unidade 2 decisão financeira em incerteza

Unidade 2

Decisão financeira em incerteza

22-04-23Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 2

2

Decisão financeira em incerteza

. Em que medida a incerteza influencia as decisões?

. Como se formaliza a incerteza?

. Qual a atitude do investidor face ao risco?


3

Motivação :

• Problema:• Os agentes económicos quase nunca têm acesso a toda a informação

sobre o ambiente em que interagem • O objectivo pretendido pode não ser obtido pela acção tomada

• Solução• Construir uma teoria de decisão


4

exemplo• Suponha que é condutor e se encontra n0 seguinte dilema:

• Tem de tomar uma decisão entre duas opções:

• Tomar a estrada Axx.

• Tomar a estrada Ayy.

• Deverá considerar o melhor entre dois planos (hipóteses)possíveis:

- Tomar a Axx • Tomar a Ayy


5

exemplo Sabe todavia que

Na estrada Axx o tráfego costuma ser lento. Na estrada Ayy costuma circular ligeiramente melhor que na

Axx.

No entanto as notícias de rádio informa-o do seguinte:

Lento na Axx, rápido na AyyEntão Lento (x) => Evitar (x) Evitar(x) ^ Rápido(y) => selecionar (y) Deverá seleccionar a Ayy. Decidiu em certeza


6

Incerteza

• Pode, todavia, não possuir esta resposta isto é,

• Não saber qual a estrada que é mais lenta • Mas, estimar, por exemplo, que há 70% de

possibilidade que uma das estradas (A24) seja lenta

• A incerteza pode modificar a decisão de um agente.


7

Decisão em incerteza

• Que decisão pode o condutor tomar?:• Plano 1 – Axx

• 80% que seja bem sucedido • Axx será relativamente rápida mas pára totalmente com um acidente (cerca de

1 hora). • Se plano 1 for bem sucedido o resultado será muito bom, mas se falhar o

resultado será muito mau.

• Plano 2 – Ayy• 70% de probabilidade de ser bem sucedido • A circulação na estrada é relativamente rápida mas não será muito má se

houver problemas. • Se o plano 2 for bem sucedido o resultado será bom (não tão bom como o

anterior) mas se houver problemas não será tão mau como o anterior.


8

Decisão em incerteza• Qual a escolha: Plano1 ou Plano2?

• Plano 1 porque tem uma probabilidade maior de sucesso?• Plano 2 porque a consequência de falhar é menos má?

• Então a escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende:

• Probabilidade de sucesso/falhanço• Consequência do sucesso e do falhanço.


9

CONCEITOS DA INCERTEZA• A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZA

• Encontra-se em situação de risco.• O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco uma

distribuição de probabilidades.• Probabilidade objectiva ou subjectiva?


10

Conceitos da unidade

• Activos contingentes

• Cupão zero unitário (preço v1)

• Estados da Natureza


11

activos contingentesAno 1Ano 1 22 33

Cashflow E6Cashflow E6 E6E6 E106E106

Cupões Cupões zerozero

Ano Ano TerminalTerminal

Valor Valor nominalnominal

11 1 ano1 ano E6E6

22 2 anos2 anos E6E6

33 3 anos3 anos E 106E 106

E100 = E100 = 6.v1+6.v2+106.v36.v1+6.v2+106.v3


12

Activos financeiros e a incerteza

Preço HojePreço Hoje Cash flow Cash flow

Boa Boa conjunturaconjuntura

Cash flow má Cash flow má conjunturaconjuntura

Cupão zero Cupão zero unitáriounitário

v1v1 11 11

AcçãoAcção aa Cfa 1bCfa 1b Cfa 1mCfa 1m


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Activos financeiros e a incerteza

• V1= 1 / (1+rf)

• Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m

• Ra = (cfa1-a) / a

• a = cfa1 / (1+ra)


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Decisão

Teoria da decisão = teoria de probabilidades (relativo às hipóteses)+ teoria de

utilidade (relativo aos resultados)

• Ideia fundamental:• Maximiza a utilidade esperada • Ponderação de cada resultado obtido pela probabilidade de

ocorrência.


15

REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:

• As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo aleatório x é preferível a um consumo aleatório y se e só se :

• E [u(x) ≥ E [u(y)]

• Onde E[.] é a expectativa de acordo com a probabilidade subjectiva de cada indivíduo.


