4.3. matemÁtica - exercÍcios propostos - volume 4.pdf

7/25/2019 4.3. MATEMTICA - EXERCCIOS PROPOSTOS - VOLUME 4.pdf

1/48

FRENTE 1 LGEBRA

1

1. Considerando os anagramas da palavra DODECAEDRO calcule:a) quantos so no total;b) quantos comeam por DODE (nessa ordem);c) quantos tm as vogais juntas e as consoantes tambm juntas.

RESOLUO:

a) P10(3, 2, 2) = = 151 200

b) Os que comeam por DODE (nessa ordem) so os anagramas de

CAEDRO, que totalizam P6 = 6! = 720.

c) As consoantes DDCDR podem ser dispostas juntas de

P5(3) = = 20 maneiras diferentes e as vogais OEAEO podem ser

dispostas juntas de P5(2,2) = = 30 maneiras diferentes.

Resulta, portanto, 20 . 30 . 2 = 1200.

Respostas: a) 151 200 b) 720 c) 1200

2. (UFMG) Para montar a programao de uma emissora de rdio,o programador musical conta com 10 msicas distintas, de diferentesestilos, assim agrupadas: 4 de MPB, 3 deRocke 3 de Pop.Sem tempo para fazer essa programao, ele decide que, em cada umdos programas da emissora, sero tocadas, de forma aleatria, todasas 10 msicas.Assim sendo, correto afirmar que o nmero de programas distintosem que as msicas vo ser tocadas agrupadas por estilo dado por

a) 4! 3! 3! 3! b)

c) 4! 3! 3! d)

RESOLUO:

MPB: P4 = 4!

Rock: P3 = 3!

Pop: P3 = 3!

Estilos: P3 = 3!

P4 . P3 . P3 . P3 = 4! 3! 3! 3!

Resposta: A

3. (UnB) Julgue a seguinte assertiva: Considere que um vago dotrem Maglev tenha 12 bancos individuais, que sero ocupados por 12passageiros. Dos 12 bancos, 6 so de frente para o sentido dedeslocamento do trem, e 6 de costas. Se, dos 12 passageiros, 3 prefe-rirem sentar-se de frente, 4 de costas, e os demais no manifestarempreferncia, ento o nmero de maneiras de acomodar os passageiros,respeitadas as suas preferncias, superior a 2 1203.

RESOLUO:De acordo com a preferncia dos passageiros, o nmero de maneiras deacomodar os passageiros :

A6,3 . A6,4 . P5 = (6 . 5 . 4) . (6 . 5 . 4 . 3) . (5 . 4 . 3 . 2 . 1) =

= 120 . 3 . 120 . 120 = 3 . 1203 > 2 . 1203

Resposta: Certa

4. Uma partcula desloca-se sobre o eixo de origem O, da figura

abaixo, em que a unidade utilizada o centmetro (cm). Se em cadamovimento ela percorre 1 cm, de quantas maneiras diferentes essapartcula pode partir da origem e retornar a ela realizando exatamenteseis movimentos?a) 15 b) 20 c) 21 d) 28 e) 35

RESOLUO:Para partir da origem e retornar a ela com 6 movimentos, a partcula deverealizar 3 movimentos para a direita (D) e 3 movimentos para a esquerda(E). O total de maneiras igual ao nmero de anagramas da palavra

DDDEEE que P6(3,3)

= = 20.

Resposta: B

MDULO 49

PERMUTAES

10!

3! 2! 2!

5!

3!

5!

2! 2!

10!

7!

10!4!

6!

3! 3!


2/48

5. (UNESP) A figura mostra a planta de um bairro de uma cidade.

Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto B por um dos

percursos mais curtos. Assim, ela caminhar sempre nos sentidos de

baixo para cima ou da esquerda para a direita. O nmero de

percursos diferentes que essa pessoa poder fazer de A at B :

a) 95 040 b) 40 635 c) 924

d) 792 e) 35

RESOLUO:Qualquer percurso para ir de A at B deve ter, sempre, cinco trechos debaixo para cima e sete trechos da esquerda para a direita. O nmerode percursos diferentes igual, portanto, ao nmero de permutaesdesses 12 trechos, lembrando que 5 so iguais () e os outros 7 tambm(). Logo

P125,7 = = = 792

Resposta: D

1. (UNICAMP-2012) O grmio estudantil do Colgio Alvorada composto por 6 alunos e 8 alunas. Na ltima reunio do grmio,decidiu-se formar uma comisso de 3 rapazes e 5 moas para aorganizao das olimpadas do colgio. De quantos modos diferentespode-se formar essa comisso?a) 6720. b) 100800. c) 806400. d) 1120.

RESOLUO:

O nmero total de comisses C6,3 . C8,5 = . = 20 . 56 = 1120

Resposta: D

2. (FGV) As saladas de frutas de um restaurante so feitas mis-turando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja,ma, abacaxi e melo.Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitosconsiderando apenas os tipos de frutas e no as quantidades?a) 26 b) 24 c) 22 d) 30 e) 28

RESOLUO:

Cada salada de frutas feita com pelo menos 2 (das 5) frutas.

Ento, o total de saladas de frutas T dado por:T = C5,2 + C5,3 + C5,4 + C5,5

T = + + +

T = 10 + 10 + 5 + 1 = 26 tipos

Resposta: A

3. (MACKENZIE)

Ao utilizar o caixa eletrnico de um banco, o usurio digita sua senha

numrica em uma tela como mostra a figura. Os dez algarismos(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) so associados aleatoriamente a cinco botes, demodo que a cada boto correspondam dois algarismos, indicados emordem crescente. O nmero de maneiras diferentes de apresentar osdez algarismos na tela

a) b) c) 25 . 5! d) 25 . 10! e)

RESOLUO:

. . . . =

= . . . . =

Resposta: A

12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7!5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7!

12!5! . 7!

MDULO 50

COMBINAES SIMPLES E ARRANJOS ECOMBINAES COM REPETIO

8!

5!3!

6!

3!3!

5!

5!.0!

5!

4!.1!

5!

3!.2!5!

2!.3!

10!

2

10!

5

10!

25

escolha dosdois nmeros

seguintes

escolha dosdois primeiros

nmeros

2 2

4 2

6 2

8 2

10 210!

25

2!

2!0!

4!

2!2!

6!

4!2!

8!

6!2!

10!

8!2!

2


3/48

4. (UFJF-2012) Dado um grupo com 3 mulheres e 8 homens,obtenha o nmero de filas distintas com 5 pessoas, contendo em cadafila exatamente 2 mulheres.

RESOLUO:

As duas mulheres podem ser escolhidas de C3,2 modos diferentes e os trs

homens de C8,3 maneiras distintas, resultando C3,2 . C8,3 = 3 . 56 = 168

maneiras diferentes de serem formados grupos com duas mulheres e trs

homens.Permutando as cinco pessoas em cada um desses grupos resulta que onmero de filas distintas C3,2 . C8,3 . P5 = 20160Resposta: 20160

1. Seis crianas, sendo trs meninos e trs meninas, vo brincar deroda. Calcule:a) de quantas maneiras diferentes a roda poder ser formada com es-

sas seis crianas;b) em quantas dessas rodas duas crianas de um mesmo sexo no

ficam lado a lado;c) quantas rodas do item a existem em que duas determinadas

crianas A e B esto sempre juntas.

RESOLUO:a) P

6 = (6 1)! = 5! = 120

b) P3 . P3 = (3 1)! 3! = 2 . 6 = 12

c) P5 . P2 = (5 1)! 2! = 24 . 2 = 48

Respostas: a) 120 b) 12 c) 48

2. Cada face de uma pirmide quadrangular regular deve ser pintadade uma nica cor escolhida entre cinco cores diferentes. O nmero depirmides distintas que podem ser assim obtidas a) 24 b) 30 c) 48 d) 60 e) 120

RESOLUO:A cor da base da pirmide pode ser escolhida de cinco maneiras diferen-tes. Para cada uma dessas possibilidades as quatro faces laterais podemser pintadas de P4 modos distintos.Logo, o nmero de pirmides que podem ser obtidas 5 . P4 = 5 . (4 1)! = 5 . 6 = 30Resposta: B

3. Sabendo-se que o nmero de combinaes completas (com re -petio de elementos) de n elementos tomados k a k (n, k *) dado por C*n,k = Cn + k 1,k obtenha:

a) C*7,2 b) C*8,3 C8,3

RESOLUO:

a) C*7,2 = C7 + 2 1,2 = C8,2 = = 28

b) C*8,3 C8,3 = C8 + 3 1,3 C8 . 3 =

= C10,3 C8,3 = = 120 56 = 64

Respostas: a) 28 b) 64

4. (UNESP) Paulo quer comprar um sorvete com 4 bolas em umasorveteria que possui trs sabores de sorvete: chocolate, morango euva. De quantos modos diferentes ele pode fazer a compra?a) 4. b) 6. c) 9. d) 12. e) 15.

RESOLUO:

C*3,4 = C3 + 4 1, 4 = C6,4 = = 15

Poder-se-iam, tambm, escrever as 15 solues possveis. Representando

por C, M e U os sabores chocolate, morango e uva, as solues so:

C C C C, M M M M, U U U U

C C C U, C C C M, M M M C, M M M U, U U U C, U U U M

C C M M, C C U U, M M U U

C C U M, M M U C, U U M C

Resposta: E

5. Obtenha o nmero de solues inteiras e no negativas dasequaes:a) x + y = 3b) x + y + z + w = 6

RESOLUO:

a) C*2,3 = C2 + 3 1,3 = C4,3 = 4

b) C*4,6 = C4 + 6 1,6 = C9,6 = 84

ou

a) 1 1 + 1 : P4(3)

= = 4

b) 1 1 + 1 + 1 1 + 1 : P9(6,3) = = 84

Respostas: a) 4 b) 84

8 . 7

2 . 1

8 . 7 . 63 . 2 . 1

10 . 9 . 83 . 2 . 1

6!

2!4!

4!

3!

9!

6! 3!

MDULO 51

COMBINAES SIMPLES E ARRANJOS ECOMBINAES COM REPETIO

3


4/48

6. Doze notas de R$ 50,00 devero ser distribudas entre quatro pes-soas de modo que cada uma receba no mnimo duas notas. O nmerode maneiras de se fazer essa distribuio a) 21 b) 35 c) 45 d) 50 e) 72

RESOLUO:

Sejam A, B, C e D os nmeros de notas das 4 pessoas. Ento,

x + y + z + w + 8 = 12 x + y + z + w = 4

O nmero de maneiras de se fazer a distribuio igual ao nmero de

solues inteiras e no negativas da equao x + y + z + w = 4, isto ,

C*4;4 = C4 + 4 1,4 = C7,4 = 35 ou

1 + 1 + 1 + 1 P7(4,3)

= = 35

Resposta: B

1. (ENEM-2012) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiuse mudar, por recomendaes mdicas, para uma das regies: Rural,Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A prin-cipal recomendao mdica foi com as temperaturas das ilhas decalor da regio, que deveriam ser inferiores a 31C. Tais tempera -turas so apresentadas no grfico:

Fonte: EPA

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regies para morar, a pro-babilidade de ele escolher uma regio que seja adequada s recomen-daes mdicas

a) b) c) d) e)

RESOLUO:Observe o grfico:

Das outras regies da cidade (Rural, Comercial, Residencial Urbana eResidencial Suburbana), esto abaixo de 31C as regies Rural, Re -sidencial Urbana e Residencial Suburbana. Dessa forma, a probabilidade

pedida .

Resposta: E

2. (UFPR-2012) Uma caixa contm 7 lpis azuis, 5 vermelhos e 9amarelos. Sabendo que a caixa contm somente esses lpis, responda:a) Qual o nmero mnimo de lpis que devemos retirar (sem olhar a

cor) para que estejamos certos de haver retirado 4 lpis de umamesma cor? Justifique sua resposta.

b) Se retirarmos ao acaso 3 lpis dessa caixa (sem olhar a cor), qual a probabilidade de que todos sejam da cor amarela?

