carlos arriaga economia bancária e financeira 1 unidade 8. o modelo simplificado de sharpe (1963)...

Carlos ArriagaCarlos Arriaga Economia Bancária e financeiraEconomia Bancária e financeira 11

Unidade 8 Unidade 8

. . O Modelo simplificado de Sharpe (1963)O Modelo simplificado de Sharpe (1963)

Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M.Avaliação de activos financeiros: Modelo C.A.P.M.(Notas de(Notas de Moukhamedjanova SabinaMoukhamedjanova Sabina

Chan Bonnie e deChan Bonnie e de

Abhishek Kapur & Geir SivertsenAbhishek Kapur & Geir Sivertsen))


.Bibliografia.Bibliografia Eugene F. Fama e Merton H. Miller Eugene F. Fama e Merton H. Miller

The Theory of FinanceThe Theory of Finance (Hinsdale, (Hinsdale, Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7.Illinois: Dryden Press, 1972) Cap 7.


Eficiência segundo Markowitz – baseado na Eficiência segundo Markowitz – baseado na média e na variânciamédia e na variância

wT Ω wVariância do portfólio

Vector de ponderações w=[w1 . . . wN]Matriz das variâncias-covariâncias Ω

Vector de retornos R=[R1 . . . RN]Vector unitário 1=[11 . . . 1N]

wT RRetorno do portfólio

Considere N activos num portfolio e as seguintes notações :


Fronteira do PortfolioFronteira do Portfolio

Retornos do portfolio : wT R

Variância do Portfolio : wT Ω w

1

23

54 6


Efficiencia segundo Markowitz Efficiencia segundo Markowitz (Média-Var)(Média-Var)

1=1T ws.a.r=RT w

Optimização :min wT Ω w + (1-1T w) +

(r-RT w)w

min wT Ω ww

Para encontrar a fronteira de eficiência

12


Multiplicando equação 1 por 1T e RT :

Eq. 3 :1=a +b Eq. 4 : r=b +c

onde : a=1T Ω-11, b=1T Ω-1R, c=RT Ω-1R

Eq. 1 : Ωw=1 + REq. 2 :w=Ω-11 + Ω-1 R

FOC :


Resolvendo em ordem a e nas equações 3 e 4, e substituindo na eq 2, obtem-se :

w=v1+v2 rV1 e v2 são dois vectores fixos.

Por outro lado, qualquer combinação convexa de portfolios eficientes é também

um portfolio eficiente. O portfolio de mercado não é mais do que

uma combinação ponderada de portfólios, e que,por sua vez também é eficiente.


Modelo simplificado de SharpeModelo simplificado de Sharpe

Problemas do Modelo de Markowitz: Grande Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959)computacional complicado em 1959)

Conhecimento da matriz das co-varânciasConhecimento da matriz das co-varâncias Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos dos

diversos activos encontram-se ligados entre eles diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente:por uma relação a um factor comum subjacente:

ŘŘii = = ααii + + ββii Ĩ + ũĨ + ũii Ĩ = Ĩ = ααnn+1+1+ v+ vn+1n+1


CAPM– Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital Mossin, Jan. “Equilibrium in a Capital

Asset Market.” Asset Market.” EconometricaEconometrica 34(Oct. 34(Oct. 1966): 768-83.1966): 768-83.

– Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Sharpe, W. F. “Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk.” Conditions of Risk.” Journal of FinanceJournal of Finance 19(Sept. 1964): 425-42.19(Sept. 1964): 425-42.


– Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Lintner, John. “Security Prices, Risk, and Maximal Gain from Diversification.” Maximal Gain from Diversification.” Journal of FinanceJournal of Finance 20(Dec. 1965): 587- 20(Dec. 1965): 587-615.615.

– Lintner, John. “The Valuation of Risk Lintner, John. “The Valuation of Risk Assets and the Selection of Risky Assets and the Selection of Risky Investments in Stock Portfolios and Investments in Stock Portfolios and Capital Budgets.” Capital Budgets.” Review of Economics Review of Economics and Statisticsand Statistics 47(Feb. 1965): 13-37. 47(Feb. 1965): 13-37.


Avaliação de activos financeiros: Modelos Avaliação de activos financeiros: Modelos C.A.P.M. e A.P.T.C.A.P.M. e A.P.T.

Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe)

SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado.

CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line.modelo de mercado e a security market line.

APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factorfinanceiros são função lineares de mais do que um factor


O papel do activo sem risco no modelo

O equilíbrio de mercado oferece O equilíbrio de mercado oferece dificuldades de representação dificuldades de representação porque diferentes investidores têm porque diferentes investidores têm assumpções diferentes quanto ao assumpções diferentes quanto ao risco. A introdução do activo sem risco. A introdução do activo sem risco resolve esta ambiguidade.risco resolve esta ambiguidade.– O activo sem risco reduz o número O activo sem risco reduz o número

potencial de portfolios eficientes a um potencial de portfolios eficientes a um único portfolio. único portfolio.

Carlos ArriagaCarlos Arriaga Economia Bancária e financeiraEconomia Bancária e financeira 1313p

p

rf

p

rp


– Dentro deste equilíbrio, existe apenas Dentro deste equilíbrio, existe apenas um portfolio eficiente. Qualquer grau de um portfolio eficiente. Qualquer grau de aversão ao risco pode ser retratado no aversão ao risco pode ser retratado no modelo através de uma combinação de modelo através de uma combinação de um portfolio simples e eficiente e um um portfolio simples e eficiente e um emprestimo ou emprestar (borrowing ou emprestimo ou emprestar (borrowing ou lending) à taxa sem risco. lending) à taxa sem risco.

– Substituindo Substituindo xxmm por por xxpp ou deixando que ou deixando que o “portfolio índice” seja o portfolio de o “portfolio índice” seja o portfolio de mercado eficiente, ter-se-á:mercado eficiente, ter-se-á:


mj

mmj x

~1

1

m

fm r

1

1


fmjf

m

jm

m

fmf

j

m

m

fmfj

rr

rr

xr

r

~

2m

jmj

itmtiit rr


ConceitosConceitosBorrowing PortfolioBorrowing Portfolio

Um investidor é capaz de se Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais:seja superior aos valores iniciais:

E(E(Řp) = XŘp) = Xzzrrzz + (1-X + (1-Xzz)r)rbb

rrbb é a taxa de empréstimo é a taxa de empréstimo


ConceitosConceitosLending portfolioLending portfolio

Emprestador sobre o mercado monetário (sem Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco) e associação à aquisição de activos com risco.risco.

Condições :Condições : - Existe ao menos alguem que não apresenta - Existe ao menos alguem que não apresenta

risco de não cumprimento da dívida (quem pede risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo)emprestado com risco nulo)

- O rendimento presente e futuro de quem - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certoadquire este activo é um valor certo

- Este activo oferece uma protecção perfeita - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compracontra a perda do poder de compra


MODELO CAPMMODELO CAPM

O CAPM considera que todos os investidores possuem portfolios eficientes no sentido de maior valor esperado

para um mínimo risco. Pelo teorema de separação de dois portfolios, o portfólio

de mercado é também eficiente.

Para a validade do CAPM, o portfolio de mercado deve encontrar-se na fronteira eficiente.


Condições de estimação do modelo de mercadoCondições de estimação do modelo de mercado O índice de mercado deverá responder às O índice de mercado deverá responder às

condições seguintes:condições seguintes:

1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são existente no mercado (vinte são representativos)representativos)

2. Ser um indice de rendimento e não apenas 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros).juros).

3. Ser um índice ponderado e não uma média 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples.aritmética simples.


Versões do CAPMVersões do CAPM

Sharpe-Lintner :

Black :

E[Zi]=i + ßi (E[Zm])

E[Ri]= i + ßi (E[Rm])

Este activo assume a presença de umActivo sem risco

Este modelo trata a taxa sem risco como uma variávelaleatória


Problema de minimizaçãoProblema de minimização Black versionBlack version

Sharpe-Lintner (com activo sem risco)Sharpe-Lintner (com activo sem risco)

RwRwVww TT

Rw N

and 11 s.t. min T

00 )1( s.t. min RRwRVww TT

Rw N

R


Sharpe ModelSharpe Model Regressão de ZRegressão de Zit it sobre Zsobre Zmtmt

Hipótese nula :Hipótese nula :

Versão de BlackVersão de Black RegressãoRegressão

Hipótese nula α = (Hipótese nula α = (ii-β)γ-β)γ

00

][)(][][ mtmtt REiREiRE


Modelo de Sharpe-LintnerModelo de Sharpe-Lintner A solução de Sharpe-A solução de Sharpe-

Lintner é uma Lintner é uma fronteira de fronteira de eficiência.eficiência.

