1

4. Variáveis Aleatórias Bidimensionais Em muitos experimentos, as observações são expressas, não como uma única quantidade, mas como um conjunto de quantidades. Por exemplo, observar o peso e a altura de pessoas em uma comunidade ou a chegada de pessoas em uma fila de banco e o tempo de permanência. Para se descrever tais eventos há necessidade de se considerar v.a.’s bidimensionais. Sejam X e Y duas v.a.’s associadas a um dado modelo probabilístico (Ω, F, P). Então ( ) ∫=−=≤<

2

1

,)()()( 1221x

xXXX dxxfxFxFxXxP

( ) .)()()(2

11221 ∫=−=≤<

y

yYYY dyyfyFyFyYyP

2

O que dizer a respeito da probabilidade do par de v.a.‘s (X,Y) em uma dada região D? Em outras palavras, como estimar a probabilidade,

Define-se então a função distribuição de probabilidade conjunta de X e Y como:

onde x e y são números reais arbitrários.

Propriedades

(i) Como,

[ ]?)()( 2121 yYyxXxP ≤<∩≤<

[ ] ,0),( )()(),( ≥≤≤=≤∩≤= yYxXPyYxXPyxFXY

.1),( ,0),(),( =+∞+∞=−∞=−∞ XYXYXY FxFyF

( ) ( ), , −∞≤⊂≤−∞≤ XyYX ( ) .0),( =−∞≤≤−∞ XPyFXY

( ) ,, Ω=+∞≤+∞≤ YX .1)(),( =Ω=∞∞ PFXY

3

(ii) ‏

Prova: Se x2 > x1,

Como os eventos são mutuamente exclusivos:

iii)

( ) ).,(),(, 1221 yxFyxFyYxXxP XYXY −=≤≤<

( ) ).,(),(, 1221 yxFyxFyYyxXP XYXY −=≤<≤

( ) ( ) ( )yYxXxyYxXyYxX ≤≤<∪≤≤=≤≤ ,,, 2112

( ) ( ) ( )yYxXxPyYxXPyYxXP ≤≤<+≤≤=≤≤ ,,, 2112

( )).,(),(

),(),(,

1121

12222121

yxFyxFyxFyxFyYyxXxP

XYXY

XYXY

+−

−=≤<≤<

1y

2y

1x 2x

X

Y

0R

( ) ( ) ( ).,,, 2121121221 yYyxXxyYxXxyYxXx ≤<≤<∪≤≤<=≤≤<

( ) ( ) ( )2121121221 ,,, yYyxXxPyYxXxPyYxXxP ≤<≤<+≤≤<=≤≤<

4

Função Densidade de Probabilidade Conjunta

Por definição a função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:

Então

Para encontrar a probabilidade de (X,Y) ser encontrada em uma região arbitrária D, é dada por:

.

),(),(2

yxyxFyxf XY

XY ∂∂∂

=

. ),(),(

dudvvufyxF

x y

XYXY ∫ ∫∞− ∞−=

.1 ),(

=∫ ∫

∞+

∞−

∞+

∞−dxdyyxfXY

( )

.),(),(

),(),( ),( ),(,

yxyxfdudvvuf

yxFyxxFyyxFyyxxFyyYyxxXxP

XYxx

x

yy

yXY

XYXYXY

XY

ΔΔ==

+Δ+−Δ+−

Δ+Δ+=Δ+≤<Δ+≤<

∫ ∫Δ+ Δ+

5

Assim a probabilidade de que (X,Y) seja encontrado em um retângulo diferencial Δx Δy é igual a e repetindo este procedimento sobre a união de todos os retângulos diferenciais que não se sobrepõem em D, resulta em

xΔ

X

Y

yΔD

,),( yxyxfXY ΔΔ⋅

( ) ∫ ∫ ∈=∈

Dyx XY dxdyyxfDYXP),(

.),(),(

iv) Distribuições marginais No contexto de v.a.’s n-dimensionais a distribuição individual de cada uma é chamada de distribuição marginal. Assim é a f.d.p marginal de X, e é a F.D.P. marginal de X. É interessante notar que as distribuições marginais podem ser obtidas da distribuição conjunta

)(xFX )(xfX

6

Para provar usa-se a identidade

.),()( ),,()( yFyFxFxF XYYXYX +∞=+∞=

.),()( ,),()( ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−== dxyxfyfdyyxfxf XYYXYX

)()()( +∞≤∩≤=≤ YxXxX

( ) ( ) ).,(,)( +∞=∞≤≤=≤= xFYxXPxXPxF XYX

dudyyufxFxFx

XYXYX ),(),()(

∫ ∫∞−∞+

∞−=+∞=

Derivando ambos os lados em relação a x, tem-se:

.),()(

∫∞+

∞−= dyyxfxf XYX

Lembrando que, se .),()()(

)( ∫=xb

xadyyxhxH

.

