CPGENQ-Curso de Ps-Graduao em Engenharia QumicaProf. Ayres Ferreira MorgadoDisciplina: ENQ 3132-Reologia de Fluidos no-Newtonianos5.Medidas de viscosidade ( viscometria)-aula dia 27/Julho de 20045.1 Introduo Os viscosmetros comuns ou convencionais ( Mariotti, copo Ford, Saybolt, ), fornecem medidas de viscosidade pontuais, isto, fornecem apenas um ponto na curva de escoamento. Para os fluidos newtonianos isto no causa nenhum problema, pois nestes, a viscosidade independente da taxa de cisalhamento. Por outro lado, para os fluidos no newtonianos, deveremos medir a viscosidade em vrias taxas de cisalhamento , pois a viscosidade vai variar com a taxa de cisalhamento aplicada.Na maioria dos equipamentos para a medida viscosidades de produtos, tais como: pastas, suspenses, disperses aquosas, emulses polimricas, gis, caldas alimentares, entre tantos outros fluidos industriais a velocidade de cisalhamento varia atravs da amostra para este tipo de fluido. Se o fluido fosse newtoniano, a medida da viscosidade seria uma medida nica para cada temperatura independente da taxa de cisalhamento. No entanto, para um fluido no-newtoniano, teramos uma viscosidade aparente atravs da amostra que seria varivel ao longo da amostra. Esta constatao leva ao desenvolvimento de geometrias para a medida da viscosidade que levem em conta a limitao, ou o controle da variao da velocidade de cisalhamento com a posio (Coulson, v. III, p.496). Esta aproximao permite que possamos usar as equaes do escoamento viscoso, isotrmico e incompressvel( eq. de Navier-Stokes ) adaptadas s geometrias pertinentes. A seguir, veremos alguns tipos selecionados de geometrias que permitiro tal prtica de medidas de viscosidade e outros parmetros reolgicos para fluidos no newtonianos.5.2 Tipos de viscosmetros -analisaremos os viscosmetros onde possamos medir viscosidade e outros parmetros reolgicos5.2.1 Viscosmetros de escoamento em tubos ou capilares-O padro de escoamento nestes viscosmetros so baseados na equao de Hagen-Poiseuille para os fluidos Newtonianos. Para os fluidos no-Newtonianos, teremos que utilizar a equao de Rabinowitsch-Mooney( Toledo, p.163). A equao de Rabinowitsch-Mooney, entra com a expresso da lei de potncia na equao de Poiseuille e, resolve o sistema para os fluidos no-Newtonianos.Viscosmetros capilares a medida da viscosidade feita deixando-se escoar o fluido por um pequeno furo ou forando-o por escoar por um capilar. A viscosidade fica estabelecida pela medida do fluxo, pela presso aplicada e pelas dimenses do tubo. A equao que expressa o valor da viscosidade foi deduzida por Hagen-Poiseuille.5.2.2Relaes entre perfis de velocidade e vazo em capilares ( modelo de Hagen-Poiseuille)A velocidade mdia( Vm) escoando num tubo em condies laminares para um fluido newtoniano, foi deduzida por Hagen-Poiseuille: LPRLR P PVm8 8) (2 22 1 (5.1)Sendo P1, P2, a presso na entrada e na sada do tubo, respectivamente. R o raio do tubo, L, o comprimento do tubo e a sua viscosidade. Considerando que o fluido seja no-Newtoniano, temos a sua viscosidade aparente (ap), dada por:ap = mLVPR82(5.2)Caso queiramos utilizar um viscosmetro do tipo Poiseuille para determinar a viscosidade de um fluido que segue a lei de potncia, faremos as seguintes tratamentos:A tenso de cisalhamento no modelo power-law, pode ser assim descrita:nK ) ( (5.3) modelo lei de potncia sem limite de escoamentonoK ) ( + (5.4)modelo da lei de potncia com limite de escoamento ( Herschel-Bulkley).De modo geral, a tenso de cisalhamento num fluido Newtoniano qualquer pode ser expressa por:

,_

drdV (5.5)E, para o caso do fluido escoando num elemento do tubo (anel de rea r2 ) e rea projetada igual a 2 rL ( em condies laminares ( Toledo,p.164),rL r P P2) )( (22 1 = Lr P P2) )( (2 1 = ndrdVK

,_

,(5.6)colocando em funo da taxa de cisalhamento:nnrLKPdrdV11) (21]1

(5.7)Integrando e substituindo os valores nas condies decontorno(V = 0 em r = R):21]1

11]1

+1]1

+ + 1 )1( 1 )1(11 )1(12n nnr RnLKPV (5.8)A equao ( 5.8) representa o perfil de velocidade para um fluido que segue a lei de potncia. Poderemos de forma mais adequada, expressar o perfil de velocidade em temos da sua velocidade mdia ( Vm)1]1

1]1

+1]1

+ +Rn nnmdr r RnnLKPr R V01 )1( 1 )1(121 22 ) ( Integrando e substituindo os valores da integral, teremos:mV[ ]1]1

+1]1

+1 3 2/ ) 1 (1nnRLKPn nn(5.9)O perfil de velocidade em termos de velocidade mdia, fica:11]1

1]1

1]1

+++ n nmRrnnV V/ ) 1 (111 3(5.10)Quando n= 1, o perfil de velocidade parablico.O perfil de velocidade achata-senas proximidades do centro do tubo medida que n decresce. Derivando a eq.(5.10) em relao a r e substituindo-se r = R, para a taxa de cisalhamento perto da parede:[ ] [ ]nn nmwR RnnnnVdrdV 1/ ) 1 (111 3+ 1]1

+1]1

++ Simplificando, teremos:1]1

1]1

+ R nnVdrdVmw1 1 3(5.11)A equao (5.11) uma das formas da equao de Rabinowitsch-Mooney, utilizada para o clculo de taxas de cisalhamento para fluidos no-Newtonianos atravs de tubos.Na parede do tubo (para r = R), supondo fluido Newtoniano, a taxa de cisalhamento dada por:3RVwmdrdV 4 (5.12),Sendo que para fluidos no-Newtonianos, a equao (5.11) fornece uma expresso similar (5.12), assim:1]1

+ n RVdrdVmw4143 4(5.13)A equao (5.13) mostra que a taxa de cisalhamento para um fluido no-Newtoniano similar expresso para os fluidos Newtonianos, exceto pelo fator de multiplicao (0,75 +0,25/n).Os viscosmetros capilares no do bons resultados para viscosidade absoluta. No entanto, so timos para a determinao de viscosidade relativa e viscosidade cinemtica ( ). = /Caso o viscosmetro capilar seja calibrado com um fluido de referncia, a viscosidade de outros fluidos em relao referncia fica determinada por seu tempo de escoamento. Para trabalhos de preciso, devero ser feitas correes para sanar as perdas por energia cintica, drenagem insuficiente, turbulncia, tenso superficial e calor.VISCOSIMETRIA EMPREGANDO GEOMETRIA DE CILINDROS CONCENTRICOS( VISCOSMETROS ROTATIVOS DE CILINDROS CONCNTRICOS)- tipo SearleNeste caso particular de geometria, aplicaremos equaes para a velocidade ou gradiente de cisalhamento, aplicando as equaes gerais da conservao da energia e do momento . Equao de Navier-Stokes-Bird et al, (1960). Assumiremos nesta geometria que o cilindro interno ( bob) rotacional e o cilindro externo ( cup) estacionrio( Rao, p.140).1. Balano de foras , ou do torque total ( M) sobre o cilindro interno:, 2 M hr ri i r ( 5.14)em termos de torque por altura ( T), teremos:T = M/h, a equao anterior, fica:22irrT ( 5.15)Descreveremos o escoamento entre o cilindro interno e o externo em coordenadas cilndricas por motivos de simetria( r, , z). Obs., no existe escoamento na direo radial( vr =0), e na direo axial, ( vz = 0) e, devido simetria. 0 A componente da equao do movimento na direo r se reduz a:4r rrrvrrr ) (12(5.16), esta equao trata to somente das tenses normais. Detalharemos a componente na direo da equao do movimento, verificando que v = f(r):

