20080701142901 pacher cp apostila matematica

Prof. PacherData de impressão: 01/07/2008

Matemática

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Carreira Policial

Prof. Pacher Matemática

Atualizada 26/06/2008 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores

1

SISTEMA LEGAL MEDIDAS E EQUIVALÊNCIAS

UNIDADES DE TEMPO 1 1ano = 12 meses 2

1 mês = 30dias *

3

1 dia = 24 horas

4

1 hora = 60 min

5

1 min = 60 s 6 * 1 ano comercial tem 360 dias, e mês com 30 dias 7 1 ano civil tem 365 dias, e mês com o número de dias do calendário 8 1 ano civil bissexto tem 366 dias, e mês com os números de dias do calendário

ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO km hm dam m dm cm mm

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ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE ÁREA km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

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ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE VOLUME km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

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ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE CAPACIDADE kl hl dal l dl cl ml

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EQUIVALENCIA ENTRE: VOLUME E CAPACIDADE 1 dm3 1 litro 1 000 cm3

ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE MASSA kg hg dag g dg cg mg

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MEDIDAS DE ÂNGULOS

Símbolos 1 Graus º Minutos

Segundos

2 Um giro completo na circunferência tem 360º e um ângulo reto 90º

3 1º = 60

4

1

=

60

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

01. Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml para vende na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas?

Resolução:

I) Os dados 10 litros e 750 ml não são compatíveis pela unidade de capacidade, deveremos converte ambos na mesma unidade. Usei o procedimento, converter 750 ml para litros, veja na escala:

kl hl dal l dl cl ml 10

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10

10 10 10 10 10 10

0 7 5 0,

0, 7 5 0

Resultando 0,750 litros ou 0,75 litros.

II) Encher 12 garrafas com 0,750 litros, 12x0,750 = 9 litros

III) Sobrou para engarrafar

Sobra= 10 9 = 1 litro

02. Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de:

Resolução:

I) Convertendo 1 km2 em m2, veja na escala:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

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1, 00 00 00

1 00 00 00,

Resultando 1000 000 m2

II) Dividir a metragem quadrada em 5 partes iguais

Resposta: 1 000 000 21 lote = = 200 000 m

5Área

03. Um médico receitou a João dois medicamentos. O primeiro deve ser tomado a cada uma hora e trinta minutos e o segundo a cada duas horas e trinta minutos. Sabendo que João começou o tratamento às 7h30min da manhã, tomando os dois medicamentos ao mesmo tempo, a que horas da noite ele tomará os dois medicamentos juntos novamente? a) às 2 b)às 21h30min. c) às 22h. d) às 22h30min e) às 23h

Resolução:

I) Tempo de cada remédio

Remédio 1 1h 30 min = 90 min Remédio 2 2h 30 min = 150 min

II) Cálculo do mmc ( 90, 150)

90 - 150 2 45 - 75 3 15 - 25 3 5 - 25 5 1

5 5

1

mmc (90, 150) = 2x32x52

= 450 min = 7h 30 min

II) Determinação do horário noturno.

Começou tomando os dois remédios às

7h 30 min Da manhã

mmc

+ 7h 30 min

Próximo horário que tomará os dois remédios juntos

15h 00 min

Da tarde

mmc

+

7h 30 min

Próximo horário que tomará os dois remédios juntos

= 22h 30 min

Da noite

Resposta: letra D

TESTES

01. (UNB-CESPE) Se um dia corresponde a 24 horas, então 9/12 do dia correspondem a: a) 8h b) 9h c) 12h d) 18h e) 20h

02. (FCC) Uma pessoa saiu de casa para o trabalho decorridos 5/18 de um dia e retornou à sua casa decorridos 13/16 do mesmo dia. Permaneceu fora de casa durante um período de a) 14 horas e 10 min b) 13 horas e 50 min c) 13 horas e 30 min d) 13 horas e 10 min e) 12 horas e 50 min

03. (FCC) Certo dia, Jairo comentou com seu colega Luiz: "Hoje eu trabalhei o equivalente a 4/9 do dia, enquanto você trabalhou apenas o equivalente a 7/20 do dia." Com base nessa informação, quanto tempo Jairo trabalhou a mais que Luiz? a) 1 h e 50 min b) 2 h e 16 min c) 2 h e 48 min d) 3 h e 14 min e) 3 h e 36 min

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04. (FCC) Uma transfusão de sangue é programada para que o paciente receba 25 gotas de sangue por minuto. Se a transfusão se estendeu por 2 horas e 12 minutos, e cada gota injeta 0,1ml de sangue, quantos ml de sangue o paciente recebeu? a) 330 b) 530 c) 880 d) 1900 e) 3300

05. Um período de tempo de 500 horas corresponde exatamente a: a) 20 dias b) 20,8 dias c) 20 dias e 20 horas d) 20 dias e 22 horas e) 19 dias e 21 horas

06. (CESGRANRIO) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2, será de: a) 1 000 b) 2 000 c) 20 000 d) 100 000 e) 200 000

07. (C.NAVAL) Uma fábrica de fósforos usa as seguintes definições: Caixa: conjunto de 45 palitos de fósforos. Maço: conjunto de 10 caixas. Pacote: conjunto de 12 maços. Dividindo-se 13 pacotes, 5 maços, 8 caixas, 22 palitos de fósforos, por 8, obtém-se um número p de pacotes, m de maços, c de caixas e f de palitos de fósforos, tais que p + m + c + f é igual a: a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

08. (FCC) Num tanque temos 2.000 l de água e 400 l de óleo. Cada litro de água pesa 1 kg, enquanto um litro de óleo pesa 0,8 kg. Assim, o peso total dos 2.400 l do tanque, em toneladas, é igual a: a) 0,0232 b) 0,232 c) 2,32 d) 23,2 e) 232

09. (NC.UFPR) Calcule a massa total de 30.000 folhas de papel em formato 20 cm por 20 cm, sabendo que a especificação de gramatura desse papel é 75 g/m2. a) 120 kg b) 90 kg c) 60 kg d) 12 kg e) 9 kg

10. (FCC) Às 13h 45min iniciei um trabalho. Às 16h 45min já tinha executado 3/4 desse trabalho. Prosseguindo nesse ritmo, terminarei meu trabalho às: a) 17h b) 17h 15min c) 17h 30min d) 17h 45min e) 18h

11. (FCC) O tampo de uma mesa tem a forma de um quadrado, cujo lado mede 120 cm. Se ele deve ser revestido por um material que custa R$ 18,50 o metro quadrado, a quantia mínima a ser desembolsada para se executar esse serviço é: a) R$ 26,64 b) R$ 25,86 c) R$ 24,48 d) R$ 22,20 e) R$ 20,16

12. A aluna Viviane da Escola Parque quando está de férias, costuma bronzear-se uma hora doze minutos e vinte e cinco segundos, diariamente. Quantos segundos, ela ficará exposta aos raios solares, durante três dias? a) 12.105 b) 13.135 c) 12.035 d) 13.035 e) 12.125

13. A escola Estrela Azul , cumprindo uma das determinações do Ministério da Educação, ministra 800 horas/aulas para a 4a. Série do ensino Fundamental. Sabendo-se que o número máximo de faltas permitidas a um aluno é de 25% desse total, pergunta-se: quantas faltas ainda, no máximo, poderia ter o aluno que já tinha faltado 145 horas/aulas? a) 200 b) 125 c) 55 d) 65 e) 75

14. A equipe ALFA de alunos do Colégio Signos, recebeu a tarefa de calcular a área do campo de futebol do colégio. Sabe-se que o comprimento é triplo de sua largura, e que para cercar este campo de formato retangular com 3 voltas de arame, foram gastos 720m de arame. Daí, concluímos que o campo tem uma área de : a) 2.100 m2

b) 2.500 m2

c) 2.400 m2

d) 2.700 m2

e) 2.800 m2

15. A jovem aluna Aline sempre gostou de resolver problemas envolvendo sistema métrico decimal. Aline sabe que o perímetro de um determinado triângulo é 0,187m e dois de seus lados tem 0,51dm e 92mm, logo o terceiro mede, em centímetros: a) 3,4 b) 4,4 c) 3,6 d) 4,3 e) 5,4

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16. (UNB-CESPE) Na revisão de um livro, o autor gastou 5h55min para rever o texto, 2h05min para rever a ordem dos exercícios e 4h25min para correção das figuras. O tempo gasto na revisão foi de: a) 12h35min b) 12h30min c) 12h25min08s d) 12h15min e) 12h25min

17. (NC.UFPR) Uma dona de casa, procurando fazer uso racional dos equipamentos domésticos e do consumo de água, observou que a freqüência ótima para a utilização da máquina de lavar roupa é uma vez em dias alternados. Sabe-se que o consumo de água dessa máquina é de 150,9 litros em cada vez que é usada. Se essa freqüência de uso da máquina for cumprida rigorosamente, o volume de água gasto pela máquina no mês de abril será de: a) 22635 litros b) 2,2635 m3

c) 2414,4 dm3

d) 2112,6 litros e) 24144 litros

18. Uma sala tem 80dm de comprimento; 0,7dam de largura e 0,05 hm de altura. Os móveis ocupam um vinte avos do volume da sala e cada pessoa deve dispor de 7m3 de ar para sua respiração. A quantidade de pessoas que, nessas condições, podem permanecer na sala é: a) 35 b) 36 c) 37 d) 38 e) 30

19. (C.M.) O quintal de Fernanda tem a forma de um retângulo, com os lados medindo 2,1 dam e 3,02 dam. Fernanda construiu no quintal uma piscina que também tem forma de um retângulo, com seus lados medindo 10m e 4,5 m. Então ela resolveu plantar grama em volta da piscina, em toda área restante do quintal. Se cada metro quadrado de grama custa R$ 0,60, Fernanda gastará para adquirir a grama necessária, a quantia de:

20. (UFRJ-NCE) Numa partida de futebol foram marcados dois gols no primeiro tempo: o primeiro, aos 18 min 25 s e, o segundo, aos 23 min e 12 s. O tempo decorrido entre os dois gols foi de: a) 4 min 47 s b) 4 min 48 s c) 4 min 57 s d) 5 min 47 s e) 5 min 48 s

21. Quantos copos com capacidade de ¼ de litro podem ser enchidos com o conteúdo de uma jarra de 2 ½ litros ? a) 10 b) 90 c) 8 d) 7

22. Vovô consultou o relógio, pensou um pouco e disse : Já se passaram 3/8 deste dia 25 de junho. A que horas do dia isso aconteceu? a) 8h b) 9h c) 11h d) 15h e) 24h

23. Um intervalo de tempo de 0,7h corresponde a : a) 7 minutos b) 42minutos c) 70 minutos d) 1 hora e 10 min e) 60 minutos

24. Um aquário tem a forma de um bloco retangular, com arestas de 60 cm, 40 cm e 30 cm. Quantos litros de água cabem no aquário cheio? a) 720 b) 640 c) 130 d) 72 e) 13

25. (OBM) Uma fazenda retangular que possui 10 km de largura por 20 km de comprimento foi desapropriada para reforma agrária. Se a fazenda deve ser dividida para 200 famílias de modo que todas as famílias recebam a mesma área, então cada família deve receber: a) 1 000 000 m2

b) 100 000 m2 c) 5 000 m2

d) 1 000 m2 e) 10 000 m2

26. (OBM) Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias? a) segunda-feira b) sábado c) domingo d) sexta-feira e) quinta feira

27. (OBM) Numa certa cidade, o metrô tem todas suas 12 estações em linha reta. A distância entre duas estações vizinhas é sempre a mesma. Sabe-se que a distância entre a terceira e a sexta estações é igual a 3 300 metros. Qual é o comprimento dessa linha? a) 8,4 km b) 12,1 km c) 9,9 km d) 13,2 km e) 9,075 km

28. Efetuar a seguinte operação: 7 a 5 m 3 d

4 a 9 m 8 d, considerando: a=ano, m=mês e d=dia. Obs.: Use mês comercial, mês com 30 dias.

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29. Um relógio adiantou

12

2 minutos no primeiro dia;

12

3

minutos no segundo dia e

12

6

minutos no

terceiro dia. Determine quanto adiantou no total, nos três dias.

30. (CESGRANRIO) Seu José produziu 10 litros de licor de cupuaçu e vai encher 12 garrafas de 750 ml para vende na feira. Não havendo desperdício, quantos litros de licor sobrarão depois que ele encher todas as garrafas? a) 1,00 b) 1,25 c) 1,50 d) 1,75 e) 2,00

31. Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de: a) 1.450m b) 12.506,77m c) 14.500m d) 12.506m e) n.d.a.

32. (UNB-CESPE) Quantos alfinetes de 8 cm de comprimento podem ser feitos com um fio de arame de 25 hm de comprimento? a) 31 250 b) 3 125 c) 312 500 d) 312,5

GABARITO SISTEMA DE MEDIDAS 01 D 02 E 03 B 04 A 05 C 06 E 07 A 08 C 09 B 10 D 11 A 12 D 13 C 14 D 15 B 16 E 17 B 18 D 19 353,52 20 A 21 A 22 B 23 B 24 D 25 A 26 C

27 B 28 2a7m25d 29 7 30 A 31 A 32 A

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO

O conjunto dos números múltiplos de n é o conjunto formado por todos os números obtidos multiplicando-se n pelos números naturais. P.ex.: Múltiplos de 6: {0, 6, 12, 18, 24, 30,...} Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...} Múltiplos comuns de 4 e 6: {0, 12, 24,...} Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)

É o menor número divisível por todos os números envolvidos Para obter o MMC de 20, 15 e 25, divide-se simultaneamente os números envolvidos por fatores primos e, o MMC será o produto desses primos usados na fatoração comum.

20 - 15 - 25 2 10 - 15 - 25 2 5 - 15 - 25 3 5 - 5 - 25 5 1 - 1 - 5 5

1

MMC(20,15,25)=300, observe que o produto dos divisores: 2.2.3.5.5=300

MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) É o maior número que divide ambos os números envolvidos. Para obter o MDC de 84 e 90, fatora-se separadamente os números envolvidos e, o MDC será obtido pelo produto dos divisores comuns observados nas fatorações.

84 2 90 2 42 2 45 3 21 3 15 3 7 7 5 5 1

1

MDC (84, 90)=2.3=6, observe que 2 e 3 são divisores comuns em ambas às fatorações.

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TESTES

01. (FCC) Três funcionários fazem plantões nas seções em que trabalham: um a cada 10 dias, outro a cada 15 dias, e o terceiro a cada 20 dias, inclusive aos sábados, domingos e feriados. Se no dia 18/05/02 os três estiveram de plantão, a próxima data em que houve coincidência no dia de seus plantões foi a) 18/11/02 b) 17/09/02 c) 18/08/02 d) 17/07/02 e) 18/06/02

02. (FCC) Todos os funcionários de um Tribunal devem assistir a uma palestra sobre "Qualidade de vida no trabalho", que será apresentada várias vezes, cada vez para um grupo distinto. Um técnico foi incumbido de formar os grupos, obedecendo aos seguintes critérios:

todos os grupos devem ter igual número de funcionários;

em cada grupo, as pessoas devem ser do mesmo sexo; o total de grupos deve ser o menor possível.

Se o total de funcionários é composto de 225 homens e 125 mulheres, o número de palestras que deve ser programado é a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 25

03. (FCC) Uma Repartição Pública recebeu 143 microcomputadores e 104 impressoras para distribuir a algumas de suas seções. Esses aparelhos serão divididos em lotes, todos com igual quantidade de aparelhos. Se cada lote deve ter um único tipo de aparelho, o menor número de lotes formados deverá ser a) 8 b) 11 c) 19 d) 20 e) 21

04. Dispomos de três pedaços de arame, com comprimentos 10,5m, 98m e 7m. Deseja-se cortar esses arames em pedaços de mesmo comprimento, de tal forma que os pedaços tenham o máximo comprimento possível. Determine quantos pedaços podemos obter e a medida em metros de cada pedaço a) 33 pedaços com 3 m cada b) 33 pedaços com 4,5m cada c) 30 pedaços com 3,5m cada d) 30 pedaços com 3,m cada e) 33 pedaços com 3,5m cada.

05. (FCC) Dois vigilantes de um prédio público fazem ronda, um em cada bloco, respectivamente em 10 e 12 minutos. Se ambos iniciaram a ronda às 19 horas, darão inicio à nova ronda, simultaneamente, às a) 19h30 b) 20h c) 20h30 d) 21h e) 21h30

06. (FCC) Um médico receitou dois remédios a um paciente: um para ser tomado a cada 12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas do dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente às a) 17 horas do dia 11/10/2000. b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000. d) 2 horas do dia 13/10/2000. e) 6 horas do dia 13/10/2000.

07. (OCM) Quatro cometas passam pela terra de tempos em tempos. O primeiro passa de 2 em 2 anos. O segundo de 7 em 7 anos. O terceiro de 11 em 11 anos e o quarto de 13 em 13 anos. Se os quatro passaram juntos na terra no ano 2000, em que ano eles novamente passarão juntos na terra, pela primeira vez?

08. (FUVEST) Duas rodas gigantes começam a girar num mesmo instante, com uma pessoa na posição mais baixa de cada uma. A primeira dá uma volta em 30 segundos, e a segunda dá uma volta em 35 segundos. As duas pessoas estarão, ambas, novamente na posição mais baixa após: a) 1 min 10 s b) 3 min c) 3 min 30 s d) 4 min e) 4 min 20 s

09. Saem do porto de Santos, navios Argentinos de 6 em 6 dias, os do Uruguai de 4 em 4 dias. Se num dia saírem dois navios desses países que tempo demorará para saírem juntos outra vez? a) 10 dias b) 11 dias c) 12 dias d) 13 dias e) 14 dias

10. No ponto de ônibus passa um ônibus para Caixa Prego de 15 em 15 minutos e um ônibus para Tão Longe de 25 em 25 minutos. Se os dois passaram juntos às 8h 30 min, a que horas vão passar juntos de novo ? a) 8h 55min b) 9h 15min c) 9h 30min d) 9h 45min

11. (FCC) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

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12. (FCC) Uma enfermeira recebeu um lote de medicamentos com 132 comprimidos de analgésico e 156 comprimidos de antibiótico. Deverá distribuí-los em recipientes iguais, contendo, cada um, a maior quantidade possível de um único tipo de medicamento. Considerando que todos os recipientes deverão receber a mesma quantidade de medicamento, o número de recipientes necessários para essa distribuição é a) 24 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4

13. Três locomotivas apitam em intervalos de 45, 50 e 60 minutos respectivamente. Se coincidir das três apitarem juntas numa vez, quantas horas levara para apitarem juntas novamente? a) 15 horas b) 16 horas c) 17 horas d) 18 horas e) 19 horas

14. Três funcionários de um escritório cumprem, sistematicamente, horas-extras de trabalho. inclusive aos sábados e domingos: um deles a cada 15 dias, outro a cada 18 dias e o terceiro a cada 20 dias. Se, hoje, os três cumprirem horas-extras, a próxima vez em que eles irão cumprí-las num mesmo dia será daqui a: a) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um ano

15. Três despertadores são graduados da seguinte maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o segundo de duas em duas horas e o terceiro de 5 em 5 horas. Depois da primeira vez que tocaram juntos, este fato voltará a ocorrer novamente após: a) 40 horas b) 30 horas c) 25 horas d) 20 horas e) 15 horas

16. Dois ciclistas saem juntos no mesmo instante e sentido, do ponto de partida em uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Em quantos minutos voltarão a se encontrar novamente? a) 20 b) 22 c) 24 d) 120 e) 132

17. (ACAFE-SC) Num painel de propaganda, três luminosos se acendem em intervalos regulares: o primeiro a cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segundos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um dado instante, os três se acenderem ao mesmo tempo, os luminosos voltarão a se acender, simultaneamente, depois de: a) 2 minutos e 30 segundos b) 1 minuto e 30 segundos c) 3 minutos d) 36 segundos e) 2 minutos

18. (CESPE) Um médico receitou ao paciente três medicamentos distintos para serem tomados, cada um, em intervalos de 12h00min, 1h30mim e 2h. Se à meia-noite ele tomou os três medicamentos, então ele voltará, novamente, a tomá-los ao mesmo tempo às: a) 10h20min b) 12h00min c) 13h20min d) 13h50min e) 14h30min

19. (UFPR) O setor de recursos humanos de uma empresa está organizando um curso de capacitação dos funcionários. O curso constará de 3 fases e, devido à disponibilidade de salas e equipamentos, na primeira fase os participantes serão distribuídos em grupos de 4 pessoas, na segunda fase em grupos de 8 e na terceira fase em grupos de 6. Para que nenhum grupo fique incompleto em qualquer das fases, o número mínimo de participantes do curso é: a) 64. b) 48. c) 40. d) 32. e) 24.

20. Três peças de tecido que medem 24 metros, 30 metros e 48 metros, devem ser cortadas em pedaços todos de mesmo comprimento e do maior tamanho possível, sem que haja sobra de tecido em qualquer uma das peças. Nestas condições, os pedaços iguais medem: a) 2m b) 6m c) 3 m d) 6m e) 10m

21. Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minutos; da segunda torneira cai uma gota de 6 em 6 minutos e da terceira torneira cai uma gota de 10 em 10 minutos. Exatamente às 2 horas cai uma gota de cada torneira. A próxima vez que pingarão juntas novamente será às: a) 3 horas b) 4 horas c) 2 horas e 30 minutos d) 3 horas e 30 minutos

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22. (FCC) A tabela abaixo apresenta as dimensões do papel enrolado em duas bobinas B1 e B2.

Comprimento em m

largura em m

Espessura em mm

B1 23,10 0,18 1,5 B2 18 0,18 1,5

Todo o papel das bobinas será cortado de modo que, tanto o corte feito em B1 como em B2, resulte em folhas retangulares, todas com a mesma largura do papel. Nessas condições, o menor número de folhas que se poderá obter é a) 135 b))137 c) 140 d) 142 e) 149

23. (UFRJ-NCE) Maria e Ana se encontram de três em três dias, Maria e Joana se encontram de cinco em cinco dias e Maria e Carla se encontram de dez em dez dias. Hoje as quatro amigas se encontraram. A próxima vez que todas irão se encontrar novamente será daqui a: a) 15 dias b) 18 dias c) 28 dias d) 30 dias e) 50 dias

24. (UFRJ-NCE) x, y e z são números tais que 4

13 x 11x 5

3 x 10

2x

19x5

13 x 4

7x 3

3 x 5

2y

13 x 2

11x 22

3 x 3

2z

O máximo divisor comum entre x, y e z é igual a: a) 146; b) 280; c) 1.542; d) 2.808; e) 3.764.

GABARITO mmc e mdc 01 D 02 C 03 C 04 E 05 B 06 D 07 4002 08 C 09 C 10 D 11 C 12 A 13 A 14 D 15 B 16 B 17 C 18 B 19 E 20 D 21 A 22 B 23 D 24 D

NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS

RAZÃO.

Existem várias maneiras de comparar duas grandezas, por exemplo, quando se escreve a>b ou a<b ou ainda a=b, estamos a comparar as grandezas a e b. Mas essa comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí a utilizar-se, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o quociente entre essas grandezas.

é mesmo que é mesmo quea

a : b a/bb

Exemplo: A razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 . Se eu pretendo comparar a e b determino a razão a : b ou a/b, agora se eu disser que a razão entre elas é 2, estou a afirmar que a é duas vezes maior que b.

APLICAÇÕES

Entre as aplicações práticas de razões especiais, as mais comuns, são:

Velocidade média A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida e um tempo gasto neste percurso.

distância

percorridaVelocidade média =

tempo gasto

no percurso

Exemplo:

01. Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 horas. A velocidade média do carro nesse percurso, á calculada a partir da razão:

120 km V. média =

2 horas

O que significa que, por 1 hora o carro percorreu 60 km.

Escala Escala é a comparação da razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos na mesma unidade de medida.

comprimento do desenhoEscala =

comprimento real

EXERCÍCIO RESOLVIDO

01. Em um desenho, um comprimento de 8m está representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho? 8 m=800 cm.

16 cm Escala = 800 cm

Isto significa que, 1 medida no desenho é igual 50 dessas medidas no real.

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Densidade Demográfica O cálculo da densidade demográfica também chamada de população relativa de uma região, é considerada uma aplicação de razão entre duas grandezas. Ela expressa a razão entre o número de habitantes e a área em uma região.

número de

habitantesDensidade demográfica =

área total do

território


01. Um município paranaense ocupa a área de 100 000 km2. De acordo com o censo realizado, tem população aproximada de 50 000 habitantes. A densidade demográfica desse município é obtida assim:

100 000 hab Densidade demográfica = 50 000 km2

Isto significa que para cada quilômetro quadrado, esse município tem 2 habitantes.

TESTES

01. Dois segmentos tem 4 cm e 20m de comprimento, respectivamente. Determine a razão entre o comprimento do primeiro e o comprimento do segundo.

02. A escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 100m foi representado por um segmento de 5cm é:

03. Num concurso havia 90 candidatos. Tendo sido aprovados 30, a razão entre o número de reprovados e o número de aprovados é:

04. (CESGRANRIO) A razão entre o número de homens e de mulheres, funcionários da firma W, é 3/5. Sendo N o número total de funcionários (número de homens mais número de mulheres), um possível valor para N é: a) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) 56

05. (VUNESP) Em um mapa geográfico, uma distância real entre dois pontos igual a 10km é representada por 0,5cm. A escala deste mapa é: a) 1:2.106

b) 1:2.105

c) 1:2.104

d) 1:104

e) 1:103

06. A distância entre dois pontos é de 34m. Num desenho, essa distância está expressa por 68cm. A escala usada para fazer esse desenho foi de:

07. Em um desenho, um comprimento de 8m está representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho?

08. Sabendo que 1 cm no desenho corresponde a 2,5m no real, qual foi a escala usada para fazer esse desenho?

09. Numa carta geográfica, 1 cm representa 10 km no real. Qual foi a escala usada nessa carta geográfica?

10. Um ônibus parte de uma cidade A às 13h15min. Após percorrer 302 Km, chega numa cidade B às 17h15min. A velocidade média do ônibus, nesse percurso, foi de:

11. (CESGRANRIO) Em uma empresa, a razão do número de empregados homens para o de mulheres é 3/7. Portanto, a porcentagem de homens empregados nessa empresa é: a) 30% b) 43% c) 50% d) 70% e) 75%

12. (FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % d) 6,5 % e)) 7,5 %

GABARITO RAZÃO 01 1/500 02 1/2000 03 2 04 E 05 A 06 1/50 07 1/50 08 1/250 09 1/1000000 10 75,5 11 A 12 E

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PROPORÇÕES

PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES

Sejam a, b, c, e d números reais não nulos.

a c I)

b

= d

implica a x d =

b x c

a c a+b c+d II)

b =

d implica

b =

d

a c a+c a c III)

b =

d implica

b+d =

b =

d

a c a2 c2

axc IV)

b =

d implica

b2 = d2

=

bxd

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

(a, b, c) é diretamente proporcional a (m, n, p) se, e somente se:

a b c a + b + c m

= n

= p

= k = m + n + p


01. Um elevador em movimento constante, eleva-se em 15 segundos 3 metros.

Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência:

Tempo (seg)

Altura (m)

15 3 30 6 45 9

Observamos que quando duplica o intervalo de tempo, a altura do elevador também duplica e quando o intervalo de tempo é triplicado, a altura do elevador também é triplicada.

Observações: Usando razões, podemos descrever essa situação de outro modo.

02. Quando o intervalo de tempo passa de 15 seg para 30 seg, dizemos que o tempo varia na razão 15/30, enquanto que a altura do elevador varia de 3 m para 6 m, ou seja, a altura varia na razão 3/6. Observamos que estas duas razões são iguais:

15 3 1 30

= 6

= 2

03. Quando o intervalo de tempo varia de 15 seg para 45 seg, a altura varia de 3 m para 9 m. Nesse caso, o tempo varia na razão 15/45 e a altura na razão 3/9. Então, notamos que essas razões são iguais:

15 3 1 45

= 9

= 3

Concluímos que a razão entre o valor numérico do tempo que o elevador eleva-se e o valor numérico da altura atingida é sempre igual, assim dizemos então que a altura do é diretamente proporcional ao tempo.

GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS (a, b, c) é inversamente proporcional a (m, n, p) se, e somente se:

1m

a

= 1

n

b

= 1

p

c

= k

ou

m x a = n x b = p x c = k

Exemplo: 1. Um automóvel se desloca de uma cidade até uma outra localizada a 180 Km da primeira. Se o percurso é realizado em:

1 hora, o carro mantém velocidade média de 180 Km/h;

2 horas, o carro mantém velocidade média de 90 Km/h;

3 horas, o carro mantém velocidade média de 60 Km/h. Sendo que Km/h=quilômetro por hora.

Construiremos uma tabela desta situação:

Velocidade km/h Tempo h 180 1 90 2 60 3

De acordo com a tabela, o automóvel faz o percurso em 1 hora com velocidade média de 180 Km/h. Quando diminui a velocidade à metade, ou seja 90 Km/h, o tempo gasto para realizar o mesmo percurso dobra e quando diminui a velocidade para a terça parte, 60 Km/h o tempo gasto para realizar o mesmo percurso triplica. Concluímos que para percorrer uma mesma distância fixa, as grandezas velocidade e tempo gasto, são inversamente proporcionais.


01.A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000, b teve 20 000 e C teve 40 000. Se o número de vereadores dessa cidade é 21. quantos deles são do partido B?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

Resolução

I) x = número de candidatos do partido A, que é proporcional ao nº de votos obtidos. y = número de candidatos do partido B, que é proporcional ao nº de votos obtidos. z = número de candidatos do partido C, que é proporcional ao nº de votos obtidos.

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II) Formadas as proporções, obtemos relações entre x, y e z, que indicam o número de votos de cada partido.

x 10000 1 x 1= = = y=2xy 20000 2 y 2

1ª equação

x 10 000 1 x 1= = = z=4xz 40 000 4 z 4

2ª equação

1=

2y y20 000 2 1= = = z=2yz 40 000 4 z 2

3ª equação

III) Adicionando o número de candidatos, obtemos a formação que segue:

X + y + z = 21...................trocando: y por 2x e trocando z por 4x Obtemos a nova formação em x, siga:

X + 2x + 4x = 21.................7x = 21......... x = 3

Para x = 3........subst. na 1ª eq. y = 2x.......y = 2(3) = 6...... y = 6 Para x = 3.........subst. na 2ª eq. z = 4x.........z = 4(3) = 12........ z = 12

O número de candidatos do partido B, indicados pela letra y, é: y = 6

Resposta, alternativa A

02. Três amigos fizeram um bolão para jogar na Megasena, no qual cada um investiu, respectivamente, R$ 25,00, R$ 35,00 e R$ 40,00. Na conferência do resultado eles descobriram que acertaram 5 números em um dos cartões, o que lhes deu direito a um prêmio de R$ 3.600,00. Supondo que o prêmio deva ser dividido em partes diretamente proporcionais ao valor investido por cada um nas apostas, cada sócio receberá, respectivamente:

RESOLUÇÃO

I) Considere: x o valor que o amigo 1 deve receber y o valor que o amigo 2 deve receber z o valor que o amigo 3 deve receber

x + y + z = 3600

II) y x + y + zx z 3600= = = k = = =3625 35 40 25 +35 + 40 100

Igualando, obtemos o valor para cada amigo: x = 36 x = R$ 900,00

25 parte do amigo 1

x = 36 x = R$ 1260,0035

parte do amigo 2

x = 36 x = R$ 1440,0040

parte do amigo 3

Resposta: letra C

TESTES

01. Determine o valor do número racional y para que os números racionais 4; 2y; 2,6 e 0,52 formem, nessa ordem, uma proporção.

02. Os números 6, 16, x e 40 formam, nessa ordem, uma proporção. Nessas condições, determine o número x.

03. Quando se usa uma escala de 1:400, uma distância de 2,5 cm no desenho corresponde a quantos metros no real?

04. (FCC) Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas.

NÚMERODE PÁGINAS

TEMPO (MINUTOS)

1 12 2 24 3 36 4 48

Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que: a) Ainda devam ser digitadas 3 páginas. b) Todas as páginas tenham sido digitadas. c) Ainda devam ser digitadas 9 páginas. d) Ainda devam ser digitadas 8 páginas. e) Ainda devam ser digitadas 5 páginas.

05. (FCC) Um funcionário demora 6 horas para fazer um certo serviço, enquanto outro leva 8 horas para fazê-lo. Que fração desse serviço os dois fariam juntos em 3 horas? a) 1/14 b) 1/7 c) 2/3 d) 3/4 e) 7/8

06. (FCC) Um determinado serviço é realizado por uma única máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por uma outra máquina, nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço? a) 3 horas. b) 9 horas. c) 25 horas. d) 4 horas e 50 minutos. e) 6 horas e 40 minutos.

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07. Uma mistura está formada por 4 partes de álcool e 3 partes de água. Quantos litros de álcool há em 140 litros dessa mistura?

08. (FCC) Uma torneira A enche sozinha um tanque em 10h, uma torneira B, enche o mesmo tanque sozinha em 15h. Em quanta horas as duas torneiras juntas encherão o tanque?

09. Se uma torneira enche um tanque em 60 minutos e uma outra torneira enche o mesmo tanque em 30 minutos, em quanto tempo as duas torneiras juntas, enchem o tanque?

10. (FCC) Uma torneira gasta sozinha 20 min para encher um tanque. Outra torneira sozinha gasta 5min para encher o mesmo tanque. Em quanto tempo, as duas torneiras juntas enchem esse tanque?

11. (FCC) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? a) 2 horas e 7 minutos. b) 2 horas e 5 minutos. c) 1 hora e 57 minutos. d) 1 hora e 43 minutos. e) 1 hora e 36 minutos.

12. (ESAF) Um segmento de reta ligando dois pontos em um mapa mede 6,5 cm. Considerando que o mapa foi construído numa escala de 1: 25 000, qual a distância horizontal em linha reta entre os dois pontos? a) 162,5 m b) 15 hm c) 1,5 km d) 1,6 km e) 1 625 m

13. (CESPE)

O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é a) inferior a 1.000 km. b) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km. c) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km. d) superior a 1.150 km.

GABARITO PROPORÇÃO 01 0,4 02 15 03 10 04 A 05 E 06 E 07 80 08 6 09 20 10 4 11 D 12 E 13 C

DIVISÃO PROPORCIONAL

TESTES

01. O custo da construção de uma ponte foi estimado em R$ 450 000,00 e será dividido entre duas cidades A e B, de forma diretamente proporcional à população de cada uma. Quanto caberá a cada cidade, se A tem população de 3 milhões de habitantes e B, 12 milhões de habitantes?

02. Reparta 45 fichas em partes inversamente proporcionais a 3, 6 e 8.

03. (PUC-PR) Uma construtora edificou 6 residências com as seguintes áreas construídas, em m2: 110, 112, 120, 116, 120 e 102 e destinou uma área comum para lazer de 51 m2, que deve ser dividida em partes proporcionais à área de cada residência. Assim, a área corresponde à residência de 110 m2 é, em m2, igual a: a) 9,00 b) 8,70 c) 8,40 d) 8,25 e) 7,65

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04. Certa fortuna deve ser repartida entre três herdeiros em partes diretamente proporcionais aos graus de parentesco que são o 2º, o 5º e o 6º. Quanto receberá cada um? O primeiro recebeu R$ 120 000 a menos que o segundo.

05. Dividir 3 560 em três partes tais que sejam a um tempo, diretamente proporcionais a 3, 5 e 8, e inversamente a 4, 6 e 9. Quanto cabe a cada?

06. Dividir R$ 39 500,00 em três partes que a um tempo sejam diretamente proporcionais a 3, 5 e 6, e inversamente proporcionais a 2, 4 e 5.

07. Três negociantes formaram uma sociedade, em que o primeiro entrou com R$ 30 000, o segundo com R$ 20 000 e o terceiro com R$ 50 000. O primeiro permaneceu 12 meses, segundo 9 meses e terceiro 4 meses. Determine o lucro de cada um, sabendo-se que o lucro total foi de R$ 37 000

08. Um prêmio de 4 600 reais foi repartido entre três funcionários de uma firma em partes inversamente proporcionais aos seus salários. O funcionário A recebe 5 salários mínimos, o funcionário B recebe 8 salários mínimos e o funcionário C recebe 4 salários mínimos. Qual a parte do prêmio que coube a cada um?

09. As massas de cobre e zinco que se fundem para formar o latão são diretamente proporcionais aos números 7 e 3. Quantos quilogramas de cobre e zinco são necessários para obter 80 kg de latão?

10. (FCC) Certo mês, os números de horas extras cumpridas pelos funcionários A, B e C foram inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na empresa. Se A trabalha há 8 meses, B há 2 anos, C há 3 anos e, juntos, os três cumpriram um total de 56 horas extras, então o número de horas extras cumpridas por B foi a) 8 b) 12 c) 18 d) 24 e) 36

11. (FCC) Dois técnicos em eletricidade, Artur e Boni, trabalham em uma mesma empresa: Boni há 6 anos e Artur há mais tempo que Boni. Ambos foram incumbidos de instalar 16 aparelhos de áudio em alguns setores da empresa e dividiram a tarefa entre si, na razão inversa de seus respectivos tempos de serviço na mesma. Se Artur instalou 4 aparelhos, há quantos anos ele trabalha na empresa? a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 18

12. (FAAP) Dividir 64 em partes inversamente proporcionais aos números 5/4 e 3 /4.

13. (MACK-SP) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos números 1/2 , 1/3 e 1/6, obtêm-se, respectivamente: a) 330, 220 e 110 b) 120, 180 e 360 c) 360, 180 e 120 d) 110, 220 e 330 e) 200, 300 e 160

14. (UDF) Um estado brasileiro tem a população de 10 milhões de habitantes e uma média de 40 habitantes por km2. Qual é a sua superfície? a) 100.000 km2

b) 250.000 km2

c) 500.000 km2

d) 1.000.000 km2

e) 900.000 km2

15. (U.MOGI-SP) Numa sociedade, houve um lucro de R$ 800,00. Os capitais dos sócios A e B são respectivamente R$ 1.500,00 e R$ 900,00. Os sócios A e B receberão em reais lucros, respectivamente, de:

16. (NC.UFPR) Um bônus de R$ 228,00 será repartido entre três funcionários, Maria, José e Pedro, em partes diretamente proporcionais a 4, 6 e 9, respectivamente. A parte que cabe a José é de: a) R$ 72,00. b) R$ 60,00. c) R$ 54,00. d) R$ 48,00. e) R$ 36,00.

17. (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? a) R$ 200,00 b) R$ 250,00 c) R$ 300,00 d) R$ 350,00 e) R$ 400,00

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18. (NC.UFPR) Uma verba de R$ 2.700,00 foi repartida entre os departamentos A e B para despesas com material de consumo. Após o departamento A ter gastado 1/4 do que recebeu, o seu saldo ficou igual ao saldo que o departamento B tinha após gastar 2/5 do que recebeu. Então, a razão do valor que coube ao departamento A para o valor que coube ao departamento B é: a) 2/3 b) 3/4 c) 3/5 d) 4/5 e) 5/7

19. (NC.UFPR) Um chefe de seção dispõe de R$ 372,00 para serem distribuídos como prêmio a 3 funcionários, A, B e C. Os valores que eles receberão são inversamente proporcionais aos números de faltas desses funcionários durante o último semestre, que foram, respectivamente, 2, 3 e 5. Considere as seguintes afirmativas a respeito das quantias que eles receberão. I. Dentre os três, o funcionário C receberá a menor quantia. II. O funcionário B receberá R$ 120,00. III. O funcionário C receberá a metade do que receberá o funcionário A. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Nenhuma das afirmativas é verdadeira. e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.

20. (UFRJ-NCE) Um prêmio foi distribuído entre Ana, Bernardo e Cláudio, em partes diretamente proporcionais aos seus tempos de serviço. Esses tempos são, respectivamente, 3, 4 e 9 anos. Se Cláudio recebeu R$ 720,00 de prêmio, o valor total do prêmio foi de: a) R$ 1.280,00 b) R$ 1.440,00 c) R$ 2.560,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 4.500,00

Três amigos decidiram constituir uma empresa, em sociedade, para a prestação de serviços técnicos nas áreas de contabilidade, informática e telefonia. O contador contribuiu com R$ 2.000,00, o técnico em informática, com R$ 3.000,00 e o técnico em telefonia, com R$ 4.000,00. Ao final de um ano de serviços, a empresa obteve um lucro de R$ 5.400,00 para ser dividido em partes proporcionais aos valores empenhados por cada sócio. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.

