Calculo de Varias Variaveis

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  • clculo de vrias variveis

  • CLCULO DE VRIAS VARIVEIS

  • clculo de vrias variveis

    Universidade Federal de Minas Gerais

    Reitor: Cllio Campolina Diniz

    Vice-Reitora: Rocksane de Carvalho Norton

    Pr-reitoria de Graduao

    Pr-Reitora: Antnia Vitria Soares Aranha

    Pr-Reitor Adjunto: Andr Luiz dos Santos Cabral

    Diretor do CAED: Fernando Fidalgo

    Coordenador da UAB-UFMG: Wagner Jos Corradi Barbosa

    Coordenador Adjunto UAB-UFMG: Hormindo Pereira de Souza Jnior

    editora UFMG

    Diretor: Wander Melo Miranda

    Vice-Diretor: Roberto Alexandre do Carmo Said

    Conselho editorial

    Wander Melo Miranda (presidente)

    Flavio de Lemos Carsalade

    Heloisa Maria Murgel Starling

    Mrcio Gomes Soares

    Maria das Graas Santa Brbara

    Maria Helena Damasceno e Silva Megale

    Paulo Srgio Lacerda Beiro

    Roberto Alexandre do Carmo Said

  • Paulo CuPertino de lima

    CLCULO DE VRIAS VARIVEIS

    Belo Horizonte editora uFmG

    2009

  • COORDENAO DE PRODUO DE TEXTOS DE MATEMTICA Dan Avritzer

    EDITORAO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro

    REVISO DE PROVAS Alexandre Vasconcelos de Melo

    PROJETO GRFICO Eduardo Ferreira

    FORMATAO E CAPA Srgio Luz

    PRODUO GRFICA Warren Marilac

    IMPRESSO Imprensa Universitria da UFMG

    editora UFMGAv. Antnio Carlos, 6.627 - Ala direita da Biblioteca Central - Trreo

    Campus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4650 - Fax: + 55 31 3409-4768

    www.editora.ufmg.br - editora@ufmg.br

    2009, Paulo Cupertino de Lima 2009, Editora UFMG2011, 1 reimpressoEste livro ou parte dele no pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorizao escrita do Editor.

    Lima, Paulo Cupertino Clculo de vrias variveis / Paulo Cupertino de Lima. Belo Horizonte :

    Editora UFMG, 2009.

    105 p. : il. (Educao a Distncia) Inclui referncias. ISBN: 978-85-7041-795-4 1. Clculo. 2. Variveis (Matemtica). I.Ttulo. II. Srie.

    CDD: 515.9 CDU: 517.97

    L732c

    Elaborada pela DITTI Setor de Tratamento da Informao Biblioteca Universitria da UFMG

    Pr-reitoria de GradUaoAv. Antnio Carlos, 6.627 - Reitoria - 6 andarCampus Pampulha - 31270-901 - Belo Horizonte - MGTel.: + 55 31 3409-4054 - Fax: + 55 31 3409-4060 www.ufmg.br - info@prograd.ufmg.br - educacaoadistancia@ufmg.br

    Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educao a Distncia do MEC.

  • Os Cursos de Graduao da UFMG, modalidade a distncia, foram concebidos tendo em vista dois princpios fundamentais. O primeiro se refere democratizao do acesso educao superior; o segundo consiste na formao de profissionais de alto nvel, comprometidos com o desenvolvimento do pas.

    A coletnea da qual este volume faz parte visa dar suporte aos estu-dantes desses cursos. Cada volume est relacionado a um tema, eleito como estruturante na matriz curricular. Ele apresenta os conhecimentos mnimos que so considerados essenciais no estudo do tema. Isto no significa que o estudante deva se limitar somente ao estudo do volume. Ao contrrio, ele o ponto de partida na busca de um conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto. Nessa direo, cada volume apresenta uma bibliografia, com indi-cao de obras impressas e virtuais que devero ser consultadas medida que se fizer necessrio.

    Cada volume da coletnea est dividido em aulas, que consistem em unidades de estudo do tema tratado. Os objetivos, apresentados em cada incio de aula, indicam as competncias e habilidades que o estudante deve adquirir ao trmino de seu estudo. As aulas podem se constituir em apresentao, reflexes e indagaes tericas, em experimentos ou em orientaes para atividades a serem realizadas pelos estudantes.

    Para cada aula ou conjunto de aulas, foi elaborada uma autoavaliao com o objetivo de levar o estudante a avaliar o seu progresso e a desenvolver estratgias de metacognio ao se conscientizar dos diversos aspectos envolvidos em seus processos cognitivos. Essa autoavaliao auxiliar o estudante a tornar-se mais autnomo, responsvel, crtico, capaz de desenvolver sua independncia inte-lectual. Caso ela mostre que as competncias e habilidades indicadas nos objetivos no foram alcanadas, o aluno dever estudar com mais afinco e ateno o tema proposto, reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos tutores, professores especialistas e colegas.

    Agradecemos a todas as instituies que colaboraram na produo desta coletnea. Em particular, agradecemos s pessoas (autores, coordenador da produo grfica, coordenadores de redao, dese-nhistas, diagramadores, revisores) que dedicaram seu tempo, e esforo na preparao desta obra que, temos certeza, em muito contribuir para a educao brasileira.

    Maria do Carmo VilaCoordenadora do Centro de Apoio Educao a Distncia

    UFMG

  • Sumrio

    Apresentao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    Aula 1 - Retas, planos, cilindros e superfcies qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Equaes da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Equaes do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Superfcies qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Cnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2 Exemplos de superfcies qudricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

    Aula 2 - Funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 Domnio, imagem e grfico de uma funo de duas variveis . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Curvas de nvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    Aula 3 - Limite e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Algumas definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    Aula 4 - Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1 Reviso do conceito de derivada para funo de uma varivel . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Definio de derivadas parciais e as suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.3 A interpretao geomtrica das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.4 Derivadas parciais de ordens superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.5 Derivadas parciais de funes mais de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    Aula 5 - Diferenciabilidade de funes de vrias variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1 Reviso do conceito de diferenciabilidade para funo de uma varivel . . . . . 59 5.2 Diferenciabiliadade para funo de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5.3 O plano tangente e a reta normal superfcie que o grfico de z = f (x, y) . . . 61 5.4 Incrementos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.5 Diferenciabiliadade para funo de mais de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . 65

  • Aula 6 - A Regra da Cadeia e a derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.1 Reviso da Regra da Cadeia para funes de uma varivel . . . . . . . . . . . . . . 67 6.1.2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1.3 O caso em que z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6.1.4 O caso em que z = f (u, v), onde u = g(x, y) e v = h(x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.2 Derivao implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.3 Plano tangente superfcie F(x, y, z) = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.4 A derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 6.5 A interpretao geomtrica do gradiente de uma funo . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.6 O gradiente e curvas de nvel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    Aula 7 - Mximos e mnimos de funes de duas ou mais variveis . . . . . . . . . . . . 85 7.1 Algumas definies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.2 Aplicaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    Aula 8 - Mximos e mnimos com vnculos: multiplicadores de Lagrange . . . . . . . 97

    Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    Sobre o autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

  • Apresentao

    Este livro foi escrito para ser utilizado nos cursos de Educao a Distncia oferecidos pela UFMG para a licenciatura Matemtica.

    Tendo em vista que ele destinado a cursos a distncia, o texto possui caractersticas especficas para assim ser utilizado.

    Esta obra trata de funes de vrias variveis, portanto, nele, gene-ralizaremos vrios conceitos j estudados para funes de uma vari-vel (tais como limite, continuidade, diferenciabilidade, entre outros), introduzimos os conceitos de curvas de nvel, de derivadas parciais, de plano tangente a uma superfcie e de derivadas direcionais. Veremos como usar as derivadas parciais nos problemas de mximo e mnimo. Na Aula 1 estudamos retas, planos, cilindros e superfcies qudricas. Na Aula 2 introduzimos o conceito de funes de vrias variveis (domnio, imagem e grfico), bem como o conceito de curvas de nvel para funes de duas variveis.

    Na Aula 3 introduzimos os conceitos de limite e de continuidade para funes vrias variveis e vemos algumas consequncias da continui-dade de uma funo. Na Aula 4 introduzimos o conceito de derivadas parciais e falamos sobre as suas propriedades.

    Na Aula 5 abordamos os conceitos de diferenciabilidade e de diferen-cial de uma funo e de plano tangente a uma superfcie. Enfatizamos o fato, que o plano tangente nos permite aproximar localmente o valor da funo diferencivel por algo que linear.

    Na Aula 6 introduzimos a Regra da Cadeia e o conceito de derivada direcional. Damos o significado geomtrico do gradiente de uma funo de duas variveis e vemos a sua relao com as curvas de nvel da funo.

    Na Aula 7 analisamos os conceitos de mximos e mnimos locais e globais de uma funo, bem como o conceito de pontos crticos. Usamos as deri-vadas parciais para encontrar os pontos crticos de uma funo diferen-civel de duas variveis, bem como a caracterizao dos mesmos, por meio do Teste da Derivada Segunda. Descrevemos o procedimento para encontrarmos os valores mximos e mnimos globais de uma funo contnua definida num conjunto fechado e limitado.

    Na Aula 8 apresentamos o Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange.

    Finalmente, agradeo minha mestra, colega e amiga, Maria Cristina Costa Ferreira, que fez a reviso final do texto, ainda contribuindo com sugestes e correes.

  • AULA 1

    Retas, planos, cilindros e superfcies qudricas

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Compreender os conceitos de retas, planos, cilindros e superfcies qudricas. 2. Ser capaz de encontrar as equaes paramtricas de uma reta ou de um

    segmento de reta.3. Encontrar a equao de um plano. 4. Identificar e esboar cilindros e superfcies qudricas.

    1 .1 EqUAES DA REtA

    cap1 2009/10/19 20:13 page 1 #1

    Captulo 1

    Retas, planos, cilindricos esuperfcies qudricas

    O objetivo desta aula de introduzir os conceitos retas, planos, cilindrose superfcies qudricas. No final desta aula, o aluno dever ser capaz deencontrar as equaes paramtricas de uma reta ou de um segmento dereta, de encontrar a equao de um plano, de identificar e esboar cilindrose superfcies qudricas.

    1.1 Equaes da reta

    Dado um ponto Po(xo, yo, zo) e um vetor no nulo V = (a, b, c), a reta quepassa pelo ponto Po e paralela a V o conjunto de pontos P(x, y, z), taisque

    OP =

    OPo + tV, onde t um parmetro real. Isto nos leva s seguintes

    equaes paramtricas da reta:

    x = xo + at, y = yo + bt e z = zo + ct. (1.1)

    Se quisermos as equaes paramtricas da reta que passa por dois pontosdistintos Po(xo, yo, zo) e P1(x1, y1, z1), basta tomarmos

    V =

    PoP1 = (x1 xo, y1 yo, z1 zo)

    na equao (1.1).

    Exerccio 1.1 Encontre as equaes paramtricas da reta que passa pelos pontos (0, 0, 1) e (1,1, 2).

    Exerccio 1.2 Dados dois pontos distintos Po(xo, yo, zo) e P1(x1, y1, z1), verifique que as equaes

    x = xo(1 t) + x1t, y = yo(1 t)y+ y1t e z = zo(1 t) + z1t, (1.2)onde 0 t 1, descrevem os pontos do segmento de reta ligando Po a P1.

    1

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    clculo de vrias variveis

    cap1 2009/10/19 20:13 page 2 #2

    2CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    1.2 Equaes do plano

    A seguir obteremos a equao do plano que passa pelo ponto Po(xo, yo, zo)e tem N = (a, b, c) =0 como vetor normal.

    Figura 1.1: O plano que passa pelo ponto Po e tem N como vetor normal.

    Se P(x, y, z) for um ponto qualquer do plano, ento os vetoresPoP e N so

    ortogonais, portanto, o produto escalar deles deve ser zero, ou seja,

    PoP N = (x xo, y yo, z zo) (a, b, c)

    = ax+ by+ cz (axo + byo + czo) = 0,

    o que nos leva seguinte equao para o plano

    ax+ by+ cz = d, onde d = axo + byo + czo. (1.3)

    Tambm podemos determinar a equao do plano que passa por trs pon-tos no alinhados Po(xo, yo, zo), P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2). Basta obser-varmos que o vetor

    N PoP1 PoP2 perpendicular ao plano, ento, a partir dele e de um dos pontos dados,digamos Po, usamos (1.3) e obtemos a equao do plano. Ou seja, a equaodo plano dada pelo produto misto

    PoP (PoP1 PoP2) = det

    x xo y yo z zox1 xo y1 yo z1 zox2 xo y2 yo z2 zo

    = 0.

    Exerccio 1.3 Encontre a equao do plano que passa por (1, 1, 1) e tem como vetor normal o vetorN = (1, 2, 3).

    Exerccio 1.4 Encontre a equao do plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1).

    1 .2 EqUAES DO pLAnO

    Figura 1.1: O plano que passa por Po (xo, yo, zo) e tem como vetor normal.

    P

    N

    P0

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    2CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    1.2 Equaes do plano

    A seguir obteremos a equao do plano que passa pelo ponto Po(xo, yo, zo)e tem N = (a, b, c) =0 como vetor normal.

    Figura 1.1: O plano que passa pelo ponto Po e tem N como vetor normal.

    Se P(x, y, z) for um ponto qualquer do plano, ento os vetoresPoP e N so

    ortogonais, portanto, o produto escalar deles deve ser zero, ou seja,

    PoP N = (x xo, y yo, z zo) (a, b, c)

    = ax+ by+ cz (axo + byo + czo) = 0,

    o que nos leva seguinte equao para o plano

    ax+ by+ cz = d, onde d = axo + byo + czo. (1.3)

    Tambm podemos determinar a equao do plano que passa por trs pon-tos no alinhados Po(xo, yo, zo), P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2). Basta obser-varmos que o vetor

    N PoP1 PoP2 perpendicular ao plano, ento, a partir dele e de um dos pontos dados,digamos Po, usamos (1.3) e obtemos a equao do plano. Ou seja, a equaodo plano dada pelo produto misto

    PoP (PoP1 PoP2) = det

    x xo y yo z zox1 xo y1 yo z1 zox2 xo y2 yo z2 zo

    = 0.

    Exerccio 1.3 Encontre a equao do plano que passa por (1, 1, 1) e tem como vetor normal o vetorN = (1, 2, 3).

    Exerccio 1.4 Encontre a equao do plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1).

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    AulA 1

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    2CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    1.2 Equaes do plano

    A seguir obteremos a equao do plano que passa pelo ponto Po(xo, yo, zo)e tem N = (a, b, c) =0 como vetor normal.

    Figura 1.1: O plano que passa pelo ponto Po e tem N como vetor normal.

    Se P(x, y, z) for um ponto qualquer do plano, ento os vetoresPoP e N so

    ortogonais, portanto, o produto escalar deles deve ser zero, ou seja,

    PoP N = (x xo, y yo, z zo) (a, b, c)

    = ax+ by+ cz (axo + byo + czo) = 0,

    o que nos leva seguinte equao para o plano

    ax+ by+ cz = d, onde d = axo + byo + czo. (1.3)

    Tambm podemos determinar a equao do plano que passa por trs pon-tos no alinhados Po(xo, yo, zo), P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2). Basta obser-varmos que o vetor

    N PoP1 PoP2 perpendicular ao plano, ento, a partir dele e de um dos pontos dados,digamos Po, usamos (1.3) e obtemos a equao do plano. Ou seja, a equaodo plano dada pelo produto misto

    PoP (PoP1 PoP2) = det

    x xo y yo z zox1 xo y1 yo z1 zox2 xo y2 yo z2 zo

    = 0.

    Exerccio 1.3 Encontre a equao do plano que passa por (1, 1, 1) e tem como vetor normal o vetorN = (1, 2, 3).

    Exerccio 1.4 Encontre a equao do plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1).

    cap1 2009/10/19 20:13 page 3 #3

    1.3. CILINDROS 3

    1.3 Cilindros

    Definio 1.1 Um cilindro uma superfcie constituida de todas as retas(chamadas de geratrizes) que so paralelas a uma reta dada e que passampor uma curva plana C.

    Se uma das variveis x, y ou z estiver faltando na equao da superfcie,ela ser um cilindro. Neste caso, as geratrizes sero retas paralelas ao eixocorrespondente varivel que est faltando, como veremos no exemploabaixo.

    Exemplo 1.1 Esboce a superfcie z = x2.

    Soluo Note que para um valor de x fixo, para qualquer valor de y, oponto (x, y, x2) pertence superfcie. Portanto, ela um cilindro e as gera-trizes so retas paralelas ao eixo dos y. Como a coordenada z dos pontosacima satisfazem z = x2, a curva C a curva z = x2, no plano xz. Com issotemos o cilindro mostrado na Figura 1.2. Como a curva que d origem aele uma parbola, ele chamado de cilindro parablico.

    Figura 1.2: O grfico de z = x2.

    1.4 Superfcies qudricas

    A seguir introduziremos as superfcies qudricas, veja tambm [1], nas Re-ferncias.

    Definio 1.2 Uma superfcie qudrica dada por uma equao desegundo grau nas trs variveis x, y e z. A sua forma mais geral

    Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy+ Eyz+ Fxz+ Gx+ Hy+ Iz+ J = 0,

    onde A, B, . . . , J so constantes. Por meio de rotao e translao de eixos,essa equao pode ser colocada nas formas

    Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 + By2 + Iz = 0.

    1 .3 CILInDROS

    1 .4 SUpERFCIES qUDRICAS

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    1.3. CILINDROS 3

    1.3 Cilindros

    Definio 1.1 Um cilindro uma superfcie constituida de todas as retas(chamadas de geratrizes) que so paralelas a uma reta dada e que passampor uma curva plana C.

    Se uma das variveis x, y ou z estiver faltando na equao da superfcie,ela ser um cilindro. Neste caso, as geratrizes sero retas paralelas ao eixocorrespondente varivel que est faltando, como veremos no exemploabaixo.

    Exemplo 1.1 Esboce a superfcie z = x2.

    Soluo Note que para um valor de x fixo, para qualquer valor de y, oponto (x, y, x2) pertence superfcie. Portanto, ela um cilindro e as gera-trizes so retas paralelas ao eixo dos y. Como a coordenada z dos pontosacima satisfazem z = x2, a curva C a curva z = x2, no plano xz. Com issotemos o cilindro mostrado na Figura 1.2. Como a curva que d origem aele uma parbola, ele chamado de cilindro parablico.

    Figura 1.2: O grfico de z = x2.

    1.4 Superfcies qudricas

    A seguir introduziremos as superfcies qudricas, veja tambm [1], nas Re-ferncias.

    Definio 1.2 Uma superfcie qudrica dada por uma equao desegundo grau nas trs variveis x, y e z. A sua forma mais geral

    Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy+ Eyz+ Fxz+ Gx+ Hy+ Iz+ J = 0,

    onde A, B, . . . , J so constantes. Por meio de rotao e translao de eixos,essa equao pode ser colocada nas formas

    Ax2 + By2 + Cz2 + J = 0 ou Ax2 + By2 + Iz = 0.

    cap1 2009/10/19 20:13 page 2 #2

    2CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    1.2 Equaes do plano

    A seguir obteremos a equao do plano que passa pelo ponto Po(xo, yo, zo)e tem N = (a, b, c) =0 como vetor normal.

    Figura 1.1: O plano que passa pelo ponto Po e tem N como vetor normal.

    Se P(x, y, z) for um ponto qualquer do plano, ento os vetoresPoP e N so

    ortogonais, portanto, o produto escalar deles deve ser zero, ou seja,

    PoP N = (x xo, y yo, z zo) (a, b, c)

    = ax+ by+ cz (axo + byo + czo) = 0,

    o que nos leva seguinte equao para o plano

    ax+ by+ cz = d, onde d = axo + byo + czo. (1.3)

    Tambm podemos determinar a equao do plano que passa por trs pon-tos no alinhados Po(xo, yo, zo), P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2). Basta obser-varmos que o vetor

    N PoP1 PoP2 perpendicular ao plano, ento, a partir dele e de um dos pontos dados,digamos Po, usamos (1.3) e obtemos a equao do plano. Ou seja, a equaodo plano dada pelo produto misto

    PoP (PoP1 PoP2) = det

    x xo y yo z zox1 xo y1 yo z1 zox2 xo y2 yo z2 zo

    = 0.

    Exerccio 1.3 Encontre a equao do plano que passa por (1, 1, 1) e tem como vetor normal o vetorN = (1, 2, 3).

    Exerccio 1.4 Encontre a equao do plano que passa pelos pontos (0, 0, 0), (1, 1, 0) e (1, 1, 1).

    Figura 1.2: O grfico de z = x2.

    21

    0

    1

    2

    2

    1

    0

    1

    2

    0

    1

    2

    3

    4

  • 16

    clculo de vrias variveis

    cap1 2009/10/19 20:13 page 4 #4

    4CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Exemplo 1.2 A seguir falaremos um pouco sobre simetria por reflexo nassuperfcies qudricas, para isso consideraremos a superfcie esfrica

    x2 + y2 + z2 = 1.

    Note que se um ponto (xo, yo, zo) satisfizer a equao acima, ento o ponto(xo, yo,zo) tambm a satisfar, pois na equao a varivel z aparece aoquadrado e (z)2 = z2. Neste caso, dizemos que a equao invariante atroca de z por z. Por outro lado, os pontos (xo, yo, zo) e (xo, yo,zo) es-to relacionados por reflexo atravs do plano z = 0. Isto significa que,uma vez tendo esboado a superfcie para z 0 (hemisfrio superior), oesboo correspondente parte z 0 (hemisfrio inferior) pode ser obtidorefletindo atravs do plano z = 0, a poro da superfcie acima do planoz 0. No exemplo acima, como as variveis x e y tambm aparecem aoquadrado, valem as mesmas observaes que foram feitas para a varivelz. Isto significa que, uma vez esboado a superfcie para x, y e z no negati-vos, toda a superfcie pode ser obtida por reflexes sucessivas atravs dosplanos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Exerccio 1.5 Baseado na discusso do exemplo 1.2, discuta as simetrias por reflexo da superfciequdrica z = x2 y2.

    No esboo de superfcies em geral, til considerarmos a interseo dasmesmas com os planos paralelos aos planos coordenados. Tais curvas sochamadas de traos (ou seces transversais) da superfcie.

    A seguir veremos como usar as seces transversais nos esboos das super-fcies qudricas. Sem perda de generalidade, assumiremos valores parti-culares para os coeficientes que aparecem nas equaes dasmesmas. Comoas seces transversais das superfcies qudricas sero elipses, parbolasou hiperbles, a seguir faremos uma rpida reviso destas curvas.

    1.4.1 Cnicas

    As cnicas so curvas planas obtidas atravs das intersees de planos comum cone. Elas so dadas por equaes da seguinte forma:

    Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0,

    onde A, B, . . . , F so constantes.

    Temos as seguintes possibilidades: (i) se B2 > AC a cnica uma hiprbole;(ii) se B2 < AC a cnica uma elipse; e (iii) se B2 = AC a cnica umaparbola.

    Por meio de translaes e de rotaes de eixos, podemos colocar equaoda cnica numa das seguinte formas cannicas:

    (Parbola)x2 = 4py ou y2 = 4px,

    cujas diretrizes so as retas y = p e x = p, respectivamente.(Elipse)

    x2

    a2+

    y2

    b2= 1,

    cap1 2009/10/19 20:13 page 4 #4

    4CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Exemplo 1.2 A seguir falaremos um pouco sobre simetria por reflexo nassuperfcies qudricas, para isso consideraremos a superfcie esfrica

    x2 + y2 + z2 = 1.

    Note que se um ponto (xo, yo, zo) satisfizer a equao acima, ento o ponto(xo, yo,zo) tambm a satisfar, pois na equao a varivel z aparece aoquadrado e (z)2 = z2. Neste caso, dizemos que a equao invariante atroca de z por z. Por outro lado, os pontos (xo, yo, zo) e (xo, yo,zo) es-to relacionados por reflexo atravs do plano z = 0. Isto significa que,uma vez tendo esboado a superfcie para z 0 (hemisfrio superior), oesboo correspondente parte z 0 (hemisfrio inferior) pode ser obtidorefletindo atravs do plano z = 0, a poro da superfcie acima do planoz 0. No exemplo acima, como as variveis x e y tambm aparecem aoquadrado, valem as mesmas observaes que foram feitas para a varivelz. Isto significa que, uma vez esboado a superfcie para x, y e z no negati-vos, toda a superfcie pode ser obtida por reflexes sucessivas atravs dosplanos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Exerccio 1.5 Baseado na discusso do exemplo 1.2, discuta as simetrias por reflexo da superfciequdrica z = x2 y2.

    No esboo de superfcies em geral, til considerarmos a interseo dasmesmas com os planos paralelos aos planos coordenados. Tais curvas sochamadas de traos (ou seces transversais) da superfcie.

    A seguir veremos como usar as seces transversais nos esboos das super-fcies qudricas. Sem perda de generalidade, assumiremos valores parti-culares para os coeficientes que aparecem nas equaes dasmesmas. Comoas seces transversais das superfcies qudricas sero elipses, parbolasou hiperbles, a seguir faremos uma rpida reviso destas curvas.

    1.4.1 Cnicas

    As cnicas so curvas planas obtidas atravs das intersees de planos comum cone. Elas so dadas por equaes da seguinte forma:

    Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0,

    onde A, B, . . . , F so constantes.

    Temos as seguintes possibilidades: (i) se B2 > AC a cnica uma hiprbole;(ii) se B2 < AC a cnica uma elipse; e (iii) se B2 = AC a cnica umaparbola.

    Por meio de translaes e de rotaes de eixos, podemos colocar equaoda cnica numa das seguinte formas cannicas:

    (Parbola)x2 = 4py ou y2 = 4px,

    cujas diretrizes so as retas y = p e x = p, respectivamente.(Elipse)

    x2

    a2+

    y2

    b2= 1,

    1 .4 .1 Cnicas

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    AulA 1

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    4CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Exemplo 1.2 A seguir falaremos um pouco sobre simetria por reflexo nassuperfcies qudricas, para isso consideraremos a superfcie esfrica

    x2 + y2 + z2 = 1.

    Note que se um ponto (xo, yo, zo) satisfizer a equao acima, ento o ponto(xo, yo,zo) tambm a satisfar, pois na equao a varivel z aparece aoquadrado e (z)2 = z2. Neste caso, dizemos que a equao invariante atroca de z por z. Por outro lado, os pontos (xo, yo, zo) e (xo, yo,zo) es-to relacionados por reflexo atravs do plano z = 0. Isto significa que,uma vez tendo esboado a superfcie para z 0 (hemisfrio superior), oesboo correspondente parte z 0 (hemisfrio inferior) pode ser obtidorefletindo atravs do plano z = 0, a poro da superfcie acima do planoz 0. No exemplo acima, como as variveis x e y tambm aparecem aoquadrado, valem as mesmas observaes que foram feitas para a varivelz. Isto significa que, uma vez esboado a superfcie para x, y e z no negati-vos, toda a superfcie pode ser obtida por reflexes sucessivas atravs dosplanos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Exerccio 1.5 Baseado na discusso do exemplo 1.2, discuta as simetrias por reflexo da superfciequdrica z = x2 y2.

    No esboo de superfcies em geral, til considerarmos a interseo dasmesmas com os planos paralelos aos planos coordenados. Tais curvas sochamadas de traos (ou seces transversais) da superfcie.

    A seguir veremos como usar as seces transversais nos esboos das super-fcies qudricas. Sem perda de generalidade, assumiremos valores parti-culares para os coeficientes que aparecem nas equaes dasmesmas. Comoas seces transversais das superfcies qudricas sero elipses, parbolasou hiperbles, a seguir faremos uma rpida reviso destas curvas.

    1.4.1 Cnicas

    As cnicas so curvas planas obtidas atravs das intersees de planos comum cone. Elas so dadas por equaes da seguinte forma:

    Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0,

    onde A, B, . . . , F so constantes.

    Temos as seguintes possibilidades: (i) se B2 > AC a cnica uma hiprbole;(ii) se B2 < AC a cnica uma elipse; e (iii) se B2 = AC a cnica umaparbola.

    Por meio de translaes e de rotaes de eixos, podemos colocar equaoda cnica numa das seguinte formas cannicas:

    (Parbola)x2 = 4py ou y2 = 4px,

    cujas diretrizes so as retas y = p e x = p, respectivamente.(Elipse)

    x2

    a2+

    y2

    b2= 1,

    cap1 2009/10/19 20:13 page 5 #5

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 5

    as constantes a e b so os semieixos da elipse. Se a = b, a elipse degenera-sena circunferncia x2 + y2 = a2.

    (Hiprbole)x2

    a2 y

    2

    b2= 1 ou

    y2

    a2 x

    2

    b2= 1,

    no primeiro caso o eixo de simetria o eixo dos x e no segundo caso oeixo de simetria o eixo dos y. As assntotas das hiprboles so as retasy = ab x e x = ab y, respectivamente.

    Exerccio 1.6 Esboce as curvas cujas equaes so dadas abaixo:

    a) y = 4x2b) x = y2c) y = x2 5x+ 6d) x = 4y2 ye) x2 + y2 = 9

    f) 4x2 + 9y2 = 36

    g) 4x2 9y2 = 36h) y2 x2 = 1.

    Exerccio 1.7 Dada a superfcie x2

    4 +y29 + z

    2 = 1, identifique e esboce as curvas correspondentess seces transversais com os planos z = 0, z = 1/2, z = 1, x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2.

    Exerccio 1.8 Dada a superfcie z = 2x2 + y2, identifique e esboce as curvas correspondentes sseces transversais com os planos z = 0, z = 1, x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2.

    Exerccio 1.9 Dada a superfcie z = x2 y2, identifique e esboce as curvas correspondentes sseces transversais com os planos z = 0, z = 1, z = 1, z = 2, z = 2, x = 0, x = 1, y = 0 ey = 2.

    Exerccio 1.10 Dada a superfcie x2

    4 + y2 z24 = 1, identifique e esboce as curvas correspondentes

    s seces transversais com os planos z = 0, z = 1, z = 1, x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.

    Exerccio 1.11 Dada a superfcie x2 y24 + z2 = 1, identifique e esboce as curvas corresponden-tes s seces transversais com os planos z = 0, z = 1, z = 2, z = 2, x = 0, x = 1, y = 0 ey = 1.

    Exerccio 1.12 Dada a superfcie x2 + y2

    9 = z2, identifique e esboce as curvas correspondentes s

    seces transversais com os planos z = 0, z = 1, z = 1, x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1.

    cap1 2009/10/19 20:13 page 4 #4

    4CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Exemplo 1.2 A seguir falaremos um pouco sobre simetria por reflexo nassuperfcies qudricas, para isso consideraremos a superfcie esfrica

    x2 + y2 + z2 = 1.

    Note que se um ponto (xo, yo, zo) satisfizer a equao acima, ento o ponto(xo, yo,zo) tambm a satisfar, pois na equao a varivel z aparece aoquadrado e (z)2 = z2. Neste caso, dizemos que a equao invariante atroca de z por z. Por outro lado, os pontos (xo, yo, zo) e (xo, yo,zo) es-to relacionados por reflexo atravs do plano z = 0. Isto significa que,uma vez tendo esboado a superfcie para z 0 (hemisfrio superior), oesboo correspondente parte z 0 (hemisfrio inferior) pode ser obtidorefletindo atravs do plano z = 0, a poro da superfcie acima do planoz 0. No exemplo acima, como as variveis x e y tambm aparecem aoquadrado, valem as mesmas observaes que foram feitas para a varivelz. Isto significa que, uma vez esboado a superfcie para x, y e z no negati-vos, toda a superfcie pode ser obtida por reflexes sucessivas atravs dosplanos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Exerccio 1.5 Baseado na discusso do exemplo 1.2, discuta as simetrias por reflexo da superfciequdrica z = x2 y2.

    No esboo de superfcies em geral, til considerarmos a interseo dasmesmas com os planos paralelos aos planos coordenados. Tais curvas sochamadas de traos (ou seces transversais) da superfcie.

    A seguir veremos como usar as seces transversais nos esboos das super-fcies qudricas. Sem perda de generalidade, assumiremos valores parti-culares para os coeficientes que aparecem nas equaes dasmesmas. Comoas seces transversais das superfcies qudricas sero elipses, parbolasou hiperbles, a seguir faremos uma rpida reviso destas curvas.

    1.4.1 Cnicas

    As cnicas so curvas planas obtidas atravs das intersees de planos comum cone. Elas so dadas por equaes da seguinte forma:

    Ax2 + Bxy+ Cy2 + Dx+ Ey+ F = 0,

    onde A, B, . . . , F so constantes.

    Temos as seguintes possibilidades: (i) se B2 > AC a cnica uma hiprbole;(ii) se B2 < AC a cnica uma elipse; e (iii) se B2 = AC a cnica umaparbola.

    Por meio de translaes e de rotaes de eixos, podemos colocar equaoda cnica numa das seguinte formas cannicas:

    (Parbola)x2 = 4py ou y2 = 4px,

    cujas diretrizes so as retas y = p e x = p, respectivamente.(Elipse)

    x2

    a2+

    y2

    b2= 1,

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    clculo de vrias variveis

    cap1 2009/10/19 20:13 page 6 #6

    6CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    1.4.2 Exemplos de superfcies qudricas

    Exemplo 1.3 (Elipsoide) Esboce a superfcie dada pela equao

    x2

    4+

    y2

    9+ z2 = 1,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo Como na equao acima as variveis x, y e z aparecem ao qua-drado, a equao invariante s trocas de x por x, y por y e de z porz. Logo, a superfcie simtrica em relao aos planos x = 0, y = 0 ez = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2

    4+

    y2

    9= 1 z2o .

    Como o lado esquerdo da equao acima no negativo, devemos ter|zo| 1. Para zo = 1, a equao acima reduz-se ao ponto (0, 0), portanto,as seces correspondentes a zo = 1 e zo = 1 degeneram-se nos pontos(0, 0, 1) e (0, 0,1), respectivamente. Para |zo| < 1, a seco transversal aelipse

    x2

    (21 z2o)2

    +y2

    (31 z2o)2

    = 1,

    cujos semieixos so 21 z2o e 3

    1 z2o , portanto, seus valores mximos

    so 2 e 3, correspondendo a zo = 0.

    De maneira anloga, se fizermos x = xo e y = yo deveremos ter |xo| 2e |yo| 3, respectivamente. Teremos elipses se |xo| < 2 e |yo| < 3. Sexo = 2 ou xo = 2, as seces degeneram-se aos pontos (2, 0, 0) e (2, 0, 0),respectivamente. Se yo = 3 ou yo = 3, as seces degeneram-se nos pon-tos (0, 3, 0) e (0,3, 0), respectivamente.A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.3.

    Figura 1.3: A superfcie dada por x2

    4 +y29 + z

    2 = 1.

    1 .4 .2 Exemplos de superfcies qudricas

    Figura 1.3: A superfcie dada por .

    21

    01

    21.00.5

    0.00.5

    1.0

    2

    0

    2

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    AulA 1

    Figura 1.4: A superfcie dada por 2 22 .= +z x y

    cap1 2009/10/19 20:13 page 7 #7

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 7

    A equao mais geral de um elipsoide dada por x2

    a2 +y2

    b2 +z2c2 = 1. As

    constantes a, b e c so chamadas de semieixos do elipsoide. Se a = b = c oelipsoide degenera-se numa superfcie esfrica.

    Exemplo 1.4 (Paraboloide elptico) Esboce a superfcie dada pela equao

    z = 2x2 + y2,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo Note que a equao acima fica invariante ao trocarmos x por xou y por y, logo, o seu grfico ser simtrico em relao aos planos x = 0e y = 0, respectivamente.

    A seco transversal da superfcie pelo plano z = zo

    2x2 + y2 = zo,

    como o lado esquerdo da equao acima no negativo, devemos tomarzo 0. Para zo = 0, a seco se degenera no ponto (0, 0, 0) e para os demaisvalores de zo, temos as elipses

    x2

    (zo/2)2

    +y2

    (zo)2

    = 1.

    Se fizermos x = xo ou y = yo, as seces transversais sero, respectiva-mente, as parbolas

    z = y2 + 2x2o ,

    ouz = 2x2 + y2o .

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.4.

    Figura 1.4: A superfcie dada por z = 2x2 + y2.

    21

    0

    1

    2

    2

    0

    2

    0

    1

    2

    3

    4

  • 20

    clculo de vrias variveis

    cap1 2009/10/19 20:13 page 8 #8

    8CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    A equao mais geral de um paraboloide elptico tendo z como eixo de

    simetria dada por zc =x2a2 +

    y2

    b2 . Nesta expresso podemos trocar o z pelox ou o z pelo y e teremos paraboloides elpticos tambm, por exemplo,x = 2x2 + 3z2 ou y = x2 + z2.

    Exemplo 1.5 (Paraboloide hiperblico) Esboce a superfcie dada pelaequao

    z = x2 y2,a partir das suas seces transversais.

    Soluo Note que a equao acima fica invariante ao trocarmos x por xou y por y, logo, a superfcie ser simtrica em relao aos planos x = 0e y = 0, respectivamente.

    As seces da superfcie pelo plano z = zo so

    x2 y2 = zo.Portanto, se zo = 0, temos as retas y = x e y = x. Para valores de zo > 0,temos as hiprboles

    x2

    (zo)2

    y2

    (zo)2

    = 1,

    e para zo < 0, temos as hiprboles

    y2

    (|zo|)2 x

    2

    (|zo|)2 = 1.

    As assntotas das hiprboles so as retas y = x e y = x. Os eixos desimetrias das hiprboles sero o eixo dos x, se zo > 0 ou o eixo dos y, sezo < 0. Os vrtices das hiprboles se afastam da origem medida que |zo|aumenta.

    Se fizermos x = xo, temos a parbola

    z = y2 + x2o ,cujo vrtice se encontra sobre o semieixo z positivo e se afasta da origem medida que |xo| aumenta.De maneira anloga, se fizermos y = yo, temos a parbola

    z = x2 y2o ,cujo vrtice se encontra sobre o semieixo z negativo e se afasta da origem medida que |yo| aumenta.A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.5, a qual tem a forma de uma sela.

    A equaomais geral de umparaboloide hiperblico como o descrito acima

    dada por zc =x2a2

    y2

    b2 . Tambm podemos trocar z por x ou z por y nestaexpresso que ainda teremos um paraboloide hiperblico. Por exemplo,podemos ter x = y2 z2 ou y = z2 x2.

  • 21

    AulA 1

    cap1 2009/10/19 20:13 page 9 #9

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 9

    Figura 1.5: A superfcie dada pela equao z = x2 y2.

    Exemplo 1.6 (Hiperboloide de uma folha) Esboce a superfcie dada pelaequao

    x2

    4+ y2 z

    2

    4= 1,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, a superfcie simtrica em relao aos planos x = 0,y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos as elipses

    x2

    (4+ z2o)2

    +y2

    (4+ z2o/2)2

    = 1.

    Se fizermos x = xo, teremos

    y2 z2

    4= 1 x

    2o4.

    Portanto, se xo = 2, teremos as retas z = 2y e z = 2y. Se |xo| < 2,teremos a hiprbole

    y2

    (4 x2o/2)2

    z2

    (4 x2o)2

    = 1

    e se |xo| > 2, teremos a hiprbole

    z2

    (

    x2o 4)2 y

    2

    (

    x2o 4/2)2= 1.

    Figura 1.5: A superfcie dada pela equao 2 2.= z x y

    21

    01

    2

    2

    1

    0

    1

    2

    4

    2

    0

    2

    4

  • 22

    clculo de vrias variveis

    cap1 2009/10/19 20:13 page 10 #10

    10CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    De maneira anloga, se fizermos y = yo, teremos

    x2

    4 z

    2

    4= 1 y2o ,

    portanto, se |yo| = 1, teremos as retas z = x e z = x. Se |yo| < 1, teremosa hiprbole

    x2

    (21 y2o)2

    z2

    (21 y2o)2

    = 1,

    e se |yo| > 1, teremos a hiprbole

    z2

    (2

    y2o 1)2 x

    2

    (2

    y2o 1)2= 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.6.

    Figura 1.6: A superfcie dada pela equao x2

    4 + y2 z24 = 1.

    A equao mais geral de um hiperboloide de uma folha como o descrito

    acima dada por x2

    a2 +y2

    b2 z2

    c2 = 1. Tambm podemos trocar z por x ou zpor y nesta expresso que ainda teremos um hiperboloide de uma folha.

    Exemplo 1.7 (Hiperboloide de duas folhas) Esboce a superfcie dada pelaequao

    x2 y2

    4+ z2 = 1,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, a superfcie simtrica em relao aos planos x = 0,y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2 +y2

    4= z2o 1.

    cap1 2009/10/19 20:13 page 11 #11

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 11

    Como o lado esquerdo da equao acima no negativo, devemos tomar|zo| 1. Se zo = 1 e zo = 1, as seces degeneram-se nos pontos (0, 0, 1)e (0, 0,1), respectivamente. Para |zo| > 1, teremos as elipses

    x2

    (

    z2o 1)2+

    y2

    (2

    z2o 1)2= 1.

    Se fizermos x = xo, teremos as hiprboles

    z2

    (1+ x2o)2

    y2

    (21+ x2o)2

    = 1.

    Se fizermos y = yo, teremos as hiprboles

    z2

    (4+ y2o/2)2

    x2

    (4+ y2o/2)2

    = 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.7.

    Figura 1.7: A superfcie dada pela equao x2 y24 + z2 = 1.

    A equao mais geral de um hiperboloide de duas folhas como o descrito

    acima dada por x2a2 y2

    b2 +z2c2 = 1. Tambm podemos trocar z por x ou z

    por y nesta expresso que ainda teremos um hiperboloide de duas folhas,por exemplo, z2 y2 + x2 = 1 e x2 z2 + y2 = 1.

    Exemplo 1.8 (Cone elptico) Esboce a superfcie dada pela equao

    x2 +y2

    9= z2,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, ela simtrica em relao aos planos x = 0, y = 0 ez = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2 +y2

    9= z2o .

    Figura 1.6: A superfcie dada pela equao x y z2

    2

    2

    4 41+ = .

    2

    0

    2

    2

    0

    2

    2

    1

    0

    1

    2

    cap1 2009/10/19 20:13 page 10 #10

    10CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    De maneira anloga, se fizermos y = yo, teremos

    x2

    4 z

    2

    4= 1 y2o ,

    portanto, se |yo| = 1, teremos as retas z = x e z = x. Se |yo| < 1, teremosa hiprbole

    x2

    (21 y2o)2

    z2

    (21 y2o)2

    = 1,

    e se |yo| > 1, teremos a hiprbole

    z2

    (2

    y2o 1)2 x

    2

    (2

    y2o 1)2= 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.6.

    Figura 1.6: A superfcie dada pela equao x2

    4 + y2 z24 = 1.

    A equao mais geral de um hiperboloide de uma folha como o descrito

    acima dada por x2

    a2 +y2

    b2 z2

    c2 = 1. Tambm podemos trocar z por x ou zpor y nesta expresso que ainda teremos um hiperboloide de uma folha.

    Exemplo 1.7 (Hiperboloide de duas folhas) Esboce a superfcie dada pelaequao

    x2 y2

    4+ z2 = 1,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, a superfcie simtrica em relao aos planos x = 0,y = 0 e z = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2 +y2

    4= z2o 1.

    cap1 2009/10/19 20:13 page 11 #11

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 11

    Como o lado esquerdo da equao acima no negativo, devemos tomar|zo| 1. Se zo = 1 e zo = 1, as seces degeneram-se nos pontos (0, 0, 1)e (0, 0,1), respectivamente. Para |zo| > 1, teremos as elipses

    x2

    (

    z2o 1)2+

    y2

    (2

    z2o 1)2= 1.

