manual mathematica 2
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FRANCISCO ALBERTO RHEINGANTZ SILVEIRA
UTILIZAÇÃO DO
MATHEMATICA COMO
FERRAMENTA DE APOIO
AO ENSINO DE
MATEMÁTICA
Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção de grau de Mestre. Curso de Mestrado em Informática, Instituto de Informática, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos da Rocha Costa Co-orientador: Prof. Dr. João Batista de Oliveira
PORTO ALEGRE
JULHO/1998
ii
TERMO DE APROVAÇÃO
iii
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação ( CIP )
S587u Silveira, Francisco Alberto Rheingantz Utilização do Mathematica como ferramenta de apoio ao ensino de matemática / Francisco Alberto Rheingantz Silveira .— Porto Alegre, 1998. . 129f. Diss. (Mestrado ) - Inst. de Informática, PUCRS
1 Informática na Educação 2.Matemática - Ensino 3.Mathematica (Software) I.Título CDD 371.39445 510.7 005.3 CDU 510
37:658.32 681.3.06
Bibliotecária Responsável:
Neiva Vieira CRB10/563
iv
AGRADECIMENTOS
Queremos deixar registrados nossos agradecimentos:
- à Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul por ter concedido licença
para que pudéssemos realizar o curso de Mestrado;
- à Direção do Instituto de Matemática da PUCRS pelo apoio que nos foi dado durante o
curso;
- ao Prof. Dr. Antônio Carlos da Rocha Costa pela orientação recebida;
- aos professores da Banca Examinadora pelas sugestões dadas que permitiram a
conclusão deste trabalho;
- aos participantes das pesquisas realizadas pela oportinidade de comprovarmos nossas
intuições;
- às Profas Dra. Helena Noronha Cury, Helena Maria Totta Silveira e Lilian Bromberg
pela colaboração recebida quando da elaboração de nosso trabalho;
- à bolsista Carolina Jaworski dos Santos que se integrou e participou de nossas
atividades.
v
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS................................................................................................. VII
RESUMO....................................................................................................................... IX
ABSTRACT ....................................................................................................................X
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 11
1.1 A Informática na Educação Matemática...................................................... 11 1.2 Motivações ....................................................................................................... 15 1.3 Organização da Dissertação........................................................................... 16
2 O MATHEMATICA ................................................................................................. 18
2.1 Considerações Iniciais .................................................................................... 18 2.2 Operações e Comandos Básicos ..................................................................... 20 2.3 Operações Algébricas ..................................................................................... 23 2.4 Funções............................................................................................................. 24 2.5 O Cálculo ......................................................................................................... 30
2.5.1 Limites.................................................................................................... 30 2.5.2 Derivadas................................................................................................ 31 2.5.3 Integrais .................................................................................................. 39 2.5.4 Séries ...................................................................................................... 42 2.5.5 Equações Diferenciais ............................................................................ 43 2.5.6 Cálculo Vetorial ..................................................................................... 44
2.6 A Álgebra Linear ............................................................................................ 47 2.7 A Programação de Pacotes............................................................................. 50
2.7.1 O Pacote TRIGRAF ............................................................................... 51 2.7.2 O Pacote POLIGRAF............................................................................. 55 2.7.3 O Notebook ANIMA .............................................................................. 58
3 METODOLOGIA UTILIZADA NAS PESQUISAS.............................................. 61
3.1 Pesquisa A........................................................................................................ 61 3.2 Pesquisa B ........................................................................................................ 66 3.3 Pesquisa C........................................................................................................ 70 3.4 Pesquisa D........................................................................................................ 73
4 ANÁLISE DAS PESQUISAS ................................................................................... 76
4.1 Pesquisa A........................................................................................................ 77 4.2 Pesquisa B ........................................................................................................ 82 4.3 Pesquisa C........................................................................................................ 90 4.4 Pesquisa D........................................................................................................ 96
5 CONCLUSÕES.......................................................................................................... 99
ANEXO A.................................................................................................................... 104
ANEXO B .................................................................................................................... 111
vi
ANEXO C.................................................................................................................... 118
ANEXO D.................................................................................................................... 119
ANEXO E .................................................................................................................... 122
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..................................................................... 124
vii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1: A estrutura do MATHEMATICA .................................................................. 18 Figura 2.2: Ícone do MATHEMATICA ........................................................................... 19 Figura 2.3: Tela inicial do MATHEMATICA.................................................................. 19 Figura 2.4: Notebook usando funções trigonométricas inversas .................................... 22 Figura 2.5: Notebook usando funções logarítmicas........................................................ 23 Figura 2.6: Funções: definição e operações.................................................................... 25 Figura 2.7: Gráfico da função f(x) = x2-x-6 ................................................................... 26 Figura 2.8: Gráfico da função g(x) = 2sen(x)................................................................. 27 Figura 2.9: Gráfico da função h(x) = ln(x) ..................................................................... 27 Figura 2.10: Gráfico das funções f(x) = x2-x-6, g(x) = 2sen(x) e h(x) = ln(x) ............... 28 Figura 2.11: Gráfico das funções f (x), f ’(x) e f ’’(x)................................................... 32 Figura 2.12: Gráfico das curvas de níveis da função g(x,y) = x3 + y3 - 1 ..................... 35
Figura 2.13: Gráfico da função ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2xcos
25)x2(sen2)x(w 22 ................................. 36
Figura 2.14: Gráfico da função derivada de w(x)........................................................... 36 Figura 2.15: Quadrado de 12 cm de lado ....................................................................... 37 Figura 2.16: Gráfico de função de duas variáveis .......................................................... 39 Figura 2.17: Área entre curvas ....................................................................................... 41 Figura 2.18: Gráfico das funções f (x) e g (x) ................................................................ 46 Figura 2.19: Tela de abertura do Pacote TRIGRAF....................................................... 52 Figura 2.20: Tela para a escolha da função F[x] ............................................................ 52 Figura 2.21: Tela para a entrada do primeiro parâmetro da função T[x] ....................... 53 Figura 2.22: Tela de saída do comando Des1................................................................. 53 Figura 2.23: Tela de saída do comando Des1................................................................. 54 Figura 2.24: Tela de saída do comando Des2................................................................. 54 Figura 2.25: Tela de saída do comando Des2................................................................. 55 Figura 2.26: Tela de abertura do Pacote POLIGRAF .................................................... 55 Figura 2.27: Tela para a escolha do polinômio f[x] ....................................................... 56 Figura 2.28: Tela de saída com os dados de f[x] ............................................................ 56 Figura 2.29: Tela de saída com o gráfico de f[x]............................................................ 57 Figura 2.30: Tela de saída com os dados de f’[x]........................................................... 57 Figura 2.31: Tela de saída com o gráfico de f’[x] .......................................................... 58 Figura 2.32: Tela de saída com os gráficos de f[x] e f’[x] ............................................. 58 Figura 2.33: Tela de entrada do Notebook ANIMA ....................................................... 59 Figura 2.34: Tela que mostra a célula de Implementação .............................................. 59 Figura 2.35: Tela que mostra a animação da senóide..................................................... 60 Figura 4.1: Gráfico da função f (x) = (x - 1)/(x + 1) ...................................................... 79
viii
Figura 4.2: Gráfico da função f (x) = x10 - x9 + 8x7 - 45................................................. 79 Figura 4.3: Gráfico da função f (x) = x10 - x9 + 8x7 - 45................................................. 80 Figura 4.4: Gráfico da função f (x) = sen x + cos x........................................................ 85 Figura 4.5: Gráficos das funções g (x) = x2 e h (x) = x2 + 50......................................... 85 Figura 4.6: Gráficos das funções t (x) e k (x)................................................................. 86 Figura 4.7: Gráfico da função p (x) ................................................................................ 87
ix
RESUMO
Em nosso contexto educacional, o computador pode ser utilizado como
ferramenta auxiliar da aprendizagem e motivadora de todo este processo que envolva
professores e alunos.
O surgimento dos sistemas de computação algébrica e o aperfeiçoamento de
suas interfaces propiciou que pesquisadores ligados à Educação Matemática
constatassem a viabilidade de seu uso no ensino.
No presente trabalho, realiza-se um estudo do software MATHEMATICA,
com o objetivo de verificar a possibilidade de seu uso como ferramenta de apoio ao
ensino de Matemática no 2º e 3º graus, relatando-se, também, experiências realizadas
com professores e alunos.
É apresentada, inicialmente, uma síntese dos comandos do software, bem
como exemplos de utilização em tópicos de Cálculo Diferencial e Integral, Equações
Diferenciais, Cálculo Vetorial e Álgebra Linear.
Também são descritos os packages TRIGRAF, POLIGRAF e o notebook
ANIMA, desenvolvidos no sistema MATHEMATICA, com o objetivo de facilitar o
trabalho dos usuários do software.
A seguir, são apresentados os resultados das pesquisas, realizadas com
alunos de 2º grau de escolas de Porto Alegre, licenciandos do curso de Matemática da
PUCRS e professores de Matemática de 2º grau.
As experiências mostraram que é viável a utilização do software no ensino
de Matemática, mas que não se pode dispensar o trabalho do professor, que vai ser
responsável pelo planejamento das atividades a serem desenvolvidas e, especialmente,
pela criação de pacotes que adaptem o software às necessidades dos conteúdos
abordados.
x
ABSTRACT
In our educational context, the computer can be used as an auxiliary tool in
learning, and a motivator of all of this process involving teachers and students.
The appearing of the algebrical computation systems and the development
of their interfaces has helped the researchers dealing with Mathematical Education to
discover the practicability of their use in teaching.
In the present work, a study is made of the software MATHEMATICA, with
the objective of checking the possibility of its use as a support tool in the teaching of
mathematics in the secondary and college levels, as well as the presentation of
experiences realized with teachers and students.
In the first moment, a synthesis can be found of the software commands, as
well as examples of the use in topics of Differential and Integral Calculus, Differential
Equations, Vetorial Calculus, and Linear Algebra.
Descriptions of the packages TRIGRAF, POLIGRAF, and the notebook
ANIMA, developed in the system MATHEMATICA, are exposed with the purpose of
easing the work of the software users.
The results of the research were reached involving students from secondary
schools, graduates from the PUCRS Mathematics Course, and secondary level school
teachers.
The experiences revealed that the use of the software is feasible in the
teaching of mathematics, but the presence of the teacher continues important, being
responsible for the planning of the activities to be performed, and especially for the
creation of packages that will adapt the software to the needs of the contents involved.
1 INTRODUÇÃO
1.1 A Informática na Educação Matemática
Ao longo de vinte e três anos de atividades docentes na Área de Matemática,
em Escolas Públicas e Particulares de 1º e 2º graus e na Pontifícia Universidade
Católica do Rio Grande do Sul, verificou-se que a aprendizagem de Matemática
representa uma grande dificuldade a ser vencida pelos alunos.
Em Congressos, Seminários e Encontros de Educação realizados no Brasil e
no Exterior, a utilização do computador como ferramenta de apoio à aprendizagem vem
sendo debatida por especialistas de várias Áreas, entre elas Informática, Educação e
Psicologia Cognitiva, como uma alternativa para enfrentar esta dificuldade.
De uma maneira geral, nos sistemas educacionais, constata-se que a
Matemática está intimamente vinculada à Educação, dado o caráter de universalidade de
ambas.
De acordo com [DAM93]:
“A única disciplina que chegou, nos sistemas educacionais, a atingir um caráter de universalidade foi a Matemática. Ela é ensinada em todo mundo, com algumas variantes que são bem mais estratégias para atingir conteúdo universalmente acordado, como devendo ser a bagagem de toda a criança que passa por um sistema escolar. A Matemática é a única disciplina que é ensinada da mesma maneira e com o mesmo conteúdo para todas as crianças do mundo.” (p. 7)
Teorias da Educação e da Psicologia, surgidas nas últimas décadas, têm
motivado reformulações no ensino de Matemática. Em [MIZ86] e [LIB85], encontram-
se considerações sobre pressupostos básicos das diversas tendências pedagógicas. Na
Pedagogia tradicional, o modelo de aprendizagem vigente é baseado na idéia de que a
aprendizagem consiste na aquisição de informações e que o aluno aprende por repetição
da matéria e realização de exercícios. Os conteúdos são transmitidos pelos professores
da forma como os receberam de seus mestres.