21. O técnico em telefonia deve receber mais de 40% do lucro.

22. O técnico em informática deve receber uma quantia inferior a R$ 1.840,00.

23. (UNB-CESPE) Marcos e Pedro receberam no início de abril mesadas de valores iguais. No final do mês, Marcos havia gastado 4/5 de sua mesada e Pedro, 5/6 da sua. Sabendo que Marcos ficou com R$ 10,00 a mais que Pedro, o valor da mesada recebida por cada um deles é a) inferior a R$ 240,00. b) superior a R$ 240,00 e inferior a R$ 280,00. c) superior a R$ 280,00 e inferior a R$ 320,00. d) superior a R$ 320,00 e inferior a R$ 360,00. e) superior a R$ 360,00.

GABARITO DIVISÃO PROPORCIONAL 01 90 000

360 000 02 24, 12 e 9 03 D 04 80 000

200 000 240 000

05 1 080 1 200 1 280

06 15 000 12 500 12 000

07 18 000 9 000 10 000

08 1 600 1 000 2 000

09 24 e 56 10 B 11 E 12 40 e 24 13 A 14 B 15 500 e 300 16 A 17 E 18 D 19 A 20 A 21 Correta 22 Correta 23 C (300)

REGRA DE TRÊS

REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA

Uma regra de três simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente proporcionais.


Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28Kg de farinha?

Grandeza diretamente proporcional

28

7

x

10 x= 40 kg

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REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar grandezas inversamente proporcionais para obter uma proporção.

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro?

Grandeza inversamente proporcional

x

72

8

6 x= 96 kg

TESTES

01. Em um banco, constatou-se que uma caixa leva, em média, 5 min para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes, se mantiver essa média?

02. Uma viagem foi feita em 12 dias, percorrendo-se 150 km por dia. Supondo que fossem percorridos 200 Km por dia, quantos dias seriam empregados para fazer a mesma viagem?

03. A combustão de 30g de carbono fornece 110g de gás carbônico. Quantos gramas de gás carbônico são obtidos com a combustão de 48g de carbono?

04. Com a velocidade média de 75Km/h, um ônibus faz um percurso em 40 min. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus faz o percurso de volta em 1h. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?

05. Em uma avaliação de 0 a 6, Cristina obteve nota 4,8. Se o valor dessa avaliação fosse de 0 a 10, qual seria a nota de Cristina?

06. Se meu carro pode percorrer um distância de 350Km com 25 litros de gasolina, quantos quilômetros pode percorrer com 1litros de gasolina?

07. Um trem percorre à velocidade de 60 km/h, vai da cidade de Curitiba até Paranaguá, em 90 minutos. Se a velocidade for de 120 km/h, qual será o tempo gasto?

08. Sabemos que a carga máxima de um elevador é de 7 adultos com 80Kg cada um. Quantas crianças, de 35kg cada uma, atingiram a carga máxima desse elevador?

09.Com 10Kg de trigo podemos fabricar 7Kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28Kg de farinha?

10. Ao cavar um buraco para uma piscina que tem 25 m de comprimento, 10 m de largura e 3 m de profundidade, foi necessário remover 1200 m3 de terra. Que volume de terra do mesmo tipo deve ser removido quando se quiser cavar piscina de 12 m de comprimento, 6 m de largura e 2,5 m de profundidade?

11. Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210Km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140Km/h?

12. (NC.UFPR) Se um veículo espacial, em velocidade constante, percorre uma distância em 1 h 25 min 28 s, então, à mesma velocidade, o tempo que gastará para percorrer 1/4 dessa distância será de: a) 20 min 20 s b) 21 min 20 s c) 21 min 21 s d) 21 min 22 s e) 22 min 05 s

13. (NC.UFPR) Uma empresa transportadora tem 180 encomendas para serem entregues em vários endereços da cidade. Observou-se que foram entregues 30 delas em 2 horas e 15 minutos. Se for mantida essa média de tempo gasto, para entregar todas as encomendas serão necessárias exatamente: a) 15 horas e 15 minutos. b) 14 horas e 30 minutos. c) 14 horas. d) 13 horas e 30 minutos. e) 13 horas e 15 minutos.

14. (NC.UFPR) Sabendo que são necessários 162 cm2 de papelão para fazer uma caixa, qual é a quantidade de papelão necessária para fazer 100 caixas iguais a essa? a) 1.620 cm2

b) 1.620 dm2

c) 16,2 m2

d) 16,2 dm2

e) 11,62 m2

15. (NC.UFPR) Um trajeto pode ser feito de automóvel, em uma hora e quarenta e cinco minutos, à velocidade média de 80 quilômetros por hora. Em quanto tempo se faz o mesmo trajeto à velocidade média de 70 quilômetros por hora? a) 1 h 55 min b) 2 h c) 2 h 10 min d) 2 h 15 min e) 2 h 20 min

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16. (NC.UFPR) Se em cada porção de 55 g de creme alimentício 60,5 mg são de cálcio, então o cálcio contido em 30 g desse creme é de: a) 29 mg b) 30 mg c) 31 mg d) 32 mg e) 33 mg

17. (NC.UFPR) Se um projétil espacial, a uma velocidade constante, gasta 1h 50min 20s para percorrer uma certa distância, então um outro projétil, com velocidade constante igual a quatro vezes a velocidade do primeiro, percorrerá a mesma distância em: a) 24min 20s. b) 25min 25s. c) 26min 30s. d) 27min 35s. e) 28min 40s.

18. (NC.UFPR) Se 58,5 g de um produto químico custam R$ 76,05, então 4,5 g do mesmo produto custam: a) R$ 5,65. b) R$ 5,70. c) R$ 5,75. d) R$ 5,80. e) R$ 5,85.

19. (NC.UFPR) Uma máquina gasta 2 h 25 min 36 s para construir uma peça, e uma segunda máquina constrói peça idêntica em 1/3 desse tempo. Sendo assim, o tempo gasto pela segunda máquina é de: a) 45 min 14 s b) 46 min 20 s c) 47 min 26 s d) 48 min 32 s e) 49 min 38 s

20. Sabendo que 104 alunos de uma escola correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a escola ? a) 580 b) 620 c) 520 d) 550

21. Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3

cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para fazer o mesmo serviço?

22. Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga?

23. 15 metros de um determinado tecido custam $ 45,00. Qual o preço de 6 metros deste mesmo tecido?

24. ¾ de um bolo de chocolate custam $ 45,00. Quanto pagarei na compra de 2/5 deste mesmo bolo?

25. Com $ 48,00 comprei 300 metros de determinado tecido. Quantos metros do mesmo tecido, posso comprar com $ 36,00?

26. 30 metros de um trabalho são feitos por ¾ de uma turma de trabalhadores. 50 metros, do mesmo trabalho, por quanto da turma será feito.

27. Um automóvel, com velocidade de 90 km/h, vai da cidade X à cidade Z em 50 minutos. Qual a distância entre as duas cidades?

28. Ao participar de um treino em um kartódromo, o piloto, imprimindo velocidade média de 80 km/h, completa a volta na pista em 40 s. Se a sua velocidade fosse de 100 km/h, qual o tempo que ele teria no percurso?

29. Um relógio atrasa 27 s em 72 h. Quantos segundos atrasará em 8 dias?

30. Para revestir um pátio de 600 m2 usaram-se 9 600 lajotas. Quantas dessas lajotas serão necessárias para revestir outro pátio de 540 m2?

31. Uma árvore de 4,2 m de altura projeta uma sombra de 3,6 m. No mesmo instante, outra árvore, ao lado dessa, projeta uma sombra de 2,8 m. Qual a altura da segunda árvore?

32. Um terreno retangular tem 12 m de comprimento e 15 m de largura. Se diminuirmos 2 m no comprimento do terreno, quantos metros devemos aumentar na largura para que a área permaneça a mesma?

33. A água mineral, sem gás, apresenta na sua composição química 2,4 mg de sulfato de cálcio por 1 litro. Que quantidade de sulfato de cálcio (em mg) estará ingerindo uma pessoa ao beber um copo de 300 ml dessa água?

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34. Com o auxílio de uma corda que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 80 metros. Descobri, mais tarde que a corda media, na realidade 1,05 m. Qual é o verdadeiro comprimento do fio?

35. A velocidade de um veículo é de 30 m/s. Qual será a sua velocidade em quilômetros por hora?

36. (UMC) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá: a) 70 litros b) 68 litros c) 75 litros d) 80 litros e) 85 litros

37. Se 2 kg de bacalhau custam R$25,00, qual será o preço de 1,4kg de bacalhau? a) R$ 12,50 b) R$ 13,00 c) R$ 17,50 d) R$ 19,00

38. Com 3kg de farinha, são feitos 140 biscoitos, com 5 kg de farinha, aproximadamente, quantos biscoitos podem ser feitos? a) 180 b) 190 c) 210 d) 233

39. Se 250 g de azeitonas custam R$ 4,60, qual será o preço de 3/4 de quilo de azeitonas? a) R$ 9,20 b) R$ 10,60 c) R$ 12,80 d) R$ 13,80 e) R$ 14,60

40. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

41. Um automóvel com a velocidade de 90 km/h, vai da cidade de Tatu até a cidade de Capivara em 50 minutos. Qual a distância entre as duas cidades?

42. 2/3 + 0,6 de determinada fruta custam $ 7,60. Qual o preço da fruta inteira?

GABARITO REGRA DE TRÊS SIMPLES 01 1 h = 60 min 02 9 03 176 04 50 05 8 06 14 07 45 08 16 09 40 10 288 11 3 12 D 13 D 14 E 15 B 16 E 17 D 18 E 19 D 20 C 21 10 22 42 23 18 24 24 25 225 26 1,25 27 75 28 32 29 72 30 8640 31 3,27 32 3 33 0,72 34 42 35 108 36 A 37 C 38 D 39 D 40 E 41 75 42 6

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Regra de três composta é um processo de relacionamento de grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou uma mistura dessas situações. O método funcional para resolver um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas, sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira situação enquanto que a segunda linha indica os valores conhecidos da segunda situação.

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01. Para produzir 600 pães foram gastos 33 kg de farinha de trigo e 1,28 kg de gordura e foram necessários 2 padeiros, que trabalharam 4 horas por dia, durante 7 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 960 pães, utilizando-se 60 kg de farinha e 0,66 kg de gordura, com 3 padeiros trabalhando 7 horas por dia? a) 4 dias b)2,5 dias c) 6 dias d) 7 dias

Resolução:

Este teste está resolvido pelo dispositivo das setas

DISPOSITIVO DAS SETAS

Dispondo os dados em coluna, respeitando a mesma natureza e na mesma unidade de grandeza, obtemos a seguinte formação:

Dias

Pães

Farinha

Gordura

Padeiros

Horas

7 600 33 1,28

2 4

x

960

60

0,66

3

7

Resolução por setas

C1 C2 C3

C4

C5 C6

Dias

Pães

Farinha

Gordura

Padeiros

Horas

7 600 33 1,28

2 4 x

960

60 0,66

3

7

As setas no quadro acima, mostram que as colunas C5 e C6, são inversamente proporcionais à coluna C1, enquanto as demais são diretamente proporcionais a C1.

Os dados na coluna C4, podem ser representados, suprimindo-se a vírgula (mesmo número de algarismos após a vírgula).

A equação será formada, invertendo-se os dados das colunas, C5 e C6, para que as setas fiquem apontadas para baixa, como as demais setas.

7 600 33 128 3 7 x

=

960

60

66

2

4

Processadas as simplificações no segundo membro, obtemos a nova equação:

7 74x

logo x=4

E finalmente o valor de x, x =4.

02. Para reduzir a termo pedidos orais, um funcionário que digita, em média, 60 caracteres por minuto atende 5 pessoas em 90 minutos. Após um período de reciclagem, o mesmo funcionário passa a atender 6 pessoas em 80 minutos. Sendo assim, o número de caracteres por minuto que agora ele digita é igual a:

RESOLUÇÃO Fazendo a montagem da tabela conforme naturezas e grandezas, obtemos a regra de três composta:

N° caracteres Tempo (min) N° pessoas

60 90 5 x 80 6

II) Discussão verificar se as grandezas são diretamente e/ou inversamente proporcionais.

1) Mantendo o tempo fixo. N° pessoas N° caracteres - 5 60 -

+ 6 x +

É uma grandeza diretamente proporcional.

2) Mantendo o número de pessoas fixo. Tempo (min) N° caracteres

+ 90 60 -

- 80 x +

É uma grandeza inversamente proporcional. Formamos a equação.

81x9080

65

x60

TESTES

01. Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários, que produzem, em 8 horas diárias de serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários são necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas?

02. (UFMG) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135 000 peças?

03. Meia dúzia de datilógrafas, preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafas, com a mesma capacidade das primeiras, prepararão 800 páginas?

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04. Em uma granja, 32 galinhas produzem em média 100 dúzias em 10 dias. Quantas dúzias de ovos serão produzidas por 8 galinhas em 16 dias?

05. (USP-SP) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3Kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentar-las durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

06. Dez máquinas fabricam 400m de tecidos em 16 dias. Em quantos dias 12 máquinas que têm o mesmo rendimento que as primeiras fazem 300m desse mesmo tecido?

07. Na merenda escolar, 40 crianças consumiram 156 litros de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser consumidos por 45 crianças em 20 dias?

08. Em 3 horas, 3 torneiras despejam 2700 litros de água. Quantos litros despejam 5 dessas torneiras em 5 horas?

09. Um supermercado dispõe de 20 atendentes que trabalham 8 horas por dia e custam R$ 3.600,00 por mês. Se o supermercado passar a ter 30 atendentes trabalhando 5 horas por dia, eles custarão, por mês, a) R$ 3.375,00. b) R$ 3.400,00. c) R$ 3.425,00. d) R$ 3.450,00. e) R$ 3.475,00.

10. (PUCCMP-SP) Operando 12 horas por dia, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4000 peças em:

11. Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia assentaram 255 postes de luz em 17 dias, quantos operários, com a mesma habilidade dos primeiros, serão precisos para assentar 420 postes em 25 dias de 7 horas de trabalho? a) 38 b) 40 c) 42 d) 44 e) 35

12. (UF-MG) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia, produzem 90 000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135 000 peças?

13. (ESAF) Cinco trabalhadores de produtividade padrão e trabalhando individualmente beneficiam ao todo 40 kg de castanha por dia de trabalho de 8 horas. Considerando que existe uma encomenda de 1,5 toneladas de castanha para ser entregue em 15 dias úteis, quantos trabalhadores de produtividade padrão devem ser utilizados para se atingir a meta pretendida, trabalhando dez horas por dia? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25

14. Com uma chapa metálica retangular de 1,5 m de comprimento por 2 m de largura, fazem-se 2 000 arruelas. Quantas dessas arruelas podem-se fazer com uma chapa retangular de 2,5 m de comprimento por 3 m largura ?

15. Uma placa de chumbo de 8 cm de comprimento e 6 cm de largura pesa 36 unidades de massa. Quanto pesará outra placa do mesmo material e da mesma espessura, quadrada, com 10 cm de lado?

16. Um batalhão de 1600 soldados tem víveres para dez dias à razão de três refeições diárias para cada homem. No entanto, juntaram-se a esse batalhão mais 400 soldados. Quantos dias durarão os víveres, se foi decidido agora que cada soldado fará duas refeições por dia?

17. (FCC) Uma impressora trabalhando continuamente emite todos os boletos de pagamento de uma empresa em 3 horas. Havendo um aumento de 50% no total de boletos a serem emitidos, três impressoras, iguais à primeira, trabalhando juntas poderão realizar o trabalho em 1 hora e: a) 30 minutos b) 35 minutos c) 40 minutos d) 45 minutos e) 50 minutos

18. (FCC) Uma indústria tem 34 máquinas. Sabe-se que 18 dessas máquinas têm, todas, a mesma eficiência e executam certo serviço em 10 horas de funcionamento contínuo. Se as máquinas restantes têm 50% a mais de eficiência que as primeiras, funcionando ininterruptamente, executariam o mesmo serviço em: a) 8 horas e 40 minutos b) 8 horas e 20 minutos c) 7 horas e 45 minutos d) 7 horas e 30 minutos e) 7 horas e 15 minutos

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19. (FCC) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108 000 bombons? a) 3 b) 3,5 c) 4 d) 4,5 e) 5

20. (FCC) Uma máquina copiadora produz 1.500 cópias iguais em 30 minutos de funcionamento. Em quantos minutos de funcionamento outra máquina, com rendimento correspondente a 80% do da primeira, produziria 1 200 dessas cópias? a) 30 b) 35 c) 40 d) 42 e) 45

21. Em 30 dias, uma frota de 10 táxis consome em média 100 000 litros de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumirá em média 240 000 litros desse mesmo combustível?

22. Um folheto enviado pela SABESP (Saneamento Básico do Estado de São Paulo) informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, ocasiona um desperdício de 100 litros de água, em 30 dias. Na casa de Fernanda Lima, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 5 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados nesse período.

23. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 16 horas por dia levam 3 dias para produzir 360 peças, então 4 máquinas iguais às primeiras devem funcionar quantas horas por dia para produzir 432 peças em 4 dias? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22

24. (NC.UFPR) Se 8 máquinas iguais, cada uma trabalhando 15 horas por dia, produzem certo número de peças em determinado número de dias de funcionamento, então apenas 6 dessas máquinas, para produzirem o mesmo número de peças no mesmo número de dias de funcionamento, deverão trabalhar cada uma delas: a) 18 horas por dia b) 19 horas por dia c) 20 horas por dia d) 21 horas por dia e) 22 horas por dia

25. (NC.UFPR) Uma fábrica de brindes leva 10 dias para produzir 1.560 unidades, quando tem 8 funcionários trabalhando. Se forem contratados mais 4 funcionários, que trabalhem no mesmo ritmo dos outros funcionários, quantos dias serão necessários para produzir 2.340 unidades? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

26. (NC.UFPR) Se 5 máquinas funcionando 21 horas por dia produzem 720 peças em 6 dias, então o número de peças que 4 máquinas iguais às primeiras produzirão em 7 dias trabalhando 20 horas por dia é igual a a) 600 b) 640 c) 680 d) 720 e) 760

27. (FCC) Uma impressora tem capacidade para imprimir 14 páginas por minuto em preto e 10 páginas por minuto em cores. Quanto tempo outra impressora levaria para imprimir um texto com 210 páginas em preto e 26 em cores, se sua capacidade de operação é igual a 80% da capacidade da primeira? a) 16 minutos e 45 segundos. b) 20 minutos. c) 21 minutos e 25 segundos. d) 22 minutos. e) 24 minutos e 30 segundos.

28. (FCC) Um veículo percorre os 5/8 de uma estrada em 4 horas, à velocidade média de 75 km/h. Para percorrer o restante dessa estrada em 1 hora e 30 minutos, sua velocidade média deverá ser a) 90 km/h b) 100 km/h c) 115 km/h d) 120 km/h e) 125 km/h

29. (UFRJ-NCE) Doze costureiras, trabalhando 8 horas por dia, em 18 dias tecem 480 mantas. O número de costureiras necessário para que sejam tecidas 600 mantas, trabalhando 6 horas por dia em 12 dias, mantendo o mesmo ritmo de trabalho que as anteriores, é: a) 28; b) 29; c) 30; d) 31; e) 32.

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GABARITO REGRA DE TRÊS COMPOSTA 01 32 02 75 03 15 04 40 05 5 06 10 07 234 08 7500 09 A 10 8 11 B 12 75 13 B 14 5000 15 75 16 12 17 A 18 D 19 C 20 A 21 20 22 25 23 A 24 C 25 B 26 B 27 D 28 D 29 C

PORCENTAGEM

CÁLCULO DE PORCENTAGEM

Praticamente todos os dias, observamos nos meios de comunicação, expressões matemáticas relacionadas com porcentagem. O termo por cento quer dizer por cem (dividido por cem). Toda razão da forma p/q na qual o denominador q=100, é chamada taxa de porcentagem ou simplesmente porcentagem ou ainda percentagem. Em geral, para indicar um índice de a

por cento, escrevemos a %

e para calcular a %

de um número b, realizamos o produto:

a % de b é o mesmo que: a%.b

a%.b é o mesmo que : a b100

ACRESCIMO PERCENTUAL

Acrescentar a% de b, em b.

b + a%.b

DECRESCIMO PERCENTUAL

Decrescer a% de b, em b.

b - a%.b


01. Um aparelho de som pode ser comprado em 4 prestações de R$ 150,00 ou à vista com 10% de desconto. Quanto será pago, em reais, se a compra for deita à vista?

Resolução:

I) O custo final do aparelho em 4 prestações iguais a R$ 150,00, totaliza R$ 600,00.

Custo final = 4x150 = 600,00

II) Para pagamento a vista, terá 10% de desconto. Custo à vista = 600 -10%x600 = 600

0,10x600= 600

60 = R$ 540,00

Resposta: R$ 540,00

02. Do total de funcionários da empresa Fios S/A, 20% são da área de informática e outros 14% ocupam os 21 cargos de chefia. Quantos funcionários dessa empresa NÃO trabalham na área de informática?

a) 30 b) 99 c) 110 d) 120 e) 150 Resolução: I) Pela regra de três diretamente proporcional, envolvendo 14% que tem correspondência com 21 cargos, poderemos obter o total de funcionários da empresa.

Nº de funcionários

Porcentagem %

21

14

x

100

II) O total de funcionários que trabalham na área de informática, é de 20%, restando para outras funções na empresa, 80%.

Não informática = 80% de 150 = 80%.150 = 80 .150100

=

120

120 não trabalham na área de informática.

Resposta, alternativa D

02. Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1º como entrada e o 2º um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:

Resolução

I) Preço de venda: R$ 1.000,00 II) Preço da TV para pagamento à vista com desconto de 4%: (100% 4%) R$ 1.000,00 = R$ 960,00

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III) No pagamento em duas parcelas, o cliente:

paga R$ 500,00 no ato; fica devendo R$ 960,00 R$ 500,00 = R$ 460,00; paga R$ 500,00 no mês seguinte e portanto paga R$

40,00 de juros. 4) A taxa de juros mensal cobrada sobre o que ficou

devendo é40, 00 2

0, 0869 8, 7%460, 00 23

Ou por uma regra de três simples.

$ 40,00 .x% $ 460,00 100% Reposta: letra A

TESTES

01. O salário de uma pessoa era de $ 1 400,00 até ela ser promovida e receber aumento de 20%. Qual o novo salário?

02. (FUVEST) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é: a) 5,56x b) 1,6x c) x+160 d) 2,6x e) 3,24x

03. (UFMG) Se um acertador da loteria esportiva ficou apenas com 5% do prêmio total, podemos afirmar que o número de acertadores foi de: a) 20 b) 50 c) menor que 20 d) entre 30 e 40

04. (USP) O senhor Pitágoras contrata um advogado; esse consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ 30 000,00 e cobra, a título de honorários, 15% da quantia recebida. Qual a importância que resta para o senhor Pitágoras? a) R$ 4 000,00 b) R$ 27 000,00 c) 25 800,00 d) R$ 4 050,00 e) 22 950,00

Uma pesquisa feita sobre o salário mensal de 20 pessoas que trabalham numa empresa trouxe como resultado o seguinte quadro:

Salário mensal Número de pessoas

Até 2 salários mínimos 6

Mais de 2 e até 5 salários mínimos 7

Mais de 5 e até 10 salários mínimos

4

Mais de 20 salários mínimos 3

05. Com base nos dados acima, qual a porcentagem de pessoas que ganham até 2 salários mínimos?

06. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe a incumbência de distribuir um prêmio de R$ 12.000,00 entre três funcionários, de acordo com a eficiência de cada um. Se um deles receber 20% desse valor e o segundo receber 55%, quanto receberá, em reais, o terceiro? a) 5 000 b) 3 000 c) 2 400 d) 1 600 e) 800

07. (UMC-SP) Em um determinado mês, o rendimento de uma poupança foi de 4% do capital investido. Se uma pessoa aplicar 5 000 reais, ao completar o mês terá um capital em R$ no total de: a) 5 020 b) 5 120 c) 5 200 d) 5 400 e) 7 000

08. (ESAL-MG) Após conseguir um desconto de 15% no preço de uma mercadoria, foram pagos R$ 1 700,00 por essa mercadoria. O preço, sem desconto, seria em R$ de: a) 1850,00 b) 1950,00 c) 2200,00 d) 1900,00 e) 2000,00

09. Uma mercadoria foi vendida a uma pessoa com o lucro de 20%; esta vendeu-a com o lucro de 10%, e por fim, esta terceira vendeu-a com lucro de 5%. Qual a taxa única, que representa o valor final da mercadoria, após o último aumento.

10. Durante sua viagem ao país das Maravilhas a altura de Alice sofreu quatro mudanças sucessivas da seguinte forma: primeiro ela tomou um gole de um líquido que estava numa garrafa em cujo rótulo se lia: "beba-me e fique 25% mais alta". A seguir, comeu um pedaço de uma torta onde estava escrito: "prove-me e fique 10% mais baixa"; logo após tomou um gole do líquido de outra garrafa cujo rótulo estampava a mensagem: "beba-me e fique 10% mais alta". Finalmente, comeu um pedaço de outra torta na qual estava escrito:"prove-me e fique 20% mais baixa". Após a viagem de Alice, podemos afirmar que ela: a) ficou 1% mais baixa b) ficou 1% mais alta c) ficou 5% mais baixa d) ficou 5% mais alta e) ficou 10% mais alta

11. Ao comprar uma mercadoria, pagando a vista, obtive um desconto de 15% sobre o preço marcado na etiqueta. Se paguei R$ 357,00 pela mercadoria, qual era o preço original?

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12. Uma cidade de 120 000 habitantes apresentou, em 1995, uma mortalidade de 3% e uma natalidade de 3,4%. De quanto aumentou a população dessa cidade no ano de 1995?

13. (FCC) Em uma pesquisa com jovens de dezesseis anos de idade, apurou-se o seguinte: 165 rapazes e 104 moças votavam; 345 rapazes e 206 moças não votavam. Nesse grupo, a porcentagem de jovens que votam é, aproximadamente, de: a) 16 % b) 33 % c) 37 % d) 67 % e) 68 %

14. (FCC) A tabela indica o número de crianças nascidas vivas em um município brasileiro.

Ano Crianças nascidas vivas

2000 130

2001 125

2002 130

2003 143

Se toda criança deve tomar uma determinada vacina ao completar 2 anos de vida, em relação ao total mínimo de vacinas que o posto de saúde reservou para 2003, haverá em 2004: a) diminuição de2%. b) diminuição de 3%. c) crescimento de1%. d) crescimento de3%. e) crescimento de4%.

15. (MACK-SP) Um concurso, desenvolvido em três etapas sucessivas e eliminatórias, eliminou 30% dos ;: candidatos iniciais na 1ª etapa, 20% dos remanescentes na 2ª etapa e 25% dos que ainda permanecem na 3ª etapa. Assim, cumpridas as 3 etapas, a porcentagem de k que permaneceu é: a) 25% b) 35% c) 38% d) 40% e) 42%

16. (FCC) O preço de um objeto foi aumentado em 20% de seu valor. Como as vendas diminuíram, o novo preço foi reduzido em 10% de seu valor. Em relação ao preço inicial, o preço final apresenta a) um aumento de 10%. b) um aumento de 8%. c) um aumento de 2%. d) uma diminuição de 2%. e) uma diminuição de 10%.

17. (FCC) Atualmente, o aluguel da casa onde Carlos mora é $ 320,00. Se, no próximo mês, esse aluguel sofrer um aumento de 8% do seu valor, o novo aluguel será: a) $ 328,00 b) $ 337,00 c) $ 345,60 d) $ 345,60 e) $ 354,90

18. (FUVEST) Atualmente, 50% das gaivotas de certa região são brancas e 50% são cinzentas. Se a população da espécie branca aumentar 40% ao ano e a da espécie cinzenta aumentar 80% ao ano, qual será aproximadamente, a porcentagem de gaivotas brancas daqui a dois anos? a) 50% b) 38% c) 26% d) 14% e) 40%

19. Na lanchonete, um sanduíche que custava R$2,80 teve seu preço aumentado em 25%. Esse sanduíche passou a custar : a) R$ 3,50 b) R$ 3,05 c) R$ 2,95 d) R$ 0,70

20. Sabendo que 104 alunos de uma escola correspondem a 20% do total, Quantos alunos tem a escola ? a) 580 b) 620 c) 550 d) 520

21. (ESAF) Transformando a fração 2/5 em taxa percentual, teremos: a) 37,5% b) 40% c) 32,5% d) 1,25% e) 35,7%

22. 121 é quanto por cento de 550? a) 19% b) 20% c) 21% d) 22%

23. Numa eleição com 2 candidatos, votaram 3850 eleitores. O candidato A obteve 1032 votos e B obteve 2048 votos. Qual foi a porcentagem de votos nulos ou em branco? a) 35% b) 30% c) 25% d) 20%

24. (CESPE) Na saída de um cinema, 25 pessoas foram pesquisadas para dar a sua opinião sobre o filme. Verificou-se que 32% dessas pessoas não gostaram do filme. Quantas pessoas pesquisadas não gostaram do filme? a) 12 b) 10 c) 8 d) 6

25. (CESPE) uma prova de matemática tem 50 questões. Um aluno acertou 30 dessas questões. Qual foi a sua taxa de erro? a) 40% b) 30% c) 60% d) 50%

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26. (FCC) Em uma liquidação, certo artigo está sendo vendido com desconto de 20% sobre o preço T de tabela. Se o pagamento for efetuado em dinheiro, o preço com desconto sofre um desconto de 15%. Nesse último caso, o preço final será igual a a) 0,68 T b) 0,72 T c) 1,35 T d) 1,68 T e) 1,72 T

27. (FCC) Um comerciante compra um artigo por R$ 80,00 e pretende vendê-lo de forma a lucrar exatamente 30% sobre o valor pago, mesmo se der um desconto de 20% ao cliente. Esse artigo deverá ser anunciado por a) R$ 110,00 b) R$ 125,00 c) R$ 130,00 d) R$ 146,00 e) R$ 150,00

28. (OPM) A superfície da Terra tem uma área total de aproximadamente 510 milhões de quilômetros quadrados. O gráfico de setores abaixo mostra, em porcentagem, a área ocupada pelos continentes e oceanos.

1 3 45

6

78

910

11

2

Qual é a área do Oceano Atlântico em milhões de quilômetros quadrados?

29. (OBM) Os resultados de uma pesquisa das cores de cabelo de 1200 pessoas são mostrados no gráfico abaixo.

preto 24%

castanho 30%

loiro

ruivo 16%

Quantas dessas pessoas possuem o cabelo loiro? a) 60 b) 320 c) 360 d) 400 e) 840

30.(UFRJ-NCE) Ana vendeu uma bolsa por R$ 54,00, obtendo um lucro de 20% sobre o preço de custo. O lucro de Ana, em reais, foi de: a) R$ 64,80; b) R$ 43,20; c) R$ 13,50; d) R$ 10,80; e) R$ 9,00.

31. (UFRJ-NCE) O preço de um produto sofreu um acréscimo de 15% e, tempos depois, um novo acréscimo, sobre o novo preço, de 40%. Em relação ao preço inicial, o produto sofreu um aumento total de: a) 42%; b) 45%; c) 55%; d) 61%; e) 66%.

32. (UF-MG) Um fabricante de papel higiênico reduziu o comprimento dos rolos de 40 m para 30 m. No entanto, o preço dos rolos de papel higiênico, para o consumidor, manteve-se constante. Nesse caso, é correto afirmar que, para o consumidor, o preço do metro de papel higiênico teve um aumento: a) inferior a 25%. b) superior ou igual a 30%. c) igual a 25%. d) superior a 25% e inferior a 30%.

33. (FAAP-SP) Uma certa quantidade de cereal, que custara R$ 12,00 por saca, foi vendida, sucessivamente, por quatro negociantes, os quais obtiveram lucro de 20%, 12%, 15% e 10%, respectivamente. Qual foi o último preço de venda (aproximadamente) por saca? a) R$ 22,50 b) R$ 14,40 c) R$ 16,12 d) R$ 18,54 e) R$ 20,40

LEGENDA

1 Oceania ( 1,8%)

2 Europa ( 1,9%)

3 Antártida ( 2,5%)

4 África ( 5,9%)

5 América ( 7,5%)

6 Ásia ( 8,6%)

7 Oceano Glacial Ártico ( 2,3%)

8 Oceano Glacial Antártico (2,9%)

9 Oceano Índico ( 14,7%)

10 Oceano Atlântico ( 17,6%)

11 Oceano Pacífico ( 34,3%)

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GABARITO

PORCENTAGEM 01 1680 02 E 03 A 04 E 05 30% 06 B 07 C 08 E 09 38,6% 10 A 11 420 12 480 13 B 14 E 15 E 16 B 17 C 18 B 19 A 20 D 21 B 22 D 23 D 24 C 25 A 26 A 27 C 28 89,76 29 C 30 E 31 D 32 B 33 E

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

DEFINIÇÃO Equação do primeiro grau com uma incógnita, é a equação que pode ser reduzida à forma:

ax + b = 0 a 0

Em que: x é a incógnita

a e b são constantes reais denominadas coeficientes. b é o termo independente

RESOLUÇÃO Nas equações, é costume chamar os valores que satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.

Para a equação do 1º grau ax + b = 0 Passe o termo independente para o 2º membro ax = - b Para isolar x, passe o a operando inversamente. x = - b/a O conjunto verdade (raízes) é: V={ -b/a }


01. Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00

Resolução I) Fazendo x= prêmio, P1, P2 e P3 as três pessoas

P1 1/4 de x = 1/4.x = X/4 P2 1/3 de x = 1/3.x = X/3 P3 R$ 1 000,00 = 1 000 = 1 000

II) Adicionando as três partes obteremos o todo x . P1 + P2 + P3 = x x x

+ +1 000 = x4 3

...o mmc (3 , 4) = 12

3x + 4x +12000 12x=

12 12....simplifique o denominador

comum aos membros

3x + 4x + 12000 = 12x ....adicione o termos semelhantes

em x e passe para o segundo membro

12000= 5x ....isole x, passando o multiplicador 5 de x

para a operação inversa, divisão. Execute a operação de divisão.

Resposta: R$ 2 400

TESTES

01. Resolva a equação: 12x 4 = 10x + 3

02. (PUC-RJ) A raiz da equação 3 1

7 4x x

é :

a) -3/5 b) 3/5 c) -5/3 d) 5/3

03. (FIA-SP) Se 3x = 3

24

x

a) 0 b) 1/11 c) 5/11 d) 11

04. (UFU-MG) O valor de x tal que 4 1 2 1

2 3x x

é: a) 0 b) 5/16 c) 3 d) 16/5

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05. (F. OBJETIVO-SP) Se

35 1,

4x

x então:

a) x = 6 b) x = 8 c) x = -7 d) x = -9

06. (FCC) Um automóvel percorre uma certa distancia na 1ª hora de seu movimento, 3/4 dela na 2ª hora e a metade dela na 3ª hora. Ao final da 3ª hora, o motorista nota que se percorrer mais 75km completará o percurso que é o triplo do que percorreu na 1ª hora. Quantos km percorreu na 2ª hora? a) 45 b) 50 c) 60 d) 75 e) 80 07. (UPNET) A soma de três números naturais consecutivos é sempre um número a) par. b) ímpar. c) primo. d) múltiplo de 3. e) múltiplo de 4.

08. Resolvendo-se a equação 2.(x+4)=4x+11, obtém-se: a) x=-2,4 b) x=-1,5 c) x=-0,5 d) x=1,2

09. (FCC) Qual a idade atual de uma pessoa se daqui a 8 anos ela terá exatamente o triplo da idade que tinha há 8 anos atrás? a) 15 anos. b) 16 anos. c) 24 anos. d) 30 anos. e) 32 anos.

10. Roberto disse a Valéria: "pense um número, dobre esse número, some 12 ao resultado, divida o novo resultado por 2. Quanto deu?". Valéria disse "15", ao Roberto que imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número.

11. (FCC) Obter dois números consecutivos inteiros cuja soma seja igual a 57.

12. (OBM) Renata digitou um número em sua calculadora, multiplicou-o por 3, somou 12, dividiu o resultado por 7 e obteve o número 15. O número digitado foi: a) 31 b) 7 c) 39 d) 279 e) 27

13. Dada a proporção: 1

2 =

0,4y1

0,40,1y, determine y

14. (UPNET) Qual dos números abaixo é solução da

equação: 8

x21

4

3x

8

5x3

a) -5/16 b) 1 c) -1/2 d) ½ e) 5/16

15. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 de seu salário com aluguel de casa e 1/5 com transporte. Quanto resta para outras despesas, se seu salário é de R$ 780,00 ? a) R$ 343,00 b) R$ 364,00 c) R$ 416,00 d) R$ 468,00 e) R$ 585,00

16. (OBJETIVO) Dividindo-se o numero natural n por 17, obtemos o quociente 283 e o resto 6. podemos afirmar que n é igual a: a) 4 817 b) 4 917 c) 3 815 d) 4 618 e) 4 418

17. Um número decimal x o resultado da divisão de 73 por 8. Quanto vale x?

18. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário no aluguel do apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 480,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: a) R$ 1 200,00 b) R$ 1 500,00 c) R$ 1 800,00 d) R$ 2 100,00 e) R$ 2 400,00

19. (FCC) Em uma escola, o aluno deve obter média 6,0 em cada disciplina para ser aprovado. Essa média é calculada dividindo-se o total de pontos que ele obteve nos quatro bimestres, por quatro. Portanto, o aluno que não totalizar 24 pontos nos 4 bimestres deverá fazer prova final. Nessa prova, ele deverá obter, no mínimo, a diferença entre 10,0 e a sua média anual, para ser aprovado. As notas de Geografia de um certo aluno foram: 1º bimestre: 5,0 2º bimestre: 6,0 3º bimestre: 2,0 4º bimestre: 5,0

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Logo, a nota mínima que esse aluno deverá obter na prova final de Geografia é: a) 4,5 b) 5,0 c) 5,5 d) 6,0 e) 6,5.

20. (FCC) Nos três andares de um prédio de apartamentos moram 68 pessoas. Sabe-se que: o número de residentes no segundo andar é o dobro do número dos que residem no primeiro; os residentes no terceiro andar excedem em 20 pessoas o número dos que residem no primeiro andar. Se x, y e z são os números de residentes no primeiro, segundo e terceiro andares, respectivamente, então a) x 15 b) y 25 c) z 36 d) x 12 e) y 20

21. (FGV) Uma cafeteira elétrica tem, no recipiente onde se coloca a água, um mostrador indicando de 1 a 20 cafezinhos. São gastos 2 minutos para aquecer o resistor. Aquecido o resistor, a água flui com taxa constante, misturando-se ao pó e transformando-se em café. Se o tempo gasto para fazer 8 cafezinhos é de 6 minutos, qual é o tempo gasto por essa mesma cafeteira para fazer 4 cafezinhos? a) 3 min b) 3 min 15 s c) 3 min 30 s d) 4 min e) 5 min

22. (OBM) Em Tumbólia, um quilograma de moedas de 50 centavos equivale em dinheiro a dois quilogramas de moedas de 20 centavos. Sendo 8 gramas o peso de uma moeda de 20 centavos, uma moeda de 50 centavos pesará: a) 15 gramas b) 10 gramas c) 12 gramas d) 22 gramas e) 20 gramas 23. (OBM) Toda a produção mensal de latas de refrigerante de uma certa fábrica foi vendida a três lojas. Para a loja A, foi vendida metade da produção; para a loja B, foram vendidos 2/5da produção e para a loja C, foram vendidas 2500 unidades. Qual foi a produção mensal dessa fábrica? a) 4166 latas b) 10000 latas c) 20000 latas d) 25000 latas e) 30000 latas

24. (CESGRANRIO) Um prêmio em dinheiro foi dividido entre 3 pessoas: a primeira recebeu 1/4 do valor do prêmio, a segunda recebeu 1/3 e a terceira ganhou R$ 1 000,00. Então, o valor desse prêmio, em reais, era de: a) 2 400,00 b) 2 200,00 c) 2 100,00 d) 1 800,00 e) 1 400,00

25. Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e a seguir, ainda pagou R$ 2,00 de estacionamento em cada local. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) R$ 220,00 b) R$ 204,00 c) R$ 196,00 d) R$ 188,00 e) R$ 180,00

26. (FGV) Uma empresa, a título de promoção, tira fotocópias cobrando R$ 0,10 por folha, até um máximo de 100 folhas; o que exceder 100 folhas a empresa cobra R$ 0,08 por folha. Se um cliente deseja tirar 200 fotocópias, qual o preço total?

27. (FGV) Para uma determinada viagem foi fretado um avião com 200 lugares. Cada pessoa deve pagar R$ 300,00 mais uma taxa de R$ 6,00 por cada lugar que ficar vago. Qual a receita arrecadada se comparecerem 150 pessoas para a viagem?

28. (UNICAMP-SP) Em uma empresa, 1/3 dos funcionários tem idade menor que 30 anos, 1/4 tem idade entre 30 e 40 anos e 40 funcionários têm mais de 40 anos.

a) Quantos funcionários tem a referida empresa?

b) Quantos deles têm pelo menos 30 anos?

