cemcinema - cursocem.com.br · sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1 ... 2a+log 1 4 b−log 1 2...
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CEMCINEMA
Função Exponencial
f(x) = ax
C.E. ! a > 0 e a ≠ 1 a
0 1
0 < a < 1 a >1
decrescente crescente
f(x) = ax
x
y
0 < a < 1
1 x
y
a > 1
1
Função Exponencial
Ex. : f(x) = 5x + 3
x
y
0
1
5x
4
3
Domínio: D = R
Imagem: Im = (3 , ∞)
(UDESC)
Se x é solução da equação 34x−1 + 9x = 6,então xx é igual a: a . ( ) b . ( ) c . ( ) d . ( ) 1 e . ( ) 27
22
14
12
(UDESC)
Se x é solução da equação 34x−1 + 9x = 6,então xx é igual a:
34 x−1 + 9x = 6
34 x
31 + 32x = 6 x (3)
34 x + 3.32x = 18
(32x )2 + 3.(32x )−18 = 0
32x = z
( )2 + 3.( )−18 = 0z z
y2 + 3y −18 = 0
z = 3 ou z = −6z z
32x = 31 ou 32x = −6
∅ 2x =1 ∪
S = x ∈R / x =
12
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
Resolução:
(UDESC)
Se x é solução da equação 34x−1 + 9x = 6,então xx é igual a:
Gabarito: a
xx =
12
⎛⎝
⎞⎠
12
xx = 1
2⎛⎝
⎞⎠
S = x ∈R / x =
12
⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
xx = 1
2 .
22
xx = 2
2
Exponencial
Inequação
75
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
>75
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
x 4
>
>
base > 1
38
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
>38
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
4
x 4
>
<
0 < base < 1
Diagonais passam pelo centro(regular) dc= n/2
POLÍGONOS
Diagonais d = n.(n-3)/2
Diagonais não passam pelo centro Dnõo centro= d - n/2
Soma dos ângulos externos Se = 3600
Ângulo externo polígono regular ae = 3600/n
Ângulo interno polígono regular ai + ae = 1800
POLÍGONOS
Soma dos ângulos internos Si = 1800.(n-2)
c d
e
f
Solução : Diagonais que não passam pelo centro : diagonais – diagonais passam centro
d = d – dc
d = n.(n – 3)/2 - n/2
30 = (n2 – 3n – n)/2
Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente especial, sendo a sua unica exigência, apenas o fato de ser um polígono regular e possuir 30 diagonais que não passam pelo centro. O formato do pingente seria exatamente qual poligono regular
Geometria Plana
60 = n2 – 4n
0 = n2 – 4n – 60
DECÁGONO
n`= 10 e n``= - 6
Logaritmo Definição:
logb a = x bx = a
Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0
Exemplos:
1) log0,25 32 = x
1.
0,25x = 32
14
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 32
122
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x
= 25
2−2x = 25
−2x = 5
x = −
52
log0,25 32 = −
52
Logaritmo Definição:
logb a = x bx = a
Condição de Existência: Base: b > 0 e b ≠ 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0
Exemplos:
3) 5.log x−2( ) 3x − 8( ) = 10
1.
÷(5)
log x−2( ) 3x − 8( ) = 2
x − 2( )2 = 3x − 8
x2 − 4x + 4 = 3x − 8
x2 − 7x +12 = 0
x1 = 3 ou x2 = 4
S = { 4 }
Logaritmo
1) logb1 = 0
2) logbbn = n
3) log x = log10 x
4) ln x = loge x
(Logaritmo natural)
e = 2,71...
6)blogb a =
7)7log7 5 = 5
5) ln e7 = loge e7 = 7
8)eln9 = 9
a
UDESC Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japão. b. ( ) aproximadamente igual à do Japão. c. ( ) 0,5 vezes a do Japão. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão.
UDESC Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi:
Resolução: P = log10(E)
Japão: 9 = log10(EJ)
Chile: 9,5 = log10(EC)
UDESC É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japão. b. ( ) aproximadamente igual à do Japão. c. ( ) 0,5 vezes a do Japão. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão. Resolução:
log10(EJ) = 9 109 = EJ
log10(EC) = 9,5 109,5 = EC
EC = x . EJ
109,5 = x . 109
x = 109,5
109
UDESC É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japão. b. ( ) aproximadamente igual à do Japão. c. ( ) 0,5 vezes a do Japão. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão. Resolução:
x = 109,5
109 x =100,5 x = 10 ≅ 3,16.
