A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO RECURSO PEDAGÓGICO: A HISTÓRIA DOS NÚMEROS

Maria Aparecida da Silva

Orientadora: Profª. Drª. Lucieli M. Trivizoli

RESUMO Este artigo apresenta o relato de implementação de atividades, com resultados e discussões sobre a história da matemática como um recurso pedagógico, com ênfase no desenvolvimento dos conceitos de contagem, números e de sistemas de numeração. Com o intuito de despertar em nossos educandos uma motivação, interesse e curiosidade por meio de atividades relacionadas com o seu cotidiano e sua história de vida, o trabalho foi implementado em uma turma de 6º ano do Ensino Fundamental. O objetivo foi buscar uma ampliação do conceito de números e de características dos sistemas de numeração por meio de informações vindas da história da matemática com a tentativa de relacionar a desenvolvimento desses conceitos aos seus contextos sociais e históricos. Mediante as situações oportunizadas, os alunos apresentaram motivação, empenho, e curiosidade em ler e pesquisar fatos históricos matemáticos, como também os relaciona-los à sua vida cotidiana. As atividades proporcionaram o aprofundamento no conhecimento histórico matemático e, por conseguinte, um aprendizado matemático contextualizado; além de uma maior interação entre comunidade escolar e familiar envolvidas na historicidade apresentada pelos próprios alunos. PALAVRAS-CHAVE: História da Matemática, História dos Números, Sistemas de Numeração.

INTRODUÇÃO

Os documentos oficiais relacionados ao ensino de Matemática destacam

que o trabalho com os conteúdos relacionados aos números e as operações

deve buscar atividades que permitam que os alunos ampliem o sentido

numérico e que reconheçam relações entre os diferentes tipos de números.

O nosso sistema de numeração, denominado indo-arábico, configurou-

se conforme a integração entre povos do ocidente e do oriente, sobretudo em

atividades comerciais do século XIII (PARANÁ, 2008, p. 50).

Com relação aos números naturais, muitas vezes se considera que o trabalho com eles se encerra no final do segundo ciclo; no entanto, é fundamental que o aluno continue a explorá-los em situações de contagem, de ordenação, de codificação em que tenha oportunidade de realizar a leitura e escrita de números “grandes” e desenvolver uma compreensão mais

consistente das regras que caracterizam o sistema de numeração que utiliza (BRASIL, 1998, p. 66).

Fruto da criação e invenção humanas, a matemática não evoluiu de

forma linear e logicamente organizadas. Desenvolveu-se com movimentos de

idas e vindas, com rupturas de paradigmas, seguindo caminhos diferentes nas

diversas culturas. Para muitos historiadores, o conhecimento matemático hoje

aceito originou-se com a civilização grega, no período que vai

aproximadamente de 700 a.C. a 300 a.C., abrigando sistemas formais,

logicamente estruturados a partir de um conjunto de premissas e empregando

regras de raciocínio preestabelecidas. A maturidade desses sistemas formais

foi atingida no século XIX, com o surgimento da teoria de conjuntos e o

desenvolvimento da lógica matemática (BRASIL, 1998, p. 25).

A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes

do conhecimento e funciona como um fio condutor para direcionar as

explicações dadas à alguns “porquês” da matemática, dando-lhes um “sentido”,

um significado. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à

nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu

desenvolvimento: entender que os homens criaram tais ideias.

[...] aprender matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou marcar X nas respostas: é interpretar, criar significado, construir seus próprios instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber, projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990 apud PARANÁ, 2008, p. 66).

Um dos recursos metodológicos que os PCN indicam para que os

professores estimulem os alunos à busca desses conhecimentos, é a História

da Matemática.

A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais

favoráveis diante desse conhecimento [...] (BRASIL, 1998, p.37).

Do mesmo modo, as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná,

indicam que:

A história da matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação de situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos (PARANÁ, 2008, p.66).

Com base nessas orientações, neste trabalho buscou-se estimular

algumas reflexões sobre a História da Matemática como um recurso que

propiciasse aos alunos uma atuação mais desafiadora e significativa para a

aprendizagem em matemática, mais especificamente ao ampliar o conceito de

número e trabalhar com os sistemas de numeração. Desse modo, elaboramos

uma unidade didática composta por uma série de atividades que abordaram

conceitos relacionados aos números e aos sistemas de numeração por meio da

história da matemática, e atividades envolvendo os sistemas de numeração

maia, egípcio, romano e indo-arábico. A unidade didática foi implementada com

alunos do 6° ano do Ensino Fundamental de um Colégio Estadual de Marialva-

PR.