RESOLUO:a) Ao serem retirados nove lpis, poderemos ter trs de cada uma das

trs cores. Ao retirar o dcimo, certamente haver quatro lpis de umamesma cor.

Portanto, o nmero mnimo de lpis que devemos retirar (sem olhar acor) para que estejamos certos de haver retirado quatro lpis de umamesma cor dez.

b) A probabilidade, dada por p = =

= = =

Resposta: a) 10 b)

A = 2 + xB = 2 + yC = 2 + z

D = 2 + w

7!

4! 3!

MDULO 52

PROBABILIDADE, DEFINIO E UNIO DE EVENTOS

3

4

3

5

2

5

1

4

1

5

3

4

C9,3C21,3

6

95

9.8.7

21.20.19

9.8.7

3.2.1

21.20.19

3.2.1

6

95

4


5/48

3. (UFF) Dois dados cbicos no viciados, cujas faces estonumeradas de 1 a 6, so jogados aleatoriamente e simultaneamentesobre uma mesa plana. Se a soma dos valores sorteados(*) for umnmero par, Paulo ganha a partida. Se a soma for um nmero mpar,Lcia ganha. Ao perder a primeira partida, Lcia diz que no ir maisjogar porque a regra favorece Paulo. Seu argumento o seguinte:entre os onze valores possveis para a soma (os inteiros de 2 a 12), hseis nmeros pares e apenas cinco nmeros mpares. Logo, Paulo temmaior probabilidade de ganhar.

a) Calcule a probabilidade de Lcia ganhar uma partida. Justifiquesua resposta.b) Use o item a para verificar se o argumento de Lcia est correto.(*) Valor sorteado o nmero escrito na face do cubo oposta faceque est apoiada na mesa.

RESOLUO:a) O espao amostral desse experimento o conjunto A, com 36

elementos: A = { (1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; 5), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; 5), (4; 6),

(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; 5), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; 5), (6; 6) }. O evento a soma dos valores sorteados um nmero mpar o

conjunto E, com 18 elementos: E = { (1; 2), (1; 4), (1; 6), (2; 1), (2; 3), (2; 5), (3; 2), (3; 4), (3; 6), (4; 1), (4; 3), (4; 5), (5; 2), (5; 4), (5; 6), (6; 1), (6; 3), (6; 5) }. Logo, a probabilidade de Lcia ganhar igual a 18/36 = 1/2 = 50%.

b) O clculo feito no item (a) mostra que Paulo e Lcia tm a mesmaprobabilidade de ganhar uma partida. Assim, o argumento de Lcia

est errado.

4. (FUVEST-2012) Considere todos os pares ordenados denmeros naturais (a; b), em que 11 a 22 e 43 b 51.Cada um desses pares ordenados est escrito em um carto diferente.Sorteando-se um desses cartes ao acaso, qual a probabilidade deque se obtenha um par ordenado (a; b) de tal forma que a frao a/bseja irredutvel e com denominador par?

a)

b)

c)

d)

e)

RESOLUO:

1) A = {a 11 a 22} n(A) = 12

2) B = {b 43 b 51} n(B) = 9

3) n(AB) = 12 . 9 = 108

4) As fraes irredutveis com denominador par so aquelas cujo

denominador 44, 46, 48, 50.

5) Se o denominador for 44, para ser irredutvel o numerador pode ser

13, 15, 17, 19, 21 num total de 5 possibilidades.

6) Se o denominador for 46, pelo mesmo motivo, o numerador pode ser

11, 13, 15, 17, 19, 21 num total de 6 possibilidades.

7) Quando o denominador for 48, existem 4 possibilidades (11, 13, 17,

19).

8) Com denominador 50, o nmero de casos possveis 5 (11, 13, 17, 19,

21).

9) O nmero total de pares ordenados (a; b), de modo que a frao a/b

seja irredutvel e de denominador par 5 + 6 + 4 + 5 = 20.

10) A probabilidade pedida =

Resposta: E

1. (ENEM) O diretor de um colgio leu numa revista que os psdas mulheres estavam aumentando. H alguns anos, a mdia dotamanho dos calados das mulheres era de 35,5 e, hoje, de 37,0.Embora no fosse uma informao cientfica, ele ficou curioso e fezuma pesquisa com as funcionrias do seu colgio, obtendo o quadro aseguir:

Escolhendo uma funcionria ao acaso e sabendo que ela tem caladomaior que 36,0, a probabilidade de ela calar 38,0

a)

b) c) d) e)

RESOLUO:A partir da tabela, o nmero de funcionrias com calado maior que 36,0igual a 1 + 10 + 3 = 14. Entre essas funcionrias, 10 calam 38.Assim a probabilidade de, tendo-se escolhido uma funcionria ao acaso esabendo que ela cala mais de 36,0, a probabilidade de ela calar 38,0 :

P = =

Resposta: D

5

27

1154

627

1354

7

27

5

27

20

108

MDULO 53

PROBABILIDADE CONDICIONALE INTERSECO DE EVENTOS

TAMANHO DOS CALADOSNMERO DE

FUNCIONRIAS

39,0 1

38,0 10

37,0 3

36,0 5

35,0 6

5

14

5

7

2

5

1

5

1

3

5

7

10

14

5


6/48

2. Escolhendo-se, ao acaso, dois elementos distintos do conjuntoA = {1; 2; 3; ; 20} verificou-se que sua soma igual a 16. Aprobabilidade de os dois nmeros serem pares

a)

b) c) d) e)

RESOLUO:Os pares de nmeros escolhidos podem ser (1; 15), (2; 14), (3; 13), (4; 12),(5; 11), (6; 10) e (7; 9).Dessas sete possibilidades trs tm os dois nmeros pares e, portanto, a

probabilidade p = .

Resposta: D

3. Daqui a 20 anos, a probabilidade de Joo estar vivo 30% e de suaesposa Ana estar viva 40%. Assim, a probabilidade de pelo menosum deles estar vivo daqui a 20 anos a) 38% b) 42% c) 58%d) 70% e) 88%

RESOLUO:

A probabilidade de nenhum deles estar vivo daqui a 20 anos

P(A) = (1 30%) . (1 40%) = 70% . 60% = 42%

Ento, a probabilidade de pelo menos um deles estar vivo daqui a 20 anos

P(A) = 1 P(A) = 1 42% = 58%

Resposta: C

4. (FGV-RJ-2012) Uma urna tem duas bolas vermelhas e trsbrancas; outra urna tem uma bola vermelha e outra branca. Uma dasduas urnas escolhida ao acaso e dela escolhida, ao acaso, umabola. A probabilidade de que a bola seja vermelha :

a)

b) c) d) e)

RESOLUO:Sejam U1 a urna que tem duas bolas vermelhas e trs brancas e U2 a quetem uma bola vermelha e outra branca.

A probabilidade de se escolher a urna U1 e dela ser retirada uma bola

vermelha p1 = . = .

A probabilidade de se escolher a urna U2 e dela ser retirada uma bola

vermelha p2 = . = .

Logo, a probabilidade pedida p = p1 + p2 = + = .

Resposta: C

5. (BARRO BRANCO-2012) Antnio, Joo e Carlos apostaramem um jogo de cara ou coroa: uma moeda lanada sucessivamentee o jogo termina no primeiro vencedor. Antnio vence na primeira vezque sarem 2 caras seguidas, Joo vence na primeira vez que sarem 2coroas seguidas e Carlos vence quando sair uma cara seguida de umacoroa. As probabilidades de Antnio, Joo e Carlos ganharem so,respectivamente,

a)

, e . b)

, e . c)

, e .

d) , e . e) , e .

RESOLUO:Considerando CA a ocorrncia de cara e CO a de coroa temos o seguintediagrama de rvore:

CA (I) (Antonio vence)CA

CO (II) (Carlos vence)

CO (III) (Joo vence)CO CA (IV) (Antonio vence)

CA

CO (V) (Carlos vence)

Antonio ser vencedor nos casos (I) e (IV) e a probabilidade dele ganhar

P(A) = . + . . = + =

Joo ser o vencedor no caso (III) cuja probabilidade

P(J) = . =

Carlos ser o vencedor nos casos (II) e (V). A probabilidade de Carlos

ganhar P(C) = . + . . = + =

Resposta: D

1. Um casal tem cinco filhos. Calcule a probabilidade de serema) os dois primeiros homens;b) os dois primeiros homens e os trs ltimos mulheres;

c) dois homens e trs mulheres.

RESOLUO:

a) p = . . . . =

b) p = . . . . =2

.3

=

c) p = C5,2 .2

.3

= =

4

7

3

7

3

5

2

5

1

2

37

310

2

5

920

17

40

3

8

1

5

2

5

1

2

14

12

12

9

201

4

15

1

31

6

12

1

73

7

37

25

15

2

5

15

15

35

38

14

38

3

8

18

14

1

2

12

1

2

1

2

12

1

4

12

12

3

8

18

14

1

2

12

1

2

12

1

2

MDULO 54

LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE

1

42

2

2

22

2

12

1

2

132

12

1

21

2

1

21

2

12

1

25

16

1032

12

1

2

6


7/48

2. A probabilidade de resultar cara no lanamento de uma moeda

viciada . Se essa moeda for lanada trs vezes, calcule a pro-

babilidade de resultara) trs caras; b) duas caras e uma coroa;c) uma cara e duas coroas; d) trs coroas.

RESOLUO:

Se, em um lanamento dessa moeda, a probabilidade de resultar cara

, ento a probabilidade de resultar coroa .

a) P1 = . . =

b) P2 = C3,2 .2

. = 3 . . =

c) P3 = C3,1 .1

.2

= 3 . . =

d) P4 = . . =

Obs.: P1 + P2 + P3 + P4 = 1

3. (MACKENZIE-2012) Sempre que joga, um time tem proba-

bilidade de vencer uma partida. Em quatro jogos, a probabi-

lidade de esse time vencer, exatamente dois deles,

a)

b)

c)

d)

e)

RESOLUO:

C4;2 .2

.2

= 6 . . =

Resposta: C

4. Uma moeda no viciada jogada 10 vezes. A probabilidade de seobter exatamente 5 caras e 5 coroas

a)

b) c)

d) e)

RESOLUO:

A probabilidade

p = C10,5 .5

.5

= 252 . . = =

Resposta: C

5. Numa caixa foram depositadas 10 bolas, sendo 6 brancas e4 pretas. Sero retiradas, ao acaso, 4 bolas dessa urna. Calcule a pro-babilidade de serem obtidas 2 bolas brancas e 2 bolas pretas sea) houver reposio de cada bola antes de se retirar a seguinte;b) no ocorrer reposio da bola retirada.

RESOLUO:

a) p = C4,2 .2 . 2 =

b) p = C4,2 . . . . =

Respostas: a) b)

1

3

2

3

1

3

1

27

1

3

1

3

1

3

2

9

2

3

1

9

2

31

3

4

9

4

9

1

32

3

1

38

27

2

3

2

3

2

3

2

3

1627

4

81

827

1681

427

8

27

1

9

4

91

3

2

3

63

256

45

1024

11024

12

105

512

63

256

252

1024

132

132

1

21

2

216625410610

3

7

3

7

4

8

5

9

6

10

3

7

216

625

7


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1. Calcule as mdias aritmtica A, geomtrica G, harmnica H earitmtica ponderada P (com pesos 1, 2 e 3, respectivamente) dosnmeros 6, 4 e 9.

RESOLUO:

A = = 6,333...

