tutorial sobre o wolfram mathematica 6 -...

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

Faculdade de Ciencias Aplicadas

Calculo II

Prof Marcio Rosa

Tutorial sobre o Wolfram

Mathematica 6.0

Gabriela Yoriko Shimizu RA 091313

Limeira, 25 de novembro de 2009

Sumario

1 Introducao 3

2 Comandos basicos 4

3 Funcoes Gerais 8

4 Funcoes 11

5 Graficos 14

6 Comandos extras 19

7 Calculo I 25

8 Bibliografia 28

2

Capıtulo 1

Introducao

O programa Wolfram Mathematica c⃝e um software que tem como objetivo

auxiliar os estudantes em sua vida academica. E um programa pago, porem, pode

ser adquirida uma versao demo gratuitamente no site da empresa. Tal software

resolve equacoes simples e as mais complexas, alem de criar os graficos de deter-

minadas funcoes.E um programa de grande ajuda para o estudante que deseja

ver os graficos das funcoes que se aprendem, alem de poder conferir contas que

podem aparentar serem extremamente complicadas. A seguir, temos um tutorial

sobre como podemos utilizar o software em nosso cotidiano, para computadores

Windows c⃝XP ou Vista.

3

Capıtulo 2

Comandos basicos

O software possui alguns comandos basicos para que se possa iniciar o uso

do mesmo. Tais comandos podem ser utilizados a qualquer hora, e funcionam

nas versoes mais recentes do programa.

Ao se abrir o programa (que pode ser inicializado clicando: Iniciar → To-

dos os programas → Wolfram Mathematica c⃝ → Mathematica c⃝6), abre-se uma

tela branca, com aparencia similar ao bloco de notas. E nesse espaco inicialmente

em branco que serao digitadas as funcoes e aparecerao os resultados. Antes de

qualquer comando, e necessario primeiramente clicar no espaco em branco para

que se o selecione e entao os comandos poderao ser digitados.

Os comandos que sao digitados pelo usuario sao reconhecidos como “en-

tradas”, sendo representados pela abreviacao In[N], sendo N o numero do co-

mando digitado (se for o quarto comando a ser digitado, aparecera In[4]). Apos

a digitacao do comando, para que o programa o resolva, ou o apresente grafi-

camente, e necessario que se aperte os botoes shift + enter, ao mesmo tempo.

Assim que o programa aceitar o comando, aparecera logo abaixo a resposta, que

e representada por Out[N]. Exemplificando:

- A conta 22 + 3, sera digitada e reconhecida como In[5] (no caso 5 pois e o

quinto comando digitado no mesmo arquivo). Apos o uso de shift+enter temos

o resultado reconhecido como Out[5].

In[1]:= 22 + 3

Out[1]= 25

4

CAPITULO 2. COMANDOS BASICOS 5

Esta e a informacao basica de comandos do Mathematica c⃝, pois sem este

as funcoes e equacoes nao serao reconhecidas e muito menos resolvidas. Este e o

princepio basico de funcionamento do software

Em muitos casos, ao se digitar uma funcao ou equacao que nao possui como

resultado um numero inteiro, o software responde com uma nova funcao, ou sim-

plificada ou de uma maneira diferente. Exemplo:

In[2]:= 47 � 3

Out[2]=47

3

Porem, eu muitos casos, o que esta se procurando e o resultado da equacao,

por mais que possua casas decimais. Entao, para que o Mathematica c⃝apresente

o resultado algebrico, usa-se o comando N[funcao]. Exemplo:

In[3]:= N@47 � 3D

Out[3]= 15.6667

Isso ocorre porque o programa nao trabalha usualmente com numeros com-

plexos ou com casas decimais, somente quando pedido, como no caso acima. Para

que se obtenha o valor inteiro mais proximo do resultado da funcao, usa-se o co-

mando IntegerPart[funcao]. Exemplo:

In[4]:= IntegerPart @47 � 3D

Out[4]= 15

Vale lembrar que o Mathematica c⃝, por ser um programa originalmente

americano, os numeros que possuem casas decimais nao sao representados com

vırgula como normalmente fazemos, e sim por um ponto. Exemplo:

In[5]:= 10.5 � 2

Out[5]= 5.25

O programa nao aceita vırgulas, justificando que a expressao esta incom-

pleta. Ja se utilizando ponto ao inves de vırgula, o programa aceita a expressao


normalmente, resolvendo-a.

Para se facilitar a digitacao de alguns comandos e expressoes, tem-se algu-

mas teclas de atalho que podem ser utilizadas, como por exemplo:

- ctrl + 2: permite-se digitar a raiz quadrada de uma expressao.

