exercícios resolvidos stewart cap 01.pdf

8/17/2019 Exercícios Resolvidos Stewart Cap 01.pdf

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SEÇÃO 1.1 QUATRO MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO 1

1-4 Determine se a curva é o gráfico de uma função de x. Se for,

determine o domínio e a imagem da função.

1.

2.

3. 4.

5. As leituras de temperatura T (em °F) foram registradas a cada

duas horas da meia-noite ao meio-dia em Atlanta, Geórgia, em

18 de março de 1996. O tempo foi medido em horas a partir

da meia-noite.

t 0 2 4 6 8 10 12

T 58 57 53 50 51 57 61

(a) Use os registros para esboçar o gráfico de T como uma

função de t.

(b) Use seu gráfico para estimar a temperatura às 11 horas da

manhã.

6. A população P (em milhares) de San Jose, Califórnia, de 1984

a 1994 é mostrada na tabela. (As estimativas são fornecidas

para meados do ano.)

t 1984 1986 1988 1990 1992 1994

P 695 716 733 782 800 817

(a) Desenhe um gráfico de P como uma função de tempo.

(b) Use o gráfico para estimar a população em 1991.

7. Se f ( x) = 2 x2 + 3 x – 4, encontre f (0), f (2), f ( 2), f (1 + 2),

f (– x), f ( x + 1), 2 f ( x) e f (2 x).

8. Se g( x) = x³ + 2 x2 – 3, encontre g(0), g(3), g(– x) e g(1 + h).

9-17 Encontre o domínio da função.

9. 2

2( ) 1

+= -

x f x x 10.

4

2( ) 6= + -

x f x x x

11.4 2

( ) 6= - g x x x 12.4( ) 7 3= -h x x

13.3( ) 1= - f t t 14.

2( ) 2 8 g x x x= - -

15. ( )fp

=-

x x

x 16.

22

( )1

f -

=-

x x x

x

17.2

( ) 1= + f t t

18-36 Encontre o domínio e esboce o gráfico da função.

18. ( ) 3 2= - f x x 19.2

( ) 2 1= + - f x x x

20. ( ) = - g x x 21. ( ) 6 2= - g x x

22.2

( ) 4= -h x x 23.1

( ) = F x x

24. ( )G x x x= + 25. ( )G x x x= -

26. ( ) 2 H x x= 27. ( ) / f x x x=

28. ( ) 2 3 H x x= - 29.

2 1( )

1

-=

-

x f x

x

30.

25 6

( )2

+ +=

+

x x f x

x

31.0 se 2

( )1 se 2

ì <ïï= íï ³ïî

x f x

x

32.

1 se 1

( ) 1 se 1 1

1 se 1

ì- < -ïïïï= - £ £íïïï- >ïî

x

f x x

x

33.

1 se 1

( ) se 1 11 se 1

ì- < -ïïïï

= - £ £íïïï >ïî

x

f x x x x

34.se 1

( )1 se 1

x x f x

x

ìï £ïï= íï >ïïî

35.

21 se 2( )

2 7 se 2

ìï - £ï= íï - >ïî

x x f x

x x

36.

se 0

( ) se 0 2

2 se 2

ìï - £ïïï= £ £íïïï - >ïî

x x

f x x x

x x

1 . 1 QUATRO MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp

x

2

3

y

–2

2 3 –3 0

–3

x

2

y

30

x

1

y

10 x

1

y

10




1. Sim, [–3, 2], [–2, 2] 2. Não

3. Não 4. Sim, [–3, 2], {–2} È (0, 3]

5. (a) T

0 t 2 4 6 8 1 0 12

50

60

52

(b) 59 ºF

6. (a)

820

800

780

760

740

720

700

P

1986 1988 1990 1992 1994 t 19 84

(b) 791 000

7.2 2

2 24, 10, 3 2 , 5 7 2, 2 3 4, 2 7 1,

4 6 8, 8 6 4

x x x x

x x x x

- + - - + +

+ - + -

8.3 2 3 23, 42, 2 3, 5 7- - + - + + x x h h h

9. { 1} ( , 1) ( 1, 1) (1, ) x x ¹ = -¥ - È - È ¥

10. ( ] [ ] [ ){ 3, 2} , 3 3, 2 2, x x ¹ - = -¥ - È - È ¥

11. { 0 ou 6} ( , 0] [6, ) x x x£ ³ = -¥ È ¥

12. ( 7

3, ù-¥ úû

13. ( , )-¥ ¥ 14. ( ] [ ), 2 4,-¥ - È ¥

15. [ )0, p 16. [ ) [ )0, 1 2,È ¥ 17. ( , )-¥ ¥

18. ( , )-¥ ¥

x

3

y

0

19. ( , )-¥ ¥ y

0 x

1, 2

20. ( ], 0-¥

0 x

y

21. ( ], 3-¥ y

0 x3

22. ( ] [ ), 2 2,-¥ - È ¥ y

0 x22

y x y x

23. { 0} x x ¹

x

y

0

24. ( , )-¥ ¥

x0

y

25. ( , )-¥ ¥ y

0 x

26. ( , )-¥ ¥

27. ( ], 0 (0, )-¥ È ¥

1

x

1

y

0

28. ( , )-¥ ¥ y

0 x3

2

1 . 1 RESPOSTAS



2 SEÇÃO 1.1 QUATRO MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO

29. ( ], 1 (1, )-¥ È ¥

1 x

y

0

30. ( , 2) ( 2, )-¥ - È - ¥

31. ( , )-¥ ¥

2 x

1

y

0

32. ( , )-¥ ¥ y

0 x1 1

33. ( , )-¥ ¥

1 x

1

y

1

10

34. ( , )-¥ ¥ y

0 x1 1

35. ( , )-¥ ¥

y

0 x2

36. ( , )-¥ ¥ y

0 x2




1. Sim, a curva é o gráfico de uma função porque passa no Teste

da Reta Vertical. O domínio é [−3, 2] e a imagem é [−2, 2].

