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Física 1 Aula: Trabalho e Energia - Impulso e Quantidade de movimento Prof. Dr Cláudio S. Sartori

1

Trabalho de uma força

Definimos o trabalho da força F ao longo da

curva C pela integral de linha:

C

W F dl

Aqui dl aponta no sentido da orientação da

curva, tem direção tangente à ela e representa um

deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.

Para uma força constante atuando no

corpo, podemos escrever:

cosW F d

Aqui, θ é o ângulo entre a força F e o vetor

deslocamento d .

Unidade: Joule: 1J = 1N.1m

Outras unidades: 1 cal = 4.186J; 1 erg = 10-7J

1 ft.lb = 1.356 J; 1 Btu = 1055 J

1eV = 1.6.10-19J; 1 kWh = 3.6.106J

Exemplos 1. Encontre o trabalho de cada força nos sistemas mostrados:

(a) Um fazendeiro amarra seu trator a um trenó carregado de madeira e o puxa até uma distância de 20 m na

horizontal. O peso do trenó carregado é 14700N. O trator exerce uma força constante de 5000N formando um ângulo de 36.9° acima

da horizontal. Existe uma força de atrito de 3500 N que se opõe ao

movimento. Calcule o trabalho que cada força realiza sobre o trenó e o trabalho total por todas as forças. Encontre a força resultante e

determine o trabalho da força resultante.

(b) Analisar o trabalho de cada força em cada

situação dada.

(a) Solução:

Trabalho da força:

cosTF TW F dl W F l

5000 20 cos36.9 80W kJ

Trabalho da força de atrito:

cos180aF a aW F dl W F l

3500 20 1aFW

70aFW kJ

Trabalho total:

a TF F P NW W W W W

Gráfico (x, F(x)

Trabalho da força elástica:

f f

i i

x x

x x

W Fdx W kxdx

2 21 1

2 2f iW k x k x

Energia cinética 2

2c

m vK E

A energia cinética de uma partícula é igual ao

trabalho total realizado para acelerá-la a partir do

repouso até sua velocidade presente.

Teorema Trabalho-Energia: O trabalho realizado pela força resultante

sobre a partícula fornece a variação da energia cinética

da partícula. 2 2

2 2R R

f iF c F

m v m vW E W

Demonstração:dv dv dx dv

a vdt dx dt dx

O trabalho total realizado pela força

resultante é dado por: f

R

i

x

F

x

W Fdx f

R

i

x

F

x

W m adx f

i

x

x

dvm v dx

dx

f

R

i

v

F

v

W m vdv 2

2

f

R

i

v v

F

v v

vW m

2 2

2 2R

f iF

m v m vW


2

Energia potencial elástica:

2

2p

k xE

Energia potencial gravitacional:

pE U m g y

Potência:

Potência Média: med

WP

t

Potência Instantânea: 0

limt

W dWP P

t dt

P F v Unidade: Watt

1W = 1J/1s

Outras unidades: 1 hp = 745.6987 W = 550 ft.lb/s 1 Btu/h = 0.293 W; 1 cv = 735.49875 W

1 cv = 0.9863 hp; 1 hp = 1.0139 cv

2. Um cavaleiro de 0.1 kg de massa está ligado à extremidade de um trilho de ar horizontal por uma mola constante

de 20 N/m. Inicialmente, a mola não está esticada e o cavaleiro se

move com velocidade igual a 1.5 m/s para a direita. Ache a máxima distância d que o cavaleiro pode se mover para a direita:

(a) supondo que o ar esteja passando pelo trilho e o atrito seja desprezível. (b) supondo que o ar não esteja fluindo e o coeficiente

de atrito cinético seja µC = 0.47.

Solução: (a) Usando o teorema do trabalho-energia:

2 2

2 2R R

f iF c F

m v m vW E W

2 2

0 02 2e

x dd

F

x

k x k dW kxdx

22 20

2 2 2

im vk d m

0.11.5

20i

md v d

k

0.106 10.6d m cm

(b) Quando o ar não circula, devemos também incluir o

trabalho realizado pelo atrito cinético. A força normal é igual ao

peso. Assim:

N P m g a C a CF N F m g

2 2

2 2R R

f iF c F

m v m vW E W

2 2

2 2a e

f iF F

m v m vW W

2 221

cos1802 2 2

f ia

m v m vf d k x

2 221

2 2 2

f iC

m v m vm g d k x

2 221 0.1 0 0.1 1.5

0.1 9.8 0.47 202 2 2

d d

2 221 0.1 0 0.1 1.5

0.1 9.8 0.47 202 2 2

d d

0.086d m

3. O papel do motor de um automóvel é fornecer

continuamente uma determinada potência para superar a resistência

ao seu movimento. Duas forças se opõe ao movimento do

automóvel: o atrito de rolamento e a resistência do ar. Um valor

comum para o coeficiente de atrito de rolamento é µ = 0.015 para

um pneu rolando com pressão apropriada em um pavimento duro.

Um Porshe Carrera 911 possui massa 1251 kg, peso 12260N e a força de atrito de rolamento é dada por:

0.015 12260rol rolF N F 180rolF N

Essa força é aproximadamente independente da velocidade do automóvel.

A força de resistência do ar Far é aproximadamente proporcional ao quadrado da velocidade do automóvel e expressa

por: 21

2arF C A v

Onde: C: Constante adimensional denominada de

coeficiente de arraste. Valores comuns: 0.35 a 0.5.

