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CEMCINEMA

Funo Exponencial

f(x) = ax

C.E. ! a > 0 e a 1 a

0 1

0 < a < 1 a >1

decrescente crescente

f(x) = ax

x

y

0 < a < 1

1 x

y

a > 1

1

Funo Exponencial

Ex. : f(x) = 5x + 3

x

y

0

1

5x

4

3

Domnio: D = R

Imagem: Im = (3 , )

(UDESC)

Se x soluo da equao 34x1 + 9x = 6,ento xx igual a: a . ( ) b . ( ) c . ( ) d . ( ) 1 e . ( ) 27

22

14

12

(UDESC)

Se x soluo da equao 34x1 + 9x = 6,ento xx igual a:

34 x1 + 9x = 6

34 x

31 + 32x = 6 x (3)

34 x + 3.32x = 18

(32x )2 + 3.(32x )18 = 0

32x = z

( )2 + 3.( )18 = 0z z

y2 + 3y 18 = 0

z = 3 ou z = 6z z

32x = 31 ou 32x = 6

2x =1

S = x R / x =

12

Resoluo:

(UDESC)

Se x soluo da equao 34x1 + 9x = 6,ento xx igual a:

Gabarito: a

xx =

12

12

xx = 1

2

S = x R / x =

12

xx = 1

2 .

22

xx = 2

2

Exponencial

Inequao

75

x

>75

4

x 4

>

>

base > 1

38

x

>38

4

x 4

>

<

0 < base < 1

Diagonais passam pelo centro(regular) dc= n/2

POLGONOS

Diagonais d = n.(n-3)/2

Diagonais no passam pelo centro Dno centro= d - n/2

Soma dos ngulos externos Se = 3600

ngulo externo polgono regular ae = 3600/n

ngulo interno polgono regular ai + ae = 1800

POLGONOS

Soma dos ngulos internos Si = 1800.(n-2)

c d

e

f

Soluo : Diagonais que no passam pelo centro : diagonais diagonais passam centro

d = d dc

d = n.(n 3)/2 - n/2

30 = (n2 3n n)/2

Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente especial, sendo a sua unica exigncia, apenas o fato de ser um polgono regular e possuir 30 diagonais que no passam pelo centro. O formato do pingente seria exatamente qual poligono regular

Geometria Plana

60 = n2 4n

0 = n2 4n 60

DECGONO

n`= 10 e n``= - 6

Logaritmo Definio:

logb a = x bx = a

Condio de Existncia: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x real Logaritmando: a > 0

Exemplos:

1)log0,25 32 = x

1.

0,25x = 32

14

x

= 32

122

x

= 25

22x = 25

2x = 5

x =

52

log0,25 32 =

52

Logaritmo Definio:

logb a = x bx = a

Condio de Existncia: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x real Logaritmando: a > 0

Exemplos:

3)5.log x2( ) 3x 8( ) = 10

1.

(5)

log x2( ) 3x 8( ) = 2

x 2( )2 = 3x 8

x2 4x + 4 = 3x 8

x2 7x +12 = 0

x1 = 3 ou x2 = 4

S = { 4 }

Logaritmo

1) logb1 = 0

2) logbbn = n

3) log x = log10 x

4) ln x = loge x

(Logaritmo natural)

e = 2,71...

6)blogb a =

7)7log7 5 = 5

5) ln e7 = loge e7 = 7

8)eln9 = 9

a

UDESC Os pontos nesta escala so um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japo em 11 de maro de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na histria, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japo. b. ( ) aproximadamente igual do Japo. c. ( ) 0,5 vezes a do Japo. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japo. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japo.

UDESC Os pontos nesta escala so um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japo em 11 de maro de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na histria, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:

Resoluo: P = log10(E)

Japo: 9 = log10(EJ)

Chile: 9,5 = log10(EC)

UDESC correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japo. b. ( ) aproximadamente igual do Japo. c. ( ) 0,5 vezes a do Japo. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japo. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japo. Resoluo:

log10(EJ) = 9 109 = EJ

log10(EC) = 9,5 109,5 = EC

EC = x . EJ

109,5 = x . 109

x = 10

9,5

109

UDESC correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japo. b. ( ) aproximadamente igual do Japo. c. ( ) 0,5 vezes a do Japo. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japo. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japo. Resoluo:

x = 10

9,5

109 x =100,5 x = 10 3,16.

