21-06-2015 economia financeira 4ºcurso - unidade 2 1 economia financeira unidade 02 carlos arriaga...

27-04-2327-04-23 Economia Financeira 4ºcurso - unidEconomia Financeira 4ºcurso - unidade 2 ade 2

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Economia FinanceiraEconomia FinanceiraUnidade 02Unidade 02

Carlos Arriaga Costa Carlos Arriaga Costa

Decisão financeira em incertezaDecisão financeira em incerteza


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Unidade teórica 2 – Decisão financeira em Unidade teórica 2 – Decisão financeira em incertezaincerteza

. . Em que medida a incerteza influencia Em que medida a incerteza influencia as decisões?as decisões?

. Como se formaliza a incerteza?. Como se formaliza a incerteza?

. Qual a atitude do investidor face ao . Qual a atitude do investidor face ao risco?risco?. Como modelizar a incerteza?. Como modelizar a incerteza?. Quais os princípios de dominância . Quais os princípios de dominância estocástica?estocástica?


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CONCEITOS DA INCERTEZACONCEITOS DA INCERTEZA

A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZAESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZAPREVISTOS COM CERTEZA

Encontra-se em situação de Encontra-se em situação de riscorisco.. O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco

uma uma distribuição de probabilidadesdistribuição de probabilidades.. Probabilidade Probabilidade objectivaobjectiva ou ou subjectivasubjectiva??


44

Activos financeiros e a incertezaActivos financeiros e a incertezaPreço HojePreço Hoje Cash flow Cash flow

Boa Boa conjunturaconjuntura

Cash flow má Cash flow má conjunturaconjuntura

Cupão zero Cupão zero unitáriounitário

v1v1 11 11

AcçãoAcção aa Cfa 1bCfa 1b Cfa 1mCfa 1m


55

Activos financeiros e a incertezaActivos financeiros e a incerteza

V1= 1 / (1+rf)V1= 1 / (1+rf) Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1mCfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m Ra = (cfa1-a) / aRa = (cfa1-a) / a a = cfa1 / (1+ra)a = cfa1 / (1+ra)


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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:

As preferências de um indivíduo têm uma As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo existir uma função u tal que um consumo aleatório aleatório x é preferível a um consumo x é preferível a um consumo aleatório y se e só se :aleatório y se e só se :

E [u(x) ≥ E [u(y)]E [u(x) ≥ E [u(y)] Onde E[.] é a expectativa de acordo com a Onde E[.] é a expectativa de acordo com a

probabilidade subjectiva de cada indivíduo.probabilidade subjectiva de cada indivíduo.


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REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCOPROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO

(2)(2) Quais as condições necessárias e Quais as condições necessárias e

suficientes para que as preferências de um suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada?na utilidade esperada?

Quais as condições necessárias e Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?uma utilidade esperada?


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(3)(3) Probabilidade objectiva (Von Neumann-Probabilidade objectiva (Von Neumann-

Morgenstern (1953) e probabilidade Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das aproximações á representação das preferência através de uma função de preferência através de uma função de utilidade esperada. utilidade esperada.

Uma relação de preferência é uma relação Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completabinária que é transitiva e completa


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(4)(4) Plano de consumo é uma variável Plano de consumo é uma variável

aleatória cujas propriedades são aleatória cujas propriedades são especificadas em P.especificadas em P.

Podemos interpretar o plano de Podemos interpretar o plano de consumo como uma lotaria cujos consumo como uma lotaria cujos prémios são definidos em Z. A prémios são definidos em Z. A probabilidade de obtenção de um probabilidade de obtenção de um resultado z é p(z).resultado z é p(z).


