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Matemática I

Profª Ms. Karine R. de Souza

AULA 4

RADICIAÇÃORADICIAÇÃOÉ a operação inversa da potenciação.

  Ex.

 

Na raiz , temos:

42pois24 2

n a

008,0)2,0(2,010

2

10

2

1000

8008,0

32)2(2)2(32

333

3

33

55 55

4

RadiciaçãoRadiciaçãoRaiz quadrada de um número positivo “a” é o número positivo que elevado ao quadrado dê “a”.

Exemplos:Exemplos:

9 3 36 36 49 7 81 9

1 1 0 0 1,21 1,1 6,25 2,5

1 1

4 2

9 3

25 4 0,04 0,2

5

RadiciaçãoRadiciação

Exemplos:Exemplos:

3 8 2 3 64 4 3 1 13 27 3

Raiz cúbica de um número “a” é o número que elevado ao cubo dê “a”, assim:

33 125 5, pois 5 125

3

3

125 é o radicando

3 é o índice125 5

5 é a raiz

125 é o radical

Obs.:É importante lembrar que esta propriedade também é muito usada no sentido contrário ou seja (o denominador “n” do expoente fracionário é o índice do radical).

Essa propriedade mostra que todo radical pode ser

escrito na forma de uma potência.

np

n p aa 3

13 22

233 44

525 2 66

5 353

22

Vamos fatorar 144 :

Vamos fatorar 243

123432

32.212

222

14432.2

33

2

2

2

2

1

3

9

18

36

72

144

222

144

3 243

3 23 3 33 3 2332433.3

33

3

3

3

1

3

9

27

81

243

23

3 93

Propriedades da RadiciaçãoPropriedades da Radiciação

aa e)

aa d)

aa c)

0)(b b

a

b

ab)

abb a a)

pn pmn m

nmn m

n mmn

nn

n

nnn

a)

b)

c)

aaaa 1nnn n 222 13 3

nnn baba 23 63 baba

n

nn

ba

ba

bb

aou

b

a

b

a2

3

5

6

5

6

Radicais SemelhantesRadicais SemelhantesDois ou mais radicais são Dois ou mais radicais são semelhantes, quando possuem semelhantes, quando possuem o mesmo índice e mesmo o mesmo índice e mesmo radicandoradicando

32 37

3 54 3 56

e

e

Operações com Radicais

Adição e SubtraçãoQuando temos radicais semelhantes em uma adição

algébrica, podemos reduzi-los a um único radical somando-se os fatores externos desses radicais.

55

externosfatores

555 333232323332

reduzidamaisserpodenão

532256322456532224

3 3 3 3

7 2 4 2 7 4 2 11 2

7 2 4 2 7 4 2 3 2

8 5 3 5 6 5 8 3 6 5

Só podemos somar ou subtrair radicais

semelhantes

Simplificando RadicaisSimplificando Radicais

23632233223

32233232883 b)

2222 8 a)

224

2425

236 336 36

Simplificar um radical é reduzir o radicando à sua expressão mais simples.

Exemplos:

Operando com radicaisOperando com radicais

A soma ou diferença de radicais semelhantes é um radical semelhante a eles, cujo coeficiente é a soma ou a diferença de seus coeficientes.

Exemplo:

22

32

2

1532

2

12523

Racionalizando DenominadoresRacionalizando DenominadoresO processo geral consiste em multiplicar-se numerador e denominador por um mesmo fator (o que não altera a fração), chamado fator racionalizante. Ele é escolhido de forma a desaparecer a raiz do denominador.Exemplos:

2

153

15

156

15

15

15

6

15

6

232

26

2

26

2

2

2

6

2

62

)

)

b

a

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃOTemos 3 casos básicos para a multiplicação e

divisão de radicais.1º CASO: Radicais têm raízes exatas.Neste caso basta extrair a raiz e multiplicar ou dividir

os resultados:

8 2 4 8 16 3

33:927:81 3

2º CASO: Radicais têm o mesmo índice.Devemos conservar o índice e multiplicar ou

dividir os radicandos, simplificando sempre que possível o resultado obtido.

155353

10 65 2 65 2 3 25 3 2 2

A ordem dos fatores não altera

o produto (multiplicação)

333

333 2

10

20

10

2010:20 Como os índices das raízes são

iguais, podemos substituir as duas raízes por uma só!

3º CASO: Radicais têm índices diferentes.O caminho mais fácil é reduzir os radicais ao

mesmo índice e efetuar as operações.

m.m.c.(2,4) = 4

m.m.c.(2,6) = 6

44 24 14 24 18232323

6

6 2

6 3

3

3 22

2

2

22:2

20

227 7 7 72 5 5 2 107

343 34 4

3 3 ; 3 3 3

5 2 5 2 125 8

Potenciação:Potenciação:

Radiciação:Radiciação:

3 4 124

3 5 30 16

3 3; 2 2

7 7; 5 5

a am

n nr r m

a an m n m

Racionalizar uma fração cujo denominador é um número irracional, significa achar uma fração equivalente à ela com denominador racional. Para isso, devemos multiplicar ambos os termos da fração por um número conveniente. Ainda podemos dizer que racionalizar uma fração significa reescrever a fração eliminando do denominador os radicais. Vejamos alguns exemplos:

 Temos no denominador apenas raiz quadrada:

3

34

3

34

3

3

3

4

3

42