funçao de varias variaveis exercicio ufcg

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<ul><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 1/13</p><p>Captulo 4</p><p>Funes de duas variveis</p><p>4.1 Funes de varias variveis - Definio e exemplos</p><p>Definio 1: Chamamos de funo real com n variveis a uma funo do tipo</p><p>f : D R com D Rn = R R.</p><p>Ou seja, uma funo cujo domnio D (ou D(f)) um subconjunto de Rn e seu contra-</p><p>domnio R.</p><p>Exemplo:</p><p>1. f : R2</p><p>R, (x, y)</p><p>2x + 3y</p><p>D = R, uma funo real de duas variveis ( tambm uma funo linear).</p><p>2. f : R3 R, (x, y, z) x2 + 3y + z</p><p>D = R3, uma funo real de trs variveis ( tambm uma funo polinomial)</p><p>3. f : R3 {(0,0,0)} R, (x, y, z) 2xx2 + y2 + z2</p><p>D = R3{(0,0,0)} R3 uma funo real de trs variveis ( tambm uma funo</p><p>racional, isto , quociente de duas funes polinomiais).</p><p>Usamos, tambm, a notao ( mais resumida) para representar funes reais de n variveis;</p><p>y = f(x1, , xn)</p><p>Neste caso D(f) o conjunto D(f) = {(x1, , xn) Rn; f(x1, , xn) R}</p><p>40</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 2/13</p><p>4.2 Domnio - Representao Grfica</p><p>Exemplo : Determine e represente geometricamente os domnios das funes</p><p>1. f(x, y) = 3x2 + 1</p><p>D(f) = R2</p><p>O x</p><p>y</p><p>Representao grfica</p><p>Figura 1</p><p>2. f(x, y) =3x2 1</p><p>x2 + y2 + 1</p><p>x2 + y2 + 1 = 0, no tem soluo, logo D(f) = R2.</p><p>Representao grfica: Figura 1</p><p>3. f(x, y) =3x2 + y</p><p>x2 + y2</p><p>x2 + y2 = 0. Como x2 0 e y2 0 entox2 + y2 = 0 x2 = 0 e y2 = 0 x = 0 e y = 0.Logo D(f) = R2</p><p> {(0,0)</p><p>}.</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>Representao grfica</p><p>4. f(x, y) =x3</p><p>x yD(f) = {(x, y) R2; x y = 0},ou seja, todo o plano exceto a 1a bissetriz.</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>Representao grfica</p><p>y=x</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 41</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 3/13</p><p>5. f(x, y) =2x + y</p><p>x2 yD(f) = {(x, y) R2; x2 &gt; y}</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>Representao grfica</p><p>y=</p><p>x2</p><p>6. f(x, y) = ln</p><p>x yy 1</p><p>D(f) =</p><p>(x, y) R2; x yy 1 &gt; 0</p><p>equivalente a x y &gt; 0 e y 1 &gt; 0ou x</p><p>y &lt; 0 ou y</p><p>1 &lt; 0.</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>Representao grfica</p><p>y=x</p><p>y = 1</p><p>7. f(x, y) = arcsec(x2 + y2)</p><p>D(f) = {(x, y) R2; x2+y2 1 ou x2+y2 1},ou melhor, como x2 + y2 1 no ocorre paranenhum (x, y) R2,D(f) = {(x, y) R2; x2 + y2 1}.</p><p>x</p><p>y</p><p>O</p><p>Representao grfica</p><p>8. f(x, y) = arccos</p><p>x2 +y2</p><p>4</p><p>D(f) = {(x, y) R2; 1 x2 + y2</p><p>4 1}, ou</p><p>melhor, como</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>y2</p><p>4</p><p>para todo (x, y)</p><p>R</p><p>2</p><p>D(f) = {(x, y) R2; x2 + y2</p><p>4 1} x</p><p>y</p><p>Representao grfica</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 42</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 4/13</p><p>4.3 Construo de grficos e curvas de nvel</p><p>Grfico</p><p>Definio: Dado uma funo f : D B seu grfico o conjunto {(a, f(a); a D}.No caso de funes reais de uma varivel temos:</p><p>f : D R; D R seu grfico uma curva do R2.</p><p>Para uma funo de duas variveis</p><p>f : D R, D R2</p><p>(x, y) f(x, y)O grfico da funo f uma superfcie de R3.