15-04-2015 carlos arriaga economia bancária e financeira unidade 21 unidade teórica 2 decisão...

11-04-2311-04-23Carlos Arriaga Economia Bancária Carlos Arriaga Economia Bancária

e Financeira unidade 2 e Financeira unidade 2 11

Unidade teórica 2 Unidade teórica 2

Decisão financeira em Decisão financeira em incertezaincerteza

2009/102009/10



Unidade teórica 2 – Decisão Unidade teórica 2 – Decisão financeira em incertezafinanceira em incerteza

. . Em que medida a incerteza influencia Em que medida a incerteza influencia as decisões?as decisões?

. Como se formaliza a incerteza?. Como se formaliza a incerteza?

. Qual a atitude do investidor face ao . Qual a atitude do investidor face ao risco?risco?



Motivação :Motivação : Problema:Problema:

– Os agentes económicos quase nunca têm Os agentes económicos quase nunca têm acesso a toda a informação sobre o ambiente acesso a toda a informação sobre o ambiente em que interagem em que interagem

– O objectivo pretendido pode não ser obtido O objectivo pretendido pode não ser obtido pela acção tomadapela acção tomada

SoluçãoSolução– Construir uma teoria de decisãoConstruir uma teoria de decisão



exemploexemplo Suponha que é condutor e se encontra num dilema Suponha que é condutor e se encontra num dilema

neste Portugal cheio de surpresas…neste Portugal cheio de surpresas…

Isto é, tem de tomar uma decisão entre duas Isto é, tem de tomar uma decisão entre duas opções:opções:– Tomar a estrada A23.Tomar a estrada A23.– Tomar a estrada A24.Tomar a estrada A24.

Deverá considerar o melhor entre dois planos Deverá considerar o melhor entre dois planos (hipóteses)possíveis: (hipóteses)possíveis:

- Tomar a A23 - Tomar a A23 – Tomar a A24Tomar a A24



exemploexemplo Sabe todavia que Sabe todavia que

– Na estrada A23 o tráfego costuma ser lento. Na estrada A23 o tráfego costuma ser lento. – Na estrada A24 costuma circular ligeiramente melhor Na estrada A24 costuma circular ligeiramente melhor

que na A23. que na A23.

No entanto o rádio informa-o do seguinte:No entanto o rádio informa-o do seguinte:

– Lento na A23, rápido na A24Lento na A23, rápido na A24EntãoEntão– Lento (x) => Evitar (x)Lento (x) => Evitar (x)– Evitar(x) ^ Rápido(y) => selecionar (y)Evitar(x) ^ Rápido(y) => selecionar (y)– Deverá seleccionar a A24. Decidiu em certezaDeverá seleccionar a A24. Decidiu em certeza



IncertezaIncerteza

Pode, todavia, não possuir esta resposta Pode, todavia, não possuir esta resposta isto é,isto é,– Não saber qual a estrada que é mais Não saber qual a estrada que é mais

lenta lenta – Mas, estimar, por exemplo, que há Mas, estimar, por exemplo, que há

70% de possibilidade que uma das 70% de possibilidade que uma das estradas (A24) seja lentaestradas (A24) seja lenta

A incerteza pode modificar a decisão de A incerteza pode modificar a decisão de um agente. um agente.



Decisão em incertezaDecisão em incerteza Que decisão pode o condutor tomar?:Que decisão pode o condutor tomar?:

– Plano 1 – A23Plano 1 – A23 80% que seja bem sucedido 80% que seja bem sucedido A23 será relativamente rápida mas pára totalmente com um A23 será relativamente rápida mas pára totalmente com um

acidente (cerca de 1 hora). acidente (cerca de 1 hora). Se plano 1 for bem sucedido o resultado será muito bom, Se plano 1 for bem sucedido o resultado será muito bom,

mas se falhar o resultado será muito mau. mas se falhar o resultado será muito mau.