2. Não, a curva não é o gráfico de uma função porque uma reta

vertical intercepta a curva mais de uma vez e, portanto, a

curva não passa no Teste da Reta Vertical.

3. Não, a curva não é o gráfico de uma função, uma vez que para

x = −1 há infinitos pontos sobre a curva.

4. Sim, a curva é o gráfico de uma função com domínio [−3, 2] e

imagem {−2} È (0, 3].

5. (a)

(b) T (11) » 59 °F

6.

(a)

(b) P (1 991) » 791 000 pessoas

7.

2 2

2

2

2

2 2

2

2

( ) 2 3 4, então (0) 2(0) 3(0) 4 4,

(2) 2(2) 3(2) 4 10,

( 2) 2( 2) 3( 2) 4 3 2,

(1 2) 2(1 2) 3(1 2) 4

2(1 2 2 2) 3 3 2 4

5 7 2

( ) 2( ) 3( ) 4 2 3 4,

( 1) 2( 1) 3( 1) 4

2( 2 1) 3 3 4

f x x x f

f

f

f

f x x x x x

f x x x

x x x

= + - = + - =-

= + - =

= + - =

+ = + + + -

= + + + + -

= +

- = - + - - = - -

+ = + + + -

= + + + + -2

2 2

2

2

2

2 7 1

2 ( ) 2(2 3 4) 4 6 8 e

(2 ) 2(2 ) 3(2 ) 4

2(4 ) 6 4

8 6 4.

x x

f x x x x x

f x x x

x x

x x

= + +

= + - = + -

= + -

= + -

= + -

8. 3 2 3 2

3 2

3 2 3 2

3 2 3 2

( ) 2 3, então (0) 0 2(0) 3 3,

(3) 3 2(3) 3 42,

( ) ( ) 2( ) 3 2 3 e

(1 ) (1 ) 2(1 ) 3 5 7 .

g x x x g

g

g x x x x x

g h h h h h h

= + - = + - = -

= + - =

- = - + - - = - + -

+ = + + + - = + +

9.

2

2( )

1

+=

-

x f x

x está definida para todo x exceto quando

x2 – 1 = 0 x = 1 ou x = –1, logo, o domínio é { x ½ x ¹ 1}.

10. f ( x) = x4/( x2 + x – 6) está definida para todo x exceto quando

0 = x2 + x − 6 = ( x + 3) ( x − 2) x = −3 ou 2, logo, o

domínio é { x ½ x ¹ −3, 2}.

11. 4 2( ) 6= - g x x x está definida quando 0 £ x2 − 6 x =

x ( x − 6) x ³ 6 ou x £ 0, logo o domínio é (−¥, 0]È [6,¥).

12.

4

( ) 7 3= -h x x está definida quando 7−

3 x ³ 0 ou

7

3£ x ,logo o domínio é ( 7

3, ù-¥ úû .

13. 3( ) 1= - f t t está definida para todo t , uma vez que todo

número real tem uma raiz cúbica. O domínio é o conjunto de

todos os números reais, .

14.

2( ) 2 8= - - g x x x está definida quando 0 £ x2 − 2 x − 8 =

( x − 4) ( x + 2) x ³ 4 ou x £ −2, logo, o domínio é

(−¥, −2] È [4, ¥).

15. ( )fp

=-

x x

x está definida quando 0

p³

-

x

x. Portanto,

tanto x £ 0 e p − x < 0 ( x > p), o que é impossível, quanto x ³ 0 e p − x > 0 ( x < p) e, assim, o domínio é [0, p).

16.

2 2( )

1f

-=

-

x x x

x está definida quando

2 2 ( 2)0

1 1

- -£ =

- -

x x x x

x x. Construindo uma tabela:

Intervalo x x − 1 x − 2 x ( x − 2)/( x − 1)

x < 0 − − − −

0 < x < 1 + − − +

1 < x < 2 + + − −

x > 2 + + + +

Logo, o domínio é [0, 1) È [2, ¥).

17. 2( ) 1= + f t t está definida para todo t , uma vez que t 2 + 1

sempre é positivo. O domínio é o conjunto de todos os núme-

ros reais.

18. f ( x) = 3 − 2 x. O domínio é

1 . 1 SOLUÇÕES



2 SEÇÃO 1.1 QUATRO MANEIRAS DE REPRESENTAR UMA FUNÇÃO

19. f ( x)= x2 + 2 x − 1= ( x2 + 2 x + 1) −2 = ( x + 1)2 −2, logo, o

gráfico é uma parábola com vértice em (−1, −2). O domínio é .

20. ( ) .= - g x x O domínio é { x ½ − x ³ 0} = (−¥, 0].

21. ( ) 6 2 .= - g x x O domínio é { x ½ 6 − 2 x ³ 0} = (−¥, 3].

22.

2

( ) 4.= -h x x Agora2 2 2 2 24 4 4= - = - - = y x y x x y , portanto o

gráfico é a metade superior de uma hipérbole. O domínio é

{ x ½ x2 − 4 ³ 0} = (−¥, −2] È [2, ¥).

23. 1

( ) = F x x. O domínio é { x ½ x ¹ 0}.