29. (UNICAMP-SP) Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.

a) Qual o comprimento total do percurso?

b) Quantos metros o atleta havia corrido?

c) Quantos metros o atleta havia caminhado?

30. (NC.UFPR) Qual é o valor de x na expressão 1 11 ?

1 211 x

a) 43

b) 32

c) 21

d) 23

e) 34

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31. (NC.UFPR) Qual o valor de x que torna a

expressão 5,02,0

x75,04,025,0 verdadeira?

a) 0,25 b) 0,15 c) 0 d) 0,5 e) 0,25

32. (OBM) A balança da figura está em equilíbrio com bolas e saquinhos de areia em cada um de seus pratos. As bolas são todas iguais e os saquinhos também. O peso de um saquinho de areia é igual ao peso de quantas bolas?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6

33. (FGV-SP) O Sr. Eduardo gasta integralmente seu salário em 4 despesas: moradia, alimentação, vestuário e transporte. Ele gasta ¼ do salário com moradia, 35% do salário com alimentação, R$ 400,00 com vestuário e R$ 300,00 com transporte. Sua despesa com moradia é igual a: a) R$ 430,00 b) R$ 432,50 c) R$ 435,00 d) R$ 437,50 e) R$ 440,00

34. (UFF-RJ) Um baleiro vende n balas, por R$ 0,30 cada, e obtém L reais. Se vender 15 balas a menos, por R$ 0,45 cada, obterá os mesmos L reais. Determine o valor de n.

35. (ACAFE-SC) Um estudante comprou n canetas por 300 reais e (n + 4) lapiseiras por 200 reais. Sabendo que o preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira, o número de canetas e lapiseiras, respectivamente, que ele comprou, é: a) 8 e 12 b) 10 e 14 c) 14 e 18 d) 12 e 16 e) 16 e 20

36. (UFRJ-NCE) Se 2/5 de uma certa quantia corresponde a R$ 56,00, então 9/7 desta mesma quantia corresponde a: a) R$ 22,40 b) R$ 28,80 c) R$ 56,00 d) R$ 72,00 e) R$ 180,00

37. (UFRJ-NCE) Uma cooperativa de suco produz semanalmente 120 garrafas de 3 litros. Se a capacidade de cada garrafa fosse de 5 litros, o número de garrafas utilizadas semanalmente seria: a) 24 b) 72 c) 100 d) 192 e) 200

38. (UF-ES) Antônio compra abacaxis de um fornecedor ao preço de R$ 1,00 o lote de 3 unidades. Ele os revende na feira em amarrados com 5 unidades. Se o preço de cada amarrado é R$ 2,00, quantos abacaxis deverá vender para ter um lucro de R$ 100,00? a) 1300 b) 1400 c) 1500 d) 1600 e) 1700

39. (MACK-SP) José possui dinheiro suficiente para comprar uma televisão de R$ 900,00, e ainda lhe sobrarem 2/5 da quantia inicial. O valor que sobra para José é a) R$ 450,00. b) R$ 800,00. c) R$ 600,00. d) R$ 550,00. e) R$ 650,00.

GABARITO EQUAÇÃO DO 1º GRAU 01 7/2 02 C 03 C 04 B 05 C 06 D 07 D 08 B 09 B 10 9 11 28 e 29 12 A 13 3 14 E 15 B 16 A 17 9,125 18 A 19 C 20 D 21 D 22 B 23 D 24 A 25 D 26 18 27 90 000 28 a) 96

b) 64 29 a) 2 310

b) 660

c) 1 050 30 E

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31 C 32 B 33 D 34 45 35 D 36 E 37 B 38 C 39 C

SISTEMAS DE EQUAÇÕES

DEFINIÇÃO

Sistema de equações é o conjunto de equações que são satisfeitas simultaneamente pelos mesmos valores das incógnitas. As equações que formam um sistema, são denominadas equações simultâneas.

SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Sistemas de equações lineares é o conjunto de equações com todas as incógnitas de expoente 1 (um) ou, também denominadas de grau 1 (um).

SOLUÇÃO DE UM SISTEMA Solução de um sistema é o conjunto de valores, um para cada incógnita, pelos quais as incógnitas devem ser substituídas, para que todas as equações se reduzam a igualdades numéricas ou a identidades algébricas. Costuma-se dizer que este sistema de valores verifica ou satisfaz todas as equações. Um sistema de equações pode ter uma única solução, mais de uma solução ou não ter nenhuma solução.

SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS É o sistema formado por duas equações lineares com duas incógnitas. O sistema neste formato, será estudado neste capítulo.

RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO Consiste em adicionar termo a termo semelhantes nos membros, para eliminar uma das incógnitas. Há quatro casos a considerar conforme a natureza dos coeficientes da incógnita a eliminar. No estudo para resolução de sistemas de equações, apresento testes que possibilitarão fazer contato com os quatro casos.


01. Seja o sistema linear:

x + y = 21

x - y = 3

Resolução:

x + y = 21+

x - y = 3

242x = 24 x = x = 12

2

Substituindo x=12 em qualquer uma das equações, obtemos y=9. Resultado final (12; 9).

RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO Consiste em isolar a mesma incógnita nas duas equações e, compará-las pela igualdade.



x + y = 21

x - y = 3

Resolução:

isolando (I)

isolando (II)

x + y = 21 x x =21- y

x - y = 3 x x = 3+y

Fazendo a comparação ( I ) = ( II ), obtemos a equação:

21 y = 3 + y 2y= 18 y = 9

Substituindo y = 9 em qualquer uma das equações, obtemos x=12.

Resultado final (12; 9).

RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Consiste em isolar uma incógnita arbitrariamente a eliminar e substituí-la na outra equação.



x + y = 21

x - y = 3

Resolução:

isolandox + y = 21 (I) x x =21- y

x - y = 3 (II)

Substituindo x =21- y na equação ( II ), obtemos:

(21 - y)- y=3

21 - y - y = 3

-2y = -18

2y = 18

y = 9

Substituindo y=9 em qualquer uma das equações, obtemos x=12.

Resultado final (12; 9).

02.Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00?

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30

Resolução:

I) Duas grandezas, número de notas e valor das notas com duas incógnitas número de notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Neste caso é possível elaborar um sistema de duas equações com duas incógnitas.

x = número de notas de R$ 5,00 y = número de notas de R$ 10,00

5x + 10y = 55

x + y = 7 ...se desejar pode dividir a 1ª equação por 5

x + 2y = 11

x + y = 7 .......isole o x na 2ª equação

x + 2y = 11

x = 7 - y .......substitua x = 7 - y na 1ª equação x + 2y = 11

(7-y) + 2y = 11........7-y + 2y = 11 y = 4.

Resposta: 4 notas de R$ 10,00

TESTES I

Resolva os próximos sistemas lineares:

01.

x + y = 17

x - y = 5

02.

2x + 5y = 18

x = 60 - y

03.

2x - 3y = 3

3x + 2y = 37

04. (CEFET-PR) Sabendo-se que a diferença de preço entre uma boneca e uma bola é R$ 15,00 e que a soma dos preços de duas bonecas com duas bolas é R$ 118,00 , podemos afirmar que o preço de um dos brinquedos é: a) R$ 15,00. b) R$ 80,00. c) R$ 65,00. d) R$ 37,00. e) R$ 10,00.

05. (UFRJ-NCE) André é um ano mais velho que Bernardo, que é um ano mais velho que Cardoso, que é um ano mais velho que Demétrio. A soma das idades dos quatro é 190. Então, daqui a 16 anos Demétrio terá a seguinte idade: a) 64; b) 62; c) 60; d) 58; e) 56.

06. (FCC) Uma empresa resolveu aumentar seu quadro de funcionários. Numa 1a etapa contratou 20 mulheres, ficando o número de funcionários na razão de 4 homens para cada 3 mulheres. Numa 2a

etapa foram contratados 10 homens, ficando o número de funcionários na razão de 3 homens para cada 2 mulheres. Inicialmente, o total de funcionários dessa empresa era: a) 90 b) 120 c) 150 d) 180 e) 200 07. (FCC) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pés. Quantas são as galinhas e os coelhos?

08. (FCC) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os números?

09. Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é? a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g

10. (FCC) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a: a) 18 b) 25 c) 30 d) 45 e) 60

11. Cachorro quente com uma salsicha por $ 15,00.Cachorro quente com duas salsichas por $ 18,00.O gerente sabe quantos sanduíches vendeu contando os pães. Com essa promoção ele "faturou" $ 810,00. Quantas salsichas foram consumidas nos sanduíches sabendo que usou 46 pães?

12. Uma pessoa comprou bicicletas de 2 rodas e quarda-chuvas de 12 varetas. Se o total de rodas e varetas é 38 000e o número de guarda-chuvas é o triplo do de bicicletas, então o número de guarda-chuvas é.

13. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 anos mais, ele teria 4/5 da idade do seu irmão. Juntos eles têm 30 anos. A idade de Roberto é: a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 10

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14. Um baleiro vende dois tipos de balas: b1 e b2. Três balas do tipo b1 custam R$ 0,10 e a unidade da bala b2 custa R$ 0,15. No final de um dia de trabalho, ele vendeu 127 balas e arrecadou R$ 5,75. O número de balas do tipo b1 vendidas foi: a) 114 b) 113 c) 112 d) 111 e) 110

15. Três latas iguais de massa de tomate mais uma lata de atum custam, juntas, R$ 3,00. Duas latas de massa de tomate mais duas latas de atum (todas iguais às anteriores) custam, juntas, R$ 3,40.Qual é o preço de uma lata de massa de tomate? a) R$ 0,65 b) R$ 0,70 c) R$ 0,75 d) R$ 0,80 e) R$ 0,95

16. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é: a) 48 b) 72 c) 58 d) 60 e) 34

17. (UNB-CESPE) Se eu gastar R$1.200,00 ficarei com 3/4 da quantia que Paulo possui. Juntos temos R$ 4.000,00. Nestas condições, Paulo possui a importância de R$: a) 1.200 b) 1.680 c) 1.600 d) 2.320 e) 2.400

18. (FATEC-SP) Uma loja vendeu 112 pneus para 37 veículos entre "Fuscas" e motos. Somente dois "Fuscas" trocaram também o pneu de estepe. Quantas motos trocaram pneus?

19. Um cavalo e um burro caminhavam juntos, carregando cada um pesados sacos. Como o cavalo reclamava muito de sua pesada carga, respondeu-lhe o burro: de que te queixas? se me desses um saco, minha carga seria o dobro da tua, mas se eu te der um saco tua carga será igual a minha. Quantos sacos cada um deles levava?

20. (FGV-SP) Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do número de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontram no pátio é: a) 50 b) 42 c) 52 d) 54 e) 62

21. Num pátio existem automóveis e motocicletas. O número total de rodas é 130 e o número de veículos é 40. Quantos veículos de cada tipo se encontram no pátio?

22. (FCC-TRT) Para uma festa de aniversário, foram comprados 3 centos de salgados e 2 centos de doces, num custo total de R$ 90,00. Se o cento dos doces custa R$ 15,00, cada unidade de salgado é, em reais, igual a: a) 0,10 b) 0,15 c) 0,20 d) 0,25 e) 0,30

23. (UDESC) Em um treino de basquete, um jogador ganha 5 pontos por cada cesta que acerta e perde 3 pontos por cada cesta que erra. Em 10 tentativas, um jogador obteve 26 pontos. Logo, o número de cestas que ele acertou foi: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

24. (OBM) Ronaldo, sempre que pode, guarda moedas de 50 centavos ou 1 real. Atualmente, ele tem 100 moedas, num total de 76 reais. Quantas moedas de um valor ele tem a mais do que a de outro valor ? a) 48 b) 4 c) 8 d) 52 e) 96

25. (BANESPA) Um fazendeiro cria galinhas e coelhos. Num dado momento, esses animais somam um total de 50 cabeças e 140 pés. Pode-se concluir que a razão entre o número de coelhos e o número de galinhas é: a) 1/3 b) 1/2 c) 2/3 d) 3/2 e) 3/4

26. (CESGRANRIO-RJ) Geraldo devia R$ 55,00 a seu irmão e pagou a dívida com notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Se, ao todo, o irmão de Geraldo recebeu 7 notas, quantas eram as notas de R$ 10,00? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

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27.(OCM) Um zoológico tem vários macacos e várias girafas. Contando os olhos e as pernas dos macacos e das girafas obtém-se 30 olhos e 44 pernas. Quantos macacos e quantas girafas há no zoológico? (Um macaco tem duas pernas.) a) 8 m e 7 g b) 9 m e 6 g c) 7 m e 8 g d) 6 m e 9 g e) 8 m e 9 g

28.(ESAF) Um copo completamente cheio de água pesa 275 gramas. Mas se metade da água for

jogada fora, seu peso cairá para 165 gramas. Então, o peso deste copo é em gramas: a) 32,5 b) 42,5 c) 55 d) 75 e) 110

29. (FGV-SP) Em uma prova de 20 questões, o candidato recebe 4 pontos por cada resposta certa e perde 1 ponto por cada questão não respondida corretamente. André obteve 20 pontos. Qual seria a nota de André, se cada resposta certa valesse 6 pontos e cada resposta errada fizesse com que ele perdesse 2 pontos? a) 12 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24

30. (OBM) No alvo abaixo, uma certa pontuação é dada para a flecha que cai na região A e outra para a flecha que cai na região B. Alberto lançou 3 flechas: uma caiu em B e duas em A, e obteve 17 pontos. Carlos também lançou 3 flechas: uma caiu em A e duas em B, e obteve 22 pontos. Quantos pontos são atribuídos para uma flecha que cai na região A?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

31. (FCC) Na entrada de um estádio, em um dia de jogo, 150 pessoas foram revistadas pelos soldados Mauro, Norberto e Orlando. O número das revistadas por Mauro correspondeu a 3/4 do número das revistadas por Orlando, e o número das revistadas por Orlando correspondeu a 14/13 do número das revistadas por Norberto. O número de pessoas revistadas por: a) Mauro foi 45. b) Norberto foi 54. c) Orlando foi 52. d) Norberto foi 42. e) Mauro foi 42.

32. (UEL-PR) Fernando fez um pedido de 4 m2 de um piso tipo A e alguns metros quadrados de um piso tipo B. O piso tipo A custa o dobro do piso tipo B. Ao anotar o pedido, o vendedor trocou os tipos de piso, ou seja, 4 m2 de piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o pedido ficar 50% mais caro. A quantidade de piso tipo B no pedido original era: a) 32 b) 16 c) 8 d) 6 e) 4

33. (UFF-RJ) Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com o seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse, pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador nesta partida foi: a) 0 b) 5 c) 10 d) 15 e) 20

34. (CESPE) A diferença entre dois números é 144 e o quociente entre eles é 5. Um desses números é: a) 35 b) 180 c) 60 d) 80

35. (UNB-CESPE) A metade da diferença entre dois números é 325 e o dobro de seu quociente é 28. Calcule o menor: a) 28 b) 25 c) 14 d) 50

36.(CESPE) Dois números tais que, multiplicando-se por 5 e o menor por 6, os produtos são iguais. Se o maior deles, diminuído de 3 é igual ao menor aumentado de 1, então um deles é: a) 4 b) 7 c) 18 d) 24

37. (UNB-CESPE) A quantia de R$ 8,75 é composta de 42 moedas de, 1 centavo e de 50 centavos. A diferença entre as quantidades de moedas de 1 centavo e 50 centavos é de: a) 6 moedas b) 7 moedas c) 8 moedas d) 9 moedas e) 10 moedas

A

B

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38. (UNB-CESPE) Dois trabalhadores recebem juntos R$ 1.080,00 por 20 dias de trabalho. O mais especializado recebeu R$ 4,00 a mais do que o outro, por dia de trabalho. A diária do operário menos especializado foi de: a) R$ 23,00 b) R$ 23,50 c) R$ 24,00 d) R$ 24,50 e) R$ 25,00

39. (FCC-TRF) Um total de 120 caixas de lápis e de borrachas foi distribuído a alguns setores de uma empresa. Se o número de caixas de lápis acrescido de 5 unidades excede a terça parte do número das de borrachas em 21 unidades, então a quantidade de caixas de a) borrachas é 75. b) lápis é 40. c) borrachas é 78. d) lápis é 45. e) borrachas é 80.

40. (UFRJ-NCE) Agenor emprestou a Barcelos todos os cds que tinha com gravações de Frank Sinatra, pois Barcelos queria dar uma reunião em que apenas cds do cantor seriam tocados. Barcelos ficou então com um total de quarenta e cinco gravações do famoso cantor, contando os seus e os de Agenor. Barcelos tem sete cds a mais que Agenor com tais gravações e nenhum dos cds de Barcelos é igual a algum de Agenor. Então, o produto entre a quantidade de cds de Frank Sinatra de Agenor e a de Barcelos é igual a: a) 234; b) 258; c) 290; d) 324; e) 494.

41. (UFRJ-NCE) Um fazendeiro dividirá seu terreno de modo a plantar soja, trigo e hortaliças. A parte correspondente à soja terá o dobro da área da parte em que será plantado trigo que, por sua vez, terá o dobro da área da parte correspondente às hortaliças. Sabe-se que a área total desse terreno é de 42 ha, assim a área em que se irá plantar trigo é de: a) 6 ha; b) 12 ha; c) 14 ha; d) 18 ha; e) 24 ha.

42. (EsPCEX) A soma dos valores de x, y e z que

tornam o sistema 0zx

2z2y3x

5zy2x

verdadeiro é: a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

43. (FGV-SP) Se (a, b, c) é solução do sistema

7z2y3x

3z2y

5y2x

, então a + b + c é igual a a) 2 b) 2 c) 0 d) 1

44. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foram trocados por oito porcos. Em outra ocasião, uma vaca foi trocada por um touro e um porco. De acordo com a regra desses dois negócios , uma vaca deve ser trocada por ___ porcos; um touro, por ___ porcos. Assinale a alternativa que preenche corretamente os espaços. a) 3; 2 b) 2; 5 c) 2; 3 d) 3; 4

45. (CEFET-PR) Para a festa do Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. Recebeu uma doação de R$ 370,00. Esperava-se comprar carrinhos a R$ 2,00 cada, bonecas a R$ 3,00 e bolas a R$ 3,50. Se o número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos juntos, a solução seria comprar: a) 60 bonecas, 30 carrinhos e 30 bolas. b) 20 bonecas, 40 carrinhos e 60 bolas. c) 30 bonecas, 30 carrinhos e 60 bolas. d) 25 bonecas, 45 carrinhos e 70 bolas. e) 40 bonecas, 20 carrinhos e 60 bolas.

46. (OBM) Rafael tem 2/3 da idade de Roberto e é 2 anos mais jovem que Reinaldo. A idade de Roberto representa 4/3 da idade de Reinaldo. Em anos, a soma das idades dos três é: a) 48 b) 72 c) 58 d) 60 e) 34

47. (FCC-TRF) As provas de um certo concurso público serão aplicadas em 50 cidades dos estados do Paraná (PR), de Santa Catarina (SC) e do Rio Grande do Sul (RS), nas seguintes proporções: SC

52% RS, PR

48% RS. Nessas condições, o número de cidades do Paraná nas quais as provas serão aplicadas é a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

(CESPE) Uma pessoa comprou 2 unidades do produto X e 3 unidades do produto Y, pagando pela compra o total de R$ 55,00. Se essa pessoa comprasse 5 unidades do produto X e 4 unidades do produto Y, pagaria o total de R$ 92,00. Com base nessas informações, é correto afirmar que o preço da unidade do produto

48. Y é superior a R$ 10,00.

49. X é inferior a 3/5 do preço da unidade do produto Y.

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50. As quantidades dos produtos que Elaine, Pedro e Carla compraram num mercado estão esquematizadas na tabela que segue

produto A produto B produto C Elaine 1 2 3 Pedro 3 6 2 Carla 2 4 1 Sabendo-se que Pedro gastou R$ 21,00 e Carla R$ 13,00, pode-se concluir, necessariamente, que a) Elaine gastou R$ 10,00. b) o preço do produto C é R$ 3,00. c) o preço do produto A é R$ 1,00. d) o preço do produto B é R$ 3,00.

51. (FAE-PR) Teresa quer distribuir balas, pirulitos e chocolates para crianças. Ela dispõe de grande quantidade desses doces e os únicos critérios são que cada pacote contenha todos os 3 doces, num total de 10 unidades, e que o número de balas em cada pacote seja o dobro do número de chocolates. O número de pacotes diferentes somente pela quantidade de doces é igual a: a) 7 b) 8 c) 3 d) 4 e) 5

52. (UNIOESTE-PR) Considerando as leituras indicadas nas balanças da figura abaixo, é correto afirmar que:

I ) o objeto A é o de maior massa. II ) o objeto C é o de menor massa. III) a soma das massas dos três objetos é igual a 96g. IV ) a massa do objeto B é igual a 28g. V ) a massa do objeto B é igual à soma das massas de A e C. VI ) a diferença entre as massas de B e C é igual a 40g.

a) FVVFVV b) VVVVVV c) FFFFFF d) FVVFFF e) VFFVVV

53. (ENEM) Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano. O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y, juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é: a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

54. (UFPR) Certa transportadora possui depósitos nas cidades de Guarapuava, Maringá e Cascavel. Três motoristas dessa empresa, que transportam encomendas apenas entre esses três depósitos, estavam conversando e fizeram as seguintes afirmações: 1º motorista: Ontem eu sai de Cascavel, entreguei parte da carga em Maringá e o restante em Guarapuava. Ao todo, percorri 568km. 2º motorista: Eu sai de Maringá, entreguei uma encomenda em Cascavel e depois fui para Guarapuava. Ao todo, percorri 522km. 3º motorista: Semana passada eu sai de Maringá, descarreguei parte da carga em Guarapuava e o restante em Cascavel, percorrendo, ao todo, 550km. Sabendo que os três motoristas cumpriram rigorosamente o percurso imposto pela transportadora, quantos quilômetros percorreria um motorista que saísse de Guarapuava, passasse por Maringá, depois por Cascavel e retornasse a Guarapuava? a) 820km b) 832km c) 798km d) 812km e) 824km

55. (UEL-PR) Um comerciante varejista comprou 80 calças de dois tamanhos diferentes, pequeno e médio, gastando R$ 4 300,00. Cada calça de tamanho pequeno custou R$ 50,00 e cada calça de tamanho médio custou R$ 60,00. Quantas calças de tamanho pequeno e médio, respectivamente, ele comprou? a) 30 e 50 b) 37 e 43 c) 40 e 40 d) 43 e 37 e) 50 e 30

56. (UFRJ-NCE) O ingresso para entrar em um parque nacional custa R$ 2,00 por criança e R$ 5,00 por adulto. Num dia entraram 57 pessoas no parque, e foi obtida a receita total de R$ 222,00. Nesse dia, o valor absoluto da diferença entre o número de crianças e adultos que entraram no parque foi de: a) 15; b) 21; c) 26; d) 30; e) 36.

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GABARITO

01 11 e 6 02 94 e -34 03 9 e 5 04 D 05 B 06 B 07 18 e 5 08 17 e 33 09 C 10 D 11 86 12 3 000 13 E 14 A 15 A 16 C 17 C 18 19 19 7 e 5 20 C 21 25 e 15 22 C 23 E 24 B 25 C 26 C 27 A 28 C 29 E 30 C 31 E 32 B 33 C 34 B 35 D 36 D 37 C 38 E 39 C 40 E 41 B 42 C 43 A 44 A 45 E 46 C 47 A 48 C 49 E 50 B 51 C 52 A 53 B 54 A 55 E 56 A

FUNÇÕES DO 1º GRAU

FUNÇÃO CONSTANTE Uma função é dita constante quando é do tipo f(x) = k , onde k é um número real que não depende de x . Exemplos: a) f(x) = 9 b) f(x) = -2 Nota : o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o gráfico a seguir:

FUNÇÃO DO 1º GRAU Uma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a 0 . Exemplos : 01. f(x) = 2x + 8 ( a = 2 ; b = 8 ) 02. f(x) = -5x + 5 (a = -5; b = 5).

CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO 1º GRAU I) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta decrescente quando a<0.

II) O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente quando a>0.

III) Na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b 0, f é dita função afim .

IV) O gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a . V) O gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b), que é o termo independente b, onde b

é chamado coeficiente linear . VI) O valor a

é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta. VII) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem, no ponto (0, 0).

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TESTES

01. (NC.UFPR) Calculando o valor numérico da

expressão 22

2

ba

)ba(, para 0,25a

e ,0,15b

obtemos o valor: a) 1,75 b) 4,00 c) 2,50 d) 3,20 e) 3,75

02. Assinale a alternativa que corresponde a função de acordo com o gráfico:

a) f(x)= -x+2 b) f(x) = -x/2 + 1 c) f(x)= -x/2 + 2 d) f(x)=4x e) f(x)= -x

03. Obtenha a função do 1º grau na variável x que passa pelos pontos ( 0, 1 ) e ( -3, 0): a) y= x/3 b) y=-x/3 + 1 c) y= 2x d) y= x/3 +1 e) y= -x

04. O gráfico abaixo representa a função f(x)= ax + b . Assinale a alternativa correta:

a) a = 0 ; b = 0 b) a > 0 ; b > 0 c) a < 0 ; b > 0 d) a > 0 ; b = 0 e) a > 0 ; b < 0

05. ( UF-MA ) A representação da função y = -3 é uma reta : a) paralela aos eixo das ordenadas b) perpendicular ao eixo das ordenadas c) perpendicular ao eixo das abscissas d) que intercepta os dois eixos e) nda

06. ( PUC - SP ) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando :

a) a < 2 b) a < 0 c) a = 0 d) a > 0 e) a = 2

07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões ?

a) y = 2x - 3 b) y = - 2x + 3 c) y = 1,5 x + 3 d) 3y = - 2x e) y = - 1,5x + 3

08. ( FGV - SP ) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é : a) 13/5 b) 22/5 c) 7/5 d) 13/5 e) 2,4

09. ( PUC - MG ) Uma função do 1o grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a : a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1

10. ( FUVEST-SP ) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é : a) f(x)= x-3 b) f(x)= 0,97x c) f(x)=1,3x d) f(x)=-3x e) f(x)= 1,03x

x

y

0

3

- 2

x

y

0

x

y

0

x

y

2

4

0

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11. ( UF-RN ) Seja a função linear y = ax - 4 . Se y = 10 para x = -2 então o valor de y para x = -1 é: a) 3 b) 4 c) -7 d) -11 e) nda

12. ( MACK - SP ) A função f é definida por f(x)= ax + b Sabe-se que f(-1) = 3 e f(1) = 1. O valor de f( 3 ) é : a) 0 b) 2 c) -5 d) -3 e) -1

13. ( UNIFOR ) Seja a função f de R em R definida por f(x) = mx + t representada pelo gráfico abaixo. Nestas condições:

a) m = 2t b) t = 2m c) m = t d) m + t = 0 e) m - t=4

14. (AFA)

O Sr. Souza, esposa e filhos optaram pelo passeio acima anunciado e, aproveitando as férias escolares, passaram 5 dias hospedados no Hotel Fazenda B fazendo todas as refeições, gastando ao todo 1100 reais, dos quais 280 reais cobriram despesas com telefone, frigobar e lazer. É correto afirmar que a) a família levou 6 filhos. b) as despesas com refeições totalizaram 400 reais. c) no chalé sobraram 4 acomodações. d) se não tivessem ocorrido as despesas extras com frigobar, telefone e lazer, eles poderiam ter ficado mais 1 dia e teriam economizado ainda 120 reais.

15. (FAE-PR) Dois números inteiros positivos são tais que a sua soma mais a sua diferença mais o seu produto é igual a 50. Quantas são as possíveis soluções para esse problema? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

16. A função f é representada graficamente por

Pode-se concluir que a) se f(x) < 0 então x > a. b) se f(x) < 0 então x < 0. c) se x < a então f(x) < 0. d) se 0 < b < a e x > b então f(x) > f(b).

17. (EPCAR) A reta do gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em ml) que uma pessoa deve tomar, em função de seu peso (dado em Kgf), num tratamento de imunização. A quantidade total de soro a ser tomada será dividida em 10 injeções idênticas. Quantos ml de soro receberá um indivíduo de 65 Kgf em cada aplicação?

a) 20 b) 2 c) 40 d) 4

18. (EsPCEX) Sabendo que a função y = ax + b, pode-se afirmar que: a)O gráfico da função passa sempre pela origem. b)O gráfico da função corta sempre o eixo das ordenadas. c)O zero da função é b/a. d)A função é crescente para a < 0 . e)O gráfico da função nunca passa pela origem.

x

y

0

-1

-2

x

y

0

f

a

Hotel Fazenda B

Chalés com acomodação para até 10 pessoas.

Diária do Chalé: 80 reais

Refeição opcional (14 reais por dia por pessoa)

0

ml

Kgf 80

10

50 20

30

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38

19. (NC.UF-PR) Qual das histórias melhor se adapta ao gráfico abaixo?

a) Saí de casa calmamente, mas quando vi que poderia me atrasar, comecei a caminhar mais rápido.

b) Eu tinha acabado de sair de casa quando tive a sensação de ter esquecido as chaves do escritório. Parei para procurá-las na minha mala, mas não as encontrei. Voltei para buscá-las, tomei mais um cafezinho e depois pude seguir para o escritório.

c) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Como meu carro estava sem estepe, precisei ficar horas esperando pelo borracheiro. Ele veio, consertou o pneu, e eu pude seguir viagem.

d) Logo que saí de casa encontrei um amigo que não via há muito tempo. Parei para conversar um pouco e depois segui para o escritório.

e) Saí de casa sem destino, dei uma volta na quadra e resolvi voltar para casa. O tempo estava para chuva e resolvi não sair mais de casa.

20. (ACAFE-SC) Suponha que uma companhia de água cobre o consumo residencial pela seguinte tabela:

Faixa de consumo por m3

Valor em reais por m3

0 - 10 1,20 11 - 25 2,00

mais de 25 2,50 O proprietário de uma residência, que num determinado mês consumiu 27m3 de água, pagará, em reais: a) 55,00 b) 67,50 c) 54,00 d) 45,00 e) 47,00

21. (ACAFE-SC) Dois atiradores, A e B, numa série de 20 tiros num alvo com a forma indicada na figura abaixo, obtiveram os resultados que estão anotados no quadro dado.

atiradores

50 30 20 10 0 A 5 4 3 7 1 B 6 2 3 8 1

Observando a média de pontos dos atiradores A e B, a alternativa correta é: a) O atirador B superou o atirador A em 2 pontos. b) O atirador A teve melhor desempenho que o atirador B. c) Os atiradores tiveram o mesmo desempenho. d) A média de pontos do atirador B é de 20 pontos. e) A média de pontos do atirador A é de 24 pontos.

22. (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A distância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo.

0

d(m)

10 20 30x

100200300400500

t(min)

A

B

Com base no gráfico, a alternativa correta é: a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min. b) B percorre 1km em 20 min. c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. d) A e B correm na mesma velocidade. e) A percorre 400m em 30 min.

23. (MACK-SP) Considere as funções f (x) = 3 x 5, g (x) = 3x2 + 2x

4 h(x) = x

x2 e o número real

)2(h

)1(g)0(fA .

Então 5 . A 1 vale: a) 1/6 b) 6 c) 6 d) 5 e) 1/5

distância

tempo

0

0

102030

50

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39

24. (UFPR) No interior de uma caverna existe uma estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a

função h definida por h(t) = ,10t

com t 0, relaciona

a altura da estalagmite(em centímetros) com o tempo t (em anos) decorrido desde o inicio da sua formação. I) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o gráfico da função h é uma parábola. II) h(80) = 80 III) São necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite. IV) A altura da estalagmite é diretamente proporcional ao tempo t. Assim é correto afirmar: a) FFVV b) VVVV c) FFFF d) VVFF e) FVFV

25. O Brasil tem um encontro marcado com o caos. No dia 1o

de junho começa o plano de racionamento de energia.

O modelo energético brasileiro é baseado quase que exclusivamente em hidrelétricas, que produzem 97% da energia consumida no país. Sem chuva, entra em colapso . Revista Veja 16/05/01

No gráfico abaixo, tem-se o nível da água armazenada em uma barragem ao longo dos últimos anos, que foi construída para represar água a fim de mover as turbinas de uma usina hidrelétrica.

Analise as alternativas e marque a opção correta. a) O nível da água permaneceu constante num período de 8 anos. b) O nível de 80 metros foi atingido exatamente duas vezes até o ano 2000. c) Após o ano de 2000, o nível da água da barragem foi insuficiente para gerar energia. d) No período de 1995 a 2000, o nível da água só diminuiu.

26. (VUNESP) O valor de um determinado tipo de automóvel diminui com o passar do tempo, como mostra o gráfico.

Esse carro não terá valor algum, decorridos a) 12 anos. b) 13 anos. c) 15 anos. d) 16 anos. e) 17 anos.

27. (EXPCEX) O crescimento de um vegetal, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, segue a função do gráfico abaixo. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a função que representa o crescimento do vegetal e sua altura no 12° dia são, respectivamente:

a)h t t cm( )1

25 e h =

12

15

b)h t t cm( )1

3

5

3 e h =

12

5

c)h t t cm( )1

51 e h =

17

5

d)h t t cm( )1

4+ 1 e h =

17

5

e)h tt

cm( )5

5 e h =

12

15

tempo (anos)

preço (milhares de reais)

0

8

25,5

13,5

0 1989 1995 2000 tempo

nível (m)

120

80

30

10

O nível máximo

o nível mínimo para gerar energia

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40

28.Um veículo de transporte de passageiro tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sofre desvalorização constante por ano. Veja a figura seguinte.

Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso, e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era novo, então esse valor mínimo é, em reais, a) menor que 4500 b) maior que 4500 e menor que 7000 c) múltiplo de 7500 d) um número que NÃO divide 12000

29. (UEL PR) Uma turma de torcedores de uma time de futebol quer encomendar camisetas com o emblema do time para a torcida. Constataram com um fabricante que deu o seguinte orçamento:

Arte final mais serigrafia: R$ 90,00, independente do numero de camisetas.

Camiseta costurada, fio 30, de algodão: R$ 6,50 por camiseta. Quantas camisetas devem ser encomendadas com o fabricante para que o custo por camiseta seja de R$ 7,00? a) 18 b) 36 c) 60 d) 180 e) 200

30. (UFRJ-NCE) Observe este gráfico: y

x

y = f(x)

A única das funções abaixo que pode ser representada por este gráfico é: a) f(x) = 3x 2 b) f(x) = x + 15 c) f(x) = 3x 15 d) f(x) = 2x 5 e) f(x) = x + 4

31. (CESGRANRIO) Um reservatório com capacidade para 3.000 litros estava com 300 litros de água quando uma torneira de vazão constante foi aberta. O gráfico a seguir mostra a variação do volume de água, em litros, dentro do reservatório, em função do tempo, em horas, a partir do instante em que a torneira foi aberta.

Após 4 horas, o volume de água no reservatório, em litros, era de: a) 1.950 b) 2.100 c) 2.400 d) 2.550 e) 2.800

GABARITO

FUNÇÃO DO 1º GRAU

01 B 02 C 03 D 04 E 05 B 06 B 07 C 08 B 09 C 10 B 11 A 12 E 13 C 14 C 15 D 16 A 17 D 18 B 19 B 20 E 21 C 22 B 23 B 24 A 25 C 26 E 27 C 28 B 29 D 30 E 31 B

0 20 tempo (anos)

valor (R$)

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41

EQUAÇÕES DO 2º GRAU

DEFINIÇÃO É toda a equação que pode ser reduzida à forma:

ax2 + bx + c = 0 a 0

Em que: x é a incógnita

a, b e c são constantes reais denominadas coeficientes. c é o termo independente

RESOLUÇÃO Nas equações, é costume chamar os valores que satisfazem as equações de raízes. Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto-verdade, isto é, o conjunto de suas raízes.

Para a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 Use a formula de Báskara

2-b ± b - 4acx =

2a O conjunto solução é:

S= 2 2-b + b - 4ac -b - b - 4ac

;2a 2a

Considerações Para a equação do 2º grau, quando o discriminante da equação, radicando na fórmula de Báskara:

2b - 4ac =

I) Quando

> 0,

maior que zero, a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si..

S= 2 2-b + b - 4ac -b - b - 4ac

;2a 2a

II) Quando

= 0,

igual a zero, a equação tem duas raízes reais e iguais.

S=-b -b

;2a 2a

III) Quando

< 0,

menor que zero, a equação tem duas raízes não reais e diferentes entre si. S =

conjunto vazio, as raízes não são reais.

OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA (RELAÇÕES DE GIRARD)

Seja a equação:

1x2 - Sx + P = 0 a = 1

e x1 e x2 as raízes da equação, então podemos ter:

soma x1 + x2 = S produto x1 . x2 = P


01. Em certo momento, o número de funcionários presentes em uma agência bancária era tal que, se ao seu quadrado somássemos o seu quádruplo, o resultado obtido seria 572. Se 10 deles saíssem da agência, o número de funcionários na agência passaria a ser:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

Resolução:

x é o número de funcionários x2=quadrado de x 4x=quádruplo de x (x-10) é o que o teste solicita

I) x2+4x=572 x2+4x-572=0

Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:

2-b ± b - 4acx =

2a

2-(4) ± (4) - 4(1)(-572)

x =2(1)

-4 ± 48x =

2 x1=-26 não serve por ser negativo. x2=22 serve

II) Resposta: (x-10)=(22-10)=12

ENUNCIADO PRINCIPAL

Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.

AFIRMATIVA

02. (CESPE-BB) Se x é a quantidade de elementos do

grupo de amigos , então x

0008002000120

3-x

0008002

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42

AFIRMATIVA

02. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 2007

I) Prêmio sem exclusão dos não pagadores

x

0008002=valor por apostador

II) Prêmio com exclusão dos não pagadores

3-x

0008002- 120 000 =valor por apostador

Com base nos itens I e II, formamos a equação:

x

0008002=

3-x

0008002- 120 000

Conclusão: a afirmativa do enunciado está ERRADA

AFIRMATIVA

03. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do grupo de amigos , então é correto afirmar que, para essa função, o

ponto de mínimo é atingido quando x= 2

3.


I) Formação da equação

3-x

0008002- 120 000 =

x

0008002

Dividindo os termos por 40 000

3-x

70- 3 =

x

70

O múltiplo de x e x-3, é igual ao produto: x(x-3)

3)x(x

3)70(x

3)-x(x

3)-3x(x-70x

Simplificando x(x-3), obtemos:

70x 3x(x-3) = 70(x-3)

70x 3x2 + 9x = 70x 210x

Cancelando 70x, dividindo os membros por 3 e organizando a equação do 2º grau, obtemos:

x2 3x 70 = 0

II) Cálculo do x do vértice da função

F(x) = x2 3x 70 F(x) = ax2 + bx + c

Pela fórmula 2a

bv

x

2(1)

3)(v

x

2

3v

x

Conclusão: a afirmativa do enunciado está CORRETA

AFIRMATIVA

04. (CESPE-BB) A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11.


F(x) = x2 3x 70 F(x) = ax2 + bx + c

Calculando os valores de x da equação, obtemos o número inicial de apostadores. Fórmula de Bhaskara

2(a)

4(a)(c)-2(b)(b)x

2(1)

4(1)(-70)-2(-3)(-3)x

2

28093x

2

2893x

2

173x

102

20

2

1731

x serve

7-2

14-

2

1732

x não serve

Inicialmente são 10 apostadores, incluídos os que não pagaram a aposta.


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43

AFIRMATIVA

05. (CESPE-BB) Cada um dos elementos do grupo de amigos que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebeu uma quantia superior a R$ 250.000,00.


Total para cada apostador que efetivamente pagou a aposta.

7

0008002= 400 000,00


TESTES

01. (FUVEST) O conjunto verdade da equação x + 2 2 -1

+ =2 x - 2 2

02. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das raízes da equação 2x2 26x + 80 = 0 pode ser igual a: a) 0; b) 2; c) 3; d) 12; e) 20.

