1 dxdyy2x6x2
O fato das integrais resolvidas nos exemplos 1 e 2 serem iguais Não é acidental. Se f é contínua, ento as duas integrais iteradas so sempre iguais. !i"emos #ue a ordem é irrelevante.
$ntretanto, uma %oa escol&a da ordem pode simplificar os c'lculos. $m alguns casos, pode no ser possível calcular a integral dupla para uma escol&a e ser possível para outra. (eremos isso mais tarde com exemplos.
$xemplo ) Calcule as integrais a%aixo*
a+ ∫ ∫  ) 
4.1 Teorema:
Se-a o ret/ngulo definido pelas desigualdades  %xa   ≤≤   , dyc   ≤≤ . Se f0x,y+ for contínua
neste ret/ngulo, ento*
∫∫    =     
    −
 
dy)2x2   , sendo a regio #ue
consiste de todos os pontos 0 x,y+ tais #ue 2x1   ≤≤−  e )y1   ≤≤ .
Exemplo 5
( ){ }1y,2x)*y,x.    ≤≤≤≤−= .
O%s* re#3entemente o ret/ngulo ( ){ }dyc, %xa*y,x.    ≤≤≤≤=   é expresso
como [ ] [ ]d,cx %,a  por simplificao.
Exemplo ! !etermine o volume do s5lido limitado acima  pelo plano yx4"   −−=   e a%aixo pelo ret/ngulo [ ] [ ]2,x2,  = .
Exemplo "
Calcule ∫∫   
[ ] [ ]π= ,x2,1 
4.2 I#$e%ra&' (pla' 'o*re re%&+e' %e#,r&-a'
4.2.1 De&#&/ão 1
a+ ma regio do tipo 7 é limitada 8 es#uerda e 8 direita por retas verticais x0a e x 0 * e é limitada a%aixo e acima por curvas contínuas 0%1x) e 0 %2x) onde %1x) %2x) para
a x * .
 %+ ma regio do tipo 77 é limitada a%aixo e acima por retas &ori"ontais 0- e 0 ( e é limitada 8 es#uerda e 8 direita por curvas contínuas x031) e x 0 32$) onde 31) 32x) para - x (
(e-a ig 1 e ig. 2.
 
4.2.2 Teorema
∫∫ ∫ ∫  =
 
 % 
∫∫ ∫ ∫  =
 
dxdy+y,x0f  d+y,x0f 
Exemplo Calcular o volume do s5lido delimitado superiormente pelo gr'fico de yx4"   −−= , inferiormente pela regio delimitada por x0
x0 2 0 e 2
1 x
cilindro vertical cu-a %ase é o contorno de .
 Resolução:
epresentamos na ig. ) a regio 0%ase deste s5lido+*
igura ) Re%&ão R 
ssim, 2x   ≤≤   e 2
1 y   +≤≤ , logo a
( )∫ ∫  +
−−=
1 y   =   x2
igura 4
;odemos ver #ue a regio pode ser en#uadrada nos dois tipos*
x2y 2
( )∫ ∫ ∫∫    +=+ 2 
ret/ngulo de vértices      
igura :
7ntegramos primeiramente em relao 8 x, e o%temos*
( )∫    π
π  
yseny
2
−−π+π−=
9am%ém poderíamos escol&er a mesma regio  porém integrar de forma invertida*
dx
1 
  2
∫ ∫         
   
 primeira integral ∫         
2 y
ssim, é necess'rio mudar os limites de integrao.

≤≤
≤≤ =
1  7
$sta integral podemos resolver por su%stituio de vari'veis. ssim temos*
4
compreendida entre as retas 1xy   +−=   , )
2 y e 1x
 Resolução:
Consideramos como uma regio do 9ipo 77. regio e a reta &ori"ontal correspondente ao  ponto fixo y so mostradas na ig. @.
;ara integrar numa regio do tipo 77, os limites es#uerdo e direito devem ser expressos so% a forma xA&10y+ e x A &20y+. ;or isso, devemos reescrever as e#uaBes dos limites y A −x1 e y A x1 como x A 1−  y e x A y −  1 respectivamente.
∫ ∫ 
∫∫  −
−      
    −=
=     
    −
) 
−=