H = = 5,68

G =3

6 . 4 . 9 = 6

P = = 6,82

2. (UEPI) Qual o preo do kg de caf que obtido misturando 8 kgde um tipo de caf, com preo de R$ 9,20 o kg, com 12 kg de outrotipo de caf, que custa R$ 8,00 o kg?a) R$ 8,42 b) R$ 8,44 c) R$ 8,46d) R$ 8,48 e) R$ 8,50

RESOLUO:Em reais, o preo

p = = = = 8,48

Resposta: D

3. (FGV-2012) A mdia aritmtica de trs nmeros supera o menordesses nmeros em 14 unidades, e 10 unidades menor do que omaior deles. Se a mediana dos trs nmeros 25, ento a soma dessesnmeros igual aa) 60. b) 61. c) 63. d) 64. e) 66.

RESOLUO:

Se a < 25 < c forem os trs nmeros ento:

c 10 = = a + 14 a = 7 e c = 31

A soma dos 3 nmeros 7 + 25 + 31 = 63

Resposta: C

4. (FUVEST) Os nmeros de gols marcados nos 6 jogos da pri-meira rodada de um campeonato de futebol foram 5, 3, 1, 4, 0 e 2.Na segunda rodada, sero realizados mais 5 jogos. Qual deve ser onmero total de gols marcados nessa rodada para que a mdia de gols,nas duas rodadas, seja 20% superior mdia obtida na primeira

rodada?

RESOLUO:Sendox o nmero de gols na segunda rodada, devemos ter:

= + . = 3 15 + x = 33 x = 18

Resposta: 18 gols

MDULO 55

MDIAS

6 + 4 + 93

108

19

1

1 1 1 + +

6 4 9

3

41

6

6 . 1 + 4 . 2 + 9 . 3

1 + 2 + 3

169,6

20

73,6 + 96

20

8 . 9,20 + 12 . 8

8 + 12

a + 25 + c

3

15 + x

11

15

6

20

100

15

6

15 + x

6 + 5

8


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1. As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estodescritas a seguir:16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16,15, 14, 16, 15, 14, 16, 14.

Determine:a) o rolb) a amplitudec) a distribuio de frequncias

d) a moda

e) a mediana

f) a mdia

RESOLUO:a) Rol 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16,

18, 18, 18, 18, 18

b) H = 18 12 = 6

c)

d) M0 = 16 e) Md = 15

f) x = = = 15,44

2. (FATEC-2012) Considere as seguintes definies emEstatstica:Sejam x1 x2 x3 ... xn os valores ordenados de um grupo de ndados.Mediana a medida que consiste no valor que se encontra no centrodesse grupo de dados. Se n mpar, a mediana o elemento centraldesse grupo ordenado.Moda a medida que consiste no valor observado com maiorfrequncia em um grupo de dados, isto , o valor que aparece mais

vezes.As idades, em anos, de um grupo de sete pessoas so:16, 8, 13, 8, 10, 8, m

Sabendo que m maior que 12 e que a moda, a mediana e a mdiaaritmtica das idades desse grupo de pessoas, nessa ordem, so trstermos consecutivos de uma progresso aritmtica no constante,ento o valor de m a) 17. b) 19. c) 21. d) 23. e) 25.

RESOLUO:De acordo com o enunciado, o rol das idades das 7 pessoas 8, 8, 8, 10, m, 13, 16 ou 8, 8, 8, 10, 13, m, 16 ou 8, 8, 8, 10, 13, 16, mAssim sendo, a moda 8 e a mediana 10.

Sabendo que a moda, a mediana e a mdia, nessa ordem, so trs termosconsecutivos de uma progresso aritmtica, conclumos que a mdia 12,portanto:

= 12 m = 21

Resposta: C

MDULO 56NOES DE ESTATSTICA I

xi fi fr f% fa fra f%a

xi fi fr f% fa fra f% a

12 2 0,08 8 2 0,08 8

14 5 0,20 20 7 0,28 28

15 6 0,24 24 13 0,52 52

16 7 0,28 28 20 0,80 80

18 5 0,20 20 25 1,00 100

25 1,00 100

12 . 2 + 14 . 5 + 15 . 6 + 16 . 7 + 18 . 5

25

386

25

8 + 8 + 8 + 10 + 13 + 16 + m

7

9


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3. (UNIMES) O grfico abaixo representa a distribuio de fre-quncias das faixas salariais numa pequena empresa:

Com os dados disponveis, pode-se concluir que a mdia dessessalrios aproximadamente:a) $ 400 b) $ 600 c) $ 800d) $ 1000 e) $ 1200

RESOLUO:

x = = 800

Resposta: C

4. (ENEM-2012) Uma equipe de especialistas do centro meteo-rolgico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre nomesmo horrio, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro diade um ms. Esse tipo de procedimento frequente, uma vez que osdados coletados servem de referncia para estudos e verificao detendncias climticas ao longo dos meses e anos.As medies ocorridas nesse perodo esto indicadas no quadro:

Em relao temperatura, os valores da mdia, mediana e moda so,respectivamente, iguais aa) 17C, 17C e 13,5C b) 17C, 18C e 13,5Cc) 17C, 13,5C e 18C d) 17C, 18C e 21,5Ce) 17C, 13,5C e 21,5C

RESOLUO:Com os dados fornecidos, tem-se a seguinte tabela de frequncias:

1)x = =

= = 17

A mdia 17C.2) A mediana (valor do oitavo termo) 18C.3) A moda 13,5C.Resposta: B

250 . 10 + 750 . 4 + 1250 . 2 + 1750 . 2 + 2250 . 2

10 + 4 + 2 + 2 + 2

16000

20

Dia do ms Temperatura (em C)

1 15,5

3 14

5 13,5

7 18

9 19,5

11 20

13 13,5

15 13,5

17 18

19 20

21 18,5

23 13,5

25 21,5

27 20

29 16

xi 13,5 14 15,5 16 18 18,5 19,5 20 21,5

fi 4 1 1 1 2 1 1 3 1

13,5.4+14.1+15,5.1+16.1+18.2+18,5.1+19,5.1+20.3+21,5.1

4+1+1+1+2+1+1+3+1

25515

10


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1. Calcule: amplitude, mdia, desvio mdio, varincia e desvio-padro.

a) Amplitude

RESOLUO:

H = 11 5 = 6

b) Mdia

RESOLUO:

5 . 1 + 6 . 2 + 7 . 2 + 8 . 3 + 10 . 7 + 11 . 5 180x = = = 9 1 + 2 + 2 + 3 + 7 + 5 20

c) Construo da tabela

RESOLUO:

d) Desvio mdio

RESOLUO:

fi |Di | 34Dm = = = 1,7 n 20

e) Varincia

RESOLUO:

fi Di2 72

s2 = = = 3,6 n 20

f) Desvio-padro

RESOLUO:s =

3,6 1,9

2. (FGV) Numa pequena ilha, h 100 pessoas que trabalham nanica empresa ali existente. Seus salrios (em moeda local) tm aseguinte distribuio de frequncias:

a) Qual a mdia dos salrios das 100 pessoas?b) Qual a varincia dos salrios? Qual o desvio-padro dos salrios?

RESOLUO:a) Indicando a mdia desses salrios pors, temos:

s = = 90

b) Var(s) =

Var(s) = 900 ($)2

O desvio-padro dado por =

Var(s); logo, = 30($).

Respostas: a) $ 90,00 b) Varincia dos salrios: 900,00 ($)2 Desvio-padro: 30,00 ($)

MDULO 57NOES DE ESTATSTICA II

xi 5 6 7 8 10 11

fi 1 2 2 3 7 5

xi fi Di Di fiDi Di2 fiDi

2

5 1

6 2

7 2

8 3

10 711 5

xi fi Di Di fiDi Di2 fiDi

2

5 1 4 4 4 16 16

6 2 3 3 6 9 18

7 2 2 2 4 4 8

8 3 1 1 3 1 3

10 7 1 1 7 1 7

11 5 2 2 10 4 20

20 34 72

Salrios Frequncia

$ 50,00 30$ 100,00 60

$ 150,00 10

30 . 50 + 60 . 100 + 10 . 150

30 + 60 + 10

30(90 50)2 + 60(90 100)2 + 10(90 150)230 + 60 + 10

11


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3. (ENEM) Marco e Paulo foram classificados em um concurso.Para a classificao no concurso, o candidato deveria obter mdiaaritmtica na pontuao igual ou superior a 14. Em caso de empate namdia, o desempate seria em favor da pontuao mais regular. Noquadro a seguir, so apresentados os pontos obtidos nas provas deMatemtica, Portugus e Conhecimentos Gerais, a mdia, a medianae o desvio-padro dos dois candidatos.

Dados dos candidatos no concurso:

O candidato com pontuao mais regular, portanto mais bem classifi-cado no concurso, a) Marco, pois a mdia e a mediana so iguais.b) Marco, pois obteve menor desvio-padro.c) Paulo, pois obteve a maior pontuao da tabela, 19 em Portugus.d) Paulo, pois obteve maior mediana.e) Paulo, pois obteve maior desvio-padro.

RESOLUOMarco e Paulo tiveram mdias iguais, porm o desvio-padro de Marco menor, significando que suas notas nas provas de Matemtica, Portuguse Conhecimentos Gerais esto mais prximas da mdia do que asrespectivas notas de Paulo. Desta forma, as notas de Marco so mais regu-lares (tm desvio-padro menor) e, portanto, ele foi mais bem classificado.Resposta: B

1. As grandezas A = (2; x; 3) e B = (y; 5; 9) so diretamente

proporcionais. O valor de x + y :a) 7 b) c) 6 d) e) 5

RESOLUO:

= =

= e =

y = 6 e x = x + y = + 6 =

Resposta: B

2. (BARRO BRANCO) Em poca de eleies, so comuns dis-cursos de candidatos dizendo que o aumento do nmero de po liciaisnas ruas faz diminuir o nmero de delitos cometidos. Admitindo queisso seja verdade e que as duas quantidades sejam inversamenteproporcionais, se o nmero de policiais sofrer um acrscimo de 25%,o nmero de delitos cometidos sofrer um decrscimo dea) 20% b) 25% c) 30% d) 40% e) 80%

RESOLUO:Sendo, atualmente, p policiais e ddelitos, com um acrscimo de 25% no

nmero de policiais e um decrscimo de i% no nmero dos delitos, tere-mos

p . d = p . (1 + 0,25) . d . (1 i)

1 i = i = 1 i = i = 20%

Resposta: A

3. Divida o nmero 234 em trs partes tais que elas sejama) diretamente proporcionais a 2, 3 e 4;b) inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.

RESOLUO:Sendo x, y e x, respectivamente, as partes correspondentes a 2, 3 e 4,temos:

a)

b)

Respostas: a) 52, 78 e 104 b) 108, 72 e 54

Mate-mtica

Portu-gus

Conheci-mentosGerais

Mdia MedianaDesvio-Padro

Marco 14 15 16 15 15 0,32

Paulo 8 19 18 15 18 4,97

MDULO 58GRANDEZAS PROPORCIONAIS

23

3

17

3

2

y

x

5

3

9

2

y

1

3

x

5

1

3

5

3

5

3

23

3

1

1,25

4

5

1

5

x + y + z = 234

x y z = =

2 3 4

x = 52y = 78z = 104

x + y + z = 234

x y z = =

1 1 1 2 3 4

x = 108y = 72z = 54

12


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4. (UEPI) Dois mecnicos trabalham na pintura de um carro.Trabalhando sozinho, o mecnico A terminaria a pintura em oitohoras, enquanto o mecnico B levaria seis horas. Eles trabalham napintura juntos, nas primeiras duas horas, e, em seguida, o trabalhoser terminado pelo mecnico A, trabalhando sozinho. Quantas horasadicionais so necessrias para o mecnico A concluir a pintura?a) 3 horas b) 3 horas e 10 minutosc) 3 horas e 20 minutos d) 3 horas e meiae) 3 horas e 40 minutos

RESOLUO:

Em 2 horas, os dois juntos realizam

2 . + = = da pintura.

Assim, o mecnico A dever concluir sozinho 1 = da pintura.

