UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

INSTITUTO DE TECNOLOGIA

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

DISCIPLINA: VIBRAÇÕES MECÂNICAS

PROFESSOR: NEWTON SOEIRO

1º RELATÓRIO:

ANÁLISE DO SISTEMA MASSA-MOLA

DIEGO DE LEON BRITO CARVALHO – 07021001601

BELÉM, ABRIL / 11

SUMÁRIO

1- Introdução

2- Objetivos

2.1- Geral

2.2- Específicos

3- Materiais e Métodos

4- Análise e Discussão dos Resultados

5- Conclusões

6- Referências Bibliográficas

7- Anexos

1- Introdução

Praticamente qualquer parte feita de um material elástico possui alguma

“mola” dentro de si. Molas são projetadas para prover uma força de tração,

compressão ou um torque, ou principalmente guardar energia. Muitas

configurações de molas são possíveis, pois algumas vezes a tarefa requer uma

mola projetada segundo as necessidades do projeto.

Independente da configuração da mola, esta possui uma constante de

mola k, definida como a inclinação da sua curva força-deformação. Se a

inclinação for constante, a mola é linear e k pode ser definido como:

K= Fy

Equação 1

Onde F é a força aplicada e y a deflexão. Uma vez que a função

deformação pode ser sempre determinada para cada geometria conhecida e

carregamento, e porque a função de deformação expressa uma relação entre

força aplicada e deflexão, ela pode facilmente ser rearranjada algebricamente

para expressar k como escrito na equação acima.

A constante de mola pode ser um valor constante (mola linear) ou pode

variar com a deflexão (mola não-linear). Ambas têm suas aplicações, mas

frequentemente queremos uma mola linear para controlar o carregamento. A

equação para cálculo da constante da mola é:

K= Fy= d4G

8D3 Na Equação 2

Em geral um sistema vibratório inclui um meio para armazenar energia

potencial elástica (mola), um meio para armazenar energia cinética (massa) e

um meio de perda gradual de energia (amortecedor). No presente experimento

foram consideradas algumas hipóteses com o intuito de simplificar a análise

física do problema, das quais podemos destacar:

O sistema é discreto, pois se necessita de apenas uma coordenada (1

grau de liberdade) para descrevê-lo.

O sistema não é amortecido, isto é, não há dissipação de energia.

O sistema é linear, logo o seu movimento de translação é retilíneo.

2- Objetivos

2.1- Geral

Analisar a influência da massa da mola no comportamento dinâmico do

sistema.

2.2- Específicos

1- Calcular a rigidez da mola de forma analítica e comparar com o

resultado obtido através da tangente do gráfico (força x deformação)

2- Calcular a massa efetiva do sistema de forma analítica e comparar com

o resultado obtido através da tangente do gráfico (período x massa)

3- Calcular os períodos de acordo com a variação da massa dos discos

desconsiderando a massa da mola e, posteriormente, calculá-los

considerando a massa da mola. O erro resultante da comparação de

ambos os resultados será analisado.

4- Comparar os períodos obtidos experimentalmente com os resultados

analíticos, considerando a massa da mola.

5- Analisar e discutir os resultados experimentais e analíticos para

compará-los com a fundamentação teórica abordada em sala de aula.

3- Metodologia

Os dados do sistema utilizado para realização do experimento são

apresentados na tabela abaixo:

Tabela 1: valores fornecidos.

Peso da mola 0,162kg mef

Peso da haste 1,5kg ma

Peso do disco 0,4kg md

Diâmetro interno 0,0387m di

Diâmetro externo 0,0454m de

Diâmetro do fio 0,00335m d

Número de espira ativas 18 -

Os materiais utilizados são listados abaixo:

Bancada universal para testes de vibração.

Paquímetro utilizado para medição dos diâmetros externo, interno e do

fio da mola.

Cronômetro para medição dos períodos de oscilação.

Software Excel para realização dos cálculos analíticos e plotagem dos

gráficos para obtenção das curvas.

Figura 1: Esquema do sistema massa-mola empregado no experimento.

Figura 2: Bancada de testes utilizada para realização do experimento.

O experimento consistiu na verificação da influência da massa da mola

no comportamento dinâmico do sistema. Foram fornecidas as medidas

anteriormente apresentadas na Tab. 1.

Para iniciar a primeira etapa do experimento, ajustamos a régua da

bancada de testes (graduada em milímetros) à haste fixa de massa constante,

com o objetivo de posicionarmos o eixo de referência (ponto de equilíbrio

estático) para o movimento da mola. É importante destacar que no ponto de

equilíbrio temos a influência da massa da haste.

Figura 3: Régua da bancada de testes em detalhe.

