SOLUÇÃO – MATEMÁTICA BÁSICA 2

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

NÍVEL 1

E1. SOLUÇÃO: Se uma eleição ocorre de 5 em 5 anos e a outra de 4 em 4 anos, essas votações só irão ocorrer juntas novamente quando o numero de anos for um múltiplo comum to tempo das duas eleições. Assim, devemos encontrar o MMC(4,5), que é 20. Ou seja, de 20 em 20 anos as eleições ocorrerão para os dois cargos novamente. Se em 1998 ocorreu uma eleição para ambos os cargos, isso só acontecerá novamente em 1998 + 20 = 2018.

REPOSTA: LETRA C.

E2. SOLUÇÃO: Se um sinal fechou agora, e ele passa 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, então a partir do momento que ele fechou levará 10 + 40 = 50 segundos para fechar de novo.Da mesma forma, se o outro sinal fechou agora e passa 10 segundos fechado e 30 aberto, do momento que ele fechou levará 10 + 30 = 40 segundos para fechar novamente.Queremos que os sinais fechem juntos novamente, depois de certo tempo. Isso ocorrerá após a quantidade de segundos que seja um múltiplo comum de 50 e 40, que é o tempo que os sinais levam para fechar.MMC (40,50) = 200 segundos, ou seja, de 200 em 200 segundos os sinais sempre fecharão ao mesmo tempo.

REPOSTA: LETRA D.

E3. SOLUÇÃO: Das 23h47min às 24h00min, passaram-se 13 minutos, que equivalem a 13∙60 = 780 segundos. Como 10, 12 e 15 são divisores de 780, significa que as três lâmpadas estarão piscando nesse tempo.

RESPOSTA: LETRA A.

E4. SOLUÇÃO: Se 58 Terras equivalem a 1 Netuno, e 23 Netunos equivalem a 1 Júpiter, então 23∙58 = 1334 Terras equivalem a 1 Júpiter. Ou seja, dentro de Júpiter cabem 1334 Terras.

RESPOSTA: LETRA B.

E5. SOLUÇÃO: Se1 m = 3,3 pés, então 6000 m = 6000 · 3,3 = 19800 pés. Assim, a diferença entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu foi de 31000 = 19800 = 11200 pés.

RESPOSTA: LETRA C.

E6. SOLUÇÃO: Para que a quantidade de CDs seja a menor possível, o preço de cada cd (além de ser o mesmo, como diz na questão), deve ser o maior possível. Sendo assim, vamos calcular o MDC da quantidade de reais:MDC(180, 240, 320) = 20. Logo cada CD custa 20 reais, e teremos uma quantidade de CDs igual a 180/20 + 240/20 + 320/20 = 9 + 12 + 16 = 37 CDs.

RESPOSTA: LETRA B.

E7. SOLUÇÃO: Sejam a e b dois números tais que MDC(a,b) = 10 e a∙b = 2000. Temos dessas informações que “a” e “b” são ambos múltiplos de 10, logo vamos dizer que a = 10x e b = 10y. Substituindo na expressão anterior, encontraremos que:a∙b = 10x∙10y = 2000 logo x∙y = 20. O que acabamos de encontrar é o produto dos fatores não comuns de a∙b, e como o MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns, temos que esse é igual a 20 (fatores não comuns) x 10 (fatores comuns) = 200.

RESPOSTA: LETRA D.

E8. SOLUÇÃO: Para que os partidos apareçam em tempo igual, sendo o maior possível, basta encontrar o MDC da quantidade de tempo. Teremos:MDC(90, 108, 144) = 2∙3² = 18.

0

Logo, cada partido terá 18 segundos de aparição.

RESPOSTA: LETRA D.

E9. SOLUÇÃO: Para encontrar a quantidade de aparições de cada partido, temos que dividir o tempo total das aparições (90 + 108 + 144 = 342) pela quantidade de segundos de 1 aparição (18 segundos). Assim, teremos um total de 342/18 = 19 aparições.

RESPOSTA: LETRA D.

E10. SOLUÇÃO: O mapa está na escala de 8 cm para 2.000 km = 200.000.000 cm. Assim, está na escala de 8: 200 000 000 ou simplificando, 1: 25 000 000.

RESPOSTA: LETRA E.

E11. SOLUÇÃO: Se cada xícara tem 120 ml de café, 331.000.000.000 de xícaras tem 120 · 331.000.000.000 = 39.720.000.000.000 ml = 39.720.000.000 litros. Como o consumo aumentou em 1/5, ou seja, 20%, então em 2010 a previsão mais aproximada para o consumo de café é 1,2 · 39.720.000.000 = 47.664.000.000 ≈ 48 bilhões de litros.

RESPOSTA: LETRA E.

E12. SOLUÇÃO: A quantidade que “se engorda” por grama de sanduiche será de 500/250 = 2 kcal/g e de batata frita será 560/200 = 2,6 kcal/g. Se ele vai consumir x gramas de sanduíche e y gramas de batata frita, ingerindo 462 kcal, temos que a expressão verdadeira para a quantidade de calorias será:2.x + 2,6.y = 462.

RESPOSTA: LETRA A.

E13. SOLUÇÃO: Se temos um empilhamento de 1 m = 1000 mm de altura, temos uma quantidade de 1000/0,1 = 10000 folhas. Se em cada folha estão 10 títulos anotados, há uma quantidade de títulos igual a 10000x10 = no total.

RESPOSTA: LETRA C.

E14. SOLUÇÃO: Se 10 litros de óleo contaminam 10∙106 litros de água potável, então 1000 litros de óleo contaminarão: (através de uma regra de 3)10 ----- 10∙106 10x =1000 ∙ 10 ∙ 106 10x = 1010 x = 109 litros de água potável. 1000 ----- x

RESPOSTA: LETRA E.

