matematica cp 3s vol2reduzido

caderno doPROFESSOR

mat

Emát

ica

ensino médio

volume 2 – 20093a- SÉRiE

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São Paulo (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do professor: matemática, ensino médio - 3ª- série, volume 2 / Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.

ISBN 978-85-7849-298-4

1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês. II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore. IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter. VII. Título.

CDU: 373.5:51

S239c

GovernadorJosé Serra

Vice-GovernadorAlberto Goldman

Secretário da EducaçãoPaulo Renato Souza

Secretário-AdjuntoGuilherme Bueno de Camargo

Chefe de GabineteFernando Padula

Coordenadora de Estudos e NormasPedagógicasValéria de Souza

Coordenador de Ensino da RegiãoMetropolitana da Grande São PauloJosé Benedito de Oliveira

Coordenador de Ensino do InteriorRubens Antonio Mandetta

Presidente da Fundação para oDesenvolvimento da Educação – FDEFábio Bonini Simões de Lima

EXECUÇÃO

Coordenação GeralMaria Inês Fini

ConcepçãoGuiomar Namo de MelloLino de MacedoLuis Carlos de MenezesMaria Inês FiniRuy Berger

GESTÃO

Fundação Carlos Alberto Vanzolini

Presidente do Conselho Curador:Antonio Rafael Namur Muscat

Presidente da Diretoria Executiva:Mauro Zilbovicius

Diretor de Gestão de Tecnologias aplicadas à Educação:Guilherme Ary Plonski

Coordenadoras Executivas de Projetos:Beatriz Scavazza e Angela Sprenger

COORDENAÇÃO TéCNiCA

CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas

A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos* deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.

* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.

Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas

Coordenação do Desenvolvimento dosConteúdos Programáticos e dos Cadernos dos ProfessoresGhisleine Trigo Silveira

AUTORES

Ciências Humanas e suas Tecnologias

Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton Luís Martins e Renê José Trentin Silveira

Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo, Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas

História: Paulo Miceli, Diego López Silva, Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e Raquel dos Santos Funari

Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe, Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina Schrijnemaekers

Ciências da Natureza e suas Tecnologias

Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares de Camargo

Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto, Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro, Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão, Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume

Física: Luis Carlos de Menezes, Sonia Salem, Estevam Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira, Maxwell Roger da Purificação Siqueira e Yassuko Hosoume

Química: Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza, Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Eunice Ribeiro Marcondes, Maria Fernanda Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião

Linguagens, Códigos e suas Tecnologias

Arte: Geraldo de Oliveira Suzigan, Gisa Picosque, Jéssica Mami Makino, Mirian Celeste Martins e Sayonara Pereira

Educação Física: Adalberto dos Santos Souza, Carla de Meira Leite, Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches Neto, Mauro Betti, Renata Elsa Stark e Sérgio Roberto Silveira

LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues, Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo

Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar, José Luís Marques López Landeira e João Henrique Nogueira Mateos

Matemática

Matemática: Nílson José Machado, Carlos Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli

Caderno do Gestor

Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e Zuleika de Felice Murrie

Equipe de Produção

Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza

Assessores: Alex Barros, Antonio Carlos de Carvalho, Beatriz Blay, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo Roberto da Cunha, Pepita Prata, Ruy César Pietropaolo, Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti

Equipe EditorialCoordenação Executiva: Angela Sprenger

Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa

Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie

Edição e Produção Editorial: Conexão Editorial, Edições Jogo de Amarelinha e Occy Design (projeto gráfico)

APOiOFDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação

CTP, Impressão e Acabamento

Esdeva Indústria Gráfica

Prezado(a) professor(a),

Vinte e cinco anos depois de haver aceito o convite do nosso saudoso e querido Governador Franco Montoro para gerir a Educação no Estado de São Paulo, nova-mente assumo a nossa Secretaria da Educação, convocado agora pelo Governador José Serra. Apesar da notória mudança na cor dos cabelos, que os vinte e cinco anos não negam, o que permanece imutável é o meu entusiasmo para abraçar novamente a causa da Educação no Estado de São Paulo. Entusiasmo alicerçado na visão de que a Educação é o único caminho para construirmos um país melhor e mais justo, com oportunidades para todos, e na convicção de que é possível realizar grandes mudanças nesta área a partir da ação do poder público.

Nos anos 1980, o nosso maior desafio era criar oportunidades de educação para todas as crianças. No período, tivemos de construir uma escola nova por dia, uma sala de aula a cada três horas para dar conta da demanda. Aliás, até recentemente, todas as políticas recomendadas para melhorar a qualidade do ensino concentravam-se nas condições de ensino, com a expectativa de que viessem a produzir os efeitos desejados na aprendiza-gem dos alunos. No Brasil e em São Paulo, em particular, apesar de não termos atingido as condições ideais em relação aos meios para desenvolvermos um bom ensino, o fato é que estamos melhor do que há dez ou doze anos em todos esses quesitos. Entretanto, os indicadores de desempenho dos alunos não têm evoluído na mesma proporção.

O grande desafio que hoje enfrentamos é justamente esse: melhorar a qualidade de nossa educação pública medida pelos indicadores de proficiência dos alunos. Não estamos sós neste particular. A maioria dos países, inclusive os mais desenvolvidos, es-tão lidando com o mesmo tipo de situação. O Presidente Barack Obama, dos Estados Unidos, dedicou um dos seus primeiros discursos após a posse para destacar exata-mente esse mesmo desafio em relação à educação pública em seu país.

Melhorar esses indicadores, porém, não é tarefa de presidentes, governadores ou secretários. É dos professores em sala de aula no trabalho diário com os seus alunos. Este material que hoje lhe oferecemos busca ajudá-lo nesta sua missão. Foi elaborado com a ajuda de especialistas e está organizado em bimestres. O Caderno do Professor oferece orientação completa para o desenvolvimento das Situações de Aprendizagem propostas para cada disciplina.

Espero que este material lhe seja útil e que você leve em consideração as orientações didático-pedagógicas aqui contidas. Estaremos atentos e prontos para esclarecer suas dúvidas e acatar suas sugestões para melhorar a eficácia deste trabalho.

Alcançarmos melhores indicadores de qualidade em nosso ensino é uma questão de honra para todos nós. Juntos, haveremos de conduzir nossas crianças e jovens a um mundo de melhores oportunidades por meio da educação.

Paulo Renato SouzaSecretário da Educação do Estado de São Paulo

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4

SuMário

São Paulo faz escola – uma Proposta Curricular para o Estado 5

Ficha do Caderno 7

orientação geral sobre os Cadernos 8

Situações de Aprendizagem 13

Situação de Aprendizagem 1 – A equação de 3º- grau e o aparecimento natural dos números complexos 13

Situação de Aprendizagem 2 – Das fórmulas à análise qualitativa: relações entre coeficientes e raízes 21

Situação de Aprendizagem 3 – Equações e polinômios: divisão por x – k e redução do grau da equação 26

Situação de Aprendizagem 4 – Números complexos: representação no plano e significado das operações (translações, rotações, ampliações) 35

Orientações para Recuperação 50

Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para a compreensão do tema 51

Considerações finais 52

Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio 53


5

São PAulo FAz ESColA – uMA ProPoStA CurriCulAr PArA o EStAdo

Prezado(a) professor(a),

É com muita satisfação que apresento a todos a versão revista dos Cadernos do

Professor, parte integrante da Proposta Curricular de 5a a 8a séries do Ensino Fun-

damental – Ciclo II e do Ensino Médio do Estado de São Paulo. Esta nova versão

também tem a sua autoria, uma vez que inclui suas sugestões e críticas, apresentadas

durante a primeira fase de implantação da proposta.

Os Cadernos foram lidos, analisados e aplicados, e a nova versão tem agora a medida

das práticas de nossas salas de aula. Sabemos que o material causou excelente impacto

na Rede Estadual de Ensino como um todo. Não houve discriminação. Críticas e suges-

tões surgiram, mas em nenhum momento se considerou que os Cadernos não deveriam

ser produzidos. Ao contrário, as indicações vieram no sentido de aperfeiçoá-los.

A Proposta Curricular não foi comunicada como dogma ou aceite sem restrição.

Foi vivida nos Cadernos do Professor e compreendida como um texto repleto de sig-

nificados, mas em construção. Isso provocou ajustes que incorporaram as práticas e

consideraram os problemas da implantação, por meio de um intenso diálogo sobre o

que estava sendo proposto.

Os Cadernos dialogaram com seu público-alvo e geraram indicações preciosas

para o processo de ensino-aprendizagem nas escolas e para a Secretaria, que gerencia

esse processo.

Esta nova versão considera o “tempo de discussão”, fundamental à implantação

da Proposta Curricular. Esse “tempo” foi compreendido como um momento único,

gerador de novos significados e de mudanças de ideias e atitudes.

Os ajustes nos Cadernos levaram em conta o apoio a movimentos inovadores, no

contexto das escolas, apostando na possibilidade de desenvolvimento da autonomia

escolar, com indicações permanentes sobre a avaliação dos critérios de qualidade da

aprendizagem e de seus resultados.


6

Sempre é oportuno relembrar que os Cadernos espelharam-se, de forma objetiva,

na Proposta Curricular, referência comum a todas as escolas da Rede Estadual, reve-

lando uma maneira inédita de relacionar teoria e prática e integrando as disciplinas

e as séries em um projeto interdisciplinar por meio de um enfoque filosófico de Edu-

cação que definiu conteúdos, competências e habilidades, metodologias, avaliação e

recursos didáticos.

Esta nova versão dá continuidade ao projeto político-educacional do Governo de

São Paulo, para cumprir as 10 metas do Plano Estadual de Educação, e faz parte das

ações propostas para a construção de uma escola melhor.

O uso dos Cadernos em sala de aula foi um sucesso! Estão de parabéns todos os que

acreditaram na possibilidade de mudar os rumos da escola pública, transformando-a

em um espaço, por excelência, de aprendizagem. O objetivo dos Cadernos sempre será

apoiar os professores em suas práticas de sala de aula. Posso dizer que esse objetivo foi

alcançado, porque os docentes da Rede Pública do Estado de São Paulo fizeram dos

Cadernos um instrumento pedagógico com vida e resultados.

Conto mais uma vez com o entusiasmo e a dedicação de todos os professores, para

que possamos marcar a História da Educação do Estado de São Paulo como sendo

este um período em que buscamos e conseguimos, com sucesso, reverter o estigma que

pesou sobre a escola pública nos últimos anos e oferecer educação básica de qualidade

a todas as crianças e jovens de nossa Rede. Para nós, da Secretaria, já é possível antever

esse sucesso, que também é de vocês.

Bom ano letivo de trabalho a todos!

Maria inês FiniCoordenadora Geral

Projeto São Paulo Faz Escola


7

FiCHA do CAdErno

Equações, polinômios, complexos: uma história cheia de significado em que as fórmulas não são tudo

nome da disciplina: Matemática

área: Matemática

Etapa da educação básica: Ensino Médio

Série: 3ª-

Período letivo: 2º- bimestre de 2009

temas e conteúdos: Equações algébricas: história e significado

Equações como perguntas e expansões nos

conjuntos numéricos

Noções sobre números complexos

Equações algébricas e polinômios

Das fórmulas à abordagem qualitativa;

relações entre coeficientes e raízes

de equações

Operações com polinômios – algoritmo de

Briot-Ruffini

Números complexos

Representação no plano

Significado das operações com complexos

Transformações no plano complexo

e aplicações


8

oriEntAção GErAl SobrE oS CAdErnoS

Os temas escolhidos para compor o conteú-

do disciplinar de cada bimestre não se afastam,

de maneira geral, do que é usualmente ensinado

nas escolas, ou do que é apresentado pelos livros

didáticos. As inovações pretendidas referem-se

à maneira de abordagem dos mesmos, sugerida

ao longo dos Cadernos de cada um dos bimes-

tres. Em tal abordagem, busca-se evidenciar os

princípios norteadores do presente currículo,

destacando-se a contextualização dos conteú-

dos, as competências pessoais envolvidas, es-

pecialmente as relacionadas com a leitura e a

escrita matemática, bem como os elementos

culturais internos e externos à Matemática.

Em todos os Cadernos, os conteúdos estão

organizados em oito unidades de extensões

aproximadamente iguais, que podem cor-

responder a oito semanas de trabalho letivo.

De acordo com o número de aulas disponí-

veis por semana, o professor explorará cada

assunto com mais ou menos aprofundamen-

to, ou seja, escolherá uma escala adequada

para o tratamento do mesmo. A critério do

professor, em cada situação específica, o tema

correspondente a uma das unidades pode ser

estendido para mais de uma semana, enquan-

to o de outra unidade pode ser tratado de

modo mais simplificado.

É desejável que o professor tente contem-

plar todas as oito unidades, uma vez que,

juntas, compõem um panorama do conteúdo

do bimestre, e, muitas vezes, uma das unida-

des contribui para a compreensão das outras.

Insistimos, no entanto, no fato de que somente

o professor, em sua circunstância particular, e

levando em consideração seu interesse e o dos

alunos pelos temas apresentados, pode deter-

minar adequadamente quanto tempo dedicar a

cada uma das unidades.

Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,

além de uma visão panorâmica do conteúdo

do bimestre, quatro Situações de Aprendiza-

gem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a ma-

neira de abordagem sugerida, instrumentando

o professor para sua ação em sala de aula. As

atividades são independentes, e podem ser ex-

ploradas pelos professores com mais ou menos

intensidade, segundo seu interesse e de sua clas-

se. Naturalmente, em razão das limitações no

espaço dos Cadernos, nem todas as unidades

foram contempladas com Situações de Apren-

dizagem, mas a expectativa é de que a forma

de abordagem dos temas seja explicitada nas

atividades oferecidas.

São apresentados também, em cada Cader-

no, sempre que possível, materiais disponíveis

(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros) em

sintonia com a maneira de abordagem proposta,

que podem ser utilizados pelo professor para o

enriquecimento de suas aulas.

