7. modulo3 - els

ESTRUTURAS DE BETÃO I

FOLHAS DE APOIO ÀS AULAS

MÓDULO 3

VERIFICAÇÃO DO COMPORTAMENTO EM SERVIÇO

(ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO – SLS)

Coordenação: Júlio Appleton

Ano Lectivo 2011/2012

ÍNDICE

1. INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 98

1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO ............................................................ 98

1.2. ACÇÕES ............................................................................................................................. 98

1.3. MATERIAIS .......................................................................................................................... 99

1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados limites de

utilização .............................................................................................................................. 99

1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão ........................................................................ 100

2. ESTADO LIMITE DE FENDILHAÇÃO ................... .............................................................. 105

2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO ........................................................................................... 105

2.2. ABERTURA DE FENDAS ...................................................................................................... 108

2.2.1. Determinação da extensão média relativa entre o aço e o betão........................... 109

2.2.2. Determinação do valor característico da largura de fendas ................................... 110

2.2.3. Cálculo de tensões com base na secção fendilhada (flexão) ................................. 114

2.3. ARMADURA MÍNIMA............................................................................................................ 118

2.3.1. Tracção .................................................................................................................... 118

2.3.2. Flexão ...................................................................................................................... 119

2.4. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO (NO QUE RESPEITA AO ASPECTO E À DURABILIDADE) ........... 126

2.5. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2) ............................................... 128

3. ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO .................... ............................................................. 129

3.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO ............................................................................................... 129

3.1.1. Deformação em fase não fendilhada (Estado I) ...................................................... 129

3.1.2. Deformação em fase fendilhada (estado II) ............................................................ 129

3.2. LIMITE DE DEFORMAÇÃO ................................................................................................... 136

3.3. CONTROLO INDIRECTO DA DEFORMAÇÃO ............................................................................ 136

Estruturas de Betão I

MÓDULO 3 – Verificação da segurança aos estados limites de utilização 98

1. Introdução

1.1. VERIFICAÇÃO AOS ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO

Objectivo: Garantir um bom comportamento das estruturas em situação corrente de serviço

(controlar o nível de fendilhação, limitar a deformação e controlar a

vibração).

Em condições de serviço,

− as acções tomam valores reais previstos (não são majoradas);

− o comportamento dos materiais é simulado através da utilização das

propriedades médias (não minoradas).

1.2. ACÇÕES

Para verificação aos estados limites de utilização são utilizadas combinações de

acções com diferentes probabilidades de ocorrência:

� Combinação rara: pequena probabilidade de ocorrência (estado limite de muito

curta duração – algumas horas no tempo de vida da estrutura)

Gm + Qk + ∑i ψ1i Qik

� Combinação frequente: probabilidade de ocorrência superior ou igual a 5% do

tempo de vida da estrutura (estado limite de curta duração)

Gm + ψ1 Qk + ∑i ψ2i Qik

� Combinação quase-permanente: probabilidade de ocorrência superior a 50% do

tempo de vida da estrutura (estado limite de longa duração)

Gm + ∑i ψ2i Qik

Gm – valor médio das acções permanentes

Qk – valor característico da acção variável base

Qik – valor característico das restantes acções variáveis



1.3. MATERIAIS

1.3.1. Propriedades dos materiais para verificação da segurança aos estados

limites de utilização

(i) Aço

fyd

σs

fyd

εs

Es

0.2%

fyk

curva simplificada de cálculo aos E.L. Últimos

curva realcurva característicacurva de cálculo

E.L. Utilização

Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização,

Es = 200 GPa

εs

σs



(ii) Betão

εc

σc

0.85 fcd

3.5‰2‰

fck

Ec

0.4 fcm

εc

curva real

curva característica

curva simplificada de cálculoaos E.L. Últimos

fcm

Para a verificação da segurança aos estados limites de utilização,

Ec

εc

σc

fctm

Nota : As propriedades mecânicas do betão variam ao longo do tempo devido aos

efeitos diferidos (fluência e retracção).

1.3.2. Efeitos diferidos no tempo do betão

A deformação do betão ao longo do tempo depende de dois efeitos:

− Fluência (depende da actuação das cargas)

− Retracção (independente do estado de tensão)



1.3.2.1. Fluência

Definição: Aumento da deformação no tempo sob a acção de um estado de tensão

(originada pela variação de volume da pasta de cimento que envolve os inertes).

(i) Exemplo:

(a) Instante de aplicação da carga (t0)

p

εc(to)

εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)

(b) Tempo t∞

p

εc(to)

εcc(t∞,to)

εcc (t∞, t0) = ϕ (t∞, t0) εc (t0)

onde,

εcc(t∞,t0) representa a deformação por fluência

ϕ (t∞,t0) representa o coeficiente de fluência (quociente entre o incremento de εc no

intervalo de tempo [t∞, t0] e o εc (t0))

Para idades de carregamento usuais, ϕ (t∞, t0) ≅ 2 a 4. Em geral, poderá utilizar-se o

valor ϕ ≅ 2.5.

(ii) Determinação da deformação a longo prazo (t∞) tendo em consideração o efeito da

fluência

t∞ = 10 000 dias (≅ 27 anos)

εc (t∞, t0) = εc (t0) + εcc (t∞, t0) = εc (t0) + ϕ (t∞, t0) εc (t0) = σc (t0)Ec (t0)

+ ϕ (t∞, t0) σc (t0)Ec (t0)

⇔

⇔ εc (t∞, t0) = σc (t0)Ec (t0)

(1 + ϕ) = εεεεc (t0) (1 + ϕϕϕϕ)

⇒⇒⇒⇒ εεεεc (t∞∞∞∞, t0) = σσσσc

E*c , com E*

c = E c

1 + ϕ



Para determinar a deformação de uma estrutura, há que calcular em primeiro lugar, a

deformação elástica e depois a deformação a longo prazo por efeito da fluência.

