RotaçãoA rotação ocorre quando o objeto gira em

torno de um eixo

• Exemplos:

É aplicada em máquinas, parques de diversões (roda gigante, carrossel, …); a Terra gira em torno

de seu eixo; rodas, engrenagens; eixo de um carro; cd; ventilador, etc.

ROTAÇÃO

• Conceitos fundamentais

• As variáveis de rotação.

• Relacionando grandezas escalares com

angulares.

• Energia cinética de rotação

• Cálculo do momento de inércia

s r s

r

São divididas basicamente em 4 grandezas: posição,

deslocamento, velocidade e aceleração.

As variáveis da rotação

1. Posição angular (θ)Linha de referência

Quando uma partícula descreve um movimento circular podemos determinar a rapidez

com que ela se move de duas maneiras diferentes:

· considerando a variação de posição “Δs” medida sobre a trajetória e

· considerando a variação de ângulo “Δθ” que a partícula descreve em relação ao

centro da circunferência. Onde: s é o comprimento de um arco de circulo que se

estende do eixo x ( a posição angular igual a zero) até a linha de referência; r é o raio

do círculo.

O comprimento de uma circunferência de raio r é 2πr que

corresponde um ângulo de 2 π rad (uma revolução)

2. Deslocamento angular (θ)Se o corpo varia a posição angular da linha de referência de θ1 para θ2 ele

sofre um deslocamento angular

Δθ= θ2 - θ1

A unidade de velocidade angular no Sistema Internacional é: rad / s.

Obs.: π radianos = 3,14 radianos = 180o

1 radiano = 57,3o ( aprox. )

oradrev 36021

3. Velocidade angular ()

• A taxa de variação do ângulo em relação ao tempo é chamado de

velocidade angularf i

méd

f it t t

• A velocidade angular instantânea é análoga a velocidade linear

0limt

d

t dt

• Unidades: rad/s, rev/min ou RPM e ciclos/s

•Se o movimento for uniforme, a partícula descreve trajetórias iguais

em tempos iguais, então a veloc. angular é cte, logo:

= 2π = 2πf

Sinal de acordo com o sentido da rotação: +=anti-horário e - = horário

• A taxa de variação da velocidade com o tempo é chamada

de aceleração angular média

4. Aceleração Angular ()

médt

Aceleração instantânea

2

20limt

d d

t dt dt

unidade: rad/s2

t 0

2

002

1tt

Se a aceleração angular é cte, pode-se encontrar w pela

integração da equação da aceleração média, que fornece:

22

0

2

Velocidade angular com aceleração constante

Posição Angular para qualquer tempo

Equação de Torricelli para o movimento circular

Integrando novamente temos:

De modo semelhante, eliminando-se t da eq. acima, chegamos a:

t 0

2

002

1tt

22

0

2

Movimento RotacionalMovimento Linear

0v v at

2

0 0

1

2x x v t at

2 2

0 2v v a x

Relação entre as equações lineares e angulares

S=so+v.t θ=+vt

Relação entre as

grandezas

s r

.v r

.ta r

ds dv r r

dt dt

t

dv da r r

dt dt

Com.

22

c

va r

r

A aceleração resultante é

2 2 2

c ta a a

Energia Cinética Rotacional

A energia cinética de um corpo rígido que está girando em

torno de um eixo é a soma da energia cinética de cada uma

das partículas que coletivamente constituem o corpo. A

energia cinética da i-ésima partícula, com massa mi

21

2ic i iE mv

Somando todas as partículas e

usando , tem-se: ii rv

2 2 2 2 21 1 1

2 2 2c i i i i i i

i i

E m v m r m r

21

2cE I

Energia cinética de um objeto em rotação.

