Radiao Trmica, Lei de Stefan-Boltzmann e as duas constantes, e h

Geferson LucatelliInstituto de Matemtica, Estatstica e Fsica - IMEF

Universidade Federal do Rio Grande - FURG

13 de maio de 2015

ResumoPara que uma teoria fsica se torne uma lei, ela precisa enfrentar a experimentao. Se for verificada

sua validade, lhe dado o atributo de lei, se no vlida, ainda continua sendo uma teoria, mas necessitaser verificada e modificada. O presente trabalho tem por objetivo analizar a lei de Stefan-Boltzmann,que diz respeito a intesidade de radiao ser dependente da quarta potncia da temperatura de um certocorpo. Neste trabalho, o corpo escolhido uma lmpada fluorescente com um filamento de tungstnio. Apartir disso montado um circuito e sao feitas medies de valores de corrente eltrica e voltagem sobrea lmpada. Sobre esses dados, encontrado a resistncia eltrica do filamento, mas preciso tambmvericar qual essa resistncia a uma temperatura ambiente. A variao da resistncia, na medida que asanotaes vo sendo feitas, nos possibilitar saber qual a temperatura em que o filamento se encontra. Apartir disso, avaliamos a potncia dissipada pela mesma e encontramos a intensidade ou fluxo de radiao.Em paralelo com essas etapas, usa-se uma termopilha como segunda forma de captar esse mesmo fluxo,assim faamos comparaes das medidas. Porm necessrio fazer a calibrao deste ltimo equipamento.

Com os dados coletados, utilizando as equaes fsicas envolvidas neste assunto, mtodos compu-tacionais, tal como cdigos em python e e grficos, avaliaremos o expoente da temperatura, como foimencionado anteriormente. Utilizaremos os resultados para inferir a constante de Stefan-Boltzmann , eainda, a constante de Planck h.

1 Introduo

A fsica sempre est acompanhada de ideias, e em cima disso tudo, de teorias. As teorias, depois decomprovadas, mudam o mundo ao nosso redor, pois se transformam em leis. Mas h casos em que essasleis, precisam ser reformuladas, pois no conseguem descrever completamente tudo sobre a teoria originalda qual foi formulada. Isso ocorre porque novas teorias secundrias so elaboradas em cima da primeira,para test-la, que nada mais do que uma forma de verificar sua validade.

Apesar de certas leis terem perodos finitos de validade, no devemos desprez-las, pois so elas quetrazem ao mundo, a vontade dos cientistas em pesquisarem ainda mais novas formulaes da fsica, quedescrevam melhor os fenmenos do que as anteriores.

A mecnica quntica surgiu assim. Inicialmente com elementos de termodinmica e de magnetismoempregados para estudar a radiao trmica. A teoria proposta no coincidia com os dados observados.Surgiu ento Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947), que acabou por revolucionar e dar incio a umanova fsica. Sua ideia incrvel se resume em poucas palavras. A natureza no contnua, e sim discreta,tudo se baseia em quantidades definidas de energia, e tal como ele disse, pacotes de energia, ou quantas deenergia.

2 Radiao Trmica

2.1 Teoria da radiao de corpo-negro

O que podemos estudar sobre um corpo que possui uma certa temperatura? Quando falamos que um corpoest com uma certa temperatura, queremos dizer que os tomos que o compe esto com uma dada energiacintica. Esta energia os fazem se moverem com uma velocidade e se colidirem uns com os outros. Devido a

1

2 RADIAO TRMICA 2

tudo isso, o corpo transforma a energia cintica dos tomos em uma outra forma de energia que a trmica,assim, por conservao, o corpo adquire uma determinada temperatura T .

Todo corpo com uma temperatura T emite um espectro. O espectro se origina da radiao eletromagn-tica que emitida pelo objeto. O espectro uma impresso digital dos componentes qumicos da qual ocorpo formado. Para um dado tipo de material, emitido um tipo de espectro, ou um conjuto de linhas es-pectrais. Mas, como veremos adiante, existe um tipo de espectro emitido que independe do tipo de materialenvolvido. Esse espectro chamado de espectro universal. O corpo que emite este tipo de espectro no exitena natureza, mas pode ser idealizado em laboratrio. Tambm existe uma idealizao natural dele, que soas estrelas. Cada espectro contm linhas espectrais, que correspondem a um dado material. Agumas vezes,essas linhas esto to unidas, prximas umas das outras, que o espectro obsevado contnuo. Isto ocorrequando um gs est super-aquecido, e a presso est bem alta. A coliso entre os tomos muito grandee muitos nveis de energia esto envolvidos. Dessa forma ocorre o alargamento e sobreposio das linhasespectrais. Ento, o espectro de um gs com alta temperatura e presso, apresenta um espectro contnuo.

A teoria da radiao trmica pode ser muito bem estudada a partir de um ente chamado de corpo-negro.Este corpo absorve toda a radiao que inside sobre ele, e no reflete nada da radiao. como se eleemitisse uma certa quantidade de radiao, mas ao mesmo tempo, a absorve totalmente. Ento, um corponegro um emissor perfeito, e tambm um absorsor perfeito. Como na natureza no exite nada perfeito,este objeto no exite no mundo real. O que podemos ter dele uma idealizaco.

2.2 Radiao de cavidade

Os alemes Wilhelm Wien (1864-1928) e Otto Richard Lummer (1860-1925), propuseram em 1895, que umcorpo negro no exite na vida real. Mas que pode ser construdo um objeto que o ideali-ze. Este deve conterseu interior vazio. Imagine uma esfera oca, ou at um cubo oco. Em algum lugar da superfcie, feita umapequena abertura de modo que a rea desta abertura seja muito menor do que a rea superficial do corpo.

