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Instituto de Física da UFBA Departamento de Física do Estado Sólido Disciplina: Física Geral e Experimental II (FIS 122)

Professor: Ossamu Nakamura

Oscilações Amortecidas

I. A equação de movimento

Suponha que um oscilador harmônico, como o estudado

anteriormente, esteja submetido a uma força dissipativa proporcional

à velocidade. Esse tipo de força é comum em fluidos devido à

viscosidade do meio. Todos já experimentaram a sensação de que a

força do vento, quando estamos em um carro em movimento,

aumenta na medida em que a velocidade cresce. Naturalmente esta

força também depende da nossa “aerodinâmica” e pode aumentar ou

diminuir dependendo como nos posicionamos e da forma que

tomamos em relação ao vento. Uma maior área perpendicular à

velocidade provoca uma maior resistência ao nosso movimento e

vice-versa. Podemos escrever esta força como vbFres −= , onde

dtdxv = é a velocidade e b é aquela constante de proporcionalidade

que depende da geometria do corpo. O sinal negativo é indicativo de

oposição ao movimento, ou seja indica que o vetor força aponta

sempre na direção contrária ao vetor velocidade. A força total que

atua sobre o oscilador será portanto resT FFF += . Como a força

de restauração vale F = -k x e, de acordo com a lei de Newton, a

força total é a massa vezes a aceleração , podemos escrever então a

equação:

02

2

=++ xkdtdxb

dtxdm (1)

Esta é uma equação diferencial de 2a ordem, linear, homogênea e

a coeficientes constantes, cuja solução já estudamos e vale:

( ) ttiti eeBeA)t(x α−ωω += (2)

onde A e B são constantes complexas e

2

2

4mb

mk −=ω e

mb

2=α (3)

Observe que a solução para x(t) deve ser uma solução real e irá,

portanto, depender das relações que as constantes m, k e b terão entre

si. Vamos assim estudar 3 casos.

1. 2

2

4mb

mk >

Neste caso ω é real ( α é sempre real). Para que x(t) seja real é

necessário que A e B sejam complexos, ou seja, A = a + i b e

B = c + i d.

Lembrando que tsentcose t ω±ω=ω± i.i , a equação (2) fica:

[ ] te)tsent)(cosdc()tsent)(cosba()t(x α−ω−ω++ω+ω+= iiii

[ ] [ ]{ } tetsen)ca(tcos)db(tsen)bd(tcos)ca()t(x α−ω−+ω++ω−+ω+= i

Como x(t) é real, devemos ter necessariamente Im[x(t)] = 0, o

que nos leva a: (b + d) = 0 e (a – c) = 0

Assim A = B* e a solução será:

[ ] too etsenCtcosC)t(x α−ω+ω= 21 (4)

onde C1 e C2 são duas constantes a serem determinadas a partir das

condições iniciais.

a. Caso b = 0. MHS

Para este caso equação diferencial (1) fica

02

2=+ xk

dtxdm (5)

e a solução será:

tsenCtcosC)t(x oo ω+ω= 21 (6)

mk

o =ω=ω e 0=α

Denominamos ωo como freqüência (angular) natural do

sistema. A solução acima pode ser reescrita como:

)tcos(A)t(x o ϕ+ω= (7)

( )ϕω−ϕω= sentsencostcosA)t(x oo (8)

comparando com (6), obtemos

1CcosA =ϕ e 2CsenA =ϕ

o que nos conduz a:

22

21 CCA += e

2

2

CCtan =ϕ (9)

Assim tanto (6) quanto (7) representam a mesma solução para o

oscilador simples, onde as constantes C1, C2, A e ϕ estão

relacionadas por (9). Estas constantes devem ser encontradas a partir

das condições iniciais do problema.

b. Caso b ≠≠≠≠ 0. Amortecimento sub-crítico

A solução é dada por (4) ou, como vimos no parágrafo anterior,

podemos reescrevê-la como:

)tcos(eA)t(x t ϕ+ω= α− (10)

Usando as definições (3) e (6), teremos

22 α−ω=ω o e mb

2=α (11)

2

Para determinarmos as constantes iniciais A e ϕ devemos

determinar antes a velocidade. Assim,

[ ] te)tsen()tcos(A)t(v α−ϕ+ωω+ϕ+ωα−= (12)

Suponha que no instante inicial x(0) = xo e v(0) = vo. Usando

(10) e (12), teremos:

ϕ= cosAxo e )sencos(Av ϕω+ϕα−=0 ,

o que nos leva a:

22

ooo x

xvA +

ωα+

= e

ω

+ωα−=ϕ

o

o

xvtg (13)

Uma situação particular de interesse é quando temos um caso de

amortecimento fraco, ou seja, uma situação onde coeficiente da força

de amortecimento é muito pequeno (b<<1), o que nos leva a

0≈ωα

. Assim, de acordo com (13) devemos ter

22

oo xvA +

ω

= e

ω

−=ϕo

o

xvtg (14)

Mais ainda: de (11) podemos aproximar oω≈ω , de forma

que as expressões (10) e (12) ficam:

)tcos(eA)t(x ot ϕ+ω= α− (15)

)tsen(eA)t(v ot

o ϕ+ωω−= α−

A figura abaixo mostra a evolução temporal da posição x(t).

Note que a função co-seno é modulada pela função exponencial, ou

seja pela função amortecimento. Para a construção desta figura,

usamos as expressões (10) e (14) tomando 010.=ωα

. Se

usássemos a expressão (15), a figura seria praticamente a mesma.

c. Considerações sobre a energia. Amortecimento fraco

A energia mecânica total do sistema não deve se conservar, uma

vez que há dissipação de energia, em forma de calor, devido à força

de atrito. A energia mecânica deve, naturalmente, diminuir com o

tempo. Analisemos esta situação para o caso de amortecimento fraco

apenas. A energia total será a soma das energias cinética e potencial,

isto é:

22

21

21 xkvmE +=

Tomando as expressões (15) teremos:

)t(cosAek)t(senAemE ot

oot ϕ+ω+ϕ+ωω= α−α− 2222222

22Contudo, sabemos que 2

omk ω= , o que nos conduz a:

to

to eEeAmE α−α− =

ω= 2222

21

Esta expressão nos mostra claramente que, para amortecimento

fraco, a energia do oscilador decai exponencialmente com o tempo.

2. Caso 2

2

4mb

mk < . Amortecimento supercrítico

Voltemos à expressão (3) da freqüência ω. Observe que ela pode

ser reescrita como:

222

2i

41 om

kmb)( ω−α=

−−=ω

β=ω i onde Ro ∈ω−α=β 22

A solução (2) ficará:

( ) ttt eeBeA)t(x α−β−β += (16)

( ) ( ) tttttt eeBeAeeBeA)t(v α−β−βα−β−β β−β++α−=

[ ]tt e)(Be)(A)t(v β−β α+β−α−β= (17)

Sejam as condições iniciais x(0) = xo e v(0) = vo. Assim,

de (16) ⇒ BAx)(x o +==0

de (17) )(B)(Av)(v o α+β−α−β==⇒ 0

Resolvendo este sistema, encontramos:

β+

βα+β

=22

oo v)(xA e β

−β

α−β=

22oo v)(xB

Para o caso especial onde xo = xm e vo = 0, teremos:

)(xA m α+ββ

=2

e )(xB m α−ββ

=2

,

o que nos leva à solução:

( ) ( )[ ] tttm eeex)t(x α−β−β α−β+α+ββ

=2

(18)

3. Caso 2

2

4mb

mk = . Amortecimento crítico

Neste caso, 0=β , o que nos leva a um decaimento exponencial

simples, tmex)t(x α−= . Contudo, é interessante observar o que

sucede quando temos um amortecimento super crítico ( 0>β ), mas

tendendo para um amortecimento crítico (isto é, 1<<β ).

Na expressão (16), tomamos o termo em primeira ordem em β

na exponencial, isto é, fazemos:

e-α t

0

x(t)

t

3

te t β±≈β± 1 . Assim

[ ] te.)t(B)t(A)t(x α−β−+β+= 11

( ) te.tCC)t(x α−+= 21 (19)

onde BAC +=1 e β−= ).BA(C2 são duas constantes a serem

determinadas a partir das condições iniciais.

A figura abaixo mostra evolução temporal da posição do corpo na

condição de amortecimento crítico.

Para a condição xo = xm e vo = 0, podemos usar a equação (18) e

a aproximação da exponenical acima

( ) ( )[ ] tm ettttx)t(x α−β+−β+α+β−+β+ββ

= 11112

( ) tm etx)t(x α−α+= 1 (20)

Na figura abaixo comparamos o comportamento temporal dos

amortecimentos crítico, sub crítico e supercrítico para a condição xo =

xm e vo = 0 . Note que o amortecimento crítico é o que mais

rapidamente decai com o tempo, ou seja é o que mais rapidamente

chega ao equilíbrio.

0 t

x(t)

t

x(t) Super crítico Sub crítico Crítico