4 SÉRIES DE POTÊNCIAS

Por via da existência de um produto em C; as séries adquirem a mesma relevânciaque em R; talvez mesmo maior. Isso deve-se basicamente ao facto de podermos novamenteformular as chamadas séries de potências, agora de uma variável complexa, z; isto é, sériesda forma

1Xn=0

cnzn = c0 + c1z + c2z

2 + :::;

em que os coe�cientes, cn (n = 1; 2; :::); são números complexos. Séries deste género pos-suem um papel fundamental na representação de uma vasta classe de funções complexasde variável complexa, ditas funções analíticas.Comecemos por notar que quando na série de potências de z; acima indicada, se tem

cn 6= 0 e ck = 0; para todos os valores k > n; se obtem um polinómio em z; de grau n;

p(z) = cnzn + cn�1z

n�1 + :::+ c1z + c0;

o que induz que, informalmente, as séries de potências possam ser vistas como �polinómiosde grau in�nito�.

4.1 RAIO DE CONVERGÊNCIA

Perante uma série de potências apresenta-se como tarefa primordial, nem sempresimples de levar a cabo em toda a sua amplitude, a procura do seu domínio de convergên-cia, ou seja, do conjunto dos números complexos para os quais a correspondente sérienumérica é convergente. Neste sentido, notemos desde já que qualquer série de potências,

1Xn=0

cnzn;

é convergente quando z = 0: Pode até mesmo acontecer que z = 0 seja o único ponto deconvergência da série.

Exemplo 1 Por exemplo, a série1Xn=0

nnzn

apenas converge em z = 0; De facto, se z 6= 0; a sucessão jnnznj = (n jzj)n ! +1; o queimplica a divergência da série numérica correspondente.

Exemplo 2 A série de potências1Xn=0

zn

conhecida por série geométrica constitui uma série divergente se jzj � 1: Na verdade, emtal situação zn 9 0; já que jznj ! 1 se jzj = 1 e jznj ! +1 se jzj > 1:No entanto temos que a sucessão das somas parciais é

Sn = 1 + z + :::+ zn;

1

e por conseguinte�zSn = �z � z2 � :::� zn � zn+1:

Assim,Sn � zSn = 1� zn+1 , (1� z)Sn = 1� zn+1

o que implica

Sn =1� zn+11� z :

Como jzj < 1 implica zn+1 ! 0; obtemos que

1Xn=0

zn =1

1� z (jzj < 1) :

A cada série de potências1Xn=0

cnzn;

associamos os valores� = lim sup jcnj1=n ;

e

� =

8<:0; se � = +1;+1; se � = 0;1=� ; se 0 < � < +1:

(1)

O valor � � 0 é designado por raio de convergência da série de potências. As suascaracterísticas são apontadas no seguinte teorema.

Teorema 3 i) Se � = 0 então a série de potências converge apenas para z = 0:ii) Se � = +1; então a série converge para todos os complexos z 2 C:iii) Se 0 < � < +1; então a série é absolutamente convergente para todos os complexostais que jzj < � e divergente para todos os complexos tais que jzj > �:

Dem.: a) Se jzj > � então � jzj > 1: Deste modo teremos, a partir de certa ordem p;

jcnj1=n jzj > 1 (n > p)

o que implica que para qualquer n > p seja

jcnj jzjn > 1, jcnznj > 1:

Nestas condições podemos a�rmar que cnzn 9 0 e, por conseguinte que

1Xn=0

cnzn

é uma série divergente.b) Mas se 0 < � � +1 e jzj < � então � jzj < 1; e tomando � 2 R tal que � jzj < � < 1;

teremos que a partir de certa ordem p

jcnj1=n jzj < � < 1 (n > p) :

2

Consequentemente temos então que

jcnj jzjn < �n , jcnznj < �n (n > p)

e da convergência da série geométrica1Xn=0

�n

deduzimos a convergência da série1Xn=0

jcnznj :

Logo1Xn=0

cnzn

é uma série absolutamente convergente.É conhecido das sucessões reais que

� = limjcn+1jjcnj

sempre que este limite exista (�nito ou +1): Este facto permite-nos, em tais circunstân-cias, também calcular o raio de convergência, �; através da relação:

� = limjcnjjcn+1j

; (2)

caso este limite exista.Uma outra propriedade importante das séries de potências é expressa no seguinte

resultado conhecido por lema de Abel e devido ao matemático norueguês Niels HenrikAbel (1802 - 1829).

