento do paciente até o quarto e assim por diante. Como diversos atendentes normalmente fi cam disponíveis para esse procedimento, mais de um paciente pode ser atendido por vez.

5. Mista. Dentro dessa categoria mais geral, consideraremos duas subcategorias: 1. estruturas de canal múltiplo a único e 2. estruturas de caminhos alternativos. De acordo com (1), encontramos fi las que podem ser combinadas em uma para serviço de fase única, como em uma ponte em que duas pistas con-vergem em uma, ou fi las que se combinam em uma para serviços em canais múltiplos, como em fi las de submontagem alimentando uma fi la principal. No caso (2), temos duas estruturas que diferem em termos de exigências de fl uxo direcional. A primeira é semelhante ao caso canais múltiplos — fases múltiplas, com exceção de que a. pode haver mudança de um canal para o próximo depois que o primeiro serviço foi pres-tado e b. o número de canais e fases pode variar — novamente — depois da execução do primeiro serviço.

SAÍDADepois que um cliente é atendido, há duas possibilidade de saída: 1. O cliente pode retornar à popu-lação de origem e se tornar imediatamente um candidato concorrente para o serviço novamente ou 2. pode haver uma baixa probabilidade de novo atendimento. O primeiro caso pode ser ilustrado por uma máquina que tenha sido constantemente consertada e retornada à operação, mas pode quebrar

Estrutura Canais múltiplos

Mista

ÚnicaFase única

Fase única

Fases múltiplas

Fase única

Fases múltiplas

Fases múltiplas

Canal múltiplo a único

Caminhos alternativos como:

Estruturas das Filas fi gura NT7.7


novamente; o segundo pode ser ilustrado por uma máquina que foi vistoriada ou modifi cada e apre-senta baixa probabilidade de obter um novo serviço em um futuro próximo. Analogicamente, pode-mos nos referir ao primeiro como um “caso de resfriado recorrente” e ao segundo como um “caso único de cirurgia de retirada de apêndice”.

MODELOS DE FILA DE ESPERA

Nesta seção, apresentaremos quatro problemas de fi las de espera para fi ns de demons-tração, juntamente com as respectivas soluções. Cada um possui uma estrutura um pouco diferente (ver Figura NT7.8) e a equação da solução (ver Figura NT7.10). Existem outros tipos de modelos além desses quatro, mas as fórmulas e soluções se tornam muito complicadas e esses problemas, em geral, são solucionados utilizando-se a simulação por computador (ver Nota Técnica 17). Além disso, ao utilizar essas fórmulas, lembre-se que são fórmulas derivadas da suposição de que o processo em estudo é contínuo e está em equilíbrio (estado estacionário). Por isso, podem oferecer resultados ine-xatos quando aplicadas a processos em que as taxas de chegadas e/ou taxas de atendimento mudam ao longo do tempo. A Planilha Excel QueueModel.xls, desenvolvida por John McClain da Cornell University e incluída no DVD-ROM, pode ser usada para solucionar esses problemas.

Vejamos uma rápida introdução dos nossos quatro problemas para ilustrar cada um dos quatro modelos de fi la de espera nas Figuras NT 7.8 e NT 7.10. A Figura NT 7.9 defi ne as notações usadas na Figura NT 7.10.

Problema 1: Clientes na fi la. Um banco deseja saber quantos clientes esperam no caixa do guichê drive-through, quanto tempo precisam esperar, qual é a utilização do caixa e qual teria de ser a taxa de atendimento para que em 95% do tempo não haja mais que três carros no sistema em qualquer horário.Problema 2: Seleção de equipamentos. Uma franquia da Robot Car Wash precisa decidir qual equipamento comprar a partir de três opções. Unidades maiores custam mais, mas lavam os carros com mais rapidez. Para tomar a decisão, os custos estão relacionados à receita.

Deve fi car evidente que, quando a população de origem é fi nita, qualquer modifi cação no serviço realizado para os clientes que retornam à população modifi ca a taxa de chegada no estabelecimento da prestação do serviço. Isso obviamente altera as características da fi la de espera em estudo e requer uma nova análise do problema.

fi gura NT7.8 Propriedades de Alguns Modelos Específi cos de Filas de Espera

FASE DO POPULAÇÃO PADRÃO DE DISCIPLINA DA PADRÃO DO COMPRIMENTO EXEMPLO MODELO LAYOUT SERVIÇO DE ORIGEM CHEGADA FILA SERVIÇO ADMISSÍVEL DA FILA TÍPICO

1 Canal único Única Infinita Poisson Atendimento Exponencial Ilimitado Caixa drive-through de por ordem um banco; pedágio de chegada com uma pista

2 Canal único Única Infinita Poisson Atendimento Constante Ilimitado Passeios de montanha- por ordem russa em parque de chegada de diversões

3 Canal múltiplo Única Infinita Poisson Atendimento Exponencial Ilimitado Balcão de peças em por ordem concessionária de de chegada automóveis

4 Canal único Única Finita Poisson Atendimento Exponencial Ilimitado Pane e conserto de por ordem máquina na fábrica de chegada

Excel: Fila

Baixa probabilidade denovo atendimento

Retorno à população de origem

Saída


Problema 3: Determinação do número de atendentes. O departamento de peças de uma con-cessionária precisa decidir quantos atendentes fi carão no balcão. Mais funcionários custam mais dinheiro, mas geram economia porque os mecânicos esperam menos tempo.Problema 4: População de origem fi nita. Enquanto os modelos vistos anteriormente supõem uma grande população, a fi la fi nita emprega um conjunto distinto de equações para os casos em

Notações das Equações (Figura NT 7.10) fi gura NT7.9

NOTAÇÃO PARA FILAS INFINITAS: MODELOS 1 A 3 NOTAÇÃO PARA FILAS FINITAS: MODELO 4

λ � Taxa de chegada D � Probabilidade de uma chegada esperar na fila

μ � Taxa de atendimento F � Fator de eficiência, uma medida do efeito de ter de esperar na fila

1μ

� Tempo médio do serviço

H � Número médio de unidades sendo atendidas

1λ

� Tempo médio entre as chegadas

J � População de origem menos aquela no sistema de filas (N — n)

ρ � Razão da taxa total de chegada pela taxa de atendimento para

L � Número médio de unidades na fila

um único atendente λ

μ�*�

S � Número de canais de serviço

Lq � Número médio em espera na fila

n � Número médio de unidades no sistema de filas (incluindo a que

Ls � Número médio no sistema (incluindo algum sendo atendido)

está sendo atendida)

N � Número de unidade na população de origem

Wq � Tempo médio de espera na fila

Pn � Probabilidade de exatamente n unidades no sistema de filas

Ws � Tempo médio total no sistema (incluindo o tempo para ser atendido)

T � Tempo médio para execução do serviço

n � Número de unidades no sistema

U � Tempo médio entre as exigências de serviço dos clientes

S � Número de canais idênticos de serviço

W � Tempo médio de espera na fila

Pn � Probabilidade de exatamente n unidades no sistema

X � Fator de serviço ou proporção do tempo de serviço necessário

Pw � Probabilidade de espera na fila

* Para filas de atendente único, isso equivale à utilização.

Equações Usadas para Solucionar os Problemas de Quatro Modelos fi gura NT7.10

Modelo1

Lq �λ2

μ ( μ � λ)

Lq �λ

μ � λ�

Modelo2

Ls �λ2

2μ ( μ � λ)

Ls � Lq �λμ

�(A Figura NT7.11 apresenta o valor de Lq considerando λ/μ e o número de atendentes S.)

Wq �Lq

λ

Wq �Lq

λ� �

λμ

(NT7.3)

Modelo3

Ls � Lq � λ /μ

Wq � Lq /λ�Ws � Ls /λ

Wq �Lq

λ

Ws �Ls

λ

(NT7.4)

(NT7.5)

O Modelo 4 é uma situação de fila finita que é solucionada mais facilmente usando-se as tabelas finitas. Essas tabelas, por sua vez, exigem a manipulação de termos específicos.

Modelo4

X �T

T � U

Pn �N!

(N � n)!� (NT7.6)X nPo

W �L (T � U)

N � L�

LTH

H � FNX L � N (1 � F )

L � NF (1 � X )

F �T � U

T � U � W

n � L � H

Pn �λμ� λ

μ1 �n

�� Po �λμ�1 � �

Pw �LqS μ

λ� � 1 �


que a população solicitante é pequena. Neste último problema, o mecânico deve atender quatro máquinas de tecelagem para mantê-as em operação. Com base nos custos associados à inativação das máquinas e nos custos dos mecânicos para atendê-las, o problema está em decidir quantos mecânicos escalar.

EXEMPLO NT7.1: CLIENTES NA FILA

O Western National Bank está pensando em abrir um guichê drive-through para atender a seus clientes. A gerência estima que os clientes chegarão a uma razão de 15 por hora. O caixa que vai ocupar o guichê consegue atender os clientes a uma razão de um a cada três minutos.