Gabarito: e

Tringulos

!

!

!

B I C O

aricentro

ncentro

ircuncentro

rtocentro !

Medianas

Bissetrizes

Mediatrizes

Alturas

Pontos notveis dos tringulos

med

iana

bi

sset

riz

med

iatr

iz

RevisaCOC

altu

ra

Geometria Plana

Circunferncia ngulos:

Central Inscrito Segmento

A

B

x x

A

B

x

2x

x

x 2x O

tangente secante

Geometria Plana

r R

l/2

Polgono regular

a = r R ll

l l/2 30 r

ll

l

l

R

l/2 45 60

reas: Tringulos:

Aequiltero =

Alados = Srainho =

Araio = Angulo =

Quadrilteros

Atrapzio= Alosango= (B+b).h/2 (D.d)/2

23/4

p.(p-a).(p-b).(p-c) p . a

a . b . c/4R a . b . senC/2

Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 ser construdo um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m2. (considere = 3 )

13 14

15

13+14+15p=2

42=2=21S=p.ar

r

r

A = .r2 A = 84 m2

84 = 21.r S = p.a

r = 4 m

A = (3).42

A = 48m2

3 ----- 1 m2

x ----- 48m2

x= 144 animais

Geometria Plana

A= p(p-a)(p-b)(p-c)A= 21(21-13)(21-14)(21-15)

A= 21(8)(7)(6)

A= 3.7.2.2.2.7.2.3A = 84 m2

Logaritmo

Propriedades:

logb (a.c) = logb a + logbc = logb a + logbc logb (a.c) I)

logb (a/c) = logb a logbc = logb a logbc logb (a/c) II)

logb ( an ) = n.logb a = n.logb a logb ( an ) III)

Logaritmo

Treinando as propriedades:

1) log35 + log32 = log310

2) log 26 log 13 = log 2

3) log (x2.y)= 2.log x + log y

4) log (a5/b2)= 5.log a 2.log b

5) 3.log a + 2.log b = log (a3.b2)

Logaritmo

Treinando as propriedades:

6) ln (53.27) = 3.ln 5 + 7.ln 2

7) log 72 = log (23.32) = 3.log 2 + 2.log 3

8) log

a2 .b3

c5

= 2.loga+ 3.logb 5.logc

Logaritmo

Boa Prova

Uma importncia R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao ms durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicao foram de:

a) R$ 3.200,00 b) b) R$ 3.600,00 c) R$ 3.800,00

d) R$ 4.800,00

e) R$ 2.200,00

ESPM

Uma importncia R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao ms durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicao foram de:

M = C.(1 + i)t

M = 10000.(1+0,04)10

M = 10000.(1,04)10

Resoluo:

Boa Prova

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

M = 10000.(1,04)10

log M = log [10000.(1,04)10]

log M = log 10000 + log(1,04)10

log M = 4 + 10.log(1,04)

Resoluo:

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

log M = 4 + 10.log(1,04)

log M = 4 + 10. (0,017)

log M = 4 + 0,17

log M = 4 + log 1,48

Resoluo:

Boa Prova

Logaritmo

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

log M = 4 + log 1,48

log M log 1,48 = 4

log

M1, 48

= 4

Resoluo:

Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?

C+ J =14.800

10.000 + J =14.800

J = 4.800

log10

M1, 48

= 4

104 = M

1, 48

(10000).(1, 48) =M

M =14.800

Gabarito: d

Resoluo:

Mudana de base

logb a = log log

c

c a b

log2 5 = log log

3

3 5 2

logb a=

1loga b

logbn( ) a=

1n

.logb a

UDESC

4) Sejam a, b e c nmeros reais positivos tais