Lema 4 (Lema de Abel) Série de potências convergente num ponto z0 6= 0; é absoluta-mente convergente em qualquer complexo z tal que jzj < jz0j :

Dem.: Na verdade, recordando que em tais circunstâncias a sucessão cnzn0 ! 0;podemos a�rmar que para qualquer " > 0; se tem jcnzn0 j = jcnj jz0j

n < "; para todos osvalores naturais n su�cientemente grandes, digamos n > p: Como tal, temos

n > p) jcnznj = jcnj jz0jn���� zz0����n < " ���� zz0

����n ;e dado que jz=z0j < 1; por comparação com a série geométrica real

P1n=0 jz=z0j

n ; podemosconcluir que

1Xn=0

jcnznj ;

é convergente.Assim, em particular, se a série de potências dada converge num ponto z = z0 6= 0;

então � � jz0j : Porém, a divergência da série para um certo valor de z = z1; implica adivergência para todos os valores de z tais que jzj > jz1j ; já que se ela fosse convergentepara um complexo z = z2 com jz2j > jz1j ; então, pelo lema de Abel, seria igualmenteconvergente para z = z1; o que é contraditório.

3

4.2 FUNÇÕES ANALÍTICAS

Quando � > 0; à bola aberta de centro na origem

B� = fz : jzj < �g

chamamos círculo de convergência da série de potências1Xn=0

cnzn:

Note-se que quando � = +1 esta bola consiste na totalidade do espaço complexo C:Em B� = fz : jzj < �g encontra-se pois de�nida a função

S (z) =1Xn=0

cnzn;

a qual possui algumas propriedades importantes que destacamos no teorema que vaiseguir-se. Antes, porém, notemos que se a série de potências

1Xn=0

cnzn

tem raio de convergência �; então o mesmo sucede à série de potências:1Xn=1

cnnzn�1

obtida da anterior por derivação termo-a-termo. Na verdade, como a sucessão n1=n ! 1;as sucessões

(jcnjn)1=n e jcnj1=n

possuem os mesmos sublimites. Como tal, os valores de � coincidem numa e noutra sériee portanto o raio de convergência das duas séries é o mesmo.

Teorema 5 Se � > 0 então:

i) S (z) é contínua em B�:

ii)Z

� (z)S (z) dz =P1

n=1 cn

Z

� (z) zndz; para qualquer linha contida em B� e qualquer

função � (z) contínua em im :

iii) S (z) é holomorfa em B�:

iv) S 0 (z) =P1

n=1 cnnzn�1:

Dem.: i) Seja r 2 ]0; �[ arbitrário. Com z e z0 2 Br; quaisquer, temos que1

S (z)� S (z0) =

1Xn=1

cn (zn � zn0 )

=

1Xn=1

cn

"(z � z0)

nXk=1

zn�k � zk�10

#:

1Pode mostrar-se facilmente por indução que zn � zn0 = (z � z0)Pn

k=1 zn�k � zk�10 :

4

Assim,

jS (z)� S (z0)j � jz � z0j1Xn=1

jcnj"

nXk=1

jzjn�k � jz0jk�1#

� jz � z0j1Xn=1

jcnj"

nXk=1

rn�k � rk�1#= jz � z0j

1Xn=1

jcnjnrn�1:

Considerando então a soma da série1Xn=1

jcnjnrn�1 = K

concluímos quejS (z)� S (z0)j � K jz � z0j ;

quaisquer sejam z; z0 2 Br; o que, dada a arbitrariedade de r; prova a continuidade dafunção S (z) em B�:ii) Pretende-se mostrar que a sucessão

An =

nXk=1

cn

Z

� (z) zkdz

tem como limite

A =

Z

� (z)S (z) dz:

Nesse sentido, seja M > 0 tal que j� (z)j �M; qualquer que seja z 2 im ; e r 2 ]0; �[tal que im � Br:Então para z 2 im temos�����

1Xk=n+1

ck� (z) zk

����� � j� (z)j1X

k=n+1

jckj rk �M1X

k=n+1

jckj rk

em que a sucessão

Rn =1X

k=n+1

jckj rk ! 0;

já que a série1Xn=0

jcnj rn

é convergente.Por outro lado, como,

jA� Anj =�����Z

� (z)S (z) dz �nXk=1

ck

Z

� (z) zkdz

�����=

�����Z

� (z)

"S (z)�

nXk=1

ckzk

#dz

�����=

�����Z

� (z)

" 1Xk=n+1

ckzk

#dz

����� :� M � c ( ) �Rn

5

podemos então concluir que An ! A:iii) Seja � um qualquer triângulo contido em B�: Por ii) temos queZ

@�

S (z) dz =1Xn=1

cn

Z@�

zn dz = 0;

em virtude de ser, para cada n; Z@�

zndz = 0:

Então pelo teorema de Morera, S (z) é diferenciável em B�:iv) Consideremos com r 2 ]0; �[ ; uma qualquer circunferência simples e positivamente

orientada, Cr; de centro na origem e raio r: Sendo S (z) holomorfa em B�; resulta dasfórmulas integrais de Cauchy que

S 0 (z) =1

2�i

ZCr

S (w)

(w � z)2dw

= c0

�1

2�i

ZCr

1

(w � z)2dw

�+

1Xn=1

cn

�1

2�i

ZCr

wn

(w � z)2dw

�:

Mas pelas mesmas fórmulas integrais de Cauchy, temos

1

2�i

ZCr

1

(w � z)2dw = (Dw1)w=z = 0;

e para n � 1;1

2�i

ZC(r)

wn

(w � z)2dw = (Dww

n)w=z = nzn�1:

Logo

S 0 (z) =1Xn=1

cnnzn�1;

o que completa a demonstração do teorema.

Exemplo 6 Através da propriedade iv) do teorema anterior e relativamente à série ge-ométrica, temos que para z 2 B = fz : jzj < 1g

1

(1� z)2=

1Xn=1

nzn�1;

tendo em conta que

Dz

�1

1� z

�=

1

(1� z)2:

Relativamente a séries de potências de z � z0;1Xn=0

cn (z � z0)n ;

6

se operarmos a transformação w = z � z0; e considerarmos a correspondente série depotências de w;

1Xn=0

cnwn;

caímos na situação anterior, decorrendo daí que todos os conceitos e conclusões atrásformulados sejam obviamente passíveis de serem transpostos para aquele caso. Se estasérie tiver raio de convergência �; notemos que o círculo de convergência da série depotências de z � z0 será agora a bola aberta de centro em z0:

B�(z0) = fz : jz � z0j < �g :

Para cada z 2 B�(z0) a série será absolutamente convergente e se z for tal que jz � z0j > �;a série será divergente. Em B�(z0) de�ne-se então a função complexa de variável complexa

� (z) =1Xn=0

cn (z � z0)n :

a qual se relaciona com

S (w) =1Xn=0

cnwn;

por meio da igualdade� (z) = S (z � z0) :

O Teorema 5 permanece integralmente válido para � (z) ; desde que se substitua B�por B�(z0): Notemos, por exemplo, que por derivação termo-a-termo temos também que

�0(z) =1Xn=1

ncn(z � z0)n�1: (3)

E se procedermos indutivamente, conclui-se que para cada k = 1; 2; :::; é

�(k)(z) =1Xn=k

n(n� 1):::(n� k + 1)cn(z � z0)n�k; (4)

na medida em que cada uma destas séries possui sempre B�(z0) como círculo de con-vergência. Em particular, note-se que

�(k)(z0) = k!ck; (5)

vindo ainda, pelas fórmulas integrais de Cauchy,

I(Cr(z0); z0)ck =1

2�i

ZCr(z0)

�(z)

(z � z0)k+1dz;

onde Cr(z0) designa uma qualquer circunferência de centro em z0 e raio r < �:Dada uma função complexa de variável complexa de�nida num certo conjunto aberto,

U; do plano complexo, f : U � C! C; se com z0 2 U; existir uma série de potências1Xn=0

cn (z � z0)n ;