A fluência do betão depende de:

− idade do carregamento (t0)

− período do carregamento [t, t0]

− humidade relativa do ambiente (> humidade ⇒ < fluência)

− temperatura relativa do ambiente (> temperatura ⇒ > fluência)

− composição do betão

− consistência do betão

− forma da secção

(iii) Efeito da fluência na deformação de uma viga

p

δ

δ = f 1

R

pelo P.T.V., δ = ⌡⌠

L M .

1 R dx

Como se pode observar na figura seguinte, a fluência do betão provoca um aumento

da deformação da zona comprimida e, consequentemente, um aumento da curvatura.

d

(+)

(-)

εc(to)

εs

εc(to)

(+)

εs

(-)

εcc(t,to)

1R (t, t0)

= |εc (t0)| + |εcc (t, t0)| + εs

d

Deste modo, a flecha da viga aumenta, devido à deformação originada pela fluência.



1.3.2.2. Retracção

Definição: variação da dimensão de uma peça de betão (diminuição da dimensão) no

tempo, independentemente do estado de tensão da peça (na ausência de variações

de temperatura e de tensões aplicadas).

(i) Exemplo

εcs(t∞,to)

to t∞

εcs (t∞, t0) ≅ - 200×10-6 a - 400×10-6 = - 2.0×10-4 a - 4.0×10-4

100 m

ε = ∆LL ⇒ ∆L = ε × L

∆L=-4.0×10-4×100m=-0.04m

(uma ponte de 100 m diminui 4 cm apenas devido ao efeito da retracção).

A retracção pode ser tratada como um problema de variação da temperatura com um

valor de ∆Tequivalente

α = 10-5/°C – coeficiente de dilatação térmica do betão

εcs = -2 × 10-4 a -4×10-4 ⇒ ∆Tequivalente = -20°C a -40°C

(ε∆T = α × ∆T = 10-5/°C × (-20° a -40°) = -2×10-4 a -4×10-4)

Se a retracção livre for impedida por restrições ao nível da secção ou da estrutura,

produzir-se-ão tensões que podem levar à ocorrência de fendilhação.



A retracção do betão depende de:

– Humidade e temperartura relativa do ambiente

– Consistência do betão na altura da betonagem

– Forma da secção (espessura fictícia do elemento)

(ii) Efeito da retracção na deformação de uma viga

εs

εc

d (-)

Curvatura: 1R =

εs - εd

A retracção do betão provoca uma curvatura na peça por efeito da restrição à

deformação provocada pela armadura ⇒ deformação.

δ

δ = f 1

R

pelo P.T.V., δ = ⌡⌠

L –M.

1 R dx



2. Estado Limite de Fendilhação

2.1. MECANISMO DA FENDILHAÇÃO

Considere-se a seguinte barra sujeita à tracção.

N

σc

N As

Ac

com σc = N Ac

σs = εs Es ; σc = εc Ec

como εs = εc ⇒ σs σc

= Es Ec

⇔ σs = Es Ec

σc ⇔ σσσσs = αααα σσσσc , com α = Es Ec

Se σc = fctm → fendilhação ⇒ Todo o esforço passa a ser absorvido pela armadura

A tensão no aço aumenta bruscamente

Após o aparecimento da primeira fenda, ou seja, em secção fendilhada,

NN

σc = fct ⇒ fct Ac = As ∆σs ⇔ ∆σs = Ac As

fct

⇒ ∆σ∆σ∆σ∆σs = 1 ρ ρ ρ ρ fct , com ρ =

As

Ac (% de armadura)

(∆σs – aumento de tensão no aço no instante da fendilhação)

ρ

σs

fyk

ρmin

∆σs

α fct

σσσσs = αααα fct + ∆∆∆∆σσσσs

ρmin - % de armadura mínima para que a armadura não atinja a cedência (não

plastifique) no instante da formação da 1ª fenda.



Por efeito da aderência aço/betão, na região adjacente à fenda ocorre uma

transferência de tensões do aço para o betão.

N N

σc

τm

s

σc = N Ac

= fct ⇔ N = fct Ac

Quando as tensões na secção atingem uma distribuição uniforme, poderá ocorrer

outra fenda.

A distância entre fendas (s) obtém-se através de:

Nsolicitante,serv = Nresistente ⇔ fct Ac = τm × Acontacto ⇔ fct Ac = τm × u × s ⇒ smin = fct

τm ×

Ac

u

Como ρ = As

Ac ⇔ Ac =

As

ρ = πφ2

4ρ e u = πφ ⇒ Ac u =

πφ2 4ρ ×

1 πφ =

φ 4ρ

∴∴∴∴smin = fct

ττττm ×××× φφφφ

4ρ ρ ρ ρ

Caso se trate de um problema de flexão (e não de tracção pura), a distribuição de

tensões na zona traccionada é triangular.

s

τm

fct

M

Dado que Nsolicitante = fct × Ac × 12 , smin =

fct ττττm ××××

1 2 ××××

φφφφ 4ρ ρ ρ ρ

A transmissão de tensões do aço para o betão através da aderência ocorre apenas

numa zona restrita em torno da armadura.

hc,ef

d

Ac,ef Ac,ef representa a área efectiva de betão mobilizada por aderência, sendo a altura hc,ef

definida através de:

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h – x)/3; h/2]



Poderá definir-se então uma percentagem de armadura (ρp,ef) relativa à área de betão

efectiva, calculada de acordo com a expressão

ρp,ef = As

Ac.ef

Deste modo, a distância mínima entre fendas poderá ser calculada através de

smin = 0.25 k1 k2 φφφφ

ρρρρp,ef

onde,

k1 - coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões, e que

toma os seguintes valores

0.8 para varões de alta aderência (nervurados ou rugosos)

