SOLUÇÃO – MATEMÁTICA BÁSICA 3

NÍVEL 1

E1. SOLUÇÃO: a) ¼ = 25%; b) 2/4 = 50%; c) 2/5 = 40%; d) 3/5 = 60%; e) 4/5 = 80%.Assim, uma possível representação é a da letra C.

RESPOSTA: LETRA C.

E2. SOLUÇÃO: O percentual médio na região Nordeste, é:(18% + 19% + 21% + 15% + 19%)/5 = (92%)/5 = 18,4%. RESPOSTA: LETRA C.

E3. SOLUÇÃO: Podemos descrever isso numa função de 1º grau, onde f(0) = 280000 e f(3) = 325000. Sabemos que f(x) = y = ax + b. Substituindo os valores na função, temos:280000 = a∙0 + b b = 280000. E 325000 = 3a + 280000 3a = 45000 a = 15000.Logo, a função é f(x) = 15000x + 280000, onde x é a quantidade de anos passados e f(x) o valor da casa. Como x está em anos, vamos transformar 4 anos e 3 meses para anos. 3 meses = ¼ ano = 0,25 ano. Então 4 anos e 3 meses = 4,25 anos. Substituindo na função:f(4,25) = 15000 ∙ (4,25) + 280000 = 63750 + 280000 = R$343750,00.

RESPOSTA: LETRA D.

E4.

SOLUÇÃO: Trata-se de uma questão de proporções. Perceba que temos grandezas envolvendo a quantidade de horas/dia e kg/dia, mas temos a quantidade de “dias” tanto na primeira quanto na segunda situação. Sendo assim, basta multiplicar essas grandezas e já teremos a quantidade de horas e de quilos. Então teremos na nossa tabela:ALUNOS HORAS KG20 3.10=30 12.10=12050 4.20=80 x

Perceba que se a quantidade de alunos aumentar, a quantidade de kg também aumenta; e se a quantidade de horas trabalhadas aumentar, a quantidade de kg também aumenta, sendo assim todas as grandezas são diretamente proporcionais em relação às outras. Temos:

3x = 2400 x = 800kg.

Teremos então um total arrecadado de 120 + 800 = 920 kg.

RESPOSTA: LETRA A.

E5. SOLUÇÃO: Total de alunos: 4 + 10 + 18 + 16 + 2 = 50 alunos.Alunos que obtiveram média maior ou igual a 6: 18 + 16 + 2 = 36 alunos. Logo, a porcentagem de alunos aprovados é 36/50 = 72/100 = 72%.

RESPOSTA: LETRA E.

E6. SOLUÇÃO: Utilizando a fórmula do IMC, temos: 20 = 60/h² h² = 3 h = √3 ≈ 1,7 m.Assim, % de gordura corporal = 100/1,7∙√1,7 - 18 = 100/1,7∙1,3 – 18 = 100/2,21 – 18 ≈ 45,24 – 18 = 27,24%. Logo, para se enquadrar nos níveis de normalidade de gordura corporal é reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%.

RESPOSTA: LETRA A.

E7. SOLUÇÃO: Vamos ver o preço real que ele pagaria por 3 produtos em relação a 2, e depois subtrair de 100% para verificar o desconto. Assim:3 – 100%

0

2 – x 3x = 200 x = 200%/3Sendo assim ele teve um desconto de 100% - 200%/3 = (300% - 200%)/3 = 100%/3

RESPOSTA: LETRA E.

E8. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão, considerando o total igual a “x” km, teremos:(2/5)x + (3/7)x + 108 = x De tal forma que x = 630 km.Sendo assim, teremos respectivamente para a zona da mata, terras do sertão e mata dos cocais a quantidade em km de 252 km, 270 km e 108 km, num total de 630 km.Queremos saber também a quantidade de km asfaltados. De acordo com os dados da questão teremos que essa quantidade será igual a:25% ∙ 252 + 10% ∙ 207 + 36 = 126 km, que representa uma porcentagem de 126/630 = 20% do total.

RESPOSTA: LETRA A.

E9. SOLUÇÃO: Vamos calcular o rendimento de cada investimento:Poupança: 0,0056x = 0,0056 ∙500 = 2,80. Montante: R$502,80.CDB: (0,00876x)∙0,96 = 0,0084096x = 0,0084096 ∙ 500 = 4,2048. Montante: R% 504,21. Logo, a aplicação mais vantajosa é o CDB, que totalizará R$ 504,21.

RESPOSTA: LETRA D.

E10. SOLUÇÃO: De acordo com os dados, se houve um aumento de 25% o objeto passou a valer 125% do que valia antes. Vamos dar agora um desconto de x% para que ele volte a ser 100%, logo125%.(100% - x%) = 100%100% - x% = 80% x = 20%.

RESPOSTA: LETRA A.

E11. SOLUÇÃO: 10% de cerca da metade de 15 bilhões de reais é a quantidade movimentada pelo comércio ilegal, sendo assim temos uma quantia aproximada de:

= 750 milhões de reais.

Mas na questão temos que é mais da metade, então temos uma quantia um pouco maior do que 750 milhões, e a única resposta que se encaixa é a da letra B.

RESPOSTA: LETRA B.

E12. SOLUÇÃO: 80% de 1032 toneladas poderiam ser aproveitadas num total de: 0,8∙1032 = 825,6 toneladas de alimento. Cada caminhão consegue carregar 5 toneladas, então para saber a quantidade de caminhões basta dividir o total de alimentos em toneladas por 5. Sendo assim, teremos um total de 825,6 / 5 = 165,12 caminhões. E a resposta que mais se aproxima é a da letra C, cerca de 160 caminhões.

RESPOSTA: LETRA C.

E13. SOLUÇÃO: Densidade demográfica = Número de habitantes/área = 20.000.000/800.000 = 25 habitantes/km². RESPOSTA: LETRA B.

E14. SOLUÇÃO: Temos:S = 0,01; iint = 0,06 e queremos descobrir ir. Sendo assim, basta utilizar os dados na fórmula dada, logo:S = [(1 + ir) (1 + iinf)] – 10,1 = (1+ir)(1+0,06) – 1 1 + ir = (1,1)/(1,06) 1 + ir = 1,03773.. ir = 0,03773 = 3,773%.