Por outro lado, a Pedagogia escolanovista parte do pressuposto de que a
aprendizagem é uma atividade de descoberta e que o aluno só retém o que se incorpora
12
à sua atividade pela descoberta pessoal.
A tendência tecnicista baseia-se nas teorias behavioristas, considerando que
o aprender é uma questão de modificação do comportamento e que o aluno tem
reforçada a sua aprendizagem através do uso de procedimentos como a instrução
programada.
Tendências sócio-culturais consideram que aprender é conhecer a realidade
concreta e decorre da crítica e da reflexão sobre essa realidade. Enfatizam, portanto, a
importância da construção coletiva do conhecimento.
A abordagem de cunho construtivista entende que o conhecimento é uma
construção contínua, baseada na pesquisa, na investigação, na resolução de problemas.
A aprendizagem verdadeira só se realiza quando o aluno constrói o seu conhecimento
na interação dinâmica com o meio.
Todas essas idéias perpassam o ensino de Matemática e são investigadas em
pesquisas na área de Educação Matemática. Em [CAR91] constata-se que Educação
Matemática é o estudo de todos os fatores que influenciam, direta ou indiretamente, os
processos de ensino-aprendizagem em Matemática e sua atuação sobre estes fatores.
Encontra-se, também, em [BIC91] que o conceito de Educação Matemática
implica um estudo, o mais completo possível, do significado de Homem e de Sociedade,
e à Educação Matemática deve corresponder a reflexão da medida em que ela pode
concorrer para que o homem e a sociedade satisfaçam seus destinos.
Já em [CUR94] é colocado que
“a Educação Matemática é um campo interdisciplinar, que emprega contribuições da Matemática, de sua Filosofia e de sua História, bem como de outras áreas tais como Educação, Psicologia, Antropologia e Sociologia. Seu objetivo é o estudo das relações entre o conhecimento matemático, o professor e os alunos, relações essas que se estabelecem em um determinado contexto sócio-cultural. Seus métodos são variados, porque são originários das diversas áreas que a subsidiam.” (p. 18)
Em todas as conceituações mencionadas, ficou claro que a Educação
Matemática não é uma parte somente da Matemática nem da Educação e da Psicologia,
visto que está inserida no processo de interdisciplinaridade que atende às exigências
atuais do nosso contexto sócio-cultural e histórico.
13
O ingresso da Informática no processo de ensino-aprendizagem de
Matemática foi provocado pela necessidade que tem a Educação Matemática de
acompanhar a evolução das novas tecnologias e do aumento da produtividade e
eficiência preconizado pelo mundo atual. Houve, portanto, influência do contexto sócio-
cultural em que se desenvolvem as relações entre professor e alunos em torno do saber
matemático.
A escola atual passa por um processo acelerado e irreversível de
informatização [GIR95]. Já em [STA90] constata-se ser indiscutível a importância
sempre crescente dos computadores em nossa sociedade cada vez mais complexa e que,
desde a invenção da escrita e da imprensa, nada tem causado tanto impacto social e
estimulado tantas mudanças no mundo.
Inicialmente, o uso de computadores no ensino deu-se mais no campo
tecnológico, com a preocupação de empregá-lo na própria Ciência da Computação. Só
mais tarde eles foram utilizados para reforçar a aprendizagem dos conteúdos dos
currículos escolares.
Em [STA90] vê-se que a literatura sobre o uso de computadores em
Educação apresenta diferentes conceitos e classificações de software educacional, a par
de uma grande variedade de terminologia, ocorrendo ainda a falta de consenso sobre o
significado de muitos termos empregados. É necessário, portanto, esclarecer a utilização
de algumas expressões neste trabalho.
Por recurso instrucional, entende-se todas as técnicas e materiais utilizados
no processo de ensino aprendizagem, com o propósito de tornar mais eficaz o ensino e
mais eficiente a aprendizagem [MAR88]. Por exemplo, quadro-verde, giz,
retroprojetores, diapositivos.
A expressão ferramenta de aprendizagem aproveita o significado da palavra
ferramenta, meio que permite executar um trabalho, sendo, então, considerada como o
meio utilizado pelo aluno para realizar tarefas, que podem ir da mais simples (plotagem
de um gráfico) às mais complexas, como elaboração de textos, resolução de problemas e
generalizações de regras.
14
Em [PAL95] constata-se que o computador é considerado como qualquer
ferramenta,
“em si mesmo não traz soluções para os problemas de aprendizagem de Matemática. Não há, em princípio, nenhum efeito benéfico automático ligado a seu uso. É essencial que sejam realizadas pesquisas mostrando em que circunstâncias o seu emprego pode promover ou facilitar a aquisição de conceitos e habilidades particulares. “ (p. 7)
Entre as inúmeras classificações de software educacional, concorda-se com
a que foi expressa por Taylor [TAY80] que faz uma distinção entre aprendizagem
sobre, com, ou pelo computador e optou-se pelo trabalho com, que apresenta três
categorias de uso: tutor, ferramenta e tutelado.
O computador é considerado tutor quando dirige a aprendizagem e tutelado,
no caso inverso. Quando o computador é usado por alunos ou professores como
instrumento capaz de realizar tarefas, ele é considerado como ferramenta.
Segundo [LUC97] “a tecnologia é considerada uma ferramenta, através da
qual professores e alunos se apropriam de um saber, redescobrindo e reconstruindo o
conhecimento” (p. 14). Em [GIR91], encontra-se, também, a referência à utilização do
computador como ferramenta capaz de auxiliar o aluno a construir seu conhecimento,
analisando resultados que tenham por base os experimentos e as situações que criaram.
Verifica-se, também, em [GIR96], que os softwares denominados de
ferramentas têm como características: facilidade de acesso aos programas, instruções de
fácil aprendizagem e auxílio na construção de outros softwares educacionais.
Quando um programa de computador é utilizado como ferramenta, pode
tornar-se um software educacional, dependendo da forma de aplicação e de seu uso na
tarefa de ensinar. Sistemas de Computação Algébrica, ou CAS (Computer Algebra
Systems) podem ser inseridos neste contexto. Estes sistemas oportunizam a execução de
um grande número de algoritmos além da manipulação simbólica de conceitos
matemáticos, permitindo, também, a utilização de linguagem própria de programação.
Com auxílio deles, os alunos podem executar tarefas complexas.
Entre os primeiros CAS, citam-se REDUCE (1968), MATLAB (1968) e
MACSYMA (1968). Na década de 80, os CAS evoluíram, tornando-se mais portáteis,
devido à linguagem C. A estrutura interna é normalmente constituída por um núcleo
15
(kernel) e uma biblioteca de subprogramas. Surgiram, nessa época, SIMBOLIC
MACSYMA (1985), MAPLE (1985), DERIVE (1988), MATHEMATICA (1988) e
MATHCAD (1991), cuja principal característica é a possibilidade de o usuário construir
e executar seus próprios algoritmos.
Este trabalho, pelos seus objetivos, não enfatiza um determinado modelo de
aprendizagem de Matemática, pois o professor, independentemente de suas concepções
de ensino-aprendizagem, pode servir-se dos resultados das pesquisas aqui descritas ou
dos pacotes criados através de programação no software MATHEMATICA. Esse
software pode ser empregado em uma pedagogia tradicional, por exemplo, como um
reforço para as aulas, ou então, em uma abordagem construtivista, pode ser considerado
como uma ferramenta através da qual o aluno irá interagir com o saber matemático,
construindo seu próprio conhecimento.
Ainda que se dê preferência à segunda opção, o trabalho realizado, como
parte das exigências para conclusão de mestrado em Informática, na área de Informática
na Educação, procura elucidar os aspectos mais relevantes do emprego desse sistema de
computação algébrica no ensino de 2º e 3º graus, independente da forma como o
professor concebe o ensino e a aprendizagem de Matemática.
1.2 Motivações
No emprego dos métodos tradicionais do ensino da Matemática, verifica-se
que o aluno é compelido a utilizar grande tempo na elaboração de cálculos, ficando
relegados a um segundo plano aspectos fundamentais da aprendizagem, quais sejam, a
construção de conceitos e o desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato que o
levam ao estabelecimento de conclusões. Nesta situação, o papel do professor fica quase
que restrito à transmissão de conhecimentos operacionais.
O primeiro motivo para a realização do presente trabalho foi o estudo da
viabilidade do uso de um software como auxílio ao aluno em tarefas operacionais, nas
quais se inclui a visualização de gráficos e figuras, que no ensino tradicional são
apresentados de maneira rudimentar, quando não são omitidos. Essa utilização de um
software, além de motivadora, representa uma economia de tempo para professores e
alunos.
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Ressalta-se, entretanto, que o uso da máquina não dispensa a presença do
professor e os seus conhecimentos sobre o processo ensino-aprendizagem. Cabe a ele
planejar as atividades a serem realizadas e decidir sobre a conveniência de usar o
recurso tecnológico. Dessa forma, por maiores que sejam os avanços no campo da
Informática, a metodologia de ensino continua ancorada nas concepções de ensino-
aprendizagem assumidas pelo professor e o uso que ele fará dos recursos
computacionais vai depender dessas concepções. Uma outra preocupação que se deve
ter, conforme [LUC94], é que “a proposta de uma nova educação, apoiada pelo uso dos
mecanismos da ciência e da tecnologia não deve implicar abandono dos valores do
humanismo” (p. 37).
A escolha do software MATHEMATICA foi motivada por uma análise feita
em [SIL96], através da qual se constatou seu desempenho na manipulação simbólica, no
cálculo numérico, no cálculo gráfico e a existência de vários pacotes com assuntos de
Matemática.
Outro fato que influiu nesta opção foi a difusão do referido software em
Universidades de âmbito internacional.
1.3 Organização da Dissertação
O objetivo geral do presente trabalho é implementar, no estudo de
determinados tópicos do ensino de Matemática de 2º e 3º graus, a utilização do software
MATHEMATICA como ferramenta de apoio.
Entende-se, com isso, a execução de um projeto de pesquisa que visa a obter
informações sobre as possibilidades de utilização desse software em tarefas
matemáticas, como representação gráfica de funções, análise dos gráficos e resolução de
equações polinomiais.
No capítulo 2, é feita uma análise do software MATHEMATICA,
enfatizando a viabilidade de seu uso nas mais diversas situações concernentes ao ensino
da Matemática. Para isto, foram extraídos exemplos e conceitos inseridos em livros
didáticos adotados por professores em suas atividades docentes. Ao final deste capítulo,
faz-se uma descrição dos pacotes elaborados no MATHEMATICA, que foram utilizados
17
em uma das pesquisas realizadas.
Nos capítulos 3 e 4, são apresentadas, respectivamente, a metodologia
utilizada e a análise das quatro pesquisas, realizadas com alunos de 2º grau de escolas
de Porto Alegre, licenciandos em Matemática da PUCRS e professores dessa disciplina
em escolas de 2º grau.
No capítulo 5 são apresentadas as conclusões do trabalho realizado e as
considerações finais.
Acrescentam-se, ainda, os Anexos, nos quais são apresentados exemplos
dos problemas propostos aos participantes das pesquisas, a listagem da programação dos
pacotes criados e uma análise quantitativa do software estudado. Seguem-se as
Referências Bibliográficas.
2 O MATHEMATICA
2.1 Considerações Iniciais
O MATHEMATICA é um sistema computacional que combina manipulação
simbólica, cálculo numérico, cálculo gráfico e uma sofisticada linguagem de
programação. Surgiu nos anos 80 e a primeira versão comercial foi feita por Wolfram
Research Inc. em 1988. Em janeiro de 1991 foi criada a versão 2.0 e em 1992, a versão
2.1.
O MATHEMATICA roda em microcomputadores (386, 486, Pentium,
Macintosh), em workstations (Sun, Next, etc), em mainframes ou em
supercomputadores.
Constata-se em [VAC95] que a estrutura interna do MATHEMATICA pode
ser resumida conforme figura 2.1 abaixo.