- ctrl + 6: permite-se digitar o expoente de um numero ou expressao.

- ctrl + / (barra): permite-se criar uma fracao.

- ctrl + tecla espaco: sai de algum dos comandos acima, permitindo-se continuar

a digitar a expressao normalmente, sem estar na raiz quadrada e sem estar no

expoente.

Os comandos acima podem ser utilizados simultaneamente, ou seja, o co-

mando de se criar uma fracao pode ser usado conjuntamente com o comando de

se criar uma raiz quadrada. Exemplo:

In[6]:=42

2+ 5 + 1

Out[6]= 1 + 13

No exemplo acima, todos os comando foram usado em apenas uma ex-

pressao: temos o uso de ctrl+2 para se criar a raiz quadrada; ctrl+/ para se criar

a fracao; ctrl+6 para se criar o expoente do numero 4; ctrl+espaco para sair do

comando do expoente; ctrl+espaco para sair do comando da raiz quadrada.

Assim como as funcoes acima, a seta que aponta para o lado esquerdo (⇒)e

obtida se digitando: sinal de menos(-) + sinal de maior (>). Caso se necessite

usar expressoes que nao se encontram no teclado normal, como por exemplo,

letras do alfabeto grego, pode-se obte-los da seguinte forma: esc + nome da ex-

pressao + esc.Assim, por exemplo, para obtermos a expressao � (alfa), temos

que digitar: esc + alpha + esc

Pelo mesmo motivo do uso do ponto no lugar da vırgula, algumas expressoes

ao serem digitadas devem ser digitadas como se e escrito em ingles. Portanto,

temos as seguintes expressoes:

Nome Nome em ingles

Alfa Alpha

Beta Beta

Gama Gamma

Delta Delta


Teta Theta

Pi Pi

Senx Sinx

Conx Cosx

Tgx Tanx

Cossecx Cscx

Secx Secx

Cotgx Cotx

Para outras expressoes, a sessao Help do proprio Mathematica c⃝pode indicar

o nome correto a ser utilizado.

Capıtulo 3

Funcoes Gerais

As funcoes matematicas podem ser digitadas normalmente no Mathematica c⃝,

sem grandes empecilhos.

- Adicao:

Numero + Numero

Exemplo:

In[1]:= 25 + 27

Out[1]= 52

- Subtracao:

Numero − Numero

Exemplo:

In[2]:= 25 - 13

Out[2]= 12

- Multiplicacao:

Numero * Numero ou Numero (espaco) Numero

Exemplo:

8

CAPITULO 3. FUNCOES GERAIS 9

In[3]:= 2 * 2 * 3

Out[3]= 12

In[4]:= 2 ´ 2 ´ 3

Out[4]= 12

OBS.: O uso de espacos se deve ao fato de que, ao se digitar um espaco, o

programa entende automaticamente que se trata de uma multiplicacao, acres-

centando por si so o sinal de multiplicacao (x).

- Divisao:

Numero/Numero ou ctrl+/ (numero acima e numero abaixo)

Exemplo:

In[5]:= 25 � 5

Out[5]= 5

In[6]:=25

5

Out[6]= 5

- Raiz:

Sqrt[numero ou ctrl+2 (numero)

Exemplo:

In[7]:= Sqrt @25D

Out[7]= 5

In[8]:= 25

Out[8]= 5

- Potencia:

Numero.Expoente ou Numero + ctrl+2

Exemplo:

CAPITULO 3. FUNCOES GERAIS 10

In[9]:= 5^2

Out[9]= 25

In[10]:= 52

Out[10]= 25

- Logaritmo:

Log[Numero]

Exemplo:

In[11]:= Log@1D

Out[11]= 0

OBS.: Quando se digita na forma acima, o programa entende que o logaritmo e

na base e. Caso se deseje que o logaritmo calculado esteja em outra base, basta

acrescenta-la na expressao: Log[base,numero]

Exemplo:

In[12]:= Log@10, 100 D

Out[12]= 2

Capıtulo 4

Funcoes

As funcoes estao sempre presentes em nosso cotidiano, e embora algumas

tenham aparencia simples, outras podem ser bem mais complicadas de se re-

solver. Assim, o Mathematica c⃝tem como mais uma funceo, resolve-las.

O modo de se digitar uma funcao segue basicamente os mesmo passos vistos

anteriormente, com a excecao de que se, se deseja igualar uma equacao a outra

ou a um numero, deve-se digitar duas vezes o sinal de igual (=), para que o

programa reconheca que se trata de uma igualdade.

