Uso de grá�cos Mono-log e Di-log (log-log)

S.E. Jorás

1 Introdução

Nas atividades experimentais, muitas vezes, pretende-se estudar a maneira como uma gran-deza varia com relação a outra. Por exemplo: �De que modo o período de um pêndulodepende do seu comprimento?� Em muitos casos, o método grá�co pode evidenciar essarelação mais claramente que a simples tabela de dados.

A digitação dos dados para sua introdução nos computadores facilitou bastante esse traba-lho. O computador pode, em princípio, traçar grá�cos a partir dos dados digitados, semnecessidade de nenhuma informação extra, o programa escolhendo por ele mesmo a escalade cada eixo. Em alguns casos, gostaríamos de utilizar escalas que nos ajudassem a encon-trar a dependência de uma grandeza em relação a outra. Nesse trabalho falaremos sobre autilização de escalas que são logaritmos dos valores dos dados.

NÃO USE PONTOS DA TABELA. USE COORDENADAS DE PONTOS DA RETA QUEMELHOR SE AJUSTA AOS PONTOS.

No que segue, utilizaremos o log na base de 10 indicado como log10

2 Mono-log

Vamos analisar a seguinte função f(x):

f(x) = A · exp(B · x) (1)

onde f(x) e A têm a mesma dimensão e B tem a dimensão de x−1 (pois só assim o argumentoda exponencial é adimensional). Podemos escrever

f(x)

A= exp(B · x)

e então calcular o logaritmo de ambos os lados:

log10

{f(x)

A

}= log10 {exp(B · x)}

1

Se introduzirmos uma constante arbitrária C 6= 0, que tenha a mesma dimensão de f(x)(e, portanto, a mesma de A), podemos escrever

log10

{f(x)

A

C

C

}= log10 {exp(B · x)}

log10

(f(x)

C

)− log10

(A

C

)= log10 [exp(B · x)] =

ln [exp(B · x)]ln 10

=B

ln 10· x,

com a mudança de base na penúltima passagem. Esta expressão pode então ser escritacomo

log10

(f(x)

C

)= log10

(A

C

)+

ln [exp(B · x)]ln 10

· x ou (2)

Y = D + B̃ · x , (3)

ondeB̃ ≡ B/ ln 10. (4)

Ou seja, ao construírmos um grá�co com o eixo horizontal linear (tradicional) e o eixovertical em uma escala logarítmica, uma função exponencial (1) será representada por umareta � Eq. (2).

Vamos aplicar a Eq. (2) a dois pontos quaisquer da reta: {x1, f(x1)} e {x2, f(x2)}:

log10

(f(x1)

C

)= log10

(A

C

)+ B̃ · x1

log10

(f(x2)

C

)= log10

(A

C

)+ B̃ · x2.

Subtraindo a primeira da segunda, obtemos

log10

(f(x2)

C

)− log10

(f(x1)

C

)= log10

(A

C

)+ B̃ · x2 − log10

(A

C

)− B̃ · x1

log10

(f(x2)

C

)− log10

(f(x1)

C

)= B̃ · (x2 − x1)

log10

(f(x2)C

)− log10

(f(x1)C

)x2 − x1

= B̃ (5)

Note que, pela Eq. (5), B (e B̃) têm a unidade correta. Note também que o valor de B̃independe do valor da constante arbitrária C escolhida, pois

log10

(f(x2)

C

)− log10

(f(x1)

C

)= log10

(f(x2)

f(x1)

). (6)

Não é correto chamar B̃ de tangente da reta, pois, se mudarmos a escala do eixo horizontal,então a inclinação da reta obviamente mudará, mas o valor de B̃, não.