,_

++ ,_

+ +++z rrr r rpr zvvrv v vrvrvvtvzr zrr 1) (1 122++ g( 5.16)Em condies estacionrias,. 0 tv, vr =0;. 0 v; e,. 0 zvCom estas condies , os termos esquerda da eq.( 5.16) igual a zero; e, do lado direito desta equao, 0 rp, devido no haver gradiente depresso na direo r e; g = 0, pois no existe componente da gravidade nesta direo. Alm disso,0 , e0 zz , porque no existe gradiente de cisalhamento na direo z e .Como conseqncia, teremos para a componente :0(2rrr(5.17)0 +zgrp( 5.18)

A equao (5.18) descreve a presso hidrosttica no espao anular ( gap) entre os dois cilindros. A diferenciao da equao ( 5.17):0 22 + dr r d rr r , rearranjando, temos: rrd rdr2 (5.19).A resoluo de ( 5.19) requer as condies de contorno. No cilindro interno rotacionando, a condio de contorno que a velocidade perifrica ( tangencial) na condio de uma velocidade angular ( ) fica assim: v = ri em r = ri; e que a velocidade perifrica no cilindro estacionrio v = 0 em r = ro.Estas condies so baseadas em no haver deslisamento( no-slip) na interface slido-fluido. A distribuio de velocidades pode ento serem obtidas partir da integrao de ( 5.19) mais as condies de contorno.rridrdr r v drv ) / ( (5.20 )5Entrando com o valor de dr( 5.19) em (5.20), e os limites de integrao adequados, teremos:

,_

,_

irrirr rrddrr v rd ddr r v rdrv 21 ) / (2) / ((5.21)Pelo uso da regra de Leibnitz( Rice, R. G. & Do, D. D., p.148), e, diferenciando em relao ar, e, com as condies de contorno r=i em r = ri er =o em r = ro , teremos:11]1

,_

,_

o ii idr r v drdr r v drdr v d ) / ( ) / (21 ) / ( (5.22)Fazendo r v / , e,_

dr r v dr) / (;a equao anterior( 5.22), pode ser escrita assim:o iiiidd 2(5.23)Poderemos, ento calcular facilmente, a tenso cisalhante na superfcie do cilindro rotativo, a partir da equao( 5.15), a seguir 22irrT ( 5.15). Para isto, deveremos obter expresses para as diferenas nas velocidades de cisalhamento na superfcie interna e externa dos cilindros, partir das equaes bsicas do escoamento. O problema a ser resolvido o de calcular a velocidade de cisalhamentoi. Uma alternativa muito utilizada para o clculo de ienvolve aplicar na equao diferencialo iiiidd 2soluo por srie infinita. Um mtodo muito popular o de calcular a velocidade de cisalhamento na superfcie do cilindro rotativo assumindo que o fluido teste segue o modelo da lei de potncia:ndr r v dr K1]1

) / ((5.24)A equao (5.23) poder ser resolvida, aps substituirmos o termo da tenso de cisalhamento dado pela equao22irrT :c rnnKTr vnn+ ,_

/ 212 2/ (5.25)6Utilizando-se das condies de contorno v = 0 em r = ro, e v = ri em r = ri , obteremos a equao a seguir( 5.26):;'11]1

,_

,_

11]1

,_

noioioiirrnrrrr/ 2221112(5.26)Na equao anterior,quando n = 1 ( no caso de fluidos newtonianos), se obtm a equao de Margules para a velocidade de cisalhamento:11]1