COMANDOS
KERNEL INTERFACE FRONT END
ARQUIVOS AUXILIARES
TEXTO GRÁFICOS
Figura 2.1: A estrutura do MATHEMATICA
O kernel, núcleo ou centro do software, é a parte calculadora que foi
escrita em linguagem C, com cerca de 300 000 linhas de código.
Na versão 2.0, que foi utilizada na pesquisa, a interface é for Windows,
permitindo o uso simultâneo de texto e gráfico. Há a possibilidade de operar o
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MATHEMATICA sem carregar o kernel, tornando a entrada de dados mais rápida, isto
porque esses inputs não são avaliados. A interface é do tipo front end, bem adequada a
esse tipo de software.
Depois de carregar o sistema, que é feito através do duplo clique no ícone,
mostrado na figura 2.2, aparece a tela inicial, apresentada na figura 2.3, onde é criado
um documento chamado notebook, que é a área de trabalho do usuário. É formado por
um conjunto de células, contendo textos explicativos, figuras e comandos executáveis.
Figura 2.2: Ícone do MATHEMATICA
Figura 2.3: Tela inicial do MATHEMATICA
Quando se começa a digitar na tela inicial, o MATHEMATICA,
automaticamente, cria uma célula de entrada também chamada de célula ativa. Ela é
identificada pelo símbolo ] , à margem direita, e pode ser avaliada pelo kernel. Para que
tal fato se concretize, deve-se usar a tecla insert. Ao receber este comando, o kernel é
ativado, o conteúdo da célula é processado e é gerada uma célula de saída ou célula
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inativa, marcada pelo símbolo . A célula inativa não pode ser avaliada pelo kernel.
Células podem formar grupos contendo outras células.
Em [ABE92] encontram-se cinco regras básicas de sintaxe do
MATHEMATICA:
1. Os argumentos das funções são escritos entre colchetes [ ]; parênteses ( )
são usados para operações agrupadas; vetores, matrizes e listas são representados por
chaves {} e colchetes duplos [[ ]], usados para indexação.
2. Nomes de funções, já construídas (ou embutidas), devem ter a primeira
letra maiúscula. Se o nome é composto de duas ou mais palavras, a primeira letra de
cada palavra deverá, também, ser maiúscula.
3. A multiplicação é representada por um espaço ou por um asterisco.
4. Potências são anotadas pelo símbolo ^.
5. Obtendo-se uma resposta errada, ou nenhuma, é porque um comando foi
executado incorretamente.
2.2 Operações e Comandos Básicos
Para obter-se ajuda sobre qualquer comando, pode-se proceder de duas
maneiras: digitando-se ?nome_do_comando têm-se informações sobre o mesmo, e
??nome_do_comando, são devolvidas as mesmas informações, acrescidas de algo a
mais sobre as variáveis.
Um comando básico e muito importante é clear[nome_da_variável] que
limpa, na memória, os valores das variáveis.
As operações aritméticas básicas como adição, subtração e multiplicação
são tratadas de forma bem natural, isto é, como uma calculadora. A divisão de dois
números é devolvida na forma de fração irredutível. O MATHEMATICA faz a
simplificação da fração, automaticamente. Potenciação e radiciação também são,
naturalmente, resolvidas. A forma ab é traduzida para a^b e n a para a^(1/n). Vale o
21
já consagrado comando Sqrt[a] utilizado em outras linguagens para calcular a raiz
quadrada do número a. O resultado de operações aritméticas sempre é exato. Assim, por
exemplo, se na célula de entrada coloca-se 76/18, a saída será 938 , ou, digitando-se na
entrada (-3)^(1/7), obtém-se, como saída, (-3)1/7 . Desejando-se, entretanto, uma
aproximação numérica, a mesma pode ser feita através do comando N[expressão, n] que
calcula o valor da expressão com aproximação de n dígitos.
As constantes e, π e i= −1 estão embutidas e são anotadas,
respectivamente, por E, Pi e I.
Algumas funções elementares muito usadas nas disciplinas de Cálculo
Diferencial e Integral, são reconhecidas de maneira muito simples.
A função exponencial ex é escrita como Exp[x].
A função valor absoluto |x| é anotada por Abs[x].
As seis funções trigonométricas seno, co-seno, tangente, co-tangente,
secante e co-secante são aceitas, respectivamente como, Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x],
Sec[x]. Csc[x], assim como suas funções inversas por ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x],
ArcCot[x], ArcSec[x] e ArcCsc[x].
Observa-se que, usando-se o comando N[ArcCos[2]], que calcula o valor do
arco cujo co-seno é igual a dois, com aproximação de seis dígitos, encontra-se, como
saída, o número imaginário 1.31696 I . Isto significa que o sistema trabalha sempre com
variável complexa, sem avisar ao usuário. Considerando a função Cos[x] com domínio
ℜ, seu conjunto-imagem é o intervalo real [-1;1] e, portanto sua função inversa
ArcCos[x] tem, por domínio, o intervalo real [-1;1], não sendo possível determinar
ArcCos[2]. O mesmo fato ocorre quando se calcula N[ArcSin[5]], como é mostrado na
figura 2.4.
22
Figura 2.4: Notebook usando funções trigonométricas inversas
A função logarítmica natural ou logarítmica de base e, é anotada por Log[x]
e a função logarítmica de base n é escrita como Log[n, x]. Assim, a expressão Log[a, b]
é interpretada como logaritmo de b na base a , ou seja, alnblnbloga = . Novamente,
encontram-se problemas em relação aos domínios das funções. O sistema aceita o
cálculo do logaritmo de um real negativo e também o logaritmo cuja base é um número
real menor do que zero, sem alertar que está trabalhando com variável complexa, como
fica claro na figura 2.5.
Estes dois fatos, acima comentados, acrescidos do problema das funções
inversas trigonométricas, podem induzir a erros o aprendiz da Matemática, não ficando
clara a noção de domínio de uma função.
23
Figura 2.5: Notebook usando funções logarítmicas
Duas funções elementares e interessantes são Prime[n], onde n é um número
inteiro positivo, e Mod[a, b]. A primeira retorna o valor do n-ésimo número primo e a
segunda calcula o resto da divisão de a por b. Observa-se que a função vale para
quaisquer valores complexos a e b.
2.3 Operações Algébricas
O MATHEMATICA opera com expressões algébricas.
Para fatorar-se uma expressão algébrica usa-se o comando
Factor[expressão]. Por exemplo, para fatorar o polinômio 12x2 + 27xy - 84y2 , emprega-
se Factor[12x^2 + 27*x*y - 84y^2] e obtém-se, como saída, a forma 3(4x -7y)(x + 4y).
A operação inversa também é possível de ser realizada, através do comando
Expand[expressão].
Em relação a frações algébricas, existem os seguintes comandos:
Together[expressão], Apart[expressão], Cancel[expressão], Numerator[fração],
Denominator[fração], ExpandNumerator[fração], ExpandDenominator[fração],
ExpandAll[fração].
24
Together[expressão] é uma função que retorna, como saída, a expressão
dada, escrita como uma fração. Por exemplo, Together[2/x^2 - x^2/2] dá, como
resultado, a fração 2
4
x2x4 − .
O comando Apart[expressão] decompõe a expressão dada em frações
parciais. Por exemplo, Apart[1/((x-3)(x-1))] produz a expressão )x1(2
1)x3(2
1+−
−+−
.
Para simplificar uma fração usa-se Cancel[fração].
Os comandos Numerator[fração] e Denominator[fração] determinam,
respectivamente, o denominador e numerador de uma fração.
ExpandNumerator[fração], ExpandDenominator[fração] escrevem numerador e
denominador na forma polinomial, respectivamente, enquanto que ExpandAll[fração]
escreve os dois termos, ao mesmo tempo, nesta mesma forma.
2.4 Funções
Sabe-se que um dos principais conceitos em Matemática é o de função. O
sistema, agora analisado, trata-a de uma maneira bem cuidadosa e detalhista.
Podem-se definir funções no MATHEMATICA, além daquelas que estão
prontas no sistema. Para criar novas funções deve-se, primeiramente, nomeá-las, usando
quaisquer variáveis, as quais é conveniente zerar , para evitar problemas.
Sejam as funções definidas por f (x) = x2 + 2x - 1, g (x) = 3 sen(x) + cos(2x)
e h (x) = 1x7x3 ++ . Inicialmente, usa-se o comando Clear[variáveis] para limpar, na
memória, as variáveis que terão os nomes das funções, isto é, f , g e h : Clear [f, g, h].
Posteriormente, nomeiam-se as respectivas funções, isto é, f [x_ ] = x^2 + 2*x - 1,
g [x_ ] = 3*Sin[x] + Cos[2x] e h [x_ ] = Sqrt[x^3 + 7x + 1].
Para calcular imagens de elementos do domínio, basta usar o nome da
função e o valor. Por exemplo, f [3], g [0] e h [1] resulta em 14, 1 e 3, respectivamente.
Os comandos, para expressões algébricas valem, igualmente, para funções, que também
podem ser operadas entre si.
25
Tudo o que é válido para funções de uma variável pode ser estendido às de
duas ou mais variáveis ou funções vetoriais. Assim, por exemplo, define-se a função de
três variáveis f [x_ , y_ , z_ ] = 4x - 8y + 3 z, ou a função vetorial de duas variáveis
g[x_ ,y_ ]={Cos[x^2 - y^2], Sin[y^2 - x^2]}.
Figura 2.6: Funções: definição e operações
Na figura 2.6 podem-se constatar as operações com funções. Partindo-se das
que já foram definidas e usando as operações de adição e multiplicação, obtém-se
(f+g)(x) e (fg)(x) nas células de saída.
A composição também é possível ser realizada. Para compor as funções f1,
f2, f3, f4, ..., fn, usa-se o comando Composition[f1,f2,f3,...,fn][x]. A forma f [g [h [x] ] ]
também calcula a função composta f(g(h(x))). Para realizar uma autocomposição, ao
invés de utilizar-se a expressão f [f [f [f [x] ] ] ] pode-se fazê-lo com Nest[f, x, 4], onde f
é o nome da função, x é o nome da variável e 4 é o número de vezes que f se compõe
com si mesma.
Em [ABE92] encontra-se um exemplo que agora será analisado. A primeira
entrada é dada pelo comando Factor[x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, Modulus->5] cuja célula
de saída é (4 + x)4 , uma fatoração do polinômio x4 + x3 + x2 + x + 1 em módulo 5. Isto
26
significa que, ao efetuar-se (4 + x)4 obtém-se x4 + 16x3 + 96x2 + 256x + 256 e se sobre
este último for aplicada a divisão módulo 5, para cada coeficiente, chega-se a
x4 + x3 + x2 + x + 1. Então, a operação de volta é feita pelo comando
PolynomialMod[Expand[(x+4)^4], 5].
Uma das grandes características do MATHEMATICA é sua capacidade
gráfica. Isto é muito importante para o estudo de funções. Usando o comando
Plot[f[x],{x, a, b}], está se criando o gráfico da função f de variável x cujo domínio é o
intervalo real [a, b]. Pode-se sofisticar o gráfico de qualquer função através da instrução
dada por Plot[f[x],{x,a,b}, PlotStyle->GrayLevel[w]], onde w é um número real entre 0
e 1 significando tonalidades da cor cinza. Para GrayLevel[1] temos a cor preta e para
GrayLevel[0], a cor branca. Se o monitor for colorido pode-se usar
Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->RGBColor[r,g,b]], onde r, g e b são números reais entre 0
e 1, representando as cores vermelha, verde e azul respectivamente.
As figuras 2.7, 2.8 e 2.9 mostram os gráficos das funções de variáveis reais
definidas por f (x) = x2 - x - 6 , g (x) = 2 sen(x) e h (x) = ln(x) nos respectivos
intervalos reais [-4, 4], [-2π, 2π] e [1, 5].
Figura 2.7: Gráfico da função f(x) = x2-x-6
27
Figura 2.8: Gráfico da função g(x) = 2sen(x)
Figura 2.9: Gráfico da função h(x) = ln(x)
Observa-se, na figura 2.9, que o eixo vertical intercepta o horizontal no
28
ponto x=1 e não x = 0. Isto se deve ao fato de calcular a função h(x) no intervalo real
[1,5].