Nossa expectativa era desenvolver nos alunos a capacidade de

observar que durante o percurso de criação e desenvolvimento das ideias

matemáticas também ocorreram equívocos e erros, mostrando assim, a criação

humana por traz desta ciência.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA A matemática está interligada com as demais ciências. Não podendo

assim ser trabalhada de forma isolada, dissociada das outras disciplinas.

Nesse sentido, D’Ambrosio (1999), apud PARANÁ (2008), afirma: desvincular a

matemática das outras atividades humanas é um dos maiores erros que pode

ser praticado, particularmente na educação da matemática.

Em toda a evolução da humanidade, as ideias matemáticas vêm

definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando

instrumentos para esse fim e buscando explicações sobre os fatos e

fenômenos da natureza como também para sua própria existência.

Para Miguel e Miorim (2004), apud PARANÁ (2008), a história da

matemática como uma ferramenta didática, auxilia na educação matemática

agindo como instrumento que desmistifica, contextualiza, humaniza, motiva e

ajuda a formalizar os conceitos. Sendo assim, a história da matemática vem ao

encontro dos anseios dos professores dessa disciplina no sentido de buscar

metodologias que o auxiliem no desenvolvimento de certos tópicos de

matemática.

O número é um conceito fundamental para a construção de diversas

ideias na matemática e esse conceito foi construído numa longa história. A

necessidade de contar objetos deu origem ao número natural e todas as

civilizações antigas acabaram por criar alguma forma de linguagem escrita e

desenvolveram símbolos para o número natural e operaram com eles. Através

do conhecimento da história da construção dos conceitos básicos dos números

e sua origem, de seu contexto, do seu momento histórico, geográfico, filosófico

e político, das necessidades sociais que provocaram a criação desses objetos,

podemos perceber diversos aspectos que compõem esse conhecimento

matemático.

As ideias de contagem evoluíram de modo que vários povos adotaram

conceitos e criaram seus sistemas de numeração. Entre eles estavam os

sumérios, os babilônios, os egípcios, gregos, romanos, hebreus, maias,

chineses, indianos e árabes. No nosso trabalho, vamos destacar alguns

aspectos dos sistemas de numeração maia, egípcio, romano e indo-arábico.

Segundo Ifrah (1994), o uso da base dez, foi pensado de início com

pedras de tamanhos diferentes, sendo suas “ordens” conforme seus tamanhos;

assim, a pedrinha bem pequena, representava a unidade; uma pedra um pouco

maior para a dezena; um pouco maior ainda para a centena; uma maior ainda

para a milhar, e assim por diante. Isso não foi muito fácil, pois nem todas as

pedras poderiam ser facilmente encontradas conforme seus respectivos

tamanhos. Então de pedras passou-se para terra (argila), onde podiam ser

moldados pequenos, médios ou grandes objetos para contagem.

Com a expansão da agricultura, da criação de animais, da cultura, do

artesanato e de grandes trocas comerciais, esse processo utilizado tornou-se

insatisfatório para a população da época.

Ainda, segundo Ifrah (1994), por volta de 3500 a.C., estando as terras de

Sumer e Elam bem avançadas e urbanizadas para a época e com sua

economia cada vez mais numerosa, houve uma necessidade de conservar

seus registros de recenseamentos, inventários, compras, vendas, etc. de uma

forma mais eficaz. Assim, os sumérios organizaram seu sistema de numeração

e contagem: Cone= unidade simples: Bolinha= dezena: Cone grande= 60

unidades: Cone perfurado= 60x 10: Esfera= 60x60: Esfera perfurada=

60x60x10.

Figura1–SistemadenumeraçãodosSumérios(IFRAH, 1994,p.133)

Já os Elamitas contavam por dezenas, utilizando um bastão para

unidades pequenas: Bolinhas para 10: Discos para 100 : Cones para 300 e um

Cone maior para 3000. Esse sistema também foi utilizado pelos Babilônios por

ter a base sexagesimal empregada em medidas de tempo e de ângulos em

minutos e segundos.

Figura2-SistemadenumeraçãodosElamitas(IFRAH, 1994, p.134)

Os Egípcios também tiveram seus próprios sistemas de numeração,

todos extraídos da flora e fauna existentes nas margens do rio Nilo. Seus

algarismos e hieróglifos foram feitos em pedaços de rochas, cacos de cerâmica

ou em papiros; todos na base dez.