Registramos a deformação correspondente na mola considerando

apenas a massa da haste. Acrescentamos o primeiro disco (massa constante)

à haste fixa e repetimos o mesmo procedimento. Novamente registramos a

deformação da mola, equivalente ao acréscimo do primeiro disco. Esse

processo se repetiu por mais quatro vezes, até que massa do disco alcançasse

2kg (5 discos), sendo que a cada acréscimo de disco eram registrados as

deformações correspondentes.

Figura 4: Disco e paquímetro utilizados nas etapas do experimento. Mola em detalhe.

Ainda na primeira etapa do experimento, repetimos o mesmo

procedimento. Desta vez a massa do disco iniciava com 2kg e a operação foi

realizada até que o sistema não apresentasse nenhum disco. Por meio da

variação da massa do disco e com a aceleração da gravidade, podemos

encontrar os valores de força que a mola ficou submetida.

De posse dos valores de deformação correspondentes a cada variação

de força, podemos plotar o seguinte gráfico:

Gráfico 1: Força x Deformação

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.0250

5

10

15

20

25

f(x) = 846.831261101244 x + 0.212579040852573R² = 0.998883532098452

Experimental

Linear (Experimental)Deformação (m)

Forç

a (N

)

Através do coeficiente angular da equação da reta, podemos obter o a

constante de rigidez da mola k. Esse valor experimental é comparado com o

valor de k calculado analiticamente através da Equação 2.

k=((78*10^9)*(0,00335^4))/(8*18*((0,0387+0,00335)^3))

k= 917,5 N/m

O erro comparativo entre a rigidez experimental e a rigidez analítica é:

Erro= 7,7%

Na segunda etapa do experimento deixamos novamente o sistema sem

a massa dos discos, considerando o ponto de partida apenas com a massa da

haste. Aplicamos um impulso para iniciarmos o deslocamento da mola e

aguardamos que a mesma completasse 20 ciclos, em movimento retilíneo de

vaivém. Após os 20 ciclos o período de deslocamento foi registrado.

Acrescentamos o primeiro disco (massa constante) à haste fixa e repetimos o

mesmo procedimento. Após os 20 ciclos completos, registramos novamente o

período equivalente. Esse processo se repetiu por mais quatro vezes, até que

massa do disco alcançasse 2kg, sendo que a cada 20 ciclos eram registrados

os períodos correspondentes.

De posse dos valores de período correspondentes a cada variação de

massa dos discos, podemos plotar o seguinte gráfico:

Gráfico 2: Período x Massa

1.5 2 2.5 3 3.50.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

0.17

0.18

f(x) = 0.0384453616071429 x + 0.0379081610386905R² = 0.962695477793308

Experimental

Linear (Experimental)

Massa do disco (kg)

Perí

odo

(s2)

Através da seguinte Equação 3 podemos calcular a mef de duas formas:

T 2=4 π2

SgM+ 4 π ²

Sgmef Equação 3

Se isolarmos mef na equação, podemos calculá-lo através dos períodos

armazenados. Obtemos então cinco valores para mef e tiramos uma média:

mef=0,36kg

Ou podemos calculá-lo igualando o segundo termo da equação com o

coeficiente linear do gráfico 2, obtemos então:

mef=0,81kg

A partir destes valores, podemos calcular o erro equivalente:

Erro= 55%

Para verificar a influência da massa da mola no comportamento do

sistema e considerando ainda a Equação 3, calculamos o período

analiticamente de duas formas.

A primeira maneira desconsidera a massa da mola, já a segunda leva

em consideração o acréscimo da massa da mola. Obtivemos para ambos os

casos vários valores de período correspondentes as variações da massa do

disco. Calculamos então o erro equivalente a essa comparação de dados (sem

a massa da mola x com a massa da mola). De posse desses dados, podemos

plotar o seguinte gráfico:

Gráfico 3: Erro x Massa do disco

0 0.4 0.8 1.2 1.6 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Massa do disco (kg)

Erro

(%)

Através dos dados do período registrados experimentalmente e o

período calculado analiticamente, podemos comparar o erro equivalente com a

variação da massa do disco.

Gráfico 4: Erro x Massa do disco (Experimental e Analítico)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

Experimental

Analítico

Massa do disco (kg)

Erro

(%)

4- Análise e Discussão dos Resultados

No que diz a primeira etapa do experimento, verificamos que o erro

equivalente à comparação da rigidez experimental com a rigidez analítica foi de

7,7%. Percebemos então que o valor experimental encontrado está coerente

com o calculado analiticamente.

Com relação à segunda etapa, percebemos que o erro correspondente à

massa efetiva da mola, calculada analiticamente de duas maneiras distintas,

com o auxílio do gráfico 2, é de 55%. Este resultado não era esperado em

função da notória disparidade entre os dois valores.

Os valores encontrados para os períodos, primeiramente considerando a

massa da mola e, posteriormente, desconsiderando essa massa, foram

satisfatórios, visto que a média do erro (2,3%) apresentado foi muito pequena.