Nota-se que os eixos cartesianos não possuem nomes. Pode-se rotulá-los
usando opções do comando Plot, bem como colocar título no gráfico. Por exemplo, a
instrução Plot[ArcSin[x], {x,-1,1}, PlotStyle -> RGBColor[0,0,1], DefaultFont ->
{“Venice”,12}, PlotLabel -> “ArcSin(x)”, AxesLabel -> {FontForm[“Eixo dos
X”,{“Times”,12}],FontForm[“Eixo dos Y”,{“Times”,12}]}] informa que o gráfico da
função ArcSin na variável x, cujo domínio é o intervalo real [-1,1], será desenhado com
o nome ArcSin(x), escrito na parte de cima, com letra da fonte Venice, de tamanho 12 e
cada eixo será rotulado com letras da fonte Times, tamanho 12, utilizando as expressões
“Eixo dos X” na horizontal e “Eixo dos Y” na vertical.
Pode-se representar as funções f (x), g (x) e h (x), definidas, anteriormente,
no mesmo gráfico, usando o comando Show[plotf, plotg, ploth], conforme se vê na
figura 2.10.
Figura 2.10: Gráfico das funções f(x) = x2-x-6, g(x) = 2sen(x) e h(x) = ln(x)
Muitas funções matemáticas são definidas por mais de uma sentença.
29
Considera-se a função com domínio em [-3, 3].
Escrevendo-a na linguagem do MATHEMATICA, digita-se :
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+−≤<−
−≤+
=2xpara11x32x2parax
2xpara6x2
)x(f 2
h [x_ ]:= x^2 /; -2 < x <= 2
h [x_ ]:= 11-3x /; x >2
h [x_ ]:= 6+2x /; x<=-2 , e, finalmente, Plot[h[x],{x,-3,3}].
Funções podem ser definidas recursivamente. Assim, a função definida por
se enquadra neste caso e é aceita pelo software,
igualmente, sem problemas.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−<≤−−
≤≤=
1xpara)2x(f0x1para1
1x0para1)x(f
O MATHEMATICA pode resolver muitas equações, de forma exata, usando
o comando Solve[expressão1 = = expressão2]. Para resolver a equação x2 - 5x + 6 = 0
digita-se Solve[x^2-5x+6 = = 0] e tem-se, como saída, {{x->3},{x->2}}. Já em
sen2(x)-2sen(x)-3 = 0, é devolvida a solução {{Sin[x]->-1},{Sin[x]->3}} que no
universo dos números reais não é verdadeira. Cabe aqui a mesma observação, já feita,
de que o usuário do sistema deva ter um conhecimento razoável de Matemática e uma
postura crítica perante os dados obtidos.
Sistemas de equações também são resolvidos, usando-se o comando Solve.
Para obter-se a solução do sistema deve-se entrar na célula de input
com Solve[{2x-3y+4z = = 2},{3x-2y+z = = 0},{x+y-z = = 1},{x,y,z}]. Observe-se que
as variáveis em questão devem ser indicadas entre chaves, no final do comando. Na
célula de output estará escrito
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+=+−=+−
1zyx0zy2x3
2z4y3x2
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >−>−>−
23z,
59y,
107x . Qualquer equação
polinomial ou sistema de equações polinomiais, de grau igual ou menor do que quatro,
são resolvidos de forma exata. Nos demais casos é feita uma aproximação.
Uma das maneiras de fazer essa aproximação é usar o comando
30
NSolve[expressão1 = = expressão2]. Para encontrar as raízes do polinômio
x7 + 6x6 - x5 + 4 x2 - x + 1, escreve-se NSolve[x^7+6x^6-x^5+4x^2-x+1 = = 0, x] e
obtém-se, como resultado, na célula de saída, {{x -> -6.1651}, {x -> -0.697681-
0.651704 I}, {x -> -0.697681+0.651704 I}, {x -> 0.108039-0.472074 I},
{ x -> 0.108039+0.472074 I}, {x -> 0.672193-0.554029 I},
{x -> 0.672193+0.554029 I}.
O comando Solve é igualmente aplicado a equações algébricas, onde uma
variável é função de outras. Por exemplo, a equação V = π r2 h, que representa o volume
de um cilindro circular, pode ser resolvida usando-se a variável r em função de V e h.
Assim, com a sintaxe do sistema, escreve-se Solve[V = = Pi r^2 h, r] e tem-se, como
resultado, {{r → 2/1P2/1
2/1
ih
v− }, {r →
2/1P2/1
2/1
ih
v }}. Vê-se que existe uma solução real
negativa que deve ser ignorada, pois o raio do cilindro é, necessariamente, um número
real positivo.
2.5 O Cálculo
Far-se-á, agora, um rápido comentário sobre comandos que o
MATHEMATICA usa para o cálculo infinitesimal, diferencial e integral.
2.5.1 Limites
Limit[expressão, x->a] calcula o limite da expressão quando a variável x se
aproxima do valor a. Assim, para determinar 21x32x13
15x4x3lim2
2
3x −+
−+−→
, usa-se
Limit[(3x^2+4x-15)/(13x^2+32x-21),x->-3] cuja saída é 723
. Ao digitar-se, na entrada,
Limit[(50-17x^2)/(200x+3x^2), x->Infinity], isto é , o limite da função definida por
f(x) = 2
2
x3x200x1750
+
− quando a variável x se aproxima do infinito, a saída será −(173
). O
mesmo ocorre quando o comando de input é Limit[(3-x^2)/(4-1000x),x->Infinity] que
devolve Infinity.
31
O comando Simplify[expressão] simplifica a expressão dada entre
colchetes. A seguinte seqüência de comandos calcula a derivada de função, usando a
definição:
f [x_ ]:= 3x^2-4x+8 (define a função f(x) )
s = Simplify[(f[x+h] - f[x]) / h] (simplifica a expressão)
Limit [s, h->0] (calcula o limite da expressão s).
Para calcular limites à direita ou à esquerda usa-se a opção Direction no
comando Limit. Assim, Limit[1/x, x->0, Direction->-1] determina o limite da função
definida por f (x) = 1/x quando a variável x se aproxima de zero pela direita.
2.5.2 Derivadas
Para determinar-se a derivada de uma função f (x) usam-se duas opções. A
primeira é f ’[x] e a outra, D [f [x],x]. Para obter a derivada de ordem n, usa-se
D[f[x],{x,n}]. Por exemplo, o comando D[(3x^2-5x+9)(x^3-8),{x,4}] determina a
derivada de quarta ordem da função definida por 8x
9x5x3)x(f 3
2
−
+−= dando,
como resultado, 216 x + 24 (-5 + 6 x ). Pode-se obter a saída na forma
não fatorada, empregando, conjuntamente, o comando Expand, isto é,
Expand [D [(3x^2 - 5x + 9)(x^3 - 8),{x, 4}] ] .
Encontra-se em [ABE92] um exemplo que mostra como determinar os
pontos críticos e os pontos de inflexão de uma função. Seja a função de variável real
definida por f (x) = 2x3 - 9x2 + 12x. Usando os comandos do MATHEMATICA, tem-se:
In[1]:= (primeira entrada de dados)
f [x_ ]:= 2x^3-9x^2+12x (define a função f(x))
Out[1]= (primeira saída de dados)
12 x - 9 x2 + 2 x3 ( polinômio que representa f(x))
In[2]:= (segunda entrada de dados)
32
f ’[x] (determina a derivada primeira de f(x))
Out[2]= (segunda saída de dados)
12 - 18 x + 6 x2 (polinômio que representa f ’(x))
In[3]:= (terceira entrada de dados)
f ’’[x] (determina a derivada segunda de f(x))
Out[3]= (terceira saída de dados)
-18 + 12 x (polinômio que representa f ’’(x))
In[4]:= (quarta entrada de dados)
Plot[{f[x],f’[x],f’’[x]},{x,-1,4},
PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],
RGBColor[0,1,0,],
RGBColor[0,0,1]}] (desenha os gráficos em cores diferentes de
f(x), f ’(x) e f ”(x) no mesmo sistema de
eixos)
Out[4]= (quarta saída de dados)
Figura 2.11: Gráfico das funções f (x), f ’(x) e f ’’(x)
In[5]:= (quinta entrada de dados)
33
Factor[f ’[x]] (fatora a expressão contida em f ’[x])
Out[5]= (quinta saída de dados)
6 (-2 + x) (-1 + x) (polinômio que representa f ’(x) fatorado)
In[6]:= (sexta entrada de dados)
Solve[f[x] = = 0] (resolve a equação f(x) = 0)
Out[6]= (sexta saída de dados)
{{x->0},{x->4
]15[Sqrt9 −+ },
{x->4
]15[Sqrt9 −− }} (as raízes da equação f (x) = 0)
In[7]:= (sétima entrada de dados)
Solve[f ’[x] = = 0] (resolve a equação f ’(x) = 0)
Out[7]= (sétima saída de dados)
{{x -> 2},{x -> 1}} (raízes da equação f ’(x) = 0)
In[8]:= (oitava entrada de dados)
Solve[f ’’[x] = = 0] (resolve a equação f ’’(x) = 0)
Out[8]= (oitava saída de dados)
{{x -> 32
}} (raiz da equação f’’(x) = 0)
Conclui-se que os pontos críticos da função f (x) são (1, f(1)) e (2, f(2)) e o
ponto de inflexão é (3/2, f(3/2)). Este problema é um dos tradicionais apresentados em
aulas de Cálculo Diferencial e Integral.
Em [RIG81], encontra-se o clássico teorema sobre máximos e mínimos de
uma função, que é apresentado a seguir:
34
Seja f (x) uma função contínua e derivável até segunda ordem no intervalo
aberto ]a,b[ onde f ’(x) e f ’’(x) são também contínuas. Seja x0 ∈ ]a,b[ tal que f ’(x0) = 0.
Então,
a) se f ’’(x0) < 0 , x0 é ponto de máximo local de f(x).
b) se f ’’(x0) > 0 , x0 é ponto de mínimo local de f(x).
Considere-se a função definida por f (x) = x4 - 8x2 + 2 ; usando o
MATHEMATICA, serão determinados os pontos de máximo e de mínimo locais.
Primeiramente se define a função pelo comando f [x_ ]:= x^4 - 8x^2 + 2.
Posteriormente são calculadas as funções derivadas de primeira e segunda ordem,
através de f ’[x] e f ’’[x], que é devolvido nas células de output como -16 x + 4 x3 e
-16 + 12 x2, respectivamente. Calculando as raízes de f ’(x) = 0 pela instrução Solve
[f ’[x] = = 0] , encontra-se {{x -> 2},{x -> -2},{x -> 0}} e substituindo esses valores em
f ’’(x), isto é, f’’[2], f’’[-2], f’’[0], obtém-se 32, 32 e -16, respectivamente. Conclui-se,
então, que 0 é um ponto de máximo local, 2 e -2 são pontos de mínimo local.
Pode-se, também, derivar uma função implicitamente. Para encontrar dxdy
em relação à função definida por x3 + y3 = 1, usa-se o comando Solve[Dt[x^3+y^3 = =1,
x], Dt[y,x]], isto é, a derivada em relação à variável x na equação x3 + y3 = 1. Encontra-
se, então, na célula de saída, a expressão{{Dt[y,x] -> -(2
2
yx )}}.
Usando o comando ImplicitPlot[equação, {x, xmin, xmax}], imprime-se o
gráfico da função implícita na variável x entre os valores xmin e xmax. Querendo-se o
gráfico das curvas de níveis da função, usa-se ContourPlot[g[x,y], {x, xmin,xmax}, {y,
ymin,ymax}}. Por exemplo, considerando a equação já definida por x3 + y3 = 1,
escreve-se a função implícita g (x,y) = x3 + y3 - 1, e o gráfico das curvas quando
g (x,y) = 0 é solicitado por ContourPlot[g[x,y],{x, -2, 2} {u, -2, 2}], apresentado na
figura 2.12.
35
Figura 2.12: Gráfico das curvas de níveis da função g(x,y) = x3 + y3 - 1
Pode-se resolver problemas de reta tangente a uma curva usando o
MATHEMATICA. Em [ABE92] encontra-se o seguinte exemplo:
Seja ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2xcos
25)x2(sen2)x(w 22 no intervalo ]0,π[. Localizar os
valores de x para os quais a reta tangente à curva determinada por w (x), no ponto
(x, w (x)), é horizontal.