Essa civilização era bem avançada, urbanizada e em plena expansão

comercial, e tiveram a necessidade de memorizar o pensamento, a fala e seus

números, os quais eram de 1 até o 9 sem o zero com traços verticais que

podiam ser repetidos várias vezes.

Figura 3- Sistema de numeração dos Egípcios (IFRAH, 1994, p.158)

Os números maias vieram do desenvolvimento da arte, escultura,

arquitetura, comércio e principalmente da astronomia a qual já tinha algumas

noções precisas do sol, lua e até mesmo de alguns planetas e seus cálculos de

tempo, calendários até chegando numa conclusão precisa do ano solar e lunar;

tudo medido por instrumentos ainda rudimentares e simples. Os maias

descobriram o princípio da posição dos números e inventaram o zero sobre

uma base de numeração vigesimal.

Figura 4 - Sistema de numeração dos Maias (IFRAH, 1994, p. 251).

Segundo Ifrah (1994), até o número 19, as unidades eram representadas

por pontos e traços e os números superiores a 20, representados por uma

coluna vertical.

Os numerais romanos são o segundo sistema mais utilizado pelas

escolas (o primeiro é o decimal) e os numerais que mais temos conhecimento e

algumas utilizações práticas até os dias atuais, como, por exemplo, em

relógios, endereços com numeração de ruas, eleição de papas católicos,

indicação de páginas e datas, para nomear os séculos. Ifrah (1994) diz que a

numeração romana era calculada com as letras do alfabeto latim e foi regida

pelo princípio da adição, sendo eles totalmente independentes uns dos outros e

sua justaposição dando a soma dos seus valores correspondentes. Sua

unidade era um traço, o número 5 era o desenho de um ângulo agudo, sua

dezena era uma cruz, o número 500 um semicírculo e o número 1000 um

círculo cortado por uma cruz.

Figura 5 - Sistema de numeração dos Romanos (IFRAH, 1994, p. 186)

E por fim o sistema de numeração indo-arábico. O nosso sistema de

numeração tem a base 10 e teve sua origem na Índia por volta de 250 a.C. e

possui esse nome devido os árabes o terem trazido para a Europa Ocidental,

provavelmente por meio dos viajantes e comerciantes.

Esse sistema dispunha de 9 algarismos diferentes e independentes

entre si; conheciam o princípio da posição e conheciam o zero (o zero ainda

não escrito, somente falado e com a finalidade de preencher os espaços

vazios) e com isso inventaram o cálculo e o tornaram acessíveis a toda

população da época (IFRAH, 1994). Esses algarismos indo-arábicos nos

permitem escrever todos os números e com suas regras de escrita constituem

o sistema de numeração decimal com seus princípios de adição e

multiplicação.

A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das ideias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento; enxergar os homens que criaram essas ideias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta história é um valioso instrumento para o ensino aprendizado da própria matemática. Podemos entender porque cada conceito foi introduzido nesta ciência e porque no fundo ele sempre era algo natural no seu momento (FARAGO, 2003, p.17).

Em toda a evolução da humanidade, as ideias matemáticas vêm

definindo estratégias de ação para lidar com o ambiente, criando e desenhando

instrumentos para esse fim e buscando explicações sobre os fatos e

fenômenos da natureza como também para sua própria existência.

IMPLEMENTAÇÃO DAS ATIVIDADES - RESULTADOS E DISCUSSÕES O projeto PDE teve início por meio de uma conversa informal com os

alunos do 6º ano do período vespertino sobre os números, sua importância e

utilidade, na qual os alunos foram expressando-se de forma natural e

espontânea. Na primeira atividade buscamos incentivar que os alunos

elaborassem seus relatos histórico-numéricos. Nosso objetivo foi que os alunos

relacionassem os números com a sua história de vida e expressassem

aspectos do seu cotidiano de forma numérica utilizando os algarismos do

sistema hindu-arábicos.

Assim a conversa fluiu naturalmente com os alunos contando sobre o dia

em que nasceram (seu aniversário), o mês, ano (alguns sabiam até a hora em

que nasceram), a idade de cada um, idade dos pais, irmãos, avos, primos, tios,

etc. Os alunos observaram e analisaram a importância e utilização dos

números em nossa vida cotidiana.

Na segunda atividade, baseados em Van De Walle (2009), conversamos

com os alunos a respeito da mão humana, de como ela se constitui uma

espécie de “instrumento natural” para contar, até mesmo nos dias atuais, com

tantos recursos tecnológicos para a realização dos cálculos matemáticos.

