Calculo de Varias Variaveis

Download Calculo de Varias Variaveis

Post on 27-Dec-2015

142 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<ul><li><p>clculo de vrias variveis</p></li><li><p>CLCULO DE VRIAS VARIVEIS </p></li><li><p>clculo de vrias variveis</p><p>Universidade Federal de Minas Gerais</p><p>Reitor: Cllio Campolina Diniz</p><p>Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton</p><p>Pr-reitoria de Graduao </p><p>Pr-Reitora: Antnia Vitria Soares Aranha</p><p>Pr-Reitor Adjunto: Andr Luiz dos Santos Cabral</p><p>Diretor do CAED: Fernando Fidalgo</p><p>Coordenador da UAB-UFMG: Wagner Jos Corradi Barbosa</p><p>Coordenador Adjunto UAB-UFMG: Hormindo Pereira de Souza Jnior</p><p>editora UFMG</p><p>Diretor: Wander Melo Miranda</p><p>Vice-Diretor: Roberto Alexandre do Carmo Said</p><p>Conselho editorial</p><p>Wander Melo Miranda (presidente)</p><p>Flavio de Lemos Carsalade</p><p>Heloisa Maria Murgel Starling</p><p>Mrcio Gomes Soares</p><p>Maria das Graas Santa Brbara</p><p>Maria Helena Damasceno e Silva Megale</p><p>Paulo Srgio Lacerda Beiro</p><p>Roberto Alexandre do Carmo Said</p></li><li><p>Paulo CuPertino de lima</p><p>CLCULO DE VRIAS VARIVEIS </p><p>Belo Horizonte editora uFmG </p><p>2009</p></li><li><p>COORDENAO DE PRODUO DE TEXTOS DE MATEMTICA Dan Avritzer</p><p>EDITORAO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro</p><p>REVISO DE PROVAS Alexandre Vasconcelos de Melo</p><p>PROJETO GRFICO Eduardo Ferreira</p><p>FORMATAO E CAPA Srgio Luz</p><p>PRODUO GRFICA Warren Marilac </p><p>IMPRESSO Imprensa Universitria da UFMG</p><p>editora UFMGAv. Antnio Carlos, 6.627 - Ala direita da Biblioteca Central - Trreo</p><p>Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409-4768 </p><p>www.editora.ufmg.br - editora@ufmg.br</p><p> 2009, Paulo Cupertino de Lima 2009, Editora UFMG2011, 1 reimpressoEste livro ou parte dele no pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorizao escrita do Editor.</p><p>Lima, Paulo Cupertino Clculo de vrias variveis / Paulo Cupertino de Lima. Belo Horizonte : </p><p>Editora UFMG, 2009.</p><p> 105 p. : il. (Educao a Distncia) Inclui referncias. ISBN: 978-85-7041-795-4 1. Clculo. 2. Variveis (Matemtica). I.Ttulo. II. Srie. </p><p> CDD: 515.9 CDU: 517.97</p><p>L732c</p><p>Elaborada pela DITTI Setor de Tratamento da Informao Biblioteca Universitria da UFMG</p><p>Pr-reitoria de GradUaoAv. Antnio Carlos, 6.627 - Reitoria - 6 andarCampus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409-4060 www.ufmg.br - info@prograd.ufmg.br - educacaoadistancia@ufmg.br</p><p>Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educao a Distncia do MEC.</p></li><li><p>Os Cursos de Graduao da UFMG, modalidade a distncia, foram concebidos tendo em vista dois princpios fundamentais. O primeiro se refere democratizao do acesso educao superior; o segundo consiste na formao de profissionais de alto nvel, comprometidos com o desenvolvimento do pas.</p><p>A coletnea da qual este volume faz parte visa dar suporte aos estu-dantes desses cursos. Cada volume est relacionado a um tema, eleito como estruturante na matriz curricular. Ele apresenta os conhecimentos mnimos que so considerados essenciais no estudo do tema. Isto no significa que o estudante deva se limitar somente ao estudo do volume. Ao contrrio, ele o ponto de partida na busca de um conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto. Nessa direo, cada volume apresenta uma bibliografia, com indi-cao de obras impressas e virtuais que devero ser consultadas medida que se fizer necessrio.</p><p>Cada volume da coletnea est dividido em aulas, que consistem em unidades de estudo do tema tratado. Os objetivos, apresentados em cada incio de aula, indicam as competncias e habilidades que o estudante deve adquirir ao trmino de seu estudo. As aulas podem se constituir em apresentao, reflexes e indagaes tericas, em experimentos ou em orientaes para atividades a serem realizadas pelos estudantes.</p><p>Para cada aula ou conjunto de aulas, foi elaborada uma autoavaliao com o objetivo de levar o estudante a avaliar o seu progresso e a desenvolver estratgias de metacognio ao se conscientizar dos diversos aspectos envolvidos em seus processos cognitivos. Essa autoavaliao auxiliar o estudante a tornar-se mais autnomo, responsvel, crtico, capaz de desenvolver sua independncia inte-lectual. Caso ela mostre que as competncias e habilidades indicadas nos objetivos no foram alcanadas, o aluno dever estudar com mais afinco e ateno o tema proposto, reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos tutores, professores especialistas e colegas.