Parte 1 Supondo chegadas Poisson e serviço exponencial, descubra

1. A utilização do caixa. 2. O número médio na fi la de espera. 3. O número médio no sistema. 4. O tempo médio de espera na fi la. 5. O tempo médio de espera no sistema, incluindo serviço.

SOLUÇÃO — Parte 1 1. A utilização média do caixa é (usando o Modelo 1)

� 75%� �λμ �

1520

2. O número médio na fi la de espera é

Lq �λ2

μ ( μ � λ) �(15)2

20(20 � 15) � 2,25 clientes

3. O número médio no sistema é

Ls �λ2

μ � λ �15

20 � 15 � 3 clientes

4. O tempo médio de espera na fi la é

Wq �Lq

λ �2,2515 � 0,15 hora ou 9 minutos

5. O tempo médio de espera no sistema é

Ws �Ls

λ �315 � 0,2 hora ou 12 minutos

EXEMPLO NT7.1 (Continuação) Parte 2 Em virtude da disponibilidade limitada de espaço e do desejo de oferecer um nível aceitável de serviço, o gerente do banco gostaria de garantir, com 95% de certeza, que o número máximo de carros no sistema será de três em qualquer horário. Qual é o nível atual de serviço, para o limite de três carros? Qual nível de utilização do caixa deve ser alcançado, e qual deve ser a taxa de atendimento do caixa para assegurar o nível de serviço de 95%?

SOLUÇÃO — Parte 2 O nível atual de serviço para três carros ou menos é a probabilidade de que existam 0, 1, 2 ou 3 carros no sistema. Pelo Modelo 1, da Figura NT 7.10,

Pn �λμ� λ

μ�1 �n

� �

Excel: Queue.xls

Serviço


para n � 0, P0 � (1 � 15/20) (15/20)0 � 0,250para n � 1, P1 � (1/4) (15/20)1 � 0,188para n � 2, P2 � (1/4) (15/20)2 � 0,141para n � 3, P3 � (1/4) (15/20)3 � 0,105 0,684 ou 68,5%

A probabilidade de haver mais de três carros no sistema é 1,0 menos a probabilidade de três carros ou menos (1,0 – 0,685 � 31,5 %).

Para um nível de serviço de 95% para três carros ou menos, isso signifi ca que P0 � P1 � P2 � P3 � 95%.

� � �� 0,95 � λμ

λμ1 �

0

�λμ� λ

μ � �λμ� λ

μ�1 �3λ

μλμ1 �

2

1 �1

� � � � � � � �

��0,95 � λμ1 � λ

μ� λμ�

λμ�

3

1 �2

��

Podemos solucionar isso por tentativa e erro para os valores de λ/μ. Se λ/μ � 0,50.

0,95 � 0,5(1 � 0,5 � 0,25 � 0,125)

0,95 � 0,9375

Para λ/μ � 0,45

0,95 � (1 � 0,45)(1 � 0,45 � 0,203 � 0,091)

0,95 � 0,96

Para λ/μ � 0,47

0,95 � (1 � 0,47)(1 � 0,47 � 0,221 � 0,104) � 0,9512

0,95 � 0,95135

Portanto, com a utilização de р � λ/μ de 47%, a probabilidade de existirem três carros ou menos no sistema é de 95%.

Para descobrir a taxa de atendimento necessária para alcançar esse nível de serviço de 95%, simplesmente solucionamos a equação λ/μ � 0,47, em que λ � número de chegadas por hora. Isso fornece μ � 32 por hora. Isto é, o caixa deve atender aproximadamente 32 pessoas por hora (um aumento de 60% em relação à capacidade original de 20 por hora) para 95% de confi ança de que no máximo três carros estarão no sistema. Talvez o serviço possa ser agilizado modifi cando-se seu método, acrescentando outro caixa ou restringindo os tipos de transações disponíveis no guichê drive-through. Observe que, com a condição da confi ança de 95% de que três carros ou menos estarão no sistema, o caixa fi cará ocioso 53% do tempo.

EXEMPLO NT7.2: SELEÇÃO DE EQUIPAMENTOS

A Robot Company possui franquias de postos de combustível e lavagem de carros nos Estados Unidos. A Robot oferece uma lavagem como cortesia para quem enche o tanque ou, apenas pela lavagem, cobra US$ 0,50. A experiência mostra que o número de clientes que ganham as lavagens após encher o tanque é quase igual ao de apenas lavagens. O lucro médio sobre um abastecimento é de cerca de US$ 0,70, e o custo da lavagem para a Robot é de US$ 0,10. A Robot funciona 14 horas por dia.

A Robot possui três unidades de força e estações de lavagem, e o franqueado deve selecionar a unidade que mais lhe convém. A unidade I consegue lavar os carros à taxa de um a cada cinco minutos e é alugada por US$ 12 por dia. A unidade II, maior, consegue lavar os carros à taxa de um a cada quatro minutos, mas custa US$ 16 por dia. A unidade III, a maior de todas, custa US$ 22 por dia e consegue lavar um carro em três minutos.

O franqueado estima que os clientes fi carão na fi la por no máximo cinco minutos para lavar o carro. Mais tempo do que isso fará que a Robot perca a venda da gasolina e da lavagem.

Excel: Queue.xls

Serviço


Se a estimativa de chegadas de clientes que resultam em lavagens é de 10 por hora, qual unidade deve ser escolhida?

SOLUÇÃOUsando a unidade I, calcule o tempo médio de espera dos clientes na fi la para lavagem (μ para a unidade 1 � 12 por hora). Com as equações do Modelo 2 (Figura NT7.10).

Lq �λ2

2μ(μ � λ) �102

2(12)(12 � 10) � 2,08333

Wq �Lq

λ �2,08333

10 � 0,208 hora ou 12 12 minutos

Para a unidade II a 15 por hora,

Lq �

102

2(15)(15 � 10) � 0,667

Wq �

0,66710 � 0,0667 hora ou 4 minutos

Se o tempo de espera for o único critério, a unidade II deve ser a escolhida. Mas, antes de tomarmos a deci-são fi nal, devemos observar o diferencial de lucro entre ambas as unidades.

Com a unidade I, alguns clientes iriam desistir e abandonar o local em razão da espera de 12 12 minutos. E,

embora isso complique bastante a análise matemática, podemos obter alguma estimativa de perda de vendas com a unidade I aumentando Wq � 5 minutos ou 1

2 hora (a duração média de tempo que os clientes vão esperar) e solucionando λ. Isso seria a taxa efetiva de chegada dos clientes:

Wq �

Lq

λ �λ2/2μ(μ � λ)

λ� �

Wq �

λ2μ(μ � λ)

λ � 2Wqμ2

1 � 2Wqμ�

2 � 12 (12)2

1 � 2� 12 (12)��

Portanto, como a estimativa original de λ era de 10 por hora, estima-se que dois clientes por hora serão perdi-dos. Lucro perdido de 2 clientes por hora � 14 horas � 1

2 (US$ 0,70 lucro abastecimento � US$ 0,40 lucro da lavagem) � US$ 15,40 por dia.

Como o custo adicional da unidade II em relação à unidade I é de apenas US$ 4 por dia, a perda de US$ 15,40 em lucro obviamente garante a instalação da unidade II.

A restrição inicial de espera máxima de cinco minutos é satisfeita pela unidade II. Portanto, a unidade III não é considerada a menos que se espere que a taxa de chegadas aumente.

EXEMPLO NT7.3: DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE ATENDENTES

No departamento de serviços da Glenn-Mark Agency, os mecânicos que precisam de peças para o conserto de automóveis ou serviços apresentam formulários de solicitação no balcão do departamento de peças. O funcio-nário da área de peças preenche uma requisição enquanto o mecânico espera. Os mecânicos chegam de maneira aleatória (Poisson) à taxa de 40 por hora e um funcionário consegue preencher as requisições à taxa de 20 por hora (exponencial). Se o custo do funcionário de peças é de US$ 6 por hora e o custo do mecânico é de US$ 12 por hora, determine o número ótimo de funcionários para atendimento no balcão. (Como a taxa de chegadas é alta, é possível assumir uma origem infi nita).

SOLUÇÃOEm primeiro lugar, suponha que três funcionários serão escalados porque apenas um ou dois resultariam em fi las infi nitamente longas (pois λ � 40 e μ � 20). As equações do Modelo 3 da Figura NT7.10 serão usadas aqui.

Excel: Queue.xls

Serviço


Mas, primeiro, precisamos obter o número médio na fi la, utilizando a tabela da Figura NT7.11. Usando a tabela e os valores λ/μ � 2 e S � 3, obtemos Lq � 0,8888 mecânico.