RESPOSTA: LETRA A.

E15. SOLUÇÃO: Vamos verificar quantos reais valeriam 5 ingressos em relação ao preço de 3 ingressos, e por fim subtrair de 100% para verificar o desconto dado. Assim: 1

5 ingressos – 100%3 ingressos – x - 3x = 300 x = 60%. Então tivemos um desconto de 100% - 60% = 40%.

RESPOSTA: LETRA C.

E16. SOLUÇÃO: Sendo x o custo total do imóvel, temos que:0,4x; 0,3x; 0,25x e 0,5x correspondem aos custos da mão de obra, terreno, material e administração, respectivamente. Sendo assim, se vamos ter um aumento de 15% na mão de obra e de 10% no preço do material, teremos um aumento no custo de:(100%+15%)∙0,4x + 0,3x + (100%+10%)∙0,25x + 0,5x = 0,46x + 0,3x + 0,27x + 0,5x = 1,085xOu seja, tivemos um aumento de 0,085 = 8,5% no valor total do imóvel.

RESPOSTA: LETRA A.

E17. SOLUÇÃO: De acordo com a questão, ele tem R$3720,60 e precisa pagar uma divida de R$4783,64. Então ele ainda precisa de 4783,64 – 3720,60 = 1063,04 reais. Ele vai precisar recorrer a um empréstimo, mas não pegará a quantia inteira, pois dos 100% do empréstimo temos um desconto de 12%, ou seja, ele está levando apenas 100% - 12% = 88% do empréstimo total. Com esses 88% ele vai conseguir pagar os 1063,04 reais que faltam. Para saber a quantia total que ele pediu de empréstimo, basta fazer uma regra de três simples:88% - 1063,04100% - x

88x = 106304 x = 1208 reais.

RESPOSTA: LETRA E.

E18. SOLUÇÃO: Num primeiro momento, o desmatamento foi 64% maior do que no ano anterior, e sabemos que o Mato Grosso corresponde a cerca de 56% do total de 4974 km² da floresta desmatada. Sendo assim, o Mato Grosso desmatou cerca de:(100%+64%)∙56%∙4974 = 1,64∙0,56∙4974 = 4568,12 km².

RESPOSTA: LETRA D.

E19. SOLUÇÃO: A população ‘A’ aumenta 20% em relação a cada ano anterior, então não apresenta um crescimento linear, logo corresponde ao gráfico III. A população ‘B’ aumenta 100 pássaros a cada ano, ou seja, possui um aumento constante, logo é linear, correspondendo ao gráfico II. E a população ‘C’ permanece constante, correspondendo ao gráfico I. Assim, a evolução das populações das espécies A, B e C, ao longo do tempo, corresponde, respectivamente, aos gráficos III, II e I.

RESPOSTA: LETRA E.

E20. SOLUÇÃO: Na primeira guia foi dado um desconto de 15%, ou seja, só foi pago 85% do valor: 0,85x = 1530 x = 1800 Então o valor sem desconto seria de R$ 1800,00. Da mesma forma, na segunda guia foi dado um desconto de 7%, ou seja, foi pago 93% do valor: 0,93x = 2790 x = 3000. Então o valor original é de R$ 3000,00. Assim, de um total de 1800 + 3000 = 4800 reais, foram pagos 1530 + 2780 = 4320 reais. Logo, o desconto foi de 4800 – 4320 = 480 reais, que representa 480/4800 = 10% do total.

RESPOSTA: LETRA B.

NÍVEL 2

E21. SOLUÇÃO: Juros cumulativos são juros compostos. Então temos que M = C∙(1 + i)t, onde M é o montante, C é o capital investido, i é a taxa e t o tempo. Assim, 1331 = 1000∙(1 + i)³ (1 + i)³ = 1,331 1 + i = 1,1 i = 0,1 = 10% a.m.

RESPOSTA: LETRA A.

E22. SOLUÇÃO: O primeiro capital, “x”, aplicado, gerou um total igual a si em 1 ano e 8 meses = 20 meses, sendo assim temos que a taxa de juros simples que foi aplicado é igual a:x = x∙20∙i i = 0,05 = 5% ao mês ou 5%∙12 = 60% ao ano.Sabendo a taxa e os juros que o segundo teve em 15 meses, podemos determinar qual o valor “y” do restante do capital, assim temos que: 525000 = y∙5%∙15 y = 70000 reais.De acordo com a questão, temos que o segundo excede o primeiro capital em 20000. Então x = 70000 – 20000 = 50000

2

reais. Portanto a taxa aplicada foi de 60% a.a. e o menor capital envolvido nessa operação foi de R$ 5000,00.

RESPOSTA: LETRA D.

E23. SOLUÇÃO: 4/5 = 80%. Esse filtro deixa passar 80% da intensidade da luz. Para que ele deixe passar menos de 10%, temos que usar n filtros, onde: (0,8)n < 0,1 log (0,8)n = log 0,1 n ∙ log 8/10 = log 1/10 n (log 8 – log 10) = log 1 – log 10 n (log 2³ - 1) = log2³ - log 10² n (3∙ log 2 – 1) = 3∙ log2 - 2∙ log10 n = (3 ∙ 0,301 – 2∙1)/(3 ∙ 0,301 – 1) n = (0 – 1)/(0,903 – 1) = (- 1)/(- 0,097) n = 10,3.. Logo, foi necessário usar um pouco mais que 10 filtros, portanto o menor valor de n é 11 (pois n é um número inteiro).

RESPOSTA: LETRA C.

E24. SOLUÇÃO: a) Se ele mantiver sua proposta, não conseguirá colher os 180 ha em 4 dias, pois o rendimento é de 20ha por dia. Dessa mesma maneira já descartamos também a letra e, onde ele mantém a mesma proposta e apenas diminui o preço da diária da máquina. Sendo assim não conseguirá colher os 180ha em 4 dias.Se ele oferecer 4 máquinas a mais, o preço é maior que 25000 reais, tendo um gasto de 12∙10∙6 + 8∙4000∙6 = 48720 reais. O mesmo ocorre com 6 trabalhadores a mais: temos um gasto de 18∙10∙6 + 4∙4000∙6 = 25080 reais. Então a resposta correta é a da letra D. Para verificar, basta fazer uma regra de três composta.

