problemas resolvidos - beer johnston-cap.15

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1

15.4 Beer Johnston - 5 edio Uma pequena roda de esmeril esta presa ao eixo de um motor eltrico cuja velocidade nominal de 1800rpm. Quando se liga o motor, o conjunto alcana a velocidade de regime aps 5s; Quando se desliga o motor, o sistema leva 90s at parar. Admitindo que o momento uniformemente acelerado/retardado, calcule o nmero de revolues do motor (a) para alcanar a velocidade nominal (b) at parar, depois de desligado.Dado:

NOMINAL=1800rpm = 30rps=CTE > 0! =CTE < 0!

o = 0; f=30rps; ti=5s} Ao Desligar: o = 30rps; f=0; tf=90s}Ao ligar:

Soluo:a) N REV=?

=?

Para f=30rps , aps ligar:

= (+ o)t = (30 + 0).5 =75 REVOLUESb) N REV=?

=?

Para f=0, aps desligar:

= (+ o)t = (0 + 30).90 =1350 REVOLUES

2

15.5 Beer Johnston - 5 edioy

A B O D z 300mm C 120mm x

200mm

Precisamos obter o vetor velocidade angular da haste dobrada. Sabemos que a rotao acontece em um eixo que passa nos pontos A e D. O vetor posio rAD pode ser obtido do seguinte modo:

rAD = 0,3i 0,2j 0,12k; |rAD| = 0,38mPrecisamos obter um vetor unitrio na direo de rAD; chamaremos este vetor unitrio de AD (| AD|=1).

AD = rAD/ rAD = (0,3i 0,2j 0.12k)/0,38 AD = 0,789i 0,526j 0,315kEnto podemos escrever:

= AD = (95 rad/s)(0,789i 0,526j 0,315k) = (75i 50j 30k)rad/s = 0Ento vB = ?; Podemos escrever: ( rA/B = 0,3i )

vB = x rA/B vB = i j k 75 -50 -30 0,3 0 0

vB = - 9j + 15k

3

vB = - (9m/s)j + (15m/s)kAgora aB = ?

aB = x rA/B + x ( x rA/B) como x rA/B = 0 e x rA/B = vB, ento: aB = x vB aB = i j k 75 -50 -30 0 -9 15

aB = - (1020m/s2)i (1125m/s2)j (675m/s2)k

4

15.13 Beer Johnston - 5 edio Dados: r = 0,18 m ; vA = 0,45 m/s ; aA = 0,1315 m/s Queremos saber: a) polia

= ? polia = ? ; b) (atotal)B = ?

a) vA = vB =

polia

. rpolia =>

polia

= 0,45/0,18 => polia = 2,5 rad/s sentido anti-horrio

aA = (aB)T = 0,315 m/s (aB)T = polia . rpolia => polia = (aB)T / rpolia = 0,315/0,18 => polia = 1,75 rad/s sentido horrio (aB)N = polia . rpolia = (2,5) . 0,18 => (aB)N = 1,125 m/s b)Acelerao total do ponto B: (aB)T atotal = (0,315) + (1,125)

atotal = 1,168 m/s = tg-1 (aB)N / (aB)T => = 74,357 (aB)N atotal

5

15.15 Beer Johnston - 5 edio Deslizamento: Dados: o=0 = 4 rad/s2 r = 200 mm = 0,2 m t = ? (p/ deslizar) = ? (ao deslizar) Soluo: (atotal) 2 = (at) 2 + (an) 2 at : acelerao tangencial an : acelerao normal Sabemos que: at : r e: e an = 2

atotal = 3 m/s2

r

= o+ t= t

( o = 0)

Fazendo substituies nas expresses acima: 9 = ( r) 2 + [( t) ou seja: 9 = (0,2 x 4) 2 [1 + 4 2 t 4 ] t 4 = 0,816 Finalmente: t = 0,950 s2

r]

2

= (r ) 2 [1 +

2

t4 ]

= t = 4 x 0,95

= 3,8 rad/s

6

15.40 Beer Johnston - 5 edio b=?

Dados: a = 60RPM ra = 150mm = 0,15m vc = wa.ra = 60Rpm x 0,15 Brao gira no sentido anti-horrio com velocidade angular ab = 40RPM a) P/ BRAO

rab = 0,15m + 0,125m rab = 0,275m a velocidade tangencial de B : Vb = ab.rab = 40RPM x 0,275m Mas a engrenagem B realiza um movimento Plano geral que pode ser considerado uma translao mais uma rotao, conforme esquema abaixo: P/ Engrenagem B

=

+

7 Onde: Vc = 60RPM x 0,15m ; Vb = 40RPM x 0,275m ; Vc/b = 0,125 b Mas: , pela figura vemos que todas as velocidades so colineares ; Logo: esto no mesmo sentido eb

so opostas!