Compõem o Caderno ainda algumas consi-

derações sobre a avaliação a ser realizada, bem

como o conteúdo considerado indispensável ao

desenvolvimento das competências esperadas

no presente bimestre.


9

Matemática - 3a série - Volume 2

Conteúdos básicos do bimestreO conteúdo básico do 2o bimestre da 3a série

é Equações Algébricas, Polinômios e Números

Complexos. Os três temas entrelaçam-se conti-

nuamente, ao longo da História. Como se sabe,

uma equação sempre corresponde a uma per-

gunta, sempre envolve algo desconhecido, uma

incógnita, e sempre está associada à solução de

algum problema. Equacionar um problema é

justamente traduzir a pergunta que ele repre-

senta por meio de uma equação.

No Ensino Fundamental, sobretudo nas

séries finais, já foram apresentados aos alunos

diversos problemas, em diferentes contextos,

cuja solução conduz a equações do primei-

ro e do segundo graus. Já sabemos resolver

equações de 1º- grau (ax + b = 0, com a ≠ 0)

e de 2º- grau (ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0).

Trata-se agora de enfrentar equações cor-

respondentes a situações um pouco mais en-

redadas, que conduzem a equações de 3º- grau

(ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a ≠ 0), de 4º- grau

(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, com a ≠ 0), de

5º- grau (ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0, com

a ≠ 0), e assim por diante. Tal é o conteúdo das

Unidades 1 e 2.

A história da busca de soluções para tais

equações, chamadas equações algébricas, é

muito instrutiva. Com base nela, compreen-

demos mais facilmente as sucessivas amplia-

ções nos conjuntos numéricos, dos números

naturais até os números complexos, que via-

bilizam a atribuição de significado à raiz qua-

drada de um número negativo. Aprendemos

também com a história que, com as equações de

3º- grau, a busca por uma fórmula envolvendo

radicais que nos forneça as raízes, do mesmo tipo da que nos dá as soluções de uma equa-

ção de 2º- grau (xb b ac

a=

± −– 2 42

), não cos-

tuma ser o melhor caminho para resolver as

equações de graus 3 e 4, e é um caminho in-

viável, impossível de ser trilhado, para equa-

ções de grau maior ou igual a 5. O caminho

mais conveniente, nesses casos, é uma análi-

se qualitativa da pergunta que cada equação

representa, extraindo da própria pergunta

informações relevantes sobre as raízes. Apren-

deremos com a história, portanto, que é mui-

to importante sempre, e é decisivo em muitos

casos, pensar efetivamente em um problema

como se pensa em uma pergunta, aprendendo

a examiná-la criticamente com a intenção de

chegar à sua resposta. Mais do que qualquer

intenção de ensinar técnicas de solução, nos-

so objetivo aqui é a plena compreensão desse

fato. Uma apresentação das ideias fundamen-

tais da história das equações algébricas será

feita na Situação de Aprendizagem 1.

Avançando um pouco mais, o significado

da análise qualitativa de uma equação algé-

brica estará presente nas Unidades 3 e 4.

Tanto as relações entre os coeficientes do po-

linômio P(x) e as raízes da equação P(x) = 0,

quanto o fato de que, conhecendo-se uma raiz

x = k da equação P(x) = 0, conseguimos redu-

zir sua solução à de uma equação de grau uma

unidade menor, e assim por diante, são explo-

rados nas Situações de Aprendizagem 2 e 3,

cor respondentes a essas unidades. Serão en-

trelaçados em atividades os dois resultados

seguin tes, que expressam basicamente o mes-

mo fato: “x = k é raiz da equação P(x) = 0” é


10

equivalente a “o polinômio P(x) pode ser fato-

rado e escrito na forma (x – k) . Q(x), em que

Q(x) é um polinômio de grau uma unidade

menor que P(x)”. Até esse ponto, vários fatos

terão sido reunidos a respeito das raízes da

equação P(x) = 0, sendo P(x) um polinômio.

Relações entre coeficientes e raízes, possíveis

raízes inteiras, fatoração de P(x) e diminuição

no grau da equação, entre outros, poderão ser

resumidos na Unidade 5.

A partir da Unidade 6, os números com-

plexos entram em cena mais diretamente.

Como no caso das equações, a ênfase tam-

bém não será posta nos cálculos algébricos,

mas sim no significado de tais números, de

aparência inicialmente estranha, mas que

conduzem a uma notável expansão dos con-

juntos numéricos já conhecidos. As múlti plas

possibilidades da representação geométrica

de um número complexo z, que tem como

imagem um ponto no plano, como um par

(x; y) de números reais, ou escrito na forma

z = x + yi. Assim, como a reta foi necessária e

suficiente para acolher todos os números

reais, racionais e irracionais, veremos que,

com a expansão do campo numérico para

incluir números que possam ser raízes qua-

dradas de negativos, será necessário (e sufi-

ciente) todo o plano cartesiano, que servirá

de inspiração para a construção do plano

complexo, suporte para a representação de

todos os números complexos. A unidade

imaginária i, que representa o novo número

cujo quadrado dá –1, serve de padrão para

a representação no eixo vertical de núme-

ros como 2i, 6i, 7i, – 4i, etc.

Em sintonia com tal representação, vere-

mos que o valor absoluto de um complexo z

é |z| = x y2 2+ , e mede a distância, no plano

complexo, da imagem de z à origem do siste-

ma de coordenadas. O ângulo que a reta de-

terminada pela origem e a imagem de z forma

com o eixo x (medido no sentido anti-horá-

rio) é o argumento de z, representado por θ.

As aproximações com a geometria analítica

plana serão naturais: por exemplo, o conjun-

to de pontos do plano que representam com-

plexos de módulo constante, digamos, |z| = 5,

é a circunferência x2 + y2 = 25.

Plano Complexo

eixo Imaginário

eixo Real

y

x

i

z = x + yi

|z| = 5

|z|

1

Plano Cartesiano

eixo Y

eixo X

y

x

P (x:y)

x2 + y2 = 25

1

1


11


O significado das operações com números

complexos será explicitado nas Unidades 7 e 8.

Veremos em tais unidades que as operações

com complexos correspondem à realização

de certos movimentos no plano.

Por exemplo, se a um complexo z for so-

mado o número real 4, sua representação no

plano será deslocada na direção do eixo x de

4 unidades; se a z for somado o número ima-

ginário 3i, sua representação será deslocada

na direção do eixo y de 3 unidades; se a z for

somado o número 4 + 3i, sua representação

sofrerá um deslocamento horizontal (eixo

Real) de 4 unidades, seguido de um vertical

(eixo Imaginário) de 3 unidades, ou seja, o

deslocamento de z terá valor igual ao mó-

dulo do complexo 4 + 3i, que é igual a 5, na

direção determinada pela origem e a repre-

sentação deste complexo. Ao multiplicar o

complexo z pelo real 5, mostraremos que z

permanece com o mesmo argumento (ângu-

lo com o eixo x) mas a distância de z até a

origem fica multiplicada por 5; se multipli-

carmos z por i, o módulo de z permanecerá

o mesmo e seu argumento aumentará de π

2;

já se multiplicarmos z por 5i, os dois efeitos são combinados: aumenta a distância até a origem, ao mesmo tempo que o argumento

aumenta de π

2.

eixo Imaginário

eixo Real

z + 4 + 3i

z + 4

3z

z . i

|z|

|z|

z

z + 3i


12

A exploração de tais movimentos na ima-

gem de z, decorrentes de operações realizadas

sobre z, torna o estudo dos números comple-

xos especialmente significativo, abrindo ca-

minho para um grande número de aplicações

práticas dos mesmos. Tal é o conteúdo da Si-tuação de Aprendizagem 4.

De modo geral, ao longo das oito unidades

do bimestre, a ênfase será dada ao significado

de cada equação como uma pergunta, de cada

raiz como uma resposta, de cada complexo

como um ponto do plano, de cada operação

realizada sobre ele como uma transformação

em sua imagem no plano.

Desde as seções iniciais, o exercício da

compreensão leitora encontra-se presente em

todas as etapas do texto. Os cálculos a serem

efetuados ao longo da resolução das equa-

ções são sempre acompanhados de um texto

explicativo, o que pode alongar um pouco o

percurso, mas esperamos que o torne mais

significativo. Afinal, aprender Matemática

também significa desenvolver a capacidade

de expressão na leitura e na escrita, ao lado

das habilidades de cálculo.

Sinteticamente, as oito unidades que com-

põem o presente bimestre são apresentadas

a seguir.

Quadro geral de conteúdos do 2º- bimestre da 3ª- série do Ensino Médio

unidade 1 – Equações algébricas de graus 1, 2, 3, 4, 5, ...; história, fórmulas.

unidade 2 – A raiz quadrada de um núme-ro negativo e o conjunto dos complexos.

unidade 3 – Das fórmulas à abordagem qualitativa: relações entre coeficientes e raízes.

unidade 4 – Equações e polinômios; operações com polinômios; divisão de um polinômio por x – k.

unidade 5 – Síntese de resultados sobre a resolução de equações algébricas de qualquer grau.

unidade 6 – Números complexos; repre-sentação no plano; relações com Geo metria Analítica.

unidade 7 – Significado das operações com números complexos; translações, rotações, ampliações.

unidade 8 – Transformações no plano complexo; exercícios simples.


13


SituAçõES dE APrEndizAGEM

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 1 A EQUAçãO DE 3º- GRAU E O APARECIMENTO NATURAL

DOS NÚMEROS COMPLEXOS

tempo previsto: 2 semanas.

Conteúdos e temas: equações como perguntas; expansões nos conjuntos numéricos; história das equações algébricas: a passagem das equações de 2o grau (com fórmulas resolutivas) para as equações de grau superior, em que elas podem não existir; primeiras noções sobre números complexos.

Competências e habilidades: compreender a representação de perguntas por equações; compreen-der a importância do deslocamento das atenções da busca por fórmulas para a análise qualita-tiva de situações-problema.

Estratégias: recorrer à história das equações algébricas para apresentar aos alunos a abor-dagem qualitativa das equações; explorar por meio de exercícios os fatos fundamentais sobre equações.

roteiro para aplicação da Situação de Aprendizagem 1

um pouco da história das equações

A história das equações pode ser apresen-

tada pelo professor para despertar nos alu-

nos interesse sincero pela maneira como a

Matemática é construída. Como se sabe, uma

equação sempre representa uma pergunta en-

volvendo algum elemento desconhecido, uma

incógnita. Resolver a equação é descobrir tal

incógnita. Equações de 1o grau, ou seja, da

forma ax + b = 0 (a ≠ 0), traduzem a pergunta

“Qual é o número x que multiplicado por a e

somado com b dá zero?”. A resposta é única

e a raiz da equação é x = – b

a, ou seja, x é o

simétrico do quociente de b por a. Já vimos

que muitos problemas práticos envolvendo

grandezas diretamente proporcionais recaem

em equações de 1o grau.

As equações de 2o grau possuem a forma

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) também podem ser com-

pletamente resolvidas, obtendo-se uma fórmula

para as raízes: xb b ac

a=

− ± −2 42

. Quando o

discriminante ∆ = b2 – 4ac é positivo, a equa-

ção tem duas raízes distintas; quando ∆ = 0,

as duas raí zes são iguais; e quando ∆ < 0, então

a equação não tem raízes reais, uma vez que

não é possível extrair a raiz quadrada de um

número negativo.


14

Na 8ª série do Ensino Fundamental e na

1ª- série do Ensino Médio, tais equações já fo-

ram estudadas, referidas a diversos contextos.

O estudo das equações de 3o grau, na

forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0), histo-

ricamente, seguiu pelo mesmo caminho:

buscava-se uma fórmula, envolvendo radicais,

que expressasse as raízes. No século XVI, os

italianos Tartaglia e Cardano, entre outros,

propuseram caminhos que conduziam a tal fór-

mula. Nunca, no entanto, o uso sistemático da

mesma se consolidou, e poucos são os que es-

tudam Matemática sem serem especialistas no

tema, que a conhecem, muito diferentemente do

caso das equações de 2o grau, em que a fór mula

de Bhaskara é amplamente conhecida. Sinte-

ticamente, o caminho seguido por Tartaglia

e Cardano era:

Dividindo-se todos os coeficientes por a, a equação

ax f 3 + bx2 + cx + d = 0

pode ser transformada na forma equivalente

x f 3 + bx2 + Cx + d = 0, onde B = b

a , C =

c

a , D =

d

a.

Fazendo-se x = y – B

3 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação), a equação x3 + Bx2 +

Cx + D = 0 pode ser reduzida a y3 + My + n = 0, onde M e N podem ser determinados em termos de B, C e D (o que será explicado mais adiante, na Atividade 3).

Assim, para resolver uma equação completa de 3o grau, basta resolver a equação incompleta y3 + My + n = 0 (o que será feito mais adiante, na Atividade 4), encontrando-se:

y = –n2

+n4

+M27

2 33 f + –

n2

–n4

+M27

2 33 .

Logo, como x = y – B

3 , obtemos os valores de x em termos de a, b, c e d.

Para equações de 4o grau, procedimentos semelhantes levam a fórmulas ainda mais complicadas. Para equações de grau 5, no entanto, foi demonstrado pelo matemático Abel, em 1824, que não é possível expressar as soluções por meio de radicais. Um pou-co depois, Galois estendeu tal resultado para equações de grau maior do que 5, de maneira que a busca de uma fórmula que englobe as soluções tornou-se um caminho inviável.

No fim do século XVIII, Gauss demons-

trou o fato de que uma equação algébrica

de grau n, ou seja, da forma a0xn + a1x

n – 1 +

a2xn – 2 + a3x

n – 3 + ... + an – 1x + an = 0 (a0 ≠ 0)

tem pelo menos uma raiz; em consequência,

pode ser mostrado que terá sempre n raízes,

reais ou complexas. Tal fato é conhecido

como Teorema Fundamental da Álgebra.