Exemplo:

In[13]:= x2+ 2 x3

+ 4 � 0

Out[13]= 4 + x2 + 2 x3 � 0

Nota-se que a unica alteracao que ocorre e a ordem dos termos da equacao,

ja que o programa os coloca em ordem crescente de incognita. Ao se digitar tal

expressao ou uma semelhante, o Mathematica c⃝a aceita como uma afirmacao

verdadeira. Caso se deseje utilizar a expressao novamente, nao e necessario que

se digite tudo novamente. E necessario somente dar um “nome” a expressao, que

nas proximas vezes que esse “nome” for escrito, o programa o reconhece auto-

maticamente. O comando para se reconhecer a funcao novamente e Type[funcao].

Exemplo:

11

CAPITULO 4. FUNCOES 12

In[15]:= Α = x2+ x3

+ 4

Out[15]= 4 + x2 + x3

In[16]:= Type @ΑD

Out[16]= TypeA4 + x2 + x3E

No caso acima, considerou-se a equacao como alfa, e depois, quando foi pe-

dido para que o programa digitasse alfa, ele respondeu com a equacao nomeada

anteriormente. Isso tambem pode ocorrer com funcoes mais complexas, como

por exemplo, em funcoes que descrevem curvas. Pode-se sobrepor curvas usando

comando semelhante, como veremos posteriormente.

Dado uma funcao, o programa pode calcular o resultado dela, ou seja,

mostrar suas raızes. O comando a ser utilizado e: Solve[funcao]. Exemplo:

In[17]:= Solve Ax2+ 2 x + 1 � 0E

Out[17]= 88x ® -1<, 8x ® -1<<

Caso a funcao digitada seja extremamente complexa, o programa, ao inves

de oferecer respostas algebricas, oferecera uma nova funcao como raiz. Caso seja

preciso, pode-se simplificar a equacao para facilitar a resolucao. O comando uti-

lizado e: Simplify[funcao] . Tal comando pode ser utilizado a qualquer momento,

sempre que se julgar necessario. Exemplo:

In[18]:= Solve Ax4+ 4 x2

+ 4 � 0E

Out[18]= ::x ® -ä 2 >, :x ® -ä 2 >, :x ® ä 2 >, :x ® ä 2 >>

In[19]:= Simplify Ax4+ 4 x2

+ 4 � 0E

Out[19]= 2 + x2 � 0

In[20]:= Solve A2 + x2� 0E

Out[20]= ::x ® -ä 2 >, :x ® ä 2 >>

Assim como ocorre nos comandos basicos, caso se deseje encontrar um valor

para a equacao e no somente uma expressao, pode-se utilizar o seguinte comando:

NSolve[funcao]. Exemplo:

CAPITULO 4. FUNCOES 13

In[21]:= NSolve A2 + x2� 0E

Out[21]= 99x ® -4.00942 ´ 10-27 - 1.41421 ä=, 9x ® -4.00942 ´ 10-27 + 1.41421 ä==

Tambem e possıvel digitar sistemas no programa. Basta digitar entre

colchetes ({ })as equacoes que formam o sistema e coloca-los entre vırgulas.

Exemplo:

82 x + y + 5 z � 0, 3 x + 5 y + z � 2, x + y + z � 1<

82 x + y + 5 z � 0, 3 x + 5 y + z � 2, x + y + z � 1<

O sistema acima corresponde ao sistema:

2x + y + 5z = 0

3x + 5y + z = 2

x + y + z = 1

Capıtulo 5

Graficos

O software Mathematica tambem permite que sejam criados graficos das

funcoes digitadas. No caso de graficos de duas dimensoes, ou seja, graficos cujas

funcoes possuem somente as incognitas x e y, sendo que uma depende de outra,

o comando utilizado e: Plot[funcao,{variavel, limite mınimo, limite maximo}].

Exemplo:

Plot A2 x2+ 3 x, 8x, 0, 2 <E

0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

10

12

14

Caso se deseje, pode-se alterar a escala dos eixos, para que se tenha uma

melhor visibilidade, acrescentando o comando AspectRatio → 1 ao comando

acima descrito, o que significa que os eixos estarao na proporcao de um para um.