– Plano 2 – A24Plano 2 – A24 70% de probabilidade de ser bem sucedido 70% de probabilidade de ser bem sucedido A circulação na estrada é relativamente rápida mas não será A circulação na estrada é relativamente rápida mas não será

muito má se houver problemas. muito má se houver problemas. Se o plano 2 for bem sucedido o resultado será bom (não Se o plano 2 for bem sucedido o resultado será bom (não

tão bom como o anterior) mas se houver problemas não tão bom como o anterior) mas se houver problemas não será tão mau como o anterior. será tão mau como o anterior.



Decisão em incertezaDecisão em incerteza

Qual a escolha: Plano1 ou Plano2?Qual a escolha: Plano1 ou Plano2?– Plano 1 porque tem uma probabilidade maior de Plano 1 porque tem uma probabilidade maior de

sucesso?sucesso?– Plano 2 porque a consequência de falhar é menos Plano 2 porque a consequência de falhar é menos

má? má?

Então a escolha entre acções ou planos dados dois Então a escolha entre acções ou planos dados dois elementos depende:elementos depende:

– Probabilidade de sucesso/falhançoProbabilidade de sucesso/falhanço– Consequência do sucesso e do falhanço. Consequência do sucesso e do falhanço.



CONCEITOS DA INCERTEZACONCEITOS DA INCERTEZA

A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA A INCERTEZA PODE SER DEFINIDA COMO UMA SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS SITUAÇÃO EM QUE O AGENTE ECONÓMICO VÊ AS CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES CONSEQUÊNCIAS DAS SUAS DECISÕES DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS DEPENDER DE FACTORES EXÓGENOS CUJOS ESTADOS DA NATUREZAESTADOS DA NATUREZA NÃO PODEM SER NÃO PODEM SER PREVISTOS COM CERTEZAPREVISTOS COM CERTEZA

Encontra-se em situação de Encontra-se em situação de riscorisco.. O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco O risco pode ser quantificado. Associa-se ao risco

uma uma distribuição de probabilidadesdistribuição de probabilidades.. Probabilidade Probabilidade objectivaobjectiva ou ou subjectivasubjectiva??



activos contingentesactivos contingentes

Ano 1Ano 1 22 33

Cashflow E6Cashflow E6 E6E6 E106E106

Cupões Cupões zerozero

Ano Ano TerminalTerminal

Valor Valor nominalnominal

11 1 ano1 ano E6E6

22 2 anos2 anos E6E6

33 3 anos3 anos E 106E 106

E100= E100= 6.v1+6.v2+106.v36.v1+6.v2+106.v3



Activos financeiros e a Activos financeiros e a incertezaincerteza

Preço HojePreço Hoje Cash flow Cash flow

Boa Boa conjunturaconjuntura

Cash flow má Cash flow má conjunturaconjuntura

Cupão zero Cupão zero unitáriounitário

v1v1 11 11

AcçãoAcção aa Cfa 1bCfa 1b Cfa 1mCfa 1m




V1= 1 / (1+rf)V1= 1 / (1+rf) Cfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1mCfa1 = p . Cfa1b + (1-p). Cfa1m Ra = (cfa1-a) / aRa = (cfa1-a) / a a = cfa1 / (1+ra)a = cfa1 / (1+ra)



DecisãoDecisão

Teoria da decisão = Teoria da decisão = teoria de probabilidades teoria de probabilidades (relativo às (relativo às

hipóteseshipóteses)+ teoria de utilidade )+ teoria de utilidade (relativo aos resultados)(relativo aos resultados)

Ideia fundamental:Ideia fundamental:– Máxima utilidade esperada Máxima utilidade esperada – Ponderação decada resultado obtido pela Ponderação decada resultado obtido pela

probabilidade de ocorrência. probabilidade de ocorrência.



REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO:

As preferências de um indivíduo têm uma As preferências de um indivíduo têm uma representação da utilidade esperada se representação da utilidade esperada se existir uma função u tal que um consumo existir uma função u tal que um consumo aleatório aleatório x é preferível a um consumo x é preferível a um consumo aleatório y se e só se :aleatório y se e só se :

E [u(x) ≥ E [u(y)]E [u(x) ≥ E [u(y)] Onde E[.] é a expectativa de acordo com a Onde E[.] é a expectativa de acordo com a

probabilidade subjectiva de cada probabilidade subjectiva de cada indivíduo.indivíduo.



REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E REPRESENTAÇÃO DAS PREFERÊNCIAS E O PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCOO PROBLEMA DE AVERSÃO AO RISCO

(2)(2) Quais as condições necessárias e Quais as condições necessárias e

suficientes para que as preferências de um suficientes para que as preferências de um indivíduo possam ter uma representação indivíduo possam ter uma representação na utilidade esperada?na utilidade esperada?

Quais as condições necessárias e Quais as condições necessárias e suficientes para que as preferências de um suficientes para que as preferências de um indivíduo apresentem aversão ao risco indivíduo apresentem aversão ao risco tendo como pressuposto a existência de tendo como pressuposto a existência de uma utilidade esperada?uma utilidade esperada?




(3)(3)

Probabilidade objectiva (Von Probabilidade objectiva (Von Neumann-Morgenstern (1953) e Neumann-Morgenstern (1953) e probabilidade subjectiva (Savage probabilidade subjectiva (Savage (1972): diferentes aproximações á (1972): diferentes aproximações á representação das preferência através representação das preferência através de uma função de utilidade esperada. de uma função de utilidade esperada.

Uma relação de preferência é uma Uma relação de preferência é uma relação binária que é transitiva e relação binária que é transitiva e completacompleta



Princípio básicoPrincípio básico Um agente tem de selecionar uma Um agente tem de selecionar uma

acçãoacção Considere Ac = {AConsidere Ac = {A11, A, A22,…A,…Aii} um } um

conjunto de acçõesconjunto de acções Considere Res = {resConsidere Res = {res11, res, res22,…} um ,…} um

conjunto de possíveis resultados conjunto de possíveis resultados Ex possiveis acções: plano 1 e 2. Ex possiveis acções: plano 1 e 2. Possíveis resultados:Possíveis resultados:

Chegar a casa cedo; Chegar a casa Chegar a casa cedo; Chegar a casa mais ou menos cedo; Chegar a casa mais ou menos cedo; Chegar a casa tarde por causa do tráfego. tarde por causa do tráfego.



Princípio básicoPrincípio básico P(resP(resjj| A| Aii) = ) =

Probabilidade de obtenção do resultado resProbabilidade de obtenção do resultado resjj, dada a acção A, dada a acção Aii::

U(resU(resjj) = ) = utilidade associada a cada resultado. utilidade associada a cada resultado.

UtilidadeUtilidade– Captura o desejo de realização de resCaptura o desejo de realização de resjj

– Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar Um agente ec preferirá um estado que lhe possa dar maior utilidade. maior utilidade.

– U(resU(resjj) > U(res) > U(resii) ) res resjj é preferível a res é preferível a resii



Continuação do exemploContinuação do exemplo plano1 e plano2 são acçõesplano1 e plano2 são acções Plano 1 considera a estrada A23Plano 1 considera a estrada A23

– P(casa cedo|plano1) = 0.8P(casa cedo|plano1) = 0.8– P(preso estrada A23|plano1) = 0.2P(preso estrada A23|plano1) = 0.2– Rápido se não houver problemas , 1 hora de paragem se Rápido se não houver problemas , 1 hora de paragem se

houver problemas. houver problemas. – U(chegar a casa cedo) = 100 U(chegar a casa cedo) = 100 – U(preso na estrada A23) = -1000U(preso na estrada A23) = -1000

Plano 2 utiliza a estrada a24Plano 2 utiliza a estrada a24– P(chegar a casa mais ou menos cedo|plano2) = 0.7P(chegar a casa mais ou menos cedo|plano2) = 0.7– P(preso na estrada|plano2) = 0.3P(preso na estrada|plano2) = 0.3– Mais ou menos rápido se não houver problemas, não tão mau Mais ou menos rápido se não houver problemas, não tão mau

se houver problemas. se houver problemas. – U(de chegar mais ou menos cedo) = 50 U(de chegar mais ou menos cedo) = 50 – U(preso na estrada A24) = -10U(preso na estrada A24) = -10