RESPOSTA: LETRA D.

E25. SOLUÇÃO: Sendo até 320 kwh, não há multa. Digamos que para o consumo de 320 kwh, é pago x reais. Quando esse limite é ultrapassado, deverá ser pago 50% sobre o excesso. Chamemos de y (kWh) o consumo superior a 320 kwh, ou

seja, y > 320. Então o excesso seria (y – 320) e o preço pago por esse excesso é de . Em agosto, com o reajuste

de 16%, obtemos:320 kwh: 1,16x reais.

Excesso:

No mês de outubro, o preço é 20% acima do preço inicial, sem os aumentos ou reajustes, ou seja, pagou-se 1,20x reais = 1,16x + 0,04x. Sabemos que 1,16x equivale aos 320 kwh e os 0,04x é o preço do excesso, que é:

y – 320 = 22,06.. y = 342,06.. ≈ 343 kwh. Ou seja, o consumo de energia elétrica no mês de

outubro foi de aproximadamente 343 kwh.

RESPOSTA: LETRA D.

E26. SOLUÇÃO: Seja “x” o preço total, temos que 0,25x, 0,1x, 0,15x, 0,50x representam respectivamente os preços de maçãs, bananas, laranjas e peras. Certa pessoa recebeu um desconto de 10% nas maçãs e 20% nas peras, sendo assim ela recebeu um desconto sobre o preço total de:(100% - 10%)∙0,25x + 0,1x + 0,15x + (100% - 20%)∙0,5x = 0,225x + 0,1x + 0,15x + 0,4x = 0,875xOu seja, ele recebeu um desconto de 1 – 0,875 = 0,125 = 12,5%

RESPOSTA: LETRA E.

E27. SOLUÇÃO: De acordo com a questão, temos:Venda = x reaisCusto = (100% + 15%)∙18000 + 10%∙xLucro = Venda – Custo = 30%∙xSendo assim, teremos que:Venda – Custo = x – (1,15∙18000 + 0,1x) = Lucro = 0,3xx – 1,15∙18000 – 0,1x = 0,3xDe forma tal que x = 34500 reais.

RESPOSTA: LETRA A.

E28. SOLUÇÃO: Para saber quanto ele precisa para rodar 16 voltas, precisamos descobrir quanto ele gasta em cada volta. Sabemos que a pista tem 7 km uma volta, e que o carro roda 100km com 75 litros. Assim em uma volta teremos um gasto de:100km – 75 litros

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7km - x litros De tal forma que x = 5,25 litros.Se o carro tem que rodar 16 voltas, ele precisará de 16∙5,25 litros = 84 litros.Temos que a densidade da gasolina é de 750 gramas = 0,75kg em 1 litro, então teremos um peso em kg igual a:0,75kg – 1litro y kg - 84 litros y = 63 kg.Logo se o carro pesa 605 kg, ele terá que sair com uma quantia mínima de 605 + 63 = 668 kg.

RESPOSTA: LETRA B.

E29. SOLUÇÃO: Sejam “a” e “b” as quantias que ele recebeu com as papelarias A e B, respectivamente. Temos que: a = (100% + 50%)∙b = 1,5b e que os faturamentos de A e de B foram de 20% e 10% respectivamente, então temos em 2003 as quantias de A e B iguais a:(100% + 20%)∙a = 1,2a e (100% + 10%)∙b = 1,1b.E queremos o faturamento de A em relação a B, ou seja, (1,2a/1,1b)Sabemos que a = 1,5b; então basta substituir, teremos:(1,2∙1,5b) / 1,1b = 1,8b / 1,1b = 1,64.Ou seja, a quantia recebida em A em relação a B foi de 0,64 = 64% maior.

RESPOSTA: LETRA E.

E30. SOLUÇÃO: O acréscimo do número de mulheres nos últimos 5 anos corresponde a 8000/32000 = ¼ do total de mulheres. Como o acréscimo do número de homens ocorre na mesma proporção, então é de ¼ ∙ 28000 = 7000. Logo, o número de homens que seriam internados por AVC nos próximos 5 anos corresponderia a 28000 + 7000 = 35000 (35 mil).

RESPOSTA: LETRA D.

E31. SOLUÇÃO: Basta fazer uma regra de três simples. Temos no fim da questão que com a adição de 4% teremos um consumo de 925 milhões de litros, sendo assim para uma adição de 3% teremos:4% - 925milhoes 3% - x

4x = 2775 x = 693,75 de litros.

RESPOSTA: LETRA D.

E32. SOLUÇÃO: Rentabilidade anual: A 1,03¹² = 1,426. i = 42,6% a.a. (elevamos a 12 porque a tava estava mensal, e 1 ano tem 12 meses)B 36% a.a.C (1,18)² = 1,3924. i = 39,24% a.a. (elevamos ao quadrado porque a tava estava semestral, e 1 ano tem 2 semestres)Como podemos ver, essa pessoa deverá escolher o investimento A, pois sua tava de rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C.

RESPOSTA: LETRA C.

E33. SOLUÇÃO: Sabemos que a população que inicial de 100% em 50 anos fica reduzida a 20% na questão diz que a taxa de decrescimento é que é constante, temos assim um caso de juros compostos, para saber a quantia nos 25 primeiros anos temos que descobrir algo sobre a taxa, sendo assim teremos:100%.

Perceba que queremos uma taxa de pois queremos a quantidade em 25 anos, sendo assim devemos retirar a raiz quadrada em ambos os lados na nossa expressão encontra, assim:

Sendo assim em 25 anos teremos 100. logo em 25 anos a população irá se reduzir a 45% da quantia inicial.

RESPOSTA: LETRA D.

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E34. SOLUÇÃO: De 2004 a 2005, o IDH do Brasil aumentou 0,792 – 0,790 = 0,002. Como o aumento é linear, aumentará todo ano esse mesmo valor. Uma vez atingido o nível alto de desenvolvimento humano (0,800), faltará 0,863 – 0,800 = 0,063 para alcançar a Argentina. Para isso serão necessários (0,063)/(0,002) = 63/2 = 31,5 anos.