Dessa maneira, deixada entrar uma quantidade de radiao por este orifcio. Toda a radiao quefica concentrada l dentro, refletida inmeras vezes (interiormente), fazendo com que as paredes internasabsorvam toda a radiao. Em um dado tempo, quando o corpo possui uma certa temperatura, e interrom-pemos a entrada de radiao pela abertura, as paredes internas ainda continuam a absorver radiao. Masque radiao essa? E exatamente isso a idia que os alemes tiveram. A prpria parede interna emite aradiao que absorveu, e volta a absorv-la. A energia envolvida fica contida dentro da cavidade. Ou seja,fazendo uma grosseira aproximao, quase toda radiao emitida aborvida, ou toda radiao absorvida emitida. A aproximao requerida porque este corpo no existe na natureza.

Por causa da existncia da pequena abertura, sempre alguma pequena quantidade radiao escapa porela. Bom, j que o corpo se comporta como um corpo negro, ento o que podemos dizer da pouca radiaoque est saindo pelo orifcio? De fato, quando analizada essa radiao, ela de certa forma igual radiaode um corpo negro. O espectro tambm o , onde ele apresenta ser contnuo. Este espectro independe domaterial do qual o objeto feito, e apresenta-se ser universal. Ou seja, podemos ter uma cavidade de ouro,de zinco, tanto faz, o espectro o mesmo para ambos e para qualquer outro.

Uma forma de medir e estudar a radiao trmica atravs do conceito da radincia espectral. Aradincia espectral (seo (3)) a energia emitida por segundo, por metro quadrado e por comprimento deonda (ou por frequncia) de um corpo que possui uma temperatura T em um intervalo de frequncia e + d. Ela representadada por IT () ou IT (). Suas primeiras medidas experimentais foram feitas porLummer e Pringsheim em 1899. Alm de descrevermos a radiao em termos de IT (), podemos descrev-laem termos de uma densidade de energia T () que est contida dentro do corpo-negro idealizado.

O matemtico e fsico John William Strutt (1842-1919), terceiro Baro de Rayleigh, a partir da fsicaclssica, obteve uma expresso que tentava descrever de modo clssico esta radiao, a partir da densidadede energia (radincia espectral emitida por unidade de volume). Isso foi feito contando o nmero de ondaseletromagnticas estacionrias contidas dentro do objeto, e apartir disso, calcular energia associada as ondaspor meio do teorema de equipartio de energia. Sem apresentar dedues, ele obteve essa expresso, emtermos da frequncia , como sendo

T ()d =8pi2kT

c3d (1)

3 LEI DE STEFAN-BOLTZMANN 3

onde k a constante de Boltzmann e c a velocidade de propagao da onda. Ou tambm em termos docomprimento de onda ,

T ()d =8pikT

4d (2)

O resultado dessas duas equaes de que no vlidas. Note que que se a frequncia da onda eletromagnticacomear a crescer, ou o comprimento de onda diminuir, a densidade de energia comea a aumentar, e muito.Se integrarmos essa ltima expresso (seo (3), equao (7)) sob todos comprimentos de onda, de 0 a temos

0

T ()d =

0

8pikT

4d =

8pikT

3

( 13

)

0

=8pikT

3

(0 + 1

0

)= +

A densidade de energia infinita, e isso no pode ser possvel. Essas expresses so apenas vlidas paracomprimentos de onda altos ou frequncias baixas. Esse problema foi resolvido por Planck, em 1900. Paraisso, ele tratou a fsica de modo no clssico. As expresses anteriores foram tiradas de modo clssico. Eleconsiderou que a energia deveria ser discretizada. Ele apresentou uma soluo para descrever a radinciaespectral, mas nem mesmo ele sabia qual o sentido que estava por trs dela. A equao que ele deduziu, quesubstitui as equaes (1) e (2)

T () =8pih

c33

ehkT 1

(3)

onde h a constante de Planck.Essa distribuio concorda exatamente com os resultados experimentais. Esse formulao dos quantas

de energia, contradiz profundamente a formulao da fsica clssica.

3 Lei de Stefan-Boltzmann

A intensidade especfica monocromtica (energia por unidade de tempo e por unidade de rea por compri-mento de onda) de um corpo dada pela lei de Planck

I(T ) =2h3

c21

eh/(kT )1(4)

onde k a constante de Boltzmann, c a velocidade da luz, T a temperatura, e a frequncia. A leide Stefan-Boltzmann afirma que o fluxo luminoso, energia por unidade de tempo e por unidade de rea, proporcional a quarta potncia da temperatura do corpo de que emitida essa energia. Ou seja

F T 4 (5)Essa proporcionalidade indica que temos uma constante de calibrao entre essas duas quantidades. Essaconstante definida como sendo a constante de Stefan-Boltzmann , e tem o valor de 5, 6697108Wm2K4.Essa lei foi descoberta empiricamente em 1884, por Josef Stefan (1835-1893) e Ludwing Boltzmann (1844-1906). Essa relao escrita da forma

F = pi

0

I(T )d = T4 (6)

que a integral da intensidade especfica monocromtica sobre todas as frequncias. Tambm, se quisermossaber a mesma coisa, o fluxo, em termos de basta integrarmos a lei de Planck para esta, ento

