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MATEMÁTICA II

Aula 5Trigonometria na Circunferência

Professor Luciano Nóbrega

1º Bimestre

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TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA

ARCOS e ÂNGULOSA medida de um arco é, por definição, a medida do ângulo central correspondente. As unidades de medida restringem-se a três principais: o grau (º), o radiano (rad) e o grado (Gr).

Considere uma circunferência de centro “O”. Sejam “A” e “B”dois pontos distintos. Um arco de circunferência de extremos “A”e “B” é cada uma das partes em que fica dividida uma circunferência por dois de seus pontos.

http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Circ5.png

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O NÚMERO πDada uma circunferência de raio “r”, diâmetro d = 2r, o número

π é definido como a razão do comprimento “C” da

circunferência pelo seu diâmetro “d”, isto é,

O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

Observando a definição do número π , podemos concluir que:

C = 2.π.rO COMPRIMENTO DE UM ARCO

Em uma circunferência de raio “r” a definição de radiano implica que um ângulo de 1 radiano compreende um arco de comprimento “r”. Logo um ângulo de Θ radianos compreende um arco de comprimento “s”. O valor “s” é dado por

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EXEMPLO:Sabendo que 1 radiano compreende um arco de comprimento “r” (ou seja, s = r). Determine quantos radianos são necessários para completar uma volta?

SOLUÇÃO:Fazendo a “regra de 3”, temos:“1 rad” está para o arco de medida “s = r”, assim como “Θ rad”

está para a volta completa “C = 2πr”. Sendo assim:

Isto é, uma volta completa na circunferência corresponde a um

ângulo de medida 2πradianos.

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CONVERSÃO GRAU – RADIANOAssim, dado um ângulo Θ radianos, sua medida x em graus é dada por

EXEMPLO:

Determine a medida do ângulo (3/4)π rad em graus.

EXEMPLO:Determine a medida do ângulo 155º graus em radianos.

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O CICLO TRIGONOMÉTRICONo plano cartesiano, considere uma circunferência de centro (0, 0), de raio “r” e o ponto A(1,0).

A cada número real “α ” associaremos um

único ponto “P” da circunferência;

Se α = 0 , então tomamos P = A;

Se α > 0 realizamos, a partir de “A” um percurso de comprimento

α no sentido anti-horário e marcamos o ponto “P” como final

desse percurso.

Se α < 0 realizamos, a partir de

um percurso de comprimento αno sentido horário, e marcamos o ponto como final desse percurso.

http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Figura3.png

http://pt.wikibooks.org/wiki/Ficheiro:Yhvyvczsa5.png


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ÂNGULOS CÔNGRUOS

Os ângulos α e β em graus, são côngruos ou congruentes se, e

somente se, α – β = k . 360º para algum k ∈ R, ou seja, se α e βtêm a mesma imagem no ciclo trigonométrico.

EXEMPLO:Nos itens abaixo, determine o arco côngruo de primeira volta e seu respectivo quadrante.a) 685º b) 780º c) – 4000º d) 15π/2 e) –23π/3

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ÂNGULOS CÔNGRUOSPodemos estabelecer uma expressão geral dos arcos que têm imagem em um determinado ponto do ciclo trigonométrico.

Por exemplo, a expressão geral dos arcos que têm imagem no ponto “A” dar-se-á por

0º+n.360º = n.2π , com “n” ∈ N, sendo “n” o

número de voltas completas.

OBSERVAÇÃO: Quando n > 0 deve-se andar no sentido anti-horário; se n < 0 deve-se andar no sentido horário.

EXEMPLOS:


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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICAObserve a figura:Considere o segmento OP de medida igual a 1. (Pergunte ao Professor porque razão OP = 1)

No triângulo OPQ, temos:

sen Θ = PQ = x e cos Θ = OQ = yNo sentido anti-horário, a partir do semi-eixo positivo das abscissas. Definimos o cosseno do ângulo Θ como o valor da abscissa de P e seu seno como o valor da ordenada de P.

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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICAObserve essa outra figura:

As medidas do cosseno estão sobre o eixo das abscissas (eixo x). Analogamente, as medidas do seno podem ser sobrepostas no eixo das ordenadas (eixo y). Observe que os triângulos OPM e OTA são semelhantes pelo caso AA, logo:

Portanto, o eixo no qual está inserido o segmento TA é denominado como o eixo da tangente.

OBSERVE que a Relação Fundamental da Trigonometria continua sendo válida na circunferência.

sen²x + cos²x = 1

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VALORES NOTÁVEIS NA CIRCUNFERÊNCIAObserve a figura e preencha a tabela:

Ângulo Seno Cosseno Tangente

0º

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

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REDUÇÃO DO 2º PARA O 1º QUADRANTESe o ângulo Θ estiver no 2º quadrante, então sua

redução ao 1º quadrante é π – Θ.

Observe que :

sen Θ = OR = sen (π – Θ)

cos Θ = OP = –OQ = cos (π – Θ)

tg Θ =

EXEMPLO:Determine os valores de seno, cosseno e tangente de 5π/6

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redução ao 1º quadrante é Θ – π.

Observe que :

sen Θ = OS = – OR = – sen (Θ – π)

cos Θ = OP = –OQ = – cos (Θ – π)

tg Θ =


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redução ao 1º quadrante é 2π – Θ.

Observe que :

sen Θ = OS = – OR = – sen (2π – Θ)

cos Θ = OQ = cos (2π – Θ)

tg Θ =


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1 – [FECAP-SP] Determine o valor da expressão:

sen(π/4 ) + cos(π/4) + cos(π/2 + π/4).

TESTANDO OS CONHECIMENTOS

GABARITO: 1) √2/22) –¾

2 – [FEP-PA] No círculo trigonométrico um ângulo é tal que seu seno vale 3/5 e encontra-se no segundo quadrante. Calcule o valor da tangente deste ângulo.

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3 – [ITA-SP] Calcule o valor da expressão y = 2tg(x)/[1 – tg2(x)] quando cos(x) = – 3/7 e tg(x) < 0.


GABARITO: 1) 12 √10/312)

4 – Simplificar a expressão (sen120º .cos120º)/(tg120º)

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5 – Resolva os exercícios do livro “Matemática_Manoel Paiva”:P.239_1 e 2 // P.240_3 // P.243_4, 5 e 6 // P.245_9 e 10P.246_11 e 12 // P.250_13,14, 15 e 16 // P.252_21 e 26

P.264_1, 3 e 4 // P.266_5 e 6 // P.267_11 // P.


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