RESPOSTA: LETRA E.

E35. SOLUÇÃO: Se na primeira situação teremos redução de 30% teremos um valor multiplicativo de 100% - 30% = 70% = 0,7. Na segunda teremos uma ampliação de 40% ou seja, teremos um valor multiplicativo de 100% + 40% = 140% = 1,4Seja x o tamanho da figura original, passados as duas etapas teremos que a nova figura terá dimensão igual a: x.0,7.1,4 = 0,98xOu seja, a figura foi reduzida em 100% - 98% = 2%

RESPOSTA: LETRA D.

E36. SOLUÇÃO: Perceba que não temos apenas os 450 litros de vinho pois teremos também uma quantidade de água igual a 450/9 = 50 litros, sendo assim temos um total de 450 + 50 = 500 litros para vender. O vendedor quer ter um lucro a mais de 1500 reais com a venda total do vinho + água, perceba que com o vinho ele ira receber um total de 450.18 = 8100 reais, sendo assim se ele quer receber a mais 1500 reais ele vai ter um total em reais igual a 8100 + 1500 = 9600 reais. Se queremos saber a quantidade de reais por litro dessa mistura basta dividir a quantidade de reais total pela quantidade total de litros assim teremos:9600/500 = 19,2 reais por litro.

RESPOSTA: LETRA E.

E37. SOLUÇÃO: Perceba que na letra A não é pequena quantidade, na letra b não é uma grande quantidade, na letra d também não é uma pequena quantidade e na letra e não corresponde a menor parcela. Sendo assim a resposta correta é a da letra C, basta verificar.

RESPOSTA: LETRA C.

E38. SOLUÇÃO: Temos um total rodado de 199200km se cada carro faz em média 12 km por litro teremos um total de 199200/12 = 16600 litros de combustível.Cada 415 litros de combustível libera um total de 1 ton de combustível sendo assim teremos um total liberado de 16600 / 415 = 40 toneladas de CO2Se a empresa ira reduzir em 5% a produção ela deixará de emitir uma quantidade de 5%.40 toneladas = 2 toneladas.

RESPOSTA: LETRA A.

E39. SOLUÇÃO: Podemos dizer que se foram tirados 2 copos juntos 3x vezes, então foram retirados 3 copos juntos 2x vezes. (pois a razão é 3/2). Como o total é de 100 copos, e foram desperdiçados 35%, foram desperdiçados 35 copos. De cada vez que foram retirados 2 copos de vez, apenas 1 deles foi desperdiçado, então foram desperdiçados (2 – 1)∙3x = 3x copos. E de cada vez que foram retirados 3 copos de vez, foram desperdiçados apenas 2 copos, então são (3 – 1)∙2x = 2∙2x = 4x copos desperdiçados. Então 3x + 4x = 35 7x = 35 x = 5. Então foram 15 vezes retirados 2 copos de vez, e 10 vezes 3 copos de vez, totalizando 30 + 30 = 60 copos. Logo, o número de vezes em que apenas 1 copo foi retirado do suporte é igual 100 – 60 = 40.

RESPOSTA: LETRA C.

E40. SOLUÇÃO: Como podemos observar no gráfico, o período em que ele é decrescente é do ano de 2003 ao ano de 2006.

RESPOSTA: LETRA C.

QUESTÕES DE PERNAMBUCO

NÍVEL 1

P1. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão temos que 1kg = 1000g de açúcar contem grãos, se queremos a quantidade de gramas de 10g, basta fazer uma regra de três simples, teremos: 5

1000g - grãos10g – x De forma tal que x = grãos.

RESPOSTA: LETRA B.

P2. SOLUÇÃO: Se o automóvel se desvaloriza 10% ao ano, temos um valor multiplicativo constante e igual a (100% - 10%) = 90% = 0,9 de desvalorização a cada ano. Sendo assim se queremos o valor após 5 anos, basta multiplicar o valor inicial 10000 por 0,9 cinco vezes, teremos:

.10000 = 59049 reais.

RESPOSTA: LETRA D.

P3. SOLUÇÃO: A questão se trata de uma regra de 3 composta:

horas/plantão médicos pacientes 4 5 40 6 x 60

Vamos analisar se as grandezas são inversamente ou diretamente proporcionais (em relação ao número de médicos):Quanto MAIS horas o plantão durar, MENOS médicos serão necessários. Então o número de horas por plantão é inversamente proporcional ao número de médicos;Quanto MAIS pacientes precisarem ser atendidos, MAIS médicos serão necessários. Então o número de pacientes é diretamente proporcional ao número de médicos. Sendo assim:

x = 5. Ou seja, nessas condições serão necessários 5 médicos.

RESPOSTA: LETRA B.

P4. SOLUÇÃO: Se a inflação mensal é constante, temos um caso de juros compostos, na situação inicial temos que uma quantia que não sabemos, “x”, irá quadruplicar, “4x”, em 10 meses, sendo assim se temos um valor multiplicativo de “a” em cada mês, teremos a seguinte expressão:x. = 4x, de forma tal que = 4.Queremos o valor de um artigo que custava 37 reais cinco meses atrás, sendo assim nesses cinco meses ele vai valorizar uma taxa de “ ”. A quantia que queremos é a: 37. , basta saber quanto vale . Da relação anterior temos que:

= 4, extraindo a raiz quadrada dos dois lados teremos:

= 2, logo temos uma quantia de 37.2 = 74.

RESPOSTA: 74.

P5. SOLUÇÃO: Sejam “x” e “y” as quantidade de reais que ele irá depositar em cada uma das contas, temos inicialmente que: x + y = 90E de acordo com os dados da questão 5,5%.x + 6,5%.y = 5,5 que é o mesmo que 5,5x + 6,5y = 550Sendo assim basta resolver o sistema:x + y = 905,5x + 6,5y = 550

De forma tal que x = 35 e y = 55

RESPOSTA: 35.