</p><p>Agradecemos a todas as instituies que colaboraram na produo desta coletnea. Em particular, agradecemos s pessoas (autores, coordenador da produo grfica, coordenadores de redao, dese-nhistas, diagramadores, revisores) que dedicaram seu tempo, e esforo na preparao desta obra que, temos certeza, em muito contribuir para a educao brasileira.</p><p>Maria do Carmo VilaCoordenadora do Centro de Apoio Educao a Distncia</p><p>UFMG</p></li><li><p>Sumrio</p><p>Apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>Aula 1 - Retas, planos, cilindros e superfcies qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Equaes da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Equaes do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Superfcies qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Exemplos de superfcies qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>Aula 2 - Funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Domnio, imagem e grfico de uma funo de duas variveis . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Curvas de nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27</p><p>Aula 3 - Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Algumas definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43</p><p>Aula 4 - Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1 Reviso do conceito de derivada para funo de uma varivel . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Definio de derivadas parciais e as suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 A interpretao geomtrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4 Derivadas parciais de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5 Derivadas parciais de funes mais de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56</p><p>Aula 5 - Diferenciabilidade de funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 Reviso do conceito de diferenciabilidade para funo de uma varivel . . . . . 59 5.2 Diferenciabiliadade para funo de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 O plano tangente e a reta normal superfcie que o grfico de z = f (x, y) . . . 61 5.4 Incrementos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.5 Diferenciabiliadade para funo de mais de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . 65</p></li><li><p>Aula 6 - A Regra da Cadeia e a derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.1 Reviso da Regra da Cadeia para funes de uma varivel . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1.3 O caso em que z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1.4 O caso em que z = f (u, v), onde u = g(x, y) e v = h(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2 Derivao implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.3 Plano tangente superfcie F(x, y, z) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.4 A derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.5 A interpretao geomtrica do gradiente de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.6 O gradiente e curvas de nvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81</p><p>Aula 7 - Mximos e mnimos de funes de duas ou mais variveis . . . . . . . . . . . . 85 7.1 Algumas definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.2 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94</p><p>Aula 8 - Mximos e mnimos com vnculos: multiplicadores de Lagrange . . . . . . . 97</p><p>Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103</p><p>Sobre o autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105</p></li><li><p>Apresentao</p><p>Este livro foi escrito para ser utilizado nos cursos de Educao a Distncia oferecidos pela UFMG para a licenciatura Matemtica.</p><p>Tendo em vista que ele destinado a cursos a distncia, o texto possui caractersticas especficas para assim ser utilizado.</p><p>Esta obra trata de funes de vrias variveis, portanto, nele, gene-ralizaremos vrios conceitos j estudados para funes de uma vari-vel (tais como limite, continuidade, diferenciabilidade, entre outros), introduzimos os conceitos de curvas de nvel, de derivadas parciais, de plano tangente a uma superfcie e de derivadas direcionais. Veremos como usar as derivadas parciais nos problemas de mximo e mnimo. Na Aula 1 estudamos retas, planos, cilindros e superfcies qudricas. Na Aula 2 introduzimos o conceito de funes de vrias variveis (domnio, imagem e grfico), bem como o conceito de curvas de nvel para funes de duas variveis.</p><p>Na Aula 3 introduzimos os conceitos de limite e de continuidade para funes vrias variveis e vemos algumas consequncias da continui-dade de uma funo. Na Aula 4 introduzimos o conceito de derivadas parciais e falamos sobre as suas propriedades.