1010


(5)(5) Três axiomas (necessários e suficientes) para uma relação Três axiomas (necessários e suficientes) para uma relação

binária definida em P ter uma representação da utilidade binária definida em P ter uma representação da utilidade esperada:esperada:

Axioma 1 Axioma 1 ≥ é uma relação de preferência em P≥ é uma relação de preferência em P

Axioma 2 (axioma de substituição ou de independência):Axioma 2 (axioma de substituição ou de independência): Para todo p,q,r € P e a € [0,1], p > q implica que ap + (1-a)r Para todo p,q,r € P e a € [0,1], p > q implica que ap + (1-a)r

> aq +(1-a)r> aq +(1-a)r

Axioma 3 (axioma de arquimedes) : para todo p,q,r €P, se Axioma 3 (axioma de arquimedes) : para todo p,q,r €P, se p>q>r então existirá a,b€(0,1) tal que ap+(1-a)r>q>bq(1-p>q>r então existirá a,b€(0,1) tal que ap+(1-a)r>q>bq(1-b)rb)r


1111


(6)(6) Uma das implicações da teoria da utilidade Uma das implicações da teoria da utilidade

esperada é que a função de utilidade de Von esperada é que a função de utilidade de Von Neumann-Morgenstern é necessáriamente Neumann-Morgenstern é necessáriamente limitada mesmo quando a probabilidade de limitada mesmo quando a probabilidade de distribuição do consumo envolva níveis de distribuição do consumo envolva níveis de consumo não limitados.consumo não limitados.

Aversão ao risco implica que u seja concâva e Aversão ao risco implica que u seja concâva e que os planos de consumo das utilidades que os planos de consumo das utilidades esperadas, tendo expectativas finitas serão esperadas, tendo expectativas finitas serão finitas mesmo quando u é ilimitado. finitas mesmo quando u é ilimitado.


1212


(3)(3) Conceitos:Conceitos: - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois

momentos (t0 e t1)momentos (t0 e t1) A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos

estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de

incerteza a ocorrer entre t0 e t1.incerteza a ocorrer entre t0 e t1. Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de

consumo de um bem em diversos estados da naturezaconsumo de um bem em diversos estados da natureza Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo:

mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumoconsumo

Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo indivíduo

X é preferível a x´ se e só se U(x) X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada:Em termos de utilidade esperada:

E[u(x)] ≥ E[u(x´)] E[u(x)] ≥ E[u(x´)]


1313

Formalização do riscoFormalização do risco

A decisão do investidor é subjectivaA decisão do investidor é subjectiva Existem linhas de acção a tomarExistem linhas de acção a tomar O resultado futuro é função dos estados de O resultado futuro é função dos estados de

natureza considerados no momento da decisão.natureza considerados no momento da decisão. Os estados da natureza deverão ser Os estados da natureza deverão ser

mutuamente exclusivos e exaustivosmutuamente exclusivos e exaustivos Os estados da natureza encontram-se fora do Os estados da natureza encontram-se fora do

controle do decisor.controle do decisor. Para cada linha de acção existe uma Para cada linha de acção existe uma

consequência consequência Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)


1414

Payoff matrixPayoff matrixEstados da naturezaEstados da natureza

Linhas de acçãoLinhas de acçãoE1 E2 E3 ….. Ej ……… EnE1 E2 E3 ….. Ej ……… En

A1A1A2A2.....Ai.Ai......AmAm

C11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2n

Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….CinCi1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin

Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn……….Cmn


1515

Payoff matrixPayoff matrixExemploExemplo

Um vendedor de jornais vende ao Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.que vende pelo menos um exemplar.


1616

Payoff matrixPayoff matrixExemploExemplo

Nº exemplares Nº exemplares vendidosvendidos

Nºde exemplares Nºde exemplares armazenadosarmazenados

1 2 3 4 51 2 3 4 5

11

22

33

44

55

2 2 2 2 22 2 2 2 2

-1 4 4 4 4-1 4 4 4 4

-4 1 6 6 6-4 1 6 6 6

-7 -2 3 8 8-7 -2 3 8 8

-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10


1717

Payoff matrixPayoff matrix

Exemplo Exemplo Qual a melhor decisão?Qual a melhor decisão?

Critério Laplace : Não há razão q um estado da Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média aritmética natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais de cada linha e tomar a que der média mais elevada.elevada.

Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavoráveldesfavorável

Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor.ponderação é efectuado pelo decisor.

Critério de regressão – Procede a um regressão Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.as decisões futuras.