E15. SOLUÇÃO: Perceba que temos duas situações: Na primeira temos que as 50 pessoas vão pagar x reais e ainda faltarão 510 reais para pagar. Sendo assim, temos um total de 50x + 510 reais. Na segunda situação, entrarão na cota mais 5 pessoas, então temos um total de 55 pessoas e cada uma deverá pagar a quantia anterior mais 7 reais, num total de x + 7 reais por pessoa. Logo, temos um gasto total de 55(x + 7) reais.Se as quantias são iguais, teremos:50x + 510 = 55(x + 7).Resolvendo a equação, temos que x = 25. Perceba que na segunda equação as 55 pessoas irão pagar x + 7 reais, ou seja, 25 + 7 = 32 reais.

RESPOSTA: LETRA D.

E16. SOLUÇÃO: Calculando as partes, teremos que os vereadores serão:20 governistas, 15 da oposição e 10 dos pequenos partidos.

1

Para que a votação ocorra, deve estar presente no mínimo 1 vereador de cada grupo. Para garantir que tem ao menos 1 vereador de cada partido, devemos considerar a pior possibilidade possível, que seria: 20 governistas, 15 da oposição, e então com o próximo vereador teríamos certeza que seria do grupo de partidos pequenos, estando assim presente 1 vereador de cada partido. Logo, para garantir que isso ocorra, é necessário o número mínimo de 20 + 15 + 1 = 36 vereadores.

RESPOSTA: LETRA E.

E17. SOLUÇÃO: Perceba que são 8 compassos de ¾, então teremos um total de 8∙(3/4) = 6 unidades. Logo, a única alternativa que cabe nesse compasso é a da letra D, pois:24 colcheias e 12 semínimas gastarão: 24∙(1/8) + 12∙(1/4) = 3 + 3 = 6 unidades.

RESPOSTA: LETRA D.

E18. SOLUÇÃO: Diâmetro (aproximado) do olho humano: 2,1 cm. Diâmetro do espelho: 42 m = 4200 cm.

Razão entre eles: = 1:2000.

RESPOSTA: LETRA E.

E19. SOLUÇÃO: A única alternativa em que x e y tem uma relação inversa de proporcionalidade é a da letra B (y = 5/x), onde ao se multiplicar o valor de x por um número positivo, o valor de y é dividido por esse mesmo número, e vice-versa.

RESPOSTA: LETRA B.

E20. SOLUÇÃO: No desenho é informado que a escala é de 1 para 1000, ou seja, 1 cm no desenho equivale a 1000 cm no comprimento real. Então se no desenho o segmento AB possui 4 cm, no comprimento real tem 4000 cm = 40 metros.

RESPOSTA: LETRA B.

NÍVEL 2

E21. SOLUÇÃO: Sejam x e y as partes que cada um irá comer. Então, temos que x + y = 640. De acordo com os dados da questão:

Substituindo x na primeira expressão, temos que 3y/2 + y = 640 5y = 1280 y = 256. Logo, x = 384.

RESPOSTA: LETRA B.

E22. SOLUÇÃO: Para que a quantidade de lajotas seja a menor possível, a área de cada lajota (que é quadrada) deverá ser a maior possível. Então, temos que os lados deverão estar divididos em partes comuns, pois a lajota é um quadrado. Como essa divisão deve ser a maior possível, temos que encontrar o MDC de 5,6m = 56dm e 7,2m = 72dm:MDC(56,72) = 8, que corresponde ao lado do quadrado, ou seja, ao tamanho que vamos dividir cada lado. Sendo assim, teremos 56/8 = 6 divisões num lado do piso e 72/8 = 9 divisões no outro lado do piso. Portanto, teremos um total de 6∙9 = 63 lajotas.

RESPOSTA: LETRA D.

E23. SOLUÇÃO: Se as torneiras enchem o recipiente de 5 litros em 12 e 18 segundos, respectivamente, temos que as velocidades de enchimento são de 5/12 e 5/18 litros por segundo.Como queremos encher 1000 litros com as duas torneiras, vamos ter uma soma das velocidades, assim o trabalho será reduzido. Teremos uma velocidade de enchimento igual a 5/12 + 5/18 = 25/36 litros por segundo.Agora, fazendo uma pequena regra de três, temos:25 litros em 36 segundos1000 litros em x segundos 2

25x = 36000 x = 1440 segundos = 1440/60 minutos = 24 minutos.

RESPOSTA: LETRA B.

E24. SOLUÇÃO: Para que não sobre cadernos, lápis ou borrachas, e para que as famílias recebam uma maior quantia igual de cada item, devemos encontrar o MDC das quantidades de itens:MDC(144,192,216) = 24 famílias contempladas.Sendo assim, teremos 144/24 = 6 cadernos por família.

RESPOSTA: LETRA B.

E25. SOLUÇÃO: Para encontrar a hora em que os ônibus voltam a sair juntos, precisamos achar o menor múltiplo comum de 35, 40 e 70:m.m.c. (35, 40, 70) =2³ · 5 · 7 = 280. Assim, isso ocorrerá em 280 minutos, ou seja, em 4 horas e 40 minutos. Logo, depois das 7h, o horário em que se encontram é 7h + 4h 40 min = 11h 40 min.

RESPOSTA: LETRA B.

E26. SOLUÇÃO: Para gastar 200 calorias, precisa do dobro de tempo no telefone e supermercado, então mais 20 + 30 = 50 minutos; ao tirar o pó dos móveis, para gastar as 200 calorias precisa de mais 50 calorias. Se em 30 minutos ele gasta 150, então em 10 minutos gastará 50. Logo, mais 10 minutos ao limpar os móveis. Nas demais atividades já foram gastas 200 calorias, então o tempo a mais que será necessário são 50 + 10 = 60 minutos.

RESPOSTA: LETRA B.