P6. SOLUÇÃO: Se a jornada decresce 0,3% por ano temos um valor multiplicativo de (100% - 0,3%) = 99,7% = 0,997 em cada ano, se queremos a quantidade de horas da jornada de trabalho após 4 anos teremos que multiplicar o valor inicial de 44 horas por 0,997 4 vezes, assim:

RESPOSTA: LETRA D. 6

P7. SOLUÇÃO: 100 ml = 0,1 L. Então cada 0,1 L contém 175 mg de potássio. Para descobrir em quantos litros de água de coco se encontra 4700 mg de potássio, vamos fazer uma regra de 3:0,1 L – 175 mg x – 4700 mg 175x = 470 x ≈ 2,68 litros.

RESPOSTA: LETRA C.

P8. SOLUÇÃO: Se cada bola pesa “x” gramas, temos a seguinte expressão para a figura:5x = x + 100 4x = 100, logo x = 25 gramas.

RESPOSTA: 25.

P9. SOLUÇÃO: Se o preço inicial é igual a “x” e a quantidade de compras é igual a “y” temos que o faturamento será dado por “x.y”, na situação acima temos que o preço diminuiu 10%, (preço final 0,9x) e o consumo aumentou em 20% (consumo final 1,2y) sendo assim teremos um faturamento de: 0,9x.1,2y = 1,08xy, ou seja, houve um aumento de 8% no faturamento.

RESPOSTA: LETRA A.

P10. SOLUÇÃO: Perceba que a proporção de homens fazendo embrulhos é de 1 para 1 nas duas situações(x:x e y:y é o mesmo que 1:1), sendo assim teremos que os y homens vão fazer y embrulhos nos mesmos x segundos.

RESPOSTA: LETRA B.

P11. SOLUÇÃO: Essa questão trata de uma regra de três composta, para resolvê-la o aluno terá que em algum momento considerar apenas duas das grandezas e deixar as outras constantes para assim verificar se as grandezas em questão são diretamente ou inversamente proporcionais.

De acordo com a questão teremos o esquema abaixo, perceba que se a quantidade de ovos aumentar a quantidade de galinhas deve aumentar para que o serviço seja feito no mesmo tempo logo galinhas e ovos são diretamente proporcionais. Perceba agora que se aumentarmos a quantidade de dias para produzir uma mesma quantidade de ovos teremos que a quantidade de galinhas deverá ser menor, sendo assim galinhas e dias são inversamente proporcionais, vamos colocar seta pra baixo nas galinhas e tudo que for diretamente terá o mesmo sentido e inversamente o sentido contrário, sendo assim:

Galinhas Ovos Dias g n d x N D

Logo,

de forma tal que x =

RESPOSTA: LETRA D.

P12. SOLUÇÃO: A solução dessa questão é semelhante a da questão anterior. Se a quantidade de prisioneiros aumentar a quantidade de noites diminui, o mesmo acontece com a quantidade de horas por dia, mas se a quantidade de metros aumentar a quantidade de noites para executar o trabalho deverá aumentar também, sendo assim:

Prisioneiros metros de escavação horas/dia noites12 270 6 910 450 4 x

de forma tal que x = 27 noites.

RESPOSTA: LETRA B.

7

P13. SOLUÇÃO: Como todos os valores estão em percentual, podemos escolher um valor arbitrário para a população adulta do Brasil. Vamos trabalhar com o total de 100 adultos. Se 8% estão desempregados, então apenas 92%, que no caso são 92 adultos, estão trabalhando. Assim, a quantidade de horas trabalhadas por semana é: 92 ∙ 44 = 4048. Para que toda a população trabalhe, ou seja, os 100 adultos, considerando que a quantidade de horas trabalhada seria a mesma, temos: 100x = 4048, onde x é a jornada média semanal se todos os adultos estivessem trabalhando. Logo, x = 4048/100 = 40,48 horas = 40 horas e 0,48 ∙ 60 = 28,80 minutos.28,80 minutos = 28 minutos + 0,80 ∙ 60 = 48 segundos.Logo, 40,48 horas = 40h28min48s.

RESPOSTA: LETRA E.

P14. SOLUÇÃO: Digamos que a quantia inicial que ele possui seja de “x” reais, de acordo com a questão temos:Ele vai gastar 30%.x, logo ficará com 70%.xDesses 70%x ele irá gastar 50% logo ficará com os outros 50%.70%xNo final ele ficará com 49 reais, logo:50%.70%.x = 49De forma que x = 14 reais.

RESPOSTA: 14.

P15. SOLUÇÃO: Seja “x” a quantidade que ele gastou com Pitimbu e “y” a quantidade que ele gastou com Itamaracá, temos que: x + y = 45000, e, além disso, temos que lucrando 20% em Pitimbu e 10% em Itamaracá ele ganhou 3000 reais, sendo assim: 0,2x – 0,1y = 3000. Agora basta resolver o sistema:x + y = 450000,2x - 0,1y = 3000De forma tal que x = 25000 e y = 20000. Perceba que se ela vendeu com lucro de 20% ela vendeu por (100% + 20%).25000 = 1,2.25000 = 30000 reais.

RESPOSTA: LETRA A.

P16. SOLUÇÃO: Do inicio da questão temos que 98%.1000 = 980 aves possuem cauda verde, sendo assim 20 não possuem cauda verde, depois de uma epidemia que só irá matar as de cauda verde, a porcentagem dessas cairá para 95%, perceba que as 20 que não possuem cauda verde corresponderá a uma quantidade de 5% na nova situação, sendo assim:20 aves – 5%x aves – 95%De forma que x = 380 aves, sendo assim morreram 980 – 380 = 600 aves.

RESPOSTA: LETRA D.

P17. SOLUÇÃO: Seja “x” a quantidade em litros de leite desnatado, temos por conseqüência que a quantidade de leite integral vai ser “6 – x”, pois temos um total de 6 litros de leite. Perceba que os x litros de leite desnatado contem apenas 2% de gordura e o integral 5% e depois da mistura teremos uma quantidade de 3%, sendo assim podemos escrever a expressão para a quantidade de gordura envolvida como:2%x + 5%(6 – x) = 3%.6De forma tal que x = 4 litros.

RESPOSTA: LETRA E.