Exemplo:

14

CAPITULO 5. GRAFICOS 15

Plot A2 x2+ 3 x, 8x, 0, 2 <, AspectRatio ® 1E

0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

10

12

14

Assim como nos comandos basicos, pode-se usar o comando Plot para cri-

armos um grao que naopresente a funcao, mas que tambem a resolva. Para isso,

usa-se o comando NSolve[funcao,variavel]

NSolve A2 x2+ 3 x � 0, x E

88x ® -1.5<, 8x ® 0.<<

Agora, para que se tenham os graficos de varias e diferentes funcoes em

um mesmo plano cartesiano, pode-se aplicar “nomes” as funcoes, assim como

dito anteriormente, e depois pedir para que o programa as mostre em um mesmo

plano com o comando Show[nome1,nome2] Exemplo:


a = Plot A2 x2+ 3 x, 8x, 0, 2 <, AspectRatio ® 1E

0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

10

12

14

b = Plot A3 x2+ 2 x, 8x, 0, 2 <, AspectRatio ® 1E

0.5 1.0 1.5 2.0

5

10

15


Show@a, b D

0.5 1.0 1.5 2.0

2

4

6

8

10

12

14

Porem, caso nao se queira realizar todas as etapas acima, pode-se criar

um plano cartesiano com as funcoes desejadas somente digitando-as. Porem, elas

nao serao reconhecidas posteriormente. Exemplo:

Plot A92 x2+ 3 x, 3 x2

+ 2 x=, 8x, 0, 2 <E

0.5 1.0 1.5 2.0

5

10

15

Caso de deseje diferenciar as funcoes por cores, para facilitar a visualizacao

e comparacoes, acrescenta-se o comando PlotStyle → {cor1 em ingles, cor2 em

ingles}, sendo a cor1 a cor que a primeira funcao adquirira e cor2 a cor que a

segunda funcao adquirira. Exemplo:


Plot A92 x 2+ 3 x, 3 x 2

+ 2 x=, 8x, 0, 2 <, PlotStyle ® 8Purple, Green <E

0.5 1.0 1.5 2.0

5

10

15

Ja funcoes que possuem mais de duas variaveis, ou seja, duas variaveis

em funcao de uma terceira, o grafico apresentado pelo programa nao sera mais

somente no plano cartesiano xy e sim no plano xyz. O comando e semelhante,

sendo Plot3D[funcao,{variavel1,limite mınimo,limite maximo},{variavel2,limite

mınimo,limite maximo}. Exemplo

Plot3D Ax2+ 2 y2, 8x, 0, 2 <, 8y, 0, 2 <E

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

0

5

10

No software Mathematica 6, ao se plotar um grafico 3D como o exemplo

acima, ao se posicionar o mouse perto do grafico, aparecera uma seta indicadora

de rotacao, ou seja, clicando na figura e movimentando o mouse ,pode-se ver o

grafico em diferentes angulos.

Capıtulo 6

Comandos extras

Alem dos comandos basicos apresentados acima, existem alguns comandos

a mais que podem auxiliar na resolucao de problemas e na plotagem de graficos.

Existem algumas funcoes que nao sao faceis de serem plotadas normalmente

no Mathematica c⃝, portanto, para simplifica-las e necessaria uma parametrizacao

das funcoes. Apos a parametrizacao delas, usa-se o comando:

ParametricPlot[{parametrizacao},{variavel1,limite mınimo,limite maximo}].

Exemplo:

ParametricPlot @8Cos@t D, Sin @t D<, 8t, 0, 2 Π<D

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Para parametrizacao de solidos, o comando e analogo ao o que ocorre com

19

CAPITULO 6. COMANDOS EXTRAS 20

o desenho de graficos normais. O comando passa a ser:

ParametricPlot3D[{parametrizacao},{variavel,limite mınimo,limite maximo},

{variavel2,limite mınimo,limite maximo}].

Exemplo:

ParametricPlot3D @8u, Cos @t D, Sin @t D<, 8u, -2, 2 <, 8t, 0, 2 Π<D

-2

-1

0

1

2-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Algumas partes da materia de calculo II necessitam que se conheca as

curvas de nıveis de uma determinada funcao. Para facilitar esse trabalho, o

Mathematica possui um comando que desenha as curvas de nıveis e permite que

as altere em algumas funcoes. O comando : ContourPlot[funcao,{variavel1,limite

mınimo,limite maximo},{variavel2,limite mınimo,limite maximo}]

Exemplo:


ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <E

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Caso se queira retirar as cores das curvas de nıveis, acrescenta-se o co-

mando ContourShading → None no comando acima descrito. Exemplo:

In[27]:= ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, ContourShading ® NoneE

Out[27]=

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Caso se queira selecionar apenas uma das curvas, ou seja, a partir do resul-

tado da funcao descrita encontrar a curva, basta igualar a equacao ao resultado

que se quer ver a curva. Exemplo:


ContourPlot Ax2+ y2

� 1, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <E

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Porem, caso se deseja encontrar curvas especıficas da funcao, acrescenta-se

o comando Contours → numero da curva. Exemplo:

ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, Contours ® 80.5, 1 <E

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Ou sem as cores das curvas de nevel:


ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, ContourShading ® None, Contours ® 80.5, 1 <E

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Pode-se selecionar quantas curvas se quer que apareca no grafico, a par-

tir do comando a ser acrescentado Contours → numero de curvas desejadas.