Neste ponto, vemos que possuímos uma média de 0,8888 mecânico esperando ao longo de todo o dia. Para um dia de oito horas, a US$ 12 por hora, há um desperdício do tempo do mecânico equivalente a 0,8888 mecâ-nico � US$ 12 por hora � 8 horas � US$ 85,32.

Nossa próxima etapa é obter novamente o tempo de espera se adicionarmos outro funcionário de peças. Então, comparamos o custo adicional do funcionário extra com o tempo economizado pelos mecânicos. Novamente, usando a tabela da Figura NT7.11, mas com S � 4, temos

Lq � 0,1730 mecânico na fi la

0,1730 � US$ 12 � 8 horas � custo de US$ 16,61 de um mecânico esperando na fi la

Valor do tempo economizado do mecânico é US$ 85,32 � US$ 16,61 � US$ 68,71

Custo de um funcionário adicional no setor de peças é de 8 horas � US$ 6/hora � 48,00

Custo da redução adicionando um quarto funcionário � US$ 20,71

Esse problema poderia ser expandido para considerar a adição de funcionários encarregados da entrega de peças aos mecânicos; o problema então seria determinar o número ótimo de entregadores. Isso, no entanto, teria de incluir o custo adicional do tempo perdido com erros no recebimento da peças. Por exemplo, um mecânico reconheceria uma peça errada no balcão e obteria a correção imediata, ao passo que os entregadores de peças não teriam essa capacidade.

EXEMPLO NT7.4: POPULAÇÃO DE ORIGEM FINITA

Estudos de um grupo de quatro máquinas da tecelagem Loose Knit revelaram que, em média, cada máquina precisa de ajustes a cada hora, e que o operador atual demora uma média de 7 1

2 minutos por ajuste. Supondo chegadas Poisson, serviço exponencial e um custo de tempo ocioso da máquina de US$ 40 por hora, determine se um segundo operador de máquina (que também demora 7 1

2 minutos por ajuste) deveria ser contratado pela taxa de US$ 7 por hora.

SOLUÇÃOEste é um problema de fi las fi nitas que pode ser solucionado utilizando tabelas de fi las fi nitas. (Ver Figura NT7.12.) A abordagem a esse problema é comparar o custo de inativação da máquina (seja esperando na fi la ou sendo atendida) e um operador, ao custo de inativação da máquina e dois operadores. Isso pode ser feito descobrindo o número médio de máquinas que estão no sistema de serviço e multiplicando esse número pelo custo de inati-vação por hora. Para isso adicionamos o custo dos operadores.

Antes de prosseguirmos, vamos primeiro defi nir alguns termos:

N � Número de máquinas na população

S � Número de operadores

T � Tempo necessário para consertar uma máquina

U � Tempo médio de operação de uma máquina até que precise do serviço

X � Fator de serviço ou proporção do tempo do serviço necessário para cada máquina (� � T/(T � U))

L � Número médio de máquinas esperando na fi la para serem consertadas

H � Número médio de máquinas sendo consertadas

Os valores a serem determinados a partir das tabelas fi nitas são

D � Probabilidade de que uma máquina precisando de serviço precise esperar

F � Fator de efi ciência, que mede o efeito de ter de esperar na fi la para ser atendido

As tabelas são organizadas de acordo com três variáveis: N, tamanho da população; X, fator de serviço; e S, o número de canais de serviço (operadores neste problema). Para procurar um valor, encontre primeiro a tabela para o tamanho N correto. Então, pesquise a primeira coluna para o X apropriado e, fi nalmente, encontre a fi la

Excel: Queue.xls

Serviço


fi gura NT7.11 Número Esperado de Pessoas Esperando na Fila (Lq) para Diversos Valores de S e λ/μ

NÚMERO DE CANAIS DE SERVIÇO, S

λ / μ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0,10 0,01110,15 0,0264 0,00060,20 0,0500 0,00200,25 0,0833 0,00390,30 0,1285 0,00690,35 0,1884 0,01100,40 0,2666 0,01660,45 0,3681 0,0239 0,0019 0,50 0,5000 0,0333 0,0030 0,55 0,6722 0,045 0,0043 0,60 0,9090 0,0593 0,0061 0,65 1,2071 0,0767 0,0084 0,70 1,6333 0,0976 0,0112 0,75 2,2500 0,1227 0,0147 0,80 3,2000 0,1523 0,0189 0,85 4,8165 0,1873 0,0239 0,0031 0,90 8,1000 0,2285 0,0300 0,0041 0,95 18,0500 0,2767 0,0371 0,0053

1,0 0,3333 0,0454 0,0067 1,2 0,6748 0,0940 0,0158 1,4 1,3449 0,1778 0,0324 0,00591,6 2,8441 0,3128 0,0604 0,01211,8 7,6731 0,5320 0,1051 0,0227 0,00472,0 0,8888 0,1730 0,0390 0,00902,2 1,4907 0,2770 0,066 0,01582,4 2,1261 0,4205 0,1047 0,0266 0,00652,6 4,9322 0,6581 0,1609 0,0425 0,01102,8 12,2724 1,0000 0,2411 0,0659 0,0180

3,0 1,5282 0,3541 0,0991 0,0282 0,00773,2 2,3855 0,5128 0,1452 0,0427 0,01223,4 3,9060 0,7365 0,2085 0,0631 0,01893,6 7,0893 1,0550 0,2947 0,0912 0,0283 0,00843,8 16,9366 1,5181 0,4114 0,1292 0,0412 0,0127

4,0 2,2164 0,5694 0,1801 0,0590 0,01894,2 3,3269 0,7837 0,2475 0,0827 0,0273 0,00874,4 5,2675 1,0777 0,3364 0,1142 0,0389 0,01284,6 9,2885 1,4857 0,4532 0,1555 0,0541 0,01844,8 21,6384 2,0708 0,6071 0,2092 0,0742 0,0260

5,0 2,9375 0,8102 0,2785 0,1006 0,0361 0,01255,2 4,3004 1,0804 0,3680 0,1345 0,0492 0,01755,4 6,6609 1,4441 0,5871 0,1779 0,0663 0,0243 0,00855,6 11,5178 1,9436 0,6313 0,2330 0,0683 0,0330 0,01195,8 26,3726 2,6481 0,8225 0,3032 0,1164 0,0443 0,0164

6,0 3,6878 1,0707 0,3918 0,1518 0,0590 0,02246,2 5,2979 1,3967 0,5037 0,1964 0,0775 0,0300 0,01136,4 8,0768 1,8040 0,6454 0,2524 0,1008 0,0398 0,01536,6 13,7992 2,4198 0,8247 0,3222 0,1302 0,0523 0,02056,8 31,1270 3,2441 1,0533 0,4090 0,1666 0,0679 0,0271 0,0105

7,0 4,4471 1,3471 0,5172 0,2119 0,0876 0,0357 0,01417,2 6,3133 1,7288 0,6521 0,2677 0,1119 0,0463 0,01877,4 9,5102 2,2324 0,8202 0,3364 0,1420 0,0595 0,0245 0,00977,6 16,0379 2,9113 1,0310 0,4211 0,1789 0,0761 0,0318 0,01297,8 35,8956 3,8558 1,2972 0,5250 0,2243 0,0966 0,0410 0,0168

8,0 5,2264 1,6364 0,6530 0,2796 0,1214 0,0522 0,02208,2 7,3441 2,0736 0,8109 0,3469 0,1520 0,0663 0,02838,4 10,9592 2,6470 1,0060 0,4288 0,1891 0,0834 0,03618,6 18,3223 3,4160 1,2484 0,5236 0,2341 0,1043 0,04598,8 40,6824 4,4805 1,5524 0,6501 0,2885 0,1208 0,0577

9,0 6,0183 1,9366 0,7980 0,3543 0,1603 0,07239,2 8,3869 2,4293 0,9788 0,4333 0,1974 0,08999,4 12,4183 3,0732 1,2010 0,5267 0,2419 0,11119,6 20,6160 3,9318 1,4752 0,5437 0,2952 0,13679,8 45,4769 5,1156 1,8165 0,7827 0,3699 0,16731

10 6,8210 2,2465 0,9506 0,4352 0,2040


Tabelas de Filas Finitas fi gura NT7.12

POPULAÇÃO 4

X S D F X S D F X S D F

0,015 1 0,045 0,999 1 0,479 0,899 0,400 3 0,064 0,9920,022 1 0,066 0,998 0,180 2 0,088 0,991 2 0,372 0,9150,030 1 0,090 0,997 1 0,503 0,887 1 0,866 0,5950,034 1 0,102 0,996 0,190 2 0,098 0,990 0,420 3 0,074 0,9900,038 1 0,114 0,995 1 0,526 0,874 2 0,403 0,9030,042 1 0,126 0,994 0,200 3 0,008 0,999 1 0,884 0,5720,046 1 0,137 0,993 2 0,108 0,988 0,440 3 0,085 0,986