P18. SOLUÇÃO: Temos que a quantidade inicial é de 6 bilhões e queremos que com um crescimento de 1,8% ao ano essa quantia ultrapasse 7 bilhões, sendo assim teremos que:6 ∙ 109 ∙ (1,018)N > 7 ∙ 109 (1,018)N > 7/6. Aplicando ln em ambos os lados, teremos:N∙ln 1,018 > ln 7/6 N > 8,64, logo N 9. Logo, a população chegará a 7 bilhões de habitantes no ano de 2009. A divisão de 2009 por 100 tem resto 9.(Perceba que essa conta torna-se um tanto complicada sem o auxilio da calculadora, certamente na prova original contavam alguns dados extras.)

RESPOSTA: 09.

8

P19. SOLUÇÃO: Basta fazer uma regra de três simples, temos que:52,2 minutos – 100% de sua carga horária por hora60 minutos – x De forma tal que x = 114,29% sendo assim temos um aumento no salário de 14,29%

RESPOSTA: LETRA A.

P20. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que a cada mês a quantidade que se evapora é de 15% ou seja, temos um valor multiplicativo constante e igual a (100% - 15% = 85% = 0,85). Seja “x” a quantidade inicial de água temos que ter no final x/3, sendo assim:

de forma que aplicando ln em ambos os lados teremos: logo e perceba que esses valores foram dados, logo n = 6,875 então são necessários 7

meses para que o tanque reduza a terça parte do seu volume.

RESPOSTA: 07.

P21. SOLUÇÃO: Essa questão é semelhante a todas as outras que fizemos no nível 1 de regra de três composta, assim:Se a quantidade horas aumentar o consumo deve aumentar, se a rotação por minuto aumentar o consumo também deve aumentar, e se a altitude aumentar o consumo também ira aumentar, sendo assim todas as grandezas são diretamente proporcionais, teremos:Litros Horas Rot/min Altitude450 2 3000 2500x 1 4500 3000

Logo, , de forma tal que x = 405 Litros.

RESPOSTA: LETRA A.

P22. SOLUÇÃO: Perceba que se ampliarmos o heptágono em 50% todas as suas medidas irão aumentar em 50% logo teremos um valor multiplicativo de (100% + 50% = 150% = 1,5). A área de qualquer polígono pode ser calculado como A = p.a em que: “p” é o semi-perímetro e “a” é o apótema, logo a área inicia será: A = p.a como vamos aumentar 50% em todos os valores, o semi-perímetro novo será igual a 1,5p e o apótema será igual a 1,5a, logo teremos uma área nova de:A´ = 1,5p.1,5a = 2,25p.a logo temos um aumento de 1,25% = 125%.

RESPOSTA: LETRA D.

P23. SOLUÇÃO: Sejam “x” a quantidade de empresários e “y” a quantidade de reais para pagar os funcionários, temos que a média salarial é de “y/x” reais por funcionário. Na situação da questão, temos que:A empresa dispensou 20% dos funcionários sendo assim restaram 80%x = 0,8xAumentou na folha de pagamento de 10% sendo assim teremos um total de (100%+10%).y = 1,1yDessa maneira a nova media salarial será de (1,1y / 0,8x) = 1,375(y/x)Sendo assim houve um aumento de 37,5% no salário médio.

RESPOSTA: LETRA E.

P24. SOLUÇÃO: Sejam “x” a quantidade de alunos aprovados por média, por conseqüência a quantidade de alunos aprovados foi “500 – x”. cada aluno aprovado por média ganhou 10 reais e os aprovados apenas ganharam 8,7 reais. Mas na questão diz que 13% dos “x” alunos aprovados por média não quis receber o pagamento, sendo assim apenas (100% - 13% = 87%) foram receber, dessa maneira, a expressão que nos dá a quantidade gasta no total com os alunos será:87%.x.10 + (500 – x).8,78,7x + (500 – x).8,78,7(x + 500 – x) = 8,7.500 = 4350 reais.

RESPOSTA: LETRA C.

P25. SOLUÇÃO: Opção 1: desconto de 10%, ou seja, pagará apenas 90% do valor. Sendo x o preço, temos que seria pago 0,9x.Opção 2: 0,5x de entrada, mais 0,5x 3 meses depois.

9

Para saber o valor da taxa percentual de juros mensais simples embutidos na segunda opção, temos:Juros = 0,1x.Capital inicial (diferença entre as opções) = 0,9x – 0,5x = 0,4x.Tempo = 3 meses.J = C∙i∙t 0,1x = 0,4x ∙ i ∙ 3 i = 1/12 = 0,0833.. = 8,33% ≈ 8%.

RESPOSTA: LETRA D.

P26. SOLUÇÃO: Para ter 1 habitante por km², o total de habitantes é de 3 milhões (valor na área, em km²). Se hoje o total de habitantes é de 1,5 milhões, crescendo a uma tava de 5% ao ano, e sendo n a quantidade de anos, temos:1,5 ∙ 106 ∙ (1,05)n = 3 ∙ 106 (1,05)n = 2 ln (1,05)n = ln 2 n ∙ 0,05 = 0,7 n = 14 anos.

RESPOSTA: LETRA D.

P27. SOLUÇÃO: Sendo x a quantidade de alunos na turma e y o que cada um pagaria se todos contribuíssem, temos:48/x = y xy = 48 (I)48/(x – 6) = y + 0,40 xy + 0,4x – 6y – 2,4 = 48 (II). Substituindo (I) em (II), temos: 48 = 0,4x – 6y – 2,4 = 48 0,4x – 6y = 2,4. Multiplicando a equação por 10: 4x – 60y = 24 x – 15y = 6 x = 15y + 6 (III). Substituindo na equação (I), temos:(15y + 6)∙y = 48 15y² + 6y – 48 = 0 5y² + 2y – 16 = 0. Resolvendo a equação:Δ = 4 - 4∙ 4 ∙ (-16) = 4 + 320 = 324. y = (-6 ± √324)/(2 ∙ 5) = (-6 ± 18)/10 y = 1,60 ou y = -2. Como o preço não pode ser negativo, y = 1,60. Substituindo em (I): x∙1,60 = 48 x = 30. Portanto, na sala havia 30 alunos. Se 6 deles não contribuíram, então 24 deles o fizeram. Assim, a porcentagem de alunos que contribuíram para compra do presente é 24/30 = 4/5 = 80%.