Para isso, ele necessitar de

h = h = h = h + h = 3h + 20 min

Resposta: C

1. (UFLA) As engrenagens A, B e C tm 20, 40 e 100 dentes,respectivamente. Se B completar dez voltas, os nmeros de voltas queA e C completaro, respectivamente, so:

a) 10 e 4 b) 10 e 6 c) 20 e 10d) 20 e 4 e) 20 e 6

RESOLUO:No. de dentes Voltas

= x = 20

= y = 4

Resposta: D

1

8

1

6

14

24

7

12

7

12

5

12

5

12

1

8

40

12

10

3

9

3

1

3

MDULO 59REGRA DE TRS

4020

10x

10

x

20

40

40100

10y

10

y

100

40

13


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2. (MAU) Um certo trabalho pode ser realizado por um grupo de12 operrios em 20 dias de trabalho de 8 horas dirias. Se esse mesmotrabalho tivesse de ser feito em apenas 16 dias, com 16 operriosigualmente eficientes, quantas horas por dia eles deveriam trabalhar?

RESOLUO:

operrios dias h/dia12 20 8

16 16 x

x 12 20

= . x = 7,58 16 16

Resposta: 7,5 horas por dia

3. (EPCAR) Para a reforma do Ginsio de Esportes da EPCARforam contratados 24 operrios. Eles iniciaram a reforma no dia 19 deabril de 2010 (2. feira) e executaram 40% do trabalho em 10 dias,trabalhando 7 horas por dia. No final do 10. dia, 4 operrios foramdispensados.No dia seguinte, os operrios restantes retomaram o trabalho,trabalhando 6 horas por dia e concluram a reforma. Sabendo-se queo trabalho foi executado nos dois momentos sem folga em nenhumdia, o dia da semana correspondente ao ltimo dia do trmino de todo

o trabalho a) domingo b) segunda-feira c) tera-feirad) quarta-feira e) quinta-feira

RESOLUO:

= . . x = 21

O tempo total gasto na reforma foi de (10 + 21) dias = 31 dias, que

corresponde a 4 semanas completas e mais 3 dias, pois

Assim, se o trabalho comeou numa 2. feira, as 4 semanas foram comple-tadas no domingo e, ento, o servio foi concludo numa 4. feira.Resposta: D

4. (ENEM) Uma escola lanou uma campanha para seus alunosarrecadarem, durante 30 dias, alimentos no perecveis para doar auma comunidade carente da regio. Vinte alunos aceitaram a tarefa e,nos primeiros 10 dias, trabalharam 3 horas dirias, arrecadando 12 kgde alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunossomaram-se ao grupo e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos diasseguintes at o trmino da campanha.Admitindo-se que o ritmo de coleta se tenha mantido constante, aquantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipuladoseria de:a) 920 kg b) 800 kg c) 720 kgd) 600 kg e) 570 kg

RESOLUO:O problema, representado por uma regra de 3 composta, pode ser apre-sentado da seguinte forma:

Assim:

Ao final do prazo estipulado, a quantidade de alimentos arrecadados seria

de: 800 kg + 120 kg = 920 kg.

Resposta: AOperrios

2420

Dias

10

x

Horas/dia

76

Trabalho

40%60%

10

x

20

24

6

7

4

6

31 73 4

Alimentos (kg)

120

x

Tempo (dias)

10

20

Horas/dia

3

4

N.o de alunos

20

50

120 10 3 20 = . . x = 800 kg.

x 20 4 50

14


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1. (FUVEST) Uma fazenda estende-se por dois municpios, A e B.A parte da fazenda que est em A ocupa 8% da rea desse municpio.A parte da fazenda que est em B ocupa 1% da rea desse municpio.Sabendo-se que a rea do municpio B dez vezes a rea domunicpio A, a razo entre a rea da parte da fazenda que est em A e

a rea total da fazenda igual a:

a) b) c) d) e)

RESOLUO:

Sendo A a rea do municpio A, B a rea do municpio B e F a rea dafazenda, temos:

F = 8% . A + 1% . 10 . A F = 18% . A

A razo entre a rea da fazenda que est em A e a rea total da fazenda :

= =

Resposta: C

2. (UEG-2012) Leia o texto a seguir.O mundo precisa aumentar a produo de alimentos se quiser evitarinstabilidade social e poltica. Atualmente o mundo produz umaquantidade de alimentos adequada para 5,5 bilhes de pessoas. Apopulao mundial de 6,5 bilhes, sendo que 1 bilho de pessoaspassa fome segundo a FAO. Em 2050, seremos nove bilhes de ha-bitantes. Ou seja, precisamos aumentar a oferta de alimentos nos pr-ximos 40 anos. Se valesse olhar para trs, isso seria possvel. Mas no um desafio pequeno, porque no perodo os efeitos das mudanas

climticas devem se agravar, complicando uma situao que j bastante difcil.Disponvel em: . Acesso em: 29 ago. 2011.

(Adaptado).

Considerando-se que hoje a produo de alimentos no mundo suficiente para alimentar 5,5 bilhes de pessoas, ento a quantidadede alimentos que a sociedade ter de produzir em 2050, para queningum passe fome, ter de aumentar em porcentagem, em relaoao que produzido hoje, ema) 100% b) 64% c) 50% d) 38%

RESOLUO:Se hoje a produo p de alimentos no mundo suficiente para alimentar5,5 bilhes de pessoas, ento para alimentar 9 bilhes em 2050, de modoque ningum passe fome, a produo de alimentos dever ser de

p 1,64p

O aumento, portanto, dever ser de 64%.

Resposta: B

MDULO 60PORCENTAGEM E JUROS

2

9

3

9

4

9

5

9

7

9

F = 8% . A + 1% . BB = 10 . A

8% . A

F

8% . A

18% . A

4

9

9

5,5

15


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3. (UECE-2012) Se na cidade de Sinimbu o salrio das mulheres 20% inferior ao salrio dos homens, ento podemos afirmarcorretamente que, naquela cidade, o salrio dos homens superior aosalrio das mulheres ema) 20%. b) 22%. c) 25%. d) 28%.

RESOLUO:Sejam m o salrio das mulheres e h o salrio dos homens de Sinimbu.De acordo com o enunciado, temos:

m = h 0,2h m = 0,8h h = h = m h = 1,25m

Portanto, o salrio dos homens de Sinimbu 25% maior que o dasmulheres.Resposta: C

4. (PUC-RJ-2012) Em uma regio, h uma espcie de ave quepode ser azul ou verde. Inicialmente 98% dos indivduos eram azuis.Houve uma peste que matou vrias aves azuis, mas nenhuma aveverde. Depois da peste, 96% dos indivduos eram azuis. Queporcentagem das aves foi morta pela peste?a) 1% b) 2% c) 5% d) 10% e) 50%

RESOLUO:

Se dasx aves da referida espcie da regio morreram m temos:

inicialmente

0,98x azuisx

0,02x verdes

aps a peste

0,98x m azuisx m

0,02x verdes

Devemos ter, ento,

m = 50%x

Resposta: E

5. Joo aplicou R$10 000,00 pelo sistema de juros simples e ao finalde 6 meses obteve um montante de R$ 10 500,00. A taxa anual doinvestimento foi dea) 5% b) 6% c) 8% d) 10% e) 12%

RESOLUO:

Sendo J os juros da aplicao, temos 10 500 = 10 000 + J J = 500

Logo = 500 i = 10

Resposta: D

6. (UFPR-2012) Uma quantia inicial de R$ 1000,00 foi investidaem uma aplicao financeira que rende juros de 6%, compostosanualmente. Qual , aproximadamente, o tempo necessrio para queessa quantia dobre? (Use log2(1,06) 0,084.)

RESOLUO:

Sendo t o tempo, em anos, devemos ter

1000 . (1 + 0,06)t = 2000 (1,06)t = 2 t = log1,062 =

= 12

Resposta: 12 anos

m0,8 108

0,98x m = 0,96(x m)0,02x = 0,04(x m) xm = 2 xm = 2

610000 . i .

12

100

1

log21,06

1

0,084

16


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17

FRENTE 2 LGEBRA

1. (UNESP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem 3.

Se A = e B tal que B 1 = 2A, o determinante

de B ser:a) 24 b) 6 c) 3 d) 1/6 e) 1/24

RESOLUO:

det A = = 3

det B1

= det(2A) = 23

. det A = 8 . 3 = 24 det B = =

Resposta: E

2. Considere A = e B = , duas matrizes de

ordem dois por dois. Se AT

a matriz transposta de A, e B 1

a matrizinversa de B, o valor de det(AT B 1) + det(A + B) igual a:

a) 69 b) 6 c) 108 d) 21 e) 15

RESOLUO:

1) det A = = 54 det At = 54

2) det B = = 9

det B 1 = =

3) det (At . B 1) = det At . det B1 = 54 . = 6

4) A + B = + =

det (A + B) = 21

5) det(At . B 1) + det(A + B) = 6 + ( 21) = 15

Resposta: E

3. (FGV) Sendo M uma matriz, M1 sua inversa, MT sua trans-posta, D o determinante de M, e P o determinante de MT, corretoafirmar que, necessariamente,a) D = P.b) M pode no ser uma matriz quadrada.c) M1 e MT podem no ser de mesma ordem.

d) M possui ao menos duas filas paralelas linearmente dependentes.e) o determinante de MM1 igual ao produto de P por D.

RESOLUO:Lembrando que:1) Determinante definido para matrizes quadradas.2) Determinante de uma matriz sempre igual ao da sua transposta.3) S existe M1 se det M 0 e, portanto, M no possui filas paralelas

linearmente dependentes.4) Se M matriz quadrada e possui inversa, ento M, M1 e MT tm

mesma ordem.

TemosD = det M

D = P P = det MtResposta: A

Sendo A e B matrizes invertveis de mesma ordem, resolva as equa -es 4, 5 e 6.

Sr. Professor, aproveite estas questes para comentar algumas proprie-dades de matrizes produto, transpostas e inversas, tais comoA . I = A, (A . B)t = Bt . At e (A . B)1 = B1 . A1

4. A . X = B

RESOLUO:

A . X = B A1 . AX = A1 . B X = A1 . B

5. X . A = B

RESOLUO:

X . A = B X . A . A1 = B . A1 X = B . A1

6. (A . X)t = B . At

RESOLUO:

(A . X)t = B . At [(A . X)t]t = [B . At]t

A . X = (At)t . Bt A 1 . AX = A1 . A . Bt I . X = I . Bt X = Bt

MDULO 25

PROPRIEDADES DA MATRIZINVERSA E EQUAES MATRICIAIS

101

21

0

312

101

2 1

0

312

1

24

1

det B1

3 64

58

11

2

4

811

24

3 6

4 5

1

91

det B

19

1152

13

64

5811

24


18/48

18

1. (UFMG) Se a inversa da matriz M = a matriz

M 1

= , ento a soluo (x;y) do sistema linear

possvel e determinado

a) (1; 0) b) (0; 1) c) (1; 1)

d) (1; 2) e) ( 1; 2)

RESOLUO:

Senhor professor, utilize este exerccio para comentar com os alunos como

a teoria de matrizes est ligada teoria de sistemas.

=

. = M . X = B

M X B

M1 . M . X = M 1 . B I . X = M 1 . B

X = .

X = , portanto, x = 1 e y = 0.

O par (1;0) a soluo do sistema.Resposta: A

2. Os valores de x, y e z do sistema linear:

so tais que x . y . z igual a:a) 10 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

RESOLUO:

Professor, utilize este exerccio para apresentar a Regra de Cramer

(no perca tempo calculando os determinantes).