),(),()(),()()( )(

)( ∫+−=xb

xady

dxyxdhaxh

dxxdabxh

dxxdb

dxxdH

7

Se X e Y são v.a.'s discretas, então representa a f.d.p. conjunta de X e Y e as suas respectivas f.d.p.’s marginais são dadas por:

Supondo que é escrito como um arranjo retangular, como mostrado abaixo,

∑ ∑=====j j

ijjii pyYxXPxXP ),()(

∑ ∑=====i i

ijjij pyYxXPyYP ),()(

),( ji yYxXP ==

mnmjmm

inijii

nj

nj

pppp

pppp

pppppppp

!!""""""

!!""""""

!!!!

21

21

222221

111211

∑j

ijp

∑i

ijp

),( jiij yYxXPp ===Δ

8

Exemplo 4.1: Dado que

Obtenha as f.d.p.’s marginais e Solução: A f.d.p. conjunta de X e Y é uma constante na região cheia. Em primeiro lugar determina-se o valor da constante c, usando

⎩⎨⎧ <<<

= valores.outros0,

,10c,),(

yxyxf XY

),( yxfXY

)(xfX ).( yfY

2122

),(

1

0

21

0

1

0

0

=====

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=

∫

∫ ∫ ∫ ∫

=

∞+

∞−

∞+

∞− = =

cccycydy

dydxcdxdyyxf

y

y

y

xXY

0 1

1

X

Y

y

,10 ),1(22),()(1

∫∫ =

∞+

∞−<<−===

xyXYX xxdydyyxfxf

.10 ,22),()(

0

∫∫ =

∞+

∞−<<===

y

xXYY yydxdxyxfyf

9

Y

X 1 2 3 4 1 1/8 1/16 1/32 1/32 2 1/16 1/8 1/32 1/32 3 1/16 1/16 1/16 1/16 4 1/4 0 0 0

•  Determine: •  As fdp’s marginais de X e Y : fX(x) = [ P(X=1) P(X=2) P(X=3)

P(X=4) ] fX(x) = [(1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/32) (1 /16 + 1/8 + 1/32 + 1/32) (1/16 + 1/16 +

1/16 + 1/16) (1/4 ) ] = [ 8/32 8/32 8/32 1/4 ] = [ 1/4 1/4 1/4 1/4 ] fY (y) = [8/16 4/16 4/32 4/32 ] = [ 1/2 1/4 1/8 1/8 ]

Exercício 4.2: Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, cuja função densidade de probabilidade conjunta é dada por:

10

b) P(X>2), P(Y< 2), P(Y≤2/X>2 ), P(Y>2/X=1), P(X = Y)‏ fX(x) = [ 1/4 1/4 1/4 1/4 ] fY(y) = [ 1/2 1/4 1/8 1/8 ]

Y

X 1 2 3 4 1 1/8 1/16 1/32 1/32 2 1/16 1/8 1/32 1/32 3 1/16 1/16 1/16 1/16 4 1/4 0 0 0

1. P(X > 2) = 1/2 2. P(Y <2) = 1/2 = 1 – P(Y ≥ 2) ‏ 3. P(Y≤2 / X>2 ) = P(Y≤2, X>2 ) / P(X>2) = (3/8) / (1/2) = 6/8 4. P(Y>2 / X=1 ) = P(Y>2, X=1 ) / P(X=1) = (1/16) / (1/4) = 1/4 5. P(X = Y) = (1/8 + 1/8 + 1/16 + 0) = 5/16

11

Exemplo 4.3: X e Y são denominadas de v.a’s conjuntamente Gaussianas se a f.d.p conjunta, tem a seguinte forma:

.1|| , ,

,12

1),(2

2

2

2

2)( ))((2 )(

)1(21

2

<+∞<<∞−+∞<<∞−

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−−

−

−

−

ρ

ρσπσσµ

σσµµρ

σµ

ρ

yx

eyxf Y

Y

YX

YX

X

X yyxx

YXXY

Determine e . Solução: Tomando-se o expoente e completando-se o quadrado

2

22

2

22

2

2

2

2

22

121

Y

Y

Y

Y

Y

Y

YX

YX

X

X

σ)µ(yρ

σ)µ(yρ

σ)µ(y

σσ)µ)(yµρ(x

σ)µ(x

)ρ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−

−+

−−−

−

−

−

2

22

2

2

2

2

2 121

121

Y

Y

Y

Y

Y

Y

X

X

σ)µ(yρ

σ)µ(y

)ρ(σ)µρ(y

σ)µ(x

)ρ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−

−

−

( )

2

2

2

22

22 121

121

Y

YY

Y

XX

X σ)µ(y

)ρ()ρ(µy

σρµx

)σρ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

−

−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

−

− σ

)(xfX )( yfY

12

2

22

22 21][

121

Y

YY

Y

XX

X σ)µ(y )µ(y

σρσµx

)σρ( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−

−

eσσ)ρ(

yxfYσ

)Yµ(y )Yµ(yYσXσXµx

X)ρ(

YXXY

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−

−

−=

2

2

212

)(2212

1

212

1),(

ρ

σ

π

Integrando-se fXY(x,y), em relação a x obtem-se fY(y) ‏

),,( 2

1),()( 22/)(

2

22

XXx

XXYX Nedyyxfxf XX σµ

πσσµ−−∞+

∞−== ∫

),,( 2

1),()( 22/)(

2

22

YYy

YXYY Nedxyxfyf YY σµ

πσσµ−−∞+

∞−== ∫

Seguindo o mesmo procedimento obtém-se fX(x).