F = pi

0

I(T )d =

0

2hc2

5d

ehc/(kT ) 1 (7)

onde integrado sobre todos os comprimentos de onda. Essa expresso descreve a mesma coisa que aequao (4), mudando apenas para a varivel do comprimento de onda. Mas, para deduzirmos a lei de

4 INSTRUMENTOS 4

Stefan-Boltzmann, trocamos a varivel de integrao de para , ou seja utilizamos a expresso (4), entotemos

F = pi

0

2h

c23d

ehkT 1

(8)

e ainda fazendo hkT , = kT

h, com

d =h

kTd d = kT

hd

obtemos

3d =

(kT

h

)3(kT

h

)d =

(kT

h

)43

ento podemos escrever como

F = pi2h

c2

(kT

h

)4 0

3d

e(1 e) (9)

O resultado da integral pi4/15, ento obtido

F = pi2h

c2

(kT

h

)4pi4

15

ou

F = pi2h

15c2

(kpi

h

)4T 4 (10)

Com tudo isso, comparamos essa equao com a equao (6) e tiramos que

=2pi5k4

15c2h3(11)

No fluxo luminoso, a quantidade energia por segundo (Watts [W]), por metro quadrado, exatamente apotncia, e est sendo dissipada em uma rea. Imaginemos que essa energia se espalha de forma homogneae isotrpica a partir de uma fonte circular, ento a potncia espalhada at uma distncia d da fonte

P = AdT4 (12)

com Ad = 4pid2, onde a rea da esfera de raio d. Essa quantidade tambm tratada como sendo aluminosidade de um corpo. O fluxo nada mais do que a potncia ou a energia o segundo dissipada na reaAd,

F =P

Ad=

P

4pid2(13)

Depois de um pouco de teoria, ser apresentado a parte experimental do trabalho, o qual iremos analizara lei de Stefan-Boltzmann.

4 Instrumentos

Vrios instrumentos sero utilizados para serem feitas as medidas relacionadas a radiao trmica. Osinstrumentos so:

Multmetro digital; Voltmetro digital; Lmpada com filamento de tungstnio; Fonte geradora de eletricidade; Detector de radiao, termopilha; Cabos conectores; Termmetro;

5 METODOLOGIA EXPERIMENTAL 5

5 Metodologia Experimental

Os passos que devemos seguir no experimento so os seguintes:

1. Todas as medidas devem ser feitas soba a variao da corrente eltrica, pois esta se estabiliza maisrapidamente para um certo valor;

2. Medir a resistncia interna r do circuto;

3. Medir a resistncia Ro do filamento da lmpada pra um comportamento hmico (linear), ou seja, natemperatura ambiente To;

4. Medir o fluxo luminoso proveniente da dissipao da energia do filamento da lmpada, (gerada peladiferena de potencial do circuito), a partir de duas formas:

A partir do fluxo Fz detectado na termopilha; A partir do fluxo Fd distribudo at a regio onde se encontra a termopilha, equao (13);

5. Ao mesmo tempo com as medies do item anterior, fazer as medies as voltagens e correntes sobreo circuto, para poder ser feito o clculo da resistncia R, que como veremos no ser mais linear, edepender da temperatura do filamento;

6. Fazer a calibrao do instrumento termopilha;

7. Calcular o expoente da dependncia de P ou F em relao a temperatura;

8. Calcular a constante de Stefan-Boltzmann;

9. Calcular a constante de Planck;

5.1 Resistncia interna r e resistncia Ro da lmpada

Para comear o experimento, vamos medir a resistncia interna r do circuito. O circuto montado contmum ampermetro e um voltmetro. Sob variaes da corrente eltrica entre valores de 0, 5A, anotamos osvalores de V . Sendo feitas 10 medidas, construmos a Tabela (1). A resistncia do circuito causar umaqueda de potencial nele, assim possvel calcular a resistncia do circuito. Essa relao dada por

V = rI r = VI

(14)

Para o clculo de r, podemos neste caso tomar a mdia da resistcia r da Tabela (1), pois os valores soprximos um do outro, e assim obter um valor mdio.

r =1

k

r =

1, 8252

10= 0, 1825 r 0, 1825 (15)

Essa resistncia se deve aos fios condutores, pois no so ideais contutores e apresentam uma resistncia aconduo da corrente eltrica.

Feito o clculo da resistncia interna r, vamos executar o mesmo procedimento com o clculo da resistnciaRo do filamento da lmpada, a uma temperatura ambiente To, que foi marcado no laboratrio como sendoTo = 294K. Da mesma forma, colocamos um ampermetro em srie com a lmpada, para medirmos de formaprecisa a corrente, e um voltmetro em paralelo com a lmpada, para medirmos a diferena de potencial Vnos terminais da mesma. Novamente, faremos variaes discretas de corrente de 0, 05A. Esses dados estocontidos na Tabela (2).

Desses resultados, como anteriormente, tomamos a mdia,

Ro =1

k

Ro = 0, 3420 Ro 0, 3420 (16)

Para pequenas variaes de I, a temperatura T do filamento praticamente a mesma temperatura que aambiente To, e nesse intervalo, R no varia.

