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Matemática I

Profª Ms. Karine R. de Souza

AULA 2

Exercícios - Conjuntos

Resolva os exercícios de 1 a 5 com os conjuntos:

A = {1,2,3,4}B= { 2,4,6,8}C= {1,3,4,5,7}

1)A U B U C 2)A ∩ B ∩ C3)( A U B) ∩ C4)( A ∩ B) U C5)( A-B) ∩ C

Resolução

1) A U B U C = {1,2,3,4,5,6,7,8}

2) A ∩ B ∩ C = {4} – Só existe um elemento comum aos três conjuntos dados.

3) ( A U B) ∩ C = Inicialmente fazemos AUB = { 1,2,3,4,6,8}

Depois { 1,2,3,4,6,8} ∩ { 1,3,4,5,7} = { 1,3,4}

4) ( A ∩ B) U C = ( A ∩ B) = {2,4} logo, {2,4} U { 1,3,4,5,7} ={1,2,3,4,5,7}

5) ( A-B) ∩ C = ( A-B) = {1,3} ∩ { 1,3,4,5,7} = {1,3}

 

Exercicios

Enumere os elementos dos seguintes conjuntos:

1){ x I x é o mês com inicial m}2){ x I x é o número inteiro maior que 4 e menor que 7}3){ y I y é número inteiro maior ou igual a 4 e menor que 7}4){ k I 10 < k < 12, k inteiro)5){ x I x+1 =3}6){ x I x+2 =2}7){ n I n é inteiro maior que 3}8){ q I q é ímpar maior que 3}

 Resolução 

1) { x I x é o mês com inicial m} = { março, maio}2) { x I x é o número inteiro maior que 4 e menor que 7} = { 5,6}3) { y I y é número inteiro maior ou igual a 4 e menor que 7} = { 4,5,6}4) { k I 10 < k < 12, k inteiro) = { 11}5) { x I x+1 =3} = {2}6) { x I x+2 =2} = {0}7) { n I n é inteiro maior que 3} = {4,5,6,7,8.......}8) { q I q é ímpar maior que 3} = {5,7,9,11,13......}

Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas 100 liam o jornal A, 150  liam o jornal B, 20 liam dos dois jornais e 110 não liam nenhum jornal. Quantas pessoas foram consultadas?

a) 340b) 380c)170d)210

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Resolução:

n (A) = 100n (B) = 150n (A ∩ B ) = 20Nem A nem B = 110

N(AUB) = n (A) + n (B) – n (A ∩ B) = 100+150-20 = 230

230 + nem A nem B = 230+110 = 340

110A 80 20

20 130 B

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2) Foi consultado um certo número de pessoas sobre os programas preferidos de determinadas emissoras de TV. Os dados obtidos foram os seguintes: 300 pessoas assistem ao programa Big Brother Brasil, 270 assistem ao programa Fazenda e 150 assistem a ambos os programas. O número de pessoas consultadas foram:

a) 800 pessoas b) 420 pessoas c) 570 pessoas d) 500 pessoas

n (A) = 300n (B) = 270n (A ∩ B ) = 150

Resposta = 420

A 150 150 (I) 120 B

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NÚMEROS INTEIROS, RACIONAIS E REAIS

CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)

No dia-a-dia, utilizamo-nos de conceitos matemáticos sem mesmo perceber. Sempre que podemos contar as unidades de um conjunto de coisas, por exemplo, quando contamos o dinheiro que temos na carteira, ou o número de gols que o centroavante de nosso time marcou no último campeonato, ou ainda o número de votos que o Presidente Lula recebeu nas últimas eleições, obtemos como resposta um resultado que denomina-se número natural.

Portanto, qualquer número que seja resultado ou consequência de uma contagem de unidades é denominado de número natural e é representado por N.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Um subconjunto importante de N é o conjunto N*:

N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}

Como podemos ver, o zero foi excluído do conjunto, obtemos o conjunto dos números inteiros positivos.

Obs: * indica a exclusão do zero de um conjunto.

Dentro do conjunto dos números naturais podemos afirmar que todas as operações envolvendo adição (+) e multiplicação (x) SEMPRE dará como resultado outro número natural. Já não podemos dizer o mesmo quanto às operações inversas da adição – a subtração ( — ), e da multiplicação – a divisão ( ÷ ), pois nem sempre podemos representar a diferença entre dois números naturais por outro número natural, o mesmo acontecendo com a divisão. Por exemplo, a diferença 5 – 8 ou a divisão 7 ÷ 5. Por este motivo, foi criado um novo conjunto numérico, chamado de números inteiros e indicado por Z, para se expressar o resultado de algumas subtrações.

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)

No nosso exemplo anterior vimos que dentro do conjunto dos números naturais a diferença 5 – 8 não podia ser representada por um número natural. Já no conjunto dos números inteiros esta diferença pode ser expressada, pois o resultado ( -3 ) é um número inteiro.

Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

O conjunto N é subconjunto de Z, ou seja, está contido em Z.

Outros subconjuntos de Z:

Z+ = conjunto dos inteiros não negativos = {0,1,2,3,4,5,...}

Z_= conjunto dos inteiros não positivos = {0,-1,-2,-3,-4,-5,...}

Observe que Z+= N.

Da mesma maneira que foi criado o conjunto dos números inteiros para que pudéssemos expressar o resultado de algumas subtrações ou diferenças numéricas, o mesmo ocorreu quanto à impossibilidade de expressar o resultado de uma divisão de dois números inteiros. Assim, foi criado o conjunto dos números racionais, que é indicado por Q.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)

Os números racionais são todos aqueles que podem ser colocados na forma de fração (com o numerador e denominador pertencentes ao conjunto dos números inteiros). Ou seja, o conjunto dos números racionais é a união do conjunto dos números inteiros com as frações positivas e negativa.

2/3 ; 4/5; 7/9 por exemplo são números racionais

Todos os números que podem ser obtidos da divisão (razão) entre 2 números inteiros são chamados números racionais.

Atenção:

A representação decimal de um número racional:

1º) ou é exata ( 7/4 = 1,75)2º) ou é periódica ( 7/11 = 0,636363)

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Conjunto dos Números Reais : R

Existem números cuja representação decimal não é exata e nem periódica, não sendo, portanto, números racionais. São chamados de irracionais.

1,4142135624...... Raiz de 2

3,1415926535......

Como todo número natural é inteiro, como todo número inteiro é racional e como todo número racional é real, temos:

N    Z   Q     R Indicamos por R* o conjunto de números reais sem o zero, ou seja,R* = R - {0}

Exercícios:

1)Enumere os elementos dos conjuntos:

a) A= { x e N I x <4}b) B = { x e Z I X < 2}

2) Resolva:{ x e Z I -3<x < 4} x {x e N I x <6}

Solução:

a)Queremos os números naturais menores que 4, logo:

A = {0,1,2,3}

b) Todos os números inteiros menores ou iguais a 2, incluindo todos os negativos, nos interessam, logo B = {......, -3,-2,-1,0,1,2}.

2) { -2,-1,0,1,2,3} { 0,1,2,3,4,5} = {0,1,2,3} ou { x e N I x <4}