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Matemática I

Profª Ms. Karine R. de Souza

AULA 7

FATORAÇÃO

O QUE SIGNIFICA FATORAR?

Fatorar significa transformar em produto

Fatoração de polinômios (mais de um termo) é o nome dado a uma operação onde o objetivo é encontrar a “origem” de um ou mais monômios (um termo).

Exemplo: efetuada a fatoração do polinômio 4r + 12, encontraremos o resultado 4(r+3).

²

Fatoração

Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios.

Fatoração

Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios .

A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidência. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.

1º caso –Fator Comum

Vamos fatorar a expressão ax + bx + cxAx + bx + cx = x . (a + b + c)O x é fator comum e foi colocado em evidência.

Fatoração

Exemplos:

Vamos fatorar as expressões:

1) 3x + 3y = 3 (x + y)

2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)

3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)

Exercícios:

a) 4x + 4y =

b) 7a – 7b =

c) 5x – 5 =

d) ax – ay =

e) y² + 6y =

f) 6x² - 4a =

g) 4x⁵ - 7x² =

Fatoração

2º caso - Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

ax + bx + ay + byx( a + b) + y ( a+ b)(a + b) .( x +y)

Observe o que foi feito:

Nos dois primeiros temos “x em evidência”Nos dois últimos fomos “y em evidência”Finalmente “ (a + b) em evidência”Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum

Exemplos:

a) 5ax + bx + 5ay + by x.( 5a + b) + y (5a + b) (x + y) (5a + b)

b) x² + 3x + ax + 3a x(x + 3) + a ( x + 3) (x + 3) . ( x + a)

Exercícios:

a) 6x + 6y + ax + ay =

b) ax + ay + 7x + 7y=

c) 2a + 2n + ax +nx=

d) ax + 5bx + ay + 5by =

e) 3a – 3b + ax – bx =

Fatoração

3º caso -Trinômio quadrado perfeito O 3º caso é o mais simples e rápido de se realizar, consiste em elevar

ao quadrado a raiz do primeiro e do último termo.

Exemplo 1: Raiz quadrada de dois termos elevadas ao quadrado

x²+10x+25 - notamos na equação ao lado que não há nenhuma letra ou número em comum em todos os termos, então não é o primeiro caso. Nem o segundo, pois há somente três termos, impossibilitando o agrupamento.

Fatoração

Então devemos extrair a raiz quadrada do primeiro e do último termo, resultando em x e 5. Agora simplesmente colocamos estes dois termos em parênteses e elevamos tudo ao quadrado. O resultado final será (x+5)². O sinal do segundo termo (+10x) sempre acompanhará o sinal do parêntese (x+5)². Se fosse (-10x) o sinal acompanharia no parêntese (x-5)².

Prova real: (x+5)²=(x+5).(x+5)=x.x+x.5+5.x+5.5=x²+5x+5x+25=x²+10x+25.

Exemplos:

a) x² + 4x + 4 =

b) x² - 4x + 4 =

c)a²+ 2a + 1 =

d) a² - 2a + 1 =

e) x²- 8x + 16=

f)a² + 6a + 9 =

g) a² - 6a + 9 =

h)1 – 6a + 9a² =

Fatoração

4º caso -DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS

Vimos que : ( a+ b ) (a –b) = a² - b² Sendo assim: a² - b²= ( a+ b ) (a –b) Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as

raízes quadradas dos dois termos.

1º exemplo x² - 49 = (x + 7) ( x – 7) 2º exemplo 9a² - 4b² = ( 3a + 2b) (3a – 2b)

Fatoração

Exercícios:

a) a² - 25 = b) x² - 1 = c) a² - 4 = d) 9 - x² = e) x² - a² =