Gabarito: e
Triângulos
!
!
!
B I C O
aricentro
ncentro
ircuncentro
rtocentro !
Medianas
Bissetrizes
Mediatrizes
Alturas
Pontos notáveis dos triângulos
med
iana
bi
sset
riz
med
iatr
iz
RevisaCOC
altu
ra
Geometria Plana
Circunferência Ângulos:
Central Inscrito Segmento
A
B
x x
A
B
x
2x
x
x 2x O
tangente secante
Geometria Plana
r R
l/2
Polígono regular
a = r R ll
l l/2 30° r
ll
l
l
R
l/2 45° 60°
Áreas: Triângulos:
Aequilátero =
Alados = Srainho =
Araião = Aângulo =
Quadriláteros
Atrapézio= Alosango= (B+b).h/2 (D.d)/2
ℓ2√3/4
√p.(p-a).(p-b).(p-c) p . a
a . b . c/4R a . b . senC/2
Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 será construído um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m2. (considere π = 3 )
13 14
15
13+14+15p=2
42=2=21S=p.ar
r
r
A = π.r2 A = 84 m2
84 = 21.r S = p.a
r = 4 m
A = (3).42
A = 48m2
3 ----- 1 m2
x ----- 48m2
x= 144 animais
Geometria Plana
A= p(p-a)(p-b)(p-c)A= 21(21-13)(21-14)(21-15)
A= 21(8)(7)(6)
A= 3.7.2.2.2.7.2.3A = 84 m2
Logaritmo
Propriedades:
logb (a.c) = logb a + logbc = logb a + logbc logb (a.c) I)
logb (a/c) = logb a – logbc = logb a – logbc logb (a/c) II)
logb ( an ) = n.logb a = n.logb a logb ( an ) III)
Logaritmo
Treinando as propriedades:
1) log35 + log32 = log310
2) log 26 – log 13 = log 2
3) log (x2.y)= 2.log x + log y
4) log (a5/b2)= 5.log a – 2.log b
5) 3.log a + 2.log b = log (a3.b2)
Logaritmo
Treinando as propriedades:
6) ln (53.27) = 3.ln 5 + 7.ln 2
7) log 72 = log (23.32) = 3.log 2 + 2.log 3
8) log
a2 .b3
c5
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 2.loga+ 3.logb− 5.logc
Logaritmo
Boa Prova
Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de:
a) R$ 3.200,00
b) b) R$ 3.600,00
c) R$ 3.800,00
d) R$ 4.800,00
e) R$ 2.200,00
ESPM
Uma importância R$ 10.000,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de:
M = C.(1 + i)t
M = 10000.(1+0,04)10
M = 10000.(1,04)10
Resolução:
Boa Prova
Logaritmo
Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?
M = 10000.(1,04)10
log M = log [10000.(1,04)10]
log M = log 10000 + log(1,04)10
log M = 4 + 10.log(1,04)
Resolução:
Logaritmo
Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?
log M = 4 + 10.log(1,04)
log M = 4 + 10. (0,017)
log M = 4 + 0,17
log M = 4 + log 1,48
Resolução:
Boa Prova
Logaritmo
Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?
log M = 4 + log 1,48
log M – log 1,48 = 4
log
M1, 48
⎛⎝
⎞⎠ = 4
Resolução:
Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros: ?