1818

activos contingentesactivos contingentesTerminal 1Terminal 1 22 33

Cashflow E6Cashflow E6 E6E6 E106E106

Cupões Cupões zerozero

TerminalTerminal Valor Valor nominalnominal

11 1 ano1 ano E6E6

22 2 anos2 anos E6E6

33 3 anos3 anos E 106E 106

E103 = E103 = 6.v1+6.v2+106.v36.v1+6.v2+106.v3


1919

Activos financeiros e a incertezaActivos financeiros e a incertezaC1b>C1m>C1b>C1m>FF

Cash Cash flowflow

DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1bC1mC1m

D=F.v1bD=F.v1b+F.v1m+F.v1m

FFFF

A=(c1b-A=(c1b-F).v1b+F).v1b+(c1m-F).v1m(c1m-F).v1m

C1b-FC1b-FC1m-FC1m-F

Valor da empresa com Valor da empresa com dívida=A+Ddívida=A+D=C1b.v1b+C1m.v1m=C1b.v1b+C1m.v1m=valor da empresa sem =valor da empresa sem dívidadívida

C1b>C1m>C1b>C1m>FF

Cash flowCash flow DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1bC1mC1m

D=F.v1b+C1D=F.v1b+C1m.v1mm.v1m

FFC1mC1m

A=(c1b-A=(c1b-F).v1bF).v1b

C1b-FC1b-F00


2020

Decisão de investimento e mercado Decisão de investimento e mercado completocompleto

Preço Preço hojehoje

Cash Cash flow flow boa boa conjconj

Cash Cash flow flow má má conjconj

Cupão Cupão zero unitzero unit

AcçãoAcção

0,950,95

1,451,45

11

22

11

11

Activos Activos contingentes contingentes BB

Activos Activos contingentes contingentes MM

Cupão zero Cupão zero unitunit

11 11

Acção2Acção2 22 11

0,95=1.v1b+1.v1m0,95=1.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m

V1b = 0,5 v1m = 0,45V1b = 0,5 v1m = 0,45


2121

Decisão de investimento e mercado completoDecisão de investimento e mercado completo

W0 = q.v1 + n.aW0 = q.v1 + n.a W1b =q+n.div1bW1b =q+n.div1b W1m=q+n.div1mW1m=q+n.div1m

Q Z (tudo obrigações, q=W0/v1, N=0, rendimento certoQ Z (tudo obrigações, q=W0/v1, N=0, rendimento certo

(w0/a).div1m A (Tudo em acções (q=0, n = W0/a); rendim incerto(w0/a).div1m A (Tudo em acções (q=0, n = W0/a); rendim incerto

q (W0/a)/.div1bq (W0/a)/.div1b


2222

Decisão de investimento e mercado completoDecisão de investimento e mercado completo

W0 = q.v1 + n.aW0 = q.v1 + n.a W1b =q+n.div1b Posição curta em acçõesW1b =q+n.div1b Posição curta em acções W1m=q+n.div1mW1m=q+n.div1m

Q Z (tudo obrigações, q=W0/v1, N=0, rendimento certoQ Z (tudo obrigações, q=W0/v1, N=0, rendimento certo

(w0/a).div1m A (Tudo em acções (q=0, n = W0/a); rendim incerto(w0/a).div1m A (Tudo em acções (q=0, n = W0/a); rendim incerto

pede emprestado para comprar acçõespede emprestado para comprar acções

q (W0/a)/.div1bq (W0/a)/.div1b


2323

Mercado completoMercado completo V1 = v1b+v1mV1 = v1b+v1m A=v1b.div1b+v1m.div1mA=v1b.div1b+v1m.div1m W0=qv1+naW0=qv1+na =(q+div1b)v1b + (q+div1m)v1m=(q+div1b)v1b + (q+div1m)v1m

Um portfolio composto de q zero cupões unitários e n acções é equivalente a um Um portfolio composto de q zero cupões unitários e n acções é equivalente a um

portfólio de títulos contingentes unitários composto deportfólio de títulos contingentes unitários composto de nb=q+divn de títulos b e nb=q+divn de títulos b e nm=q+div1m de títulos mnm=q+div1m de títulos m

