Modelos de ProbabilidadeModelo Normal

Varivel Aleatria

Para descrever um experimento aleatrio conveniente associar valores numricos aos seus resultados.

Como os eventos que ocorrem quando se realizam experimentos aleatrios variam a cada realizao dos mesmos, tambm variaro os valores numricos que lhes so associados.

Varivel AleatriaUma varivel aleatria (va) uma funo definida num espao amostral que assume valores reais.

O Modelo!O Modelo uma simplificao da realidade.

Dados bem coletados so importantes para produzir bons modelos.

Modelos bem construdos tendem a gerar boas solues para problemas reais.

Exemplos1. Observar se um doente de cncer fumante ou no fumante.S = { fumante, no fumante}

X = 1, se fumante 0, se no fumante

2. Observar o peso de crianas ao nascer.X = peso = { x, x real, x > 0 }

Exemplos3. Observar uma caixa de bombons e observar o nmero de bombons com peso abaixo do esperado.X = nmero de bombons = {0, 1, 2, ..., 26}

4. Inspecionar bombons, um a um at encontrar o primeiro com peso abaixo do esperado.X = {1,2,3,...}

Exemplos5. Observar o tempo at falhar de um equipamento industrialX = {t, t real positivo, tempo at falhar}

Tipos de v.a.Dependendo dos possveis valores de X uma va pode ser discreta (valores inteiros, finito ou infinito) ou contnua (valores reais em um determinado intervalo).

Veremos a seguir algumas variveis aleatrias muito utilizadas. So modelos probabilsticos aplicados a diversas situaes.

Variveis Aleatrias Discretas Binomial (no. de peas defeituosas num lote de n peas)Poisson (no. de acidentes em rodovias, no. de defeitos em material por m2, por metro, km e etc.)GeomtricaHipergeomtricaBinomial Negativa

Variveis Aleatrias Contnuas Uniforme Normal Exponencial t Student Qui-quadrado F Snedecor

Modelo Normal

As distribuies Normais remontam ao sculo XVIII.

Mensuraes repetidas de uma mesma quantidade apresentavam histograma com uma forma de sino.

Essa distribuio estava associada aos erros de mensurao, e ficou conhecida como distribuio Normal dos erros ou Normal.

Modelo Normal

Gauss (1777-1855) deduziu matematicamente a curva normal que ficou um bom tempo conhecida como distribuio de probabilidade de erros de medidas, ou Lei normal dos erros.

Empiricamente, a forma dos histogramas dos erros de medio dos pesquisadores, em geral, se assemelhavam distribuio de Gauss. Por isso a distribuio Normal tambm conhecida como Gaussiana.

CaractersticasO grfico de uma distribuio Normal se assemelha a um sino, sendo simtrico em torno da mdia.

A distribuio Normal (ou distribuio Gaussiana) est definida para todos os valores, tanto positivos como negativos.

Forma de Sino

CaractersticasA Normal especificada por dois parmetros: a mdia da distribuio () e a varincia da distribuio (2).

A notao usual para essa distribuio

X ~ N(, 2 )

O parmetro um parmetro de locao. Variando-se os valores da mdia, a forma da distribuio se mantm inalterada. H apenas mudana na localizao da distribuio.

Normais com mdias diferentes

DispersoO desvio padro um parmetro de disperso. Quanto maior for o desvio padro , mais espalhada estar a distribuio;

Quanto menor for o desvio padro , mais concentrada estar a distribuio. Assim, variando o parmetro de disperso , obtm-se formas diferentes.

Disperso

Probabilidades

A rea total sob a curva Normal representa a probabilidade total que vale 1 (um).

Como a curva simtrica em relao mdia, a rea sob a curva direita da mdia vale 0,5 e esquerda tambm vale 0,5.

Probabilidades

Probabilidades

Probabilidades

Probabilidades

ProbabilidadesComo calcular probabilidade num modelo normal: Normal Padronizada.

Exemplo: Suponha que o tempo de vida (X) de um equipamento possa ser modelada por uma distribuio Normal, com mdia =15 e desvio padro =4.Calcular P( X 22.84) e P( X 8.44).

Probabilidades

Probabilidades

Outros modelos importantesQui-quadradot Student

Qui-quadradoSejam Z1, Z2, ..., Zv variveis aleatrias Normais com mdia 0 e desvio padro 1 independentes. Ento:

2v = Z21 + Z22 + ... + Z2v

uma varivel aleatria Qui-Quadrado (2v) com v graus de liberdade.

T-Student Sejam Z varivel aleatria Normal com mdia 0 e desvio padro 1 e Y uma varivel aleatria Qui-quadrado com v graus de liberdade, com Z independente de Y. Ento a varivel t de Student (t) dada pela expresso abaixo.

T-StudentA distribuio t de Student possui caractersticas semelhantes Normal Padro: simetria em torno de 0, tem forma de sino, e as caudas tendem rapidamente a zero.

Entretanto, ao compararmos a forma de uma distribuio t e a Normal padro, vemos que a primeira mais varivel (mais espalhada), como ilustra a Figura abaixo.

T-Student (linha pontilhada)

Exerccios4.90 e 4.93 (pg. 71)

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