5 METODOLOGIA EXPERIMENTAL 6

5.2 Variao de R com a temperatura T

Na medida que o filamento submetido a uma diferena de potencial maior, mais sua resitncia vai aumen-tando. Dessa forma, a resistncia ser uma funo da temperatura T , ou seja R = R(T ). Como a resistnciavai ser medida com os aparelhos, podemos determinar a temperatura se invertemos a equao para de R(T )para T = T (R). Vamos utilizar uma equao polinomial de segunda ordem em T para R(T ), que e dadapor

R(T ) = Ro + Ro(T To) + Ro(T To)2 (17)onde e so constantes calibrantes que dependem do material de que o filamento feito, To a temperaturaambiente do laboratrio e Ro a resistncia do filamento da lmpada na temperatura ambiente, que j foimedida anteriormente. Os valores das constantes so = 4, 71102K1 e = 3.52823107K3, obtidasde [6]. Verificamos, que quando T = To, R = Ro. Lembramos que no sabemos qual a temperatura dofilamento, por enquanto, e o que queremos saber T , ento vamos inverter a equao (17) para T (R).Executando os passos temos

R

Ro= 1 + T To + T 2 2TTo + T 2o

T 2() + T ( 2To) + T 2o To RRo

+ 1 = 0 (18)

Agora, definindo a = , b = 2To e c = T 2o To RRo + 1, vamos calcular as razes do polinmio

aT 2 + bT + c = 0 (19)

Temos

T =bb2 4ac

2a

=2To

2 + 42T 2o 4To 4(T 2o To + 1 RRo )

2

=2To

2 + 42T 2o 42T 2o 4To + 4To 4 + 4RRo

2

T (R) = To

2 + 4( R

Ro 1)

2(20)

onde devemos escolher a raz negativa, de forma de o s sinais negativos se cancelarem, pois no tem sentidoa temperatura diminuir com o aumento da resistncia. Assim, medida a resistncia para uma dada correnteI e voltagem V sobre o filamento da lmpada, sabemos de uma certa maneira a qual temperatura ele seencontra. O porque de certa maneira se deve ao fato de no sabermos com exatido a preciso dos dados,pois sempre est includo erros de medio e impresiso dos aparelhos.

Outros grficos que podemos considerar de nossos dados so os da voltagem e corrente em funo daresistncia do filamento.

5.3 Fluxo luminoso Fz medido na termopilha

Partimos agora para o segundo passo, que coletar a radiao trmica com o fluxo luminoso que a lmpadaemite, a partir da termopilha. Esse instrumento tem a capacidade de detectar no somente radiao luminosa,mas tambm radiao no visvel, na banda do infravermelho. Se a lmpada for homognea ela distribui aradiao de forma igual em todas as direes. Veremos que ela no homognea, e sem ter feito a anlisedos grficos que sero apresentados, j se poderia ser feita essa afirmao devido ao formato do filamento, ele cilndrico, portanto no apresenta ter carter homogneo dem todas as direes, ou seja simetria esfrica.

Para medir o fluxo Fz vamos prosseguir de duas formas. Uma medida ser feita com a termopilhaposicionada ao longo do mesmo eixo correspondente ao formato cilndrico do filamento, ou seja paralelamente,

5 METODOLOGIA EXPERIMENTAL 7

Figura 1: Variao da corrente eltrica aplicada sobre a lmpada, com a resistcia. Note que essa dependncia linear.

Figura 2: Variao da voltagem aplicada sobre a lmpada, com a resistncia.

5 METODOLOGIA EXPERIMENTAL 8

que ser designado por F ||z, e a outra medida ser feita com a termopilha posicionada perpendicularmenteao eixo do filamento, e esse fluxo ser designado por Fz . Vamos variar a corrente eetrica I varias vezes, epara cada variao coletamos uma medida do fluxo. Durante essas medidas anotamos os valores de correntee voltagem. Para cada dado anotado obtido diretamente a resistncia R a partir da equao

R =V

I(21)

O circuito est montado com dois voltmetros e um ampermetro. O ampermetro est ligado em sriecom o circuito. Um voltmetro est ligado em paralelo com a lmpada, e o outro est ligado termopilha.Este ltimo medir uma quantidade fsica que ser designada por f , e ser medida em milivolts. Paradescobrirmos qual o fluxo Fz a partir disso, utilizemos a propriedade da termopilha em questo, no qualpara cada 22mV detectados, est contido nisso 1mW de potncia. Essa uma constante da termopilha, que designada por s. A razo f/s a potncia, ento o que for medido em volts, poder ser convertido parauma quantidade em Watts. Designarei as medidas paralelas e perpendiculares de f com relao ao filamentopor f || e f respectivamente. Se uma quantidade f de voltagem ser detectada, a converso a ser feita paradescobrirmos a potncia

(s 103)Pz = (f 103)(1 103) Pz = fs 103W. (22)

onde Pz a potncia no detector da termopilha. Agora dividindo a equao anterior pela rea total dodetector temos o fluxo luminoso que recebido pela mesma. A minscula placa contida no detector quadrada, e o tamanho do lado a de aproximadamente a 0, 003m, ento a rea Az = a2. Esse valorfoi medido com muito cuidado por meio de um paqumetro. Portanto o fluxo

Fz =PzAz

=f

sAz 103 = f

sa2 103W/m2 (23)

Agora, se quisermos saber qual a potncia total que o filamento emite, basta multiplicar a equao anteriorpela rea total em que o fluxo est se dissipando, que Ad, equao (13). Isso nos d

P = AdFz (24)

Os resultados dessa equao sero comparados depois com a equao (27).Mas como podemos saber se a termopilha est fazendo medidas corretas, ou seja se ela est calibrada?