0,048 1 0,143 0,992 0,200 1 0,549 0,862 2 0,435 0,8910,052 1 0,155 0,991 0,210 3 0,009 0,999 1 0,900 0,5510,054 1 0,161 0,990 2 0,118 0,986 0,460 3 0,097 0,9850,058 1 0,173 0,989 1 0,572 0,849 2 0,466 0,8780,060 1 0,179 0,988 0,220 3 0,011 0,999 1 0,914 0,5300,062 1 0,184 0,987 2 0,129 0,984 0,480 3 0,111 0,9830,064 1 0,190 0,986 1 0,593 0,835 2 0,498 0,864

0,066 1 0,196 0,985 0,230 3 0,012 0,999 0,480 1 0,926 0,5110,070 2 0,014 0,999 2 0,140 0,982 0,500 3 0,125 0,980 1 0,208 0,984 1 0,614 0,822 2 0,529 0,8500,075 2 0,016 0,999 0,240 3 0,014 0,999 1 0,937 0,492 1 0,222 0,981 2 0,151 0,980 0,520 3 0,141 0,9760,080 2 0,018 0,999 1 0,634 0,808 2 0,561 0,835 1 0,237 0,978 0,250 3 0,016 0,999 1 0,947 0,475

0,085 2 0,021 0,999 2 0,163 0,977 0,540 3 0,157 0,972 1 0,251 0,975 1 0,654 0,794 2 0,592 0,8200,090 2 0,023 0,999 0,260 3 0,018 0,998 1 0,956 0,459 1 0,265 0,972 2 0,175 0,975 0,560 3 0,176 0,9680,095 2 0,026 0,999 1 0,673 0,780 2 0,623 0,805 1 0,280 0,969 0,270 3 0,020 0,998 1 0,963 0,4430,100 2 0,028 0,999 2 0,187 0,972 0,580 3 0,195 0,964

1 0,294 0,965 1 0,691 0,766 2 0,653 0,7890,105 2 0,031 0,998 0,280 3 0,022 0,99s8 1 0,969 0,429 1 0,308 0,962 2 0,200 0,968 0,600 3 0,216 0,9590,110 2 0,034 0,998 1 0,708 0,752 2 0,682 0,774 1 0,321 0,958 0,290 3 0,024 0,998 1 0,975 0,4150,115 2 0,037 0,998 2 0,213 0,965 0,650 3 0,275 0,944 1 0,335 0,954 1 0,725 0,738 2 0,752 0,734

0,120 2 0,041 0,997 0,300 3 0,027 0,997 1 0,985 0,384 1 0,349 0,950 2 0,226 0,962 0,700 3 0,343 0,9260,125 2 0,044 0,997 1 0,741 0,724 2 0,816 0,695 1 0,362 0,945 0,310 3 0,030 0,997 1 0,991 0,3570,130 2 0,047 0,997 2 0,240 0,958 0,750 3 0,422 0,905 1 0,376 0,941 1 0,756 0,710 2 0,871 0,6570,135 2 0,051 0,996 0,320 3 0,033 0,997 1 0,996 0,333

1 0,389 0,936 2 0,254 0,954 0,800 3 0,512 0,8800,140 2 0,055 0,996 1 0,771 0,696 2 0,917 0,621 1 0,402 0,931 0,330 3 0,036 0,996 1 0,998 0,3120,145 2 0,058 0,995 2 0,268 0,950 0,850 3 0,614 0,852 1 0,415 0,926 1 0,785 0,683 2 0,954 0,5870,150 2 0,062 0,995 0,340 3 0,039 0,996 1 0,999 0,294 1 0,428 0,921 2 0,282 0,945 0,900 3 0,729 0,821

0,155 2 0,066 0,994 1 0,798 0,670 2 0,979 0,555 1 0,441 0,916 0,360 3 0,047 0,994 0,950 3 0,857 0,7860,160 2 0,071 0,994 2 0,312 0,936 2 0,995 0,526 1 0,454 0,910 1 0,823 0,6440,165 2 0,075 0,993 0,380 3 0,055 0,993 1 0,466 0,904 2 0,342 0,9260,170 2 0,079 0,993 1 0,846 0,619


para S. A seguir, leia D e F. (Além desses valores, outras características sobre o sistema de fi las fi nitas podem ser encontradas usando-se as fórmulas fi nitas.)

Para solucionar o problema, considere o Caso I com um operador e o Caso II com dois operadores.Caso I: Um operador. Conforme o enunciado do problema.

N � 4

S � 1

T � 7 12 minutos

U � 60 minutos

X � TT � U �

7,57,5 � 60 � 0,111

Pela Figura NT7.12, que mostra a tabela N � 4, F é interpolado como aproximadamente 0,957 em X � 0,111 e S � 1.

O número de máquinas esperando na fi la para serem consertadas é L, em que

L � N (1 � F) � 4(1 � 0,957) � 0,172 máquina

O número de máquinas sendo consertadas é H, no qual

H � FNX � 0,957(4)(0,111) � 0,425 máquina

A Figura NT7.13 mostra o custo resultante do tempo inativo da máquina e o custo do operador. Caso II: Dois operadores. Pela Figura NT7.12, em X � 0,111 e S � 2, F � 0,998.O número de máquinas esperando na fi la, L, é

L � N (1 � F) � 4(1 � 0,998) � 0,008 máquina

O número de máquinas sendo consertadas, H, é

H � FNX � 0,998(4) (0,111) � 0,443 máquina

Os custos de inativação das máquinas e dos dois operadores são exibidos na Figura NT7.13. A última coluna dessa fi gura mostra que manter apenas um reparador é a melhor escolha.

fi gura NT7.13 Comparação dos Custos dos Tempos de Inativação do Serviço e Reparo de Quatro Máquinas

NO DE OPERADORES NO DE MÁQUINAS INATIVAS CUSTO POR HORA DAS CUSTO DOS CUSTO TOTAL

(H � L) MÁQUINAS INATIVAS OPERADORES POR HORA

[(H � L) X US$ 40/HORA] (US$ 7/HORA CADA UM)

1 0,597 US$ 23,88 US$ 7,00 US$ 30,88

2 0,451 18,04 14,00 32,04

CÁLCULO APROXIMADO DO TEMPO DE ESPERA DO CLIENTE2

Boas notícias para os gerentes. Basta encontrar o desvio médio e o desvio-padrão para calcular o tempo médio de espera! Nada como boas pesquisas para se chegar a uma aproximação matemática “rápida e improvisada” dos modelos de fi las ilustrados anteriormente na nota técnica. O interessante sobre a aproximação é que ela não parte de uma taxa de chegada ou distribuição de ser-viço específi co. Basta termos o desvio médio e o desvio-padrão do tempo entre chegadas e o tempo do serviço. Não pretendemos esgotar o leitor com todos os detalhes de como as aproximações se derivaram, mas apenas demonstrar como usar as fórmulas.

Em primeiro lugar, será necessário reunir alguns dados sobre o tempo do serviço. O tempo do serviço é a quantidade de tempo gasta para atender a cada cliente. Não se esqueça de que vai reunir os


dados durante um período que representa consideravelmente o suas expectativas sobre o período com o qual está se deparando. Por exemplo, se quiser saber quantos caixas de banco você deveria manter para atender a seus clientes na sexta-feira perto do horário de almoço, reúna os dados referentes a esse período. Isso vai assegurar que as transações sendo realizadas sejam semelhantes àquelas que você terá futuramente. Você pode utilizar um cronômetro para contar quanto tempo se leva para atender a cada cliente. Usando esses dados, calcule a média e o desvio-padrão do tempo do serviço.

Lembre de que, na estatística, a média é

[NT7.7]

X ��i�1

N

x1�N

em que xi � valor observado e N � número total de valores observados.O desvio-padrão é

S ��i�1

N

(x1�X )2

N � 1

A seguir, anote os dados sobre a quantidade de tempo entre as chegadas de cada novo cliente durante o período que está estudando. Isso é denominado tempo entre chegadas. Com esses dados em mãos, calcule o desvio médio e o desvio-padrão do tempo entre chegadas. A partir desses cálculos, temos

Xs � Tempo médio do serviço

Xa � Tempo médio entre chegadas

Ss � Desvio-padrão da amostra do tempo do serviço

Sa � Desvio-padrão da amostra do tempo entre chegadas

Em seguida, defi na o seguinte:

Cs � Coefi ciente de variação do tempo do serviço

Ss

Xs

�

Ca � Coefi ciente de variação do tempo entre chegadas

Sa

Xa

�

λ � taxa de chegadas de clientes

1Xa

�

μ � Taxa de atendimento do cliente

1Xs

�

Agora, podemos calcular algumas estatísticas sobre nosso sistema. Primeiro, defi na S como o número de atendentes que pretendemos usar. Então,

ρ � Utilização dos atendentes λSμ

�

Lq � Comprimento esperado da fi la de espera � �� 2(S � 1)

1 � �

C2 � C2

2a a

Ls � Número esperado de pessoas no sistema � Lq � Sρ

Wq � Tempo estimado de espera na fi la Lq

λ

�

Ws � Tempo esperado no sistema Ls

λ�

A utilização (ρ) é a porcentagem de tempo em que se espera que os atendentes estejam ocupados. Muitas vezes as empresas que oferecem serviços de alto nível estabelecem esse número entre 70% e


80% dependendo da quantidade de variância existente nas taxas de chegada e atendimento do cliente. Lq é o comprimento esperado da fi la, e Wq quanto tempo se estima que o cliente vai esperar na fi la. Ls e Ws são o número esperado de clientes no sistema e o tempo esperado de um cliente no sistema. Essas estatísticas consideram que o número total de clientes e o tempo total de espera devem incluir aqueles que já estão de fato sendo atendidos.

