veri cação da lei de stefan-boltzmann -...

$: Veri cação da Lei de Stefan-Boltzmann - w3.ualg.ptw3.ualg.pt/~jlongras/1-Lei-Stefan-Boltzmann.pdf · cinzento, porque a fracção de potência que emite é aproximadamente constante$
Vericação da Lei de Stefan-BoltzmannProtocolos dos laboratórios de FísicaDepartamento de Física, UAlg

1 Introdução

Esta experiência envolve o conhecimento de vários conceitos: corpo negro, corpo cinzento,dependência da resistência na temperatura. Assim, esta introdução faz um resumo de cadaum destes temas.

1.1 Corpos negros

Todos os corpos estão constantemente a emitir e a absorver radiação. Não há uma formauniversal de descrever o padrão de emissão de um corpo qualquer. Mas existe um casoespecial, que é o do corpo negro, que tem um padrão bem conhecido. Todos os corpos quese possam descrever como corpos negros irradiam da mesma forma. Um corpo negro écaracterizado por absorver toda a radiação que nele incide.

Uma forma clássica de idealizar um corpo negro é considerar uma cavidade pintada depreto e apenas com um estreito orifício de entrada.

Fig. 1: A abertura da cavidade é um modelo de corpo negro: a radiação que entra já não sai

e por isso dizemos que o corpo negro absorve toda a radiação que nele incide.

Consideremos então um corpo negro em equilíbrio térmico com o ambiente (como se sabe,estar em equilíbrio térmico quer dizer estar à mesma temperatura). Vamos ver que o corponegro também tem de emitir radiação. Com efeito, se o corpo negro apenas absorvesse aenergia nele incidente, então iria aumentar a sua temperatura até ao innito, e não poderia

1

Vericação da Lei de Stefan-Boltzmann

estar em equilíbrio térmico com o ambiente. Segue-se que o corpo negro tem de perder umaquantidade de energia igual à que recebe. Essa energia é perdida por emissão. Segue-se entãoque um corpo negro em equilíbrio térmico com o ambiente emite uma quantidadede radiação igual à que absorve. Com esta armação podemos actualizar a gura 1, paraa transformar na imagem mais exacta dada na gura 2.

Fig. 2: Um corpo negro em equilíbrio térmico com o ambiente emite uma quantidade de radi-

ação igual à que absorve.

A Física determinou que a potência emitida por um corpo negro em equilíbrio térmico sódepende:

• da sua temperatura absoluta

• da sua superfície.

A lei que materializa esta dependência é a chamada Lei de Stefan-Boltzmann:

Prad = σAT 4, (1)

em que Prad quer dizer potência radiativa (em W), A é a área do corpo negro (em m2), T asua temperatura absoluta (em K) e σ é a constante de Stefan-Boltzmann, que vale

σ = 5.67× 10−8 Wm−2K−4. (2)

Há, no entanto, um detalhe que se deve esclarecer antes de continuar: é que, em rigor, ocorpo que vamos usar não é negro! O corpo que vamos usar é um corpo cinzento.

1.2 Corpos cinzentos

A maior parte dos objectos que nos cercam não se podem considerar negros (do ponto devista da denição física que demos acima), porque reectem ou transmitem parte da radiaçãoincidente (e portanto não a absorvem toda). No entanto, há bastantes corpos que se podemtratar como corpos cinzentos. Um corpo cinzento é aquele que emite uma fracção

Protocolos dos laboratórios de FísicaDepartamento de Física, UAlg

v 1.1 (Rui Guerra)Fev 2013

2


constante da potência emitida por um corpo negro à mesma temperatura, paratodos os comprimentos de onda. Por outras palavras, se Prad(λ) é a potência emitidapelo corpo no comprimento de onda λ `temperatura T e PCN

rad (λ) é a potência emitida pelocorpo negro no mesmo comprimento de onda e à mesma temperatura, então para um corpocinzento

e =Prad(λ)

PCNrad (λ)

= constante. (3)

A e chama-se a emissividade do corpo. Os conceitos explicados são ilustrados na gura 3.