03. 6x2 x 1 = 0

04. x2 - 8x + 7 = 0

05. x2 - 6x + 9 = 0

06. x2 - 2x + 5 = 0

07. 3x2 + 12x = 0

08. 9 - 4x2 = 0

09. x2 - 5x + 6 = 0

10. O número de soluções inteiras da equação x - 3 4 4

- =x - 4 x x(x - 4)

a) 0 b)1 c)2 d)3 e) 4

11. A razão entre a soma e o produto das raízes da equação 2x2 - 7x + 3 = 0. a) 7/3 b) 7/2 c) 3/2 d) 3/7 e) 2/7

12. Qual o menor número que se deve somar a cada fator do produto de 5 x 13 , para que este produto , aumente de 175 unidades ? a) 7 b) 25 c) 7 d) 25 e) 13

13. Qual é o menor valor de "x" de modo que a divisão de 0,5 por "x" tenha o mesmo resultado da adição de 0,5 com "x"? a) 0,5 b) 0,5 c) 1 d) 1 e) 0

14. A soma de um número e o seu quadrado é 4032. Qual é esse número ? a) 66 b) 61 c) 62 d) 63 e) 64

15. (MACK-SP) Se (x

y)2

(x + y)2 =

20, então x . y é igual a: a) 1 b) 0 c) 10 d) 5 e) 20

16. (ACAFE-SC) Uma torneira deixa cair x gotas de água a cada 20 segundos. Sabendo-se que esse número x corresponde à raiz positiva da equação x( x-2 ) = 21 + 2x, o volume de água que vaza por hora, supondo que cada gota corresponde a 0,4ml, é: a) 504ml b) 540ml c) 5040ml d) 50,4ml e) 5400ml

17. (EsPCEX) Sejam m e n dois números inteiros positivos tais que m e n são ímpares consecutivos, com m.n=483. Nestas condições, o valor de m+n é igual a: a) 64 b) 52 c) 46 d) 44 e) 32

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44

18. (FCC-TRT) Numa reunião, o número de mulheres presentes excede o número de homens em 20 unidades. Se o produto do número de mulheres pelo de homens é 156, o total de pessoas presentes nessa reunião é a) 24 b) 28 c) 30 d))32 e) 36

19. (UFF) Num terreno retangular com 104 m2 de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura.

Calcule o valor de L.

20. (UFRJ-NCE) As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e 1. A soma dos valores das constantes m e n é igual a: a) 9; b) 5; c) 0; d) 1; e) 5.

21. (UFRJ-NCE) A diferença entre os valores das raízes da equação 2x2 26x + 80 = 0 pode ser igual a: a) 0; b) 2; c) 3; d) 12; e) 20.

22. (MACK-SP) As x pessoas de um grupo deveriam contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15 000,00, entretanto 10 delas deixariam de fazê-lo, ocasionando, para as demais, um acréscimo de R$ 50,00 nas respectivas contribuições. Então x vale: a) 60 b) 80 c) 95 d) 115 e) 120

23. (UNIRIO-RJ) Marta vai se casar e N amigas suas resolveram comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, cada uma delas contribuindo com a quantia de X reais. Na hora da compra, entretanto, uma delas desistiu de participar e as outras tiveram, cada uma, um acréscimo de R$ 15,00 na quota inicialmente prevista. Assim, a afirmação correta é: a) N = 4 b) X = R$ 60,00 c) X = R$ 45,00 d) X = R$ 50,00 e) N = 6

24. (UPNET) Foram escalados os soldados Carlos, Mário, Pedro, Manoel e José para trabalharem na segurança de um show. Na data marcada, verificou-se que só precisariam de 4 homens, ou seja, um dos soldados seria dispensado. Para não cometer injustiça, o comandante resolveu que o soldado que determinasse corretamente as raízes da equação abx2

(a + b) x + 1 = 0, onde a e b são números

inteiros, seria dispensado. Os soldados resolveram a equação e chegaram às seguintes raízes: Carlos: (1/a) e (-1/a) Manoel: (a+b)/ab e (a-b)/ab Mario: (1/a) e (1/b) José: ab/(a+b) e ab/(a-b) Pedro: (-1/a) e (-1/b)

Ajuda: (a + b)2 = a2+b2+2ab (a - b)2 = a2+b2 -2ab

ba2b)(a

ba2b)(a

O soldado dispensado do serviço foi a) Carlos. b) Mário. c) Pedro. d) Manoel. e) José.

25. (UPNET) Determine quantos passageiros viajam em certo ônibus, sabendo-se que, se dois passageiros ocuparem cada banco, 26 ficariam em pé e se três passageiros se sentassem em cada banco, dois bancos ficariam vazios. a) 32 b) 26 c) 64 d) 96 e) 90

26. (ESAF-TCI) Determinar a

de modo que a equação x2 + (a

4 ) x + 1

a = 0 tenha duas raízes iguais. a) a = 0 b) a = 8 ou a = 0 c) a = 8 d) 8 < a < 0 e) a < 0 ou a > 8

27. (UFRJ-NCE) Um retângulo, cujos lados são dados pelas expressões: (x+3) e (x-5), tem a mesma área que o quadrado de lado 3cm. O valor de x é igual a: a) 5 b) 5,5 c) 6 d) 7,5 e) 8

28. (UPNET) A equação do 2º grau px2-3px+9=0 terá duas raízes iguais, se a) p = 9 b) p = 3 c) p = 0 d) p = 2 e) p = 4

Calçada

Jardim

Terreno

L

L

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45

GABARITO

EQUAÇÃO DO 2º GRAU 01 1 e -2 02 C 03 -1/3 e 1/2 04 1 e 7 05 3 06 Vazio em R 07 -4 e 0 08 -3/2 e 3/2 09 2 e 3 10 B 11 A 12 D 13 C 14 D 15 D 16 A 17 D 18 D 19 2 20 A 21 C 22 A 23 B 24 B 25 E 26 B 27 C 28 B

FUNÇÃO DO 2° GRAU

VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Toda a função do 2° grau tem um ponto de máximo ou de mínimo.

f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a 0

PONTO DE MÁXIMO V( xv , yv ) O ponto de máximo é ponto de maior ordenada ( yv ) da função:

f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a < 0

Obs.: O coeficiente a de x2 é NEGATIVO.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

PONTO DE MÍNIMO V( xv , yv ) O ponto de mínimo é ponto de menor ordenada ( yv ) da função:

f( x ) = ax2 + bx + c = 0 a > 0

Obs.: O coeficiente a de x2 é POSITIVO.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO 2° GRAU

CÁLCULO DA ABSCISSA xv DO VÉRTICE

a2b

vx

Ou também, calculando a média aritmética das raízes ( x1 e x2 ):

22x1x

vx

CÁLCULO DA ORDENADA yv DO VÉRTICE (MÁXIMO OU MÍNIMO)

a4c)a4-2b

vy(

Ou também, substituindo xv na função:

c)vx(b2)vx(a)vx(f

IMAGEM DA FUNÇÃO DO 2° GRAU

Imagem

1)

Se a > 0 vyy

2)

Se a < 0 vyy

0

y

x

V

yv

xv

Ponto de

mínimo

xv 0

y

V

yv

Ponto de

máximo

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46

TESTES RESOLVIDOS

(CESPE) Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.



0008002000120

3-x

0008002

RESOLUÇÃO

I) Prêmio sem exclusão dos não pagadores

x

0008002=valor por apostador

II) Prêmio com exclusão dos não pagadores

3-x

0008002- 120 000 =valor por apostador

Com base nos itens I e II, formamos a equação:

x

0008002=

3-x

0008002- 120 000


03. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do grupo de amigos , então é correto afirmar que, para essa

função, o ponto de mínimo é atingido quando x= 2

3.

RESOLUÇÃO

I) Formação da equação

3-x

0008002- 120 000 =

x

0008002

Dividindo os termos por 40 000

3-x

70- 3 =

x

70

O múltiplo de x e x-3, é igual ao produto: x(x-3)

3)x(x

3)70(x

3)-x(x

3)-3x(x-70x

Simplificando x(x-3), obtemos:

70x 3x(x-3) = 70(x-3)

70x 3x2 + 9x = 70x 210x

Cancelando 70x, dividindo os membros por 3 e organizando a equação do 2º grau, obtemos:

x2 3x 70 = 0

II) Cálculo do x do vértice da função

F(x) = x2 3x 70 F(x) = ax2 + bx + c

Pela fórmula 2a

bv

x

2(1)

3)(v

x 2

3v

x



RESOLUÇÃO F(x) = x2 3x 70 F(x) = ax2 + bx + c

Calculando os valores de x da equação, obtemos o número inicial de apostadores. Fórmula de Bhaskara

2(a)

4(a)(c)-2(b)(b)x

2(1)

4(1)(-70)-2(-3)(-3)x

2

28093x

2

2893x

2

173x

102

20

2

1731

x serve

7-2

14-

2

1732

x não serve

Inicialmente são 10 apostadores, incluídos os que não pagaram a aposta.

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47



RESOLUÇÃO

Total para cada apostador que efetivamente pagou a aposta.

7

0008002= 400 000,00


TESTES

01. (ACAFE-SC) A função f(x) = x2 - 2x + 1 tem mínimo no ponto em que x vale: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

02. (PUC-MG) O valor máximo da função f(x) = - x2 + 2x + 2 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

03. (CEFET-PR) O maior valor que y pode de assumir na expressão y= - x2 +2x é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

04. (UEL-PR) Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x2 -5x + 9, então x + y é igual a: a) 5/6 b) 31 /14 c) 83/12 d) 89/18 e) 93/12

05. (UFF-RJ) Um fazendeiro pretende destinar um terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar o terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de três de seus lados, o quarto lado coincidirá com um muro reto. Nestas condições calcule, em metros quadrados, a maior área possível de ser limitada.

06. (UF-CE) Considere a função f: IR è IR, definida por f(x) = x2 - 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: a) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); b) f possui dois zeros reais e distintos; c) f atinge um máximo para x = 1; d) gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. e) nda

07. (UFF-RJ) Considere f, função real de variável real, definida por f (x) =

x2 + ax + b que possui uma raiz nula e um máximo para x = 3. Determine os valores de a e b.

08. (UFRJ-NCE) Considere o gráfico da parábola da figura abaixo.

A única equação que pode representar este gráfico é: a) y = x2 + 3x; b) y = x2 - 3x; c) y = x2; d) y = x2 - 3; e) y = x2 + 3;

09. (UEPG-PR) Seja a função f(x) = 3x2 + 4 definida para todo x real. Seu conjunto - imagem é:

a) {y E IR/y 4} b) {y E IR/-4<y<4} c) {y E IR/y>4}

d) {y E IR/y 4} e) REAIS

10.. Em uma partida de vôlei, um jogador deu um saque em que a bola atingiu uma altura h em metros, num tempo t, em segundos, de acordo com a relação h(t) = -t² + 8t.

a) Em que instante a bola atingiu a altura máxima? [Nota]: observem o vértice

b) De quantos metros foi a altura máxima alcançada pela bola?

11. (FGV-SP) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = - x2 + 30x - 5, onde x é a quantidade mensal vendida. Qual o lucro mensal máximo possível?

x

y

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48

12. (UNIFAP-FUNDAP) Segundo afirmam os Fisiologistas, o número N de batimentos cardíacos por minuto, para um indivíduo sadio e em repouso, varia em função da temperatura ambiente T, em graus Celsius, e é dado pela função N(T) = (0,1) T2

4 T +

90.

a) Essa função possui máximo ou mínimo?

b) A que temperatura o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia e em repouso será 90?

c) Se uma pessoa sadia estiver dormindo em um quarto com refrigeração de 20º C, qual será o número de seus batimentos cardíacos por minuto?

13. (FAE-PR) Para se produzir x unidades de um certo produto, uma empresa tem como expressar o seu custo por C(x) = x2 - 50 x + 2500. Analise as proposições a seguir: I. A empresa deve produzir 25 unidades para que o custo seja mínimo. II. O custo mínimo da empresa é de R$ 2500,00. III. O custo de produção de 10 unidades é maior que o custo de produção de 30 unidades. Assinale a alternativa correta: a) Apenas I está correta. b) Apenas I e II estão corretas. c) Apenas I e III estão corretas. d) Apenas II e III estão corretas. e) Todas estão corretas.

14. (UF-PR) Um grupo de funcionários vai viajar para participar de um congresso. Eles tiveram a idéia de fretar um ônibus no qual todos viajariam juntos e cada um pagaria o preço do fretamento dividido pelo número de pessoas. Ao pesquisar os preços, descobriram que uma empresa de turismo só aceitava grupos de 15 a 40 passageiros para cada ônibus, e calculava o preço (em reais) do fretamento do ônibus pela fórmula p(x) =

x2 + 70x + 50, onde x representa o número de passageiros. Considere as seguintes afirmações a respeito dos preços nessa empresa. I. Se viajarem 40 pessoas, cada pessoa pagará mais de R$ 30,00. II. Se viajarem 30 pessoas, o preço do fretamento será menor do que o preço correspondente a 40 pessoas. III. Existe um número x de pessoas para o qual o preço do fretamento é igual a R$ 1.150,00. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa I é verdadeira. b) Somente a afirmativa II é verdadeira. c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.

15. (UFPR) Se a soma de dois números é 14/3 e o produto é 5/3, então um dos números é: a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

16. (UFRG) O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y=-40x2+200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. A altura máxima atingida e o tempo que esse projétil permanece no ar corresponde, respectivamente, a: a) 6,25 m, 5s b) 250 m, 0 s c) 250 m, 5s d) 250 m, 200 s e) 10.000 m, 5s

17. (EsPCEX) O projétil disparado por um canhão, posicionado num ponto de altitude igual a 200 metros, atinge um alvo localizado num ponto de altitude igual a 1200 metros. Considerando-se que: I) A trajetória descrita pelo projétil é dada pela equação

2x3

4x

3

8y ,

II) Com x e y em quilômetros, e referenciada a um sistema cartesiano com origem no canhão. III) O alvo é atingido quando o projétil encontra-se no ramo descendente da sua trajetória. Nas condições acima descritas, pode-se afirmar que a distância horizontal entre as posições do canhão e do alvo é: a) 0,5 km b) 1,0 km c) 1,5 km d) 2,0 km e) 2,5 km

18. (EsPCEX) Um curral retangular será construído aproveitando-se um muro pré-existente no terreno, por medida de economia. Para cercar os outros três lados, serão utilizados 600 metros de tela de arame. Para que a área do curral seja a maior possível, a razão entre as suas menor e maior dimensões será: a) 0,25 b) 0,50 c) 0,75 d) 1,00 e) 1,25

19. (EsPCEX) Na criação de um determinado animal para abate, o criador dispõe de estudos que lhe informam que o custo da criação evolui no tempo

segundo a relação 2200t 222t120

2PC ;

o preço obtido pelo criador ao vender o produto evolui no tempo segundo a relação

2200t 232t120

2PV ; onde PC e PV

são respectivamente os preços de custo e de venda da arroba de carne, em reais, e t, o tempo de engorda, em dias. Nestas condições pode-se afirmar que o tempo de engorda que fornece maior lucro (PV PC) é em dias de:

a) 20 . b) 30 . c) 90 d) 60 e) 50

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49

20. (UNB-CESPE) Em um terreno, que tem a forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 30 m e 40 m, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, como indicado na figura que segue. Nessas condições, para que a área ocupada pela casa seja a maior possível, o valor de seu semi-perímetro, em metros, deverá ser igual a

a) 30 b ) 35 c) 40 d) 45 e) 50

A demanda D por um produto que custa p reais é definida como a quantidade do produto que será vendida quando se praticar o preço p. A oferta O de um produto ao preço de p reais é a quantidade do produto que o produtor está disposto e apto a vender pelo preço p. O preço de equilíbrio de mercado ocorre quando a demanda e a oferta coincidem, e a quantidade vendida é chamada quantidade de equilíbrio. Com base nesses conceitos, considerando que a demanda por um produto seja dada pela função D(p) = 49

p2 e que a oferta desse produto seja dada pela função O(p) = 11p

11, julgue os itens seguintes.

21. (CESPE-B AM) Existem valores de p para os quais há mais demanda que oferta.

22. (CESPE-B AM) O preço de equilíbrio ocorre para algum valor de p tal que 3 < p < 6.

23. (CESPE-B AM) Para os valores de p maiores que o preço de equilíbrio, existe menos oferta que demanda.

24. (CESPE-B AM) A quantidade de equilíbrio é inferior a 30 unidades.

Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram o jogo, coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00. Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.



0008002000120

3-x

0008002

26. (CESPE-BB) Considerando que, em uma função da forma f(x) = Ax2 + Bx + C, em que A, B, e C são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do grupo de amigos , então é correto afirmar que, para essa função,

o ponto de mínimo é atingido quando x= 2

3.



29. (UFRJ-NCE) As raízes da equação x2 + mx + n = 0 são 5 e 1. A soma dos valores das constantes m e n é igual a: a) 9; b) 5; c) 0; d) 1; e) 5.

GABARITO FUNÇÃO DO 2º GRAU 01 B 02 B 03 A 04 E 05 125 000 06 A 07 a = 6

b = 0. 08 A 09 D 10 4 e 16 11 220 12 a) mínimo

b)0 e 40

c) 50 13 C 14 A 15 E 16 C 17 C 18 B 19 B 20 B 21 Correta 22 Correta 23 Errada 24 Errada 25 Errada 26 Correta 27 Errada 28 Correta 29 A

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INEQUAÇÃO DO 1º GRAU

DEFINIÇÃO Chama-se inequação do 1º grau a toda sentença aberta do tipo:

ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0

, onde a R* e b R.

Resolver em R, uma inequação do 1º grau, é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais a desigualdade fique satisfeita.

INEQUAÇÕES DO 2º GRAU

DEFINIÇÃO

Chama-se inequação do 2º grau a toda sentença aberta do tipo:

ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0 ax2 + bx + c 0

com a R*, b R e c R; Resolver, em R, uma inequação do 2º grau, é determinar o conjunto de todos os valores da variável x para os quais a desigualdade fique satisfeita.

EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO Seja y = f(x) uma função de variável x, para as funções que seguem devemos impor a condição de existência:

1 0)xf()xf(

1y

2 0)xf(P )xf(y RA

3 0)xf()xf(

1y

RAP

TESTES

01. Resolva em IR a inequação, 2x 10 4.

02. Resolva em IR a inequação, 3x + 5 2.

03. Resolva em IR a inequação, -x-2 -2 + x.

04. Resolva em IR a inequação, x 3 3-x.

05. Resolva em IR a inequação, x2 5x + 4 0.





10. Resolva em IR a inequação, -x2 + 3x - 4 0.

11. (FCC) Perguntaram a José quantos anos tinha sua filha e ele respondeu: "A idade dela é numericamente igual à maior das solução inteira da inequação 2x2 31x 90 0." É correto afirmar que a idade da filha de José é um número a) quadrado perfeito. b) primo. c) menor que 10. d) divisível por 4. e) múltiplo de 6.

12. (FCC-TRE) O conjunto solução da inequação

086x2

x , no universo N dos números naturais, é a) { 0 } b) { 2 } c)){ 3 } d) { 7/2 } e) { 4 }

13. (CESGRANRIO-BNDES) O número de soluções inteiras do sistema de inequações x < 4x+3 2x > x +1 é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) infinito

14. (UFRJ-NCE) Dois números naturais x e y são tais que 4 < x + y < 10 e 0 < x

y < 3. Assinale a opção que NÃO apresenta valores possíveis para x e y, respectivamente: a) 3 e 2; b) 5 e 4; c) 4 e 3; d) 5 e 3; e) 6 e 3.

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GABARITO INEQUAÇÕES 01 x < 7 02 1x

03 0x

04 3x

05 x<1 ou x>4 06 4x1

07 Reais { 2 } 08 Reais 09 Vazio 10 Vazio 11 B 12 C 13 E 14 E

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

DEFINIÇÃO:

Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma progressão aritmética (PA), se a diferença entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (resto) constante real, denominado razão ( r ) da progressão.

r = a 2 - a 1

r = a 3 - a 2

r = a 4 - a 3

. . .

. . .

. . . r = a n - a n-1


01. Verificar se a seqüência (2, 4, 6, 8, 10) é uma progressão aritmética (PA) de razão 2. Resolução

r = a 2 - a 1 = 4 2 = 2 r = a 3 - a 2 = 6 4 = 2 r = a 4 - a 3 = 8 6 = 2 r = a 5 - a 4 = 10 8 = 2

A constante 2, obtida pela diferença, conforme mostra quadro, define a seqüência como uma progressão aritmética (PA) de razão.

FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r )

r = a n+1 - a n

Para todo o n pertencente aos naturais positivos

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Seja r a razão de uma progressão aritmética (PA), temos que: 1

PA estritamente crescente r > 0 2

PA estritamente decrescente r < 0 3

PA constante r = 0

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA)

A definição de progressão aritmética (PA), sugere que:

a 2 = a 1 + 1r a 3 = a 1 + 2r a 4 = a 1 + 3r a 5 = a 1 + 4r a 6 = a 1 + 5r e assim sucessivamente

Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de termos da progressão), temos a fórmula geral:

a n = a 1 + ( n-1 )r

Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é:

a n = a k + ( n-k )r

Por exemplo:

01. Na seqüência (10, 6, 2, ...), calcular o décimo termos.

Resolução:

a n = a 1 + ( n-1 )r a 10 = a 1 + (10 - 1)r a 10 = 10 + 9(-4) a 10 = 10 - 36 a 10 = -26

r=a2-a1=6-10 = -4

PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS

Forma simplificada para a representação de uma progressão aritmética com três termos em duas variáveis.

( x - r , x , x + r )

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão aritmética e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .

Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão aritmética.

1 nn

(a + a )S = n

2

n é igual ao número de termos somados.

an é o último termo.

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01. Calcular a soma dos 20 primeiros termos de progressão aritmética (2, 5, 8, ...).

Resolução:

I) Dados para cálculo da soma: a1=2, n=20 e a20 não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II.

II) Pela fórmula do termo geral,

a n = a 1 + ( n-1 )r a 20 = a 1 + ( 20-1 )r a 20 = 2 + 19x3 a 20 = 2 + 57 a 20 = 59

r=a2-a1=5-2=3

II) A soma dos 20 primeiros termos, S20.

1 nn

(a + a )S = n

2

20

(2 + 59)S = × 20

2

20S = 61×10

20S = 610

TESTES

01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica.

a) ( 2, 4, 6, 8, a5, a6, a7, a8 )

b) ( 35, 30, 25, 20, a5, a6, a7, a8 )

c) ( 8, 8, 8, 8, a5, a6, a7, a8 )

02. Determine os seis primeiros termos da seqüência definidos pela lei de formação an = 1+ 2n, com n pertencente aos números naturais diferentes de zero.

03. Determine o 20º termo da seqüência (26, 31, 36, 41,...).

04. (CESGRANRIO) Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? a) 90 b) 142 c) 220 d) 229 e) 232

05.(NC.UFPR) Em uma progressão aritmética, o 11º termo excede o 2º em 27. Sabendo-se que o 5º termo é 14, então o 12º é: a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37

06. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a1=2 e a10=47.

07.(UFRJ-NCE) Uma prova de 50 questões objetivas foi elaborada de tal modo que o nível de dificuldade é crescente; assim, cada questão vale 2 pontos a mais que a questão anterior. Se o valor da primeira questão é 1, o número máximo de pontos que se pode obter nessa prova é: a) 1 300; b) 1 325; c) 2 475; d) 2 500; e) 2 525.

08. Quantos números pares existem entre 43 e 535?

09. Calcule a soma dos 20 primeiros termos múltiplos de 3 positivos.

10.(Unifor-CE) Em um restaurante, os preços de três pratos estão em progressão aritmética de razão R$ 12,00. Se o primeiro e o segundo prato custam juntos R$ 42,00, então o segundo e terceiro prato custam juntos: a) R$ 54,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00

11. Determinar x tal que 2x-3, 2x+1, 3x+1, sejam três termos de uma progressão aritmética.

12. A seqüência: 3y; y+1; 5 é uma progressão aritmética. Determine a razão.

13. Sabendo que a seqüência (1-3x, x-2, 2x+1,...) é uma PA, então o 10º termo da PA (5-3x, x+7,...), é:

14. Em uma progressão aritmética em que a4=12 e a9=27. Calcular a5.

15. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o

é 2. A soma dos termos dessa progressão é: a) 13 d) 104 b) 52 e) 112 c) 102

16. A respeito das sucessões A e B, podemos afirmar que: A -8, -6, -4, ....

B 17, 14, 11 .... a) elas não tem termos iguais. b) o 10º termo de A e de B são iguais. c) elas tem cinco termos iguais. d) o 6º termo de A e de B são iguais. e) elas tem sete termos iguais.

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17.(UFRJ-NCE) Seja f uma função definida no conjunto dos números naturais tal que f(n+2)=f(n)+3, para todo n N (N=naturais) . Sabendo-se que f(0)=10 e f(1)=5, os valores de f(20) e f(41), são respectivamente: a) 40 e 65; b) 21 e 65; c) 40 e 62; d) 21 e 42; e) 65 e 40.

18. O termo geral de uma progressão aritmética é dado por an= 3n+7 , n natural positivo. Calcule o valor de a1 e r.

19. Num programa de condicionamento físico uma pessoa começa correndo 300 metros num dia, 400 metros no dia seguinte, 500 metros no próximo dia e assim sucessivamente até chegar aos dois quilômetros por dia. A partir de que dia ela estará correndo dois quilômentros por dia?

20. Determine o sexto termo de uma seqüência em que a1 = 2 e a10 = 47.

21.(UFPR) Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, em geral, mas a sua caracterização exata é a seguinte: são anos bissextos aqueles que são divisíveis por 4, mas não por 100; a exceção a essa regra são os anos divisíveis por 400, que também são bissextos. Assim, o número de anos bissextos entre 1895 e 2102 é: a) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 51

22. (FCC) Assinale a opção que apresenta corretamente o oitavo termo de uma PA onde a 5 = 6 e a 17 = 30. a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

23. (AFA) Se a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (PA) é dada pela fórmula

2

n23nnS , então a soma do quarto com o sexto

termo dessa PA é a) 25 b) 28 c) 31 d) 34

24. (EsPCEX) Numa modalidade de corrida, ganha a equipe que percorre uma determinada distância em menor tempo, revezando seus atletas a cada 800 metros. A equipe Verde utilizou a tática de organizar seus atletas na ordem crescente de suas velocidades. Sabe-se que o atleta menos veloz dessa equipe gastou 5 minutos no revezamento e que a diferença de tempo entre dois atletas consecutivos foi sempre de 30 segundos. Sabendo que a equipe Verde realizou a prova em 26 minutos, a distância total percorrida foi de a) 4000 metros. b) 4160 metros. c) 6400 metros. d) 10400 metros. e) 20800 metros.

25. Numa progressão aritmética com 51 termos, o 26o

é 2. A soma dos termos dessa progressão é: a) 13 b) 104 c) 52 d) 112 e) 102

26.(FAE-PR) Um maratonista inicia um treinamento para uma prova de 50 km, 40 semanas antes de sua realização. Na primeira semana de treinamento ele percorre 30 km. Na segunda semana ele percorre ½ km a mais que na semana anterior e assim sucessivamente. O maratonista: a) percorrerá 50 km no treino da 37ª semana; b) percorrerá 50 km no treino da 38ª semana; c) percorrerá 50 km no treino da 39ª semana; d) percorrerá 50 km no treino da 40ª semana; e) percorrerá 50 km no treino da semana da maratona.

27.(FAE-PR) Em um plano especial de consórcio, uma pessoa pagará 50 prestações, cujos valores estão em progressão aritmética totalizando R$ 11.125,00. Concluída a metade do prazo do plano, o total pago é de R$ 4.000,00. Com base nessas informações, qual o valor da primeira prestação? a) R$ 97,50 b) R$ 100,00 c) R$ 115,00 d) R$ 160,00 e) R$ 222,50

28. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro para jogar bolita (bola de gude); então pegou sua coleção de bolitas e formou uma seqüência de T (a inicial de seu nome), conforme a figura

Supondo que o guri conseguiu formar 10 T completos pode-se, seguindo o mesmo padrão, afirmar que ele possuía a) mais de 300 bolitas. b) pelo menos 230 bolitas. c) menos de 220 bolitas. d) exatamente 300 bolitas. e) exatamente 41 bolitas.

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54

29. Um auditório possui 12 poltronas na primeira fila, 14 na segunda e 16 na terceira. As demais fileiras se compõem na mesma seqüência. O número de fileiras necessárias para que o auditório tenha um total de 620 poltronas, é: a) 20 b) 21 c) 15 d) 19

30. (FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.

Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será : a) 101 b) 99 c) 97 d) 83 e) 81

31. (BACEN) A 11ª figura da seqüência abaixo terá:

a) 10 quadradinhos pretos. b) 10 quadradinhos brancos. c) 22 quadradinhos pretos. d) 86 quadradinhos brancos. e) 110 quadradinhos brancos.

32.(PUC-SP) Um pêndulo, oscilando, percorre sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm, .... A soma dos percursos até o repouso é em cm: a) 45 b) 63 c) 90 d) 126 e) 150

Considerando a P.A. de razão 5

6, cujo 1º termo é

5

9,

pode-se afirmar que:

33. a soma dos vinte e sete primeiros termos da progressão aritmética não é um número inteiro.

34. (CESGRANIO-BNDES) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27

35.(UTFPR) A progressão aritmética (x, x + 2, x + 4, x + 6,...) tem a soma de seus 20 termos igual a 2780. Então, o valor de seu oitavo termo é: a) 124 b) 126 c) 134 d) 136 e) 240

36.(PUC-SP) Colocando 120 objetos em linha de modo que na primeira linha haja um objeto e daí até a última linha um objeto a mais por linha, teremos um número total de linhas igual a: a) 11 b) 13 c) 15 d) 16 e) 19

37. (UFRJ-NCE) Uma PA crescente de 20 termos tem razão 3. A diferença entre o último e o terceiro termo é igual a: a) 17 b) 19 c) 36 d) 51 e) 54

38. (CESGRANRIO) Quantos são os números inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são múltiplos de 5? a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27

39. (CESGRANRIO) Em uma fila, a vigésima primeira pessoa ocupa o lugar central. Quantas pessoas há nessa fila? a) 44 b) 43 c) 42 d) 41 e) 40

40. Durante uma feira agropecuária foi realizada uma campanha para arrecadar alimentos para famílias pobres. No primeiro dia foi arrecadado x Kg de alimentos, no segundo dia o dobro de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; no terceiro dia o triplo de Kg do que foi arrecadado no primeiro dia; e assim sucessivamente. Ao final de 20 dias foi arrecadado um total de 73 500 Kg. A quantidade de Kg arrecada no primeiro dia foi de: a) 150 Kg b) 200 Kg c) 250 Kg d) 300 Kg e) 350 Kg

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55

41. (CESGRANRIO) Leonardo queria jogar bolinhas de gude mas, como não tinha com quem brincar, pegou suas 65 bolinhas e resolveu fazer várias letras L de tamanhos diferentes, seguindo o padrão

apresentado abaixo.

Leonardo fez o maior número possível de L e, assim, sobraram n bolinhas. O valor de n foi igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

42. (CESGRANRIO)

2na1nana

32a

21a

Qual é o 70º

termo da seqüência de números (an) definida acima? a) 2 b) 1 c) 1 d) 2 e) 3

GABARITO

PROGRESSÃO ARITMÉTICA

01 a) 10, 12, 14, 16

b) 15, 10, 5, 0

c) 8, 8, 8, 8 02 (3,5,7,11,13) 03 121 04 C 05 C 06 27 07 D 08 246 09 630 10 C 11 4 12 7 13 89 14 15 15 C 16 D 17 A 18 10 e 3 19 18 20 27 21 A 22 B 23 B 24 C 25 E 26 E 27 B 28 B 29 A 30 A 31 E 32 B 33 Correta 34 D 35 C 36 C 37 D 38 D 39 D 40 E 41 A 42 D

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56

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

DEFINIÇÃO: Uma seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an) de números reais, com a1=primeiro termo, a2=segundo termo, a3=terceiro termo, assim sucessivamente até o último termo an, é uma progressão geométrica (PG), se a divisão entre um termo qualquer a partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, produzir um resultado (quociente) constante real, denominado razão ( q ) da progressão geométrica.

2

1

aq =

a

3

2

aq =

a

4

3

aq =

a

.

.

.

n

n-1

aq =

a


01. Verificar se a seqüência (2, 4, 8, 16, 32) é uma progressão geométrica (PG).

Resolução

42

22

1

aq =

a

162

84

3

aq =

a

82

43

2

aq =

a

322

165

4

aq =

a

A constante 2 obtida pela divisão, conforme mostra quadro, define a seqüência como uma progressão geométrica (PG) de razão 2.

FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q )

n

n-1

aq =

a

Para todo o n pertencente aos naturais positivos

CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Seja q a razão de uma progressão geométrica (PG), temos que:

1

PG estritamente crescente

a1 > 0 e q > 1 ou a1 < 0 e 0 < q < 1

2

PG estritamente decrescente

a1 > 0 e 0 < q < 1 ou a1 < 0 e q > 1

3

PG constante q = 1 4

PG alternante a1 0 e q < 0

TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG)

A definição de progressão geométrica (PG), sugere que:

a 2 = a 1 x q1

a 3 = a 1 x q2

a 4 = a 1 x q3

a 5 = a 1 x q4

a 6 = a 1 x q5

e assim sucessivamente

Generalizando para termo de ordem n (n = ao número de termos da progressão), temos a fórmula geral:

a n = a 1 x q n-1

Podemos ter um termo de ordem n relacionado com qualquer outro termo antecessor de ordem k. Neste caso a fórmula do termo geral abrangente, é:

a n = a k x q n-k


01. Na seqüência (3, 6, 12, ...), calcular o décimo termos.

Resolução:

a n = a 1 x q n-1

a 10 = a 1 x(q) 10-1

a 10 = 3 x (2) 9

a 10 = 3 x 512 a 10 = 1536

r=a2/a1=6/ 3= 2

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS

Forma simplificada para a representação de uma progressão geométrica com três termos em duas variáveis.

( xq

, x , x q )

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA

Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão geométrica e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... +an .

Segue a fórmula para o somatório de qualquer progressão geométrica finita.

n1

n

a (q - 1)S =

q - 1

n é igual ao número de termos somados.

an é o último termo.

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57


01. Calcular a soma dos 10 primeiros termos de progressão geométrica ( 1, 2, 4, ...).

Resolução:

I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=10 e a10 não foi fornecido, deverá ser calculado, veja item II.


a n = a 1 x q n-1

a 10 = a 1 x q 10-1

a 10 = 1 x (2) 9

a 10 = 1 x 512 a 10 = 512

r=a2/a1=2-1=2

II) A soma dos 10 primeiros termos, S20.

n1

n

a (q - 1)S =

q - 1

10

n

1×(2 -1)S =

2 -1

n

1×(1024 -1)S =

2 -1

n

1023S =

1

nS = 1023

SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA

Sendo (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an ) uma progressão geométrica de razão 1<q<1e Sn a soma desses termos, Sn= a1+ a2+ a3+ a4+a5+ ... , temos uma forma simplificada para o somatório de qualquer seqüência infinita em PG, dada pela fórmula:

1aS =

1- q

= símbolo que representa o infinito


01. Calcular a soma dos termos da progressão geométrica ( 1, 1/2, 1/4, ...).

Resolução:

I) Dados para cálculo da soma: a1=1, n=

e a razão não foi fornecida, deverá ser calculado, veja item II.


12 1 1

q = 11 2 2

x

II) A soma dos infinitos ( ) termos, S , é:

1aS =

1- q

1

S =1

1-2

1S =

12

S = 2

TESTES

01. Complete as seqüências a seguir, mantendo a formação lógica.

a) ( 2, 4, 8, 16, a5, a6, a7, a8 )

b) ( 729, 243, 81, 27, a5, a6, a7, a8 )

c) ( 3, 3, 3, 3, a5, a6, a7, a8 )

d) ( 2, -4, 8, -16, a5, a6, a7, a8 )

02. Determinar o décimo quarto termo da PG de razão 2 e décimo primeiro termo 2048.

03. Obter a razão de uma PG em que, a2+a4+a6=10 e a3+a5+a7=30.

04. (BB) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é: a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7

05. A seqüência ( 4x, 2x+1, x-1,...) é uma PG, calcule o valor de x.

06.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a seqüência é uma a) seqüência limitada. b) progressão aritmética. c) progressão geométrica de razão 8. d) progressão geométrica decrescente.

07. A seqüência (x, 3, 7) é uma PA, e a seqüência ( x-1, 6, y) é uma PG. Quais são os valores de x e y?

08. Calcule a soma dos 7 primeiros termos da PG (4, -12, 36,...).

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09. Determine o número que deve ser somado a 2, 4 e 7, a fim de obtermos uma PG?

10. Calcule o número de termos da seqüência (2, 6, 18,...,4374)?

11. Recreações matemáticas já apareciam no papiro de Ahmes (1650 a.C.). Aos fragmentos do problema 79 deste papiro associa-se a posterior versão da poesia infantil: Quando ia a Sto Ives,

encontrei um homem com sete mulheres, cada mulher tinha sete sacos, cada saco tinha sete gatos, cada gato tinha sete gatinhos. Gatinhos, gatos, sacos e mulheres, quantos iam a Sto

Ives?

(Do livro História da matemática Carl Boyer) A resposta correta a esta questão é:

a) 47 +

37 +27 +7+1

b) 37 +

27 +7+1

c) (47 +

37 +27 )7

d) (47 +

37 +27 +7)7

e) 47 +

37 +27 +7

12.(UFPR) Três pessoas se reuniram no dia 1º de janeiro de 2004 para iniciar uma ação de voluntariado junto a organizações de proteção ao meio ambiente. Em fevereiro, cada uma daquelas pessoas tinha conseguido a adesão de um novo voluntário. Observaram que tinham começado a aplicar uma boa estratégia para aumentar o grupo de voluntários e decidiram o seguinte: a cada mês, cada voluntário traria um novo voluntário para participar do grupo e, sempre que alguém desistisse, seria substituído. Assim, o total de voluntários no mês de janeiro de 2005, já incluídos os novos participantes do mês, será de: a) 3x212 b) 3+212 c) 3x211

d) 212 e) 311

13. Uma indústria produziu 74.400 unidades de certo produto num período de 5 anos. Supondo que a produção tenha dobrado a cada ano, o número de unidades produzidas nos dois primeiros anos, foi de: a) 7400 b) 7200 c) 4800 d) 3600

14.O financiamento de um carro foi feito nos seguintes moldes. Sem entrada e a primeira mensalidade de R$ 1,00, no segundo mês R$ 2,00, no terceiro mês R$ 4,00, e assim por diante até um total de 12 prestações. Qual é o custo final do carro.

15. Calcular a soma dos 8 primeiros termos da seqüência (1, 3, 9,...).

16.(FAE-PR) Diz a lenda que um jovem hindu ofereceu ao seu rei um jogo que inventou para ser praticado sobre um tabuleiro: o xadrez. O jovem pediu sua recompensa em grãos de trigo, na seguinte seqüência: 1 grão de trigo para a primeira casa do tabuleiro, 2 pela segunda casa, 4 pela terceira casa, 8 pela quarta casa e assim sucessivamente, até a sexagésima quarta e última casa do tabuleiro. O rei riu julgando ser insignificante o pedido, mas não pôde atendê-lo quando soube da enorme quantidade de grãos calculada por seus assessores! Supondo que se leve 1 s para contar 3 grãos de trigo, qual o tempo necessário para contar os grãos das dez primeiras casas do tabuleiro? a) 17,2 s b) cerca de 34 s c) 5 min 41 s d) 2 min 52 s e) 17 min 3 s

17. (FCC) Numa PG, o quarto termo é 20% do terceiro termo. Sabendo-se que a1 = 2.000, o valor de a5 é: a) 20/3 b) 18/7 c) 16/5 d) 14/5 e) 12/7

18. (FCC) A seqüência (x, x

4, 3

4x , ...) é uma

progressão geométrica decrescente. O quarto termo dessa progressão é: a)2/3 b)4/9 c)1/3 d)2/9 e)1/9

19. Calcule a soma 3 3 33 ...

2 4 8S

20.(EPCAR) Se a soma dos n primeiros termos de uma seqüência infinita é 4n2 + 6n, então a seqüência é uma a) seqüência limitada. b) progressão aritmética. c) progressão geométrica de razão 8. d) progressão geométrica decrescente.

21.(EPCAR) O valor de x na equação

4

27

5

x

5

x3

5

x9 é igual a

a) 53

b) 25

c) 34

d) 845

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22. (EsPCEX) Numa progressão geométrica (PG) crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem, respectivamente, às raízes da equação x2 - 51x + 144 = 0. O valor da soma do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é a)12 b)24 c)28 d)36 e)42

23.(ACAFE-SC) O vazamento em um tanque de água provocou a perda de 2 litros de água no primeiro dia. Como o orifício responsável pela perda ia aumentando, no dia seguinte o vazamento foi o dobro do dia anterior. Se essa perda foi dobrando a cada dia, o número total de litros de água perdidos, até o 100 dia, foi de: a) 2046 b) 1024 c) 1023 d) 2048 e) 512

24.(UF-MG) Os números 3, a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética cuja razão é positiva. Por sua vez, os números reais a, b e 8 são, nessa ordem termos de uma progressão geométrica. Determinando a e b, obtemos respectivamente: a) 9/2 e 6 b) 9 e 3 c) 3 e 9 d) 6 e 9 e) 9/2 e 3

25. (FCC-TRF) Na figura abaixo, tem-se uma sucessão de figuras que representam números inteiros chamados "números triangulares", em virtude de sua representação geométrica.