</p><p>Na Aula 5 abordamos os conceitos de diferenciabilidade e de diferen-cial de uma funo e de plano tangente a uma superfcie. Enfatizamos o fato, que o plano tangente nos permite aproximar localmente o valor da funo diferencivel por algo que linear.</p><p>Na Aula 6 introduzimos a Regra da Cadeia e o conceito de derivada direcional. Damos o significado geomtrico do gradiente de uma funo de duas variveis e vemos a sua relao com as curvas de nvel da funo.</p><p>Na Aula 7 analisamos os conceitos de mximos e mnimos locais e globais de uma funo, bem como o conceito de pontos crticos. Usamos as deri-vadas parciais para encontrar os pontos crticos de uma funo diferen-civel de duas variveis, bem como a caracterizao dos mesmos, por meio do Teste da Derivada Segunda. Descrevemos o procedimento para encontrarmos os valores mximos e mnimos globais de uma funo contnua definida num conjunto fechado e limitado.</p><p>Na Aula 8 apresentamos o Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange.</p><p>Finalmente, agradeo minha mestra, colega e amiga, Maria Cristina Costa Ferreira, que fez a reviso final do texto, ainda contribuindo com sugestes e correes.</p></li><li><p>AULA 1</p><p>Retas, planos, cilindros e superfcies qudricas</p><p>ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Compreender os conceitos de retas, planos, cilindros e superfcies qudricas. 2. Ser capaz de encontrar as equaes paramtricas de uma reta ou de um </p><p>segmento de reta.3. Encontrar a equao de um plano. 4. Identificar e esboar cilindros e superfcies qudricas.</p><p>1 .1 EqUAES DA REtA</p><p>cap1 2009/10/19 20:13 page 1 #1 </p><p>Captulo 1</p><p>Retas, planos, cilindricos esuperfcies qudricas</p><p>O objetivo desta aula de introduzir os conceitos retas, planos, cilindrose superfcies qudricas. No final desta aula, o aluno dever ser capaz deencontrar as equaes paramtricas de uma reta ou de um segmento dereta, de encontrar a equao de um plano, de identificar e esboar cilindrose superfcies qudricas.</p><p>1.1 Equaes da reta</p><p>Dado um ponto Po(xo, yo, zo) e um vetor no nulo V = (a, b, c), a reta quepassa pelo ponto Po e paralela a V o conjunto de pontos P(x, y, z), taisque</p><p>OP =</p><p>OPo + tV, onde t um parmetro real. Isto nos leva s seguintes</p><p>equaes paramtricas da reta:</p><p>x = xo + at, y = yo + bt e z = zo + ct. (1.1)</p><p>Se quisermos as equaes paramtricas da reta que passa por dois pontosdistintos Po(xo, yo, zo) e P1(x1, y1, z1), basta tomarmos</p><p>V =</p><p>PoP1 = (x1 xo, y1 yo, z1 zo)</p><p>na equao (1.1).</p><p>Exerccio 1.1 Encontre as equaes paramtricas da reta que passa pelos pontos (0, 0, 1) e (1,1, 2).</p><p>Exerccio 1.2 Dados dois pontos distintos Po(xo, yo, zo) e P1(x1, y1, z1), verifique que as equaes</p><p>x = xo(1 t) + x1t, y = yo(1 t)y+ y1t e z = zo(1 t) + z1t, (1.2)onde 0 t 1, descrevem os pontos do segmento de reta ligando Po a P1.</p><p>1</p></li><li><p>14</p><p>clculo de vrias variveis</p><p>cap1 2009/10/19 20:13 page 2 #2 </p><p>2CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS</p><p>1.2 Equaes do plano</p><p>A seguir obteremos a equao do plano que passa pelo ponto Po(xo, yo, zo)e tem N = (a, b, c) =0 como vetor normal.</p><p>Figura 1.1: O plano que passa pelo ponto Po e tem N como vetor normal.</p><p>Se P(x, y, z) for um ponto qualquer do plano, ento os vetoresPoP e N so</p><p>ortogonais, portanto, o produto escalar deles deve ser zero, ou seja,</p><p>PoP N = (x xo, y yo, z zo) (a, b, c)</p><p>= ax+ by+ cz (axo + byo + czo) = 0,</p><p>o que nos leva seguinte equao para o plano</p><p>ax+ by+ cz = d, onde d = axo + byo + czo. (1.3)</p><p>Tambm podemos determinar a equao do plano que passa por trs pon-tos no alinhados Po(xo, yo, zo), P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2). Basta obser-varmos que o vetor</p><p>N PoP1 PoP2 perpendicular ao plano, ento, a partir dele e de um dos pontos dados,digamos Po, usamos (1.3) e obtemos a equao do plano. Ou seja, a equaodo plano dada pelo produto misto</p><p>PoP (PoP1 PoP2) = det</p><p> x xo y yo z zox1 xo y1 yo z1 zox2 xo y2 yo z2 zo</p><p> = 0.</p><p>Exerccio 1.3 Encontre a equao do plano que passa por (1, 1, 1) e tem como vetor normal o vetorN = (1, 2, 3).</p><p>Exerccio 1.4 Encontre a equao do plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1).</p><p>1 .2 EqUAES DO pLAnO</p><p>Figura 1.1: O plano que passa por Po (xo, yo, zo) e tem como vetor normal.</p><p>P</p><p>N</p><p>P0</p><p>cap1 2009/10/19 20:13 page 2 #2 </p><p>2CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS</p><p>1.2 Equaes do plano</p><p>A seguir obteremos a equ...</p></li></ul>