D = = 16

Dx = = 32

Dy = = 48

Dz = = 80

Regra de Cramer:

Resposta: B

3. Ana, Beatriz e Claudia foram ao shopping fazer compras e quandovoltaram reclamaram de terem gasto muito dinheiro. Juntas elasgastaram R$ 210,00. Ana disse a Beatriz a culpa sua que gastou odobro do que gastei. Beatriz se defendeu dizendo que a culpa foi daClaudia, pois gastou o dobro do que ela, Beatriz havia gasto. Se asinformaes delas forem corretas, Beatriz gastoua) R$ 30,00 b) R$ 45,00 c) R$ 60,00d) R$ 80,00 e) R$ 90,00

RESOLUO:Sendo a, b e c o gasto de cada uma temos, em reais

Sendo,

D = = 1 + 4 + 2 = 7 e

Db = = 420, temos que Beatriz gastou

b = = = 60

Resposta: C

MDULO 26

SISTEMA NORMAL, REGRA DECRAMER E ESCALONAMENTO

a32

b

2

32

1

1 2 ax + 2y = 1

3x + by = 3

13ax + 2y3x + byax + 2y = 13x + by = 3

1

3x

ya

3

2

b

101

3 2

3

2

1

1

2

x + y + z = 105x + 2y 2z = 62x + 3y z = 8

152

123

1 2 1

1068

123

1 2 1

152

1068

1 2 1

152

123

1068

x . y . z = 30Dx 32

x = = = 2D 16

Dy 48y = = = 3

D 16

Dz 80z = = = 5

D 16

a + b + c = 210

2a b = 0

2b c = 0

a + b + c = 210b = 2ac = 2b

120

1 1

2

10

1

120

21000

10

1

420

7

DbD


19/48

19

4. (MACKENZIE) Relativas ao sistema , k ,

considere as afirmaes I, II e III abaixo.I) Apresenta soluo nica para, exatamente, dois valores distintos

de k.II) Apresenta mais de 1 soluo para um nico valor de k.III) impossvel para um nico valor de k.Dessa forma,a) somente I est correta. b) somente II e III esto corretas.

c) somente I e III esto corretas. d) somente III est correta.e) I, II e III esto corretas.

RESOLUO:

O sistema

1) Admite soluo nica ( possvel e determinado) se, e somente se;

0 k2 12k 0 k 0 e k 12

Desta forma, a frase (I) falsa.

2) Admite mais de 1 soluo ( possvel e indeterminado) somente para

k = 0, pois neste caso temos: x = e y

As solues so do tipo e a frase (II) est correta.

3) impossvel para k = 12, pois teremos

que so equaes incompatveis. Assim, a frase (III) verdadeira.

Resposta: B

5. (UFOP) Para resolver as questes propostas, considere o sis-tema de equaes nas incgnitas x e y:

a) Para que valores de e o sistema possvel e determinado?b) Escolha um par de valores para e , dentre os valores econtrados

em A, e resolva o sistema para esse par.

RESOLUO:

a) O sistema possvel e determinado se, e somente se,

D = = 12 4 0 3

b) Vamos adotar = 6 e = 7.

Teremos o sistema:

Respostas: a) SPD 3 e qualquer

b) Para = 6 e = 7 temos a soluo

1. Se x, y e z so nmeros reais tais que

, ento (x + y)z igual a:

a) 1 b) 8 c) 27 d) 36 e) 49

RESOLUO:Professor, a inteno desta questo mostrar o mtodo do escalonamento.

(x + y)z = (1 + 2)3 = 27

Resposta: C

kx + 4ky = 03x + ky = 8

kx + 4ky = 03x + ky = 8

k 4k

3 k

83

0 . x + 4 . 0 . y = 03 . x + 0 . y = 8

kx + 4ky = 03x + ky = 8

8; y3

x + 4y = 0 8x + 4y = 3

12x + 48y = 03x + 12y = 8

kx + 4ky = 03x + ky = 8

2x y + 7 = 0 4x + 6y = 0

2x y = 7

4x + 6y = 2x y + 7 = 0

4x + 6y = 0

2

4

6

x = 0

7y =

62x 6y = 7 2x = 02x 6y = 7 4x + 6y = 7

70; 6

MDULO 27

ESCALONAMENTO (MTODO DE GAUSS)

x + y + z = 6x + 2y + 3z = 14x + 3y + 6z = 25

x + y + z = 6

y + 2z = 82y + 5z = 19x + y + z = 6

x + 2y + 3z = 14x + 3y + 6z = 25x = 1y = 2z = 3

x + y + z = 6

y = 2z = 3

x + y + z = 6

y + 2z = 8z = 3


20/48

20

2. (UNICAMP-2012) As companhias areas costumam estabe-lecer um limite de peso para a bagagem de cada passageiro, cobrando

uma taxa por quilograma de excesso de peso. Quando dois

passageiros compartilham a bagagem, seus limites so considerados

em conjunto. Em um determinado voo, tanto um casal como um

senhor que viajava sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram

obrigados a pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou

correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para determinar o

peso excedente das bagagens do casal (x) e do senhor que viajava

sozinho (y), bem como o limite de peso que um passageiro podetransportar sem pagar qualquer taxa (z), pode-se resolver o seguinte

sistema linear:

a) b)

c) d)

RESOLUO:

Resposta: A

3. (UNICAMP) Uma grande preocupao atual a poluio, par-ticularmente aquela emitida pelo crescente nmero de veculos

automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro

queima combustvel, gerando CO2, alm de outros gases e resduos

poluentes.

a) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocida-

de constante, emite 2,7 kg de CO2 a cada litro de combustvel que

consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO2 ele emitiu em

uma viagem de 378 km, sabendo que fez 13,5 km por litro de

gasolina nesse percurso?

b) A quantidade de CO2 produzida por quilmetro percorridodepende da velocidade do carro. Suponha que, para o carro em

questo, a funo c(v) que fornece a quantidade de CO2, em g/km,

com relao velocidade v, para velocidades entre 20 e 40 km/h,

seja dada por um polinmio do segundo grau. Determine esse

polinmio com base nos dados da tabela abaixo.

RESOLUO:a) Em uma viagem de 378km, percorrendo 13,5km por litro de com-

bustvel, um automvel consumiu

Se o automvel emite 2,7kg de CO2 a cada litro, ento, ao consumir 28

litros, ele emite 28 . 2,7 = 75,6kg de CO2.

b) Seja c(v) = av2 + bv + c. Pelos dados da tabela, tem-se:

Logo, c(v) = . v2 40 . v + 1000

Respostas: a) 75,6 kg

b) c(v) = . v2 40 . v + 1000

4. (UNESP) Foram estudados trs tipos de alimentos, para os quaisse determinou, para a mesma quantidade (1 g), que:

Diariamente, o corpo humano necessita de 1 100 unidades de vitami-

na A, 900 unidades de vitamina B e 2 000 unidades de vitamina C.

Encontre todas as possveis quantidades dos alimentos I, II e III que

fornecem as unidades de vitaminas desejadas para serem ingeridas

diariamente.

RESOLUO:Se x, y e z forem as quantidades dos alimentos I, II e III, respectivamente,ento:

x + z = 60

y + 2z = 60

3,5x y = 0

x + 2z = 60

y + z = 60

3,5x y = 0

x + z = 60

y + 2z = 60

3,5x + y = 0

x + 2z = 60

y + z = 60

3,5x + y = 0

x + 2z = 60y + z = 60

3,5x y = 060 2z = x60 z = y

y = 3,5x

Velocidade (km/h) Emisso de CO2 (g/km)

20 400

30 250

40 200

378 km = 28

13,5km/

1a =

2b = 40

c = 1000a . 202 + b . 20 + c = 400

a . 302 + b . 30 + c = 250

a . 402 + b . 40 + c = 2001

2

12

Vitaminas

A B C

Alimentos I 300 0 300

II 100 300 400

III 200 300 500

300x + 100y + 200z = 11000 . x + 300 y + 300z = 900300x + 400y + 500z = 2000

3x + y + 2z = 11

y + z = 33y + 3z = 9

3x + y + 2z = 11

y + z = 33x + 4y + 5z = 20


21/48

Para z = k, temos:

e, portanto, a soluo geral do sistema :

, com 0 k 3

Se as quantidades de alimentos forem inteiras, ento a nica possibilidadeser x = 2, y = 1, z = 2.

Resposta: A soluo geral ; 3 k; k , para 0 k 3. Destas

solues, a nica inteira (2; 1; 2).

5. Determine os valores de k e p para que o sistema

nas variveis x, y e z sejaa) possvel e determinado;b) possvel e indeterminado;c) impossvel.

RESOLUO:

Da ltima equao, temos:a) O sistema possvel e determinado se k 5 0 k 5b) O sistema possvel e indeterminado se

k 5 = 0 e 8 2p = 0 k = 5 e p = 4c) O sistema impossvel se k 5 = 0 e 8 2p 0 k = 5 e p 4Respostas: a) k 5 b) k = 5 e p = 4 c) k = 5 e p 4

1. Determine a caracterstica da matriz M =

RESOLUO:

M =p = 1

2. Determine a caracterstica da matriz

M =

RESOLUO:A 3. coluna a soma das duas primeiras, a quarta s contm zeros e a

quinta proporcional primeira, portanto, a caracterstica de M a

mesma da matriz que 2, pois = 14 0.

3. A caracterstica da matriz

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUO:A caracterstica da matriz dada a mesma da matriz

Observe que:

= 5 0

= 0

= 65 0

portanto, a caracterstica 3.Resposta: C

3x + y = 11 2k

y = 3 k

8 kx =

3

y = 3 k

z = k

8 k3

x + y + z = 6x + 2y + 3z = px + 3y + kz = 2

x + y + z = 6

y + 2z = p 6

(k 5)z = 8 2p

x + y + z = 6

y + 2z = p 6

2y + (k 1)z = 4

x + y + z = 6

x + 2y + 3z = p

x + 3y + kz = 2

MDULO 28CARACTERSTICA DE UMA MATRIZE TEOREMA DE ROUCH-CAPELLI

2436

2

4

3

6

3

12

245

537

000

6 2

4

(3

12

245) 3 1 24

34

72

21

33

56

114

125

176

3

4

2

2

1

3

5

6

4

12

5

6

34

21

342

213

564

342

213

1256

21


22/48

4. Mostre que o sistema admite infinitas solu-

es e determine todas as solues.

RESOLUO:a) Sejamp e q as caractersticas das matrizes incompleta e completa do

sistema.

MI = MC =

Como em ambas a ltima linha combinao linear das duas primei-ras linhas (o dobro da primeira mais a segunda), suas caractersticasso respectivamente iguais s caractersticas das matrizes

e e, portanto, p = 2 e q = 2.

Pelo Teorema de Rouch-Capelli, p = q = 2 < 3 SPIAssim o sistema tem infinitas solues.

b) Fazendo z = k, temos:

Respostas: a) Demonstrao

b) (3 2k; k; k);

k

5. (CEPERJ) O sistema indeterminado.

O valor de m a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36

RESOLUO:Sendop e q, respectivamente, as caractersticas das matrizes incompleta ecompleta, temos:

1) MI = e p = 2,

pois = 11 0 e = 0

2) MC = para ter caracterstica 2 devemos ter

= 0 11m + 330 = 0 m = 30

Resposta: C

6. (UF Juiz de Fora) Considere o sistema abaixo nas variveis x,

y e z.

Sobre este sistema, podemos afirmar quea) possui uma nica soluo.b) possui exatamente trs solues.c) possui infinitas solues.d) no possui solues.e) no possui solues ou possui infinitas solues.

RESOLUO:Sr. Professor, faa uso deste exerccio para mostrar a importncia de se

conhecer o Teorema de Rouch-Capelli.