Fig. 3: Exemplos de um corpo cinzento, um corpo aproximadamente cinzento e um corpo que

não pode ser aproximado como cinzento. Prad(λ) é a potência emitida pelo corpo no

comprimento de onda λ e PCNrad (λ) é a potência emitida pelo corpo negro no mesmo

comprimento de onda e à mesma temperatura.

O corpo cuja curva Prad(λ)/PCNrad (λ) é representada a azul escuro é um corpo cinzento,

porque emite sempre a mesma fracção da potência emitida por um corpo negro, para todosos comprimentos de onda. O corpo cuja curva é representada a verde é aproximadamentecinzento, porque a fracção de potência que emite é aproximadamente constante. O corpocuja curva é representada a azul mais claro não pode ser identicado como um corpo cinzentoporque a fracção de potência que emite relativamente a um corpo negro à mesma temperaturavaria com o comprimento de onda considerado.

Deve notar-se que a constante e da equação (3) pode depender da temperatura:

e = e(T ). (4)

Isto quer dizer, por exemplo, que a uma temperatura diferente daquela que está implícitano gráco a linha azul escura pode estar ao nível 0.7 e não 0.8. Levando este facto emconta, pode ver-se de (1) e (3) que os corpos cinzentos admitem uma aproximação à lei de



3


Stefan-Boltzmann, através da multiplicação pela constante adicional e(T ):

Prad = e(T )σAT 4. (5)

O objectivo deste trabalho é vericar a lei (5). Mas no nosso caso, dada a gamade temperaturas usadas e as características do lamento, a variação de e(T ) com atemperatura é relativamente lenta. Assim, a equação (5) ca, aproximadamente,

Prad = eσAT 4. (6)

.O apêndice A detalha um pouco mais a questão do corpo cinzento, para os alunos inter-

essados em perceber melhor qual é a relevâcia de e depender de λ e/ou de T .

1.3 Relação entre a resistência e a temperatura de um lamento

de metal

No decurso da experiência será necessário estimar a temperatura do lamento de uma lâmpada(é o lamento da lâmpada que vai funcionar como corpo cinzento). A forma de o fazer é usaro facto de que há uma relação entre a temperatura e a resistência eléctrica de um o metálico.Do ponto de vista microscópico, e numa descrição simplista, podemos dizer que o aumentoda temperatura promove o aumento das vibrações da rede iónica e da velocidade média dederiva dos electrões, o que aumenta a probabilidade de colisões e portanto a resistência darede à passagem dos electrões.

No caso dos metais, começamos por assumir que há uma relação entre a resistência (R) ea temperatura (T ):

R = R(T ). (7)

Podemos fazer uma expansão de Taylor para a função em torno da temperatura ambiente,T = T0:

R(T ) = R(T0) +dR

dT

∣∣∣∣T=T0

(T − T0) +1

2!

d2R

dT 2

∣∣∣∣T=T0

(T − T0)2 + . . .

= R(T0)[1 + α∆T + β(∆T )2 + . . .

], (8)

onde se deniu

α =dR/dT |T=T0

R(T0)e β =

d2R/dT 2|T=T02R(T0)

. (9)

α é o coeciente de temperatura da resistividade, que tem unidades C−1. O coeciente αestá tabelado para vários condutores e ligas na tabela 1.