    Se fizermos x = xo, teremos as hiprboles

    z2

    (1+ x2o)2

    y2

    (21+ x2o)2

    = 1.

    Se fizermos y = yo, teremos as hiprboles

    z2

    (4+ y2o/2)2

    x2

    (4+ y2o/2)2

    = 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.7.

    Figura 1.7: A superfcie dada pela equao x2 y24 + z2 = 1.

    A equao mais geral de um hiperboloide de duas folhas como o descrito

    acima dada por x2a2 y2

    b2 +z2c2 = 1. Tambm podemos trocar z por x ou z

    por y nesta expresso que ainda teremos um hiperboloide de duas folhas,por exemplo, z2 y2 + x2 = 1 e x2 z2 + y2 = 1.

    Exemplo 1.8 (Cone elptico) Esboce a superfcie dada pela equao

    x2 +y2

    9= z2,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, ela simtrica em relao aos planos x = 0, y = 0 ez = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2 +y2

    9= z2o .

  • 23

    AulA 1

    cap1 2009/10/19 20:13 page 11 #11

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 11

    Como o lado esquerdo da equao acima no negativo, devemos tomar|zo| 1. Se zo = 1 e zo = 1, as seces degeneram-se nos pontos (0, 0, 1)e (0, 0,1), respectivamente. Para |zo| > 1, teremos as elipses

    x2

    (

    z2o 1)2+

    y2

    (2

    z2o 1)2= 1.

    Se fizermos x = xo, teremos as hiprboles

    z2

    (1+ x2o)2

    y2

    (21+ x2o)2

    = 1.

    Se fizermos y = yo, teremos as hiprboles

    z2

    (4+ y2o/2)2

    x2

    (4+ y2o/2)2

    = 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.7.

    Figura 1.7: A superfcie dada pela equao x2 y24 + z2 = 1.

    A equao mais geral de um hiperboloide de duas folhas como o descrito

    acima dada por x2a2 y2

    b2 +z2c2 = 1. Tambm podemos trocar z por x ou z

    por y nesta expresso que ainda teremos um hiperboloide de duas folhas,por exemplo, z2 y2 + x2 = 1 e x2 z2 + y2 = 1.

    Exemplo 1.8 (Cone elptico) Esboce a superfcie dada pela equao

    x2 +y2

    9= z2,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, ela simtrica em relao aos planos x = 0, y = 0 ez = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2 +y2

    9= z2o .

    Figura 1.7: A superfcie dada pela equao 2

    2 2 14

    + =yx z .

    2 1 0 1 2

    42

    02

    4

    2

    1

    0

    1

    2

    cap1 2009/10/19 20:13 page 11 #11

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 11

    Como o lado esquerdo da equao acima no negativo, devemos tomar|zo| 1. Se zo = 1 e zo = 1, as seces degeneram-se nos pontos (0, 0, 1)e (0, 0,1), respectivamente. Para |zo| > 1, teremos as elipses

    x2

    (

    z2o 1)2+

    y2

    (2

    z2o 1)2= 1.

    Se fizermos x = xo, teremos as hiprboles

    z2

    (1+ x2o)2

    y2

    (21+ x2o)2

    = 1.

    Se fizermos y = yo, teremos as hiprboles

    z2

    (4+ y2o/2)2

    x2

    (4+ y2o/2)2

    = 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.7.

    Figura 1.7: A superfcie dada pela equao x2 y24 + z2 = 1.

    A equao mais geral de um hiperboloide de duas folhas como o descrito

    acima dada por x2a2 y2

    b2 +z2c2 = 1. Tambm podemos trocar z por x ou z

    por y nesta expresso que ainda teremos um hiperboloide de duas folhas,por exemplo, z2 y2 + x2 = 1 e x2 z2 + y2 = 1.

    Exemplo 1.8 (Cone elptico) Esboce a superfcie dada pela equao

    x2 +y2

    9= z2,

    a partir das suas seces transversais.

    Soluo A equao acima fica invariante ao trocarmos x por x, ou y pory ou z por z, logo, ela simtrica em relao aos planos x = 0, y = 0 ez = 0, respectivamente.

    Se fizermos z = zo, teremos

    x2 +y2

    9= z2o .

  • 24

    clculo de vrias variveis

    Figura 1.8: A superfcie dada pela equao x y z22

    2

    9+ = .

    cap1 2009/10/19 20:13 page 12 #12

    12CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Portanto, se zo = 0, a seco degenera-se no ponto (0, 0, 0). Para zo = 0,temos as elipses

    x2

    (|zo|)2 + y

    2

    (3|zo|)2 = 1.

    Se fizermos x = xo, teremos

    z2 y2

    9= x2o .

    Portanto, se xo = 0, teremos as retas z = y/3 e z = y/3. Para xo = 0,teremos as hiprboles

    z2

    (|xo|)2 y

    2

    (3|xo|)2 = 1.

    Se fizermos y = yo, teremos

    z2 x2 = y2o9.

    Portanto, se yo = 0, teremos as retas z = x e z = x. Para yo = 0, teremosas hiprboles

    z2

    (|yo|/3)2 x2

    (|yo|/3)2 = 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.8.

    Figura 1.8: A superfcie dada pela equao x2 + y2

    9 = z2.

    A equao mais geral de um cone com duas folhas como o descrito acima

    dada por z2

    c2 =x2a2 +

    y2

    b2 . Tambm podemos trocar z por x ou z por y nestaexpresso que ainda teremos um cone com duas duas folhas.

    Exemplo 1.9 Dada a curva y = f (x) no plano z = 0, onde a inversax = f1(y) existe, determine uma equao para a superfcie gerada, pelarotao desta curva em torno do eixo y.

    Soluo Como a superfcie solicitada uma superfcie de revoluo obtidaao girarmos y = f (x) em torno do eixo y, as suas seces transversais comos planos y = yo so as circunferncias

    x2 + z2 = r2,

    5

    2 1 0 1 2

    0

    5

    2

    1

    0

    1

    2

    cap1 2009/10/19 20:13 page 12 #12

    12CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Portanto, se zo = 0, a seco degenera-se no ponto (0, 0, 0). Para zo = 0,temos as elipses

    x2

    (|zo|)2 + y

    2

    (3|zo|)2 = 1.

    Se fizermos x = xo, teremos

    z2 y2

    9= x2o .

    Portanto, se xo = 0, teremos as retas z = y/3 e z = y/3. Para xo = 0,teremos as hiprboles

    z2

    (|xo|)2 y

    2

    (3|xo|)2 = 1.

    Se fizermos y = yo, teremos

    z2 x2 = y2o9.

    Portanto, se yo = 0, teremos as retas z = x e z = x. Para yo = 0, teremosas hiprboles

    z2

    (|yo|/3)2 x2

    (|yo|/3)2 = 1.

    A partir das seces transversais obtidas acima, temos a superfcie mos-trada na Figura 1.8.

    Figura 1.8: A superfcie dada pela equao x2 + y2

    9 = z2.

    A equao mais geral de um cone com duas folhas como o descrito acima

    dada por z2

    c2 =x2a2 +

    y2

    b2 . Tambm podemos trocar z por x ou z por y nestaexpresso que ainda teremos um cone com duas duas folhas.

    Exemplo 1.9 Dada a curva y = f (x) no plano z = 0, onde a inversax = f1(y) existe, determine uma equao para a superfcie gerada, pelarotao desta curva em torno do eixo y.

    Soluo Como a superfcie solicitada uma superfcie de revoluo obtidaao girarmos y = f (x) em torno do eixo y, as suas seces transversais comos planos y = yo so as circunferncias

    x2 + z2 = r2,

  • 25

    AulA 1

    cap1 2009/10/19 20:13 page 13 #13

    1.4. SUPERFCIES QUDRICAS 13

    onde r = r(yo). Para calcularmos r(yo), podemos tomar o ponto destacircunferncia que est no plano z = 0 e sobre a curva y = f (x). Logo,x = f1(yo) e r = |x|, donde concluimos que r = | f1(yo)|. Logo, a secotransversal da superfcie pelo plano y = yo

    x2 + z2 =(f1(yo)

    )2.

    Por outro lado, dada a equao de uma superfcie, a sua seco transversalcom y = yo obtida fazendo-se y = yo na equao da mesma. Portanto,uma equao da superfcie

    x2 + z2 =(f1(y)

    )2.

    Exemplo 1.10 Encontre a equao da superfcie que descreve o lugargeomtrico dos pontos (x, y, z) que so equidistantes de Po(1, 0, 0) e doplano x = 1.

    Soluo Se um ponto P(x, y, z) est na superfcie, ento a distncia de P aPo deve ser igual a distncia de P ao plano x = 1. Por outro lado,

    dist(P, Po) =(x+ 1)2 + y2 + z2

    e a distncia de P ao plano x = 1 a distncia de P(x, y, z) ao ponto doplano x = 1 mais prximo de P, o qual Q(1, y, z). Portanto,

    dist(P,Q) =(x 1)2.

    Portanto, devemos ter

    dist(P, Po) =(x+ 1)2 + y2 + z2 =

    (x 1)2 = dist(P,Q).

    Tomando o quadrado desta equao, temos

    (x+ 1)2 + y2 + z2 = (x 1)2.Aps simplificao, encontramos

    x = y2 + z2

    4,

    que o paraboloide de revoluo, obtido girando-se a curva x = y2/4,z = 0, em torno do eixo x. Sugerimos que o aluno esboce esta superfcie.

    Exerccio 1.13 Esboce o grfico das superfcies dadas pelas equaes abaixo:

    a) z =

    x2 + y2

    b) z =

    1 x2 y2c) y2 + 9z2 = 9

    d) z = 1 x2e) x y2 = 1f) yz = 1

    g) z = cos y.

  • 26

    clculo de vrias variveis

    cap1 2009/10/19 20:13 page 14 #14

    14CAPTULO 1. RETAS, PLANOS, CILINDRICOS E SUPERFCIESQUDRICAS

    Exerccio 1.14 Para cada uma das equaes abaixo, identifique e esboce a superfcie associada.

    a) z2 = 2x2 + 4y2 + 36

    b) x2 = y2 + 4z2

    c) 4x 2y2 + 4z2 = 0d) 4x2 + y2 + 4z2 4y 24z+ 36 = 0e) x2 y2 + z2 2x+ 2y+ 4z+ 2 = 0f) z2 = 4x2 + y2 + 8x 2y+ 4z.

    Exerccio 1.15 Esboce a regio delimitada pelas superfcies z = x2 + y2 e z = 4 x2 y2.

    Exerccio 1.16 Dados uma curva e um eixo, determine a equao de superfcie obtida girando acurva dada em torno do eixo dado.

    a) y = 4x2, (z = 0), em torno do eixo y

    b) y = 2x, (z = 0), em torno do eixo y.

    Exerccio 1.17 Determine a equao da superfcie consistindo de todos os pontos (x, y, z) que soequidistantes do ponto (0, 0, 1) e do plano z = 2. Identifique a superfcie.

  • AULA 2

    Funes de vrias variveis

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Determinar o domnio de uma funo de vrias variveis.2. Descrever e esboar as curvas de nvel de uma funo de duas varives.3. Fazer o esboo de uma superfcie a partir das suas curvas de nvel.

    2 .1 DOMnIO, IMAgEM E gRFICO DE

    UMA FUnO DE DUAS VARIVEIS

    cap2 2009/10/15 22:27 page 3 #3

    Captulo 2

    Funes de vrias variveis

    O objetivo desta aula introduzir os conceitos de funes de vrias vari-veis e de curvas de nvel de funes de duas variveis. No final desta aula,o aluno dever ser capaz de:

    1. Determinar o domnio de uma funo de vrias variveis.

    2. Descrever e esboar as curvas de nvel de uma funo de duas vari-ves.

    3. Fazer o esboo de uma superfcie a partir das suas curvas de nvel.

    2.1 Domnio, imagem e grfico de uma funo deduas variveis

    No curso de Clculo I, foram introduzidos os conceitos de domnio, ima-gem e grfico de uma funo de uma varivel. Nesta seo estenderemostais conceitos para funes de vrias variveis.

    No caso de uma funo de uma varivel, o seu grfico uma curva noplano, j os grficos de funes de duas variveis sero superfcies noespao.

    Definio 2.1 Uma funo f de duas variveis uma regra que associa acada par ordenado de nmeros reais (x, y) de um subconjunto D do R2,um nico nmero real denotado por f (x, y). O conjunto D o domniode f e a sua imagem o conjunto dos valores possveis de f (x, y), ou seja,{ f (x, y) : (x, y) D}. O grfico de f o conjunto de pontos do R3 dadopor {(x, y, f (x, y)) : (x, y) D} e ele representa uma superfcie no espao.Se f for dada por uma frmula e seu domnio no for especificado, estarimplicito que ele o conjunto de todos os (x, y) para os quais a regra estbem definida, no sentido que ela nos d um nmero real.

    As definies acima se estendem de maneira natural para uma funo demais de duas variveis.

    3

  • 28

    clculo de vrias variveis

    cap2 2009/10/15 22:27 page 4 #4

    4 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Exemplo 2.1 Encontre o domnio da funo f (x, y) =

    x+ y.

    Soluo Como a funo raiz quadrada s est definida para nmeros reaisno negativos devemos ter x+ y 0, o que geometricamente a regio doplano xy que est acima da reta y = x, incluindo a prpria reta.

    Exemplo 2.2 Encontre o domnio da funo f (x, y) = ln(9 x2 9y2).

    Soluo Como a funo logaritmo s est definida para nmeros reaispositivos, devemos ter 9 x2 9y2 > 0, o que geometricamente repre-senta a regio do plano xy interior elipse x

    2

    32 + y2 = 1.

    Exemplo 2.3 Encontre o domnio da funo

    f (x, y) =

    x2 + y2 1+ ln(4 x2 y2).

    Soluo Como a funo f a soma das funesx2 + y2 1 e ln(4 x2 y2),

    o seu domnio ser a interseo dos domnios das mesmas, ou seja, temosque tomar (x, y) de modo que eles satisfaam simultaneamente as seguin-tes desigualdades:

    x2 + y2 1 0 e 4 x2 y2 > 0,ou seja, 1 x2 + y2 < 22, o que geometricamente a regio do plano xyentre os circulos centrados na origem e de raios 1 e 2, incluindo os pontosdo crculo de raio 1 e excluindo-se os pontos do crculo de raio 2.

    Exemplo 2.4 Encontre o domnio da funo f (x, y) =

    yx2ln(x2+y24) .

    Soluo Como f o quociente das funes

    y x2 e ln(x2 + y2 4),devemos tomar a interseo dos domnios destas e excluir os pontos ondeo denominador se anula. Ou seja, queremos que

    y x2 0, x2 + y2 4 > 0 e x2 + y2 4 = 1,ou seja,

    y x2, x2 + y2 > 4 e x2 + y2 = 5,o que geometricamente a regio do plano que est acima da parbolay = x2 e exterior ao crculo x2 + y2 = 4, da qual tiramos os pontos queesto no crculo x2 + y2 = 5.

    Exerccio 2.1 Determine e esboce os domnios das funes dadas.

    a) f (x, y) = 1x +1y b) f (x, y) =

    xy c) f (x, y) = 1

    x2+y2

    d) f (x, y) = 1ex+ey e) f (x, y) =

    y x ln(x+ y) f) f (x, y) = x+y

    g) f (x, y) =1 x ex/y h) f (x, y) = ln(xy) i) f (x, y) = 1xy2 .

  • 29

    AulA 2

    cap2 2009/10/15 22:27 page 4 #4

    4 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Exemplo 2.1 Encontre o domnio da funo f (x, y) =

    x+ y.

    Soluo Como a funo raiz quadrada s est definida para nmeros reaisno negativos devemos ter x+ y 0, o que geometricamente a regio doplano xy que est acima da reta y = x, incluindo a prpria reta.

    Exemplo 2.2 Encontre o domnio da funo f (x, y) = ln(9 x2 9y2).

    Soluo Como a funo logaritmo s est definida para nmeros reaispositivos, devemos ter 9 x2 9y2 > 0, o que geometricamente repre-senta a regio do plano xy interior elipse x

    2

    32 + y2 = 1.

    Exemplo 2.3 Encontre o domnio da funo

    f (x, y) =

    x2 + y2 1+ ln(4 x2 y2).

    Soluo Como a funo f a soma das funesx2 + y2 1 e ln(4 x2 y2),

    o seu domnio ser a interseo dos domnios das mesmas, ou seja, temosque tomar (x, y) de modo que eles satisfaam simultaneamente as seguin-tes desigualdades:

    x2 + y2 1 0 e 4 x2 y2 > 0,ou seja, 1 x2 + y2 < 22, o que geometricamente a regio do plano xyentre os circulos centrados na origem e de raios 1 e 2, incluindo os pontosdo crculo de raio 1 e excluindo-se os pontos do crculo de raio 2.

    Exemplo 2.4 Encontre o domnio da funo f (x, y) =

    yx2ln(x2+y24) .

    Soluo Como f o quociente das funes

    y x2 e ln(x2 + y2 4),devemos tomar a interseo dos domnios destas e excluir os pontos ondeo denominador se anula. Ou seja, queremos que

    y x2 0, x2 + y2 4 > 0 e x2 + y2 4 = 1,ou seja,

    y x2, x2 + y2 > 4 e x2 + y2 = 5,o que geometricamente a regio do plano que est acima da parbolay = x2 e exterior ao crculo x2 + y2 = 4, da qual tiramos os pontos queesto no crculo x2 + y2 = 5.

    Exerccio 2.1 Determine e esboce os domnios das funes dadas.

    a) f (x, y) = 1x +1y b) f (x, y) =

    xy c) f (x, y) = 1

    x2+y2

    d) f (x, y) = 1ex+ey e) f (x, y) =

    y x ln(x+ y) f) f (x, y) = x+y

    g) f (x, y) =1 x ex/y h) f (x, y) = ln(xy) i) f (x, y) = 1xy2 .

    cap2 2009/10/15 22:27 page 5 #5

    2.2. CURVAS DE NVEL 5

    2.2 Curvas de nvel

    Grficos nos fornecem uma maneira de visualizarmos funes de duasvariveis. Uma outra maneira de visualizarmos tais funes desenharas suas curvas de nvel, as quais sero definidas abaixo.

    Definio 2.2 Seja f (x, y) uma funo de duas variveis e k um nmeroreal. O conjunto dos pontos (x, y) no domnio de f para os quais f (x, y) =k chamado de uma curva de nvel de f . Ela contm os pontos do domniode f para os quais o grfico de f tem altura k. Ao esboarmos a curva denvel no plano xy, devemos associar a ela o seu correspondente valor de k.

    Exemplo 2.5 As curvas de nvel da funo f (x, y) = x2 + y2, so as curvasx2 + y2 = k, onde k 0. Devemos ter k 0, pois x2 + y2 0. As curvasde nveis so circunferncias concntricas na origem de raios

    k. Quando

    k = 0, a curva de nvel degenera-se no ponto (0, 0). Sugerimos que o alunoleitor esboce as curvas de nveis para k = 0, k = 1, k = 2 e k = 3.

    Ao tomarmos as seces do grfico de f (x, y) pelo plano z = k, fatiamos ogrfico de f (x, y) em curvas, cujas projees no plano xy nos do as curvasde nvel de f . A partir destas podemos fazer o processo inverso, ou seja,podemos esboar o grfico de f . Isto feito da seguinte maneira: para cadak elevamos a curva de nvel f (x, y) = k at o plano z = k, obtendo assim oque denominamos trao horizontal do grfico de f no plano z = k. O gr-fico de f (x, y) a unio de todos os traos assim obtidos. Tambm a partirdas curvas de nveis de uma funo, podemos estimar os seus valores.

    Exerccio 2.2 A partir das curvas de nvel obtidas no Exemplo 2.5, esboce o grfico da superfciez = x2 + y2.

    Em cartografia, uma curva de nvel, normalmente chamada de contorno,une pontos de mesma elevao (altura), relativamente ao nvel do mar. Sea funo f (x, y) for a temperatura, ento as curvas de nvel ligaro pontosque tm a mesma temperatura e elas so chamadas de isotrmicas.

    Exemplo 2.6 Seja f (x, y) = 2x+ 3y+ 3, ento as suas curvas de nvel soas retas

    2x+ 3y+ 3 = k,

    as quais tm coeficientes angulares iguais a 2/3. Nas Figuras 2.1 e 2.2mostramos as curvas de nvel de f (x, y) e o esboo do seu grfico a partirdas mesmas.

    2 .2 CURVAS DE nVEL

  • 30

    clculo de vrias variveis

    cap2 2009/10/15 22:27 page 6 #6

    6 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Figura 2.1: As curvas de nvel de f (x, y) = 2x+ 3y+ 3.

    Figura 2.2: O grfico de f (x, y) = 2x+ 3y+ 3

    Exemplo 2.7 Seja f (x, y) = 2x2 + y2, ento as curvas de nvel de f (x, y)so dadas por

    2x2 + y2 = k,

    onde k 0. Para k = 0, a curva de nvel degenera ao ponto (0, 0), enquantoque para valores positivos de k temos as elipses

    x2

    (

    k/2)2+

    y2

    (

    k)2= 1.

    Na Figura 2.3 mostramos as curvas de nvel de 2x2 + y2 e na Figura 2.4mostramos o esboo do seu grfico a partir das mesmas.

    Figura 2.3: As curvas de nvel de f (x, y) = 2x2 + y2.

    Figura 2.4: O grfico de f (x, y) = 2x2 + y2.

    Figura 2.1: As curvas de nvel de ( , ) 2 3 3.= + +f x y x y

    Figura 2.3: As curvas de nvel de 2 2( , ) 2 .= +f x y x y

    Figura 2.2: O grfico de ( , ) 2 3 3.= + +f x y x y

    Figura 2.4: O grfico de 2 2( , ) 2 .= +f x y x y

    6

    4

    2

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    2 1 0 1 22

    1

    0

    1

    2

    2

    1

    0

    1

    2 2

    1

    0

    1

    2

    5

    0

    5

    10

    21

    0

    1

    2

    2

    0

    2

    0

    1

    2

    3

    4

  • 31

    AulA 2

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    6 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Figura 2.1: As curvas de nvel de f (x, y) = 2x+ 3y+ 3.

    Figura 2.2: O grfico de f (x, y) = 2x+ 3y+ 3

    Exemplo 2.7 Seja f (x, y) = 2x2 + y2, ento as curvas de nvel de f (x, y)so dadas por

    2x2 + y2 = k,

    onde k 0. Para k = 0, a curva de nvel degenera ao ponto (0, 0), enquantoque para valores positivos de k temos as elipses

    x2

    (

    k/2)2+

    y2

    (

    k)2= 1.

    Na Figura 2.3 mostramos as curvas de nvel de 2x2 + y2 e na Figura 2.4mostramos o esboo do seu grfico a partir das mesmas.

    Figura 2.3: As curvas de nvel de f (x, y) = 2x2 + y2.

    Figura 2.4: O grfico de f (x, y) = 2x2 + y2.

    cap2 2009/10/15 22:27 page 7 #7

    2.2. CURVAS DE NVEL 7

    Exemplo 2.8 Seja f (x, y) = x2 y2. As suas curvas de nvel so as curvas

    x2 y2 = k,onde k real. Note que para k = 0, temos as retas y = x e y = x.Para valores de k = 0, temos as hiprboles x2 y2 = k, cujas assntotasso as retas y = x. Os eixos de simetria das hiprboles sero o eixo dosx, se k > 0 e o eixo dos y, se k < 0. Os vrtices das hiprboles se afastamda origem medida que |k| aumenta (veja a Figura 2.5). A superfcie cor-respondente ao grfico de f o paraboloide hiperblico, esboado a partirdas curvas de nvel de f (x, y) = x2 y2 (veja a Figura 2.6).

    Figura 2.5: As curvas de nvel de f (x, y) = x2 y2.Figura 2.6: O grfico de f (x, y) = x2 y2.

    Exemplo 2.9 Esboce a superfcie

    z = x2 ya partir das suas curvas de nvel.

    Soluo As curvas de nvel de z = x2 y so as parbolas

    y = x2 k,onde k real. O trao horizontal do grfico de f no plano z = k a parbola

    y = x2 k, z = k, (2.1)e o seu vrtice o ponto (0,k, k). Por outro lado, o conjunto de pontos daforma (0,k, k), com k real, representa uma parametrizao da reta x = 0,z = y. Portanto, para esboarmos a superfcie, basta desenharmos estareta e para cada ponto dela desenhamos a parbola com vrtice no mesmo,a qual descrita pela equao (2.1). A superfcie assemelha-se a uma telhacolonial (veja a Figura 2.7).

    Figura 2.5: As curvas de nvel de 2 2( , ) .= f x y x y Figura 2.6: O grfico de 2 2( , ) .= f x y x y

    3

    3

    2

    2

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    1

    2

    2

    33

    2 1 0 1 22

    1

    0

    1

    2

    21

    01

    2

    2

    1

    01

    2

    4

    2

    0

    2

    4

    cap2 2009/10/15 22:27 page 7 #7

    2.2. CURVAS DE NVEL 7

    Exemplo 2.8 Seja f (x, y) = x2 y2. As suas curvas de nvel so as curvas

    x2 y2 = k,onde k real. Note que para k = 0, temos as retas y = x e y = x.Para valores de k = 0, temos as hiprboles x2 y2 = k, cujas assntotasso as retas y = x. Os eixos de simetria das hiprboles sero o eixo dosx, se k > 0 e o eixo dos y, se k < 0. Os vrtices das hiprboles se afastamda origem medida que |k| aumenta (veja a Figura 2.5). A superfcie cor-respondente ao grfico de f o paraboloide hiperblico, esboado a partirdas curvas de nvel de f (x, y) = x2 y2 (veja a Figura 2.6).

    Figura 2.5: As curvas de nvel de f (x, y) = x2 y2.Figura 2.6: O grfico de f (x, y) = x2 y2.

    Exemplo 2.9 Esboce a superfcie

    z = x2 ya partir das suas curvas de nvel.

    Soluo As curvas de nvel de z = x2 y so as parbolas

    y = x2 k,onde k real. O trao horizontal do grfico de f no plano z = k a parbola

    y = x2 k, z = k, (2.1)e o seu vrtice o ponto (0,k, k). Por outro lado, o conjunto de pontos daforma (0,k, k), com k real, representa uma parametrizao da reta x = 0,z = y. Portanto, para esboarmos a superfcie, basta desenharmos estareta e para cada ponto dela desenhamos a parbola com vrtice no mesmo,a qual descrita pela equao (2.1). A superfcie assemelha-se a uma telhacolonial (veja a Figura 2.7).

  • 32

    clculo de vrias variveis

    cap2 2009/10/15 22:27 page 9 #9

    2.2. CURVAS DE NVEL 9

    Figura 2.9: Curvas de nvel da funo f (x, y) = x3 + y3 3x 3y foramobtidas com auxlio do programa Mathematica

    Exerccio 2.5 Com auxlio de um computador, obtenha as curvas de nvel das funes abaixo.

    a) f (x, y) = xy2 x3 b) f (x, y) = xy3 yx3

    c) f (x, y) = x3 + y3 d) f (x, y) = sen(yex).

    Figura 2.8: As curvas de nvel de 2 2( , ) .1

    =

    + +

    yf x yx y

    cap2 2009/10/15 22:27 page 8 #8

    8 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Figura 2.7: A superfcie dada pela equao f (x, y) = x2 y.

    Figura 2.8: Curvas de nvel de f (x, y) = yx2+y2+1 ..

    Exerccio 2.3 Seja f (x, y) = yx2+y2+1 . Mostre que uma das suas curvas de nvel uma reta e asdemais so crculos (veja a Figura 2.8).

    Exerccio 2.4 Encontre algumas curvas de nvel das funes abaixo e tente visualizar as superf-cies correspondentes, a partir das mesmas.

    a) f (x, y) = yx b) f (x, y) = x+ y c) f (x, y) = x y2

    d) f (x, y) =

    x2 y2 e) f (x, y) = y2 x2 f) f (x, y) = x2 + y2

    g) f (x, y) = xy h) f (x, y) = sen (x+ y) i) f (x, y) = ln(

    x2 + y2).

    j) f (x, y) =

    x2 + y2 1

    Alguns softwares, como oMaple e oMathematica, nos permitem encontraras curvas de nvel de uma funo. Veja o exemplo seguinte.

    Figura 2.7: A superfcie dada pela equao 2( , ) .= f x y x y

    20

    2

    42

    02

    4

    0

    5

    10

    cap2 2009/10/15 22:27 page 8 #8

    8 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Figura 2.7: A superfcie dada pela equao f (x, y) = x2 y.

    Figura 2.8: Curvas de nvel de f (x, y) = yx2+y2+1 ..

    Exerccio 2.3 Seja f (x, y) = yx2+y2+1 . Mostre que uma das suas curvas de nvel uma reta e asdemais so crculos (veja a Figura 2.8).

    Exerccio 2.4 Encontre algumas curvas de nvel das funes abaixo e tente visualizar as superf-cies correspondentes, a partir das mesmas.

    a) f (x, y) = yx b) f (x, y) = x+ y c) f (x, y) = x y2

    d) f (x, y) =

    x2 y2 e) f (x, y) = y2 x2 f) f (x, y) = x2 + y2

    g) f (x, y) = xy h) f (x, y) = sen (x+ y) i) f (x, y) = ln(

    x2 + y2).

    j) f (x, y) =

    x2 + y2 1

    Alguns softwares, como oMaple e oMathematica, nos permitem encontraras curvas de nvel de uma funo. Veja o exemplo seguinte.

    cap2 2009/10/15 22:27 page 8 #8

    8 CAPTULO 2. FUNES DE VRIAS VARIVEIS

    Figura 2.7: A superfcie dada pela equao f (x, y) = x2 y.

    Figura 2.8: Curvas de nvel de f (x, y) = yx2+y2+1 ..

    Exerccio 2.3 Seja f (x, y) = yx2+y2+1 . Mostre que uma das suas curvas de nvel uma reta e asdemais so crculos (veja a Figura 2.8).

    Exerccio 2.4 Encontre algumas curvas de nvel das funes abaixo e tente visualizar as superf-cies correspondentes, a partir das mesmas.

    a) f (x, y) = yx b) f (x, y) = x+ y c) f (x, y) = x y2

    d) f (x, y) =

    x2 y2 e) f (x, y) = y2 x2 f) f (x, y) = x2 + y2

    g) f (x, y) = xy h) f (x, y) = sen (x+ y) i) f (x, y) = ln(

    x2 + y2).

    j) f (x, y) =

    x2 + y2 1

    Alguns softwares, como oMaple e oMathematica, nos permitem encontraras curvas de nvel de uma funo. Veja o exemplo seguinte.

  • 33

    AulA 2

    cap2 2009/10/15 22:27 page 9 #9

    2.2. CURVAS DE NVEL 9

    Figura 2.9: Curvas de nvel da funo f (x, y) = x3 + y3 3x 3y foramobtidas com auxlio do programa Mathematica

    Exerccio 2.5 Com auxlio de um computador, obtenha as curvas de nvel das funes abaixo.

    a) f (x, y) = xy2 x3 b) f (x, y) = xy3 yx3

    c) f (x, y) = x3 + y3 d) f (x, y) = sen(yex).

    Figura 2.9: Curvas de nvel da funo 3 3( , ) 3 3= + f x y x y x y foram obtidas com auxlio do programa Mathematica.

    3

    3

    3

    3

    2 2

    2 2

    1

    1

    1

    1

    00

    0

    0

    0

    00

    1

    11

    1

    2

    22

    2

    3 3

    33

    2 1 0 1 22

    1

    0

    1

    2

  • AULA 3

    Limite e continuidade

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Compreender as definies de limite e de continuidade.2. Calcular limites de funes de duas variveis, caso ele exista e, se ele no exis-

    tir, saber provar a no existncia do mesmo.3. Saber quais so as consequncias da continuidade de uma funo.

    3 .1 ALgUMAS DEFInIES

    cap3 2009/10/19 20:20 page 5 #5

    Captulo 3

    Limite e continuidade

    O objetivo desta aula generalizar os conceitos de limite e de continuidade(vistos para funes de uma varivel) para funes de vrias variveis. Aoterminar esta aula, o aluno dever ser capaz de capaz de

    3.1 Algumas definies

    Seja B(xo, yo; r) o conjunto dos pontos (x, y) R2, para os quais

    (x xo)2 + (y yo)2 < r2.Que conjunto de pontos esse?

    Seja D um subconjunto de R2. Dizemos que (xo, yo) D um pontointerior de D, se existir r > 0, tal que B(xo, yo; r) esteja contido em D.

    Dizemos que um ponto (xo, yo) em R2 est na fronteira do conjunto D, separa todo r > 0, o conjunto B(xo, yo, r) contiver pontos que pertecem a D epontos que no pertecem a D.

    Exerccio 3.1 Encontre os pontos da fronteira dos seguintes conjuntos:

    a) x2 + y2 < 1

    b) x2 + y2 1c) 1 < x2 + y2 3d) {(x, y) : x, y > 0}.

    Dizemos que D aberto, se todos os seus pontos forem interiores. Noteque a bola B(xo, yo; r) um conjunto aberto, por isso a denotaremos debola aberta.

    Dizemos que D fechado, se o seu complementar em relao aR2, ou seja,R2 D, for aberto.

    5

  • 36

    clculo de vrias variveis

    cap3 2009/10/19 20:20 page 6 #6

    6 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Exerccio 3.2 Em cada um dos conjuntos abaixo, diga se ele aberto, fechado, nem aberto nemfechado e os esboce.

    a) {(x, y) : x2 + y2 < 1}b) {(x, y) : x2 + y2 > 1}c) {(x, y) : x2 + y2 1}d) {(x, y) : x2 + y2 = 1}e) {(x, y) : 1 < x 3, 2 y < 1}.

    Dizemos que D limitado, se existir r finito, tal que D B(0, 0; r).Dizemos que um subconjunto N R2 uma vizinhana de (xo, yo), seeste ponto for um ponto interior de N . Toda bola aberta centrada em(xo, yo) uma vizinhana deste ponto e qualquer vizinhana de (xo, yo)contm uma bola aberta centrada em (xo, yo).

    Uma vizinhana deletada de um ponto (xo, yo) uma vizinhana desteponto, da qual tiramos o prprio ponto (xo, yo). Por exemplo, a bolaB(xo, yo; r)menos o ponto (xo, yo) uma vizinhana deletada de (xo, yo), aqual dada por

    0 0 for possvel encontrar um n-mero > 0, tal que | f (x, y) L| < , sempre que (x, y) D e

    0 1}c) {(x, y) : x2 + y2 1}d) {(x, y) : x2 + y2 = 1}e) {(x, y) : 1 < x 3, 2 y < 1}.

    Dizemos que D limitado, se existir r finito, tal que D B(0, 0; r).Dizemos que um subconjunto N R2 uma vizinhana de (xo, yo), seeste ponto for um ponto interior de N . Toda bola aberta centrada em(xo, yo) uma vizinhana deste ponto e qualquer vizinhana de (xo, yo)contm uma bola aberta centrada em (xo, yo).

    Uma vizinhana deletada de um ponto (xo, yo) uma vizinhana desteponto, da qual tiramos o prprio ponto (xo, yo). Por exemplo, a bolaB(xo, yo; r)menos o ponto (xo, yo) uma vizinhana deletada de (xo, yo), aqual dada por

    0 0 for possvel encontrar um n-mero > 0, tal que | f (x, y) L| < , sempre que (x, y) D e

    0 0, tome > 0 qualquer, ento se

    0 0, tome = , ento se

    0 0, tal que | f (x, y) L| < , sempre que (x, y) D e

    0 0, tome > 0 qualquer, ento se

    0 0, tome = , ento se

    0 0, tal que se (x, y) estiver na bola B(xo, yo; ), devemos terg(x, y) e h(x, y) no intervalo (L , L+ ). Como

    g(x, y) f (x, y) h(x, y),teremos

    L < g(x, y) f (x, y) h(x, y) < L+ .Disso, concluimos que para todo (x, y) B(xo, yo; ), temos

    | f (x, y) L| < ,o que prova o teorema.

    Definio 3.2 Dizemos que uma funo f limitada num dado conjuntoD, se existir uma constante positiva M, tal que |g(x, y)| M, para todo(x, y) em D.

    Exemplo 3.6 Suponha que f (x, y) e g(x, y) sejam definidas numa vizinhanadeletada de (xo, yo), na qual g(x, y) seja limitada e que

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = 0.

    Mostre que

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y)g(x, y) = 0. (3.10)

    Soluo Como g(x, y) limitada numa vizinhana deletada de (xo, yo),existe uma constante positiva, M tal que |g(x, y)| M, para todo (x, y)em tal vizinhana, portanto, na mesma vizinhana temos

    0 | f (x, y)g(x, y)| = | f (x, y)| |g(x, y)| M| f (x, y)|,

  • 41

    AulA 3

    cap3 2009/10/19 20:20 page 10 #10

    10 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Exerccio 3.3 Seja f (x, y) definida numa vizinhana deletada do ponto (xo, yo). Mostre que

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = 0,

    se e somente se,lim

    (x,y)(xo ,yo)| f (x, y)| = 0.

    Teorema 3.2 (Teorema do Sanduiche) Sejam f , g e h funes definidasnuma vizinhana deletada do ponto (xo, yo), na qual temos

    g(x, y) f (x, y) h(x, y).Se

    lim(x,y)(xo ,yo)

    g(x, y) = L = lim(x,y)(xo ,yo)

    h(x, y),

    ento,lim

    (x,y)(xo ,yo)f (x, y) = L.

    Prova Tome > 0. Como

    lim(x,y)(xo ,yo)

    g(x, y) = L = lim(x,y)(xo ,yo)

    h(x, y),

    ento existe > 0, tal que se (x, y) estiver na bola B(xo, yo; ), devemos terg(x, y) e h(x, y) no intervalo (L , L+ ). Como

    g(x, y) f (x, y) h(x, y),teremos

    L < g(x, y) f (x, y) h(x, y) < L+ .Disso, concluimos que para todo (x, y) B(xo, yo; ), temos

    | f (x, y) L| < ,o que prova o teorema.

    Definio 3.2 Dizemos que uma funo f limitada num dado conjuntoD, se existir uma constante positiva M, tal que |g(x, y)| M, para todo(x, y) em D.

    Exemplo 3.6 Suponha que f (x, y) e g(x, y) sejam definidas numa vizinhanadeletada de (xo, yo), na qual g(x, y) seja limitada e que

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = 0.

    Mostre que

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y)g(x, y) = 0. (3.10)

    Soluo Como g(x, y) limitada numa vizinhana deletada de (xo, yo),existe uma constante positiva, M tal que |g(x, y)| M, para todo (x, y)em tal vizinhana, portanto, na mesma vizinhana temos

    0 | f (x, y)g(x, y)| = | f (x, y)| |g(x, y)| M| f (x, y)|,

    cap3 2009/10/19 20:20 page 11 #11

    3.2. LIMITE 11

    ou seja,

    0 | f (x, y)g(x, y)| M| f (x, y)|. (3.11)

    Como lim(x,y)(xo ,yo) f (x, y) = 0, ento, do Exerccio 3.3,

    lim(x,y)(xo ,yo)

    | f (x, y)| = 0,

    logo, lim(x,y)(xo ,yo) M| f (x, y)| = M.0 = 0. Como as funes 0 e M| f (x, y)|tendem a zero quando (x, y) tende a (0, 0), das desigualdades (3.11) e doTeorema do Sanduiche, concluimos que

    lim(x,y)(xo ,yo)

    | f (x, y)g(x, y)| = 0

    e do Exerccio 3.3, temos lim(x,y)(xo ,yo) f (x, y)g(x, y) = 0.

    Exemplo 3.7 Mostre que

    lim(x,y)(0,0)

    x sen(

    1x2 + y2

    )= 0.

    Soluo Para todo (x, y) = (0, 0), temossen( 1x2+y2 ) 1, logo, temos a

    seguinte desigualdade:x sen( 1x2+y2 ) |x|, portanto,

    0 x sen( 1x2 + y2

    ) = |x| sen( 1x2 + y2) |x|,

    ou seja,

    0 x sen( 1x2 + y2

    ) |x|.Como as funes 0 e |x| tendem a zero quando (x, y) tende a (0, 0), dasdesigualdades acima e do Teorema do Sanduiche, temos

    lim(x,y)(0,0)

    x sen( 1x2 + y2) = 0

    e do Exerccio 3.3, concluimos que

    lim(x,y)(0,0)

    x sen(

    1x2 + y2

    )= 0.

    Exemplo 3.8 Calcule o seguinte limite

    lim(x,y)(0,0)

    x3

    x2 + y2.

    Soluo Note que x2 x2 + y2, logo, |x| =x2 x2 + y2, portanto,

    elevando esta desigualdade terceira potncia, temos

    0 |x|3 (x2 + y2)3/2.

  • 42

    clculo de vrias variveis

    cap3 2009/10/19 20:20 page 12 #12

    12 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Dividindo estas desigualdades por x2 + y2, obtemos

    0 |x|3

    x2 + y2

    x2 + y2.

    Se fizermos f (x, y) = x3

    x2+y2 , as desigualdades acima podem ser reescritascomo

    0 | f (x, y)| = |x|3

    x2 + y2

    x2 + y2 .

    Ou seja,

    0 | f (x, y)|

    x2 + y2 .

    Como | f (x, y)| est entre duas funes que tendem a zero quando (x, y)tende a (0, 0), segue-se do Teorema do Sanduiche que | f (x, y)| tende a zeroquando (x, y) tende a zero e, em virtude do Exerccio 3.3, o mesmo aconte-cer com f (x, y).

    Observao 3.1 (O teste dos dois caminhos)Diferentemente do que ocorrena reta, no plano existem infinitas maneiras de nos aproximarmos de umdado ponto (xo, yo), a existncia do limite

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) (3.12)

    significa que ele no deve depender de como nos aproximamos do ponto(xo, yo). Em particular, se ao aproximarmos de (xo, yo) atravs de doiscaminhos diferentes a funo f (x, y) tender a valores diferentes, ento olimite (3.12) no existir.

    Exemplo 3.9 Mostre que limx0xy

    x2+y2 no existe.

    Soluo Sejaf (x, y) =

    xyx2 + y2

    , (x, y) = (0, 0),

    (veja a Figura 3.2).

    Figura 3.2: Grfico f (x, y) = xyx2+y2 , (x, y) = (0, 0)

    Figura 3.2: Grfico 2 2( , ) ,( , ) (0,0).= +xyf x y x y

    x y

    0.50.5

    0.25

    0.25

    0.5

    0.5 0.5

    0.5

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

  • 43

    AulA 3

    cap3 2009/10/19 20:20 page 12 #12

    12 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Dividindo estas desigualdades por x2 + y2, obtemos

    0 |x|3

    x2 + y2

    x2 + y2.

    Se fizermos f (x, y) = x3

    x2+y2 , as desigualdades acima podem ser reescritascomo

    0 | f (x, y)| = |x|3

    x2 + y2

    x2 + y2 .

    Ou seja,

    0 | f (x, y)|

    x2 + y2 .

    Como | f (x, y)| est entre duas funes que tendem a zero quando (x, y)tende a (0, 0), segue-se do Teorema do Sanduiche que | f (x, y)| tende a zeroquando (x, y) tende a zero e, em virtude do Exerccio 3.3, o mesmo aconte-cer com f (x, y).