(1) (3) (6) (10) (15)

etc

Nessas condições, se an é o termo geral dessa

seqüência de números triangulares, a soma a30

a31 é igual a a) 784 b) 841 c) 900 d) 961 e) 1 024

26. (FCC-TRF) Para todo número inteiro e positivo

n, an

( 1)n

2n 4 é o termo geral de uma progressão

a) geométrica de razão 21 .

b) geométrica de razão 2.

c) geométrica de razão 21 .

d) aritmética de razão 2.

e) aritmética de razão 21 .

27.(UFPR). Qual é a soma dos termos da progressão

geométrica ilimitada (2, 32 ,

92 ,

272 , ...)?

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2753

e) 38

28.(UFPR) Somando um mesmo número aos números 5, 7 e 6 nesta ordem, obtem-se uma P.G. O número somado é: a) 16/3 b) -19/3- c) 17/3 d) -11/3- e) 11/3

29.(UFV-MG) Uma bactéria de determinada espécie divide-se em cada 2 horas. Depois de 24 horas, qual será o número total de bactérias. a) 1024 b) 24 c) 4096 d) 12 e) 16777216

GABARITO

PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 01 a) 32, 64, 128, 256

b) 9, 3, 1, 1/3

c) 3, 3, 3, 3

d) 32, -64, 128, -256 02 16 384 03 3 04 C 05 -1/8 06 B 07 -1 e -18 08 2 188 09 2 10 8 11 E 12 A 13 B 14 4 095 15 3 280 16 C 17 C 18 D 19 B 20 B 21 B 22 E 23 A 24 A 25 D 26 B 27 C 28 B 29 C

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60

PROPRIEDADES

Produto de potências de mesma base

O produto de duas ou mais potências de mesma base

é uma potência da mesma base, cujo expoente é a soma dos expoentes dos fatores. Para duas bases:

nm

anama

Para três bases:

pnm

apanama

E, assim por diante

P.ex.:

1) 7

b43

b4

b2

b

2) 9

x45

x4

x5

x

Divisão de potências de mesma base

A divisão de duas ou mais potências de mesma base é uma potência da mesma base, cujo expoente é a diferença do(s) expoente(s) numerador(es) pelo(s) expoente(s) do(s) denominador(es).. Para uma base no numerador e uma no denominador:

nm

ana

ma

Para duas bases no numerador e uma no denominador:

pnm

apa

nama

Para uma base no numerador e duas no denominador:

npa

ma

napa

ma=

=pnm

ap)nm

a(

Aplicadas a outras formações possíveis

P.ex.:

1) 1

x45

x4x

5x

2)

3)(45x

34x

5x

3x4x

5x=

2x

12x

7-5x

3) 435

a4a

35a

4a

3a5a= =

4a

4-8a

Expoente zero A potência de expoente zero provém da divisão de potências de mesma base, e expoente de cada base, iguais entre si. Pela regra da divisão de mesma base, temos:

0

ann

ana

na

Quando o numerador e o denominador forem iguais, o quociente é igual a 1.

1na

na

Comparando os dois resultados, concluímos que:

10

a

. Restrição em potência 00 = é uma indeterminação (seu valor não fica definido)

P.ex.:

1) 10

(ab)33

(ab)3(ab)

3(ab), para ab diferente

de zero.

Expoente negativo A potência de expoente negativo provém da divisão de potências de mesma base, quando o expoente do numerador for menor que o expoente do denominador.

Aplicando a regra da divisão de potência de mesma base, temos

p)(np

apna

pa

pana

pa=

=na

0an0a

pnpa

Como n

an0

a

e 10

a , substituindo em

na

0an0a , obtemos a igualdade:

na

1n-a

P.ex.:

1) 4(ab)

14(ab)

73(ab)

7(ab)

3(ab)

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61

Potência de uma potência Toda a potência cujo expoente é um produto de dois ou mais fatores, pode ser transformada numa potência de potência, onde os expoentes são os dois ou mais fatores. Com dois fatores no expoente

n

)m

(anm

a

Com três fatores no expoente

p

)n

)m

((apnm

a

E, assim por diante . Potência de varias potências Para elevar um produto de várias potências à uma potência q, multiplica-se o expoente de cada potência por q. Na multiplicação das bases - distributiva

qp

cqn

bqm

aq

)p

cn

bm

(a

Na divisão das bases - distributiva

pnb

pma

p

nb

ma

Na divisão e multiplicação das bases - distributiva

qp

cqn

b

qma

q

pc

nb

ma

P.ex.:

1) 10

c20

b

15a

52c

54b

5 3a

5

2c

4b

3a

2) 8

c6

b4

a24

c23

b22

a2

)4

z3

y2

(x

PROPRIEDADES DAS RADICIAÇÕES . Expoente fracionário ( igual a raiz ) Raiz de índice n de uma potência de expoente m Caso em que o índice n é diferente do expoente m do radicando. Para extrair a raiz n de uma potência m, divide-se o expoente da potência (radicando) pelo índice n da raiz.

nan a

mm

. Raiz de índice n de uma potência de expoente n Caso em que o índice n é igual ao expoente n do radicando. Para extrair a raiz n de uma potência de expoente n, divide-se o expoente da potência pelo índice n da raiz.

a1

ann

an na

Potência n de uma raiz de índice n de uma potência de expoente p.

pan

np

an npa

nn pa

ou também pode ser

p

annp

an

np

a

n

n

p

an

n pa

Raiz de índice n de um produto Para extrair a raiz n de um produto, extrai-se a raiz n de cada fator.

n cn bn an cba

ou também

n rc

qb

pa =

n rc

n qb

n pa =

= n

r

cn

q

bn

p

a

qpa

p qa

rqpa

p q ra

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

O quadrado da soma de dois termos é igual ao: - quadrado do primeiro, - mais o quadrado do segundo e - MAIS o duplo produto do primeiro pelo segundo.

2abba)ba( 222

QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

O quadrado da diferença de dois termos é igual ao: - quadrado do primeiro, - mais o quadrado do segundo e - MENOS o duplo produto do primeiro pelo segundo.

2abba)ba( 222

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62

PRODUTO )ba()ba( DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.

2b2a)ba()ba(

EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

É toda a equação do tipo x x1 2a = a , em que a base

é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2 variáveis reais.

Procedimento para resolver uma equação exponencial

x x1 2a = a

simplifique a basex x e iguale os expoentes1 2a = a x = x1 2

TESTES

01. Se 8x = 32, então x é igual a: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/5 d) 2/5 e) 4

02. Se 8x-9 = 16x/2, então x é igual a: a) 1 b) 3 c) 9 d) 81 e) 27

03. O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 . 92x+3 = 273-x é: a) 1 b) 3 c) 5/2 d) 1/3 e) 2/5

04. Sendo x = (22)3 , y = 322 e z =

232 , calcule x . y . z : a) 221

b) 210

c) 223

d) 24

e) 220

05. Se 2x = 2048, então, x vale : a) 7 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19

06. ( FCC - BA ) A solução da equação 0,52x = 0,251-x

é um número x, tal que: a) 0 < x < 1 b) 1 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3 e) x < 0

07. Se -x+2 13(7 ) =343

, x1/2 valerá:

a) 7

b) -9 c) 49

d) 3

e) 1

08. A soma das raízes da equação 11+x7 + = 8x7

, é:

a)0 b)-1 c)1 d)7 e)8

09. A raiz da equação x x(7 - 2 10)(7 + 2 10) =9 é um número: a) irracional negativo b) irracional positivo c) par d) inteiro negativo e) inteiro positivo

10. Se 3x - 32-x = 23, então 15 - x2 vale: a)16 b)15 c)14 d)11 e)6

11.(UEPG-PR) A soma das raízes da equação (2x)x+3 = 16 é: a) -3 b) 4 c) -4 d) 0 e) 3

12. A expressão 3+x x-32 - 2x x-32 + 2

é igual a:

a) 2x

b) 2-x

c) 2-3

d) 7 e) 8

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63

13.(UEL-PR) Para todo x real, a expressão 3x + 3x+1 +3x+2 +3x+3 +3x+4 +3x+5 é equivalente a:

a) 315x6

b) 5 . 3x

c) 6 . 3x

d) 243x

e) 364 . 3x

14.Se x IR e 7 5x = 243, então 297(7 3x) é igual a: a)11 b)13 c)15 d)17 e)16

15. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre: a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100

16.(FAE-PR) O montante da aplicação de um capital de R$ 100,00, por t anos, é dado pela expressão M(t) = 100 . (1,5)t. Sabendo-se que o montante obtido foi de R$ 337,50, o tempo durante o qual o capital ficou aplicado foi de: a) 9 meses; b) 12 meses; c) 18 meses; d) 24 meses; e) 36 meses.

17. O produto das soluções da equação 2x 2-x = 5 (1 2-x) é a) 0 b) 2 c) 1 d) 4

18. (EsPCEX) A soma das raízes da equação

3 3 41x x é: a) 2 b)-2 c) 0 d)-1 e) 1 19. (EsPCEX) O valor da soma das raízes reais da

equação 10 10 0

3 12 1

x

x é: a)3 b)1 c)0 d)9 e)2

20. (EsPCEX) A soma e o produto das raízes da

equação 125243

53

.99xx2

são, respectivamente:

a) 1 e -12 b) 7 e 12 c) 2 e -8 d) -1 e 12 e) 7 e 10

21. (FCC-TRF) Se x

1x

8

116 , então,

considerando log 2 0,30, o valor de log x é: a) 0,40 b) 0,20 c) 0,10 d) 0,20 e) 0,40

22. (UFRJ-NCE) A única das expressões abaixo que nos fornece um valor correto para a expressão (900.0002 1.0002) é: a) 901.0002

b) (900.000 1.000)2

c) 901.000 899.000 d) 901.0002 20002

e) 901.000 2000

GABARITO

EXPONENCIAL 01 B 02 E 03 E 04 C 05 B 06 A 07 D 08 B 09 E 10 D 11 A 12 D 13 E 14 A 15 C 16 E 17 A 18 E 19 A 20 A 21 A 22 C

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Definição

Chama-se logaritmo de um número N>0 numa base a, com a>0 e a 1 , o expoente x a que se deve elevar a base a para que a potência obtida seja igual a N.

Simbolicamente xlog N = x a = Na

Condição de existência

N > 0 positivo

a > 0 e a 1

x qualquer valor real

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64

Conseqüências da definição

Atenção !

1) log 1 = 0a

2) log a = 1a log N a3) = N

4) log N (nao existe) 1

5) log N (nao existe) -a

6) log (-N) (nao existe) a

a

%

%

%

Propriedades

1) log M + log N = log M × Na a a

M2) log M - log N = loga a a N

p3) log N = p × log Na a

1p4) log N = × log Na ap

NNalog

a5)

, para N positivo e a positivo e

diferente de 1.

Mudança de base

log Nnovabase

log N =a log anovabase

Observe:

I) A nova base deve ser positiva e diferente de um. II) O N

continua sendo logaritmando e, o a

passa a ser logaritmando (deixa de ser base).

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

É toda a equação do tipo a 1 a 2log x = log x , em que a

base é um valor real positivo e diferente de 1, x1 e x2

variáveis reais positivas.

Procedimento para resolver uma equação exponencial

a 1 a 2log x = log x

a 1 a 2log x = log x

simplifique os log e aiguale os logaritmandos

x = x1 2

TESTES

01.( MACK - SP ) Se log3 1/27 = x, então o valor de x é: a)-9 b)-3 c)-1/3 d)1/3 e)3

02. Na base decimal, log 1000, log 10 e log 0,01 valem respectivamente: a) 2, 1 e -3 b) 1, 0 e -2 c) 3, 1 e -2 d) 4, -2 e -3 e) 3, 0 e -2

03. Se log ( 2x -5 ) = 0, então x vale: a)5 b)4 c)3 d)7/3 e)5/2

04.( FGV - RJ ) O valor de log9 27 é igual a: a)2/3 b)3/2 c)2 d)3 e)4

05.(CEFET PR) Se a e b são soluções do sistema:

1x2 =y 102

log x + log y = 42 2

então 2a + 2b é igual a:

a) 64. b) 260. c) 514. d) 136. e) 80.

06.(UEPG-PR) A expressão 3 10log0,001log81log 1010

31 vale:

a) -3

4

b) 3

4

c) -3

20

d) -3

21

e) -3

19

Carreira Policial



65

07. ( FEMPAR - PR ) Se 2x - y = 1 e x - 3y = -7, log4 (x

y+8y) é igual a: a) 0,5 b) 2,5 c) 2,0 d) 1,5 e) 1,0

08. Seja K a solução da equação log4 ( log2x ) = -1. O valor de k4 é: a)1/8 b)1/2 c)1 d)4 e)2

09. O número real x, tal que logx ( 9/4 ) = 1/2 é: a) 81/16 b) -3/2 c) 1/2 d) 3/2 e) -81/16

10. Seja loga 8 = - 3/4, a > 0. O valor da base a é: a)1/16 b)1/8 c)2 d)10 e)16

11. O logaritmo de 7 5 na base 1/625 é igual a: a) 7 b) 5 c)1/7 d)-1/28 e) 8

12. Se x + y = 20 e x - y = 5 então log ( x2 - y2 ) é igual a: a) 100 b) 2 c) 25 d) 12,5 e) 15

13. A solução da equação log2 0,5 + log2x - log2 2 = 2 está contida no intervalo : a) [ 10, 12 ] b) [ 5, 7 ] c) [ 2, 4 ] d) [ 0, 1 ] e) [ 8, 9 ]

14. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então log 60 vale: a) 1,77 b) 1,41 c) 1,041 d) 2,141 e) 0,141

15. Considerando que log 2 = 0,3010300, log 125 é: a) 376,29000 b) 188,15000 c) 1,9030900 d) 2,9818000 e) 2,0969100

16. ( UFPR ) Sendo log 2 = 0,301 e log 7 = 0,845, qual será o valor de log 28 ? a) 1,146 b) 1,447 c) 1,690 d) 2,107 e) 1,107

17. Se log 2 = 0,3010 então log 5 é igual a: a) 0,6990 b) 0,6880 c) 0,6500 d) 0,6770 e) 0,6440

18. Se log2 b - log2 a = 5, então o quociente b/a vale: a) 10 b) 25 c) 32 d) 64 e)128

19. Sendo loga2 = 0,69 e loga 3 = 1,10, o valor de loga

é: a) 0,62 b) 0,31 c) -0,48 d) 0,15 e) 0,14

20. O valor de log ( 217,2) - log ( 21,72 ) é:

21. Dado log 4 = 0, 602 , o valor de log 325 é: a) 15,050 b) 13,725 c) 11,050 d) 9,675 e) 7,525

22.Se log 5 = 0,70 o valor de log 250 é: a) 2,40 b) 2,70 c) 2,80 d) 3,40 e) 3,80

23. Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, o valor de log23 é: a) 1,6 b) 0,8 c) 0,625 d) 0,5 e) 0,275

24. ( ESAL) O valor de x tal que log 64 8 = x é: a)2 b)3 c)2/3 d)1/2 e)3/2

25. ( CONSART - SP ) A solução da equação log8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:

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66

26. O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:

27. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 é: a) 3,459 b) 3,594 c) 3,954 d) 5,493 e) 5,943

28. (FCC) Que número real é solução da equação 5x-1 5x 5x 1 62? (Considere: log 2 0,30) a) 3/7 b) 8/7 c) 10/7 d) 12/7 e) 15/7

29. (FGV) Sabendo que log2 = 0,30, assinale a melhor aproximação da solução da equação 2x = 80. a) 6,1 b) 6,3 c) 6,5 d) 6,6 e) 6,7

30. (UFF-RJ) Determine o valor de x na equação log x + log x2 + log x3 + ... + log x18 =342.

31. (FGV-SP) Se x é um número real positivo e diferente de 1, a solução da equação

33,2log4,18log xx é um número real a) divisor de 12 b) múltiplo de 3 c) menor que 1 d) maior que 5

32. (EPCAR) Sabendo que a, b e c são três números inteiros e positivos e que log ab = 12,6 e log ac = 0,2,

então log cb

é igual a

a) 6,3 b) 2,52 c) 12,8 d) 12,4

33. (FCC-TRF) O número real x que satisfaz a sentença 1 log2 (x 1) log4 2 é igual a

a) 122

b) 122

c) 12

d) 12

e) 22

34. (EsPCEX) Sabendo que log M + log N = 0, pode-se afirmar que: a) M e N são nulos b) M e N têm sinais contrários c) M é o inverso de N d) M e N são números inteiros positivos

35.(FEM-PR) Se log 2 = P e log 3 =m, com P 1,

o valor de 45 27log é:

a) )P1(4

3

b)

P44P4

c) )P1(4

m3

d) )P1(3

m4

e) )P1(3

2

36. Determine loga(a3), para todo número real

positivo a, tal que a 1.

37. (PUC-PR) Se 3 5 x =32 ,então 3 - x é igual a:

a) 12

b) 14

c) 14

d)

e) 12

38. (FCC) Dado log 3 = 0,477, podemos afirmar que o log 9.000 é: a) 3,459 b) 3,594 c) 3,954 d) 5,493 e) 5,943

39. O valor da expressão log3 2 . log4 3 . .... . log10 9 é: a) 0 d) log3 4 b) log10 2 e) 1 c) log4 3

40. (PUC-SP) log2,5log20log40log50 é igual a: a) 1 b) 3 c) 5 d) 10 e) 1000

41. (CESCEM) Nalogb

a com a>0 e a1, e n>0, é igual a: a) N b) a c) b d) Nb

e) Na

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67

42. Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, então 32log

vale aproximadamente: a) 1,77 b) 1,67 c) 1,66 d) 1,75 e) 1,57

43.(ACAFE-SC) Sejam as funções f e g definidas de em

por f(x) = ax e g(x) = loga(2x2 - 3x + 2), com a > 0 e a 1. O valor de f[g(-2)] é: a) -4 b) 4 c) 16 d) 12 e) 2

GABARITO

LOGARITMOS 01 B 02 C 03 C 04 B 05 D 06 C 07 B 08 E 09 A 10 A 11 D 12 B 13 A 14 A 15 E 16 B 17 A 18 C 19 A 20 1 21 E 22 A 23 A 24 D 25 2 26 6 27 C 28 C 29 B 30 100 31 A 32 D 33 A 34 C 35 C 36 3 37 A 38 C 39 B 40 C 41 D 42 E 43 C

FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTIMICA

Considere a função

xy = a , denominada função

exponencial, onde a base a

é um número positivo e

diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x

R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+

* , poderemos escrever a função exponencial como segue:

+f : R R * , 0 a 1

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, ou seja, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa

da função

xy = a , onde 0 a 1

Permutando x por y, vem:

yx = a implica a

y = log x .

Portanto, a função logarítmica é então:

+f : R * R

; a

y = log x , 0 a 1 .

Mostramos a seguir, os gráficos das funções

exponencial

xy = a e logarítmica a

y = log x

,

para os casos a 1 e 0 a 1 .

Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

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68

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

I) para a 1 , as funções exponencial e logarítmica são

CRESCENTES.

II) para 0 a 1 , elas são DECRESCENTES.

III) o domínio da função a

y = log x é o conjunto R+* .

IV) o conjunto imagem da função a

y = log x é o

conjunto R dos números reais.

V) o domínio da função

xy = a é o conjunto R dos

números reais.

VI) o conjunto imagem da função

xy = a é o conjunto

R+* .

VII) observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

TESTES RESOLVIDOS

CESPE - BB

A figura acima ilustra duas cópias do sistema cartesiano xOy, em que, no eixo Ox de cada um desses sistemas, foi utilizada a mesma unidade de medida. No sistema da esquerda, está representado o gráfico da função f(x) = 2x, no qual estão marcados os pontos de abcissas x = k e x = 2k. No sistema da direita, está representado o gráfico da função g(x) = x e os pontos que têm as mesmas ordenadas daqueles marcados no gráfico do sistema da esquerda. Sabe-se que a distância entre as abcissas dos pontos marcados no gráfico à direita é igual a 56.

Considerando essas informações, julgue o item abaixo.

01.(CESPE-BB) Na situação apresentada, o valor do número real k é tal que 30 < k3 + k + 1 < 32.

RESOLUÇÃO

I) Dados Do gráfico da reta y=x (lado direiro): Substituindo x1 em y=x, obtém-se y1=x1. Substituindo x2 em y=x, obtém-se y2=x2.

Se x2 - x1 = 56, então y2 - y1 = 56

Do enunciado temos a informação ...foi utilizada a mesma unidade de medida... , logo, y2 - y1 = 56.

II) Do gráfico da exponencial y = 2x:

Substituindo k em y = 2x, obtém-se y1 = 2k. Substituindo 2k em y = 2x, obtém-se

y2 = 22k.

III) Sabendo que y2-y1=56 (item I) e que, y1 = 2k e y2 = 22k, geramos a equação:

22k - 2k = 56 (2k)2 - 2k = 56 equação exponencial

IV) Usando o artifício t = 2k em (2k)2 - 2k = 56, obtém-se:

t2 t 56 = 0 uma equação do 2º grau com variável t.

V) Cálculo das raízes da equação t2 t 56 = 0.

Usando a fórmula de Bháskara, obtém-se as raízes:

t1 = - 7 Não serve, pois em t=2k para todo o k pertencente ao conjunto dos números reais, a igualdade -7=2k não será verificada.

t 1 = 8 = 23 Serve.

VI) Substituindo t= 23 em t=2k, obtém-se:

2k = 23 k = 3

VII) Substituindo k = 3 em:

30 < 33 + 3 + 1 < 32. 30 < 27 + 3 + 1 < 32. 30 < 31 < 32.

Afirmativa correta

k

2k

0

0

56

56

56

x

y

y

f(x)=2x

g(x)=x

y=2x

y=x

y2

y2

y1

y1

x2

x1

x

0

k

2k

0

56

x

y

y

f(x)=2x

g(x)=x

x

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69

Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta

Virou moda falar em aquecimento global. É preciso não esquecer que os recursos naturais da Terra também estão em perigo. O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm um terço da população mundial. Caso o consumo dos dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia, o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá ser catastrófico para os recursos naturais do planeta. As tabelas a seguir mostram esses dados.

Consu-mo de água

(em L) (per

capita, por dia)

Consu-mo de

petróleo (em L)

(per capita, por dia)

Quanti-dade

de carros (para cada 100

pessoas)

Emis-são de

CO2

(em t) (per

capita, por ano)

Cal

ifórn

ia

700 8 70 12

Chi

na

85 0,8 2,5 3,0

Índi

a

135 0,4 1,3 1,0

Okki de Souza In: Veja ed. 2003, 11/04/2007, p. 100-1 (com adaptação).

Área em km2 população Califórnia 411 mil 33.8 milhões China 9,6 milhões 1,3 bilhões Índia 3,3 milhões 1,08 bilhões

Com referência aos dados do texto e das tabelas acima, julgue os seguintes itens.

02.(CESPE-BB) Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão de CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 4 = 0,60, log90 = 1,95 e log85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.

RESOLUÇÃO

I) Legenda QChina = Quantidade de CO2 da China. QCalifpornia = Quantidade de CO2 da Califórnia.

II) Dados. Quantidade de CO2 da China, decresce 10% ao ano. Quantidade de CO2 da Califórnia, decresce 15% ao

ano. n = números de anos solicitados.

III) Expressão de CO2 da China em função de n.

n10%)(1ChinaQ

n0,10)(1ChinaQ

n0,90ChinaQ

n100

90(ChinaQ )

n100

n90ChinaQ

IV) Expressão de CO2 da Califórnia em função de n. n15%)(1CalifórniaQ

n0,15)(1CalifórniaQ

n0,85CalifórniaQ

n100

85(CalifórniaQ )

n100

n8CalifórniaQ

5

V) Do enunciado

per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.

n100

n8CalifórniaQ

5=

n100

n90ChinaQ

n100

n8CalifórniaQ

5=

n100

n90ChinaQ

n100

n8512 =

n100

n903 multiplique por 100n

12.85n = 3.90n divida por 3

4.85n = 90n

Aplique log em ambos os membros

log 4.85n = log 90n

Usando a propriedade de logaritmos

log A.B = log A + log B em log 4.85n

Obtém-se

Log 4 + log 85n = log 90n

Usando a propriedade de logaritmos

Log An = n.log A em log 85n e log 90n

Log 4 + n.log 85 = n.log 90

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70

Substituindo log 4 = 0,60, log90 = 1,95 e log85 = 1,93.

0,60 + n.1,93 = n.1,95

0,60 = 0,02.n

0,02

0,60n

n = 30 anos

VI) Afirmativa da CESPE.

...conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.

Afirmativa correta

TESTES

01. Se f ( x ) = 161+1/x, então f ( -1 ) + f ( -2 ) + f ( -4 ) é igual a : a)11 b)13 c)15 d)17 e)16

02. Seja a função composta

x2 , para - 1 x 1f(x) = 1

, para x > 1x

então f ( 0 ) - f ( 3/2 ) é igual a: a)5/2 b)5/3 c)1/3 d)-1/3 e)2/3

03. Se y = 10x é um número entre 1000 e 100 000, então x está entre:

a) -1 e 0 b) 2 e 3 c) 3 e 5 d) 5 e 10 e) 10 e 100

04. Seja a função f: IR em IR definida por f ( x ) = 2x . Então f ( a+1) - f (a) é igual a: a) 2 b) 1 c) f(a) d) f(1) e) 2f(a)

05. (UFPR) Uma cidade cuja população vem diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de habitantes daqui a t anos, P(t), é

calculado aplicando-se a fórmula: P(t) = t)9,0.(30000 . Supondo que o ritmo de diminuição se mantenha, é correto afirmar: Daqui a 2 anos, a população será de:

06. (FATEC-SP) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminuiu em função do tempo devido à desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por m = mO.2-xt . Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo t (em anos), mO é a massa inicial e x é uma constante real. Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor x é: a)-3 b)1/3 c)-22 d)1/22 e)1/3

07.(FAE-PR) O número de bactérias B em uma determinada cultura, após t horas, pode ser

determinado por meio da equação t

30B(t) = 800 2 . Após quanto tempo o número de bactérias é o quíntuplo do número inicial? (Considere log 2 = 0,30) a) 65 horas; b) 68 horas; c) 70 horas; d) 72 horas; e) 75 horas.

08.(UNIOESTE-PR) A quantia de R$ 5.000,00 é aplicada à taxa fixa de 2% ao mês. Em se tratando de juros compostos e não havendo retirada, o número de meses necessários para que o montante ultrapasse R$ 7.000,00 é: Considere log 102 = 2,008, log 14 = 1,146 e a fórmula para juros compostos M = C(1+i)n, com M = montante, C = capital, i = taxa e n = prazo.

09. (EsPCEX) Considerando o gráfico abaixo, onde: I - A curva é a representação da função y = log x, para x

1. II -Os retângulos sombreados têm um dos vértices sobre a curva.

Nas condições apresentadas acima, a área da região sombreada é: a) log 24 b) log 18 c) log 12 d) log 9 e) log 6

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71

10.(NC.UFPR) Experiências feitas com um certo tipo de bactéria mostraram que o número de indivíduos numa cultura, em função do tempo, pode ser aproximado pela expressão F(t) = 50.20,4.t, sendo t o tempo medido em horas. Após quantas horas essa cultura terá 800 indivíduos? a) 10 horas b) 12 horas c) 15 horas d) 18 horas e) 24 horas

11. (FEPAR-PR) Enquanto a caderneta de poupança proporciona rendimentos próximos a 1% ao mês, o State Bank oferece uma taxa mensal de 4% para as pessoas que o procuram para fazer aplicações de suas economias. O cálculo do capital final se faz pela fórmula:

tif )i1(CC , na qual

capital final;

Ci = capital inicial;

i = taxa ao mês, em percentagem; t = tempo de aplicação, em meses. Para que um capital inicial de R$ 1000,00 resulte num montante final de R$ 1601,00 no Banco citado, é necessário um período de aplicação de, aproximadamente: (Dados: log 1,601 = 0,2043 e log 1,040 = 0,0170) a) 6 meses b) 4 meses c) 12 meses d) 15 meses e) 18 meses

12. A fórmula N = 6 . 108 . V -3/2 relaciona, numa dada sociedade, o número N de indivíduos que possuem renda anual superior ao valor V, em reais. Nessas condições, pode-se afirmar que , para pertencer ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda anual de a) R$ 10.000,00. b) R$ 100.000,00. c) R$ 1.000.000,00. d) R$ 10.000.000,00. e) R$ 100.000.000,00. 13.(UFRN) No plano cartesiano abaixo, estão representados, o gráfico da função y = 2x, os números a, b, c e suas imagens.

Observando a figura, podemos concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente: a) a/2 e 4a b) a-1 e a+2 c) 2a e a/4 d) a+1 e a-2 e) a e a

14. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora para obter os seguintes números: a) log 2, log 5 e log 5 log 2 b) log 2, log 5 e log 5 log 2 c) log 2, log 5 e log 25

d) 25

e log25

e) 5 e log 5

15.(FGV-SP) Adotando-se os valores 30,02log

e

48,03log , a raiz da equação 60x5

vale aproximadamente: a) 2,15 b) 2,28 c) 41 d) 2,54 e) 2,67

16. (FAE-PR) O gráfico da função exponencial abaixo representa o crescimento de uma população de bactérias durante um determinado período, em horas.

Com base nas informações contidas no gráfico e considerando log 2 = 0,30, calcule o tempo necessário para que o número de bactérias chegue a 512000. a) 13 horas b) 13 horas e 30 minutos c) 14 horas d) 14 horas e 30 minutos e) 15 horas

a

b

x

c

2.2a

2a

2a/4

y = 2 x y

2560160010000

5000

10000

15000

20000

0 1 2 3 4 5 6

Horas (h)

Nú

mer

o d

e B

acté

rias

(B

)

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72

Todo mundo quer ajudar a refrescar o planeta

Virou moda falar em aquecimento global. É preciso não esquecer que os recursos naturais da Terra também estão em perigo. O outro lado do processo: a China e a Índia, juntas, têm um terço da população mundial. Caso o consumo dos dois países chegue aos níveis do consumo da Califórnia, o estado mais rico dos EUA, o resultado poderá ser catastrófico para os recursos naturais do planeta.

As tabelas a seguir mostram esses dados.

Consu-mo de água

(em L) (per

capita, por dia)

Consu-mo de

petróleo (em L)

(per capita, por dia)

Quanti-dade

de carros (para cada 100

pessoas)

Emis-são de

CO2

(em t) (per

capita, por ano)

Cal

ifórn

ia

700 8 70 12

Chi

na

85 0,8 2,5 3,0

Índi

a

135 0,4 1,3 1,0

Okki de Souza In: Veja ed. 2003, 11/04/2007, p. 100-1 (com adaptação).

Área em km2 população Califórnia 411 mil 33.8 milhões China 9,6 milhões 1,3 bilhões Índia 3,3 milhões 1,08 bilhões

Com referência aos dados do texto e das tabelas acima, julgue os seguintes itens.

17.(CESPE-BB) Considere que campanhas mundiais de conscientização e esclarecimento façam que os níveis de emissão de CO2 caiam, per capita, por ano, 10% na China e 15% na Califórnia. Nessa situação, assumindo-se que log 4 = 0,60, log 90 = 1,95 e log 85 = 1,93, conclui-se que serão necessários mais de 20 anos para que os níveis de emissão de CO2, per capita, por ano, nessas duas regiões tornem-se iguais.

18.(PUC-SP) Em 1996, uma indústria iniciou a fabricação de 6000 unidades de certo produto e, desde então, sua produção tem crescido à taxa de 20% ao ano. Nessas condições, em que ano a produção foi igual ao triplo da de 1996? (Dados: log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48) a) 1998 b) 1999 c) 2000 d) 2001 e) 2002

19. (UEL-PR) Em certa cultura de bactérias, o número de bactérias presentes no instante t é

determinado pela função k tN (t) = N e 0 , onde

N0 é o número inicial de bactérias e k uma constante positiva. Sabendo-se que o número de bactérias duplica ao final das duas primeiras horas, calcule o tempo necessário para que a população de bactérias atinja 96 N0 .

( Use : 59,12log3log

e

e onde e 2,71 )

a) 12 horas, 16 minutos e 24 segundos. b) 12 horas, 58 minutos e 15 segundos. c) 12 horas e trinta segundos. d) 13 horas, 10 minutos e 48 segundos. e) 13 horas e meia.

20. A fórmula N = 6 . 108 . V -3/2 relaciona, numa dada sociedade, o número N de indivíduos que possuem renda anual superior ao valor V, em reais. Nessas condições, pode-se afirmar que , para pertencer ao grupo dos 600 indivíduos mais ricos dessa sociedade é preciso ter no mínimo uma renda anual de a) R$ 10.000,00. b) R$ 100.000,00. c) R$ 1.000.000,00. d) R$ 10.000.000,00. e) R$ 100.000.000,00.

GABARITO FUNÇÕES EXDPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 01 B 02 C 03 C 04 C 05 24300 06 D 07 C 08 19 09 A 10 A 11 C 12 A 07 C 08 19 09 E 10 A 11 C 12 D 13 D 14 B 15 D 16 B 17 Correta 18 E 19 D

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73

ESTATÍSTICA

MÉDIAS

MÉDIA ARITMÉTICA (MA) Média aritmética de n parcelas (n>1), é a soma de todas as parcelas{x1,x2,x3,...xn}, dividida pelo número (quantidade) dessas parcelas (n).

FÓRMULA

x + x + x +...+ xn1 2 3MA =n

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (MAP)

Média aritmética ponderada de n (n>1) parcelas {x1,x2,x3,...xn} e seus respectivos pesos {p1,p2,p3,...pn}, é igual a soma dos produtos das parcelas com os seus respectivos pesos, dividida pela soma dos seus pesos.

FÓRMULA

p x + p x + p x +...+ p xn n1 1 2 2 3 3MAP =p + p + p +...+ pn1 2 3

MÉDIA GEOMÉTRICA (MG)

Média geométrica de n parcelas (n>1), é a raiz n-ésima do produto dos n fatores {x1,x2,x3,...xn}.

FÓRMULA

nMG = x x x ...xn1 2 3

MÉDIA HARMONICA (MH)

Média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos das parcelas n parcelas {x1,x2,x3,...xn}.

FÓRMULA

1MH =

1 1 1 1+ + +...+

x x x xn1 2 3n

MODA (Mo)

Denominamos moda (Mo) o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

Obs.: Uma série de valores, poderá ter para a moda: - Nenhum valor da série. - Um único valor da série. - Dois ou mais valores da série.

MEDIANA (Md)

A mediana (Md) ( medida de posição) numa série de valores organizados em ordem crescente ou decrescente, é: - O valor central, se a série tem número ímpar de valores, ou, - A média aritmética dos dois valores centrais, se a série tem número par de valores.

Noções de Estatística

A Estatística trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados, sua organização em tabelas e gráficos e a análise desses dados.

NOTAÇÕES

População é o grupo observado, geralmente numeroso. Amostra é um subconjunto da população observada.

FREQUÊNCIAS

Freqüência absoluta (F) é o número de vezes que a variável assume valor.

Freqüência relativa (f) é o quociente entre a freqüência absoluta e o número de elementos da população estatística (N). A freqüência relativa geralmente é dada na forma de porcentagem.

Fif =i N

VARIÂNCIA (V)

A idéia básica de variância é tomar os desvios dos valores x; em relação à média aritmética (x, - MA). Mas a soma desses desvios é igual a 0 (por uma propriedade da média). Uma opção possível, então, é considerar o

total dos quadrados dos desvios 1

n

i

(xi-MA)2 e

expressar a variância (V) como a média dos quadrados dos desvios absolutos, ou seja:

2i

n(x - MA)

i=1V =n

ou

2 2 2 2) ) ) )1 2 3 n(DA + (DA + (DA +...+ (DA

V =n

DESVIO ABSOLUTO (DA)

DA = x - MAi

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74

DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (DAM)

x - MA + x - MA + x - MA + ... + x - MAn1 2 3DAM =

n

ou

1 2 3 nDA +DA +DA +...+DADAM =

n

DESVIO PADRÃO (DP)

DP = V 2(DP) = V

V=variância


01. Dada a seqüência {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21}, a sua moda é:

a) 54 b) 5 d) 1 e) 6,75

Resolução

Para responder este teste basta conhecer a definição de moda, que segue: Definição: Denominamos MODA o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores. Então, basta de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete. Na série do enunciado, o valor que mais se repete é valor 1.

Resposta, letra: D

02. (ICMS-MG-Adaptada) Um candidato obteve, nas diversas provas de um concurso, as seguintes notas com os respectivos pesos:

Matéria nota peso Português x1 = 66 p1 = 3 Contabilidade x2 = 63 p2 = 3 Estatística x3 = 70 p3 = 2 Direito x4 = 79 p4 = 2

Calcule média aritmética ponderada.

Resolução:

I) Substituindo os dados na fórmula.

p x + p x + p x + ... + p xn n1 1 2 2 3 3MAP =p + p + p + ... + pn1 2 3

3 × 66 + 3 × 63 + 2 × 70 + 2 × 79MAP =

3 + 3 + 2 + 2

198 +189 +140 +158MAP =

10

685MAP =

10, finalmente: MAP = 68,5

03. (TTN) A media aritmética da distribuição e igual a:

Coluna 1 Coluna 2 Classe Peso (kg)

Freqüências Simples Absolutas

2 4

9

4 6

12

6 8

6 8 10

2 10 12

1

a) 5,27 kg b) 5,24 kg c) 5,21 kg d) 5,19 kg e) 5,30 kg

Resolução:

I) Para obter a média com intervalo de classe e a freqüência absoluta, calcule o ponto médio (média aritmética) de cada intervalo de classe.

Classe Peso (kg)

Ponto médio da classe.

2 4

2 43

2

4 6

4 65

2

6 8

6 87

2

8 10

8 109

2

10 12

10 1211

2

III) A seguir a tabela com todas as informações para obter a média desejada.

Coluna 1 Coluna 2 Coluna 3

Classe Peso (kg)

Freqüências Simples Absolutas

Ponto médio da classe

2 4

f1 = 9 x1=3 4 6

f2 = 12 x2=5 6 8

f3 = 6 x3=7 8 10

f4 = 2 x4=9 10 12

f5 = 1 x5=3

Na coluna 2 representa a freqüência (ou peso) que ocorre cada um dos pontos médios.

f x + f x + f x + ... + f xn n1 1 2 2 3 3MAP =f + f + f + ... + fn1 2 3

9 × 3 +12 × 5 + 6 × 7 + 2 × 9 +1×11MAP =

9 +12 + 6 + 2 +1

27 + 60 + 42 +18 +11MAP =

30

27 + 60 + 42 +18 +11MAP =

30

158MAP =

30 finalmente MAP = 5,666... 5,27

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75

TESTES

01.Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13.

02. Calcular a média geométrica entre os números 12, 45 e 50.

03. Calcular a média harmônica entre os números 1, 3 e 6.

04. (FUVEST) Ache a média aritmética dos números

3

5,

13

4 e

1

2.

05. Sabe-se que os números 2, 5, 7 e 11 têm pesos iguais a 1, 2, 3 e 5, respectivamente. Qual é média ponderada entre esses números?

06. (PUC) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, a média aritmética dos restantes é:

07. (UBERABA) Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a cada R$ 1,50 cada e 2 doces a R$ 2,50 cada. O preço médio por doce foi de:

08. Um fabricante de café misturou café x de R$ 750,00 o Kg com café y de R$ 950,00 o Kg. Qual o valor do Kg da mistura de 15 kg de café x com 15 kg de café y.

09. Na tabela a seguir vemos o consumo mensal de água de uma família durante os 5 primeiros meses de 2003.

Meses Consumo (m3) Janeiro 12,5 Fevereiro 13,8 Março 13,7 Abril 11,4 Maio 12,1

O consumo mensal médio dessa família durante os 5 meses foi: a) 11,3 m3 b) 11,7 m3 c) 12,7 m3

d) 63,5 m3 e) 317,5 m3

10. (ICMS/MG) As alturas dos jogadores de basquete da Seleção Brasileira são 1,98 m; 2,04 m; 2,06 m; 2,02 m e 2,05 m. A média de altura dessa seleção, em m, é de: a) 2,01 b) 2,02 c) 2,03 d) 2, 04 e) 2,05

11. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 A mediana é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

12. O número de crianças em 19 famílias foi 0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10 A moda é : a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1

13. Qual a média harmônica entre os números 2 e 3?

14. (SANTA CASA) A média aritmética dos elementos de um conjunto de 28 números é 27. Se retirarmos desse conjunto três números, de valores 25, 28 e 30, a média aritmética dos elementos do novo conjunto é:

15. (FCC) A média aritmética de quatro números é 25. A média aritmética de três desses números é 21. O número que consta no primeiro grupo de números e não consta no segundo grupo é: a) 37 b) 39 c) 47 d) 48 e) 59

16. (OBM) A média aritmética de seis números é 4. Quando acrescentamos um sétimo número, a nova média é 5. O número que foi acrescentado é: a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11

17. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram, considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu? a) 41 anos b) 25 anos c) 29 anos d) 33 anos e) 37 anos

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18.(UFPR) Um automóvel pode ser abastecido com gasolina e álcool, em qualquer proporção. O motorista parou num posto em que o preço de um litro de gasolina era R$ 2,50 e o de álcool era R$ 2,00. Foram colocados no tanque de combustível 16 litros de gasolina e 24 litros de álcool. Qual é o preço por litro do combustível misto obtido nesse abastecimento? a) R$ 2,45. b) R$ 2,40. c) R$ 2,32. d) R$ 2,20. e) R$ 2,18.