Enfatizamos o número de conjuntos de 10 dedos e os dedos unitários

(associando a base dez) e encaminhamos a discussão para a necessidade dos

registros escritos e dos sistemas de numeração. Comentamos que vários

povos tinham registros e sistemas diferentes.

A partir da terceira atividade discutimos como os números tiveram seus

primeiros registros históricos e sobre a importância para o desenvolvimento da

humanidade enquanto civilização humana. Foram apresentados alguns desses

primeiros registros históricos e em seguida, fizemos uma retomada das

respostas solicitadas na atividade 1. Foi discutido com os alunos que os

números também possuem sua história (não “surgiram” do nada), por meio da

história do pastor que todos os dias pastoreava suas ovelhas e

cuidadosamente associava cada ovelhinha do seu rebanho à uma “pedrinha”,

“gravetos”, “nós em cordas”, “riscos ou entalhes em madeiras”, “conchas”. Os

alunos demonstraram bastante interesse, atenção e curiosidade a cada “etapa”

seguinte da histórias que fomos comentando. As informações por meio de

material concreto: cordas, pedrinhas, madeira com entalhe, risquinhos em

madeiras, gravetos secos, enfatizando aos alunos que cada pastor tinha sua

própria maneira de contar seu rebanho, dependendo de sua região. Isso

despertou a curiosidade em conhecer um pouco mais sobre esses povos e

suas formas primitivas de contagem. Foi apresentado, também, que havia

povos, como os árabes, que utilizaram nós em cordinhas, que serviram durante

muito tempo, não apenas para a enumeração concreta, mas também para

indicar contratos e recibos.

Segundo Ifrah (1994) É o que atesta a própria língua árabe: a palavra

“aqd” significa literalmente “o nó”, e também tem o sentido de “contrato” e

designa toda classe de números constituída pelos produtos das nove unidades

vezes uma potência de 10 (assim vários autores árabes mencionam o nó das

dezenas, o nó das centenas, o nó das milhares etc.).

Foi ainda lembrado que o processo das cordinhas com nós não foi o

único a atender à necessidade de representação dos números. O método mais

universalmente comprovado na história da “contagem”, além de ser o mais

antigo, é o de marcação em ossos ou em pedaços de madeira entalhado

(IFRAH, 1994, p. 104). Um outro método concreto, também universalmente

testado, desempenhou um papel importante na história da aritmética e da

contabilidade: é o dos “montes de pedras” (ou dos agrupamentos de

pauzinhos, conchas, frutos duros, etc...) (IFRAH, 1994, p. 116). Também foi

mencionado que a palavra “cálculo” vem do latim: calculus e que em português

significa pedra, inclusive, associado ao porquê de chamarmos pedra nos rins

ou cálculo renal na medicina popular). Questionados sobre como fariam para

contar algo importante vivendo naquela época, se não possuíssem um sistema

de numeração, muitos deles disseram que iriam efetivar seus registros

numéricos por meio de risquinhos ou pedrinhas. Foi lembrado, também, que a

mão humana é a primeira máquina de contar (os dedos), como foi visto na

atividade 2 (IFRAH, 1994).

Depois de todas essas discussões, foi apresentado o vídeo “A história

dos números”, com duração de 9:38 minutos, com alguns momentos de pausa

em que ocorreram discussões os fatos apresentados no vídeo, sobre os

números e sua relevante importância em nosso cotidiano. Foram relembradas

as informações trabalhadas na atividade 1, os números nos primórdios da

humanidade (homens das cavernas) à qual “instigou” de forma mais efetiva o

aluno a pensar a forma de agrupamento.

Iniciou-se um debate sobre o sistema de numeração dos maias com sua

base vigesimal dando ênfase ao surgimento do zero. Em seguida, destacou- se

as formas de representação numérica dos Gregos, Hebreus, Romanos e Indo-

arábicos (nosso sistema de numeração presente até os dias atuais).

Concluiu-se que os números nem sempre existiram da maneira como

hoje os conhecemos e que são resultados da invenção do ser humano, sua

necessidade de contar e registrar essa contagem e que houve diferentes

representações a partir da necessidade e do contexto de cada uma das

civilizações.

Nas atividades seguintes conhecemos um pouco mais os sistemas de

numeração egípcio, maia, romano e o indo-arábico, conforme apresentado

adiante. Foi trabalhado o conceito do valor posicional numérico e discutidas as

informações que os alunos obtiveram em suas pesquisas realizadas (que foram

solicitadas anteriormente), destacando alguns aspectos de cada sistemas de

numeração, e utilizamos a obra de Ifrah (1994): Os números, a história de uma

grande invenção, como nosso apoio.