Exemplo:

ContourPlot Ax2+ y2, 8x, -2, 2 <, 8y, -2, 2 <, Contours ® 30E

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Alguns comandos que podem ser utilizados no Mathematica c⃝nao estao

carregados no programa inicialmente, portanto, e necessario que se instale-os.

Para tanto, basta digitar o comando Needs[“nomedopacote‘”]. Ao ser inicializado

o comando, o programa faz o download automtico do pacote para determinada


funcao. Exemplo: download de pacote para vetores:

Needs@"VectorFieldPlots`" D

O mesmo ocorre para os outros pacotes que precisam ser instalados. Nor-

malmente, sabe-se que um pacote nao esta carregado quando se tenta usar algum

comando e o programa nao o aceita, ja que nao possui tal comando registrado.

Nesses casos, aparecera uma mensagem de erro, que pedira a instalacao do pa-

cote. Prossiga da forma acima.

Capıtulo 7

Calculo I

Para estudantes de calculo I, pode-se usar o Mathematica para realizar as

operacoes de limites, derivadas e integrais. A seguir, apresentaremos como cada

uma das operacoes pode ser resolvida.

Limite e um dos primeiros conceitos que aprendemos em calculo. Para cal-

cularmos o limite de alguma funcao, usa-se o comando Limit[funcao,x → x0].

Exemplo:

Limit Ax2+ 5 x, x ® 0E

Para funcoes que possuem uma descontinuidade, convem calcular os limites

laterais da funcao. O comando utilizado sera: Limit[funcao,x → x0,Direction →

numero]. Exemplo:

Limit @1 � x, x ® 0, Direction ® 1D

-¥

Limit @1 � x, x ® 0, Direction ® -1D

¥

Derivada e a funcao que mede a inclinacao de uma reta tangente a uma

curva. No Mathematica, calcula-se atraves do comando Dt[funcao,variavel]. Ex-

emplo:

Dt Ax4+ x3, x E

3 x2 + 4 x3

25

CAPITULO 7. CALCULO I 26

Para questoes de maximizacao e minimizacao de funcoes, o software pode

ser util para encontrar os pontos maximos e m’inimos de uma funcao, tanto os

globais como os locais. Para se calcular o ponto maximo global, usa-se o comando:

Maximize[funcao,{variavel}]. Ja para o ponto mınimo global, usa-se: Mini-

mize[funcao,{variavel}]. Para pontos maximos locais: FindMaximun[funcao,{x,xo}].

Para pontos mınimos locias: FindMinimum[funcao,{x,xo}]. Sendo {x,xo} o in-

tervalo no qual se quer achar os pontos locais, tanto maximo quanto m’inimo.

Exemplo:

In[28]:= Maximize A-x2+ 2 x + 1, 8x<E

Out[28]= 82, 8x ® 1<<

Minimize Ax2+ 2 x + 1, 8x<E

80, 8x ® -1<<

In[30]:= FindMaximum A-x2+ 7 x + 3, 8x, -3, 3 <E

Out[30]= 815.25, 8x ® 3.5<<

In[29]:= FindMinimum Ax2+ 5 x + 2, 8x, -5, 5 <E

Out[29]= 8-4.25, 8x ® -2.5<<

Integral e uma funcao inversa da derivada, ou seja, uma anti-derivada. Ela

pode se dividir em dois tipos: integrais proprias ou integrais improprias, sendo

aquela uma integral que resulta em um numero, e esta uma integral que resulta e

um numero e uma constante. Para se calcular uma integral propria, usa-se o co-

mando Integrate[funcao,{variavel,limite mınimo,limite maximo}]. Caso se queira

calcular uma integral impropria, o comando e basicamente o mesmo, se diferen-

ciando pela nao-presenca do limite mınimo e do limite maximo. O comando e

Integrate[funcao,variavel]. Exemplo:

Integrate Ax5+ x2, 8x, -2, 2 <E

16

3

CAPITULO 7. CALCULO I 27

Integrate Ax5+ x2, x E

x3

3+

x6

6

Capıtulo 8

Bibliografia

Tutorial Reginaldo J. Santos

Tutorial Andre Ulitzka

Tutorial Beatriz Cristina Betin

Tutorial site www.ime.unicamp.br/marcio

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