15


Do ponto de vista prático, equações de

grau maior do que 4 precisam ser resolvidas,

uma vez que surgem efetivamente em situa-

ções concretas; para isso, no entanto, deve-

mos seguir outros caminhos. As equações são

perguntas e as respostas a elas precisam, nes-

ses casos, ser extraídas de uma análise enge-

nhosa da própria pergunta; decididamente, as

fórmulas não são tudo. Esse será o tema das

Unidades 3 e 4. Antes disso, para trazer para

a sala de aula as questões históricas apresen-

tadas até aqui, vamos desenvolver algumas

atividades relativas às Unidades 1 e 2.

Atividade 1

Já sabemos resolver completamente as equa-

ções de 2o grau, obtendo as soluções por meio

da fórmula de Bhaskara. Apenas como exercí-

cio, para verificar a compreensão do caminho

sugerido para resolver as equações de 3o grau,

vamos procurar resolver a equação de 2o grau

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) seguindo os passos

propostos por Tartaglia e Cardano no texto

anterior, para verificar se eles funcionariam,

nesse caso.

a) Divida os dois membros da equação ax2 + bx + c = 0 por a, obtendo:

x2 + Bx + C = 0, com B = ba e C =

ca .

b) Substitua x por y − b2

(o denominador

2 corresponde ao grau da equação) e verifique que a equação se transforma

em: y2 + C – B2

4 = 0.

c) Mostre que, em consequência,

y = ± B – 4C2

2

.

Como y2 = B2

4 – C, segue que

y = ± B – 4C2

2

.

d) Substitua agora os valores de y, de b e

de C em x = y – B

2 , obtendo os valores de

x (você identifica, nos cálculos, a fórmu-

la de Bhaskara?).

Como x = y – B

2, segue que

x = ± B – 4C

2

2 – B

2, ou seja,

x = – B

2 ± B – 4C

2

2 .

Substituindo B por b

a e C por c

a , obtemos

x = – b± b – 4ac

2a

2

, que é a fórmula de

Bhaskara.

e) Resolva a equação 3x2 + 15x + 18 = 0, seguindo os passos descritos nos itens anteriores.

Dividindo os coeficientes por 3, obtemos f

x2 + 5x + 6 = 0;

substituindo f x por y – 52

, onde o deno

minador 2 é o grau da equação, obtemos

(y – 5

2)2 + 5(y – 5

2) + 6 = 0;

efetuando os cálculos, obtemos f y2 = 14

,

ou seja, y = ± 1

2;

como f x = y – 5

2, segue que x = – 2 ou

x = – 3.


16

Atividade 2

Já sabemos que, se uma equação de 2o grau

ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) tiver duas raízes distin-

tas, x1 e x2, então ela pode ser escrita na forma

x2 – Sx + P = 0, onde:

S = x1 + x2 e P = x1 . x2

a) Mostre que, nesse caso, as raízes são dadas

pela fórmula x = S S P± 2 4

2–

. Mostre

que não existem dois números reais cuja

soma seja 10 e cujo produto seja 40.

Tais números seriam as raízes da equação

x2 – 10x + 40 = 0 . Segundo a fórmula do

item a, teríamos de calcular 10 – 1602 =

– 60 ; como não existe a raiz quadrada

de um número negativo, concluímos que não

existem dois números reais cuja soma seja

10 e cujo produto seja 40.

b) Mostre que não existem dois números reais cujo quadrado de sua soma seja menor do que o quádruplo do produto dos dois números.

Se existissem dois números reais de soma

igual a S e produto igual a P, então eles

seriam raízes da equação x2 – Sx + P = 0.

Mas se o quadrado da soma S dos dois nú

meros fosse menor que o quádruplo de seu

produto P, ou seja, se S2 < 4P, então a equa

ção x2 – Sx + P = 0 teria o discriminante

Δ = S2 – 4P negativo, ou seja, não teria raí

zes reais. Logo, não existem dois números

reais nas condições acima.

Atividade 3

a) Considere a equação x3 + 15x2 + 11x +

7 = 0. Substitua x por y – 15

3, ou seja,

x = y – 5 e mostre que a nova equa-ção em y não apresenta o termo em y2 (o denominador 3 corresponde ao grau da equação).

Efetuando a substituição indicada, obtemos:

(y – 5)3 + 15(y – 5)2 + 11(y – 5) + 7 = 0.

Efetuando os cálculos: y3 – 64y + 202 = 0

b) Mostre que, na equação x3 + Bx2 + Cx +

+ D = 0, substituindo-se o x por y – B

3 ,

a nova equação em y não apresenta o termo em y2.

Efetuando a substituição de x por y – B

3 ve

rificamos que os termos em y2 se cancelam.

De modo geral, efetuandose os cálculos

indicados, é possível mostrar que, na equa

ção xn + A1xn – 1 + A2x

n – 2 + A3xn – 3 + ...

+ An – 1x + An = 0, a substituição de x por

y – A1

n conduz à eliminação do termo em y n1.

Atividade 4

Vamos agora procurar entender a lógica dos passos propostos por Tartaglia e Cardano para resolver a equação incompleta de grau 3 resultante da eliminação do termo do segun-do grau: y3 + 3y + 6 = 0. Para tanto, considere a seguinte analogia:

Sabemos que: f (p + q)3 = p3 + 3 p2q + 3pq2 + q3.

Podemos rearranjar a igualdade f

acima, escrevendo:


17


(p + q)3 – 3pq.(p + q) – (p3 + q3) = 0

Comparando com f y3 + 3 . y + 6 = 0, se tivermos, simultaneamente, – 3pq = 3 e – (p3 + q3) = 6, então a solução da equa-ção dada será y = p + q.

De –3pq = 3, concluímos que pq = –1, e fportanto, p3. q3 = –1; como p3 + q3 = – 6, podemos construir a equação do se-gundo grau que tem como raízes p3 e q3, uma vez que temos a soma e o produ-to desses dois números; tal equação é z2 + 6z – 1 = 0 (soma das raízes igual a – 6; produto das raízes igual a –1; ver Atividade 2).

Resolvendo esta equação, obtemos as f

raízes –3 ± 10 ou seja, p3 = –3 + 10 e

q3 = –3 – 10 .

z = –6 ± 36 + 42

, ou seja, z = –3 ± 10.

Significa que estes são os valores de p3 e q3,

ou seja, p = – 3+ 103 e q = – 3 – 103 .

Concluímos, então, que y = p + q, ou seja,

y = – 3+ 103 + – 3 – 103 .

Se você acompanhou todos os passos da ex-plicação, então repita os mesmos procedimentos e mostre que a fórmula que dá as raízes da equa-ção algébrica de grau 3, dada por y3 + My + N = 0,

é a apresentada na introdução da Atividade 1:

y = –N N M2 4 27

2 33 + + + – –

N N M2 4 27

2 33 + .

Comparando a igualdade (p + q) f 3 – 3pq.

.(p + q) – (p3 + q3) = 0 com a equação

y3 + M . y + N = 0, deduzimos que:

se –3pq = M e – (p3 + q3) = N, então

y = p + q será raiz da equação.

Temos, então, de encontrar dois nú f

meros p e q tais que p3. q3 = –M27

3

e

p3 + q3 = –N. Tais números p3 e q3, que

têm soma e produto conhecidos, devem

ser as raízes da equação do segundo grau

z2 + Nz – M27

3 = 0.

Resolvendo tal equação, obtemos: f

z = –N ± N

4M27

2

23

+=

–N2

±N4

+M27

2 3

,

Isso significa que os valores de p f 3 e q3 são

–N2

+N4

+M27

2 3

e –N2

–N4

+M27

2 3.

Logo, os valores de f p e de q serão:

–N2

+N4

+M27

2 33 e –N

2–

N4

+M27

2 33

Em consequência, o valor de y será:

y = p + q, ou seja,

y = –N2

+N4

+M27

2 33 + –N

2–

N4

+M27

2 33

como queríamos mostrar.

Atividade 5

Encontre uma raiz da equação y3 – 3y – 2 = 0.

Substituindo na fórmula obtida na atividade

anterior, temos:

y =22

44

2727

3 + +( )–

+ 22

–44

+–2727

3( )

=

1 0 1 0 23 3+ + =– ;


18

logo, y = 2 é uma raiz.

Como será visto nas atividades seguintes, co

nhecendose uma das raízes de uma equação

de grau 3, é possível reduzila a uma equa

ção de 2o grau, encontrandose, assim, todas

as raízes da equação inicial.

Atividade 6

Um marceneiro quer construir duas cai-

xas, uma com a forma de um cubo de aresta x,

outra com a forma de um paralelepípedo

com a base retangular, de lados 3 m e 5 m,

e de altura igual à altura do cubo. O valor

de x deve ser escolhido de tal maneira que

o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o

do paralelepípedo.

a) Escreva a equação que traduz a exigên-cia a ser satisfeita pelo valor de x.

O volume do cubo de aresta x é igual a x3;

o volume do paralelepípedo de base 15 m2

e aresta x é igual a 15x; segue, então, que

a exigência de o volume do cubo ser 4 m3

maior do que o do paralelepípedo pode ser

traduzida pela equação x3 = 15x + 4, ou

seja, x3 – 15x – 4 = 0 .

b) Use a fórmula da atividade anterior para determinar as raízes da equação do item a. A que conclusão você chega?

Calculando o valor de x pela fórmula obtida an

teriormente para equações de 3o grau, obtemos:

x = 2 121 2 1213 3+ +– – – .

Pela fórmula, parece não existir raiz da equação,

uma vez que deparamos, nos cálculos, com a raiz

quadrada de um número negativo.

c) Verifique diretamente na equação dada que x = 4 é uma raiz, ou seja, fazendo x = 4 m, temos o cubo com volume 64 m3 e o paralelepípedo com volu-me 60 m3. Como podemos interpretar o resultado do item b?

Certamente a equação admite x = 4 como

raiz, como se pode verificar diretamente,

uma vez que 43 – 15 . 4 – 4 = 0. No uso da

fórmula das raízes, os cálculos foram inter

rompidos quando surgiu a raiz quadrada de

–121. No estudo das equações de 2o grau,

era assim que procedíamos: ao deparar com

a raiz quadrada de um número negativo, di

zíamos: “a equação não tem raízes reais”.

Mas aqui sabemos que a equação de grau 3

proposta tem uma raiz real, que é x = 4.

Então, como ficamos?

Na atividade seguinte, vamos examinar

uma maneira de prosseguir nos cálculos e ob-

ter o resultado x = 4, reinterpretando a limi-

tação sobre a existência de raízes quadradas

para um número negativo.

Atividade 7

Sabemos que o quadrado de qualquer nú-

mero real não nulo, positivo ou negativo, é

sempre positivo. Até aqui, em nosso percurso

escolar, sempre que deparamos com a extra-

ção da raiz quadrada de um número negativo,

dizemos que ela não existe. Na Atividade 5, tal

decisão nos impediu de chegar a uma das raízes

da equação, uma vez que teríamos de extrair

a raiz quadrada de –121. Vamos fazer, agora,

uma atividade de imaginação: imaginemos


19


–7 = 7 i. , e assim por diante.

Insistimos em que estamos, por enquanto,

apenas fazendo um exercício de imaginação:

se existir um número que seja a raiz qua drada

de –1, então as raízes quadradas de todos os

números negativos poderão ser expressas

com base nesse número; chamando tal nú

mero imaginário de i, temos, por exemplo,

que – 25 = 25 . – 1 = 25. –1( ) = 5.i.

b) Retorne ao item b da Atividade 6. Es-crevendo no lugar de −121 o valor imaginário 11i indique a solução da equação x3 – 15x – 4 = 0.

Substituindo –121 por 11i na expressão

x = 2+ –121 + 2 – –1213 3 , obtemos:

x = 2+ 11i + 2 – 11i3 3 .

que existam números estranhos (certamente,

não seriam números da reta real) cujo quadra-

do seja negativo.

a) Mostre que, na verdade, bastaria existir um número estranho desses, a raiz qua-drada de –1, para que dele decorressem todas as outras raízes de negativos.

De fato, como –121 = 121.(–1), para extrair

a raiz quadrada de –121 bastaria sabermos

quanto vale a raiz quadrada de –1. Se re

presentarmos por i esse número imaginário,

teríamos –1 = i2, ou seja, i = –1 .

Em consequência, –121 = 121 –1= 11 i. . .

Analogamente, seria possível expressar a

raiz quadrada de qualquer número negativo:

–9 = 9 –1 = 9. .i = 3i; analogamente,

Professor, uma sugestão!

Novamente temos de parar, pois não sabemos calcular a raiz cúbica do estranho nú-mero 2 + 11i. Tal número é “mistura” de uma parte real, que é 2, com uma parte imaginária, que é 11i. Números assim são chamados “números complexos”, e serão estudados a seguir. Por enquanto, vamos supor que possamos continuar a operar com tais números como se opera com os números reais, respeitando-se apenas a novidade que decorre do fato de termos i2 = –1. Por exemplo:

para somar 3 + 4i com 5 + 7i, somamos as partes reais e imaginárias separadamente e fobtemos: (3 + 4i) + (5 + 7i) = (3 + 5) + (4i + 7i) = 8 + 11i.

para multiplicar (3 + 4i) por (5 + 7i), utilizamos a propriedade distributiva e escrevemos: f(3 + 4i).(5 + 7i) = 3.5 + 3.7i + 4i.5 + 4i.7i.

agrupando termos do mesmo tipo, obtemos: (3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 21i + 20i + 28i f 2.

como i f 2 = –1, o resultado final seria o seguinte:

(3 + 4i).(5 + 7i) = 15 + 41i – 28 = –13 + 41i.

Como veremos, essas operações envolvendo números imaginários vão se mostrar recurso fecundo para superarmos as limitações resultantes da impossibilidade de extrair raízes qua-dradas de números negativos. Com base nelas, vamos conseguir harmonizar o fato de saber-mos que a equação x3 – 15x – 4 = 0 admite efetivamente a raiz real x = 4, ainda que a fórmula resolutiva nos conduza à raiz quadrada de um número negativo.