,_

2112oirr(5.27)Examinando o limite da segunda parcela da equao ( 5.26), quando ri ro : 1) / ) ( / 2 () / ( 2l i m111 ) / 2 (/ 2211]1

;'11]1

,_

,_

no io inoioir r n nr ri t errnrrLi m i t e(5.28)7Como conseqncia, quando ri ro, a velocidade de cisalhamento de um fluido no-newtoniano tende para a velocidade de cisalhamento de um fluido newtoniano. Na tabela a seguir, tem-se os fatores de correo correspondentes aos termos em parnteses da equao (5.27). Estes fatores de correo se referemao ndice de comportamento do fluido ( n) e razo (ri/ro ) no caso de cilndricos concntricos rotativos. Como era de se esperar, (1)estas correes para o n so pequenas quando ri ro; e, (2) so grandes para fluidos que se afastam bastante do comportamento newtoniano e quando (ri/ro ) < 0,95.Tabela 1, valores paraos fatores de correo da velocidade de cisalhamento (cilindros concntricos rotativos) (ri/ro ) f1 = ;'

,_

21oirr valor do ndice de comportamento do fluido, nf2 = ;'

,_

noirrn/ 21fator de correo (f1/f2)0,95 0,0975 0,20 0,083 1,2150,95 0,0975 0,50 0,0927 1,0510,95 0,0975 1,00 0,0975 1,0000,95 0,0975 1,20 0,0983 0,9920,95 0,0975 2,00 0,1000 0,9750,75 0,4375 0,20 0,1887 2,3180,75 0,4375 0,50 0,3418 1,2800,75 0,4375 1,00 0,4375 1,000,75 0,4375 1,20 0,4571 0,9570,75 0,4375 2,00 0,5000 0,8750,50 0,75 0,20 0,1998 3,7540,50 0,75 0,50 0,4688 1,6000,50 0,75 1,00 0,7500 1,0000,50 0,75 1,20 0,8220 0,9120,50 0,75 2,00 1,000 0,75Adaptado de Rao, p.64, 1999Apesar de fcil manuseio e uso, o Viscosmetro Concntrico Rotativo-VCR (possui limitaes que devero ser levadas em conta pelo Pesquisador ou utilizador de tais viscosmetros, conforme resumidas a seguir).1.Comportamento tixotrpico ou antitixotrpico previsto?2.O fluido em questo uma suspenso, onde as partculas slidas tendem a sedimentar ( ex.gro de amido no gelatinizado em gua) nas condies do 1a Sim. O VCR ser aplicvel, caso a amostra preparada in situ, ou se h tempo para haver recuperao ou a inrcia do sistema de medidas baixo;1bNo, e importante que tenhamos dados de cisalhamento em condies estabelecidas. 8testeno VCR?2a Sim. No useo VCR.2b No. O gap entre os cilindro bem estreito? No. corrija a taxa de cisalhamento utilizando-se da eq. de Krieger (lei de potencia) Pode-se utilizar o VCR, caso minimizemos os efeitos de parede ( end effects ).Sim. Talvez possa utilizar o a taxa de cisalhamento considerando fluido newtoniano .(Viscosmetros rotacionais ou de escoamento podendo ser do sistema Searle, neste tipo, o cilindro interno (bob) gira, enquanto que o cilindro exterior ou cuba (cup) fixa; nos viscosmetros tipo Couette, o cilindro externo gira enquanto que o cilindro interno fixo (Na, p.38), -so indicados para fluidos no newtonianos, bem como os de cone e placa. viscosmetros de cilindros concntricos-O cilindro rotativo coaxial (ou cilindro rotacional) pode ser considerado como uma modificao do arranjo de placas paralelas. Neste caso, como se