E27. SOLUÇÃO: Se o indivíduo tem 1,6m de altura e pesa 89,6 kg, seu IMC será de:IMC = 89,6/(1,6)² = 89,6/2,56 = 35 kg/,m². Analisando as alternativas:I – VERDADEIRA. Se sua altura aumentar, seu IMC será reduzido.II – FALSA. De acordo com o quadro, esse indivíduo é considerado obeso, e não pré-obeso.III – VERDADEIRA. Engordando 18 kg, seu IMC será de: 107,6/2,56 = 42,03... De acordo com o quadro, será considerado obeso grave.IV – VERDADEIRA. Emagrecendo 30 kg, seu IMC será de: 59,6/2,56 = 23,28.., obtendo peso saudável.Logo, as afirmativas corretas são a I, III e IV.

RESPOSTA: LETRA D.

E28. SOLUÇÃO: Se as torneiras A, B e C enchem 12 m³ em 2,3 e 6 horas respectivamente, temos que a as velocidades de enchimento serão de 6, 4 e 2 m³/h. Perceba que juntas elas enchem exatamente 6 + 4 + 2 = 12 m³ em 1 hora. Sendo assim, cada uma irá derramar no tanque uma quantidade de 6, 4 e 2 m³. Transformando para litros, basta multiplicar por 1000, então teremos 6000L, 4000L e 2000L despejados pelas torneiras A, B e C respectivamente.

RESPOSTA: LETRA C.

E29. SOLUÇÃO: Perceba que as jarras não estão divididas em partes iguais: a primeira está dividida em 3 + 7 = 10 partes e a segunda em 3 + 5 = 8 partes. Então não temos como comparar essas quantidades. Para isso, devemos transformar numa divisão que seja múltiplo comum dessas unidades, ou seja, teremos que encontrar o MMC(8,10) que é igual a 40. Então, vamos transformar as 10 e 8 unidades em 40. Para fazer essa transformação, devemos multiplicar cada parte por 4 e 5 respectivamente, assim teremos:3∙4:7∙4 = 12:283∙5:5∙5 = 15:25Somando as quantias das duas jarras, teremos um total de 27:53 partes de álcool para água.

RESPOSTA: LETRA E.

E30. SOLUÇÃO: Ao dividirmos 28 e 12 por 250, temos: 0,112 e 0,048. Dentre as alternativas, aquela em que apresenta números proporcionais a esses, respectivamente, é a letra C (11,2 de comprimento e 4,8 de largura).

RESPOSTA: LETRA C.

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E31. SOLUÇÃO: Nas duas situações, basta fazermos uma regra de três simples, onde teremos:I – 1 contaminação está para 20 minutos assim como x contaminações estão para 1 dia = 24∙60 minutos. 20x = 24∙60 x = 72 contaminações.IV – 1 contaminação em 1 minuto, sendo assim a proporção é de 1 para 1, logo se temos um total de 24∙60 = 1440 minutos, teremos 1440 contaminados.

RESPOSTA: LETRA A.

E32. SOLUÇÃO: Carne: 250 · 30 = 7500 g = 7,5 kg;Arroz: Se 1 copo dá para 4 pessoas, então 7 copos dá para 28 pessoas. Logo, 7 copos e meio para as 30 pessoas;Farofa: 4 · 30 = 120 colheres de sopa;Vinho: Se uma garrafa serve 6 pessoas, para servir 30 é preciso 5 garrafas;Cerveja: Se uma garrafa serve 2 pessoas, então 15 garrafas serve as 30;Espumante: Se uma garrafa serve 3 convidados, 10 garrafas serve os 30 convidados.Assim, o anfitrião deverá dispor de 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante.

RESPOSTA: LETRA E.

E33. SOLUÇÃO: Se 200 pneus correspondem a 1 tonelada, e temos 20 milhões de pneus, teremos um total de

.

Se 1 tonelada rende cerca de 530 kg de óleo, então equivalem a:1 ----- 530

---- x

x = 530∙

RESPOSTA: LETRA B.

E34. SOLUÇÃO: De acordo com a tabela, temos que o bolo e o pãozinho possuem 420/100 =4,2 kcal/g e 270/100 = 2,7 kcal/g, respectivamente. Sejam x e y as massas de 1 pedaço de bolo e 1 pãozinho respectivamente, temos duas situações que:1) x + 3y = 1402) 3x + 2y = 210Resolvendo o sistema, temos que x = 50g e y = 30g. Sendo assim, a quantidade de calorias que ele consumiu no primeiro dia foi igual a: 50∙4,2 + 3∙30∙2,7 = 453 kcal.

RESPOSTA: LETRA A.

E35. SOLUÇÃO: Sendo x a quantidade total de partes em que ele dividiu o seu coração, de acordo com os versos temos que:

Resolvendo essa equação, temos que x = 168.

RESPOSTA: LETRA D.

E36. SOLUÇÃO: O rendimento da gasolina é de 374/34 = 11 km/litro. Então, se o preço da gasolina é de R$2,20 por litro, o custo de cada km será de 2,2/11 = R$0,2 por km (com gasolina). O rendimento do álcool é de 259/37 = 7km/litro. Queremos o preço x que tenha o mesmo rendimento que a gasolina, sendo assim:x/7 = 0,2 x = R$1,40 por litro de álcool. Logo, R$1,40 é o preço do álcool que trará rendimento igual em comparação com a gasolina.

RESPOSTA: LETRA E.

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E37. SOLUÇÃO: Uma pessoa que toma 2 banhos (de 10 minutos cada) por dia gasta 20 minutos por dia, ou 7 · 20 = 140 minutos por semana, ou seja, 2 horas e 20 minutos em 7 dias. Se o chuveiro consome 4,8 kW por hora, em 2 horas e 20 minutos (que é 1/3 de hora) consome 2 · 4,8 + (4,8)/3 = 9,6 + 1,6 = 11,2 kW.

RESPOSTA: LETRA D.