−=
     
    −=

 
   
    +−− 
   
    −+=
−
−
−= 
   
    −
∫  ∫ 
∫ ∫∫ 
 Deste exemplo poderíamos ter tratado como uma regio do 9ipo 7, entretanto neste caso a fronteira superior é a reta y A ) 0 (e-a ig ?+ e a fronteira inferior consiste em duas partes, a reta y A >x 1 8 es#uerda e a reta y A x 1 8 direita da origem. ;ara fa"er esta integrao devemos separar a regio em duas partes conforme mostra a ig. ?.
ssim, a soluo da integral deveria ser*
∫ ∫ ∫ ∫ 
∫∫ ∫∫ ∫∫ 
+    
   
    −+
− +−    
   
    −=
     
    −+ 
   
    −= 
   
    −
O resultado desta integrao é o mesmo mostrado anteriormente.
I#8er'ão (a or(em (e &#$e%ra/ão
Es ve"es, o c'lculo da integral iterada pode ser  simplificado invertendo>se a ordem de integrao. $ste pr5ximo exemplo ilustra esta situao.
Exemplo 19 Calcule
Como no existe antiderivada elementar de 2 x
e , a integral no pode ser resolvida integrando>se  primeiro em relao a x. ;ara solucionar este  pro%lema devemos calcular essa integral expressando>a com a ordem inversa de integrao.
 Da integrao interna, x est' variando entre as retas yF2 e x A 1. (e-a ig G.
7nvertendo a ordem de integrao devemos definir os limites.
O%servando a ig. G, podemos ver #ue fixando x de 8 1, y ir' variar de "ero 8 2x.
2 1
≤ ≤ ≤ ≤
= = ≤ ≤≤ ≤  
∫ ∫ 
∫ ∫  =
=
=

=
=



=
∫  ∫ 
Exemplo 14 Se-a a regio do plano x>y delimitada pelos
gr'ficos de 2 x1y   =   e y2  A 2x. Calcule
d
Sol/ão: ig 1 apresenta o gr'fico desta regio .
igura 1
 
temos*
∫ ∫ ∫∫         
    +=+
mesmo resultado, isto é, )
:  xcosy ,
inverta a ordem de integrao e calcule a integral resultante.
Sol/ão:
O%servamos #ue da maneira como est' definida esta integral, fica difícil a sua resoluo. ssim, uma mudana na ordem de integrao poder' nos facilitar o tra%al&o.
O%servamos pela ig.11 #ue a regio est' definida com as fronteiras es#uerda e direita  pelos gr'ficos de yx =   e x A 2, respectivamente com 4y   ≤≤
igura 11  Dotamos #ue tam%ém pode ser definida pelas fronteiras inferior e superior dadas por 
2 xye y   ==   respectivamente, com 2x   ≤≤ . ssim, a integral pode ser calculada
como sendo*
7A ∫ ∫  4 
4x  ∫   
$sta integral pode ser resolvida com uma simples su%stituio de vari'veis. 0u+.
ssim, temos #ue*
E.1 7al-le a' &#$e%ra&' (pla' a*a&xo:
  1 

≤≤
≤≤

≤≤
≤≤




≤≤
≤≤
2x1ye 2x2y*!   +==
E.4 De$erm&#e o 8olme (o 'l&(o ;e e'$< -o#$&(o a*a&xo (o para*ol&(e
2 y
2 x"   +=   e a-&ma (a re%&ão D (o
pla#o x l&m&$a(a pela re$a 0 2x e pela par<*ola 0 x2.
E.5 7al-le a &#$e%ral
∫ ∫  1 
re$=#%lo 6y , 2x   ≤≤≤≤ .
4ye 2xy   == .
o#(e R , a re%&ão (el&m&$a(a por
xye  2
2 y , 
2 x
E.11 7al-lar ∫∫         
xye 4  x, y   === .
2 y e 1>y, :  x, 1> 2
yx   ====
 Respostas
 E.1.

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 Teorema
∫∫∫ ∫ ∫ ∫  =
xy"+",y,x0f +c   =
Re'p: )
6?
$H$CIC7OS E.19 7al-le a' 'e%&#$e' &#$e%ra&' $r&pla':
∫ ∫ ∫  − −1