as placas fossem enroladas completamente em torno de um eixo (Patton, p.31). Isto gera duas superfcies cilndricas que movem uma em relao outra em volta de um eixo comum conforme fig.1, a seguir, O viscosmetro de cilindro rotativo permite uma determinao precisa da viscosidade para fluidos no newtonianos. No dispositivo de cilindros concntricos rotacionais atinge-se uma velocidade de cisalhamento aproximadamente uniforme atravs de toda a amostra. Esta fora de cisalhamento cria um filme delgado de amostra de fluido entre os dois cilindros concntricos.O cilindro externo pode girar (ou oscilar) a uma velocidade constante, e, a tenso de cisalhamento pode ser medida em termos da deflexo do cilindro interno suspenso por um fio de torso.Pode, tambm, o cilindro interno girar ou oscilar, permanecendo estacionrio o cilindro externo. A tcnica utilizada de medida dos parmetros reolgicos consiste em medir-se o torque causado, pela resistncia causada pelo cilindro mvel em oscilar ou girar. Na fig. a seguir v-se os elementos bsicos deste tipo de viscosmetro.95.2 Viscosmetros rotacionais ou rotativos-consistem de duas partes que possuem movimento relativo entre si, separados pelo material a ser testado. Estas partes podem ser dois cilindros concntricos um dentro do outro-a cuba (cup) e o rotor (bob).Ver fig. a anterior. Existe vrias verses dos viscosmetros de cilindros concntricos. Tanto pode girar o cilindro interno ou o externo, enquanto o outro fica estacionrio. No caso em que o cilindro interno gira, temos os viscosmetro do tipo de Searle (Na, p.37). Neste caso, a fora de rotao fora o lquido a rotacionar na folga (gap) entre os dois cilindros. Esta ao origina um torque no cilindro interno, o qual reage ao torque criado pelo motor.O torque proporcional fora de arraste exercida pelo fluido em rotao dentro do cilindro. Este torque monitorado por um sensor, usualmente uma mola colocada entre o motor e o eixo do cilindro interno. O giro da mola uma medida direta da resistncia ao escoamento do fluido, isto , a sua viscosidade. Com este tipo de viscosmetro podem ser feita medidas de um s ponto (para uma velocidade do motor) ou para uma srie de velocidades do motor, cobrindo uma gama maior de medidas reolgicas.Nos viscosmetro tipo escoamento Couette, o cilindro externo gira com uma velocidade definida. O torque gerado transmitido ao cilindro interno. Um sensor mede a fora necessria para manter o cilindro interno em repouso. O cilindro interno pode ser conectado a uma barra de toro, a qual pode ser monitorada asua deflexo atravs de um transdutor eletrnico. A tenso e a taxa de cisalhamento do fluido na aparelhagem determinada a partir da velocidade angular de rotao, pela geometria do cilindro e pelo torque medido. 10A relao entre a viscosidade, a taxa de cisalhamento e o torque para um fluido Newtoniano num viscosmetro de cilindro rotativo concntrico dada pela eq. de Margules: kMR RhMo i