: densidade do ar: 1.2 kg/m3. A: área da seção reta do

carro. Para o Porshe Carrera:

210.38 1.77 1.2

2arF v

20.4arF v .A potência é dada

por: imp rol arP F v P F F v

v(m/s) Frol(N) Far(N) Fimp(N) P(kW)

10 180 40 220 2,2

15 180 90 270 4,1

30 180 360 540 17

40

A queima de 1L de gasolina libera uma energia de

aproximadamente 3.5.107J. Uma parte dessa energia é convertida em trabalho útil. Em um motor de automóvel típico, 65% do calor

liberado pela queima de combustível é dispersado no sistema de

resfriamento e exaustão e cerca de 20% dessa energia é convertida em trabalho que não contribui para a propulsão do carro, como o

trabalho realizado pelo atrito no eixo do motor e o trabalho

necessário para mover acessórios como o sistema de ar-condicionado e o sistema de direção do volante até as rodas do

carro. Sobram do total, 15% de energia para superar o atrito de

rolamento e resistência do ar. Assim, a energia disponível por litro

de gasolina é: 7 60.15 3.5 10 5.3 10J L J L

Para examinar o consumo de gasolina em 15 m/s a potência necessária seria de 4.1 kW = 4.1.103J/s. Em uma hora a

energia necessária seria: 34.1 10 3600W P t W 71.5 10W J Durante essa hora, o

carro percorreria a distância de:

15 3600 54d v t d d km Assim, o consumo de gasolina em uma hora, percorrendo

uma distância de 54 km com velocidade de 15 m/s

seria:7

6

1.5 102.8

5.3 10

JL

J L

Essa quantidade de gasolina faz o carro mover

54 km. Assim: 5419

2.8

km km

L L

Obtenha a potência instantânea para a velocidade de 40

m/s. Faça o cálculo do consumo também.

4. Calcule a velocidade do bloco ao atingir o

ponto B. O coeficiente de atrito cinético vale k = 0.3.

A velocidade em A vale 4 m/s.

B AF M MW E E

2 21 1cos180 cos0

2 2AT x B B A AAB AB

F d P d m v m g h m v m g h


3

2 21 1cos180

2 2AT B B A AAB

F d m v m g h m v m g h

2 21 1cos15 cos180

2 2B B A AAB

m g d m v m g h m v m g h

2 21 11421.35 50 50 9.81 0 50 4 50 9.81 15

2 2Bv AB sen

21421.35 25 400 1269.51Bv

21421.5 25 400 1269.5Bv

225 400 152Bv

2 2483.15

25B B

mv v

s

Teoria

Impulso I F t Unidade:N.s Conservação da quantidade de

movimento: Num sistema de partículas de massas m1,m2 ,…,mn , se

não há forças externas atuando no sistema, a quantidade de movimento se conserva:

0 0f ip p p

Coeficiente de restituição como a razão entre a velocidade relativa de afastamento e a velocidade relativa de

aproximação:

10 ev

ve

rap

raf

Elásticas. Nesse caso a energia mecânica se conserva:

Fi MM EE e o coeficiente de restituição é igual a 1 (e = 1).

Inelásticas. (parcialmente elásticas

(0< e< 1)). Quando e = 0, ou seja, dois corpos após se colidirem

saem com a mesma velocidade, chamamos de colisão perfeitamente inelástica.

Aceleração tangencial:

Ta r

Aceleração centrípeta ou normal: 2

2

cp cp

va a r

r

Aceleração resultante:

2 2

cp Ta a a

Energia potencial gravitacional:

pE U m g y

Energia cinética:

2

2c

m vK E

2 12 2 1 1F F m mW K U K U W E E

1. Considere o trecho ABC da figura sem atrito.

Um corpo de massa m1 = 5.0 kg é abandonado da

posição A e choca-se elasticamente (coeficiente de

restituição e = 1) com um corpo de massa m2 = 10 kg,

inicialmente em repouso. Encontre a máxima altura

atingida pelo corpo de massa m1 após o choque.

1 1 1 1A A B BK U K U

2

1 11 1 2

2

BB

m vm g h v g h

1 1 12 10 5 10iB Bv v m s v

Conservação da quantidade de movimento no

choque entre A e B:

0 f ip p p

1 1 1 1 2 2i f fm v m v m v

1 25 10 5 10f f

v v

1 210 2f f

v v

1 21 1

10

f fv v

e

1 2 10f f

v v

1 2

1 2

2 10

10

f f

f f

v v

v v

2 2

203 20

3f fv v

1 2 1 1

20 1010 10

3 3f f f fv v v v m s

1 1

2 2

1

12 2

f f

f f

m v vm g h h

g

2

10 3 10

2 10 18f fh h m

0.556fh m

2. Uma bala de 8 g é atirada na direção de um

bloco de massa 2.5 kg, como mostra a figura:

O bloco está sobre uma mesa de 1 m de altura e não há atrito

sobre a mesa. A bala se aloja no bloco e o conjunto bloco-bala cai a 2.00 m da mesa. Determine a velocidade inicial da bala.


4

i f i f

m Mm v m M v v v

m

21

2fd v t h g t

2

2f f

h d gt v v d

g t h

2i

m M gv d

m h

0.008 2.5 102

0.008 2 1iv

1402 5047i

m kmv

s h

3. A massa de uma bola de futebol é 0.4 kg. Determine o impulso da força resultante e a força resultante média para o caso da

bola sabendo que inicialmente a bola se desloca da direita para a

esquerda com 20 m/s e após o chute, de interação 0.01s, desloca com módulo 30 m/s fazendo um ângulo de 45° com a horizontal.