20

Atividade 8

Supondo válidas as propriedades das ope-

rações com os números reais para os números

formados por uma parte real x e uma parte

imaginária yi, sendo i = −1, efetue as ope-

rações indicadas, dando o resultado mais sim-

ples possível:

a) (3 – 4i) + (–5 + 3i)

–2 – i

b) (–11i + 7) – (–5 – 8i)

–3i + 12

c) (2i – 13) . (7 – 5i)

– 81+ 79i

d) (13 – i). (13 + i)

170

e) i3 + i5 + i7

–i

f) i13

i

Considerações sobre a avaliação

Até aqui, o objetivo das atividades foi a apresentação dos novos números, formados por uma parte real e uma parte imaginária, como recurso necessário para dar sentido a cálculos envolvendo a solução de equações algébricas, correspondentes a problemas con-cretos, como é o exemplo da Atividade 6. Reiteramos o fato de que equações são tradu-ções de perguntas propostas por problemas, e que o interesse em resolvê-las é inerente aos procedimentos matemáticos. A história conta-da até este ponto ilustra uma importante mu-dança de perspectiva, como já foi assinalado

c) Usando o fato de que a raiz cúbica de um número é outro número que, ele-vado ao cubo, reproduz o primeiro, mostre que 2 + i é uma raiz cúbica de 2 + 11i.

Vamos elevar ao cubo o “número” 2 + i, que

é uma “mistura” de uma parte real com uma

parte imaginária, e verificar que, efetuados

os cálculos, obtemos (2 + i)3 = 2 + 11i.

De fato, temos:

(2 + i)3 = 23 + 3.22.i + 3. 2.i2 + i3

(2 + i)3 = 8 + 12.i + 6.i2 + i2.i

Como i2 = –1, segue que:

(2 + i)3 = 8 + 12i + 6.(–1) + (–1).i

Ou seja, (2+ i)3 = 2 + 11i.

De modo análogo, pode ser mostrado que uma

raiz cúbica de 2 – 11i é 2 – i.

d) Retorne à Atividade 5. Mostre que a solução x = 4 pode ser obtida com base na fórmula para as raízes cúbicas da equação x3 – 15x – 4 = 0.

Substituindo os valores das raízes cúbicas

encontradas, temos: x = 2+11i + 2 – 11i3 3 ,

ou seja, x = 2 + i + 2 – i = 4. Assim, reconci

liamos a fórmula com o fato concreto de que a

equação tinha x = 4 como uma de suas raízes.

Como se vê, pode ser conveniente atribuir

significado às raízes quadradas de núme

ros negativos. Mostraremos mais adiante

de que maneira os novos números assim

construídos – os chamados números com

plexos – são uma extensão natural muito

fecunda dos conhecidos números reais.


21


anteriormente, que é a de se passar da busca

desenfreada de fórmulas resolutivas para uma

abordagem qualitativa, que busca extrair da

própria equação/pergunta as condições para

a obtenção de sua resposta. Nas Situações de

Aprendizagem seguintes, explicitaremos mais

o significado de tal abordagem qualitativa,

bem como exploraremos a existência dos nú-

meros complexos, aqui apenas vislumbrados.

Na avaliação das atividades, até este pon-

to, sugerimos que o professor se concentre na

compreensão da passagem natural das equa-

ções de 2o grau para as equações de grau supe-

rior a 2, revendo fatos básicos sobre as equações

de 2o grau, como a análise do sinal do discrimi-

nante para a determinação do número de raízes

reais, as relações entre coeficientes e raízes, entre

outros. No caso das equações de 3o grau, não se

deve pretender mais do que a tentativa de resolu-

ção de algumas delas, com coeficientes simples,

usando os passos propostos nas atividades da

presente situação. Esbarrar em raízes quadradas

de números negativos pode ser uma motivação a

mais para a continuidade dos estudos das situa-

ções seguintes. Em resumo, a compreensão his-

tórica da problemática da solução de equações

é mais importante, neste momento, do que as

técnicas algébricas para resolvê-las.

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 2 DAS FÓRMULAS À ANÁLISE QUALITATIVA: RELAçÕES ENTRE

COEFICIENTES E RAÍzES

tempo previsto: 1 semana.

Conteúdos e temas: relações entre coeficientes e raízes de uma equação de 2o grau – revisão; extensão das relações entre coeficientes e raízes para equações de 3o e 4o graus.

Competências e habilidades: compreender o fato de que uma pergunta bem formulada traz em si os elementos constituintes de sua resposta; compreender o fato de que é possível conhecer qualidades das raízes de equação algébrica mesmo sem resolvê-la, com base no conhecimento de seus coeficientes.

Estratégias: rever e estender o estudo das relações entre coeficientes e raízes, já conhecido no caso das equações de 2o grau, para equações de grau superior a 2; explorar tal fato para resolver ou conhecer algumas das soluções de uma equação algébrica.


Equações algébricas: das fórmulas à abordagem qualitativa

Uma vez abandonada a perspectiva de ter-

mos uma fórmula que indique as raízes de uma

equação algébrica, cabe ao professor explorar

a via da observação dos coeficientes da própria

equação, em busca de informações sobre suas


22

raízes. Sabemos, por exemplo, que as raízes da

equação x2 + 7x + 12 = 0 têm soma igual a –7

e produto igual a 12. É possível generalizar in-

formações desse tipo, sobre a soma e o produto

das raízes, para uma equação de qualquer

grau. É o que exploraremos a seguir.

No caso da equação de 2o grau ax2 + bx

+ c = 0, de raízes r1 e r2, sabemos que, após a

divisão de todos os coeficientes por a, ela pode

ser escrita na forma x2 + b

ax +

c

a = 0, que po-

demos imaginar fatorada e escrita na forma

(x – r1) . (x – r2) = 0. Efetuando as multiplica-

ções indicadas e ordenando, obtemos a forma

equivalente:

x f 2 – (r1 + r2)x + r1 . r2 = 0, ou seja:

x f 2 – S1x + S2 = 0,

onde S1 = r1 + r2 = – b

a é a soma das raízes e

S2 = r1 . r2 = c

a é o produto das raízes.

No caso de uma equação de 3º- grau ax3 + bx2 + cx + d = 0, mesmo sem conhecer fór-mulas para as soluções, se a equação tiver como raízes r1, r2 e r3, procedendo de manei-ra análoga ao que fizemos para a equação de 2º- grau, após a divisão por a de todos os seus coeficientes, ela pode ser escrita na forma

x3 + b

a x2 +

c

a x +

d

a = 0, que podemos

imaginar fatorada e escrita na forma:

(x – r1) . (x – r2) . (x – r3) = 0.

Efetuando as multiplicações indicadas e

ordenando, obtemos a forma equivalente

x3 – (r1 + r2 + r3)x2 + (r1r2 + r1r3 + r2r3)x –

r1r2r3 = 0,

ou seja: x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0, onde

S1 = r1 + r2 + r3 é a soma das raízes,

S2 = r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 é a soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas,

e S3 = r1 . r2 . r3 é a soma dos produtos das

raízes tomadas três a três, ou seja, é o produto das raízes.

Por exemplo, se uma equação de 3º- grau tiver como raízes 2, 3 e 5, então ela poderá ser escrita na forma:

(x – 2) . (x – 3) . (x – 5) = 0, e ao efetuarmos as multiplicações, obtemos:

x3 – 10x2 + 31x – 30 = 0 ; podemos notar que: S1 = 2 + 3 + 5 = 10,

S2 = 2 . 3 + 2 . 5 + 3 . 5 = 31 e

S3 = 2 . 3 . 5 = 30, ou seja,

observação para o professor!

Poderíamos notar, com base na fór-mula de Bhaskara, que as duas raízes da equação são as indicadas a seguir:

rb b ac

a1

2 42

=+

– –

e rb b ac

a2

2 42

=– – –

,

cuja soma dá r1 + r2 = – b

a, e cujo

produto dá r1 . r2 = c

a.


23


a equação pode ser escrita na forma x3 – S1x

2 + S2x – S3 = 0.

Se procedermos analogamente no caso de uma equação de 4º- grau

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, de raízes r1, r2, r3, r4, chegaremos à forma equivalente:

x4 – S1x3 + S2x

2 – S3x + S4 = 0, onde:

S1 = r1 + r2 + r3 + r4,

S2 = r1r2 + r1r3 + r1r4 + r2r3 + r2r4 + r3r4

S3 = r1r2r3 + r1r2r4 + r1r3r4 + r2r3r4

S4 = r1r2r3r4.

Tal relação pode ser generalizada para uma equação algébrica de grau n. É im-portante notar a alternância nos sinais das somas S: as somas das raízes tomadas de 1 em 1, de 3 em 3, de 5 em 5 ... apare-cem como coeficientes na equação com o sinal trocado; as somas de 2 em 2, de 4 em 4, de 6 em 6, ... aparecem como coe-

ficientes com o próprio sinal.

As atividades seguintes darão ao profes-

sor a oportunidade de explorar essa rela-

ção entre os coeficientes e as raízes de uma

equação algébrica.

Atividade 1

Escreva na forma x3 – S1x2 + S2x – S3 = 0

uma equação algébrica de grau 3 cujas

raízes são:

a) 3, 5 e 1

Temos: S1 = 3 + 5 + 1 = 9,

S2 = 3.5 + 3.1 + 5.1 = 23 e S3 = 3.5.1 = 15;

Logo, a equação correspondente é

x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0.

b) 2, 7 e –3

Analogamente, temos: S1 = 6, S2 = –13, e

S3 = –42, e a equação correspondente é

x3 – 6x2 –13x + 42 = 0.

c) –2, –3 e 4

Efetuando os cálculos, obtemos:

S1 = –1, S2 = –14, S3 = 24, e a equação

correspondente é x3 + x2 – 14x – 24 = 0.

Atividade 2

Escreva na forma x4 – S1x3 + S2x

2 – S3x + S4 = 0

uma equação algébrica de grau 4 cujas

raízes são:

a) 2, 3, 4 e 5

Calculando as somas das raízes tomadas 1 a 1,

2 a 2, 3 a 3 e 4 a 4, temos:

S1 = 14,

S2 = 2.3 + 2.4 + 2.5 + 3.4 + 3.5 + 4.5 = 71,

S3 = 2.3.4 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5 = 154,

S4 = 2 . 3 . 4 . 5 = 120, e a equação correspondente

é x4 – 14x3 + 71x2 – 154x + 120 = 0.

b) –2, 3, 4, –5

Analogamente, temos:

S1 = 0, S2 = –27, S3 = –14, S4 = 120, e

a equação correspondente é

x4 – 0 . x3 – 27x2 +14x + 120 = 0.


24

c) 1, 0, 3, 7

Efetuando os cálculos, temos:

S1 = 11, S2 = 31, S3 = 21, S4 = 0, e

a equação correspondente é:

x4 – 11x3 + 31x2 – 21x = 0.

Atividade 3

Dada a equação x3 – 8x2 + kx – 24 = 0,

responda:

a) Quais as possíveis raízes inteiras da equação?

Observando os coeficientes, concluímos que

24 é igual ao produto das três raízes. Logo,

os divisores de 24 são possíveis raízes intei

ras da equação, ou seja, ± 1, ± 2, ± 3, ± 4,

± 6, ± 8, ± 12, ± 24. Naturalmente, depen

dendo do valor de k, tal equação pode não

admitir qualquer um desses divisores como

raiz; o que se pode afirmar é precisamente

o fato de que, se houver raiz inteira, ela terá

de ser um dos divisores de 24.

b) Se a equação tiver duas raízes simétricas,

qual será a terceira raiz?

Como a soma das duas raízes simétricas é

zero e a soma das três raízes é 8, então a

terceira raiz deverá ser igual a 8.

c) Se uma das raízes for o inverso da outra,

qual será a terceira raiz?

Como o produto das duas raízes inversas é

igual a 1 e o produto das três raízes é 24,

então a terceira raiz deverá ser igual a 24.

d) É possível que a equação tenha uma

raiz nula?

Não é possível que a equação tenha raiz

nula, pois, nesse caso, o produto das raízes

seria zero, e já vimos que o produto das raí

zes é igual a 24.

Atividade 4

Considere a equação 3x4 – 12x3 + kx2 – 6x +

+ 3 = 0.

a) Quais as possíveis raízes inteiras

da equação?

Dividindo os coeficientes da equação por 3,

que é o coeficiente do termo de maior grau,

obtemos a equação equivalente (com as

mesmas raízes) expressa na forma:

x4 – 4x3 + k

3x2 – 2x + 1 = 0.

Comparando com a forma x4 – S1x3 + S2x

2 –

– S3x + S4 = 0, concluímos que o produto das

raízes da equação é igual a S4 = 1.

Logo, as possíveis raízes inteiras da equação

são os divisores de 1, ou seja, +1 ou –1.

b) Quais os valores de k que fazem com

que a equação proposta acima tenha

raízes inteiras?

Para que a equação tenha raízes inteiras, ou

seja, para que ela tenha +1 ou –1 como raí

zes, quando substituirmos os valores de x por

+1 ou por –1 no primeiro membro da equa


25


ção, o resultado deve dar igual ao segundo

membro, ou seja, a zero.

Para x = 1, temos:

14 – 4 . 13 + k

3 12 – 2 . 1 + 1 = 0,

ou seja, k = 12.

Para x = –1, temos:

(–1)4 – 4. (–1)3 + k

3(–1)2 – 2(–1) + 1 = 0,

ou seja, k = –24.

Atividade 5

Sabendo que 1 é raiz da equação

x3 + 7x2 + kx – 15 = 0, determine o valor de k e encontre as outras duas raízes.

Como 1 é raiz, substituindo x por 1 devemos

ter a igualdade verdadeira;

logo, 1 + 7 + k – 15 = 0, e então, k = 7.

Como a soma das três raízes é igual a –7,

sendo uma delas igual a 1, a soma das outras

duas deve ser igual a – 8.

Como o produto das três raízes é igual a 15,

sendo uma delas igual a 1, o produto das ou

tras duas é igual a 15.

Logo, além da raiz dada r1 = 1, as outras duas

raízes da equação são tais que sua soma é – 8

e seu produto é 15; elas são, portanto, as raí

zes da equação de 2o grau x2 + 8x + 15 = 0.

