Variáveis Aleatórias Contínuas

Uma variável aleatória X é contínua em R se existir uma função f(x) tal que:

1) f(x)≥ 0 para todo x real

2) ∫−∞

+∞

f (x )dx=1

A função f(x) é chamada função densidade de probabilidade.

P(a≤X≤b) = ∫a

b

f (x )dx

E(X) = ∫−∞

+∞

x . f ( x )dx Var(X) = ∫−∝

+∞

(x−E (X ) )2 . f ( x )dx ou Var(X) = E(X2) – (E(X))2

Distribuição Normal

Uma variável aleatória tem distribuição normal de probabilidade se sua função densidade de probabilidade é dada por:

F(x) = -∞<X<∞

Gráfico de f(x)

Características dessa função:

1) O ponto de máximo ocorre em X = μ 2) A curva é simétrica em relação a X = μ 3) E(x) = μ e Var(x) = σ2

Notação X : N(μ,σ2)

P(a≤X≤b) = esta integral não tem primitiva. Portanto será tabelada. Para isso, fazemos mudança de variável.

Z = X−μσ

dessa forma, E(Z) =10 e Var(Z) = 1

Gráfico de X e de Z

Exercícios

1) O volume de correspondência recebido por uma firma quinzenalmente tem distribuição normal com média 4000 cartas e desvio padrão de 200 cartas. Qual a porcentagem de quinzenas em que a firma recebe: a) Entre 3600 e 4250? b) Menos de 3400 cartas? c) Mais de 4636 cartas?

2) Numa fábrica foram instaladas 1000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão: a) Menos de 500 horas? b) Mais de 700 horas/ c) entre 516 e 648 horas?

3) Uma fábrica de carros sabe que os motores de sua fabricação têm duração normal com média de 150000 km e desvio padrão de 5000 km. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso, dos fabricados por essa firma, tenha um motor que dure: a) Menos de 170000 km? b) Entre 140 e 165ooo km? c) Se a fábrica substitui motor que apresenta duração inferior à garantia, qual deve ser esta garantia para que a porcentagem de motores substituídos seja inferior a 0,2%?

4) Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 100 dias e desvio padrão de 200 dias. Oferece garantia de 1 ano (365 dias). Produz mensalmente 2000 máquinas. Quantas espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente?

5) As vendas de determinado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média 500 unidades e desvio padrão 50 unidades. Se a empresa decide fabricar 60 unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos, por estar com a produção esgotada?

6) O tempo de vida de transistores produzidos por uma determinada indústria tem distribuição aproximadamente normal, com valor esperado 500 horas e desvio padrão 50 horas. Se o consumidor exige que pelo menos 95% dos transistores fornecidos tenham vida superior a 400 horas, pergunta-se se tal especificação é atendida. Justifique.

7) Um conjunto de notas finais em um curso de Introdução a Estatística foi considerada como normalmente distribuído com uma média aritmética de 7,3 e um desvio padrão de 8. a) Qual é a probabilidade de se obter no máximo nota 91 nesta prova? b) Que porcentagem de alunos tirou entre 65 e 89? c) que porcentagem de aluno tirou entre 81 e 89? d) Qual é a nota final do exame se somente 5% dos alunos que fizeram a prova tiraram nota mais alta?

8) As despesas mensais com alimentação de uma família de quatro pessoas numa determinada cidade tem média $ 420 com um desvio padrão de $ 80. Supondo que as despesas mensais com alimentação são distribuídas normalmente, determine: a) porcentagem dessas despesas ser menor que $ 350; b) porcentagem dessas despesas estar entre 250 e 450; c) porcentagem dessas despesas ser maior que $ 350?