Como a gama de temperaturas que vamos usar é bastante alargada devemos usar a ex-pansão de Taylor em segunda ordem, e portanto a expressão que efectivamente vamos usarpara relacionar R e T é (8). Na verdade vamos ainda reescrever esta expressão de uma forma



4


metal/liga α (C −1)Cu 0.0038W 0.0045Ni 0.006Fe 0.005Pt 0.003

latão (0.7 Cu + 0.3 Zn) 0.00020constantan (0.6 Cu + 0.4 Ni) 0.00001ferro-níquel (0.75 Fe + 0.25 Ni) 0.00009

Tab. 1: Valores do coeciente de temperatura da resistividade para vários metais e ligas

ligeiramente diferente. Vamos assumir que T0 = 0 C e portanto ∆T = T − T0 = τ , em queτ representa a temperatura em graus Celsius. Assim, a expressão nal ca

R(τ) = R0(1 + ατ + βτ 2), (10)

comα = 0.0045 C−1 e β = 6.76× 10−7 C−2, (11)

os valores tabelados para o tungsténio. É importante voltar a frisar bem que R0 é a resistênciaa 0 C e portanto, para aplicar esta expressão, teremos de saber o valor de R0.

Da análise desta tabela vericamos que os metais têm um valor de α bastante maior do queo das ligas, o que quer dizer que a sua resistência varia muito mais com a temperatura. Porisso os metais podem ser usados para fazer termómetros com base na variação da resistência.Por outro lado as ligas são mais indicadas em aplicações onde a resistência deve variar omenos possível com a temperatura.

1.4 Termopilhas

Nesta experiência é preciso medir a potência radiada pelo corpo negro. O aparelho que vamosusar para fazer essa medida chama-se termopilha. Uma termopilha é constituída por umconjunto de termopares em série e gera uma tensão de saída proporcional à potência ópticaque entra através da sua janela.

Devemos então começar por ver o que é um termopar. Um termopar é um transdutorconceptualmente simples que se baseia no efeito de Seeback, que diz o seguinte:

Se dois os de metais diferentes forem unidos pelas suas extremidades, formando um

circuito, e se as duas junções forem mantidas a temperaturas diferentes, uma corrente eléctrica

passará no circuito.

O efeito de Seebeck pode então ser usado para formar um termopar, tal como está ilustradona gura 4a: um metal está representado a vermelho e o outro a preto. A temperatura



5


das junções é respectivamente T1 e T2 e gera-se uma diferença de potencial aos extremos docircuito. Essa diferença de potencial é proporcional à diferença de temperaturas, V ∝ T1−T2,e pode ser medida com um voltímetro.

Na gura 4b vemos o esquema de uma termopilha: é constituída por termopares ligadosem série. As junções do lado direito estão em contacto térmico com um bloco de materialabsorvente preto que está à temperatura T2; as junções da esquerda estão a uma temperaturaxa e bem conhecida T1. A placa absorvente está bem isolada do resto da termopilha.

A radiação térmica incidente na pilha aquece a placa absorvente e as junções nela embu-tidas. A temperatura da placa é tanto maior quanto maior a potência incidente. Na verdadea temperatura da placa aumenta linearmente com a potência incidente. Por isso, a volt-agem de saída da termopilha varia de forma directamente proporcional com a potência ópticaincidente:

Vtmp ∝ Prad = eσAT 4, (12)

em que Vtmp é tensão de saída da termopilha e T é a temperatura do corpo emissor (nãoconfundir com T1 e T2, que são as temperaturas relevantes na termopilha). Portanto, atensão de saída da termopilha é uma medida directa da potência emitida pelocorpo cinzento1.

Fig. 4: a) termopar. b) termopilha

1 Em rigor a temperatura da placa da termopilha resulta do balanço entre a potência absorvida, quecontribui para o aquecimento, e a potência emitida pela própria placa, que contribui para o arrefecimento.Assumindo que a placa é um corpo negro,

Vtmp ∝ Pabs − Pem ∼ aT 4 − bT 4p . (13)

em que T é a temperatura do corpo cinzento que queremos medir (o lamento), Tp é a temperatura da placa datermopilha e a e b são coecientes de proporcionalidade que dependem da geometria do sistema. No entantoverica-se certamente que T Tp e portanto desprezaremos a contribuição de Tp.



6


2 Material

A montagem experimental para a vericação da lei de Stefan-Boltzmann é mostrada na gura5. A sub-gura de cima tem a fotograa de uma montagem realizada em anos anteriores e asub-gura de baixo tem o esquema da montagem. A numeração abaixo tem correspondênciana numeração das duas guras.