Inicialmente, define-se a função w (x) na célula de entrada por
w[x_]:=2(Sin[2x])^2+5/2x(Cos[x/2])^2 obtendo-se, na saída, 2
2
]x2[Sin22
2xCosx5
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
.
Elabora-se, agora, o gráfico desta função no intervalo [0, π], usando Plot[w[x],{x,0,Pi}],
conforme é apresentado na figura 2.13.
36
Figura 2.13: Gráfico da função ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2xcos
25)x2(sen2)x(w 22
Observando-se o gráfico, verifica-se que existem três pontos para os quais a
reta tangente é horizontal. As abscissas desses são os valores de x em que w’(x) é zero.
A expressão w’(x) = 0 é uma equação não polinomial e o MATHEMATICA não pode
resolvê-la usando o comando Solve ou NSolve. Usa-se, então, FindRoot que vai
aproximar soluções à ideal. O gráfico de w’(x) é dado por Plot[w’[x],{x, 0, Pi}], cuja
saída está representada na figura 2.14.
Figura 2.14: Gráfico da função derivada de w(x)
Neste gráfico, observa-se que a curva que representa a derivada de w(x)
intercepta o eixo dos X aproximadamente nos pontos x1 = 0.8, x2 = 1,6 e x3 = 2.25, mas
isto é uma aproximação bastante grosseira. O comando FindRoot[{w’[x] = = 0, {x,.8}]
vai encontrar uma raiz de w’(x) = 0 mais próxima do valor dado 0.8, o mesmo
acontecendo com FindRoot[w’[x] = = 0, {x, 1.6}] e FindRoot[w’[x] = = 0, {x, 2.25}].
Assim, obtêm-se as raízes, ou os pontos procurados, que são 0,864194, 1,62391 e
2.24489.
Em [LEI82a] encontra-se o Teorema do valor extremo, cujo enunciado é o
37
seguinte:
Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b], então f tem um valor
máximo absoluto e um valor mínimo absoluto em [a, b].
Também em [LEI82a] destaca-se o seguinte problema:
“Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas de pedaços
de papelão de 12 cm quadrados, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e
dobrando os lados. Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar
para obter uma caixa, cujo volume seja o maior possível.” (p. 156)
Para solucionar esse problema, vamos primeiramente considerar x como
sendo o número de centímetros no comprimento do lado do quadrado a ser cortado e V
como sendo o número de centímetros cúbicos no volume da caixa. As dimensões da
caixa, em centímetros, são x, (12 - 2x) e (12 - 2x). A figura 2.15 representa um
quadrado de papelão com 12 cm de lado.
x cm
12 cm
Figura 2.15: Quadrado de 12 cm de lado
O volume da caixa é o produto de três dimensões, e assim V é uma função
de x definida por V (x) = x (12 - 2x) (12 - 2x) cuja sintaxe no MATHEMATICA é:
V[x_ ]:= x (12 - 2x) (12 - 2x) .
Calculando as raízes desta equação por Solve[x(12-2x)(12-2x) = =0],
obtém-se {{x -> 6}, {x -> 6}, {x -> 0}}. Se x = 0, então V = 0 e se x = 6 então V = 0.
Assim, o valor de x que se quer encontrar está no intervalo fechado [0, 6]. A função V
(x) é contínua no intervalo fechado [0, 6] e segue como conseqüência do teorema do
valor extremo, em que V (x) tem um valor máximo absoluto nesse intervalo. Sabe-se,
38
também, que este valor máximo absoluto de V deve ocorrer num número crítico, ou
num dos extremos do intervalo. Para se encontrar os números críticos de V (x),
determina-se V’(x), e, depois, os valores de x para os quais V’(x) = 0 ou V’(x) não
existe.
Entrando com V’[x], obtém-se, na saída, 144 - 96x + 12x2 , isto é, a função
derivada de V(x). V’(x) existe para todos os valores de x e, resolvendo a equação
V’(x)=0, ou seja, Solve[V’[x] = = 0], encontra-se {{x -> 6}, {x -> 2}}. Então, os
números críticos de V(x) são 2 e 6. O valor máximo absoluto de V(x) deve ocorrer num
número crítico ou num dos extremos do intervalo. Calculando V[0], V[6] e V[2]
encontra-se 0, 0 e 128, respectivamente, concluindo-se que o valor máximo absoluto de
V(x) em [0, 6] é 128 e ocorre em 2. Portanto, o volume máximo possível é de 128 cm3 e
é obtido quando o comprimento do lado do quadrado cortado for de 2 cm.
Derivadas parciais são calculadas, também, de maneira simples:
Seja a função de duas variáveis definida por f [x_ ,y_ ] = (x^2 +y^2)^(1/3).
Então:
D [f [x, y], x] é a derivada parcial de f (x,y) em relação à variável x;
D [f [x, y],{y, 3}] é a derivada parcial de terceira ordem em relação à
variável y
e D[ f [x, y], y, x] é a derivada parcial de segunda ordem em relação às
variáveis y e x respectivamente.
Em [ABE92] encontra-se um problema sobre plano tangente a uma
superfície. Seja z = f (x,y), então, a função que descreve o plano tangente ao gráfico de
z = f (x,y) no ponto (x0, y0, z0 = f (x0, y0)) é dada pela equação
(x, y) = fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0)+z0. Como exemplo, será determinada a equação
do plano tangente ao gráfico da função definida por no ponto
(5,0).
22 yxxye6)y,x(f −−=
Define-se, primeiramente, a função de duas variáveis f (x,y) pelo comando
f[x_, y_ ] = -6 x y E^(-x^2 - y^2) e faz-se seu gráfico, através da instrução
Plot3D([f[x,y],{x,-1.5,1.5},{y,1.5,1.5}, Ticks -> {{-1,0,1},{-1,0,1},{-1,0,1}},
39
PlotPoints -> 30] . A opção Ticks indica quais valores das respectivas variáveis serão
escritos nos eixos e a PlotPoints define o número de pontos considerados (30 valores
para x e 30 para y). Isto é observado na figura 2.16.
Figura 2.16: Gráfico de função de duas variáveis
Usando D[f[x, y], x] /. x->.5 /. y->0, calcula-se a derivada parcial da função
f(x,y) em relação à variável x quando x = 0,5 e y = 0, cujo resultado é 0. Analogamente,
D[f[x, y], y] /. x->.5 / y->0 para a variável y, que vale -2,3364. Assim, o plano tangente
é definido pela equação z = 0(x - .5) - 2.3364(y - 0) ou z = - 2.3364 y.
2.5.3 Integrais
A integral indefinida de uma função é dada pelo comando Integrate[função,
variável]. Deve-se observar que esse comando vale para funções de uma ou mais
variáveis. Vejam-se alguns exemplos.
Integrate[x, x] calcula a integral da função definida por f (x) = x em relação
à variável x. O resultado é 2
x 2.
Para calcular a integral da função definida por f (x) = ex cos (x), usa-se a
40
sintaxe Inte cuja saída é grate[Exp[x] Cos[x], x] , 2
]x[SinE]x[CosE xx+ . E, para
determinar ∫∫∫
2
, digita-se Integrate[x^3 Cos[9y] - 2 z^5, x, y,z]
e obtém-se
− dxdydz)z2)x9cos(x( 53
36
]y9[Sinzx3
)zyx(+
− .
também calcula integrais definidas em um intervalo,
o a expressão Integrate[f[x], {x, a, b}]. Assim, para determinar-se
46
O MATHEMATICA
isto é, usand∫b
adx)x(f
dx)x49)(x1(0
22 ++
x271 2∫
+ , escreve-se Integrate[(7+2x^2)/((1+x^2)(9+4x^2)),{x,0,1}],
obtendo-se,3
] como resultado, 3
4Pi
− .
Em [ABE92] encontra-se uma observação importante relativa à integral
definida. Quando se usa o comando Integrate[f[x], {x, a, b}] para calcular a integral de
f(x) no intervalo [a, b], o sistema computa a anti-de
2[ArcTan
rivada F (x) de f (x) e determina
F(a)-F(b). No entanto, o MATHEMATICA não aplica o Teorema Fundamental do
Cálculo, cujo enunciado é
o fechado [a, b] e F uma função tal
que F ’(x)
casos, quando f não é contínua, ocorrem erros. Por exemplo, calculando-se a integral da
encontrado em [LEI82a]:
Se f é uma função contínua no interval
= f (x) para todo x em [a, b], então ∫ −= )a(F)b(Fdt)t(f .
Assim, ele não verifica se a função f é contínua no intervalo [a, b]. Nestes
função definida por
b
a
x1)x(f = no intervalo [-1, 1] (na sintaxe do MATHEMATICA,
Integrate[1/x,{x,-1,1}]) o resultado será -I
uma integral im
ida algebricamente.
Pi, o que não está correto, pois trata-se de
própria que diverge.
Integrais de algumas funções não são avaliadas pelo MATHEMATICA
(verificada pela célula de saída que é igual à de entrada). Isto significa que a integral
não foi resolv Nestes casos, se a integral for propriamente definida,
41
pode-se usar a função numérica NIntegrate[f[x],{x, xmin, xmax}]. É o caso da função
definida por no intervalo [0, π1/3]. Usa-se, então, a expressão para
integração
0.701566.
Um problema clássico do Cálculo Integral é o cálculo da área entre curvas:
)xcos(e)x(f 3x2−=
numérica NIntegrate[Exp[-x^2]Cos[x^3],{x,0,Pi^(1/3)}], cujo resultado é
Determinar a área entre as curvas definidas pelas funções
32x56x28x4)x(ge1x12x18x11x3x103)x(f 345 +−= 232 +−+−=++− . Para
isto, escrev imeiramente, as funções e desenham-se os seus gráficos que são
mostrados na figura 2.17.
In[1]:=
f [x_ ] = 3x^5/10-3x^4+11x^3-18x^2+12x+1
g [x_ ] = -4x^3+28x^2-56x+32
Plot[{f [x],g [x]},{x,-1,5}]
Out[1]=
em-se, pr
Figura 2.17: Área entre curvas
Resolvendo a equação f (x) = g (x), isto é, Nsolve[f [x] = = g [x], x ]
encontram-se as raízes {{x ->0.772058},{x->1.5355-3.57094I},{x->1.5355+3.57094 I},
mente ao [2.29182, 3.86513]. Assim,
{x->2.29182},{x->3.86513}}. Isto significa que f(x) > g(x) para x pertencente ao
intervalo [0.772058, 2.29182] e f(x) < g(x) relativa
42
uma aproximação da área limitada por f(x) e g(x) é dada pela integral
∫ ∫+−29182,2 86513,3dx))x(g)x(f( −772058,0 29182,2 dx))x(f)x(g( que é computada pela fórmula
Integrate[(f
nto do arco do gráfico da função definida por
f(x)=sen(πs lica-se a fórmula
[x]-g[x]),{x, .772058, 2.29182}] + Integrate[(g[x]-f[x]),{x, 2.29182,
3.86513}] e cuja saída é 12.1951.
Para calcular o comprime
dx))x('f(1c 54
2∫ +=en(x-2)2) no intervalo [4, 5] ap , ou
seja, na notação do MATHEMATICA:
f [x_ ] = Sin[Pi Sin[(x - 2)^2]]
por
g (x) = x no intervalo [2, 7] usando c[g,x,{2,7}]. Definindo-se h [x_ ] = 4x^3-5x+9 e
querendo-se calcular o comprimento do arco dessa curva no intervalo [8,34] com doze
-se N[c[h,x,{8,34}],12]. Obtém-se como resultado 155038.003994.
Em [LEI 82b] constata-
eros inteiros positivos. Se {un} é uma seqüência e
então, a seqüência {S } é chamada uma série
infinita.
rie da forma
2
0n
nn +−++−+−+=−∑
NIntegrate[Sqrt[1+(f’[x])^2],{x,4,5}], tendo como resultado 5.88736.
