FACULDADE DE CIÊNCIAS APLICADAS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

LE 203 - CÁLCULO II

PROF. MÁRCIO FARIA ROSA

TUTORIAL DO SOFTWARE WOLFRAM MATHEMATICA 6.0

AUGUSTO SEMIDAMORI GOZZANI – 093455

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

LIMEIRA, SÃO PAULO

26 de Novembro de 2009

Prefácio:

Olá, futuros engenheiros, matemáticos, físicos e estatísticos. Vamos aprender um

pouco sobre uma importante ferramenta que pode ajudar muito no desenvolvimento e estudo

da matemática e suas aplicações: o software Wolfram Mathematica.

No caso, estaremos utilizando a versão 6.0, porém as funcionalidades são muito

parecidas, ou muitas vezes iguais, às de outras versões, de maneira que se você estiver

utilizando alguma versão antiga ou mais atualizada do software, não deve encontrar muitos

problemas em seguir este tutorial.

Introdução

Primeiramente, o que é o Wolfram Mathematica?

Segundo os próprios programadores, podemos dizer:

“O Mathematica é um sistema genérico para computação técnica. Sua completamente

integrada capacidade numérica, simbólica e gráfica permite que ele seja utilizado como

ferramenta interativa de cálculo bem como uma linguagem de programação. A possibilidade de

sua utilização como plataforma para experimentação, modelagem e protótipação de algorítmicos e

sua capacidade de interagir com outros programas fez dele uma ferramenta básica para

pesquisadores e educadores de ciências, matemática, engenharia e assuntos relacionados em todo

o mundo.”

(http://www.atsolutions.com.br/produtos/wolframmathematica.htm - 08.11.09)

O foco deste tutorial é, no entanto, a utilização deste software relacionada apenas à

matéria de Cálculo II, ministrada mais especificamente nos cursos de engenharia da Unicamp.

Os tópicos abordados serão, conseqüentemente, relativos a isso. Neste tutorial, espera-se

ainda que o aluno já tenha o conhecimento sobre a matéria passado pelo professor em sala de

aula, de maneira que não será explicada a matéria em si, mas sim o modo de utilizar o

Mathematica para a melhor visualização de problemas e conceitos matemáticos.

SUMÁRIO

1. Ferramentas Básicas

1.1. Plotando

1.1.1. Funções

1.1.2. Curvas e Superfícies de Nível

1.1.3. Coordenadas Polares

1.1.4. Equações Parametrizadas

2. Derivadas e Integrais

Derivação e Integração no Mathematica

3. Aplicação de Integrais Múltiplas

3.1. Área (RegionPlot)

3.2. Volume (RegionPlot3D)

4. Conclusão

4.1. Lembretes

4.2. Palavras Finais ao Aluno

1. Ferramentas Básicas

Um das grandes méritos do Mathematica é fazer a conexão entre as equações e seus

significados gráficos e visuais. Para podermos aproveitar essa capacidade do software, vamos

aprender a utilizar um dos maiores recursos do Mathematica: a plotagem.

1.1. Plotando

No Mathematica, plotar é um modo de visualizar uma equação no espaço. Isto nos

ajuda a solucionar problemas, ou mesmo a ter idéia da dimensão destes nas

proporções que quisermos.

Sempre que quisermos utilizar este recurso, devemos escrever, no Mathematica,

da seguinte forma:

Plot[equação,{variável,valor inicial,valor final}]

Veremos alguns exemplos mais para frente, onde entram várias variáveis, ou

mesmo várias equações. É importante, porém, que o aluno saiba a linguagem básica

do mecanismo de plotagem, que consiste na utilização de colchetes [] envolvendo

tudo o que vem depois do comando “Plot”; e chaves {} envolvendo a incógnita,

juntamente com seu valor inicial e final.

Haverá também outros casos em que chaves e colchetes devem ser utilizados,

porém estes serão vistos de acordo com a necessidade do tópico que estiver sendo

abordado.