Solução:

cos45 30 cos45x xf f fv v v

30 0.707 21.21x xf fv v

45 30 45

y yf f fv v sen v sen

30 0.707 21.21y yf fv v

f ip m v m v

x xx f ip m v m v

21.2 0.4 20 0.4 16.48x x

kg mp p

s

8.48y yy f i y

kg mp m v m v p

s

x

y

xmed

med

y

med

pF

p tF

ptF

t

1650

850

x

y

med

med

F N

F N

2 2

x ymed med medF F F

31.9 10medF N

Direção:

850

1650

y

x

med

med

Farctg arctg

F

27 4. O diâmetro do sistema de giro de um helicóptero são

7.60 m e 1.06 m (traseiro). Eles giram a 450 rev/min e 4138

rev/min, respectivamente. Calcule a velocidade da extremidade de cada hélice e compare com a velocidade do som, que é de 343 m/s.

1 1

4507.5

60f f Hz

1 1 1 12 2 7.5 47.123f rad s

1 1 1 1 1

7.647.123 179

2v r v v m s

1 0.52 sv v

2 2

413868.967

60f f Hz

2 2 2 22 2 68.967 433.33f rad s

2 2 2 2 2

1.06433.33 229.66

2v r v v m s

2 0.669 sv v

5. Um bloco de 6 kg é abandonado do alto de uma rampa como ilustra a figura a seguir. Não há atrito entre o bloco e o

plano.

Encontre a componente centrípeta e tangencial da aceleração do bloco no ponto P indicado e o módulo da aceleração

resultante.

Solução: Fazendo a conservação da energia, temos:

A A P PK U K U

2

2

Pm vm g h m g R

2

22

PP

m vm g h m g R v g h R

2 10 5 2 60P P

mv v

s

2

2

2

6030

2P

Pcp cp cp

v ma a a

r s


5

No ponto P o bloco é liberado do contato

com a rampa; portanto, a aceleração tangencial é g.

2T

ma g

s

6. Uma bola de gude de 10.0 g se desloca com velocidade de 0.400 m/s da direita para a esquerda sobre uma pista

horizontal sem atrito e colide frontalmente com outra bola de gude

de 30.0 g que se desloca com velocidade de 0.200 m/s da esquerda para a direita (Figura 8.35).

(a) Determine o módulo, a direção e o sentido de cada bola de gude depois da colisão. (Como a colisão é frontal, todos os

movimentos ocorrem ao longo da mesma linha reta.)

(b) Calcule a variação do momento linear (isto é, o momento linear depois da colisão menos o momento linear antes da

colisão) para cada bola de gude. Compare os valores obtidos para

cada bola de gude. (c) Calcule a variação de energia cinética (isto é, a

energia cinética depois da colisão menos a energia cinética antes da

colisão) para cada bola de gude. Compare com os valores obtidos para cada bola de gude.

0.200 m/s

0.400 m/s

30.0 g 10.0 g

FIGURA 8.35 Exercício 8.34.

7. Uma bala de 8.00 g disparada por um rifle penetra e

fica retida em um bloco de 0.992 kg ligado a uma mola e apoiado

sobre uma superfície horizontal sem atrito (Figura 8.39). O impacto

produz uma compressão de 15.0 cm na mola. A calibração mostra

que uma força de 0.750 N comprime a mola 0.250 cm.

(a) Calcule o módulo da velocidade do bloco imediatamente após o impacto.

(b) Qual era a velocidade inicial da bala?

V

FIGURA 8.39 Problema 8.68.

Solução: (a) e (b) Conservação da quantidade de

movimento no choque entre a bala b e o bloco B:

0 f ip p p

bb b B B B b

B

mm v m v v v

m

0.008

0.992B bv v

0.992

0.008b Bv v

Fazendo a conservação da energia do sistema

Bloco+bala e mola, temos:

b B MK U

2

2 2

b B Bm m v k x

Cálculo da constante elástica:

0.75

0.0025

FF k x k k

x

300N

km

20.008 0.992 300 0.15

2 2

Bv

1 6.756.75

2 2

BB

v mv

s

0.992

0.008b Bv v

0.9926.75 837

0.008b b

mv v

s

8. Uma criança está empurrando um carrossel. O

deslocamento angular do carrossel varia com o tempo de acordo

com a relação 3t t t , onde = 0.400 rad/s e

= 0.0120 rad/s2.

(a) Calcule a velocidade angular do carrossel em função

do tempo, (b) Qual é o valor da velocidade angular inicial?

(c) Calcule o valor da velocidade angular instantânea

para t = 5.00 s e a velocidade angular média med para o intervalo

de tempo de t = 0 até t = 5.00 s. Mostre que med não é igual a

média das velocidades angulares para t = 0 até t = 5.00 s e explique

a razão dessa diferença.

Solução:

(a) 30.4 0.012d d

t t t tdt dt

20.4 0.036t t

(b) 0 0.4t

0 0.4rad

s

(c) 25 0.4 0.036 5t

5 0.5rad

t ss

(d) 1 1 0 0

1 0

t t

t t t

0.18 rads

9. Para t = 0 a corrente de um motor elétrico de corrente

contínua (de) é invertida, produzindo um deslocamento angular do eixo do motor dado por

2 32 3250 20 1.50t rad s t rad s t rad s t

(a) Em que instante a velocidade angular do eixo do motor se anula?

(b) Calcule a aceleração angular no instante em que a

velocidade angular do eixo do motor é igual a zero. (c) Quantas revoluções foram feitas pelo eixo do motor

desde o instante em que a corrente foi invertida até o momento em

que a velocidade angular se anulou?