Pode-se, também, generalizar a expressão que calcula o comprimento de
arco, da seguinte maneira: c[f_ ,x_ ,{a_ ,b_ }]:= NIntegrate[Sqrt[1+(f’[x])^2],{x,a,b}],
onde c é uma função da variável x no intervalo [a, b], definida pela fórmula da direita da
igualdade. Assim, pode-se calcular o comprimento do arco na curva definida2
dígitos, escreve
2.5.4 Séries
se que seqüência é uma função cujo domínio é o
conjunto dos númn
n3211i
in u...uuuuS ++++== ∑=
n
Em [RIG82], toda sé
...)ax(a...)ax(a)ax(aa)ax(a nn210
∞
=, onde a , a , a , ...,
esejando-se escrever os seis pri
0 1 2
an, são constantes, chama-se série de potências.
D meiros termos da função definida por
43
f(x)=ex como uma série de potências, usa-se o comando Series[Exp[x], {x,0,5}]. E o
resultado é 65432
]x[0120x
24x
6x
2xx1 ++++++ , onde 0[x]6 significa os outros termos.
Ao se digitar Normal[[Exp[x], {x,0,5}]], a saída será 120x
24x
6x
2xx1
5432+++++ .
Pode-se, também, trabalhar com séries com duas variáveis. Por exemplo, a
função definida por f (x, y) = (ex - ey)xy pode ser desenvolvida em série de potências,
usando o MATHEMATICA, isto é, Series[(E^x - E^y) x y, {x, 0, 2}, {y, 2, 5}].
Encontra-se, na saída:
−+−−+−−+− 2222 )y2(E2)y2)(E31()E1(2(
120)y2(E7
4)y2(E
6)y2(E5)y2(E2
52423222 +−
−+−
−+−
−+−
6 326 ]x[0x]y2[0)y2(2(x)]y2[0 +−++−++− .
Consultando [QUI69], verifica-se que equações diferenciais constituem um
dos capítu
ial é aquela que estabelece uma relação entre uma
função y = f (x) e uma ou várias de suas derivadas y’, y’’, y’’’, etc. A ordem de uma tal
equação é todas as
funções y = f (x) que a verificam .
xemplo: seja a equação diferencial de primeira ordem
x dx + y dy = 0,
por integração, tem-se
2.5.5 Equações Diferenciais
los mais importantes da Matemática superior, pois elas têm inúmeras
aplicações.
Uma equação diferenc
a da derivada de maior ordem. Integrar a equação é encontrar
Assim, por e
∫ ∫ +−= Cydyxdx
C2
y2
x 22+−=
44
C2yx 22 =+ , equação de uma família de círculos.
Usando o MATHEMATICA, resolve-se a equação
)xx(xy 3 +−=+ : dxdy)x1( 2+
Dsolve[(1+x^2)y’[x]+x y[x] = = -(x^3+x), y[x],x],
e obtém-se }}]x1[Sqrt3
)3
(]x[y{{2+
+−−>− .
ontra-se a equação diferencial
]1[Cx1 2
Em [AYR74] enc
0y)6x4(dy)7x4(dx
yd)2x( 2
2=++−−− . Para resolvê-la, o sistema usa o comando
dx
DSolve[(x-2) y’’[x]-(4x-7) y’[x] + (4x+6) y[x] = = 0, y[x],x] que devolve o seguinte
resultado :
- 4 x C[2] + x2 C[2] + 4 C[1] C[2] -
2 Sqrt[-2 + x])}}
2.5.6 Cálc
icas e
esféricas, as quais são indicadas pela instrução SetCordinates[sistema] , onde sistema é
uma variáv l, Spherical}.
Se f é uma função de três variáveis x , y e z e se as derivadas parciais fx , fy e
fz existem, então o gradiente de f, denotado por
{{y[x] -> (E2 x + Log[-2 + x]/2 (2C[1]
C[1] C[2])) / (2
ulo Vetorial
Para se trabalhar com operadores e funções do Cálculo Vetorial, deve-se,
primeiro, carregar o pacote VectorAnalysis.m que está contido no subdiretório
packages\calculus. O MATHEMATICA reconhece coordenadas cartesianas, cilíndr
el que assume valores no conjunto {Cartesian, Cylindrica
Consultando [LEI82b]encontra-se a seguinte definição:
f∇ (leia delta f) é definido por
)z,y,x(f k)z,y,x(fj)z,y,x(fi)z,y,x(f zyx ++= .
Em [ABE92] encontra-se o seguinte problema: Dada a função defini
∇
da por
f(x,y,z) = Cos (x y z), encontrar o seu gradiente. Primeiro, carrega-se o pacote
45
VetorAnaly ma de coordenadas a ser utilizado através de
Depois, define-se a função f (x,y,z) pela entrada f [x_ ,y_ ,z_ ] = Cos [x y z].
Para calcul ]], cuja saída é
F(x,y) e G(x,y) têm suas primeiras derivadas parciais contínuas num disco aberto B em
onalmente lisa, situada inteiram
se
sis.m e indica-se o siste
<<Vector Analysis.m
SetCoordinates[Cartesian].
ar o gradiente de f(x,y,z), usa-se o comando Grad[f[x,y,z
{-{y z Sin[x y z], -{x z Sin[x y z]}, -{x y Sin[x y z]}}.
O Teorema de Green [LEI82b] diz que se duas funções de duas variáveis
ℜ2 , se C é uma curva fechada simples, secci ente em B e
R é região definida por C, então dAyx
dy)y,x(Gdx)y,x(F∫ ∫∫FG
R⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂ . O símbolo =+
∫ indica a integral de linha a curva. no sentido anti-horário em torno de um
Pode-se calcular a integral ∫ +++C
y dy))xcos(y2(dx)ex( onde C é a
2 2fronteira da região limitada por y = x e por x = y , através desse sistema de computação
algébrica. I trado com a seguinte seqüência de comandos:
(definição da função g (x))
olor[0,1,0],
tio -> 1] (gráfico de f (x) e g (x))
sto é mos
In[1]:=
f [x_ ] = x^2 (definição da função f (x))
g [x_ ] = Sqrt[x]
Plot[{f[x],g[x],{x,0,1.5},
PlotStyle -> {RGBC
RGBColor[0,0,1]},
AspectRa
Out[2]=
46
x2 (função f (x))
(função g (x))
Out[4]=
Out[3]=
Sqrt[x]
Figura 2.18: Gráfico das funções f (x) e g (x)
] = = g [x], x] (solução da equação f (x) = g (x))
, x -> (-1)2/3}, -> (- 4/3},
(raízes da equação f (x) = g (x))
]
] = 2 y +Cos[x] (definição da função G (x,y))
In[2]:=
Solve[f [x
Out[5]=
{{x -> 1} { {x 1)
{x -> 0}
In[3]:=
F [x_ ,y_ ] = x Exp[Sqrt[y] (definição da função F (x,y))
G [x_ ,y_
Out[6]=
47
Esqrt[y] + x
[x]
y, f[x], g[x]}] (cálculo da integral)
Out[
Out[7]=
2 y + Cos
In[4]:=
Integrate[D[F[x, y], x]-D[G[x ,y], y],
{x,0,1}, {
8]=
−( )13
(resultado final)
2.6 A Ál
[i] é chamado i-ésimo elemento da lista L.
Listas podem ser definidas de várias maneiras. São objetos totalmente tipados e criados,
usando-se o
in], f [i+intv], f[i+2inv], ..., f [imax]}. O comando Array[f, n] determina a lista
dada por {f [1], ..., f [n]}. Assim, Table[i^2+1, {i,1,5}] devolve a lista {2, 5, 10, 17,
26}.
gebra Linear
Listas são objetos do MATHEMATICA escritos da forma L = {elem[1],
elem[2], ..., elem[n-1], elem[n]}, onde elem
s comandos Table ou Array.
Dada uma função f cujo domínio é o conjunto dos números inteiros não
negativos e um número inteiro positivo n, o comando Table[f [i], {i,n}] cria uma lista da
forma {f [1], f [2], ..., f [n]} e Table[f [i], {i,n,m}] fornece uma lista que é escrita como
{f[n], f [n+1], ..., f [m-1],f [m]}. Já a expressão Table[f[i], {i,0,n}] cria a lista
{f[0],...,f[n]}. Escrevendo-se Table[f [i], {i, imin, imax, intv} o sistema produzirá
{f [im
Digitando o comando lista = Table[{i, N[Sqrt[i] ], N[Sin[i]}, {i,1,5}] cria-se
uma seqüência de ternas ordenadas, em que a primeira componente é um número inteiro
variando de 1 a 5, a segunda é a raiz quadrada desse número e a terceira é o seno da
primeira componente, estas últimas calculadas com arredondamento de seis dígitos. Na
48
saída o resultado é {{1, 1, 0.841471}, {2, 1.41421, 0.909297}, {3, 1.73205, 0.14112},
{4, 2., -0.756802}, {5, 2.23607, -0.958924}}. Pode-se ter a mesma lista no formato de
matriz, desde que se use a sint
qüência de ternas ordenadas com um número, seu quadrado e seu cubo,
querendo-se saber qual é a quarta terna ordenada, usa-se L[[4]], sendo devolvido
{4,16,64}.
colunas pela expressão
Array[a,{m,n}] onde a é o nome da matriz. Usando o MATHEMATICA vai-se construir
a matriz de ordem
ay[a, {2,3}], cria-se a matriz
pedida {{2.84147, 2.9093, 2.14112}, {4.84147, 4.9093, 4.14112}}. Para escrevê-la na
forma matricial d
A expressão ma[[2]] determina os elementos da segunda linha da matriz ma
e ma[[1, 3]] o elem
m da matriz A, permutando as linhas
pelas colunas de mesmo índice. Na sintaxe do sistema que agora se analisa, matriz
transposta
axe TableForm[lista]. Assim,
1 1. 0.841471
2 1.41421 0.909297
3 1.73205 0.14112
4 2. -0.756802
5 2.23607 -0.958924
Considerando a lista definida por L = Table[{i, i^2, i^3}, {i, 1,10}], onde se
tem uma se
Define-se uma matriz de m linhas por n
2 por 3 , A = (aij) , onde aij = 2 i + sen j .
Primeiramente, define-se a função que gera os elementos da matriz, isto é,
a[i_ ,j_ ]:=N[2 i + Sin[j]]. Depois, através de ma = Arr
igita-se MatrixForm[ma], o que resulta:
2.84147 2.9093 2.14112
4.84147 4.9093 4.14112
ento da primeira linha e terceira coluna.
Em [STE87], constata-se que a matriz transposta da matriz A, de ordem m
por n, é a matriz At , de ordem n por m, que se obté
de A é determinada por Transpose[A].
49
Dada uma permutação dos inteiros 1, 2, ..., n, existe uma inversão quando
um inteiro precede outro menor, que é uma definição encontrada em [BOL80]. Mais
adiante, destaca- de determinante de uma dada matriz [ase que a definição
como det[a ] = ∑ ... , onde J ero de inversões
a cada
matriz quadrada um número real chamado determinante, é traduzida por Det[A].
a de computação algébrica, usa-se Inverse[nome_da_matriz] para
determiná-la.
nal
principal. Já o comando IdentityMatriz[ n ] gera uma matriz identidade de ordem n.
mb, o
produto da matriz ma pelo número α e o produto das matrizes ma e mb se existir.
near f : V → V pode ser representado por uma matriz quadrada chamada de
canônica
ij] é expressa
ij (-1) a a aJ1j
p2j nj1 2 n
=J(j1,...,jn) e p indica o núm
da permutação de ( 1 2 ... n). No MATHEMATICA, esta função, que associa
Em [LIM95], verifica-se que uma matriz A chama-se inversível quando é
quadrada e existe uma matriz A-1, chamada a inversa de A, tal que A-1 A = A A-1 = I.
Nesse sistem
Consultando [BUR94], verifica-se que é possível gerar matrizes diagonais,
isto é, matrizes quadradas em que todo elemento aij = 0 para i ≠ j. Para tal, digita-se
DiagonalMatrix [{a1, a2, ..., an}] , onde a1, a2, ..., an são os elementos da diago
Consideram-se duas matrizes nomeadas de ma e mb e um número real α. As
expressões ma + mb, α ma e ma mb calculam, respectivamente a soma de ma e
Um operador linear é uma função de um espaço vetorial em si mesmo, que
preserva a adição de vetores e o produto de vetores por escalares. Assim, qualquer
operador li
.