1. Lâmpada de lamento de tungsténio, 13 VDC

2. Termopilha de Moll

3. Fonte de alimentação 15 VDC

4. Amperímetro (para medir a corrente que atravessa a lâmpada)

5. Voltímetro (para medir a tensão aos terminais da lâmpada)

6. Amplicador (opcional)

7. Voltímetro (para medir a tensão à saída do amplicador ou, se este não for usado,directamente à saída da termopilha)

8. Resistência de 82 Ω (apenas representada na gura 7).

Fig. 5: Montagem experimental: fotograa da montagem. Em baixo: esquema correspon-dente. Os números correspondem à lista de material.



7


Fig. 6: Montagem experimental: esquema correspondente. Os números correspondem à listade material.

3 Procedimento experimental

1. Registe o valor da temperatura da sala.

2. Monte em primeiro lugar o circuito da gura 7. Este circuito destina-se a medir aresistência do lamento à temperatura ambiente. Para isso é necessário que a correnteque atravessa o lamento seja tão fraca que não o aqueça. A resistência é introduzidapara limitar a corrente.

Fig. 7: Montagem experimental para a determinação de R(τamb). A numeração coincide coma das guras anteriores e com a da lista de material.

Fixe a corrente em 20 mA e faça a leitura do voltímetro. Repita o procedimento de 20em 20 mA até aos 100 mA, fazendo a correspondente leitura da tensão em cada passo.



8


3. Monte de seguida o circuito da gura 6. O lamento deve car a uma distância de6 cm da termopilha. Os eixos de simetria da termopilha e da lâmpada devem carperfeitamente alinhados.

4. Se a montagem incluir o amplicador, pergunte ao professor qual é o factor deamplicação adequado e regule o amplicador para esse valor.

5. Apenas para as montagens com amplicador: desligue o amplicador da termopilhae curte-circuite a sua entrada (ligando as duas pontas de um mesmo o às entradasdo amplicador) e verique o valor da saída do amplicador no voltímetro #7. Se oamplicador estiver bem regulado, a saída deve ser 0 (zero). Se a saída não for 0 (diz-seque há um oset), então deve usar o botão de ajuste de zero para colocar a saída azeros. Volte a ligar o amplicador à termopilha, como indicado na gura 6.

6. Realize uma leitura do fundo, isto é, uma leitura da tensão da termopilha com o lamentodesligado. Esta leitura dá a contribuição do ambiente e será retirada às leituras seguintesno tratamento dos dados.

7. Aplique uma tensão de 1 V aos terminais do lamento. Efectue as leituras do am-perímetro #4 e dos voltímetros #5 e #7. Tenha em atenção que a leitura do voltímetro#7 pode levar algum tempo a estabilizar. Espere o tempo necessário para efectuar aleitura.

8. Aumente a tensão para 1.5 V e repita o procedimento.

9. Varie a voltagem em passos de 0.5 V até aos 12 V (Nota importante: conrme como professor qual é a tensão máxima que se pode aplicar, já que por vezes, porruptura do stock de lâmpadas, é necessário recorrer a lâmpadas de menor voltagem).

10. Repita todo procedimento mais duas vezes (i.e., os passos 5 9), de forma a ter trêsréplicas das medições.

4 Tratamento dos dados

1. Coloque numa tabela os valores de tensão e corrente obtidos no ponto 2 do procedimento.

2. Determine a resistência do lamento à temperatura ambiente, R(τamb), através de umaregressão linear entre os valores de tensão e corrente desta tabela (τamb é a temperaturaambiente, correspondente à temperatura anotada no passo 1 do procedimento).