Como MI = e MC =

As caractersticas p e q dessas matrizes so menores ou iguais a dois.Assim, se p = q = 1 ou p = q = 2, o sistema possvel e indeterminado e sep q, o sistema impossvel.Resposta: E

x + y + z = 32x + 3y + z = 64x + 5z + 3z = 12

1

24

1

35

1

13

3

612

1

24

1

35

1

13

1213

11

36

12

13

11

x + y = 3 k2x + 3y = 6 kx + y + k = 32x + 3y + k = 6x = 3 2ky = k

x + y = 3 ky = k

x + 3y z = 72x 5y + 4z = 95x + 4y + z = m

125

3 5

4

141

125

3 5

4

141

12

3 5

125

3 5

4

141

79m

125

3 5

4

79m

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2

a1

a2

b1

b2

c1

c2

d1

d2

a1

a2

b1

b2

c1

c2

22


23/48

1. (UNICENTRO) O sistema linear

tem soluo se, e somente se:

a) a = 2b e c = 0 b) a c c) c = 2bd) a b e c = 2 e) b = c

RESOLUO 1:

Para que estes valores satisfaam a 3a. equao, devemos tera . 0 + b . 2 = c c = 2b

RESOLUO 2:

MI = tem caracterstica 2, pois = 2 0

Para que a matriz completa

MC = tenha caracterstica 2, devemos ter

= 0

c 2a + 2b + 2a c + 2b = 0

2c + 4b = 0 c = 2b

Resposta: C

2. (UFV) O sistema linear nas incgnitas x, y,

sendo k um nmero real, impossvel paraa) mais de dois valores de k.b) exatamente dois valores de k.c) apenas um valor de k.d) nenhum valor de k.

RESOLUO:Para ser impossvel, as caractersticas das matrizes

MI = e MC =

devero ser diferentes. Desta forma,

= 0 k2 1 = 0

e ,

0 k2 + k 2 0

portanto k = 1.Resposta: C

3. (MACKENZIE) Os valores de k, para que o sistema

no tenha soluo real, so os 2 primeiros termos de uma progressoaritmtica de termos crescentes.Ento, nessa PA, o logaritmo na base 3 do quadragsimo terceirotermo a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

RESOLUO:

I) Uma condio necessria para que o sistema no tenha soluo real :

= 0 k = 1 ou k = 3

II) Para k = 1, temos o sistema , que possui a primeira

e terceira equaes incompatveis.

III) Para k = 3, temos o sistema , que possui a primei-

ra e a segunda equaes incompatveis com a terceira equao (menos

quatro vezes a primeira, acrescida da segunda, resulta em

x + y 3z = 7).

Logo, a progresso aritmtica de termos crescentes ( 3, 1, ) possui

razo 2 e quadragsimo terceiro termo a43 = 3 + 42 . 2 = 81 e, portanto,

log3

81 = log3

12

34 = . log3

3 = 8

Resposta: A

kx + y = 2 k

x + ky = k

k11

k

2 k

kk

1

1

k

k1

1k k = 1

ek 2 e k 12 k

kk1

11a

1 1

b

2 2

c

11a

1 1

b

2 2

c

1

1

1

1

1

1a

1

1b

x = 0y = 2

x + y = 2x y = 2ax + by = c

MDULO 29

DISCUSSO DE SISTEMAS LINEARES

x + y = 2

x y = 2

ax + by = c

x y + z = 23x + ky + z = 1 x + y + kz = 3

13

1

1k1

11k

x y + z = 23x y + z = 1

x + y z = 3

x y + z = 23x 3y + z = 1

x + y 3z = 3

4

12

23


24/48

4. (UFSC) Uma soluo do sistema que verifica

x y = y z :

a) x = y = z = 1 b) x = z = , y = 1

c) x = 2, y = 1, z = 3 d) x = 3, y = 1, z = 2

e) x = 4, y = 1, z = 1

RESOLUO:1) Observemos que o sistema possvel e indeterminado, pois

MI = tem caracterstica 2 e

MC = tambm tem caracterstica 2.

2) Para z = , temos:

3) Para satisfazer a condio x y = y z devemos ter

5

1 = 1

4

= 1

4) Para = , temos:

x = 5 = , y = 1 e z =

Resposta: B

1. (AFA) Os valores de m, para os quais o sistema

admite somente a soluo x = y = z = 0, so:a) m = 4 b) m > 0 c) m 4 d) m < 5

RESOLUO:

D = = m + 4

Se o sistema admite somente a soluo trivial, ento m + 4 0 m 4

Resposta: C

2. Sobre o sistema , pode-se afirmar que, para k ,

a) no homogneo.b) s admie a soluo trivial.c) no admite soluo.d) admite infinitas solues.

e) admite a soluo (1; 1 k) para k 1.

RESOLUO:

D = = (2 k)(3 k) + 1 =

= 6 2k 3k + k2 + 1 = k2 5k + 7 > 0,

k

, pois o grfico de

D = k2 5k + 7 do tipo

Assim, o sistema s admite a soluo trivial.Resposta: B

x + y + z = 6x y + z = 4x + z = 5

5

2

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

6

4

5

x + y + z = 6

x + z = 5 x = 5

y = 1z =

4 = 1 ou4 = 1 +

5

= 2

5

2

5

2

5

2

5

2

MDULO 30

SISTEMA LINEAR HOMOGNEO

x y + z = 02x 3y + 2z = 04x + 3y + mz = 0

124

1 3

3

12m

2x y = kxx + 3y = ky

(2 k)x y = 0

x + (3 k)y = 02x y = kx

x + 3y = ky(2 k)

1 1

(3 k)

24


25/48

3. (UNIFEI-adaptado) Considere o sistema linear homogneo:

S = , em que os nmeros estritamente positivos

a, b e c so diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, respectivamente.Qual deve ser o valor de (6a + 3b + c) para que esse sistema admitainfinitas solues?

RESOLUO:O sistema homogneo e, portanto, para que o sistema admita inifinitas

solues, devemos ter

D = = 0 4b 4c + 12a 3abc 8 + 8 = 0

12a + 4b 4c 3abc = 0

Se a, b e c so diretamente proporcionais a 1, 2 e 3, ento a = k, b = 2k e

c = 3k. Substituindo na equao acima, temos:

12 . k + 12 . k + 4 . 2k 3 . k . 2k . 3k = 0 8k 18k3 = 0 k = 0,

k = ou k = . Como a, b e c so estritamente positivos, devemos

ter k = . Consequentemente, a = , b = e c = = 2

Assim:

(6a + 3b + c) = 6 . + 3 . + 2 = 10

Resposta: 10

4. (FGV) O sistema de equaes nas incgnitas x, y e z, dadoabaixo:

a) tem uma nica soluo.b) tem (0, 0, 0) como uma de suas solues.c) impossvel.d) tem infinitas solues.e) no campo complexo, tem exatamente 3 solues.

RESOLUO:

Fazendo = a, = b e = c, temos:

O sistema (I) homogneo e s admite a soluo trivial a = b = c = 0, pois

= 56 0

Como = a 0, = b 0 e = c 0 para todo x, y e z no nulos,

o sistema dado no admite soluo.

Resposta: C

5. No plano cartesiano o conjunto de pontos P(p; k) que tornam osistema

possvel e indeterminado pertence a umaa) reta paralela ao eixo horizontal.b) elipse de centro na origem.c) parbola de vrtice no 2. quadrante.d) parbola de vrtice no 1. quadrante.

e) circunferncia de raio .

RESOLUO:

Este sistema ser possvel e indeterminado se, e somente se,

= 0 7k+ p2 2p = 0 k = p2 + p que a equao

de uma parbola de vrtice V , do primeiro quadrante.

Resposta: D

2x 2y + 3az = 02x + by + 2z = 0cx + 2y 2z = 0

22c

2b2

3a2

2

2

32

3

2

32

3

4

36

3

2

34

3

2 3 1

+ = 0x y z1 2 3

+ = 0x y z4 1 5

+ = 0x y z

1x

1y

1z

2 3 1

+ = 0x y z

1 2 3 + = 0

x y z

4 1 5 + = 0

x y z

2a + 3b c = 0

a 2b + 3c = 0 (I)

4a + b 5c = 0

2

1

4

3

2

1

1

3

5

1

z1

y

1

x

kx py = 0

px + 3y = 2x 4y

17

kx py = 0

(p 2)x + 7y = 0kx py = 0

px + 3y = 2x 4y

27

1

7

p7

k(p 2)

11; 7

25


26/48

FRENTE 3 GEOMETRIA ANALTICA

26

1. (PUC-RS) O comprimento da curva de equao(x 1)2 + (y + 1)2 9 = 0 a) 1 b) 3 c) d) 3 e) 6

RESOLUO:(x 1)2 + (y + 1)2 9 = 0 a equao de uma circunferncia de centro(1; 1) e raio r = 3.O comprimento C, dessa curva tal que:C = 2 r C = 6Resposta: E

2. (UN.FED. JUIZ DE FORA) No plano cartesiano, seja C umacircunferncia situada no 1o. quadrante, tangente reta x = 3 e tan-gente ao eixo x no ponto (7; 0). Uma equao cartesiana de C :

a) (x 7)2 + (y 4)2 = 16 b) (x 7)2 + (y 3)2 = 4

c) (x 3)2 + (y 7)2 = 16 d) (x 7)2 + y2 = 49

e) (x 4)2 + (y 4)2 = 4

RESOLUO:Observe a figura abaixo:

De acordo com as condies do enunciado, conclui-se que a circunfernciatem centro: C(7; 4) e raio: r = 4e, portanto, equao (x 7)2 + (y 4)2 = 42

Resposta: A

3. (ESPM) Na figura abaixo, tem-se representada, em um sistemade eixos cartesianos, a circunferncia de centro C.

A equao de :a) x2 + y2 4x + 2y 4 = 0 b) x2 + y2 4x 2y 4 = 0c) x2 + y2 + 4x + 2y 4 = 0 d) x2 + y2 2x + 4y + 5 = 0e) x2 + y2 2x + 4y + 2 = 0

RESOLUO:

A circunferncia tem centro C (2; 1) e raio r = 3. A equao dessa

circunferncia : (x 2)2 + (y + 1)2 = 32 x2 + y2 4x + 2y 4 = 0

Resposta: A

4. (FGV) No plano cartesiano, o ponto C(2; 3) o centro de umacircunferncia que passa pelo ponto mdio do segmento

CP, em queP o ponto de coordenadas (5; 7). A equao da circunferncia :a) 4x2 + 4y216x 24y + 27 = 0b) x2 + y2 4x 6y + 7 = 0c) 4x2 + 4y2 16x 24y + 29 = 0d) x2 + y2 4x 6y + 8 = 0e) 4x2 + 4y2 16x 24y + 31 = 0

RESOLUO:

1o. ) raio = = =

2o. ) Equao da circunferncia, com centro C(2; 3) e raio r =

(x 2)2 + (y 3)2 =2

x2 + y2 4x 6y + = 0

4x2 + 4y2 16x 24y + 27 = 0

MDULO 25

CIRCUNFERNCIA:EQUAES REDUZIDA E GERAL

5

2

(5 2)2 + (7 3)2

2

PC

2

5

2

27

4

52


27/48

27

5. (FGV) No plano cartesiano, a reta de equao x = k tangencia acircunferncia de equao (x 2)2 + (y 3)2 = 1. Os valores de k so:a) 2 ou 0 b) 1 ou 1 c) 0 ou 2d) 1 ou 3 e) 2 ou 4

RESOLUO:A circunferncia (x 2)2 + (y 3)2 = 1 tem centro C(2;3) e raio 1. A retax = k vertical.

Ento: k = 1 ou k = 3Resposta: D

6. (FUVEST-adaptado) No plano Oxy, a circunferncia () temcentro no ponto C( 5; 1) e tangente reta t de equao4x 3y 2 = 0. Escreva uma equao para a circunferncia ().

RESOLUO:

O raio da circunferncia a distncia do ponto C reta t, ento:

r = dC,t = = = 5

Uma equao para a circunferncia () :

(x + 5)2 + (y 1)2 = 25

1. (UNESP) A distncia do centro da circunfernciax2 + 2x + y2 4y + 2 = 0 origem

a) 3. b) 5. c) 3. d) 2. e) 1.