1.6 para varões lisos

k2 - coeficiente que tem em conta a forma da distribuição de extensões na secção, e

que toma os seguintes valores

0.5 para flexão

1.0 para tracção simples

No caso de tracção excêntrica, ou para vigas altas, devem utilizar-se valores

médios de k2, que podem ser calculados pela expressão:

M

Ac,ef

ε2

ε1

k2 = ε1 + ε2

2 ε1

k2 = 1.0 ⇐ ε1 = ε2 (tracção pura)

0.5 ⇐ ε2 = 0

Nota: Quando forem utilizados, na mesma secção transversal, varões com diâmetros

diferentes, deve ser utilizado na expressão um diâmetro equivalente (φeq), dado por

φeq = n1 φ1

2 + n2 φ22

n1 φ1 + n2 φ2

O Eurocódigo 2 define uma distância máxima entre fendas que pode ser calculada

através da seguinte expressão:

sr,max = 3.4c + 0.425 k 1 k2 φφφφ

ρρρρp,ef (= 1.7 srmin + 3.4 c)

onde c representa o recobrimento das armaduras.

Conclusões:

� menor φ ⇒ menor distância entre fendas

� maior quantidade de armadura ⇒ menor distância entre fendas



2.2. ABERTURA DE FENDAS

Elemento de betão armado sujeito à tracção

sss

N N

sss Ac

As

w w

w - abertura de fendas

s - distância entre fendas

εs = ∆L

L = w s

⇒ w = s εεεεs

εs = σs Es

e σs = N As

Problemas que surgem no cálculo real da abertura de fendas:

− Determinação da distância entre fendas;

− Aderência aço/betão que obriga o betão a deformar-se, sendo a deformação relativa

entre os dois materiais que interessa para o cálculo da abertura de fendas (w = s εsr).

NN

L0

L

srm

σs

σc

εs;εc

εsm

εcm εsr εsrm

onde,

εsm = ∆LL0

= L - L0

L0 (deformação média da armadura)

εsr – extensão relativa entre o aço e o betão

εsrm – extensão média relativa entre o aço e o betão



2.2.1. Determinação da extensão média relativa entr e o aço e o betão

A extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada pela seguinte

expressão:

εεεεsrm = εεεεsm – εεεεcm

(i) Determinação da extensão média do aço

Como se pode observar no gráfico seguinte, que representa a extensão média do aço

em função do esforço axial, a extensão média do aço é inferior à extensão do aço em

estado fendilhado (εsII), devido à contribuição do betão entre fendas.

N

εsm

I

II

εsm

N

Ncr

εsIIεsI

Contribuição do betão entre fendas

Deste modo,

εsm = Fs - Fc Es As

= σs As - kt fct,ef Ac,ef

Es As =

σs Es

- kt fct,ef

Es ρp,ef

onde

σs representa tensão no aço calculada com base na secção fendilhada;

kt é um factor de integração da distribuição de extensões, e que tem em conta a

duração ou a repetição das cargas (kt = 0.6 para acções de curta duração; kt = 0.4

para acções de longa duração);

fct,ef representa o valor médio da tensão resistente do betão à tracção (= fctm);

ρp,ef representa a percentagem de armadura relativa à área de betão efectiva

As

Ac.ef

(ii) Determinação da extensão média do betão

εcm = σc Ec

= Fc

Ec Ac =

kt fct,ef Ac Ec Ac

= kt fct,ef Ec



Deste modo, a extensão média relativa entre o aço e o betão pode ser determinada

através de

εsm – εcm = σs Es

- kt fct,ef

Es ρp,ef - kt

fct,ef Ec

= σs Es

- kt fct,ef

Es ρp,ef

1 +

Es ρp,ef Ec

⇒ εεεεsm – εεεεcm = σσσσs Es

- k t fct,ef

Es ρρρρp,ef (1 + ααααe ρρρρp,ef) com αe =

Es

Ec

2.2.2. Determinação do valor característico da larg ura de fendas

O valor característico da abertura de fendas obtém-se através da expressão que a

seguir se apresenta

wk = sr,max × εsrm = sr,max (εεεεsm - εεεεcm)



EXERCÍCIO 3.1

Considere a estrutura representada na figura seguinte.

6.00 3.00

sc = 12 kN/m

cp = 20 kN/m

γg = γq = 1.5

ψ1 = 0.6 ; ψ2 = 0.4

Materiais: C25/30

A400NR

Recobrimento:2.5cm

Secção do tirante: 0.25 × 0.25 m2

a) Verifique o estado limite último de tracção no tirante.

b) Calcule a abertura característica de fendas no tirante para uma combinação

frequente de acções.



RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO 3.1

ALÍNEA A )

1. Determinação dos esforços

3.006.00

p=1 kN/m

RA RB

ΣMA = 0 ⇔ RB×6 – 1 × 9 × 4.5 = 0

⇔ RB = 6.75kN

(reacção no tirante)

psd = 1.5 × (20 + 12) = 48 kN/m

Nsd.tirante = 6.75 × 48 = 324 kN (tracção pura)

As = Nsd fyd

= 324

348×103 × 104 = 9.31 cm2 ⇒ Adoptam-se 8φ12

ALÍNEA B )