24. se 0

( ) . Uma vez que , temos se 0

se 0 2 se 0( ) se 0 0 se 0

x xG x x x x

x x

x x x x xG x x x x x

ì ³ïï= + = íï- <ïî

ì ì+ ³ ³ï ïï ï= =í íï ï- + < <ï ïî î

O domínio é . Observe que o semieixo x negativo é uma

parte do gráfico de G.

25.

0 se 0( )

2 se 0

xG x x x

x x

ì ³ïï= - = íï- <ïî

.

O domínio é .

26. 2 se 2 0 2 se 0

( ) 22 se 2 0 2 se 0

x x x x H x x

x x x x

ì ì³ ³ï ïï ï= = =í íï ï- < - <ï ïî î

.

O domínio é .

27. / se 0 1 se 0

( )/( ) se 0 1 se 0

x x x x x f x

x x x x x

ì ü ì> >ï ï ïï ï ï= = =í ý íï ï ï- < - <ï ï ïî þ î

.

Observe que não usamos x ³ 0, porque x ¹ 0. Portanto, o

domínio de f é { x ½ x ¹ 0}.

28.

3

2

3

2

2 3 se( ) 2 3

3 2 se

x x H x x

x x

ìï - ³ïï= - = íï - ³ïïî

O domínio é .




29.

2 1 ( 1)( 1)( ) ,

1 1

- + -= =

- -

x x x f x

x x logo, para x ¹ 1,

f ( x) = x + 1. O domínio é { x ½ x ¹ 1}.

30. 2 5 6 ( 3)( 2)

( ) ,2 2

+ + + += =

+ +

x x x x f x

x x logo, para x ¹ −2,

f ( x) = x + 3. O domínio é { x ½ x ¹ −2}. O buraco no gráfico

pode ser encontrado pelo uso da função simplificada,

h ( x) = x + 3. h (−2) = 1 indica que o buraco possui as

coordenadas (−2, 1).

31. 0 se 2

( )

1 se 2

x f x

x

ì <ïï= íï ³ïî

. O domínio é .

32. 1 se 1 1

( )1 se 1 ou 1

x f x

x x

ì - £ £ïï= íï- > < -ïî

.

O domínio é .

33.

1 se 1

( ) se 1 1

1 se 1

x

f x x x

x

ì- < -ïïïï= - £ £íïïï >ïî

.

O domínio é .

34. se 1 1

( )1 se 1 ou 1

x x f x

x x

ìï - £ £ï= íï > < -ïî

.

O domínio é .

35. 21 se 2

( )2 7 se 2

ìï - £ï= íï - >ïî

x x f x

x x

O domínio é .

36.

se 0

( ) se 0 2

2 se 2

x x

f x x x

x x

ìï - <ïïï= £ £íïïï - >ïî

.

O domínio é .



SEÇÃO 1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UMA LISTA DE FUNÇÕES ESSENCIAIS 1

12 Associe cada equação a seu gráfico. Explique sua escolha.

(Não use computador ou calculadora gráfica.)

1. (a) y = x8 (b) y = log8 x (c) y = 2 + sen 2 x

y

x

h1

0 2

f

g

2. (a) y = x7 (b) y = 7 x

(c) y = –1/ x (d) 42= - y x

y

x

f

g

F

0

1

1

G

1.2 MODELOS MATEMÁTICOS: UMA LISTA DE FUNÇÕES ESSENCIAIS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp




1. (a) g (b) h (c) f

2. (a) G (b) F (c) g (d) f

1.2 RESPOSTAS




1. (a) O gráfico de y = x8 deve ser o gráfico rotulado g, porque

g é o gráfico de uma função potência de grau par, como

mostrado na Figura 12.

(b) O gráfico de y = log8 x deve ser o gráfico rotulado h,

porque h é um gráfico semelhante aos gráficos de funções

logarítmicas mostrados na Figura 21.

(c) O gráfico de y = 2 + sen 2 x deve ser o gráfico rotulado f ,

porque f é o gráfico de uma função periódica.

2.

(a) O gráfico de y = x7 deve ser o gráfico rotulado G, porque

G passa pela origem.

(b) O gráfico de y = 7 x deve ser o gráfico rotulado F , porque F

parece ser uma função exponencial que intercepta o eixo y

em 1, é crescente e possui assíntota horizontal y = 0.

(c) O gráfico de y = –1/ x deve ser o gráfico rotulado g, por-

que g tem uma assíntota vertical em x = 0.

(d) O gráfico de 42= - y x deve ser o gráfico rotulado f ,

porque f tem domínio [2,¥).

1.2 SOLUÇÕES



SEÇÃO 1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECI DAS 1

1-16 Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas

começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na

Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.

1. 1/= - y x 2. 2 cos= - y x

3. tg 2 y x= 4. 3 2= + y x

5. cos( / 2)= y x 6.2 2 3= + + y x x

7.1

3=

- y

x 8. 2 sen p= - y x

9.1

sen3 6

pæ ö÷ç= - ÷ç ÷÷çè ø y x 10.

12

1= +

+ y

x

11.2

1 2= + - y x x 12.1

24 3= + - y x

13. 2 1= - + y x 14.3( 1) 2= - + y x

15. 1 y x= - 16. cos y x=

17-23 Encontre as funções f g, g f , f f e g f e seus domínios.

17.

2

( ) 1, ( )= - = f x x g x x

18.3

( ) 1/ , ( ) 2= = + f x x g x x x

19.1 1

( ) , ( )1 1

-= =

- +

x f x g x

x x

20.2( ) 1, ( ) 1= - = - f x x g x x

21.3( ) , ( ) 1= = - f x x g x x

22.2

( ) , ( )2 1 2

+= =

+ -

x x f x g x

x x

23. 21( ) , ( ) 4= = - f x g x x x x

24-27 Encontre f g h.