Para calibrar esse instrumento, podemos usar o Sol como ferramenta. Sabemos com quase exatido o fluxoluminoso solar sobre a Terra,

F =L

4piS2= 1360, 0W/m2. (25)

Utilizando a termopilha para medir esse fluxo, foi verificado que ela mede F = 153, 54 W/m2, que no ovalor real. Logo necessrio ento um fator de coreo, para reajustar esse valor ao valor real. Esse fatorser designado por . Ento para calcular seu valor, consideramos que o valor real F a ser encontrado proporcional multiplicado pelo fluxo F medido na termopilha, ento,

F = F = FF

=1360, 0

153, 54= 8, 8579 (26)

portanto esse valor ir corrigir possveis, mas no todos, erros do fluxo medido pela termopilha da lmpada.

5.4 Fluxo luminoso FdO fluxo luminoso Fd ou a potncia Pd emitida pela lmpada pode ser calculada de outra maneira, e essamaneira vai ser utilizada para comparao a medida feita pela termopilha e para a verificao da lei deStefan-Boltzmann. Consequntemente em cima disso, calcularemos a constante de Stefan-Boltzmann e a

5 METODOLOGIA EXPERIMENTAL 9

constante de Planck. Essa potncia medida atravs da energia dissipada pela resistncia R do filamentoda lmpada. Essa relao dada pela expresso

Pd =V 2

R(27)

Agora devemos relacionar essa expresso com a equao (12). No existe um material que seja um emissorperfeito, pois o nico objeto que seria um emissor perfeito (e absorsor perfeito) o corpo negro. Mas comofoi afirmado, tal objeto no existe na natureza. O filamento da lmpada feito de tungstnio, e tem umacapacidade de emisso caracterstica. Essa propriedade definida como sendo a emissividade do material, e designada pela letra . Essa quantidade adimensional, e varia de 0 a 1. O valor 0 significa que o materialno tem capacidade de emitir, e 1 significa que o material um emissor perfeito, o corpo negro tem = 1.Com isso, a equao (12) fica corrigida com esse fator,

P = AT 4 (28)

A emissividade tambm um fator que depende da temperatura, conforme a temperatura aumenta, essefator tambm aumenta dando ao material uma capacidade maior de emitir radiao em comparao a baixastemperaturas, assim = (T ). Buscando na literatura [5], uma expresso para (T ) do tungstnio dadapor

= 0.02992 3, 36979 105T + 1, 72838 107T 2 6, 3862 1011T 3+7, 04804 1015T 4 (29)

Para o clculo do fluxo na mesma regio onde se encontra a termopilha, basta saber quanta potnciainside sobre a rea A = 4pid2 que a rea de uma esfera que tem como raio a distncia at a termopilha d.Ento dividindo a equao (27) por A temos o fluxo Fd,

Fd =V 2

4pid2R(30)

que o fluxo a uma distncia d da fonte.

5.5 Dados e comparao de Fz com Fd e de P com PdSob a variao da corrente eltrica de 0, 05 A, 0,01A e 0,02A, foi obtida a Tabela (3) que est mista sob essasvariaes. Esta tabela representa as medidas feitas para a termopilha estando posicionada perpendicular-mente em relao ao filamento. A coluna k o nmero de medidas, a coluna I a corrente, a coluna V e avoltagem aplicada sob o circuito, e por ltimo, a coluna f a medida para este caso feita em milivolts domultmetro conectado a termopilha. A figura (3) mostra o grfico da comparao de Fz com Fd. Note queos resultados divergem muito. Isso ocorre pois estamos tratando a lmpada como se ela fosse homognea,sendo que de fato ela no . Veja tambm, na Figura (4) a comparao das potncias P com Pd. A partirdesses grficos no podemos tratar a lmpada como sendo homognea. Mas podemos supor algo. Se ob-servarmos o filamento paralelamente, podemos consider-lo como sendo uma seo de rea, uma minscularea. Dessa forma ele se torna simtrico no ponto de vista observacional. Portanto podemos considerardentro de um limite que a radiao se espalha de forma simtrica at atingir a termopilha. Precisamos fazernovas medidas para a quantidade f que f || e com isso calcular as potncias e fluxos, que agora so P ||z eF||z, e depois com P

||z inferir a potncia P que o filamento dissipa, equao (24).

Sob variao da corrente eltrica em intervalos de 0, 02A e 0, 05A, foi construda a Tabela (4). Com essesdados vamos fazer os grficos para fluxos e potncias. A Figura (5) mostra a comparao dos fluxos e aFigura (6) a comparao das potncias.

Os resultados dos ltimos dois grficos so bem satisfatrios. A respeito da homogeneidade da lmpada,se compararmos as quantidades f da Tabela (3) e f || da Tabela (4), observamos que temos uma relaoentre essas quantidades. De modo aproximado temos f || 1/2f. O que nos diz que o filamento emite odobro de radiao se o observarmos perpendicularmente em relao se o observarmos paralelamente.

6 VERIFICANDO A LEI DE STEFAN-BOLTZMANN E 10

Figura 3: Os pontos pretos mostram o fluxo Fz detectado pela termopilha, e os pontos em verde mostramo clculo do fluxo Fd utilizando a equao (30). O fator est includo.

Figura 4: Os pontos pretos mostram a potncia P inferida pela termopilha, equao (24), e os pontos emverde mostram o clculo do da potncia Pd utilizando a equao (27). O fator est includo.

6 Verificando a Lei de Stefan-Boltzmann e

O prximo passo deste trabalho verificar a lei de Stefan-Boltzmann com todos os dados obtidos at ento.Com eles verificamos as medidas de fluxo e potncia das duas formas possveis. Foi definido na equao (17)uma expresso para a dependncia de T em relao a R. A resistncia do filamento facilmente calculadapela relao R = V/I, para obtermos T . Tambm as equaes (27) e (28) nos do uma relao entre apotncia P e a temperatura. O porque de escolher a equao (27) em vez da equao (24) se deve ao fatode tentarmos reduzir erros de medidas que poderiam ser causado pelas medies da termopilha.