    Observao 3.1 (O teste dos dois caminhos)Diferentemente do que ocorrena reta, no plano existem infinitas maneiras de nos aproximarmos de umdado ponto (xo, yo), a existncia do limite

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) (3.12)

    significa que ele no deve depender de como nos aproximamos do ponto(xo, yo). Em particular, se ao aproximarmos de (xo, yo) atravs de doiscaminhos diferentes a funo f (x, y) tender a valores diferentes, ento olimite (3.12) no existir.

    Exemplo 3.9 Mostre que limx0xy

    x2+y2 no existe.

    Soluo Sejaf (x, y) =

    xyx2 + y2

    , (x, y) = (0, 0),

    (veja a Figura 3.2).

    Figura 3.2: Grfico f (x, y) = xyx2+y2 , (x, y) = (0, 0)

    cap3 2009/10/19 20:20 page 13 #13

    3.2. LIMITE 13

    Vejamos o que acontecer com os valores de f (x, y) quando nos aproxima-mos da origem atravs das retas y = ax, onde a um nmero real fixo. Aolongo de tais retas, temos f (x, y) = f (x, ax) = a1+a2 , logo,

    lim(x, y) (0, 0)

    (ao longo da reta y = ax)

    f (x, y) = limx0

    f (x, ax) = limx0

    a1+ a2

    =a

    1+ a2.

    Isto significa que ao aproximarmos de (0, 0) atravs das retas y = ax,f (x, y) tender a valores diferentes, dependendo da escolha de a. Portanto,lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe.

    Exemplo 3.10 Mostre que lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y4 no existe.

    Soluo Seja

    f (x, y) =xy2

    x2 + y4, (x, y) = (0, 0),

    ento, ao longo da reta y = 0, f (x, y) = f (x, 0) = 0, logo,

    lim(x, y) (0, 0)

    ao longo da reta y = 0

    f (x, y) = limx0

    f (x, 0) = limx0

    0 = 0.

    Por outro lado, ao longo da parbola, x = y2, temos

    f (x, y) = f (y2, y) = 1/2,

    logo,

    lim(x, y) (0, 0)

    (ao longo da parbola x = y2)

    f (x, y) = limy0

    f (y2, y) = limy0

    1/2 = 1/2.

    Portanto, lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe.

    Observao 3.2 Vale a pena ressaltar que o Teste dos Dois Caminhos nospermite provar a no existncia do limite. No entanto, o fato de

    lim(x, y) (xo, yo)(x, y) C1

    f (x, y) = lim(x, y) (xo, yo)(x, y) C2

    f (x, y),

    onde C1 e C2 so dois caminhos distintos passando por (xo, yo), no querdizer que o limite

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y)

    exista.

    Exerccio 3.4 Mostre que

    lim(x,y)(0,0)

    x2 y2x2 + y2

    no existe.

  • 44

    clculo de vrias variveis

    cap3 2009/10/19 20:20 page 14 #14

    14 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Figura 3.3: Coordenadas polares.

    Observao 3.3 No clculo de

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y),

    muitas vezes conveniente fazermosmudana de coordenadas cartesianaspara coordenadas polares, a qual descreveremos a seguir.

    Seja r a distncia entre os pontos Po(xo, yo) e P(x, y) e o ngulo que o se-mieixo dos x positivos faz com PoP, medido no sentido anti-horrio. Ento,temos (veja a Figura 3.3),

    x = xo + r cos e y = yo + r sen .

    Como (x, y) tende (xo, yo) se, e somente se, a distncia de (x, y) a (xo, yo)tender a zero e esta vale r, ento,

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y)

    equivalente alimr0+

    f (xo + r cos , yo + r sen ),

    o qual existir se, e somente se, ele no depender de . A dependncia em neste limite implicar que lim(x,y)(xo ,yo) f (x, y) no existe, por qu?

    Exemplo 3.11 Mostre que

    lim(x,y)(0,0)

    xyx2 + y2

    = 0.

    Soluo Sejaf (x, y) =

    xyx2 + y2

    , (x, y) = (0, 0).

    Se introduzirmos as coordenadas polares x = r cos e y = rsen , teremos

    0 | f (x, y)| = | f (r cos , rsen)| = rsen cos r,pois as funes cos e sen so limitadas emmdulos por 1. Como | f (x, y)|est entre duas funes que tendem a zero quando r tende a zero, segue-sedo Teorema do Sanduiche que | f (x, y)| tende a zero quando r tende a zeroe, em virtude do Exerccio 3.3, o mesmo acontecer com f (x, y).

    cap3 2009/10/19 20:20 page 15 #15

    3.3. CONTINUIDADE 15

    Exerccio 3.5 Resolva o Exerccio 3.8 usando coordenadas polares.

    Exerccio 3.6 Calcule os seguintes limites.

    a) lim(x,y)(2,1)(3xy+ xy2 + 3x)

    b) lim(x,y)(2,0)cos(3xy)

    x2+2.

    Exerccio 3.7 Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele no existe.

    a) lim(x,y)(0,0) xx+y b) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    x2+y2+1 1

    c) lim(x,y)(0,0)2x2y2x2+3y2 d) lim(x,y)(1,2)

    xy2xy+2x2+y22x4y+5

    e) lim(x,y)(2,1) x24x+4

    xy2yx+2 f) lim(x,y)(0,0)x2sen2 y2x2+y2

    g) lim(x,y)(0,0)3xy

    4x4+y4 h) lim(x,y)(0,0)1e(x2+y2)

    x2+y2 .

    Exerccio 3.8 Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam.

    a) lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y2

    b) lim(x,y)(0,0)x3y3x2+y2

    c) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    sen(x2+y2) .

    3.3 Continuidade

    O conceito de continuidade para funes de uma varivel j foi visto. Aseguir o estenderemos para funes de duas variveis. A sua extensopara funes de mais de duas variveis ser imediata.

    Definio 3.3 Seja f definida numa vizinhana de (xo, yo). Dizemos que f contnua em (xo, yo) se

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = f (xo, yo).

    Dizemos que f contnua num conjunto D, se ela for contnua em todos ospontos de D.

    Teorema 3.3 (Propriedades da continuidade) Suponha que f e g sejamcontnuas no ponto (xo, yo) e seja c uma constante. Ento,

    1. as funes c f , f + g e f g tambm sero contnuas em (xo, yo),

    2. se g(xo, yo) = 0, ento, f/g tambm ser contnua em (xo, yo) e3. se h(z) for uma funo de uma varivel que contnua em zo =

    f (xo, yo), ento, a composta h( f (x, y)) tambm ser contnua em (xo, yo).

    Figura 3.3: Coordenadas polares.

    cap3 2009/10/19 20:20 page 15 #15

    3.3. CONTINUIDADE 15

    Exerccio 3.5 Resolva o Exerccio 3.8 usando coordenadas polares.

    Exerccio 3.6 Calcule os seguintes limites.

    a) lim(x,y)(2,1)(3xy+ xy2 + 3x)

    b) lim(x,y)(2,0)cos(3xy)

    x2+2.

    Exerccio 3.7 Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele no existe.

    a) lim(x,y)(0,0) xx+y b) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    x2+y2+1 1

    c) lim(x,y)(0,0)2x2y2x2+3y2 d) lim(x,y)(1,2)

    xy2xy+2x2+y22x4y+5

    e) lim(x,y)(2,1) x24x+4

    xy2yx+2 f) lim(x,y)(0,0)x2sen2 y2x2+y2

    g) lim(x,y)(0,0)3xy

    4x4+y4 h) lim(x,y)(0,0)1e(x2+y2)

    x2+y2 .

    Exerccio 3.8 Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam.

    a) lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y2

    b) lim(x,y)(0,0)x3y3x2+y2

    c) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    sen(x2+y2) .

    3.3 Continuidade

    O conceito de continuidade para funes de uma varivel j foi visto. Aseguir o estenderemos para funes de duas variveis. A sua extensopara funes de mais de duas variveis ser imediata.

    Definio 3.3 Seja f definida numa vizinhana de (xo, yo). Dizemos que f contnua em (xo, yo) se

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = f (xo, yo).

    Dizemos que f contnua num conjunto D, se ela for contnua em todos ospontos de D.

    Teorema 3.3 (Propriedades da continuidade) Suponha que f e g sejamcontnuas no ponto (xo, yo) e seja c uma constante. Ento,

    1. as funes c f , f + g e f g tambm sero contnuas em (xo, yo),

    2. se g(xo, yo) = 0, ento, f/g tambm ser contnua em (xo, yo) e3. se h(z) for uma funo de uma varivel que contnua em zo =

    f (xo, yo), ento, a composta h( f (x, y)) tambm ser contnua em (xo, yo).

  • 45

    AulA 3

    cap3 2009/10/19 20:20 page 14 #14

    14 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Figura 3.3: Coordenadas polares.

    Observao 3.3 No clculo de

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y),

    muitas vezes conveniente fazermosmudana de coordenadas cartesianaspara coordenadas polares, a qual descreveremos a seguir.

    Seja r a distncia entre os pontos Po(xo, yo) e P(x, y) e o ngulo que o se-mieixo dos x positivos faz com PoP, medido no sentido anti-horrio. Ento,temos (veja a Figura 3.3),

    x = xo + r cos e y = yo + r sen .

    Como (x, y) tende (xo, yo) se, e somente se, a distncia de (x, y) a (xo, yo)tender a zero e esta vale r, ento,

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y)

    equivalente alimr0+

    f (xo + r cos , yo + r sen ),

    o qual existir se, e somente se, ele no depender de . A dependncia em neste limite implicar que lim(x,y)(xo ,yo) f (x, y) no existe, por qu?

    Exemplo 3.11 Mostre que

    lim(x,y)(0,0)

    xyx2 + y2

    = 0.

    Soluo Sejaf (x, y) =

    xyx2 + y2

    , (x, y) = (0, 0).

    Se introduzirmos as coordenadas polares x = r cos e y = rsen , teremos

    0 | f (x, y)| = | f (r cos , rsen)| = rsen cos r,pois as funes cos e sen so limitadas emmdulos por 1. Como | f (x, y)|est entre duas funes que tendem a zero quando r tende a zero, segue-sedo Teorema do Sanduiche que | f (x, y)| tende a zero quando r tende a zeroe, em virtude do Exerccio 3.3, o mesmo acontecer com f (x, y).

    cap3 2009/10/19 20:20 page 15 #15

    3.3. CONTINUIDADE 15

    Exerccio 3.5 Resolva o Exerccio 3.8 usando coordenadas polares.

    Exerccio 3.6 Calcule os seguintes limites.

    a) lim(x,y)(2,1)(3xy+ xy2 + 3x)

    b) lim(x,y)(2,0)cos(3xy)

    x2+2.

    Exerccio 3.7 Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele no existe.

    a) lim(x,y)(0,0) xx+y b) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    x2+y2+1 1

    c) lim(x,y)(0,0)2x2y2x2+3y2 d) lim(x,y)(1,2)

    xy2xy+2x2+y22x4y+5

    e) lim(x,y)(2,1) x24x+4

    xy2yx+2 f) lim(x,y)(0,0)x2sen2 y2x2+y2

    g) lim(x,y)(0,0)3xy

    4x4+y4 h) lim(x,y)(0,0)1e(x2+y2)

    x2+y2 .

    Exerccio 3.8 Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam.

    a) lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y2

    b) lim(x,y)(0,0)x3y3x2+y2

    c) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    sen(x2+y2) .

    3.3 Continuidade

    O conceito de continuidade para funes de uma varivel j foi visto. Aseguir o estenderemos para funes de duas variveis. A sua extensopara funes de mais de duas variveis ser imediata.

    Definio 3.3 Seja f definida numa vizinhana de (xo, yo). Dizemos que f contnua em (xo, yo) se

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = f (xo, yo).

    Dizemos que f contnua num conjunto D, se ela for contnua em todos ospontos de D.

    Teorema 3.3 (Propriedades da continuidade) Suponha que f e g sejamcontnuas no ponto (xo, yo) e seja c uma constante. Ento,

    1. as funes c f , f + g e f g tambm sero contnuas em (xo, yo),

    2. se g(xo, yo) = 0, ento, f/g tambm ser contnua em (xo, yo) e3. se h(z) for uma funo de uma varivel que contnua em zo =

    f (xo, yo), ento, a composta h( f (x, y)) tambm ser contnua em (xo, yo).

    3 .3 COntInUIDADE

    cap3 2009/10/19 20:20 page 15 #15

    3.3. CONTINUIDADE 15

    Exerccio 3.5 Resolva o Exerccio 3.8 usando coordenadas polares.

    Exerccio 3.6 Calcule os seguintes limites.

    a) lim(x,y)(2,1)(3xy+ xy2 + 3x)

    b) lim(x,y)(2,0)cos(3xy)

    x2+2.

    Exerccio 3.7 Calcule o limite, se ele existir, ou mostre que ele no existe.

    a) lim(x,y)(0,0) xx+y b) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    x2+y2+1 1

    c) lim(x,y)(0,0)2x2y2x2+3y2 d) lim(x,y)(1,2)

    xy2xy+2x2+y22x4y+5

    e) lim(x,y)(2,1) x24x+4

    xy2yx+2 f) lim(x,y)(0,0)x2sen2 y2x2+y2

    g) lim(x,y)(0,0)3xy

    4x4+y4 h) lim(x,y)(0,0)1e(x2+y2)

    x2+y2 .

    Exerccio 3.8 Use coordenadas polares para calcular os limites abaixo, caso eles existam.

    a) lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y2

    b) lim(x,y)(0,0)x3y3x2+y2

    c) lim(x,y)(0,0)x2+y2

    sen(x2+y2) .

    3.3 Continuidade

    O conceito de continuidade para funes de uma varivel j foi visto. Aseguir o estenderemos para funes de duas variveis. A sua extensopara funes de mais de duas variveis ser imediata.

    Definio 3.3 Seja f definida numa vizinhana de (xo, yo). Dizemos que f contnua em (xo, yo) se

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = f (xo, yo).

    Dizemos que f contnua num conjunto D, se ela for contnua em todos ospontos de D.

    Teorema 3.3 (Propriedades da continuidade) Suponha que f e g sejamcontnuas no ponto (xo, yo) e seja c uma constante. Ento,

    1. as funes c f , f + g e f g tambm sero contnuas em (xo, yo),

    2. se g(xo, yo) = 0, ento, f/g tambm ser contnua em (xo, yo) e3. se h(z) for uma funo de uma varivel que contnua em zo =

    f (xo, yo), ento, a composta h( f (x, y)) tambm ser contnua em (xo, yo).

  • 46

    clculo de vrias variveis

    cap3 2009/10/19 20:20 page 16 #16

    16 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    O Teorema anterior segue diretamente das propriedades de limite.

    Do Teorema 3.3 e das Equaes (3.8) e (3.9), segue-se que polinnimos nasvariveis x, y so funes contnuas em todo o plano e que o quocientedestes uma funo contnua naqueles pontos onde o denominador nose anula.

    Exemplo 3.12 Seja

    f (x, y) =

    {x3

    x2+y2 , (x, y) = (0, 0)0, (x, y) = (0, 0).

    Mostre que f (x, y) contnua em (0, 0).

    Soluo Vimos no Exemplo 3.8 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) = 0 = f (0, 0),logo, f contnua em (0, 0).

    Exemplo 3.13 Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2

    , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Mostre que f (x, y) contnua em todos os pontos.

    Soluo J vimos que a funo de uma varivel h(z) =z contnua

    para todo z > 0 e a funo g(x, y) = x2 + y2 contnua em todos ospontos, pois ela um polinnio. Logo, do item 3 do Teorema 3.3, a com-posta h(g(x, y)) =

    x2 + y2 ser contnua nos pontos (x, y) para os quais

    g(x, y) = x2 + y2 > 0, ou seja, (x, y) = (0, 0). Em tais pontos, temosh(g(x, y)) > 0. Portanto, do item 2 do Teorema 3.3, f (x, y) ser contnuanos mesmos, por ser o quociente de duas funes contnuas, cujo denomi-nador no se anula.

    Resta-nos mostrar a continuidade de f (x, y) em (0, 0). Vimos no Exemplo3.11 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) = 0 = f (0, 0), logo, f contnua em (0, 0).

    Exemplo 3.14 Mostre que

    f (x, y) =

    {x2y

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    (3.13)

    contnua em todos os pontos. Veja o grfico de f (x, y) na Figura 3.4.

    Soluo Para (x, y) = (0, 0), f (x, y) a razo de dois polinmios, sendoque o denominador, x2 + y2, no se anula em tais pontos, portanto, f (x, y) contnua nos mesmos.

    Resta-nos mostrar que f (x, y) contnua em (0, 0). Como x2

    x2+y2 1,seguese que x

    2|y|x2+y2 =

    x2x2+y2 |y| |y|. Portanto, para (x, y) = (0, 0), te-

    mos | f (x, y)| = x2|y|x2+y2 |y|. Logo,

    0 | f (x, y)| |y|.

  • 47

    AulA 3

    cap3 2009/10/19 20:20 page 16 #16

    16 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    O Teorema anterior segue diretamente das propriedades de limite.

    Do Teorema 3.3 e das Equaes (3.8) e (3.9), segue-se que polinnimos nasvariveis x, y so funes contnuas em todo o plano e que o quocientedestes uma funo contnua naqueles pontos onde o denominador nose anula.

    Exemplo 3.12 Seja

    f (x, y) =

    {x3

    x2+y2 , (x, y) = (0, 0)0, (x, y) = (0, 0).

    Mostre que f (x, y) contnua em (0, 0).

    Soluo Vimos no Exemplo 3.8 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) = 0 = f (0, 0),logo, f contnua em (0, 0).

    Exemplo 3.13 Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2

    , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Mostre que f (x, y) contnua em todos os pontos.

    Soluo J vimos que a funo de uma varivel h(z) =z contnua

    para todo z > 0 e a funo g(x, y) = x2 + y2 contnua em todos ospontos, pois ela um polinnio. Logo, do item 3 do Teorema 3.3, a com-posta h(g(x, y)) =

    x2 + y2 ser contnua nos pontos (x, y) para os quais

    g(x, y) = x2 + y2 > 0, ou seja, (x, y) = (0, 0). Em tais pontos, temosh(g(x, y)) > 0. Portanto, do item 2 do Teorema 3.3, f (x, y) ser contnuanos mesmos, por ser o quociente de duas funes contnuas, cujo denomi-nador no se anula.

    Resta-nos mostrar a continuidade de f (x, y) em (0, 0). Vimos no Exemplo3.11 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) = 0 = f (0, 0), logo, f contnua em (0, 0).

    Exemplo 3.14 Mostre que

    f (x, y) =

    {x2y

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    (3.13)

    contnua em todos os pontos. Veja o grfico de f (x, y) na Figura 3.4.

    Soluo Para (x, y) = (0, 0), f (x, y) a razo de dois polinmios, sendoque o denominador, x2 + y2, no se anula em tais pontos, portanto, f (x, y) contnua nos mesmos.

    Resta-nos mostrar que f (x, y) contnua em (0, 0). Como x2

    x2+y2 1,seguese que x

    2|y|x2+y2 =

    x2x2+y2 |y| |y|. Portanto, para (x, y) = (0, 0), te-

    mos | f (x, y)| = x2|y|x2+y2 |y|. Logo,

    0 | f (x, y)| |y|.

    cap3 2009/10/19 20:20 page 17 #17

    3.3. CONTINUIDADE 17

    Das desigualdades acima, do Teorema do Sanduiche e do Exerccio 3.3,

    segue-se que lim(x,y)(0,0)x2y

    x2+y2 = 0 = f (0, 0), portanto, f (x, y) contnuaem (0, 0).

    Vimos no Exemplo 3.10 que lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y4 no existe, logo, se f (x, y)

    for uma funo definida no plano todo, tal que f (x, y) = xy2

    x2+y2 , (x, y) =(0, 0), ela no poder ser estendida de modo a ficar contnua na origem,independentemente de como a definamos neste ponto, pois para que umafuno seja contnua numponto (xo, yo), o limite lim(x,y)(xo ,yo) f (x, y) deveexistir (veja a Definio 3.3).

    Figura 3.4: Grfico de f (x, y) dada em (3.13).

    Teorema 3.4 Se f (x, y) for contnua em (xo, yo), ento f (x, y) limitadanuma vizinhana deste ponto.

    Prova Como f contnua em (xo, yo), ento

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = f (xo, yo).

    Tomando = 1 na definio de limite, existe > 0, tal que se(x xo)2 + (y yo)2 < ,

    ento,

    | f (x, y) f (xo, yo)| < 1. (3.14)

    Portanto, se (x, y) B(xo, yo; ), segue da desigualdade triangular(|a b| |a| + |b|, onde a e b so nmeros reais quaisquer) e da desi-gualdade (3.14), temos

    | f (x, y)| = |( f (x, y) f (xo, yo)) + f (xo, yo)| |( f (x, y) f (xo, yo)|+ | f (xo, yo)|< 1+ | f (xo, yo)|.

    Figura 3.4: Grfico ( , )f x y dada em (3.13).

    2

    1

    0

    1

    2 2

    1

    0

    1

    2

    1.0

    0.5

    0.0

    0.5

    1.0

    cap3 2009/10/19 20:20 page 17 #17

    3.3. CONTINUIDADE 17

    Das desigualdades acima, do Teorema do Sanduiche e do Exerccio 3.3,

    segue-se que lim(x,y)(0,0)x2y

    x2+y2 = 0 = f (0, 0), portanto, f (x, y) contnuaem (0, 0).

    Vimos no Exemplo 3.10 que lim(x,y)(0,0)xy2

    x2+y4 no existe, logo, se f (x, y)

    for uma funo definida no plano todo, tal que f (x, y) = xy2

    x2+y2 , (x, y) =(0, 0), ela no poder ser estendida de modo a ficar contnua na origem,independentemente de como a definamos neste ponto, pois para que umafuno seja contnua numponto (xo, yo), o limite lim(x,y)(xo ,yo) f (x, y) deveexistir (veja a Definio 3.3).

    Figura 3.4: Grfico de f (x, y) dada em (3.13).

    Teorema 3.4 Se f (x, y) for contnua em (xo, yo), ento f (x, y) limitadanuma vizinhana deste ponto.

    Prova Como f contnua em (xo, yo), ento

    lim(x,y)(xo ,yo)

    f (x, y) = f (xo, yo).

    Tomando = 1 na definio de limite, existe > 0, tal que se(x xo)2 + (y yo)2 < ,

    ento,

    | f (x, y) f (xo, yo)| < 1. (3.14)

    Portanto, se (x, y) B(xo, yo; ), segue da desigualdade triangular(|a b| |a| + |b|, onde a e b so nmeros reais quaisquer) e da desi-gualdade (3.14), temos

    | f (x, y)| = |( f (x, y) f (xo, yo)) + f (xo, yo)| |( f (x, y) f (xo, yo)|+ | f (xo, yo)|< 1+ | f (xo, yo)|.

  • 48

    clculo de vrias variveis

    cap3 2009/10/19 20:20 page 18 #18

    18 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Do Teorema 3.4, segue-se que se uma funo se tornar ilimitada quandonos aproximamos de um dado ponto do seu domnio, ento ela no podeser contnua neste ponto. Por exemplo, seja

    f (x, y) =

    {xy

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0)

    ,

    ento, ao longo do eixo x, temos f (x, y) = f (x, 0) = 1x , a qual se tornailimitada medida que nos aproximamos da origem. Portanto, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0).

    Exerccio 3.9 Seja

    f (x, y) =

    sen

    (x2+y2

    )

    x2+y2, (x, y) = (0, 0)

    1, (x, y) = (0, 0).(3.15)

    Mostre que f contnua em todos os pontos. Veja o grfico de f (x, y) na Figura 3.5.

    (Sugesto: use coordenadas polares)

    Figura 3.5: Grfico de f (x, y) dada em (3.14).

    Exerccio 3.10 Descreva o conjunto dos pontos (x, y) nos quais f contnua.

    a) f (x, y) = ln(x+ y 1) b) f (x, y) = x3xy+y2x2y2

    c) f (x, y) =

    x e

    4y2 d) f (x, y) =1 x2 y2

    e) f (x, y) = x+2ysen(x+y)cos(xy) f) f (x, y) = x sen (y/x)

    g) f (x, y) = ln(ln(x+ y)).

    Figura 3.5: Grfico ( , )f x y dada em (3.15).

    4

    2

    0

    2

    4 4

    2

    0

    2

    4

    0.00.51.0

    cap3 2009/10/19 20:20 page 18 #18

    18 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Do Teorema 3.4, segue-se que se uma funo se tornar ilimitada quandonos aproximamos de um dado ponto do seu domnio, ento ela no podeser contnua neste ponto. Por exemplo, seja

    f (x, y) =

    {xy

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0)

    ,

    ento, ao longo do eixo x, temos f (x, y) = f (x, 0) = 1x , a qual se tornailimitada medida que nos aproximamos da origem. Portanto, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0).

    Exerccio 3.9 Seja

    f (x, y) =

    sen

    (x2+y2

    )

    x2+y2, (x, y) = (0, 0)

    1, (x, y) = (0, 0).(3.15)

    Mostre que f contnua em todos os pontos. Veja o grfico de f (x, y) na Figura 3.5.

    (Sugesto: use coordenadas polares)

    Figura 3.5: Grfico de f (x, y) dada em (3.14).

    Exerccio 3.10 Descreva o conjunto dos pontos (x, y) nos quais f contnua.

    a) f (x, y) = ln(x+ y 1) b) f (x, y) = x3xy+y2x2y2

    c) f (x, y) =

    x e

    4y2 d) f (x, y) =1 x2 y2

    e) f (x, y) = x+2ysen(x+y)cos(xy) f) f (x, y) = x sen (y/x)

    g) f (x, y) = ln(ln(x+ y)).

    cap3 2009/10/19 20:20 page 19 #19

    3.3. CONTINUIDADE 19

    Exerccio 3.11 Use o item 3 do Teorema 3.3 para determinar que g(x, y) = h( f (x, y)) contnua,onde f e h so dadas abaixo.

    a) f (x, y) = x3 xy+ y2 e h(u) = (u2 2)/u b) f (x, y) = x+ y 1 e h(u) = ln(u+ 2)

    c) f (x, y) = x+ tg(y) e h(u) = u2 + u d) f (x, y) = 2y ln x e h(u) = eu.

    Exerccio 3.12 Discuta a continuidade da seguinte funo

    f (x, y) =

    1e

    x2+y2x2+y2

    , (x, y) = (0, 0)1, (x, y) = (0, 0).

    Exerccio 3.13 Mostre que se f (x, y) for contnua em (xo, yo) e f (xo, yo) > 0, ento existe > 0, talque f (x, y) > 0, para todo (x, y) B(xo, yo; ).

  • 49

    AulA 3

    cap3 2009/10/19 20:20 page 18 #18

    18 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Do Teorema 3.4, segue-se que se uma funo se tornar ilimitada quandonos aproximamos de um dado ponto do seu domnio, ento ela no podeser contnua neste ponto. Por exemplo, seja

    f (x, y) =

    {xy

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0)

    ,

    ento, ao longo do eixo x, temos f (x, y) = f (x, 0) = 1x , a qual se tornailimitada medida que nos aproximamos da origem. Portanto, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0).

    Exerccio 3.9 Seja

    f (x, y) =

    sen

    (x2+y2

    )

    x2+y2, (x, y) = (0, 0)

    1, (x, y) = (0, 0).(3.15)

    Mostre que f contnua em todos os pontos. Veja o grfico de f (x, y) na Figura 3.5.

    (Sugesto: use coordenadas polares)

    Figura 3.5: Grfico de f (x, y) dada em (3.14).

    Exerccio 3.10 Descreva o conjunto dos pontos (x, y) nos quais f contnua.

    a) f (x, y) = ln(x+ y 1) b) f (x, y) = x3xy+y2x2y2

    c) f (x, y) =

    x e

    4y2 d) f (x, y) =1 x2 y2

    e) f (x, y) = x+2ysen(x+y)cos(xy) f) f (x, y) = x sen (y/x)

    g) f (x, y) = ln(ln(x+ y)).

    cap3 2009/10/19 20:20 page 18 #18

    18 CAPTULO 3. LIMITE E CONTINUIDADE

    Do Teorema 3.4, segue-se que se uma funo se tornar ilimitada quandonos aproximamos de um dado ponto do seu domnio, ento ela no podeser contnua neste ponto. Por exemplo, seja

    f (x, y) =

    {xy

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0)

    ,

    ento, ao longo do eixo x, temos f (x, y) = f (x, 0) = 1x , a qual se tornailimitada medida que nos aproximamos da origem. Portanto, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0).

    Exerccio 3.9 Seja

    f (x, y) =

    sen

    (x2+y2

    )

    x2+y2, (x, y) = (0, 0)

    1, (x, y) = (0, 0).(3.15)

    Mostre que f contnua em todos os pontos. Veja o grfico de f (x, y) na Figura 3.5.

    (Sugesto: use coordenadas polares)

    Figura 3.5: Grfico de f (x, y) dada em (3.14).

    Exerccio 3.10 Descreva o conjunto dos pontos (x, y) nos quais f contnua.

    a) f (x, y) = ln(x+ y 1) b) f (x, y) = x3xy+y2x2y2

    c) f (x, y) =

    x e

    4y2 d) f (x, y) =1 x2 y2

    e) f (x, y) = x+2ysen(x+y)cos(xy) f) f (x, y) = x sen (y/x)

    g) f (x, y) = ln(ln(x+ y)).

    cap3 2009/10/19 20:20 page 19 #19

    3.3. CONTINUIDADE 19

    Exerccio 3.11 Use o item 3 do Teorema 3.3 para determinar que g(x, y) = h( f (x, y)) contnua,onde f e h so dadas abaixo.

    a) f (x, y) = x3 xy+ y2 e h(u) = (u2 2)/u b) f (x, y) = x+ y 1 e h(u) = ln(u+ 2)

    c) f (x, y) = x+ tg(y) e h(u) = u2 + u d) f (x, y) = 2y ln x e h(u) = eu.

    Exerccio 3.12 Discuta a continuidade da seguinte funo

    f (x, y) =

    1e

    x2+y2x2+y2

    , (x, y) = (0, 0)1, (x, y) = (0, 0).

    Exerccio 3.13 Mostre que se f (x, y) for contnua em (xo, yo) e f (xo, yo) > 0, ento existe > 0, talque f (x, y) > 0, para todo (x, y) B(xo, yo; ).

  • cap4 2011/8/15 15:48 page 7 #7

    Captulo 4

    Derivadas parciais

    O objetivo desta aula introduzir o conceito de derivadas parciais parafunes de duas ou mais variveis. Ao terminar esta aula, o aluno deverser capaz de:

    1. Compreender o significado geomtrico das derivadas parciais parafunes de duas ou mais variveis.

    2. Calcular derivadas parciais de qualquer ordem de uma funo deduas ou mais variveis.

    4.1 Reviso do conceito de derivada para funode uma varivel

    No estudo de funes de uma varivel, introduzimos o conceito de deri-vada, o qual muito til nas aplicaes, por causa da sua interpretaocomo taxa de variao de uma funo. Nesta aula estenderemos a noode derivada para funes de duas variveis.

    Antes de prosseguirmos com a nossa discusso, voltemos ao caso em quef uma funo de uma varivel. Seja f : I R, onde I um intervaloaberto da reta. Seja xo um ponto de I, ento, ao passarmos deste ponto paraoutro ponto x I, a variao de f f = f (x) f (xo). Dividindo estavariao pelo acrscimo x = x xo da varivel independente, obtemos oquociente de Newton

    fx

    =f (x) f (xo)

    x.

    Se o limite do quociente acima, quando x tender a 0 existir, ele ser cha-mado de derivada de f no ponto xo e ser denotado por f (xo) ou d fdx (xo).Se fizermos x = xo + h, podemos tambm escrever

    f (xo) =d fdx(xo) = lim

    h0f (xo + h) f (xo)

    h.

    7

  • AULA 4

    Derivadas parciais

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Compreender o significado geomtrico das derivadas parciais para funes de

    duas ou mais variveis.2. Calcular derivadas parciais de qualquer ordem de uma funo de duas ou mais

    variveis.

    4 .1 REVISO DO COnCEItO DE DERIVADA

    pARA FUnO DE UMA VARIVEL

    cap4 2011/8/15 15:48 page 7 #7

    Captulo 4

    Derivadas parciais

    O objetivo desta aula introduzir o conceito de derivadas parciais parafunes de duas ou mais variveis. Ao terminar esta aula, o aluno deverser capaz de:

    1. Compreender o significado geomtrico das derivadas parciais parafunes de duas ou mais variveis.

    2. Calcular derivadas parciais de qualquer ordem de uma funo deduas ou mais variveis.

    4.1 Reviso do conceito de derivada para funode uma varivel

    No estudo de funes de uma varivel, introduzimos o conceito de deri-vada, o qual muito til nas aplicaes, por causa da sua interpretaocomo taxa de variao de uma funo. Nesta aula estenderemos a noode derivada para funes de duas variveis.

    Antes de prosseguirmos com a nossa discusso, voltemos ao caso em quef uma funo de uma varivel. Seja f : I R, onde I um intervaloaberto da reta. Seja xo um ponto de I, ento, ao passarmos deste ponto paraoutro ponto x I, a variao de f f = f (x) f (xo). Dividindo estavariao pelo acrscimo x = x xo da varivel independente, obtemos oquociente de Newton

    fx

    =f (x) f (xo)

    x.

    Se o limite do quociente acima, quando x tender a 0 existir, ele ser cha-mado de derivada de f no ponto xo e ser denotado por f (xo) ou d fdx (xo).Se fizermos x = xo + h, podemos tambm escrever

    f (xo) =d fdx(xo) = lim

    h0f (xo + h) f (xo)

    h.

    7

  • 52

    clculo de vrias variveis

    cap4 2011/8/15 15:48 page 8 #8

    8 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.1 Calcule as derivadas das seguinte funes (voc pode usar as propriedades de deri-vadas estudadas anteriormente).

    a) f (x) = 3x4 2x3 + 3x b) f (x) = cos(2x2 + 1) c) f (x) = x4 sen (x3 + 2x)

    d) f (x) = x2+cos(x)x2+1 e) f (x) = arcsen (x

    2 + 1) f) f (x) =

    x4 + x2 + 3

    g) f (x) = ln(x3 + 2).

    4.2 Definio de derivadas parciais e as suas pro-priedades

    Voltemos agora ao caso em que f uma funo de duas variveis.

    Seja f : D R, onde D uma regio aberta deR2 contendo ponto (xo, yo).A variao de f ao passarmos deste ponto para outro ponto (x, y) D dada por

    f = f (x, y) f (xo, yo),por outro lado, a variao das variveis independentes, a qual denotare-mos por s, a distncia entre (xo, yo) e (x, y). O anlogo ao quociente deNewton seria

    fs

    =f (x, y) f (xo, yo)

    s.

    O passo seguinte seria tomarmos o limite deste quociente quando (x, y)tendesse a (xo, yo). Contudo, no plano existem infinitas maneiras do pontovarivel (x, y) se aproximar de (xo, yo); por exemplo, poderamos tomaruma curva no plano que passasse por (xo, yo) e nos aproximarmos desteao longo desta curva. Por causa disso, ao tomarmos o limite do quocientede Newton acima quando (x, y) tende a (xo, yo), temos que dizer comofazemos tal aproximao, isto nos levar aos conceitos de derivadas par-ciais e de derivada direcional. Em ambos os casos faremos (x, y) tender a(xo, yo) ao longo de uma reta que passa por este ponto. Como veremos, asderivada parciais sero casos particulares da derivada direcional quandonos aproximamos de (xo, yo) ao longo das retas y = yo e x = xo.

    Definio 4.1 Seja f definida numa vizinhana do ponto (xo, yo). Se o limite

    limxxo

    f (x, yo) f (xo, yo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fx(xo, yo) ou

    fx (xo, yo). De maneira anloga, se o limite

    limyyo

    f (xo, y) f (xo, yo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fy(xo, yo) ou

    fy (xo, yo).

    4 .2 DEFInIO DE DERIVADAS pARCIAIS E AS SUAS pROpRIEDADES

    cap4 2011/8/15 15:48 page 8 #8

    8 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.1 Calcule as derivadas das seguinte funes (voc pode usar as propriedades de deri-vadas estudadas anteriormente).

    a) f (x) = 3x4 2x3 + 3x b) f (x) = cos(2x2 + 1) c) f (x) = x4 sen (x3 + 2x)

    d) f (x) = x2+cos(x)x2+1 e) f (x) = arcsen (x

    2 + 1) f) f (x) =

    x4 + x2 + 3

    g) f (x) = ln(x3 + 2).

    4.2 Definio de derivadas parciais e as suas pro-priedades

    Voltemos agora ao caso em que f uma funo de duas variveis.

    Seja f : D R, onde D uma regio aberta deR2 contendo ponto (xo, yo).A variao de f ao passarmos deste ponto para outro ponto (x, y) D dada por

    f = f (x, y) f (xo, yo),por outro lado, a variao das variveis independentes, a qual denotare-mos por s, a distncia entre (xo, yo) e (x, y). O anlogo ao quociente deNewton seria

    fs

    =f (x, y) f (xo, yo)

    s.

    O passo seguinte seria tomarmos o limite deste quociente quando (x, y)tendesse a (xo, yo). Contudo, no plano existem infinitas maneiras do pontovarivel (x, y) se aproximar de (xo, yo); por exemplo, poderamos tomaruma curva no plano que passasse por (xo, yo) e nos aproximarmos desteao longo desta curva. Por causa disso, ao tomarmos o limite do quocientede Newton acima quando (x, y) tende a (xo, yo), temos que dizer comofazemos tal aproximao, isto nos levar aos conceitos de derivadas par-ciais e de derivada direcional. Em ambos os casos faremos (x, y) tender a(xo, yo) ao longo de uma reta que passa por este ponto. Como veremos, asderivada parciais sero casos particulares da derivada direcional quandonos aproximamos de (xo, yo) ao longo das retas y = yo e x = xo.

    Definio 4.1 Seja f definida numa vizinhana do ponto (xo, yo). Se o limite

    limxxo

    f (x, yo) f (xo, yo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fx(xo, yo) ou

    fx (xo, yo). De maneira anloga, se o limite

    limyyo

    f (xo, y) f (xo, yo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fy(xo, yo) ou

    fy (xo, yo).

  • 53

    AulA 4

    cap4 2011/8/15 15:48 page 8 #8

    8 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.1 Calcule as derivadas das seguinte funes (voc pode usar as propriedades de deri-vadas estudadas anteriormente).

    a) f (x) = 3x4 2x3 + 3x b) f (x) = cos(2x2 + 1) c) f (x) = x4 sen (x3 + 2x)

    d) f (x) = x2+cos(x)x2+1 e) f (x) = arcsen (x

    2 + 1) f) f (x) =

    x4 + x2 + 3

    g) f (x) = ln(x3 + 2).

    4.2 Definio de derivadas parciais e as suas pro-priedades

    Voltemos agora ao caso em que f uma funo de duas variveis.

    Seja f : D R, onde D uma regio aberta deR2 contendo ponto (xo, yo).A variao de f ao passarmos deste ponto para outro ponto (x, y) D dada por

    f = f (x, y) f (xo, yo),por outro lado, a variao das variveis independentes, a qual denotare-mos por s, a distncia entre (xo, yo) e (x, y). O anlogo ao quociente deNewton seria

    fs

    =f (x, y) f (xo, yo)

    s.

    O passo seguinte seria tomarmos o limite deste quociente quando (x, y)tendesse a (xo, yo). Contudo, no plano existem infinitas maneiras do pontovarivel (x, y) se aproximar de (xo, yo); por exemplo, poderamos tomaruma curva no plano que passasse por (xo, yo) e nos aproximarmos desteao longo desta curva. Por causa disso, ao tomarmos o limite do quocientede Newton acima quando (x, y) tende a (xo, yo), temos que dizer comofazemos tal aproximao, isto nos levar aos conceitos de derivadas par-ciais e de derivada direcional. Em ambos os casos faremos (x, y) tender a(xo, yo) ao longo de uma reta que passa por este ponto. Como veremos, asderivada parciais sero casos particulares da derivada direcional quandonos aproximamos de (xo, yo) ao longo das retas y = yo e x = xo.

    Definio 4.1 Seja f definida numa vizinhana do ponto (xo, yo). Se o limite

    limxxo

    f (x, yo) f (xo, yo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fx(xo, yo) ou

    fx (xo, yo). De maneira anloga, se o limite

    limyyo

    f (xo, y) f (xo, yo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fy(xo, yo) ou

    fy (xo, yo).

    cap4 2011/8/15 15:48 page 9 #9

    4.2. DEFINIODEDERIVADAS PARCIAIS EAS SUAS PROPRIEDADES9

    As derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) representam as taxas de varia-es de f (x, y) no ponto (xo, yo) em relao s direes horizontal e verti-cal, respectivamente.

    Note que no clculo de fx(xo, yo), aproximamo-nos do ponto (xo, yo) aolongo do reta y = yo, ou seja, a varivel y no muda, seu valor sempreigual a yo. Portanto, ao longo desta reta, f (x, y) uma funo apenas de x,a qual denotaremos por g(x), ou seja, g(x) = f (x, yo). Ento,

    fx(xo, yo) = limh0

    g(xo + h) g(xo)h

    = g(xo).

    De maneira anloga, no clculo de fx(xo, yo), aproximamo-nos de (xo, yo)ao longo do reta x = xo, ou seja, a varivel x no muda, seu valor sempreigual a xo. Portanto, ao longo desta reta, f (x, y) uma funo apenas de y,a qual denotaremos por w(y), ou seja, w(y) = f (xo, y). Ento,

    fy(xo, yo) = limh0

    w(yo + h) w(yo)h

    = w(yo).

    Resumindo, embora tenhamos introduzido um conceito novo, sob o pontode vista operacional, no h nada de novo. Mais precisamente, para calcu-larmos fx(x, y), na expresso de f (x, y) olhamos para y como se fosse umaconstante e calculamos a derivada de uma funo de uma varivel apenas,ou seja, da varivel x. De maneira anloga, o problema de calcular fy(x, y)reduz-se ao clculo da derivada de uma funo apenas da varivel y, ouseja, na expresso de f (x, y) tratamos x como se fosse uma constante. Porisso, sugerimos que o aluno faa uma reviso de como calcular derivadasde funes de uma varivel.

    Da mesma forma que na derivao de uma funo de uma varivel, asderivadas parciais de f (x, y) em relao a x e a y so operaes lineares,ou seja, se f (x, y) e g(x, y) forem duas funes cujas derivadas parciais emrelao a x existem e c uma constante qualquer, ento,

    x (c f (x, y)) = cx f (x, y) e

    x ( f (x, y) + g(x, y)) =x f (x, y) +

    x g(x, y).

    Demaneira anloga, se f (x, y) e g(x, y) forem duas funes cujas derivadasparciais em relao a y existem e c uma constante qualquer, ento,

    y (c f (x, y)) = cy f (x, y) e

    y ( f (x, y) + g(x, y)) =y f (x, y) +

    y g(x, y).

    A linearidade segue imediatamente das suas definies das derivadasparciais.

    Exemplo 4.1 Seja f (x, y) = ey cos(xy), calcule fx(0, 0) e fy(1, 0).

    Soluo Tratando y como uma constante na expresso de f (x, y) e a deri-vando em relao a x, temos

    fx

    =

    x(ey cos(xy)) = ey

    (

    xcos(xy)

    )= yey sen(xy).

    cap4 2011/8/15 15:48 page 8 #8

    8 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.1 Calcule as derivadas das seguinte funes (voc pode usar as propriedades de deri-vadas estudadas anteriormente).

    a) f (x) = 3x4 2x3 + 3x b) f (x) = cos(2x2 + 1) c) f (x) = x4 sen (x3 + 2x)

    d) f (x) = x2+cos(x)x2+1 e) f (x) = arcsen (x

    2 + 1) f) f (x) =

    x4 + x2 + 3

    g) f (x) = ln(x3 + 2).