RESPOSTA: LETRA D.

P28. SOLUÇÃO: Para a data de hoje, os valores da primeira e da segunda prestaçõescorrespondem a 9000/(1,04)³ = 9000/(1,125) = 8000 e 6580/1,047 = 6580/(1.316) = 5000, totalizando 8000 + 5000 = 13000 reais. Resta a pagar 17000 – 13000 = 4000 reais. Logo, o valor da terceira prestação será de 4000∙(1,04)¹² = 6404 reais.Soma dos dígitos: 6 + 6 + 0 + 4 = 14.

RESPOSTA: 14.

P29. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que:X + Y + Z = 237 e alem disso temos que: X = 0,8Y e que Y = 1,2Z, sendo assim colocando todo mundo em função de Z teremos:0,8Y + Y + Z = 1,8Y + Z = 1,8(1,2Z) + Z = 3,16Z = 237Logo, Z = 75 reais.

RESPOSTA: 75.

P30. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que no fim a quantidade de prata e ouro da liga será a mesma, sendo assim basta calcular a quantidade de prata ou de ouro das ligas, nessa resolução irei calcular a quantidade de ouro. Considere “x” a quantidade de gramas da liga A (que é o que ele quer) temos que o total é 120 gramas logo a quantidade de gramas da liga B será “x – 120”, assim:25%.x + 55%.(120 – x) = 50%.120 De forma tal que x = 20 gramasSe o aluno fizer para prata terá como expressão 75%.x + 45%.(120 – x) = 50%.120 Que da a mesma resposta, x = 20 gramas.

RESPOSTA: 20.

P31. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos que A + B + C = 15, mas além disso temos:A = 2B e que C = 0,75B. Logo substituindo esses dados na questão teremos:2B + B + 0,75B = 153,75B = 15B = 4 mm³ por litro, logo C = 0,75.4 = 3 mm³ por litro.

RESPOSTA: 03.

10

P32. SOLUÇÃO: Temos que a quantia de 120000 reais ira valorizar 4% ao ano, logo, teremos uma taxa multiplicativa de (100% + 4% = 104% = 1,04), e no final teremos uma quantia de 200000 reais. Sendo assim teremos:120000. = 200000

aplicando ln em ambos os lados teremos:

Logo n.ln1,04 = ln(5/3), substituindo os dados teremos que:n.0,04 = 0,51, de forma tal que n = 12,75 13 anos.

RESPOSTA: 13.

P33. SOLUÇÃO: Sejam “v” e “c” os preços de venda e de custo respectivamente, de acordo com a questão temos que: v – c = 200 (“...a diferença entre o preço de venda e de custo é de 200 reais...”)0,9v – c = 0,2c (“...obteve um desconto de 10% sobre o preço de venda do produto. Com a venda do produto a Maria Eduarda, a empresa ainda terá um lucro de 20%...”)..”)Resolvendo esse sistema temos que c = 600 reais e v = 800 reais.RESPOSTA: LETRA A.

P34. SOLUÇÃO: De acordo com a questão um sanduiche de “x” gramas é feito de 0,5x de pão, 0,3x de salada e 0,2x de atum. Se o pão aumentar em 20% teremos 1,2.0,5x = 0,6x de pão, se a salada diminuir 20% teremos 0,8.0,3x = 0,24x de salada e se o atum aumentar de 15% teremos 1,15.0,2x = 0,23x de atum sendo assim teremos um total de 0,6x + 0,24x + 0,23x = 1,07x sendo assim o preço de custo deverá ter um aumento de 7%.

RESPOSTA: 07.

P35. SOLUÇÃO: De acordo com a questão temos:Inverno = 0,72.verão logo verão = (1 / 0,72).inverno = 0,5813 inverno = 58,13% invernoLogo a economia de verão será: inverno – verão = inverno – 58,13%inverno = 41,87% inverno

42% de inverno. Economia de aproximadamente 42%

RESPOSTA: 42.

P36. SOLUÇÃO: Digamos que a inflação seja de x% temos uma inflação cumulativa de 3,2% com esses x%, no final temos um total de 6% de inflação em relação ao dinheiro, sendo assim seja “r” a quantidade de dinheiro inicial temos:(100% + 3,2%).r = 1,032r de inflação no primeiro semestre(100% + x%).1,032r = 1,06r De forma que x = 2,71% Mas queremos 10x então teremos 27,1% que é aproximadamente igual a 27%.

RESPOSTA: 27.

P37. SOLUÇÃO: De acordo com a questão teremos uma arrecadação de 4% a mais mas uma inflação de 3,5% logo teremos um saldo de 0,5% sobre o valor total, teremos então que o valor arrecadado será de:14bilhoes. (100% + 0,5%) = 14bilhoes.(1,005) = 14,07 bilhões de reais. Logo essa quantia excede 14 bilhões em 14,07 – 14 = 0,07 bilhões de reais que é o mesmo que 70 milhões de reais.

RESPOSTA: 70.

P38. SOLUÇÃO: De acordo com a questão teremos uma quantia inicial de 20% do valor total e no final 5% do valor total do reservatório, e alem disso, em cada dia temos uma redução de 0,7% do valor do dia anterior, sendo assim a cada dia temos um valor multiplicativo de (100% - 0,7% = 99,3% = 0,993), assim a expressão após “n” dias será igual a:20%T.

De acordo com o dado da questão n = 198 é primeiro dia em que a turbina ira parar de funcionar pois

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RESPOSTA: LETRA C.

P39. SOLUÇÃO: a) (0)(0) falso, não é 5000 e sim 2000.

1-3) (1)(1) Verdadeiro, basta fazer por verificação.(2)(2) verdadeiro, se o do (1)(1) temos que a expressão é 5000 menos alguma coisa, logo sempre será menor que 5000(3)(3) verdadeiro, basta substituir n = 4 na expressão (1)(1)(4)(4) Falso, de (0)(0) temos que a expressão para a n-ésima parcela será: 2000. e para que ele não pague mais esse valor deve ser menor do que 1 assim:

2000. logo e aplicando log na base 5/3 em ambos os lados teremos como resultado:

Log 2000 (base 5/3) < n-1 , logo n – 1 > 14,7 logo n > 15,7, logo (4)(4) é falso.