O que queremos descobrir se o fluxo ou a potncia sero proporcionais a quarta potncia da temperatura.Vamos designar essa potncia por n. Por simplicidade no incluiremos, na expresso (28) a dependncia deP em relao a uma constante que a temperatura To do laboratrio, assim temos a expresso

Pd = ATn (31)

6 VERIFICANDO A LEI DE STEFAN-BOLTZMANN E 11

Figura 5: Em preto temos o fluxo F ||z medido paralelamente ao filamento da lmpada, tambm est includoo fator de correo . Veja que o resultado quase coinside com o valor do fluxo calculado pela equao (30),que so os pontos em verde no grfico.

Figura 6: Da mesma forma que o fluxo, temos a comparao entre P e Pd. Em preto o que foi inferido pelatermopilha P , equao (24), e em verde o que foi medido diretamente pela equao (27), Pd. O fator estincludo.

6 VERIFICANDO A LEI DE STEFAN-BOLTZMANN E 12

Agora A a rea total superficial do filamento de tungstnio e tem um valor aproximado1. de A =0.000164m2 Tomando o logaritmo natural da ltima equao em ambos os lados temos

ln(Pd) = ln(ATn)

e pela propriedade do logaritmo natural,

ln(xy) = y ln(x), ln(a b) = ln(a) + ln(b)temos

ln(Pd) = ln(A) + n ln(T )

a quantidade ln(A) seria constante, mas tem uma pequena variao devido . Podemos definir esse valorde = ln(A). Assim obtido

ln(Pd) = n ln(T ) + (32)

Esta ltima equao uma equao linear, com deslocamento e coeficiente angular n, onde n pode serescrito como

n =ln(Pd/e

)

ln(T )(33)

Se plotarmos o grfico e fizermos uma interpolao, podemos achar o valor de n e . Veja o grfico abaixode ln(Pd) versus ln(T ).

Figura 7: Interpolao da uma curva, em vermelho, sobre os resultados o plot da equao (32), pontos emverde.

A interpolao nos deu uma equao do tipo

y(x) = 3, 848x 25, 85 (34)assim indentificamos = 25, 85 e n = 3, 848. Essa inclinao n que foi encontrada uma valor que ficafica prximo do verdadeiro valor que 4. Vamos agora usar para inferir . Temos que

= 25, 85 = ln(A) e25,85 = Aou seja

=e25,85

A(35)

1A maneira de que foi calculada essa rea, foi considerar de que sabemos o valor de e o valor do expoente n, portantofoi usado a expresso A = P

T4para calcular o valor de A. Isso foi feito devido a dificuldade de se fazer esta medida com o

paqumetro.

7 MEDINDO A CONSTANTE DE PLANCK 13

Nessa ltima equao o valor de muda, pois depende da temperatura, Figura (8). Ento teremos os valoresde variando um pouco devido a . A tabela (6) mostra os valores 15 primeiros valores de para cada .Conforme a temperatura aumenta, efeitos no lineares comeam a surgir, e no temos um valor definido de, no experimento.

Figura 8: Variao da emissividade do tungstnio com a temperatura T .

Fazendo um clculo estatstico de todos os dados encontramos um valor aproximado da constante deStefan-Boltzmann de

= 9, 4589(0, 2237) 108Wm2K4 (36)Este valor est um pouco longe do valor real que real = 5, 670400 108Wm2K4. O erro percentual 68,76% de erro. Podemos agora voltar para a equao (33) e verificar o valor de n a partir desta. Tambmfazendo um tratamento estatstico, o valor para n encontrado

n = 3, 9295 0, 002 (37)com um erro percentual de 1,7220%.

Discutindo esses dados, fica claro que no possvel obter valores exatos em relao ao que espervamos,no entanto, o que foi encontrado no diverge tanto assim. Erros se acumulam em cima de erros, tais comode anotaes, m medies dos equipamentos, dificuldade de calibrao dos mesmos, no linearidade dasquantidades. No se pode afirmar que f seja linear em relao a V no circuto. Nota-se isso nas figuras (5)e (6). A medida que aumentamos V , as anotaes tanto de fluxo como potncia na termopilha comeam adivergir em relao ao que medido no prprio circuito.

7 Medindo a constante de Planck

Vamos agora partir para a ltima etapa do experimento, que medir a constante de Planck h. Para isso,voltamos a equao (11), e isolamos h obtendo

h =3

2pi5k4

15c2(38)

Usando os dados obtidos e fazendo um tratamento estatstico, o valor de h encontrado

5, 5877(0, 04) 1034m2kg/s. (39)onde se tem um erro percentual de 15,67% em relao a teoria que h = 6, 6260 1034m2kg/s