EXEMPLO NT7.5: APROXIMAÇÃO NOS CÁLCULOS DA FILA DE ESPERA

Vamos considerar o exemplo de uma central de atendimento que recebe pedidos para uma empresa de serviços pelo correio. Durante o período de pico, o tempo médio entre as chamadas (Xa) é de 0,5 minuto, com desvio-padrão (Sa) de 0,203 minuto. O tempo médio de atendimento a uma chamada (Xs) é de 4 minutos, e o desvio-padrão do tempo do serviço (Ss) é de 2,5 minutos. Se a central de atendimento estiver usando nove operadores para atender às chamadas, quanto tempo se estima que o cliente vai esperar para ser atendido? Qual seria o impacto de adicionar mais um operador?

SOLUÇÃOWq é o tempo estimado para que um cliente espere até ser atendido. A melhor maneira de efetuar esse cálculo é com uma planilha. A planilha “Queue_Models.xls” do DVD-ROM pode ser usada sem problemas. As seguintes etapas são necessárias para o cálculo do tempo de espera do cliente.

Etapa 1. Calcular a taxa esperada de chegadas de clientes (λ), taxa de atendimento por atendente (μ), coefi -ciente de variação do tempo entre chegadas (Ca) e do tempo do serviço (Cs ).

�1Xa

λ �1

0,5

� 2 clientes por minuto

�1Xs

μ �

14

� 0,25 cliente por minuto

Ca �Sa

Xa

�0,2030,5

� 0,406

Cs �Ss

Xs

�2,54

� 0,625

Etapa 2. Calcular a utilização esperada do atendente (σ).

29 � 0,25

� � λSμ

� � 0,888889 (Espera-se que os operadores estejam ocupados durante 89% do tempo)

Etapa 3. Calcular o número estimado de pessoas em espera (Lq) e a duração da espera (Wq).

�� 2(S � 1)

1 � �

C2 � C2

2a s

Lq � �0,8888892(9 � 1)

1 � 0,8888890,4062 � 0,6252

2� � 1,476064 cliente

(Esse é o número de clientes que estimamos que estarão em espera)

Lq

λWq � �1,476064

2 � 0,738032 minuto

Em média, estimamos que os clientes esperem 44 segundos (0,738032 � 60) até conseguirem falar com um atendente.Para dez operadores, o cálculo se dá desta maneira:

210 � 0,25

� � λSμ

� � 0,8 (Espera-se que os operadores estejam ocupados durante 80% do tempo)

�� 2(S � 1)

1 � �

C2 � C2

2a s

Lq � �0,82(10 � 1)

1 � 0,80,4062 � 0,6252

2� � 0,487579 cliente

Lq

λWq � �0,487579

2� 0,24379 minuto

Com dez operadores, o tempo de espera é cortado em um terço para 14,6 segundos. Se você adicionar dois ope-radores (elevando o total para 11), o tempo de espera na fi la será de 6,4 segundos. A adição do primeiro operador extra exerce um impacto signifi cativo no tempo de espera do cliente.

Excel: Queue.xls


Essa aproximação é útil para diversas situações típicas de fi las. É fácil implementá-la usando uma planilha como a “Queue_Models.xls”, incluída no DVD-ROM disponível na Editora. Lembre-se que a aproximação parte do pressuposto de que a população a ser atendida é grande, e que os clientes chegam um por vez. A aproximação pode ser útil para uma análise rápida da situação das fi las de espera.

SIMULAÇÃO COMPUTADORIZADA DAS FILAS DE ESPERA

Alguns problemas relacionados às fi las de espera, que parecem simples em primeira aná-lise, acabam se tornando extremamente difíceis ou impossíveis de solucionar. Ao longo desta seção, tratamos das situações de fi las de espera que são independentes; isto é, ou o sistema inteiro consiste em uma fase única, ou cada serviço realizado em uma série é independente. (Isso poderia acontecer se a produção de um local de serviço puder ser acumulada na frente da próxima de modo que isso, basicamente, torne-se uma população solicitante para o próximo serviço.) Quando uma série de ser-viços é realizada em uma seqüência em que a taxa de produção de uma se torna a taxa de entrada da próxima, fi ca inviável utilizar fórmulas simples. Isso também é válido para qualquer problema em que as condições não atendem às exigências das equações, conforme especifi cado na Figura NT7.9. A técnica mais adequada para solucionar esse tipo de problema é a simulação computadorizada. Trataremos o tópico de modelagem e simulação na Nota Técnica 17.

CONCLUSÃO

Os problemas ligados às fi las de espera desafi am e frustram aqueles que tentam solucio-ná-los. O objetivo básico é equilibrar o custo da espera com o custo da adição de mais recursos. Para um sistema de serviços, isso signifi ca que a utilização de um atendente pode ser consideravelmente baixa para proporcionar um tempo de espera curto ao cliente. Uma das principais preocupações ao lidar com esses problemas é qual procedimento ou regra de prioridade usar para selecionar o próximo produto ou cliente a ser atendido.

Muitos problemas com fi las parecem simples até haver uma tentativa de solucioná-los. Esta nota técnica tratou dos problemas mais simples. Quando a situação se torna mais complexa, quando há fases múltiplas ou os serviços são realizados apenas em uma seqüência determinada, a simulação computadorizada é necessária para que se obtenha a solução ótima.

P A L A V R A S - C H A V E

Fila – Uma linha de pessoas, tarefas, objetos etc. em espera.

Sistema de organização de fi las – Consiste em três componentes principais: 1. a população de origem e a forma como os clientes chegam ao sistema, 2. os sistemas de atendimento e 3. como os clientes deixam ou saem do sistema.

Taxa de chegada – O número esperado de clientes que chegam a cada período.

Distribuição exponencial – Uma distribuição de probabilidade associa-da muitas vezes aos tempos entre chegadas.

Distribuição de Poisson – Uma distribuição de probabilidade usada muitas vezes para descrever o número de chegadas durante determinado período.

Taxa de atendimento – A capacidade de um atendente, medida em número de unidades que podem ser processadas ao longo de determinado período.

R E V I S Ã O D E F Ó R M U L A S

Distribuição exponencial

[NT7.1] f (t) � λe�λt

Distribuição de Poisson

[NT7.2] (λT)n e�λT

n!PT (n) �


Modelo 1 (Ver Figura NT7.10)

Lq �λ2

μ ( μ � λ) Wq �Lq

λ Pn �λμ� λ

μ1 � n

�� Po �λμ�1 � �

[NT7.3]

Ls �λ

μ � λ Ws �Ls

λ ρ � λμ

Modelo 2

Lq �λ2

2μ ( μ � λ) Wq �

Lq

λ

[NT7.4]

Ls � Lq �λμ Ws �

Ls

λModelo 3

Ls � Lq � λ /μ Wq � Lq /λ

[NT7.5]

Wq � Lq /λ Pw �LqS μ

λ� � 1 �Modelo 4

X �T

T � U H � FNX L � N F (1 � F ) n � L � H

[NT7.6]

Pn �N!

(N � n)! X n Po L � N F(1 � Fx)

W � L(T � U)N � L �

LTH

F �T �U

T � U � W

Cálculo aproximado do tempo de espera

X ��i � 1

N

xi �N S ��i � 1

N

(xi� X )2

N � 1

Cs �Ss

Xs

Ca �Sa

Xa

�1Xa

λ �1Xs

μ

[NT7.7] � � λSμ

�� 2(S � 1)

1 � �

C2 � C2

2a s

Lq �

LS � Lq � Sρ

Lq

λWq �

LS

λWS �

P R O B L E M A S R E S O L V I D O S

PROBLEMA RESOLVIDO 1 A Quick Lube Inc. opera uma ofi cina de troca rápida de óleo. Em um dia normal, os clientes chegam

à taxa de três por hora, e o trabalho de troca é realizado em uma média de uma a cada 15 minutos. Os mecânicos trabalham em equipe em um carro por vez.