Resolvendo tal equação, obtemos r2 = –3 e

r3 = –5.

Concluímos que a equação proposta no

enunciado tem como raízes os números reais

1, –3 e –5.

observação para o professor!

Outras atividades como as anteriores podem ser propostas, mas lembramos que não interessa tanto, nesse caso, a rea-lização de muitos cálculos, quanto, por exemplo, a percepção, na Atividade 5, do fato de que, conhecendo uma raiz da equação, é possível reduzi-la a uma equação mais simples, ou seja, a pes-quisa sobre as possíveis raízes inteiras pode resultar na solução da equação. Na Situa ção de Aprendizagem seguinte tal fato será mais bem explorado.


O objetivo das atividades desta Situação

de Aprendizagem é a compreensão do fato de

que os próprios coeficientes das equações

trazem informações relevantes sobre suas

possíveis raízes, o que é apenas uma amostra

das possibilidades de uma abordagem quali-

tativa das equações. Outros procedimentos

semelhantes poderiam ser aqui apresentados,

mas consideramos que as atividades realiza-

das terão sido bem-sucedidas se os alunos

compreenderam a existência de tais cami-

nhos alternativos, na busca das soluções de

equações, mesmo sem uma exploração mais

exaustiva de tal fato.


26

SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 3 EQUAçÕES E POLINÔMIOS: DIVISãO POR x–k E REDUçãO DO

GRAU DA EQUAçãO


Conteúdos e temas: divisão de um polinômio por x – k; algoritmo para efetuar de maneira simples a divisão de um polinômio por x – k; redução do grau de uma equação com base no conhecimento de uma das raízes.

Competências e habilidades: compreender as relações naturais entre o estudo dos polinômios e o estudo das equações algébricas; compreender a importância da articulação entre a técnica e o significado na solução de equações/problemas.

Estratégias: todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos da presente Situação de Aprendizagem serão apresentados por meio de exercícios exemplares, tendo em vista uma aproximação efetiva entre as técnicas resolutivas e os significados dos conceitos envolvidos.


Alguns fatos fundamentais sobre polinômios: a ideia de identidade

Como foi mostrado aos alunos na Ativi-

dade 4 da Situação de Aprendizagem 2, co-

nhecendo uma das raízes de uma equação de

grau 3, é possível reduzir a sua solução à

de uma equação de 2o- grau. De maneira ge-

ral, é possível generalizar tal procedimento: se

conhecemos uma das raízes de uma equação

algébrica de grau 4, é possível reduzir a sua

solução à de uma equação de grau 3, e assim

sucessivamente; conhecendo-se uma das raízes

de uma equação de grau n, será possível redu-

zir a sua solução à de uma equação de grau

n – 1. Para isso, é preciso realizar algumas

operações com os polinômios que constituem

o primeiro membro das equações algébricas.

O estudo das equações algébricas, portanto,

se entrelaça naturalmente com o estudo dos

polinômios. Não vamos aqui nos dedicar

especialmente a técnicas de cálculos com poli-

nômios, mas um mínimo de informações so-

bre elas precisam ser conhecidas, para poder

continuarmos a aprender fatos fundamentais

sobre equações.

Como se sabe, um polinômio de grau n é

uma expressão algébrica do tipo

P(x) = a0xn + a1x

n – 1 + a2xn – 2 + a3x

n – 3 + ...

+ an – 1x + an = 0, com a0 ≠ 0.

Uma equação algébrica também pode ser

chamada uma equação polinomial, uma vez

que ela pode ser escrita na forma P(x) = 0,

sendo P(x) um polinômio.


27


Se o valor de P(x) para x = k, que indica-

remos por P(k), for igual a zero, ou seja, se

P(k) = 0, então isso significa que k é uma raiz

da equação polinomial P(x) = 0.

Sendo P1(x) um polinômio e P2(x) outro poli-

nômio, podemos ter o caso de P1(x) = P2(x)para

alguns valores particulares de x e P1(x) ≠ P2(x)

para outros valores de x. Por exem plo, se

P1(x) = x2 + 3x – 1 e P2(x) = x3 – 5x2 + 4x + 13,

então temos:

P1(2) = 9 e P2(2) = 9, mas P1(0) = –1 e

P2(0) = 13.

Quando dois polinômios P1(x) e P2(x) são

tais que, para todos os valores possíveis para

x, temos P1(x) = P2(x), então dizemos que

os polinômios são idênticos, e escrevemos

P1(x) ≡ P2(x).

Sendo P1(x) = a0xn + a1x

n – 1 + a2xn – 2 +

+ a3xn – 3 + ... + an – 1x + an um polinômio de grau n

e P2(x) = b0xm + b1x

m – 1 + b2xm – 2 + b3x

m– 3 + ...

+ bm – 1x + bm outro polinômio de grau m, para

termos P1(x) ≡ P2(x), ou seja, para os dois po-

linômios serem iguais para todos os valores

de x, devemos ter a igualdade dos termos

independentes de x, ou seja, an = bm, pois

an = P1(0) e bm = P2(0). Podemos mostrar que

a igualdade entre os dois polinômios para

todos os valores de x obriga a igualdade de

todos os coeficientes dos termos de mesmo

grau, ou seja:

an = bm ; an – 1 = bm– 1 ; an – 2 = bm – 2 e assim por

diante.

Em consequência, dois polinômios idênti-

cos devem ser sempre do mesmo grau, uma vez

que se forem de graus diferentes, os coeficientes

dos termos de maior grau serão distintos (um

deles é zero e o outro é diferente de zero).

Por exemplo, podemos ter P1(x) = x2 + 3x – 1

e P2(x) = x3 – 5x2 + 4x + 13 iguais para al-

guns valores de x, mas não para todos os

valores de x, ou seja, não é verdade que

P1(x) ≡ P2(x), neste caso, pois os coeficientes

dos termos de grau 3 são distintos (1 em P2(x)

e 0 em P1(x)).

operações com polinômios

Para somar, subtrair e multiplicar polinô-

mios, basta operar com as expressões algébri-

cas que compõem suas parcelas, que são os

monômios, realizando as operações indicadas,

recorrendo à propriedade distributiva, quan-

do for o caso, e reunindo os termos que cor-

respondem a potências de x de mesmo grau

(chamados “termos semelhantes”).

A divisão de um polinômio por outro, no

entanto, exige atenção um pouco maior, e será

necessária para podermos aprender a reduzir

o grau de uma equação, com base no conheci-

mento de uma de suas raízes.

De fato, se x = k for uma raiz da equação

algébrica:

a0xn + a1x

n – 1 + a2xn – 2 + a3x

n – 3 + ... + an – 1x +

+ an = 0 (a0 ≠ 0),

então a equação pode ser escrita na

forma fatorada


28

(x – k) . (b0xn – 1 + b1x

n – 2 + b2xn – 3 + ... +

+ bn– 2x + bn – 1) = 0.

Daí segue que ou x – k = 0, e portanto,

x = k, ou então,

b0xn – 1 + b1x

n – 2 + b2xn – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1 = 0.

Resolvendo a equação de grau n – 1 que

corresponde ao segundo fator igualado a zero,

teremos as n raízes da equação inicial.

Os polinômios a0xn + a1x

n – 1 + a2xn – 2 + a3x

n – 3 +

+ ... + an – 1x + an, e o resultante do produto

(x – k) . (b0xn – 1 + b1x

n – 2 + b2xn – 3 + ... + bn – 2x +

+ bn – 1) são idênticos, isto é, são iguais para

todos os valores reais de x.

Para obter o polinômio b0xn – 1 + b1x

n – 2 +

+ b2xn – 3 + ... + bn – 2x + bn – 1, basta dividir o

polinômio a0xn + a1x

n – 1 + a2xn – 2 + a3x

n – 3 + ...+

+ an – 1x + an, pelo binômio x – k, o que pode

ser feito diretamente, escrevendo-se

a0xn + a1x

n – 1 + a2xn – 2 + a3x

n – 3 +...+ an – 1x +

+ an ≡ (x – k) . (b0xn – 1 + b1x

n – 2 + b2xn – 3 +...+

+ bn – 2x + bn – 1).

O símbolo ≡ significa, como já foi dito, nes-

se caso, mais do que a simples igualdade; sig-

nifica que os dois membros da igualdade são

iguais para todos os valores possíveis de x.

Para determinar os valores dos coeficien-

tes b0, b1, b2, …, bn – 1 a partir dos coeficientes

a0, a1, a2, a3, ... an –1, an, podemos efetuar a

multiplicação anteriormente indicada e, em

seguida, igualar os coeficientes dos termos de

mesmo grau nos dois lados da identidade.

Os exercícios das atividades seguintes cons-

tituem uma oportunidade de exploração dos

fatos descritos acima.

Atividade 1

Considere os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2

e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 2.

a) É possível termos A(x) = B(x)?

Sim, é possível termos A(x) = B(x).

Resolvendo a equação algébrica A(x) = B(x),

temos: x2 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 2;

logo, x3 – 3x2 = 0. Fatorando, obtemos

x.x.(x – 3) = 0, e segue que, para o produto ser

nulo, um dos fatores deve ser nulo, ou seja, ou

x = 0, ou x = 0 (0 é uma raiz dupla), ou

então x – 3 = 0, ou seja, x = 3. Logo, a equa

ção A(x) = B(x) tem como raízes 0 e 3.

Para todos os valores de x diferentes de 0 e

de 3 os polinômios A(x) e B(x) assumem

valores distintos.

b) É possível termos A(x) ≡ B(x)?

Não é possível termos A(x) ≡ B(x). Os poli

nômios têm graus diferentes. Em consequên

cia, os coeficientes de x3 são diferentes em

A(x) e em B(x).


29


Atividade 2

Considere os polinômios A(x) = x3 – 3x + 2

e B(x) = x3 – 2x2 – 3x + 10.

a) É possível termos A(x) = B(x)?

Sim. Basta resolver a equação correspon

dente: x3 – 3x + 2 = x3 – 2x2 – 3x + 10.

Efetuando os cálculos, obtemos 2x2 = 8, e

então, x = ± 2.

b) É possível termos A(x) ≡ B(x)?

Não, pois os coeficientes de x2 são diferentes

nos dois polinômios.

Atividade 3

Considere os polinômios:

P1(x) = ax5 – 11x4 – 2x3 + 7x2 + bx + d.

P2(x) = bx5 + cx4 – 2x3 + 7x2 – 3x + d.

a) Determine os valores de a, b e c de modo

que os polinômios sejam idênticos.

Igualando os coeficientes dos termos de

mesmo grau, temos: a = b, c = –11 e

b = – 3 = a

b) Calcule o valor de d sabendo que –1 é raiz

da equação P1(x) = 0.

Se –1 é raiz da equação P1(x) = 0, então

devemos ter P1(–1) = 0.

Logo, substituindo x por –1, e igualando

o resultado a zero, obtemos:

– 3 . (–1)5 – 11(–1)4 – 2 . (–1)3 + 7(–1)2 –

– 3 . (–1) + d = 0.

Concluímos, efetuando os cálculos, que

d = 2 – 2 3 .

Atividade 4

Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 +

+ 5x3 – 11x2 – 7x + 12.

a) Mostre que x = 1 é raiz da equação P(x) = 0.

Basta substituir x por 1 em P(x) e verificar

que o resultado dá zero, ou seja, que temos

P(1) = 0. Isso significa que P(x) pode ser

fatorado e apresenta x – 1 como um fator, ou

seja, é divisível por x – 1. Podemos, então,

escrever: P(x) ≡ (x – 1). Q(x), onde Q(x)

é o quociente da divisão de P(x) por x – 1.

b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo

binômio x – 1.

O quociente da divisão será um polinômio de

grau 4, podendo ser escrito na forma geral

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

Devemos ter a identidade

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ (x – 1).

.(ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).

Efetuando as operações indicadas no segun

do membro, obtemos:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12 ≡ ax5 + bx4 +

+ cx3 + dx2 + ex – ax4 – bx3 – cx2 – dx – e.

Agrupando os termos semelhantes do se

gundo membro, obtemos:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x + 12

≡

ax5 + (b – a)x4 + (c – b)x3 + (d – c)x2 + (e – d)x – e.


30

Igualando os coeficientes dos termos de mes

mo grau nos dois membros da identidade,

temos: 3 = a; –2 = b – a; 5 = c – b;

–11 = d – c; –7 = e – d; 12 = – e.

Logo, concluímos que a = 3, b = 1, c = 6,

d = –5, e = –12

e em consequência, Q(x) = 3x4 + x3 + 6x2

– 5x – 12.

Assim, para resolver a equação P(x) = 0,

sabendo que uma de suas raízes é x = 1,

obtemos o quociente de P(x) por x – 1, che

gando ao quociente Q(x); as demais raí

zes de P(x) = 0 são as raízes da equação

Q(x) = 0.

Atividade 5

Considere o polinômio P(x) = 3x5 – 2x4 +

+ 5x3 – 11x2 – 7x – 46.

a) Mostre que x = 2 é raiz da equação P(x) = 0.

Basta substituir x por 2 em P(x) e verificar

que o resultado dá zero, ou seja, que temos

P(2) = 0. Isso significa que P(x) pode ser

fatorado e apresenta um fator x – 2, ou seja,

ele é divisível por x – 2. Podemos escrever,

então: P(x) ≡ (x – 2).Q(x), onde Q(x) é o

quociente da divisão de P(x) por (x – 2).

b) Calcule o quociente da divisão de P(x) pelo

binômio x – 2.

O quociente da divisão será um polinômio de

grau 4. Em sua forma geral, podemos escre

ver que Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e.

Para determinar Q(x), temos a identidade:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡

≡ (x – 2) . (ax4 + bx3 + cx2 + dx + e).

Efetuando as operações indicadas no segun

do membro, obtemos:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46 ≡ ax5 + bx4 +

+ cx3 + dx2 + ex – 2ax4 – 2bx3 – 2cx2 – 2dx – 2e.