24. ( ) 1, ( ) , ( ) 1= - = = - f x x g x x h x x

25.3 21

( ) , ( ) , ( ) 2= = = + f x g x x h x x x

26.4( ) 1, ( ) 5, ( )= + = - = f x x g x x h x x

27.3( ) , ( ) , ( )

1

= = =

-

x f x x g x h x x

x

1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHEC IDAS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp

28-29 Expresse a função na forma f g.

28. F ( x) = ( x – 9)5 29. u(t ) = tg p t

30. Suponha que sejam dados os gráficos de f e g, como na figura,

e queremos encontrar o ponto no gráfico de h = f g que cor-

responde a x = a. Começamos no ponto (a, 0) e desenhamos

uma reta vertical que intercepta o gráfico de g no ponto P.

Então desenhamos uma reta horizontal de P ao ponto Q na reta

y = x.

(a) Quais são as coordenadas de P e de Q?

(b) Se desenharmos agora uma reta vertical de Q ao ponto Rno gráfico de f , quais são as coordenadas de R?

(c) Se desenharmos uma reta horizontal de R ao ponto S na

reta x = a, mostre que S encontra-se no gráfico de h.

(d) Ao realizar a construção do caminho PQRS para diversos

valores de a, esboce o gráfico de h.

0

y

x

x = a

a

f

R S

y = x

g

QP

31. Se f é a função cujo gráfico é mostrado, utilize o método do

Exercício 30 para esboçar o gráfico de f f . Comece usando a

construção para a = 0, 0,5, 1, 1,5 e 2. Esboce um gráfico para

0 £ x £ 2. Então, utilize o resultado do Exercício 66 na Seção

1.3 para completar o gráfico.

y

x102

1




1. y

x0

y1 x

2.

3.

x

5

y

5

0

2

tg

4.

5.

x

1

1

y

0 2 3

cos

6.

7.

3 x

0

y

x 3 –

8. y = –2 sen

9.

x

y

3

3

6

66

3 y = sen

6

10.

11.

0 x

y

(1, 2)

y = 1 + 2 x – x2

12.

13.

3

x1

y

0

(1, 2) y = 2 – x + 1

14.

15. y

x01 1

16.

17. 2 2

4

( )( ) ( ) 1, ( , 1] [1, )

( )( ) 1, [1, )

( )( ) 1 1, [2, )

( )( ) , ( , )

f g x f x x

g f x x

f f x x

g g x x

= = - -¥ - È ¥

= - ¥

= - - ¥

= -¥ ¥

1.3 RESPOSTAS



2 SEÇÃO 1.3 NOVAS FUNÇÕES A PARTIR DE CONHECIDAS

18.3

3

9 7 5 3

( )( ) 1/( 2 ), { 0}

( )( ) 1/ 2/ , { 0}( )( ) , { 0}

( )( ) 6 12 10 4 , ( , )

f g x x x x x

g f x x x x x f f x x x x

g g x x x x x x

= + ¹

= + ¹

= ¹

= + + + + -¥ ¥

19.1

( )( ) , { 1}2

2( )( ) , { 0, 1}

1( )( ) , { 1, 2}

2

1( )( ) , { 0, 1}

x f g x x x

x g f x x x

x

x f f x x x

x

g g x x x x

- -= ¹ -

-= ¹

-= ¹

-

= - ¹ -

20.

( )

2

2

( )( ) , ( , 0]

( )( ) 1 1, 2, 1 1, 2

( )( ) 2, , 2 2,

( )( ) 1 1 , [0, 1]

f g x x

g f x x

f f x x

g g x x

= - -¥

é ù é ù= - - - - Èê ú ê úë û ë û

ù é= - -¥ - È ¥ú êû ë

= - -

21.3

6

9

( )( ) 1 , [0, ])

( )( ) 1 , [0, )

( )( ) , ( , )

( )( ) 1 1 , [0, 1]

f g x x

g f x x

f f x x

g g x x

= - ¥

= - ¥

= -¥ ¥

= - -

22. { }

{ }

{ }

{ }

23

12

51

2 4

3 4( )( ) , 2,

3 2

2( )( ) , 0,

3

5 4( )( ) , ,

4 5

( )( ) , 2, 44

x f g x x x

x

x g f x x x

x

x f f x x x

x

x g g x x x

x

-= ¹

-

- -= ¹ -

+= ¹ - -

+

= ¹-

23.2

1/ 4

4 3 2

( )( ) 1/ 4 , ( , 0) (4, )

1 4( )( ) , (0, )

( )( ) , (0, )

( )( ) 8 12 16 , ( , )

f g x x x

g f x x x

f f x x

g g x x x x x

= - -¥ È ¥

= - ¥

= ¥

= - + + -¥ ¥

24. ( )( ) 1 1= - - f g h x x

25.2 3( )( ) 1/( 2)= + f g h x x

26. ( )4

( )( ) 5 1= - + f g h x x

27.

3

3( )( )

1=

-

x f g h x

x

28.5

( ) 9, ( )= - = g x x f x x

29. ( ) , ( ) tg= = g t t f t t p

30. (a) P(a, g(a)), Q(g(a), g(a)) (b) (g(a), f (g(a)))

(d)

x1 x

2 a x

3 x

4 x

y

0

f

gh

y = x

y = f (g( x))

PQ

R

S

31.

0 0,5 1 1,5




1. y = −1/ x: Comece com o gráfico de y = 1/ x e reflita-o em

torno do eixo x.

y y

2. y = 2 − cos x: Comece com o gráfico de y = cos x, reflita-o

em torno do eixo x e, em seguida, desloque 2 unidades para

cima.