RESPOSTA: FVVVF.

P40. SOLUÇÃO: De acordo com os dados da questão temos que ele pagou apenas metade de 0,7 bilhões ou seja 0,35 bilhões e apenas 26% de 1,1 bilhão, num total de 0,286 bilhões de reais, juntando o que ele pagou temos um total de 0,35 + 0,286 = 0,636 bilhões. Se ele devia 7,1 bilhões então ele ainda tem que pagar um total de 7,1 – 0,636 = 6,464 bilhões de reais.O lucro foi de 646,4 milhões = 0,6464 bilhões de reais, sendo assim temos que o total que ele deve pagar é 10 vezes o lucro que ele teve, basta dividir (6,464 / 0,6464) = 10.

RESPOSTA: 10.

EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO

A1. SOLUÇÃO: 1ª opção: 160 + 160∙(1,02)2∙ = 160∙(3,04) = 544. 2ª opção: 70 + 70∙(1,02)∙6 = 70∙(7,12) = 498,40.Logo, fica mais barato comprar na opção 2.

RESPOSTA: LETRA B.

A2. SOLUÇÃO: SOLUÇÃO: Seja x será o maior salário que não sofrerá redução. Isso ocorrerá quando o valor do aumento for igual ao valor descontado sobre o que ultrapassa 800 reais, ou seja:0,04x = (0,1)∙(1,04x-800) 0,04x = 0,104x – 80 0,064x=80 x=1250 reais.Soma dos dígitos: 1 + 2 + 5 + 0 = 8.

RESPOSTA: 08.

A3. SOLUÇÃO: Calculando a média de tempo em anos por candidato na primeira e na segunda tabela teremos:Media 1 = (8.4 + 4.8 + 5.11 + 3.15) / (8 + 4 + 5 + 3) = 8,2 anos por candidatoMedia 2 = (10.4 + 5.8 + 10.11 + 12.15) / (10 + 5 + 10 + 12) = 10 anos por candidato.Sendo assim para encontrar o crescimento basta fazer uma regra de três simples.8,2 – 100%10 – x De tal forma que x ou seja, temos um aumento de 22%.

RESPOSTA: LETRA E.

A4. SOLUÇÃO: b) (0)(0) Verdadeiro, basta calcular: 1,01.100000 – 300 = 98000 = 98 mil reais.

1-4) (1)(1) Falso, esta conta esta incorreta. 1-5) (2)(2) Verdadeiro. Dn = 1,01Dn-1-3. (3)(3) Basta verificar que 1,01(300 – 202 x 1,01n-1) – 3 = 300 – 202 x 1,01n. Consequentemente, por indução Dn = 300 – 202 x 1,01n-1

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(4)(4) Verdadeiro. Dn+1 = 0 se só se 1,01n = 300/202 = 1,485 que acontece quando n = log1,01 1,485 = 39,7. Portanto, o pagamento do empréstimo se fará em 40 prestações.

RESPOSTA: VFVVV.

A5. SOLUÇÃO: SOLUÇÃO: Devemos observar algumas estratégias. Dentre aquelas que observamos, a melhor é a que segue:De início, partem Renato e Samuel (65 e 70) deixando na outra margem Samuel. Depois, volta Samuel (70).Em seguida, partem Júnior e Daniel (80 e 90) e volta Renato (65).E por último, novamente partem Renato e Samuel (65 e 70).Totalizando: 70 + 70 + 90 + 65 + 70 = 365 minutos. 5 horas = 300 minutos.Logo, excede 65 minutos.

RESPOSTA: 65.

A6. SOLUÇÃO: A área do segmento circular será a área de um setor de 90 graus subtraído da área de um triangulo retângulo isósceles de catetos iguais a r, sendo assim teremos:

Area do segmento = Area do setor – área do triangulo =

Agora se queremos a porcentagem dessa área em relação a área total basta fazer uma regra de três simples da forma: - 100%

– x%

De tal forma que x 9%.

RESPOSTA: 09.

A7. SOLUÇÃO: Suponhamos que após o carro percorrer x km seja feita a troca, e a partir daí o carro rode mais y km. Para que a distância seja máxima, o percentual de gasto deve ser de 100%. Logo x/30 + y/50 = 1.Após a troca:

x/50 + y/30 = 1 Resolvendo o sistema: x = y = 300/16 mil kmDistância máxima N = x+y = 600/16 = 37,5mil kmSoma dos dígitos: 3 + 7 + 5 = 15.

RESPOSTA: 15.

A8. SOLUÇÃO: Se vai ocorrer um aumento de 4% temos um valor multiplicativo de 1,04 e assim teremos que o artigo depois desse aumento, ou seja, depois de multiplicado por 1,04 passara a ser um valor inteiro, sendo assim basta descobrir qual o valor que transforma 1,04 em um número inteiro, sendo assim teremos:Fatorando 104 teremos que 104 =

Sendo assim para transformar numa potência de 10 basta multiplicar por , teremos assim que o capital necessário para

que depois de um aumento de 4% seja um valor inteiro, seja um múltiplo de e a menor quantia será de 12,5 pois 1,25.10,4 = 1,3 não é inteiro. E 12,5.1,04 = 13

RESPOSTA: 12,50.

A9. SOLUÇÃO: Tempo gasto em SP: x minutos.Tempo gasto em EP: y minutos.Como são 3 horas de duração, x + y = 3.E y = 6 – 3x. Resolvendo o sistema:x = y = 1,5 hora = 90 minutos.

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RESPOSTA: 90.

A10. SOLUÇÃO: Sejam “j”, “m” e “a” as quantidades que cada um tinha, de acordo com a questão temos que:1) j + m + a = 1000002) (100% + 10%).a = (100% + 10%) (10000 + 2j) a = 10000 + 2j3) a = j + m Sendo assim teremos que por 1 e 3j + m + a = 100000a + a = 100000, logo a = 50000 e assim por 2 temos que j = 20000E por 1 de novo temos que m = 30000Se queremos o capital de João “j”, sabemos que esse vale R$ 20.0000,00.

RESPOSTA: LETRA A.

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