C+ J =14.800
10.000 + J =14.800
J = 4.800
log10
M1, 48
⎛⎝
⎞⎠ = 4
104 = M
1, 48
(10000).(1, 48) =M
M =14.800
Gabarito: d
Resolução:
Mudança de base
logb a = log log
c
c a b
log2 5 = log log
3
3 5 2
logb a=
1loga b
logbn( ) a=
1n
.logb a
UDESC
4) Sejam a, b e c números reais positivos tais que
log2 a+ log1
4
b− log12
c = 3
Então b é igual a:
a. ( ) b. ( )
c. ( ) d. ( )
e. ( )
ac8
a2 + c2
64
a+ c32
a2c2
64
ac32
UDESC
Sejam a, b e c números reais positivos tais que
log2 a+ log1
4
b− log12
c = 3
Então b é igual a:
Resolução:
log2 a+ log1
4
b− log12
c = 3
log2 a+ log
(2−2 )b− log
(2−1)c = 3
UDESC
log2 a+ log
(2−2 )b− log
(2−1)c = 3
log2 a+ 1
−2⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .log2 b− 1
−1⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .log2 c = 3
log2 a− log2 b
2+ log2 c = 3
2.log2 a− log2 b+2.log2 c = 6
x(2)
UDESC
2.log2 a− log2 b+2.log2 c = 6
log2 a2 + log2 c2 − log2 b = 6
log2
a2 .c2
b⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= 6
26 = a2 .c2
b b = a2 .c2
64Gabarito: d
Matemática Básica
Um professor, criador de galinhas, calcula que se 12 animais, comendo 12 horas por dia, em 12 dias , consomem 12 kg de ração, então em 24 dias, 24 galinhas, comendo 24 horas por dia, consumirão quantos kg de ração.
Resolução:
Kg DE COMIDA Animais
12 12 x 24
HRS/DIA
12 24
DIAS
12 24
2412.
2412.
241212
=x 2
1.21.
2112
=x
96=x
=12.12.12
12 x24.24.24
96=x
• Professor Erivaldo, para tirar um dinheirinho a mais, passou a nos fins de semana, vender roupas femininas colocando uma margem de 150% nas peças
Resolução:
2,5 .X
Com era aniversário da sua esposa, ele como presente lhe vendeu algumas peças a preço de custo. Calcule o desconto dado sobre as peças para que o preço volte ao que era antes.
= 1 1∟2,5 10∟25 100∟25
0,4
X = 0,4 DESCONTO DE 60%
Matemática Básica AULA 3 – PORCENTAGEM
Função Composta Questão
Dadas as funções f(x) = x2 – 6x + 1 e , g(x)= x+ 8
encontre a função gof(x).
Resolução: gof(x) = g(f(x))
gof(x) = (x2 − 6x+1)+ 8
gof(x) = x2 − 6x+9
gof(x) = (x−3)2
gof(x) = x−3 x2 = x
Função Composta Questão Dadas as funções fog(x) = x2 + 5 e
f(x) =
x + 3x
, encontre a função g(x).
Resolução:
fog(x) = f(g(x))
fog(x) =
g+ 3g
g+ 3g
= x2 + 5
g+ 3 = g.x2 + 5.g
3 = g.x2 + 5.g− g
3 = g.x2 + 4.g
g.(x2 + 4) = 3
g =
3x2 + 4
g(x) =
3x2 + 4
Função Inversa
Encontre as inversas das seguintes expressões:
a) f(x) =
3x + 54x +7
b) f(x) =
79x + 2
f −1(x) =
.x .x
+ 5
4 −7
− 3 f −1(x) =
−7x + 54x − 3
f(x) =
0x +79x + 2
f −1(x) =−2x +79x − 0
Função Inversa
O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I.
x
y f B.Q.I.
f-1
A composta de uma função com a sua inversa sempre
resultará na função identidade
fof-1(x) = x f-1of(x) = x
Geometria Espacial Poliedros de Platão
T H O D I
ETRAEDRO
EXAEDRO
CTAEDRO
ODECAEDRO
COSAEDRO
4
6
8
12 20
Teorema de Euler
V + F = A + 2 Poliedros Fechados
S = 360º (V – 2) Soma dos Ângulos Internos das Faces
Geometria Espacial Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor.
6F4
2F6
F = 8 +
6(4) + 2(6) A = 2
A = 18 V + F = A + 2
V 8 18 2 + + = V = 12
24 + 12 A = 2
50.12 R$600,00
ENEM 2013 Baiano
Discursiva
UFSC
No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, um Atacadista fez uma promoção, vendendo o quilo da bala a R$ 4,00. Além disso, a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%. De acordo com as informações, pede-se:
SBM
Discursiva
UFSC
a) O valor V a ser pago por um cliente que comprou x quilos de bala nessa promoção, 0 ≤ x ≤ 100, é dado pela função V(x). Encontre a lei de formação e faça o gráfico desta função.
b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?
SBM
“o quilo da bala a R$ 4,00” “a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto” “a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%”
Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.
x = 5⇒
SBM
V(x)= 4.(5) − 5
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.5)
Discursiva
a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.