6

(d) Qual era a velocidade angular do eixo do motor para t

= 0, quando a corrente foi invertida? (e) Calcule a velocidade angular média no intervalo de

tempo desde t = 0 até o instante calculado no item (a).

Solução:

(a) d

dt

2 3 2250 20 1.5 250 40 4.5d

t t t t tdt

2250 40 4.5t t t

20 250 40 4.5 0t t t

22 40 40 4 4.5 2504

2 2 4.5

b b a ct t

a

40 1600 4500

9t

1

2

40 6100

40 6100 9

9 40 6100

9

t

t

t

40 78.104.23

9t t s

(b) d

dt

2250 40 4.5 40 9d

t t tdt

40 9t t

4.23 40 9 4.23t

4.23 78.07²

radt

s

(c) 0 0 0t

2 3

1 1 4.23 250 4.23 20 4.23 1.5 4.23t

1 1 4.23 1057.5 3936.438 113.5304t

1 1 4.23 2992.468t

1 0 2992.468rad

476.32

rev

(d) 0 250

radt

s

(e) 1 1 0 0

1 0

t t

t t t

2992.468707.43

4.23

rad

s

10. Projeto de uma hélice. Você foi solicitado para

projetar a hélice de um avião que deve girar a 2400 rpm. A

velocidade do avião deve ser de 75.0 m/s (270 km/h), e a velocidade

da extremidade da lâmina da hélice não pode superar 270 m/s. (Isso é cerca de 0.8 vezes a velocidade do som no ar. Se as extremidades

das lâminas se deslocassem com a velocidade do som, elas

poderiam produzir uma enorme quantidade de ruído. Mantendo a velocidade menor que a velocidade do som obtém-se um nível de

ruído aceitável.)

(a) Qual é o raio máximo que a hélice pode ter?

(b) Com esse raio, qual é a aceleração da

extremidade da hélice?

Solução:

24002400

60f rpm f Hz

40f Hz

2 2 40 251.3rad

fs

(a) Velocidade tangencial de um ponto P na

extremidade da hélice::

Pv r

Velocidade do avião em relação ao ar: vA.

Velocidade total:

2 2 2 2 2

A P Av v v v v r

2 2 2 22

2 2

270 75

251

Av vr r

1.03r m

(b) A velocidade angular da hélice é

constante: 2 2251 1.03cp cpa r a

4

26.5 10cp

ma

s

Força que a hélice exerce:

46.5 10cp

F NF m a

m kg

As hélices são fabricadas de materiais leves e

duros, como ligas de alumínio.

11. Movimento de um CD/DVD. Em um compact

disc ou digital video disc, as informações são gravadas digitalmente

em uma série de pits (“buracos”) e flats (regiões de áreas planas)

sobre a superfície do disco, representando uma série de binários 0

ou 1, que serão lidos pelo compact disc player e convertidos em

ondas sonoras. Os pits e as flat areas são detetados por um sistema de um laser e lentes. O comprimento de um certo número de zeros e

uns gravados é o mesmo ao longo de todo o disco, próxima a borda

ou próximo ao seu centro. Para que o comprimento da região gravada de “0s” e “1s” sempre passe pelo sistema de leitura lentes e

laser no mesmo período, a velocidade linear da superfície do disco

na região de leitura deve ser constante. Em um aparelho de CD típico, a velocidade de leitura é da ordem de 1.3 m/s. Encontre a

velocidade angular do disco quando a informação está sendo lida do

interior (first track) em r = 23 mm e no exterior (final track) r = 58 mm.

Solução:


7

2

2

1.356.5

2.3 10

1.322.4

5.8 10

i i

i

ie e

rad

v s

radr

s

56.58.99

2

22.423.565

2

i ii

i

e e

f f Hz

f

f f Hz

( ) ( ) 60if rpm f Hz

539.4

213.9

i

e

f rpm

f rpm

Exercícios – Choques e Impulso. 1. Uma bola atinge uma parede a 6.0 m/s

formando um ângulo conforme é mostrado na figura. O

contato com a parede durou 10 ms. (a) Encontre o impulso

sobre a bola devido ao choque com a parede. (b) Determine

a força média que a parede exerce sobre a bola.

2. Um automóvel de brinquedo de 5.0 kg move-se ao

longo do eixo x conforme mostra a figura.

A força Fx atua sobre o carro, que parte do repouso em t

= 0s. Se Fxs = 5.0 N, encontre o momento linear p em: (a) t = 4 s;

(b) t = 7s. (c) Determine a velocidade v em t = 9s.

3. Uma bala de 3.5 g é disparada

horizontalmente contra blocos sobre uma mesa horizontal sem atrito. A bala passa através do primeiro bloco (de massa 1.5 kg) e se

aloja no segundo bloco de massa (1.8 kg).

Os blocos atingem velocidades v1 = 0.630m/s e v2 = 1.40

m/s. Negligenciando o material removido do bloco 1, determine.

(a) A velocidade com que a bala atinge o bloco 1. (b) A velocidade com que a bala deixa o bloco 1.

4. Sob um semáforo, um carro A está parado e outro B se choca com A. O carro A percorre uma distância dA = 8.2 m e o

carro B uma distância dB = 6.1 m até pararem. O coeficiente de

atrito dinâmico entre as rodas de ambos e o asfalto vale µk = 0.13.

(a) Quais as velocidades dos carros após a colisão?

(b) Determine a velocidade com que o carro B chega (v0).