Agrupando os termos semelhantes do se

gundo membro, obtemos:

3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46

≡

Igualando os coeficientes dos termos de

mesmo grau nos dois membros da identi

dade, temos:

3 = a; –2 = b – 2a; 5 = c – 2b; –11 = d – 2c;

–7 = e – 2d; –46 = –2e.

Logo, concluímos que a = 3, b = 4, c = 13,

d = 15, e = 23

e então, o quociente será:

Q(x) = 3x4 + 4x3 +13x2 +15x + 23.

Em consequência, para resolver a equa

ção P(x) = 0, sabendo que uma de suas

raízes é x = 2, obtemos o quociente de

P(x) por x – 2, chegando ao quociente

Q(x); as demais raízes de P(x) = 0 são as

raízes da equação Q(x) = 0.

ax5 + (b – 2a)x4 + (c – 2b)x3 + (d – 2c)x2 + (e – 2d)x – 2e.


31


Atividade 6

Algoritmo de briot-ruffini

Retome o enunciado da Atividade 5.

Existe uma maneira prática para obter o quo-

ciente de P(x) = 3x5 – 2x4 + 5x3 – 11x2 – 7x – 46

pelo binômio x – 2.

Observando os cálculos efetuados, notamos

que, sendo Q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e,

o coeficiente f a é igual ao coeficiente de

x5 em P(x): a = 3;

o coeficiente f b é obtido somando-se

ao coeficiente de x4 em P(x) o produto

de 2 por a: b = –2 + 2a;

o coeficiente f c é obtido somando-se


de 2 por b: c = 5 + 2b;

o coeficiente f d é obtido somando-se


de 2 por c: d = –11 + 2c;

o coeficiente f e é obtido somando-se

ao coeficiente de x em P(x) o produto

de 2 por d: e = –7 + 2d.

Esses cálculos podem ser organizados

no algoritmo seguinte, conhecido como

algoritmo de Briot-Ruffini para a divi-

são de um polinômio por um binômio da

forma x – k:

coeficientes de P (x)

coeficientes de Q (x)

Q(x) = 3x4 + 4x3 + 13x2 + 15x + 23

resto da divisão

raiz 2

3 – 2 5 – 11 – 46

3 . 2

3

4 . 2

4 13 15 23 0

13 . 2 15 . 2 23 . 2

– 7

Para verificar o entendimento do que

se apresentou, construa o algoritmo acima

para determinar o quociente da divisão de

P(x) = x5 – 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x + 57 por x – 3.


32

Temos, então, Q(x) = x4 + x3 – 4x2 – 9x – 19.

Atividade 7

a) Dado o polinômio P(x) = a0xn + a1x

n – 1 +

+ a2xn – 2 + a3x

n – 3 + … + an – 1x + an , mostre

que o resto da divisão de P(x) por x – k é P(k).

Quando P(x) é divisível por x – k, podemos

escrever P(x) ≡ (x – k). Q(x), e segue que

P(k) = 0.

Quando P(x) não é divisível por x – k, então

temos a identidade:

P(x) ≡ (x – k). Q(x) + R, onde a constante R

é o resto da divisão.

raiz 3


coeficientes de Q (x)resto da divisão

1 – 2 – 7 3 57

1 . 3

1

1 . 3

1 – 4 –9 –19 0

–4 . 3 –9 . 3 –19 . 3

8

Segue daí que P(k) = R, ou seja, o resto da

divisão de P(x) por x – k é igual a P(k).

b) Calcule o resto da divisão de P(x) = 3x5 +

+ x4 + 3x3 – 7x + π pelo binômio x + 3.

O resto será o valor de P(–3), ou seja,

R = P(–3) = –708 + π.

O cálculo do resto também poderia ser feito

por meio do algoritmo de BriotRuffini, uti

lizado nas Atividades 5 e 6. Basta proceder

como lá foi indicado, notando que ao último

coeficiente do polinômio corresponderá, em

vez do resto zero, o valor do resto procurado:

resto da divisão

0 p

27 . (–3) – 81. (–3) 236 . (–3)

– 81 236 –708 + p

–7

coeficientes de Q (x)


3 1 3

3 . (–3) – 8 . (–3)

3 – 8 27

raiz –3


33


Atividade 8

a) Mostre que a equação a seguir apresenta

raízes inteiras:

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 = 0

Dividindo os coeficientes por 2, obtemos a

equação equivalente

x4 – 9

2x3 + 3x2 +

11

2x – 3 = 0.

Escrita nessa forma, já vimos que os divi

sores de –3 serão possíveis raízes inteiras,

pois esse coeficiente representa o produto

das raízes da equação. Calculando os va

lores numéricos do polinômio do primei

ro membro da equação para x = ± 1 e

x = ± 3 , concluímos que –1 e 3 são raízes da

equação dada.

b) Resolva a equação.

A equação dada é, portanto, equivalente

à equação:

(x + 1) . (x – 3) . (mx2 + nx + p) = 0.

Para encontrar o trinômio mx2 + nx + p, e

descobrir as outras raízes da equação, basta

dividir o polinômio do primeiro membro su

cessivamente por (x + 1) e (x – 3), confor

me indicamos a seguir:

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡≡ (x + 1) . (ax3 + bx2 + cx + d)


coeficientes de Q1(x) resto da divisão

2

2

–9

–11

6

17

11

–6

2 . (–1) –11 . (–1) 17 . (–1) –6 . (–1)

– 6

0

raiz –1

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡ (x + 1) . (2x3 – 11x2 + 17x – 6).

Dividindose agora Q1(x) por (x – 3), obtemos Q2(x):

(2x3 – 11x2 + 17x – 6) ≡ (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).

coeficientes de Q1 (x)

coeficientes de Q2 (x) resto da divisão

2

2

–11

–5

17

2

–6

0

2 . 3 –5 . 3 2 . 3raiz 3


34


Como foi dito inicialmente, o objetivo da

presente Situação de Aprendizagem era ape-

nas consolidar a ideia de que, conhecendo

uma das raízes de uma equação algébrica,

podemos reduzir a sua solução à de uma

equação de grau inferior, por meio de

uma divisão do polinômio inicial por um

binômio do tipo (x – k), onde k é a raiz co-

nhecida. Para tanto, foi necessário introdu-

zir algumas ideias a respeito da identidade

de polinômios, que conduziram a uma ma-

neira de efetuar os cálculos, resumida em

um algoritmo, conhecido como Algoritmo

de Briot-Ruffini. Praticamos tal redução de

ordem em uma equação em alguns exemplos

ilustrativos, sem qualquer intenção de super-

valorizar as técnicas de cálculo, procurando

apenas evidenciar a construção do caminho

alternativo que a abordagem qualitativa das

equações algébricas propicia. Se os alunos

tiverem compreendido perfeitamente o fato

de que, quando conhecemos uma das raízes de

uma equação algébrica, é como se o grau

da equação fosse reduzido de uma unidade,

sendo capazes de efetuar uma divisão e mos-

trar a nova equação a ser enfrentada, então

os objetivos da presente Situação de Apren-

dizagem terão sido atingidos.

Concluímos, então, que:

2x4 – 9x3 + 6x2 + 11x – 6 ≡

≡ (x + 1) . (x – 3) . (2x2 – 5x + 2).

Resolvendo a equação de 2o grau

2x2 – 5x + 2 = 0, obtemos as raízes r3 = 2 e

r4 = 1

2.

Logo, as raízes da equação dada inicialmente

são: r1 = –1, r2 = 3, r3 = 2, e r4 = 1

2.


35


SITUAçãO DE APRENDIzAGEM 4 NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAçãO NO PLANO

E SIGNIFICADO DAS OPERAçÕES (TRANSLAçÕES, ROTAçÕES, AMPLIAçÕES)


Conteúdos e temas: apresentação dos números complexos como pontos do plano; operações com números complexos: significado geométrico; aplicações das operações com complexos na interpretação de movimentos e transformações no plano (translações, rotações, ampliações).

Competências e habilidades: compreender a analogia existente entre a passagem dos números reais aos números complexos e a passagem dos pontos da reta aos pontos do plano; aumento na capacidade de expressão por meio de números, em decorrência da apresentação do significado geométrico dos complexos e das operações sobre eles.

Estratégias: também aqui, todos os elementos conceituais relativos aos conteúdos serão apre-sentados por meio de exercícios exemplares, sobretudo no caso dos movimentos e das trans-formações realizadas sobre pontos do plano, a expectativa é a da exemplificação e não a de uma apresentação sistemática dos temas, que se situaria fora dos limites do Ensino Médio.


Complexos, para quê?

É muito frequente ouvir-se falar “mal” dos

números complexos – aqueles números “estra-

nhos” formados por uma parte real x e uma

parte “imaginária” yi, onde i é um número tal

que seu quadrado é igual a –1, ou seja, i2 = –1.

Diz-se que os complexos não têm aplicações

práticas, ou que, quando as têm, elas não se-

riam acessíveis aos alunos da educação bási-

ca; em consequência, não deveríamos dedicar

qualquer atenção a tais temas.

Existem várias dificuldades associadas a

tal maneira de pensar. Quando decidimos

sobre os temas a serem estudados na escola

básica, o que deve ser levado em conta pri-

mordialmente é o valor formativo de cada

um deles, e não apenas o interesse pragmá-

tico que eventualmente representam. Certa-

mente, interessa-nos estudar os conjuntos

numéricos, com suas diferentes ampliações.

Não podemos nos limitar às contagens, e as

frações, nos ensinaram a lidar bem com

as medidas, em que os resultados das com-

parações nem sempre são expressos por nú-

meros naturais. Também ultrapassamos cer-

tas limitações ao efetuar subtrações, passando

a representar dívidas por meio de números

negativos, também considerados estranhos,

quando surgiram. E os números irracionais,

resultados de comparações entre grandezas

incomensuráveis, também foram considera-

dos extravagantes, sendo até mesmo rejeitados


36

na Grécia antiga, ainda que hoje estejam

presentes, mesmo que disfarçados em suas

aproximações racionais, nas operações ele-

mentares do dia-a-dia.

Os números complexos são, efetivamente,

“estranhos”, ao primeiro olhar. Mas eles po-

dem ser interpretados significativamente, bem

como as operações que realizamos sobre eles,

e ao sermos apresentados a tais temas am-

pliamos nossa capacidade de expressão, de

compreensão de fenômenos que a realidade

nos apresenta. Afinal, a Matemática que estu-

damos é como uma linguagem, uma maneira

de expressão e compreensão do mundo, a ser

desenvolvida na escola, com a língua materna,

a língua nossa de cada dia.

Querer limitar o estudo da Matemática ao

de conteúdos de aplicação imediata, sem levar

em consideração seu valor expressivo, é como

querer limitar o ensino da língua ao da reda-

ção de cartas, de memorandos, de relatórios,

desprezando, por exemplo, a apreciação de um

poema; afinal, “para que serve um poema?”.

A aprendizagem da língua, no entanto, não pode

prescindir de recursos expressivos que deem for-

ça ao texto, da construção de imagens metafó-

ricas etc. Não se trata apenas de ensinar regras

de redação, mas de desenvolver instrumentos e

formas pessoais de expressão, e a literatura, de

maneira geral, é fundamental para isso.

Também no estudo de Matemática, exis-

tem assuntos para os quais não vislumbra-

mos “aplicações práticas” diretas, mas que

se compõem com os outros, contribuindo

para a construção de uma forma consistente

de expressão, de compreensão dos fenôme-

nos que observamos. Às vezes, um tema de

Matemática serve apenas de apoio a outro

tema, este sim, com uma ligação direta com

a prática; ambos, tanto o apoiador quanto

o apoiado, precisam ser estudados. Se que-

remos um instrumento cortante – uma faca,

por exemplo – não podemos querer apenas a

lâmina, que é a parte que efetivamente cor-

ta, mas também devemos querer o cabo, que

não corta mas sem o qual a faca não existe.

E muitas vezes, para o cabo ser bem fixado

à lâmina, é preciso que existam parafusos de

fixação, que não cortam nada, mas que são a

condição de funcionamento da faca.

Como veremos a seguir, os complexos e as

operações sobre eles podem ser associados à

realização de movimentos de translação, de

rotação, de ampliação etc. Ao apresentarmos

os números complexos, vamos explorar espe-

cialmente tal perspectiva.

Como surgiram os complexos

No presente Caderno, os números comple-

xos surgiram como números “imaginários” a

partir da seguinte situação;

queríamos resolver a equação x f 3 – 15x –

– 4 = 0 (Atividade 6 da Situação de

Aprendizagem 1) usando a fórmula

deduzida para equações na forma

x3 + mx + n = 0, qual seja:

x = ;–N N M2 4 27

2 33 + + + – –

N N M2 4 27

2 33 +


37


imaginários yi? Como compreender a plausi-

bilidade dos “números complexos” z da forma

x + yi? Como representá-los de maneira a dar

significado às operações realizadas com eles?

A ideia de representar os números na for-

ma z = x + yi como pontos de um plano pode

parecer natural, mas permaneceu latente des-

de os trabalhos de John Wallis (1616-1703)

durante muitas décadas. Wessel e Argand tra-

balharam com tal ideia em situações concre-

tas, mas somente quando foi apresentada por

Gauss, em 1799, como parte de sua tese de

doutoramento, tal representação ganhou for-

ça e foi divulgada amplamente. Em resumo, a

inspiração fundamental é a seguinte:

quando multiplicamos um número real f

por –1, sua imagem na reta real é des-

locada segundo um arco de 180º, pas-

sando da semirreta positiva para a

negativa, e vice-versa: N.(–1) = –N;

(resultado: rotação de 180º);

quando multiplicamos um número real f

por i2, ou seja, por –1, é como se ti-

véssemos multiplicado o número real

por i, e multiplicássemos o resul tado,

novamente por i: N.(–1) = N.i.i = –N;

como o resultado das duas multipli- f

cações idênticas e sucessivas foi uma ro-

tação de 180º, seria natural considerar

o resultado de cada uma das multipli-

cações parciais por i como o resul tado

de uma rotação de 90º: N.i = rotação de

90º em N e (N.i).i = rotação de 180º.

encontramos a expressão: f

x = 2+ –121 + 2 – –1213 3 , e podería-

mos ter parado, dizendo que a equação

não teria raízes reais, uma vez que não

existe a raiz quadrada real de um núme-

ro negativo;

como sabíamos de início que a equação f

x3 – 15x – 4 = 0 tinha uma raiz real, que

é x = 4, imaginamos que pudéssemos

prosseguir nos cálculos, e assim pro-

cedendo, realizando operações sobre

números na forma x + yi, onde i2 = –1,

obtivemos a raiz x = 4, mostrando que a

suposição da possibilidade de operações

com tais números poderia ser fecunda.