3. y = tg 2 x: Comece com o gráfico de y = tg x e comprima-o

horizontalmente por um fator de 2.

tg

tg

4. 3 2 := + y x Comece com o gráfico de 3= y x e desloque-o

2 unidades para a esquerda.

5. y = cos( x/2): Comece com o gráfico de y = cos x e expanda-o

horizontalmente por um fator de 2.

6. y = x2 + 2 x + 3 = ( x2 + 2 x + 1) + 2 = ( x + 1)2 + 2: Come-

ce com o gráfico de y = x2, desloque-o uma unidade para a

esquerda e, em seguida, desloque 2 unidades para cima.

7. 1

3=

- y

x: Comece com o gráfico de y = 1/ x e desloque-o

3 unidades para a direita.

8. y = −2 sen p x: Comece com o gráfico de y = sen x, compri-

ma-o horizontalmente por um fator de p, expanda-o vertical-

mente por um fator de 2, e então reflita em torno do o eixo x.

y = sen x

1.3 SOLUÇÕES




9. ( )13 6

sen p= - y x : Comece com o gráfico de y = sen x,

desloque-o 6

p

unidades para a direita e, em seguida, compri-ma verticalmente por um fator de 3.

sen x sen

sen

10. 1

21

= ++

y x

: Comece com o gráfico de y = 1/ x, desloque-o

1 unidade para a esquerda e, em seguida, 2 unidades para cima.

11. y = 1 + 2 x − x2 = − x2 + 2 x + 1 = − ( x2 − 2 x + 1) + 1 + 1

= − ( x − 1)2 + 2: Comece com o gráfico de y = x2, desloque-

-o 1 unidade para a direita, reflita em torno do eixo x e, em

seguida, desloque 2 unidades para cima.

12. 1

24 3= + - y x : Comece com o gráfico de = y x , deslo-

que-o 4 unidades para a direita comprimindo verticalmente por

um fator de 2 e, em seguida, desloque 3 unidades para baixo.

13. 2 1= - + y x : Comece com o gráfico de = y x , reflita-o

em torno do eixo x, desloque 1 unidade para a esquerda e, em

seguida, 2 unidades para cima.

14. y = ( x − 1)3 + 2: Comece com o gráfico de y = x3, desloque-

-o 1 unidade para a esquerda e, em seguida, 2 unidades para

cima.




15. y = ½½ x½ − 1½: Comece com o gráfico de y = ½ x½, desloque-o

1 unidade para baixo e, em seguida, reflita a parte do gráfico de

x = −1 a x = 1 em torno do eixo x.

16. y = ½cos x½: Comece com o gráfico de y = cos x e reflita as

partes do gráfico que se encontram abaixo do eixo x em torno

do eixo x.

17.

( )

( )

( )

2

2 2

2

( ) 1, [1, ); ( ) , .

( ) ( ) ( ( )) ( ) 1,

{ ( ) [1, )} ( , 1] [1, ).

( )( ) ( ( )) 1

1 1, [1, ).

( )( ) ( ( )) 1 1 1,

{ [1, ) 1 1} [

f x x D g x x D

f g x f g x f x x

D x g x

g f x g f x g x

x x D

f f x f f x f x x

D x x

= - = ¥ = =

= = = -

= Î Î ¥ = -¥ - È ¥

= = -

= - = - = ¥

= = - = - -

= Î ¥ - ³ =

2 2 2 4

2, ).

( )( ) ( ( )) ( ) ( ) , . g g x g g x g x x x D

¥

= = = = =

18.

{ }

{ }

{ }

2

3 3

3

3

3

3

( ) 1/ , { 0}; ( ) 2 , .

( ) ( ) ( ( )) ( 2 ) 1/( 2 ),

2 0} { 0 .

( )( ) ( ( )) (1/ ) 1/ 2/ ,

0 .

1( )( ) ( ( )) (1/ ) ,

1/

0 .

( )( ) ( ( )) ( 2 )

( 2

f x x D x x g x x x D

f g x f g x f x x x x

D x x x x x

g f x g f x g x x x

D x x

f f x f f x f x x x

D x x

g g x g g x g x x

x

= = ¹ = + =

= = + = +

= + ¹ = ¹

= = = +

= ¹

= = = =

= ¹

= = +

= +

3 3

9 7 5 3

) 2( 2 )

6 12 10 4 , .

x x x

x x x x x D

+ +

= + + + + =

19.

1

1

1 1( ) , { 1}; ( ) ,

1 1

{ 1}.1 1

( ) ( ) 11 1

2 1,

1 2

x f x D x x g x

x x

D x x x x

f g x f x x

x

x

-

-

-= = ¹ =

- +

= ¹ -æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç= = -÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çè ø è ø+ +

æ ö- - -÷ç= =÷ç ÷÷çè ø+

{ 1}

1 1/( 1) 1 2

( )( ) ,1 1/( 1) 1

{ 0, 1}.

1 1 1( )( ) ,

1 1/( 1) 1 2

{ 1, 2}.

1 ( 1) / ( 1) 1 1( )( ) ,

1 ( 1) / ( 1) 1

{ 0, –1}.

D x x

x x

g f x g x x x

D x x

x f f x f

x x x

D x x

x x x g g x g

x x x x

D x x

= ¹ -

æ ö - - -÷ç= = =÷ç ÷÷çè ø- - +

= ¹

æ ö -÷ç= = =÷ç ÷÷çè ø- - - -

= ¹

æ ö- - + -÷ç= = = -÷ç ÷÷çè ø+ - + +

= ¹

20.