E38. SOLUÇÃO: Seja ‘n’ o número de habitantes e ‘a’ a área da região. Então a densidade demográfica é n/a.a) CORRETA. Se o número de habitantes dobra e a área permanece a mesma, a densidade será 2n/a, ou seja, também dobra.b) INCORRETA. A densidade demográfica é inversamente proporcional à área da região, ou seja, quanto maior a área, menos a densidade demográfica.c) CORRETA. A densidade demográfica é diretamente proporcional ao número de habitantes da região, ou seja, quanto mais habitantes, maior a densidade demográfica.d) CORRETA. Ambas teriam densidade demográfica n/a.e) CORRETA. Densidade demográfica = 150 000 000/ 7 500 000 = 20 habitantes/ km².

RESPOSTA: LETRA B.

E39. SOLUÇÃO: Como queremos a menor quantidade de pacotes possível, então cada pacote terá que ter a maior quantidade possível. Como todos os pacotes possuem a mesma quantidade de livros, então acharemos o MDC(110; 165; 275) para saber quantos livros terão em cada um. MDC = 55. Logo cada pacote terá 55 livros.A = 110/55 = 2 pacotes; B = 165/55 = 3 pacotes e C = 275/55 = 5 pacotes.Logo, o total de pacotes é de 2 + 3 + 5 = 10 pacotes.

RESPOSTA: LETRA B.

E40. SOLUÇÃO: Temos que IMC = massa(kg)/altura²(m). Logo, 25 = 64/a² a² = 64/25 altura = 8/5 = 1,6 metros = 160 centímetros. Como RIP = altura(cm)/massa(kg1/3), então:RIP = 160/64 = 2,5 cm/kg1/3.

RESPOSTA: LETRA B.

QUESTÕES DE PERNAMBUCO

NÍVEL 1 E 2

P1. SOLUÇÃO: Perceba que para que eles cheguem à mesma margem, devem ir e voltar. Então, irão gastar 52 (26+26) e 48 (24+24) segundos, respectivamente. Sendo assim, para chegarem juntos à mesma margem, a quantidade de segundos deve ser um múltiplo comum dos tempos do percurso, ou seja, queremos:MMC(52,48) = 624 segundos (:60) = 10 minutos e 24 segundos.

RESPOSTA: LETRA C.

P2. SOLUÇÃO: Sejam “a”, “b” e “c” as quantidades de cadeiras destinadas às universidades A, B e C, respectivamente. Até então, a quantidade total de cadeiras deve ser igual a 25, ou seja, a + b + c = 25.Temos que a, b e c são proporcionais à quantidade de alunos. Assim, teremos:

. Simplificando os termos:

a = 7k, b = 12k e c = 3k.

Substituindo em a + b + c = 25, temos que 7k + 12k + 3k = 25 22k = 25.Então k = 1,13.Logo, a = 7,9; b = 13,6 e c = 3,4.Porém, é informado que se um número não é inteiro, deve-se arredondá-lo para baixo. Assim:a = 7, b = 13 e c = 3.

RESPOSTA: LETRA C. 5

P3. SOLUÇÃO: De acordo com a questão, temos que:

10∙20 = x∙50 = 5∙y y = 10x = 40.Então x = 4 e y = 40. Logo, x + y = 4 + 40 = 44.

RESPOSTA: LETRA B.

P4. SOLUÇÃO: Seja a divisão inicial tal que D, d, q e r são, respectivamente, dividendo, divisor, quociente e o resto. Temos inicialmente que:

1) D = d.q + r2) D + 57 = (d+6).q + (r+3) D + 57 = d.q + 6q + r + 3 = (d.q + r) + 6q + 3. Mas d.q + r = D, logo:

D + 57 = D + 6q + 3 6q = 54 q = 9.O quociente, portanto, é igual a 9.

RESPOSTA: LETRA C.

P5. SOLUÇÃO: Queremos que os ônibus cheguem juntos outra vez, depois de certa quantidade de dias. Assim, temos que essa quantidade deve ser um múltiplo comum de 4,6 e 7. Então:MMC(4,6,7) = 84, ou seja, se eles chegaram juntos num certo dia, isso só ocorrerá novamente após 84 dias.

RESPOSTA: LETRA E.

P6. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. Se p = 5, por exemplo, temos que 2 + 3 é divisível por 5, mas 2 e 3 não são.(1)(1) FALSO. Fatorando 360, temos: 360 = . Sendo assim, m = 3 e n =2 m∙n = 6.(2)(2) VERDADEIRO. Sejam n, n+1 e n +2 os 3 números consecutivos. Então (n) + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n+1), que é divisível por 3.(3)(3) FALSO. Já temos 360 em fatores primos no item (1)(1). Para calcular a quantidade de divisores naturais, devemos somar 1 ao expoente de cada fator e multiplicá-los: (3+1)(2+1)(1+1) = 4∙3∙2 = 24 divisores. (4)(4) FALSO. Não necessariamente. Um exemplo é: π + (-π) = 0, que não é irracional.

RESPOSTA: FFVFF.

P7. SOLUÇÃO: O MMC é o produto dos fatores comuns e não comuns, já o MDC é o produto dos fatores comuns. Sendo assim, teremos que se o MDC é 26.36.54 (maiores expoentes de cada um), o que implica que n = 4 e m = 6. E se o MMC é 28.37.54, então p = 8. A soma de n + m + p = 4 + 6 + 8 = 18.

RESPOSTA: 18.

P8. SOLUÇÃO:(0)(0) FALSO. π é uma constante.(1)(1) FaALSO. É diretamente proporcional ao quadrado de r.(2)(2) FALSO. Mesmo motivo do (0)(0).(3)(3) FALSO. É Diretamente proporcional, pois quando um cresce, o outro também cresce.(4)(4) VERDADEIRO.

RESPOSTA: FFFFV.

P9. SOLUÇÃO: Se queremos uma relação de área, devemos elevar ao quadrado a nossa relação de equivalência. Teremos então que: (1dm)² corresponderá a (20m)², logo, 1 dm² corresponderá a 400 m².Fazendo uma regra de três simples para descobrir a área da maquete, teremos:1dm ² - 400m²x - 8000m²Logo, x = 20dm².