1.1.1. Funções – Plot e Plot3D

Plotar uma função é um modo de visualizá-la graficamente. Vamos pegar um

exemplo simples, para melhor entendimento:

O dono de uma loja de bicicletas cobra por seu produto o dobro do que gasta com

sua aquisição. Sabendo que ele cobra cem reais por bicicleta, podemos definir a

função:

f(x) = 50*x

Onde f(x) é o lucro, e x é o número de bicicletas vendidas.

Se quisermos colocar esta função em um gráfico, devemos escrever, no

Mathematica, a seguinte expressão:

Plot[50x,{x,0,5}]

Desta forma, estamos pedindo ao software que calcule f(x), de x=0 até x=5. O

resultado será o gráfico:

Podemos fazer a mesma coisa com funções de duas variáveis. Aí é importante

lembrar-se de usar as chaves {} corretamente, e de inserir “3D” após “Plot”. Assim, o

1 2 3 4 5

50

100

150

200

250

software entende que estamos plotando uma equação na qual há duas variáveis. A

maneira de se escrever uma expressão fica então:

Plot3D[equação,{variável x,v.i,v.f},{variável y,v.i,v.f}]

Onde v.i. é o valor inicial, e v.f. o valor final. Note que agora estamos colocando

o valor inicial das duas variáveis. Não se esqueça da vírgula entre cada especificidade.

Vamos pegar uma função qualquer, a fim de ilustrar a maneira de se escrever

uma expressão de duas variáveis:

Plot3D[3x2-y-2,{x,-10,10},{y,-10,10}]

(Lembrando que, como o seu professor já deve ter dito em aula, para

elevarmos um número a uma potência, devemos clicar “Ctrl+6”, digitar o valor da

potência, e então usar “Ctrl+espaço” para voltar para a equação).

O resultado será:

Se você quiser plotar várias funções de uma única vez, é possível fazê-lo de uma

maneira muito simples. Vamos plotar simultaneamente, por exemplo, as funções:

f(x) = Sin[x]

f(x) = Cos[x]

(Lembre-se: seno e cosseno devem sempre estar escritos nas suas formas de

abreviação, em inglês, com a primeira letra em maiúscula. A variável deve estar entre

colchetes. Se não estiver escrito desta forma, sua plotagem não funcionará).

A expressão deverá ser escrita:

Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,0,20}]

Note que há chaves englobando ambas as funções.

O resultado será:

É possível fazer a mesma coisa não só com duas equações, mas também com

duas funções de duas variáveis. Vamos pegar, por exemplo, as funções Sin[x] e Sin[y]:

5 10 15 20

1.0

0.5

0.5

1.0

Plot3D[{Sin[x],Sin[y]},{x,0,20},{y,0,20}]

Aí está. Estas plotagens podem servir de base no aprendizado do software. É de

grande utilidade copiar algumas das expressões que já foram passadas, copiá-las no

Mathematica, e brincar um pouco com as variáveis, com os valores iniciais e finais, e

com a própria visualização (clicando e girando a imagem), para se ter maior

familiaridade com programa e com o cálculo em si.

1.1.2. Curvas e Superfícies de Nível – ContourPlot

Imagine-se dentro de um avião, sobrevoando o oceano. Você então joga algum

objeto na água, e do alto, apenas vê as ondas que se formaram na água devido ao

impacto. Se você olhar para baixo, perpendicularmente, e fechar um dos olhos,

perderá a noção de perspectiva. O que você verá será algo parecido com isso:

O plano onde o oceano se encontra é z=0. A água está então subindo e

descendo no eixo z, de acordo com alguma equação, mas você vê apenas esta

projeção, e não a ondulação em si. Este é o conceito de curvas de nível. Sua utilização

é muito prática em mapas topográficos, entre outras coisas.

As curvas de nível dão uma maneira bidimensional de representar uma

superfície tridimensional z = f(x,y).

No caso do exemplo citado, utilizamos o comando ContourPlot para

visualizar as curvas de nível da equação Cos[ 𝑥² + 𝑦²], que numa plotagem simples

seria:

Plot3D[-Cos[ 𝑥² + 𝑦²],{x,-3,3},{y,-3,3}]

Para a plotagem em curvas de nível, o comando seria:

ContourPlot[Cos[ 𝑥² + 𝑦²],{x,-3,3},{y,-3,3}]

E o resultado é a imagem que apresentamos na página anterior.