5. A massa de uma bola de futebol é 0.4 kg. Determine o

impulso da força resultante e a força resultante média para o caso da

bola sabendo que inicialmente a bola se desloca da direita para a esquerda com 20 m/s e após o chute, de interação 0.01s, desloca

com módulo 30 m/s fazendo um ângulo de 45° com a horizontal.

Uma bala de 8.00 g disparada por um rifle penetra e fica

retida em um bloco de 0.992 kg ligado a uma mola e apoiado sobre

uma superfície horizontal sem atrito (Figura 8.39). O impacto produz uma compressão de 15.0 cm na mola. A calibração mostra

que uma força de 0.750 N comprime a mola 0.250 cm.

(a) Calcule o módulo da velocidade do bloco imediatamente após o impacto.

(b) Qual era a velocidade inicial da bala?

V


8

6. Uma bala de 5.00 g atravessa um bloco de madeira de

1.00 kg suspenso por um fio de comprimento igual a 2.000 m. O centro de massa do bloco sobe até uma altura de 0.45 cm. Sabendo

que a velocidade inicial da bala era de 450 m/s, ache a velocidade

da bala no instante em que ela emerge do bloco.

7. Em um campo de futebol com lama, um zagueiro de 110 kg

se choca com um jogador meio-de-campo de 85 kg. Imediatamente antes da colisão, o zagueiro se desloca com velocidade de 8.8 m/s

do sul para o norte e o outro jogador se desloca com velocidade de

7.2 m/s do oeste para o leste. Qual é a velocidade (módulo, direção e sentido) com a qual os dois jogadores se movem unidos após a

colisão?

8. (a) Qual é o módulo do momento linear de um caminhão de

10.000 kg que se desloca com velocidade de 12,0 m/s? (b) Qual

deve ser a velocidade de um carro esportivo de 2000 kg para que ele tenha (i) o mesmo momento linear do caminhão? (ii) a mesma

energia cinética?

9. A figura mostra um bloco de 6 kg que é puxado

para a direita com uma força e 12 N. A força de atrito

entre o bloco e o plano é desprezível. Encontre a

velocidade final do bloco depois de ele ter percorrido

3 m. Qual a aceleração final do bloco?

10. Suponha agora que haja atrito e que o

coeficiente de atrito e o valor do coeficiente de atrito

dinâmico seja de d = 0.15.

(a) Encontre o trabalho da força de atrito.

(b) Use a relação: af f cW W E e determine

agora qual será a velocidade após o bloco ter

percorrido 3m.

11. Um bloco de massa 3 kg está comprimindo

uma mola de constante elástica 1.0.103N/m, conforme

ilustra a figura.

A mola é comprimida de 2 cm e solta. Encontre a

velocidade do bloco ao passar pela posição de

equilíbrio.

12. O carro da figura possui massa m e possui um

motor que proporciona uma força dada por: 2(2.18 0.70 )( )tf v N

Aqui v é a velocidade em m/s. Determine a

potência do motor como função da velocidade.

Sugestão:

I. Aplique a 2a Lei de Newton:

1i

N

x t x

i

F F f P m a

II. Encontre a potencia da força F: P = F.v.


9

Calcule a potência para:

v = 60 mi/h e m = 1450kg.

13. Uma partícula está sujeita a uma força Fx que

varia conforme o gráfico dado nas situações (a) e (b).

Encontre o trabalho, em cada situação, quando a

partícula se deslocar:

(5.1) De x = 0 a x = 5 m.

(5.2) De x = 5 m a x = 10 m.

(5.3) De x = 10 m a x = 15 m.

(5.4) De x = 0 m a x = 15 m.

(a) (b)

14. Uma força dada por:

ˆ ˆ4 3F x i y j (N)

Atua em um objeto movendo-se na direção x, da

origem até x = 5m. Encontre o trabalho realizado pela

força sobre o objeto:

C

W F dr

Onde: ˆ ˆdr dx i dy j

C: Caminho percorrido.

7. A figura mostra o gráfico da energia potencial

U e da força associada, em cada caso:

Mostre que:

C

dUF U F dr F U

dx

15. No pêndulo da figura, a massa m está presa a

uma corda de comprimento L. Mostre que:

2 (1 cos )B Av g L

E a tensão no ponto B é dada por:

(3 2 cos )B AT m g

16. Suponha que na arma da figura, a mola

esteja comprimida de 0.12m e o projétil de 35g, depois

de disparado, atinja uma altura de 20m. Encontre a

constante elástica da mola.


10

10. O carro da figura de massa 1500 kg colide

com uma parede. Inicialmente ele possui velocidade

ˆ15 mi s

v i e após o choque ˆ2.6 mf s

v i . Se a

colisão durou 0.15s, encontre o impulso causado pela

colisão e a força média exercida no automóvel.

11. Colisões. Duas esferas de massas

m1 = 1kg e m2 = 2kg colidem com velocidades:

v1i = 3m/s e v2i = 0.2 m/s. Após a colisão, as

duas massas permanecem juntas com velocidade vf

para a direita. Encontre vf.

12. Colisões. Duas esferas de massas

m1 = 1kg e m2 = 2kg colidem com velocidades:

v1i = 2m/s e v2i = 0.5 m/s. Após a colisão, as

duas massas se afastam velocidades v1f e v2f para a

direita. Encontre-as. O choque é suposto elástico:

(e = 1).

13. Uma esfera de massa 1kg choca-se com

outra de mesma massa. A primeira esfera sai com

velocidade v1f formando um ângulo

θ com a horizontal e a segunda esfera, com velocidade

v2f formando um ângulo –. Aplique a conservação da

quantidade de movimento nesse choque.