</p><p>Exemplo: A esfera x2 + y2 + z2 = 1 uma superfcie de R3 que no grfico de funo</p><p>z = f(x, y).Da equao da esfera tem-se,</p><p>z = </p><p>1 x2 y2</p><p>Sejam as funes f(x, y) =</p><p>1 x2 y2 eg(x, y) = 1 x2 y2D(f) = D(g) = {(x, y) R2; x2 + y2 1}(O crculo x2 + y2 = 1 e seu interior)</p><p>O grfico de f a semi-esfera superior (z 0)e o grfico de g a semi-esfera inferior (z 0).</p><p>Curvas de nvel</p><p>Um recurso auxiliar para esboar grficos so as curvas de nvel da funo.</p><p>Definio: Dados uma funo z = f(x, y) e k R, a curva de nvel de f em z = k oconjunto {(x, y) R2; f(x, y) = k}. Ou seja, o conjunto dos elementos do domnio de</p><p>f que possuem imagens igual a k. tambm a interseco do grfico de f com o plano(paralelo a XOY ) de equao z = k</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 43</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 5/13</p><p>Exemplo 1: Determine e esboce a curva de nvel de f(x, y) =y</p><p>xem z = 2.</p><p>A curva de nvel o conjunto dos pontos (x, y) R2que satisfazem a</p><p>2 =y</p><p>x y = 2x com x = 0. Ou seja, trata-se da reta</p><p>de equao y = 2x exceto o ponto (0,0) x</p><p>y</p><p>Representao grfica</p><p>Exemplo 2: Dada a funo</p><p>f(x, y) =x</p><p>y2 1determine e represente seu domnio e as suas curvas de nvel.</p><p>D(f) = {(x, y) R2; y = 1 e y = 1} (ou seja, todoo plano exceto as retas y = 1 e y = 1).</p><p>x</p><p>y</p><p>Representao grfica</p><p>Curvas de nvel</p><p>Seja a equao xy2 1 = k que equivalente a x = k(y</p><p>2 1) com y = 1 e y = 1.Para k = 0, temos a parbola x = k(y2 1) com exceo dos pontos (0, 1) e (0,1)Para k = 0 temos x = 0 com y = 1 e y = 1, ou seja, o eixo OY exceto os pontos</p><p>(0,1) e (0, 1).</p><p>x</p><p>y</p><p>Representao grfica</p><p>k 0</p><p>x</p><p>y</p><p>k &lt; 0Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 44</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 6/13</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 7/13</p><p>x</p><p>y</p><p>kk</p><p>k &gt; 0</p><p>Representao grfica das curvas de nvel</p><p>Como todas as curvas de nvel so crculos com centros em (0,0) conclu-</p><p>mos que o grfico de f(x, y) uma superfcie de revoluo em torno de</p><p>OZ.</p><p>iii) Intersees com os planos coordenados.</p><p>XOY : J foi obtido, corresponde curva no nvel z = 0.</p><p>XOZ : Fazendo y = 0 na equao z = x2 + y2. obtm-se z = x2, equao de</p><p>uma parbola</p><p>Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = x2 + y2. obtm-se z = y2, a parbola</p><p>obtida em XOZ.</p><p>Conclumos que o grfico um parabolide de revoluo</p><p>II) Grfico de f</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 46</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 8/13</p><p>Exemplo 1.2 f(x, y) = 1 y2</p><p>i) D(f) = R2</p><p>Representao grfica de D(f) : Figura 1</p><p>ii) Curvas de nvel</p><p>Seja a equao 1</p><p>y2 = k. Extraindo o valor de y temos y =</p><p>1</p><p>k</p><p> Logo, para k &gt; 1 (isto , 1 k &lt; 0 ) a curva de nvel correspondente o vazio. Para k = 1 temos y = 0 e x qualquer. Ento a curva de nvel o eixo OX.</p><p> Para k &lt; 1, y assume os dois valores de () e x qualquer. Ento a curva denvel constituda das duas retas paralelas a OX, y = 1 k e y = 1 k.</p><p>x</p><p>y</p><p>1 k</p><p>1 k</p><p>Representao grfica das curvas de nvel</p><p>iii) Interseces com os eixos coordenados</p><p>XOY : z = 0 1 y2 = 0 y = 1. Ou seja, as duas retas y = 1 ey = 1.</p><p>XOZ : y = 0</p><p>1</p><p>02 = z</p><p>z = 1. Ou seja, a reta z = 1.</p><p>Y OZ : x = 0 1y2 = z. Neste caso, no plano Y OZ, temos uma parbola.