( )

( )

2

2

( ) 1, ( , 1] [1, );

( ) 1 , ( , 1].

( )( ) ( ( )) 1

1 1 .

f x x D

g x x D

f g x f g x f x

x x

= - = -¥ - È ¥

= - = -¥ -

= = -

= - - = -

Para encontrar o domínio de ( f g) ( x), devemos en-

contrar os valores de x que estão no domínio de g tal

que g( x) esteja no domínio de f . Em símbolos, temos

{ }( , 1] 1 ( , 1] [1, ) . D x x= Î -¥ - Î -¥ - È ¥

Primeiro, concentramo-nos na exigência de que

1 ( , 1] [1, ) x- Î -¥ - È ¥ . Como 1 0,- ³ x 1- x

não está em (−¥, −1]. Se 1 está em [1, ), x- ¥ então

temos que ter 1 1 1 1 0.- ³ - ³ £ x x x Combinan-

do as restrições x £ 0 e x Î (−¥, 1], obtemos D = (– ¥, 0].

( )2 2

2

( )( ) ( ( )) 1 1 1,

{ ( , 1] [1, ) 1 ( , 1]}.

g f x g f x g x x

D x x

= = - = - -

= Î -¥ - È ¥ - Î -¥

Agora 2 2 21 1 1 1 2 x x x- £ - £ £

2 2 2 x x³ - £ £ . Combinando essa restrição

com x Î (−¥, –1] È [1, ¥), obtemos

( )

( )

}

2

22 2

2

2, 1 1, 2 .

( )( ) ( ( )) 1

1 1 2,

{ ( , 1] [1, )

1 ( , 1] [1, ) .

D

f f x f f x f x

x x

D x

x

é ù é ù= - - Èê ú ê úë û ë û

= = -

= - - = -

= Î -¥ - È ¥

- Î -¥ - È ¥

Agora 2 2 21 1 1 1 2 x x x- £ - £ £

2 2 2 x x³ - £ £ . Combinando essa restrição

com x Î (−¥, –1] È [1, ¥), obtemos

( )( )

, 2 2, .

( )( ) ( ( )) 1 1 1 ,

D

g g x g g x g x x

ù é= -¥ - È ¥ú êû ë

= = - = - -

{ }( , 1] 1 ( , 1] . D x x= Î -¥ - Î -¥ Agora




1 1 1 1 0- £ - £ ³ x x x Combinando essa

restrição com x Î (−

¥, –1], obtemos D = [0, 1].

21.

( )

( )

( )

( )

{ } [ ]

3

3

1/63

1/93

( ) , ; ( ) 1 , [0, ).

( )( ) ( ( )) 1 1 ,

[0, ). ( )( ) ( ( )) 1 ,

[0, ).

( )( ) ( ( )) , .

( )( ) ( ( )) 1 1 1 ,

0 1 0 0, 1.

f x x D g x x D

f g x f g x f x x

D g f x g f x g x x

D

f f x f f x f x x D

g g x g g x g x x

D x x

= = = - = ¥

= = - = -

= ¥ = = = -

= ¥

= = = =

= = - = - -

= ³ - ³ =

22.{ }

{ }

{ }

1

2

2

3

12

2( ) , ; ( ) ,

2 1 2

{ 2}.

( )( ) ( ( ))

/ ( 2) 2

2 2 / ( 2) 1

3 4, 2, .

3 2

( )( ) ( ( ))

2 ( 2) / (2 1)

2 1 ( 2) / (2 1) 2

2, 0,

3

(

x x f x D x x g x

x x

D x x

f g x f g x

x x x f

x x x

x D x x

x

g f x g f x

x x x g

x x x

x D x x

x

+= = ¹ - =

+ -

= ¹

=

æ ö - +÷ç= =÷ç ÷÷çè ø- - +

-= = ¹

-

=

æ ö+ + +÷ç= =÷ç ÷÷çè ø+ + + -

- -= = ¹ -

{ }

{ }

512 4

)( ) ( ( ))

2 ( 2) / (2 1) 2

2 1 2( 2) / (2 1) 1

5 4, , .

4 5

( )( ) ( ( ))

/ ( 2)

2 / ( 2) 2

, 2, 4 .

4

f f x f f x

x x x f

x x x

x D x x

x

g g x g g x

x x x g

x x x

x D x x

x

=

æ ö+ + + +÷ç= =÷ç ÷÷çè ø+ + + +

+= = ¹ - -

+

=

æ ö -÷ç= =÷ç ÷÷çè ø- - -

= = ¹

-

23.

{ }

2

2 2

2

1/4

( ) 1 , (0, ); ( ) 4 , .

( )( ) ( ( )) ( 4 ) 1 4 ,

4 0 ( , 0) (4, ).

1 1 4( )( ) ( ( )) ,

(0, ).

1 1( )( ) ( ( )) ,

1 /

(0, ).( )( ) ( (

f x x D g x x x D

f g x f g x f x x x x

D x x x

g f x g f x g x x x

D

f f x f f x f x x x

D g g x g g

= = ¥ = - =

= = - = -

= - > = -¥ È ¥

æ ö÷ç= = = -÷ç ÷ç ÷è ø

= ¥

æ ö÷ç= = = =÷ç ÷ç ÷è ø

= ¥=

2

2 2 2

4 3 2

)) ( 4 )

( 4 ) 4( 4 )

8 12 16 ,

x g x x

x x x x

x x x x D

= -

= - - -

= - + + =

24.

( )

( )( ) ( ( ( ))) ( ( 1))

1 1 1

= = -

= - = - -

f g h x f g h x f g x

f x x

25.