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2.1 Como marcar os pontos

O papel mono-log é extremamente prático! As marcações no eixo logarítmico são dispostasde modo a indicar o logaritmo do número indicado (adimensional!). Perceba que o padrãoao longo deste eixo se repete periodicamente. Cada pedaço é denominado uma década.Vamos partir de uma tabela x× y, supondo as unidades indicadas para cada coluna:

x (s) y (m/s)

x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4· · · · · ·

(7)

Suspeitamos que exista uma relação exponencial entre x e y = f(x), como a Eq. (1). Seisto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de �utuaçõesno processo de medida) em um grá�co mono-log. Note que NÃO é necessário calcular ologaritmo dos yi!Se escolhermos C = 1m/s (mesma unidade em que y é medido), então podemos marcardiretamente os valores de y no eixo vertical. Assim, o cálculo de B através das Eqs. (4),(5) e (6) é imediato. Note, mais uma vez, que não é necessário calcular o lado direito daEq. (6); na verdade, você pode medi-lo!

3

4

3 Di-Log

Vamos analisar a seguinte função f(x):

f(x) = A · xB. (8)

Podemos escrever, com uma constante arbitrária D 6= 0:

f(x)

D=

A

DxB

onde f(x) e D têm a mesma dimensão. Podemos introduzir uma nova constante arbitráriaC 6= 0 e escrever:

f(x)

D=

A

D· CB

( x

C

)B,

onde D tem a mesma dimensão de f(x) e C tem a mesma dimensão de x.

Calculando o logaritmo de ambos os lados:

log10

{f(x)

D

}= log10

{A

D· CB

( x

C

)B}

log10

(f(x)

D

)= log10

(A · CB

D

)+ log10

[( x

C

)B]

log10

(f(x)

D

)= log10

(A · CB

D

)+ B · log10

( x

C

)(9)

Y = E + B · X

Ou seja, ao construírmos um grá�co com ambos os eixos em uma escala logarítmica, umalei de potência arbitrária, como a Eq. (8), será representada por uma reta � veja a Eq. (9)

3.1 Como marcar os pontos

Vamos partir de uma tabela x× y, supondo as unidades indicadas para cada coluna:

x (s) y (m/s)

x1 y1x2 y2x3 y3x4 y4· · · · · ·

(10)

5

Suspeitamos que exista uma relação tipo lei de potência como a Eq. (8) entre x e y = f(x).Se isto for verdade, então os pontos da tabela acima estarão alinhados (a menos de �utuaçõesno processo de medida) em um grá�co di-log. Note que NÃO é necessário calcular ologaritmo dos xi nem dos yi!Se escolhermos C = 1s (mesma unidade em que x é medido) e D = 1m/s (mesma unidadeem que y é medido), então podemos marcar diretamente os valores de x e y no eixo vertical.Analogamente ao caso do grá�co mono-log, podemos calcular o parâmetro B da Eq. (9)através da expressão

B =log10

(f(x2)D

)− log10

(f(x1)D

)log10

(x2C

)− log10

(x1C

) =log10

(f(x2)f(x1)

)log10

(x2x1

) , (11)

o que mostra que o valor de B independe da escolha das constantes arbitrárias C e D.O parâmetro

E ≡ log10

(A · CB

D

)(12)

pode ser lido diretamente do grá�co di-log no ponto onde log10(x/C) = 0, ou seja, ondex = C (igual a 1s no exemplo em questão).A partir dos valores adotados para C e D, do valor obtido anteriormente para B e da leiturano grá�co do valor de E, pode-se obter o valor de A. No exemplo em questão, digamos quemedimos, diretamente do grá�co, E = Eo e que tenhamos obtido, através da Eq. (11), umvalor de B = Bo. Portanto,

Eo = log10

(A · (1s)Bo

1m/s

)(13)

= log10

(A

1m/sBo+1

). (14)

Note, a partir da Eq. (8), que a unidade de A é dada por:

[A] = [f(x)] · [x]−B = [y] · [x]−B,

que, no atual exemplo, �ca[A] =

m

ss−B =

m

sB+1.

Portanto, a Eq. (14) fornece A diretamente nas unidades compatíveis com as já adotadas.Em outras palavras, o valor obtido diretamente da leitura da escala do eixo vertical nográ�co di-log (quando x = C) é o valor de A nas unidades corretas.

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