ExcelQueue.xls


ExcelQueue.xls

Supondo chegadas Poisson e serviço exponencial, descubraa. A utilização da equipe de troca de óleo.b. O número médio de carros na fi la.c. O tempo médio que um carro espera para ter o óleo trocado.d. O tempo total gasto para o trajeto por todo o sistema (esperar na fi la e trocar o óleo).

Soluçãoλ � 3, μ � 4a. Utilização λ

μ

��34

� � 75%.

b. Lq �λ2

μ ( μ � λ)32

4( 4 � 3)� �

94

� 2,25 carros na fi la.

c. 2,25

3

Lq

λWq � � � 0,75 hora ou 45 minutos.

d. Ls

λWs � �λ

μ � λ λ �3

4 � 3 3 � 1 hora (espera � troca).

PROBLEMA RESOLVIDO 2A American Vending Inc. (AVI) fornece comida para as máquinas automáticas de uma grande universidade. Como os alunos costumam chutar as máquinas por raiva ou frustração, a gerência enfrenta a necessidade de reparos cons-tantes. Em média três máquinas quebram por hora e as panes são distribuídas no formato Poisson. Os períodos de inativação custam à empresa US$ 25/hora, por máquina, e cada funcionário de manutenção recebe US$ 4 por hora. Um funcionário consegue consertar as máquinas a uma taxa média de cinco por hora, distribuídas exponen-cialmente; dois funcionários trabalhando juntos conseguem dar conta de sete por hora, distribuídas exponencial-mente; e uma equipe de três funcionários consegue reparar oito por hora, distribuídas exponencialmente.

Qual é o tamanho ideal da equipe de manutenção para o reparo das máquinas?

SoluçãoCaso I – Um funcionário

λ � 3/hora Poisson, μ � 5/hora exponencialExiste um número médio de máquinas no sistema de

Ls �λ

μ � λ �3

5 � 3 32� � 1 1

2 máquina

O custo de inativação é de US$ 25 � 1,5 � US$ 37,50 por hora; o custo de reparo é de US$ 4,00 por hora; e o custo total por hora para 1 funcionário é de US$ 37,50 � US$ 4,00 � US$ 41,50.

Inativação (1,5 � US$ 25) � US$ 37,50 Mão-de-obra (1 funcionário � US$ 4) � 4,00

US$ 41,50

Caso II – Dois funcionáriosλ � 3, μ � 7

Ls �λ

μ � λ �3

7 � 3 � 0,75 máquina

Inativação (0,75 � US$ 25) � US$ 18,75 Mão-de-obra (2 funcionários � US$ 4,00) � 8,00

US$ 26,75

Caso III – Três funcionáriosλ � 3, μ � 8

Ls �λ

μ � λ �3

8 � 3 35� � 0,60 máquina

Inativação (0,60 � US$ 25) � US$ 15,00 Mão-de-obra (3 funcionários � US$ 4,00) � 12,00

US$ 27,00

Comparando os custos referentes a um, dois ou três funcionários, podemos concluir que o Caso II, com dois funcionários, é a decisão ideal.


PROBLEMA RESOLVIDO 3 O American Bank possui um único caixa eletrônico (ATM) em um shopping center. Foram reunidos

dados durante um período de pico de uso em um sábado à tarde, e se descobriu que o tempo médio entre as chegadas dos clientes é de 2,1 minutos, com desvio-padrão de 0,8 minuto. Notou-se também que um cliente demora em média 1,9 minuto para concluir uma transação, com desvio-padrão de 2 minutos. Aproximadamente quanto tempo os clientes vão precisar esperar na fi la durante o período de pico?

Solução Etapa 1. Calcular a taxa esperada de chegada de clientes (λ), a taxa de atendimento por atendente (μ), o

coefi ciente de variação para a distribuição de chegadas (Ca) e para a distribuição do serviço (Cs).

�1Xa

λ �1

2,1


�1Xs

μ �1

1,9


Ca �Sa

Xa

�0,82,1

� 0,380952

Cs �Ss

Xs

�2

1,9

� 1,052632

Etapa 2. Calcular a expectativa de utilização esperada pelo atendente (σ).

0,476191 � 0,56316

� � λSμ

� � 0,904762 (Espera-se que os operadores fi quem ocupados 90,5%).

Etapa 3. Calcular o número de pessoas esperando (Lq) e a duração da espera (Wq).

�� 2(S � 1)

1 � �

C2 � C2

2a s

Lq � �0,9047622(1 � 1)

1 � 0,9047620,3809522 � 1,0526322

2�

� 5,385596 clientes

(Esse é o número de clientes que estimamos que fi carão em espera.)

Lq

λWq � �5,3855960,47619

� 11,30975 minutos

Em média, estimamos que os clientes esperem 11 minutos e 19 segundos (0,30975 � 60) para que consigam usar o caixa eletrônico.

Q U E S T Õ E S P A R A D I S C U S S Ã O E R E V I S Ã O

1. Os fatores culturais afetam as fi las de espera. Por exemplo, fi las de caixas rápidos (isto é, dez itens ou menos) não são comuns no Japão. Por que você acha que isso acontece?

2. Por quantas fi las de espera você teve de passar em sua última viagem de avião?3. Diferencie um canal e uma fase.4. Qual é o principal trade-off de custo que deve ser feito ao administrar situações de fi la de espera?5. Quais suposições são necessárias para empregar as fórmulas fornecidas para o Modelo 1?6. De que forma a regra de atendimento por ordem de chegada pode ser injusta com o cliente que aguarda

ser atendido em um banco ou hospital?7. Defi na, em um sentido prático, o que signifi ca tempo de serviço exponencial.8. Você acha que a distribuição exponencial seria uma boa aproximação dos tempos de serviço para a. Comprar uma passagem de avião em um aeroporto? b. Passear em um carrossel em um parque de diversões? c. Fazer o checkout em um hotel? d. Concluir uma prova em sua aula de Administração de Operações?9. Você acha que a distribuição de Poisson seria uma boa aproximação de a. Corredores cruzando a linha de chegada na maratona de Boston? b. Tempos de chegada dos alunos em sua aula de Administração de Operações? c. Tempos de chegada do ônibus em seu ponto na escola?

ExcelQueue.xls


P R O B L E M A S1. Os alunos chegam à secretaria em uma média de um a cada 15 minutos, e suas solicitações demoram uma

média de dez minutos para serem processadas. O balcão de atendimento possui apenas uma funcionária, Judy Gumshoes, que trabalha oito horas por dia. Use chegadas Poisson e tempos de serviço exponen-ciais.

a. Qual a porcentagem de tempo em que Judy fi ca ociosa? b. Quanto tempo, em média, um aluno gasta esperando na fi la? c. Em média, qual é a duração da fi la (espera)? d. Qual é a probabilidade de que um aluno que está chegando (pouco antes de entrar na secretaria)

encontre pelo menos outro aluno esperando na fi la?2. Os coordenadores da secretaria estimam que o tempo que um aluno gasta esperando na fi la custa a eles

(em virtude da perda de receita etc.) US$ 10 por hora. Para reduzir o tempo de espera na fi la, eles sabem que precisam melhorar o tempo de processamento de Judy (ver Problema 1). Eles estão, no momento, considerando as duas opções seguintes:

a. Instalar um sistema de computadores, por meio do qual espera-se que Judy conseguirá concluir uma solicitação de um aluno 40% mais rápido (dos 2 minutos por solicitação para 1 minuto e 12 segun-dos, por exemplo).

b. Contratar outro funcionário temporário, que trabalhará na mesma velocidade que Judy. Se o computador custa US$ 99,50 para funcionar por dia, enquanto o funcionário temporário recebe US$

75 por dia, Judy está correta ao preferir a ajuda do outro funcionário? Utilize a distribuição de Poisson e os tempos de serviço exponenciais.

3. A Sharp Discounts Wholesale Club possui dois atendentes, um em cada entrada da loja. Os clientes che-gam em cada balcão em uma média de um a cada seis minutos. A taxa de atendimento em cada balcão é de quatro minutos por cliente.

a. Com que freqüência (qual porcentagem de tempo) cada atendente fi ca ocioso? b. Qual é a probabilidade de ambos os atendentes estarem ocupados? c. Qual é a probabilidade de ambos os atendentes estarem ociosos? d. Quantos clientes, em média, esperam na fi la que se forma na frente de cada balcão? e. Quanto tempo um cliente gasta no balcão (espera na fi la mais tempo do serviço)?4. A Sharp Discounts Wholesale Club está considerando consolidar os dois balcões (ver Problema 3) em

um local só, atendido por dois funcionários. Os funcionários vão continuar trabalhando no mesmo ritmo individual de quatro minutos por cliente.

a. Qual é a probabilidade de espera na fi la? b. Quantos clientes, em média, esperam na fi la? c. Quanto tempo um cliente gasta no balcão (espera mais tempo do serviço)? d. Você acha que a Sharp Discounts Wholesale Club deve consolidar os balcões?5. A Burrito King (uma nova franquia de fast-food, sendo inaugurada em âmbito nacional) teve êxito na

automação da produção de burritos para seus estabelecimentos de fast-food drive-through. O Burro-Master 9000 requer um tempo constante de 45 segundos para produzir um lote de burritos. Estimou-se que os clientes vão chegar no guichê drive-through de acordo com a distribuição de Poisson, em uma média de um a cada 50 segundos. Para ajudar a determinar a quantidade de espaço necessária para a fi la no guichê, a Burrito King gostaria de saber qual é o tempo médio esperado no sistema, o comprimento médio da fi la (em carros) e o número médio de carros no sistema (tanto na fi la como no guichê).