</p><p>II) Grfico: Trata-se de uma superfcie cilndrica de geratrizes paralelas ao eixo OX</p><p>tal que a parbola do plano Y OZ de equao z = 1 y2 uma diretriz ( o queacontece com funes que independem de uma das variveis x ou y )</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 47</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 9/13</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 10/13</p><p>x</p><p>y</p><p>k</p><p>k</p><p>k &gt; 0</p><p>k &gt; 0</p><p>kk</p><p>k &lt; 0k &lt; 0</p><p>Representao grfica das curvas de nvel</p><p>iii) Interseces com os planos coordenados</p><p>XOY : J foi obtido, corresponde curva no nvel z = 0.</p><p>XOZ : Fazendo y = 0 na equao z = y2 x2. obtm-se z = x2, equaode uma parbola</p><p>Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = y2 x2. obtm-se z = y2, equao deuma parbola</p><p>II) Grfico: Trata-se do parabolide hiperblico</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 49</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 11/13</p><p>Exemplo 1. 4 f(x, y) = ln</p><p>x2</p><p>9+ y2</p><p>i) D(f) = {(x, y) R2; x2</p><p>9+ y2 &gt; 0} =</p><p>R2</p><p> {(0,0)</p><p>}.</p><p>O x</p><p>y</p><p>Representao grfica</p><p>Figura 1</p><p>ii) Curvas de nvel</p><p>Seja a equao</p><p>ln</p><p>x2</p><p>9+ y2</p><p> x2</p><p>9+ y2 = ek</p><p>Como ek maior que zero para todo k, ento a curva de nvel em z = k a elipse</p><p>de equaox2</p><p>(3ek/2)2+</p><p>y2</p><p>(ek/2)2= 1</p><p>cujo semi-eixo no eixo OX sempre trs vezes maior que e o semi-eixo no eixo OY.</p><p>Representao grfica</p><p>(Ou seja, "quase"uma superfcie de revoluo)</p><p>iii) Interseces com os planos coordenados</p><p>XOY : Significa a curva de nvel em z = 0, ou seja a elipse de equao</p><p>x2</p><p>(3)2+ y2 = 1</p><p>Representao grfica: Veja figura anterior</p><p>XOZ: Fazendo</p><p>y= 0 na equao</p><p>z= ln</p><p>x2</p><p>9 +y2</p><p>= 1</p><p>obtm-se z = ln</p><p>x2</p><p>9</p><p>= 2ln |x| ln 9Representao grfica</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 50</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 12/13</p><p>Y OZ : Fazendo x = 0 na equao z = ln</p><p>x2</p><p>9+ y2</p><p>= 1</p><p>obtm-se z = ln (y2) = 2ln |y|Representao grfica</p><p>II) Grfico</p><p>OBS: Dada a funo z = f(x1, , xn) a superfcie de nvel de f em z = k definida demodo anlogo s curvas de nvel para n = 2.</p><p>Exemplo : Determine e represente graficamente as superfcies de nvel da funo</p><p>f(x, y, z) = x2 + y2 + z2</p><p>Seja a equao</p><p>x2 + y2 + z2 = k</p><p> Se k &gt; 0 ento temosx2 + y2 + z2 = (</p><p>k)2</p><p>a equao de uma esfera de centro em (0,0,0) e raio</p><p>k.</p><p> Se k = 0 ento temos o ponto (0,0,0).</p><p>Para Se k &lt; 0 a superfcie de nvel o vazio.</p><p>Representao grfica das superfcies de nvel</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 51</p></li><li><p>8/7/2019 funao de varias variaveis exercicio ufcg</p><p> 13/13</p><p>4.3.1 Exerccios</p><p>[1] Determine o domnio de cada uma das funes abaixo e represente-o graficamente:</p><p>(1.1) f(x, y) =1</p><p>x2 1 +</p><p>y x2 (1.2) f(x, y) = y2 4 ln (x y)</p><p>(1.3) f(x, y) = ln (x2 y2) (1.4) f(x, y) = ln x2 + y2 1</p><p>x</p><p>(1.5) f(x, y) = arccos(x y) (1.6) f(x, y) = arcsec x2</p><p>4+ y2</p><p>[2] Determine o domnio; determine e trace as intersees do grfico com os planos coor-</p><p>denados; determine e trace as curvas de nvel; e esboce o grfico das funes:(2.1) f(x, y) = 16 x2 y2 (2.2) f(x, y) = 9x2 + 4y2</p><p>(2.3) f(x, y) = x2 (2.4) f(x, y) =1</p><p>1 + y2</p><p>(2.5) f(x, y) = 8 2x 4y (2.6) f(x, y) = 4x2 + 4y2</p><p>(2.7) f(x, y) = 4</p><p>x2 + y2</p><p>[3] Descreva as curvas/superfcies de nvel da cada funo:</p><p>(3.1) f(x, y) = e4x2y2</p><p>(3.2) F(x, y, z) = 2x + 3y + 6z(3.3) F(x, y, z) = x2 y2 + z2</p><p>Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 52</p></li></ul>