Princípio básicoPrincípio básico Dada P(resDada P(res11| A| Aii), utilidade U(res), utilidade U(res11), ), P(resP(res22| A| Aii), utilidade U(res), utilidade U(res22)…)…

A utilidade esperada (EU) de uma acção AA utilidade esperada (EU) de uma acção Aiii:i:EU(AEU(Aii) = ) = U(resU(resjj)*P(res)*P(resjj|A|Aii))

Escolher AEscolher Aii tal que maximize EU tal que maximize EU MEU = argmax MEU = argmax U(resU(resjj)*P(res)*P(resjj|A|Aii)) AAii Ac res Ac resj j OUT OUT

res-j res



Aplicação do princípioAplicação do princípio

EU(Plano1) = P(casa cedo | plano1) *U(casa cedo) +EU(Plano1) = P(casa cedo | plano1) *U(casa cedo) + P(preso na A23 | plano1) * U(preso na A23)P(preso na A23 | plano1) * U(preso na A23)

==0.8 * 100 + 0.2 * -1000 = -1200.8 * 100 + 0.2 * -1000 = -120

EU(Plano2) = P(casa mais ou menos cedo | plano2) *EU(Plano2) = P(casa mais ou menos cedo | plano2) *U(casa mais ou menos cedo) + U(casa mais ou menos cedo) +

P(preso na A24 | plano2) * U(preso na P(preso na A24 | plano2) * U(preso na A24)A24)

= 0.7 * 50 + 0.3 * -10 = 32= 0.7 * 50 + 0.3 * -10 = 32

EU (plano2) é maior , logo escolho o plano 2EU (plano2) é maior , logo escolho o plano 2



Another View: Decision TreeAnother View: Decision TreeAnother View: Decision TreeAnother View: Decision Tree

Decision node: You play

Chance node: Nature plays

Plan1

Plan20.70

0.30

0.80

0.20

SuccessReward: $100

SuccessReward: $50

FailureReward: -$1000

Failure

Reward: -$10

EU(Plan2):$50*0.7 -10*0.3= 32

EU(Plan1):100*0.8 –1000*0.2 = -120



Bigger Trees PossibleBigger Trees PossibleBigger Trees PossibleBigger Trees Possible

Plan1

Plan2

0.70

0.70

0.80

0.20

Plan3

0.30

0.30

Plan1

Plan2

0.70

0.70

0.80

0.20

Plan3

0.30

0.30

Decnode




(4)(4) Conceitos:Conceitos: - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois - Os modelos de incerteza partem de uma situação simples de dois

momentos (t0 e t1)momentos (t0 e t1) A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos A incerteza em economia é modelizada pela consideração de diversos

estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1estados da natureza “incertos” a serem realizados em t1 Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de Um estado da natureza é a descrição completa de uma situação de

incerteza a ocorrer entre t0 e t1.incerteza a ocorrer entre t0 e t1. Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de Um plano de consumo é a especificação do número de unidades de

consumo de um bem em diversos estados da naturezaconsumo de um bem em diversos estados da natureza Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo: Relação de preferência do indivíduo face a diversos planos de consumo:

mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de mecanismo que permite um indivíduo comparar diferentes planos de consumoconsumo

Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do Função de utilidade permite concretizar a relação de preferência do indivíduo indivíduo

X é preferível a x´ se e só se U(x) X é preferível a x´ se e só se U(x) ≥ U(x´) ou ≥ U(x´) ou Em termos de utilidade esperada:Em termos de utilidade esperada:

E[u(x)] ≥ E[u(x´)] E[u(x)] ≥ E[u(x´)]



Formalização do riscoFormalização do risco

A decisão do investidor é subjectivaA decisão do investidor é subjectiva Existem linhas de acção a tomarExistem linhas de acção a tomar O resultado futuro é função dos estados de O resultado futuro é função dos estados de

natureza considerados no momento da natureza considerados no momento da decisão.decisão.