19. A distribuição dos salários de uma empresa é dada na seguinte tabela:

Salário em R$ Número de funcionários 500,00 10

1.000,00 5 1.500,00 1 2.000,00 10 5.000,00 4 10.500,00 1

a) Qual é a média dos salários dessa empresa?

20. Dois torneiros, Paulo e João, concorrendo a uma vaga em uma metalúrgica, submeteram-se ao seguinte teste de precisão: cada um deles construiu quatro rodas de ferro, que deveriam ter 5 cm de diâmetro. A tabela abaixo descreve o desempenho de cada um.

Diâ-metro em cm

Diâ-metro em cm

Diâ-metro em cm

Diâ-metro em cm

Média do Diâ-metro em cm

Paulo 4,8 5,2 5,0 5,0 5,0 João 4,7 5,3 5,0 5,0 5,0

Como os diâmetros médios foram iguais, o critério de desempate foi a regularidade, isto é, quem teve o desempenho mais regular foi o merecedor da vaga.

a) Calcule o desvio padrão do conjunto de diâmetros obtidos por Paulo e João.

b) Qual dos dois candidatos teve o desempenho mais regular?

21. (ICMS-MG) Os tempos gastos por cinco operários para fazer um trabalho foram: 4 min, 6 min, 7 min, 8 min, 10 min. A variância dessa distribuição é: a) 4,0 b) 3,5 c) 3,0 d) 2,0 e) 1,0

22. (ICMS-MG) O desvio padrão do conjunto de dados A = {6, 10, 4, 8, 7} é igual a:

a) 1,25 b) 1,5

c) 2,0

d) 3,0

e) 4,0

23. (GDF) Uma empresa que possui 5 máquinas copiadoras registrou em cada uma delas no último mês ( em 1.000 unidades): 20, 23, 25, 27 e 30 cópias, respectivamente. O valor da variância desta população é: a) 5 b) 11,6 c) 14,5 d) 25 e) 12

24. (UFRJ-NCE) Agenor está fazendo um curso de especialização. O curso é dividido em módulos e cada módulo tem um certo número de créditos, dependendo da importância do módulo. O coeficiente de rendimento do aluno é a média ponderada das notas por ele obtidas nos respectivos módulos, tendo como pesos os créditos correspondentes. A tabela a seguir apresenta as notas obtidas por Agenor e o número de créditos de cada módulo: Módulo No de créditos Nota I 4 6,0 II 5 7,0 III 5 8,0 IV 3 6,0 V 3 6,0 VI 5 9,0 O coeficiente de rendimento de Agenor no curso é igual a: a) 6,4; b) 6,8, c) 7,0; d) 7,2; e) 7,6.

25.(PUC-SP) O histograma seguinte apresenta a distribuição de freqüência das faixas salariais numa pequena empresa.

Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses salários é, aproximadamente: a) R$ 420,00 b) R$ 536,00 c) R$ 562,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00

26. Manoel e Maria, prestaram o vestibular e obtiveram os seguintes resultados:

Matéria Manoel Maria Matemática 9,0 9,0 Física 9,0 6,0 Química 8,0 6,0 Biologia 5,0 6,0 Português 5,0 8,0 História 5,0 7,0 Geografia 6,0 7,0 Inglês 7,0 6,0

Qual é a média de notas de cada um?

2

4

14

0

500

1000

1500

2000

2500

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27. (UFRJ-NCE) O gráfico abaixo mostra o total de gols marcados por Pedrinho Cai Cai durante um campeonato em sua cidade natal. Sabemos que Pedrinho Cai Cai marcou gols em todas as partidas das quais participou, mas esteve fora de diversos jogos, devido a contusões.

número de jogos realizados

total de gols marcados

1 2 43 65 87 9

1

3

7

2

456

8

Considere as seguintes afirmativas:

I - Pedrinho Cai Cai não jogou em mais da metade das partidas realizadas. II - Em sua melhor performance, Pedrinho Cai Cai marcou três gols em uma mesma partida. III - Se considerarmos apenas as partidas de que Pedrinho Cai Cai participou, podemos dizer que sua média de gols por partida foi aproximadamente igual a 2,3. A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é/são somente: a) I; b) II; c) III; d) I e II; e) II e III.

28. (CESGRANRIO) Para responder à próxima questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

Uma das medidas de dispersão é a variância populacional,

que é calculada por n

1

2m)i(x

n

. Sabendo-se que m

é a média aritmética dessas idades, qual a variância das idades na população formada pelos 20 jovens? a) 0,15 b) 0,20 c) 1,78 d) 3,20 e) 3,35

29.(UNICAMP-SP) Para um conjunto X={x1, x2, x3, x4} a média aritmética de X é definida por:

44x3x2x1x

x

e a variância de X é definida

por: 1 2 2v = (x - x) + ... + (x - x)414

. Dado o conjunto

X={ 2, 5, 8, 9} e 2,77,5 , pede-se:

a) Calcular a média aritmética de X.

b) Calcular a variância de X.

c) Calcular o desvio padrão de X.

30. (UFPR) Considere as seguintes medidas descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:

Turma Número de alunos

Média Desvio padrão

A 15 6,0 1,31 B 15 6,0 3,51 C 14 6,0 2,61

Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas, as notas dos alunos da turma B foram as que se apresentaram mais heterogêneas. 2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com variação diferente. 3. As notas da turma A se apresentaram mais dispersas em torno da média. Assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira. b) Somente a afirmativa 2 é verdadeira. c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.

31.(NC.UFPR) Em uma escola, para verificação da aprendizagem em certa disciplina, são aplicadas três provas, com pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Para um aluno ser aprovado nessa disciplina, deve ser no mínimo 5,0 a média aritmética ponderada das notas que ele obtiver nas três provas relativamente aos pesos mencionados. Se nas duas primeiras provas um dos alunos obteve notas 4,0 e 3,5, respectivamente, então, para que seja aprovado, a nota mínima que ele deve obter na terceira prova é: a) 6,0 b) 6,1 c) 6,2 d) 6,3 e) 6,4

32.(NC.UFPR) A média aritmética de 3 números (x, y e z) é 6, e a média aritmética ponderada desses números relativa aos pesos 1, 3 e 4, respectivamente, é 6,75. Sabendo-se que z = 6, então um dos outros dois números é:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

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33.( UFPR) Seja Ma a média aritmética de três números (x, y e z), e seja Mp a média aritmética ponderada desses números relativa aos pesos 2, 3 e 5, respectivamente. Considere as afirmativas abaixo relativas às médias Ma e Mp. I. Se x = y = z, então Ma = Mp. II. Se x = 1, y = 2 e z = 3, então Ma > Mp. III. Se z = x + y, então Ma > Mp. IV. Se Ma = Mp, então 5z = 4x + y. Assinale a alternativa correta: a) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. d) Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.

34. Uma micro empresa produziu 10.000 unidades de um certo produto, vendendo-o da seguinte forma: as primeiras 3.000 unidades, ao preço unitário de R$ 20,00 as 5.000 unidades seguintes, ao preço unitário de R$ 25,00 as últimas 2.000 unidades, ao preço unitário de R$ 32,00 . Qual foi o preço médio unitário? a) R$ 24,60; d) R$ 32,90; b) RS 24,90; e) R$ 33,50 c) R$ 32,00;

35. Determinando a mediana da série, 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, é: a) 13 b) 12 c) 18 d) 25 e) 11

36. Determinando a mediana da série, 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21, é: a) 7 b) 10 c) 12 d) não existe moda na série. e) 13

37. Determinando a moda da seqüência, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 12, 12, 12, 7, 7, 7, obtemos: a) Somente 12 b) Somente 2 c) Somente 3 d) Somente 7 e) 2, 3, 12 e 7

38.(UFRJ-NCE) Foi feita uma pesquisa de opinião sobre qual o gênero de filme preferido pelo público de um cinema. O resultado é apresentado no gráfico abaixo:

Com base nesses dados pode-se afirmar que:

a) o público prefere romance ou terror à ação; b) mais da metade do público prefere ação; c) mais de um quarto do público prefere comédia; d) mais de um terço do público prefere romance ou terror; e) menos da metade do público prefere comédia ou ação.

39.(UFRJ-NCE) A tabela a seguir fornece a cotação diária de venda e compra do dólar, em reais, referente aos 6 primeiros dias úteis de outubro de 2005.

Data Venda Compra 3/out 2,229 2,227 4/out 2,261 2,259 5/out 2,268 2,266 6/out 2,293 2,291 7/out 2,250 2,248 10/out 2,238 2,236

As cotações medianas de venda e compra do dólar para esses dias foram, respectivamente: a) 2,2555 e 2,2535; b) 2,2565 e 2,2545; c) 2,2680 e 2,2660; d) 2,2805 e 2,2785; e) 2,2930 e 2,2910.

40.(UFRJ-NCE) A média aritmética obtida a partir de um conjunto de 10 números é M. Se acrescentarmos dois números, a e b, a esse conjunto, a nova média será:

a) 12

M10b10a

b) 12

Mba 10

c) 12

Mba

d) 3

Mba

e) 3

Mba 10

41. (UPNET) No concurso para cabo de uma Instituição Militar, o candidato é submetido a 4 avaliações: Matemática e Português com peso 2,0, Avaliação Física com peso 3,0 e Conhecimentos Específicos com peso 1,0. O soldado Marcelo se submeteu ao concurso e obteve os seguintes resultados: Português: Nota 5,0 Matemática: Nota 8,0 Avaliação física: 3,0 Conhecimentos específicos: Nota 5,0 A média ponderada do soldado Marcelo, no concurso, foi de a) 4,0 b) 5,0 c) 4,5 d) 5,5 e) 3,8

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42. (VUNESP) A média aritmética simples de três números inteiros positivos e consecutivos é 24. O produto desses números será: a) 9240 b) 10624 c) 10626 d) 12144 e) 13800

GABARITO

ESTATÍSTICA 01 7 02 30 03 2 04 29/20 05 8 06 7 07 1,85 08 8,50 09 C 10 C 11 B 12 A 13 2,4 14 26,92 15 A 16 E 17 A 18 d 19 2000 20 a) Paulo

DP= 0,020

João

DP= 0,045

b) Paulo 21 A 22 C 23 B 24 D 25 E 26 a)Manoel 6,75

e Maria 6,875 27 B 28 D 29 a) 6,0

b) 7,5

c) 7,5

30 D 31 D 32 E 33 C 34 B 35 E 36 D 37 E 38 C 39 A 40 B 41 B 42 E

INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição.

ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS

1 CONJUNTO

i O conjunto de todos os brasileiros.

ii O conjunto de todos os números naturais.

iii O conjunto dos números naturais tal que x<6. O conjunto é representado por uma letra maiúscula do

alfabeto: A, B, C, ..., Z.

2 ELEMENTO

i Pelé é um elemento do conjunto dos brasileiros.

ii 1, 2, 3, . . . são elementos do conjunto dos números naturais.

iii 1, 2 e 3 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à inequação: x<6.

Em geral, um elemento de um conjunto, é representado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

3 PERTINÊNCIA

i Pelé pertence ao conjunto dos brasileiros.

ii 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

iii -5 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à inequação: x< 6.

Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo , que lê-se: "pertence" e, caso ele não pertença utilizamos o símbolo , que lê-se: não pertence .

Por exemplo:

Para afirmar que 1 é um número natural N, escrevemos: 1 N.

Para afirmar que - 5 não é um número natural (N) , escrevemos: - 5 N.

ALGUMAS NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS

1 Extensão: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { }, separados por vírgula ou ponto e vírgula

i A = { a, e, i, o, u }

ii N = { 1; 2; 3; 4; ... } o 2 Compreensão: O conjunto é descrito por uma ou

mais propriedades.

i A = { x : x é uma vogal}

ii N = { x : x é um número natural} o 3 Diagrama de Venn-Euler Os conjuntos são

mostrados delimitados por uma região.

A

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SUBCONJUNTOS Quando todos os elementos de um conjunto A qualquer pertencem a um outro conjunto B, diz-se, então, que A é um subconjunto de B, ou seja BA . Observações:

Todo o conjunto A é subconjunto dele próprio, ou seja AA ;

O conjunto vazio, por convenção, é subconjunto de

qualquer conjunto, ou seja A .

ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS

CONJUNTO VAZIO: É um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou .

CONJUNTO UNIVERSO: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U.

REUNIÃO DE CONJUNTOS

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

BxouAx:xBA

INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

BxeAx:xBA

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Conjunto vazio: é um conjunto que não possui elementos. O conjunto vazio é representado por { } ou

.

DIFERENÇA DE CONJUNTOS

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

BxeAx:xBA

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C A B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

BxeAx:xBABA

C

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Ou também:

Quando não existe dúvida sobre o universo U em que trabalhamos, simplesmente utilizamos a letra c posta como um expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Exemplos especiais são: Øc=U e Uc=Ø.

A

B

A

B

A

B

A

B

A

B

C A

B

A

B

A

- B

A B

A

B

A

- B

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DIFERENÇA SIMÉTRICA

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

BAxeBAx:xBA

A situação gráfica para a diferença simétrica é:

OPERADORES E SÍMBOLOS

: pertence : existe

: não pertence : não existe

: está contido : para todo (ou qualquer que seja)

: não está contido

: conjunto vazio

: contém N: conjunto dos números naturais

: não contém Z : conjunto dos números inteiros

/ : tal que Q: conjunto dos números racionais

: implica que Q'= I: conjunto dos números irracionais

: se, e somente se

R: conjunto dos números reais

: A intersecção B

: A união B

a - b: diferença de A com B

a < b: a menor que b

: a menor ou igual a b

a > b: a maior que b

: a maior ou igual a b

: a e b

: a ou b

TESTES RESOLVIDOS

01. (FCC-ICMS-SP) Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos. Nessas condições, é verdade que a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências. b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências. c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências. d)) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário. e) o número de inscritos no seminário foi menor que 420.

RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS

I) Informações fornecidas no enunciado, colocadas na tabela.

1 M 144

2 Somente M 54

Das que compareceram pela manhã, 54 não voltaram.

3 T 168

4 N 180

5 M e T e N 16

6 M e T e não N 22

7 T e N e não M 8

8 Pessoas inscritas x Total de pessoas inscritas.

9 Não ( M e T e N ) x/8 Ausentes no seminário 1/8 do total (x ).

II) Dados da tabela distribuídos no diagrama que segue.

M T

N

54

52

22

16

122

8

104

x / 8

= x

A

B

A

B

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- Adicionando todas as partes internas ao retângulo, obtemos o total de inscritos ( x ).

inscritas pessoas de total432x

mmccomoperandox8x

378

x8

x104852161222254

-Ausentes no seminário 1/8 do total (x ).

548

432432x

8

x

total de pessoas que não compareceram. Este último cálculo, atende uma das alternativas disponíveis.

Resposta: alternativa D

02.(ESAF-AFC-CGU) Uma escola de idiomas oferece apenas três cursos: um curso de Alemão, um curso de Francês e um curso de Inglês. A escola possui 200 alunos e cada aluno pode matricular-se em quantos cursos desejar. No corrente ano, 50% dos alunos estão matriculados no curso de Alemão, 30% no curso de Francês e 40% no de Inglês. Sabendo-se que 5% dos alunos estão matriculados em todos os três cursos, o número de alunos matriculados em mais de um curso é igual a: a) 30 b) 10 c) 15 d) 5 e) 20

RESOLUÇÃO

I) Cálculo das porcentagens.

Alemão A 50% 200x0,50 = 100 Francês F 30% 200x0,30 = 60 Inglês I 40% 200x0,40 = 80 Alemão, Francês e Inglês

A, F e I

5% 200x0,05 = 10

II) Todos os alunos estudam pelo menos um curso. Deseja-se como diz o enunciado o número de alunos matriculados em mais de um curso , ou seja: b+d+f+10.

a+b+c+d+e+f+10 =200 a+b+c+d+e +f=190

III) Totalizando individualmente com base o diagrama acima, temos:

A- Alemão a + b + f = 90 F- Francês b + c +d = 50 I- Inglês d + e + f = 70 SOMA(A+F+I) a+2b+c+2d +e + 2f = 210 Isole (a+c+e) a+c+e=210 -2b -2d-2f

Substituindo (a+c+e=210-2b-2d-2f) em: a + b + c + d + e + f + 10 = 200 b + d + f + ( 210 - 2b 2d 2f ) + 10 = 200 b + d + f + 10 = 30

Obtemos: b+d+f+10=30

IV) Resposta: Alternativa A

TESTES

Para resolver as próximas 8 questões, tome por base o diagrama abaixo

01. O conjunto A é formado pelos seguintes elementos: a) {a, b, c, d} b) {e, f} c) {e, f, o, n, p, i} d) {a, b, c, d, e, f, o, n, p} e) {a, b, c, d, e, f, o, n, p, i}

02. Assinale a alternativa que representa o conjunto BA .

a) {e, f, o, n} b) {e, f, o, n, p, i} c) {a, b, c, d, g, h} d) {q, r} e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}

03. Assinale a alternativa que representa o conjunto BA .

a) {e, f, o, n} b) {e, f, o, n, p, i} c) {a, b, c, d, g, h} d) (q, r} e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}

A B

C

a b

d c

f e

n

o

i

g

h

p

j l m

q

r

=200

f

d

b

a

c

e

10

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04. Assinale a alternativa que representa o conjunto

BA . a) {e, f, o, n} b) {e, f, g, h, o, n, i} c) {a, b, c, d, g, h} d) (a, b, c, d, p} e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}

05. Assinale a alternativa que representa o conjunto AB .

a) {e, f, o, n} b) {e, f, o, n, p,} c) {a, b, c, d, g, h} d) (g, h, i} e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, n, o, p}

06. Assinale a alternativa que representa o conjunto CA .

a) {n, o, p} b) {e, f, o, n, p, i} c) {a, b, c, d, j, l, m} d) (i, j, l, m, n, o, p} e) {a, b, c, d, e, f, j, l, m, n, o, p}

07. Assinale a alternativa que representa o conjunto CBA .

a) {e, f, p, i} b) {e, f, o, n, p, i} c) {o, n} d) (q, r} e) {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m, n, o, p}

08. (ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y - (3x + 3) é igual a a) -28 b) -19 c) 32 d) 6 e) 0

09. Dados os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 }; B = { 4, 5, 6, 7 }; C

A = { 7, 8, 9 }; C

B = { 3, 8, 9 } e A B

C = { 4 }, o número de elementos do conjunto C é: a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5

10. (UFPR) Uma pesquisa sobre animais domésticos feita em um grupo de 52 pessoas apresentou o seguinte resultado: 21 têm gato, 28 têm cachorro, 7 têm passarinho, 9 têm gato e cachorro, 3 têm gato e passarinho, 6 têm cachorro e passarinho, 2 têm gato, cachorro e passarinho. Quantas pessoas do grupo NÃO têm animal doméstico? a) 12. b) 11. c) 10. d) 9. e) 8.

11. Uma pesquisa mostrou que 33% dos entrevistados lêem o Jornal A, 29% lêem o jornal B, 13% lêem A e B, 22% lêem o jornal C e 6% lêem B e C, 14% lêem A e C e 6% lêem os três jornais.

a) Quanto por cento não lê nenhum desses jornais? b) Quanto por cento lê os jornais A e B e não lê o C?

c) Quanto por cento lê pelo menos um jornal?

12. (EPPG) Numa pequena cidade com 400 residências, 60% delas têm água encanada, 45% dispõem de sistema de esgoto e 5% não têm água encanada nem esgoto. Nessas condições, é verdade que : a) 60 residências têm água encanada e esgoto. b) 120 residências não têm água encanada. c) 200 residências têm água encanada mas não esgoto. d) 160 residências têm esgoto mas não água encanada. e) 360 residências têm água encanada ou esgoto.

13. (ESAF-TTN) Uma pessoa entre 800 consumidores, sendo 400 homens e 400 mulheres, mostrou os seguintes resultados:

do total de pessoas entrevistadas: 500 assinam o jornal X. 350 têm curso superior. 250 assinam o jornal X e têm curso superior.

do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X. 150 têm curso superior. 50 assinam o jornal X e têm curso superior

O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não tem curso superior é, portanto, igual a: a) 50 b) 200 c) 25 d) 0 e) 100

14. (EsPCEX) Numa pesquisa feita junto a 200 universitários sobre o hábito de leitura de dois jornais (A e B), chegou-se às seguintes conclusões: (1) 80 universitários lêem apenas um jornal; (2) o número dos que não lêem nenhum dos jornais é o dobro do número dos que lêem ambos os jornais. (3) o número dos que lêem o jornal A é o mesmo dos que lêem apenas o jornal B. Com base nesses dados, podemos afirmar que o número de universitários que lêem o jornal B é: a) 160 b) 140 c) 120 d) 100 e) 80

15. Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete com 100 pessoas, sobre três produtos. As respostas foram 10 pessoas compram somente o produto A, 30 pessoas compram somente o produto B, 15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas compram B e C, e 4 compram os três produtos.

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a) Quantas pessoas compram pelo menos um dos três produtos? b) Quantas pessoas não compram nenhum desses produtos? c) Quantas pessoas compram os produtos A e B e não compram C? d) Quantas pessoas compram os produtos A ou B? e) Quantas pessoas compram o produto A? f) Quantas pessoas compram o produto B?

16. (UFPE) Objetivando conhecer a preferência musical dos seus ouvintes, certa emissora realizou uma pesquisa, dando como opção três compositores: M, B e S. Os resultados são:

Votos Opções 27 gostam de B 34 gostam de M 40 gostam de S 16 gostam de B e M 12 gostam de B e S 14 gostam de M e S 6 gostam de B, M e S 4 não gostam de B, M e S

Considerando esses dados podemos classificar em verdadeiras (V) ou falsas (F) as seguintes afirmações: a) 42 não gostam de B. b) 18 gostam de M e não gostam de B. c) 20 gostam exclusivamente de S. d) 24 gostam de exatamente dois compositores. e) 25 não gostam de M.

17. Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) e justifique: a) Se A tem 3 elementos e B tem 4 elementos, então A

B tem 7 elementos. b) Se A tem 2 elementos e B tem 3 elementos, então A

B tem 2 elementos. c) Se A

B = . A tem 5 elementos e B tem 4 elementos, então A B tem 9 elementos.

18. Numa pesquisa sobre audiência de tevê entre 125 entrevistados, obteve-se: 60 assistem ao canal X, 40 ao canal Y, 15 ao canal Z, 25 assistem a X e Y, 8 a Y e Z, 3 a X e Z, e 1 assiste aos três.

a) Quantos não assistem a nenhum desses canais? b) Quantos assistem somente ao canal X? c) Quantos não assistem nem a X nem a Y?

19. (ESAF) Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 deles gostam de pagode, 300 de rock e 130 de pagode e rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode e nem de rock?

a) 430 b) 560 c) 670 d) 730 e) 800

20. (PUC-RJ) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% Têm casa própria; 22% Têm automóvel; 8% Têm casa própria e automóvel.

Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

a) 69% b) 70% c) 32% d) 75% e) 60%

21. Numa escola mista existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninos loiros. Determine o número de crianças:

(CESPE) Um posto de abastecimento de combustíveis vende gasolina comum (GC), álcool anidro (AA) e óleo diesel (OD). Em uma pesquisa realizada com 200 clientes, cada entrevistado declarou que seus veículos consomem pelo menos um dos produtos citados, de acordo com a tabela abaixo. Produto quantidade de clientes proprietários de veículos que consomem o produto

Produto Quantidade de clientes proprietários de veículos que consomem o produto

GC 120 AA 75 GC e OD 60 AA e OD 50 GC e AA 30 GC, AA e OD 20

Considerando essas informações e que cada veículo consome apenas um tipo de combustível, é correto afirmar que

22. 35 clientes possuem apenas veículos que consomem OD.

23. pelo menos dois produtos são consumidos pelos veículos de mais de 120 clientes.

24. 10 clientes possuem mais de um veículo, sendo que pelo menos um desses veículos consome GC e outro consome AA, mas não possuem nenhum veículo que consome OD.

25. (NC.UFPR) Uma pesquisa feita em um universo de 12000 pessoas apontou que 42% delas preferem uma marca de cerveja X e 58% preferem uma marca Y. A fim de que, nesse mesmo universo, a marca X venha a ter mais do que 50% de preferência, é necessário que haja mudança de preferência de, no mínimo: a) 961 dessas pessoas b) 1201 dessas pessoas c) 1441 dessas pessoas d) 1681 dessas pessoas

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26. (NC.UFPR) Considere as seguintes informações sobre o número de candidatos em um concurso aos cargos A e B, sabendo que ninguém podia se candidatar simultaneamente aos dois cargos: 75% do total de candidatos escolheram o cargo A; 60% do total de candidatos eram homens; 30% dos candidatos ao cargo B eram homens; 2.100 mulheres se candidataram ao cargo B. Assim, o número de homens que se candidataram ao cargo A foi de: a) 7.200 b) 6.300 c) 5.040 d) 2.300 e) 900

27. (NC.UFPR) Em uma creche, há 130 crianças. Dessas crianças, 56 tomaram só a vacina A, 37 tomaram as vacinas A e B, e 25 não tomaram vacina. Então, o número de crianças que tomaram somente a vacina B é: a) 12 b) 111 c) 86 d) 63 e) 44

28. Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias, foi constatada a presença de três tipos de vírus

A, B e C. O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o número de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgue os itens abaixo. I.O número de pessoas contaminadas pelos três vírus

simultaneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. II.O número de moradores que apresentaram o vírus C é igual a 230. III.345 moradores apresentaram somente um dos vírus. IV.Mais de 140 moradores apresentaram, pelo menos, dois vírus. V.O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa de 16% do total de pessoas examinadas. A quantidade de itens certos é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

GABARITO

TEORIA DOS CONJUNTOS 01 E 02 E 03 A 04 D 05 D 06 A 07 C 08 E 09 E 10 A 11 a) 43%

b) 7%

c) 57% 12 C 13 E 14 E 15 a) 66

b) 34

c) 4

d) 51

e) 19

f) 40 16 a) V

b) V

c) V

d) V

e) E 17 a) F

b) F

c) V 18 a) 45

b) 33

c) 50 19 A 20 A 21 A 22 Correta 23 Errada 24 Correta 25 A 26 B 27 A 28 C

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ANALISE COMBINATÓRIA

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)

Se uma decisão d1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada à decisão d1, a decisão d2 pode ser tomada de y maneiras, então, o número de maneiras de se tomarem às decisões d1 e d2, é igual ao produto x.y.

01 SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC)

Determinada formação com k etapas e n elementos, sem repeti-los nas etapas, o total T de maneiras em que ocorre a formação é dada por:

02

T = n(n - 1)(n - 2)(n - 3)...(n - (k - 1))

k fatores

k etapas

03 COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC)

Determinada formação com k etapas e n elementos, podendo repeti-los nas etapas, o total T de maneiras em que ocorre a formação é dada por:

04

kT = n n n n ... n = n

k fatores

k etapas


01. Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é:

a) 115 b) 120 d) 150 d) 200 e) 249

Resolução

I) A senha de acesso é formada por duas letras e três números, uma formação possível é:

6 7 P K 9

Considerando que a senha seja a sugerida acima, e considerando que não pode haver repetição de qualquer um dos 5 símbolos, é facilmente resolvida pelo princípio multiplicativo ou por permutação simples.

1ª digitada

Poderá escolher, 6, 7, 9, P ou K 5 Supondo que

digitou 7 7

2ª digitada

Poderá escolher, 6, 9, P ou K 4 Supondo que

digitou P P

3ª digitada

Poderá escolher 6, 9 ou K

3 Supondo que digitou 6

6

4ª digitada

Poderá escolher 9 ou K

2 Supondo que digitou K

K

5ª digitada Só resta o 9 1 Única opção 9

Multiplicando entre si os valores da 3ª coluna, 5x4x3x2x1=120, obtemos o total de formações diferentes possíveis.

Resposta, no máximo obterá 120 senhas.

TESTES

01.Quantos números pares de três algarismos com algarismos repetidos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4? a) 16 b) 48 c) 64 d) 24 e) 32

02. Quantos números pares de três algarismos com algarismos sem repetição podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3 e 4? a) 30 b) 24 c) 16 d) 22 e) 12

03. De quantas formas diferentes podem sentar-se em linha, alternadamente, quatro rapazes e três moças ?

04. De quantas formas diferentes podemos atribuir um primeiro, segundo e terceiro prêmios em uma classe de 5 alunos ? a) 64 b) 36 c) 240 d) 120 e) 60

05. (UCS) Uma prova compõe-se de vinte questões do tipo múltipla escolha, tendo cada uma quatro alternativas distintas. Se todas as vinte questões foram respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de respostas será.

06. ( FGV - SP) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido ? a)90 b)100 c)110 d)130 e)120

07. Do quantos modos pode vestir-se um homem que tem 2 pares de sapatos, 4 paletós e 6 calças diferentes, usando sempre uma calca, uma paletó e um par de sapatos ? a) 52 b) 86 c) 24 d) 32 e) 48

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08.(OBM) Na figura abaixo, temos 4 circunferências e alguns pontos destacados no interior dessas circunferências. Escolhendo exatamente um desses pontos dentro de cada uma das circunferências, e unindo-os por segmentos de reta que não se cruzam, formamos um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes seremos capazes de desenhar nessas condições?

a) 4 b) 14 c) 60 d) 120 e) 24

09.(OBM) O alfabeto usado no planeta X tem somente duas letras: X e x. O sobrenome (nome de família) de cada um de seus habitantes é uma seqüência formada por 4 letras. Por exemplo, xXxx é um possível sobrenome utilizado nesse planeta. O maior número de sobrenomes diferentes que podem ser dados no planeta X é: a) 12 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18

10. As finalista do concurso Miss Universo, são Miss Brasil, Miss Japão, Miss Venezuela, Miss Itália e Miss França. De quantas formas os juizes poderão escolher o primeiro, o segundo e terceiro lugar neste concurso ?

11. Qual é o número de anagramas distintos que se podem ser formados com as letras da palavra AMOR?

12.(CEFET-PR) Numa reunião definida como Queijos e Vinhos , estavam disponíveis no buffet 8 tipos de queijos e 6 tipos de vinhos. Sabendo que Jaime serve-se de dois tipos diferentes de queijo e um tipo de vinho cada vez que vai ao buffet , o número total de opções distintas para servir-se é: a) 34 b) 62 c) 42 d) 168 e) 336

13. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C?

14. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala?

[

15. (UFBA) Num determinado país, todo rádio-amador possui um prefixo formado por cinco símbolos, assim disposto: um par de letras, um algarismo diferente de zero, outro par de letras; por exemplo: PY-6-CF. O primeiro par de letras é sempre PY, PT ou PV; o segundo par só pode ser constituído das dez primeiras letras do alfabeto, não havendo letras repetidas. Nesse país, o número de prefixos disponíveis é: a) 270 b) 1230 c) 2430 d) 2700 e) 3.9.10

16. Sejam A, B, C, D, quatro cidades. De quantos modos uma pessoa pode ir de A à D passando pelas cidades B e C.

17. De quantos modos podemos dispor 5 livros de Matemática, 3 de Física e 2 de Química em uma prateleira, de modo que os livros do mesmo assunto fiquem sempre juntos?

18. (TRF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas para abrir os cadeados é

19. Considere os eixos coordenados x e y e o conjunto M = { M1, M2, ... , M12 } cujos elementos estão assinalados na figura abaixo.

O número de quadriláteros convexos que possuem vértices pertencentes a M e diagonais sobre os eixos é: a) 216 d) 36 b) 108 e) 12 c) 72

20. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?

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21. O número de anagramas da palavra NÚMERO, em que nem vogal, nem consoantes fiquem juntas é: a) 12 b) 36 c) 48 d) 60 e) 72

22. (UFPR) Numa certa rede bancária, cada um dos clientes possui um cartão magnético e uma senha formada por seis dígitos. Para aumentar a segurança e evitar que os clientes utilizem datas de aniversário como senha, o banco não permite o cadastro de senhas nas quais os dois dígitos centrais correspondem aos doze meses do ano, ou seja, senhas em que os dois dígitos centrais sejam 01,02,...,12 não podem ser cadastradas. Quantas senhas diferentes podem ser compostas dessa forma? a) 880 000 b) 1 000 000 c) 106 12 . 102

d) 10.9.8.7.6.5 e) 1 000 000 - 12

23. (MACK-SP) Se uma sala tem 8 portas, então o número de maneiras distintas de se entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente é: a) 8 b) 16 c) 40 d) 48 e) 56

24. (PUC-SP) Um dia pode ter uma das 7 classificações: MB (muito bom), B (bom), R (regular), O (ótimo), P (péssimo), S (sofrível) e T(terrível). Os dias de uma semana são: domingo, segunda-feira, terça-feira, quarta-feira, quinta-feira, sexta-feira, sábado. Duas semanas se dizem distintas se dois dias de mesmo nome têm classificações distintas. Quantas semanas distintas, segundo o critério dado, existem? a) 7! b) 72 C) 7.7! d) 77 e) 77!

25. (UFRJ-NCE) Cada região da figura abaixo vai ser pintada de uma cor. Usando quatro cores, o total de diferentes pinturas da figura é igual a:

a) 4 b) 8 c) 12 d) 16 e) 24

GABARITO

ANÁLISE COMBINATÓRIA 01 E 02 E 03 144 04 E 05 420

06 E 07 E 08 D 09 D 10 60 11 24 12 E 13 12 14 9 15 C 16 24 17 8 640 18 518 400 19 C 20 120 21 E 22 A 23 E 24 D 25 E

FATORIAL - SÍMBOLO !

Fatorial ! é um operador. Seja n um número natural N, definimos fatorial de n, e indicamos por n!, através da relação:

01 n!=n(n-1)(n-2)(n-3)...3.2.1 para (n 2)

02

2!=2.1=2 3!=3.2.1=6 4!=4.3.2.1=24 5!=5.4.3.2.1=120 6!=6.5.4.3.2.1=720 7!=7.6.5.4.3.2.1=5040

03 Identidades importantes

04

0! = 1 1! = 1

Como conseqüência: Se m ! =1, m pode ser igual a 0 (m = 0) ou 1 (m = 1).

PERMUTAÇÃO - SÍMBOLO P

São agrupamentos com n elementos, que diferem entre si apenas pela ORDEM dos seus elementos. A permutação é um caso particular de arranjo em que n=p. Se um ou mais elementos aparecem repetidos no total dos n elementos, o número de repetições de cada natureza, serão indicadas por: a, b, c, d, ...

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01 Permutação sem repetição P

02 P = n!n 03 Permutação com repetição P

04

n!a,b,c,d,...P =n a! b! c! d!...

05 Permutação circular sem repetição PC

!1)-nnPC (

TESTE PARA IDENTIFICAR A APLICAÇÃO DE ARRANJO A OU COMBINAÇÃO C .

25.5. ARRANJO - SÍMBOLO A

São agrupamentos com p (p N) elementos, que diferem entre si ou pela NATUREZA ou pela ORDEM dos seus elementos.

01 Arranjo sem repetição (n p)

02 !p)n(!n

p,nA

03 Arranjo com repetição (n p)

04 pnp,nA

COMBINAÇÃO- SÍMBOLO C

São agrupamentos com p (p N) elementos, que diferem entre si apenas pela NATUREZA dos seus elementos.

01 Combinação sem repetição (n p)

02 n!C =n, p (n- p)! p!

TESTES RESOLVIDOS

01. (CESPE-BB) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central, participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.

RESOLUÇÃO

I) Dados Informado no enunciado principal

AN = América do Norte = 3 países. AC = América central = 8 países. Pelo menos 3 países da América Central.

II) Com 3 vagas para a América Central e 2 vagas para a América do Norte. Os países da mesma América quando trocados entre si pela ordem, não alteram o agrupamento, portanto, o cálculo será obtido aplicando a combinação simples.

e

AC AC AC AN AN n=8 p=3

n=3 p=2

!p!p)(n

!npn,

C

C8,3

C3,2

56 x 3

Total parcial: 56 x 3 = 168

III) Com 4 vagas para a América Central e 1 vaga para a América do Norte. Os países da mesma América quando trocados entre si pela ordem, não alteram o agrupamento, portanto, o cálculo será obtido aplicando a combinação simples.

AC AC AC AC e AN n=8 p=4

n=3 p=1

!p!p)(n

!npn,

C

C8,4

C3,1

70 x 3

Total parcial: 70 x 3 = 210

NÃO SIM

Forme um agrupamento conforme orientação do enunciado.

Troque a ordem de pelo menos dois elementos (entre si) nesse agrupamento formado e pergunte.

Use Use

Início do teste

Fim Fim

O agrupamento

mudou ?

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IV) Com todas as 5 vagas para a América Central e nenhuma vaga para a América do Norte. Os países da mesma América quando trocados entre si pela ordem, não alteram o agrupamento, portanto, o cálculo será obtido aplicando a combinação simples.

AC AC AC AC AC

n=8 p=5

!p!p)(n

!npn,

C

C8,4

56

Total parcial: 56

V) Total geral:

168 + 210 + 56 = 434 formações diferentes.

VI) Afirmativa da CESPE

...é inferior a 180.

Afirmativa errada

02. (CESPE-BB) Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

RESOLUÇÃO

I) Dados América do Sul = n = 12 países Dois atletas competem entre si, p = 2.

II) Cálculo

!p!p)(n

!npn,

C !2!2)(12

!1212,

C2

!2!1

!1212,

C0

10112

12

1212,

C112

66212,

C

duplas

diferentes

III) Afirmativa da CESPE

...então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

Afirmativa correta

TESTES

01. O número de anagramas distintos que podem ser formados com as letras da palavra ALUNO é: a) 120 b) 30 c) 60 d) 80 e) 100

02. Quantos anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra PALCO podemos formar de maneira que as letras A e L apareçam sempre juntas ? a) 48 b) 24 c) 96 d) 120 e) 36

03. Quantos são os anagramas distintos podem ser formados com as letras da palavra: MATEMATICA?

04. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?

05. Quantos números de cinco algarismos podemos escrever apenas com os dígitos 1, 1, 2, 2 e 3 respeitadas as repetições apresentadas ? a) 12 b) 30 c) 6 d) 24 e) 18

06. Quantos anagramas da palavra SUCESSO começam por S e terminam com O ? a) 7 ! b) 5 ! c) 30 d) 60 e) 90

07.(UFSM-RS) De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca? a) 12 b) 30 c) 42 d) 240 e) 5040

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08. (OCM) Paula e Isis moram numa região cortada por ruas, conforme o mapa ao lado. Paula mora na esquina indicada pelo ponto A do mapa e Isis na esquina do ponto B. Para Paula visitar Isis ela percorre um caminho formado por trechos horizontais ou verticais movendo-se sempre para a direita ou para cima. Um desses caminhos está ilustrado no mapa. Determine a quantidade de caminhos diferentes que Paula pode fazer para visitar Isis, seguindo esta regra.

09.(UFRJ-NCE) Uma placa de automóvel é composta por três letras e quatro algarismos, nessa ordem. O número de placas que podem ser formadas com as letras K, Q ou L e cujos dois últimos algarismos são 2 e 6, nessa ordem, é: a) 540; b) 600; c) 2430; d) 2700; e) 3000.

10.(UFF-RJ) Cinco casais vão-se sentar em um banco de 10 lugares, de modo que cada casal permaneça sempre junto ao sentar-se. Determine de quantas maneiras distintas todos os casais podem, ao mesmo tempo, sentar-se no banco

11. Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas diferentes ele poderá escolher as 10 questões?

12.(CESGRANRIO) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115 b) 120 d) 150 d) 200 e) 249

13. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, desejamos formar comissões contendo 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?

(CESPE) Em uma reunião social, cada convidado cumprimentou uma única vez todos os outros com um aperto de mão, o que resultou em 45 desses cumprimentos. Nesse contexto, é correto afirmar que

14. apenas 12 pessoas participaram da reunião.