    4.2 Definio de derivadas parciais e as suas pro-priedades

    Voltemos agora ao caso em que f uma funo de duas variveis.

    Seja f : D R, onde D uma regio aberta deR2 contendo ponto (xo, yo).A variao de f ao passarmos deste ponto para outro ponto (x, y) D dada por

    f = f (x, y) f (xo, yo),por outro lado, a variao das variveis independentes, a qual denotare-mos por s, a distncia entre (xo, yo) e (x, y). O anlogo ao quociente deNewton seria

    fs

    =f (x, y) f (xo, yo)

    s.

    O passo seguinte seria tomarmos o limite deste quociente quando (x, y)tendesse a (xo, yo). Contudo, no plano existem infinitas maneiras do pontovarivel (x, y) se aproximar de (xo, yo); por exemplo, poderamos tomaruma curva no plano que passasse por (xo, yo) e nos aproximarmos desteao longo desta curva. Por causa disso, ao tomarmos o limite do quocientede Newton acima quando (x, y) tende a (xo, yo), temos que dizer comofazemos tal aproximao, isto nos levar aos conceitos de derivadas par-ciais e de derivada direcional. Em ambos os casos faremos (x, y) tender a(xo, yo) ao longo de uma reta que passa por este ponto. Como veremos, asderivada parciais sero casos particulares da derivada direcional quandonos aproximamos de (xo, yo) ao longo das retas y = yo e x = xo.

    Definio 4.1 Seja f definida numa vizinhana do ponto (xo, yo). Se o limite

    limxxo

    f (x, yo) f (xo, yo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fx(xo, yo) ou

    fx (xo, yo). De maneira anloga, se o limite

    limyyo

    f (xo, y) f (xo, yo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto (xo, yo),o qual denotaremos por fy(xo, yo) ou

    fy (xo, yo).

  • 54

    clculo de vrias variveis

    cap4 2011/8/15 15:48 page 10 #10

    10 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Demaneira anloga, tratando x como uma constante na expresso de f (x, y)e a derivando em relao a y, temos

    fy

    =

    y(ey cos(xy))

    =

    (

    yey)cos(xy) + ey

    (

    ycos(xy)

    )= (cos(xy) x sen(xy)) ey.

    Portanto, fx(x, y) = yey sen(xy) e fy(x, y) = (cos(xy) x sen(xy)) ey, emparticular,

    fx(0, 0) = 0 e fy(1, 0) = 1.

    Exemplo 4.2 Calcule fx(1,pi), onde f (x, y) = x2 + cos x cos y ln(xy).

    Soluo Usando a linearidade da derivada parcial, temos

    xf (x, y) =

    x(x2)+

    x(cos x cos y)

    xln(xy) = 2x senx cos y 1/x.

    Portanto, fx(x, y) = 2x senx cos y 1/x, em particular,fx(1,pi) = (2)(1) sen(pi) cos(1) 1 = 1.

    Para derivadas parciais tambm valem as regras usuais de derivao defunes de uma varivel, ou seja, valem as regras para derivao de umproduto e de um quociente de duas funes:

    x ( f (x, y)g(x, y)) =x f (x, y) g(x, y) + f (x, y)

    x g(x, y)

    x

    (f (x,y)g(x,y)

    )=

    x f (x,y) g(x,y) f (x,y) x g(x,y)

    (g(x,y))2 .

    Temos relaes similares para a derivada parcial em relao a y.

    Exemplo 4.3 Calcule(

    xy2x3y cos x+y4

    )y

    Soluo(xy2 x3

    y cos x+ y4

    )y

    =(xy2 x3)y (y cos x+ y4) (xy2 x3)(y cos x+ y4)y

    (y cos x+ y4)2

    =2xy(y cos x+ y4) (xy2 x3)(cos x+ 4y3)

    (y cos x+ y4)2

    Exemplo 4.4 Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0). .

    Mostre, a partir da definio de derivadas parciais, que fx(0, 0) = 0 = fy(0, 0).

  • 55

    AulA 4

    cap4 2011/8/15 15:48 page 10 #10

    10 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Demaneira anloga, tratando x como uma constante na expresso de f (x, y)e a derivando em relao a y, temos

    fy

    =

    y(ey cos(xy))

    =

    (

    yey)cos(xy) + ey

    (

    ycos(xy)

    )= (cos(xy) x sen(xy)) ey.

    Portanto, fx(x, y) = yey sen(xy) e fy(x, y) = (cos(xy) x sen(xy)) ey, emparticular,

    fx(0, 0) = 0 e fy(1, 0) = 1.

    Exemplo 4.2 Calcule fx(1,pi), onde f (x, y) = x2 + cos x cos y ln(xy).

    Soluo Usando a linearidade da derivada parcial, temos

    xf (x, y) =

    x(x2)+

    x(cos x cos y)

    xln(xy) = 2x senx cos y 1/x.

    Portanto, fx(x, y) = 2x senx cos y 1/x, em particular,fx(1,pi) = (2)(1) sen(pi) cos(1) 1 = 1.

    Para derivadas parciais tambm valem as regras usuais de derivao defunes de uma varivel, ou seja, valem as regras para derivao de umproduto e de um quociente de duas funes:

    x ( f (x, y)g(x, y)) =x f (x, y) g(x, y) + f (x, y)

    x g(x, y)

    x

    (f (x,y)g(x,y)

    )=

    x f (x,y) g(x,y) f (x,y) x g(x,y)

    (g(x,y))2 .

    Temos relaes similares para a derivada parcial em relao a y.

    Exemplo 4.3 Calcule(

    xy2x3y cos x+y4

    )y

    Soluo(xy2 x3

    y cos x+ y4

    )y

    =(xy2 x3)y (y cos x+ y4) (xy2 x3)(y cos x+ y4)y

    (y cos x+ y4)2

    =2xy(y cos x+ y4) (xy2 x3)(cos x+ 4y3)

    (y cos x+ y4)2

    Exemplo 4.4 Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0). .

    Mostre, a partir da definio de derivadas parciais, que fx(0, 0) = 0 = fy(0, 0).

    cap4 2011/8/15 15:48 page 11 #11

    4.3. A INTERPRETAOGEOMTRICADASDERIVADAS PARCIAIS11

    Soluo Note que

    fx(0, 0) = limh0

    f (h, 0) f (0, 0)h

    = limh0

    0 0h

    = limh0

    0 = 0

    e

    fy(0, 0) = limh0

    f (0, h) f (0, 0)h

    = limh0

    0 0h

    = limh0

    0 = 0.

    Exerccio 4.2 Calcule fx e fy, onde f (x, y) dada abaixo.

    a) f (x, y) = (x3 y2)6 b) f (x, y) = xey + y senx

    c) f (x, y) = (x3 y2)6 d) f (x, y) = xey + y senx

    e) f (x, y) = yx xy f) f (x, y) = x2

    x+y

    g) f (x, y) = x5 3x3y+ 2xy2 3xy+ 4y h) f (x, y) = (x3 + y3)(x y)

    i) f (x, y) = (x2 + xy+ y3)3 j) f (x, y) = 1x 2xy

    k) f (x, y) = sen(x+ y) + cos(x y) l) f (x, y) = arcsen (x/y)2

    m) f (x, y) = ex+exey+ey n) f (x, y) = x

    y + yx

    o) f (x, y) = cos x2y20 cos t dt p) f (x, y) = ln(x tgy).

    Exerccio 4.3 Seja f : R2 R definida por

    f (x, y) =

    {xy(x2y2)

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Mostre, usando a definio de derivadas parciais, que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.

    4.3 A interpretao geomtrica das derivadas par-ciais

    O grfico de z = f (x, y) representa uma superfcie no espao, a qual deno-taremos por S. Se (a, b, c) for um ponto de S, ento c = f (a, b).

    Seja C1 a curva interseo do plano y = b com S. Ou seja, no plano y = b,temos a curva C1, a qual o grfico de z = f (x, b) g(x). Do estudo defunes de uma varivel, sabemos que g(a) o coeficiente da reta tangentea C1 no ponto (a, b), mas

    g(a) = limh0

    g(a+ h) g(a)h

    = limh0

    f (a+ h, b) f (a, b)h

    = fx(a, b).

    Assim, fx(a, b) igual ao coeficiente angular da reta tangente curva que a interseo do grfico de f (x, y) com o plano y = b, no ponto (a, b, f (a, b)).

    4 .3 A IntERpREtAO gEOMtRICA DAS DERIVADAS pARCIAIS

    cap4 2011/8/15 15:48 page 11 #11

    4.3. A INTERPRETAOGEOMTRICADASDERIVADAS PARCIAIS11

    Soluo Note que

    fx(0, 0) = limh0

    f (h, 0) f (0, 0)h

    = limh0

    0 0h

    = limh0

    0 = 0

    e

    fy(0, 0) = limh0

    f (0, h) f (0, 0)h

    = limh0

    0 0h

    = limh0

    0 = 0.

    Exerccio 4.2 Calcule fx e fy, onde f (x, y) dada abaixo.

    a) f (x, y) = (x3 y2)6 b) f (x, y) = xey + y senx

    c) f (x, y) = (x3 y2)6 d) f (x, y) = xey + y senx

    e) f (x, y) = yx xy f) f (x, y) = x2

    x+y

    g) f (x, y) = x5 3x3y+ 2xy2 3xy+ 4y h) f (x, y) = (x3 + y3)(x y)

    i) f (x, y) = (x2 + xy+ y3)3 j) f (x, y) = 1x 2xy

    k) f (x, y) = sen(x+ y) + cos(x y) l) f (x, y) = arcsen (x/y)2

    m) f (x, y) = ex+exey+ey n) f (x, y) = x

    y + yx

    o) f (x, y) = cos x2y20 cos t dt p) f (x, y) = ln(x tgy).

    Exerccio 4.3 Seja f : R2 R definida por

    f (x, y) =

    {xy(x2y2)

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Mostre, usando a definio de derivadas parciais, que fx(0, 0) = 0 e fy(0, 0) = 0.

    4.3 A interpretao geomtrica das derivadas par-ciais

    O grfico de z = f (x, y) representa uma superfcie no espao, a qual deno-taremos por S. Se (a, b, c) for um ponto de S, ento c = f (a, b).

    Seja C1 a curva interseo do plano y = b com S. Ou seja, no plano y = b,temos a curva C1, a qual o grfico de z = f (x, b) g(x). Do estudo defunes de uma varivel, sabemos que g(a) o coeficiente da reta tangentea C1 no ponto (a, b), mas

    g(a) = limh0

    g(a+ h) g(a)h

    = limh0

    f (a+ h, b) f (a, b)h

    = fx(a, b).

    Assim, fx(a, b) igual ao coeficiente angular da reta tangente curva que a interseo do grfico de f (x, y) com o plano y = b, no ponto (a, b, f (a, b)).

  • 56

    clculo de vrias variveis

    cap4 2011/8/15 15:48 page 12 #12

    12 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Figura 4.1: Interpretao geomtrica das derivadas parciais fx(a, b) efy(a, b).

    De maneira anloga, seja C2 a curva interseo do plano x = a com asuperfcie S. Ou seja, no plano x = a, temos a curva C2, a qual o gr-fico de z = f (a, y) w(y). Sabemos que w(b) o coeficiente da retatangente a C2, no ponto (a, b), mas

    w(b) = limh0

    w(b+ h) w(b)h

    = limh0

    f (a, b+ h) f (a, b)h

    = fy(a, b).

    Assim, fy(a, b) igual ao coeficiente angular da reta tangente curva que a interseo do grfico de f (x, y) com o plano x = a, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Em resumo, podemos interpretar as derivadas parciais fx(a, b) e fy(a, b)como sendo os coeficientes angulares das retas T1 e T2, que so as tangentess curvas obtidas pelas intersees de S com os planos y = b e x = a,repectivamente, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Conforme ser visto na Seo 5.3, as retas tangentes T1 e T2 determinamumplano, o qual chamaremos de plano tangente a S no ponto (a, b, f (a, b)).

    Exerccio 4.4 Calcular a inclinao da tangente curva segundo a qual o plano y = 1 corta a superfciez = x2 + y2, no ponto (2, 1, 5).

    4.4 Derivadas parciais de ordens superiores

    Como fx e fy tambm so funes das variveis x e y, podemos deriv--las parcialmente em relao s variveis x e y, casos estas derivadas exis-tam. Em outras palavras, calculamos ( fx)x, ( fx)y, ( fy)x e ( fy)y, as quaisdenotaremos por fxx, fxy, fyx e fyy, respectivamente. Com isso temos asderivadas parciais de segunda ordem de f . Podemos tomar derivadas par-ciais destas com relao a x e y, caso elas existam, e obter derivadas parciaisde terceira ordem de f , ou seja, fxxx, fxxy, fxyx, fxyy, fyxx, fyxy, fyyx e fyyy.

    4 .4 DERIVADAS pARCIAIS DE ORDEnS SUpERIORES

    cap4 2011/8/15 15:48 page 12 #12

    12 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Figura 4.1: Interpretao geomtrica das derivadas parciais fx(a, b) efy(a, b).

    De maneira anloga, seja C2 a curva interseo do plano x = a com asuperfcie S. Ou seja, no plano x = a, temos a curva C2, a qual o gr-fico de z = f (a, y) w(y). Sabemos que w(b) o coeficiente da retatangente a C2, no ponto (a, b), mas

    w(b) = limh0

    w(b+ h) w(b)h

    = limh0

    f (a, b+ h) f (a, b)h

    = fy(a, b).

    Assim, fy(a, b) igual ao coeficiente angular da reta tangente curva que a interseo do grfico de f (x, y) com o plano x = a, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Em resumo, podemos interpretar as derivadas parciais fx(a, b) e fy(a, b)como sendo os coeficientes angulares das retas T1 e T2, que so as tangentess curvas obtidas pelas intersees de S com os planos y = b e x = a,repectivamente, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Conforme ser visto na Seo 5.3, as retas tangentes T1 e T2 determinamumplano, o qual chamaremos de plano tangente a S no ponto (a, b, f (a, b)).

    Exerccio 4.4 Calcular a inclinao da tangente curva segundo a qual o plano y = 1 corta a superfciez = x2 + y2, no ponto (2, 1, 5).

    4.4 Derivadas parciais de ordens superiores

    Como fx e fy tambm so funes das variveis x e y, podemos deriv--las parcialmente em relao s variveis x e y, casos estas derivadas exis-tam. Em outras palavras, calculamos ( fx)x, ( fx)y, ( fy)x e ( fy)y, as quaisdenotaremos por fxx, fxy, fyx e fyy, respectivamente. Com isso temos asderivadas parciais de segunda ordem de f . Podemos tomar derivadas par-ciais destas com relao a x e y, caso elas existam, e obter derivadas parciaisde terceira ordem de f , ou seja, fxxx, fxxy, fxyx, fxyy, fyxx, fyxy, fyyx e fyyy.

    T1

    T2

    C2

    C1S

    z

    x y

    0

    P(a, b, c)

    (a, b, 0)

    Figura 4.1: Interpretao geomtrica das derivadas parciais ( , )xf a b e ( , )yf a b .

  • 57

    AulA 4

    cap4 2011/8/15 15:48 page 12 #12

    12 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Figura 4.1: Interpretao geomtrica das derivadas parciais fx(a, b) efy(a, b).

    De maneira anloga, seja C2 a curva interseo do plano x = a com asuperfcie S. Ou seja, no plano x = a, temos a curva C2, a qual o gr-fico de z = f (a, y) w(y). Sabemos que w(b) o coeficiente da retatangente a C2, no ponto (a, b), mas

    w(b) = limh0

    w(b+ h) w(b)h

    = limh0

    f (a, b+ h) f (a, b)h

    = fy(a, b).

    Assim, fy(a, b) igual ao coeficiente angular da reta tangente curva que a interseo do grfico de f (x, y) com o plano x = a, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Em resumo, podemos interpretar as derivadas parciais fx(a, b) e fy(a, b)como sendo os coeficientes angulares das retas T1 e T2, que so as tangentess curvas obtidas pelas intersees de S com os planos y = b e x = a,repectivamente, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Conforme ser visto na Seo 5.3, as retas tangentes T1 e T2 determinamumplano, o qual chamaremos de plano tangente a S no ponto (a, b, f (a, b)).

    Exerccio 4.4 Calcular a inclinao da tangente curva segundo a qual o plano y = 1 corta a superfciez = x2 + y2, no ponto (2, 1, 5).

    4.4 Derivadas parciais de ordens superiores

    Como fx e fy tambm so funes das variveis x e y, podemos deriv--las parcialmente em relao s variveis x e y, casos estas derivadas exis-tam. Em outras palavras, calculamos ( fx)x, ( fx)y, ( fy)x e ( fy)y, as quaisdenotaremos por fxx, fxy, fyx e fyy, respectivamente. Com isso temos asderivadas parciais de segunda ordem de f . Podemos tomar derivadas par-ciais destas com relao a x e y, caso elas existam, e obter derivadas parciaisde terceira ordem de f , ou seja, fxxx, fxxy, fxyx, fxyy, fyxx, fyxy, fyyx e fyyy.

    cap4 2011/8/15 15:48 page 13 #13

    4.4. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDENS SUPERIORES 13

    Repetindo o procedimento acima, podemos obter derivadas parciais deordens superiores.

    Tambm denotaremos fxx, fxy, fyx e fyy por2 f2x ,

    2 fyx ,

    2 fxy e

    2 f2y , respecti-

    vamente. Temos notaes similares para derivadas de ordens superiores,

    por exemplo, fyxxyx =5 f

    xy2xy .

    Exemplo 4.5 Calcule fxx, fxy, fyx, fyy e fxxx, onde f (x, y) = xy3 x4.

    Soluo fx = y3 4x3, fxx = 12x2, fxy = 3y2, fxxx = 24x, fy = 3xy2,fyx = 3y2 e fyy = 6xy.

    Exemplo 4.6 Seja f (x, y) = sen(xy). Calcule todas as derivadas parciais deprimeira e segunda ordens de f (x, y), bem como fxxy.

    Soluo

    fx = y cos(xy)fy = x cos(xy)fxx = y2 sen(xy)fxy = cos(xy) xy sen(xy)fyx = cos(xy) xy sen(xy)fyy = x2 sen(xy)fxxy = xy2 cos(xy).

    Exerccio 4.5 Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da funo

    f (x, y) = ex seny+ ln(xy).

    Note que nos Exemplos 4.5 e 4.6, temos fxy = fyx, ou seja, a ordem dasderivadas parciais em relao a x e y no foi importante. Teria isto sidouma coincidncia? A resposta a esta pergunta dada no teorema abaixo, oqual ser apenas enunciado.

    Teorema 4.1 (Teorema de Clairaut) Seja f (x, y) definida numa bola abertaB(xo, yo; r). Se as funes fxy e fyx forem ambas contnuas em B(xo, yo; r),ento,

    fxy(xo, yo) = fyx(xo, yo).

    Exerccio 4.6 possivel existir uma funo f , tal que fx(x, y) = x+ 3y e fy(x, y) = 5x y e cujasderivadas de segunda ordem sejam contnuas?

    Exerccio 4.7 A hiptese de continuidade de fxy e fyx essencial no Teorema de Clairaut. De fato,seja

    f (x, y) =

    {xy(x2y2)

    x2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    (a) Calcule fx e fy em todos os pontos.

    (b)Mostre que fxy(0, 0) = 1 e fyx(0, 0) = 1.

    cap4 2011/8/15 15:48 page 12 #12

    12 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Figura 4.1: Interpretao geomtrica das derivadas parciais fx(a, b) efy(a, b).

    De maneira anloga, seja C2 a curva interseo do plano x = a com asuperfcie S. Ou seja, no plano x = a, temos a curva C2, a qual o gr-fico de z = f (a, y) w(y). Sabemos que w(b) o coeficiente da retatangente a C2, no ponto (a, b), mas

    w(b) = limh0

    w(b+ h) w(b)h

    = limh0

    f (a, b+ h) f (a, b)h

    = fy(a, b).

    Assim, fy(a, b) igual ao coeficiente angular da reta tangente curva que a interseo do grfico de f (x, y) com o plano x = a, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Em resumo, podemos interpretar as derivadas parciais fx(a, b) e fy(a, b)como sendo os coeficientes angulares das retas T1 e T2, que so as tangentess curvas obtidas pelas intersees de S com os planos y = b e x = a,repectivamente, no ponto (a, b, f (a, b)).

    Conforme ser visto na Seo 5.3, as retas tangentes T1 e T2 determinamumplano, o qual chamaremos de plano tangente a S no ponto (a, b, f (a, b)).

    Exerccio 4.4 Calcular a inclinao da tangente curva segundo a qual o plano y = 1 corta a superfciez = x2 + y2, no ponto (2, 1, 5).

    4.4 Derivadas parciais de ordens superiores

    Como fx e fy tambm so funes das variveis x e y, podemos deriv--las parcialmente em relao s variveis x e y, casos estas derivadas exis-tam. Em outras palavras, calculamos ( fx)x, ( fx)y, ( fy)x e ( fy)y, as quaisdenotaremos por fxx, fxy, fyx e fyy, respectivamente. Com isso temos asderivadas parciais de segunda ordem de f . Podemos tomar derivadas par-ciais destas com relao a x e y, caso elas existam, e obter derivadas parciaisde terceira ordem de f , ou seja, fxxx, fxxy, fxyx, fxyy, fyxx, fyxy, fyyx e fyyy.

  • 58

    clculo de vrias variveis

    cap4 2011/8/15 15:48 page 14 #14

    14 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.8 Dizemos que uma funo f (x, y) harmnica se

    fxx + fyy = 0

    em todo o seu domnio. Mostre que as funes abaixo so harmnicas.

    a) f (x, y) = ln

    x2 + y2

    b) f (x, y) = arctg( yx)

    c) f (x, y) = cos x senhy+ senx cosh y

    d) f (x, y) = ex cos y+ ey cos x.

    Exerccio 4.9 Se w = cos(x y) + ln(x+ y), mostre quewxx wyy = 0.

    Exerccio 4.10 Dizemos que u(x, t) satisfaz a equao da onda se

    utt = c2uxx,

    onde c uma constante positiva. Mostre que as funes abaixo satisfazem a equao da onda.

    (a) u(x, t) = sen(ckt) sen(kx), onde k uma constante.

    (b) u(x, t) = (x ct)4 + cos(x+ ct).

    4.5 Derivadas parciais de funes mais de duasvariveis

    A seguir estenderemos o conceito de derivadas parciais para funes detrs variveis. A extenso deste conceito para funes de mais de trsvariveis imediata.

    Definio 4.2 (Derivadas parciais para funes de trs variveis) Seja fdefinida numa vizinhana do ponto (xo, yo, zo), se o limite

    limxxo

    f (x, yo, zo) f (xo, yo, zo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fx(xo, yo, zo) ou

    fx (xo, yo, zo).

    Se o limite

    limyyo

    f (xo, y, zo) f (xo, yo, zo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fy(xo, yo, zo) ou

    fy (xo, yo, zo).

    cap4 2011/8/15 15:48 page 14 #14

    14 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.8 Dizemos que uma funo f (x, y) harmnica se

    fxx + fyy = 0

    em todo o seu domnio. Mostre que as funes abaixo so harmnicas.

    a) f (x, y) = ln

    x2 + y2

    b) f (x, y) = arctg( yx)

    c) f (x, y) = cos x senhy+ senx cosh y

    d) f (x, y) = ex cos y+ ey cos x.

    Exerccio 4.9 Se w = cos(x y) + ln(x+ y), mostre quewxx wyy = 0.

    Exerccio 4.10 Dizemos que u(x, t) satisfaz a equao da onda se

    utt = c2uxx,

    onde c uma constante positiva. Mostre que as funes abaixo satisfazem a equao da onda.

    (a) u(x, t) = sen(ckt) sen(kx), onde k uma constante.

    (b) u(x, t) = (x ct)4 + cos(x+ ct).

    4.5 Derivadas parciais de funes mais de duasvariveis

    A seguir estenderemos o conceito de derivadas parciais para funes detrs variveis. A extenso deste conceito para funes de mais de trsvariveis imediata.

    Definio 4.2 (Derivadas parciais para funes de trs variveis) Seja fdefinida numa vizinhana do ponto (xo, yo, zo), se o limite

    limxxo

    f (x, yo, zo) f (xo, yo, zo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fx(xo, yo, zo) ou

    fx (xo, yo, zo).

    Se o limite

    limyyo

    f (xo, y, zo) f (xo, yo, zo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fy(xo, yo, zo) ou

    fy (xo, yo, zo).

    4 .5 DERIVADAS pARCIAIS DE FUnES MAIS DE DUAS VARIVEIS

  • 59

    AulA 4

    cap4 2011/8/15 15:48 page 15 #15

    4.5. DERIVADAS PARCIAISDE FUNESMAISDEDUASVARIVEIS15

    Finalmente, se o limite

    limzzo

    f (xo, yo, z) f (xo, yo, zo)z zo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao a z no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fz(xo, yo, zo) ou

    fz (xo, yo, zo).

    Para uma funo de trs variveis, valem as mesmas observaes que fo-ram feitas para funes de duas variveis: ao tomarmos a derivada parcialem relao a uma das variveis, as outras duas variveis so tratadas comoconstantes e tudo se passa como se estivssemos calculando a derivada deuma funo de apenas uma varivel.

    Exemplo 4.7 Seja f (x, y, z) = x2yz cos(xyz2). Calcule fx, fy e fz.

    Soluo

    fx = 2xyz+ yz2 sen(xyz2),

    fy = x2z+ xz2 sen(xyz2),

    fz = x2y+ 2xyz sen(xyz2).

    Exerccio 4.11 Calcule fx, fy e fz, onde f (x, y, z) dada abaixo.

    a) f (x, y, z) = (x3 y2 + z2)6 b) f (x, y, z) = xzey + y sen(z2)

    c) f (x, y, z) = (x3 y2 + z)6 d) f (x, y, z) = xeyz + y senx

    e) f (x, y, z) = yzx f) f (x, y, z) =z2

    x+y

    g) f (x, y, z) = x5z 2xy2 3xyz+ 4y h) f (x, y, z) = (x3 + z3)(x y)

    i) f (x, y, z) = (x2 + xy+ z3)3 j) f (x, y, z) = yzx 2xyk) f (x, y, z) = sen(xyz) l) f (x, y, z) = arcsen (xyz)

    m) f (x, y, z) = ey+ez

    ex+ey n) f (x, y, z) = xyz

    o) f (x, y, z) = cos x2y2+z0 cos t dt p) f (x, y, z) = ln(xy tgz).

    cap4 2011/8/15 15:48 page 14 #14

    14 CAPTULO 4. DERIVADAS PARCIAIS

    Exerccio 4.8 Dizemos que uma funo f (x, y) harmnica se

    fxx + fyy = 0

    em todo o seu domnio. Mostre que as funes abaixo so harmnicas.

    a) f (x, y) = ln

    x2 + y2

    b) f (x, y) = arctg( yx)

    c) f (x, y) = cos x senhy+ senx cosh y

    d) f (x, y) = ex cos y+ ey cos x.

    Exerccio 4.9 Se w = cos(x y) + ln(x+ y), mostre quewxx wyy = 0.

    Exerccio 4.10 Dizemos que u(x, t) satisfaz a equao da onda se

    utt = c2uxx,

    onde c uma constante positiva. Mostre que as funes abaixo satisfazem a equao da onda.

    (a) u(x, t) = sen(ckt) sen(kx), onde k uma constante.

    (b) u(x, t) = (x ct)4 + cos(x+ ct).

    4.5 Derivadas parciais de funes mais de duasvariveis

    A seguir estenderemos o conceito de derivadas parciais para funes detrs variveis. A extenso deste conceito para funes de mais de trsvariveis imediata.

    Definio 4.2 (Derivadas parciais para funes de trs variveis) Seja fdefinida numa vizinhana do ponto (xo, yo, zo), se o limite

    limxxo

    f (x, yo, zo) f (xo, yo, zo)x xo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao x no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fx(xo, yo, zo) ou

    fx (xo, yo, zo).

    Se o limite

    limyyo

    f (xo, y, zo) f (xo, yo, zo)y yo

    existir, ele ser chamado de derivada parcial de f em relao y no ponto(xo, yo, zo), o qual denotaremos por fy(xo, yo, zo) ou

    fy (xo, yo, zo).

  • AULA 5

    Diferenciabilidade de funes de vrias variveis

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Compreender o significado de diferenciabilidade para uma funo de duas ou mais variveis, bem como as

    consequncias da diferenciabilidade.2. Calcular o plano tangente a uma superfcie que o grfico de uma funo de duas variveis.3. Calcular a diferencial de uma funo, bem como aproximar a variao de uma funo pela sua diferencial.

    5 .1 REVISO DO COnCEItO DE DIFEREnCIAbILIDADE

    pARA FUnO DE UMA VARIVEL

    cap5 2009/10/15 22:47 page 9 #9

    Captulo 5

    Diferenciabilidade defunes de vrias variveis

    O objetivo desta aula introduzir os conceitos de diferenciabilidade e dediferencial para funes de duas ou mais variveis, bem como a definiode plano tangente a uma superfcie que o grfico de uma funo de duasvariveis. Ao terminar esta aula, o aluno dever ser capaz de:

    5.1 Reviso do conceito de diferenciabilidade parafuno de uma varivel

    Antes de introduzirmos o conceito de diferenciabilidade para funes deduas ou mais variveis, vamos rever quais as consequncias de diferen-ciabilidade para uma funo de uma varivel. Dizemos que y = f (x),definida num intervalo aberto contendo xo diferencivel em xo, se olimite

    limx0

    f (xo + x) f (xo)x

    existir, neste caso, o denotamos por f (xo). Portanto, se f for diferencivelem xo, temos

    limx0

    (f (xo + x) f (xo)

    x f (xo)

    )= 0.

    Portanto, se denotarmos a quantidade

    f (xo + x) f (xo)x

    f (xo)

    por (x), ento (x) tende a zero quando x tende a zero. Ou seja, f diferencivel em xo se, e somente se, pudermos escrever

    f (xo + x) = f (xo) + f (xo)x+ x. (5.1)

    Exemplo 5.1 Seja f (x) = x2 x, encontre a funo (x) que aparece em(5.1).

    9

  • 62

    clculo de vrias variveis

    cap5 2009/10/15 22:47 page 10 #10

    10CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    Soluo.

    f (xo + x) = (xo + x)2 (xo + x)= x2o xo + (2xo 1)x+ (x)(x)= f (xo) + f (xo)x+ x,

    onde = x.

    Uma consequncia da diferenciabilidade de uma funo de uma varivel a continuidade, ou seja, se y = f (x) for derivvel em xo, ento, de (5.1),temos

    limx0

    f (xo + x) = limx0

    ( f (xo) + f (xo)x+ x) = f (xo),

    o que mostra que f contnua em xo.

    5.2 Diferenciabiliadade para funo de duas va-riveis

    Conforme havamos observado, a diferenciabilidade de uma funo deuma varivel implica continuidade da mesma. Por outro lado, a existnciadas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) no implica em continuidadede f (x, y) no ponto (xo, yo), como mostra o seguinte exemplo. Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Vimos no Exemplo 3.9 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe, logo, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0). Por outro lado, no Exemplo 4.4, vimos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0). Por isso, para funes de duas variveis, se quiser-mos definir a diferenciabilidade de modo que ela implique continuidade,devemos exigir mais do que existncia das suas derivadas parciais de pri-meira ordem.

    Definio 5.1 (Diferenciabilidade para funo de duas variveis) Sejaz = f (x, y), tal que suas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) existam.Dizemos que f diferencivel em (xo, yo), se

    f (xo + x, yo + y) = f (xo, yo) + fx(xo, yo)x+ fy(xo, yo)y+1 x+ 2 y, (5.2)

    onde 1 e 2 so funes de x e y, as quais tendem a zero quando x ey tendem a zero.

    Da definio acima, se f (x, y) for diferencivel em (xo, yo), ento ela sercontnua neste ponto. Portanto, se uma funo no for contnua num pontoela no pode ser diferencivel no mesmo.

    Exemplo 5.2 Encontre expresses para 1 e 2 dados em (5.2), onde f (x, y) =3x2 xy.

    cap5 2009/10/15 22:47 page 10 #10

    10CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    Soluo.

    f (xo + x) = (xo + x)2 (xo + x)= x2o xo + (2xo 1)x+ (x)(x)= f (xo) + f (xo)x+ x,

    onde = x.

    Uma consequncia da diferenciabilidade de uma funo de uma varivel a continuidade, ou seja, se y = f (x) for derivvel em xo, ento, de (5.1),temos

    limx0

    f (xo + x) = limx0

    ( f (xo) + f (xo)x+ x) = f (xo),

    o que mostra que f contnua em xo.

    5.2 Diferenciabiliadade para funo de duas va-riveis

    Conforme havamos observado, a diferenciabilidade de uma funo deuma varivel implica continuidade da mesma. Por outro lado, a existnciadas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) no implica em continuidadede f (x, y) no ponto (xo, yo), como mostra o seguinte exemplo. Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Vimos no Exemplo 3.9 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe, logo, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0). Por outro lado, no Exemplo 4.4, vimos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0). Por isso, para funes de duas variveis, se quiser-mos definir a diferenciabilidade de modo que ela implique continuidade,devemos exigir mais do que existncia das suas derivadas parciais de pri-meira ordem.

    Definio 5.1 (Diferenciabilidade para funo de duas variveis) Sejaz = f (x, y), tal que suas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) existam.Dizemos que f diferencivel em (xo, yo), se

    f (xo + x, yo + y) = f (xo, yo) + fx(xo, yo)x+ fy(xo, yo)y+1 x+ 2 y, (5.2)

    onde 1 e 2 so funes de x e y, as quais tendem a zero quando x ey tendem a zero.

    Da definio acima, se f (x, y) for diferencivel em (xo, yo), ento ela sercontnua neste ponto. Portanto, se uma funo no for contnua num pontoela no pode ser diferencivel no mesmo.

    Exemplo 5.2 Encontre expresses para 1 e 2 dados em (5.2), onde f (x, y) =3x2 xy.

    5 .2 DIFEREnCIAbILIADADE pARA FUnO DE DUAS VARIVEIS

  • 63

    AulA 5

    cap5 2009/10/15 22:47 page 10 #10

    10CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    Soluo.

    f (xo + x) = (xo + x)2 (xo + x)= x2o xo + (2xo 1)x+ (x)(x)= f (xo) + f (xo)x+ x,

    onde = x.

    Uma consequncia da diferenciabilidade de uma funo de uma varivel a continuidade, ou seja, se y = f (x) for derivvel em xo, ento, de (5.1),temos

    limx0

    f (xo + x) = limx0

    ( f (xo) + f (xo)x+ x) = f (xo),

    o que mostra que f contnua em xo.

    5.2 Diferenciabiliadade para funo de duas va-riveis

    Conforme havamos observado, a diferenciabilidade de uma funo deuma varivel implica continuidade da mesma. Por outro lado, a existnciadas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) no implica em continuidadede f (x, y) no ponto (xo, yo), como mostra o seguinte exemplo. Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Vimos no Exemplo 3.9 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe, logo, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0). Por outro lado, no Exemplo 4.4, vimos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0). Por isso, para funes de duas variveis, se quiser-mos definir a diferenciabilidade de modo que ela implique continuidade,devemos exigir mais do que existncia das suas derivadas parciais de pri-meira ordem.

    Definio 5.1 (Diferenciabilidade para funo de duas variveis) Sejaz = f (x, y), tal que suas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) existam.Dizemos que f diferencivel em (xo, yo), se

    f (xo + x, yo + y) = f (xo, yo) + fx(xo, yo)x+ fy(xo, yo)y+1 x+ 2 y, (5.2)

    onde 1 e 2 so funes de x e y, as quais tendem a zero quando x ey tendem a zero.

    Da definio acima, se f (x, y) for diferencivel em (xo, yo), ento ela sercontnua neste ponto. Portanto, se uma funo no for contnua num pontoela no pode ser diferencivel no mesmo.

    Exemplo 5.2 Encontre expresses para 1 e 2 dados em (5.2), onde f (x, y) =3x2 xy.

    cap5 2009/10/15 22:47 page 11 #11

    5.3. O PLANOTANGENTE EARETANORMALSUPERFCIEQUEOGRFICODE Z = F(X,Y)11

    Soluo Note que

    z = f (xo + x, yo + y) f (xo, yo)= (3(xo + x)2 (xo + x)(yo + y)) (3x2o xoyo)= (6xo yo)x xoy+ 3(x)2 xx,

    portanto, as funes 1 e 2 no so nicas, pois se escrevermos

    z = (6xo yo)x+ (xo)y+ (3x)x+ (x)y,teremos 1 = 3x e 2 = x. Por outro lado, se escrevermos

    z = (6xo yo)x+ (xo)y+ (3x y)x+ (0)y,teremos 1 = 3x y e 2 = 0.

    ADefinio 5.1 no parece ser muito prtica e o leitor pode fazer a seguintepergunta: existe algum critrio simples para decidirmos se uma funof (x, y) diferencivel num ponto (xo, yo)? A resposta a esta pergunta dada pelo teorema seguinte, o qual uma consequncia do Teorema doValor Mdio para funo de uma varivel.

    Teorema 5.1 Se fx e fy existirem numa vizinhana de (xo, yo) e forem contnuasneste ponto, ento f (x, y) ser diferencivel em (xo, yo).

    Uma consequncia do Teorema 5.1 que se as derivadas fx e fy foremcontnuas numa vizinhana de um ponto, ento f tem que ser contnua namesma, visto que diferenciabilidade implica continuidade.

    Exemplo 5.3 Mostre que f (x, y) = ex cos(xy) diferencivel em (0, 0).

    Soluo Note que

    fx = ex(cos(xy) y sen(xy)) e fy = xexsen(xy),as quais so contnuas para todo (x, y), portanto, pelo Teorema 5.1, f (x, y) diferencivel em todo o plano.

    5.3 O plano tangente e a reta normal superfcieque o grfico de z = f (x, y)

    Seja S a superfcie correspondente ao grfico de z = f (x, y) e suponha quefx e fy sejam contnuas. Seja P = (xo, yo, f (xo, yo)), um ponto sobre estasuperfcie, C1 e C2 as curvas obtidas atravs das intersees de S com osplanos y = yo e x = xo, respectivamente. Sejam T1 e T2 as retas tangentess curvas C1 e C2 no ponto (xo, yo, f (xo, yo)). (veja a Figura 4.1). Vimosna seo 4.3 que os seus coeficientes angulares so fx(xo, yo) e fy(xo, yo),respectivamente. Portanto, no plano y = yo, a reta T1 o grfico de

    z = f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo),o que no espao o conjunto de pontos da forma

    (x, yo, f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo)),

    cap5 2009/10/15 22:47 page 10 #10

    10CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    Soluo.

    f (xo + x) = (xo + x)2 (xo + x)= x2o xo + (2xo 1)x+ (x)(x)= f (xo) + f (xo)x+ x,

    onde = x.

    Uma consequncia da diferenciabilidade de uma funo de uma varivel a continuidade, ou seja, se y = f (x) for derivvel em xo, ento, de (5.1),temos

    limx0

    f (xo + x) = limx0

    ( f (xo) + f (xo)x+ x) = f (xo),

    o que mostra que f contnua em xo.

    5.2 Diferenciabiliadade para funo de duas va-riveis

    Conforme havamos observado, a diferenciabilidade de uma funo deuma varivel implica continuidade da mesma. Por outro lado, a existnciadas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) no implica em continuidadede f (x, y) no ponto (xo, yo), como mostra o seguinte exemplo. Seja

    f (x, y) =

    { xyx2+y2 , se (x, y) = (0, 0)0, se (x, y) = (0, 0).

    Vimos no Exemplo 3.9 que lim(x,y)(0,0) f (x, y) no existe, logo, f (x, y) nopode ser contnua em (0, 0). Por outro lado, no Exemplo 4.4, vimos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0). Por isso, para funes de duas variveis, se quiser-mos definir a diferenciabilidade de modo que ela implique continuidade,devemos exigir mais do que existncia das suas derivadas parciais de pri-meira ordem.

    Definio 5.1 (Diferenciabilidade para funo de duas variveis) Sejaz = f (x, y), tal que suas derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo) existam.Dizemos que f diferencivel em (xo, yo), se

    f (xo + x, yo + y) = f (xo, yo) + fx(xo, yo)x+ fy(xo, yo)y+1 x+ 2 y, (5.2)

    onde 1 e 2 so funes de x e y, as quais tendem a zero quando x ey tendem a zero.

    Da definio acima, se f (x, y) for diferencivel em (xo, yo), ento ela sercontnua neste ponto. Portanto, se uma funo no for contnua num pontoela no pode ser diferencivel no mesmo.

    Exemplo 5.2 Encontre expresses para 1 e 2 dados em (5.2), onde f (x, y) =3x2 xy.

    cap5 2009/10/15 22:47 page 11 #11

    5.3. O PLANOTANGENTE EARETANORMALSUPERFCIEQUEOGRFICODE Z = F(X,Y)11

    Soluo Note que

    z = f (xo + x, yo + y) f (xo, yo)= (3(xo + x)2 (xo + x)(yo + y)) (3x2o xoyo)= (6xo yo)x xoy+ 3(x)2 xx,

    portanto, as funes 1 e 2 no so nicas, pois se escrevermos

    z = (6xo yo)x+ (xo)y+ (3x)x+ (x)y,teremos 1 = 3x e 2 = x. Por outro lado, se escrevermos

    z = (6xo yo)x+ (xo)y+ (3x y)x+ (0)y,teremos 1 = 3x y e 2 = 0.

    ADefinio 5.1 no parece ser muito prtica e o leitor pode fazer a seguintepergunta: existe algum critrio simples para decidirmos se uma funof (x, y) diferencivel num ponto (xo, yo)? A resposta a esta pergunta dada pelo teorema seguinte, o qual uma consequncia do Teorema doValor Mdio para funo de uma varivel.

    Teorema 5.1 Se fx e fy existirem numa vizinhana de (xo, yo) e forem contnuasneste ponto, ento f (x, y) ser diferencivel em (xo, yo).

    Uma consequncia do Teorema 5.1 que se as derivadas fx e fy foremcontnuas numa vizinhana de um ponto, ento f tem que ser contnua namesma, visto que diferenciabilidade implica continuidade.

    Exemplo 5.3 Mostre que f (x, y) = ex cos(xy) diferencivel em (0, 0).

    Soluo Note que

    fx = ex(cos(xy) y sen(xy)) e fy = xexsen(xy),as quais so contnuas para todo (x, y), portanto, pelo Teorema 5.1, f (x, y) diferencivel em todo o plano.