W0 =nbv1b+nmv1mW0 =nbv1b+nmv1m W1b =nb e W1m =nmW1b =nb e W1m =nm W0 = W1v1b+W1m.v1mW0 = W1v1b+W1m.v1m W1m =(W0/v1m)-(vib/v1m).W1bW1m =(W0/v1m)-(vib/v1m).W1b


2424

Mercado completoMercado completo

W0/v1mW0/v1m

declive =-(v1b/vimdeclive =-(v1b/vim

R futurosR futuros

declive =-(1+r)declive =-(1+r)

R presentesR presentes


2525

Atitude face ao riscoAtitude face ao risco Indiferença (neutro ao risco)Indiferença (neutro ao risco)

Aversão ao riscoAversão ao risco

Propensão ao riscoPropensão ao risco

Nota: Há uma função de utilidade Nota: Há uma função de utilidade associadaassociada


2626

Indiferença ao riscoIndiferença ao risco Utilidade (U)Utilidade (U)


2727

propensão ao riscopropensão ao risco

UtilidadeUtilidade

RiquezaRiqueza


2828

Aversão ao riscoAversão ao risco

UtilidadeUtilidade

RiquezaRiqueza


2929

Funções de utilidade e de aversão ao risco (Modelo de Funções de utilidade e de aversão ao risco (Modelo de Arrow (1970) e de Pratt (1964) - 1Arrow (1970) e de Pratt (1964) - 1

U’(R) : mede a utilidade marginal da riquezaU’(R) : mede a utilidade marginal da riqueza U’’ (R) : mede a variação da utilidade marginal U’’ (R) : mede a variação da utilidade marginal

em relação à variação da riquezaem relação à variação da riqueza

ΠΠ = ½ = ½ σσ22z z (- (- U’’ (R) / U’(R) ) em que U’’ (R) / U’(R) ) em que ΠΠ é o é o

prémiode risco em relação a uma dada prémiode risco em relação a uma dada riqueza.riqueza.

ARA : Absolute Risk Aversion:ARA : Absolute Risk Aversion: (- (- U’’ (R) / U’(R) )U’’ (R) / U’(R) )


3030

Funções de utilidade e de aversão ao risco - 2Funções de utilidade e de aversão ao risco - 2

RRA : Relative Risk Aversion:RRA : Relative Risk Aversion: - R - R ((U’’ (R) / U’(R) ) em que R é o nível de riqueza do indivíduo (hipótese U’’ (R) / U’(R) ) em que R é o nível de riqueza do indivíduo (hipótese

razoável é que RRA seja constante)razoável é que RRA seja constante)

O normal é apresentar : d(ARA)/dR < 0 e d(RRA)/dR = 0.O normal é apresentar : d(ARA)/dR < 0 e d(RRA)/dR = 0.

Quatro classes de ARA:Quatro classes de ARA:. DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion): Função exponencial negativa. DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion): Função exponencial negativa. CARA (Constant Absolute Risk Aversion): função exponencial. CARA (Constant Absolute Risk Aversion): função exponencial. IARA (Increasing Absolute Risk Aversion) : Função quadrática. IARA (Increasing Absolute Risk Aversion) : Função quadrática. HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion): família de funções de utilidade definida por . HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion): família de funções de utilidade definida por

Merton (1971) da forma:Merton (1971) da forma: U (C,t) = e U (C,t) = e ––ρρt t V(C) V(C)

e V(C) = [ (1-e V(C) = [ (1-μμ)/ )/ μμ] [] [ββC/(1-C/(1-μμ) + ) + ηη]]μμ

Onde C representa o consumo. Esta função permite optimizar simultaneamente a Onde C representa o consumo. Esta função permite optimizar simultaneamente a escolha entre consumo e activos financeiros em tempo contínuo.escolha entre consumo e activos financeiros em tempo contínuo.