7

com um determinado raio de convergência � > 0; e um valor positivo � � �; tal queB�(z0) � U e

f(z) =1Xn=0

cn (z � z0)n ;

para qualquer z 2 B�(z0); diremos que f é analítica no ponto z0: Se f for analítica emcada ponto de U; diremos que f é analítica em U:Séries de potências de expoente negativo, ou seja séries do tipo

1Xn=1

cn(z � z0)n

podem igualmente ser integradas como resultantes da série de potências de w

1Xn=1

cnwn;

mediante a transformação w = (z � z0)�1 : Se esta série tiver raio de convergência �; entãopodemos a�rmar que

1Xn=1

cn(z � z0)n

é uma série absolutamente convergente sempre que

jz � z0j > 1=�;

e divergente sejz � z0j < 1=�:

Isto é, a série em questão é absolutamente convergente na "coroa circular" de centro emz0;

K (z0; 1=�;1) = fz : 1=� < jz � z0jg :Considerando as funções

S (w) =

1Xn=1

cnwn e ! (z) =

1Xn=1

cn(z � z0)n

;

a primeira de�nida em B� e a segunda em K (z0; 1=�;1) ; temos

! (z) = S

�1

z � z0

�:

Também a ! (z) podem ser aplicados os resultados do Teorema 5 desde que se substituaB� por K (z0; 1=�;1) : Nesta coroa circular, ! (z) é igualmente uma função diferenciávele a sua derivada pode também obter-se por derivação termo-a termo:

!0 (z) =1Xn=1

�ncn(z � z0)n+1

:

8

4.3 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. Para que valores de w 6= �2 converge a série1Xn=0

�w � 1w + 2

�n?

2. Determine o raio de convergência das seguintes séries de potências:

a)1Pn=1

1nzn:

b)1Pn=1

1n2zn:

c)1Pn=0

1n!zn:

3. Considere as seguintes relações:

i) S (z) =1Xn=0

1

nnzn: ii) � (z) =

1Xn=0

(�1)n

n!(z � (1 + i))n :

iii) � (z) =1Xn=0

�6n+ 1

2n+ 5

�n(z � 2i)n :

Indique os círculos de convergência de cada série indicada e determine: S(5) (0) ;�(100) (1 + i) e �00 (2i) :

4. Considere as seguintes funções:

i) S (z) =

1Xn=0

(�1)n(2n+ 1)!

z2n+1: ii) C (z) =1Xn=0

(�1)n(2n)!

z2n:

a) Justi�que que S (z) e C (z) são ambas funções inteiras.

b) Mostre que S 0 (z) = C (z) e C 0 (z) = �S (z) :

4.3.1 RESOLUÇÕES

1. A série1Xn=0

�w � 1w + 2

�né uma série geométrica e como tal será convergente para todos os valores de w 2 C taisque ����w � 1w + 2

���� < 1, jw � 1j < jw + 2j :

9

Fazendo w = x+ iy temos que

jw � 1j < jw + 2j , jx� 1 + iyj < jx+ 2 + iyj, (x� 1)2 + y2 < (x+ 2)2 + y2

, x2 � 2x+ 1 + y2 < x2 + 4x+ 4 + y2

, �2x+ 1 < 4x+ 4, �3 < 6x, �1

2< x:

Logo fw = x+ iy : x > �1=2g constitui o conjunto de convergência da série dada.

2.a): Aplicando a fórmula (2) à série de potências1Xn=1

1

nzn;

obtemos como raio de convergência

� = lim1n1n+1

= limn+ 1

n= 1:

Logo a série é absolutamente convergente para qualquer complexo, z; tal que jzj < 1 edivergente para qualquer z tal que jzj > 1: Logo B = fz : jzj < 1g ; constitui o círculode convergência da série. Contudo, o domínio de convergência da série, para além docírculo de convergência, contém pelo menos o ponto z = �1; caso em que obtemos a sérieharmónica alternada,

1Xn=1

(�1)nn

;

que, como se sabe, é convergente. A determinação do domínio de convergência desta sérienão é parca de escolhos, e só num âmbito mais avançado poderá ser esclarecido.