    5.3 O plano tangente e a reta normal superfcieque o grfico de z = f (x, y)

    Seja S a superfcie correspondente ao grfico de z = f (x, y) e suponha quefx e fy sejam contnuas. Seja P = (xo, yo, f (xo, yo)), um ponto sobre estasuperfcie, C1 e C2 as curvas obtidas atravs das intersees de S com osplanos y = yo e x = xo, respectivamente. Sejam T1 e T2 as retas tangentess curvas C1 e C2 no ponto (xo, yo, f (xo, yo)). (veja a Figura 4.1). Vimosna seo 4.3 que os seus coeficientes angulares so fx(xo, yo) e fy(xo, yo),respectivamente. Portanto, no plano y = yo, a reta T1 o grfico de

    z = f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo),o que no espao o conjunto de pontos da forma

    (x, yo, f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo)),

    5 .3 O pLAnO tAngEntE E A REtA nORMAL SUpERFCIE

    qUE O gRFICO DE z = f (x,y)

  • 64

    clculo de vrias variveis

    cap5 2009/10/15 22:47 page 12 #12

    12CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    onde x R. Fazendo x = xo e x = xo + x, encontramos dois pon-tos de T1, digamos P = (xo, yo, f (xo, yo)) e Q = (xo + x, yo, f (xo, yo) +fx(xo, yo)x). A reta T1 paralela ao vetor

    PQ =

    OPOQ = x (1, 0, fx(xo, yo)),

    portanto esta reta paralela ao vetor

    (1, 0, fx(xo, yo)) V1.De maneira anloga, os pontos sobre T2 so da forma

    (xo, y, f (xo, yo) + fy(xo, yo)(y yo)),onde y R. Fazendo y = yo e y = yo + y, temos os pontos M =(xo, yo, f (xo, yo)) e N = (xo, yo + y, f (xo, yo) + fy(xo, yo)y) da reta T2.A reta T2 paralela ao vetor

    MN =

    OMON = y (0, 1, fy(xo, yo)), por-

    tanto, ela paralela ao vetor

    (0, 1, fy(xo, yo)) V2.Definimos o plano tangente S no ponto (xo, yo, f (xo, yo)), o qual deno-taremos por pi, como o plano que passa por (xo, yo, f (xo, yo)) e contm asretas T1 e T2. Como as retas T1 e T2 so paralelas aos vetores V1 e V2,respectivamente, ento o vetor

    N V1 V2 = ( fx(xo, yo), fy(xo, yo), 1), (5.3)ser perpendicular a T1 e T2 e, portanto, normal ao plano pi. O vetor Nacima chamado de vetor normal a S em (xo, yo, f (xo, yo)). Portanto, oplano pi o conjunto dos pontos (x, y, z) que satisfazem equao (vejaSeo 1.2),

    (x xo, y yo, z f (xo, yo)) N = 0,o que equivalente a

    z = f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo). (5.4)Definio 5.2 A reta normal superfcie S no ponto (xo, yo, f (xo, yo)) areta que passa por este ponto e paralela ao vetor normal

    N , dado pela

    equao (5.3); portanto,

    x = xo fx(xo, yo)t, y = yo fy(xo, yo)t e z = f (xo, yo) + t,onde t R, so equaes paramtricas da mesma.Exemplo 5.4 Determine as equaes do plano tangente e da reta normalao paraboloide elptico

    z = 2x2 + y2,

    no ponto (1, 1, 3).

    Soluo Note que fx(x, y) = 4x e fy(x, y) = 2y, em particular,fx(1, 1, 3) = 4 e fy(1, 1, 3) = 2, logo, a equao do plano tangente ao para-boloide no ponto (1, 1, 3) z = 3+ 4(x 1) + 2(y 1), ou seja,

    4x+ 2y z = 3.Por outro lado,

    x = 1 4t, y = 1 2t z = 3+ t,t real, so equaes paramtricas da reta normal.

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    AulA 5

    cap5 2009/10/15 22:47 page 13 #13

    5.3. O PLANOTANGENTE EARETANORMALSUPERFCIEQUEOGRFICODE Z = F(X,Y)13

    Exerccio 5.1 Determine as equaes do plano tangente e da reta normal superfcie que ogrfico de z = f (x, y) no ponto P especificado. Por que o ponto P dado pertence superfcie?Justifique.

    a) f (x, y) = 4x3y2 + 2y e P(1,2, 12)b) f (x, y) = 4x2 y2 e P(5,8, 36)c) f (x, y) = ln

    x2 + y2 e P(1, 0, 0)

    d) f (x, y) = 2x+yx2y e P(3, 1, 7)

    e) f (x, y) = xey e P(1, 0, 1).

    A equao (5.4) define uma funo de duas variveis

    z = l(x, y) f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo), (5.5)cujo grfico o plano tangente ao grfico de z = f (x, y) no ponto(xo, yo, f (xo, yo)).

    Em particular, para pontos (x, y) da forma (xo + x, yo + y), teremos

    z = l(xo + x, yo + y) = f (xo, yo) + fx(xo, yo)x+ fy(xo, yo)y.

    Portanto, desta relao e de (5.2), se f for diferencivel em (xo, yo), temos

    f (xo + x, yo + y) = l(xo + x, yo + y) + 1 x+ 2 y,

    portanto, para x e y pequenos, ou seja, para (x, y) prximos de (xo, yo),os pontos do grfico de f (x, y) podem ser aproximados pelos correspon-dentes pontos do grfico de l(x, y). O erro que cometemos ao fazermos talaproximao dado por 1x+ 2y.

    A funo z = l(x, y) chamada de aproximao linear de f em (xo, yo).

    Da discusso acima, concluimos que o plano tangente ao grfico de umafuno diferencivel de duas variveis o anlogo da reta tangente ao gr-fico de uma funo diferencivel de uma varivel: ambos nos permitemaproximar localmente a funo por algo linear.

    Exemplo 5.5 Seja f (x, y) = ex cos(xy), encontre a aproximao linear de fno ponto (0, 0).

    Soluo Vimos no Exemplo 5.3 que

    fx = ex(cos(xy) y sen(xy)) e fy = xexsen(xy),logo, fx(0, 0) = 1 e fy(0, 0) = 0, portanto, a aproximao linear de f em(0, 0)

    l(x, y) = f (0, 0) + fx(0, 0)x+ fy(0, 0)y = 1+ x.

    Ou seja, para (x, y) prximos de (0, 0), o valor de f (x, y) aproximada-mente 1+ x.

    cap5 2009/10/15 22:47 page 13 #13

    5.3. O PLANOTANGENTE EARETANORMALSUPERFCIEQUEOGRFICODE Z = F(X,Y)13

    Exerccio 5.1 Determine as equaes do plano tangente e da reta normal superfcie que ogrfico de z = f (x, y) no ponto P especificado. Por que o ponto P dado pertence superfcie?Justifique.

    a) f (x, y) = 4x3y2 + 2y e P(1,2, 12)b) f (x, y) = 4x2 y2 e P(5,8, 36)c) f (x, y) = ln

    x2 + y2 e P(1, 0, 0)

    d) f (x, y) = 2x+yx2y e P(3, 1, 7)

    e) f (x, y) = xey e P(1, 0, 1).

    A equao (5.4) define uma funo de duas variveis

    z = l(x, y) f (xo, yo) + fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo), (5.5)cujo grfico o plano tangente ao grfico de z = f (x, y) no ponto(xo, yo, f (xo, yo)).

    Em particular, para pontos (x, y) da forma (xo + x, yo + y), teremos

    z = l(xo + x, yo + y) = f (xo, yo) + fx(xo, yo)x+ fy(xo, yo)y.

    Portanto, desta relao e de (5.2), se f for diferencivel em (xo, yo), temos

    f (xo + x, yo + y) = l(xo + x, yo + y) + 1 x+ 2 y,

    portanto, para x e y pequenos, ou seja, para (x, y) prximos de (xo, yo),os pontos do grfico de f (x, y) podem ser aproximados pelos correspon-dentes pontos do grfico de l(x, y). O erro que cometemos ao fazermos talaproximao dado por 1x+ 2y.

    A funo z = l(x, y) chamada de aproximao linear de f em (xo, yo).

    Da discusso acima, concluimos que o plano tangente ao grfico de umafuno diferencivel de duas variveis o anlogo da reta tangente ao gr-fico de uma funo diferencivel de uma varivel: ambos nos permitemaproximar localmente a funo por algo linear.

    Exemplo 5.5 Seja f (x, y) = ex cos(xy), encontre a aproximao linear de fno ponto (0, 0).

    Soluo Vimos no Exemplo 5.3 que

    fx = ex(cos(xy) y sen(xy)) e fy = xexsen(xy),logo, fx(0, 0) = 1 e fy(0, 0) = 0, portanto, a aproximao linear de f em(0, 0)

    l(x, y) = f (0, 0) + fx(0, 0)x+ fy(0, 0)y = 1+ x.

    Ou seja, para (x, y) prximos de (0, 0), o valor de f (x, y) aproximada-mente 1+ x.

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    clculo de vrias variveis

    cap5 2009/10/15 22:47 page 14 #14

    14CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    5.4 Incrementos e diferenciais

    Denotaremos por dz (ou d f ) a variao de z ou de f , ao longo do planotangente ao grfico de z = f (x, y) no ponto (xo, yo, f (xo, yo)), quando pas-samos de (xo, yo) para (xo + dx, yo + dy), onde dx e dy so as diferenciaisde x e y, respectivamente. Ou seja,

    dz = l(xo + dx, yo + dy) f (xo, yo),

    ento, de (5.5), temos

    dz = fx(xo, yo)dx+ fy(xo, yo)dy,

    que chamada de diferencial de f no ponto (xo, yo).

    Exemplo 5.6 Seja z = f (x, y) = 5y2 xy+ cos(xy), calcule dz.

    Soluo Vimos que

    dz = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy,

    por outro lado, fx(x, y) = y y sen(xy) e fy(x, y) = 10y x x sen(xy).Portanto,

    dz = y(1+ sen(xy))dx+ (10y x x sen(xy))dy.

    Exerccio 5.2 Calcule dz, onde z = f (x, y) dada abaixo.

    a) f (x, y) = x3 x2y+ 3y2b) f (x, y) = 5x2 + 4y 3xy3c) f (x, y) = x2 seny+ 2y3/2

    d) f (x, y) = ye2x 3x4e) f (x, y) = x2exy + 1/y2

    f) f (x, y) = ln(x2 + y2) + x arctan y.

    Note que, em virtude de (5.2), se uma funo f (x, y) for diferencivel, en-to a sua variao z, quando passamos de (x, y) para (x + dx, y + dy),satisfaz

    z = f (x+ dx, y+ dy) f (x, y)= fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy+ 1dx+ 2dy= dz+ 1dx+ 2dy,

    onde 1 e 2 tendem a zero quando dx e dy tendem a zero. Isto nos permiteaproximar o incremento z pela diferencial dz, pois esta mais simples deser calculada.

    Exemplo 5.7 Seja z = f (x, y) = 3x2 xy. Calcule z e dz quando (x, y)varia de (1, 2) para (1, 01; 1, 98).

    5 .4 InCREMEntOS E DIFEREnCIAIS

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    AulA 5

    cap5 2009/10/15 22:47 page 14 #14

    14CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    5.4 Incrementos e diferenciais

    Denotaremos por dz (ou d f ) a variao de z ou de f , ao longo do planotangente ao grfico de z = f (x, y) no ponto (xo, yo, f (xo, yo)), quando pas-samos de (xo, yo) para (xo + dx, yo + dy), onde dx e dy so as diferenciaisde x e y, respectivamente. Ou seja,

    dz = l(xo + dx, yo + dy) f (xo, yo),

    ento, de (5.5), temos

    dz = fx(xo, yo)dx+ fy(xo, yo)dy,

    que chamada de diferencial de f no ponto (xo, yo).

    Exemplo 5.6 Seja z = f (x, y) = 5y2 xy+ cos(xy), calcule dz.

    Soluo Vimos que

    dz = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy,

    por outro lado, fx(x, y) = y y sen(xy) e fy(x, y) = 10y x x sen(xy).Portanto,

    dz = y(1+ sen(xy))dx+ (10y x x sen(xy))dy.

    Exerccio 5.2 Calcule dz, onde z = f (x, y) dada abaixo.

    a) f (x, y) = x3 x2y+ 3y2b) f (x, y) = 5x2 + 4y 3xy3c) f (x, y) = x2 seny+ 2y3/2

    d) f (x, y) = ye2x 3x4e) f (x, y) = x2exy + 1/y2

    f) f (x, y) = ln(x2 + y2) + x arctan y.

    Note que, em virtude de (5.2), se uma funo f (x, y) for diferencivel, en-to a sua variao z, quando passamos de (x, y) para (x + dx, y + dy),satisfaz

    z = f (x+ dx, y+ dy) f (x, y)= fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy+ 1dx+ 2dy= dz+ 1dx+ 2dy,

    onde 1 e 2 tendem a zero quando dx e dy tendem a zero. Isto nos permiteaproximar o incremento z pela diferencial dz, pois esta mais simples deser calculada.

    Exemplo 5.7 Seja z = f (x, y) = 3x2 xy. Calcule z e dz quando (x, y)varia de (1, 2) para (1, 01; 1, 98).

    cap5 2009/10/15 22:47 page 15 #15

    5.5. DIFERENCIABILIADADEPARAFUNODEMAISDEDUASVARIVEIS15

    Soluo No Exemplo 5.2 vimos que

    z = (6x y)x xy+ 3(x)2 xy.Fazendo x = 1, y = 2, x = 0, 01 e y = 0, 02, encontramos,

    z = 0, 0605.

    Por outro lado, como fx = 6x y e fy = x, segue-se quedz = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy = (6x y)dx xdy,

    fazendo x = 1, y = 2, x = 0, 01 e y = 0.02, obtemosdz = (6 2)(0, 001) + (1)(0, 002) = 0, 060.

    Logo, o erro que cometeramos ao usar dz como aproximao de z seriade apenas 0, 0005.

    Exemplo 5.8 O raio e a altura de um cilindro reto so 8 cm e 20 cm, res-pectivamente, com erro possvel de 0, 01 cm. Use diferenciais para apro-ximar o erro mximo no clculo do volume do cilindro.

    Soluo O volume do cilindro circular reto V(r, h) = pir2h, onde r e hso vistos como valores medidos, com erros mximos de medida dr e dh,respectivamente. Portanto,

    V dV = Vrdr+Vhdh = 2pirhdr+ pir2dh.

    Fazendo r = 8, h = 20 e dr = dh = 0, 01, obtemos o seguinte erromximo:

    dV = 2pi(8)(20)(0, 01) + (64)(0, 01)pi = 3, 84pi 12, 06 cm3.

    Exerccio 5.3 A resistncia total de dois resistores R1 e R2, ligados em paralelo, dada por

    1R=

    1R1

    +1R2

    .

    Se as medidas de R1 e R2, so 100 e 200 ohms, respectivamente, com erro mximo de 1% emcada medida, encontre uma aproximao do erro mximo no valor calculado de R.

    5.5 Diferenciabiliadade para funo de mais deduas variveis

    A seguir daremos a definio para diferenciabilidade para uma funo detrs variveis. A extenso deste conceito para funes de mais de trsvariveis imediata.

    5 .5 DIFEREnCIAbILIADADE pARA FUnO

    DE MAIS DE DUAS VARIVEIS

    cap5 2009/10/15 22:47 page 15 #15

    5.5. DIFERENCIABILIADADEPARAFUNODEMAISDEDUASVARIVEIS15

    Soluo No Exemplo 5.2 vimos que

    z = (6x y)x xy+ 3(x)2 xy.Fazendo x = 1, y = 2, x = 0, 01 e y = 0, 02, encontramos,

    z = 0, 0605.

    Por outro lado, como fx = 6x y e fy = x, segue-se quedz = fx(x, y)dx+ fy(x, y)dy = (6x y)dx xdy,

    fazendo x = 1, y = 2, x = 0, 01 e y = 0.02, obtemosdz = (6 2)(0, 001) + (1)(0, 002) = 0, 060.

    Logo, o erro que cometeramos ao usar dz como aproximao de z seriade apenas 0, 0005.

    Exemplo 5.8 O raio e a altura de um cilindro reto so 8 cm e 20 cm, res-pectivamente, com erro possvel de 0, 01 cm. Use diferenciais para apro-ximar o erro mximo no clculo do volume do cilindro.

    Soluo O volume do cilindro circular reto V(r, h) = pir2h, onde r e hso vistos como valores medidos, com erros mximos de medida dr e dh,respectivamente. Portanto,

    V dV = Vrdr+Vhdh = 2pirhdr+ pir2dh.

    Fazendo r = 8, h = 20 e dr = dh = 0, 01, obtemos o seguinte erromximo:

    dV = 2pi(8)(20)(0, 01) + (64)(0, 01)pi = 3, 84pi 12, 06 cm3.

    Exerccio 5.3 A resistncia total de dois resistores R1 e R2, ligados em paralelo, dada por

    1R=

    1R1

    +1R2

    .

    Se as medidas de R1 e R2, so 100 e 200 ohms, respectivamente, com erro mximo de 1% emcada medida, encontre uma aproximao do erro mximo no valor calculado de R.

    5.5 Diferenciabiliadade para funo de mais deduas variveis

    A seguir daremos a definio para diferenciabilidade para uma funo detrs variveis. A extenso deste conceito para funes de mais de trsvariveis imediata.

  • 68

    clculo de vrias variveis

    cap5 2009/10/15 22:47 page 16 #16

    16CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    Definio 5.3 (Diferenciabilidade para funo de trs variveis)Seja w = f (x, y, z), tal que suas derivadas parciais fx(xo, yo, zo), fy(xo, yo, zo) efz(xo, yo, zo) existam. Dizemos que f diferencivel em (xo, yo, zo), se

    f (xo + x, yo + y, zo + z) = f (xo, yo, zo) + fx(xo, yo, zo)x+ fy(xo, yo, zo)y+ fz(xo, yo, zo)z+ 1x+ 2y+ 3z, (5.6)

    onde 1, 2 e 3 so funes de x, y e z, as quais tendem a zero quando x,y e z tenderem simultaneamente a zero.

    Como no caso de duas variveis, para funes de trs variveis a diferen-ciabilidade implica continuidade.

    Mostra-se que se fx, fy e fz existirem numa vizinhana de (xo, yo, zo)e forem contnuas neste ponto, ento f (x, y, z) ser diferencivel em(xo, yo, zo). Este resultado o anlogo ao Teorema 5.1. Deste resultado,segue-se que se as derivadas fx, fy e fz forem contnuas numa vizinhanade um ponto, ento f tem que ser contnua na mesma, visto que diferenci-abilidade implica continuidade.

    De (5.6), se uma funo f (x, y, z) for diferencivel num ponto (xo, yo, zo),ento os seus valores nas proximidades deste ponto, ou seja, em pontos daforma

    (xo + x, yo + y, zo + z),

    onde x, y e z so pequenos, podem ser aproximados por

    f (xo, yo, zo) + fx(xo, yo, zo)x+ fy(xo, yo, zo)y+ fz(xo, yo, zo)z,

    que chamada de aproximao linear de f , no ponto (xo, yo, zo).

    A diferencial de f no ponto (x, y, z) definida como

    d f (x, y, z) = fx(x, y, z)dx+ fy(x, y, z)dy+ fz(x, y, z)dz,

    e nos permite encontrar valores aproximados para as variaes de f , ouseja,

    f d f .

    Exerccio 5.4 A resistncia total de trs resistores R1, R2 e R3, ligados em paralelo, dada por

    1R=

    1R1

    +1R2

    +1R3

    .

    Se as medidas de R1, R2 e R3 so 100, 200 e 300 ohms, respectivamente, com erro mximo de 1%em cada medida, encontre uma aproximao do erro mximo no valor calculado de R.

    Exerccio 5.5 Calcule as diferenciais das seguintes funes.

    a) f (x, y, z) = x3yz 3yz2b) f (x, y, z) = cos(x2 + y+ z)

    c) f (x, y, z) = x+y2

    1zd) f (x, y, z) = (x+ y+ z)3.

    cap5 2009/10/15 22:47 page 16 #16

    16CAPTULO 5. DIFERENCIABILIDADEDE FUNESDEVRIASVARIVEIS

    Definio 5.3 (Diferenciabilidade para funo de trs variveis)Seja w = f (x, y, z), tal que suas derivadas parciais fx(xo, yo, zo), fy(xo, yo, zo) efz(xo, yo, zo) existam. Dizemos que f diferencivel em (xo, yo, zo), se

    f (xo + x, yo + y, zo + z) = f (xo, yo, zo) + fx(xo, yo, zo)x+ fy(xo, yo, zo)y+ fz(xo, yo, zo)z+ 1x+ 2y+ 3z, (5.6)

    onde 1, 2 e 3 so funes de x, y e z, as quais tendem a zero quando x,y e z tenderem simultaneamente a zero.

    Como no caso de duas variveis, para funes de trs variveis a diferen-ciabilidade implica continuidade.

    Mostra-se que se fx, fy e fz existirem numa vizinhana de (xo, yo, zo)e forem contnuas neste ponto, ento f (x, y, z) ser diferencivel em(xo, yo, zo). Este resultado o anlogo ao Teorema 5.1. Deste resultado,segue-se que se as derivadas fx, fy e fz forem contnuas numa vizinhanade um ponto, ento f tem que ser contnua na mesma, visto que diferenci-abilidade implica continuidade.

    De (5.6), se uma funo f (x, y, z) for diferencivel num ponto (xo, yo, zo),ento os seus valores nas proximidades deste ponto, ou seja, em pontos daforma

    (xo + x, yo + y, zo + z),

    onde x, y e z so pequenos, podem ser aproximados por

    f (xo, yo, zo) + fx(xo, yo, zo)x+ fy(xo, yo, zo)y+ fz(xo, yo, zo)z,

    que chamada de aproximao linear de f , no ponto (xo, yo, zo).

    A diferencial de f no ponto (x, y, z) definida como

    d f (x, y, z) = fx(x, y, z)dx+ fy(x, y, z)dy+ fz(x, y, z)dz,

    e nos permite encontrar valores aproximados para as variaes de f , ouseja,

    f d f .

    Exerccio 5.4 A resistncia total de trs resistores R1, R2 e R3, ligados em paralelo, dada por

    1R=

    1R1

    +1R2

    +1R3

    .

    Se as medidas de R1, R2 e R3 so 100, 200 e 300 ohms, respectivamente, com erro mximo de 1%em cada medida, encontre uma aproximao do erro mximo no valor calculado de R.

    Exerccio 5.5 Calcule as diferenciais das seguintes funes.

    a) f (x, y, z) = x3yz 3yz2b) f (x, y, z) = cos(x2 + y+ z)

    c) f (x, y, z) = x+y2

    1zd) f (x, y, z) = (x+ y+ z)3.

    (5.6)

  • AULA 6

    A Regra da Cadeia e a derivada direcional

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Calcular derivadas de funes compostas, a partir a Regra da Cadeia.2. Calcular o gradiente de uma funo, saber qual o seu significado geomtrico

    e como ele est relacionado com as curvas de nvel de uma funo de duas variveis.

    3. Compreender a definio de derivada direcional, bem como calcul-la.4. Calcular derivadas parciais implicitamente.5. Encontrar a equao do plano tangente superfcie dada por f (x,y,z) = 0.

    6 .1 A REgRA DA CADEIA

    6 .1 .1 Reviso da Regra da Cadeia para funes de uma varivel

    cap6 2011/9/20 9:02 page 11 #11

    Captulo 6

    A Regra da Cadeia e aderivada direcional

    1. Calcular derivadas parciais implicitamente.

    2. Encontrar a equao do plano tangente superfcie dada por f (x, y, z) =0.

    6.1 A Regra da Cadeia

    6.1.1 Reviso da Regra da Cadeia para funes de uma va-rivel

    Antes de vermos a Regra da Cadeia para o caso de funes de duasvariveis, vamos record-la para o caso de uma funo de apenas umavarivel. Sejam y = f (x) e x = g(t), funes diferenciveis, ento, a com-posta de f com g a funo na varivel t, dada por y = f (g(t)). Veremoscomo calcular a derivada desta funo em relao a t.

    Seja t fixado. Quando passamos de t para t + t, a varivel x sofre umavariao de

    x = g(t+ t) g(t),enquanto que y varia de

    y = y(t+ t) y(t) = f (g(t+ t)) f (g(t)) = f (g(t) + x) f (g(t)),como f diferencivel, de (5.1), temos

    f (g(t) + x) = f (g(t)) + f (g(t))x+ (x),

    portanto, temos

    y = f (g(t)) x+ x, (6.1)

    onde tende a zero quando x tende a zero. Como g(t) contnua, pois diferencivel, quando t tende a zero, x tambm tende a zero, portanto,

    11

  • 70

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 12 #12

    12 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    tende a zero quando t tende a zero. Alm disso, como g diferencivel,ento,

    limt0

    xt

    = limt0

    g(t+ t) g(t)t

    = g(t). (6.2)

    Dividindo a equao (6.1) por t, tomando o limite quando t tende a zeroe usando (6.2), temos

    dydt

    = limt0

    yt

    = limt0

    (f (g(t))x

    t+

    xt

    )= f (g(t)) g(t) + g(t) 0

    = f (g(t)) g(t), (6.3)

    que chamada de Regra da Cadeia.

    Em (6.3), f (g(t)) obtida tomando-se a derivada de f (x) em relao a x, aqual uma funo de x, substituindo-se na mesma o x por g(t). comumreescrevermos a equao (6.3) da seguinte forma

    dydt

    =dydx

    dxdt

    ,

    onde fica implcito que dydx obtida derivando-se f em relao a x e naexpresso resultante, a qual uma funo de x, substituimos x por g(t).

    Exemplo 6.1 Seja y = ex, onde x = t2 + t. Calcule dydt .

    Soluo Da Regra da Cadeia, temos

    dydt

    =dydx

    dxdt

    = (ex)(2t+ 1) = et2+1(2t+ 1).

    Portanto, temos ddt et2+t = (2t+ 1)et

    2+t.

    Nas aplicaes em que temos que derivar uma funo complicada de t,procuramos v-la como uma composta de duas (oumais) funes e usamosa Regra da Cadeia para calcularmos a derivada da funo composta.

    6.1.2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis

    6.1.3 O caso em que z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t)

    A seguir veremos como calcular a derivada em relao a t da compostaz = f (x, y), onde x = g(t) e y = h(t), assumindo que f , g e h sejamfunes diferenciveis.

    Seja z(t) = f (g(t), h(t)) e fixemos o valor de t. Quando passamos de t parat+ t, as variveis x e y sofrem as seguintes variaes:

    x = g(t+ t) g(t)e

    y = h(t+ t) h(t),respectivamente. Por outro lado, a varivel z sofre uma variao de

    z = z(t+ t) z(t) = f (g(t+ t), h(t+ t)) f (g(t), h(t))= f (g(t) + x, h(t) + y) f (g(t), h(t)).

    6 .1 .2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis

    6 .1 .3 O caso em que z = f (x,y), com x=g (t) e y=h(t)

    cap6 2011/9/20 9:02 page 12 #12

    12 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    tende a zero quando t tende a zero. Alm disso, como g diferencivel,ento,

    limt0

    xt

    = limt0

    g(t+ t) g(t)t

    = g(t). (6.2)

    Dividindo a equao (6.1) por t, tomando o limite quando t tende a zeroe usando (6.2), temos

    dydt

    = limt0

    yt

    = limt0

    (f (g(t))x

    t+

    xt

    )= f (g(t)) g(t) + g(t) 0

    = f (g(t)) g(t), (6.3)

    que chamada de Regra da Cadeia.

    Em (6.3), f (g(t)) obtida tomando-se a derivada de f (x) em relao a x, aqual uma funo de x, substituindo-se na mesma o x por g(t). comumreescrevermos a equao (6.3) da seguinte forma

    dydt

    =dydx

    dxdt

    ,

    onde fica implcito que dydx obtida derivando-se f em relao a x e naexpresso resultante, a qual uma funo de x, substituimos x por g(t).

    Exemplo 6.1 Seja y = ex, onde x = t2 + t. Calcule dydt .

    Soluo Da Regra da Cadeia, temos

    dydt

    =dydx

    dxdt

    = (ex)(2t+ 1) = et2+1(2t+ 1).

    Portanto, temos ddt et2+t = (2t+ 1)et

    2+t.

    Nas aplicaes em que temos que derivar uma funo complicada de t,procuramos v-la como uma composta de duas (oumais) funes e usamosa Regra da Cadeia para calcularmos a derivada da funo composta.

    6.1.2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis

    6.1.3 O caso em que z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t)

    A seguir veremos como calcular a derivada em relao a t da compostaz = f (x, y), onde x = g(t) e y = h(t), assumindo que f , g e h sejamfunes diferenciveis.

    Seja z(t) = f (g(t), h(t)) e fixemos o valor de t. Quando passamos de t parat+ t, as variveis x e y sofrem as seguintes variaes:

    x = g(t+ t) g(t)e

    y = h(t+ t) h(t),respectivamente. Por outro lado, a varivel z sofre uma variao de

    z = z(t+ t) z(t) = f (g(t+ t), h(t+ t)) f (g(t), h(t))= f (g(t) + x, h(t) + y) f (g(t), h(t)).

  • 71

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 12 #12

    12 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    tende a zero quando t tende a zero. Alm disso, como g diferencivel,ento,

    limt0

    xt

    = limt0

    g(t+ t) g(t)t

    = g(t). (6.2)

    Dividindo a equao (6.1) por t, tomando o limite quando t tende a zeroe usando (6.2), temos

    dydt

    = limt0

    yt

    = limt0

    (f (g(t))x

    t+

    xt

    )= f (g(t)) g(t) + g(t) 0

    = f (g(t)) g(t), (6.3)

    que chamada de Regra da Cadeia.

    Em (6.3), f (g(t)) obtida tomando-se a derivada de f (x) em relao a x, aqual uma funo de x, substituindo-se na mesma o x por g(t). comumreescrevermos a equao (6.3) da seguinte forma

    dydt

    =dydx

    dxdt

    ,

    onde fica implcito que dydx obtida derivando-se f em relao a x e naexpresso resultante, a qual uma funo de x, substituimos x por g(t).

    Exemplo 6.1 Seja y = ex, onde x = t2 + t. Calcule dydt .

    Soluo Da Regra da Cadeia, temos

    dydt

    =dydx

    dxdt

    = (ex)(2t+ 1) = et2+1(2t+ 1).

    Portanto, temos ddt et2+t = (2t+ 1)et

    2+t.

    Nas aplicaes em que temos que derivar uma funo complicada de t,procuramos v-la como uma composta de duas (oumais) funes e usamosa Regra da Cadeia para calcularmos a derivada da funo composta.

    6.1.2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis

    6.1.3 O caso em que z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t)

    A seguir veremos como calcular a derivada em relao a t da compostaz = f (x, y), onde x = g(t) e y = h(t), assumindo que f , g e h sejamfunes diferenciveis.

    Seja z(t) = f (g(t), h(t)) e fixemos o valor de t. Quando passamos de t parat+ t, as variveis x e y sofrem as seguintes variaes:

    x = g(t+ t) g(t)e

    y = h(t+ t) h(t),respectivamente. Por outro lado, a varivel z sofre uma variao de

    z = z(t+ t) z(t) = f (g(t+ t), h(t+ t)) f (g(t), h(t))= f (g(t) + x, h(t) + y) f (g(t), h(t)).

    cap6 2011/9/20 9:02 page 13 #13

    6.1. A REGRA DA CADEIA 13

    Como f diferencivel, da relao acima e de (5.2), temos

    z = fx(g(t), h(t)) x+ fy(g(t), h(t)) y+ 1 x+ 2 y, (6.4)

    onde 1 e 2 tendem a zero quando ambos x e y tendem a zero. Como ge h so diferenciveis, elas so contnuas, portanto, x e y tendem a zeroquando t tende a zero, portanto, 1 e 2 tendem a zero quando t tende azero. Alm disso, como g e h so diferenciveis, ento,

    limt0

    xt

    = g(t) e limt0

    yt

    = h(t). (6.5)

    Portanto, dividindo (6.4) por t, tomando o limite quanto t tende a zero,usando (6.5) e lembrando que 1 e 2 tendem a zero quando t tende azero, temos

    dzdt

    = limt0

    zt

    = limt0

    (fx(g(t), h(t))

    xt

    + fy(g(t), h(t))yt

    + 1xt

    + 2yt

    )= fx(g(t), h(t)) g(t) + fy(g(t), h(t)) h(t) + g(t) 0+ h(t) 0= fx(g(t), h(t)) g(t) + fy(g(t), h(t)) h(t),

    onde fx(g(t), h(t)) acima obtida tomando-se a derivada parcial de f (x, y)em relao a x, a qual uma funo das variveis x e y e substituimos estaspor g(t) e h(t), respectivamente. De maneira anloga, fy(g(t), h(t)) ob-tida tomando-se a derivada parcial de f (x, y) em relao a y, a qual umafuno das variveis x e y e substituimos estas por g(t) e h(t), respectiva-mente. Com isso provamos o teorema a seguir.

    Teorema 6.1 Seja z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t), onde f , g e h sofunes diferenciveis. Ento, temos

    dzdt

    =zx

    dxdt

    +zy

    dydt

    .

    No teorema acima, zx ezy so obtidos derivando-se f (x, y) parcialmente

    em relao a x e a y, respectivamente. Nas funes obtidas, substituimos xe y por g(t) e h(t), respectivamente.

    Exemplo 6.2 Seja z = x2 + xy, com x = 3t2 + 1 e y = 2t t2. Calcule dzdt .

    Soluo Do Teorema 6.1, temos

    dzdt

    =zx

    dxdt

    +zy

    dydt

    = (2x+ y)(6t) + (x)(2 2t)=

    (2(3t2 + 1) + (2t t2)

    )(6t) + (3t2 + 1)(2 2t)

    = (6t2 + 2+ 2t t2)(6t) + (3t2 + 1)(2 2t)= 2+ 10t+ 18t2 + 24t3.

    Observe que poderamos substituir x e y pelas funes acima obtendo

    z = (3t2 + 1)2 + (3t2 + 1)(2t t2),

    cap6 2011/9/20 9:02 page 12 #12

    12 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    tende a zero quando t tende a zero. Alm disso, como g diferencivel,ento,

    limt0

    xt

    = limt0

    g(t+ t) g(t)t

    = g(t). (6.2)

    Dividindo a equao (6.1) por t, tomando o limite quando t tende a zeroe usando (6.2), temos

    dydt

    = limt0

    yt

    = limt0

    (f (g(t))x

    t+

    xt

    )= f (g(t)) g(t) + g(t) 0

    = f (g(t)) g(t), (6.3)

    que chamada de Regra da Cadeia.

    Em (6.3), f (g(t)) obtida tomando-se a derivada de f (x) em relao a x, aqual uma funo de x, substituindo-se na mesma o x por g(t). comumreescrevermos a equao (6.3) da seguinte forma

    dydt

    =dydx

    dxdt

    ,

    onde fica implcito que dydx obtida derivando-se f em relao a x e naexpresso resultante, a qual uma funo de x, substituimos x por g(t).

    Exemplo 6.1 Seja y = ex, onde x = t2 + t. Calcule dydt .

    Soluo Da Regra da Cadeia, temos

    dydt

    =dydx

    dxdt

    = (ex)(2t+ 1) = et2+1(2t+ 1).

    Portanto, temos ddt et2+t = (2t+ 1)et

    2+t.

    Nas aplicaes em que temos que derivar uma funo complicada de t,procuramos v-la como uma composta de duas (oumais) funes e usamosa Regra da Cadeia para calcularmos a derivada da funo composta.

    6.1.2 A Regra da Cadeia para funes de duas variveis

    6.1.3 O caso em que z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t)

    A seguir veremos como calcular a derivada em relao a t da compostaz = f (x, y), onde x = g(t) e y = h(t), assumindo que f , g e h sejamfunes diferenciveis.

    Seja z(t) = f (g(t), h(t)) e fixemos o valor de t. Quando passamos de t parat+ t, as variveis x e y sofrem as seguintes variaes:

    x = g(t+ t) g(t)e

    y = h(t+ t) h(t),respectivamente. Por outro lado, a varivel z sofre uma variao de

    z = z(t+ t) z(t) = f (g(t+ t), h(t+ t)) f (g(t), h(t))= f (g(t) + x, h(t) + y) f (g(t), h(t)).

  • 72

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 14 #14

    14 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    que uma funo em t. Utilizando a Regra da Cadeia para funes de umavarivel, teramos

    dzdt

    = 2(3t2+ 1).(6t)+ (6t)(2t t2)+ (3t2+ 1)(2 2t) = 2+ 10t+ 18t2+ 24t3.

    No entanto, nem sempre tal procedimento possvel ou desejvel, razopela qual necessitamos do resultado estabelecido no Teorema 6.1.

    Exemplo 6.3 Um circuito eltrico consiste de um resistor R e de uma foraeletromotriz V. Num dado instante, V = 80 volts e aumenta a uma taxade 5 volts/min, enquanto que R = 40 ohms e decresce a uma taxa de 2ohms/min. Da Lei de Ohm, sabe-se que a corrente dada por I = V/R.Calcule dIdt .

    Soluo Neste caso, I = V/R, onde I = I(t) e R = R(t). Da Regra daCadeia dada no Teorema 6.1, temos

    dIdt

    =IV

    dVdt

    +IR

    dRdt

    = (1/R)dVdt

    + (V/R2) dRdt

    = (1/40)(5) + (80/1600)(2) = 9/40 = 0, 225(amp/min).

    Exerccio 6.1 Calcule dzdt , onde z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t).

    a) z = x ln(x+ 2y), x = sen t e y = cos t

    b) z = x2 y2, x = 1t+1 e y = tt+1c) z = yex+y, x = t e y = cos t

    d) z = x2y+ xy2, x = 1 t2 e y = 2+ t2(e) z = xy+ x2, x = et cos t e y = et.

    Podemos calcular derivadas de ordem superior de z = f (x, y), ondex = x(t) e y = y(t). Por exemplo

    d2zdt2

    =ddt

    (dzdt

    )=

    ddt

    (zx

    dxdt

    +zy

    dydt

    )=

    ddt

    (zx

    )dxdt

    +zx

    d2xdt2

    +ddt

    (zy

    )dydt

    +zy

    d2ydt2

    . (6.6)

    Aplicamos o Teorema 6.1 no clculos das derivadas ddt(

    zx

    )e ddt

    (zy

    ), isto

    , olhamos para zx ezy como funes de x e y, onde estas so funes de

    t. Ou seja,

    ddt

    (zx

    )=

    2z2x

    dxdt

    +2zyx

    dydt

    (6.7)

    e

    ddt

    (zy

    )=

    2zyx

    dxdt

    +2z2y

    dydt

    . (6.8)

    cap6 2011/9/20 9:02 page 15 #15

    6.1. A REGRA DA CADEIA 15

    Portanto, de (6.6), (6.7) e (6.8), temos

    d2zdt2

    =2z2x

    (dxdt

    )2+

    2zyx

    dydt

    dxdt

    +zx

    d2xdt2

    +2zyx

    dxdt

    dydt

    +2z2y

    (dydt

    )2+

    zy

    d2ydt2

    .

    O anlogo do Teorema 6.1 para uma funo de trs variveis dado abaixo.

    Teorema 6.2 Seja w = f (x, y, z) uma funo diferencivel de x, y e z, ondex = x(t), y = y(t) e z = z(t) so funes diferenciveis de t. Ento, acomposta w = f (x(t), y(t), z(t)) uma funo diferencivel de t e

    dwdt

    =wx

    dxdt

    +wy

    dydt

    +wz

    dzdt

    .

    Definio 6.1 Dada uma funo f (x, y), cujas as derivadas parciais fx e fyexistam, definimos o gradiente de f no ponto (x, y), o qual denotamos por f (x, y), como

    f (x, y) = fx(x, y)+ fy(x, y).

    Exemplo 6.4 Seja f (x, y) = xy2, ento

    f (x, y) = y2+ 2xy.

    O conceito de gradiente se generaliza de maneira natural para funes demais de duas variveis. Em particular, para uma funo f (x, y, z), onde asderivadas parciais fx, fy e fz existam, define-se o seu gradiente no ponto(x, y, z) como

    f (x, y, z) = fx(x, y, z)+ fy(x, y, z)+ fz(x, y, z) k.

    Exemplo 6.5 Seja f (x, y, z) = x2yz, ento,

    f (x, y, z) = 2xyz+ x2z+ x2yk.

    A interpretao geomtrica do gradiente ser dada na Seo 6.5.

    A seguir, dada uma funo f (x, y), vamos calcular os seus valores ao longodo segmento de reta ligando (x, y) a (xo, yo).

    Exemplo 6.6 Seja f diferencivel numa vizinhana de (xo, yo), ento para(x, y) fixo, defina

    w(t) = f (txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y),onde 0 t 1. Mostre que

    w(t) = (xo x) fx(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y)+ (yo y) fy(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y). (6.9)

    Em particular,

    w(1) = f (xo, yo) (x xo, y yo). (6.10)

  • 73

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 14 #14

    14 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    que uma funo em t. Utilizando a Regra da Cadeia para funes de umavarivel, teramos

    dzdt

    = 2(3t2+ 1).(6t)+ (6t)(2t t2)+ (3t2+ 1)(2 2t) = 2+ 10t+ 18t2+ 24t3.

    No entanto, nem sempre tal procedimento possvel ou desejvel, razopela qual necessitamos do resultado estabelecido no Teorema 6.1.

    Exemplo 6.3 Um circuito eltrico consiste de um resistor R e de uma foraeletromotriz V. Num dado instante, V = 80 volts e aumenta a uma taxade 5 volts/min, enquanto que R = 40 ohms e decresce a uma taxa de 2ohms/min. Da Lei de Ohm, sabe-se que a corrente dada por I = V/R.Calcule dIdt .

    Soluo Neste caso, I = V/R, onde I = I(t) e R = R(t). Da Regra daCadeia dada no Teorema 6.1, temos

    dIdt

    =IV

    dVdt

    +IR

    dRdt

    = (1/R)dVdt

    + (V/R2) dRdt

    = (1/40)(5) + (80/1600)(2) = 9/40 = 0, 225(amp/min).

    Exerccio 6.1 Calcule dzdt , onde z = f (x, y), com x = g(t) e y = h(t).

    a) z = x ln(x+ 2y), x = sen t e y = cos t

    b) z = x2 y2, x = 1t+1 e y = tt+1c) z = yex+y, x = t e y = cos t

    d) z = x2y+ xy2, x = 1 t2 e y = 2+ t2(e) z = xy+ x2, x = et cos t e y = et.

    Podemos calcular derivadas de ordem superior de z = f (x, y), ondex = x(t) e y = y(t). Por exemplo

    d2zdt2

    =ddt

    (dzdt

    )=

    ddt

    (zx

    dxdt

    +zy

    dydt

    )=

    ddt

    (zx

    )dxdt

    +zx

    d2xdt2

    +ddt

    (zy

    )dydt

    +zy

    d2ydt2

    . (6.6)

    Aplicamos o Teorema 6.1 no clculos das derivadas ddt(

    zx

    )e ddt

    (zy

    ), isto

    , olhamos para zx ezy como funes de x e y, onde estas so funes de

    t. Ou seja,

    ddt

    (zx

    )=

    2z2x

    dxdt

    +2zyx

    dydt

    (6.7)

    e

    ddt

    (zy

    )=

    2zyx

    dxdt

    +2z2y

    dydt

    . (6.8)

    cap6 2011/9/20 9:02 page 15 #15

    6.1. A REGRA DA CADEIA 15

    Portanto, de (6.6), (6.7) e (6.8), temos

    d2zdt2

    =2z2x

    (dxdt

    )2+

    2zyx

    dydt

    dxdt

    +zx

    d2xdt2

    +2zyx

    dxdt

    dydt

    +2z2y

    (dydt

    )2+

    zy

    d2ydt2

    .

    O anlogo do Teorema 6.1 para uma funo de trs variveis dado abaixo.

    Teorema 6.2 Seja w = f (x, y, z) uma funo diferencivel de x, y e z, ondex = x(t), y = y(t) e z = z(t) so funes diferenciveis de t. Ento, acomposta w = f (x(t), y(t), z(t)) uma funo diferencivel de t e

    dwdt

    =wx

    dxdt

    +wy

    dydt

    +wz

    dzdt

    .

    Definio 6.1 Dada uma funo f (x, y), cujas as derivadas parciais fx e fyexistam, definimos o gradiente de f no ponto (x, y), o qual denotamos por f (x, y), como

    f (x, y) = fx(x, y)+ fy(x, y).