(Lembre-se: para colocar raiz, devemos clicar “Ctrl+2”, escrever o que

querermos que fique dentro da raiz, e em seguida clicar “Ctrl+6” para continuar a

expressão).

É possível configurar o ContourPlot para obter as curvas de nível da maneira

mais adequada ao problema. Podemos adicionar, no final da expressão, a

caracterização Contours N , onde N é o número de curvas que queremos na

visualização.

(Para colocar a setinha “”, apenas escreva ->, pois o software entende).

Vamos fazer as curvas de nível de um parabolóide f(x,y) = x² + y² , limitando o

número de curvas de nível a cinco:

ContourPlot[(x2+y

2),{x,-3,3},{y,-3,3}, Contours5]

O ContourPlot funciona também para se visualizar superfícies de nível,

porém o comando agora será um pouco diferente. É necessário adicionar o 3D após o

ContourPlot. Vamos utilizar como exemplo o toro: ( 𝑥² + 𝑦² -6)2+z24

(Lembrando que, nas equações a serem plotadas no Mathematica, o sinal de

igual deve ser colocar duas vezes: ==)

A expressão a ser escrita deve ser então:

ContourPlot3D[{( 𝑥² + 𝑦² -6)2+z24},{x,-10,10},{y,-10,10},{z,-

10,10}]

E o resultado será:

Com essa ferramente conseguimos analisar os parâmetros que escolhermos.

Em muitos problemas, o ContourPlot pode ser um recurso indispensável.

1.1.3. Coordenadas Polares – PolarPlot

Com o comando PolarPlot, pode-se gerar curvas através de incógnitas em

função de um raio r e um ângulo .

Esta ferramenta ajuda a resolver muitos exercícios, principalmente quando

nestes aparecem equações relacionadas de alguma forma a elipses e circunferências.

A funcionalidade é muito simples. Basta colocar o comando PolarPlot, e

continuar escrevendo como em qualquer plotagem.

Vamos pegar, por exemplo, a equação Sin[5, com indo de 0 a

PolarPlot[Sin[5],{,0,}]

Esta ferramenta será muito útil na resolução de exercícios nos quais se quer

descobrir áreas e volumes através de integrais duplas.

0.5 0.5

0.5

0.5

1.0

1.1.4. Equações Parametrizadas – ParametricPlot

Às vezes é mais fácil trabalharmos com equações paramétricas de uma curva,

colocando x e y em função de outras variáveis, que são os parâmetros.

Para utilizar equações paramétricas no Mathematica, temos apenas que

escrever “ParametricPlot”, e utilizar a equação parametrizada, juntamente com os

valores máximos e mínimos das variáveis, que no caso serão os parâmetros dos

comumente utilizados x e y.

Vamos utilizar um exemplo do próprio Help do Mathematica:

ParametricPlot[{Sin[u],Sin[2 u]},{u,0,2 }]

Aqui vai uma dica: utilize a ferramenta “Documentation Center”, dentro de

“Help”, na barra de ferramentas. Lá é possível fazer uma detalhada busca para

encontrar algum comando, ou mesmo para entender melhor algo da matéria de

Cálculo II.

1.0 0.5 0.5 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

2. Derivadas e Integrais

Espera-se aqui que o aluno já tenha todo o conhecimento necessário sobre

derivadas e integrais, de maneira que não será ensinado nada dessa matéria, mas

apenas a maneira de se derivar e integrar algo pelo Mathematica.

A maneira mais simples de se derivar e integrar no Mathematica é através da

ferramenta: Palletes > BasicMathInput

Aí dentro, é possível escolher, dentre várias coisas, derivadas, derivadas

parciais, integrais definidas e indefinidas.

Exemplos:

Para fazer integrais múltiplas, basta colocar uma integral dentro da outra:

3. Aplicação de Integrais Múltiplas

Através da aplicação de integrais duplas, podemos resolver vários problemas relativos

à área e volume de corpos.