Resolução:
SBM
x = 5⇒ V(x)= 4.(5) − 5
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.5)
x = 37⇒ V(x)= 4.(37) − 37
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.37)
“o quilo da bala a R$ 4,00” “a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto” “a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%”
Resolução: a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.
x kg⇒
SBM
V(x)= 4.(x) − x
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.x)
Resolução:
a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.
x kg⇒
SBM
V(x)= 4.(x) − x
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.x)
V(x)= 4x− 4x2
100
Questão 01: “o quilo da bala a R$ 4,00” “a cada x quilos adquiridos, x ≤ 60, o cliente teria x% de desconto” “a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%”
Resolução: a) V(x), para 60 ≤ x ≤ 100.
x = 60⇒ V(x)= 4.(60) − 60
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.60)
Discursiva
a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 60.
Resolução:
SBM
x = 5⇒ V(x)= 4.(5) − 5
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.5)
x = 70⇒ V(x)= 4.(70) − 70
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.70)
Resolução:
a) V(x), para 60 ≤ x ≤ 100.
x kg⇒
SBM
V(x)= 4.(x) − 60
100⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ .(4.x)
V(x)= 4x− (0,6).4x
V(x)=1,6.x
Discursiva
UFSC
a) V(x), para 0 ≤ x ≤ 100.
V(x)=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
4x − 4x2
100, se 0 ≤ x ≤ 60
1,6.x , se 60 < x ≤100
Resolução:
SBM
V(x)= 4x − 4x2
100, se 0 ≤ x ≤ 60
1,6.x, se 60 < x ≤100
⎧⎨⎪
⎩⎪
Discursiva
UFSC
a) Gráfico de
Raízes: 4x − 4x2
100= 0
100.x − x2 = 0
x1= 0 ou x
2=100
x
V= 0 +100
2
xV= 50
yV=100
Discursiva
UFSC
a) Gráfico de
Raízes:
x1= 0
x2=100
Vértice:
V(50,100)x
V
0 100 50
100
60
96
60
96
100
160
V(x)= 4x − 4x2
100, se 0 ≤ x ≤ 60
1,6.x, se 60 < x ≤100
⎧⎨⎪
⎩⎪
Discursiva
UFSC
b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática?
Resolução:
SBM
Discursiva
UFSC
b) Alfredo 10kg Beatriz 15kg Carlos 30kg Daniel 40kg
x
V
50
100
60
96
100
160
40
Discursiva
UFSC
b)
x
V
50
100
60
96
100
160
40
Daniel poderia ter comprado
60kg de balas e pago os mesmos
R$ 96,00.
Prismas
Al = 2Pb.h Área Lateral
At = 2Ab + Al
Área Total V = Ab.h
Volume
PA - (x – r, x, x + r) PG ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
x- , x, x.qq
Proporcionais a
x=b
y=c
z= k
A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 10 m² e suas dimensões são inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5. Determine doze vezes o volume desse paralelepípedo.
UDESC Geometria Espacial – Prismas Especiais
a.3= b.4 = c.5 = k
a =
b =
c =
k3k4k5
At = 2.(a.b + a.c + b.c)
10 = 2.(k2/12 + k2/15 + k2/20)
5 = 12k² /60
k² = 25
⇒ k = 5
=53
VP = a.b.c
VP =
VP = 25 m³
a b
c
=54
=1
53. 54.1
VP = 2512
(ACAFE) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14 , analise as afirmações a seguir.
1m3 = x m3 = 1570L
1570L = 1,57m3
1000L
Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m3
(ACAFE) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14 , analise as afirmações a seguir.
1570L = 1,57m3
Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m3
Em 2h o volume será: V = (1,57.2)m3
.
.
.
.
.
.
Em th o volume será: V = (1,57.t)m3
(ACAFE) I) A função h(t), onde h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau.
V = (1,57.t)m3 V = Ab.h
V = π.r2.h
V = 3,14.(2)2.h
V = 12,56.h
12,56.h = 1,57.t
h = 0,125.t
Função polinomial do primeiro grau. Incorreto
(ACAFE)
II) O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto D = {t ∈ R / 0 ≤ x ≤ 12,56} .
h = 0,125.t Função h(t):
1,57 = 0,125.t
t = 12,56h
Domínio de h(t):
D = {t ∈ R / 0 ≤ t ≤ 12,56} .