16

REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO(2)

• Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada?

• Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?


17


• Probabilidade objectiva (Von Neumann-Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através de uma função de utilidade esperada.

• Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e completa


18

Princípio básico

• Um agente tem de selecionar uma acção

• Considere Ac = {A1, A2,…Ai} um conjunto de acções

• Considere Res = {res1, res2,…} um conjunto de possíveis resultados

• Ex possiveis acções: plano 1 e 2.

• Possíveis resultados:Chegar a casa cedo; Chegar a casa mais ou menos cedo; Chegar a casa tarde por causa do tráfego.


19

Princípio básico

• P(resj| Ai) = Probabilidade de obtenção do resultado resj, dada a acção Ai:

• U(resj) = utilidade associada a cada resultado.

• Utilidade• Captura o desejo de realização de resj

• Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar maior utilidade. • U(resj) > U(resi) resj é preferível a resi


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Continuação do exemplo

• plano1 e plano2 são acções

• Plano 1 considera a estrada Axx

• P(casa cedo|plano1) = 0.8

• P(preso estrada Axx|plano1) = 0.2

• Rápido se não houver problemas , 1 hora de paragem se houver problemas.

• U(chegar a casa cedo) = 100

• U(preso na estrada Axx) = -1000

• Plano 2 utiliza a estrada ayy

• P(chegar a casa mais ou menos cedo|plano2) = 0.7

• P(preso na estrada|plano2) = 0.3

• Mais ou menos rápido se não houver problemas, não tão mau se houver problemas.

• U(de chegar mais ou menos cedo) = 50

• U(preso na estrada Ayy) = -10


21

Princípio básico• Dada P(res1| Ai), utilidade U(res1), P(res2| Ai), utilidade U(res2)…

• A utilidade esperada (EU) de uma acção Aii:EU(Ai) = U(resj)*P(resj|Ai)

• Escolher Ai tal que maximize EU MEU = argmax U(resj)*P(resj|Ai) Ai Ac resj OUT


22

res-j res

Aplicação do princípio

• EU(Plano1) = P(casa cedo | plano1) *U(casa cedo) + P(preso na Axx | plano1) * U(preso na Axx)

=0.8 * 100 + 0.2 * -1000 = -120

• EU(Plano2) = P(casa mais ou menos cedo | plano2) *U(casa mais ou menos cedo) +

P(preso na Ayy | plano2) * U(preso na Ayy)= 0.7 * 50 + 0.3 * -10 = 32

• EU (plano2) é maior , logo escolho o plano 2


23

Another View: Decision TreeAnother View: Decision Tree


24

Decision node: You play

Chance node: Nature plays

Plan1

Plan20.70

0.30

0.80

0.20

SuccessReward: $100

SuccessReward: $50

FailureReward: -$1000

Failure

Reward: -$10

EU(Plan2):$50*0.7 -10*0.3= 32

EU(Plan1):100*0.8 –1000*0.2 = -120

Bigger Trees PossibleBigger Trees Possible


25

Plan1

Plan2

0.70

0.70

0.80

0.20

Plan3

0.30

0.30

Plan1

Plan2

0.70

0.70

0.80

0.20

Plan3

0.30

0.30

Decnode


• Conceitos:• - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois momentos (t0 e

t1)• A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos estados da

natureza “incertos” a serem realizados em t1• Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de incerteza a ocorrer

entre t0 e t1.• Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de consumo de um

bem em diversos estados da natureza• Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: mecanismo

que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumo• Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada:

E[u(x)] ≥ E[u(x´)]


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Formalização do risco

• A decisão do investidor é subjectiva• Existem linhas de acção a tomar• O resultado futuro é função dos estados de natureza

considerados no momento da decisão.• Os estados da natureza deverão ser mutuamente

exclusivos e exaustivos• Os estados da natureza encontram-se fora do

controle do decisor.• Para cada linha de acção existe uma consequência • Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)


27

Payoff matrixEstados da naturezaEstados da natureza

Linhas de acçãoLinhas de acção

E1 E2 E3 ….. Ej ……… EnE1 E2 E3 ….. Ej ……… En

A1A1

A2A2

..

..

.Ai.Ai

..

..

..