8 CONCLUSO 14

8 Concluso

Depois de todas as consideraes nas formas de medidas e nos dados obtidos a partir disso, tentou-semostrar a dependncia do fluxo luminoso quarta potncia da temperatura. O resultado mostrou uma boaaproximao, equao (37). Depois desse resultado, foi extrado o valor da constante de Stefan-Boltzmanne como consequncia o valor da constante de Planck. Observou-se que os erros desses resultados divergirammais ainda do que n, mais do que h. As possveis fontes de erro que possam ter gerado essa discrepnciaso primeiramente os aparelhos imprecisos, pois no caso de se trabalhar com essas duas constantes, elas estonuma ordem de grandeza muito, e muito inferior ordem de preciso dos aparelhos. Uma leve alteraonuma medida feita em n, altera de forma mais brusca o valor dessas duas constantes. claro, que esseserros ocorrem tambm no momento da medio, e so provocados por quem est fazendo essa tarefa. Efeitosno lineares entre temperatura, resistncia e emissividade tambm so as possveis fontes de erro. Essas nolinearidades foram consideradas, equaes (20) e (29), mas at que ponto elas so validas? Dissipao deenergia no meio tambm uma forma de perda de dados, e essa dependncia foi desconsiderada em (31),Tno . A partir disso a relao T 3,93 T 3,93 T 3,93o de certa forma vlida. Isso porque, as medidas iniciaisde corrente, giraram em torno de I = 1, 6A, onde nesse momento o filamento j se tornava incandecente,implicando em T bem maior que To. Para essa corrente a temperatura T = 1286, 84K, bem maior queTo = 295K. Ento, a energia emitida por unidade de tempo, sobre alguma unidade de rea, por um dadocorpo a uma certa temperatura T proporcional a quarta potncia da temperatura em que ele se encontra.

9 Referncias Bibliogrficas

[1] Cook and Rabinowicz, Physical Measurement and Analysis, Addison-Wesley Publishing Company, INC,Estados Unidos da Amrica, 1963.[2] Eisberg e Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, ed. 8, editoraJohn Wiley & Sns, INC, Estados Unidos da Amrica, 1974.[3] Mahon, Jos R. P., Mecnica Quntica - desenvolvimento contemporneo com aplicaes, editora LTC,UERJ, Rio de Janeiro, Brasil, 2011.[4] Young e Freedman, Fsica III - Eletromagnetismo, ed. 12, editora Pearson, Estados Unidos da Amrica,2009.[5] www.if.ufrj.br/ wania/lab1/laboratorio.pdf. Acessado em 17/04/2015.[6] www.cce.ufes.br/jair/web/rot_radterm.pdf. Acessado em 07/04/2015.[7] https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikipdia.

10 TABELAS 15

10 Tabelas

k I V r = V/I

1 0,5 0,0917 0,18342 1,0 0,1811 0,18113 1,5 0,2710 0,18064 2,0 0,3600 0,18005 2,5 0,4520 0,18086 3,0 0,5450 0,18167 3,5 0,6400 0,18298 4,0 0,7370 0,18429 4,5 0,8310 0,184610 5,0 0,9290 0,1858

Tabela 1: Medidas da correte eltrica e da voltagem do circuto, e logo aps, o clculo da resistncia internar.

k I V r = V/I

1 0,05 0,0181 0,36202 0,1 0,0322 0,32203 0,15 0,0461 0,30734 0,2 0,0641 0,32055 0,25 0,0807 0,32246 0,3 0,0977 0,32577 0,35 0,1189 0,33978 0,4 0,1388 0,34709 0,45 0,1612 0,358210 0,5 0,1842 0,368411 0,55 0,2140 0,3891

Tabela 2: Medidas da correte eltrica e da voltagem do circuto, e logo aps, o clculo da resistncia internar.

10 TABELAS 16

k I [A] V [V] f [mV] 41 2,34 7,54 6,651 1,65 3,76 1,98 42 2,35 7,63 6,882 1,66 3,81 1,7 43 2,36 7,71 6,923 1,7 4,02 2,2 44 2,38 7,83 7,174 1,7 4,0 1,93 45 2,4 7,93 7,35 1,74 4,22 2,1 46 2,4 7,94 7,36 1,75 4,28 2,49 47 2,42 8,04 7,487 1,78 4,38 2,38 48 2,44 8,19 7,728 1,8 4,5 2,7 49 2,45 8,27 7,899 1,82 4,59 2,58 50 2,46 8,29 7,8810 1,85 4,76 3,07 51 2,48 8,47 8,111 1,86 4,83 2,8 52 2,5 8,56 8,38912 1,9 5,0 3,0 53 2,5 8,57 8,313 1,9 5,03 3,38 54 2,52 8,68 8,514 1,94 5,21 3,3 55 2,54 8,83 8,815 1,95 5,29 3,6 56 2,55 8,89 8,916 1,98 5,45 3,68 57 2,56 8,95 8,9817 2 5,6 4 58 2,58 9,11 9,218 2 5,57 3,8 59 2,6 9,25 9,519 2,02 5,66 3,9 60 2,6 9,28 9,5720 2,04 5,78 4,1 61 2,62 9,37 9,7221 2,05 5,86 4,4 62 2,64 9,55 10,0222 2,06 5,89 4,25 63 2,65 9,62 10,1823 2,08 6,01 4,4 64 2,66 9,65 10,224 2,1 6,1 4,58 65 2,68 9,78 10,4525 2,1 6,15 4,8 66 2,7 9,93 10,7526 2,12 6,23 4,7 67 2,7 9,93 10,927 2,14 6,37 4,9 68 2,71 10 10,8228 2,15 6,44 5,1 69 2,72 10,05 10,9529 2,16 6,47 5 70 2,73 10,15 11,1530 2,18 6,58 5,2 71 2,74 10,2 11,2531 2,2 6,69 5,35 72 2,75 10,27 11,332 2,2 6,68 5,4 73 2,75 10,26 11,3433 2,22 6,81 5,6 74 2,76 10,36 11,534 2,24 6,92 5,71 75 2,77 10,42 11,635 2,25 7,03 5,98 76 2,78 10,53 11,836 2,26 7,04 5,9 77 2,79 10,6 11,9637 2,28 7,19 6,1 78 2,8 10,62 12,0538 2,3 7,31 6,35 79 2,8 10,68 12,139 2,3 7,29 6,3 80 2,81 10,69 12,1540 2,32 7,44 6,43

Tabela 3: Dados obtidos da corrente I e voltagem V do circuito aplicado a lmpada de tungstnio, e daquantidade f captado pela termopilha provindo da lmpada.