14. Uma bala de calibre 32 de massa m1 = 5 g

atinge um bloco de madeira de massa m2 = 1 kg em

repouso. A velocidade da bala ao atingir o bloco é de

v1i = 25 m/s. A bala se aloja no bloco e o sistema

bloco-bala sai com velocidade vf.

(a) Determine a velocidade do sistema logo

após o alojamento da bala.

(b) Qual a máxima altura h atingida?

(b)


11

Exercícios – Trabalho – Energia e Choques

1. Um caminhão está viajando por uma

estrada com uma inclinação de 3 por cento a uma

velocidade de 55 milhas/h quando os freios são

aplicados. Conhecendo os coeficientes de atrito entre a

carga e o reboque de mesa são indicados s = 0.5 e c

= 0.35, determinar o tempo mais curto em que o

equipamento possa ser conduzido até parar, de forma

que o equipamento não mude de posição.

Dados: g = 32.2 ft/s2; 1 milha/h = 1.4667 ft/s.

R.: t = 6.77 s.

2. Um homem de 180 libras de massa e uma

mulher de 120 libras estão em extremidades opostas

de um barco de 300 libras, pronto para mergulhar,

cada uma com uma velocidade de 16 ft/s em relação

ao barco. Determinar a velocidade do barco após

terem mergulhados, se (a) a mulher mergulha

primeiro, (b) o homem mergulha em primeiro lugar.

R.: (a) 2.8 ft/s (b) 4.8 ft/s

3. Uma esfera de 75 g é projetada a partir de

uma altura de 1.6 m, com uma velocidade horizontal

de 2 m/s, e atinge uma placa lisa de 400 g suportada

por molas. Sabendo-se que a altura do ressalto é de 0.6

m, determinar (a) a velocidade da placa

imediatamente após o impacto, (b), a energia perdida

devido ao impacto. R.: (a) 1.694 m/s ⇣ (b) 0.1619 J

4. O coeficiente de restituição entre os dois

colares é conhecido por ser de 0.70. Determine (a)

suas velocidades após o impacto, (b) a perda de

energia durante o impacto.

R.:(a) vA = 0.594 m/s; vB = 1.156 m/s

(b) 2.99 J

5. Um bloco B de 1 kg está se movendo com

uma velocidade de magnitude v0 de 5.2 m/s, uma vez

que atinge a esfera A de 0.5 kg, que está em repouso e

pendurada em uma corda presa em O. Sabendo que o

coeficiente de atrito cinético é k =0.6 entre o bloco e

a superfície horizontal e o coeficiente de restituição

entre o bloco e a esfera é e = 0.8, determinar após o

impacto:

(a) a altura máxima alcançada pela h esfera,

(b) a distância x percorrida pelo bloco.

R.: (a) h = 0.294 m; (b) 54.4 mm

6. Considere o trecho ABC da figura sem

atrito. Um corpo de massa m1 = 5.0 kg é abandonado

da posição A e choca-se elasticamente (coeficiente de

restituição e = 1) com um corpo de massa m2 = 10 kg,

inicialmente em repouso. Encontre a máxima altura

atingida pelo corpo de massa m1 após o choque.

7. Um avião a 225 m/s desenvolve um

looping ilustrado. Determinar a força normal sobre o

piloto, no ponto mais alto (Top) e no ponto mais baixo

(bottom). Considere g = 10 m/s2. Dê a resposta em

função do peso do piloto P = m g e do raio da

trajetória R = 2.7 km.


12

8. Um pequeno objeto de massa m é suspenso

por um fio de comprimento L. O objeto possui

velocidade constante v em uma trajetória circular

horizontal de raio r, gerando uma superfície cônica. O

Sistema é denominado de pêndulo cônico. Mostra que

sua velocidade é:

2 2

gv r

L r

9. Um sistema de bolinhas de massas iguais é

mostrado abaixo. Explique se a situação ilustrada na

figura em (c) pode acontecer...

10. Um bloco de massa m1 = 1.60 kg

inicialmente se movendo para a direita com uma

velocidade de 4.00 m/s sobre uma faixa horizontal

sem atrito colide com uma mola presa a um segundo

bloco de massa m2 = 2.10 kg movendo-se inicialmente

para a esquerda, com uma velocidade de 2.50 m/s,

como mostrado na Figura. A constante da mola é de

600 N/m. (a) No instante em que o bloco 1 está se

movendo para a direita com uma velocidade de 3.00

m/s, como na Figura (b), determinar a velocidade do

bloco 2. (b) Encontre a deformação x da mola. R.:

0.719 m/s ⇢ e 0.173m.

11. Em um experimento de pêndulo balístico,

suponha que h = 5.00 cm, m1 = 5.00 g, e m2 = 1.00

kg. Encontre (a) a velocidade inicial da bala e (b) a

perda de energia mecânica devido à colisão.

R.:199 m/s; 98.5 J

12. Um bloco de massa 0.500 kg é empurrado

contra a mola horizontal de massa negligenciável até

que a mola é comprimida numa distância x. A

constante da mola é de 450 N/m. Quando lançado, o

bloco percorre uma superfície sem atrito, horizontal ao

ponto B, na parte inferior de uma faixa circular

vertical de raio R = 1.0 m, e continua a mover-se na

pista. A velocidade do bloco no ponto B pista é vB =

12.0 m/s, e o bloco experimenta uma força de atrito

média de 7.00 N, enquanto deslizando para parte

superior da pista. (a) Qual é o valor de △x? (b) Qual a

velocidade que você prevê para o bloco no topo T da

pista? (c) Será que o bloco de realmente chegar ao

topo da pista, ou ele irá cair antes de chegar ao topo?