Correto
(ACAFE)
III) O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos.
Incorreto
h = 0,125.t Função h(t):
1,57 = 0,125.t
t = 12,56h
Domínio de h(t):
D = {t ∈ R / 0 ≤ t ≤ 12,56} .
D ⇒ Apenas a afirmação II é verdadeira.
Corte que passa pelo eixo
Secção Meridiana
h = g
2r
g = 2r
Cilindro Equilátero
Cilindro Secções
Pirâmides
PIRÂMIDES Áreas de uma Pirâmide
ap
Área Lateral
Al = 2pb.ap2
Área Total
At = Ab + Al
bA .hV =
3
Volume da Pirâmide
Pirâmides
PIRÂMIDES
Secção Transversal
Corte Paralelo à Base
h1
h2
= ab1
ab2
= k
h1
h2
= Ab1
Ab2
ab1
ab2
= V1
V2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3
ap1
ap2
=
Al1
Al2
= V1
V2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
Secções
O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm da sua base e esta base tem uma área igual a 4 vezes a área da secção, calcule x
Resolucão:
4.Ab
Ab
4
h
b
B
AhH A=2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠h
h+ 4!"#
$%&2
=Ab4.Ab
h 1h 4 2
=+
2h h 4= +h 4=
x = 4+4=8
Geometria Espacial
Baiano
hh+ 4!"#
$%&2
=14
Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x ∈ N * / x < 200} B={x∈A / x é múltiplo de 8} C = { x ∈ A / x é m ú l t i p l o d e 3} I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos. III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.
(ACAFE)
Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x ∈ N * / x < 200} B={x∈A / x é múltiplo de 8} C = { x ∈ A / x é múltiplo de 3}
Resolução:
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 }
B = { 8 , 16 , 24 , . . . , } ?
199 8 24 7
199 – 7 = 192
192 n(B) = 24
C = { 3 , 6 , 9 , . . . , } ?
199 3 66 1
199 – 1 = 198 198 n(C) = 66
(ACAFE)
I) O conjunto BUC possui 90 elementos.
Resolução:
B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 } n(B) = 24
C = { 3 , 6 , 9 , . . . , 198 } n(C) = 66
n(BUC) = n(B) + n(C) – n(B∩C)
B∩C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24}
B∩C = { 24 , 48, 72 , . . . , }
199 24 8 7
199 – 7 = 192
? 192
Incorreto
n(B∩C) = 8
(ACAFE)
II) O conjunto C possui 65 elementos.
Resolução:
B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 } n(B) = 24
C = { 3 , 6 , 9 , . . . , 198 } n(C) = 66
Incorreto
(ACAFE)
III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos.
Resolução:
B∩C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24}
B∩C = { 24 , 48, 72 , . . . , } ? 192
Correto
n(B∩C) = 8
(ACAFE)
IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169. Resolução:
A = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 }
B = { 8 , 16 , 24 , . . . , 192 }
AUB = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , 199 } ( P.A. de razão 1)
S =
a1+ an( ).n2
S =1+199( ).199
2 S =19900
Incorreto
(ACAFE)
I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos. III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169. Assinale a alternativa correta. A ⇒ Todas as afirmações são verdadeiras. B ⇒ Apenas II e III são verdadeiras. C ⇒ Apenas a afirmação III é verdadeira. D ⇒ Apenas III e IV são verdadeiras. Gabarito: c
Incorreto
Correto
Incorreto
Incorreto
(ACAFE)
CONE
CONE Secção Transversal
Corte paralelo a base
R
r
Secções
r
R
= h
H
h
H
= Ab
AB
r
R
= Vmenor
Vmaior
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3g
G
=
Ab
AB
= Vmenor
Vmaior
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2
CONE
CONE
Corte que passa pelo eixo Secção Meridiana
h
2r
g = 2r
Cone Equilátero
g
Secção meridiana é um triângulo equilátero.
Secções
Geometria Espacial Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera.
Resolução:
5
3
4 b
CA .h
V =3
2π.r .h=3
2
Cπ.3 .4V =3
3=12π cm
V6 copos = 12π . 4 = 48π
3 r
V = Ab.h = π. r². h
48π = r2.π.3
r2 = 16 cm
r = 4 cm
Geometria Espacial
Resolução:
3 4
= π. 4². 2
= 32π cm3
r = 4 cm
r 2
x
Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera.