Os estados da natureza deverão ser Os estados da natureza deverão ser mutuamente exclusivos e exaustivosmutuamente exclusivos e exaustivos

Os estados da natureza encontram-se fora do Os estados da natureza encontram-se fora do controle do decisor.controle do decisor.

Para cada linha de acção existe uma Para cada linha de acção existe uma consequência consequência

Existe uma matriz de resultados (payoff Existe uma matriz de resultados (payoff matrix)matrix)



Payoff matrixPayoff matrixEstados da naturezaEstados da natureza

Linhas de acçãoLinhas de acção

E1 E2 E3 ….. Ej ……… EnE1 E2 E3 ….. Ej ……… En

A1A1

A2A2

..

..

.Ai.Ai

..

..

..

AmAm

C11 C12 C13 …… C1j ……….C1nC11 C12 C13 …… C1j ……….C1n

C21 C22 C23 …… C2j ……….C2nC21 C22 C23 …… C2j ……….C2n

Ci1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….CinCi1 Ci2 Ci3 …… Cij ……….Cin

Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj Cm1 Cm2 Cm3 …… Cmj ……….Cmn……….Cmn



Payoff matrixPayoff matrixExemploExemplo

Um vendedor de jornais vende ao Um vendedor de jornais vende ao preço de 5 euros uma revista que ele preço de 5 euros uma revista que ele adquire ao preço de 3 euros. A sua adquire ao preço de 3 euros. A sua experiência permite-lhe considerar experiência permite-lhe considerar que as vendas deste tipo de revista que as vendas deste tipo de revista se situa em 2,3 ou 4 exemplares, se situa em 2,3 ou 4 exemplares, sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de sendo raro 1 ou 5. Tem a certeza de que vende pelo menos um exemplar.que vende pelo menos um exemplar.



Payoff matrixPayoff matrixExemploExemplo

Nº exemplares Nº exemplares vendidosvendidos

Nºde exemplares Nºde exemplares armazenadosarmazenados

1 2 3 4 51 2 3 4 5

11

22

33

44

55

2 2 2 2 22 2 2 2 2

-1 4 4 4 4-1 4 4 4 4

-4 1 6 6 6-4 1 6 6 6

-7 -2 3 8 8-7 -2 3 8 8

-10 -5 0 5 10-10 -5 0 5 10



Payoff matrixPayoff matrix

Exemplo Exemplo Qual a melhor decisão?Qual a melhor decisão?

Critério Laplace : Não há razão q um estado da Critério Laplace : Não há razão q um estado da natureza seja melhor que o outro – Média natureza seja melhor que o outro – Média aritmética de cada linha e tomar a que der média aritmética de cada linha e tomar a que der média mais elevada.mais elevada.

Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a Critério Wald – Tomar em cada linha de acção a situação mais desfavorável e decidir pela menos situação mais desfavorável e decidir pela menos desfavoráveldesfavorável

Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela Critério Hurwicz – Cada linha é ponderada pela situação mais favorável e menos favorável e faz-se situação mais favorável e menos favorável e faz-se a media aritmética (ponderada). O factor de a media aritmética (ponderada). O factor de ponderação é efectuado pelo decisor.ponderação é efectuado pelo decisor.

Critério de regressão – Procede a um regressão Critério de regressão – Procede a um regressão entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. entre o valor previsto e o valor obtido à posteriori. Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar Os parâmetros obtidos pela regressão irão afectar as decisões futuras.as decisões futuras.




C1b>C1m>C1b>C1m>FF

Cash Cash flowflow

DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.

Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1b

C1mC1m

D=F.v1bD=F.v1b+F.v1m+F.v1m

FF

FF

A=(c1b-A=(c1b-F).v1b+F).v1b+(c1m-F).v1m(c1m-F).v1m

C1b-FC1b-F

C1m-FC1m-F

Valor da empresa com Valor da empresa com dívida=A+Ddívida=A+D

=C1b.v1b+C1m.v1m=C1b.v1b+C1m.v1m

=valor da empresa sem =valor da empresa sem dívidadívida

C1b>F>C1C1b>F>C1mm

Cash flowCash flow DívidaDívida AcçõesAcções

Boa conjunt.Boa conjunt.