R.: 0.4 m; 4.1 m/s

12. Uma partícula de massa 0.500 kg é disparado de

P como mostrado na Figura. A partícula tem uma

vi velocidade inicial com uma componente

horizontal de 30.0 m/s. A partícula sobe a uma

altura máxima de 20.0 m acima do P. Usando a

lei da conservação da energia, determine (a) a

componente vertical da velocidade, (b) o

trabalho realizado pela força gravitacional sobre

a partícula durante o seu movimento de P para B,


13

e (c) as componentes horizontal e vertical do

vetor velocidade, quando a partícula atinge B.

14. A força que atua numa partícula que se

move no plano xy é dada por:

2ˆ ˆ2F y i x j N

em que x e y estão em metros. A partícula se

move desde a origem até uma posição final com

coordenadas x = 5.00 m e y = 5.00 m, como na Figura

. Calcule o trabalho realizado por F ao longo de (a)

ACO, (b) OBC, (c) OC. (d) A força F é conservativa

ou não conservativa? Explique.

ˆ ˆ

C

W F dl dl dx i dy j

15. Uma partícula de massa m = 5.00 kg é

lançado do ponto A e desliza na pista sem atrito

mostrado na Figura. Determine (a) a velocidade da

partícula nos B e C (b) o trabalho líquido de realizado

pela força de gravidade no movimento das partículas a

partir de A para C.

16. Um bloco de 5.00 kg é colocado em

movimento para cima de um plano inclinado com uma

velocidade inicial de 8.00 m/s. O bloco fica em

repouso depois de viajar 3.00 m ao longo do plano,

que está inclinado a um ângulo de 30.0 ° em relação à

horizontal. Para este movimento, determinar (a) a

variação da energia cinética do bloco, (b) a variação

da energia potencial, e (c), a força de atrito exercida

sobre ele (assumido como sendo constante). (d) Qual é

o coeficiente de atrito cinético?

R.: -160 J; 73.5 J; 28.8 N; 0.679

17. Um bloco desliza para baixo uma pista

sem atrito curva e, em seguida, em um plano

inclinado, como na Figura. O coeficiente de atrito

cinético entre o bloco e o plano inclinado é k.

Utilizar métodos de energia para mostrar que a altura

máxima atingida pelo bloco é dada por:

max1 cotk

hy

18. Uma partícula de massa 200 g é liberada

a partir do repouso em A. A superfície da bacia é

áspera. A velocidade da partícula em B é de 1.50 m/s.

(a) Qual é a sua energia cinética em B ? (b) Quanta

energia é perdida devido ao atrito, quando a partícula

se move de B para C (c) É possível determinar a partir

destes resultados, o coeficiente de atrito ? Explique.

R.: 0.225 J; - 0.363 J; não, a força Normal varia.

19. Um bloco de 3.00 kg começa a descer de

uma altura h = 60.0 cm sobre um plano que tem um

ângulo de inclinação de 30.0°, como mostrado na

Figura. Ao atingir a parte inferior, o bloco percorre

uma superfície horizontal. Se o coeficiente de atrito

em ambas as superfícies é k = 0.200, até onde vai

parar o bloco sobre a superfície horizontal, quando

atingir o repouso? (Dica:. Divida o caminho em duas

partes em linha reta). R.: 1.96 m.


14

20. A Figura mostra uma bala de massa m e

velocidade v passa completamente através de um

prumo (pêndulo de massa M). A bala emerge com

uma velocidade de v/2. O pêndulo está suspenso por

uma haste rígida de comprimento l e de massa

negligenciável. Qual é o valor mínimo de v tal que o

pêndulo possa efetuar uma trajetória círcular vertical

completa?

21. O salto triplo é um evento de pista e de

campo em que um atleta recebe um começo e

funcionando tenta saltar o mais longe que puder.

Supondo-se que ele se aproxima da linha de largada da

esquerda com uma velocidade horizontal de 10 m/s,

permanece em contacto com o solo 0.18 s, e salta com

um ângulo de 50° com uma velocidade de 12 m /s,

determinar a componente vertical da força impulsiva

média Fm exercida pelo solo sobre o pé. Deixe a sua

resposta em termos do peso W do atleta.

012 506.21

9.81 0.18v

senF W W W

22. A última etapa da prova de pista e campo

de salto triplo é o salto, em que o atleta dá um salto

final, aterrissando em uma área preenchida com areia.

Assumindo que a velocidade de um atleta de 80 kg,

imediatamente antes da aterragem é de 9 m/s, com um

ângulo de 35 ° com a horizontal e que o atleta chega

após 0.22 s após a aterragem, determinar a

componente horizontal da força média impulsivo

exercida sobre os seus pés durante o pouso.

080 9 cos35

2.680.22

HP kN

23. Um modelo de foguete de 60 g é

disparado verticalmente. O motor aplica um impulso

que produz uma força que varia em amplitude, como

mostrado. Desprezando a resistência do ar e a variação

da massa do foguete, determinar (a) a máxima

velocidade do foguete como ele sobe; (b) o tempo que

o foguete alcançar sua elevação máxima....

(a) 130 0.2

0.2N W P W m g P t t s

0.588665

130 0.2

0.2N W P W m g P t t s

10 0.009055N t s

2 1W N PI p I I I m v m v

2 70.5m

vs

(b)

3 7.99t s

24. Um caminhão está transportando um

registro de 300 kg de uma vala usando um guincho

ligado à parte de trás do caminhão. Conhecendo que o

guincho aplica uma força constante de 2500 N e o

coeficiente de atrito cinético entre o chão e o registo é

de c = 0.45, para determinar o tempo para o registo

de alcançar uma velocidade de 0.5 m / s.