6. O Cine Bijou em Hermosa Beach, na Califórnia, exibe fi lmes clássicos. Os clientes chegam à fi la do cinema à taxa de 100 por hora. O vendedor de ingressos fi ca, em média, 30 segundos com cada cliente, e suas tarefas incluem colar os selos de validação do bilhete de estacionamento do cliente e marcar os cartões de fi delidade dos clientes. (Em razão desses serviços adicionais, muitos clientes só conseguem comprar o ingresso depois que o fi lme já começou.)

a. Qual é o tempo médio de espera do cliente no sistema? b. Qual seria o efeito no tempo de espera do sistema se houvesse um segundo atendente que cuidasse exclu-

sivamente das validações e cartões, cortando assim o tempo médio do serviço para 20 segundos? c. O tempo de espera no sistema seria menor do que o que você encontrou na questão b, se um segundo

guichê fosse aberto e cada atendente realizasse as três tarefas?7. Para colaborar na Semana Nacional do Coração, a Associação do Coração planeja instalar uma cabine para

exames de pressão gratuitos no shopping center El Con Mall durante toda a semana. A experiência anterior indica que, em média, dez pessoas por hora solicitam o exame. Utilize chegadas Poisson para uma população infi nita. As medidas de pressão sangüínea podem ser realizadas em um tempo constante de cinco minutos cada. Suponha que a extensão da fi la possa ser infi nita, com disciplina de atendimento por ordem de chegada.

a. Qual é o número médio de pessoas que podem ser esperadas na fi la? b. Qual é o número médio de pessoas que podem ser esperadas no sistema? c. Qual é a quantidade média de tempo que uma pessoa pode esperar gastar na fi la?


d. Em média, quanto tempo levará para medir a pressão de uma pessoa, incluindo a espera na fi la? e. Nos fi nais de semana, a taxa de chegada deve aumentar para mais de 12 por hora. Que efeito isso

provocará no número na fi la de espera?8. Uma cantina possui uma cafeteira de onde os clientes se servem sozinhos. As chegadas até a cafeteira

seguem a distribuição de Poisson, à taxa de três por minuto. Ao se servirem, os clientes demoram cerca de 15 segundos, distribuídos exponencialmente.

a. Quantos clientes se espera ver, em média, na cafeteira? b. Quanto tempo se espera que levaria para pegar uma xícara de café? c. Qual a porcentagem de tempo em que a cafeteira está sendo usada? d. Qual é a probabilidade de que três ou mais pessoas estejam na cantina? e. Se a cantina instalar uma máquina automática que sirva uma xícara de café em um tempo constante

de 15 segundos, como isso mudaria as respostas às questões a e b?9. Uma empresa de engenharia mantém um especialista técnico para auxiliar quatro engenheiros projetis-

tas em um projeto. A ajuda prestada pelo especialista aos engenheiros varia amplamente, em termos de consumo de tempo. O especialista sabe algumas respostas de cor; outras respostas exigem cálculos, e outras exigem ainda um tempo de pesquisa. Em média, cada solicitação de assessoria consome uma hora do tempo do especialista.

Os engenheiros solicitam ajuda do especialista, em média, uma vez por dia. Como cada atendimento demora cerca de uma hora, cada engenheiro consegue trabalhar por sete horas, em média, sem ajuda alguma. Mais um detalhe: os engenheiros que precisam de ajuda não interrompem o especialista caso ele já esteja debruçado sobre outro problema.

Considere este como um problema de fi las fi nitas e responda às seguintes questões: a. Quantos engenheiros, em média, estão esperando pela assessoria do especialista? b. Qual é o tempo médio que um engenheiro deve esperar pelo especialista? c. Qual é a probabilidade de que um engenheiro tenha de esperar na fi la pela ajuda?10. L. Winston Martin (um alergista de Tucson) possui um excelente sistema para atender a pacientes

habituais que vão à clínica apenas para tomar injeções contra alergias. Os pacientes chegam para tomar a injeção e preenchem uma fi cha com nome, que então é colocada em uma urna aberta e é levada à outra sala, atendida por uma ou duas enfermeiras. As injeções específi cas de um paciente são preparadas, e o paciente é chamado pelo alto-falante para que receba a injeção. Em alguns momentos do dia, o fl uxo de pacientes cai e apenas uma enfermeira é necessária para aplicar as injeções.

Vamos nos concentrar no cenário mais simples – ou seja, quando há uma enfermeira. Suponha também que os pacientes cheguem da maneira Poisson, e que a taxa de atendimento da enfermeira seja distribuída exponencialmente. Durante esse período de menos movimento, os pacientes chegam com um tempo entre chegadas de aproximadamente três minutos. A enfermeira demora, em média, dois minutos para preparar o soro dos pacientes e aplicar a injeção.

a. Qual é o número médio que você esperaria ver no consultório do Dr. Martin? b. Quanto tempo levaria para a um paciente chegar, tomar a injeção e sair? c. Qual é a probabilidade de que haja três ou mais pacientes no local? d. Qual é a utilização da enfermeira? e. Suponha que três enfermeiras estejam disponíveis. Cada uma leva cerca de dois minutos para preparar

o soro dos pacientes e aplicar a injeção. Qual é o tempo médio total de um paciente no sistema?11. O Serviço de Imposto de Renda de Judy Gray está analisando suas operações de atendimento de clientes

durante o mês que precede o prazo de declaração, em abril. Com base em dados históricos, o escritório estima que os clientes chegam de acordo com o processo Poisson, com tempo médio entre chegadas de 12 minutos. O tempo para concluir uma declaração de um cliente é distribuído exponencialmente, em uma média de dez minutos. Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:

a. Se você fosse até esse escritório, quanto tempo toleraria esperar para que sua declaração fi casse pronta? b. Em média, qual seria o tamanho do espaço reservado para a área de espera? c. Se Judy fi casse no escritório 12 horas por dia, quantas horas por dia, em média, ela fi caria ocupada? d. Qual a probabilidade de o sistema fi car ocioso? e. Se a taxa de chegada permanecesse inalterada, mas o tempo médio no sistema precisasse ser de 45

minutos ou menos, o que precisaria ser modifi cado?12. Uma empresa de reprodução gráfi ca possui quatro equipamentos automáticos, mas, que pode vir a se tor-

nar inativos em razão da necessidade de peças, manutenção e reparo. Cada equipamento requer serviços aproximadamente duas vezes por hora, ou, mais precisamente, cada equipamento opera em uma média de 30 minutos sem precisar de serviço. Os tempos do serviço variam bastante, de um serviço simples (como apertar o botão de reinício ou reposicionar o papel) até a desmontagem do equipamento. O tempo médio do serviço, porém, é de cinco minutos.


A inativação dos equipamentos resulta em uma perda de US$ 20 por hora. O reparador do equipa-mento recebe US$ 6 por hora.