Cálculo do Momento de Inércia

• O momento de inércia em torno de um eixo é uma medida de resistência inercial

de um objeto para sofrer movimento rotacional em torno desse mesmo eixo. Em

outras palavras, o Momento de inércia mede a distribuição da massa em torno de

um eixo de rotação fixo. Quanto maior I, maior a dificuldade para o corpo entrar

em rotação

Sistemas Discretos de Partículas - Aplica-se a equação

i

iirmI 2

Corpos Contínuos – considera-se o corpo composto de uma infinidade deelementos de massa muito pequena e a soma finita da equação anterior,transforma-se na integral:

2I r dm Onde r é a distância radial medida do eixo

de rotação até o elemento de massa dm

Um objeto é constituído de quatro partículas

de massa m que estão conectadas por barras

de massa desprezível, formando um

retângulo de lado 2a e 2b. O sistema gira

com velocidade angular w, em torno de um

eixo no plano que passa pelo centro, como

mostrado na fig.

a) Encontre a Ec desse objeto;

b) Calcule a EC de cada partícula

c) Encontre o momento de inércia

considerando o eixo de rotação paralelo

ao primeiro, passando através de duas

partículas (m1 e m3)

Exemplo 2

i

iirmI 221

2cE I

2

44

2

33

2

22

2

11

2 rmrmrmrmrmIi

ii

1 2 3 4m m m m m

1 2 3 4r r r r a

22222 4mamamamamaI

22222 242

1

2

1 mamaIK

22222

2

1

2

1

2

1 mamavmK iii

2222 2)2

1(44 mamaKK i

onde

e

Assim, subst.

b) Para uma partícula:

A energia cinética total será:

2

44

2

33

2

22

2

11

2 rmrmrmrmrmIi

ii

=m.0 + (m.2a)2+m.0+(m.2a)2 = 8ma2

c)

Teorema dos Eixos Paralelos

Relaciona o momento de inércia em torno de um eixo

que passa através do centro de massa de um corpo com

o momento de inércia em torno de um eixo paralelo ao

primeiro.

2MhII cm

M= massa total

H= distância entre os dois eixos de rotação

Torque

.tFr Frsen F d

O torque é o produto da

força pelo braço de

alavanca atuando no

corpo provocando o giro.

Torque

A força F1 tende a girar o

corpo no sentido anti-

horário enquanto a força

F2 tende a girar o corpo no

sentido horário.

1 2 1 1 2 2. .F d F d

Segunda Lei de Newton para a Rotação

A direção da força aplicada num disco é importante para fazê-

lo girar:

tt maF como rat temos mrFt

multiplicando os dois lados por r, temos:

2mrrFt

Iextextres ,Lembrando que mr2=I e τ=r.Ft

Logo, τ=Iα

Exemplo:

10. Com a intenção de fazer algum exercício sem sair de casa, uma

pessoa fixou uma bicicleta em uma base, de forma que a roda traseira

pudesse girar livremente. Quando a bicicleta é pedalada, ela aplica

uma força pela corrente de 18N para a catraca a uma distância r=7cm,

fora do eixo da roda. Considere que a roda é um arco (I=MR2) de raio

R=35cm, e massa 2,4kg. Qual será a velocidade angular da roda após

5s?

tt 00

Iext cext Fr

2MR

Fr

I

cext

assim

2 2

(18 )(0,07 )5

(2,4 )(0,35 )

21,4 /

cFr N mt t s

MR kg m

rad s

mL

h

rotdeeixoaocmdisth

mkgxxxdtabMLI

rotacionalinercialIMhII

temosparaleloseixosdosteoremaPelo

com

comcom

3,02,05,020,02

_____

.1067,40467,0156,012

1)2.10(

12

1

_

:_____

2222

2

22

22

.107,9097,0

)3,0(56,00467,0

mkgx

MhII com

)__(.3,57520,430,1

111111

horárioantisentidomNxsenx

senFrFr

)_(.12,9609,415,2

2222

horáriosentidomNxsenx

senFr

mNR .85,312,93,521

Tarefa

•Refazer os exemplos resolvidos

•Fazer a lista de exercícios