3131

Funções de utilidade e de aversão ao risco - 3Funções de utilidade e de aversão ao risco - 3

Coeficiente de prudência absoluta Coeficiente de prudência absoluta (Kimball(1990)):(Kimball(1990)):

AP = U’’’(R) / U’’(R) : mede a propensão de um AP = U’’’(R) / U’’(R) : mede a propensão de um indivíduo se preparar para fazer face à incerteza indivíduo se preparar para fazer face à incerteza (mais do que medir o prémio de risco desejado)(mais do que medir o prémio de risco desejado)

Standard Risk aversion : Uma função é Standard Risk aversion : Uma função é considerada standard se os coeficientes ARA e considerada standard se os coeficientes ARA e de prudência não são crescentes com a riqueza. de prudência não são crescentes com a riqueza.


3232

Dominação estocásticaDominação estocástica PROBLEMA: Em que condições podemos PROBLEMA: Em que condições podemos

dizer sem ambiguidade que um indivíduo dizer sem ambiguidade que um indivíduo prefere um activo com risco a um outro prefere um activo com risco a um outro activo com risco? (partindo da hipótese activo com risco? (partindo da hipótese que o indivíduo é “nonsatiable” e com que o indivíduo é “nonsatiable” e com aversão ao risco)aversão ao risco)

Está assocoado com a dominação Está assocoado com a dominação estocástica e com o conceito de menor estocástica e com o conceito de menor risco entre os activos com riscorisco entre os activos com risco


3333

Dominação estocástica de primeiro grauDominação estocástica de primeiro grau

Dois activos com risco (A e B)Dois activos com risco (A e B) Um activo (A é dominante sobre outro activo (B (A Um activo (A é dominante sobre outro activo (B (A ≥≥FSDFSD B) B) se todos se todos

os indivíduos possuirem uma função d eutilidade em riqueza que os indivíduos possuirem uma função d eutilidade em riqueza que seja contínua e crescente preferem A a B ou se mostrem seja contínua e crescente preferem A a B ou se mostrem indiferentes a A e Bindiferentes a A e B

O domínio encontra-se dependente dos retornos esperados face a O domínio encontra-se dependente dos retornos esperados face a cada estado de natureza considerado:cada estado de natureza considerado:

E P(e) E P(e) xx ~~ y y ~~ z z~~ 1 1/3 10 10 1 1 1/3 10 10 1 2 1/3 1 2 202 1/3 1 2 2033 1/3 1 1 1001/3 1 1 100

YY~~ domina x domina x~~ mas z mas z~~ não domina y não domina y~~ e x e x~~ Todavia, se houver um indivíduo que prefira xTodavia, se houver um indivíduo que prefira x~~ a z a z~~ é porque dá mais é porque dá mais

importância (subjectiva) ao estado de natureza (neste caso o 1). importância (subjectiva) ao estado de natureza (neste caso o 1).


3434

Dominação estocástica de primeiro grau e Dominação estocástica de primeiro grau e segundo grau- definiçõessegundo grau- definições

DEF 1 : Um activo A domina um activo B, DEF 1 : Um activo A domina um activo B, estocásticamente de primeiro grau, se e sòmente estocásticamente de primeiro grau, se e sòmente se, para toda a U(.), independente dos estados da se, para toda a U(.), independente dos estados da natureza , com u’>0, Eu(A(znatureza , com u’>0, Eu(A(z~~)) )) ≥ Eu(B(y≥ Eu(B(y~~))))

DEf 2: DEf 2: Um Activo A domina um activo B Um Activo A domina um activo B estocásticamente de segundo grau se, estocásticamente de segundo grau se, toda a toda a pessoa com aversão ao risco epessoa com aversão ao risco e para toda a U(.), para toda a U(.), com u’>0 , continua excepto num subconjunto com u’>0 , continua excepto num subconjunto [0,1] e u’’<0 , Eu(A(z[0,1] e u’’<0 , Eu(A(z~~)) )) ≥ Eu(B(y≥ Eu(B(y~~)), prefira )), prefira o o activo A. activo A.

E (zE (z~~) = E(y) = E(y~~) mas) mas

S(x)= S(x)= ⌡⌡xx00(FA(z) – FB(z))dz (FA(z) – FB(z))dz <=0 todo x <=0 todo x εε[0,1][0,1]

21-06-2015 economia financeira 4ºcurso - unidade 2 1 economia financeira unidade 02 carlos arriaga...

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