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RESPOSTA: 20.

P10. SOLUÇÃO: Antes tínhamos 12 rosas em cada vaso, totalizando 12∙3 = 36 rosas. Se queremos uma proporção de 3:2:1, teremos 6 partes pra dividir: 3 partes no primeiro vaso, 2 partes no segundo e 1 parte no terceiro. 36:6 = 6 rosas em cada parte. Logo, os vasos ficarão com 3∙6:2∙6:1∙6 = 18:12:6. Para isso, basta passar 6 rosas do 3º vaso para o 1º vaso.

RESPOSTA: 06.

P11. SOLUÇÃO: Seja n o numerador e d o denominador da fração original. Então temos:

I) 2d = 3n + 3

II) 7d + 35 = 10n + 50 7d = 10n + 15

Multiplicando a equação I por 7 e a equação II por 2, e fazendo I – II, obtemos:n – 9 = 0 n = 9. Substituindo na equação I: 2d = 27 + 3 2d = 30 d = 15.

Então a fração original é . E 9∙15 = 135.

RESPOSTA: LETRA D.

P12. SOLUÇÃO: Sabemos que o quadrado de um número par também é par, e o quadrado de um número ímpar, também é ímpar. Também sabemos que 5 multiplicado por um número par termina em 0, e 5 multiplicado por um número ímpar termina em 5.Então, se n é par, tanto 5n² quanto 5n terminarão em 0, logo somando toda a equação (5n² + 5n + 1) o resultado tem dígito das unidades 1. E se n for ímpar, então tanto 5n² quanto 5n terminarão em 5, e quando somados terminarão em 0. Somando toda a equação, o resultado também terá 1 como dígito das unidades. Portanto, para n inteiro positivo, 5n² + 5n + 1 tem dígito das unidades 1.

RESPOSTA: LETRA C.

P13. SOLUÇÃO: Temos que x é igual a 2∙150 + 80 = 300 + 80 = 380.

RESPOSTA: LETRA D.

P14. SOLUÇÃO: Se a luminosidade “L” é diretamente proporcional à intensidade “I”, e inversamente proporcional ao

quadrado da distancia d, então . De acordo com as informações dadas, IA = 9IB e “x” é a distância da lâmpada A até o

ponto que recebe mesma luminosidade. Sendo assim, se a distância entre as duas lâmpadas é de 10 m, a distância do ponto até a fonte B é de (10-x) metros.Para que LA seja igual à LB, teremos:

LA = LB . Mas IA = 9IB, então:

. Calculando a raiz quadrada dos dois lados, temos (a solução negativa não serve para o caso):

x = 30 – 3x 4x = 30 x = 7,5.

RESPOSTA: LETRA E.

P15. SOLUÇÃO: Seja x a constante de proporção de 1, 2 e 4. Então: x + 2x + 4x = 420 7x = 420 x = 60. Assim, serão necessários 60 kg de cimento, 120 kg de saibro e 240 kg de areia.

RESPOSTA: 60.

P16. SOLUÇÃO: Primeiramente, sabemos que x reais serão divididos. Temos as seguintes situações:

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1) O primeiro receberá:A = 1000 + (1/5)(x – 1000) = (5000 + x - 1000)/5 = (4000 + x)/52) O segundo será um pouco mais complicado, pois ele receberá 2000 mais um quinto do que sobrará, ou seja:B = 2000 + (1/5)(x – A – 2000) = 2000 + (1/5)(x – (4000 + x)/5) – 2000) = 2000 + (1/5)(5x – 4000 – x – 10000)(1/5) = 2000 + (1/25)(4x – 14000)= (1/25)(50000 + 4x – 14000) = (1/25)(36000 + 4x)Perceba que podemos continuar para C, D e assim por diante. Mas como as quantias são sempre iguais, basta calcular para os dois primeiros casos e igualar as quantias:A = B(4000 + x)/5 = (36000 + 4x)/2520000 + 5x = 36000 + 4xEntão x = 16000.Substituindo x em A ou em B, encontraremos o resultado de 4000 reais, ou seja, cada um recebeu 4000 reais de um total de 16000. Então 16000/4000 = 4 pessoas receberam dinheiro após a divisão.

RESPOSTA: LETRA A.

P17. SOLUÇÃO: Sejam Vc e Va os volumes das bolas enchidas pelas crianças e pelos adultos, respectivamente. Teremos:5Vc = 3Va Va/Vc = 5/3.Se cada criança enche 2 bolas ao mesmo tempo que um adulto enche três, e se temos x crianças e y adultos, teremos um total de 2x bolas de crianças e 3y bolas de adultos. Para que ambas contenham o mesmo volume total, teremos que multiplicar a quantidade de bolas de cada um pelo volume que cada um enche, assim:2∙x∙Vc = 3∙y∙Va. Queremos a razão entre o número de crianças e adultos, ou seja, x/y. Então:x/y = (3∙Va)/2Vc. Como temos uma relação entre Vc e Va, colocando um em função do outro na primeira relação que temos, e substituindo nessa expressão teremos que:

x/y =

RESPOSTA: LETRA D.

P18. SOLUÇÃO: Como as fortunas serão aumentadas pelo mesmo fator (10% a.a.), a fração que cabe a cada herdeiro independe do momento da partilha. Assim, ao que tem 15 milhões caberá: 1/15 / (1/10 + 1/15) = 1/15 / (5/30) = 1/15 ∙ 6 = 2/15.

RESPOSTA: LETRA B.

P19. SOLUÇÃO: Se o aluno fizer qualquer manipulação, nunca chegará à letra A, C nem E. A letra D está falsa, mas sua prova é conseqüência de encontrarmos a letra B como resposta. Perceba que na letra B temos uma solução para x em função de L. Mas como chegar nessa forma?Aplicando meios pelos extremos, teremos:x² = L² - Lx x² + Lx - L² = 0. Isso é uma equação de 2º grau. Através da fórmula de Báskara, encontraremos as seguintes raízes:

. Como x e L representam comprimentos, então não podemos ter uma solução negativa. Logo, a única

resposta válida é x = . Perceba que se L é inteiro, então x é irracional.