Esta fronteira de Esta fronteira de eficiência combina eficiência combina uma posição longa no uma posição longa no portfolio de mercado portfolio de mercado com um activo sem com um activo sem risco adquirido em risco adquirido em situação de “lending” situação de “lending” ou “borrowing”ou “borrowing”


Black CAPMBlack CAPM

)( )()( mzmpmmzp RRRR

mpmmzpmp RRR )()1(


Security Market Line Security Market Line E(Rp)E(Rp)

E(rm)E(rm) yy

rfrf Zero Beta PortfolioZero Beta Portfolio 1 1 σσ (p) (p)


Security Market LineSecurity Market Line• Derivamos a security market line:

• Em forma de retorno em excesso

)( 00 RRRR mpmp

mtpmit

mpmp

ZZ

RRRR

)( 00


A intercepção é zeroA intercepção é zero Beta captura completamente a variação Beta captura completamente a variação

dos retornos em excesso. dos retornos em excesso. O prémio de mercado é positivo. O prémio de mercado é positivo.

Como testar o CAPM?Como testar o CAPM?

Os testes do CAPM focam-se em três implicações do modelo de excesso de retorno


Testes sobre a “intercept”Testes sobre a “intercept”

Sharpe-Lintner :E[Zi]= i + ßi (E[Zm])

Testar se i = 0Black :

E[Ri]= i + ßi (E[Rm])Testar se

i = (1-ßi) E[R0]


Zero-Beta CAPMZero-Beta CAPM


Pressupostos implicitos do Pressupostos implicitos do modelomodelo

As estimativas encontram-se sujeitas a erro de As estimativas encontram-se sujeitas a erro de amostragem pelo que o portfolio de mercado não amostragem pelo que o portfolio de mercado não é suposto ser ex-post eficiente. é suposto ser ex-post eficiente. A medida do racio de sharp mede a ineficiencia A medida do racio de sharp mede a ineficiencia do portfolio de mercado que nos permite do portfolio de mercado que nos permite detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM. detrminar quando deveremos rejeitar o CAPM.


Rácio de SharpeRácio de Sharpe

Dada uma tangente a, e um portfolio de mercado

m :a

rf

A diferença ra - rm dá-nos uma medida da ineficiência de m m


Oferta de acções pela empresa

Assumimos que cada empresa vende Assumimos que cada empresa vende acções a um preço acções a um preço PPii. Os Investidores . Os Investidores desejam adquirir estas acções desejam adquirir estas acções fundamentados no valor futuro da fundamentados no valor futuro da empresa no final do período, empresa no final do período, VVii. O valor . O valor de aquisição e o valor da empresa no final de aquisição e o valor da empresa no final do período determinarão a taxa de do período determinarão a taxa de retorno:retorno:

i

iii P

PVR


O valor futuro da empresa implica algum O valor futuro da empresa implica algum risco, por isso a taxa de retorno possui risco, por isso a taxa de retorno possui risco. Por outro lado, todos os investidores risco. Por outro lado, todos os investidores avaliam o investimento considerando o avaliam o investimento considerando o equilibrio da linha de “capital market”.equilibrio da linha de “capital market”.

Matematicamente, o preço e o valor do Matematicamente, o preço e o valor do portfolio de mercado fica:portfolio de mercado fica:

N

iim

N

iim VVPP

11

e


Medidas de Performance baseadas Medidas de Performance baseadas no APTno APT

Modelo de dois factoresModelo de dois factores

Nota:Nota: A medida é semelhante ao A medida é semelhante ao índice de Jensen Index. índice de Jensen Index.

)β)]E(r)[E(Iβ)]E(r)[E(I +)(E(r)E(rA p2,Z2p1,Z1Zpp


ConclusãoConclusão

No caso do CAPM não se sabe se a No caso do CAPM não se sabe se a performance é derivado da habilidade performance é derivado da habilidade do investidor ou à ineficiência do do investidor ou à ineficiência do índice de mercado. No modelo APT, índice de mercado. No modelo APT, existe liberdade de seleccionar os existe liberdade de seleccionar os factores sem restrição, pelo que a factores sem restrição, pelo que a performance tem em conta os performance tem em conta os factores que considerámosfactores que considerámos

FIM FIM

carlos arriaga economia bancária e financeira 1 unidade 8. o modelo simplificado de sharpe (1963)...

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