VESFERA = VCILINDRO DESLOCADO
Área Volume A = V = 4. 4. π π .R .R
2 3
____________
3
VESFERA
VESFERA
= π. r². h VESFERA
(ACAFE) Uma família sai de férias da cidade A para a cidade C. Para isso, precisam passar obrigatoriamente pela cidade B. Existem três rodovias (D, E e F) que ligam as cidades A e B e outras duas rodovias (G e H) que ligam as cidades B e C. As distâncias e os valores de pedágio dos trajetos estão no quadro abaixo.
A até B B até C A até C Distância Valor
D
Incorreto
Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. I) Partindo da cidade A, existem seis percursos e seis valores distintos de pedágio para chegar até a cidade C.
G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45
(ACAFE)
Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. II) Existem percursos de igual distância e com valores iguais de pedágio para ir de A até C.
Correto
A até B B até C A até C Distância Valor
D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45
(ACAFE)
Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. III) O maior valor total pago no pedágio é de R$ 2,45.
Correto
A até B B até C A até C Distância Valor
D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45
(ACAFE)
Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. IV) A menor distância total percorrida não corresponde ao menor valor do pedágio pago.
Incorreto
A até B B até C A até C Distância Valor
D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45
Todas as afirmações corretas estão em: C ⇒ II – III
(ACAFE)
Geometria Analítica
Distância entre dois pontos:
(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2
A( 7 , 5 )
B( 3 , 2 )
–
4 ( )2
–
3 ( )2 + d2 =
d = 5
P( 5 , –2 )
Q(–3 , 4 )
–
8 ( )2
–
6 ( )2 + d2 =
d = 10
Questão
Geometria Analítica
Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1) , B(1, 4) e C(2, 1).
A
B
C
G
Coordenadas do Baricentro: G(xG , yG)
xG =
+ +3
0 1 2 yG =
+ +3
1 4 1
xG =1 yG = 2
G( 1 , 2 )
(UDESC) Dadas as matrizes A = e B = , encontre a relação entre x e y tal que a igualdade det(A-1 Bt –A) = -8 seja verdadeira.
Resolução: det
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2312
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
xy
12
8231212
2312
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
xy
82312
326224
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
xyxy
det
85292
12−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
−−
−−
xyxy
det
-5x –1 + 3y = 8 y = 9+5x
3
MATRIZES
Geometria Analítica
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r)
A B
P
A(1,2) , B(7,-2) , P( , ) x y
A , B e P são colineares
Determinante = zero
= 01 2
7 -2
x y
1 2
Geometria Analítica
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r)
A B
P = 01 2
7 -2
x y
1 2
= 0- 2
+
+ 7y
+
+ 2x
+ –
– 14
–
+ 2x
–
– y
4x + 6y – 16 = 0 (÷2)
2x + 3y – 8 = 0 Equação na forma Geral
ax + by + c = 0
Geometria Analítica
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2).
2x + 3y – 8 = 0 Forma Geral
3y = – 2x + 8
y =
−23
.x +83 Forma Reduzida
Coeficiente angular: m =
−23
Coeficiente linear: b =
83
y
x
8/3
8 __ 3
α
tgα = -2/3
–2 ___ 3
A( 1 , 2 )
B( 7 , -2 )
Geometria Analítica
Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2).
A( 1 , 2 )
B( 7 , -2 )
-6. y = 4. x -2 -14
-16 -6y - 4x + 16 = 0 ÷(-2)
3y + 2x - 8 = 0
(UDESC) Sabendo que : ifchebgda
= 4
Calcule o determinante de :
2a 6b 2cd 3e f5g 15h 5i
= 4.