A comparação entre a variação do erro dos valores experimentais e

analíticos com a variação da massa do disco também apresentou resultados

satisfatórios, visto que pela análise do gráfico 4 podemos verificar um

comportamento semelhante entre os valores analíticos e os experimentais.

5- Conclusões

Os valores apresentados na primeira etapa do experimento estão de acordo

com a fundamentação teórica ministrada em sala de aula, pois através dos

resultados podemos compreender como é calculada a rigidez da mola num

sistema que apresenta comportamento dinâmico a partir da variação da massa

do elemento de inércia que o compõe. Neste caso verificamos a aplicabilidade

de um sistema massa-mola no que diz respeito à determinação de parâmetros

importantes, tais como a rigidez da mola.

Os resultados equivalentes à massa efetiva da mola não foram satisfatórios,

pois o erro apresentado foi muito superior ao previsto. Isso pode ser explicado

pelo fato de não termos total controle sobre as variáveis que influenciam na

veracidade das informações registradas no experimento. Isto é, a credibilidade

dos resultados é influenciada por parâmetros de experimento, os quais se

destacam:

O sistema não se comporta em movimento retilíneo, isto é, não

apresenta apenas 1 GL.

O sistema é amortecido, pois há dissipação de energia por meio do

contato da haste com o orifício da bancada de teste, o que gera atrito e

a conseqüente perda de energia.

Observamos que os erros na medição do período podem ser

determinantes para a veracidade dos resultados, visto que o mesmo era

realizado apenas a partir do contato visual do operador e de um

cronômetro sem calibragem para tal fim. Notamos que os erros humanos

durante a medição alteram completamente os valores obtidos.

No que diz respeito à análise dos períodos em função do acréscimo de

massa do disco, podemos afirmar que a massa da mola apresenta pouca

influência no comportamento dinâmico do sistema, visto que seu valor é

pequeno se comparado ao acréscimo de massa no corpo rígido. Isto pode ser

notado através do comportamento do erro, que decresce conforme o aumento

da massa do disco. Ou seja, o aumento da massa disco diminui

gradativamente a importância da massa da mola no experimento em questão.

As conclusões referentes à perda significativa da influência da massa da

mola com o aumento da massa do disco é comprovada por meio do gráfico 4,

onde notamos a concordância dos valores experimentais com os analíticos,

que nos leva a concluir que os resultados encontrados são coerentes e que

neste tipo de sistema massa-mola, a massa da mola pode ser desprezada para

efeitos de cálculos.

Notamos ainda que a determinação de parâmetros relacionados a

comportamentos de sistemas vibratórios exige aparato estrutural e

repetibilidade suficientes para que possam nos fornecer credibilidade no que

diz respeito aos valores registrados. As informações fornecidas pelos aparelhos

de medição devem ser constantemente questionadas se realmente

representam a realidade do experimento.

6- Referências Bibliográficas

Projeto de Engenharia Mecânica, Shigley.

Projeto de Máquinas – Uma abordagem Integrada, Norton.

Vibrações Mecânicas, Rao.

7- Anexos

Rotinas do Excel utilizadas nos cálculos.

Deformação(m) Força(N)0 =B3*E3=0,078-0,074 =B4*E3=0,078-0,069 =B5*E3=0,078-0,064 =B6*E3=0,078-0,06 =B7*E3=0,078-0,055 =B8*E3

Cálculo da rigidez Erro(%)=((78*10^9)*(0,00335^4))/(8*18*((0,0387+0,00335)^3))

=((F3-846,83)/F3)*100

Período(s) - média tempo exp. /20

Peso do disco (kg)

Período(s2)

=((6,74+6,21)/2)/20=1,5+0,054

=B3^2

=((6,75+6,23)/2)/20=1,9+0,054

=B4^2

=((7,35+6,89)/2)/20=2,3+0,054

=B5^2

=((7,65+7,36)/2)/20=2,7+0,054

=B6^2

=((8,32+7,94)/2)/20 =3,1+0 =B7

,054 ^2

=((8,49+8,18)/2)/20=3,5+0,054

=B8^2

Cálculo mef Cálculo de mef (k exp)=((846,83*D3)/(4*PI()^2))-C3 =(0,0379*846,83)/(4*(PI()^2))=((846,83*D4)/(4*PI()^2))-C4=((846,83*D5)/(4*PI()^2))-C5 Cálculo de mef (k teo)=((846,83*D6)/(4*PI()^2))-C6 =(0,0379*592,2)/(4*(PI()^2))=((846,83*D7)/(4*PI()^2))-C7=((846,83*D8)/(4*PI()^2))-C8=MÉDIA(G3:G8)

Cálculo de T2 (sem mola) Cálculo de T=((4*PI()^2)*(1,5+L3))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L3+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L4))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L4+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L5))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L5+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L6))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L6+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L7))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L7+0,054))/846,83=((4*PI()^2)*(1,5+L8))/846,83 =((4*PI()^2)*(1,5+L8+0,054))/846,83