15. (UFS) O número de comissões de quatro pessoas formadas com um grupo de quatro rapazes e três moças, tendo cada comissão no máximo dois rapazes, é: a) 35 b) 22 c) 18 d) 10 e) 28

16. Em uma empresa de 10 sócios, deseja-se formar diretorias com 4 membros. Quantas diretorias distintas podem ser formadas. a) 5040 b) 40 c) 2 d) 210 e) 5400

17. Com um conjunto de 10 peças distintas, o número de grupos diferentes, de três peças, que podem ser formadas, é: a) 3 ! b) 7 ! c) 10 ! d) 720 e) 120

18. O numero de triângulos distintos determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela á primeira, é: a) 60 b) 30 c) 20 d) 10 e) 5

19.(UFF-RJ) A partir de um grupo de 6 alunos e 5 professores será formada uma comissão constituída por 4 pessoas das quais, pelo menos duas devem ser professores. Determine de quantas formas distintas tal comissão pode ser formada.

20. Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões distintas com quatro pessoas podemos formar?

21. Com seis homens e quatro mulheres, quantas comissões de cinco pessoas podemos formar, constituídas por dois homens e três mulheres?

22. A Diretoria de uma Empresa tem seis membros. Quantas comissões de quatro membros podem ser formadas, com a condição de que em cada comissão figurem sempre o Presidente e o Vice-Presidente?

A

B

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23.(ACAFE-SC) Sobre uma reta r se marcam 7 pontos e sobre uma outra reta s paralela a r, se marcam 4 pontos. O número de triângulos diferentes que se pode obter, unindo 3 quaisquer desses pontos, é: a) 304 b) 152 c) 165 d) 330 e) 126

O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

24. (CESPE-BB) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.

25. (CESPE-BB) Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do Caribe.

26. (CESPE-BB) Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central, participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.

27. (CESPE-BB) Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

28. (CESPE-BB) Considere a seguinte situação hipotética. Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas distintas de professores para escolher aqueles com os quais fará os seus cursos.

Assinale o que for correto:

29. Com um grupo de 6 pessoas podem ser formadas 15 comissões diferentes de 4 pessoas cada.

30. Com os dígitos 5,6,7,8 podem ser formados 64 números de 3 algarismos.

31. O número de anagramas da palavra CANETA em que as vogais aparecem juntas é 72.

32. (FUVEST-SP) A figura abaixo representa parte do mapa de uma cidade onde estão assinaladas as casa de João (A), de Maria (8), a escola (C) e um possível caminho que João percorre para, passando pela casa de Maria, chegar à escola. Qual o número total de caminhos distintos que João poderá percorrer, caminhando somente para o Norte ou leste, para ir de sua casa à escola, passando pela casa de Maria?

a) 150 b) 120 c) 320 d) 462 e) 624

Dica de segurança: saiba mais sobre o código de acesso

O código de acesso consiste em uma seqüência de três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir de um terminal de auto-atendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras que a contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso do cliente. A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com um possível agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

33. (CESPE-BB) Considerando que o Banco do Brasil tenha 15,6 milhões de clientes pessoa física e que todos possuam um código de acesso como descrito acima, conclui-se que mais de 1.000 clientes do Banco do Brasil possuem o mesmo código de acesso.

A

C

B

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34. (CESPE-BB) Utilizando-se as 24 primeiras letras do alfabeto, é possível formar um conjunto de 4 letras distintas de mais de 10.000 maneiras diferentes.

35.(UFRJ-NCE) A partir de um grupo de 10 pessoas, deseja-se formar duas equipes de 5 para disputar uma partida de vôlei de praia. De quantas formas distintas pode-se formar as equipes? a) 50 b) 126 c) 252 d) 15120 e) 30240

36.(UFRJ-NCE) Há seis caminhos que ligam o acampamento A ao acampamento B e há três caminhos ligando o acampamento B ao acampamento C. Não há caminhos diretos de A para C. Um grupo de pessoas quer ir de A para C, passando por B. O número de trajetos diferentes que podem ser escolhidos é: a) 6; b) 9; c) 12; d) 18; e) 30.

37. (UF-SM) Considerando o número de 5 algarismo distintos [ _4__2 ], o número de formas possível para preencher as lacunas, de modo a obter um múltiplo de 5 é: a) 2C8,2

b) 2C8,3

c) 2A7,3

d) 2A7,2

e) A8,2

38. (EU-CE) A quantidade de números inteiros compreendidos entre os números 1000 e 4500 que podemos formar utilizando somente os algarismos 1, 3, 4, 5 e 7, de modo que não figurem algarismos repetidos, é: a) 48 b) 54 c) 60 d) 72 e) 64 39. (OSEC) De um grupo de estudos de vinte pessoas, onde seis são médicos, deseja-se formar comissões de dez pessoas, sendo que todos os médicos devem ser incluídos em cada comissão. O número de formas para elaborar as comissões pode ser dado por: a) A14,4

b) A20,4 c) A2O,6

d) C2O,4

e) C14,4

40. (UNIFOR-CE) Considere todos os números de três algarismos distintos que podem ser formados com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Quantos deles são maiores que 300? a) 30 b) 40 c) 45 d) 60 e) 80

41. (PUC-SP) Alfredo, Armando, Ricardo, Renato e Ernesto querem formar uma sigla com cinco símbolos, onde cada símbolo é a primeira letra de cada nome. O número total de siglas possíveis é: a) 10 b) 24 c) 30 d) 60 e) 120

GABARITO

ANÁLISE COMBINATÓRIA 01 A 02 A 03 151 200 04 3 05 B 06 D 07 C 08 35 09 D 10 3 840 11 3 003 12 B 13 120 14 Errada 15 B 16 D 17 E 18 B 19 215 20 210 21 60 22 6 23 E 24 C 25 E 26 E 27 C 28 E 29 C 30 C 31 C 32 A 33 C 34 C 35 C 36 D 37 D 38 C 39 E 40 E 41 C

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PROBABILIDADE

Introdução A teoria da probabilidade é o ramo da matemática que cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que podem ser utilizados para estudar experimentos aleatórios ou não determinísticos.

Experimentos determinísticos Um experimento é determinístico quando repetido em condições semelhantes conduz a resultados essencialmente idênticos.

Experimentos aleatórios Experimentos que repetidos sob as mesmas condições produzem resultados geralmente diferentes serão chamados experimentos aleatórios.

Por exemplo:

01. Um dado de seis faces, numeradas de 1 até 6, ao ser lançado ao ar, é certo que cairá, mas não é certo que, digamos apareça voltada para cima à face que está registrada com o número 3. Em n lançamentos, o número de sucessos s (apareça a face 3), após feita uma observação empírica, a freqüência relativa f=s/n, tende a estabilizar-se quando n tende a um limite.

Espaço amostral (S). É o conjunto de todos os elementos possíveis do experimento. Nesta etapa, podemos descrever os elementos e/ou calcular o número de elementos.

Evento (A) É um subconjunto do espaço amostral.

Eventos elementares Denominamos de eventos elementares, quaisquer elementos do espaço amostral, igualmente prováveis.

Casos favoráveis É o conjunto do espaço amostral (S).

Casos possíveis É um subconjunto do espaço amostral (A).

È o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Um elemento deste conjunto de resultados, é chamado de ponto amostral.

DEFINIÇÃO

A probabilidade do evento A é um subconjunto de um espaço amostral S.

n(A)=nº de elementos de A n(A)P(A) =

n(S)

n(S)=nº de elementos de S

DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO

I) 0 P(A) 1 II) P(A) + P(A) = 1 III) P( ) = 0 = conj. vazio IV) P(S) = 1

UNIÃO DE EVENTOS

I) Se A B 0

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) II) Se A B = 0

P(A B) = P(A) + P(B)

PROBABILIDADE CONDICIONADA

A probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo que já ocorreu o evento B, é chamada de probabilidade de A condicionada a B.

P(A B)P(A/B) =

P(B)

INTERSECÇÃO DE EVENTOS

I) Se A B = 0

P(A B) = P(A) . P(B)

LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE

Repetindo n vezes uma experiência em que um evento A tem probabilidade de ocorrer igual a p, a probabilidade de ocorrer apenas k vezes o evento A, é:

C n, k . pk . (1-p)n-k

EXERCÍCO RESOLVIDO

01. Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) 1/9 b) 2/9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9

A s

A B A B

A B

S

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95

Resolução

I) Use S = conjunto dos elementos do espaço amostral, casos possíveis, e n(s) o número de elementos deste conjunto.

Use D = conjunto de elementos das peças defeituosas, e n(D) o número de elementos deste conjunto.

Use ~D = conjunto dos elementos das peças não defeituosas, e n(~D) o número de elementos deste conjunto. Neste caso, é o conjunto dos casos favoráveis.

II) n(S) = 360 , n(D) = 40 e n(~D) = 320

III) Para calcular a probabilidade de, retirada uma peça que seja não defeituosa, proceda assim:

n(~ D) 320P(~ D) = =

n(S) 360........simplifique, dividindo

numerador e denominador por 40 n(~ D) 320 ÷ 40 8

P(~ D) = = =n(S) 360 ÷ 40 9

Resposta: 8/9

TESTES

01. (METODISTA) Numa classe com 32 meninas e 8 meninos, escolhendo um aluno ao acaso, qual a probabilidade, em termos percentuais, de que este seja menino?

a) 80% b) 75% c) 25% d) 20% e) 1/5%

02. O número da chapa do carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: a) 5 b) 1/2 c) 4/9 d) 5/9 e) 1/5

03. (UFPR) Suponha que a chance de um filho nascer do sexo masculino ou do sexo feminino seja exatamente igual. Qual é a probabilidade de que todos os filhos nasçam do mesmo sexo no caso de um casal que esteja planejando ter quatro filhos? a) 20% b) 14,3% c) 17,5% d) 16,7% e) 12,5%

04. (UFRJ-NCE) Um sargento vai atribuir, ao acaso, cinco tarefas de diferentes níveis de dificuldade a cinco cabos, um dos quais é o cabo Armênio. A probabilidade de que o cabo Armênio fique com a tarefa mais difícil é então de: a) 10%; b) 20%; c) 25%; d) 40%; e) 50%.

05. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de:

a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B).

b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca.

06. (UNISA-SP) A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/12 e) 1/5

07. (USP) Uma carta é retirada de um baralho comum, de 52 cartas, e, sem saber qual é a carta, é misturada com as cartas de um outro baralho idêntico ao primeiro. Retirando, em seguida, uma carta do segundo baralho, a probabilidade de se obter uma dama é: a) 3/51 b) 5/535 c) 5/676 d) 1/13 e) 5/689

08. (CESGRANRIO) Analisando um lote de 360 peças para computador, o departamento de controle de qualidade de uma fábrica constatou que 40 peças estavam com defeito. Retirando-se uma das 360 peças, ao acaso, a probabilidade de esta peça NÃO ser defeituosa é: a) 1/9 b) 2/9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9

09. (AFA) Uma urna contém 12 peças boas e 5 defeituosas. Se 3 peças forem retiradas aleatoriamente, sem reposição, qual a probabilidade de serem 2 (duas) boas e 1 (uma) defeituosa? a) 1/12 b) 3/17 c) 33/68 d) 33/34 e) 3/7

10. (NC.UFPR) Lança-se um dado. Se ocorrer um número par, qual a probabilidade de que seja primo? a) 2/3 b) 3/6 c) 3/2 d) 1/3 e) 1/6

Carreira Policial



96

11. Uma caixa contém três bolas vermelhas e cinco bolas brancas e outra possui duas bolas vermelhas e três bolas brancas. Considerando-se que uma bola é transferida da primeira caixa para a segunda, e que uma bola é retirada da segunda caixa, podemos afirmar que a probabilidade de que a bola retirada seja da cor vermelha é: a) 18/75 b) 19/45 c) 19/48 d) 18/45 e) 19/75

(CESPE) Em 2001, no relatório de pesquisa rodoviária publicado pela Confederação Nacional de Transportes, foi divulgada a tabela ao lado, que mostra as condições de conservação de 45.294 quilômetros de estradas brasileiras. Com base nesses dados, julgue os itens seguintes.

Estado geral Extensão avaliada (km) Ótimo 1.291 Bom 12.864 deficiente 30.009 Ruim 980 Péssimo 150 total 45.294

12. A probabilidade de um viajante que transita nessas estradas passar por pelo menos 1 km de estrada em condições ótimas ou boas é maior que 30%.

13. Da extensão total de estradas avaliadas, menos de 3/5 estão em condições deficientes.

14. (UNIMEP) Se escolhermos ao acaso dois números naturais distintos de 1 a 40, a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja par é: a) 1/2 b) 20/78 c) 19/78 d) 59/78 e) 47/78

15. (FEI-SP) Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas. Retiramos 3 bolas sem reposição. Qual é a probabilidade de as duas primeira serem pretas e a terceira vermelha?

16. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a a) 30/200 b) 130/200 c) 150/200 d) 160/200 e) 190/200

17. (FAE-PR) Num teste de seleção com 10 questões do tipo verdadeiro ou falso , a probabilidade de um candidato que responde a todas as questões ao acaso acertar exatamente 6 questões é igual a:

a) 1024

1

b) 512

105

c) 32

1

d) 16

3

e) 105

1

Dica de segurança: saiba mais sobre o código de acesso

O código de acesso consiste em uma seqüência de três letras distintas do alfabeto, gerada automaticamente pelo sistema e informada ao cliente. Para efetuar transações a partir de um terminal de auto-atendimento, esse código de acesso é exigido do cliente pessoa física, conforme explicado a seguir. É apresentada ao cliente uma tela em que as 24 primeiras letras do alfabeto estão agrupadas em 6 conjuntos disjuntos de 4 letras cada. Para entrar com a primeira letra do seu código de acesso, o cliente deve selecionar na tela apresentada o único conjunto de letras que a contém. Após essa escolha, um novo agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 novos conjuntos é mostrado ao cliente, que deve então selecionar o único conjunto que inclui a segunda letra do seu código. Esse processo é repetido para a entrada da terceira letra do código de acesso do cliente. A figura abaixo ilustra um exemplo de uma tela com um possível agrupamento das 24 primeiras letras do alfabeto em 6 conjuntos.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

18. (CESPE-BB) Para um cliente do BB chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letras do seu código de acesso sejam diferentes das letras que compõem o seu nome é inferior a 0,5.

19. (CESPE-BB) Para um cliente do BB chamado Carlos, a probabilidade de que todas as letras do seu código de acesso estejam incluídas no conjunto das letras que formam o seu nome é inferior a 0,01.

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97

20. (CESPE-BB) Suponha que uma pessoa observe atentamente um cliente do BB enquanto este digita o seu código de acesso. Suponha ainda que ela observe que os três conjuntos de letras em que aparecem no código do cliente são disjuntos e, tendo memorizado esses três conjuntos de letras, na ordem em que foram escolhidos, faça um palpite de qual seria o código de acesso do cliente. Nessas condições, a probabilidade de que o palpite esteja certo é inferior a 0,02.

21. (UFRJ-NCE) Se sortearmos ao acaso uma pessoa de um grupo de N pessoas, a probabilidade de que cada pessoa seja escolhida é 1/N. O elenco de uma equipe de futebol é composto por dois goleiros, oito zagueiros, seis armadores e quatro atacantes. Se sortearmos ao acaso um jogador desse elenco, a probabilidade de que ele seja um armador é de: a) 25%; b) 30%; c) 40%; d) 50%; e) 60%.

22. (AFA) Uma urna contém 12 peças boas e 5 defeituosas. Se 3 peças forem retiradas aleatoriamente, sem reposição, qual a probabilidade de serem 2 (duas) boas e 1 (uma) defeituosa? a) 1/12 b) 3/17 c) 33/68 d) 33/34 e) 3/7

23. (UNESP) Lançando-se simultaneamente dois dados não-viciados, a probabilidade de que suas superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é: a) 1/6 b) 4/9 c) 2/11 d) 5/18 e) 3/7

24. (UNISA-SP) Foram preparadas noventa empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, sessenta delas deveriam ser mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa, para serem servidas. A probabilidade de alguém retirar uma empadinha mais apimentada é: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/60 d) 2/3 e) 1/90

25. (UEM-PR) Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é: a) 1/5 b) 2/25 c) 4/25 d) 2/5 e) 3/5

26. (CESGRANRIO-RJ) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. A probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado é: a) 1/2 b) 215 c) 4/5 d) 1/5 e) n,d,a

27. (UNIMEP-SP) Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedoras do São Paulo, 5 são torcedoras do Palmeiras e as demais são torcedoras do Corinthians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é: a) 0,40 b) 0,25 c) 0,50 d) 0,30

28. (FEI-SP) Numa moeda viciada, a probabilidade de ocorrer face cara num lançamento é igual a quatro vezes a probabilidade de ocorrer coroa. A probabilidade de ocorrer cara num lançamento desta moeda é: a) 40% b) 80% c) 25% d) 20% e) 50%

29. Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

30. (PUC-SP) Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos distintos, escolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é: a) 3/4 b) 1/2 c) 8/21 d) 4/9 e) 1/3

31. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes

mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

32. (MACK-SP) De um lote de 20 parafusos, 16 são perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhendo 3 parafusos ao acaso, a probabilidade de que exatamente 2 sejam perfeitos é igual a: a) 2/19 b) 4/19 c) 6/19 d) 8/19 e) 14/57

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98

33. (OSEP) Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os três serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vaIe: a) 1/3 b) 1/2 c) 1/5 d) 1/4 e) 1/6

34. (FGV-SP) No jogo da Sena seis números distintos são sorteados dentre os números 1, 2, ... , 50. A probabilidade de que, numa extração, os seis números sorteados sejam ímpares vale aproximadamente: a) 50% b) 1% c) 25% d) 10% e) 5%

35. (CESGRANRIO) Para responder à próxima questão, utilize os dados da tabela abaixo, que apresenta as freqüências acumuladas das idades de 20 jovens entre 14 e 20 anos.

Um desses jovens será escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que o jovem escolhido tenha menos de 18 anos, sabendo que esse jovem terá 16 anos ou mais? a) 8/14 b) 8/16 c) 8/20 d) 3/14 e) 3/16

REPOSTAS 01 D 02 E 03 E 04 B 05 a) 5/21

b) 10/49 06 A 07 D 08 E 09 C 10 D 11 C 12 Correta 13 Errada 14 D 15 5/34 16 D 17 B 18 C 19 C

20 C 21 A 22 C 23 D 24 D 25 E 26 B 27 B 28 B 29 5/6 30 D 31 3/5 32 D 33 D 34 B 35 B

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Elementos do triângulo:

a, b e c são os lados. A, B e C são os vértices.

A, B e C são os ângulos internos, relativos aos

respectivos vértices.

O ângulo A é igual a 90º .

B + C = 90º

Em relação ao ângulo B , o b é cateto oposto e cateto c adjacente.

Em relação ao ângulo C , o c é cateto oposto e cateto b adjacente.

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Os elementos usados nas fórmulas apresentadas a seguir obedecem a disposição conforme figura inicial

No espaço determinado pelo pontilhado, poderá ser

usado um dos ângulos agudos, B

ou C , ajustando corretamente a razão conforme os dados.

O lado a

é a hipotenusa e os lados b

e c

são os catetos Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao ângulo reto.

Cângulo

Bângulo

c

b

a

C

B

A

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99

1

cateto opostosen..... =

hipotenusa

2

cateto adjacentecos..... =

hipotenusa

3 cateto oposto

tan..... =cateto adjacente

TEOREMA DE PITÁGORAS

O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os catetos Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao ângulo reto.

Os elementos usados na fórmula apresentada a seguir obedecem a disposição conforme figura inicial

2c2b2a

2(CAT)2(CAT)2(HIP)

TABELA DOS VALORES NOTÁVEIS

C1 C2 C3 C4

L1

6

4

3

L2 30 º 45º 60º

L3 sen 12

22

32

L4 cos 32

22

12

L5 tan 3

3

1 3

EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS

Pela regra de três diretamente proporcional, pode-se converter graus para radianos ou radianos para graus.

Na proporção que segue, conhecido G (graus) pode-se obter R (radianos).

Na proporção que segue, conhecido R (radianos) pode-se obter G (graus).

Graus Radianos 180º está para

assim como

G está para R

Importante:

A letra grega

é usada para tornar mais cômodo quando se deseja escrever o número irracional 3,141592654.... Quando se usa

indicado por radianos, entende-se que o valor a ser considerado é seu valor, 3,141592654....

QUADRO DE TRANSFORMAÇÃO

MEDIDAS DE ÂNGULOS Símbolos

1 Graus º

Minutos

Segundos

2 Um giro completo na circunferência tem 360º

e um ângulo reto 90º

3 1 grau 1º =

60 minutos 60

4

1 minuto 1

=

60 segundos 60

TESTES

01. Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? Dados: sen10º=0,17, cos10º=0,98 e tan10º=0,18.

02. Uma escada rolante liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de 30º. Sabendo que a escada rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura entre os dois andares?

03. (UNISINOS-RS) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2 000 metros em linha reta, a altura atingida pelo avião será de, aproximadamente: Dados: sen 20º = 0,342, cos 20º = 0,94 e tan 20º = 0,364. a) 728 m b) 1 880 m c) 1 000 m d) 1 720 m e) 684 m

04. (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio.

Sendo a largura do rio 60 metros, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de:

a) 40 2

b) 45 3

c) 60 3

d) 40 3

e) 50 3

120º

B

A

Carreira Policial



100

05. (NC.UFPR) Um avião está a 450m de altura, quando se vê a cabeceira da pista sob um ângulo de declive de 30º. A que distância o avião está da cabeceira da pista? a) 450m b) 600m c) 890m d) 900m e) 800m

06. (NC.UFPR) Um prédio está sendo reformado para abrigar um hospital. Constatou-se que será necessário construir uma rampa na saída de emergência do prédio, entre o 1o andar e o nível do solo. Sabendo que o desnível é de 2,30 m, e que o ângulo de elevação da rampa em relação à horizontal deverá ser de 20º, calcule o comprimento aproximado da rampa. (São dados: sen20º = 0,34; cos20º = 0,94) a) 4,6 m b) 5,2 m c) 5,8 m d) 6,7 m e) 7,2 m

07. (UFJF) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento para medir ângulos) a 200 metros do edifício e mediu um ângulo de 30º, como indicação na figura abaixo.

Sabendo que o teodolito está a 1,5 m do solo, pode-se concluir que, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a altura do edifício em metros é: Dados: sen30º=0,5, cos30º=0,866 e tan30º=0, 577. a) 112 b) 117 c) 124 d) 115 e) 120

08. Sabendo que tg =1/4 , então a altura do muro representado na figura abaixo é igual a 3 m.

09. (UFRJ-NCE) Para determinar a altura de um morro, um topógrafo mediu os ângulos e indicados na figura abaixo (a figura não está em escala) em pontos distantes 100m um do outro. Sabendo-se que tg = 3,5 e tg = 4,0, a altura do morro é de :

a) 700m; b) 1400m; c) 1800m; d) 2800m; e) 2900m.

GABARITO

TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO 01 5,1 02 5 03 E 04 D 05 D 06 D 07 B 08 Correta 09 D

TRIÂNGULO RETÂNGULO

Elementos do triângulo:

a, b e c são os lados. A, B e C são os vértices.

A, B e C são os ângulos internos, relativos aos

respectivos vértices.

O ângulo A é igual a 90º .

B + C = 90º

A

a

n m

h

C B

A = ângulo reto = 90º

c

b

B = ângulo agudo C = ângulo agudo

30º

Carreira Policial



101

teorema de Pitágoras

O lado a é a hipotenusa e os lados b e c são os catetos

Obs.: A hipotenusa é o lado maior. È o lado oposto ao ângulo reto.

Os elementos usados na fórmula apresentada a seguir

obedecem à disposição conforme figura inicial

2c2b2a

relações métricas para o triângulo retângulo

a h = b c h2 = m n

b2 = a n c2 = a m

área ( a ) do triângulo retângulo

2

haA ou

2

cbA

perímetro ( 2p )

2p = a + b + c

UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS

graus símbolo ( º )

Um grau (1º) é definido como uma das unidades de arco, das 360 partes iguais que a circunferência foi

dividida,360

11º

Um minuto ( 1 ):Cada grau se subdivide em 60

minutos, 60

1º1' .

Um segundo (1 ): Cada minuto se subdivide em 60

segundos, 60

1'1" .

radianos símbolo ( rad )

Um radiano ( rad ) é definido como a medida de um arco igual ao comprimento do raio da circunferência a quem pertence.

Uma semi-circunferência tem como comprimento de arco, três raios e mais uma pequena parte do raio ( 0,141592... do raio ), totalizando 3,141592...raios. O número irracional 3,141592...é simbolizado comodamente pela letra grega

( = 3,141592...).

divisão em quadrantes

Fixada a origem no ponto 0º, os quadrantes são em ordem crescente registrados no sentido anti-horário ou sentido positivo.Considerando um ponto P sobre a circunferência,

P

pretence ao

1º quadrante, se 0º < P < 90º

P pretence ao 2º

quadrante, se 90º < P < 180º

P pretence ao 3º quadrante,

se 180º < P < 270º

P pretence ao 4º

quadrante, se 270º < P < 360º

Quando o ponto P coincidir com qualquer um dos pontos: 0º , 90º, 180º, 270º e 360º, dizemos que são extremos e por isso não pertencem a nenhum quadrante

ARCOS FUNDAMENTAIS POSITVOS (SENTIDO ANTI-HORÁRIO)

Circunferência dividida em arcos notáveis.

Em graus

Em radianos

CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA

0

/6

5 /4

0

3 /4

2 /3

/3

/2

5 /6

/4

7 /6

5 /6

3 /2

4 /3

7 /4

11 /6

2

I

II

III

IV

0º

360º

0

30º

225º

135º

120º

60º

90º

150º

45º

180º

210º

300º

270º

240º

315º

330º

I

II

III

IV

A

B

O

r

C = perímetro = contorno

Carreira Policial



102

da circunferência

ÁREA A

2rA

PERÍMETRO C r2C

QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS

QUADRADO

Definição

Quadrado - Todos os lados iguais e ângulos internos iguais a 90º.

do quadrado

ÁREA A

2aA

PERÍMETRO 2p

2p = 4a

DIAGONAL d

2a2a2d

RETÂNGULO

do retângulo

ÁREA A

baA

PERÍMETRO 2p

2p = 2a + 2b

DIAGONAL d

2b2a2d

LOSANGO

do losango

ÁREA A

2dD

A

PERÍMETRO 2p

2p = 4a

PARALELOGRAMO

do paralelogramo

ÁREA A

hbA

PERÍMETRO 2p

2p = 2a + 2b

TRAPÉZIO

b

a

Se, a = c o trapézio é isósceles. Se um dos lados a ( ou c ) é perpendicular às bases, o trapézio é retângulo.

B

h c

b

a a

b

h

a

N

M

A B

a

a a

Segmento AB = diagonal maior = D

Segmento MN = diagonal menor = d

b

a

d

a

b

a

a

d

a

a

Carreira Policial



103

do trapézio

ÁREA A

2

h)b(BA

PERÍMETRO 2p

2p = B + b + a + c

TRIÂNGULO EQÜILÁTERO

Definição

Triângulo eqüilátero - Todos os lados iguais e ângulos internos iguais a 60º.

do triângulo eqüilátero

ÁREA A

ou 2ha

A

ÁREA A

422a

A

PERÍMETRO 2p

2p = 3a

TRIÂNGULO ISÓSCELES

do triângulo isósceles

ÁREA A

2ha

A

PERÍMETRO 2p

2p = 2a + b

HEXAGONO REGULAR

Definição

Hexágono regular - Todos os lados iguais e ângulos internos iguais.

do hexágono regular

ÁREA A

422a

6A

PERÍMETRO 2p

2p = 6a


01. Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está 1,5 metros de altura em relação ao solo.

a) Fazer uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcular quantos metros a pessoa ainda deve

caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

Resolução: a)

b) 4 x 12,3

49,2 1,5x 18,451,5 12,3

Resposta x 20,5m

a

a

a

a

a

a

a

a a

a

a

a

a

a

b

h

a

a

a

h

4

12,3

1,5

x

Carreira Policial



104

02. Na figura a seguir são dados dois setores circulares com vértices em A e C e um quadrado com 16 cm de perímetro. Calcule a área sombreada.

O raio dos setores circulares valem metade da diagonal do quadrado.

d 2 d 16 2

dR R 8 2 cm

2

Sombreada Quadrado SetorA A 2 A

AS = 162 2. 2(8 2)

4

SA 256 64

Resposta: 2

SA 64.(4 )cm

TESTES

01. (FPP) Um círculo de raio 1 cm rola no interior de um quadrado de lado 6 cm, tocando os quatros lados do quadrado. A distância em cm percorrida pelo centro do círculo, quando ele dá uma volta completa, sem parar, forma uma outra figura.

Calculando a soma da área com o perímetro dessa nova figura formada, obtemos: a) 26 b) 48 c) 32 d) 120 e) 64

02. (UFRJ-NCE) Na figura abaixo, PQ é o diâmetro da circunferência.

O valor de + é:

a) 60º b) 90º c) 120º d) 180º e) 360º

03. (CESPE)

Um estudante precisou confeccionar, em papel, a bandeira do estado do Pará. Para isso, ele desenhou o retângulo ABCD, conforme ilustra a figura acima, e traçou, em seguida, o segmento de reta EF, de modo que o ângulo DEF medisse 120º. Nessa situação, se ele prolongasse o segmento EF para além do ponto F, marcando, no prolongamento, o ponto G, o estudante obteria um ângulo AFG de medida igual a a) 120º. b) 130º. c) 140º. d) 150º.

04. (UFRJ-NCE) Considere a figura abaixo:

A área da região hachureada é de: a) 60 m2

b) 84 m2

c) 92 m2

d) 100 m2

e) 156 m2

.

B

C

A

D

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105

05. (OBM) Joãozinho brinca de formar quadrados com palitos de fósforo como na figura a seguir.

A quantidade de palitos necessária para fazer 100 quadrados é:

a) 296 b) 293 c) 297 d) 301 e) 28

06. (MACK-SP) Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado em 100%, a área do círculo ficará aumentada em: a) 300% b) 400% c) 250% d) 100% e) 200%

07. (FAE-PR) A figura representa uma peça de metal na qual se quer fazer três furos de mesmo diâmetro, espaçados igualmente um do outro. Qual a distância entre os centros dos furos?

a) 310

b) 35 c) 16

d) 2

325

e) 2

29

08. (OBM) Quantos são os retângulos que têm os pontos A e B como vértices, e cujos vértices estão entre os pontos de interseção das 9 retas horizontais com as 9 retas verticais da figura abaixo?

a) 3 b) 4 c) 7 d) 9 e) 5

09. (OBM) São dados um tabuleiro e uma peça, como mostra a figura 1.

tabuleiro Figura 1

De quantas maneiras diferentes podemos colocar a peça no tabuleiro, de modo que cubra completamente 3 casas?

a) 16 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60

10. (OBM) As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação de 90º no sentido anti-horário.

De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2

2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

11. (OCM) A figura abaixo é um quadrado de área igual a 9 unidades. Ache a área da parte sombreada, sabendo-se que os lados do quadrado estão divididos em três partes iguais.

a) 4,5 b) 4 c) 9 d) 6 e) 12

12. (OBM) Dezoito quadrados iguais são construídos e sombreados como mostra a figura. Qual fração da área total é sombreada?

a)7/18 b)4/9 c)1/3 d)5/9 e)1/2

13. (VUNESP) A área, em cm2, de um triângulo isósceles cuja base mede 8 cm e o perímetro 18 cm é: a) 7,5 b) 10 c) 12 d) 15 e) 48

A

B

r = 10 cm

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106

14. Quantos quadrados há na figura abaixo?

15. (OBMEP) As duas peças de madeira a seguir são

iguais.

Pode-se juntar essas duas peças para formar uma peça maior, como

mostra o seguinte exemplo.

Qual das figuras abaixo representa uma peça que NÃO pode ser formada com as duas peças dadas?

a)

d)

b)

e)

c)

16. (OBM) A figura a seguir representa um Tangram, quebra-cabeças chinês formado por 5 triângulos, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Sabendo que a área do Tangram a seguir é 64 cm2, qual é a área, em cm2, da região sombreada?

a) 7,6 b) 8 c) 10,6 d) 12 e) 21,3

17. (OBM) Com a parte destacada da folha retangular ao lado, pode-se montar um cubo. Se a área da folha é 300cm2, qual é o volume desse cubo, em cm3?

18. (OBM) No quadriculado a seguir, cada quadradinho tem 1 cm2 de área.

Qual é a área e o perímetro da figura formada pelos quadradinhos pintados de cinza?

19. (UFRJ-NCE) Duas retas co-planares e paralelas são interceptadas por uma terceira reta, como mostra a figura:

O ângulo

indicado na figura é então de: a) 35º b) 45º c) 90º d) 120º e) 145º

35º

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107

20. (UFRJ-NCE) O retângulo ABCD da figura abaixo tem 10 cm2 de área. Foi desenhado nele o quadrilátero MNOP, tal que MO // BC e PN // AB. Se recortamos MNOP, a área que restará do retângulo é:

a) 2,5 cm2; b) 4 cm2; c) 5 cm2; d) 7,5 cm2; e) não há dados suficientes para calcular o seu valor.

21. (CESPE)

Na figura acima, a reta AB é paralela à reta DE, e a reta DC é paralela à reta EF. Se o menor ângulo entre as retas AB e CD é 62º, então o ângulo x, marcado na figura, mede a) 105º. b) 115º. c) 118º. d) 128º.

22. (OBMEP) José colou uma bandeirinha em cada um dos dois discos dentados que formam uma engrenagem, como mostra a figura ao lado:

Os dois discos são exatamente iguais. José girou a engrenagem, e é claro que as bandeirinhas mudaram de posição. Qual é a nova posição das duas bandeirinhas?

a)

b)

c)

d)

e)

23. (UFF) Num terreno retangular com 104 m2 de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura.

Calcule o valor de L.

24. Os diâmetros dos três semicírculos estão sobre o segmento AB, que mede 20cm. Sendo O centro do semicírculo maior e ponto de tangência dos dois menores e sabendo que AO

OB, calcule a área da região assinalada.

Calçada

Jardim

Terreno

L

L

A B

CDM

NP

O

A

B

O

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108

25. O lado do quadrado da figura a seguir mede 4 cm e os semicírculos se tangenciam no centro do quadrado. Calcule a área sombreada.

26. (ACAFE-SC) No trapézio da figura a seguir, o perímetro, em unidades de comprimento, mede:

X + 6

X

+ 1

X

X + 3

a) 32 b) 28 c) 30 d) 38 e) 18

27. (ACAFE-SC) Um terreno tem a forma e as medidas indicadas na figura a seguir. Querendo gramar 3/7 desse terreno, sendo que cada placa de grama cobre 2,5m2 do mesmo, o número de placas que se deve usar é:

60m

60m

30m

40m

a) 480 b) 720 c) 600 d) 800 e) 1200

28. (FUVEST) Na figura a seguir, ABCD é um quadrado e BCE é um triângulo eqüilátero. A medida do ângulo EAD, em graus, é:

a) 15 b) 30 c) 60 d) 75 e) 90

29. (FGV-SP) Uma pizzaria vende pizzas com preços proporcionais às suas áreas. Se a pizza média tiver raio igual a 80% do raio da grande, seu preço será: a) 59% do preço da grande. b) 64% do preço da grande. c) 69% do preço da grande. d) 74% do preço da grande. e) 80% do preço da grande.

30. A figura a seguir mostra duas circunferências concêntricas. A corda AB mede 8 cm e é tangente à circunferência menor. Calcule a área da coroa circular.

31. (FUVEST) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20% respectivamente, a área do retângulo é aumentada de:

a) 35% b) 30% c) 3,5% d) 3,8% e) 38%

32. (UEPG-PR) Sobre as sete figuras abaixo, considerando que a menor delas tem 1 u.a. de área e 4 u.c. de perímetro, assinale o que for correto.

I) ( ) O perímetro do losango é de 8 u.c.

II) ( ) A área do retângulo é de 6 u.a. III) ( ) O comprimento da

circunferência é de 4 u.c. IV) ( ) A área do paralelogramo é de 4

u.a. V) ( ) O perímetro do maior quadrado

é de 9 u.c. VI) ( ) A área do triângulo é de 6

u.a.

A

B

A

D

B

C

D

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109

33. A figura abaixo representa um esquema de 17cm por 21cm, elaborado como modelo para a confecção de uma colcha de retalhos de tecidos. As regiões indicadas na figura por A, B, C e D correspondem às cores dos tecidos a serem utilizados: A- verde; B- azul; C- amarela; D- branca. As demais regiões serão feitas com tecido de cor bege.

Sobre esse esquema, é correto afirmar:

1) A área que corresponde ao tecido de cor verde é 128cm2. 2) O comprimento de um fio dourado a ser colocado no contorno externo do tecido de cor amarela é menor que

18 2 cm. 3) A área correspondente ao tecido de cor branca é menor do que 20cm2. 4) Se o tamanho da colcha for de 1,70m por 2,10m e ela for confeccionada mediante uma ampliação do esquema, então, nessa ampliação, a área do tecido de cor azul será de 800cm2. 5) Para alterar a distribuição de cores no esquema, existem 16 possibilidades de troca daquelas mesmas 4 cores nas regiões A, B, C e D. As afirmativas corretas são: a) 1, 2, 3, 4 e 5 b) 1, 2, 3 e 4 c) 1, 3, 4 e 5 d) 1, 3 e 4 e) 2, 3, 4 e 5

34. (OBMEP) As duas figuras a seguir são formadas por cinco quadrados iguais.

Observe que elas possuem eixos de simetria, conforme assinalado a seguir.

As figuras abaixo também são formadas por cinco quadrados iguais. Quantas delas possuem pelo menos um eixo de simetria?

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

35. (OBMEP) A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é a área do polígono ABCG ?

a) 36 cm2

b) 37 cm2

c) 38 cm2

d) 39 cm2

e) 40 cm2

36. (OBMEP) Uma folha de papel retangular, de 10 cm de largura por 24 cm de comprimento, foi dobrada de forma a obter uma folha dupla, de 10 cm de largura por 12 cm de comprimento. Em seguida, a folha dobrada foi cortada ao meio, paralelamente à dobra, obtendo-se assim três pedaços retangulares. Qual é a área do maior desses pedaços? a) 30 cm2

b) 60 cm2

c) 120 cm2

d) 180 cm2

e) 240 cm2

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110

37. (OBMEP) Qual é a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?

a) 90º b) 120º c) 135º d) 150º e) 165º

38. (OBMEP) Uma formiga está no ponto A da malha mostrada na figura. A malha é formada por retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. A formiga só pode caminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retângulos. Qual é a menor distância que a formiga deve percorrer para ir de A até B?

a) 12 cm b) 14 cm c) 15 cm d) 17 cm e) 18 cm

39. Os quatro círculos da figura a seguir tem 10cm de raio e são tangentes entre si. Calcule a área sombreada.

40. (OBMEP) Para cercar um terreno retangular de 60 metros quadrados com uma cerca formada por dois fios de arame foram usados 64 metros de arame. Qual é a diferença entre o comprimento e a largura do terreno? a) 4 m b) 7 m c) 11 m d) 17 m e) 28 m

41. (OBMEP) Uma escola resolveu construir uma pista de corrida, formada por dois trechos retos de comprimento C e dois trechos semicirculares de raio igual a 10 metros, conforme indicado na figura (não se leva em conta a largura da pista).

Os alunos da escola propuseram cinco valores para C: 20 m, 25 m, 30 m, 35 m e 40 m. Para qual desses valores de C a soma dos comprimentos dos trechos retos está mais próxima da soma dos comprimentos dos trechos semicirculares? a) 20 m b) 25 m c) 30 m d) 35 m e) 40 m

42. (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de comprimento está encostado na parede vertical de um edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da base do edifício, como na figura. Se o topo da escada escorregar 4 m para baixo ao longo da parede, qual será o deslocamento do pé da escada?

a) 4 m b) 8 m c) 9 m d) 13 m e) 15 m

43. (OBMEP) A figura mostra um polígono ABCDEF no qual dois lados consecutivos quaisquer são perpendiculares. O ponto G está sobre o lado CD e sobre a reta que passa por A e E. Os comprimentos de alguns lados estão indicados em centímetros. Qual é o perímetro do polígono ABCG ?

a) 22 cm b) 23 cm c) 24 cm d) 25 cm e) 26 cm

3

4

4

4

3

A

B

C

C

20

Carreira Policial



111

44. A diagonal do quadrado inscrito no círculo mede 4cm, calcule a área da região sombreada.

45. (FCC) Uma pessoa distrai-se usando palitos para construir hexágonos regulares, na seqüência mostrada na figura abaixo.

Se ela dispõe de uma caixa com 190 palitos e usar a maior quantidade possível deles para construir os hexágonos, quantos palitos restarão na caixa? a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 31

46. (VUNESP) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. A medida do outro cateto, em centímetros, é: a) 36 b) 24 c) 12 d) 6 e) 3

47. (OBMEP) Na figura abaixo vemos uma mesa de sinuca quadriculada e parte da trajetória de uma bola, tacada a partir de um canto da mesa, de modo que, sempre, ao bater em uma das bordas da mesa, segue seu movimento formando ângulos de 45° com a borda.