10 TABELAS 17

k I [A] V [V] f || [mV]1 1,6 3,52 0,8 46 2,24 6,92 2,912 1,6 3,54 0,9 47 2,25 7,0 2,83 1,62 3,6 0,9 48 2,26 7,03 3,014 1,64 3,68 0,98 49 2,28 7,17 3,15 1,65 3,79 1,0 50 2,3 7,29 3,26 1,66 3,81 1,05 51 2,3 7,31 3,17 1,68 3,9 1,1 52 2,32 7,42 3,38 1,7 3,98 1,18 53 2,34 7,55 3,389 1,7 4,0 1,1 54 2,35 7,62 3,310 1,72 4,1 1,22 55 2,36 7,64 3,4411 1,74 4,18 1,29 56 2,38 7,79 3,512 1,75 4,24 1,2 57 2,4 7,89 3,613 1,76 4,29 1,35 58 2,4 7,89 3,514 1,78 4,39 1,39 59 2,42 8,01 3,7615 1,8 4,49 1,45 60 2,44 8,19 3,8216 1,8 4,48 1,3 61 2,45 8,27 3,817 1,82 4,61 1,5 62 2,46 8,32 3,9118 1,84 4,69 1,57 63 2,48 8,44 4,0519 1,85 4,78 1,4 64 2,5 8,53 4,1220 1,86 4,82 1,6 65 2,5 8,56 4,021 1,88 4,92 1,68 66 2,52 8,71 4,2222 1,9 4,99 1,74 67 2,54 8,81 4,323 1,9 5,0 1,6 68 2,55 8,89 4,324 1,92 5,14 1,79 69 2,56 8,96 4,425 1,94 5,21 1,85 70 2,58 9,08 4,5526 1,95 5,29 1,8 71 2,6 9,23 4,6727 1,96 5,35 1,9 72 2,6 9,27 4,628 1,98 5,45 1,97 73 2,62 9,35 4,7829 2,0 5,56 2,04 74 2,64 9,5 4,930 2,0 5,55 1,9 75 2,65 9,58 4,831 2,02 5,66 2,1 76 2,66 9,67 5,0332 2,04 5,79 2,18 77 2,68 9,81 5,1533 2,05 5,83 2,1 78 2,7 9,93 5,2634 2,06 5,88 2,23 79 2,7 9,94 5,135 2,08 6,01 2,3 80 2,72 10,07 5,3836 2,1 6,12 2,4 81 2,74 10,22 5,5137 2,1 6,12 2,3 82 2,75 10,27 5,438 2,12 6,2 2,48 83 2,76 10,32 5,6339 2,14 6,32 2,54 84 2,78 10,45 5,7240 2,15 6,42 2,5 85 2,8 10,64 5,8441 2,16 6,45 2,61 86 2,8 10,67 5,842 2,18 6,58 2,7 87 2,82 10,79 5,9543 2,2 6,67 2,79 88 2,84 10,89 6,0544 2,2 6,7 2,6 89 2,86 11,1 6,245 2,22 6,79 2,85 90 2,88 11,24 6,35

Tabela 4: Dados obtidos da corrente I e voltagem V do circuito aplicado a lmpada de tungstnio, e daquantidade f || em milivotls captado pela termopilha provindo da lmpada.

10 TABELAS 18

k [Wm2K4] 1 8,8017108 0,15602 8,9148108 0,15703 8,7824108 0,15764 8,7589108 0,15925 9,1203108 0,16306 8,9950 108 0,16307 9,0094 108 0,16488 8,9677 108 0,16629 9,0692 108 0,167110 9,1216 108 0,169111 9,0696 108 0,170612 9,1390 108 0,172113 9,1582 108 0,173114 9,1919 108 0,175115 9,2198 108 0,1771

Tabela 5: Relao entre a constante de Stefan-Boltzmann e a emissividade do tungstnio.

k h [m2kg/s]

1 5,7227 1034 0,15602 5,6984 1034 0,15693 5,7269 1034 0,15764 5,7320 1034 0,15925 5,6553 1034 0,16306 5,6814 1034 0,16297 5,6784 1034 0,164838 5,6872 1034 0,16629 5,6660 1034 0,167110 5,6550 1034 0,169311 5,6658 1034 0,170612 5,6514 1034 0,172113 5,6475 1034 0,173114 5,6405 1034 0,175115 5,6349 1034 0,1771

Tabela 6: Relao entre a constante de Stefan-Boltzmann e a emissividade do tungstnio.

IntroduoRadiao TrmicaTeoria da radiao de corpo-negroRadiao de cavidade

Lei de Stefan-BoltzmannInstrumentosMetodologia ExperimentalResistncia interna r e resistncia Ro da lmpadaVariao de R com a temperatura TFluxo luminoso F"47A medido na termopilhaFluxo luminoso Fd Dados e comparao de F"47A com Fd e de P com Pd

Verificando a Lei de Stefan-Boltzmann e Medindo a constante de PlanckConclusoReferncias BibliogrficasTabelas