( )

2

32 2 3

( )( ) ( ( ( ))) ( ( 2))

2 1 / ( 2)

= = +

æ ö÷ç= + = +÷ç ÷çè ø


f x x

26. ( )( )( ) 4

( )( ) ( ( ( )))

5 ( 5) 1

= =

= - = - +


f x x

27. ( )( )3

3 3

3 3

( )( ) ( ( ( )))

1 1

= =

æ ö÷ç ÷ç= =÷ç ÷÷ç - -è ø


x x f

x x

28. Sejam g( x) = x − 9 e f ( x) = x5. Então

( f g) ( x) = ( x − 9)5 = F ( x).

29. Sejam g(t ) = pt e f (t ) = tg t . Então

( f g) (t ) = tg pt = u(t ).

30. (a) P = (a, g(a)) e Q = (g(a), g(a)) porque Q tem a mesma

coordenada y que P e está na reta y = x.

(b) A coordenada x de Q é g(a); esta também é a coordenada x

de R.

A coordenada y de R é, portanto, f (coordenada x), isto é,

f (g(a)).

Portanto, R = (g(a), f (g(a))).

(c) As coordenadas de S são (a, f (g(a))) ou, de maneira equiva-lente, (a, h (a)).

(d)

31. Precisamos marcar os pontos somente para o primeiro quadrante

uma vez que podemos ver que f é uma função ímpar, e sabemos

que f f é uma função ímpar e, portanto, simétrica com respeito à

origem.

x 0 0,5 1 1,5 2

f ( x) 0 1 1,5 1,4 0

f ( f ( x)) 0 1,5 1,4 1,5 0

0 0,5 1 1,5 x



SEÇÃO 1.4 CALCULADORAS GRÁFIC AS E COMPUTADORES 1

1-10 Determine uma janela retangular apropriada para a função

dada e use-a para fazer o gráfico da função.

1.2

( ) 4 6= + - f x x x

2.2( ) 0,2 3,5 5= + - f x x x

3.4 2

( ) 256= - f x x

4. ( ) 12 17= - f x x

5.2

1

25=

+ y

x

6.2

25=

+

x y

x

7.4 34= - y x x

8.3 1

= + y x x

9.2 1

3

-=

+

x y

x

10.22 5 y x x= - -

11-13

Encontre todas as soluções da equação com precisão de duas

casas decimais.

11. 3 x3 + x2 + x – 2 = 0

12. x4 + 8 x + 16= 2 x3 + 8 x2

13. 2 sen x = x

14. Use os gráficos para determinar qual dentre as funções

f ( x) = x4 – 100 x3 e g( x) = x3 é eventualmente maior.

1.4 CALCULADORAS GRÁFIC AS E COMPUTADORES Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp




1.

[–4, 10] por [–10, 20]

20

–10

10–4

2. 100

–25

15–30

3.6

–2

–20 2 0

4.10

2

2 10

5.0,1

0,1

10 10

6.0,15

0,15

50 50

7.100

–50

–4 6

8.20

20

4 4

9.15

15

15 15

10.

11. 0,67

12.

–2, 1,24, 2, 3,24

13. –1,90, 0, 1,90

14. f ( x)

1.4 RESPOSTAS




1. f ( x) = 4 + 6 x − x2

Observe que muitos retângulos similares dão igualmente boas

visualizações da função.

2.

3. 4 2( ) 256= - f x x . Para encontrar a janela retangular apro-

priada, calculamos o domínio e a imagem de f : 256 − x2 ³ 0

x2 £ 256 ½ x½ £ 16 −16£ x £ 16, logo, o domínio é

[−16, 16]. Também,4 2 40 256 256 4£ - £ = x , portanto, a

imagem é [0, 4]. Assim, escolhemos a janela retangular

[−20, 20] por [−2, 6].

4. ( ) 12 17= - f x x

5.2

1

25 y

x=

+

,

,

6. 2 25

x y

x=

+

,

,

7. y = x4 − 4 x3

8. y = x3 + 1/ x

9. 2 1

3

-=

+

x y

x

10. y = 2 x – ½ x2 – 5 ½

1.4 SOLUÇÕES



2 SEÇÃO 1.4 CALCULADORAS GRÁFICAS E COMPUTADORES

11. Fazer o gráfico de f ( x) = 3 x3 + x2 + x − 2 em uma janela

retangular padrão, [−10, 10] por [−10, 10], revela uma raiz

real entre 0 e 1. A segunda figura mostra uma ampliação destaregião. Ao utilizar um localizador de raiz ou ao dar um zoom,

descobrimos que o valor da raiz é aproximadamente 0,67.

,

12. Ao fazer os gráficos de ambas, f ( x)= x4 + 8 x + 16 e

g( x) = 2 x3 + 8 x2, parece que há quatro pontos de intersecção

(veja a figura). Podemos usar agora um localizador de inter-

secção ou dar um zoom nas regiões de interesse para encontrar

as soluções x » −2, −1,24, 2 e 3,24.

13. Dos gráficos de f ( x)= 2 sen x e g( x) = x, vemos que há três

pontos de intersecção. O ponto de intersecção (0, 0) é óbvio

e em razão da simetria dos gráficos (ambas as funções sãoímpares), precisamos apenas encontrar um dos outros dois

pontos de intersecção. Ao utilizar um localizador de intersec-

ção ou dar zoom, descobrimos que o valor de x da intersecção

é de aproximadamente 1,90. Portanto, as soluções são x = 0 e

x » 1,90.

,

,

sen

sen

14. f ( x)= x4 – 100 x3 é maior que g( x) = x3 quando x > 101.