Vc= - Vb + Vc/b 60 x 0,15 = -40 x 0,275 + 0,125

b = (9 + 11)/0,125 = 160 RPMb) Brao gira no sentido horrio: ab

= 40RPM

60 x 0,15 = 40 x 0,275 0,125 b = (9-11)/-0,125 = 16RPM

b

8

15.45 Beer Johnston - 5 edio

Dados: = 750 RPM = 78,54 rad/s a) = 0 Primeiro obtemos VB; VB = b. = 0,0762 x 78,54 VB = 5,98 m/s Mas temos que:

Onde VD/B = l.

BD

= 0,254

BD

Tambm temos: VD = VB + VD/B [VD ] = [5,98 m/s ] + [0,254

Que pode ser escrita:BD

]

Obtemos para direo horizontal da expresso acima: VD = 0 logo VD = VP = 0 (VP = Velocidade do pisto) (considerando positivo para cima)

Obtemos para direo vertical : 0 = 5,98 m/s 0,254 Ou seja: BD BD

= 23,56 rad/s = 225 rpm = wBD

b) = 90

9

VD = VB + VD/B [VD ] = [5,98 m/s ] + [0,254 BD ] Para a direo vertical, sendo positivo para baixo, obtemos: 0 = 0 + 0,254 BD

cos ; logo

BD

=0

Para a direo horizontal sendo positivo para a direita VD = VP = 5,98 m/s c) = 180

VB = 5,98 m/s

Podemos escrever: VD = VB + VD/B Ou seja: [VD ] = [5,98 m/s ] + [0,254 BD

]

Sendo positivo para a direita na direo horizontal: VD = 0 . Logo: VD = VP = 0

Considerando positivo para baixo na direo vertical: 0 = 5,98 m/s - 0,254 Logo: BD BD

= 23,55 rad/s = 225 rpm

10

15.56 Beer Johnston - 5 edio

= 5 rad/s

VD = 0,610 m/s O Centro de Rotao C est localizado sobre a linha DE e perpendicular VD em um ponto r, tal que:

a) r = ?

r = VD

= 0,610 . = 0,0765 m 8

r = 0,0765 m

b) VE = ?

VE = rCE = (0,127 0,0765) . 8 = 0,406 m/s VE = 0,406 m/s

11

15.57 Beer Johnston - 5 edio Um tambor de 90 mm de raio est montado num cilindro de 120 mm de raio. A extremidade D da corda enrolada no tambor avana para a esquerda a uma velocidade constante de 150 mm/s, fazendo o cilindro rolar sem escorregar. Determine: a-) a velocidade angular do cilindro b-) a velocidade do centro do cilindro c-) o comprimento da corda que se desenrola em um segundo.

Resoluo: Uma vez que o cilindro no deslize, o ponto o ponto de contato C estar em repouso instantneo, logo: v(c) = 0. O Ponto C o centro instantneo de rotao. a-) = ? v(d) = v(b) = 0,15 m/s v(b) = r (bc). = 5 rad/s , sentido horrio b-) v(a) = ? v(a) = r(ca). = 0,12 x 5 v(a) = 0,6 m/s c-) J que v(a) > v(b) o tambor consegue enrolar a corda e a taxa na qual a corda enrolada : v(a) v(b) = 0,6 m/s 0,15 m/s = 0,45 m/s Taxa da corda enrolada por segundo 0,45 m/s.