Má conjunt.Má conjunt.

Valor Valor mercadomercado

C1bC1b

C1mC1m

D=F.v1b+C1D=F.v1b+C1m.v1mm.v1m

FF

C1mC1m

A=(c1b-A=(c1b-F).v1bF).v1b

C1b-FC1b-F

00



Decisão de investimento e mercado Decisão de investimento e mercado completocompleto

Preço Preço hojehoje

Cash Cash flow flow boa boa conjconj

Cash Cash flow flow má má conjconj

Cupão Cupão zero unitzero unit

AcçãoAcção

0,950,95

1,451,45

11

22

11

11

Activos Activos contingentes contingentes BB

Activos Activos contingentes contingentes MM

Cupão zero Cupão zero unitunit

11 11

Acção2Acção2 22 11

0,95=1.v1b+1.v1m0,95=1.v1b+1.v1m

1,45=2.v1b+1.v1m1,45=2.v1b+1.v1m

V1b = 0,5 v1m = 0,45V1b = 0,5 v1m = 0,45



Aversão ao risco, exemplo…Aversão ao risco, exemplo… Suponha que a um agente económico é dada a Suponha que a um agente económico é dada a

escolha de uma das seguintes hipóteses: escolha de uma das seguintes hipóteses: Escollha 1: obter certo $1,000,000Escollha 1: obter certo $1,000,000

– Esolha 2: Mandar uma moeda ao arEsolha 2: Mandar uma moeda ao ar Se sair cara, ganhar $3,000,000Se sair cara, ganhar $3,000,000 Se sair coroa, não ganhar nadaSe sair coroa, não ganhar nada

Cálculo da utilidade esperada:Cálculo da utilidade esperada:– EU(escolha1) = $1,000,000EU(escolha1) = $1,000,000– EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 = EU(escolha2) = 0.5 * $0 + 0.5 * $3,000,000 =

$1,500,000$1,500,000

Porque muita gente prefere a escolha 1?Porque muita gente prefere a escolha 1?



Aversão ao riscoAversão ao risco Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao Porque a maior parte das pessoas são “avessas ao

risco”risco” As funções de utilidade poderão ser :As funções de utilidade poderão ser :

– Para o primeiro milhão U($1M) = 10Para o primeiro milhão U($1M) = 10– Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20)Para o segundo milhão U($2M) = 15 (Não 20)– Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30)Para o terceiro milhão U($3M) = 18 (Não 30)– ……..



Aversão ao riscoAversão ao risco If we plot amount of money on the x-axis and utility If we plot amount of money on the x-axis and utility

on the y-axis, we get a concave curveon the y-axis, we get a concave curve

EU(choice1) = U($1M) = 10EU(choice1) = U($1M) = 10 EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9EU(choice2) = 0.5*U(0) + 0.5*U($3M =18) = 9 That is why we prefer the sure $1MThat is why we prefer the sure $1M

0

5

10

15

20

25

0 1M 2M 3M 4M

Money

Uti

lity



Atitude face ao riscoAtitude face ao risco

Indiferença (neutro ao risco)Indiferença (neutro ao risco)

Aversão ao riscoAversão ao risco

Propensão ao riscoPropensão ao risco

Nota: Há uma função de utilidade Nota: Há uma função de utilidade associadaassociada