1. Cálculo da distância máxima entre fendas

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ

ρp,ef

(i) Determinação de ρp,ef

ρp,ef = As

Ac.ef =

9.05 × 10-4 0.0583 = 0.0155

0.0925

0.065

h – d = rec + φest + φL

2 = 0.025 + 0.006 + 0.012

2 = 0.037m

2.5 (h – d) = 2.5 × 0.037 = 0.0925 m

Ac.ef = 0.25 × 0.25 – 0.065 × 0.065 = 0.0583 m2

(ii) Cálculo de sr,max

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ

ρp,ef = 3.4 × 0.025 + 0.425 × 0.8 × 1.0 ×

0.012 0.0155 = 0.348 m

(k1 = 0.8 – varões nervurados; k2 = 1.0 – tracção simples)



2. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão


- kt fct,ef

Es ρp,ef (1 + αe ρp,ef) =

= 202.9×103 200×106 - 0.4

2.6×103 200×106 × 0.0155 (1+ 6.56 × 0.0155) = 6.45 × 10-4

Nfr = Ncp + ψ1 Nsc = 6.75 (20 + 0.6 × 12) = 183.6kN

σs = Nfr As

= 183.6

9.05×10-4 = 202.9 MPa

kt = 0.4 – acções de longa duração

αe = Es

Ec =

200 30.5 = 6.56

3. Cálculo do valor característico da abertura de fendas

wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.348 × 6.45 × 10-4 = 0.224×10-3 m = 0.2 mm



2.2.3. Cálculo de tensões com base na secção fendil hada (flexão)

Se Mactuante > Mcr (= w × fctm) para o cálculo de tensões na secção, é necessário

considerar a secção fendilhada.

Em estado fendilhado (estado II), a LN não passa no CG da secção (a posição da LN

poderá ser obtida através do equilíbrio de momentos estáticos entre a zona

comprimida e a zona traccionada, ou através de tabelas).

2.2.3.1. Cálculo de tensões através de tabelas

As2

As1

d2

d

N

σs2

x

Ms

b

σs1

c

Valores constantes: β = As2/As1; d2/d

1) Parâmetros a calcular:

α = Es Ec

; ρ = AsL

b d ; es = Ms N

Ms – Momento actuante na secção em

relação à armadura As1

2) Em função dos parâmetros αρ e es/d ⇒ Cs

Cc

3) Resultados

σs1 = α Cs Ms

b d2 ; σs2 = α σc

x (x – 0.1d) ;

σc = - Cc Ms

b d2 ;

x = Cc

(Cc + Cs) d

Notas:

– Flexão simples → N = 0 ⇒ es d = ∞

– Flexão composta → N ≠ 0 ⇒ es d =

Ms/Nd



EXERCÍCIO 3.2

Considere a estrutura da figura seguinte (exercício 2.2):

4.00 4.00 4.004.00

10.00

3.00

S2

S1

Materiais: C25/30, A400NR

Acções:

Peso próprio

Revestimento=2.0 kN/m2

Sobrecarga = 3.0 kN/m2

Coeficientes de majoração:

γG = γQ = 1.5

Coeficientes de combinação:

ψ1 = 0.4 ; ψ2 = 0.2

Secção da viga: 0.30×0.85 m2

Espessura da laje: 0.15m

a) Determine a abertura de fendas na secção S1 para uma combinação frequente de

acções.




1. Cálculo dos esforços

pfrequente = cp + ψ1 sc = 28.25 + 0.4 × 12 = 33.1kN/m

(+)

DMF(-)

10.00

S2

3.00

S1

pfr

M frS1

MS1fr

= pL2

2 = 33.1 × 32

2 =149kNm

2. Cálculo do momento de fendilhação (Mcr)

σ = M w ⇒ Mcr = w × fctm =

bh2

6 × fctm = 0.30 × 0.852

6 × 2.6×103 = 93.9 kNm < MS1fr

fctm (C25/30) = 2.6MPa

Deste modo, para combinação frequente, a secção do apoio está fendilhada

3. Cálculo de tensões em estado II (Tabelas)

0.30

5φ16

2φ25

d M

As1 = A (5φ16) = 10.05cm2

As2 = A (2φ25) = 9.82cm2

ρ = As1

bd = 10.05 × 10-4

0.3 × 0.8 = 0.0042

β = As2

As1 =

9.8210.05 = 0.98 ≅ 1

d2/d ≅ 0.05 ; α = 15

Nota: para ter em conta o efeito de fluência pode tomar-se α ≅ 15 ou 18

α ≅

Es

Ec/(1 + ϕ)

αρ = 15 × 0.0042 = 0.063 →(pag.120)

Cs = 17.35

Cc = 6.03

Posição da LN: x = Cc

Cc + Cs d =

6.036.03 + 17.35 × 0.8 = 0.21m

Tensão na armadura: M = Mfr ⇒ σS = α Cs Mfr b d2 = 15 × 17.35 ×

1490.3 × 0.82 = 202 MPa



4. Cálculo da distância máxima entre fendas

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ

ρp,ef

(i) Determinação de ρp,ef

ρp,ef = As

Ac.ef =

10.05 × 10-4 0.0375 = 0.027

Ac,ef

hc,ef

hc,ef = min [2.5 (h - d); (h – x)/3; h/2]

h – d ≈ 0.05 m ⇒ 2.5 (h – d) = 2.5 × 0.05 = 0.125 m

(h – x)/3 = (0.85 – 0.21) / 3 = 0.21 m

h/2 = 0.85 / 2 = 0.43 m

⇒ Ac.ef = 0.30 × 0.125 = 0.0375 m2

(ii) Cálculo de sr,max

Sr,max = 3.4c + 0.425 k1 k2 φ

ρp,ef = 3.4 × 0.03 + 0.425 × 0.8 × 0.9 ×

0.016 0.027 = 0.283 m

k1 = 0.8 (varões nervurados)