AmAm

C11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC11 C12 C13 …… C1j ……….C1n

C21 C22 C23 …… C2j ……….C2nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2n

Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….CinCi1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin

Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn……….Cmn


28

Payoff matrixExemplo

• Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.


29

Payoff matrixExemplo

Nº exemplares Nº exemplares vendidosvendidos

Nºde exemplares Nºde exemplares armazenadosarmazenados

1 2 3 4 51 2 3 4 5

11

22

33

44

55

2 2 2 2 22 2 2 2 2

-1 4 4 4 4-1 4 4 4 4

-4 1 6 6 6-4 1 6 6 6

-7 -2 3 8 8-7 -2 3 8 8

-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10


30

Payoff matrix

Exemplo Qual a melhor decisão?

• Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada.

• Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavorável

• Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor.

• Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.


31

Activos financeiros e a incertezaC1b>C1m>C1b>C1m>FF

Cash Cash flowflow

DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.

Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1b

C1mC1m

D=F.v1bD=F.v1b+F.v1m+F.v1m

FF

FF

A=(c1b-A=(c1b-F).v1b+F).v1b+(c1m-F).v1m(c1m-F).v1m

C1b-FC1b-F

C1m-FC1m-F

C1b>C1m>C1b>C1m>FF

Cash flowCash flow DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.

Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1b

C1mC1m

D=F.v1b+C1D=F.v1b+C1m.v1mm.v1m

FF

C1mC1m

A=(c1b-A=(c1b-F).v1bF).v1b

C1b-FC1b-F

00

Valor da empresa com Valor da empresa com dívida=A+Ddívida=A+D

=C1b.v1b+C1m.v1m=C1b.v1b+C1m.v1m

=valor da empresa sem =valor da empresa sem dívidadívida 22-04-23

Carlos Arriaga Economia Bancária e Financeira unidade 2

32

Decisão de investimento e mercado completo

Preço Preço hojehoje

Cash Cash flow flow boa boa conjconj

Cash Cash flow flow má má conjconj

Cupão Cupão zero unitzero unit

AcçãoAcção

0,950,95

1,451,45

11

22

11

11

Activos Activos contingentes contingentes BB

Activos Activos contingentes contingentes MM

Cupão zero Cupão zero unitunit

11 11

Acção2Acção2 22 11

0,95=1.v1b+1.v1m0,95=1.v1b+1.v1m

1,45=2.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m

V1b = 0,5 v1m = 0,45V1b = 0,5 v1m = 0,45


33

Aversão ao risco, exemplo…• Suponha que a um agente económico é dada a escolha de uma das

seguintes hipóteses:

• Escollha 1: obter certo $1,000,000• Esolha 2: Mandar uma moeda ao ar

• Se sair cara, ganhar $3,000,000

• Se sair coroa, não ganhar nada

• Cálculo da utilidade esperada:

• EU(escolha1) = $1,000,000

• EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 = $1,500,000

• Porque muita gente prefere a escolha 1?22-04-23


34

Aversão ao risco

• Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao risco”

• As funções de utilidade poderão ser :

• Para o primeiro milhão U($1M) = 10

• Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20)

• Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30)

• ….


35

Aversão ao risco• If we plot amount of money on the x-axis and utility on the y-axis,

we get a concave curve

• EU(choice1) = U($1M) = 10• EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9• That is why we prefer the sure $1M 22-04-23


36

0

5

10

15

20

25

0 1M 2M 3M 4M

Money

Uti

lity

Atitude face ao risco

• Indiferença (neutro ao risco)

• Aversão ao risco

• Propensão ao risco

Nota: Há uma função de utilidade associada


37

Indiferença ao risco

• Utilidade (U)


38

propensão ao risco

• Utilidade

• Riqueza


39

Aversão ao risco

• Utilidade

• Riqueza


40

Risk Averse, Risk NeutralRisk Seeking


41

0

5

10

15

20

25

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utili

ty

RISK AVERSE

05

1015202530354045

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utilit

y

RISK NEUTRAL

0

20

40

60

80

100

120

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utilit

y

RISK SEEKER

EU(Choice1) = 10EU(Choice2) = 9

EU(Choice1) =10EU(Choice2) =15

EU(Choice1)=10EU(Choice2)=25

conclusão

• Os activos financeiros são activos de risco.• Há todavia activos de maior ou menor risco e

activos sem risco.• Os indivíduos têm um grau de maior ou menor

aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido.

• Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão racional.


42

• Anexo – about uncertainty measure


43

Economist’s jargon

• Economists call a lottery a situation which involves uncertain payoffs:• Cultivating apples is a lottery

• Cultivating pears is another lottery

• Playing with a fair die is another one

• Monthly consumption

• Each lottery will result in a prize

Drawing an indifference curve


45

X2

X1

EU1

EU2

EU3

Convex Indifference curvesImportant to understand that:EU1 < EU2 < EU3

Line of lotteries without risk

Indifference curve and risk aversion


46X1

X2

3125/0.25

3125/0.75

Line of lotteries without risk

3125

3125

4000

500

Lot. A

Lot. B

We had said that if the individual was risk averse, he will prefer Lottery A to Lottery B.

These indifference curves belong to a risk averse individual as the Lottery A is on an indifference curve that is to the right of the indifference curve on which Lottery B lies.

Lot A and Lot B have the same expected value but the individual prefers A because he is risk averse and A does not involve risk

What shape is the utility function of a risk averse individual?


47

X=money

U(x)

U’(x)>0, U’(x)>0, increasingincreasing

U’’(x)<0, concaveU’’(x)<0, concave

Indifference curves and risk aversion

• We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averse

• Could a risk averse individual have concave indifference curves? No….


48

Does risk aversion imply anything about the sign of U’’(x)

2 1 1

1 1 2

22 1 1

21 1 2

'( )*

(1 ) '( )

''( )*

(1 ) '( )

dx p U x

dx p U x

d x p U x

dx p U x


49

Convexity means that the second derivative is positive

In order for this second derivative to be positive, we need that U’’(x)<0

A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0

Geometric property

• A risk-averse utility function U is concave

• Such a function satisfies:• U[(1 - p) x + p y] ≥ (1 - p) U(x) + p U(y)

• For each x, y, and p [0,1]

• (Not just p = ½, which is where we started)

• Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its points


50

Measuring Risk Aversion

• The most commonly used risk aversion measure was developed by Pratt


51

"( )( )

'( )

U Xr X

U X

For risk averse individuals, For risk averse individuals, U”U”((XX) < ) < 00– rr((XX) will be positive for risk averse ) will be positive for risk averse

individualsindividuals

Now take wealth into account

• The coefficient a(x) helps measure what a person would pay to avoid a gamble: • That payment is approximately a(x) times ½ the variance of

the gamble

• What fraction of wealth would the person pay to avoid a gamble? • Where wealth is given by x > 0


52

The Arrow-Pratt Measures of Risk Aversion

• Absolute risk aversion

• - U΄΄(W)/U΄(W) = RA(W)

• Relative risk aversion

• -WU΄΄(W)/U΄(W) = RR(W)

• Risk aversion means U΄(W) > 0 and U΄΄(W) 0

• The inverse of these measures gives a measure of risk tolerance


53

Risk Aversion

• If utility is logarithmic in consumption

U(X) = ln (X ) where X> 0

• Pratt’s risk aversion measure is


54

"( ) 1( )

( )

U Xr X

U X X

Risk aversion decreases as wealth Risk aversion decreases as wealth increasesincreases

Risk Aversion

• If utility is exponential

U(X) = -e-aX = -exp (-aX) where a is a positive constant

• Pratt’s risk aversion measure is


55

2"( )( )

( )

aX

aX

U X a er X a

U X ae

Risk aversion is constant as wealth Risk aversion is constant as wealth increasesincreases

Willingness to Pay for Insurance

• Consider a person with a current wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his automobile worth £20,000

• Suppose also that the utility function is

U(X) = ln (x)


56


• The person’s expected utility will be

E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000)

E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000)

E(U) = 11.45714

• In this situation, a fair insurance premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss)


57


• The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the gamble. How much will he pay?

E(U) = U(100,000 - y) = ln(100,000 - y) = 11.45714

100,000 - y = e11.45714

y= 5,426

• The maximum premium he is willing to pay is £5,426

• The individual will insure if he is charged a fair premium (£5000)

• Though this is just an example, this shows a general result. Risk averse

individuals will prefer to be insured as long as the cost of that insurance is not

too large


58

unidade 2 decisão financeira em incerteza

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