2.b): Tal como no exemplo anterior, também a série de potências

1Xn=1

1

n2zn;

tem raio de convergência

� = lim1n2

1(n+1)2

= lim

�n+ 1

n

�2= 1:

Como tal, temos uma série absolutamente convergente para qualquer complexo, z; tal quejzj < 1; e divergente sempre que jzj > 1: No entanto, a convergência absoluta da sériemantém-se quando jzj = 1; dada a convergência da série de Dirichlet

P1n=1

1n2:Assim, neste

caso, o domínio de convergência da série coincide com a bola fechada B = fz : jzj � 1g :2.c): A série de potências

1Xn=0

1

n!zn;

10

tem raio de convergência � = +1; dado que

� = lim(n+ 1)!

n!= lim (n+ 1) = +1:

Trata-se pois de uma série (absolutamente) convergente para qualquer complexo z:

3.i)): O raio de convergência �; da série de potências

1Xn=0

1

nnzn

pode ser obtido facilmente através da relação (1) já que

� = lim sup

���� 1nn����1=n = lim 1

n= 0:

Logo � = +1:Chegaremos naturalmente ao mesmo valor se usarmos (2):

� = lim1nn

1(n+1)n+1

= lim(n+ 1)n+1

nn= lim

�n+ 1

n

�n(n+ 1) = +1;

tendo em conta que �n+ 1

n

�n=

�1 +

1

n

�n! e:

A série converge pois absolutamente para qualquer complexo z:Quanto ao valor de S(5) (0) ; notemos que por (5)

S(5) (0) :

5!=1

55;

e que portanto

S(5) (0) =5!

55=24

625:

3.ii): O raio de convergência �; da série

1Xn=0

(�1)n

n!(z � (1 + i))n

pode ser obtido através da relação (2):

� = lim

��� (�1)nn!

������ (�1)n+1(n+1)!

��� = lim (n+ 1) = +1:Também neste caso a série é absolutamente para qualquer complexo z:Quanto a �(100) (1 + i) ; temos ainda por (5) que

�(100) (1 + i)

100!=(�1)100

100!:

11

Logo �(100) (1 + i) = 1:

3.iii): Para obtermos o raio de convergência da série

1Xn=0

�6n+ 1

2n+ 5

�n(z � 2i)n

podemos usar com vantagem a relação (1) notando que nesta situação

� = lim

�����6n+ 12n+ 5

�n����1=n = lim 6n+ 12n+ 5= 3:

Logo � = 1=3 e

B1=3 (2i) =

�z : jz � 2ij < 1

3

�:

constitui o círculo de convergência da série que de�ne � (z) :Neste caso

�00 (2i)

2!=

�12 + 1

4 + 5

�2, �00 (2i) = 2

�13

9

�2=338

81:

4.a): As séries de potências:

1Xn=0

(�1)n(2n+ 1)!

z2n+1 e1Xn=0

(�1)n(2n)!

z2n:

possuem ambas raio de convergência � = +1: Para isso consideremos os coe�cientes, cn;dos termos destas séries e observemos que para a primeira é

jc2nj = 0 e jc2n+1j =1

(2n+ 1)!;

enquanto que para a segunda temos,

jc2n+1j = 0 e jc2nj =1

(2n)!:

Mas de n!=(n + 1)! = 1=(n + 1) ! 0; podemos a�rmar que (1=n!)1=n ! 0; o mesmosucedendo às subsucesões (1=(2n+1)!)1=(2n+1) e (1=(2n)!)1=2n: Logo em qualquer dos casosé jcnj1=n ! 0; ou seja � = 0; o que signi�ca que o raio de convergência destas séries é� = +1:Então quer S (z) ; quer C (z) são funções de�nidas em C; e pelo Teorema 5 são ambas

funções inteiras.

4.b): Ainda pelo Teorema 5 temos por derivação termo-a-termo que

S 0 (z) =

1Xn=0

(�1)n(2n+ 1)!

(2n+ 1) z2n =1Xn=0

(�1)n(2n)!

z2n = C (z) :

12

Do mesmo modo

C 0 (z) =

1Xn=1

(�1)n(2n)!

2nz2n�1

=1Xn=1

(�1)(�1)n�1(2n� 1)! z2n�1

= �1Xn=1

(�1)n�1(2n� 1)!z

2n�1

= �1Xn=0

(�1)n(2n+ 1)!

z2n+1

= �S (z) :

13