2000000

1000000



SEÇÃO 1.5 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 1

1-6 Faça o esboço do gráfico de cada função. Não use uma cal-

culadora. Use somente os gráficos dados nas Figuras 3 e 13 e, se

necessário, as transformações da Seção 1.3.

1. y = 2 x + 1

2. y = 2 x+1

3. y = 3 – x

4. y = –3 x

5. y = –3 – x

6. y = 2½ x½

1.5 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp




1.

x

2

1

y

0

2.

3.

x

y

0

1

4.

5.

x

y

0

6.

1.5 RESPOSTAS




1. Começamos com o gráfico de y = 2 x e deslocamos 1 unidade para cima.

y = 2

x

y = 2

x

+ 1

2. Começamos com o gráfico de y = 2 x e deslocamos 1 unidade para a esquerda.

y = 2 x y = 2 x + 1

3. Começamos com o gráfico de y = 3 x e refletimos em torno doeixo y.

y = 3 x y = 3– x

4. Começamos com o gráfico de y = 3 x e refletimos em torno doeixo x.

y = 3 x y = –3 x

5. Começamos com o gráfico de y = 3 – x (do Exercício 3) e refle-timos em torno do eixo x.

y = 3– x y = –3– x

6. Refletimos a parte de y = 2 x para x > 0 em torno do eixo y para obter a parte de y = 2½ x½ para x < 0.

y = 2 x y = 2| x |

1.5 SOLUÇÕES



SEÇÃO 1.6 FUNÇÕES INVERSAS E LOGARITMOS 1

1-2 Determine se f é injetora.

1. f ( x) = 7 x – 3

2. f ( x) = x2 – 2 x + 5

3-6 Encontre uma fórmula para a função inversa.

3.1 3

( )5 2

+=

-

x f x

x

4. f ( x) = 5 – 4 x3

5. ( ) 2 5= + f x x

6. y = 210 x

7. Use a Fórmula 10 para calcular cada logaritmo com precisão

de seis casas decimais.

(a) log2 5 (b) log

5 26,05

8. Encontre o domínio e a imagem da função g( x) = ln(4 – x2).

9-10

Isole x na equação.

9. (a) e x= 16 (b) ln x = –1

10. (a) ln(2 x – 1) = 3 (b) e3 x– 4 = 2

1.6 FUNÇÕES INVERSAS E LOGARITMOS Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp




1. Sim

2. Não

3.

1 5 1( )

2 3

- -=

+

x f x

x

4.

1/3

1 5( )

4

- æ ö- ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

x f x

5.

21 2( ) , 0

5

- -= ³

x f x x

6. 1

10 2( ) log l og f x x

-

=

7. (a) 2,321928 (b) 2,025563

8. (–2, 2), (– ¥, ln 4]

9. (a) 4 ln 2 (b) 1/e

10. (a) 312( 1)+e (b) 1

3(ln 2 4)+

1.6 RESPOSTAS




1. 1 2 1 2 1 2

1 2

7 7 7 3 7 3

( ) ( ), então é injetora.

x x x x x x

f x f x f

¹ ¹ - ¹ -

¹

2. f ( x) = x2 – 2 x + 5 f (0) = 5 = f (2), logo f não é injetora

3.

1

1 3( ) 5 2 1 3

5 2

5 1 3 2 (3 2 ) 5 1

5 1 5 1. Troque e : . Logo

2 3 2 3

5 1( ) .2 3

x y f x y xy x

x

y x xy x y y

y x x x y y

y x

x f x x

-

+= = - = +

-

- = + + = -

- -= =

+ +

-= +

4.

3 3

1/3

3

( ) 5 4 4 5

5(5 )/4 .

4

= = - = -

æ ö- ÷ç= - = ÷ç ÷÷çè ø

y f x x x y

y x y x

Troque x e y:

1/35

4

æ ö- ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

x y . Logo

1/3

1 5( )

4

- æ ö- ÷ç= ÷ç ÷÷çè ø

x f x .

5.

2( ) 2 5 2 5 e 0= = + = + ³ y f x x y x y

22 2

5 2 , 0

5

-= - = ³

y x y x y . Troque x e y:

2 212 2

, 0. Logo ( ) , 05 5

-- -= ³ = ³

x x y x f x x

6. y = 2(10 x) log

2 y = 10 x log

10 log

2 y = x. Troque x e y:

y = log10

log2 x. Logo f –1( x) = log

10 log

2 x.

7. (a) 2

ln 5log 5 2,321928

ln 2= »

(b) 5

ln 26,05log 26,05 2,025563

ln 5= »

8. O domínio de ln é (0, ¥). Assim, 4 − x2 > 0 x2 < 4

½ x½ < 2. logo, o domínio é (−2, 2). Conforme x se aproxima

de 2 pela esquerda (ou de −2 pela direita), 4 − x2 se aproxima

de 0, e ln (4−

x2

) diminui sem limite. O valor máximo ocorrequando x = 0. Portanto, a imagem é (−¥, ln 4].

9. (a)

4

16 ln ln 16

ln 16 ln 2 4 ln 2

= =

= = =

x xe e

x

(b)ln 1

ln 1 1/-= - = = x x e e x e

10.

(a) ln (2 1) 3

3 312

ln (2 1) 3

2 1 ( 1)

-- = =

- = = +

x x e e

x e x e

(b) 3 4 3 4

1

3

2 ln ( ) ln 2

3 4 ln 2 (ln 2 4)

- -= =

- = = +

x xe e

x x

1.6 SOLUÇÕES

exercícios resolvidos stewart cap 01.pdf

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