3. De seguida determine o valor de R0, o valor da resistência em τ = 0 C. Para isso bastausar a expressão (10) e inverter em ordem a R0:

R0 =R(τamb)

1 + ατamb + βτ 2amb, (14)



9


4. De seguida construa uma tabela para mostrar as três séries de valores (réplicas) referidasno ponto 10 do protocolo:

Vlamp (V) Ilamp,1 (A) Ilamp,2 (A) Ilamp,3 (A) Vtmp,1 (V) Vtmp,2 (V) Vtmp,3 (V)

(V em #5) (I em #4) (I em #4) (I em #4) (V em #7) (V em #7) (V em #7)

réplica 1 réplica 2 réplica 3 réplica 1 réplica 2 réplica 3

1 .. .. .. .. .. .....

......

......

......

12 .. .. .. .. .. ..

5. Na tabela seguinte deve mostrar as médias e os desvios médios relativos às três réplicas:

Vlamp (V) Ilamp (A) ∆(Ilamp) (A) Vtmp (V) ∆(Vtmp) (V)

valor desvio valor desvio

médio médio médio médio

1 .. .. .. .....

......

......

12 .. .. .. ..

6. A última tabela tem as seguintes entradas:

Vlamp (V) Ilamp (A) R(τ) (Ω) T (K) ln(T ) ln(Vtmp) ∆[ln(Vtmp)]

1 .. .. .. .. .. .....

......

......

......

12 .. .. .. .. .. ..

As colunas preenchem-se da seguinte forma:

(a) Coluna Vlamp: são os valores de tensão aplicada à lâmpada, de 1 a 12 V, tal comonas tabelas anteriores.

(b) Coluna Ilamp: é o valor médio Ilamp da tabela anterior.

(c) Coluna R(τ): obtém-se pela lei de Ohm e pelas duas colunas anteriores:

R(τ) =VlampIlamp

(15)

é a resistência da lâmpada à temperatura τ (neste passo ainda não sabemos quantoé τ ; vai ser determinado a seguir).



10


(d) Coluna T : nesta coluna inscrevem-se os valores da temperatura absoluta do la-mento. A temperatura é determinada através da inversão de (10) em ordem a τ edepois adicionando 273 ao resultado, para obter o valor nal em graus Kelvin:

T = 273 +1

2β

[√α2 + 4β

(R(τ)

R0

− 1

)− α

]. (16)

Nesta expressão os valores de R(τ) são obtidos da coluna anterior e R0 do passo 3.

(e) Coluna ln(Vtmp): contém os valores obtidos por aplicação do logaritmo natural aosvalores médios de Vtmp, obtidos na tabela anterior.

(f) Coluna ∆(ln(Vtmp)): trata-se da incerteza na medida de ln(Vtmp). Pela aplicaçãoda propagação de erros vem

∆(ln(Vtmp)) =

∣∣∣∣d(ln(Vtmp)

dVtmp

∣∣∣∣∆Vtmp =∆VtmpVtmp

, (17)

em que ∆Vtmp é obtido da tabela anterior.

7. Faça um gráco com as últimas três colunas da tabela: ln(Vtmp) em função de ln(T ),com barras de erro verticais dadas por ∆(ln(Vtmp)). Este gráco corresponde a fazer ográco de ln(Prad) em função de ln(T ), pois Vtmp ∝ Prad [ver (12)].

8. Observe o gráco e averigue se este contém uma zona constante, isto é,uma série depontos que dão origem a uma linha de tendência recta e horizontal. Se assim for, deveeliminar estes pontos do gráco, pois correspondem à situação em que a potência ópticada lâmpada é pequena quando comparada com a potência recebida do ambiente. Refaçaentão o gráco sem estes pontos.

9. Faça a regressão dos valores de ln(Vtmp) aos valores de ln(T ). Idealmente, o declive darecta deve ser 4, pois este é o expoente da lei de Stefan-Boltzmann2. Comente o valorobtido.

2 Com efeito, se tivermos uma relação entre duas variáveis x e y na forma

y = axb, (18)

então temos, por aplicação de logaritmos,

ln y = ln(axb) = ln a+ b lnx, (19)

o que mostra que a relação entre ln y e lnx é linear e tem por declive o valor de b, ou seja, o valor do expoentena expressão inicial.