Determinante
2. 5. 3 = 120
Geometria Analítica
Equação da reta:
Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5
y – y0 = m.(x – x0)
5x – y + 17 = 0
y = a.x + b
y = 5.x + b
A(-3,2) 2 = 5.(-3) + b
b = 17
y = 5x + 17
y – 2 = 5.(x +3)
Geometria Analítica
Retas paralelas:
Mesmo coeficiente angular
r//s ! mr = ms
Retas perpendiculares:
Coeficientes angulares, inversos e opostos
(r) 3x – 4y + 2 = 0
(s) 3x – 4y + c = 0
(r) 5x + 2y – 3 = 0
(s) 2x – 5y + c = 0 r ⊥ s ⇒mr =
−1ms
Discuta o sistema:
2x − y = 3mx + 2y = −a"#$
SISTEMAS LINEARES
( . 2 ) 4x − 2y = 6mx + 2y = −a"#$
( 4 + m ).x + 0.y = ( 6 – a )
S.P.I0.x + 0.y = 0
m = - 4 e a = 6
S.I0.x + 0.y = R*
m = - 4 e a ≠ 6
S.P.Dm ≠ - 4
+
Tá na hora , tá na hora
De sistemas estudar
Se for S.P.D
Uma solução eu vou achar
Mas se for S.P.I
Infainite vai dar
E se for o S.I.
Ninguém consegue calcular
S.P.D. , S.P.I. 3x
ÔH , ÔH , ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir
S.P.D não vai dar zero S.P.I. Todos vão dar S.I. primeiro membro, ninguém consegue calcular S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir S.P.D. , S.P.I. 3x ÔH , ÔH , ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir
TÁ na HORA , TÁ na HORA
Geometria Analítica
Equação da circunferência:
Dados : Centro C(a , b) e Raio r
Exemplo: C( 3, -2) e r = 5
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
Geometria Analítica
Equação da circunferência: x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0
÷(-2) ÷(-2)
C ( 3 , -2 )
(3)2 + (-2)2 – (-12) = r2
9 + 4 + 12 = r2
r = 5
Polinômios
Boa Prova
Questão 02
Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x – 2)2 + (y – 2)2 ≤ 4 e seja P a região definida por x ≥ 2 ou y ≥ 2. A área da região intersecção entre C e P é:
A) π B) 2π C) 3π
D) 4π E) 5π
Polinômios
Boa Prova
Resolução:
C: (x – 2)2 + (y – 2)2 ≤ 4
Centro: C(2,2) Raio: r = 2
x
y
2
P: x ≥ 2 ou y ≥ 2. 2
Intersecção entre C e P:
Polinômios
Boa Prova
Resolução:
Área da intersecção entre C e P:
x
y
2
2
A = 3.
π.r2
4
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
A = 3.
π.22
4
⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟
A = 3π
Gabarito: C
SISTEMAS LINEARES
1 −1 1 −1 11 1 1 1 −11 −1 −1 −1 −13 −1 1 −1 −12 −2 3 −2 a
"
#
$$$$$$
%
&
''''''
S.P.I S.I S.P.D
Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade? A⇒ 57,4% B⇒ 12,6% C⇒ 42% D⇒ 28%
(ACAFE)
Terremoto no mar: P(M) = 70% Terremoto na terra: P(T) = 30% Terremoto no mar com danos: P(D) = 60% Terremoto na terra com danos: P(D) = 82% “Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade?”
Resolução: P(M) e P(ND)
(0,70) (0,40) x = 0,28
D ⇒ 28%
(ACAFE)
TRIGONOMETRIA 1: Analisar a função f(x) = - 2 - cos(3x), quanto ao domínio, imagem, período, paridade e gráfico.
Df = R
Imf = [-2-1, -2+1]
P = 2π3
= [-3, -1]
2π=3
Paridade = par
-1
- 3
-2
3) Dada a função y = 2 + tg , calcular:
Dy:
Dy: x ≠ 3kπ
Imy = R
Py = π1 3
= 3π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
x π+3 2
≠x π π+ +kπ3 2 2
Função Tangente
Resolução:
Equação Exponencial
2x+5 + 3x = 3x+2 + 2x+2 + 2x
2x+5 − 2x+2 − 2x = 3x+2 − 3x
2x.25 − 2x.22 − 2x = 3x.32 − 3x
2x.( − − ) = 32 4 1 3
x.( − ) 9 1
2x.27 = 3x.8
2x
3x = 827
23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=23
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
x 3
x = 3
S = { 3 }
PROGRESSÃO ARITMÉTICA Notações Especiais
(x-r,x,x+r)PA de 3 termos
a3 + a7 = a4 + a6
P.A. (a,b,c) a + cb = 2
Relacionamento Juros X P.A.
Notações Especiais
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
x, x, xqq
PG de 3 termos
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
P.G. (a,b,c) b² = a.c
a3 . a7 = a4 . a6
Relacionamento Juros X P.G.
CEMCINEMA
Erivaldo