Foi apresentado aos alunos o sistema de numeração egípcio, seus

símbolos e foi feita uma comparação com o nosso sistema de numeração que

também é decimal. Os egípcios efetuavam as quatro operações aritméticas

com seus símbolos: algarismos hieroglíficos que eram eficientes para a sua

época. Foi pedido que os alunos representassem, utilizando o sistema de

numeração egípcio: a) sua idade atual b) o dia do seu aniversário c) o número

da sua casa/apartamento d) o total de alunos da sala de aula e) o CEP da

cidade de Marialva e) somassem sua idade atual com a idade do seu colega de

sala de aula que estivesse à sua direita. Em seguida, os alunos relataram que

nos números egípcios os símbolos utilizados e seus respectivos significados

eram bastante diferentes, como por exemplo, 15 é diferente de 51.

Para o sistema de numeração maia, os alunos conheceram sua

simbologia, valor posicional e características da base vigesimal, destacando

que os povos maias utilizavam apenas 3 símbolos numéricos: a concha, o

ponto e a barra. A base vigesimal considerava os números 4, 5 e 20 como

sendo importantes, pois o 5 representava os 5 dedos; o 4 representava 4

grupos de 5 dedos e o 20 formava o corpo humano por completo. Os maias

são considerados os responsáveis pela invenção do zero no continente

americano. A inclusão do zero nos sistemas de numeração tanto facilitou a

realização das operações matemáticas como também a representação. Em

seguida, os alunos realizaram na representação do sistema maia, sem a

utilização do zero, nas atividades propostas: a) número de meninas presentes

na sala de aula hoje b) número do seu calçado (sapato, tênis, sandália, chinelo)

c) quantas pessoas moram na casa do aluno. d) gasto mensal de água da casa

dele(a). e) valor pago pelo consumo de energia elétrica ao mês.

A princípio, os alunos acreditavam que seria muito fácil utilizar o sistema

maio, devido utilização de apenas três símbolos, porém, durante a efetivação

da atividade proposta perceberam ser difícil a realização dos cálculos

numéricos.

Para o sistema de numeração romano, os alunos conheceram suas

características, reconheceram sua utilização nos dias atuais, a história da

civilização romana. Assim como outros povos das civilizações antigas, os

romanos criaram seu próprio sistema numérico, o qual, mesmo apresentando

dificuldades operatórias, acabou perdurando durante todo o império romano.

Apesar de apresentarem um nível cultural elevado devido suas conquistas

territoriais e o aprendizado com os seus colonizados, os romanos possuíam um

sistema numérico complexo mas de pouca operacionalidade. Os antigos

romanos utilizavam um sistema de numeração bem diferente do que os

sistema de numeração romano que conhecemos atualmente, o qual resultou de

um longo processo de evolução. O desenvolvimento dos povos antigos trouxe

consigo uma necessidade de realizar operações maiores para solucionar

alguns problemas do seu cotidiano e com isso também tiveram que aprender a

fazer muitos cálculos matemáticos. Os números romanos eram representados

por 7 símbolos e já tinham uma ordem e um valor específico. Foi, então,

dialogado com os alunos sobre os números romanos. Eles realizaram uma

pesquisa e por meio de materiais que trouxeram, mostramos a utilização dos

números romanos ainda na atualidade, tais como: relógios de parede, páginas

de livros, nomes de ruas, reis, papas, títulos de congressos, assembleias,

olimpíadas, denominação de séculos, transcrições de leis. Foi ressaltado que

esse sistema de numeração espalhou-se por todo o ocidente em consequência

da expansão do império romano ao longo dos séculos e tal sistema de

numeração apresenta símbolos (letras maiúsculas) as quais são atribuídos

valores numéricos e também são relacionados à mão humana, tais como o I ;

II; III; IV; V e o X.

Depois, pediu-se que registrassem: a) a primeira e a última página do

livro de matemática; b) o horário que o aluno costuma levantar-se para vir para

à escola; c) quantos papas já antecederam o atual papa Francisco; d) o

número da sua residência; e) dia do aniversário de nossa cidade de Marialva e

quantos anos, e que tentassem realizar as operações f) CCXLVII + XCIX; g)

XXXIII + XCVIII e h) MCDXXXII + MMCDLXVIII.