11


Apêndice

A A questão do corpo cinzento em mais detalhe

Já vimos que a potência emitida por um corpo negro é

P (T ) = σAT 4, (20)

em que σ = 5.67× 10−8 Wm−2K−4 é a constante de Stefan-Boltzmann, A é a área radiante eT a temperatura do corpo negro. Denindo a exitância radiante M como a energia radianteemitida por unidade de tempo e unidade de área (Js−1m−2=Wm−2), temos

M(T ) = σT 4. (21)

Sabemos também das aulas teóricas que a lei de Planck dá a distribuição espectral da radiaçãodo corpo negro:

Mλ(λ, T ) =2πhc2

λ5(ehc/λkBT )− 1, (22)

em que Mλ(λ, T ) é a exitância radiante espectral, h é a constante de Planck, c é a velocidadeda luz e kB a constante de Boltzmann. A integração de (22) em todos os comprimentos deonda dá (21).

Para um corpo qualquer em equilíbrio térmico à temperatura T , a potência emitida é, emgeral, inferior àquela que seria emitida se fosse um corpo negro. Dene-se então a emissividadeespectral,

ε(λ, T ) =Mλ(λ, T )

Mλ,cn(λ, T ), (23)

em que o subscripto cn quer dizer corpo negro. Para um corpo não negro temos então

Mλ(λ, T ) = ε(λ, T )Mλ,cn(λ, T ). (24)

Devido à depedência adicional em λ através de ε(λ, T ), a integração de (24) em todos oscomprimentos de onda não conduz a uma expressão do tipo (21). Assim, a lei de Planck nãoé válida para um corpo qualquer. No entanto, se a emissividade não depender de λ,

ε(λ, T ) = ε(T ), (25)

então

Mλ(λ, T ) = ε(T )Mλ,cn(λ, T ) = ε(T )2πhc2

λ5(ehc/λkBT )− 1. (26)

Um corpo cuja emissividade é independente ddo comprimento de onda chama-se corpocinzento. A exitância espectral de um corpo cinzento é proporcional à de um corpo ne-gro a uma dada temperatura, isto é, a uma dada temperatura o espectro da radiação emitida



12


por um corpo cinzento é obtido a partir do espectro do corpo negro por uma simples mul-tiplicação. No entanto, como ε = ε(T ), essa proporcionalidade varia com a temperatura, ouseja, pode ser, por exemplo, 0.7 para 5000 K e 0.6 para 3000 K.

A integração de (26) em todos os comprimentos de onda dá de novo a lei de Stefan-Boltzmann a menos da emissividade constante:

M(T ) = ε(T )σT 4. (27)

Isto quer dizer que, em geral, a exitância de um corpo cinzento não varia com T 4, devido àdependência adicional introduzida por ε(T ). Em muitos casos, porém, a emissividade de umcorpo cinzento depende muito pouco de T , pelo menos numa dada gama de temperaturas,pelo que podemos tomar

ε(T ) = ε = constante. (28)

Note-se que ε(T ) só pode variar entre 0 e 1 e portanto, para a maior parte dos casos a variaçãode ε só se dá numa gama relativamente estreita, por exemplo, 0.3-0.7 entre 1000 K e 5000 K.Fica claro que a variação de ε com T é necessariamente lenta. Podemos então escrever

M(T ) = εσT 4 ≡ σ′T 4, (29)

o que é a lei de Stefan-Boltzmann com uma constante diferente, σ′ = εσ.No nosso trabalho vamos usar o lamento de tungsténio de uma lâmpada como corpo

cinzento. Verica-se que para o lamento de tungsténio, e na gama relativamente restrita detemperaturas que vamos usar, ε varia entre aproximadamente 0.4 e 0.5. O nosso objectivo évericar que a exitância do lamento depende de T 4.



13

veri cação da lei de stefan-boltzmann -...

Documents