0.125

0.21

ε1

ε2

k2 = ε1 + ε2

2 ε1 =

ε1 + 0.8 ε1

2 ε1 = 0.9

ε1

0.85 - 0.21 = ε2

0.85 - 0.21 - 0.125 ⇔

⇔ ε2 = 0.515 ε1

0.64 = 0.8 ε1

5. Cálculo da extensão média relativa entre o aço e o betão


- kt fct,ef

Es ρp,ef (1 + αe ρp,ef) =

= 202.0×103 200×106 - 0.4

2.6×103 200×106 × 0.027 (1+ 6.56 × 0.027) = 7.8 × 10-4

kt = 0.4 – acções de longa duração

αe = Es

Ec =

200 30.5 = 6.56

6. Cálculo do valor característico da abertura de fendas

wk = sr,max (εsm - εcm) = 0.283 × 7.8 × 10-4 = 0.22×10-3 m = 0.22 mm



2.3. ARMADURA MÍNIMA

2.3.1. Tracção

Considere-se o tirante de betão armado representado na figura seguinte,

fct

N N

Para que após a formação da 1ª fenda ocorram outras fendas, e dado que nesse

instante todo o esforço normal vai para a armadura, é necessário que a força

transmitida por esta para o betão conduza a uma tensão fct.

Ncr = Ac × fct ⇒ Ac × fct ≤ As fyk ⇒ As.min = Ac fct

fyk (Critério da não plastificação da armadura)

Esta situação é ilustrada nas figuras seguintes para o caso de tirantes em que se

aplica uma força e mede a deformação ou, inversamente se impõe a deformação e se

obtem a força. Neste último caso da deformação imposta na formação de cada nova

fenda o esforço axial baixa. No entanto, se As × fyk < Ac × fct, após a formação da

primeira fenda, não é possível ocorrerem outras, dado que, antes disso, a armadura

plastifica, não se podendo atingir mais o valor de fct.



2.3.2. Flexão

MMh/2

h

b

(-)

(+)

σc

fct

Área de betão traccionada: Act = b h

2

Força de tracção no betão: FT = 12 fct Act

⇒ As.min = 1 2 Act

fct fyk

De acordo com o Eurocódigo 2, a expressão para o cálculo da área de armadura

mínima toma a seguinte forma:

As.min = kc k Act fct.ef

σσσσs

onde,

As,min representa a área mínima de armadura a colocar na zona traccionada;

Act representa a área de betão traccionada;

σs representa a tensão máxima admissível na armadura imediatamente após a

formação da fenda, podendo ser adoptado o valor de fyk.

fct,ef representa o valor médio da resistência do betão à tracção na idade em que

se espera que ocorram as primeiras fendas;



k é um coeficiente que considera o efeito de tensões auto-equilibradas não

uniformes (diminuição da resistência efectiva à tracção devido a estados

autoequilibrados de tensões), cujo valor varia com a espessura (ou altura) do

elemento, de acordo com o gráfico seguinte:

1.0

h [m]

k

0.65

0.3 0.8

Para fendilhação devida a cargas aplicadas, k = 1.0

kc é um coeficiente que tem em conta quer a natureza da distribuição de tensões

na secção, imediatamente antes da fendilhação, quer a alteração do braço da

força.

� Para tracção simples: kc = 1.0

� Para flexão simples ou composta:

• Para secções rectangulares ou almas de secções em caixão ou em “T”

kc = 0.4

1-

σc k1 (h / h*) fct,ef

≤ 1.0

• Para banzos de secções em caixão ou em “T”

kc = 0.9 Fcr

Act fct,ef ≥ 0.5

onde,

σc representa a tensão média actuante no betão, na zona da secção em

consideração (σc = NEd / b h);

NEd representa o valor do esforço normal actuante para a combinação

de acções utilizada (compressão com sinal positivo);

k1 é um coeficiente que considera o efeito dos esforços normais na

distribuição de tensões: k1 = 1.5 se o esforço normal for de compressão;

k1 = 2h*/3h se o esforço normal for de tracção;



h* = min (h; 1.0 m);

Fcr representa o valor absoluto da força de tracção no banzo, no

instante que antecede a fendilhação, devida ao momento de

fendilhação (Mcr calculado utilizando o valor de fct,ef).

Casos particulares

(i) Armadura mínima de flexão simples


σs= 1 × 0.4 ×

Ac

2 × 3

400 = 0.15% Ac

(valor indicado no REBAP para A400)

k = 1.0 (cargas aplicadas)

kc = 0.4

1-

σc k1 (h / h*) fct,ef

= 0.4 (para secções rectangulares sem esforço normal)

fct,ef ≈ 3 MPa

σs = fyk = 400MPa (A400)

(ii) Armadura de alma (para vigas com h > 1m)

(-)

b

h/2(+)

σ

M

Na zona da face inferior, a armadura controla a fendilhação. Na alma, se não existir

armadura, a fendilhação tende a concentrar-se e a originar fendas de maior abertura

(é como se as aberturas de fendas do banzo traccionado se “somassem” na alma).

Para controlar estas fendas, há que colocar uma armadura mínima.

As.min = kc k Act fct,ef

σs= 1.0 × 0.5 ×

bh2 ×

fct,ef

fyk

Propõe-se que para esta situação e de uma forma simplificada se tome, em geral:

k × kc = 0.5



A armadura calculada, deverá ser extendida a toda a alma, visto que, numa viga

contínua a zona traccionada da alma está em baixo na zona do vão, e em cima nos

apoios.

(iii) Armadura mínima em banzos traccionados

M M

(+)

σ(-)

ou

Act Act Act

quase tracção pura


σs= 1.0 × 0.9 × Act ×

fct,ef

fyk

k = 1.0

kc = 0.9 Fcr

Act fct,ef ≈ 0.9 (para banzos, caso se considere, simplificadamente, que o

diagrama de tensões ao longo do banzo é constante).