Em [LIM95], define-se como vetor próprio do operador linear f o vetor
v ≠ 0 tal que F v = λ v, onde F é a matriz canônica de f e λ um número real chamado de
valor próprio. A determinação de valores próprios e vetores próprios de um operador
linear é um fato muito importante dentro da Álgebra Linear e, principalmente, as suas
aplicações.
] determina uma lista de valores próprios, com os seus
No MATHEMATICA , vetores próprios e valores próprios são determinados
de maneira simples: Eigenvalues[nome_da_matriz] Eigenvectors[nome_da_matriz].
Eigensystem[nome_da_matriz
50
respectivos
definido por T(x, y, z) = (x + y + z, 2y +z, 2y + 3z) é um problema encontrado em
canônica, que é ⎢⎡ 111
MATHEMATICA,
t = {{1, 1, 1}, {0, 2, 1}, {0, 2, 3}}. Para determinar os valores próprios escreve-se
vetores próprios.
Determinar os valores próprios e os vetores próprios do operador linear
[STE87]. Para resolvê-lo, usando o sistema, deve-se, primeiro, escrever a matriz
⎥⎥
⎢⎢⎣
=320120T , ou na sintaxe do
Eigenvalues[t] cujo resultado é {1, 1, 4} e para vetores próprios, Eigenvectors[t], cujo
resultado é
⎥
⎦
⎤
{{ , , },{ , , },{ , , }}111 1 0 02
12
. Pode-se saber qual é a correspondência entre valor
e vetor próprio através de Eigensystem[t] e a saída é
11
{{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }}11 4 111 1 0 01
11
, 22
ou seja, (1,1,1) e (1,0,0) estão associados ao número real 1 e (1/2, 1/2, 1) está associado
ao número 4.
2.7 A Pr
m
todas estão diretamente disponíveis. Algumas delas estão implementadas nos pacotes
(packages)
MATHEMATICA. É
possível, ainda, adicionar comandos que separem o contexto das funções definidas no
pacote, isol
O pacote começa com um cabeçalho, onde constam as seguintes
es:
−
− contexto: o contexto definido em “BeginPackage[“contexto` "]” ;
−
− sumário;
ogramação de Pacotes
O MATHEMATICA possui um número muito grande de funções, mas ne
do MATHEMATICA, que podem ser utilizados para criar novas funções.
Consultando [BLA92], [MAE97], [MAT96] e [WOL96], verifica-se que
package é um arquivo (com extensão “.m”) que contém a definição de uma ou mais
funções, podendo ser chamado com um simples comando no
ando todas as variáveis locais e sub-rotinas auxiliares.
informaçõ
título;
autor;
51
− versão do pacote;
versão m− ais antiga do MATHEMATICA capaz de executar os comandos e funções do
icação da documentação;
funcionamento;
itmos utilizados;
acotes necessários;
− exemplo
Em seguida, apresenta-se um esboço resumido de um pacote.
BeginPackage[ ... ]
Begin["`Private`"] (* início do contexto privado *)
Needs["..."] (* outros pacotes necessários *)
(* implementação das funções *)
End[ ] (* término do contexto privado *)
Protect[ funções] r alterações nas funções por parte
dos usuários *)
EndPackage[ ] (* final do pacote *)
2.7.1 O Pacote TRIGRAF
funções
trigonométricas. No Anexo A constam todas as linhas de código deste pacote.
ções gerais e os
dois comandos disponíveis para o usuário, Des1 [xo, x1] e Des2 [xo, x1].
pacote;
− palavras-chave: para classif
− referências bibliográficas;
− avisos de incompatibilidade e efeitos globais;
− limitações: problemas conhecidos, casos especiais de não
− informações técnicas, descrição de algor
− exigências: outros p
s simples.
(* para não have
O pacote TRIGRAF tem por finalidade elaborar gráficos de
Na tela de abertura, conforme figura 2.19, vem-se as informa
52
Figura 2.19: Tela de abertura do Pacote TRIGRAF
O comando Des1 [xo, x1] é aplicado para desenhar gráficos de funções
trigonométricas no intervalo real [xo, x1] determinado pelo usuário.
A partir das funções Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Csc, já escolhidas, de acordo
com a figura 2.20, define-se a função T[x] = a F[b x + c] + d.
Figura 2.20: Tela para a escolha da função F[x]
Na função T [x] os parâmetros a, b, c, e d são números reais definidos pelo
usuário, conforme figura 2.21.
53
Figura 2.21: Tela para a entrada do primeiro parâmetro da função T[x]
Nas figuras 2.22 e 2.23 mostra-se a saída (output) do comando Des1, isto é,
os gráficos das funções escolhidas.
Figura 2.22: Tela de saída do comando Des1
54
Figura 2.23: Tela de saída do comando Des1
O comando Des2 [xo, x1] tem a mesma finalidade do Des1 [xo, x1],
oferecendo a possibilidade ao usuário de selecionar duas funções trigonométricas entre
Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Csc e definir as funções T1[x] e T2[x]. Sua saída é mostrada nas
figuras 2.24 e 2.25.
Figura 2.24: Tela de saída do comando Des2
55
Figura 2.25: Tela de saída do comando Des2
2.7.2 O Pacote POLIGRAF
O pacote POLIGRAF elabora gráficos de funções polinomiais e de suas
funções derivadas. As linhas de código deste pacote encontram-se no Anexo B.
A tela de abertura consta na figura 2.26.
Figura 2.26: Tela de abertura do Pacote POLIGRAF
Na figura 2.27 é apresentada a tela onde o usuário vai escolher o polinômio
56
f [x]. No canto direito da tela há um menu de opções: RAÍZES, GRÁFICO, AJUDA.
Figura 2.27: Tela para a escolha do polinômio f[x]
O POLIGRAF determina as raízes dos polinômios f [x] e f ‘ [x], (figuras
2.28 e 2.30) e elabora seus gráficos (figuras 2.29, 2.31 e 2.32).
Figura 2.28: Tela de saída com os dados de f[x]
57
Figura 2.29: Tela de saída com o gráfico de f[x]
Figura 2.30: Tela de saída com os dados de f’[x]
58
Figura 2.31: Tela de saída com o gráfico de f’[x]
Figura 2.32: Tela de saída com os gráficos de f[x] e f’[x]
2.7.3 O Notebook ANIMA
O notebook ANIMA tem por objetivo apresentar animações de gráficos das
funções trigonométricas Sin, Cos, Tan, Cot, Sec, Csc. No Anexo C encontram-se as
linhas de código da implementação deste notebook.
Na tela de entrada, conforme figura 2.33, o usuário escolhe a função.
59
Figura 2.33: Tela de entrada do Notebook ANIMA
Na figura 2.34 encontra-se a tela que mostra os comandos implementados.
Figura 2.34: Tela que mostra a célula de Implementação
Um exemplo de saída do notebook é apresentado na figura 2.35.
60
Figura 2.35: Tela que mostra a animação da senóide
3 METODOLOGIA UTILIZADA NAS PESQUISAS
Tendo em vista o objetivo geral a ser alcançado através do presente
trabalho, qual seja o de implementar, no estudo de determinados tópicos do ensino da
Matemática no segundo grau e no início do Curso de Licenciatura Plena em
Matemática, a utilização do software MATHEMATICA como ferramenta de apoio,
optou-se por uma metodologia que oportunizasse a constatação da viabilidade do
referido objetivo, através de atividades práticas realizadas com os usuários do sistema.
Nesse sentido, foram efetuadas quatro pesquisas: a primeira, com alunos do
Curso de Licenciatura Plena em Matemática da Pontifícia Universidade Católica do Rio
Grande do Sul; a segunda, com alunos de Escolas de 2º grau de Porto Alegre; a terceira,
com professores de Escolas de 2º grau da região metropolitana de Porto Alegre e a
última, novamente, com alunos do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da
PUCRS.
Para facilitar os relatos apresentados a seguir, serão indicadas pelas letras A,
B, C e D, respectivamente, a primeira, segunda, terceira e quarta pesquisas realizadas.
3.1 Pesquisa A
Esta pesquisa foi realizada com alunos matriculados na disciplina
Fundamentos da Matemática Elementar II do Curso de Licenciatura Plena em
Matemática, inserida no segundo semestre curricular.
O objetivo desta disciplina é o de sanar as eventuais dificuldades que o
licenciando apresenta em relação a conteúdos de Matemática Elementar, aprofundando-
os. A mesma é pré-requisito para as disciplinas de Geometria Analítica, Cálculo
Diferencial e Integral, Álgebra e Projetos e tem, por requisito, Fundamentos da
Matemática Elementar I. Os assuntos abordados em Fundamentos da Matemática
Elementar I são relativos ao ensino de Matemática de primeiro grau, e os conteúdos
discutidos em Fundamentos da Matemática Elementar II situam-se no segundo grau de
nosso sistema educacional.
62
A pesquisa A desenvolveu-se durante o primeiro semestre letivo de 1997,
no Instituto de Matemática da PUCRS. No início do mês de abril, contatou-se com o
professor da turma 150 de Fundamentos de Matemática Elementar II para explicar os
objetivos do trabalho e obter sua permissão para realizá-lo.
O primeiro contato com a turma escolhida ocorreu no dia 14 de abril de
1997, através de uma conversa, em sua sala de aula. A referida turma era constituída de
onze alunos, dos quais três cursavam Licenciatura em Ciências e Matemática (curso
este que habilita professores ao ensino de Ciências e Matemática no 1º grau) e os
demais eram integrantes do Curso de Licenciatura Plena em Matemática. A disciplina
de Fundamentos de Matemática Elementar II tem quatro créditos, perfazendo quatro
horas-aula semanais. No primeiro semestre de 1997, as aulas foram realizadas nas
segundas e terças-feiras, das 17h35min às 19h05min.
Não sendo possível realizar as atividades no Laboratório de Informática do
Instituto de Matemática, devido ao atraso na sua conclusão, optou-se por usar um
laboratório menor destinado ao trabalho de professores e seus respectivos bolsistas do
Instituto de Matemática, no qual estavam disponíveis dois computadores IBM/PC
pentium 166 com recursos multimídia. Como não haviam máquinas suficientes para
todos, no mesmo horário, dividiu-se a turma em dois grupos.
A participação do aluno não era obrigatória, mas sua opção implicava o
comprometimento com a realização do trabalho. Foi atribuída uma nota de participação
aos sete alunos, todos do Curso de Licenciatura Plena em Matemática, que freqüentaram
os encontros. A ausência dos demais deveu-se à incompatibilidade de seus horários.
As atividades práticas ocorriam sempre às terças-feiras. Em todas as
segundas-feiras, era feita uma reunião com o professor regente a fim de que se pudesse
planejar as atividades de laboratório, coerentes com as das aulas teóricas. O primeiro
grupo, constituído de três alunos, comparecia ao laboratório das 17h35min às
19h05min, no mesmo horário em que os outros estavam tendo aula teórica da disciplina.
Os quatro integrantes do segundo grupo freqüentavam as atividades no laboratório, das
19h30min às 21 h. Ficou acertado com o professor regente da turma que, no dia em que
houvesse trabalho nos computadores, não seriam desenvolvidos conteúdos novos.
No dia 15 de abril, iniciou-se a pesquisa. Primeiramente foi dada uma
63
explicação sobre softwares que usam computação algébrica, numérica e visualização
gráfica, bem como sobre o MATHEMATICA. Três alunos participaram do primeiro
grupo e outros três do segundo, aos quais foi distribuída uma ficha, contendo seis
perguntas, a fim de verificar seus conhecimentos de Informática.
O objetivo deste encontro foi o de sensibilizar os alunos para o uso do
software MATHEMATICA. Para tal, foi apresentada a interface do sistema e suas
operações básicas. Os usuários utilizaram a máquina como uma calculadora, isto é,
exercitaram os operadores +, -, *, / e ^ , bem como a função Sqrt[x]. Houve uma
preocupação por parte dos alunos em saber se o sistema resolve equações polinomiais
de primeiro e segundo graus. Foram apresentados, então, os comandos Solve e NSolve.