,_

,_

2 21 14( 5.0)Onde Ro o raio do cilindro externo e Ri o raio do cilindro interno.A velocidade angularem RPM (w ) relacionada com a velocidade linear ( v ) por:w = 2v/60 (5.1)A taxa de cisalhamento dada por ( G) 2 222i ooiR R RG ,( 5.2)Fazendo a eq.( 5.2 ) em funo da velocidade linear ( v), teremos:( ) vR R RGi aai.152 22( 5.3)Logo, Gi = K.v, onde K uma constante geomtrica ou fator da taxa de cisalhamento.a tenso de cisalhamento, vale: 11MR Li.. . 212 ( 5.4)Onde L a altura do rotor e M o torque. Poderemos relacionar a tenso de cisalhamento com o torque, assim :M fi. ( 5.5)Onde f um fator de forma.Caso tenhamos um sensor que monitora o sinal S, o qual proporcional ao torque M, teremos:M = a.S ( 5.6)Ento a tenso ser: S a fi. . = Q.SA viscosidade ser:vSDv KS QR RLM Go iii

,_

.. 1 142 2 ( 5.7)Caso os parmetros do sistema de medio sejam conhecidos, D constante e a viscosidade medida atravs do valor do sinal do sensor ( dial reading) e da velocidade de rotao v.A geometria do rotor ou bob ( cilindro interno )e da cuba ( cilindro externo) muito importante. No limite, teramos um sistema de placas paralelas para um fluido newtoniano. A folga( gap) entre o rotor e a cuba dever ser projetada a dar os melhores resultados para a viscosidade, de modo que a velocidade do fluido entre as placas permanea linear. Os padres Internacionais prescrevem os limites de folga ( g) entre os raios dos cilindro interno e cilindro externo dado por 1,00 < g>1,10.5.3Teoria-este tipo de viscosmetro consiste de dois cilndricos concntricos, tendo um espao anular entre si. Neste espao onde o fluido acomodado. Um dos cilindro mantido a girar com velocidade angular constante . Pela medida do torque M necessrio para manter esta rotao e, tambm, pelo valor conhecido das dimenses do cilindro, o valor da viscosidade do fluido pode ser calculada. Considere a seco de comprimento L para dois cilindros concntricos, conforme a fig. Seja a, o raio do cilindro interno (como se fosse um eixo), e, b o raio interno do cilindro externo (visualmente um mancal). No espao anular do cilindro fica o fluido com viscosidade . Considere o caso onde o cilindro interno ( bob = prumo ou peso suspenso por um fio) acionado por um torque M, o qual rotaciona em torno de seu eixo com velocidade angular constante (a), o cilindro externo ( cuba) mantido estacionrio. Considere uma casca cilndrica bastante fina do fluido em 12questo de raio r e espessura dr, a qual concntrica em relao em relao aos dois cilindros e imersa entre os cilindros. Seja F igual a fora cisalhanteque age na superfcie interna desta casca de fluido, a qual em termos do torque aplicado igual a M/r. Esta fora age sobre a face total da casca ( de rea = 2rL ), logo, a tenso cisalhante( F/A) = F/2rL, ou em termos do torque aplicado, esta tenso igual a M/2r2L ( ). A taxa de cisalhamento( ) atravs da casca igual variao diferencial da velocidade ( dv) sobre a espessura da casca ( dr ), ou-dv/dr. Em funo da velocidade angular, esta tenso de cisalhamento igual a rd/dr. uma distncia r do eixo do cilindro, o gradiente de velocidade ou taxa de cisalhamento (dV/dr), vale:222121 112R Rrdrdv Onde, w a velocidade angular do cilindro externo em rotao, R1 e R2 os raios dos cilindros interno e externo, respectivamente.Como as dimenses de R1 e R2, so bastante diferentes entre si, a velocidade de cisalhamento atravs da camada de separao entre os dois cilindros no muito grande, podendo ser controlada atravs da velocidade de rotao. A expresso anterior pode ser modificada, por:dv/dr = wR/d, onde d a camada de separao entre os dois cilindros, R o raio mdio dos dois cilindros. A resistncia devido a viscosidade( torque = M) sobre o cilindro interno K = M, onde K a constante torsional do fio, e, a deflexo angular do cilindro. Essa fora exercida sobre uma rea 2RL, onde L a altura efetiva de lquido em contato com os cilindros. A viscosidade consiste da relao entre a fora por unidade de rea e a taxa de cisalhamento dv/dr, logo, teremos: = / = K d/2 RLou = K / LPor definio, a viscosidade a relao entre a tenso de cisalhamento pela taxa de cisalhamento, colocando os respectivos termos acima nesta definio, teremos a eq. (1) = / = M/2r2L/ -rd/dr = (-Mdr)/(2r3Ld)( 1)Rearranjando e resolvendo explicitamente em funo de , teremos:32rdrLMd (2)13Integrando a eq. ( 2) e, estabelecendo como constantes de integrao, a partir do fato de que = 0, para r = b ( ocorre, devido ao fluido prximo face externa ficar estacionrio). Disto resulta, a eq. ( 3 ), a seguir em termos da velocidade angular para um raio r.