Em qual das quatro caçapas a bola cairá?

48. (OBMEP) A figura ao lado mostra uma grade formada por quadrados de lado 1cm . Qual é a razão entre a área sombreada e a área não sombreada.

a)1/4 b) 1/5 c) 1/6 d) 2/5 e) 2/7

49. (FCC) Uma pessoa sai do ponto A e, passando por B e C, percorre um total de 270 m até chegar ao ponto D, como indicado na figura abaixo.

Se essa pessoa saísse de A e fosse diretamente para o ponto D, a distância total percorrida, em metros, seria de:

a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 150

50. (OBM) Seis retângulos idênticos são reunidos para formar um retângulo maior conforme indicado na figura. Qual é a área deste retângulo maior?

21 cm

a) 210 cm2

b) 280 cm2

c) 430 cm2

d) 504 cm2

e) 588 cm2

51. (UFF-RJ) Considere o retângulo ABCD de

dimensões m3BC e m4CD .

Calcule a diagonal do retângulo.

B

50 m

D

C

A

50 m

A B

CD

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112

52. (FGV-SP) Uma corda AB de um circulo mede 6 cm e a distância desta corda ao centro do circulo é de 3 cm. O raio do circulo, em centímetros, é

a) 35

b) 23 c) 8 d) 3

53. (FCC) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m2

b) 12 m2

c) 24 m2

d) 48 m2

e) 60 m2

54. (OBM) Na figura, todas as circunferências menores têm o mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as áreas cinzas

indicadas na figura. Então a razão a

b é igual a:

a

b

a) 1

2

b) 2

3

c) 1

d) 3

2

e) 2

55. (UNB-CESPE) Sobre uma rampa de inclinação constante, que tem 6 m de altura na sua parte mais alta, uma pessoa notou que, após caminhar 15 m, estava a 1,5 m de altura em relação ao solo, conforme mostra a figura que segue. Nessas condições, a distância que essa pessoa ainda terá de caminhar para chegar ao ponto mais alto dessa rampa é igual a

a) 30 m b) 38 m c) 45 m d) 35 m e) 40 m

56. (AFA) Na figura, A e B são os centros de duas circunferências tangentes exteriormente. Os raios são R = 1 m e R = 4 m. CD é uma tangente comum às duas curvas. A área do trapézio ABCD, medida em m2 , é igual a

a) 8 b) 12 c) 10 d) 16

57. (ESAF) Se o lado do quadrado é aumentado em 50%, então a área do quadrado é aumentada em:

a) 100% b) 125% c) 175% d) 225% e) 250%

58. (UFRJ-NCE) No pentágono regular da figura, as diagonais que ligam D a B e E a B serão traçadas.

O menor ângulo do triângulo DBE terá a seguinte medida: a) 36º b) 52º c) 64º d) 84º e) 116º

59. (UFRJ-NCE) De cada vértice de um hexágono regular saem três diagonais, como mostra a figura:

O número total de diagonais de um hexágono é então igual a: a) 18; b) 16; c) 12; d) 9; e) 6.

6

m

1,5

m

15 m

D

B A

C

Carreira Policial



113

(CESPE) Julgue os itens seguintes.

60. (CESPE) A interseção entre o conjunto dos múltiplos positivos de 6 e o conjunto dos divisores positivos de 60 tem 3 elementos.

61. (CESPE) Uma caixa com a forma de um paralelepípedo retângulo e dimensões iguais a 8 cm, 10 cm e 15 cm, tem volume igual a 12 dm³.

62. (CESPE) Se três números inteiros e positivos são proporcionais a 4, 6 e 10, então um desses números é igual à soma dos outros dois.

63. (CESPE) A área de um losango que possui o perímetro igual a 52 cm e que tem uma das diagonais medindo 10 cm de comprimento é igual a 120 cm².

(CESPE) Uma sala retangular de um fórum terá o piso substituído. Sabe-se que o perímetro da sala é de 40,8 m e que as dimensões

largura e comprimento

estão na proporção 5:12. Julgue os itens que se seguem, a respeito dessa sala.

64. (CESPE) O comprimento da diagonal da sala é inferior a 15 m.

65. (CESPE) Uma das dimensões da sala supera a outra em mais de 8 m.

GABARITO

01 C 02 B 03 D 04 D 05 D 06 A 07 A 08 E 09 C 10 C 11 A 12 B 13 C 14 14 15 E 16 D 17 125 18 20 e 34 19 E 20 C 21 B 22 A 23 2 24 25

25 16-4

26 D 27 B 28 A 29 B 30 16

31 E 32 FVVVFV 33 D 34 B

35 A 36 C 37 E 38 B 39 400-100

40 A 41 C 42 B 43 D 44 4 - 8 45 B 46 D 47 D 48 A 49 D 50 E 51 5 52 B 53 A 54 C 55 C 56 C 57 B 58 A 59 D 60 E 61 E 62 C 63 C 64 E 65 C

GEOMETRIA ESPACIAL

CUBO OU HAXAEDRO

dos triângulos retângulos em destaque na figura acima

2a2a2d

2a2d2D ou 2a2a2a2D

D

d

a

a

a

a

a

a

a

a

Carreira Policial



114

CUBO OU HAXAEDRO PLANIFICADO

Fórmulas para: CUBO OU HEXAEDRO F1 Área da base A b = a2

F2 Área lateral A l = 4 a2

F3 Área total A t = 6 a2

F4 Volume V = a3

PARALELEPÍPEDO RETO

PARALELEPÍPEDO RETO PLANIFICADO

Fórmulas para: PARALELEPÍPEDO RETO

F1 Área da base

A b = há três possíveis bases.Depende da informação do enunciado

F2 Área lateral A l = há três possíveis laterais.Depende da informação do enunciado

F3 Área total A t = 2ab+2ac+2bc F4 Volume V = abc

PIRÂMIDE RETA

PIRÂMIDE RETA PLANIFICADA

PIRÂMIDE RETA - DERIVATIVOS

a

a aaa

ap

a

a

ap

ap

ap

base

H

a l

a

a

a l

a p

H

d/2

a

a

a

H

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

b

a

a

b

c

b

c

c

c

b

b

c

c

c

c

D

c

b

a

c

d

Carreira Policial



115

do triângulo Pitagórico em destaque na figura acima

2

2

d2H2

la

do triângulo Pitagórico em destaque na figura acima

2

22H

2p

aa

Fórmulas para: PIRÂMIDE RETA

F1 Área da base A b = depende do formato da base

F2 Área lateral

A l = número de lados da base, vezes, a área de um triângulo isósceles.

F3 Área total A t = Ab + Al

F4 Volume V = 3

1Ab H

TESTES E EXERCÍCIOS

01. Para tratar a água armazenada em cisternas, a recomendação do Ministério da Saúde é usar duas gotas de hipoclorito de sódio para cada litro de água e deixar repousar por 30 minutos antes de consumir. Seguindo esta recomendação, quantas gotas de hipoclorito de sódio deverão ser utilizadas para tratar a água armazenada num reservatório no formato de paralelepípedo de 80 cm de frente, por 40 cm de altura e 50 cm de largura, no momento em que ele está com metade de sua capacidade total? a) 120 b) 240 c) 80 d) 160 e) 320

RESOLUÇÃO

I) Cisterna

A cisterna está ocupada com metade (altura 25 cm) do total (altura 50 cm).

II) Use a equivalência, 1 dm3 = 1 litro. Para melhor relacionar volume com capacidade, converta as medidas em cm para dm, assim:

Altura 25 cm = 2,5 dm Largura 40 cm = 4,0 dm Frente 80 cm = 8,0 dm

III) Calcule o volume (V) desse paralelepípedo retângulo.

V = largura x comprimento x altura V = 2,5 dm x 4,0 dm x 8,0 dm V = 80 dm3 equivalente a V = 80 litros

IV) Para cada litro de água utilize 2 gotas de hipoclorito de sódio, como orientado no enunciado.

80 litros x 2 gotas = 160 gotas

Resposta: letra D

02. Procura-se construir um cubo grande empilhando cubos pequenos e todos iguais. Quando se coloca um certo número de cubos pequenos em cada aresta, sobram cinco; se se tentasse acrescentar um cubo a mais em cada aresta, ficariam faltando trinta e dois. Quantos são os cubos pequenos?

Resolução: a3 + 5 = (a + 1)3 32 a3 + 5 = a3 + 3 a2 + 3a + 13 32 3 a2 + 3a + 36 = 0 a2 + a + 12 = 0 raízes: a = - 4 (não serve) a = 3 Então, como temos a3 + 5 = (a + 1)3

32, substituindo a = 3, teremos 32 cubos

03. O transporte de um determinado cereal para exportação é feito em vagões que têm a forma de um paralelepípedo retângulo com 4,00m de comprimento, 2,20m de largura e 0,80m de altura. Sabendo-se que o volume útil aproveitável de cada vagão é de 80% de seu volume total, o número de vagões necessários para transportar 140,80m3 de cereais é:

H

a/2

ap

a

a

a/2

a

O

50 cm

80 cm

40 cm

25 cm

Carreira Policial



116

Resolução: Volume Total do Vagão = 4,00 x 2,20 x 0,80 = 7,04 m3

Volume Útil do Vagão = 7,04 x 80% = = 5,63 m3

Sendo n o número de vagões temos:

140,80n

5,632

Resposta: n 25

04. Na figura a seguir, o cubo tem aresta igual a 9 cm e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como base o centro da face oposta. Se V cm3 é o

volume da pirâmide, determine 31 V.

Resolução:

TESTES

01. (UEL) Em uma unidade de atendimento a adolescentes será feito o revestimento completo das quatro paredes da cozinha com azulejos. Cada azulejo tem 0,25m de comprimento por 0,20m de largura. A cozinha possui a forma e as dimensões representadas a seguir.

Nessa cozinha as duas portas medem 1,00m por 2,00m cada uma e as duas janelas 2,50m por 1,20m cada. Considerando que deve ser acrescentado 5% do valor da área a ser azulejada para perdas com quebras de azulejos e que cada caixa de azulejos vem com 30 peças, quantas caixas serão necessárias para executar o serviço? Despreze o espaçamento de rejunte.

a) 36 b) 37 c) 38 d) 40 e) 42

02. (MACK-SP) Dispondo-se de uma folha de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta, cortando-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha. O volume dessa caixa, em cm3, será: a) 1244 b) 1828 c) 2324 d) 3808 e) 12000

03. (UF-PR ) Considere uma caixa de vidro, fechada, cujo formato interno é o de um paralelepípedo reto-retângulo, de dimensões 20 cm, 20 cm e 50 cm. A caixa contém líquido que atinge a altura de 16 cm quando uma face não quadrada está no plano horizontal. É correto afirmar que: I. A área total do interior da caixa é igual a 4800cm2. II. O volume do líquido contido na caixa é de 16 litros. III. Se for alterada a posição da caixa, de modo que uma face quadrada fique no plano horizontal, então a altura do líquido será 40 cm.

04. (UFSC).Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. A terça parte do volume da caixa, em cm3, é:

05. (FAE-PR) Um depósito tem a forma de um prisma reto trapezoidal de dimensões internas conforme a figura abaixo:

Deseja-se saber o custo da pintura interna das paredes laterais, frontal, dos fundos e teto, desprezando-se portas e janelas. Qual a área, em m2, dessa superfície? a) 1006 b) 1556 c) 878 d) 1428 e) 1070

9

9

9

21V 9 9 243

3

1V 243

3

V = 81 cm3

10

10 25

10

22 m

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06. (VUNESP-SP) Uma piscina retangular de 10 m X 15 m e fundo horizontal está com água até a altura de 1,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturado à água à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a serem usados é: a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 75

07. (NC.UF-PR) A caixa de água de um certo prédio possui o formato de um prisma reto de base quadrada com 1,6 m de altura e aresta da base medindo 2,5 m. Quantos litros de água há nessa caixa no instante em que 3/5 de sua capacidade estão ocupados? a) 2400 litros b) 4800 litros c) 5600 litros d) 6000 litros e) 7200 litros

08. (CEFET-PR) Considere um quadrado de papelão com 18 cm de lado. Cortando quadradinhos de lado x, iguais nos quatro cantos, pode-se montar uma caixa sem tampa, em forma de paralelepípedo com 288 cm2 de área. Com base nessa informação, calcule o lado do quadradinho cortado em cm:

a) 10 b) 3 c) 16 d) 9 e) 4

09. (CEFET-PR) "Para cada peixinho ornamental, você vai precisar de um litro de água", informou o vendedor. Luana deseja construir um aquário em forma de paralelepípedo retângulo para 40 peixinhos. Se a base tiver dimensões 40 cm e 20 cm. A medida da altura será igual a: a) 6 dm b) 7 dm c) 8 cm d) 5 dm e) 12 dm

10. (FEPAR

PR) O transporte de um determinado

cereal para exportação é feito em vagões que têm a forma de um paralelepípedo retângulo com 4,00 m de comprimento, 2,20 m de largura e 0,80 m de altura. Sabendo-se que o volume útil aproveitável de cada vagão é de 80% de seu volume total, o número de vagões necessários para transportar 140,80 m3 de cereais é:

a) 14 b) 18 c) 20 d) 24 e) 25

11. (OBMEP) Um bloco retangular de madeira tem 320cm de comprimento, 60cm de largura e 75cm de altura. O bloco é cortado várias vezes, com cortes paralelos às suas faces, de modo a subdividi-lo em blocos também retangulares de 80cm de comprimento por 30cmde largura por 15cm de altura.

a) Quantas peças foram obtidas?

b) Um metro cúbico dessa madeira pesa aproximadamente 900 quilogramas.

Qual é o peso de cada uma dessas peças?

12. Calcule e marque a única opção correta.

O volume ocupado por três caixas cúbicas que estão empilhadas em um depósito é de 0,192 m3. A altura, em metros, da pilha de caixas é: a) 0,4 b) 0,8 c) 1,2 d) 1,6 e) 2,4

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13.(CEFET-PR) Sigmund Sorofsof, artista um tanto eclético e temperamental, resolveu fazer uma escultura usando apenas caixas de fósforos (5 cm x 4 cm x altura = ?). Chamou sua obra de 3 litros , justificando que esse era o volume da mesma. Observando o esquema básico da escultura, na figura abaixo, podemos concluir que a altura h da escultura é de:

a) 75 cm. b) 15 cm. c) 150 cm. d) 225 cm. e) 450 cm. 14. (MACK-SP) Um prisma reto de base quadrada teve os lados da base e a altura diminuídos em 50%. O seu volume ficou diminuído de: a) 87,5% b) 50% c) 85% d) 60% e) 75%

15. (CESGRANRIO)

A figura ilustra um conjunto de cubos todos iguais cujos volumes valem 1m3. É correto afirmar que o volume do conjunto, incluindo os cubos não visíveis, em m3, vale: a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

16. (OBMEP) Na casa de Manoel há uma caixa d água vazia com capacidade de 2 metros cúbicos. Manoel vai encher a caixa trazendo água de um rio próximo, em uma lata cuja base é um quadrado de lado 30 cm e cuja altura é 40 cm, como na figura. No mínimo, quantas vezes Manoel precisará ir ao rio até encher completamente a caixa d água?

a) 53 b) 54 c) 55 d) 56 e) 57

GABARITO 01 D 02 D 03 VVV 04 64 05 A 06 B 07 D 08 B 09 D 10 E 11 a) 40

b) 32,4 12 A 13 A 14 A 15 D 16 D

GEOMETRIA ESPACIAL

CILINDRO RETO

CILINDRO RETO PLANIFICADO

2 r

H

H

r

área lateral

A2

A1

A0

2 r

r

comprimento 2 r A3

2 r

2 r

H

H

r

r

área lateral

H

r

r

h

?

5cm

5cm

4cm

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Fórmulas para: CILÍNDRO RETO F1 Área da base A b = r2

F2 Área lateral A l = 2 r H F3 Área total A t = 2 Ab + Al

F4 Volume V = Ab H

ESFERA

HEMISFÉRIOS ESFÉRICOS

Fórmulas para: ESFERA F1 Área total A = 4 R2

F2 Volume V =

3

14 R3

TESTES E EXERCÍCIOS

01. (NC.UF-PR) Se aumentarmos o diâmetro de um cilindro em 20%, quanto aumentará seu volume? a) 44% b) 40% c) 33% d) 24% e) 20%

02. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado por: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15

03. (PUC-SP) O retângulo ABCD seguinte, representado num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).

Girando-se esse retângulo em torno do eixo das ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é: a) 24

b) 32

c) 36

d) 48

e) 96

04. (UEM - PR) Um barril de bebida tem a forma de um cilindro, cuja altura mede 28 cm e o raio da base mede 10 cm. Se dois consumidores bebem, diariamente 25

ml cada um, do conteúdo do barril, o tempo gasto, em dias, para esvaziarem o barril será de...

05. (UDESC) Uma caixa d água tem a forma de um cilindro, medindo internamente 60 dm de diâmetro e 15 dm de altura. Estando a água até 2/3 da altura interna, quantos litros de água estão na caixa? (Dados: = 3,14 e 1litro = 1 dm3) a) 113.040 b) 2.826 c) 28.260 d) 11.304 e) 6.280

06. (FUVEST-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é: a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

R

diâmetro = 2R

Hemisfério

inferior

O R

O R

Hemisfério

superior

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07. (UEL

PR) Certa peça de um motor é feita de aço

maciço e tem a forma de três cilindros retos, de alturas iguais, um sobre o outro. Se a peça for seccionada por um plano contendo os centros das bases dos cilindros, tem-se a situação abaixo ilustrada:

Raio = c

Raio = b

Raio = a

30 cmaltura total

a = 9cm

b = a23

c = b23

O volume dessa peça, em centímetros cúbicos, é: a) 1580

b) 1330

c) 1170

d) 970

e) 190

08. (FUVEST-SP) No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio 2. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é:

a) 8 b) 26 c) 28 d) 34 e) 36

09. (UFAL) Se o volume de uma esfera é 288

cm3, a medida de seu diâmetro é, em cm, igual a: a) 6 b) 12

c) 66 d) 612

e) 624

10. (FAE-PR) Um fabricante de extintores produz um modelo pequeno, cujo corpo é um cilindro circular reto de altura 22 cm e diâmetro das bases 8cm, nas quais há semi-esferas de diâmetro também 8cm. Adotando-se = 3, qual a capacidade, em cm3, desse extintor? a) 1248 b) 1312 c) 1632 d) 1696 e) 6272

11. (UFTPR) A indústria de bolas de borracha Cilimbola quer produzir embalagens cilíndricas para colocar 3 bolas com 3 cm de raio cada, conforme a figura. A quantidade total de material utilizado para o fabrico da embalagem, incluindo a tampa, em cm2, será de: a) 126 . b) 108

c) 127 . d) 72

e) 90

12. (UFRJ-NCE) Um silo para armazenar grãos possui a forma de um cilindro de raio 30m e altura 50m com uma semi-esfera no topo, conforme a figura abaixo. A capacidade desse silo é de:

a) 1500 m3; b) 45000 m3; c) 63000 m3; d) 76000 m3; e) 90000 m3;

13. (FAE-PR) O basquetebol é um esporte muito praticado em escolas, clubes e praças públicas. Suponha, para simplificação dos cálculos, que o diâmetro interno do aro da cesta meça 44 cm e tenha circunferência 10% maior que a da bola. Nessa situação, qual seria a área da superfície da bola?

a) 3

400 cm2

b) 3

1600cm2

c) 100 cm2

d) 400

cm2

e) 1600 cm2

R

H

A

B

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14. Uma empresa de transporte armazena seu combustível em um reservatório cilíndrico enterrado horizontalmente. Seu conteúdo é medido com uma vara graduada em vinte intervalos, de modo que a distância entre duas graduações consecutivas representa sempre o mesmo volume.

A ilustração que melhor representa a distribuição das graduações na vara é:

(A) (B) (C) (D) (E)

GABARITO 01 A 02 C 03 E 04 112 05 C 06 D 07 B 08 A 09 B 10 B 11 A 12 C 13 E 14 A

RACIOCÍNIO LÓGICO

01. (CESGRANRIO) Sejam a, b e c números reais distintos, sobre os quais afirma-se: I - Se b > a e c > b, então c é o maior dos três números. II - Se b > a e c > a, então c é o maior dos três números. III - Se b > a e c > a, então a é o menor dos três números. É(São) correta(s) a(s) afirmativa(s): a) I, somente. b) II, somente. c) III, somente. d) I e III, somente. e) I, II e III.

02. (AFR-ICMS-SP) Cinco ciclistas apostaram uma corrida. - A chegou depois de B. - C e E chegaram juntos. - D chegou antes de B. - Quem ganhou, chegou sozinho. a) A b) B c) C d) D e) E

03.(CESGRANRIO) Considere as seguintes afirmações: W > Z, U < X, Z < Y e Z > X, a partir das quais, pode-se dizer com certeza que:

I. W > U II. W > Y

III. Y > U Analise a veracidade das afirmações e assinale a alternativa correta. a) Somente a afirmação I é verdadeira. b) As afirmações I e III são verdadeiras. c) As afirmações I e II são verdadeiras. d) Somente a afirmação III é verdadeira.

04. (AFR-ICMS-SP) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana, Fátima corre tanto quanto Juliana. Logo: a) Fátima corre menos que Rita. b) Marta corre mais do que Juliana. c) Juliana corre menos do que Rita. d) Fátima corre mais do que Marta. e) Juliana corre manos do que Marta.

05.(FCC) Cinco times

Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite

disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que: - Antares está em primeiro lugar e Bilbao está em quinto; - Cascais está na posição intermediária entre Antares e Bilbao; - Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais. Nessas condições, é correto afirmar que a) Cascais está em segundo lugar. b) Deli está em quarto lugar. c))Deli está em segundo lugar. d) Elite está em segundo lugar. e) Elite está em terceiro lugar.

06. (AFR-ICMS-SP) Cátia é mais gorda do que Bruna. Vera é menos gorda do que Bruna. Logo: a) Vera é mais gorda do que Bruna. b) Cátia é menos gorda do que Bruna. c) Bruna é mais gorda do que Cátia. d) Vera é menos gorda do que Cátia. e) Bruna é menos gorda do que Vera.

07. (ESAF) Quatro meninas que formam uma fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul. A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente: a) amarelo e verde b) azul e verde c) preto e azul d) verde e preto e) preto e amarelo

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08. (VUNESP) Hoje, o preço do quilograma de feijão é mais alto que o preço do quilograma de arroz. O dinheiro que Leo possui não é suficiente para comprar 5 quilogramas de arroz. Baseando- se apenas nessas informações, pode-se concluir que o dinheiro de Leo a) é suficiente para comprar 4 quilogramas de feijão. b) é suficiente para comprar 4 quilogramas de arroz. c) não é suficiente para comprar 3 quilogramas de feijão. d) não é suficiente para comprar 2 quilogramas de arroz. e) não é suficiente para comprar 5 quilogramas de feijão.

09. (OBM) A respeito da resposta de um problema, Maurício, Paulo, Eduardo e Carlos fizeram as seguintes afirmações: I) Maurício: É maior que 5. II) Paulo: É menor que 10. III) Eduardo: É um número primo. IV) Carlos: É maior que 12. Entre as afirmações acima, quantas, no máximo, podem ser verdadeiras? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

10. (FCC) Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luís, Paula e João, sabe-se que: - Ana chegou antes de Paula e Luís. - Paula chegou antes de João. - Cláudia chegou antes de Ana. - João não foi o último a chegar. Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório para o trabalho foi: a) Ana. b) Cláudia. c) João. d) Luís. e) Paula.

11 . (FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D e E, com as distâncias dadas em quilômetros:

Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, sem passar duas vezes pela mesma cidade, a menor distância que poderá ser percorrida para chegar a B é, em quilômetros, a) 68 b) 69 c) 70 d) 71 e) 72

12. (FCC) Em um concurso, João, Pedro e Lígia tentam adivinhar um número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua chance de vitória é o número a) 2 b) 3 c) 5 d) 6 e) 8

13. (FCC) Com relação a três funcionários do Tribunal, sabe-se queI. João é mais alto que o recepcionista;II. Mário é escrivão;III. Luís não é o mais baixo dos três;IV. um deles é escrivão, o outro recepcionista e o outro segurança.Sendo verdadeiras as quatro afirmações, é correto dizer que: a) João é mais baixo que Mário. b) Luís é segurança. c) Luís é o mais alto dos três. d) João é o mais alto dos três. e) Mário é mais alto que Luís.

14. (VUNESP) Fábio, Antonio, Joaquim e Bernardo moram em casas separadas, todas localizadas no mesmo lado de uma rua retilínea. Sabe-se que a casa de Fábio localiza-se entre a casa de Joaquim e a casa de Bernardo. Sabe-se também que a casa de Joaquim localiza-se entre a casa de Bernardo e a casa de Antonio. Logo, a casa de a) Fábio fica entre as casas de Antonio e de Joaquim. b) Joaquim fica entre as casas de Fábio e de Bernardo. c) Bernardo fica entre as casas de Joaquim e de Fábio. d) Antonio fica entre as casas de Bernardo e de Fábio. e) Joaquim fica entre as casas de Antonio e de Fábio.

15. (UEL) Cada um dos três assessores administrativos de uma prefeitura (Paulo, Cristiano e Lucas) recebeu uma tarefa diferente. O prefeito solicitou um orçamento para o novo dos três. Lucas recebeu a tarefa de elaborar um parecer. Ao Paulo, que não é o mais velho, não foi solicitado que fizesse um orçamento. A partir dessas informações, é correto afirmar: a) O prefeito solicitou um orçamento para Paulo. b) Lucas não é o mais velho. c) Paulo é o mais novo. d) Cristiano recebeu do prefeito a solicitação de um orçamento. e) Cristiano é o mais velho.

16. (OBM) Quatro carros, de cores amarela, verde, azul e preta, estão em fila. Sabe-se que o carro que está imediatamente antes do carro azul é menor do que o que está imediatamente depois do carro azul; que o carro verde é o menor de todos; que o carro verde está depois do carro azul; e que o carro amarelo está depois do preto. O primeiro carro da fila: a) é amarelo. b) é azul. c) é preto. d) é verde. e) não pode ser determinado apenas com esses dados.

A

C

B

D

E

13

9

14

5

6

7

8

10

4

4

7

3

3

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17. (VUNESP) Considere a seguinte afirmação: Todos os irmãos de André têm mais de 180 cm de altura. Dessa afirmação, pode-se concluir que a) se Bernardo é irmão de André, então a altura de Bernardo é menor que 180 cm. b) se a altura de Caetano é maior que 180 cm, então ele é irmão de André. c) se a altura de Dario é menor que 180 cm, então ele não é irmão de André. d) a altura de André é maior que 180 cm. e) a altura de André é menor que 180 cm.

18. Um grupo de 4 pessoas, Andréia, Bruna, Carla e Daniela chegam em um carro à casa de uma amiga que está dando uma grande festa. Está chovendo muito e o grupo é forçado a estacionar a quatro quadras de distância por causa do grande número de carros das pessoas da festa. O grupo tem apenas um guarda-chuva que terá que ser utilizado por todas. Sabendo que Andréia é a mais rápida e faz o percurso do carro até a casa ou da casa até o carro em 1 minuto, Bruna leva 2 minutos, Carla leva 5 minutos e Daniela 10 minutos, e que apenas duas pessoas podem usar o guarda-chuva por percurso, qual o tempo mínimo para que o grupo todo saia do carro e chegue à festa? Qual a ordem usada para obter este tempo?

19. (ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: André foi o primeiro; Beto foi o segundo

Juiz 2: André foi o segundo; Dênis foi o terceiro

Juiz 3: Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto

Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto, Dênis b) André, Caio, Dênis, Beto c) Beto, André, Dênis, Caio d) Beto, André, Caio, Dênis e) Caio, Beto, Dênis, André

20. (OBMEP) Luíza, Maria, Antônio e Júlio são irmãos. Dois deles têm a mesma altura. Sabe-se que: - Luíza é maior que Antônio - Maria é menor que Luíza - Antônio é maior do que Júlio - Júlio é menor do que Maria. Quais deles têm a mesma altura? a) Maria e Júlio b) Júlio e Luíza c) Antônio e Luíza d) Antônio e Júlio e) Antônio e Maria

21. (OBMEP) Na reta abaixo estão representados os cinco números a, b, m, n, p e q.

Então os números que melhor representam , a+ b, a- b e ab são, respectivamente, a) m, p e q b) m, q e p c) n, q e p d) n, p e q e) q, m e p

22. (OBM) Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas . Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos? a) 7 b) 10 c) 12 d)13 e)14

23. (FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de pratos, um peso de ½ kg, um de 2 kg e um de 3 kg.

Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de açúcar é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

24. (FCC) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e, para calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas em um dos pratos de uma balança e o restante junto com uma barra de ferro de 546 gramas, no outro prato. Com isso, os pratos da balança ficaram totalmente equilibrados. O peso de cada bola, em gramas, é um número a) maior que 190. b) entre 185 e 192. c) entre 178 e 188. d) entre 165 e 180.

q

0

p

1/2

a

b

1

m

2

n

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25. (ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único instrumento disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os pesos metálicos. Realizando uma única pesagem, é possível montar pacotes de: a) 3 kg b) 4 kg c) 6 kg d) 8 kg e) 12 kg

26. (ENEM) Um armazém recebe sacos de açúcar de 24 kg para que sejam empacotados em embalagens menores. O único instrumento disponível para pesagem é uma balança de dois pratos, sem os pesos metálicos. Realizando exatamente duas pesagem, os pacotes que podem ser feitos são os de: a) 3 kg, 6 kg e 12 kg b) 3 kg e 6 kg c) 6 kg, 12 kg e 18 kg d) 4 kg e 8 kg e) 4 kg, 6 kg e 8 kg

27. (OBM) Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: Este feirante consegue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas . Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verdadeira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos? a) 7 b) 10 c) 12 d)13 e)14

28. (FCC) Observe a figura seguinte:

Qual figura é igual à figura acima representada?

a)

b)

c)

d)

e)

29. (FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:

Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número: a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9

30. (FCC) O desenho seguinte mostra a planificação de um cubo que apresenta um número pintado em cada face, como é mostrado na figura que segue.

A partir dessa planificação, qual dos seguintes cubos pode ser montado?

a)

b)

c)

d)

e)

31. (FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as características descritas é (são):

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a) I b) I e lI. c) I e III. d) II e III. e) I, II, III

32. (FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais.

A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é: a) 7 b) 8 c) 9 d) 11 e) 12

33 . Na figura, as faces em contato de dois dados possuem o mesmo número.

Se a soma dos números nas faces opostas de cada dado é sempre igual a 7, a maior soma possível dos números nas três faces sombreadas da figura é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 11 e) 15

34. (OBM) A figura abaixo foi desenhada em cartolina e dobrada de modo a formar um cubo.

Qual das alternativas mostra o cubo assim formado?

a)

b)

c)

d)

e)

35. (OBMEP) Para montar um cubo, Guilherme recortou um pedaço de cartolina branca e pintou de cinza algumas partes, como na figura ao lado. Qual das figuras abaixo representa o cubo construído por Guilherme?

a)

d)

b)

e)

c)

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36. (OBMEP) As doze faces de dois cubos foram marcadas com números de 1 a 12, de modo que a soma dos números de duas faces opostas em qualquer um dos cubos é sempre a mesma. Joãozinho colou duas faces com números pares, obtendo a figura ao lado. Qual o produto dos números das faces coladas?

a) 42 b) 48 c) 60 d) 70 e) 72

37. (CESGRANRIO) Um certo jogo consiste em colocar onze pessoas em círculo e numerá-las de 1 a 11. A partir da pessoa que recebeu o número 1, incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural dos números, e cada 3a pessoa é eliminada, ou seja, são eliminadas as pessoas de números 3, 6 etc. Depois de iniciada, a contagem não será interrompida, ainda que se complete uma volta. Nesse caso, a contagem continua normalmente com aqueles que ainda não foram eliminados. Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de número: a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

38. (FCC) Em um corredor há 30 armários, numerados de 1 a 30, inicialmente todos fechados. Suponha que 30 pessoas, numeradas de 1 a 30, passem sucessivamente por esse corredor, comportando-se da seguinte maneira: a pessoa de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, a de número 3 reverte o estado dos armários de números 3, 6, 9, 12, ..., 30, abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Nessas condições, após todas as pessoas passarem uma única vez pelo corredor, o total de armários que estarão abertos é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

39. (FCC) Um mágico pede que um voluntário conte o total de palitos de uma caixa de fósforo, como a da figura. Em seguida, ele pede que a pessoa subtraia do total encontrado a soma do dígito da unidade com o da dezena.

Se o mágico pretende afirmar algo necessariamente correto sobre o número final obtido após os cálculos do voluntário, poderá dizer que o número é: a) múltiplo de 4. b) múltiplo de 9. c) divisível por 6. d) ímpar. e) primo.

40. (ESAF-MPU) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é a) 6. b) 4. c) 2. d) 8. e) 10.

41. (OBM) Numa caixa havia várias bolas, sendo 5 azuis, 4 amarelas, 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato retirou 3 bolas da caixa. Sabendo que nenhuma delas era azul, nem amarela, nem preta, podemos afirmar a respeito dessas 3 bolas que: a) são da mesma cor. b) são vermelhas. c) uma é vermelha e duas são brancas. d) uma é branca e duas são vermelhas. e) pelo menos uma é vermelha.

42. (OBM) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: As meias retiradas contenham um par da mesma cor? a) 5 b) 6 c) 2 d) 3 e) 7

43. (OBM) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: As meias retiradas contenham um par de cor branca?

a) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7

CABEÇA QUENTE

fósforo

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44. (FCC-TRF) Nas figuras seguintes têm-se três malhas quadriculadas, nas quais cada número assinalado indica o total de caminhos distintos para atingir o respectivo ponto, caminhando sobre a rede de cima para baixo, a partir do ponto A.

A

2

11

A

1 1

1 1

3

6

32

A

1 1

1 1

3 32

B

rede 1 x 1

rede 2 x 2

rede 3 x 3

Raciocinando dessa maneira, quantos caminhos diferentes podem ser percorridos na rede 3 x 3, para se atingir o ponto B? a) 10 b) 15 c) 20 d) 35 e) 70

45. (FCC) Uma propriedade lógica define a sucessão das seguintes cidades sergipanas: JAPARATUBA, ITAPORANGA, LAGARTO, CARMÓPOLIS, X. Escolha a alternativa que substitui X dentro da lógica do problema: a) ARAUÁ b) ESTÂNCIA c) BOQUIM d) ITABAIANA e) CRISTINÁPOLIS

46. (FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica: HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO, .............. Determine a alternativa que preenche logicamente a lacuna: a) PÉS b) MÃO c) COSTAS d) BRAÇO e) TRONCO

47. Na seqüência (1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...) o número que sucede 22 é:

a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32

48. (FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica, escolhendo a alternativa que substitui X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, X". a) Camarão. b) Casa. c) Homero. d) Zeugma. e) Eclipse.

49. (FCC) São dados três grupos de 4 letras cada um: (MNAB) : (MODC) :: (EFRS) :

Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e Y, então o grupo de quatro letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que o segundo tem com o primeiro é

a) (EHUV) b) (EGUT) c) (EGVU) d) (EHUT) e) (EHVU)

50. (AFR-ICMS-SP) Observe a figura a seguir e verifique que a faixa é formada por três linhas de quadradinhos em que a primeira e terceira linhas são apenas por quadradinhos brancos. A segunda linha alterna quadradinhos brancos e pretos.

O número de quadradinhos brancos necessários para uma faixa completa, de acordo com a figura, mas contendo 60 quadradinhos pretos é: a) 292 b) 297 c) 300 d) 303 e) 480

51. (FCC) Observe atentamente a tabela:

De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

52. (FCC) Na figura abaixo tem-se um conjunto de ruas paralelas às direções Ie II indicadas.

Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direção I, a outra metade na direção II. Continuam a caminhada e, em cada cruzamento, todos os que chegam se dividem prosseguindo metade na direção I e metade na direção II. O número de pessoas que chegarão nos cruzamentos A e B são, respectivamente, a) 15 e 20 b) 6 e 20 c) 6 e 15 d) 1 e 15 e) 1 e 6

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53. (FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.

Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é a) P b) Q c) R d) S e) T

54.(FCC) A figura a seguir apresenta algumas letras disposta em triângulo, segundo determinado critério.

I

L J

H G F

? __ N __

E D C B A

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letras K, Y e W, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: a) P b) O c) N d) M e) L

55. (FCC) Observe que a sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo um lei de formação.

4 8 5 X 7 14 11

4 12 10 Y 28 84 82

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a:

a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48

56. (FCC) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo um mesmo padrão de construção:

a)

d)

b)

e)

c)

57.(FCC) Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo um determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

?

a)

b)

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58. (FCC) Quando somamos um número da tabuada do 4 com um número da tabuada do 6, necessariamente obtemos um número da tabuada do: a) 2 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12

59. (FCC) Um funcionário executa uma tarefa a cada 4 dias de trabalho. A primeira vez que fez essa tarefa foi em uma quinta-feira, a segunda vez foi em uma quarta-feira, a terceira em uma terça-feira, a quarta em um sábado, e assim por diante. Sabendo-se que não houve feriados no período indicado e que o funcionário folga sempre no(s) mesmo(s) dia(s) da semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s) ocorre(m) apenas: a) segunda-feira. b) sexta-feira. c) domingo. d) domingo e sexta-feira. e) domingo e segunda-feira.

60. (FCC)

Então o produto entre uma bola, um triângulo e um quadrado, é:

a) 160 b) 135 c) 120 d) 108 e) 100

61. (FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três símbolos diferentes:

Sabe-se que: 3- cada símbolo representa um número; - a soma dos correspondentes números representados na 1ª linha é 16; - a soma dos correspondentes números representados na 3ª coluna é 18; - a soma de todos os correspondentes números no quadrado é 39. Nas condições dadas, o valor numérico do

símbolo é a) 8 b) 6 c) 5 d) 3 e) 2

62. (FCC) Tem-se abaixo o algoritmo da multiplicação de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Para que o resultado esteja correto, os algarismos X, Y, Z e T devem ser tais que

a) X 3T Y

Z b) X 2Y 3T Z c) Y 3T

X Z d) Y 2T 2X Z e) Z 2Y 3X Z

63. (OBM) Para fazer 12 bolinhos, preciso exatamente de 100g de açúcar, 50g de manteiga, meio litro de leite e 400g de farinha. A maior quantidade desses bolinhos que serei capaz de fazer com 500g de açúcar, 300g de manteiga, 4 litros de leite e 5 quilogramas de farinha é:

a) 48 b) 60 c) 72 d) 54 e) 42

64. (OBM) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de 1 litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Até quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias?

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

3 X 1 6

Y 4 1 5 2 6 4

2 6 Z 1 T

2 8 2 3 8 4

+

x

e)

c)

d)

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65. .Um tijolo pesa um quilo mais meio tijolo. Quanto pesa um tijolo e meio?

66. (ESAF) Nos sistemas de numeração posicional, cada dígito da seqüência que representa o número pode ser interpretado como o coeficiente de uma potência da base, onde o valor do expoente depende da posição do dígito na seqüência. Entre tais sistemas, um dos mais importantes é o binário, ou de base 2, que utiliza apenas os dígitos 0 e 1 na notação dos números. Por exemplo, o número que corresponde ao 11 do sistema decimal, é indicado por 1011 no sistema binário, pois 11 (decimal) é igual a (1 x 23) + (0 x 22) + (1 x 21) + (1 x 20) Assim, o resultado, expresso no sistema decimal, da adição dos números binários 1011 e 101 será igual a a) 15 b) 13 c) 14 d) 12 e) 16

67. Chiquinha escreveu a palavra ATRAPALHA repetidamente, justapondo letras maiúsculas conforme indicado abaixo: ATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAATRAPALHAAT... Cansada de repetir, parou na milésima letra. Não se atrapalhe, e calcule quantas letras A escreveu. a) 434 b) 454 c) 445 d) 554 e) 444

68. (FCC) Os dois pares de palavras foram formadas segundo um determinado critério.

lacração ---- cal

amostra ---- soma

lavra ---- ?

Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o ponto de interrogação é: a) alar b) rala c) ralar d) larva e) arval

GABARITO 01 D 02 D 03 B 04 D 05 C 06 D 07 C 08 E 09 D 10 E 11 E 12 B 13 D 14 E 15 D 16 C 17 C 18 17 19 B 20 E 21 B 22 D 23 E 24 C 25 E 26 C 27 D 28 D 29 A 30 B 31 D 32 A 33 E 34 B 35 C 36 C 37 C 38 B 39 B 40 A 41 E 42 D 43 A 44 C 45 C 46 A 47 B 48 C 49 B 50 D 51 B 52 B 53 E 54 A 55 A 56 B 57 C 58 A 59 E 60 B 61 E 62 A 63 E 64 D 65 3 66 E 67 C 68 E

20080701142901 pacher cp apostila matematica

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