Resultando, em geral, k × kc = 0.9 ≈ 1.0



(iv) Armadura mínima para deformações impostas


σs

k = 1.0 se h ≤ 0.30 m e k = 0.65 se h ≥ 0.80m

Exemplos:

a) Muro de suporte

h

Problema: fendilhação no muro, pelo facto da sapata

(betonada anteriormente) constituir um impedimento ao livre

encurtamento do muro por efeito da retracção e temperatura.

É necessário adoptar armadura mínima na direcção

horizontal:


σs= 1.0 × k(h) × h ×

fct,ef

fyk [cm2/m]

k = k(h) (deformação imposta)

kc = 1.0 (tracção pura)

Act = min (h × 1.0; 0.50 m2)

De acordo com a British Standard 8007:1987, para o caso de lajes ou muros de betão

armado, a espessura de betão traccionada a considerar para o caso de deformações

impedidas (retracção ou variação uniforme de temperatura) não deverá ser superior a

0.50 m. Deste modo, no caso de elementos com espessura superior a 0.50 m,

considera-se uma espessura de 0.25 m junto a cada face da secção e ignora-se a

zona central da secção transversal, conforme se ilustra na figura seguinte.

h

h / 2 ≤ 0.25 m

h / 2 ≤ 0.25 m

b) varanda (consola)

h

Problema: fendilhação na consola, pelo facto da laje interior

constituir um impedimento ao livre encurtamento da consola

devido a variações de temperatura e retracção.



É necessário adoptar armadura mínima na direcção paralela ao apoio :


σs= 1.0 × k(h) × h ×

fct,ef

fyk [cm2/m]

k = k(h) (deformação imposta)

kc = 1.0 (tracção pura)

Act = min (h × 1.0; 0.50 m)

EXERCÍCIO 3.3

Considere a estrutura da figura seguinte:

S1S2

10.00 3.50

cp

3.50

sc

1.00

1.00

0.20 0.20

0.15

Materiais: C20/25, A400

Acções: pp + revest. = 20.0 kN/m

sobrecarga = 40.0 kN/m

Coeficientes de majoração: γG = γQ = 1.5

a) Para a estrutura já analisada, calcule as armaduras longitudinais mínimas e

pormenorize a secção transversal.




ALÍNEA A )

1. Armadura mínima de flexão

Act


kc = 0.4 (para secções rectangulares ou almas sujeitas a

flexão simples)


σs = 0.4 × 1.0 ×

0.20 × 1.02 ×

2.2400 × 104 = 2.2 cm2

2. Armadura de alma

Act

h/2hc,ef


kc = 0.5

Embora para um momento positivo a armadura de alma não é necessária em toda a

altura da viga, sob o ponto de vista prático essa armadura é disposta em toda a alma e

é mais fácil calculá-la por metro (de altura).

As.min/m = kc k Act fct.ef

σs = 0.5 × 1.0 × 0.20 × 1 m ×

2.2400 × 104 = 5.5 cm2/m

5.5 cm2 / 2 faces = 2.75 cm2/face

3. Armadura no banzo



Act


kc = 0.9 (para banzos, considerando que o diagrama de

tensões ao longo do banzo é constante)

As.min = 0.9 × 1.0 × 0.60 × 0.15 × 2.2400 × 104 = 4.46 cm2

4.46 cm2 / 2 faces = 2.23 cm2/face

2.4. LIMITES ADMISSÍVEIS DE FENDILHAÇÃO (NO QUE RESPEITA AO ASPECTO E À DURABILIDADE )

Na ausência de requisitos específicos (impermeabilidade, por exemplo), para

elementos de betão armado em edifícios o EC2 estabelece os seguintes limites:

Classe de exposição Valores recomendados

de wmax [mm] X0, XC1 0.4

XC2, XC3, XC4

XD1, XD2

XS1, XS2, XS3

0.3

Nota: No caso das classes de exposição X0 e XC1, a abertura de fendas não tem

influência na durabilidade, sendo apresentado um limite apenas para garantir um

aspecto aceitável do elemento. Caso este não seja aparente, não há necessidade de

respeitar este limite.

A abertura de fendas deve ser calculada para a combinação de acções

quase-permanentes.

De referir que os valores especificados no REBAP para o controlo da fendilhação são

inferiores aos do EC2.

Classes de exposição segundo o EC2

1. Sem risco de corrosão ou ataque

Classe de Exposição

Ambiente

X0 Para betão simples: todos os ambientes excepto os com gelo, abrasão ou

ataque químico

Para betão armado: ambiente muito seco



2. Corrosão induzida por carbonatação

Classe de Exposição Ambiente

XC1 Seco ou permanentemente molhado

XC2 Húmido (raramente seco)

XC3 Com humidade moderada

XC4 Com ciclos de molhagem e secagem

3. Corrosão induzida por cloretos


XD1 Com humidade moderada

XD2 Húmido (raramente seco)

XD3 Com ciclos de molhagem e secagem

4. Corrosão induzida por cloretos da água do mar


XS1 Zonas costeiras marítimas

XS2 Zonas imersas

XS3 Zonas de maré (com ciclos de molhagem e secagem)

5. Acção gelo / degelo


XF1 Saturação moderada de água, sem agentes descongelantes

XF2 Saturação moderada de água, com agentes descongelantes

XF3 Saturação elevada de água, sem agentes descongelantes

XF4 Saturação elevada de água, com agentes descongelantes ou água do mar

6. Ataques químicos




XA1 Ligeiramente agressivo do ponto de vista químico

XA2 Moderadamente agressivo do ponto de vista químico

XA3 Muito agressivo do ponto de vista químico

2.5. CONTROLO DA FENDILHAÇÃO SEM CÁLCULO DIRECTO (EC2)

É possível, em geral, limitar as larguras das fendas a valores aceitáveis e evitar uma

fendilhação não controlada caso se utilizem pelo menos as quantidades mínimas de

armadura e:

� para fendilhações causadas por deformações impedidas se limitem os diâmetros

dos varões a utilizar em função da tensão na armadura no instante após a

fendilhação (Tabela 7.2);

� para fendilhações causadas por cargas aplicadas devem limitar-se ou os

diâmetros dos varões (Tabela 7.2) ou o espaçamento entre varões (Tabela 7.3),

ambos função da tensão na armadura no instante após a fendilhação.