Plano complexo – significado dos complexos e das operações sobre eles

Naturalmente, tal suposição precisa ser

apresentada de maneira mais consistente e

este é o momento de o professor procurar um

caminho para tal apresentação. Esboçamos, a

seguir, tal caminho.

Um número imaginário como i não pode ter

as mesmas propriedades de um número real,

não é um número real, ou seja, não se encon-

tra na reta real, ou entre os reais representados

na reta. A reta real r encontra-se inteiramente

preenchida com os números racionais e os ir-

racionais. Como representar, então tal núme-

ro i e seus “derivados”, como toda a família

de imaginários y.i, onde y é um número real,

bem como os números “mistos”, ou “comple-

xos”, resultantes da soma dos reais x com os


38

assim, multiplicar um número real por f i corresponderia a representar tal número

em um eixo perpendicular ao eixo real.

NN . (–1)

0

N

N . i

Ni

0

N

N i . i = N . (–1) = –N0

Essa pode ter sido a inspiração para a re-

presentação do número imaginário i no eixo

perpendicular ao eixo real, o que conduziu à

representação de todo complexo z = x + yi como um ponto do plano gerado pelas uni-

dades real 1 e imaginária i. O plano em

que os complexos são representados cons-

titui uma extensão da reta real e é conhe-

cido como plano complexo, ou Plano de

Argand-Gauss.

y

z = x + yi

xeixo Real x

eixo Imagiário y

–N

0 1

Ni

Ni

Tal representação dos números complexos

na forma z = x + yi, chamada forma algébri

ca, possibilita que as operações sejam efetua-

das por analogia com as operações algébricas

rea lizadas com números reais ou com expres-

sões algébricas, acrescentando-se apenas a

convenção i2 = –1, ou i = −1. Cabe ao pro-

fessor, agora, explorar as operações com tais

novos números: para somar dois complexos,

somam-se as partes reais e as partes imaginárias;

para multiplicar, efetuam-se os cálculos como se

estivéssemos multiplicando polinômios, substi-

tuindo-se os valores das potências de i resultan-

tes: i3 = i2 . i = –i; i4 = i2 . i2 = 1; i5 = i4 . i = i;

i6 = i4 . i2 = –1; i7 = i3 = –i, e assim por diante.

Exemplo ilustrativo

Sendo z1 = 3 – 5i e z2 = – 4 + 7i, temos:

a) z1 + z2 = (3 – 4) + (–5 + 7)i = –1 + 2i

b) z1 – z2 = (3 – (–4)) + (–5 – 7)i = 7 – 12i

c) z1 . z2 = 3 ∙ (–4) + 3 . 7i – 5i . (–4) + (–5i).

.(7i) = –12 + 21i + 20i – 35i2 = 23 + 41i

d) (z1)3 = (3 – 5i)3 = 33 + 3 . 32 . (–5i) + 3.

.3.(–5i)2 + (–5i)3 = –198 – 10i


39


Forma trigonométrica de um número complexo

Um número complexo z = x + yi também pode ser escrito de outra maneira, desta-

cando-se seu módulo z e seu argumento θ.

Sendo z x y= +2 2, basta observarmos na

representação plana dos complexos que

x z

y z en

==

cos

s

θθ . Substituindo-se na forma al-

gébrica tais expressões, obtemos:

z = z isen )(cos θ θ+(cosθ + isenθ), que é chamada forma

trigonométrica dos números complexos.

eixo Imaginário

eixo Real

forma algébrica forma trigonométrica

x

y z = x + yi

z = x + yi z =

i

l

z sen(cos )θ θ+ i

z sen(cos )θ θ+ iz sen(cos )θ θ+ ix y2 2+=

z cosθx=

z senθy=

O significado de algumas das operações

realizadas com números complexos pode ser

mais facilmente compreendido se recorrer-

mos à forma trigonométrica. A exploração

de tais fatos será realizada nos exercícios

seguintes.

Exemplo ilustrativo

Sendo z = 4 + 4i, então temos: argumento de

z = θ = 45º; módulo de z = z != 4 2 ,

forma trigonométrica de z:

z = 4 2 . (cos 45º + i sen 45º).

y

x

4

4

θ = 45°

z = 4 2

(cosθ + isenθ)

θ


40

Exercícios exemplares

Atividade 1

Dados os números complexos z1 = 3 + 4i,

z2 = 7, z3 = 7i e z4 = 3 – 4i, calcule:

a) z1 + z2 b) z1 + z3 c) z1 + z4

10 + 4i 3 + 11i 6

d) z1 – z4 e) z1 . z2 f) z1 . z3

8i 21 + 28i –28 + 21i

g) z3 . z4 h) (z1 . z4)2 i) (z1 + z4)

3

28 + 21i 625 216

j) (z1 – z4)3 k) (z3 – z1 + z4)

3

–512i i

l) (–z2 + z1 + z4)15

–1

Atividade 2

Dados os complexos a seguir, represente-os

no plano complexo, determinando o módulo e

o argumento de cada um deles:

a) z1 = 3 + 3i b) z2 = –3 + 3i

c) z3 = 3 – 3i d) z4 = –3 – 3i

eixo Imaginário

eixo Real

3

135º

315º

225º

45º

z1z2

z4 z3

–3

–3

3

Os módulos de z1, z2, z3 e z4 são todos iguais

a 3 3 3 22 2+ = .

O argumento θ é o ângulo formado pela reta

Oz e o eixo real; sua tangente vale yx , ou

seja, 1, no caso de z1; tal ângulo é 45o.

No caso de z2, o ângulo θ correspon dente

é 135º, uma vez que temos y positivo e

x negativo.

Analogamente, no caso de z4 temos θ = 225º

e em z3 θ = 315º.

Atividade 3

Retorne ao enunciado da Atividade 2.

Escreva cada um dos complexos de z1 a z4 na

forma trigonométrica:

z = z isen )(cos θ θ+ (cosθ + isenθ),

a) z1 = 3 24 4

(cos ).π π+ isen

b) z2 = 3 2 34

34

(cos ).π π+ isen


41


c) z – 9

Analogamente, a imagem do complexo

z´ = z – 9 é a de z deslocada no sentido nega

tivo do eixo real de nove unidades (ver figura).

z

eixo Imaginário

eixo Real0

6

18

12

5–4

z + 6i

z – 6i

z – 9 z + 9

14

d) z – 6i

Analogamente, a imagem do complexo

z' = z – 6i é a de z deslocada no sentido do

eixo imaginário de seis unidades para baixo

(ver figura acima).

e) z + 9 – 6i

Quando somamos o complexo z ao complexo

9 – 6i, a imagem de z resulta deslocada su

cessivamente (em qualquer ordem) para a

direita de 9 unidades e para baixo de 6 uni

dades (ver figura).eixo Imaginário

eixo Real0

6

12

5

z – 6i

z + 9

14

z

z + 9 6i

c) z3 = 3 2 54

54

(cos ).π π+ isen

d) z4 = 3 2 74

74

(cos )π π+ isen

Atividade 4

Considere o complexo z = 5 + 12i no pla-

no de Argand-Gauss e represente no mesmo

plano complexo as imagens dos seguintes

números:

a) z + 9

Quando somamos o real 9 ao complexo

z = 5 + 12i, obtemos como resultado o comple

xo z' = 14 + 12i. Notamos, então, que a imagem

de z resulta deslocada na direção do eixo real de

9 unidades no sentido positivo (ver figura).

eixo Imaginário

eixo Real0

18

12

5

z + 6i

z + 9

14

b) z+ 6i

Quando somamos o imaginário 6i ao com

plexo z = 5 + 12i, obtemos como resultado

o complexo z' = 5 + 18i. Notamos, então,

que a imagem de z resulta deslocada de

6 unidades na direção do eixo imaginário, no

sentido positivo (ver figura acima).


42

Atividade 5

Considere o complexo z = 5 + 12i no plano

de Argand-Gauss e represente no mesmo plano

complexo as imagens dos seguintes números:

a) 2z

Sendo z = 5 + 12i, o número complexo 2z

será igual a 10 + 24i, ou seja, tem valor ab

soluto igual ao dobro do de z, mas tem o

mesmo argumento de z (ver figura abaixo).

eixo Imaginário

eixo Real0

12

24

6

5

θ

2z

105

2

z

2

z

b) z

2Analogamente, o complexo

z

2 será igual a

5

2 + 6i, ou seja, tem valor absoluto igual à

metade do de z, mas o mesmo argumento de

z (ver figura acima).

Atividade 6

Considere a região do plano complexo in-

dicada na figura a seguir. Cada ponto da re-

gião é a imagem de um complexo e será objeto

de uma transformação, indicada nas alterna-

tivas. Represente no plano complexo a região

resultante, após a transformação descrita em

cada um dos itens a seguir.

6

6

2

2 eixo Real

eixo imaginário

a) A cada ponto da região será somado o nú-

mero real 5.

Cada ponto da região será deslocado na di

reção do eixo real de 5 unidades; a região

transformada será um triângulo de vértices

nas imagens dos complexos:

7 + 2i, 11 + 2i e 11 + 6i.


43


eixo Imaginário

eixo Real

6

6 11

2

20

Cada ponto da região será deslocado na

direção do eixo real de 3 unidades, seguido

de outro na direção do eixo imaginário de

4 unidades (ou viceversa). Cada ponto

terá um deslocamento total de valor igual

ao módulo do complexo 3 + 4i, que é 5.

Os vértices da região transformada serão

os seguintes:

5 + 6i, 9 + 6i e 9 + 10i.

eixo Imaginário

eixo Real

10

9

6

5

2

2 5 6 9

b) A cada ponto da região será somado o nú-

mero imaginário 3i.

Cada ponto da região será deslocado na di

reção do eixo imaginário de 3 unidades; a

região transformada será um triângulo de

vértices nas imagens dos complexos:

2 + 5i, 6 + 5i e 6 + 9i.

eixo Imaginário

eixo Real

9

5

2

2

6

6

c) A cada ponto da região será somado o

número complexo 3 + 4i.

7


44

de cada ponto até a origem serão multipli

cadas por 2, haverá uma translação (afasta

mento da origem) com a ampliação. Os novos

vértices serão: 4 + 4i, 12 + 4i e 12 + 12i.

Os argumentos dos pontos da região não se

rão alterados, ou seja, não haverá rotação.

d) Cada ponto da região será multiplicado

pelo número real 2.

Cada ponto da região terá seu módulo mul

tiplicado por 2; logo, a região será ampliada,

tendo cada segmento multiplicado por 2, e sua

área multiplicada por 4. Como as distâncias

eixo Imaginário

eixo Real

6

4

2

2 6 12

12

4

e) Cada ponto da região será multiplicado

pelo número real 1

2.

Cada ponto da região terá seu módulo mul

tiplicado por 1

2; logo, a região será redu

zida, tendo cada segmento multiplicado

por 1

2, e sua área dividida por 4. Como

as distâncias de cada ponto até a origem

serão reduzidas à metade, haverá uma

translação (aproximação da origem) com

a redução. Os novos vértices serão: 1+ i,

3 + i e 3 + 3i. Os argumentos dos pontos

da região não serão alterados, ou seja,

não haverá rotação.


45


32

eixo Imaginário

eixo Real

3

2

1

1

6

6

Atividade 7Considere a região do plano complexo,

indicada na figura. Cada ponto da região é a

imagem de um complexo e será objeto de uma

transformação. Represente no plano comple-

xo a região resultante, após a multiplicação de

cada ponto da região pelo imaginário i.

eixo Imaginário

6

6

2

2eixo Real

Queremos multiplicar cada ponto da região

indicada pelo imaginário i.

Vamos examinar o efeito de tal multiplica

ção em cada ponto.

Ao multiplicar um número complexo

z = x + yi

por i, obtemos:

z . i = xi + yi2,

ou seja,

z . i = – y + xi.

Inicialmente, notamos que os módulos de z e

zi são iguais.

Além disso, verificamos que se o argumento

de z é θ e o de zi é θ', então θ' + (π2 – θ) = π

(ver figura a seguir), ou seja, θ' – θ = π2

.


46

xzi

–y

y

π2

– θ

x

θ

θ

θ

θ'

eixo Imaginário

eixo Real

z

Isso significa que os argumentos de z e de zi

diferem de 90º (π

2 radianos), ou seja, zi tem

argumento igual a θ + π

2. De maneira geral,

ao multiplicar um número complexo z por i, seu módulo permanece o mesmo, mas seu

argumento aumenta de

π2

.

Em decorrência, ao multiplicarmos por i todos os pontos da região indicada, ela man

terá seu tamanho, mas sofrerá uma rotação

de 90º, conforme mostra a figura:

eixo Real

u

6

r

s

2–2 6–6

2

teixo Imaginário

(Notar que as retas r e u são perpendiculares, assim como o são as retas s e t.)


47


Atividade 8

Considere a região do plano complexo,

indicada a seguir. Cada ponto da região

é a imagem de um complexo e será objeto

de uma transformação, indicada nas al-

ternativas. Represente no plano comple-

xo a região resultante, se cada ponto da

região triangular

eixo Imaginário

eixo Real

8

2

2 5 8

a) for somado ao número real 9;

Já vimos que, ao somar um complexo

com um número real, a imagem do com

plexo resulta deslocada horizontalmente

na direção do eixo real; no caso, a região

triangular será deslocada para a direita

de 9 unidades.

b) for somado ao número imaginário 9i;

A região triangular será deslocada para

cima de 9 unidades.

c) for somado ao número complexo 9 + 9i;

A região triangular será deslocada para a

direita de 9 unidades, e depois para cima,

de 9 unidades; ou, equivalentemente, para

cima de 9 unidades, e depois para a direita

de 9 unidades.

d) for multiplicado pelo número real 2;

A região será ampliada, cada complexo z

tendo seu valor absoluto multiplicado por 2.