RESOLUO:O centro da circunferncia x2 + y2 + 2x 4y + 2 = 0

o ponto C ; C( 1; 2), cuja distncia origem :

d = ( 1 0)2 + (2 0)2 = 5Resposta: B

2. (FGV) Dada a circunferncia de equaox2 + y2 6x 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada mxima. Asoma das coordenadas de P :a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

RESOLUO:

A circunferncia x2 + y2 6x 10y + 30 = 0 tem centro C (3; 5) e raio

r = 32 + 52 30 = 2.

O ponto P, de ordenada mxima, P (3; 5 + 2) = P (3; 7).

A soma das coordenadas de P 10.

Resposta: A25

5

4 . ( 5) 3 . 1 2

42 + ( 3)2

MDULO 26

DETERMINAO DO CENTRO E DO RAIO

4

2

2 2


28/48

28

3. (PUC-SP) Seja x2 +y2 + 4x = 0 a equao da circunferncia de

centro Q representada no plano cartesiano abaixo.

Se o quadrado PQMN tem os vrtices Q e M sobre o eixo dasabscissas e o vrtice N pertence circunferncia, o ponto N dadopor:

a) (2 2; 2) b) ( 2 + 2; 2)

c) (2 2; 2) d) ( 2 2; 2 2)

e) ( 2; 2 2)

RESOLUO:A circunferncia de equao x2 + y2 + 4x = 0

(x + 2)2 + y2 = 4 tem centro Q( 2; 0) e raio r = 2.

Sendo PQMN um quadrado com diagonal QN = r = 2, resulta QM = 2.

Dessa forma, tm-se xM = xN = 2 + 2 e yN = 2 e as coordenadas de N

so ( 2 +

2;

2).

Resposta: A

4. (FUVEST) A circunferncia dada pela equaox2 + y2 4x 4y + 4 = 0 tangente aos eixos coordenados x e y nospontos A e B, conforme a figura. O segmento

MN paralelo aosegmento

AB e contm o centro C da circunferncia.

correto afirmar que a rea da regio hachurada valea) 2 b) + 2 c) + 4d) + 6 e) + 8

RESOLUO:

A circunferncia x2 + y2 4x 4y + 4 = 0 tem centro C(2;2) e raio r = 2.

Os tringulos OAB e ABC so retngulos e issceles.Sendo A(2;0) e B(0;2), pode-se concluir que a rea hachurada a soma das

reas de dois setores circulares, de ngulo central 45, e do tringulo ABC.

Portanto, a rea :

A = 2 . + = + 2

Resposta: B

2.2

2

. 22

8


29/48

29

5. (UFPB) Na figura, a circunferncia de equaox2 + y2 10x 4y + 13 = 0 tem centro no ponto C. Se o ponto A temcoordenadas (9;6) e a reta t tangente circunferncia no ponto T,ento a rea assinalada igual a:

a) 16 2

b) 8 2

c) 8

d)

e) 4 +

RESOLUO:A circunferncia x2 + y2 10x 4y + 13 = 0 tem:

centro: C ; C(5; 2)

raio: r = 52 + 22 13 = 4

A reta t, tangente circunferncia, passando pelo ponto A(9;6), tem

equao x = 9.

As coordenadas do ponto T resultam (9; 2).

No tringulo ACT, retngulo em T, CT = AT = 4 e ACT = 45 (o tringulo

ACT retngulo e issceles).

A rea procurada ser igual a:

A = A A = = 8 2

Resposta: B

1. (FUVEST) A reta y = mx (m > 0) tangente circunferncia(x 4)2 + y2 = 4. Determine o seno do ngulo que a reta forma como eixo x.

a) b) c) d) e) 5

RESOLUO:A circunferncia (x 4)2 + y2 = 4 tem centro C(4; 0) e raio r = 2. A partirdo enunciado, temos a seguinte figura:

sen = =

Resposta: B

8

4

2

10

2

. 42

8

4 . 4

2

MDULO 27

POSIO DOS PONTOS DO PLANOEM RELAO A UMA CIRCUNFERNCIA

2

3

3

21

2

1

5

1

2

24


30/48

30

2. (UFPel) No chamado meio ambiente urbano, as praas pblicasso bens de uso comum, contribuindo para o embelezamento dascidades, auxiliando sobremaneira na melhoria das condiessanitrias e higinicas dos ncleos urbanos e promovendo o inter-cmbio social e cultural.Na figura abaixo, observa-se que algumas ruas atravessam a praa,outras a tangenciam em um nico ponto e outras nem passam por ela.Considere uma praa circular delimitada por uma circunferncia deequao x2 + y2 4x + 8y 16 = 0 e uma das ruas representada pela

equao 4x + 3y 4 = 0.

De acordo com os textos e seus conhecimentos, correto afirmar quea rua representada pela equao acimaa) tangencia a praa no ponto A(2, 4).b) tangencia a praa no ponto A( 4, 8).c) no atravessa a praa.d) tangencia a praa no ponto A( 2, 4).e) atravessa a praa.

RESOLUO:

I) A circunferncia de equao x2 + y2 4x + 8y 16 = 0 tem centro

C(2; 4) e raio r = 6.

II) A reta de equao 4x + 3y 4 = 0 secante circunferncia, pois

= < r = 6

Resposta: E

3. (UNIRIO) Considerando uma circunferncia de centro (2;1) quepassa pelo ponto (2; 2), assinale a opo correta.a) A equao da circunferncia (x2)2 + (y1)2 = 3.b) O interior da circunferncia representado pela inequao

x2 + 4x + y2 + 2y 4 < 0.c) O interior da circunferncia representado pela inequao

x2 4x + y2 2y 4 < 0.d) O exterior da circunferncia representado pela inequao

x2 4x + y2 2y + 2 > 0 .

e) O ponto (5; 1) pertence circunferncia.

RESOLUO:

centro: C(2; 1)

raio: r = (2 2)2 + (1 + 2)2 = 3

A equao da circunferncia :

(x 2)2 + (y 1)2 = 9 x2 + y2 4x 2y 4 = 0

Os pontos internos da circunferncia so representados por:

x2 + y2 4x 2y 4 < 0Resposta: C

85

4 . 2 + 3 ( 4) 4

42 + 32


31/48

31

4. (FUVEST) Das regies hachuradas na sequncia, a que melhorrepresenta o conjunto dos pontos (x; y) do plano cartesiano,satisfazendo o conjunto de desigualdades

x 0

y 0 , :x y + 1 0x2 + y2 9

RESOLUO:

(I) x y + 1 0 (II) x2 + y2 9

O conjunto das desigualdades no problema representa os pontos do

1o. quadrante que satisfazem simultaneamente a (I) e a (II), isto :

Resposta: A

5. (FATEC) Considere que R a regio do plano cartesiano cujospontos satisfazem as sentenas (x 2)2 + (y 2)2 4 e x y 0.A rea de R, em unidades de superfcie, :a) b) 2 c) 2 d) 4 e) 42

RESOLUO:Os pontos do plano que satisfazem as sentenas esto representados nasfiguras abaixo.

I) (x 2)2 + (y 2)2 4 II) x y 0

As duas condies simultneas representam um semicrculo, cuja rea :

A = = 2

Resposta: B

. 22

2


32/48

32

(UEL) Texto para as questes 1 e 2.Existem pessoas que nascem com problemas de sade relacionados aoconsumo de leite de vaca. A pequena Laura, filha do Sr. Antnio,nasceu com este problema. Para solucion-lo, o Sr. Antnio adquiriuuma cabra que pasta em um campo retangular medindo 20 m de

comprimento e 16 m de largura. Acontece que as cabras comem tudoo que aparece sua frente, invadindo hortas, jardins e chcarasvizinhas. O Sr. Antnio resolveu amarrar a cabra em uma corda presapelas extremidades nos pontos A e B que esto 12 m afastados um dooutro. A cabra tem uma argola na coleira por onde passada a corda,de tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a extenso dacorda. Observe a figura e responda questo a seguir.

1. Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra possapastar na maior rea possvel, dentro do campo retangular?a) 10 m b) 15 m c) 20 m d) 25 m e) 30 m

RESOLUO:Os pontos A e B sero os focos da elipse, com eixos maior e menor,

respectivamente: 2a = 20 m e 2b = 16 m.Para que a cabra possa pastar na maior rea possvel (interior da elipsede focos em A e B), o comprimento da corda deve ser:PA + PB = 2a (definio de elipse)Assim: PA + PB = 20 mResposta: C

2. Obtenha a equao da curva que delimita a maior rea possvel nascondies do problema.

a) + = 1 b) + = 1 c) + = 1

d) + = 1 e) + = 1

RESOLUO:

Sendo 2a = 20 a = 10 2b = 16 b = 8,

a equao da elipse resulta:

+ = 1 + = 1

Resposta: C

3. (UFRN-adaptado) O grfico que melhor representa a equao9x2 + 4y2 = 36, :

MDULO 28

ELIPSE x210

y2

8

x2

20

y216

x2

100

y264

x2

64

y2100

x2

400

y2256

x2

a2y2

b2

x2

100y2

64


33/48

33

RESOLUO:A equao

9x2 + 4y2 = 36 + = 1 + = 1

representa uma elipse, com eixo maior vertical, centro na origem e com

medidas dos semieixos iguais a:

a2 = 9

a = 3

b2 = 4 b = 2

Resposta: D

4. (UNESP) A equao da elipse de focos F1 = ( 2, 0), F2 = (2, 0)e eixo maior igual a 6 dada por:

a) + = 1 b) + = 1

c) + = 1 d) + = 1

e) + = 1

RESOLUO:

A elipse de focos F1( 2;0) e F2(2;0) e eixo maior igual a 6 tal que:

9 = b2 + 4 b2 = 5

A equao da elipse dada por:

+ = 1 + = 1

Resposta: B

5. (UNESP) A figura representa uma elipse.

A partir dos dados disponveis, a equao desta elipse :

a) + = 1

b) + = 1

c) (x + 5)2

+ (y 7)2

= 1

d) + = 1

e) + = 1

RESOLUO:

A elipse da figura tem centro C( 5;7) e semi-eixos a = 4 e b = 3.

A equao reduzida da elipse, representada na figura, com centro C(g;h)

e semi-eixos a e b, :

+ = 1 + = 1

Resposta: B

x2

10

y2

20

x2

9

y2

5

x2

9

y215

x2

6

y215

x2

4

y225

f = 2a = 3a2 = b2 + f2

x2

a2

y2

b2

x2

9

y2

5

x2

5

y2

7

(x + 5)2

9

(y 7)2

16

(x 5)2

9

(y + 7)2

16

(x + 3)2

5

(y 4)2

7

(x g)2b2

(y h)2a2

(x + 5)29

(y 7)216

y2

9

x2

4

4y2

36

9x2

36


34/48

1. (USF) Se os lados de um retngulo tm medidas iguais s me-

didas do eixo transverso e do eixo conjugado da hiprbole de equa-

o = 1, a rea desse retngulo, em unidades de rea,

igual a:a) 90 b) 120 c) 50 d) 44 e) 60

RESOLUO:

A hiprbole = 1 tem:

a2 = 36 a = 6 2a = 12 (eixo transverso)

b2 = 25 b = 5 2b = 10 (eixo conjugado)

A rea do retngulo igual a:

A = 12 . 10 = 120

Resposta: B

2. (CESGRANRIO-adaptado) Esboar o grfico da curva deequao y2 4x2 = 16, determinando as coordenadas dos vrtices edos focos.

RESOLUO:

y2 4x2 = 16 = 1

representa uma hiprbole com focos no eixo y, sendo:

a2 = 16 a = 4

b2 = 4 b = 2

O grfico do tipo:

Ento: f2 = a2 + b2 = 16 + 4 = 20 e f =

20 = 2

5. Os focos tm coordena-

das: F1(0; 2 5 ) e F2(0; 2 5 ).

Os vrtices so os pontos A1(0; 4) e A2(0; 4).