Indiferença ao riscoIndiferença ao risco Utilidade (U)Utilidade (U)



propensão ao riscopropensão ao risco

UtilidadeUtilidade

RiquezaRiqueza



Aversão ao riscoAversão ao risco

UtilidadeUtilidade

RiquezaRiqueza



Risk Averse, Risk NeutralRisk Averse, Risk NeutralRisk SeekingRisk Seeking

0

5

10

15

20

25

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utili

ty

RISK AVERSE

05

1015202530354045

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utilit

y

RISK NEUTRAL

0

20

40

60

80

100

120

0 1M 2M 3M 4M

Money

Utilit

y

RISK SEEKER

EU(Choice1) = 10EU(Choice2) = 9

EU(Choice1) =10EU(Choice2) =15

EU(Choice1)=10EU(Choice2)=25



conclusãoconclusão

Os activos financeiros são activos de risco.Os activos financeiros são activos de risco. Há todavia activos de maior ou menor Há todavia activos de maior ou menor

risco e activos sem risco.risco e activos sem risco. Os indivíduos têm um grau de maior ou Os indivíduos têm um grau de maior ou

menor aversão ao risco traduzido pela menor aversão ao risco traduzido pela utilidade esperada do ganho obtido.utilidade esperada do ganho obtido.

Os pagamentos são incertos o que envolve Os pagamentos são incertos o que envolve que as escolhas sejam designadas de que as escolhas sejam designadas de lotarias mas o princípio de maximização lotarias mas o princípio de maximização da utilidade esperada é uma decisão da utilidade esperada é uma decisão racional.racional.



Anexo – about uncertainty measureAnexo – about uncertainty measure

Economist’s jargonEconomist’s jargon

Economists call Economists call a lotterya lottery a situation a situation which involves uncertain payoffs:which involves uncertain payoffs:– Cultivating apples is a lotteryCultivating apples is a lottery– Cultivating pears is another lotteryCultivating pears is another lottery– Playing with a fair die is another onePlaying with a fair die is another one– Monthly consumption Monthly consumption

Each lottery will result in a prizeEach lottery will result in a prize



Drawing an indifference curveDrawing an indifference curve

X2

X1

EU1

EU2

EU3

Convex Indifference curvesImportant to understand that:EU1 < EU2 < EU3

Line of lotteries without risk



Indifference curve and risk aversionIndifference curve and risk aversion

X1

X2

3125/0.25

3125/0.75

Line of lotteries without risk

3125

3125

4000

500

Lot. A

Lot. B

We had said that if the individual was risk averse, he will prefer Lottery A to Lottery B.

These indifference curves belong to a risk averse individual as the Lottery A is on an indifference curve that is to the right of the indifference curve on which Lottery B lies.

Lot A and Lot B have the same expected value but the individual prefers A because he is risk averse and A does not involve risk



What shape is the utility function What shape is the utility function of a risk averse individual?of a risk averse individual?

X=money

U(x)

U’(x)>0, U’(x)>0, increasingincreasing

U’’(x)<0, concaveU’’(x)<0, concave



Indifference curves and risk aversionIndifference curves and risk aversion

We have just seen that if the indifference curves We have just seen that if the indifference curves are convex then the individual is risk averseare convex then the individual is risk averse

Could a risk averse individual have concave Could a risk averse individual have concave indifference curves? No….indifference curves? No….



Does risk aversion imply anything about Does risk aversion imply anything about the sign of U’’(x)the sign of U’’(x)

2 1 1

1 1 2

22 1 1

21 1 2

'( )*

(1 ) '( )

''( )*

(1 ) '( )

dx p U x

dx p U x

d x p U x

dx p U x

Convexity means that the second derivative is positive

In order for this second derivative to be positive, we need that U’’(x)<0

A risk averse individual has utility function with U’’(x)<0



Geometric propertyGeometric property

A risk-averse utility function A risk-averse utility function UU is is concaveconcave

Such a function satisfies:Such a function satisfies:– UU[(1 - [(1 - pp) ) xx + p y+ p y] ≥ (1 - ] ≥ (1 - pp) ) UU((x)x) + p U+ p U((y)y)

– For each For each x, y,x, y, and and pp [0,1] [0,1]– (Not just (Not just pp = ½, which is where we started) = ½, which is where we started)

Geometrically, the curve lies on or Geometrically, the curve lies on or above a line through any two of its above a line through any two of its pointspoints



Measuring Risk AversionMeasuring Risk Aversion

The most commonly used risk aversion The most commonly used risk aversion measure was developed by Prattmeasure was developed by Pratt

"( )( )

'( )