    Exemplo 6.4 Seja f (x, y) = xy2, ento

    f (x, y) = y2+ 2xy.

    O conceito de gradiente se generaliza de maneira natural para funes demais de duas variveis. Em particular, para uma funo f (x, y, z), onde asderivadas parciais fx, fy e fz existam, define-se o seu gradiente no ponto(x, y, z) como

    f (x, y, z) = fx(x, y, z)+ fy(x, y, z)+ fz(x, y, z) k.

    Exemplo 6.5 Seja f (x, y, z) = x2yz, ento,

    f (x, y, z) = 2xyz+ x2z+ x2yk.

    A interpretao geomtrica do gradiente ser dada na Seo 6.5.

    A seguir, dada uma funo f (x, y), vamos calcular os seus valores ao longodo segmento de reta ligando (x, y) a (xo, yo).

    Exemplo 6.6 Seja f diferencivel numa vizinhana de (xo, yo), ento para(x, y) fixo, defina

    w(t) = f (txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y),onde 0 t 1. Mostre que

    w(t) = (xo x) fx(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y)+ (yo y) fy(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y). (6.9)

    Em particular,

    w(1) = f (xo, yo) (x xo, y yo). (6.10)

  • 74

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 16 #16

    16 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    Soluo Sejam g(t) = txo+(1 t)x e h(t) = tyo+(1 t)y, ento podemosver w(t) como a seguinte composta: w(t) = f (x, y), onde x = g(t) e y =h(t). Portanto, da Regra da Cadeia, Teorema 6.1, temos,

    w(t) = fx(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y)(x xo) + fy(txo + (1 t)x, tyo+ (1 t)y)(yo y),

    com isso terminamos o exemplo.

    6.1.4 O caso em que z = f (u, v), onde u = g(x, y) e v =h(x, y)

    A seguir veremos como calcular as derivadas parciais com relao a x e yda funo z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y), onde assumiremosque f , g e h so funes diferenciveis. Ou seja, calcularemos zx e

    zy , onde

    z(x, y) = f (g(x, y), h(x, y)).

    Seja (x, y) fixado. Quando passamos de x para x+ x e mantemos y fixo,as variveis u e v sofrem as seguintes variaes:

    u = g(x+ x, y) g(x, y)e

    v = h(x+ x, y) h(x, y).Por outro lado, a varivel z sofre a variao

    z(x+ x, y) z(x, y) = f (g(x+ x, y), h(x+ x, y)) f (g(x, y), h(x, y))= f (g(x, y) + u, h(x, y) + v) f (g(x, y), h(x, y)).

    Como f diferencivel, da relao acima e de (5.2), temos

    z(x+ x, y) z(x, y) = fu(g(x, y), h(x, y)) u+ fv(g(x, y), h(x, y)) v+1 u+ 2 v (6.11)

    onde 1 e 2 so funes de u e v, as quais tendem a zero quando ambosu e v tendem a zero. Como g e h so contnuas, pois so diferenciveis,segue-se que u e v tendem a zero quando x tende a zero. Portanto,1 e 2 tendem a zero quando x tende a zero. Alm disso, sendo g e hdiferenciveis, as suas derivadas parciais em relao a x existem. Logo,

    limx0

    ux

    = limx0

    g(x+ x, y) g(x, y)x

    = gx(x, y) (6.12)

    e

    limx0

    vx

    = limx0

    h(x+ x, y) h(x, y)x

    = hx(x, y). (6.13)

    Portanto, dividindo a equao (6.11) por x, tomando-se o limite quandox tende a zero e usando (6.12) e (6.13), temos

    zx

    = limx0

    z(x+ x, y) z(x, y)x

    = limx0

    (fu(g(x, y), h(x, y))

    ux

    + fv(g(x, y), h(x, y))vx

    +ux

    1 +vx

    2

    )= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y)

    +gx(x, y) 0+ hx(x, y) 0= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y).

    6 .1 .4 O caso em que z= f (u,v), onde u=g(x,y) e v=h(x,y)

    cap6 2011/9/20 9:02 page 16 #16

    16 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    Soluo Sejam g(t) = txo+(1 t)x e h(t) = tyo+(1 t)y, ento podemosver w(t) como a seguinte composta: w(t) = f (x, y), onde x = g(t) e y =h(t). Portanto, da Regra da Cadeia, Teorema 6.1, temos,

    w(t) = fx(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y)(x xo) + fy(txo + (1 t)x, tyo+ (1 t)y)(yo y),

    com isso terminamos o exemplo.

    6.1.4 O caso em que z = f (u, v), onde u = g(x, y) e v =h(x, y)

    A seguir veremos como calcular as derivadas parciais com relao a x e yda funo z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y), onde assumiremosque f , g e h so funes diferenciveis. Ou seja, calcularemos zx e

    zy , onde

    z(x, y) = f (g(x, y), h(x, y)).

    Seja (x, y) fixado. Quando passamos de x para x+ x e mantemos y fixo,as variveis u e v sofrem as seguintes variaes:

    u = g(x+ x, y) g(x, y)e

    v = h(x+ x, y) h(x, y).Por outro lado, a varivel z sofre a variao

    z(x+ x, y) z(x, y) = f (g(x+ x, y), h(x+ x, y)) f (g(x, y), h(x, y))= f (g(x, y) + u, h(x, y) + v) f (g(x, y), h(x, y)).

    Como f diferencivel, da relao acima e de (5.2), temos

    z(x+ x, y) z(x, y) = fu(g(x, y), h(x, y)) u+ fv(g(x, y), h(x, y)) v+1 u+ 2 v (6.11)

    onde 1 e 2 so funes de u e v, as quais tendem a zero quando ambosu e v tendem a zero. Como g e h so contnuas, pois so diferenciveis,segue-se que u e v tendem a zero quando x tende a zero. Portanto,1 e 2 tendem a zero quando x tende a zero. Alm disso, sendo g e hdiferenciveis, as suas derivadas parciais em relao a x existem. Logo,

    limx0

    ux

    = limx0

    g(x+ x, y) g(x, y)x

    = gx(x, y) (6.12)

    e

    limx0

    vx

    = limx0

    h(x+ x, y) h(x, y)x

    = hx(x, y). (6.13)

    Portanto, dividindo a equao (6.11) por x, tomando-se o limite quandox tende a zero e usando (6.12) e (6.13), temos

    zx

    = limx0

    z(x+ x, y) z(x, y)x

    = limx0

    (fu(g(x, y), h(x, y))

    ux

    + fv(g(x, y), h(x, y))vx

    +ux

    1 +vx

    2

    )= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y)

    +gx(x, y) 0+ hx(x, y) 0= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y).

  • 75

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 16 #16

    16 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    Soluo Sejam g(t) = txo+(1 t)x e h(t) = tyo+(1 t)y, ento podemosver w(t) como a seguinte composta: w(t) = f (x, y), onde x = g(t) e y =h(t). Portanto, da Regra da Cadeia, Teorema 6.1, temos,

    w(t) = fx(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y)(x xo) + fy(txo + (1 t)x, tyo+ (1 t)y)(yo y),

    com isso terminamos o exemplo.

    6.1.4 O caso em que z = f (u, v), onde u = g(x, y) e v =h(x, y)

    A seguir veremos como calcular as derivadas parciais com relao a x e yda funo z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y), onde assumiremosque f , g e h so funes diferenciveis. Ou seja, calcularemos zx e

    zy , onde

    z(x, y) = f (g(x, y), h(x, y)).

    Seja (x, y) fixado. Quando passamos de x para x+ x e mantemos y fixo,as variveis u e v sofrem as seguintes variaes:

    u = g(x+ x, y) g(x, y)e

    v = h(x+ x, y) h(x, y).Por outro lado, a varivel z sofre a variao

    z(x+ x, y) z(x, y) = f (g(x+ x, y), h(x+ x, y)) f (g(x, y), h(x, y))= f (g(x, y) + u, h(x, y) + v) f (g(x, y), h(x, y)).

    Como f diferencivel, da relao acima e de (5.2), temos

    z(x+ x, y) z(x, y) = fu(g(x, y), h(x, y)) u+ fv(g(x, y), h(x, y)) v+1 u+ 2 v (6.11)

    onde 1 e 2 so funes de u e v, as quais tendem a zero quando ambosu e v tendem a zero. Como g e h so contnuas, pois so diferenciveis,segue-se que u e v tendem a zero quando x tende a zero. Portanto,1 e 2 tendem a zero quando x tende a zero. Alm disso, sendo g e hdiferenciveis, as suas derivadas parciais em relao a x existem. Logo,

    limx0

    ux

    = limx0

    g(x+ x, y) g(x, y)x

    = gx(x, y) (6.12)

    e

    limx0

    vx

    = limx0

    h(x+ x, y) h(x, y)x

    = hx(x, y). (6.13)

    Portanto, dividindo a equao (6.11) por x, tomando-se o limite quandox tende a zero e usando (6.12) e (6.13), temos

    zx

    = limx0

    z(x+ x, y) z(x, y)x

    = limx0

    (fu(g(x, y), h(x, y))

    ux

    + fv(g(x, y), h(x, y))vx

    +ux

    1 +vx

    2

    )= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y)

    +gx(x, y) 0+ hx(x, y) 0= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y).

    cap6 2011/9/20 9:02 page 16 #16

    16 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    Soluo Sejam g(t) = txo+(1 t)x e h(t) = tyo+(1 t)y, ento podemosver w(t) como a seguinte composta: w(t) = f (x, y), onde x = g(t) e y =h(t). Portanto, da Regra da Cadeia, Teorema 6.1, temos,

    w(t) = fx(txo + (1 t)x, tyo + (1 t)y)(x xo) + fy(txo + (1 t)x, tyo+ (1 t)y)(yo y),

    com isso terminamos o exemplo.

    6.1.4 O caso em que z = f (u, v), onde u = g(x, y) e v =h(x, y)

    A seguir veremos como calcular as derivadas parciais com relao a x e yda funo z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y), onde assumiremosque f , g e h so funes diferenciveis. Ou seja, calcularemos zx e

    zy , onde

    z(x, y) = f (g(x, y), h(x, y)).

    Seja (x, y) fixado. Quando passamos de x para x+ x e mantemos y fixo,as variveis u e v sofrem as seguintes variaes:

    u = g(x+ x, y) g(x, y)e

    v = h(x+ x, y) h(x, y).Por outro lado, a varivel z sofre a variao

    z(x+ x, y) z(x, y) = f (g(x+ x, y), h(x+ x, y)) f (g(x, y), h(x, y))= f (g(x, y) + u, h(x, y) + v) f (g(x, y), h(x, y)).

    Como f diferencivel, da relao acima e de (5.2), temos

    z(x+ x, y) z(x, y) = fu(g(x, y), h(x, y)) u+ fv(g(x, y), h(x, y)) v+1 u+ 2 v (6.11)

    onde 1 e 2 so funes de u e v, as quais tendem a zero quando ambosu e v tendem a zero. Como g e h so contnuas, pois so diferenciveis,segue-se que u e v tendem a zero quando x tende a zero. Portanto,1 e 2 tendem a zero quando x tende a zero. Alm disso, sendo g e hdiferenciveis, as suas derivadas parciais em relao a x existem. Logo,

    limx0

    ux

    = limx0

    g(x+ x, y) g(x, y)x

    = gx(x, y) (6.12)

    e

    limx0

    vx

    = limx0

    h(x+ x, y) h(x, y)x

    = hx(x, y). (6.13)

    Portanto, dividindo a equao (6.11) por x, tomando-se o limite quandox tende a zero e usando (6.12) e (6.13), temos

    zx

    = limx0

    z(x+ x, y) z(x, y)x

    = limx0

    (fu(g(x, y), h(x, y))

    ux

    + fv(g(x, y), h(x, y))vx

    +ux

    1 +vx

    2

    )= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y)

    +gx(x, y) 0+ hx(x, y) 0= fu(u(x, y), v(x, y)) gx(x, y) + fv(g(x, y), h(x, y)) hx(x, y).

    cap6 2011/9/20 9:02 page 17 #17

    6.1. A REGRA DA CADEIA 17

    De maneira anloga, considerando a variao de z quando passamos de(x, y) para (x, y + y) e tendo em vista que as funes como f , g e h sodiferenciveis, mostra-se que

    zy

    = limy0

    z(x, y+ y) z(x, y)y

    = fu(u(x, y), v(x, y)) gy + fv(g(x, y), h(x, y)) hy.

    Com isso provamos o teorema abaixo.

    Teorema 6.3 Seja z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y). Se f , g e hforem diferenciveis, ento

    zx

    =zu

    ux

    +zv

    vx

    e

    zy

    =zu

    uy

    +zv

    vy

    .

    No teorema acima, fica implcito que zu obtida tomando-se a derivadaparcial de f (u, v) em relao a u, a qual uma funo das variveis u e v,na qual substituimos u e v pelas funes, g(x, y) e h(x, y), respectivamente.De maneira anloga, fica implcito que zv obtida tomando-se a derivadaparcial de f (u, v) em relao a v, a qual uma funo das variveis u e v,na qual substituimos u e v pelas funes g(x, y) e h(x, y), respectivamente.

    Exemplo 6.7 Seja z = u + v2 cos u, u = x2 + y2 e v = x y.Calcule zx e

    zy .

    Soluo

    Do Teorema 6.3, temos

    zx

    =zu

    ux

    +zv

    vx

    =(1 v2 sen u

    )(2x) + (2v cos u)(1)

    = 2x(1 (x y)2 sen(x2 + y2)

    )+ 2(x y) cos(x2 + y2).

    De maneira anloga,

    zy

    =zu

    uy

    +zv

    vy

    =(1 v2 sen u

    )(2y) + (2v cos u)(1)

    = 2y(1 (x y)2 sen(x2 + y2)

    ) 2(x y) cos(x2 + y2).

    Exerccio 6.2 Calcule zx ezy , onde z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y), so dadas abaixo.

    a) z = u2 + uv+ v2, u = x+ y e v = x yb) z = u/v, u = xey e v = 1+ xey

    c) z = u cos v, u = x+ y e v = xy

    d) z = uv+ v2, u = x cos y e v = y cos x.

    cap6 2011/9/20 9:02 page 17 #17

    6.1. A REGRA DA CADEIA 17

    De maneira anloga, considerando a variao de z quando passamos de(x, y) para (x, y + y) e tendo em vista que as funes como f , g e h sodiferenciveis, mostra-se que

    zy

    = limy0

    z(x, y+ y) z(x, y)y

    = fu(u(x, y), v(x, y)) gy + fv(g(x, y), h(x, y)) hy.

    Com isso provamos o teorema abaixo.

    Teorema 6.3 Seja z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y). Se f , g e hforem diferenciveis, ento

    zx

    =zu

    ux

    +zv

    vx

    e

    zy

    =zu

    uy

    +zv

    vy

    .

    No teorema acima, fica implcito que zu obtida tomando-se a derivadaparcial de f (u, v) em relao a u, a qual uma funo das variveis u e v,na qual substituimos u e v pelas funes, g(x, y) e h(x, y), respectivamente.De maneira anloga, fica implcito que zv obtida tomando-se a derivadaparcial de f (u, v) em relao a v, a qual uma funo das variveis u e v,na qual substituimos u e v pelas funes g(x, y) e h(x, y), respectivamente.

    Exemplo 6.7 Seja z = u + v2 cos u, u = x2 + y2 e v = x y.Calcule zx e

    zy .

    Soluo

    Do Teorema 6.3, temos

    zx

    =zu

    ux

    +zv

    vx

    =(1 v2 sen u

    )(2x) + (2v cos u)(1)

    = 2x(1 (x y)2 sen(x2 + y2)

    )+ 2(x y) cos(x2 + y2).

    De maneira anloga,

    zy

    =zu

    uy

    +zv

    vy

    =(1 v2 sen u

    )(2y) + (2v cos u)(1)

    = 2y(1 (x y)2 sen(x2 + y2)

    ) 2(x y) cos(x2 + y2).

    Exerccio 6.2 Calcule zx ezy , onde z = f (u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y), so dadas abaixo.

    a) z = u2 + uv+ v2, u = x+ y e v = x yb) z = u/v, u = xey e v = 1+ xey

    c) z = u cos v, u = x+ y e v = xy

    d) z = uv+ v2, u = x cos y e v = y cos x.

  • 76

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 18 #18

    18 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    Podemos calcular derivadas de ordens superiores de z = f (u, v), ondeu = g(x, y) e v = h(x, y). Por exemplo

    2z2x

    =

    x

    (zx

    )=

    x

    (zu

    ux

    +zv

    vx

    )=

    x

    (zu

    )ux

    +zu

    2u2x

    +

    x

    (zv

    )vx

    +zv

    2vx2

    .

    Aplicamos o Teorema 6.3 no clculos das derivadas x(

    zu

    )e x

    (zv

    ), isto

    , olhamos para zx ezy como funes de u e v, onde estas so funes de x

    e de y. Ou seja,

    x

    (zu

    )=

    2z2u

    ux

    +2zvu

    vx

    e

    x

    (zv

    )=

    2zuv

    ux

    +2zv2

    vx

    De maneira anloga, calculamos as derivadas y(

    zu

    )e y

    (zv

    ).

    Exerccio 6.3 Seja z = f (x, y), onde x = r cos e y = r sen . Mostre que

    zxx + zyy = zrr +1r2

    z +1r

    zr.

    Teorema 6.4 Seja z = f (u), onde u = g(x, y), com f e g diferenciveis. Ento,

    zx

    =dzdu

    ux

    e

    zy

    =dzdu

    uy

    .

    Note que o teorema acima pode ser visto como um caso particular do Teo-rema 6.3 quando v = 0.

    Exerccio 6.4 Mostre que se u(x, t) = f (x at) + g(x+ at), onde f e g tm derivadas de segundaordem, ento u satisfaz a equao de onda

    utt = a2 uxx,

    onde a uma constante.

    Exerccio 6.5 Se z = cos(x+ y) + cos(x y), mostre quezxx zyy = 0.

  • 77

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 18 #18

    18 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    Podemos calcular derivadas de ordens superiores de z = f (u, v), ondeu = g(x, y) e v = h(x, y). Por exemplo

    2z2x

    =

    x

    (zx

    )=

    x

    (zu

    ux

    +zv

    vx

    )=

    x

    (zu

    )ux

    +zu

    2u2x

    +

    x

    (zv

    )vx

    +zv

    2vx2

    .

    Aplicamos o Teorema 6.3 no clculos das derivadas x(

    zu

    )e x

    (zv

    ), isto

    , olhamos para zx ezy como funes de u e v, onde estas so funes de x

    e de y. Ou seja,

    x

    (zu

    )=

    2z2u

    ux

    +2zvu

    vx

    e

    x

    (zv

    )=

    2zuv

    ux

    +2zv2

    vx

    De maneira anloga, calculamos as derivadas y(

    zu

    )e y

    (zv

    ).

    Exerccio 6.3 Seja z = f (x, y), onde x = r cos e y = r sen . Mostre que

    zxx + zyy = zrr +1r2

    z +1r

    zr.

    Teorema 6.4 Seja z = f (u), onde u = g(x, y), com f e g diferenciveis. Ento,

    zx

    =dzdu

    ux

    e

    zy

    =dzdu

    uy

    .

    Note que o teorema acima pode ser visto como um caso particular do Teo-rema 6.3 quando v = 0.

    Exerccio 6.4 Mostre que se u(x, t) = f (x at) + g(x+ at), onde f e g tm derivadas de segundaordem, ento u satisfaz a equao de onda

    utt = a2 uxx,

    onde a uma constante.

    Exerccio 6.5 Se z = cos(x+ y) + cos(x y), mostre quezxx zyy = 0.

    cap6 2011/9/20 9:02 page 19 #19

    6.1. A REGRA DA CADEIA 19

    Definio 6.2 Dizemos que uma funo f de duas variveis homogneade grau n se f (tx, ty) = tn f (x, y), para todo t, tal que (tx, ty) esteja nodomnio de f . Por exemplo,

    f (x, y) = x2y+ 2xy2 + 5y3

    homognea de grau 3.

    Exerccio 6.6 Dada uma funo f (x, y) homognea de ordem n, mostre que

    x fx(x, y) + y fy(x, y) = n f (x, y).

    Sugesto: Diferencie a equao f (txo, tyo) = tn f (xo, yo) em relao a t, depois faa t = 1.

    O prximo teorema uma generalizao do Teorema 6.3 para uma funof de trs variveis.

    Teorema 6.5 Seja w = F(u, v, z), com u = g(x, y), v = h(x, y) e z = f (x, y).Se F, g, h e f forem diferenciveis, ento

    wx

    =wu

    ux

    +wv

    vx

    +wz

    zx

    e

    wy

    =wu

    uy

    +wv

    vy

    +wz

    zy

    .

    Exemplo 6.8 Sejaw = F(x, y, z), onde z = f (x, y), com F e f diferenciveis.Mostre que

    wx(x, y) = Fx(x, y, f (x, y)) + Fz(x, y, f (x, y)) zx(x, y) (6.14)

    e

    wy(x, y) = Fy(x, y, f (x, y)) + Fz(x, y, f (x, y)) zy(x, y). (6.15)

    Soluo Seja (x, y) fixado, seja z = f (x+ x, y) f (x, y), ento, como F diferencivel, temos

    w(x+ x, y) w(x, y) = F(x+ x, y, f (x, y) + z) F(x, y, f (x, y))= Fx(x, y, f (x, y))x+ Fz(x, y, f (x, y))z

    +1 x+ 2 0+ 3 z.

    Como f contnua, 1, 2 e 3 tendem a zero quando x. Logo,

    wx(x, y) = limx0

    w(x+ x, y) w(x, y)x

    = Fx(x, y, f (x, y)) + Fz(x, y, f (x, y)) zx,

    o que mostra (6.14). De maneira anloga, mostra-se (6.15).

  • 78

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 20 #20

    20 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    6.2 Derivao implcita

    Consideremos a superfcie esfrica

    x2 + y2 + z2 = 1.

    Podemos estar interessados, por exemplo, em calcular a equao do planotangente a esta superfcie num ponto (xo, yo, zo) da mesma. A equaoacima define implicitamente z como duas funes de (x, y), ou seja,

    z = f (x, y) =

    1 x2 y2 e z = g(x, y) =

    1 x2 y2.A partir destas equaes e da equao (5.4), encontramos a equao doplano tangente num ponto qualquer da superfcie, desde que x2o + y2o =1 (nos pontos onde x2o + y2o = 1, o plano tangente "vertical", ou seja,paralelo ao eixo dos z).

    Muitas superfcies so dadas por equaes da forma F(x, y, z) = 0 e nemsempre possvel expressarmos explicitamente uma das variveis emfuno das outras duas, como no exemplo acima. Entretanto, se souber-mos que tal equao define implicitamente, digamos z em funo de (x, y),ser possvel calcularmos zx e zy, sem termos que explicitar z em funodas variveis (x, y). isto que faremos a seguir e tal procedimento cha-mado de derivao implcita.

    Consideremos uma equao da forma

    F(x, y, z) = 0, (6.16)

    onde as derivadas parciais de primeira ordem de F(x, y, z) so contnuasnuma vizinhana de (xo, yo, zo). Se

    F(xo, yo, zo) = 0

    eFz(xo, yo, zo) = 0,

    ento o Teorema da Funo Implcita nos afirma que a equao (6.16) nosdefine a varivel z com funo de x e y, numa vizinhana do ponto (xo, yo),mais precisamente, existe uma funo z = f (x, y), diferencivel com deri-vadas parciais de primeira ordem contnuas numa vizinhana V do ponto(xo, yo), tal que

    f (xo, yo) = zo, F(x, y, f (x, y)) = 0, para todo (x, y) V.A seguir veremos como calcular as derivadas parciais da funo z = f (x, y).

    Comow(x, y) = F(x, y, f (x, y)) = 0,

    para todo (x, y) V, segue que wx(x, y) = 0 = wy(x, y) em V, logo, de(6.14) e (6.15), temos

    0 =wx

    = Fx + Fz zx

    e

    0 =wy

    = Fy + Fz zy.

    Portanto,

    zx = FxFz , zy = FyFz

    . (6.17)

    cap6 2011/9/20 9:02 page 21 #21

    6.3. PLANO TANGENTE SUPERFCIE F(X,Y,Z) = 0 21

    Exemplo 6.9 Calcule zx e zy, onde x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

    Soluo Seja F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 + 6xyz 1, ento Fx = 3x2 + 6yz,Fy = 3y2 + 6xz e Fz = 3z2 + 6xy, portanto, de (6.17) concluimos que

    zx = 3x2 + 6yz

    3z2 + 6xy= x

    2 + 2yzz2 + 2xy

    , zy = 3y2 + 6xz

    3z2 + 6xy= y

    2 + 2xzz2 + 2xy

    .

    Na prtica, no precisamos guardar as frmulas dadas em (6.17), porexemplo, dada uma equao tipo

    x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1,

    se assumirmos que ela define z = f (x, y), o que fazemos para calcular zx derivarmos a equao

    x3 + y3 + z3 + 6x y z = 1

    parcialmente em relao a x, lembrando que z funo de x e y, ou seja,

    x

    (x3 + y3 + z3 + 6x y z

    )=

    1x

    ,

    o que nos d3x2 + 3z2 zx + 6 y z+ 6x y zx = 0 ,

    da qual encontramos zx = x2+2 y zz2+2xy . De maneira anloga, podemos encon-

    trar zy.

    Exerccio 6.7 Calcule zx e zy, se z = f (x, y) definida implicitamente pelas equaes abaixo.

    a) 2xz3 3yz2 + x2y2 + 4z = 0b) xz2 + 2x2y 4y2z+ 3y 2 = 0c) xeyz 2yexz + 3zexy = 1d) yx2 + z2 + cos(xyz) = 4

    e) xx + y2 + z2 = 3xyz

    f) yz = ln(x+ z).

    6.3 Plano tangente superfcie F(x, y, z) = 0

    Seja S a superfcie dada pela equao F(x, y, z) = 0, onde F diferencivel.Vamos encontrar a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo),onde

    Fz(xo, yo, zo) = 0.De acordo com o Teorema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0define implicitamente z = f (x, y) numa vizinhana de (xo, yo). De (5.4) aequao deste plano dada por

    z = zo+ fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo),

    6 .2 DERIVAO IMpLCItA

    cap6 2011/9/20 9:02 page 21 #21

    6.3. PLANO TANGENTE SUPERFCIE F(X,Y,Z) = 0 21

    Exemplo 6.9 Calcule zx e zy, onde x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

    Soluo Seja F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 + 6xyz 1, ento Fx = 3x2 + 6yz,Fy = 3y2 + 6xz e Fz = 3z2 + 6xy, portanto, de (6.17) concluimos que

    zx = 3x2 + 6yz

    3z2 + 6xy= x

    2 + 2yzz2 + 2xy

    , zy = 3y2 + 6xz

    3z2 + 6xy= y

    2 + 2xzz2 + 2xy

    .

    Na prtica, no precisamos guardar as frmulas dadas em (6.17), porexemplo, dada uma equao tipo

    x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1,

    se assumirmos que ela define z = f (x, y), o que fazemos para calcular zx derivarmos a equao

    x3 + y3 + z3 + 6x y z = 1

    parcialmente em relao a x, lembrando que z funo de x e y, ou seja,

    x

    (x3 + y3 + z3 + 6x y z

    )=

    1x

    ,

    o que nos d3x2 + 3z2 zx + 6 y z+ 6x y zx = 0 ,

    da qual encontramos zx = x2+2 y zz2+2xy . De maneira anloga, podemos encon-

    trar zy.

    Exerccio 6.7 Calcule zx e zy, se z = f (x, y) definida implicitamente pelas equaes abaixo.

    a) 2xz3 3yz2 + x2y2 + 4z = 0b) xz2 + 2x2y 4y2z+ 3y 2 = 0c) xeyz 2yexz + 3zexy = 1d) yx2 + z2 + cos(xyz) = 4

    e) xx + y2 + z2 = 3xyz

    f) yz = ln(x+ z).

    6.3 Plano tangente superfcie F(x, y, z) = 0

    Seja S a superfcie dada pela equao F(x, y, z) = 0, onde F diferencivel.Vamos encontrar a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo),onde

    Fz(xo, yo, zo) = 0.De acordo com o Teorema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0define implicitamente z = f (x, y) numa vizinhana de (xo, yo). De (5.4) aequao deste plano dada por

    z = zo+ fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo),

  • 79

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 21 #21

    6.3. PLANO TANGENTE SUPERFCIE F(X,Y,Z) = 0 21

    Exemplo 6.9 Calcule zx e zy, onde x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

    Soluo Seja F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 + 6xyz 1, ento Fx = 3x2 + 6yz,Fy = 3y2 + 6xz e Fz = 3z2 + 6xy, portanto, de (6.17) concluimos que

    zx = 3x2 + 6yz

    3z2 + 6xy= x

    2 + 2yzz2 + 2xy

    , zy = 3y2 + 6xz

    3z2 + 6xy= y

    2 + 2xzz2 + 2xy

    .

    Na prtica, no precisamos guardar as frmulas dadas em (6.17), porexemplo, dada uma equao tipo

    x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1,

    se assumirmos que ela define z = f (x, y), o que fazemos para calcular zx derivarmos a equao

    x3 + y3 + z3 + 6x y z = 1

    parcialmente em relao a x, lembrando que z funo de x e y, ou seja,

    x

    (x3 + y3 + z3 + 6x y z

    )=

    1x

    ,

    o que nos d3x2 + 3z2 zx + 6 y z+ 6x y zx = 0 ,

    da qual encontramos zx = x2+2 y zz2+2xy . De maneira anloga, podemos encon-

    trar zy.

    Exerccio 6.7 Calcule zx e zy, se z = f (x, y) definida implicitamente pelas equaes abaixo.

    a) 2xz3 3yz2 + x2y2 + 4z = 0b) xz2 + 2x2y 4y2z+ 3y 2 = 0c) xeyz 2yexz + 3zexy = 1d) yx2 + z2 + cos(xyz) = 4

    e) xx + y2 + z2 = 3xyz

    f) yz = ln(x+ z).

    6.3 Plano tangente superfcie F(x, y, z) = 0

    Seja S a superfcie dada pela equao F(x, y, z) = 0, onde F diferencivel.Vamos encontrar a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo),onde

    Fz(xo, yo, zo) = 0.De acordo com o Teorema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0define implicitamente z = f (x, y) numa vizinhana de (xo, yo). De (5.4) aequao deste plano dada por

    z = zo+ fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo),

    cap6 2011/9/20 9:02 page 21 #21

    6.3. PLANO TANGENTE SUPERFCIE F(X,Y,Z) = 0 21

    Exemplo 6.9 Calcule zx e zy, onde x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1.

    Soluo Seja F(x, y, z) = x3 + y3 + z3 + 6xyz 1, ento Fx = 3x2 + 6yz,Fy = 3y2 + 6xz e Fz = 3z2 + 6xy, portanto, de (6.17) concluimos que

    zx = 3x2 + 6yz

    3z2 + 6xy= x

    2 + 2yzz2 + 2xy

    , zy = 3y2 + 6xz

    3z2 + 6xy= y

    2 + 2xzz2 + 2xy

    .

    Na prtica, no precisamos guardar as frmulas dadas em (6.17), porexemplo, dada uma equao tipo

    x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1,

    se assumirmos que ela define z = f (x, y), o que fazemos para calcular zx derivarmos a equao

    x3 + y3 + z3 + 6x y z = 1

    parcialmente em relao a x, lembrando que z funo de x e y, ou seja,

    x

    (x3 + y3 + z3 + 6x y z

    )=

    1x

    ,

    o que nos d3x2 + 3z2 zx + 6 y z+ 6x y zx = 0 ,

    da qual encontramos zx = x2+2 y zz2+2xy . De maneira anloga, podemos encon-

    trar zy.

    Exerccio 6.7 Calcule zx e zy, se z = f (x, y) definida implicitamente pelas equaes abaixo.

    a) 2xz3 3yz2 + x2y2 + 4z = 0b) xz2 + 2x2y 4y2z+ 3y 2 = 0c) xeyz 2yexz + 3zexy = 1d) yx2 + z2 + cos(xyz) = 4

    e) xx + y2 + z2 = 3xyz

    f) yz = ln(x+ z).

    6.3 Plano tangente superfcie F(x, y, z) = 0

    Seja S a superfcie dada pela equao F(x, y, z) = 0, onde F diferencivel.Vamos encontrar a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo),onde

    Fz(xo, yo, zo) = 0.De acordo com o Teorema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0define implicitamente z = f (x, y) numa vizinhana de (xo, yo). De (5.4) aequao deste plano dada por

    z = zo+ fx(xo, yo)(x xo) + fy(xo, yo)(y yo),

    6 .3 pLAnO tAngEntE SUpERFCIE F(x,y,z) = 0

  • 80

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 22 #22

    22 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    por outro lado, de (6.17)

    fx(xo, yo) = Fx(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, zo) e fy(xo, yo) = Fy(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, zo)

    ,

    portanto, a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo)

    Fx(xo, yo, zo)(x xo) + Fy(xo, yo, zo)(y yo) + Fz(xo, yo, zo)(z zo)= 0 .(6.18)

    Portanto, o vetorF(xo, yo, zo) normal superfcie S no ponto (xo, yo, zo).

    Exemplo 6.10 Encontre a equao do plano tangente superfcie x2+ y2+z2 = 1, no ponto (0, 0, 1).

    Soluo Neste caso, F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 1. Note que F(1, 0, 0) = 0,e como Fz = 2z, segue-se que Fz(0, 0, 1) = 2 = 0, portanto, do Teo-rema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0 define implicitamentez = f (x, y), para (x, y) numa vinhana de (0, 0). Temos Fx(0, 0, 1) = 0e Fy(0, 0, 1) = 0. Disso e de (6.18), concluimos que a equao do planotangente no ponto dado

    z = 1.

    Nos clculos acima assumimos que Fz(xo, yo, zo) = 0, se isto no acontecer,podemos verificar se Fx(xo, yo, zo) = 0 ou Fy(xo, yo, zo) = 0. No primeirocaso, o Teorema da Funo Implcita nos dir que F(x, y, z) = 0 nos defineimplicitamente x = g(y, z) numa vizinhana de (yo, zo) e no segundo casoele nos dir que F(x, y, z) = 0 nos define implicitamente y = h(x, z) numavizinhana de (xo, zo) e podemos proceder como acima e encontrarmosa equao do planto tangente superfcie no ponto (xo, yo, zo), dada por(6.18).

    Exerccio 6.8 Determine as equaes dos planos tangentes s superfcies abaixo, no pontoespecificado.

    a) xyz 4xz3 + y3 = 10, P(1, 2, 1)b) 9x2 4y2 25z2 = 40, P(4, 1,2).

    6.4 A derivada direcional

    A seguir daremos a definio de derivada direcional para uma funo deduas variveis. A generalizao deste conceito para funes de mais deduas variveis imediata.

    Imagine que z = f (x, y) represente a temperatura numa chapa de metalplana no ponto (x, y). Ento as derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo)representam as taxas de variaes da temperatura no ponto (xo, yo) emrelao s direes horizontal e vertical, respectivamente. A seguir vamosdefinir a taxa de variao de f (x, y) num ponto (xo, yo) na direo de umvetor unitrio qualquern = (n1, n2).

    6 .4 A DERIVADA DIRECIOnAL

    cap6 2011/9/20 9:02 page 22 #22

    22 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    por outro lado, de (6.17)

    fx(xo, yo) = Fx(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, zo) e fy(xo, yo) = Fy(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, zo)

    ,

    portanto, a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo)

    Fx(xo, yo, zo)(x xo) + Fy(xo, yo, zo)(y yo) + Fz(xo, yo, zo)(z zo)= 0 .(6.18)

    Portanto, o vetorF(xo, yo, zo) normal superfcie S no ponto (xo, yo, zo).

    Exemplo 6.10 Encontre a equao do plano tangente superfcie x2+ y2+z2 = 1, no ponto (0, 0, 1).

    Soluo Neste caso, F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 1. Note que F(1, 0, 0) = 0,e como Fz = 2z, segue-se que Fz(0, 0, 1) = 2 = 0, portanto, do Teo-rema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0 define implicitamentez = f (x, y), para (x, y) numa vinhana de (0, 0). Temos Fx(0, 0, 1) = 0e Fy(0, 0, 1) = 0. Disso e de (6.18), concluimos que a equao do planotangente no ponto dado

    z = 1.

    Nos clculos acima assumimos que Fz(xo, yo, zo) = 0, se isto no acontecer,podemos verificar se Fx(xo, yo, zo) = 0 ou Fy(xo, yo, zo) = 0. No primeirocaso, o Teorema da Funo Implcita nos dir que F(x, y, z) = 0 nos defineimplicitamente x = g(y, z) numa vizinhana de (yo, zo) e no segundo casoele nos dir que F(x, y, z) = 0 nos define implicitamente y = h(x, z) numavizinhana de (xo, zo) e podemos proceder como acima e encontrarmosa equao do planto tangente superfcie no ponto (xo, yo, zo), dada por(6.18).

    Exerccio 6.8 Determine as equaes dos planos tangentes s superfcies abaixo, no pontoespecificado.

    a) xyz 4xz3 + y3 = 10, P(1, 2, 1)b) 9x2 4y2 25z2 = 40, P(4, 1,2).

    6.4 A derivada direcional

    A seguir daremos a definio de derivada direcional para uma funo deduas variveis. A generalizao deste conceito para funes de mais deduas variveis imediata.

    Imagine que z = f (x, y) represente a temperatura numa chapa de metalplana no ponto (x, y). Ento as derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo)representam as taxas de variaes da temperatura no ponto (xo, yo) emrelao s direes horizontal e vertical, respectivamente. A seguir vamosdefinir a taxa de variao de f (x, y) num ponto (xo, yo) na direo de umvetor unitrio qualquern = (n1, n2).

  • 81

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 22 #22

    22 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    por outro lado, de (6.17)

    fx(xo, yo) = Fx(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, zo) e fy(xo, yo) = Fy(xo, yo, zo)Fz(xo, yo, zo)

    ,

    portanto, a equao do plano tangente a S no ponto (xo, yo, zo)

    Fx(xo, yo, zo)(x xo) + Fy(xo, yo, zo)(y yo) + Fz(xo, yo, zo)(z zo)= 0 .(6.18)

    Portanto, o vetorF(xo, yo, zo) normal superfcie S no ponto (xo, yo, zo).

    Exemplo 6.10 Encontre a equao do plano tangente superfcie x2+ y2+z2 = 1, no ponto (0, 0, 1).

    Soluo Neste caso, F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 1. Note que F(1, 0, 0) = 0,e como Fz = 2z, segue-se que Fz(0, 0, 1) = 2 = 0, portanto, do Teo-rema da Funo Implcita, a equao F(x, y, z) = 0 define implicitamentez = f (x, y), para (x, y) numa vinhana de (0, 0). Temos Fx(0, 0, 1) = 0e Fy(0, 0, 1) = 0. Disso e de (6.18), concluimos que a equao do planotangente no ponto dado

    z = 1.

    Nos clculos acima assumimos que Fz(xo, yo, zo) = 0, se isto no acontecer,podemos verificar se Fx(xo, yo, zo) = 0 ou Fy(xo, yo, zo) = 0. No primeirocaso, o Teorema da Funo Implcita nos dir que F(x, y, z) = 0 nos defineimplicitamente x = g(y, z) numa vizinhana de (yo, zo) e no segundo casoele nos dir que F(x, y, z) = 0 nos define implicitamente y = h(x, z) numavizinhana de (xo, zo) e podemos proceder como acima e encontrarmosa equao do planto tangente superfcie no ponto (xo, yo, zo), dada por(6.18).

    Exerccio 6.8 Determine as equaes dos planos tangentes s superfcies abaixo, no pontoespecificado.

    a) xyz 4xz3 + y3 = 10, P(1, 2, 1)b) 9x2 4y2 25z2 = 40, P(4, 1,2).

    6.4 A derivada direcional

    A seguir daremos a definio de derivada direcional para uma funo deduas variveis. A generalizao deste conceito para funes de mais deduas variveis imediata.

    Imagine que z = f (x, y) represente a temperatura numa chapa de metalplana no ponto (x, y). Ento as derivadas parciais fx(xo, yo) e fy(xo, yo)representam as taxas de variaes da temperatura no ponto (xo, yo) emrelao s direes horizontal e vertical, respectivamente. A seguir vamosdefinir a taxa de variao de f (x, y) num ponto (xo, yo) na direo de umvetor unitrio qualquern = (n1, n2).

    cap6 2011/9/20 9:02 page 23 #23

    6.4. A DERIVADA DIRECIONAL 23

    A reta l que passa por P(xo, yo) e tem a direo de n dada pelos pontos(x, y) da forma

    (x, y) = (xo, yo) + t(n1, n2) = (xo + n1t, yo + n2 t),

    onde o parmetro t real.

    A variao de f quando passamos de P(xo, yo) para Q(xo + n1t, yo + n2 t)

    z = f (xo + n1t, yo + n2 t) f (xo, yo)e como n tem norma 1, comprimento de PQ

    ||PQ|| = ||tn|| = |t| ||n|| = |t|.Logo, a taxa de variao mdia de f (x, y) quando passamos de P a Q

    zt=

    f (xo + n1t, yo + n2 t) f (xo, yo)t

    .

    Note que, medida que variamos t, o ponto Q se move ao longo da retal. Valores positivos de t significa que

    PQ tem a mesma direo e sentido

    de n, enquanto que valores negativos de t significa quePQ tem a mesma

    direo, porm sentido oposto ao de n .

    Definio 6.3 A derivada direcional de f (x, y) no ponto P(xo, yo) na di-reo den dada pelo limite

    limt0

    f (xo + n1t, yo + n2 t) f (xo, yo)t

    ,

    caso ele exista, e neste caso denotada por Dn f (xo, yo). Ela tambm chamada de taxa de variao de f no ponto (xo, yo), na direo den.

    Sejaw(t) = f (xo + n1 t, yo + n2 t),

    ento,

    Dn f (xo, yo) = limt0f (xo + n1t, yo + n2 t) f (xo, yo)

    t

    = limt0

    w(t) w(0)t

    = w(0). (6.19)

    No Exemplo 6.6, vimos que

    w(0) = fx(xo, yo) n1 + fy(xo, yo) n2 = f (xo, yo) n. (6.20)De (6.19) e (6.20), concluimos que

    Dn f (x, y) = f (x, y) n.

    Note que as derivadas parciais fx e fy so casos particulares de derivadasdirecionais quandon = en =, respectivamente.

    Exemplo 6.11 Determine a derivada direcional de f (x, y) = x2y2 4x, noponto (1,1), na direo do vetor v = 2+ 4.

  • 82

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 24 #24

    24 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    SoluoNote que ||v|| = 20, logo,v no unitrio. O unitrio na direoe sentido de v

    n =v||v|| =

    15+

    25.

    Por outro lado, f (x, y) = (2xy2 4)+ 2x2y.

    Logo,

    Dn f (1,1) = f (1,1) n = (2,2) (1/5, 2/

    5) = 6

    5.

    Exerccio 6.9 Determine a taxa de variao de f em P na direo de v.

    a) f (x, y) = 1+ 2xy, P(3, 4) e v = (4,3)

    b) f (x, y) = x2 5xy+ 3y2, P(3,1) e v = (1, 1)c) f (x, y) = ln(x2 + y2), P(2, 1) e v = (1, 1)d) f (x, y) = xyx+y , P(2,1, ) e v = (4, 3)e) f (x, y) = xe3xy, P(4, 0) e v = (1, 3)f) f (x, y) = arctg (y/x), P(4,4) e v = (2,3).