,_

2 21 14b rLM (3)Finalmente, quando r = a, a velocidade angular a igual a velocidade angular do cilindro rotativo interno ( bob), ao qual o fluido estem contato. Logo, em termos dos raios a e b, a velocidade angular dada pela eq. (4), a seguir.

,_

2 21 14b aLMa (4)Resolvendo explicitamente, para a viscosidade, resulta na eq. (5)

,_

2 21 14b aLMa (5),Para fins de clculos, a eq. (5) rearranjada, dando a eq. (6), a seguir,( )2 22 24b aa bLMa (6) medida que o espao entre o cilindro interno (bob) e o externo se torna mais estreito (o valor do raio a se aproxima do valor de b), neste caso, as faces opostas do viscosmetro se tornam aproximadamente paralelas. Por outro lado, a tenso cisalhante mdia e taxa de cisalhamento atravs deste espao se aproximam dos valores seguintes respectivos:Tenso cisalhante mdia = M/2[(a +b)/2]L; = v/( b-a) = aa( b-a)Logo, a viscosidade do fluido, pode ser expressa pela eq.(7)( )( )284b a aa bLMa + (7)A eq. (7) aplicada de forma aproximada somente nas condies onde a folga entre o cilindro interno e o externo for pequena.Aplicao 1 (Patton, p.34)Aplicaes do viscosmetro rotativo para fluidos no-newtonianos14Vimos que para um viscosmetro rotacional cilndrico, a tenso cisalhante dada pela expresso da eq. M/2r2L= ( 8).Para um fluido newtoniano, a tenso dada pela eq. 8 toda ela consumida para vencer as foras viscosas do fluido. Vamos ver o caso de um fluido plstico de Bingham. Para um plstico de Bingham, parte da tenso cisalhante( o ) consumida para superar o limite plstico do material ( limite de escoamento), a restante usada para induzir o escoamento no material (v). Seja a tenso total aplicada ao material binghaminiano e o a tenso oposta a ser vencida ( devida ao limite de escoamento), ento a tenso - o =v , a tenso disponvel para induzir o escoamento neste tipo de material( vencer as foras viscosas). Logo, para um fluido binghaminiano, a tenso disponvel para induzir o escoamento dada por:oL rMv 22(9),Como a taxa de cisalhamento em questo dada por rd/dr ( para um fluido newtoniano), logo a viscosidade plstica (`), para um fluido de bingham, pode ser dada pela expresso da eq. (10), a seguir.` = ( - o)/ (rd/dr( 10 )Na eq. ( 10 ), substitui-se por seu valor dado pela eq. M/2r2L, e, resolvendo-se explicitamente para para d, resulta a eq. (11):drr L rMdo

,_

` 3 '`2 . (11)Aintegrao de (11) leva a:KrL rMo+ ` 2 `.ln4 (12)Considere um viscosmetro rotacional, onde o cilindro rotacionado (giratrio). Para esta condio = 0, para r = a. Usando este artifcio, poderemos estabelecer o valor para a constante de integrao K, da eq. 12, formando ento a eq. 13,( )

,_

arL a ra r Mln4 .02 22 2` (13)A eq. (13) vlida (experimentalmente) somente se o fluido possui condies laminares em todos os pontos (isto , o limite de escoamento alcanado em toda a extenso do lquido). Assumindo esta condio, encontramos que a velocidade angular em b (velocidade angular no cilindro externo) dada pela eq.14, a seguir.