Usando a análise de fi las fi nitas, responda às seguintes perguntas: a. Qual é o número médio de equipamentos na fi la? b. Qual é o número médio de equipamentos ainda em operação? c. Qual é o número médio de equipamentos sendo reparados? d. A empresa está considerando adicionar outro técnico que também receberia US$ 6. Isso é aconselhável?13. Benny, o barbeiro, possui uma barbearia com apenas uma poltrona. Na escola de formação de barbeiros,

informaram a Benny que seus clientes apresentariam uma distribuição de chegada Poisson, e que ele ofereceria uma distribuição de serviço exponencial. Seus dados de pesquisa de mercado indicam que os clientes chegam à taxa de dois por hora. Benny vai demorar uma média de 20 minutos para concluir um corte. Com base nesses números, descubra:

a. O número médio de clientes esperando. b. O tempo médio de despesa para um cliente. c. O tempo médio que um cliente passa na barbearia. d. A utilização média do tempo de Benny.14. Benny, o barbeiro (ver Problema 13), está pensando em adicionar uma segunda poltrona. Os clientes

seriam chamados para cortar o cabelo por ordem de chegada. Benny estimou que ambos os barbeiros demorariam uma média de 20 minutos para concluir um corte, e que o negócio não sofreria mudanças com clientes chegando à taxa de dois por hora. Descubra as informações a seguir para ajudar Benny a decidir se deve ou não acrescentar a segunda poltrona:

a. O número médio de clientes esperando. b. O tempo médio que um cliente espera. c. O tempo médio que o cliente passa na barbearia.15. Os clientes entram no setor de câmeras de uma loja à média de seis por hora. O departamento possui

um funcionário que demora, em média, seis minutos para atender a cada pessoa. Suponha que seja uma situação simples de tempo de serviço distribuído exponencialmente com chegadas Poisson.

a. Como um observador casual, quantas pessoas você esperaria ver no setor de câmeras (excluindo o funcionário)? Quanto tempo um cliente esperaria gastar no setor de câmeras (tempo total)?

b. Qual é a utilização do funcionário? c. Qual é a probabilidade de haver mais de duas pessoas no setor de câmeras (excluindo o funcionário)? d. Outro atendente foi contratado para trabalhar no setor de câmeras, e ele também demora seis minutos

para atender a cada chegada. Quanto tempo o cliente deve esperar gastar no setor agora?16. Cathy Livingston, bartender do Tucson Racquet Club, consegue servir bebidas à taxa de uma a cada 50

segundos. Em uma noite quente, o bar fi cou mais cheio do que o normal, e a cada 55 segundos alguém ia até o balcão pedir uma bebida.

a. Supondo que todos no bar bebiam à mesma taxa, e que Cathy atendia às pessoas por ordem de che-gada, quanto tempo você acha que teria de esperar para conseguir uma bebida?

b. Quantas pessoas você acha que fi cariam esperando pelas bebidas? c. Qual é a probabilidade de que três ou mais pessoas esperem pelas bebidas? d. Qual é a utilização da bartender (qual sua porcentagem de ocupação)? e. Se a bartender for substituída por uma máquina automática que sirva bebidas, como isso mudaria sua

resposta na questão a?17. Um escritório emprega diversos funcionários que produzem documentos e um operador que insere as

informações do documento em um processador de textos. A equipe produz documentos à taxa de 25 por hora. O operador consegue inserir as informações com o tempo médio distribuído exponencialmente de dois minutos. Suponha que a população seja infi nita, as chegadas sejam Poisson e a extensão da fi la seja infi nita, com disciplina de atendimento por ordem de chegada.

a. Calcule a porcentagem de utilização do operador. b. Calcule o número médio de documentos no sistema. c. Calcule o tempo médio no sistema. d. Calcule a probabilidade de quatro ou mais documentos estarem no sistema. e. Se outro funcionário fosse adicionado, a taxa de produção de documentos aumentaria para 30 por

hora. O que isso provocaria na carga de trabalho do processador de texto? Demonstre por quê.18. Uma sala de reforço aos estudos, coordenada por um aluno de pós-graduação, foi preparada para responder

dúvidas de alunos e ajudá-los a solucionar problemas do curso de Administração de Operações. O serviço é prestado oito horas por dia. O reitor deseja saber como a sala está funcionando. As estatísticas mostram que os alunos chegam à taxa de quatro por hora, e a distribuição é aproximadamente Poisson. O tempo


de auxílio é, em média, de dez minutos, distribuídos exponencialmente. Suponha que a população e a extensão da fi la possam ser infi nitas, e que a disciplina da fi la seja por ordem de chegada.

a. Calcule a porcentagem de utilização do aluno de pós-graduação. b. Calcule o número médio de alunos no sistema. c. Calcule o tempo médio no sistema. d. Calcule a probabilidade de quatro ou mais alunos estarem na fi la ou serem atendidos. e. Na véspera de uma prova, a chegada de alunos aumenta para cerca de seis por hora. O que isso causa

na duração média da fi la?19. No posto de fi scalização de fronteira da Califórnia, os veículos chegam à taxa de dez por minuto na dis-

tribuição de Poisson. Para simplifi carmos esse problema, suponha que haja apenas uma pista e um fi scal, que consegue vistoriar os veículos à taxa de 12 por minuto, de maneira distribuída exponencialmente.

a. Qual é a duração média da fi la? b. Qual é o tempo médio que um veículo deve esperar para conseguir passar pelo local? c. Qual é a utilização do fi scal? d. Qual é a probabilidade de que quando você chegue no local já existam três ou mais veículos na sua

frente?20. O posto de fi scalização de fronteira da Califórnia (ver Problema 19) está considerando a adição de um

segundo fi scal. Os veículos esperariam em uma pista e então seriam direcionados ao primeiro fi scal disponível. As taxas de chegada permaneceriam iguais (dez por minuto), e o novo fi scal faria a vistoria no mesmo ritmo do primeiro fi scal (12 carros por minuto).

a. Qual seria a extensão média da fi la de espera? b. Qual seria o tempo médio que um veículo deve esperar conseguir passar pelo local? Se uma segunda pista fosse adicionada (uma pista para cada fi scal): c. Qual seria a extensão média da fi la? d. Qual seria o tempo médio que um veículo precisaria esperar para conseguir passar pelo local?21. Durante os eventos do campus Spring Fling, a atração de carros bate-bate apresenta um problema com

os carros, que deixam de funcionar e precisam de conserto. A equipe de técnicos pode ser contratada à taxa de US$ 20 por hora, mas eles trabalham apenas em equipe. Assim, se uma pessoa for contratada, ela trabalhará sozinha; duas ou três pessoas trabalharão juntas no mesmo conserto.

Um técnico consegue consertar seis carros em um tempo médio de 30 minutos. Dois técnicos demoram 20 minutos e três técnicos, 15 minutos. Enquanto esses carros estão inativos, o lucro perdido é de US$ 40 por hora. Os carros costumam quebrar à taxa de dois por hora.

Quantos técnicos precisam ser contratados?22. Um pedágio decidiu experimentar usar cartões de débito para a cobrança. Inicialmente, apenas uma

pista será usada. Estima-se que os carros cheguem a essa pista experimental à taxa de 750 por hora. A expectativa é que demore exatamente quatro segundos para verifi car o cartão de débito.

a. Quanto tempo, você estima, o cliente levaria entre esperar na fi la, pagar com o cartão de débito e sair? b. Quantos carros você esperaria ver no local?23. Você está fazendo o planejamento de um banco. Está considerando seis caixas. Os caixas demoram 15

minutos com cada cliente, com desvio-padrão de sete minutos. Chega um cliente a cada três minutos, de acordo com a distribuição exponencial (lembre-se que o desvio-padrão é igual à média). Todos os clientes que chegam acabam sendo atendidos.

a. Em média, quantos clientes estariam esperando na fi la? b. Em média, quanto tempo um cliente gastaria no banco? c. Se um cliente chegou, viu a fi la e decidiu não entrar nela, esse cliente teve um comportamento de

___________. d. Um cliente que entrou na fi la, mas decidiu deixá-la antes de ser atendido, teve um comportamento

de ___________.24. Você está planejando o novo layout para a agência local do banco Sixth Ninth. Está considerando guichês

de caixas separados para as três classes diferentes de serviço. Cada categoria de serviço seria separada com seus próprios caixas e clientes. Estranhamente, cada categoria de serviço, embora diferente, pos-sui exatamente a mesma demanda e os mesmos tempos de serviço. As pessoas de uma das categorias chegam a cada quatro minutos, e os tempos de chegada são distribuídos exponencialmente (o desvio-padrão é igual à média). São necessários sete minutos para atender a cada cliente, e o desvio-padrão dos tempos do serviço é de três minutos. Você designou dois caixas para cada tipo de serviço.

a. Em média, qual será o comprimento de cada fi la em cada guichê? b. Em média, quanto tempo um cliente gastará no banco (imagine que ele entre, vá direto para a fi la e

saia assim que termina de ser atendido).


Você decide consolidar todos os caixas para que possam atender a todos os tipos de clientes sem aumentar os tempos do serviço.

c. O que acontecerá com a quantidade de tempo que cada caixa fi ca ocioso? (aumenta, diminui, per-manece igual, depende de _______).

d. O que acontecerá com a quantidade média de tempo que um cliente gasta no banco? (aumenta, diminui, permanece igual, depende de _______).

B I B L I O G R A F I A S E L E C I O N A D ADAVIS, M. M.; MAGGARD, M. J. An Analysis of Customer Satisfaction with Waiting Times in a Two-Stage Service Process. Journal of Operations Management, v. 9, n. 3, p. 324-334, ago. 1990.

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N O T A S1. n! é defi nido como n(n – 1)(n – 2) ... (2)(1).

2. Agradecemos imensamente a Gilvan Souza, da Faculdade de Administração Robert H. Smith, University of Maryland, por colaborar com esta seção.

administraÇÃo da produÇÃo e operaÇÕes ... - …famanet.br/ambientes/adm/pdf/notastecnicas 07...

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