Não sofrerá rotação e sua área ficará multi

plicada por 4.

e) for multiplicado pelo número imagi nário 2i;

A região sofrerá uma rotação de 90º, cor

respondente à multiplicação por i, e também

será ampliada de um fator 2, tendo sua área

quadruplicada.

As figuras a seguir traduzem as transforma

ções ocorridas em a, b, c e d.


48

No item e, além de ampliada de um fator 2, a região acima deve sofrer uma rotação de 90º no

sentido antihorário.

17

11

8

2

2 85 11 14 17 eixo Real

eixo Imaginário

16

8

4

2

2 854 10 16

eixo Real

eixo Imaginário


49



No caso específico dessa Situação de Apren-

dizagem 4, os números complexos são explo-

rados por meio de sua representação como

pontos do plano, com ênfase nas transfor-

mações associadas às operações. Essa pode

ser a parte menos comum no tratamento dos

complexos nos diversos livros didáticos, mas

consideramos que tal tratamento pode ser

mais adequado para uma incorporação

da linguagem dos complexos, mesmo sem

o recurso a muitas técnicas de cálculo. As

transformações realizadas sobre regiões do

plano complexo constituem terreno muito

fértil para aplicações práticas dos mesmos,

que não puderam ser apresentadas apenas

em decor rência dos limites do presente Ca-

derno, mas que poderão ser apreciadas pelos

alunos, em leituras futuras, ou em trabalhos

complementares.

No fim do percurso, consideramos o apro-

veitamento dos alunos satisfatório se eles

souberem reconhecer o significado dos com-

plexos, interpretando-os como pontos do

plano, e se forem capazes de interpretar opera-

ções simples realizadas sobre complexos com

transformações no plano, como translações,

rotações e ampliações, conforme indicadas

nas atividades realizadas.

A juízo do professor, se o desempenho dos

alunos não for satisfatório, pode-se experi-

mentar estratégias alternativas, como:

Restringir-se apenas a destacar o fato f

básico, decisivo, de que i2 = –1 na cons-

trução dos novos números, os números

complexos, mostrando a grande amplia-

ção na ideia de número, que transbor-

da a reta numerada e passa a ocupar o

plano inteiro. Nessa estratégia, a repre-

sentação do i no eixo perpendicular ao

eixo real, como foi feito no Caderno, se

for feita de maneira compreensiva, pode

servir para despertar o interesse pelos no-

vos números, mostrando a Matemática

como uma permanente construção, e

ampliando o horizonte da Matemática

como linguagem;

pode-se trabalhar o significado dos com- f

plexos e das operações com papel qua-

driculado, representando efetivamente

complexos no plano e realizando ope-

rações simples sobre eles, como adições,

subtrações e multiplicações, sempre

procurando reconhecer diretamente nas

ações realizadas o significado geomé-

trico de cada uma delas (deslocamen-

tos horizontais, verticais, ampliações,

rotações). Após a construção de figu-

ras correspondentes a operações dadas

a priori, pode-se inverter a mão e per-

guntar sobre as operações necessárias

para produzirem certas transformações

em figuras dadas, o que pode tornar o

desafio ainda mais interessante.


50

Se considerar que os alunos não apreende-

ram adequadamente a temática proposta na

Situação de Aprendizagem 1, o professor pode

experimentar estratégias alternativas, como:

iniciar as atividades do bimestre com f

uma retomada direta das equações do

segundo grau, tais como são apresenta-

das na 8ª- série do Ensino Fundamental

e na 1ª- série do Ensino Médio, recordan-

do a fórmula de Bhaskara, as relações

entre coeficientes e raízes, e resolvendo

problemas práticos que conduzem a tais

equações. Somente depois deve ser pro-

posta a extensão de tais interesses para

equações de grau 3, com passagem mais

suave para a problemática do presente

Caderno;

concentrar-se efetivamente na história da f

Matemática, particularmente na histó-

ria das equações algébricas, explo rando

materiais como os que são sugeridos no

fim deste Caderno, que se prestam es-

pecialmente à realização de pequenos

projetos de estudo e de pesquisa.

Na Situação de Aprendizagem 2, conside-

rando insuficiente a compreensão dos alunos,

o professor poderá explorar com mais vagar al-

gumas outras estratégias, como, por exemplo:

trabalhar inicialmente apenas com as f

equações do segundo grau, cujas raízes

podem ser determinadas a qualquer ins-

tante, se necessário, para explicitar bem

as relações entre os coeficientes e as raí-

zes das mesmas, antes de se dedicar a

equações de grau superior;

mesmo abordando equações de grau f

superior a dois, construir diretamente

diversas equações que tenham como raí-

zes certos números dados, explorando a

possibilidade de se escrever uma equa-

ção de raízes r1, r2, r3, r4, ..., na forma de

um produto de binômios (x – r1) . (x – r2) .

.(x – r3).(x – r4). .... = 0, e calculando

diretamente os coeficientes dos diver-

sos termos da equação. Tal explora-

ção, de natureza experimental, mes-

mo em uns poucos exemplos, pode

ser decisiva para a compreensão das

relações entre coeficientes e raízes de

uma equação.

Caso os alunos ainda tenham dúvidas

sobre os conceitos trabalhados na Situação

de Aprendizagem 3, o professor poderá rea-

presentar o tema, optando por uma das estra-

tégias seguintes:

na abordagem inicial da ideia de iden- f

tidade de polinômios, para facilitar o

entendimento, o professor pode sugerir

a comparação dos gráficos de duas fun-

ções polinomiais: eles podem assumir

valores iguais em alguns pontos, sem

que as funções sejam idênticas; entre-

tanto, para que as funções sejam iguais

para todos os valores possíveis para x,

ORIENTAçÕES PARA RECUPERAçãO


51


RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSãO DO TEMA

Existem diversos softwares disponíveis que

podem ser utilizados para a exploração da re-

presentação das transformações no plano cor-

respondentes às operações com os números

complexos. Como no caso da Geometria Ana-

lítica Plana, consideramos, no entanto, que, em

um primeiro momento, a construção efetiva por

parte dos alunos das figuras representativas das

situações estudadas é muito importante. Após

esse contato inicial, o recurso a softwares que

facilitem a construção gráfica das curvas e das

regiões do plano é, sem dúvida, conveniente e

deve ser incentivada. É importante ressaltar

que a não disponibilidade dos mesmos não

impede a efetivação de qualquer das atividades

propostas no presente texto.

Em cada um dos textos citados, podem

ser encontrados elementos para a compreen-

são dos caminhos da busca de soluções para

equações algébricas, tal como foi sugerido no

texto do Caderno.

BOYER, CARL B. História da Matemática.

Tradução de Elza Furtado Gomide. São

Paulo: Edgard Blücher, 1974.

DOMINGUES, Hygino H. Síntese da

história das equações algébricas. Caderno

Ensino-Aprendizagem de Matemática, n. 2.

São Paulo: SBEM, 2000.

EVES, Howard. Introdução à história

da Matemática. Tradução de Higyno H.

Domingues. Campinas: Editora da Unicamp,

2004.

KUROSCH, A. G. Equações algébricas

de grau qualquer. Traduzido por Antonio

Carlos Brolezzi. São Paulo: Atual, 1995.

MARKUSHÉVICH, A. I. Números

complexos y representaciones Conformes.

Moscou: Editorial MIR, 1977.

é necessário que os coeficientes dos ter-

mos de mesmo grau sejam iguais, ou

seja, a identidade das funções exige tal

igualdade dos coeficientes dos termos

semelhantes.

na apresentação das equações algébri- f

cas, apresentar os polinômios cons-

trutivamente, na maneira já fatorada,

deixando mais visível o fato de que,

conhecendo-se uma das raízes, o grau

da equação pode ser diminuído; deixar-

se-ia, assim, para um momento poste-

rior o ensino da divisão, que levaria à

fatoração.

Os temas trabalhados na Situação de

Aprendizagem 4 podem ser igualmente

reto mados com a leitura mais aprofunda-

da de textos sugeridos ao fim do Caderno e

da retomada de atividades anteriormente

propostas.


52

Considerações Finais

Conforme já comentamos anteriormente,

na grade de conteúdos proposta para as três

séries do Ensino Médio, pressupõe-se que

muitos dos temas se apoiam mutuamente,

sendo mais fácil interessar os alunos quando

se apresenta um cenário de conteúdos mais

abrangente do que quando se lhes subtrai

a possibilidade de contato com alguns dos

temas. Apesar da aparente extensão do con-

teúdo a ser ensinado, deve ficar claro para o

professor que cada tema é apenas um meio,

um instrumento para a construção das

competências básicas de leitura, escrita, com-

preensão, argumentação, contextuação, pro-

blematização. A grande preocupação não pode

ser a de “esgotar os conteúdos”, mesmo porque

tal esgotamento nunca é possível, na prática,

mas sim a de aproveitar as oportunidades para

o crescimento pessoal de cada estudante, por

meio de um contato proveitoso com algumas

das ideias fundamentais da Matemática.

Na presente proposta, reservou-se ape-

nas um bimestre para equações, polinômios

e complexos. Dependendo do número de au-

las disponíveis para o professor, nem todos

os temas podem ser tratados com a mesma

profundidade, cabendo ao mesmo selecionar

as ideias que serão mais ou menos contempla-

das. Nossa preocupação na apresentação dos

diversos temas foi a de torná-los acessíveis

para quem deles se aproxima pela primeira

vez, não hesitando em sacrificar certo nível de

rigor formal em benefício da construção de

uma compreensibilidade. Ao mesmo tempo,

procurou-se tornar as oito unidades relativa-

mente independentes, de modo que uma me-

nor exploração, ou mesmo a não exploração

de alguma delas não impeça o aproveita mento

das outras. Somente o professor, em sua cir-

cunstância específica, poderá selecionar os te-

mas em que mais se deterá, bem como aqueles

aos quais dará menos relevância.

De maneira geral, ao fim deste Cader no,

após as atividades propostas nas quatro

Situações de Aprendizagem, espera-se que os

alunos tenham atingido os seguintes objetivos

gerais, relativos à temática das equações algé-

bricas, dos polinômios e dos complexos:

tenham compreendido a história das f

equações algébricas, com o desloca-

mento das atenções das fórmulas para

as análises qualitativas;

tenham conhecimento das relações en- f

tre coeficientes e raízes de uma equação

algébrica, bem como as operações com

polinômios necessárias para a redução

da ordem com base no conhecimento de

uma raiz da equação;

sejam capazes de expressar o signifi cado f

dos números complexos por meio do

plano de Argand-Gauss;

sejam capazes de compreender o sig- f

nificado geométrico das operações

com complexos.


53


Conteúdos de matemátiCa por série/bimestre do ensino médio

1a- série 2a- série 3a- série

1o - bim

estr

e

números e sequênCias- Conjuntos numéricos.- Regularidades numéricas:

sequências.- Progressões aritméticas,

progressões geométricas; ocorrências em diferentes contextos; noções de matemática financeira.

trigonometria- Arcos e ângulos; graus e radianos.- Circunferência trigonométrica: seno,

cosseno, tangente.- Funções trigonométricas e fenômenos

periódicos.- Equações e inequações trigonométricas.- Adição de arcos.

geometria analítiCa- Pontos: distância, ponto médio e

alinhamento de três pontos.- Reta: equação e estudo dos

coeficientes, retas paralelas e perpendiculares, distância de ponto a reta; problemas lineares.

- Circunferências e cônicas: propriedades, equações, aplicações em diferentes contextos.

2o - bi

mes

tre

Funções- Crescimento exponencial.- Função exponencial: equações e

inequações.- Logaritmos: definição,

propriedades, significado em diferentes contextos.

- Função logarítmica: equações e inequações simples.

matrizes, determinantes e sistemas lineares- Matrizes: significado como tabelas,

características e operações.- A noção de determinante de uma

matriz quadrada.- Resolução e discussão de sistemas

lineares: escalonamento.

equações algébriCas, polinômios, Complexos- Equações polinomiais: história,

das fórmulas à análise qualitativa.- Relações entre coeficientes

e raízes de uma equação polinomial.

- Polinômios: identidade, divisão por x – k e redução no grau de uma equação.

- Números complexos: significado geométrico das operações.

3o - bi

mes

tre

Funções exponenCial e logarítmiCa- Formas planas e espaciais.- Noção de perímetro e área de figuras

planas.- Cálculo de área por composição e decomposição.

análise Combinatória e probabilidade- Raciocínio combinatório: princípios

multiplicativo e aditivo.- Probabilidade simples.- Arranjos, combinações e permutações.- Probabilidades; probabilidade

condicional.- Triângulo de Pascal e binômio de

Newton.

estudo das Funções- Panorama das funções

já estudadas: principais propriedades.

- Gráficos: funções trigonométricas, exponencial, logarítmica e polinomiais.

- Gráficos: análise de sinal, crescimento, decrescimento, taxas de variação.

- Composição: translações, reflexões, inversões.

4o - bi

mes

tre

geometria-trigonometria- Razões trigonométricas nos

triângulos retângulos.- Polígonos regulares: inscrição,

circunscrição; pavimentação superfícies.

- Resolução de triângulos não retângulos: lei dos senos e lei dos cossenos.

geometria métriCa espaCial- Organização do conhecimento

geométrico: conceitos primitivos, definições, postulados, teoremas.

- Prismas e cilindros: propriedades, relações métricas.

- Pirâmides e cones: propriedades, relações métricas.

- A esfera e suas partes; relações métricas; a esfera terrestre.

estatístiCa- Cálculo e interpretação de índices

estatísticos.- Medidas de tendência central: média,

mediana e moda.- Medidas de dispersão: desvio médio

e desvio padrão.- Elementos de amostragem.


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56


matematica cp 3s vol2reduzido

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