12

15.61 Beer Johnston - 5 edioSabendo-se que a velocidade do cursos D 1,22 m/s para cima, determine para a configurao mostrada na figura (a) o centro instantneo de rotao de BD, (b) as velocidades angulares da manivela AB e da haste BD e (c) a velocidade do ponto mdio BD.A

0,127 m

B

0,229 m

D

0,305 m

A

VB

B l VD D

C

a) Sabendo que a velocidade do ponto D para cima na vertical e que nesse mesmo instante a velocidade do ponto B para a esquerda na horizontal, ento pode-se achar o centro instantneo C traando nas direes perpendiculares a estas velocidades duas retas que se interceptaro a 0,305 m esquerda do ponto D e a 0,229 m abaixo do ponto B. b) Para obter as velocidades angulares da manivela e da haste, primeiramente calculam-se: sin = 1 0, 229 sin = 0,381 e l = (0, 229)2 + (0,305) 2 0,305 sin = 0,381 Logo, pelo tringulo das velocidades sabemos que

13 vD B vD v = = B sin sin sin sin sin 0,381 0, 229

vD B = vD .

vD B = 1, 22 1 vD B = 2, 03 m s

BD =

vD B l

BD = 5,33 rad s

14 Assim, por analogia encontramos tambm a velocidade angular da manivela: vD B vD v = = B sin sin sin sin sin 0,305 0,381 vB = 1, 22 0,381 0, 229 vB = 1, 62 m s vB = vD .

AB =

vB AB

AB = 12, 79 rad s

c) a velocidade do ponto mdio de BD

BE = BDvE B = BE .BE vE B = 5,33 vE B = 1, 02 m 0,381 2 s

15

15.63 Beer Johnston - 5 edioPor meio de um rolamento D guia-se parcialmente uma haste BDE, ao longo de um trilho vertical. Sabendo que a velocidade angular da manivela AB de 5 rad/s, no sentido horrio, e que = 30, determine (a) a velocidade angular da haste e (b) a velocidade do ponto E, para a configurao mostrada no desenho.

AB

= 5 rad/sBE

= 30

rBE = 0,7m

a)

=?

O eixo instantneo est no ponto C vB = AB

. rBE = 5 x 0,12

vB = 0,6 m/s

O ponto B gira instantaneamente em torno do centro instantneo de rotao C com velocidade igual a para a varra e tambm para o ponto D. Temos: vB = BE

. rAB ; rBC = 0,25 m

sen 30 = rBC = 0,5 rBD

BE

= vB = 0,6 . rBC 0,25

BE

= 2,4 rad/s

16 b) vE = ? vE = vB + vE/B = vB +

K x rE/B

y rE/B vE/B 30 x vB rE/B = (rE/B)x i + (rE/B)y j (rE/B)x = rE/B . cos 30 = 0,602 (rE/B)y = rE/B . sen 30 = 0,35 rE/B = 0,602 i + 0,35 j vE = 0,6 i + 2,4 K x ( 0,602 i + 0,35 j ) = - 0,24 i + 1,4448 j vE = 1,46 m/s vE

17

15.64 Beer Johnston - 5 edioPor meio de um rolamento D guia-se parcialmente uma haste BDE, ao longo de um trilho vertical. Sabendo que a velocidade angular da manivela AB de 5 rads/s, no sentido horrio, e que = 40, determine (a) a velocidade angular da haste e (b) a velocidade do ponto E, para a configurao mostrada no desenho.

AB

= 5 rad/sBE

= 40

rBE = 0,7m

a)

=?

O eixo instantneo est no ponto C vB = AB

. rBE = 5 x 0,12

vB = 0,6 m/s

O ponto B gira instantaneamente em torno do centro instantneo de rotao C com velocidade igual a para a varra e tambm para o ponto D. Temos: vB = BE

. rAB ; rBC = 0,3214

sen 40 = rBC = 0,6428 rBD

BE

= vB = 0,6 . rBC 0,3214

BE

= 1,867 rad/s

18 b) vE = ? vE = vB + vE/B = vB +

K x rE/B

y rE/B vE/B 40 x vB rE/B = (rE/B)x i + (rE/B)y j (rE/B)x = rE/B . cos 40 = 0,536 (rE/B)y = rE/B . sen 40 = 0,45 rE/B = 0,536 i + 0,45 j vE = 0,6 i + 1,867K x ( 0,536 i + 0,45 j ) = - 0,24 i + 1,0007 j vE = 1,029 m/s vE

Revisado em 14/04/2009