3.1. Área – RegionPlot

Vamos resolver um exercício de área por integração dupla:

Calcule a área no plano xy delimitada pela reta y = x e pela parábola y = x²-2x

Pelo Mathematica, podemos plotar as duas funções, de maneira a saber qual é,

visualmente, a área que vamos descobrir.

RegionPlot[xy&&x2-2 xy,{x,0,3},{y,-2,3}]

(Aqui surgiu um novo comando: “RegionPlot”. Esse comando serve para sinalizar

uma região. Unimos as inequações com um ”&&” entre elas, e temos o resultado abaixo).

Essa é, então, a área que vamos descobrir:

A reta e a parábola se cruzam em (0,0) e (3,3), como descobrimos igualando as

equações. Portanto:

3.2. Volume – RegionPlot3D

Assim como utilizamos o RegionPlot para descobrir áreas, vamos utilizar o

RegionPlot3D para achar volumes. O comando funciona com o mesmo princípio, porém

com equações de duas variáveis. Vamos resolver um exercício para esclarecer o modo de

utilizar este artifício:

“Encontre o volume do sólido delimitado pelos parabolóides cilíndricos z=x² e z=4-4 y².”

Primeiramente, vamos plotar as funções, de maneira que seja possível visualizar cada

uma separadamente, e em seguida vamos juntá-las, para calcular o volume do sólido

delimitado por estas funções.

Plotando a primeira função:

a=Plot3D[{x2},{x,-2,2},{y,-2,2}]

Plotando a segunda função:

b=Plot3D[{4-4 y2},{x,-2,2},{y,-2,2}]

Agora, as duas juntas:

Show[a,b]

Podemos ver, a partir da figura acima, que x vai de -2 a 2, enquanto y vai de – 1−𝑥2

4

a 1−𝑥2

4 (estes dois últimos valores foram tirados isolando "y" na equação: x2=4-4 y²).

Para melhor entender como é o sólido cujo volume é requerido no exercício, vamos

utilizar o comando "RegionPlot3D", que limita o gráfico à região pedida:

RegionPlot3D[4-4 y2z&&x2z,{x,-2,2},{y,-2,2},{z,0,5}]

Temos então que o volume é 4

4. Conclusão

4.1. Lembretes

Apenas lembrando algumas coisas importantes do Mathematica, para garantir seu correto

funcionamento:

É importante que o aluno saiba a linguagem básica do mecanismo de

plotagem, que consiste na utilização de colchetes [] envolvendo tudo o

que vem depois do comando “Plot”; e chaves {} envolvendo a

incógnita, juntamente com seu valor inicial e final.

Para elevarmos um número a uma potência, devemos clicar “Ctrl+6”,

digitar o valor da potência, e então usar “Ctrl+espaço” para voltar para a

equação.

Para colocar raiz, devemos clicar “Ctrl+2”, escrever o que querermos

que fique dentro da raiz, e em seguida clicar “Ctrl+6” para continuar a

expressão.

Seno e cosseno devem estar sempre escritos nas suas formas de

abreviação, em inglês, com a primeira letra em maiúscula. A variável

deve estar entre colchetes. Se não estiver escrito desta forma, sua

plotagem não funcionará.

Para colocar a setinha “”, apenas escreva ->, pois o software entende.

Nas equações a serem plotadas no Mathematica, o sinal de igual deve

ser colocar duas vezes: ==

4.2. Palavras Finais ao Aluno

Os profissionais de hoje não devem apenas ter capacidade de lidar com o Cálculo e

outras matérias do gênero em seus tempos de estudo, mas devem estar em constante

atualização com os mecanismos e ferramentas que facilitam a compreensão e aplicação de

conceitos abstratos na vida prática, tanto profissional quanto pessoal. Tendo isto em vista, a

importância de softwares como o Wolfram Mathematica é de grande magnitude.

Espero que este tutorial o ajude a caminhar mais facilmente pelo software, de maneira

a ajudar também na formação conceitual que sua carreira ocasionalmente exigirá.

Augusto Gozzani.