RESPOSTA: LETRA B.

P20. SOLUÇÃO: Se multiplicamos pelo mesmo fator (vamos chamá-lo de’ a’) a cada ano, e se passaram cinco anos, teremos um fator multiplicativo de . Assim:

1000000. Em 2020 terão passado 20 anos em relação ao ano de 2000, então:100000. . Substituindo a5:

x = 100000∙ habitantes.

RESPOSTA: LETRA A.

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P21. SOLUÇÃO: Vamos ter na ida trechos de subida, plano e descida, que chamaremos de x, y e z, respectivamente. Perceba que na volta o que era subida virou descida, e vice-versa. Sendo assim, a distância total percorrida por Marta será: x+z + 2y + x+z = 2x + 2y + 2z km.O trajeto teve duração de 4h. Se as velocidades são 2, 3 e 6km/h, respectivamente para a subida, plano e descida, teremos que:(x+z)/2 + (2y)/3 + (x+z)/6 = 4. Multiplicando por 6:3x + 3z + 4y + x + z = 244(x + y + z) = 24. De forma que 2x + 2y + 2z = 12.

REPOSTA: LETRA E.

P22. SOLUÇÃO: Se ele já tomou 5 latas de cerveja e três doses de whisky, vamos descobrir quantas unidades já ingeriu:5∙1,7 + 3∙2,5 = 8,5 + 7,5 =16 unidades. Sendo assim, se pode ingerir 21 unidades, ele só poderá mais 21 – 16 = 5 unidades de bebida alcoólica. Se cada copo de vinho equivale a 1 unidade, então ele ainda poderá tomar mais cinco copos de vinho.

REPOSTA: 05.

P23. SOLUÇÃO: Sejam R e M a quantidade de rapazes e moças que estavam inicialmente na festa. Temos duas situações:1) Se saírem 5 rapazes, a quantidade de homens será igual a (R – 5). Como a quantidade de homens é o dobro da

quantidade de mulheres, então R – 5 = 2M.2) Na segunda situação, chegam 10 rapazes, então a quantidade de homens fica R – 5 + 10 = R + 5. Como 5 mulheres

irão sair, teremos M – 5 mulheres, e a quantidade de homens será igual ao triplo da quantidade de mulheres, ou seja: R + 5 = 3(M – 5)

Resolvendo o sistema, temos que R = 55 e M = 25. E a quantidade de pessoas na festa é igual a 25 + 55 = 80.

REPOSTA: 80.

P24. SOLUÇÃO: Após a primeira retirada, a mistura fica com 90 litros de gasolina e depois adiciona-se 10 litros de álcool. Após a segunda retirada, restam 90 litros da mistura, e a proporção de álcool e gasolina se mantém a mesma, ou seja, 1 litro de álcool para 9 de gasolina. Assim, x + 9x = 90 10x = 90 x = 9. Portanto, esses 90 litros são compostos de 9 litros de álcool e 81 litros de gasolina. Repetindo o procedimento, são adicionados 10 litros de álcool à mistura, ficando 19 litros de álcool e 81 litros de gasolina. Após a terceira retirada, restam 90 litros da mistura, onde a proporção de álcool e gasolina se mantém a mesma: 19x + 81x = 90 100x = 90 x = 9/10. Então restaram 19∙9/10 = 17,1 litros de álcool e 81∙9/10 = 72,9 litros de gasolina.

RESPOSTA: LETRA E.

P25. SOLUÇÃO: Se cada aluno contemplado receberá o mesmo número de bolas amarelas e o mesmo número de bolas verdes, e se a escola deverá ter o maior número possível de alunos contemplados, então devemos encontrar o MDC(1260; 9072) = 252. Logo, serão contemplados 252 alunos. Cada um receberá (1260/252) 5 bolas amarelas e (9072/252) 36 bolas verdes, totalizando 41 bolas (36 + 5).

RESPOSTA: LETRA D.

P26. SOLUÇÃO: 1) FALSO. Para saber qual é mais vantajoso, podemos calcular quanto ele gastaria para percorrer 88 km (mmc de 8 e 11). De etanol, ele gastaria 1,70 ∙ 11 = 18,70. Já de gasolina, ele gastaria 2,50 ∙ 8 = 20 reais. Logo, é mais barato usar álcool.2) VERDADEIRO. Para percorrer 100 km com etanol, ele gasta 100/8 · 1,70 = 21,25, ou seja, mais que 21,00.3) FALSO. Para percorrer 100 km com gasolina, ele gasta 100/11 ∙ 2,50 ≈ 22,73, ou seja, mais que 22,00.4) FALSO. Sempre será mais vantajoso usar álcool.

RESPOSTA: LETRA C.

P27. SOLUÇÃO: x/30000 + x/40000 + x/60000 = 126000 (4x + 3x + 2x)/120000 = 126000 9x = 15120000000 x = 1680000000. Assim, o herdeiro com patrimônio de 60000 receberá 1680000000/60000 = R$ 28.000,00.

RESPOSTA: LETRA D.

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P28. SOLUÇÃO: 1 --- 1,8x --- 2,4 1,8x = 2,4 x = 4/3. Logo, naquele dia 1 euro valia 4/3 dólares. Então:

1 -------- 4/31200 --- y y = 1200 ∙ 4/3 = 1600 dólares.

RESPOSTA: LETRA B.

P29. SOLUÇÃO: 1/x + 1 = x (1 + x)/x = x 1 + x = x² x² - x – 1 = 0. Resolvendo a equação:Δ = 1 – 4 ∙ 1 ∙ (-1) = 1 + 4 = 5.x= (1 ± √5)/2. Como x é positivo, então x = (1 + √5)/2.