Para cargas aplicadas poderá estimar-se de forma simplificada a tensão nas

armaduras considerando σIIs ≈

fyd 1.5, uma vez que para o estado limite último se

adoptou, para a combinação fundamental de acções, uma tensão fyd.

Para deformações impostas a armadura mínima obtém-se considerando σs = fyk. No

entanto, se o diâmetro das armaduras não satisfizer o estabelecido na tabela 7.2,

deverá adoptar-se o par (σs, φ) que respeita o controlo indirecto dessa tabela, e a

armadura necessária deverá ser calculada através da expressão de As,min adoptando

esse valor de σs.

De notar que o quadro 7.2 foi desenvolvido para a flexão. Para esforços de tracção os

valores indicados no quadro 7.2 podem ser multiplicados por 1.25 (equação 7.7N do

EC2 para os valores dos parâmetros indicados na Nota 1 do quadro 7.2N) ou seja

para wk = 0.3mm e σs = 280 MPa φ ≤ 12 x 1.25 = 15mm ≈ 16mm).

Por outro lado para o caso do efeito da restrição se dar apenas numa face (exemplo

muros de suporte) a restrição é parcial verificando-se que após a fendilhação o esforço

de tracção na zona onde ocorram as fendas não volta a atingir o valor do instante da



fendilhação. Nestes casos conclui-se que a armadura máxima calculada com σyk é em

geral suficiente para garantir um controlo de fendilhação de w < 0.3mm. A armadura

mínima é fundamental para garantir que se formem outras fendas.

3. Estado Limite de Deformação

3.1. CÁLCULO DA DEFORMAÇÃO

3.1.1. Deformação em fase não fendilhada (Estado I)

a

p

M

1/r

EI I

curvatura: 1 r =

M EII

deslocamento: a = ⌡⌠

L 1 r

–M dx a =

1 EII

⌡⌠L M –M dx (P.T.V.)

–M − diagrama de momentos para uma carga virtual unitária aplicada na direcção de a.

3.1.2. Deformação em fase fendilhada (estado II)

Problemas:

� Determinação das relações momentos-curvatura

� Consideração da variação de rigidez ao longo dos elementos

� Definição das condições de fronteira da estrutura



1/r

EI I

EI IIMcr

M

Estado II

Estado IM

DMF

p

(+)

Nota: Cada zona da viga tem uma rigidez diferente,

consoante o nível de momento actuante.

Por forma a ter em conta a fendilhação da viga, é necessário considerar uma curvatura

média para cada zona do elemento.

M M

IIEIII

1/r

M

Mcr

EII

MI

(1/r)I (1/r)m (1/r)II

Conforme se pode observar pelo gráfico momento-curvatura acima, esta curvatura

média pode ser calculada através de uma média ponderada entre as curvaturas em

estado I e II, considerando para isso um coeficiente de repartição (τ):

1 rm = (1 −−−− ττττ)

1 rI

+ ττττ 1

rII

a =

⌡⌠

0

L 1rm

–M dx

Ο coeficiente de repartição, para o caso da flexão simples pode ser obtido através de:

τ = 1 – β1 β2

σsr

σs 2

= 1 – ββββ1 ββββ2

Mcr

M

2

para M > Mcr

onde,

β1 – coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência dos varões

(β1 = 1.0 para varões de alta aderência; β1 = 0.5 para varões aderência normal);

β2 – coeficiente que tem em conta a duração ou repetição das cargas (β2 = 1.0

para uma única carga de curta duração; β2 = 0.5 para cargas actuando com

permanência ou para vários ciclos de cargas);



σsr – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante

da actuação das cargas que provocam o início da fendilhação;

σs – tensão na armadura de tracção (calculada em estado fendilhado) resultante

da actuação do valor da carga para a qual se pretende calcular a flecha.

Nota: Se M < Mcr ⇒ τ = 0 ⇒ 1

rm = 1

rI

3.1.2.1. Cálculo da curvatura em estado I

A curvatura em estado não fendilhado pode ser calculada através da expressão

1 rI

= ks1 × 1

rc + ks1 kϕ1 ϕ ×

1 rc

+ 1

rcs1 ,

onde,

ks1 – coeficiente que entra em linha de conta com a acção das armaduras

1 rc

– curvatura de base

1

rc =

M Ec Ic

kϕ1 – coeficiente que entra em linha de conta com o efeito da fluência

ϕ – coeficiente de fluência

1 rcs1

– acção da retracção

1

rcs1 = kcs1

εcs d

3.1.2.2. Cálculo da curvatura em estado II

1 rII

= ks2 × 1

rc + ks2 kϕ2 ϕ ×

1 rc

+ 1

rcs2 ,

1

rcs2 = kcs2

εcs d

3.1.2.3. Método Bilinear (τ constante)

i) Cálculo dos parâmetros

ks1, kϕ1, kcs1, ϕ e ks2, kϕ2, kcs2

ii) Cálculo do coeficiente de repartição τ



M = MD Mcr ⇒ τ = 1 – β1 β2 Mcr MD = constante

onde MD representa momento na secção determinante.