U Xr X

U X

For risk averse individuals, For risk averse individuals, U”U”((XX) < ) < 00– rr((XX) will be positive for risk averse ) will be positive for risk averse

individualsindividuals



Now take wealth into Now take wealth into accountaccount

The coefficient The coefficient a(x)a(x) helps measure helps measure what a person would pay to avoid a what a person would pay to avoid a gamble: gamble: – That payment is approximately That payment is approximately a(x)a(x)

times ½ the variance of the gamble times ½ the variance of the gamble What What fraction of wealthfraction of wealth would the would the

person pay to avoid a gamble? person pay to avoid a gamble? – Where wealth is given by Where wealth is given by x x > 0 > 0



The Arrow-Pratt Measures The Arrow-Pratt Measures of Risk Aversionof Risk Aversion

Absolute risk aversionAbsolute risk aversion - U- U΄΄΄΄(W)/U(W)/U΄́(W) = RA(W)(W) = RA(W) Relative risk aversionRelative risk aversion -WU-WU΄΄΄΄(W)/U(W)/U΄́(W) = RR(W)(W) = RR(W) Risk aversion means URisk aversion means U΄́(W) > 0 (W) > 0

and Uand U΄΄΄΄(W) (W) 0 0 The inverse of these measures The inverse of these measures

gives a measure of risk tolerancegives a measure of risk tolerance



Risk AversionRisk Aversion

If utility is logarithmic in consumptionIf utility is logarithmic in consumptionUU((XX) = ) = lnln ( (XX ) )

where where XX> 0> 0 Pratt’s risk aversion measure isPratt’s risk aversion measure is

"( ) 1( )

( )

U Xr X

U X X

Risk aversion decreases as wealth Risk aversion decreases as wealth increasesincreases



Risk AversionRisk Aversion

If utility is exponentialIf utility is exponentialUU((XX) = -) = -ee--aXaX = - = -exp exp (-(-aXaX))

where where aa is a positive constant is a positive constant Pratt’s risk aversion measure isPratt’s risk aversion measure is

2"( )( )

( )

aX

aX

U X a er X a

U X ae

Risk aversion is constant as wealth Risk aversion is constant as wealth increasesincreases



Willingness to Pay for Willingness to Pay for InsuranceInsurance

Consider a person with a current Consider a person with a current wealth of £100,000 who faces a wealth of £100,000 who faces a 25% chance of losing his 25% chance of losing his automobile worth £20,000automobile worth £20,000

Suppose also that the utility Suppose also that the utility function isfunction is

UU((XX) = ) = lnln ( (xx))




The person’s expected utility will beThe person’s expected utility will be

EE((UU) = 0.75) = 0.75UU(100,000) + 0.25(100,000) + 0.25UU(80,000)(80,000)

EE((UU) = 0.75 ) = 0.75 lnln(100,000) + 0.25 (100,000) + 0.25 lnln(80,000)(80,000)

EE((UU) = 11.45714) = 11.45714

In this situation, a fair insurance In this situation, a fair insurance premium would be £5,000 (25% of premium would be £5,000 (25% of £20,000=expected loss)£20,000=expected loss)




The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to The individual will likely be willing to pay more than £5,000 to avoid the gamble. How much will he pay?avoid the gamble. How much will he pay?

EE((UU) = ) = UU(100,000 - (100,000 - yy) = ) = lnln(100,000 - (100,000 - yy) = 11.45714) = 11.45714

100,000 - 100,000 - yy = = ee11.4571411.45714

yy= 5,426= 5,426

The maximum premium he is willing to pay is £5,426The maximum premium he is willing to pay is £5,426

The individual will insure if he is charged a fair premium The individual will insure if he is charged a fair premium

(£5000)(£5000)

Though this is just an example, this shows a general result. Though this is just an example, this shows a general result.

Risk averse individuals will prefer to be insured as long as the Risk averse individuals will prefer to be insured as long as the

cost of that insurance is not too largecost of that insurance is not too large

15-04-2015 carlos arriaga economia bancária e financeira unidade 21 unidade teórica 2 decisão...

Documents