RESPOSTA: LETRA B.

P30. SOLUÇÃO: 9∙106 x + 7∙106 x + 4∙106 x = 800.000 20∙106 x = 800.000 x = 40.000/106 = 0,04. Assim, Marcos recebe 9.000.000 ∙ 0,04 = 360.000 cruzeiros; Maria recebe 7.000.000 ∙ 0,04 = 280.000 cruzeiros e Milton recebe 4.000.000 ∙ 0,04 = 160.000 cruzeiros.(0)(0) FALSO. Milton recebe menos que 200.000 cruzeiros.(1)(1) VERDADEIRO. Como calculado acima.(2)(2) VERDADEIRO. Marcos recebe 360000 e Milton 160000, ou seja, 200 mil cruzeiros a mais.(3)(3) FALSO. O capital investido foi 9 + 7 + 4 = 20 milhões de cruzeiros. O lucro foi de 800 mil cruzeiros. Assim:800.000/20.000.000 = 8/200 = 4/100 = 4%.(4)(4) VERDADEIRO. O sócio que recebe mais, recebe 360 mil cruzeiros, ou seja, menos que 370 mil cruzeiros.

RESPOSTA: FVVFV.

P31. SOLUÇÃO: Se ela gasta x calorias para assistir uma hora de televisão, ela gasta 1,5 x de calorias para costurar durante uma hora. Então: 2x + 1,5x = 343 3,5x = 343 x = 98 quilocalorias.

RESPOSTA: 98.

P32. SOLUÇÃO: (0)(0) FALSO. Se a população tivesse crescido proporcionalmente ao tempo, o gráfico seria uma reta.(1)(1) VERDAEIRO. Podemos perceber que até 1970 o gráfico é uma parábola voltada para cima, logo o aumento foi crescente.(2)(2) FALSO. O gráfico seria uma reta, não uma parábola.(3)(3) VERDADEIRO. Após 1970, podemos notar que o gráfico é uma parábola voltada para cima. Assim, o crescimento vai sendo menor com o passar do tempo, ou seja, decrescente.(4)(4) VERDADEIRO. Como o crescimento da população é decrescente, em determinado momento chegará a 0, ou seja, não ultrapassará determinado valor.

RESPOSTA: FVFVV.

APROFUNDAMENTO

A1. SOLUÇÃO: O tanque tem uma quantidade S de litros, sendo assim as torneiras 1 e 2 encherão o tanque com uma velocidade de S/15 e S/18 litros por hora, respectivamente. Durante 5 horas, as torneiras vão encher juntas, então a velocidade cujo tanque será cheio é de S/15 + S/18 = 11S/90 litros por hora. Sendo assim, nessas cinco horas elas vão encher uma quantidade de:5.(11S/90) = 11S/18 litros. Logo, teremos um restante de S – 11S/18 = 7S/18 litros que a torneira 2 irá encher sozinha. Para descobrir quanto tempo isso levará, basta dividir a quantidade de litros pela velocidade de enchimento da torneira 2, assim teremos: (7S/18) / (S/18) = 7 horas.

RESPOSTA: LETRA A.

A2. SOLUÇÃO: A soma de cinco, seis e sete inteiros consecutivos do conjunto {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6} será igual a 5n + 10 = 5(n+2), 6n + 15 = 3(2n+5) e 7n + 21 = 7(n + 3), respectivamente. Sendo assim, temos certeza de que a soma de 5 números consecutivos é um número divisível por 5, a de 6 é divisível por 3, e a de 7 números consecutivos é divisível por 7. Logo, podemos garantir que K é múltiplo ao mesmo tempo de 3, de 5 e de 7. Então vamos encontrar o MMC de 3,5 e 7 e ver qual o múltiplo dele que é o menor possível maior do que 200. Assim:

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MMC(3,5,7) = 105. Então K é um múltiplo de 105. O segundo múltiplo será 105∙2 = 210, que é o menor depois de 200. Soma dos dígitos: 2 + 1 + 0 = 3.

RESPOSTA: LETRA A.

A3. SOLUÇÃO: Como cada homem participa de duas patrulhas,e cada duas patrulhas têm exatamente um homem em comum, para achar o total de homens podemos fazer combinação, pois sabemos que existem 11 patrulhas.Assim:

TOTAL DE HOMENS = C11,2 = 11∙10/2 = 55.

Esses homens serão distribuídos por 11 patrulhas. Seja N o número de homens por patrulha (número de voluntários por patrulha). Então 11∙N é o total de homens contados duas vezes, isto é :

11∙N = 2∙55 N = 110/11 = 10.

Assim, cada patrulha terá 10 homens.

RESPOSTA: 10.

A4. SOLUÇÃO: Seja x a quantidade total de selos. De acordo com a questão, temos dois décimos do total: 2x/10, mais alguns sétimos: ax/7 e por fim mais 303 selos, logo a equação que nos dá o total de selos será: (2x/10) + (ax/7) +303 = x Organizando os dados:x(56 – 10a) = 303∙70x = (303∙70) / (56 – 10a)x que é a quantidade de selos, sendo assim deve ser inteiro, logo “a” deve ser um determinado valor onde 56 – 10a divide 303∙70. Perceba que o denominador também não pode ser negativo, daí temos que:56 – 10a > 0, logo: a < 5,6.O valor de a pode ser de 1 até 5. Testando as soluções, vemos que a única solução em que x é inteiro, é quando a = 5.Portanto, x = (303∙70)/(56 – 50) = 21210/6 x = 3535.

RESPOSTA: 3535.