Os alunos apresentaram facilidade na efetivação das atividades

propostas por terem conhecimento do sistema de numeração romano já em

séries anteriores, porém, quanto à efetivação dos cálculos numéricos,

apresentaram uma certa dificuldade com o valor posicional desse sistema de

numeração quando aparecia dois símbolos romanos com um menor valor vindo

antes do maior valor (por exemplo, IV= 5-1=4 e IX= 10-1=9). Ainda,

perceberam que o V, L e D não podem ser duplicados, pois possuem outras

letras que representam seu valor numérico (X, C e M); que as letras I, X e C

(respectivamente) são sempre colocadas à esquerda de outra de maior valor

para representar a diferença delas (I coloca-se à esquerda de V ou de X; C

coloca-se à esquerda de D ou de M).

Na atividade 8, “Escrever os Números com Risquinhos”, os alunos

perceberam a vantagem do valor posicional e do espaço para representar a

escrita do sistema de numeração. Considerando cada um dos sistemas

discutidos até então, observaram a relação entre o tamanho do número e o

espaço necessário para representá-lo no caderno: a) meia dúzia b) número de

planetas do sistema solar c) sua temperatura corporal d) número de estados

do Brasil. Quando solicitados representar certas quantidades somente com o

uso de “risquinhos” concluíram que uma das desvantagens de marcar

risquinhos um a um é que o espaço de que se necessita para registrar um valor

cresce muito depressa, como por exemplo, representar o valor 100 exige que

sejam feitas cem marcas. No sistema indo-arábico, para representar 100 (uma

centena) exige-se apenas três símbolos, e nos sistemas grego e romano, só é

preciso um símbolo.

Na atividade 9, foi trabalhada a importância do zero nos sistemas de

numeração(baseados em Berlinghoff e Gouvêa (2010)). Comentamos sobre

como o zero surgiu como um “ocupante de lugar”, um símbolo para indicar que

algo foi saltado. Alguns acontecimentos foram revolucionários na história da

humanidade: o domínio do fogo, o desenvolvimento da agricultura o progresso

do urbanismo e o progresso da tecnologia. Do mesmo modo, a invenção da

escrita e a invenção do zero e dos algarismos denominados arábicos

modificaram completamente a existência do ser humano (IFRAH, 1994, p. 130).

Assim como a escrita, o zero e nossos números modernos figuram, portanto,

entre os mais poderosos instrumentos intelectuais de que o homem de hoje

dispõe. Quando solicitamos aos alunos que explicassem com suas palavras o

significado de “zero” e “nada”, eles apresentaram respostas como: zero à

esquerda, sem valor algum, nada é nada, zero é zero, zero não tem valor

numérico, é um lugar vazio, enfim, várias demonstrações de que zero não tem

valor. Ao conferir no dicionário os seus significados, concluíram que muitas

pessoas usam as palavras “zero” e “nada” de forma permutável. Em algumas

situações isso é aceitável, em outras, não. Os alunos (ainda com o uso do

dicionário) escreveram um pequeno texto explicando cada caso: ou seja, em

quais circunstâncias zero significa simplesmente a ausência de coisas e em

quais circunstâncias ele de fato representa alguma coisa (possivelmente

abstrata). Fizemos, então, uma revisão dos momentos anteriores e pedimos

que os alunos realizassem um trabalho de pesquisa, em pares, em que

pudessem explicar como poderiam utilizar os algoritmos usuais para a adição e

subtração sem tratar o zero como um número. Pesquisaram também a palavra

algoritmo e efetuaram o registro no caderno; logo após, houve um debate sobre

qual a importância do zero para nossos números e sua utilização nos dias

atuais, além de uma pesquisa na secretaria da escola com o total de alunos

matriculados em cada período escolar e seu número de registro escolar, onde

constatou-se de maneira bem ampla e marcante a utilização do símbolo que

representa o zero.

As características do Sistema de Numeração Indo-Arábico começaram a

ser trabalhadas a partir da atividade 10, com o objetivo de compreender e

formalizar o sistema de numeração. Relembramos que os números estão

presentes em vários momentos do nosso cotidiano; são utilizados por nós em

várias situações; que são utilizados em todas as operações como a adição,

subtração, multiplicação e divisão; possui uma base decimal (a base mais

comum) e são utilizados dez símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 onde os nove

primeiros representam as unidades da primeira ordem e o décimo, o conceito

de “zero” e que os mesmos podem ser agrupados a cada dez unidades, dez

dezenas e dez centenas (dez em dez). Houve a realização de atividades com

intenção de trabalhar o princípio aditivo e a decomposição de números. Muitas

das ideias dessas atividades foram baseadas em Berlinghoff e Gouvêa (2010).