    6.5 A interpretao geomtrica do gradiente deuma funo

    Da definio de produto escalar, temos

    f (x, y) n = || f (x, y)|| ||n|| cos = || f (x, y)|| cos ,

    onde o ngulo entre f (x, y) e n. Como 1 cos 1, temos oseguinte resultado.

    Teorema 6.6 Seja f (x, y) uma funo diferencivel. Ento,

    (i) o valor mximo da derivada direcional Dn f (x, y) || f (x, y)|| e ocorre quandon tem a mesma direo e sentido do vetor gradiente f (x, y).(ii) o valor mnimo da derivada direcional Dn f (x, y) || f (x, y)|| e ocorrequando n tem a mesma direo, porm sentido contrrio ao do vetor gradiente f (x, y).

    Exemplo 6.12 Seja f (x, y) = x3ex2y, P(1, 0) e Q(0, 1).

    (a) Encontre a derivada direcional de f no ponto P(1, 0), na direo de Ppara Q.

    (b) Ache o vetor unitrio na direo e sentido em que f cresce mais rapi-damente no ponto P e determine a taxa de variao de f naquela direo.

    (c) Ache o vetor unitrio na direo e sentido em que f decresce mais rapi-damente no ponto P e determine a taxa de variao de f naquela direo.

    6 .5 A IntERpREtAO gEOMtRICA DO gRADIEntE

    DE UMA FUnO

    cap6 2011/9/20 9:02 page 24 #24

    24 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    SoluoNote que ||v|| = 20, logo,v no unitrio. O unitrio na direoe sentido de v

    n =v||v|| =

    15+

    25.

    Por outro lado, f (x, y) = (2xy2 4)+ 2x2y.

    Logo,

    Dn f (1,1) = f (1,1) n = (2,2) (1/5, 2/

    5) = 6

    5.

    Exerccio 6.9 Determine a taxa de variao de f em P na direo de v.

    a) f (x, y) = 1+ 2xy, P(3, 4) e v = (4,3)

    b) f (x, y) = x2 5xy+ 3y2, P(3,1) e v = (1, 1)c) f (x, y) = ln(x2 + y2), P(2, 1) e v = (1, 1)d) f (x, y) = xyx+y , P(2,1, ) e v = (4, 3)e) f (x, y) = xe3xy, P(4, 0) e v = (1, 3)f) f (x, y) = arctg (y/x), P(4,4) e v = (2,3).

    6.5 A interpretao geomtrica do gradiente deuma funo

    Da definio de produto escalar, temos

    f (x, y) n = || f (x, y)|| ||n|| cos = || f (x, y)|| cos ,

    onde o ngulo entre f (x, y) e n. Como 1 cos 1, temos oseguinte resultado.

    Teorema 6.6 Seja f (x, y) uma funo diferencivel. Ento,

    (i) o valor mximo da derivada direcional Dn f (x, y) || f (x, y)|| e ocorre quandon tem a mesma direo e sentido do vetor gradiente f (x, y).(ii) o valor mnimo da derivada direcional Dn f (x, y) || f (x, y)|| e ocorrequando n tem a mesma direo, porm sentido contrrio ao do vetor gradiente f (x, y).

    Exemplo 6.12 Seja f (x, y) = x3ex2y, P(1, 0) e Q(0, 1).

    (a) Encontre a derivada direcional de f no ponto P(1, 0), na direo de Ppara Q.

    (b) Ache o vetor unitrio na direo e sentido em que f cresce mais rapi-damente no ponto P e determine a taxa de variao de f naquela direo.

    (c) Ache o vetor unitrio na direo e sentido em que f decresce mais rapi-damente no ponto P e determine a taxa de variao de f naquela direo.

  • 83

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 25 #25

    6.6. O GRADIENTE E CURVAS DE NVEL 25

    Soluoa) Note que

    f (x, y) = fx(x, y)+ fy(x, y) = (3x2 + x3)ex2y 2x3ex2y ,

    logo, f (1, 0) = (4e,2e). O vetor PQ = (1,1), o seu unitrio n = (1/

    2,1/

    2).

    Portanto,

    Dn f (1, 0) = (4e,2e) (1/2,1/

    2) = 3

    2 e.

    b) A derivada direcional cresce mais na direo de sentido de f (1, 0), ouseja, quando

    n = f (1, 0)|| f (1, 0)|| = (2/

    5,1/

    5)

    e a taxa de variao de f nesta direo || f (1, 0)|| = 29 e.c) A derivada direcional decresce mais na direo de sentido f (1, 0),ou seja, quando

    n = f (1, 0)|| f (1, 0)|| = (2/5,1/

    5)

    a taxa de variao de f nesta direo || f (1, 0)|| = 29 e.

    6.6 O gradiente e curvas de nvel

    Seja f (x, y) uma funo diferencivel e C uma curva de nvel de f .Se P(xo, yo) for um ponto de C, ento mostraremos que f (xo, yo) serperpendicular a C no ponto P(xo, yo) (ou seja, o vetor f (xo, yo) ser per-pendicular reta tangente a C no ponto (xo, yo)), (veja a Figura 6.1). Paramostrarmos este resultado, precisamos definir a reta tangente a uma curva,para tal, introduziremos o conceito de parametrizao de uma curva C.

    Figura 6.1: Se C curva de nvel de f (x, y) que passa pelo ponto P(xo, yo),ento f (xo, yo) perpendicular a C no ponto P(xo, yo).

    Definio 6.4 (Equaes paramtricas de uma curva) Dada uma curva Cno plano, dizemos que as equaes

    x = x(t) e y = y(t),

    Figura 6.1: Se C curva de nvel de ( , )f x y que passa pelo ponto 0 0( , )P x y , ento 0 0( , )f x y perpendicular a C no ponto

    0 0( , )P x y .

    C

    x

    y

    P(x0 , y0)

    f (x0 , y0)

    cap6 2011/9/20 9:02 page 25 #25

    6.6. O GRADIENTE E CURVAS DE NVEL 25

    Soluoa) Note que

    f (x, y) = fx(x, y)+ fy(x, y) = (3x2 + x3)ex2y 2x3ex2y ,

    logo, f (1, 0) = (4e,2e). O vetor PQ = (1,1), o seu unitrio n = (1/

    2,1/

    2).

    Portanto,

    Dn f (1, 0) = (4e,2e) (1/2,1/

    2) = 3

    2 e.

    b) A derivada direcional cresce mais na direo de sentido de f (1, 0), ouseja, quando

    n = f (1, 0)|| f (1, 0)|| = (2/

    5,1/

    5)

    e a taxa de variao de f nesta direo || f (1, 0)|| = 29 e.c) A derivada direcional decresce mais na direo de sentido f (1, 0),ou seja, quando

    n = f (1, 0)|| f (1, 0)|| = (2/5,1/

    5)

    a taxa de variao de f nesta direo || f (1, 0)|| = 29 e.

    6.6 O gradiente e curvas de nvel

    Seja f (x, y) uma funo diferencivel e C uma curva de nvel de f .Se P(xo, yo) for um ponto de C, ento mostraremos que f (xo, yo) serperpendicular a C no ponto P(xo, yo) (ou seja, o vetor f (xo, yo) ser per-pendicular reta tangente a C no ponto (xo, yo)), (veja a Figura 6.1). Paramostrarmos este resultado, precisamos definir a reta tangente a uma curva,para tal, introduziremos o conceito de parametrizao de uma curva C.

    Figura 6.1: Se C curva de nvel de f (x, y) que passa pelo ponto P(xo, yo),ento f (xo, yo) perpendicular a C no ponto P(xo, yo).

    Definio 6.4 (Equaes paramtricas de uma curva) Dada uma curva Cno plano, dizemos que as equaes

    x = x(t) e y = y(t),

    cap6 2011/9/20 9:02 page 25 #25

    6.6. O GRADIENTE E CURVAS DE NVEL 25

    Soluoa) Note que

    f (x, y) = fx(x, y)+ fy(x, y) = (3x2 + x3)ex2y 2x3ex2y ,

    logo, f (1, 0) = (4e,2e). O vetor PQ = (1,1), o seu unitrio n = (1/

    2,1/

    2).

    Portanto,

    Dn f (1, 0) = (4e,2e) (1/2,1/

    2) = 3

    2 e.

    b) A derivada direcional cresce mais na direo de sentido de f (1, 0), ouseja, quando

    n = f (1, 0)|| f (1, 0)|| = (2/

    5,1/

    5)

    e a taxa de variao de f nesta direo || f (1, 0)|| = 29 e.c) A derivada direcional decresce mais na direo de sentido f (1, 0),ou seja, quando

    n = f (1, 0)|| f (1, 0)|| = (2/5,1/

    5)

    a taxa de variao de f nesta direo || f (1, 0)|| = 29 e.

    6.6 O gradiente e curvas de nvel

    Seja f (x, y) uma funo diferencivel e C uma curva de nvel de f .Se P(xo, yo) for um ponto de C, ento mostraremos que f (xo, yo) serperpendicular a C no ponto P(xo, yo) (ou seja, o vetor f (xo, yo) ser per-pendicular reta tangente a C no ponto (xo, yo)), (veja a Figura 6.1). Paramostrarmos este resultado, precisamos definir a reta tangente a uma curva,para tal, introduziremos o conceito de parametrizao de uma curva C.

    Figura 6.1: Se C curva de nvel de f (x, y) que passa pelo ponto P(xo, yo),ento f (xo, yo) perpendicular a C no ponto P(xo, yo).

    Definio 6.4 (Equaes paramtricas de uma curva) Dada uma curva Cno plano, dizemos que as equaes

    x = x(t) e y = y(t),

    6 .6 O gRADIEntE E CURVAS DE nVEL

  • 84

    clculo de vrias variveis

    cap6 2011/9/20 9:02 page 27 #27

    6.6. O GRADIENTE E CURVAS DE NVEL 27

    para todo t em I. Da relao acima e da Regra da Cadeia, veja o Teorema6.1, concluimos que

    0 =ddt

    f (x(t), y(t)) = f (x(t), y(t)) r(t).

    Com isso concluimos a prova do teorema.

    Uma consequncia do teorema acima a seguinte: seja f (x, y) uma fun-o diferencivel, ento, naqueles pontos (xo, yo) onde f (xo, yo) = 0, adireo da taxa de mxima de variao de f (x, y) em (xo, yo) ortogonal curva de nvel de f (x, y) que passa por (xo, yo). De fato, se f (xo, yo) =0,ele nos d a direo da taxa de variao mxima de f no ponto (xo, yo), aqual pelo Teorema 6.7 ortogonal a curva de nvel de f (x, y) que passa por(xo, yo), (veja a Figura 6.1).

    Exerccio 6.10 Seja f (x, y) = x2 y2 e C a curva x2 y2 = 1. Verifique que para todo (xo, yo) emC, o vetor f (xo, yo) perpendicular a C, no ponto (xo, yo).

    O conceito de derivada direcional se generaliza de uma maneira naturalpara funes de mais de duas variveis. Em particular, a derivada direcio-nal de uma funo diferencivel w = f (x, y, z) no ponto (x, y, z), na direodo vetor unitrion = (n1, n2, n2), definida como

    Dn f (x, y, z) = limt0f (x+ n1t, x+ n2t, z+ n3t) f (x, y, z)

    t

    portanto, do Teorema 6.2, temos

    Dn f (x, y, z) = f (x, y, z) n.Logo, o valor mximo da derivada direcional Dn f (x, y, z) || f (x, y, z)||e ocorre quando o vetor unitrion tem a mesma direo e sentido do vetorgradiente f (x, y, z).

    Exerccio 6.11 Sabendo-se que a temperatura no ponto (x, y, z) dada por

    T(x, y, z) = 100ex23y29z2 ,

    onde T medido em graus centgrados, x, y e z emmetros, determine a taxa de variao da tempe-ratura no ponto P(2,1, 1) na direo do vetor (1,1, 1). Qual a direo de maior crescimentoda temperatura em P? Encontre a taxa de crescimento mxima em P.

    cap6 2011/9/20 9:02 page 26 #26

    26 CAPTULO 6. A REGRA DA CADEIA E A DERIVADA DIRECIONAL

    com t I = [a, b], so equaes paramtricas de C (ou que elas nos douma parametrizao para C) se, medida que t varia de a a b, a ponta dovetor r (t) = x(t)+ y(t)descreve o conjunto dos pontos de C.

    Podemos ver C como uma trajetria descrita por uma partcula que semove no plano e r (t) o seu vetor posio, no instante t.Alguns exemplos de parametrizaes:

    1. Dado um vetorV = (a, b) = (0, 0) e um ponto (xo, yo), as equaes

    x = xo + at e y = yo + bt,

    t R, representam uma parametrizao da reta que passa por (xo, yo) e paralela ao vetor

    V .

    2. Se C for o grfico de uma funo diferencivel, y = f (x), ondea x b, ento uma possvel parametrizao de C a seguinte:

    x = t e y = f (t),

    onde a t b.

    3. Seja C for o crculo de raio a, centrado na origem. Dado um pontoP(x, y) de C, seja t o ngulo entre o semieixo dos x positivos e o segmentode reta OP, medido no sentido anti-horrio. Ento,

    x = a cos t e y = a sen t,

    onde 0 t 2pi, nos do uma possvel parametrizao de C.

    Dizemos que uma parametrizao de C suave se x(t) e y(t) forem con-tnuas e se o vetor (velocidade)

    r(t) = x(t)+ y(t) =0,para todo t em I. As trs parametrizaes dadas nos exemplos acima sotodas suaves. A hiptese der(t) = 0 nos permite definir a tangente a Cno ponto P(x(t), y(t)), ela a reta que passa por este ponto e paralela avetorr(t)

    Teorema 6.7 Seja f (x, y) diferencivel e C uma curva de nvel de f . Seja P(xo, yo)um ponto de C. Ento f (xo, yo) ser perpendicular a C no ponto P.

    Prova. Seja x = x(t) e y = y(t), t num intervalo I, uma parametrizaosuave de C. Dizer que f (x, y) perpendicular a C no ponto P(x(t), y(t)) equivalente a dizer que

    r(t) f (x(t), y(t))r(t) f (x(t), y(t)) = 0.

    Note que sendo C uma curva de nvel de f (x, y), esta funo constanteao longo da mesma, portanto,

    f (x(t), y(t)) = constante,

  • 85

    AulA 6

    cap6 2011/9/20 9:02 page 27 #27

    6.6. O GRADIENTE E CURVAS DE NVEL 27

    para todo t em I. Da relao acima e da Regra da Cadeia, veja o Teorema6.1, concluimos que

    0 =ddt

    f (x(t), y(t)) = f (x(t), y(t)) r(t).

    Com isso concluimos a prova do teorema.

    Uma consequncia do teorema acima a seguinte: seja f (x, y) uma fun-o diferencivel, ento, naqueles pontos (xo, yo) onde f (xo, yo) = 0, adireo da taxa de mxima de variao de f (x, y) em (xo, yo) ortogonal curva de nvel de f (x, y) que passa por (xo, yo). De fato, se f (xo, yo) =0,ele nos d a direo da taxa de variao mxima de f no ponto (xo, yo), aqual pelo Teorema 6.7 ortogonal a curva de nvel de f (x, y) que passa por(xo, yo), (veja a Figura 6.1).

    Exerccio 6.10 Seja f (x, y) = x2 y2 e C a curva x2 y2 = 1. Verifique que para todo (xo, yo) emC, o vetor f (xo, yo) perpendicular a C, no ponto (xo, yo).

    O conceito de derivada direcional se generaliza de uma maneira naturalpara funes de mais de duas variveis. Em particular, a derivada direcio-nal de uma funo diferencivel w = f (x, y, z) no ponto (x, y, z), na direodo vetor unitrion = (n1, n2, n2), definida como

    Dn f (x, y, z) = limt0f (x+ n1t, x+ n2t, z+ n3t) f (x, y, z)

    t

    portanto, do Teorema 6.2, temos

    Dn f (x, y, z) = f (x, y, z) n.Logo, o valor mximo da derivada direcional Dn f (x, y, z) || f (x, y, z)||e ocorre quando o vetor unitrion tem a mesma direo e sentido do vetorgradiente f (x, y, z).

    Exerccio 6.11 Sabendo-se que a temperatura no ponto (x, y, z) dada por

    T(x, y, z) = 100ex23y29z2 ,

    onde T medido em graus centgrados, x, y e z emmetros, determine a taxa de variao da tempe-ratura no ponto P(2,1, 1) na direo do vetor (1,1, 1). Qual a direo de maior crescimentoda temperatura em P? Encontre a taxa de crescimento mxima em P.

  • cap7 2011/9/20 9:07 page 13 #13

    Captulo 7

    Mximos e mnimos defunes de duas ou maisvariveis

    Ao final desta aula, o aluno dever ser capaz de:

    1. Encontrar os valores mximo e mnimo de uma funo contnua deduas variveis, definida num conjunto compacto.

    7.1 Algumas definies

    A seguir veremos as noes de mximos e mnimos absolutos e locais parafunes de duas variveis.

    Seja f : D R, onde D um subconjunto de R2 e (xo, yo) um ponto de D.Dizemos que f tem ummximo absoluto ou global (ou simplesmente ummximo) no ponto (xo, yo) se, e somente se, f (x, y) f (xo, yo), para todo(x, y) e D. Geometricamente, no grfico de f no pode ter ponto mais altoque o ponto (xo, yo, f (xo, yo)).

    De maneira anloga, dizemos que f tem um mnimo absoluto ou global(ou simplesmente ummnimo) no ponto (xo, yo) se, e somente se,

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) em D. Geometricamente, no grfico de f no pode terponto mais baixo que o ponto (xo, yo, f (xo, yo)).

    Exemplo 7.1 Seja f : R2 R, definida por f (x, y) = x2 + y2. Entof (0, 0) = 0 o mnimo de f no seu domnio, pois, dados dois nmerosreais x e y quaisquer, temos

    f (x, y) = x2 + y2 0 = f (0, 0).Por outro lado, f no possui mximo no seu domnio, por qu?

    13

  • AULA 7

    Mximos e mnimos de funes de duas ou mais variveis

    ObjEtIVOSNo final desta aula, o aluno dever ser capaz de:1. Compreender os conceitos de mximos e mnimos locais e globais e de ponto

    crtico de uma funo.2. Encontrar os pontos crticos de uma funo de duas variveis e classific-los.3. Encontrar os valores mximo e mnimo de uma funo contnua de duas vari-

    veis, definida num conjunto compacto.

    7 .1 ALgUMAS DEFInIES

    cap7 2011/9/20 9:07 page 13 #13

    Captulo 7

    Mximos e mnimos defunes de duas ou maisvariveis

    Ao final desta aula, o aluno dever ser capaz de:

    1. Encontrar os valores mximo e mnimo de uma funo contnua deduas variveis, definida num conjunto compacto.

    7.1 Algumas definies

    A seguir veremos as noes de mximos e mnimos absolutos e locais parafunes de duas variveis.

    Seja f : D R, onde D um subconjunto de R2 e (xo, yo) um ponto de D.Dizemos que f tem ummximo absoluto ou global (ou simplesmente ummximo) no ponto (xo, yo) se, e somente se, f (x, y) f (xo, yo), para todo(x, y) e D. Geometricamente, no grfico de f no pode ter ponto mais altoque o ponto (xo, yo, f (xo, yo)).

    De maneira anloga, dizemos que f tem um mnimo absoluto ou global(ou simplesmente ummnimo) no ponto (xo, yo) se, e somente se,

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) em D. Geometricamente, no grfico de f no pode terponto mais baixo que o ponto (xo, yo, f (xo, yo)).

    Exemplo 7.1 Seja f : R2 R, definida por f (x, y) = x2 + y2. Entof (0, 0) = 0 o mnimo de f no seu domnio, pois, dados dois nmerosreais x e y quaisquer, temos

    f (x, y) = x2 + y2 0 = f (0, 0).Por outro lado, f no possui mximo no seu domnio, por qu?

    13

  • 88

    clculo de vrias variveis

    cap7 2011/9/20 9:07 page 14 #14

    14CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.2 Seja f : R2 R, definida por f (x, y) = 1 x2 y2. Entof (0, 0) = 1 o mximo de f no seu domnio, pois, dados dois nmerosreais x e y quaisquer, temos

    f (x, y) = 1 x2 y2 1 = f (0, 0).Por outro lado, f no possui mnimo no seu domnio, por qu?

    Figura 7.1: O grfico de z = 1 x2 y2.

    Em geral no fcil encontrar o mximo nem o mnimo de uma funode duas variveis como nos exemplos acima e, como salientamos, podeacontecer que a funo no tenha mximo ou mnimo, da mesma formaque acontece no caso de funes de apenas uma varivel. O teorema abaixonos d condies suficientes para a existncia demximo emnimo de umafuno de duas variveis.

    Teorema 7.1 (Teorema do Valor Extremo) Seja D um subconjunto fechadoe limitado de R2. Se f for contnua em D, ento f assume os seus valoresmximo e mnimo em D. Ou seja, existem pontos (x1, y1) e (x2, y2) em D,tais que

    f (x1, y1) f (x, y) f (x2, y2),para todo (x, y) em D.

    O teorema acima se generaliza para funes de mais de duas variveis.

    Nos exemplos 7.1 e 7.2 ambas as funes so contnuas, porm os seusdomnios no so compactos, por no serem limitados, portanto, o teoremaacima no se aplica.

    Definio 7.1 Dada uma funo f (x, y), seja (xo, yo) um ponto do seudomnio.

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mnimolocal em (xo, yo).

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mximolocal em (xo, yo).

    cap7 2011/9/20 9:07 page 14 #14

    14CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.2 Seja f : R2 R, definida por f (x, y) = 1 x2 y2. Entof (0, 0) = 1 o mximo de f no seu domnio, pois, dados dois nmerosreais x e y quaisquer, temos

    f (x, y) = 1 x2 y2 1 = f (0, 0).Por outro lado, f no possui mnimo no seu domnio, por qu?

    Figura 7.1: O grfico de z = 1 x2 y2.

    Em geral no fcil encontrar o mximo nem o mnimo de uma funode duas variveis como nos exemplos acima e, como salientamos, podeacontecer que a funo no tenha mximo ou mnimo, da mesma formaque acontece no caso de funes de apenas uma varivel. O teorema abaixonos d condies suficientes para a existncia demximo emnimo de umafuno de duas variveis.

    Teorema 7.1 (Teorema do Valor Extremo) Seja D um subconjunto fechadoe limitado de R2. Se f for contnua em D, ento f assume os seus valoresmximo e mnimo em D. Ou seja, existem pontos (x1, y1) e (x2, y2) em D,tais que

    f (x1, y1) f (x, y) f (x2, y2),para todo (x, y) em D.

    O teorema acima se generaliza para funes de mais de duas variveis.

    Nos exemplos 7.1 e 7.2 ambas as funes so contnuas, porm os seusdomnios no so compactos, por no serem limitados, portanto, o teoremaacima no se aplica.

    Definio 7.1 Dada uma funo f (x, y), seja (xo, yo) um ponto do seudomnio.

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mnimolocal em (xo, yo).

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mximolocal em (xo, yo).

    Figura 7.1: O grfico de f(x,y) = 1 x2 y2.

    2

    0

    2

    2

    0

    2

    2

    1

    0

    1

    2

  • 89

    AulA 7

    cap7 2011/9/20 9:07 page 14 #14

    14CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.2 Seja f : R2 R, definida por f (x, y) = 1 x2 y2. Entof (0, 0) = 1 o mximo de f no seu domnio, pois, dados dois nmerosreais x e y quaisquer, temos

    f (x, y) = 1 x2 y2 1 = f (0, 0).Por outro lado, f no possui mnimo no seu domnio, por qu?

    Figura 7.1: O grfico de z = 1 x2 y2.

    Em geral no fcil encontrar o mximo nem o mnimo de uma funode duas variveis como nos exemplos acima e, como salientamos, podeacontecer que a funo no tenha mximo ou mnimo, da mesma formaque acontece no caso de funes de apenas uma varivel. O teorema abaixonos d condies suficientes para a existncia demximo emnimo de umafuno de duas variveis.

    Teorema 7.1 (Teorema do Valor Extremo) Seja D um subconjunto fechadoe limitado de R2. Se f for contnua em D, ento f assume os seus valoresmximo e mnimo em D. Ou seja, existem pontos (x1, y1) e (x2, y2) em D,tais que

    f (x1, y1) f (x, y) f (x2, y2),para todo (x, y) em D.

    O teorema acima se generaliza para funes de mais de duas variveis.

    Nos exemplos 7.1 e 7.2 ambas as funes so contnuas, porm os seusdomnios no so compactos, por no serem limitados, portanto, o teoremaacima no se aplica.

    Definio 7.1 Dada uma funo f (x, y), seja (xo, yo) um ponto do seudomnio.

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mnimolocal em (xo, yo).

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mximolocal em (xo, yo).

    cap7 2011/9/20 9:07 page 15 #15

    7.1. ALGUMAS DEFINIES 15

    Valores mximos e mnimos locais de f so chamados de extremos locaisde f .

    claro que mximos ou mnimos globais tambm so mximos ou mni-mos locais.

    No estudo de funo de uma varivel, vimos que se g(x) fosse uma funodefinida numa vizinhana de xo, g diferencivel neste ponto e se neste gtivesse um extremo local, ento,

    g(xo) = 0, (7.1)

    com isso estabelecemos condio necessria para que num dado ponto xo,no qual g fosse diferencivel, tivssemos ummximo ou ummnimo local.

    Suponha que f (x, y) esteja definida numa vizinhana de (xo, yo), no qualas suas derivadas parciais de primeira ordem existam e que neste ponto ftenha um extremo local. Para fixar as ideias, admitiremos que (xo, yo) sejaum mnimo local. Ento, como f tem um mnimo local em (xo, yo), paravalores de (x, y) suficientemente prximos de (xo, yo) devemos ter

    f (x, y) f (xo, yo)ou equivalentemente,

    f (x, y) f (xo, yo) 0.Em particular, se tomarmos (x, y) da forma (xo + h, yo), onde h suficente-mente pequeno, teremos

    g(x) f (xo + h, yo) f (xo, yo) 0. (7.2)Como assumimos que derivada fx(xo, yo) existe, a funo g(x) diferen-civel em xo, pois g(xo) = fx(xo, yo). Alm disso, de (7.2), g(x) tem ummnimo local em xo e de (7.1), devemos ter g(xo) = 0. Portanto,

    fx(xo, yo) = 0.

    De maneira anloga, se f tem um mnimo local em (xo, yo), ento para hsuficientemente pequeno, teremos

    w(y) f (xo, yo + h) f (xo, yo) 0. (7.3)Como assumimos que derivada fy(xo, yo) existe, a funo w(y) diferen-civel em yo, pois w(yo) = fy(xo, yo). Alm disso, de (7.3), w(y) tem ummnimo local em yo, e de (7.1), devemos ter w(yo) = 0. Portanto,

    fy(xo, yo) = 0.

    Se tivssemos assumido que f (x, y) tinha um mximo local em (xo, yo), asfunes g(x) e w(y) teriam mximos locais em xo e yo, respectivamente, ede (7.1), concluiramos novamente que fx(xo, yo) = 0 = fy(xo, yo), ou seja, f (xo, yo) = O, onde O o vetor nulo. Com isso provamos o teorema aseguir.

    Teorema 7.2 Suponha que f (x, y) esteja definida numa vizinhana de(xo, yo), na qual as derivadas parciais de primeira ordem existam e queneste f tenha um extremo local. Ento,

    f (xo, yo) = O.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 14 #14

    14CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.2 Seja f : R2 R, definida por f (x, y) = 1 x2 y2. Entof (0, 0) = 1 o mximo de f no seu domnio, pois, dados dois nmerosreais x e y quaisquer, temos

    f (x, y) = 1 x2 y2 1 = f (0, 0).Por outro lado, f no possui mnimo no seu domnio, por qu?

    Figura 7.1: O grfico de z = 1 x2 y2.

    Em geral no fcil encontrar o mximo nem o mnimo de uma funode duas variveis como nos exemplos acima e, como salientamos, podeacontecer que a funo no tenha mximo ou mnimo, da mesma formaque acontece no caso de funes de apenas uma varivel. O teorema abaixonos d condies suficientes para a existncia demximo emnimo de umafuno de duas variveis.

    Teorema 7.1 (Teorema do Valor Extremo) Seja D um subconjunto fechadoe limitado de R2. Se f for contnua em D, ento f assume os seus valoresmximo e mnimo em D. Ou seja, existem pontos (x1, y1) e (x2, y2) em D,tais que

    f (x1, y1) f (x, y) f (x2, y2),para todo (x, y) em D.

    O teorema acima se generaliza para funes de mais de duas variveis.

    Nos exemplos 7.1 e 7.2 ambas as funes so contnuas, porm os seusdomnios no so compactos, por no serem limitados, portanto, o teoremaacima no se aplica.

    Definio 7.1 Dada uma funo f (x, y), seja (xo, yo) um ponto do seudomnio.

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mnimolocal em (xo, yo).

    Se existir algum r > 0, tal que

    f (x, y) f (xo, yo),para todo (x, y) B(xo, yo; r), ento dizemos que f tem um mximolocal em (xo, yo).

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    clculo de vrias variveis

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    16CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Definio 7.2 Um ponto onde alguma das derivadas fx ou fy no existir,ou onde fx = fy = 0 chamado de um ponto crtico de f .

    Observao 7.1 Dada a funo f (x, y) = y2 x2, temos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0),

    contudo, f (0, 0) = 0 no nem mximo nem mnimo local de f . De fato,se nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo x, temos

    f (x, 0) = x2 < 0 = f (0, 0),se x = 0. Por outro lado, se nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo y,teremos

    f (0, y) = y2 > 0 = f (0, 0),

    se y = 0. Portanto, em qualquer vizinhana de (0, 0), f assume valores queso maiores e valores que so menores do que f (0, 0). Um ponto crtico noqual no h nem mximo nem mnimo local chamado ponto de sela.

    Figura 7.2: A origem um ponto de sela de z = y2 x2.

    O Teorema 7.2 nos diz que mximos e mnimos de funes diferenciveisocorrem nos seus pontos crticos. Portanto, para descobrirmos os mxi-mos e os mnimos de uma funo diferencivel f (x, y) numa regio abertaD do plano, a primeira coisa a fazer encontrar os pontos (x, y) nos quaisambas fx(x, y) e fy(x, y) se anulam. Se no houver pontos crticos em D,poderemos afirmar que f no tem nem mnimo nem mximo local em D.Se houver pontos crticos em D, deveremos examinar cada um deles, poisnem sempre um ponto crtico ponto de mnimo ou de mximo, conformej vimos. Por isso seria importante se tivssemos um critrio que nos per-mitisse caracterizar os pontos crticos de uma funo diferencivel.

    Os conceitos de mximo e mnimo locais e globais, ponto de sela, bemcomo de pontos crticos, se estendem naturalmente para funes de maisde duas variveis.

    Figura 7.2: A origem um ponto de sela de f(x,y) = y2 x2.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 16 #16

    16CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Definio 7.2 Um ponto onde alguma das derivadas fx ou fy no existir,ou onde fx = fy = 0 chamado de um ponto crtico de f .

    Observao 7.1 Dada a funo f (x, y) = y2 x2, temos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0),

    contudo, f (0, 0) = 0 no nem mximo nem mnimo local de f . De fato,se nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo x, temos

    f (x, 0) = x2 < 0 = f (0, 0),se x = 0. Por outro lado, se nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo y,teremos

    f (0, y) = y2 > 0 = f (0, 0),

    se y = 0. Portanto, em qualquer vizinhana de (0, 0), f assume valores queso maiores e valores que so menores do que f (0, 0). Um ponto crtico noqual no h nem mximo nem mnimo local chamado ponto de sela.

    Figura 7.2: A origem um ponto de sela de z = y2 x2.

    O Teorema 7.2 nos diz que mximos e mnimos de funes diferenciveisocorrem nos seus pontos crticos. Portanto, para descobrirmos os mxi-mos e os mnimos de uma funo diferencivel f (x, y) numa regio abertaD do plano, a primeira coisa a fazer encontrar os pontos (x, y) nos quaisambas fx(x, y) e fy(x, y) se anulam. Se no houver pontos crticos em D,poderemos afirmar que f no tem nem mnimo nem mximo local em D.Se houver pontos crticos em D, deveremos examinar cada um deles, poisnem sempre um ponto crtico ponto de mnimo ou de mximo, conformej vimos. Por isso seria importante se tivssemos um critrio que nos per-mitisse caracterizar os pontos crticos de uma funo diferencivel.

    Os conceitos de mximo e mnimo locais e globais, ponto de sela, bemcomo de pontos crticos, se estendem naturalmente para funes de maisde duas variveis.

    4 2

    1

    0

    1

    2

    2 1

    01

    2

    2

    0

    2

    4

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    16CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Definio 7.2 Um ponto onde alguma das derivadas fx ou fy no existir,ou onde fx = fy = 0 chamado de um ponto crtico de f .

    Observao 7.1 Dada a funo f (x, y) = y2 x2, temos quefx(0, 0) = 0 = fy(0, 0),

    contudo, f (0, 0) = 0 no nem mximo nem mnimo local de f . De fato,se nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo x, temos

    f (x, 0) = x2 < 0 = f (0, 0),se x = 0. Por outro lado, se nos aproximarmos de (0, 0) ao longo do eixo y,teremos

    f (0, y) = y2 > 0 = f (0, 0),

    se y = 0. Portanto, em qualquer vizinhana de (0, 0), f assume valores queso maiores e valores que so menores do que f (0, 0). Um ponto crtico noqual no h nem mximo nem mnimo local chamado ponto de sela.

    Figura 7.2: A origem um ponto de sela de z = y2 x2.

    O Teorema 7.2 nos diz que mximos e mnimos de funes diferenciveisocorrem nos seus pontos crticos. Portanto, para descobrirmos os mxi-mos e os mnimos de uma funo diferencivel f (x, y) numa regio abertaD do plano, a primeira coisa a fazer encontrar os pontos (x, y) nos quaisambas fx(x, y) e fy(x, y) se anulam. Se no houver pontos crticos em D,poderemos afirmar que f no tem nem mnimo nem mximo local em D.Se houver pontos crticos em D, deveremos examinar cada um deles, poisnem sempre um ponto crtico ponto de mnimo ou de mximo, conformej vimos. Por isso seria importante se tivssemos um critrio que nos per-mitisse caracterizar os pontos crticos de uma funo diferencivel.

    Os conceitos de mximo e mnimo locais e globais, ponto de sela, bemcomo de pontos crticos, se estendem naturalmente para funes de maisde duas variveis.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 17 #17

    7.1. ALGUMAS DEFINIES 17

    Teorema 7.3 (Classificao dos pontos crticos) Suponha que f tenhatodas as derivadas parciais at segunda ordem contnuas numa vizinhanade um ponto crtico (xo, yo). Seja

    (xo, yo) det(

    fxx(xo, yo) fxy(xo, yo)fxy(xo, yo) fyy(xo, yo)

    )= fxx(xo, yo) fyy(xo, yo) ( fxy(xo, yo))2.

    (i) Se (xo, yo) < 0, ento o ponto (xo, yo) ser um ponto de sela de f (x, y).

    (ii) Se (xo, yo) > 0, ento f (xo, yo) ser um mximo local de f (x, y), sefxx(xo, yo) < 0 e um mnimo local de f (x, y), se fxx(xo, yo) > 0.

    (iii) Se (xo, yo) = 0, a natureza de (xo, yo) no determinada por esteteste.

    O Teste da Derivada Segunda pode ser generalizado para funes de maisde duas variveis; contudo, ele bem complicado, envolvendo sinais dedeterminantes de matrizes de ordens superiores.

    Exemplo 7.3 Encontre os extremos locais de

    f (x, y) = x2 + xy+ y2 2x 2y(veja a Figura 7.3).

    Figura 7.3: Grfico de f (x, y) = x2 + xy+ y2 2x 2y.

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Comofx = 2x+ y 2 e fy = x+ 2y 2, devemos ter

    2x+ y = 2x+ 2y = 2,

    cuja soluo x = 2/3 e y = 2/3. As derivadas parciais de segunda ordemso fxx = 2, fxy = 1 e fyy = 2. Logo,

    (x, y) = (2)(2) (1)2 = 3 > 0,portanto, temos um mximo ou mnimo local em (2/3, 2/3). Como

    fxx(2/3, 2/3) = 2 > 0,

    segue-se que temos um mnimo local em (2/3, 2/3).

    Figura 7.3: Grfico de 2 2( , ) 2 2 .f x y x xy y x y= + +

    5

    0

    5

    5

    0

    5

    0

    10

    20

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    7.1. ALGUMAS DEFINIES 17

    Teorema 7.3 (Classificao dos pontos crticos) Suponha que f tenhatodas as derivadas parciais at segunda ordem contnuas numa vizinhanade um ponto crtico (xo, yo). Seja

    (xo, yo) det(

    fxx(xo, yo) fxy(xo, yo)fxy(xo, yo) fyy(xo, yo)

    )= fxx(xo, yo) fyy(xo, yo) ( fxy(xo, yo))2.

    (i) Se (xo, yo) < 0, ento o ponto (xo, yo) ser um ponto de sela de f (x, y).

    (ii) Se (xo, yo) > 0, ento f (xo, yo) ser um mximo local de f (x, y), sefxx(xo, yo) < 0 e um mnimo local de f (x, y), se fxx(xo, yo) > 0.

    (iii) Se (xo, yo) = 0, a natureza de (xo, yo) no determinada por esteteste.

    O Teste da Derivada Segunda pode ser generalizado para funes de maisde duas variveis; contudo, ele bem complicado, envolvendo sinais dedeterminantes de matrizes de ordens superiores.

    Exemplo 7.3 Encontre os extremos locais de

    f (x, y) = x2 + xy+ y2 2x 2y(veja a Figura 7.3).

    Figura 7.3: Grfico de f (x, y) = x2 + xy+ y2 2x 2y.

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Comofx = 2x+ y 2 e fy = x+ 2y 2, devemos ter

    2x+ y = 2x+ 2y = 2,

    cuja soluo x = 2/3 e y = 2/3. As derivadas parciais de segunda ordemso fxx = 2, fxy = 1 e fyy = 2. Logo,

    (x, y) = (2)(2) (1)2 = 3 > 0,portanto, temos um mximo ou mnimo local em (2/3, 2/3). Como

    fxx(2/3, 2/3) = 2 > 0,

    segue-se que temos um mnimo local em (2/3, 2/3).

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    clculo de vrias variveis

    cap7 2011/9/20 9:07 page 18 #18

    18CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.4 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = 4xy 2x2 y4

    (veja a Figura 7.4).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Portanto,os pontos crticos de f so solues do seguinte sistema de equaes:

    0 = fx(x, y) = 4y 4x0 = fy(x, y) = 4x 4y3.

    Da primeira equao, temos y = x, substituindo esta relao na segundaequao acima, temos, 4x(1 x2) = 0, portanto, temos x = 0, x = 1e x = 1. Logo, os pontos crticos so (0, 0), (1, 1), e (1,1). Comofxx(x, y) = 4, fyy(x, y) = 12y2 e fxy = 4, temos

    (x, y) = 48y2 16.Portanto, (0, 0) = 16 < 0, logo, (0, 0) um ponto de sela. Por outrolado, nos pontos (1, 1) e (1,1), temos = 32 > 0, logo, cada um destespontos um extremo local. Como fxx(x, y) = 4 < 0, ambos so mximoslocais.

    Figura 7.4: Grfico de 4xy 2x2 y4.

    Exemplo 7.5 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = x3 + y3 3x 3y(veja a Figura 7.5).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, ou seja,so solues do seguinte sistema:

    x2 1 = 0y2 1 = 0.

    Figura 7.4: Grfico de f(x,y) = 4xy2x2 y4.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 18 #18

    18CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.4 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = 4xy 2x2 y4

    (veja a Figura 7.4).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Portanto,os pontos crticos de f so solues do seguinte sistema de equaes:

    0 = fx(x, y) = 4y 4x0 = fy(x, y) = 4x 4y3.

    Da primeira equao, temos y = x, substituindo esta relao na segundaequao acima, temos, 4x(1 x2) = 0, portanto, temos x = 0, x = 1e x = 1. Logo, os pontos crticos so (0, 0), (1, 1), e (1,1). Comofxx(x, y) = 4, fyy(x, y) = 12y2 e fxy = 4, temos

    (x, y) = 48y2 16.Portanto, (0, 0) = 16 < 0, logo, (0, 0) um ponto de sela. Por outrolado, nos pontos (1, 1) e (1,1), temos = 32 > 0, logo, cada um destespontos um extremo local. Como fxx(x, y) = 4 < 0, ambos so mximoslocais.

    Figura 7.4: Grfico de 4xy 2x2 y4.

    Exemplo 7.5 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = x3 + y3 3x 3y(veja a Figura 7.5).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, ou seja,so solues do seguinte sistema:

    x2 1 = 0y2 1 = 0.

    2

    0

    2 2

    10

    12

    4

    2

    0

    2

    4

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    AulA 7

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    18CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.4 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = 4xy 2x2 y4

    (veja a Figura 7.4).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Portanto,os pontos crticos de f so solues do seguinte sistema de equaes:

    0 = fx(x, y) = 4y 4x0 = fy(x, y) = 4x 4y3.

    Da primeira equao, temos y = x, substituindo esta relao na segundaequao acima, temos, 4x(1 x2) = 0, portanto, temos x = 0, x = 1e x = 1. Logo, os pontos crticos so (0, 0), (1, 1), e (1,1). Comofxx(x, y) = 4, fyy(x, y) = 12y2 e fxy = 4, temos

    (x, y) = 48y2 16.Portanto, (0, 0) = 16 < 0, logo, (0, 0) um ponto de sela. Por outrolado, nos pontos (1, 1) e (1,1), temos = 32 > 0, logo, cada um destespontos um extremo local. Como fxx(x, y) = 4 < 0, ambos so mximoslocais.

    Figura 7.4: Grfico de 4xy 2x2 y4.

    Exemplo 7.5 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = x3 + y3 3x 3y(veja a Figura 7.5).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, ou seja,so solues do seguinte sistema:

    x2 1 = 0y2 1 = 0.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 19 #19

    7.1. ALGUMAS DEFINIES 19

    Portanto, (1,1), (1, 1), (1, 1) e (1,1). Note que

    fxy(x, y) = 0, fxx(x, y) = 6x e fyy(x, y) = 6y

    logo,(x, y) = 36xy.

    Ento(1,1) = (1, 1) = 36 < 0

    e concluimos que os pontos (1, 1) e (1,1) so pontos de sela. Noteque

    (1, 1) = (1,1) = 36 > 0,como fxx(1, 1) = 6 > 0, temos um ponto de mnimo local em (1, 1); poroutro lado, fxx(1,1) = 6 < 0, logo, em (1,1), temos um mximolocal.

    Figura 7.5: Grfico de f (x, y) = x3 + y3 3x 3y.

    Exerccio 7.1 Determinar os mximos e os mnimos locais da funo

    f (x, y) = xy+1x 64

    y,

    na regio D = {(x, y) : x < 0 e y > 0}.

    Exerccio 7.2 Mostre queg(x, y) = sen(xy) + sen x+ sen y

    (veja a Figura 7.6), admite mximo local em (pi/3,pi/3) e mnimo local em (5pi/3, 5pi/3).

    Exemplo 7.6 Mostre que o valor mximo e o valor mnimo de f (x, y) =x2 y2 no disco D, dado por x2 + y2 1 ocorrem na fronteira deste. Cal-cular estes extremos globais.

    Figura 7.5: Grfico de 3 3( , ) 3 3 .f x y x y x y= +

    cap7 2011/9/20 9:07 page 19 #19

    7.1. ALGUMAS DEFINIES 19

    Portanto, (1,1), (1, 1), (1, 1) e (1,1). Note que

    fxy(x, y) = 0, fxx(x, y) = 6x e fyy(x, y) = 6y

    logo,(x, y) = 36xy.