Secções determinantes (secções de momentos máximos) - Exemplos

τ = τvão

τ = τapoio

τ = 2 τvão + τapoio

3

τ = τapoio 1 + 2 τvão + τapoio 2

4

iii) Cálculo de flechas

τ = constante ⇒ a = ⌡⌠

0

L

1 rm

–M dx = ⌡⌠

0

L

(1 - τ)

1 rI

+ τ 1

rII –M dx = ⇔

⇔ a = (1 – τ) ⌡⌠

0

L 1rI –M dx + τ

⌡⌠

0

L 1rII

–M dx ⇔ a = (1 – ττττ) aI + ττττ aII

com aI = ⌡⌠

0

L

ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ×

1 rc

+ kcs1 εcs d –M dx

aII = ⌡⌠

0

L

ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ×

1 rc

+ kcs2 εcs d –M dx

3.1.2.4. Método dos Coeficientes Globais

(coeficientes constantes definidos para a secção determinante)

coeficientes constantes ⇒ aI = ⌡⌠

0

L

ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ×

1 rc

+ kcs1 εcs d –M dx ⇔



⇔ aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ⌡⌠

0

L

1 rc

–M dx + kcs1 εcs d

⌡⌠0L –M dx

Desprezando a parcela da retracção, aI = ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac

Da mesma forma, aII = ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac

Deste modo, a expressão do deslocamento vem igual a

a = (1 – τ) aI + τ aII = (1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) ac + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac ⇔

⇔ a = [ ](1 – τ) ks1 (1 + kϕ1 ϕ) + τ ks2 (1 + kϕ2 ϕ) ac = k ac

Aplicação do Método dos Coeficientes Globais

a) Cálculo do deslocamento ac considerando um modelo elástico linear e rigidez de

flexão dada pelas secções não armadas e não fissuradas.

b) Correcção do deslocamento para ter em conta as armaduras, a fendilhação e a

fluência.

Deslocamento instantâneo (t = 0): a0 = k0 ac (h/d)3 (tabelas pág. 97)

Deslocamento a longo prazo (t = ∞): at = η kt ac (h/d)3 (tabelas págs. 98 e 99)

ac – flecha base (tabelas páginas 154 e 155)

k0 – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras e da

fendilhação ( )função de d/h, αρ, Mcr / MD

kt – coeficiente que entra em consideração com o efeito das armaduras, da

fendilhação e da fluência ( )função de ϕ, d/h, αρ, Mcr / MD

η – coeficiente que entra em consideração com a influência da armadura de

compressão (função de ρ’/ρ, αρ, ϕ)

(k0, kt e η para as secções determinantes → cálculo de coeficientes ponderados)



EXERCÍCIO 3.4

Considere a viga representada na figura seguinte (viga do exercício 2.1)

0.55 0.60

5.00

0.30

p

3φ20

Materiais: C25/30

A400 NR

Calcule a flecha para a combinação frequente de acções (pfreq = 20 kN/m)


1. Cálculo da flecha elástica

a) Pelo P.T.V.,



DMF[kNm]

(+)

pfr

D 1/R62.5

Mmax = p L2

8 = 20 × 52

8 = 62.5 kNm

1 R =

M EI

1.25m

(+)

1

DMF [m]

Mmax = P L

4 = 5 4 = 1.25 m

a = ⌡⌠

L 1r

–M dx =

⌡⌠

L M

–M

EI dx = 1EI ×

53 × 62.5 × 1.25 ×

1 +

2.52

52 = 9.88 × 10-4m

(tabelas pág. 153)

E = 30.5 × 106 kN/m2

I = 0.3 × 0.63

12 = 0.0054 m4 ⇒ EI = 164700 kNm2

b) Por tabelas (pág. 154)

δ = 5

384 × pL4

EI = 5

384 × 20 × 54

164700 = 9.88 × 10-4 m ⇒ ac = 9.9 × 10-4 m

2. Cálculo da flecha a longo prazo (método dos coeficientes globais)

(Considera-se ϕ = 2.5)

α = Es

Ec =

200 30.5 = 6.6

ρ = As

bd = 9.42 × 10-4 0.3 × 0.55 = 0.0057

⇒ αρ = 0.038

Mcr = W × fctm =

bh2 6 × fctm =

0.30 × 0.602 6 × 2.5 × 103 = 45kNm

Mfr = 62.5kNm > Mcr

⇒ Mcr

Mfr = 0.72

(ϕ = 2.5) ⇒ kt = 3.75



ρ’ = As' bd = 0 ⇒ ρ’/ρ = 0 ⇒ η = 1

at =

h

d

3

η kt ac =

0.60

0.55

3

× 3.75 × 9.9 ×10-4 = 0.0048 m = 4.8 mm

3. Cálculo da flecha instântanea

αρ = 0.038

Mcr Mfr

= 0.72 (Acções repetidas) ⇒ k0 = 2.3

a0 =

h

d

3

k0 ac =

0.60

0.55

3

× 2.3 × 9.99×10-4 = 0.003 m = 3 mm

3.2. LIMITE DE DEFORMAÇÃO

De acordo com o EC 2 (parágrafo 7.4.1)

δmáx = L

250 para a combinação de acções quase-permanentes

Caso a deformação afecte paredes divisórias, δmáx = L

500

3.3. CONTROLO INDIRECTO DA DEFORMAÇÃO

p

Lac

ac = K pL4 EI

Para uma secção rectangular: I = bh3 12 ⇒

ac L = K

12 p b E

L

h

3

∴ A deformação pode ser controlada de forma indirecta pela esbelteza (L/h)



De acordo com o EC2, a deformação pode ser controlada indirectamente caso sejam

respeitados os limites de esbelteza indicados na Tabela 7.4N.

7. modulo3 - els

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