∫∫∞

∞−

∞

∞−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−

−−−

−= dxe

σ)ρ(e

σdxyxf

)Yµρ(yYσXσXµx

X)ρ(Yσ

)Yµ(y

XYXY

2(2212

122

2

212

121),(

σ

ππ

13

A notação, será usada para representar duas variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas ou normais.

Conclusão:

Pode-se concluir, que o conhecimento isolado das funções densidade de probabilidade marginais não diz nada a respeito da função densidade de probabilidade conjunta.

A única situação em que o conhecimento das funções densidade de probabilidade marginais, pode ser usada para determinar a função densidade de probabilidade conjunta é quando as variáveis aleatórias são independentes, como será mostrado em seguida.

),,,,( 22 ρσσµµ YXYXN

14

Variáveis Aleatórias Independentes

Definição: As variáveis aleatórias X e Y são denominadas de estatisticamente independentes, se os eventos e são eventos independentes para quaisquer subconjuntos mapeados no eixo x e y, respectivamente.

Portanto, se os eventos e são independentes, então pode-se escrever

isto é:

ou equivalentemente, se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então

{ }AX ∈)(ξ})({ BY ∈ξ

{ }xX ≤)(ξ { }, )( yY ≤ξ

( ) )()()()( yYPxXPyYxXP ≤≤=≤∩≤

)()(),( yFxFyxF YXXY =

).()(),( yfxfyxf YXXY =

15

Se X e Y são v.a. do tipo discreta, então a Independência implica em

Dado obtém-se as f.d.p.‘s marginais e verifica-se a relação de Independência, isto é:

Se as v.a. X e Y são independentes

Se as v.a. X e Y não são independentes

No caso de duas variáveis aleatórias conjuntamente normais, como visto no exemplo 4.3, elas serão independentes, se somente se

., todopara )()(),( jiyYPxXPyYxXP jiji =====)(xfX )( yfY),,( yxfXY

)()(),( yfxfyxf YXXY =

.0=ρ

)()(),( yfxfyxf YXXY ≠

),,,,( 22 ρσσµµ YXYXN

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−

=2

2

2

2 )( )(21

21),( Y

Y

X

X yx

YXXY eyxf σ

µ

σ

µ

σπσ

16

,12

1),(2

2

2

2

2)( ))((2 )(

)1(21

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−−

−

−

−

−= Y

Y

YX

YX

X

X yyxx

YXXY eyxf σ

µσσ

µµρ

σ

µ

ρ

ρσπσ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

−−

=2

2

2

2 )( )(21

21),( Y

Y

X

X yx

YXXY eyxf σ

µ

σ

µ

σπσ

2

)( 2

)( 2

)(2

2

2

2

2

2

21

21

21),()( X

X

Y

Y

X

X x

X

y

Y

x

XXYX edyeedyyxfxf σ

µ

σ

µ

σ

µ

σπσπσπ

−−∞

∞−

−−

−−∞

∞−

=== ∫∫

2)(

2)(

2)(

2

2

2

2

2

2

21

21

21),()( Y

Y

X

X

Y

Y y

Y

x

X

y

YXYy edxeedxyxfyf σ

µ

σ

µ

σ

µ

σπσπσπ

−−∞

∞−

−−

−−∞

∞−

=== ∫∫

Variáveis aleatórias conjuntamente gaussianas

Se .0=ρ

Determinação das f.d.p.’s marginais

Como conclui-se que X e Y são independentes obs. fXY(x,y) apresenta simetria circular quando

)()(),( yfxfyxf YXXY =.0=ρ

17

Exemplo 4.4: Dado

Determine se X e Y são independentes. Solução:

Similarmente: Neste caso e então X e Y são variáveis aleatórias independentes.

valores.outros,0

,10 ,0,),(2

⎪⎩

⎪⎨⎧ <<∞<<

=− xyexyyxfy

XY

.10 ,2 22

),()(

0 0

0

2

0

<<=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−=

==

∫

∫∫∞ −∞−

∞ −∞+

xxdyyeyex

dyeyxdyyxfxf

yy

yXYX

.0 ,2

),()(21

0 ∞<<== −∫ yeydxyxfyf y

XYY

),()(),( yfxfyxf YXXY =