    Ento(1,1) = (1, 1) = 36 < 0

    e concluimos que os pontos (1, 1) e (1,1) so pontos de sela. Noteque

    (1, 1) = (1,1) = 36 > 0,como fxx(1, 1) = 6 > 0, temos um ponto de mnimo local em (1, 1); poroutro lado, fxx(1,1) = 6 < 0, logo, em (1,1), temos um mximolocal.

    Figura 7.5: Grfico de f (x, y) = x3 + y3 3x 3y.

    Exerccio 7.1 Determinar os mximos e os mnimos locais da funo

    f (x, y) = xy+1x 64

    y,

    na regio D = {(x, y) : x < 0 e y > 0}.

    Exerccio 7.2 Mostre queg(x, y) = sen(xy) + sen x+ sen y

    (veja a Figura 7.6), admite mximo local em (pi/3,pi/3) e mnimo local em (5pi/3, 5pi/3).

    Exemplo 7.6 Mostre que o valor mximo e o valor mnimo de f (x, y) =x2 y2 no disco D, dado por x2 + y2 1 ocorrem na fronteira deste. Cal-cular estes extremos globais.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 18 #18

    18CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exemplo 7.4 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = 4xy 2x2 y4

    (veja a Figura 7.4).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0. Portanto,os pontos crticos de f so solues do seguinte sistema de equaes:

    0 = fx(x, y) = 4y 4x0 = fy(x, y) = 4x 4y3.

    Da primeira equao, temos y = x, substituindo esta relao na segundaequao acima, temos, 4x(1 x2) = 0, portanto, temos x = 0, x = 1e x = 1. Logo, os pontos crticos so (0, 0), (1, 1), e (1,1). Comofxx(x, y) = 4, fyy(x, y) = 12y2 e fxy = 4, temos

    (x, y) = 48y2 16.Portanto, (0, 0) = 16 < 0, logo, (0, 0) um ponto de sela. Por outrolado, nos pontos (1, 1) e (1,1), temos = 32 > 0, logo, cada um destespontos um extremo local. Como fxx(x, y) = 4 < 0, ambos so mximoslocais.

    Figura 7.4: Grfico de 4xy 2x2 y4.

    Exemplo 7.5 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = x3 + y3 3x 3y(veja a Figura 7.5).

    Soluo Como f (x, y) diferencivel em todos os pontos, os seus pontoscrticos so os pontos (x, y), nos quais fx(x, y) = 0 e fy(x, y) = 0, ou seja,so solues do seguinte sistema:

    x2 1 = 0y2 1 = 0.

    2 1

    01

    2

    2

    1

    0

    1

    2

    4

    2

    0

    2

    4

  • 94

    clculo de vrias variveis

    cap7 2011/9/20 9:07 page 20 #20

    20CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Figura 7.6: Grfico de g(x, y) = sen(xy) + sen x+ sen y.

    Soluo Como f (x, y) diferencivel para todo (x, y) dentro do disco,segue-se que os seus pontos crticos dentro do disco, caso existam, so assolues de f (x, y) =0. Por outro lado, f (x, y) = (x, y). Portanto (0, 0) o nico ponto crtico de f dentro do disco. Vimos na Observao 7.1 que(0, 0) um ponto de sela. Como f (x, y) contnua e o seu domnio D compacto, pelo Teorema 7.1, ela deve assumir os seus valores mximos emnimos em D. Como eles no podem estar dentro do disco, pois o nicoponto crtico l (0, 0), o qual um ponto de sela, o mximo e o mnimodevem ocorrer na fronteira de D, ou seja, no crculo x2 + y2 = 1.

    No crculo temos y2 = 1 x2, substituindo esta relao na expresso paraf (x, y), temos

    f (x, y) = 2x2 1 g(x),

    onde1 x 1. Com isso os valores mximo e mnimo de f em D so osvalores mximo emnimo de g(x), em1 x 1. Uma conta simples nosleva aos valores 1 e 1 como o mnimo e mximo de g, respectivamente.Portanto, os valores mnimo e mximo de f no disco D so 1 e 1, respec-tivamente.

    Figura 7.7: Grfico de f (x, y) = 18x2 32y2 36x 128y+ 15.

    Figura 7.6: Grfico de ( , ) sen( ) sen sen .g x y xy x y= + +

    0

    2

    4

    6

    0

    2

    4

    6

    2

    0

    2

    Figura 7.7: Grfico de 2 2( , ) 18 32 36 128 15.f x y x y x y= +

    0.

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0 2.5

    1.5

    1.0

    100

    120

    140

    0

    2.0

  • 95

    AulA 7

    cap7 2011/9/20 9:07 page 20 #20

    20CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Figura 7.6: Grfico de g(x, y) = sen(xy) + sen x+ sen y.

    Soluo Como f (x, y) diferencivel para todo (x, y) dentro do disco,segue-se que os seus pontos crticos dentro do disco, caso existam, so assolues de f (x, y) =0. Por outro lado, f (x, y) = (x, y). Portanto (0, 0) o nico ponto crtico de f dentro do disco. Vimos na Observao 7.1 que(0, 0) um ponto de sela. Como f (x, y) contnua e o seu domnio D compacto, pelo Teorema 7.1, ela deve assumir os seus valores mximos emnimos em D. Como eles no podem estar dentro do disco, pois o nicoponto crtico l (0, 0), o qual um ponto de sela, o mximo e o mnimodevem ocorrer na fronteira de D, ou seja, no crculo x2 + y2 = 1.

    No crculo temos y2 = 1 x2, substituindo esta relao na expresso paraf (x, y), temos

    f (x, y) = 2x2 1 g(x),

    onde1 x 1. Com isso os valores mximo e mnimo de f em D so osvalores mximo emnimo de g(x), em1 x 1. Uma conta simples nosleva aos valores 1 e 1 como o mnimo e mximo de g, respectivamente.Portanto, os valores mnimo e mximo de f no disco D so 1 e 1, respec-tivamente.

    Figura 7.7: Grfico de f (x, y) = 18x2 32y2 36x 128y+ 15.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 21 #21

    7.1. ALGUMAS DEFINIES 21

    Exemplo 7.7 Mostre que

    f (x, y) = 18x2 32y2 36x 128y+ 15,(veja a Figura 7.7), tem um nico ponto crtico no R2, o qual um pontode sela.

    Exemplo 7.8 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = x4 + y4 4xy+ 1(veja a Figura 7.8).

    Figura 7.8: Grfico de f (x, y) = x4 + y4 4xy+ 1.

    Exerccio 7.3 Discuta a natureza dos pontos crticos de cada uma das funes abaixo.

    a) f (x, y) = x2 y2 b) f (x, y) = 3xy x2 y2

    c) f (x, y) = 2x4 + y4 x2 2y2 d) f (x, y) = 4x2 12xy+ 9y2

    e) f (x, y) = x4 + y4 f) f (x, y) = x4 y4

    g) f (x, y) = 9 2x+ 4y x2 4y2 h) f (x, y) = x3y+ 12x2 8y

    i) f (x, y) = e4yx2y2 j) f (x, y) = y

    x y2 x+ 6y

    k) f (x, y) = ex cos y l) f (x, y) = x4 + y4 4xy+ 1.

    Figura 7.8: Grfico de 4 4( , ) 4 1.f x y x y xy= + +

    2 1

    01

    2

    2

    1

    0

    1

    2

    4

    2

    0

    2

    4

    cap7 2011/9/20 9:07 page 21 #21

    7.1. ALGUMAS DEFINIES 21

    Exemplo 7.7 Mostre que

    f (x, y) = 18x2 32y2 36x 128y+ 15,(veja a Figura 7.7), tem um nico ponto crtico no R2, o qual um pontode sela.

    Exemplo 7.8 Encontre e classifique os pontos crticos de

    f (x, y) = x4 + y4 4xy+ 1(veja a Figura 7.8).

    Figura 7.8: Grfico de f (x, y) = x4 + y4 4xy+ 1.

    Exerccio 7.3 Discuta a natureza dos pontos crticos de cada uma das funes abaixo.

    a) f (x, y) = x2 y2 b) f (x, y) = 3xy x2 y2

    c) f (x, y) = 2x4 + y4 x2 2y2 d) f (x, y) = 4x2 12xy+ 9y2

    e) f (x, y) = x4 + y4 f) f (x, y) = x4 y4

    g) f (x, y) = 9 2x+ 4y x2 4y2 h) f (x, y) = x3y+ 12x2 8y

    i) f (x, y) = e4yx2y2 j) f (x, y) = y

    x y2 x+ 6y

    k) f (x, y) = ex cos y l) f (x, y) = x4 + y4 4xy+ 1.

  • 96

    clculo de vrias variveis

    cap7 2011/9/20 9:07 page 22 #22

    22CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    7.2 Aplicaes

    A partir do Teorema 7.1, temos um procedimento para encontrar os valo-res mximos e mnimos de uma funo contnua, definida num conjuntolimitado e fechado D:

    Calculamos f nos pontos onde fx = fy = 0 ou alguma das derivadasfx ou fy no exista.

    Calculamos os valores de f na fronteira de D.

    Omaior e omenor dos valores de f obtidos nos itens acima nos daroos valores mximo e mnimo de f em D.

    Exemplo 7.9 Sejaf (x, y) = 4xy 2x2 y4,

    definida no quadrado D = {(x, y) : |x| 2, |y| 2} (veja a Figura 7.4).Encontre os valores mximos e mnimos de f em D.

    Soluo Como f um polinmio, ela diferencivel em todos os pontosinteriores de D, portanto, os pontos crticos de f so os pontos no interiorde D, nos quais f (x, y) = (0, 0), ou seja, so solues do seguinte sistemade equaes:

    0 = fx(x, y) = 4y 4x0 = fy(x, y) = 4x 4y3.

    Portanto, os pontos crticos de f so (0, 0), (1, 1), e (1,1), nos quais fvale 0, 1 e 1, respectivamente.

    Os valores mximo e mnimo de f tm que ser atingidos em algum destespontos ou em pontos da fronteira de D.

    A seguir estudaremos os valores de f na fronteira de D, a qual formadade quatro segmentos de reta.

    No segmento x = 2 e 2 y 2, temos f (x, y) = 8+ 8y y4 g(y).Como a funo g(y) contnua no intervalo fechado e limitado [2, 2], elaassume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pontos crticos soos pontos do interior deste intervalo nos quais g(y) = 8 4y3 = 0, ouseja, y = 21/3 e g(21/3) = 8 10 21/3. Alm disso, nas extremidades dointervalo, temos g(2) = 8 e g(2) = 40.No segmento x = 2 e 2 y 2, temos f (x, y) = 8 8y y4 h(y).Como a funo h(y) contnua no intervalo fechado e limitado [2, 2],ela assume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pontos crticosso dados por h(y) = 8 4y3 = 0, ou seja, y = 21/3 e h(21/3) =8 6 21/3. Alm disso, h(2) = 40 e h(2) = 8.No segmento y = 2, 2 x 2, temos f (x, y) = 16+ 8x 2x2 q(x).Como a funo q(x) contnua no intervalo fechado e limitado [2, 2], elaassume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pontos crticos sodados por q(x) = 8 4x = 0, ou seja, x = 2. Logo, q no tem pontos crti-cos no interior do seu domnio, portanto, os mximos e mnimos esto nasextremidades do intervalo, ou seja, nos pontos 2 e 2. Note que q(2) = 0 eq(2) = 32, que so os seus valores mximo e mnimo, respectivamente.

    7 .2 ApLICAES

  • 97

    AulA 7

    cap7 2011/9/20 9:07 page 22 #22

    22CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    7.2 Aplicaes

    A partir do Teorema 7.1, temos um procedimento para encontrar os valo-res mximos e mnimos de uma funo contnua, definida num conjuntolimitado e fechado D:

    Calculamos f nos pontos onde fx = fy = 0 ou alguma das derivadasfx ou fy no exista.

    Calculamos os valores de f na fronteira de D.

    Omaior e omenor dos valores de f obtidos nos itens acima nos daroos valores mximo e mnimo de f em D.

    Exemplo 7.9 Sejaf (x, y) = 4xy 2x2 y4,

    definida no quadrado D = {(x, y) : |x| 2, |y| 2} (veja a Figura 7.4).Encontre os valores mximos e mnimos de f em D.

    Soluo Como f um polinmio, ela diferencivel em todos os pontosinteriores de D, portanto, os pontos crticos de f so os pontos no interiorde D, nos quais f (x, y) = (0, 0), ou seja, so solues do seguinte sistemade equaes:

    0 = fx(x, y) = 4y 4x0 = fy(x, y) = 4x 4y3.

    Portanto, os pontos crticos de f so (0, 0), (1, 1), e (1,1), nos quais fvale 0, 1 e 1, respectivamente.

    Os valores mximo e mnimo de f tm que ser atingidos em algum destespontos ou em pontos da fronteira de D.

    A seguir estudaremos os valores de f na fronteira de D, a qual formadade quatro segmentos de reta.

    No segmento x = 2 e 2 y 2, temos f (x, y) = 8+ 8y y4 g(y).Como a funo g(y) contnua no intervalo fechado e limitado [2, 2], elaassume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pontos crticos soos pontos do interior deste intervalo nos quais g(y) = 8 4y3 = 0, ouseja, y = 21/3 e g(21/3) = 8 10 21/3. Alm disso, nas extremidades dointervalo, temos g(2) = 8 e g(2) = 40.No segmento x = 2 e 2 y 2, temos f (x, y) = 8 8y y4 h(y).Como a funo h(y) contnua no intervalo fechado e limitado [2, 2],ela assume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pontos crticosso dados por h(y) = 8 4y3 = 0, ou seja, y = 21/3 e h(21/3) =8 6 21/3. Alm disso, h(2) = 40 e h(2) = 8.No segmento y = 2, 2 x 2, temos f (x, y) = 16+ 8x 2x2 q(x).Como a funo q(x) contnua no intervalo fechado e limitado [2, 2], elaassume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pontos crticos sodados por q(x) = 8 4x = 0, ou seja, x = 2. Logo, q no tem pontos crti-cos no interior do seu domnio, portanto, os mximos e mnimos esto nasextremidades do intervalo, ou seja, nos pontos 2 e 2. Note que q(2) = 0 eq(2) = 32, que so os seus valores mximo e mnimo, respectivamente.

    cap7 2011/9/20 9:07 page 23 #23

    7.2. APLICAES 23

    No segmento y = 2, 2 x 2, temos f (x, y) = 16 8x 2x2 w(x). Como a funo w(x) contnua no intervalo fechado e limitado[2, 2], ela assume os valores mximo e mnimo no mesmo. Seus pon-tos crticos so dados por w(x) = 8 4x = 0, ou seja, x = 2. Logo, wno tem pontos crticos no interior do seu domnio, portanto, os mximose mnimos esto nas extremidades do intervalo, ou seja, nos pontos 2 e 2.Note que w(2) = 40 e w(2) = 4, que so os seus valores mnimo emximo, respectivamente.

    Comparando-se os valores de f no interior de D e na fronteira, concluimosque o seu mnimo 40 ocorre nos pontos de fronteira de (2,2) e (2, 2)e o seu mximo 1 e atingido nos pontos interiores (1, 1) e (1,1).

    Exemplo 7.10 Determine os valores mximo e mnimo globais de

    f (x, y) = x2 2xy+ 2yno retngulo D = {(x, y) : 0 x 3, 0 y 2}.

    SoluoComoD limitado e fechado e f contnua emD, ento, f assumeos valores mximo e mnimo globais em D. A nica soluo de fx = 0 efy = 0 o ponto (1, 1), o qual est no interior de D. Pelo Teste da DerivadaSegunda, (1, 1) um ponto de sela de f . Portanto, no h mximos nemmnimos locais de f no interior de D. Logo, os valores mximos e mnimosglobais de f ocorrem na fronteira de D.

    Estudo de f na fronteira de D:

    (i) No segmento de reta y = 0, 0 x 3, temos f (x, y) = x2, logo,0 f (x, y) 9.

    (ii) No segmento de reta x = 0, 0 y 2, temos f (x, y) = 2y, portanto,0 f (x, y) 4.

    (iii) No segmento de reta y = 2, 0 x 3, temos f (x, y) = (x 2)2, logo,0 f (x, y) 4.

    (iv) No segmento de reta x = 3, 0 y 2, temos f (x, y) = 9 4y,portanto,

    1 f (x, y) 9.Ento, o menor e o maior valores de f na fronteira de D so 0 e 9,respectivamente, os quais so os valores mnimo e mximo globais de f .

    Exerccio 7.4 Dada a funo f (x, y) = x2 2xy+ 3y2 x no quadradoD = {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1},

    encontre todos os seus pontos crticos e encontre o seus mximo e mnimo.

    Exerccio 7.5 Mostre que H(x, y) = x2y4 + x4y2 3x2y2 + 1 0 para todo (x, y).

  • 98

    clculo de vrias variveis

    cap7 2011/9/20 9:07 page 24 #24

    24CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exerccio 7.6 Determine os valores mximo e mnimo globais de f no conjunto D.

    a) f (x, y) = 4 3x+ 4y e D a regio triangular fechada com vrtices (0, 0), (4, 0) e (4, 5)b) f (x, y) = y

    x y2 x+ 6y e D = {(x, y) : 0 x 9, 0 y 5}

    c) f (x, y) = 2x3 + y4 e D = {(x, y) : x2 + y2 1}d) f (x, y) = x3 3x y3 + 12y e D o quadriltero cujos vrtices so (2, 3), (2, 3), (2, 2) e(2,2).

    Exerccio 7.7 Dada uma regio triangular equilateral, qual a posio do ponto P desta regio, talque o produto das distncias de P aos vrtices seja mxima?

    Exerccio 7.8 Determine o ponto do plano 6x + 4y 3z = 2 mais prximo do ponto (2,2, 3).Qual a distncia entre eles?

    Exerccio 7.9 Determine os pontos da superfcie x2y2z = 1 que esto mais prximos da origem.

    Exerccio 7.10 Determine trs nmeros positivos cuja soma seja 100 e cujo produto seja mximo.

  • AULA

    cap7 2011/9/20 9:07 page 24 #24

    24CAPTULO 7. MXIMOS EMNIMOSDE FUNESDEDUASOUMAISVARIVEIS

    Exerccio 7.6 Determine os valores mximo e mnimo globais de f no conjunto D.

    a) f (x, y) = 4 3x+ 4y e D a regio triangular fechada com vrtices (0, 0), (4, 0) e (4, 5)b) f (x, y) = y

    x y2 x+ 6y e D = {(x, y) : 0 x 9, 0 y 5}

    c) f (x, y) = 2x3 + y4 e D = {(x, y) : x2 + y2 1}d) f (x, y) = x3 3x y3 + 12y e D o quadriltero cujos vrtices so (2, 3), (2, 3), (2, 2) e(2,2).

    Exerccio 7.7 Dada uma regio triangular equilateral, qual a posio do ponto P desta regio, talque o produto das distncias de P aos vrtices seja mxima?

    Exerccio 7.8 Determine o ponto do plano 6x + 4y 3z = 2 mais prximo do ponto (2,2, 3).Qual a distncia entre eles?

    Exerccio 7.9 Determine os pontos da superfcie x2y2z = 1 que esto mais prximos da origem.

    Exerccio 7.10 Determine trs nmeros positivos cuja soma seja 100 e cujo produto seja mximo.

    8

    Mximos e mnimos com vnculos: multiplicadores de Lagrange

    cap8 2009/10/19 20:53 page 15 #15

    Captulo 8

    Leitura Complementar

    muito comum encontrarmos problemas cujas solues consistem emmaxi-mizarmos ou minizarmos o valor de uma funo

    z = f (x, y),

    sujeita a uma restrio do tipo

    g(x, y) = 0,

    onde f e g tm derivadas parciais de primeira ordem contnuas. Ou seja,no clculo de f estamos nos restringindo apenas aos seus valores sobre ospontos (x, y) que esto sobre uma curva C, dada pela condio g(x, y) = 0(veja Figura 8.1).

    Figura 8.1: O problema de mximo e mnimo de f (x, y) sujeito restriog(x, y) = 0, que a curva azul na figura.

    Nos casos mais simples, podemos resolver a equao g(x, y) = 0 emrelao a uma varivel, por exemplo, y = (x), o que resultar emz = f (x, (x)). Neste caso teramos um problema de mximos e mni-mos de uma funo de uma varivel, algo j estudado. Entretanto, nemsempre possvel resolver explicitamente a equao g(x, y) = 0 para umadas variveis, mesmo que teoricamente o Teorema da Funo Implcita nosgaranta que localmente possamos expressar uma das variveis comofuno da outra.

    15

    Figura 8.1: O problema de mximo e mnimo de ( , )f x y sujeito restrio ( , ) 0g x y = , que a curva azul na figura.

    C

    x

    y

    f (x , y)

    cap8 2009/10/19 20:53 page 15 #15

    Captulo 8

    Leitura Complementar

    muito comum encontrarmos problemas cujas solues consistem emmaxi-mizarmos ou minizarmos o valor de uma funo

    z = f (x, y),

    sujeita a uma restrio do tipo

    g(x, y) = 0,

    onde f e g tm derivadas parciais de primeira ordem contnuas. Ou seja,no clculo de f estamos nos restringindo apenas aos seus valores sobre ospontos (x, y) que esto sobre uma curva C, dada pela condio g(x, y) = 0(veja Figura 8.1).

    Figura 8.1: O problema de mximo e mnimo de f (x, y) sujeito restriog(x, y) = 0, que a curva azul na figura.

    Nos casos mais simples, podemos resolver a equao g(x, y) = 0 emrelao a uma varivel, por exemplo, y = (x), o que resultar emz = f (x, (x)). Neste caso teramos um problema de mximos e mni-mos de uma funo de uma varivel, algo j estudado. Entretanto, nemsempre possvel resolver explicitamente a equao g(x, y) = 0 para umadas variveis, mesmo que teoricamente o Teorema da Funo Implcita nosgaranta que localmente possamos expressar uma das variveis comofuno da outra.

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  • 100

    clculo de vrias variveis

    cap8 2009/10/19 20:53 page 16 #16

    16 CAPTULO 8. LEITURA COMPLEMENTAR

    O mtodo dos multiplicadores de Lagrange, que descreveremos a seguir,nos fornecer uma estratgia para encontrarmos mximos e mnimos deuma funo z = f (x, y) sujeita condio g(x, y) = 0.

    Sob as hipteses dadas, C admite uma parametrizao suave, x = x(t) ey = y(t), para t pertencendo a algum intervalo I. Suponha que no ponto(xo, yo) = (x(to), y(to)) de C a funo f tenha um extremo. Ento, a funode uma varivel f (x(t), y(t)) tem um extremo em to, logo,

    ddt

    f (x(to), y(to)) = 0.

    Por outro lado, da Regra da Cadeia,

    ddt

    f (x(to), y(to)) = fx(x(to), y(to))x(to) + fy(x(to), y(to))y(to)

    = fx(xo, yo)x(to) + fy(xo, yo)y(to)= f (xo, yo) r(to).

    Portanto, f (xo, yo) r(to) = 0,

    o que mostra que f (xo, yo) r(to). Por outro lado, de acordo com oTeorema 6.7, g(xo, yo) r(to), visto que C uma curva de nvel para g.Como f (xo, yo) e g(xo, yo) so ortogonais ao mesmo vetor, eles devemser paralelos, ou seja

    f (xo, yo) = g(xo, yo).Com isso provamos o seguinte teorema:

    Teorema 8.1 (Teorema de Lagrange) Sejam f e g funes de duas variveis,tais que as suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contnuas numa regiodo plano xy, na qual g(x, y) = 0. Se f tem um extremo f (xo, yo) sujeito aovnculo g(x, y) = 0, ento existe um nmero real , chamado de multiplicadorde Lagrange, tal que

    f (xo, yo) = g(xo, yo).

    Se definirmosF(x, y,) = f (x, y) g(x, y),

    ento,F(x, y,) =0

    se, e somente se,

    f (x, y) = g(x, y) e g(x, y) = 0.Portanto, o Teorema 8.1 nos diz que os pontos de mximos e mnimos rela-tivos de f (x, y), sujeito restrio g(x, y) = 0, podem ser encontrados apartir de um problema de mximos e mnimos sem vnculos. Ou seja,

    1. Encontramos os pontos (x1, y1,1), . . . , (xn, yn,n), que so soluesde

    F(x, y,) =0;2. Os pontos onde ocorrem os extremos relativos de f esto entre

    (x1, y1), . . . , (xn, yn);

  • 101

    AulA 8

    cap8 2009/10/19 20:53 page 16 #16

    16 CAPTULO 8. LEITURA COMPLEMENTAR

    O mtodo dos multiplicadores de Lagrange, que descreveremos a seguir,nos fornecer uma estratgia para encontrarmos mximos e mnimos deuma funo z = f (x, y) sujeita condio g(x, y) = 0.

    Sob as hipteses dadas, C admite uma parametrizao suave, x = x(t) ey = y(t), para t pertencendo a algum intervalo I. Suponha que no ponto(xo, yo) = (x(to), y(to)) de C a funo f tenha um extremo. Ento, a funode uma varivel f (x(t), y(t)) tem um extremo em to, logo,

    ddt

    f (x(to), y(to)) = 0.

    Por outro lado, da Regra da Cadeia,

    ddt

    f (x(to), y(to)) = fx(x(to), y(to))x(to) + fy(x(to), y(to))y(to)

    = fx(xo, yo)x(to) + fy(xo, yo)y(to)= f (xo, yo) r(to).

    Portanto, f (xo, yo) r(to) = 0,

    o que mostra que f (xo, yo) r(to). Por outro lado, de acordo com oTeorema 6.7, g(xo, yo) r(to), visto que C uma curva de nvel para g.Como f (xo, yo) e g(xo, yo) so ortogonais ao mesmo vetor, eles devemser paralelos, ou seja

    f (xo, yo) = g(xo, yo).Com isso provamos o seguinte teorema:

    Teorema 8.1 (Teorema de Lagrange) Sejam f e g funes de duas variveis,tais que as suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contnuas numa regiodo plano xy, na qual g(x, y) = 0. Se f tem um extremo f (xo, yo) sujeito aovnculo g(x, y) = 0, ento existe um nmero real , chamado de multiplicadorde Lagrange, tal que

    f (xo, yo) = g(xo, yo).

    Se definirmosF(x, y,) = f (x, y) g(x, y),

    ento,F(x, y,) =0

    se, e somente se,

    f (x, y) = g(x, y) e g(x, y) = 0.Portanto, o Teorema 8.1 nos diz que os pontos de mximos e mnimos rela-tivos de f (x, y), sujeito restrio g(x, y) = 0, podem ser encontrados apartir de um problema de mximos e mnimos sem vnculos. Ou seja,

    1. Encontramos os pontos (x1, y1,1), . . . , (xn, yn,n), que so soluesde

    F(x, y,) =0;2. Os pontos onde ocorrem os extremos relativos de f esto entre

    (x1, y1), . . . , (xn, yn);

    cap8 2009/10/19 20:53 page 17 #17

    17

    3. Se f tiver um mximo, sujeito ao vnculo g(x, y) = 0, ele dado por

    max{ f (x1, y1), . . . f (xn, yn)}.Demaneira anloga, se f tiver ummnimo, sujeito ao vnculo g(x, y) =0, ele dado por

    min{ f (x1, y1), . . . f (xn, yn)}.

    Exemplo 8.1 Maximize f (x, y) = x+ y, sujeito restrio x2 + y2 = 1.

    Soluo Primeiramente, como f uma funo contnua e estamos res-tringindo f a pontos do crculo x2 + y2 = 1 que um conjunto fechadoe limitado do plano, necessariamente, os valores mximo e mnimo de fso atingidos em algum ponto do crculo. No mtodo de Lagrange tere-mos g(x, y) = x2 + y2 1. Logo,

    F(x, y,) = x+ y (x2 + y2 1),portanto,

    F = (1 2x, 1 2y,x2 y2 + 1) =0,se, e somente se, tivermos

    2x = 12y = 1

    x2 + y2 = 1.

    Note que da primeira ou da segunda equaes devemos ter = 0; casocontrrio, seramos levado equao 0 = 1. Como = 0, da primeira e dasegunda equaes, concluimos que x = 12 = y, portanto, x = y. Fazendo-

    -se x = y na terceira equao, temos 2x2 = 1, portanto, x = 22 . Logo,

    temos os seguintes valores para (x, y):(22

    ,

    22

    )e

    (22

    ,22

    ).

    Calculando f nestes pontos, temos

    f

    (22

    ,

    22

    )=2 e f

    (22

    ,22

    )=

    2.

    Portanto, o maior de f 2 e o menor valor de f 2.

    A seguir discutiremos um pouco sobre a geometria por trs do mtodo deLagrange.

    Suponha que tenhamos desenhado no plano xy as curvas de nveis def (x, y) e a curva C que representa g(x, y) = 0. Se num dado ponto (xo, yo),f (x, y) com o vnculo g(x, y) = 0 tiver um mximo local ou de mnimolocal, ento C deve tangenciar a curva de nvel f (x, y) = f (xo, yo). Defato, sabemos que neste pontog(xo, yo) e f (xo, yo) devem ser perpendi-culares, mas g(xo, yo) deve ser perpendicular a C, pois esta uma dassuas curvas de nveis. Portanto, C deve ser tangente curva de nvelf (x, y) = f (xo, yo). Com isto temos um mtodo geomtrico para encon-trarmos o mximo e o mnimo local de f (x, y) com o vnculo g(x, y) = 0baseado no mtodo de Lagrange: eles sero os pontos (xo, yo) nos os quaisa curva g(x, y) = 0 tangncia f (x, y) = f (xo, yo).

  • 102

    clculo de vrias variveis

    cap8 2009/10/19 20:53 page 18 #18

    18 CAPTULO 8. LEITURA COMPLEMENTAR

    Exerccio 8.1 Determinar o mximo e o mnimo da funo f (x, y) = cos2 x + cos2 y, onde asvariveis x e y esto sujeitas restrio y x = pi/4.

    Exerccio 8.2 Determinar o mximo e o mnimo da funo z = 2x+ y sobre o crculo

    x2 + y2 = 5.

    Interprete geometricamente o problema.

    Exerccio 8.3 Encontre o mximo de f (x, y) = x2y, sujeito restrio x2 + y2 = 3.

    Exerccio 8.4 Determinar o ponto da elipse x2 + 4y2 = 36 situado no primeiro quadrante, no quala tangente curva forma com os eixos coordenados o tringulo de menor rea possvel. Calculara rea deste tringulo.

    Exerccio 8.5 Ache os valoresmximo emnimo de f (x, y) = xy, sabendo-se que (x, y) est restrito elipse 4x2 + y2 = 4.

    O Teorema de Lagrange pode ser estendido para o caso de funes de maisde duas variveis e quando temos mais de um vnculo. A ideia que paracada vnculo introduzamos um multiplicador de Lagrange diferente. Doisexemplos de tais generalizaes so dados a seguir.

    1. Se a funo a ser otimizada for a funo f (x, y, z) e tivermos apenasum vnculo

    g(x, y, z) = 0,

    o que corresponde a nos restringirmos aos pontos (x, y, z) de umasuperfcie no espao, ento, devemos considerar a funo

    F(x, y, z,) = f (x, y, z) g(x, y, z)e encontrarmos as solues (xi, yi, zi,i), de

    F(x, y, z,) =0.Os extremos de f com o vnculo g(x, y, z) = 0 estaro entre os pon-tos (xi, yi, zi). Mais precisamente, se f restrita a g(x, y, z) = 0 tiverum mximo ele ser dado por maxi{ f (xi, yi, zi)}, e de maneira an-loga, se f restrita a g(x, y, z) = 0 tiver um mnimo, ele ser dado pormini{ f (xi, yi, zi)}.

    2. Se a funo a ser otimizada for a funo f (x, y, z) e tivermos doisvnculos

    g(x, y, z) = 0 e h(x, y, z) = 0,

    o que corresponde restringirmos aos pontos (x, y, z) de uma curva noespao, ento, devemos considerar a funo

    F(x, y, z,, ) = f (x, y, z) g(x, y, z) h(x, y, z)e encontrarmos as solues (xi, yi, zi,i, i), de

    F(x, y, z,) =0.

  • 103

    AulA 8

    cap8 2009/10/19 20:53 page 18 #18

    18 CAPTULO 8. LEITURA COMPLEMENTAR

    Exerccio 8.1 Determinar o mximo e o mnimo da funo f (x, y) = cos2 x + cos2 y, onde asvariveis x e y esto sujeitas restrio y x = pi/4.

    Exerccio 8.2 Determinar o mximo e o mnimo da funo z = 2x+ y sobre o crculo

    x2 + y2 = 5.

    Interprete geometricamente o problema.

    Exerccio 8.3 Encontre o mximo de f (x, y) = x2y, sujeito restrio x2 + y2 = 3.

    Exerccio 8.4 Determinar o ponto da elipse x2 + 4y2 = 36 situado no primeiro quadrante, no quala tangente curva forma com os eixos coordenados o tringulo de menor rea possvel. Calculara rea deste tringulo.

    Exerccio 8.5 Ache os valoresmximo emnimo de f (x, y) = xy, sabendo-se que (x, y) est restrito elipse 4x2 + y2 = 4.

    O Teorema de Lagrange pode ser estendido para o caso de funes de maisde duas variveis e quando temos mais de um vnculo. A ideia que paracada vnculo introduzamos um multiplicador de Lagrange diferente. Doisexemplos de tais generalizaes so dados a seguir.

    1. Se a funo a ser otimizada for a funo f (x, y, z) e tivermos apenasum vnculo

    g(x, y, z) = 0,

    o que corresponde a nos restringirmos aos pontos (x, y, z) de umasuperfcie no espao, ento, devemos considerar a funo

    F(x, y, z,) = f (x, y, z) g(x, y, z)e encontrarmos as solues (xi, yi, zi,i), de

    F(x, y, z,) =0.Os extremos de f com o vnculo g(x, y, z) = 0 estaro entre os pon-tos (xi, yi, zi). Mais precisamente, se f restrita a g(x, y, z) = 0 tiverum mximo ele ser dado por maxi{ f (xi, yi, zi)}, e de maneira an-loga, se f restrita a g(x, y, z) = 0 tiver um mnimo, ele ser dado pormini{ f (xi, yi, zi)}.

    2. Se a funo a ser otimizada for a funo f (x, y, z) e tivermos doisvnculos

    g(x, y, z) = 0 e h(x, y, z) = 0,

    o que corresponde restringirmos aos pontos (x, y, z) de uma curva noespao, ento, devemos considerar a funo

    F(x, y, z,, ) = f (x, y, z) g(x, y, z) h(x, y, z)e encontrarmos as solues (xi, yi, zi,i, i), de

    F(x, y, z,) =0.

    cap8 2009/10/19 20:53 page 19 #19

    19

    Os extremos de f com os vnculos g(x, y, z) = 0 h(x, y, z) = 0estaro entre os pontos (xi, yi, zi). Mais precisamente, se f sujeita srestries g(x, y, z) = 0 e h(x, y, z) = 0 tiver um mximo, ele serdado por maxi{ f (xi, yi, zi)}, e de maneira anloga, se f sujeita srestries g(x, y, z) = 0 e h(x, y, z) = 0 tiver um mnimo ele serdado por mini{ f (xi, yi, zi)}.

    Exemplo 8.2 Encontre o volume da maior caixa retangular de lados para-lelos aos planos coordenados que possa ser inscrita no elipsoide

    16x2 + 4y2 + 9z2 = 144.

    Soluo Por simetria o volume da caixa ser 8 vezes o volume da suarestrio ao primeiro octante, ou seja,

    V(x, y, z) = 8xyz,

    onde x, y, z 0. Neste caso, (x, y, z) so pontos do elipsoide 16x2 + 4y2 +9z2 144 = 0, que o vnculo. Ou seja, g(x, y, z) = 16x2+ 4y2+ 9z2 144.Portanto,

    F(x, y, z,) = xyz (16x2 + 4y2 + 9z2 144).Logo, F(x, y, z,) =0 equivalente a

    8yz = 32x8xz = 8y8xy = 18z

    144 = 16x2 + 4y2 + 9z2.

    Como f contnua e o elipsoide restrito ao primeiro quadrante uma re-gio limitada e fechada, ento, sobre o mesmo f (x, y, z) assume o seus va-lores mximo e mnimo. claro que existem pontos sobre o elipsoide paraos quais todas as coordenadas so diferentes de zero, portanto, o valor m-ximo de V no pode ser zero. Se alguma das coordenadas de (x, y, z) forzero, ento, o volume correspondente seria zero, portanto, V(x, y, z) nopoderia ser mximo. Assim, no que se segue vamos supor que x, y e z nosejam nulos. Portanto, temos

    =yz4x

    =xzy=

    4xy9z

    144 = 16x2 + 4y2 + 9z2.

    Logo, temos as seguintes relaes y2 = 4x2 e 4y2 = 9z2 e 16x2 + 4y2 +9z2 = 144. Eliminando-se y e z, temos 48x2 = 144, ou seja, x =

    3,

    portanto, y = 23 e z = 4

    3

    3 . Logo, o volume mximo 8xyz = 643.

    Exemplo 8.3 Encontre o ponto do plano 2x+ 3y+ 4z = 12 no qual

    f (x, y, z) = 4x2 + y2 + 5z2

    assume o seu valor mnimo.

    SoluoNote que os valores de x, y e z podem ficar arbitriamente grandessobre o plano, e o mesmo acontecer com f (x, y, z), ou seja, f no tem valormximo sobre o plano.

  • 104

    clculo de vrias variveis

    cap8 2009/10/19 20:53 page 20 #20

    20 CAPTULO 8. LEITURA COMPLEMENTAR

    Temos que encontrar as solues de F(x, y, z,) =0, onde

    F(x, y, z,) = 4x2 + y2 + 5z2 (2x+ 3y+ 4z 12).Ou seja,

    8x = 22y = 310z = 412 = 2x+ 3y+ 4z,

    o que equivalente a = 4x = 23y =52z e 2x + 3y+ 4z = 12. Ou ainda,

    y = 6x, z = 10x e 2x+ 3y+ 4z = 12. Portanto, eliminando-se y e z, temosx = 511 , o que implica que y =

    3011 e y =

    811 . Como f no tem mximo sobre

    o plano, ento o seu ponto crtico deve ser de mnimo.

    Exerccio 8.6 Seja C a curva no primeiro octante resultante da interseo do parabolide 2z =16 x2 y2 e do plano x+ y = 4. Ache os pontos de C que esto mais prximos e mais distantesda origem.Sugesto: A funo a ser otimizada f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 e os vnculos so g(x, y, z) =2z 16+ x2 + y2) e h(x, y, z) = x+ y 4 = 0.

    Exerccio 8.7 Nos exerccios abaixo, utilize o mtodo dos multiplicadores de Lagrange para acharos extremos de f sujeito aos vnculos dados.

    a) f (x, y) = x2 y2 e x2 + y2 1 = 0b) f (x, y) = y2 4xy+ 4x2 e x2 + y2 1 = 0c) f (x, y) = x2y e x2 + 2y2 = 6

    d) f (x, y) = x2 + y2 e g(x, y) = x4 + y4 = 1

    e) f (x, y) = y cos x+ 2x e x2 + 2y2 = 1f) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 e x y+ z = 1g) f (x, y, z) = x2y2z2 e x2 + y2 + z2 = 1

    h) f (x, y, z) = z x2 y2, x+ y+ z = 1 e x2 + y2 = 4i) f (x, y, z) = xy+ yz, x2 + y2 = 2 e yz = 2

    j) f (x, y, z) = x+ 2y, x+ y+ z = 1 e y2 + z2 = 4

    k) f (x, y, z) = x+ 2y+ 3z, x y+ z = 1 e x2 + y2 = 1.

    Exerccio 8.8 Determine os valores extremos de f (x, y) = 2x2 + 3y2 4x 5 na regio descritapela desigualdade x2 + y2 16.

    Exerccio 8.9 Determine os volumes mximo e mnimo de uma caixa retangular cuja superfcietem 1500 cm2 e cuja soma dos comprimentos das arestas 200 cm.

  • cap8 2009/10/19 20:53 page 20 #20

    20 CAPTULO 8. LEITURA COMPLEMENTAR

    Temos que encontrar as solues de F(x, y, z,) =0, onde

    F(x, y, z,) = 4x2 + y2 + 5z2 (2x+ 3y+ 4z 12).Ou seja,

    8x = 22y = 310z = 412 = 2x+ 3y+ 4z,

    o que equivalente a = 4x = 23y =52z e 2x + 3y+ 4z = 12. Ou ainda,

    y = 6x, z = 10x e 2x+ 3y+ 4z = 12. Portanto, eliminando-se y e z, temosx = 511 , o que implica que y =

    3011 e y =

    811 . Como f no tem mximo sobre

    o plano, ento o seu ponto crtico deve ser de mnimo.

    Exerccio 8.6 Seja C a curva no primeiro octante resultante da interseo do parabolide 2z =16 x2 y2 e do plano x+ y = 4. Ache os pontos de C que esto mais prximos e mais distantesda origem.Sugesto: A funo a ser otimizada f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 e os vnculos so g(x, y, z) =2z 16+ x2 + y2) e h(x, y, z) = x+ y 4 = 0.

    Exerccio 8.7 Nos exerccios abaixo, utilize o mtodo dos multiplicadores de Lagrange para acharos extremos de f sujeito aos vnculos dados.

    a) f (x, y) = x2 y2 e x2 + y2 1 = 0b) f (x, y) = y2 4xy+ 4x2 e x2 + y2 1 = 0c) f (x, y) = x2y e x2 + 2y2 = 6

    d) f (x, y) = x2 + y2 e g(x, y) = x4 + y4 = 1

    e) f (x, y) = y cos x+ 2x e x2 + 2y2 = 1f) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 e x y+ z = 1g) f (x, y, z) = x2y2z2 e x2 + y2 + z2 = 1

    h) f (x, y, z) = z x2 y2, x+ y+ z = 1 e x2 + y2 = 4i) f (x, y, z) = xy+ yz, x2 + y2 = 2 e yz = 2

    j) f (x, y, z) = x+ 2y, x+ y+ z = 1 e y2 + z2 = 4

    k) f (x, y, z) = x+ 2y+ 3z, x y+ z = 1 e x2 + y2 = 1.

    Exerccio 8.8 Determine os valores extremos de f (x, y) = 2x2 + 3y2 4x 5 na regio descritapela desigualdade x2 + y2 16.

    Exerccio 8.9 Determine os volumes mximo e mnimo de uma caixa retangular cuja superfcietem 1500 cm2 e cuja soma dos comprimentos das arestas 200 cm.

    Referncias

    [1] AVRITZER, Dan. Geometria analtica e lgebra linear: uma viso geomtrica. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2009. tomo II.

    [2] STEWART, James. Clculo. 5. ed. So Paulo: Pioneira. Thompson Learning, 2006. v. II.

  • Sobre o autor

    Paulo Cupertino de Lima doutor em Matemtica pelo Courant Institute of Mathematical Sciences - New York University, professor Associado da Universidade Federal de Minas Gerais, com experincia em Fsica Matemtica, principalmente: equaes diferenciais parciais, equaes diferenciais ordinrias; teoria, algoritmos e aplicaes de wavelets e problemas de Mecnica Estatstica do equilbrio.

  • A presente edio foi composta pela Editora UFMG, em caracteres Chaparral Pro e Optima Std, e impressa pela Imprensa Universitria da UFMG, em sistema offset 90g (miolo) e carto supremo 250g (capa), em 2011.