R.: 0.603 s.

25. Um caminhão está viajando por uma

estrada com uma inlinação de 3 por cento a uma

velocidade de 55 milhas/h quando os freios são

aplicados. Conhecendo os coeficientes de atrito entre a

carga e o reboque de mesa são indicados s = 0.5 e c

= 0.35, determinar o tempo mais curto em que o

equipamento possa ser conduzido até parar, de forma

que o equipamento não mude de posição.


15

Dados: g = 32.2 ft/s2; 1 milha/h = 1.4667 ft/s.

R.: t = 6.77 s.

26. Rampas íngremes de segurança são

construídos ao lado de estradas montanhosas para

permitir que os veículos com freios defeituosos

possam parar. Um caminhão de 10 toneladas (20000

lb de peso) entra numa rampa 150 a alta velocidade v0

= 108 ft/s e percorre por 6 s antes da sua velocidade

seja reduzida para 36 ft/s. Assumindo desaceleração

constante, determine (a) a magnitude da força de

frenagem, (b) o tempo adicional necessário para o

caminhão parar. Dados: g = 32.2 ft/s2.

Despreze a resistência do ar e resistência ao

rolamento.

R.: (a) 2280 lb (b) 3 s

27. Uma estimativa da carga esperada sobre

os ombros pelos cintos de segurança deve ser feita

antes de projetar protótipos de cintos que serão

avaliados em testes de colisão de automóveis.

Assumindo que um automóvel que viaja a 45 km/h e

irá parar em 110 ms, determinar (a) a força média

impulsiva exercida por um homem de 200 libras no

cinto, (b) a força máxima Fm exercida sobre o cinto se

o gráfico força versus tempo tem a forma mostrada.

R.: (a) 3730 lb; (b) 7450 lb

28. Uma bala de 25 g revestida de aço é

disparada horizontalmente, com uma velocidade de

600 m/s e ricocheteia numa placa de aço ao longo do

caminho CD com uma velocidade de 400 m/s.

Sabendo-se que a bala provoca um arranhão de 10 mm

sobre a placa, e assumindo que a sua velocidade média

é de 500 m/s, enquanto ela está em contacto com a

placa, determinar a magnitude e direção da força

média exercida na bala no prato.

R.: 445 kN ⦪40.10

29. Um homem de 180 libras de massa e uma

mulher de 120 libras estão em extremidades opostas

de um barco de 300 libras, pronto para mergulhar,

cada uma com uma velocidade de 16 ft/s em relação

ao barco. Determinar a velocidade do barco após

terem mergulhados, se (a) a mulher mergulha

primeiro, (b) o homem mergulha em primeiro lugar.

R.: (a) 2.8 ft/s (b) 4.8 ft/s

30. Uma esfera de 75 g é projetada a partir de

uma altura de 1.6 m, com uma velocidade horizontal

de 2 m/s, e atinge uma placa lisa de 400 g suportada

por molas. Sabendo-se que a altura do ressalto é de 0.6

m, determinar (a) a velocidade da placa

imediatamente após o impacto, (b), a energia perdida

devido ao impacto. R.: (a) 1.694 m/s ⇣ (b) 0.1619 J

31. O coeficiente de restituição entre os dois

colares é conhecido por ser de 0.70. Determine (a)

suas velocidades após o impacto, (b) a perda de

energia durante o impacto.

R.:(a) vA = 0.594 m/s; vB = 1.156 m/s

(b) 2.99 J


16

32. Um bloco B de 1 kg está se movendo com

uma velocidade de magnitude v0 de 5.2 m/s, uma vez

que atinge a esfera A de 0.5 kg, que está em repouso e

pendurada em uma corda presa em O. Sabendo que o

coeficiente de atrito cinético é k =0.6 entre o bloco e

a superfície horizontal e o coeficiente de restituição

entre o bloco e a esfera é e = 0.8, determinar após o

impacto:

(a) a altura máxima alcançada pela h esfera,

(b) a distância x percorrida pelo bloco.

R.: (a) h = 0.294 m; (b) 54.4 mm

Dados:

g = 32.2 ft/s2 = 9.81 m/s2

1 ft = 0.3048 m

1 mi = 5280 ft = 5280.(0.3048 m) = 1609 m

1 in = 1/12 ft = 0.0254 m

1 ft = 0.3048 m

1 lb = 4.448 N

1 slug = 1 lb.s2/ft = 14.59 kg

g = 32.2 ft/s2 = 9.81 m/s2

1 ft = 0.3048 m

1 mi = 5280 ft = 5280.(0.3048 m) = 1609 m

1 in = 1/12 ft = 0.0254 m

1 ft = 0.3048 m

1 lb = 4.448 N

1 slug = 1 lb.s2/ft = 14.59 kg

Feliz 🎅

Quero ver você não chorar

Não olhar pra trás

Nem se arrepender do que faz

Quero ver o amor crescer

Mas se a dor nascer

Você resistir e sorrir

Se você pode ser assim

Tão enorme assim eu vou crer

Que o natal existe

Que ninguém é triste

Que no mundo há sempre amor

Bom natal

Um feliz natal

Muito amor e paz prá você

Prá você

Valeu ?

Estuda, carinha..

Ardeu, ?

📶

📫 [email protected]

mailto:[email protected]


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- impulso e quantidade de movimento - centro de estudos ... · aula: trabalho e energia física 1 -...

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