A5. SOLUÇÃO: Seja “x” a quantidade de moedas que existia dentro do baú. Temos três situações:1) O primeiro marinheiro vai separar as moedas em duas partes, e vai jogar fora a moeda que sobrar, ou seja, temos

que a quantia que ele pegou foi de:

(x – 1)/2 e sobrou também (x – 1)/2.2) Já o segundo marinheiro pegou essa quantia restante e dividiu-a em duas partes. Mas sobrou uma moeda

novamente. Então a quantia que ele pegou, foi:

[(x – 1)/2 – 1]/2 = (x – 3)/4, e sobrou a mesma quantidade (x – 3)/4.3) No dia seguinte, o juiz partilhou essa quantia que sobrou em duas partes, e novamente sobrou uma moeda, que

ele pegou pra ele, e cada um recebeu a mais uma quantia de:

[(x – 3)/4 – 1]/2 = (x – 7)/8 Sendo assim, o primeiro marinheiro recebeu um total de (x – 1)/2 + (x – 7)/8 = (5x – 11)/8 moedas. Já o segundo, recebeu (x – 3)/4 + (x – 7)/8 = (3x – 13)/8 moedas.E ele diz que a razão entre essas quantidade é de 29/17.Assim temos que: [(5x – 11)/8 / (3x – 13)/8] = 29/17. Desenvolvendo a igualdade, temos que x = 95. Logo, o número de moedas que havia originalmente no baú era de 95.

RESPOSTA: LETRA B.

A6. SOLUÇÃO: Seja “x” a quantidade de jogos em que houve vencedor (e conseqüentemente perdedor), e “y” a quantidade de jogos em que houve empate. Então o total de pontos do campeonato é dado pela expressão:3x + 0x + 2y, pois nos “x” jogos o vencedor ganhou 3 pontos e o perdedor não ganhou nenhum ponto, nos jogos de empate os dois times ganham 1 ponto cada, sendo assim temos um saldo de 2 pontos no total por cada jogo empatado.Se o total de pontos é igual a 35, temos:3x + 2y = 35 y = (35 – 3x)/2. Para que y seja um número inteiro, x deve ser um número impar. Logo, temos o conjunto de soluções os pares (x,y) iguais a:

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(1,16) , (3, 13) , (5, 10) , (7, 7) , (9, 4) , (11, 1). Para essas soluções tivemos um total de x + y jogos, ou seja, uma quantidade de: 17, 16, 15, 14, 13 e 12 jogos, respectivamente. Temos que descobrir qual dessas é a solução.Seja n a quantidade de equipes. Se existem “n” equipes, e cada uma jogou apenas uma vez com as outras, teremos um total de jogos iguais a “ ” (combinação de “n” equipes de forma duas a duas). Assim: . Igualando essa quantidade ao total de jogos (x + y), teremos:n(n-1)/2 pode ser igual a 12, 13, 14, 15, 16 e 17, ou n(n-1) pode ser igual a 24, 26, 28, 30, 32 e 34.Mas a única solução onde podemos decompor o número como produto de dois consecutivos, é a de 30 jogos, que é igual a 6∙5. Sendo assim, “n” que é o número de equipes é igual a 5, e o total de jogos (x + y) é igual a 15. Teremos assim, o sistema:x + y = 153x + 2y = 35 Resolvendo o sistema, x = 5 e y = 10, onde “y” corresponde à quantidade de empates do campeonato.

RESPOSTA: 10.

A7. SOLUÇÃO: Se A pagou 5/19 da conta, B pagou 6/19, então C pagou o restante, que é 1 – (5/19+6/19) = 1 – 11/19 = 8/19. Se D deu 19 reais para que eles dividissem proporcionalmente ao que pagaram, então A vai receber 5/19∙19 = 5 reais, B vai receber 6/19∙19 = 6 reais, e C receberá 8/19∙19 = 8 reais.

RESPOSTA: 08.

A8. SOLUÇÃO: Em 700ml de suco, temos 300ml de concentrado e 400ml de água. Com 300ml de concentrado, podemos fazer 300∙13/5 = 780ml de refresco. Portanto, devemos adicionar 80ml de água.

RESPOSTA: 80.

A9. SOLUÇÃO: Na primeira situação, temos uma quantidade de 250ml de tinta azul sendo despejada na lada de 1 litro de tinta branca, de forma que teremos um total de 1250 ml, onde 250/1250 = 0,2 = 20% de tinta azul, e por conseqüência 80% de tinta branca na lata B.Na segunda situação, vamos retirar 250ml dessa mistura que contem 20%∙250 = 50 ml de tinta azul e por conseqüência 200 ml de tinta branca. Despejando de volta na lata A, essa vai ficar com 750 + 50 = 800 ml de tinta azul, e 200 ml de tinta branca. Teremos uma porcentagem de 200/1000 = 0,2 = 20% de tinta branca, e por conseqüência 80% de tinta azul na lata A. Logo, a lata B possui 20% de tinta branca, e 80% de tinta azul. Sendo assim, a única opção que não contém uma resposta correta é a da letra B, pois as quantidades despejadas de uma lata pra outra acabaram sendo iguais, 200 ml ao mesmo tempo retirados de uma, e colocados na outra.

RESPOSTA: LETRA B.

A10. SOLUÇÃO: Sejam x, y e z os preços do sanduiche, da xícara de café e do pedaço de torta, respectivamente. De acordo com a questão, temos que:I) 3x + 7y + z = 31,5II) 4x + 10y + z = 42Subtraindo a segunda equação da primeira, teremos como resultado:x + 3y = 10,5 y = (10,5 – x)/3. Para que esse resultado seja divisível por 3, x deve ser um múltiplo de 3, pois 10,5 é divisível por 3. Então x pode ser 3, 6 ou 9, pois se x for de 12 para cima, y e z serão valores negativos de preço, ou seja, não servem para a questão. Para nossas respostas possíveis, teremos: Se x = 3; y = 2,50 e z = 5 (3 + 2,50 + 5 = 10,50)Se x = 6; y = 1,50 e z = 3 (6 + 1,50 + 3 = 10,50)Se x = 9; y = 0,50 e z = 1 (9 + 0,50 + 1 = 10,50)Perceba que nas três soluções possíveis, o consumo de 1 item de cada nos dará sempre R$10,50.

RESPOSTA: LETRA D.

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