Os próprios alunos destacaram algumas características sobre o sistema

de numeração indo-arábico: 1) ser um sistema decimal (de base 10); 2) utilizar

10 símbolos; 3) ser um sistema posicional (o valor do algarismo depende da

posição que ocupa: Em 54, o 5 vale 50 e o 4 vale 4 mesmo... em 45, o 4 vale

40 e o 5 vale 5 mesmo); 4) O zero é utilizado para indicar a "posição vazia"

nos agrupamentos de 10 do número considerado. 5) ser um sistema que

permite efetuar operações sem grandes dificuldades. 6) É multiplicativo porque

um algarismo escrito à esquerda de outro vale 10 vezes o valor daquele que

está à sua direita. Exemplo: 2537 = 2x1000 + 5x100 +3x10 +7 unidades, onde

2 x 1000, o número 1000 = 103 ou 10x10x10=1000 e 500 = 5x 102 ou

podemos escrever 102 = 10 x 10 = 100, 3 x 10 = 3 x 101 e 7 = 7 x 1 = 7 x 100.

7) É aditivo, pois o valor do número é obtido pela adição dos valores

posicionais que os símbolos adquirem nos respectivos lugares que ocupam.

Exemplo: 444= 400+40+4 onde 4 centenas + 4 dezenas + 4 unidades. O

símbolo é o mesmo, porém com valores diferenciados devido sua posição e

seu valor posicional. Em seguida, foi potencializado um diálogo com os alunos,

os quais concluíram que o sistema indo-arábico é simples e eficiente devido

seu valor posicional e a utilização do zero.

Por fim, com o intuito de desenvolver o raciocínio matemático por meio

do uso da calculadora, demos ênfase à “primeira calculadora”: o ábaco romano

de bolso. Certos calculadores romanos da antiguidade usaram uma verdadeira

“calculadora portátil”, cuja invenção é anterior à era cristã; como nos diz Ifrah

(1994, p.121). E ainda, segundo Ifrah (1994, p.122), as representações

numéricas nesse instrumento eram feitas com facilidade.

Ressaltamos para o aluno que o ábaco foi utilizado por muito tempo ao

longo da história. Na China, o suan pan (nome chinês) tem até hoje um uso

quase universal, sendo encontrado tanto nas mãos do vendedor ambulante que

não sabe ler nem escrever, quanto nas do comerciante, do contador, do

banqueiro, do hoteleiro, do matemático ou do astrônomo. E até os japoneses

que se “informatizaram” consideravelmente, continuam a considerar o soroban

(nome japonês) como o principal instrumento usual de cálculo e como a

“bagagem” indispensável que se deve dispor todo escolar, vendedor ambulante

ou funcionário público (IFRAH, 1994, p.123) Assim, foram efetuadas uma

alguns cálculos com os alunos de maneira que só poderiam utilizar a

calculadora como instrumento. Organizados em pares foi distribuído uma

calculadora moderna e foi pedido que escrevessem o número 2017 utilizando

somente as teclas “1”, “0” e “+” da calculadora, os alunos efetivaram-na com

desembaraço e eficácia. Outras possibilidades também foram trabalhadas,

como 203 = 100 + 100 + 1 + 1 + 1.

Paralelamente à implementação das atividades com a turma do 6º ano,

a produção pedagógica foi discutida com os professores cursistas que

participaram do Grupo de Trabalho em Rede (GTR). Esses professores

debateram sobre a viabilidade do projeto e da produção didática em questão.

Eles professores consideraram que as atividades favoreciam a interação

dos alunos, a compreensão das características dos sistemas de numeração e

traziam uma relação da teoria com a prática do cotidiano de algumas

civilizações, de uma forma simples e clara. O trecho a seguir retrata um

comentário de uma professora participante do GTR:

“O mais interessante, partindo do pressuposto dos conhecimentos dos próprios alunos, das atividades propostas e das historicidades abordada, abriu-se um espaço para que cada aluno relatasse sua própria história, dando a devida importância aos fatos históricos que nortearam tais questionamentos, desde do dia, mês e ano do seu nascimento até os valores aos fatos e conceitos matemáticos que envolve todo processo.” (Comentário da professora 1, participante do GTR)

Essa importância também é enfatizada no comentário de outra professora:

Muito interessante esse trabalho em sala de aula principalmente para o Ensino Fundamental, pois está articulado aos conteúdos estruturantes (números e álgebras, grandezas e medidas, funções, geometria, tratamento de informações) e seus desdobramentos, conforme diretriz curricular de matemática. Isso ganhará significado na medida em que o desenvolvimento dos conteúdos parta de relações estabelecidas com os contextos históricos, sociais e culturais, aqui no caso o resgaste histórico do próprio aluno. (Comentário da professora 2, participante do GTR)

Quanto ao uso de elementos da História da Matemática,

Além de ser uma ferramenta metodológica muito útil, o uso da história da matemática nas aulas, passa para o aluno maior confiança no professor, uma vez que ele percebe que o que o professor ensina não é fruto de sua imaginação, mas que tem raízes históricas que permeiam o cotidiano das pessoas. E como a professora bem relatou, quando essa abordagem está atrelada ao cotidiano do aluno a possibilidade de uma aprendizagem significativa é maior. (Comentário da professora 3, participante do GTR)

Os professores participantes do GTR, de maneira geral, consideraram

que a produção didática estava adequada e houve algumas sugestões que

poderiam vir a ser consideradas para uma próxima implementação, como, por

exemplo, a elaboração de uma peça de teatro: organizar a turma em grupos e

solicitar que cada grupo representasse uma civilização.

CONSIDERAÇÕES FINAIS:

O desenvolvimento do presente estudo possibilitou oportunizar aos

alunos um conhecimento matemático com compreensão de aspectos históricos

sobre como este conhecimento originou-se, quais seus principais motivos,

contextos de outras civilizações antigas etc. A implementação das atividades

também tinham o objetivo de ressaltar a possibilidade de usar a história da

matemática como um recurso didático-pedagógico no intuito de ‘despertar’,

’instigar’ no aluno uma curiosidade sobre a matemática como uma

manifestação cultural de vários os povos, em diversos os tempos, com valores,

crenças, costumes, hábitos e linguagens específicas de cada civilização. Os

alunos foram capazes de perceber que os conhecimentos matemáticos foram

sendo construídos ao longo dos anos pela própria humanidade conforme suas

necessidades locais e específicas da época.

Durante a aplicação de atividades que buscaram um levantamento

histórico-numérico do aluno, observamos que a história específica de cada um

dos alunos com seus números oportunizou uma contribuição relevante e

positiva ao processo de ensino e aprendizagem matemática na turma do 6 ano

do Ensino Fundamental, uma vez que proporcionou um maior envolvimento

dos alunos, com interação e participação em sala de aula e nas pesquisas que

traziam, com envolvimento de seus familiares, inclusive.

Constataram que os números possuem sua história traçada e construída

pela própria humanidade, e que podemos identificar aspectos numéricos e de

contagem em vários momentos de nosso cotidiano, como, por exemplo, as

nossas mãos que podem ser instrumentos de contagem. Também foi

constatado, por meio de comparação com os sistemas de numeração egípcio,

maia e romano, que as características do sistema de numeração indo-arábico

são as mais eficazes para a nossa realidade numérica, para realizar operações

e algoritmos.

Registramos como positiva a experiência vivenciada por meio da

implementação envolvendo a história da matemática, a história dos números e

dos sistemas de numeração. Foi uma oportunidade de os alunos terem maior

‘familiaridade’, envolvimento e participação para com a escola, de os alunos

perceberem que sua própria história é representada por diversos números, e

principalmente, por proporcionar um compreensão acerca do desenvolvimento

do pensamento histórico matemático dos números naturais, dos sistemas de

numeração, suas relações com o cotidiano do aluno, etc. Entendemos que é

uma experiência que possa fazer parte da vivência de outros professores de

matemática.

REFERÊNCIAS BERLINGHOFF, Willian P.; GOUVÊA, Fernando Q. A Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. São Paulo: Edgard Blucher, 2010. BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais, 1998. FARAGO, Jorge Luiz. Do ensino da História da Matemática à sua contextualização para uma aprendizagem significativa. Florianópolis, 2003. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Produção) - Universidade Federal de Santa Catarina. Disponível em . Acesso em 15, Nov. 2017. IFRAH, Georges. Os Números: a história de uma grande invenção. 4. ed. São Paulo: Globo, 1994. 369 p. PARANÁ. Diretrizes Curriculares da Educação Básica, 2008. STRUIK, Dirk. J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1997.

VAN DE WALLE, John A. Matemática no Ensino Fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.