06. aula circunferencia

Geometria Plana Circunferncia

lgebra Linear e Geometria Analtica Engenharia Civil FEAD

2015/1 Prof Isabela

Definio

Posies relativas entre reta e circunferncia

Posies relativas entre duas circunferncias

Comprimento da circunferncia

Equao da circunferncia

Sumrio

Definio

Circunferncia o lugar geomtrico dos pontos de um plano que equidistam de um ponto fixo, chamado centro (ponto C).

C

Posies relativas entre reta e circunferncia

C

r

t

Em que o ponto C o centro da circunferncia, o segmento r o raio e d, nos casos apresentados, denota a distncia entre o centro C e as retas.

C r

s

C

r

e

Reta tangente dC,t = raio

Reta secante dC,s < raio

Reta externa dC,e > raio

Qualquer reta tangente a uma circunferncia perpendicular reta que passa pelo centro e pelo ponto de tangncia T.

C

t

T

Exerccio 1

Dada uma circunferncia de centro C e um ponto P externo a ela, as retas que passam por P e so tangentes circunferncia determinam os segmentos congruentes PQ e PT, em que Q e T so os pontos de tangncia.

Determine a medida do segmento PQ, tangente circunferncia, sabendo que o raio da circunferncia mede 3,5 cm e que o permetro (soma das medidas de todos os lados) do quadriltero PTCQ 28 cm.

P C

T

Q

Exerccio 1 - Resposta

Considerando a medida do segmento PQ igual a x, e sabendo que os segmentos PQ e PT tm a mesma medida, temos:

x + x + 3,5 cm + 3,5 cm = 28 cm

2x + 7 cm = 28 cm

2x = 28 cm 7 cm

2x = 21 cm

x = 10,5 cm

P C

T

Q

3,5 cm

3,5 cm

x

x


CV CV

CV CV CV CV CV CV

CV CV CV CV

Internas concntricas

Tangentes internas Tangentes externas Secantes

Internas no concntricas Externas

No caso das circunferncias serem tangentes, os centros e os pontos de tangncia so sempre colineares.

CV CV CV CV

Tangentes internas Tangentes externas


Exerccio 2

Duas circunferncias tangenciam-se externamente e a distncia entre os centros de 10 cm. O raio da circunferncia menor do raio da circunferncia maior. Quanto medem os raios?


CV CV x 2x

3


Quando somamos todos os lados de uma figura plana, obtemos o seu permetro.

No caso especfico do crculo, o clculo do permetro dado pelo comprimento da circunferncia (contorno do crculo), pois um crculo contornado por uma circunferncia, que formada pela unio das extremidades de uma linha aberta.

Crculo Circunferncia

Linha de comprimento equivalente ao permetro do crculo.

A relao entre o comprimento e o dimetro (fi, que vale duas vezes o raio) da circunferncia igual a (pi), isto , C = .

um nmero irracional que vale 3,14159265359, normalmente aproximado por 3,14.

A relao normalmente utilizada para o clculo do comprimento da circunferncia o comprimento em funo do raio, isto , C = 2 r.


Exerccio 3

Considere um quadrado com lado de 15 cm inscrito em uma circunferncia. Determine a medida aproximada do comprimento da circunferncia com arredondamento de uma casa decimal.

Use:


15 cm

15

cm

Por meio do Teorema de Pitgoras, podemos determinar a medida da diagonal do quadrado, que corresponde ao dimetro da circunferncia:

Sabendo que o dimetro mede 21,15 cm (e o raio mede a metade disso, isto , r = 10,575 cm), podemos calcular o comprimento da circunferncia:

Equao da circunferncia

Sabemos que a distncia entre qualquer ponto da circunferncia e seu centro constante (igual ao raio, r).

Da equao para a distncia entre dois pontos, obtemos a equao para a circunferncia de centro C(a , b), considerando o raio r como a distncia entre o centro e um ponto genrico P(x , y).

ou

C(a , b)

P(x , y)

r

Exerccio 4

Determine a equao da circunferncia com centro no ponto C (2, 1) e que passa pelo ponto A (1, 1).


Primeiramente, calculamos o raio da circunferncia a partir da distncia entre dois pontos:

Para um ponto genrico da circunferncia, obtemos a seguinte equao (na forma reduzida):

Observao

A partir da equao da circunferncia na forma reduzida, podemos obter a equao geral da circunferncia:


Obrigada!

06. aula circunferencia

Documents