MDULO 29

HIPRBOLE

x236

y2

25

x236

y225

y2

16x2

4

34


35/48

3. (UFPB) Em certo sistema martimo de navegao, duas estaesde rdio, localizadas na costa, nos pontos A e B, transmitem simul-taneamente sinais de rdio para qualquer embarcao que se encontreno mar, na rea de alcance dessas estaes. Sendo P o ponto onde estlocalizada uma embarcao que recebe esses sinais, o computador debordo da embarcao calcula a diferena,

PA

PB, das distncias daembarcao a cada uma das estaes.

Um navio que estava ancorado no mar recebeu o sinal da estao

localizada em B e, 120 microssegundos (s) depois, recebeu o sinalda estao localizada em A, conforme a figura abaixo.

Considere as estaes de rdio e o ponto P onde esse navio estavaancorado como pontos de um plano cartesiano, onde a unidade de

comprimento o quilmetro e A( 30; 0) e B(30; 0).

Nesse contexto, correto afirmar que a hiprbole com focos nospontos A e B e que contm o ponto P tem como equao a expresso:

a) = 1 b) = 1

c) = 1 d) = 1

e) = 1

RESOLUO:I) Com base no enunciado:

1) t1 t2 = 120 s = 120 . 10 6s = segundos

2) V = 300 000 km/s = 3 . 105 km/s

3) V =

Portanto, resulta s = 3 . 105 . = 36 km = PA PB.

II) Como PA PB = 2a = 36 a = 18, AB = 2 . f = 60 f = 30 e

a2 + b2 = f2, temos: 182 + b2 = 302 b2 = 576.

III) A hiprbole, com focos em A e B, tem centro na origem e equao:

= 1 = 1

Resposta: A

4. (IBMEC) Faa um esboo do grfico de cada uma das curvasabaixo:

a) 4x2 + 9y2 = 36 b) x2 y2 = 0 c) y =

RESOLUO:

a) 4x2 + 9y2 = 36 + = 1 (elipse)

b) x2 y2 = 0 (x + y).(x y) = 0

c) y = x . y = 4 hiprbole equiltera.

x2

a2y2

b2

x2324

y2

576

4

x

x2

9

y

4

x y = 0oux + y = 0

4

x

Dados: 1s = 106s A velocidade do sinal de rdio de 300.000 km/s.

y2676

x2

361

y2576

x2324

y2361

x2676

y2324

x2576

y2625

x2

289

12105

st

12105

35


36/48

1. (UNIRP) Esboar o grfico e obter a equao do L.G. dospontos do plano que equidistam do ponto F(2; 0) e da reta de equao(r) x = 2.

RESOLUO:O L.G. uma parbola com foco em F e diretriz r.

Grfico:

Equao: para f = 2 e y2 = 4 . f . x, temos: y2 = 8 . x.

2. (USF) Um tringulo, que tem como vrtices os focos dasparbolas x2 = 12y, y2 = 16x e y2 = 12x, tem rea igual a:

a) 21 b) 13 c) 11 d) 12 e)

RESOLUO:

1) Focos das parbolas:

x2 = 12 . y F1 (0; 3)

y2 = 16 . x F2 (4; 0)

y2

= 12 . x F3 ( 3; 0)2) rea do F1F2F3:

A = = =

Resposta: E

21

2

F2F3 . 0F12

7 . 3

2

21

2

MDULO 30

PARBOLA

36


37/48

3. (MACKENZIE) A equao da parbola que tem vrtice noponto V(4; 1) e foco F(2; 1) :

a) (y 1)2 = 16 . (x 4) b) (y 4)2 = 8 . (x 1)

c) (y 1)2 = 2 . (x 4) d) (y 2)2 = 4 . (x 1)

e) (y 1)2 = 8 . (x 4)

RESOLUO:

Com base na figura, temos:

(y 1)2 = 4 . 2 . (x 4)

(y 1)2 = 8 . (x 4)

Resposta: E

4. (UNESP) Fixado um sistema de coordenadas ortogonais em umplano, considere os pontos O(0; 0), A(0; 2) e a reta r de equaoy = 1.a) Se a distncia do ponto Q(x0; 2) ao ponto A igual distncia de

Q reta r, obtenha o valor de x0, supondo x0 > 0.b) Obtenha a equao do lugar geomtrico dos pontos P(x; y) desse

plano, cuja distncia at o ponto A igual distncia at a reta r.

RESOLUO:

a) A reta s, que passa pelos pontos A(0; 2) e Q(x0; 2) horizontal e,portanto, paralela reta r, de equao y = 1. Assim, a distnciaentre as retas re s igual a 3.

Se a distncia do ponto Q(x0; 2) ao ponto A igual distncia de Q reta r (distncia entre as retas r e s), devemos ter AQ = 3 e,portanto, supondo x0 > 0, resulta x0 = 3.

b) O lugar geomtrico dos pontos P(x; y) desse plano cuja distncia at

o ponto A(0; 2) igual distncia at a reta r, de equao y + 1 = 0,

tal que: dP,r = dP,A y + 1 = x2 + (y 2)2

y2

+ 2y + 1 = x2

+ y2

4y + 4

x2 6y + 3 = 0 x2 = 6 . y

O L.G. representa uma parbola de foco A(0; 2) e diretriz y + 1 = 0.

Respostas: a) x0 = 3 b) x2 = 6 . y

12

12

37


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FRENTE 4 GEOMETRIA MTRICA E DE POSIO

1. (UNESP) Com o fenmeno do efeito estufa e consequente au-mento da temperatura mdia da Terra, h o desprendimento deicebergs (enormes blocos de gelo) das calotas polares terrestres. Paracalcular o volume aproximado de um iceberg, podemos compar-locom slidos geomtricos conhecidos. Suponha que o slido da figura,formado por dois troncos de pirmides regulares de base quadradasimtricos e justapostos pela base maior, represente aproximadamenteum iceberg.

As arestas das bases maior e menor de cada tronco medem,respectivamente, 40 dam e 30 dam e a altura mede 12 dam.

Sabendo que o volume VS da parte submersa do iceberg correspondea aproximadamente 7/8 do volume total V, determine VS.

RESOLUO:1) O volume V, em decmetros cbicos, do iceberg dado por:

V = 2 . 402 + 302 + 402 . 302 =

= 8 . (1600 + 900 + 1200) = 8 . 3700 = 29600

2) O volume VS, em decmetros cbicos, da parte submersa do iceberg dado por:

VS = . (8 . 3700) = 25 900

Resposta: 25 900 decmetros cbicos

2. (MACKENZIE) Uma xcara de ch tem a forma de um troncode cone reto, conforme a figura. Supondo = 3 , o volume mximode lquido que ela pode conter :

a) 168 cm3 b) 172 cm3 c) 166 cm3

d) 176 cm3 e) 164 cm3

RESOLUO:

O volume mximo de lquido que a xcara pode conter o volume do

tronco do cone dado por

V = . ( . 42 + . 22 + . 42 . . 22 ) cm3 =

= 2(16 + 4 + 8) cm3 = 56 cm3

Supondo = 3, resulta V = 56 . 3 cm3 = 168 cm3

Resposta: A

MDULO 25

TRONCOS

12

3

7

8

6

3

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39

3. (ENEM) Uma fbrica produz velas de parafina em forma depirmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de arestada base. Essas velas so formadas por 4 blocos de mesma altura 3troncos de pirmide de bases paralelas e 1 pirmide na partesuperior , espaados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior decada bloco igual base inferior do bloco sobreposto, com uma hastede ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme afigura.

Se o dono da fbrica resolver diversificar o modelo, retirando apirmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, masmantendo o mesmo molde, quanto ele passar a gastar com parafinapara fabricar uma vela?a) 156 cm3 b) 189 cm3 c) 192 cm3

d) 216 cm3 e) 540 cm3

RESOLUO:

De acordo com o enunciado, pode-se concluir que a altura da pirmide de

parafina 16 cm e que a altura da pirmide menor, retirada, 4 cm.

Assim, o volume, em centmetros cbicos, de parafina para fabricar o

novo modelo de vela igual a:

. 62 . 16 . (1,5)2 . 4 = 192 3 = 189

Resposta: B

4. (UFMG) Observe a figura.Essa taa, cujo interior tem a forma de umcone, contm suco at a metade da altura docone interno. Se o volume do cone interno igual a V, ento o volume do suco nele contido:

a) b) c)

d) e)

RESOLUO:

1) V = (2R)2 . 2h R2 h =

2) Vsuco = . . R2 . h

Assim, Vsuco = . Vsuco =

Resposta: C

1

3

1

3

V

8

V

9

V16

V

3

V

4

3V

8

13

13

V

8

3V

8

13


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40

5. (MACKENZIE) Uma mistura de leite batido com sorvete servida em um copo, como na figura. Se na parte superior do copo h

uma camada de espuma de 4 cm de altura, ento a porcentagem do

volume do copo ocupada pela espuma est mais bem aproximada na

alternativa:

a) 65%

b) 60%

c) 50%

d) 45%

e) 70%

RESOLUO:

Sejam VE , VS e VC , respectivamente, os volumes da espuma, da parteconsistente de sorvete e do copo.Da semelhana dos slidos VAB e VCD, conforme a figura, temos:

= 3

VS = . VC

Como

VE = VC VS = VC. VC =

. VC = 0,488 . VC

tem-se: VE

= 48,8% . VC

50% . VC

Resposta: C

1. (FUVEST) Uma superfcie esfrica de raio 13 cm cortada porum plano situado a uma distncia de 12 cm do centro da superfcie es-

frica, determinando uma circunferncia. O raio desta circunferncia,

em cm, :

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

RESOLUO:

R = 13, d = 12 e R2 = d2 + r2

Assim: 132 = 122 + r2 r = 5

Resposta: E

2. (MACKENZIE) Uma boia martima construda de umadeterminada liga metlica tem o formato de uma gota que, separada

em dois slidos, resulta em um cone reto e em uma semiesfera,

conforme a figura abaixo, na qual r = 50 cm. Se o preo do m2 da liga

metlica 1200 reais, adotando-se = 3, o custo da superfcie da boia

, em reais, igual a

a) 4200

b) 5700

c) 4500

d) 5200

e) 3800

RESOLUO:

Sendo S a rea da superfcie da gota, em metros quadrados, temos:

S = Slateral do cone + Ssemiesfera =

= . r . 3r + = 3 . 0,5 . 3 . 0,5 + = 3,75

Assim, o custo da superfcie da boia , em reais, 3,75 . 1200 = 4500

Resposta: C

64

125

1620

VS

VC

61125

64

125

MDULO 26

A ESFERA E SUAS PARTES

4 . 3 . (0,5)2

2

4 r2

2


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3. (ENEM) Em um casamento, os donos da festa serviamchampanhe aos seus convidados em taas com formato de umhemisfrio (Figura 1), porm um acidente na cozinha culminou naquebra de grande parte desses recipientes.Para substituir as taas quebradas, utilizou-se um outro tipo comformato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que ovolume de champanhe nos dois tipos de taas fosse igual.

Considere:

Vesfera = R3 e Vcone = R

2h

Sabendo que a taa com o formato de hemisfrio servida com-pletamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve sercolocado na outra taa, em centmetros, de

a) 1,33. b) 6,00. c) 12,00.d) 56,52. e) 113,04.

RESOLUO:

1) O volume da semiesfera . . 33 = 18 cm3

2) O volume do cone com raio da base 3 cm e altura h

. 32 . h = 3 h cm3

3) Para que os volumes sejam iguais, devemos ter: 3 h = 18 h = 6 cmResposta: B

4. (PUC-SP) Um arteso dispe de um bloco macio de resina,com a forma de um paraleleppedo retngulo de base quadrada e cujaaltura mede 20 cm. Ele pretende usar toda a resina desse bloco paraconfeccionar contas esfricas que sero usadas na montagem de 180colares. Se cada conta tiver 1 cm de dimetro e na montagem de cadacolar forem usada

4.3. matemÁtica - exercÍcios propostos - volume 4.pdf

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