,_

abL a ba b Mo bln4 .) (2 22 2` (14)15Quando a velocidade do cilindro exterior reduzida a zero, a eq.14, teoricamente se simplifica, obtendo a eq. 15,onde o valor Mo o valor do torque aplicado nesta condio.) / ln( . 4 .2 22 2a b L a ba bMo o(15)Substituindo o pelo valor dado pela eq. 15, e, resolvendo para ` na eq.14, teremos:L a ba b M Mbo42 22 2` (16)Uma anlise da eq. ( 16), veremos que se fizermos um grfico do torque aplicado M vs a velocidade angular b fornecer uma linha reta, onde a reta intercepta a ordenada em M = Mo. Isto permite calcular o limite de escoamento verdadeiro de acordo com a eq.(15).Onde M = torque aplicado e medido no cilindro interno, h a altura ou comprimento do cilindro interno imerso no fluido teste, velocidade angular relativa do cilindro em rad/s, Ri o raio do cilindro interno ( bob).Para o caso de medidas de viscosidade de fluidos no (polmeros fundidos) e outros materiais muito viscosos poderemos fazer com os viscosmetros do tipo cilindro empistonado (extrusora ou maromba). Neste tipo de viscosmetro, o reservatrio contendo a amostra conectada a um tubo capilar. O polmero fundido ou outro material qualquer extrudado por meio de um pisto atravs da aplicao de uma forca constante.A viscosidade pode ser determinado, conformevimos pela equao de Hagen-Poiseuille conforme vista anteriormente. No entanto, como estaremos lidando com fluidos no, a taxa de cisalhamento na parede( Gw) deve ter um fator de correo chamado fator de correo de Rabinowitsch, fornecendo ento a taxa de cisalhamento verdadeira ( Gtw ):Gtw = (3n +1)Gw/( 4n)O n da equao anterior o ndice de comportamento do fluido dado pelo modelo lei de potncia e, neste caso dado por:wtwG ddnloglogO valor de n pode ser obtido de um grfico log-log da tenso de cisalhamento verdadeira vs a taxa de cisalhamento na parede ( Gw). O n ser o coeficiente angular da reta ou curva. Para lquidos newtonianos, n = 1.A viscosidade aparente verdadeira dada por:16twtwtG5.4 Viscosmetros de cone e placa- consiste de uma placa circular plana e um cone, conforme a fig.5.4.1, a seguir. O ngulo do cone dever ser de 3o ou menor. Maiores ngulos, causam efeitos de parede distorcendo o campo de escoamento(Rao & Rizvi, p.20). Para o caso, onde ngulo entre a placa fixa e o cone menor do que 3o, Brodkey( 1967), mostrou que:) 2 . 4 . 5 .....( , ) 1 . 4 . 5 ;...(3 p peDAOnde,p a tenso de cisalhamentona placa, A o torque por unidade de rea, D o dimetro da placa, a velocidade angular e o ngulo do cone em radianos ep a taxa de cisalhamento na placa. A taxa de cisalhamento facilmente calculada, e, entre a folga cnica pode ser considerada constante.5.5 Geometria de placas paralelas-Em vez de um cone e placa, poderemos utilizar um sistema de placas paralelas. As equaes para o clculo da taxa de cisalhamento, e da tenso de cisalhamento so:17 r ;e 1]1

+ l n 3l n1233dA drAOnde, w a velocidade angular, r o raioe a folga(gap) entre as placas e A o torque aplicado.Referncias1. Na, H. N., em: Rheological Properties of Cosmetics and Toiletries, Editor, Dennis Laba, Marcel Dekker, New York, 19932.PATTON, T. C.,Paint Flow and Pigment Dispersion. A rheological Approach to Coating and Ink Technology. Wiley, New York, 19793.COULSON, J. M. , RICHARDSON, J.F.,Tecnologia Qumica, v.III, Gulbenkian, Lisboa, 19824.TOLEDO, R. T.,Fundamentals of Food Process Engineering, 2o Ediao, Chapman & Hall, 19994. Kirk-Othmer-Encyclopaedia of Chemical Technology,5.RAO, M.A., Rheology of Fluids and Semisolid Foods.Chapman & Hill + Aspen Publication, MA, USA.6. Rice, R. G., Do, D. D., Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, John Wiley, New York, 199518