O terceiro encontro, realizado em 22 de abril, teve por objetivo usar o
sistema MATHEMATICA para definir funções de uma variável e representá-las
graficamente. Foi dada uma explicação inicial sobre a sintaxe dos comandos f [ x_ ] e
Plot, que os alunos testaram, usando funções trabalhadas nas aulas teóricas anteriores.
Houve grande dificuldade na representação gráfica de funções devida ao fato do padrão
do comando Plot apresentar unidades diferentes para os eixos cartesianos X e Y. Usou-
se, então, a opção AspectRatio -> Automatic, sendo considerada “complicada” por parte
dos alunos. Participaram do encontro duas alunas do 5º semestre do Curso de
Licenciatura Plena em Matemática, com o objetivo de conhecer o sistema proposto e
futuramente tornarem-se monitoras.
No quarto encontro, dia 29 de abril, o objetivo era representar gráficos de
funções em um mesmo sistema de eixos. Foi dada uma explicação escrita sobre opções
do comando Plot e, a seguir, propostas quatro atividades.
Nas três primeiras, os alunos representariam três funções num mesmo
sistema de eixos, em cores diferentes, devendo observar as translações dos gráficos das
funções propostas. O primeiro exercício referia-se às funções quadráticas, o segundo às
funções exponenciais e o terceiro às logarítmicas. Estas duas últimas ainda não haviam
sido revisadas e comentadas na sala de aula tradicional. Houve bastante discussão a
respeito das mesmas, principalmente entre as duplas que trabalhavam na mesma
máquina. O quarto problema a ser resolvido envolvia as funções logarítmica e modular.
No Anexo D são apresentados alguns exemplos de exercícios resolvidos
64
pelos participantes das pesquisas.
No primeiro exercício, nenhum aluno teve dificuldade, tanto na parte
computacional quanto ao que se refere à interpretação matemática. Eventuais erros de
digitação aconteceram, sendo percebidos pelos estudantes. No segundo exercício, no
quarto gráfico, foi apresentada, propositadamente, a expressão g [x] = (-2)x, que não é
uma função. O software não aceitou, mas ninguém se deu conta e acharam que havia
algum erro na máquina ou falha do sistema. Devido à polêmica gerada, nenhum aluno
realizou a terceira e quarta tarefas propostas.
O quinto encontro, acontecido dia 6 de maio de 1997, teve o mesmo
objetivo que o anterior. Devido à realização da segunda prova semestral da disciplina,
os alunos que participavam da pesquisa no horário das aulas teóricas resolveram não
mais fazê-lo neste horário. Achavam que, sem as aulas de reforço, seriam prejudicados.
Foi contatado o professor da turma e explicada a situação. Dois alunos pertencentes ao
primeiro grupo, a partir deste encontro, não freqüentaram mais as aulas de laboratório, e
o terceiro passou a integrar o segundo grupo. Portanto, a partir do quinto encontro,
cinco licenciandos participaram da pesquisa. Quanto aos dois alunos desistentes, para
efeito de avaliação na disciplina, foi levado em conta o que eles realizaram durante a
etapa de sua participação.
Nesse encontro, os alunos deram continuidade às atividades propostas
anteriormente e as concluíram. Todos perceberam que a expressão já definida,
anteriormente, por g [x] = (-2)x não é uma função, constatando, portanto, que a
máquina não havia errado. Houve problemas operacionais no momento da impressão
dos gráficos das funções elaboradas.
O objetivo do sexto encontro foi o de usar o MATHEMATICA para observar
as funções trigonométricas, conteúdo este desenvolvido em aula posterior às atividades
de laboratório. Foi distribuída uma folha com dezoito exercícios propostos. Cada um
constava de duas ou mais funções para serem representadas graficamente e, a partir
disso, serem observadas as imagens e os períodos das funções trigonométricas. Nenhum
aluno se recordava do que era período de uma função. Dois alunos “descobriram” a
noção de período apenas manipulando os gráficos gerados pelo computador. Houve,
então, uma ampla discussão sobre período, imagem e domínio de funções
65
trigonométricas. Foram realizadas, em média, sete tarefas.
No sétimo encontro, dia 20 de maio, foram concluídas todas as atividades
propostas na aula anterior. Deve-se salientar que, a partir de 29 de abril, quatro
computadores ficaram disponíveis das 19h às 21h para a realização da pesquisa, talvez
devido à troca de horário dos professores e bolsistas, usuários do laboratório. Isto
permitiu que três alunos trabalhassem individualmente, mas apenas um preferiu esta
modalidade.
O oitavo encontro realizou-se dia 27 de maio. Usar os comandos Solve
NSolve, NRoots e Plot do MATHEMATICA para analisar as raízes e gráficos de funções
polinomiais, foi o objetivo. Propôs-se uma atividade que consistia em determinar as
raízes de quatorze funções polinomiais, elaborar seus respectivos gráficos e analisá-los.
Compareceram apenas três alunos dos cinco participantes; sendo assim, cada um deles
trabalhou individualmente. Houve muita discussão entre alunos e entre estes e o
professor, sobre a interpretação gráfica de funções polinomiais que possuem raízes
imaginárias. Os três alunos concluíram, finalmente, que funções polinomiais com raízes
reais e com raízes não reais têm interpretações diferenciadas. Eles foram criando suas
próprias funções polinomiais, determinando as raízes, elaborando gráficos e analisando-
as.
O objetivo do nono encontro, realizado dia 4 de junho, foi o mesmo do
anterior sendo que os dois alunos que não haviam comparecido a este, vieram e
realizaram as tarefas já concluídas pelos demais. Foram sugeridos vários conjuntos de
raízes de polinômios e os alunos deveriam, a partir daí, construir as respectivas funções,
seus gráficos e interpretá-los por escrito. Houve um problema de digitação com o
número imaginário I por parte de um aluno. Ele digitava i minúsculo, não se dando
conta do erro, e a máquina interpretava como sendo uma nova variável de nome i, não
devolvendo o resultado esperado pelo usuário. Houve a necessidade de usar o comando
Expand para escrever os polinômios na forma tradicional.
O décimo e último encontro foi realizado dia 17 de junho, na sala de aula.
Aproveitou-se a realização da terceira prova agendada no semestre para que os alunos
que participaram da pesquisa fizessem uma avaliação da mesma. Eles responderam a
dois questionários. O primeiro continha onze perguntas sobre a interação do usuário
66
com o sistema computacional proposto; o segundo, uma tabela em que eles deveriam
avaliar o grau de dificuldade, codificado por 0, 1 ou 2, em relação aos 33 comandos e
funções trabalhados no software MATHEMATICA. Não era necessário devolver os
questionários no mesmo dia, mas dois alunos o fizeram, enquanto três os entregaram
posteriormente.
Todo material elaborado pelos alunos, durante as atividades de laboratório,
era obrigatoriamente devolvido, ou imediatamente, ou no final do semestre. O sistema
de avaliação da disciplina Fundamentos de Matemática Elementar II é composto de três
partes. As duas primeiras são provas escritas. A última é uma prova escrita valendo 50%
da nota, somados a todos trabalhos desenvolvidos pelos alunos durante o período. Para
aqueles que participaram da pesquisa, foram consideradas as atividades realizadas no
laboratório como parte dos 50% da terceira nota.
3.2 Pesquisa B
A segunda pesquisa foi realizada com alunos das Escolas de segundo grau
de Porto Alegre no período de 07 a 11 de julho de 1997 sob a forma de curso de
extensão promovido pelo Instituto de Matemática da Pontifícia Universidade Católica
do Rio Grande do Sul, intitulado “Estudo de Funções com Recursos Computacionais”.
Esta atividade desenvolveu-se no Laboratório de Informática do Instituto de Matemática
da PUCRS, num total de vinte horas aula, distribuídas em cinco tardes. O objetivo deste
curso foi o de estudar as principais funções da Matemática Elementar, utilizando o
software MATHEMATICA como ferramenta de apoio.
Fazendo uma sondagem prévia nas escolas públicas e particulares de
segundo grau em Porto Alegre, verificou-se que muito poucas possuíam laboratórios de
Informática e em nenhuma havia o software MATHEMATICA. Com isto,
provavelmente, tornar-se-ia difícil aos professores de segundo grau, integrantes da
Pesquisa C, utilizarem em seus próprios estabelecimentos de ensino o sistema proposto,
podendo, sim, usufruírem do laboratório existente na PUCRS. Entretanto, prevendo-se
incompatibilidade de horários, dificuldades de locomoção ou outros empecilhos que
pudessem dificultar o acesso a este último recurso, resolveu-se oportunizar, através
desta pesquisa, o contato do usuário, aluno de segundo grau, com o sistema
67
computacional proposto.
O Laboratório de Informática, no qual foi realizada a pesquisa, é composto
por 33 computadores IBM/PC pentium 166 equipados com multimídia e ligados em
rede. Usou-se a versão 2.0 do software MATHEMATICA.
Em maio, enviou-se o projeto do curso à Direção do Instituto de Matemática
e Pró-Reitoria de Extensão da PUCRS, sendo aprovado para execução. Escolheu-se o
período de julho devido às férias escolares da Universidade, quando o laboratório ficaria
livre para a pesquisa.
Em junho enviou-se a escolas públicas e particulares de Porto Alegre um
material divulgando o curso a ser realizado em julho. Nesse mês as escolas públicas não
entraram em recesso escolar por causa de uma greve de professores, ocorrida no início
do ano e, em muitas escolas particulares, as aulas não haviam sido concluídas no
primeiro semestre. Mesmo assim, a procura pelo curso foi grande. Entretanto, muitos
alunos não se inscreveram pelo fato de o horário divulgado coincidir com suas
atividades escolares. O curso foi realizado das 14 h às 17h20min.
Havia-se limitado em vinte o número de vagas, mas devido à insistência dos
inscritos, aceitaram-se vinte e seis candidatos. As inscrições foram feitas pessoalmente
ou por telefone, na secretaria do Instituto de Matemática da PUCRS. Obedeceu-se à
ordem cronológica das inscrições, até completarem-se as vagas. O curso foi gratuito e
distribuiu-se certificado de freqüência aos alunos com 100% de presença. Dos vinte e
seis inscritos, 61,5% cursavam o segundo grau em escolas públicas e 38,5% em escolas
privadas. Do total dos alunos, 23,1% freqüentavam a primeira série, 34,6%, a segunda
série e 42,3%, a terceira. Todos situavam-se na faixa etária dos quinze aos dezoito anos
e nenhum deles exercia outra atividade além do estudo.
Participaram, como monitoras, duas alunas do Curso de Licenciatura Plena
em Matemática, que haviam sido treinadas no sistema MATHEMATICA, no primeiro
semestre de 1997. Devido às diversas procedências e níveis diferentes de escolaridade
dos alunos, optou-se por trabalhar na modalidade de oficinas, que, segundo [VIE96] “é
uma forma de ensinar e aprender, mediante a realização de algo feito coletivamente”.
(p. 11)
68
No primeiro encontro, os participantes foram reunidos, inicialmente, em
uma sala de aula convencional, para que se pudesse dar as boas vindas, explicar os
objetivos do curso e efetuar um teste de sondagem. Alguns julgavam estar inscritos em
um curso de “computação” e não de Matemática com Recursos Computacionais. Mas,
mesmo assim, resolveram continuar, dada a grande expectativa. O teste de sondagem
era composto de duas partes: a primeira, colhendo dados pessoais e avaliando o
conhecimento de computadores, a segunda, contendo vinte e seis questões relativas ao
estudo de Funções (Linear, Quadrática, Polinomiais, Exponenciais, Logarítmicas,
Módulo e Trigonométricas) abordando conceito, domínio, conjunto-imagem, equações e
gráficos.
Após o teste, os alunos foram ao laboratório com o objetivo de familiarizar-
se com a máquina e o sistema computacional proposto. Realizaram exercícios sobre
cálculos numéricos elementares e foram-lhes apresentados os comandos Expand, Factor
e Simplify para que pudessem averiguar a capacidade da máquina trabalhar
simbolicamente. Estas tarefas eram desenvolvidas individualmente ou em grupos de
dois ou três alunos. Alguns, contando com sua experiência de usuários de
computadores, ajudavam os outros, combinando, assim, o trabalho individual com a
tarefa socializada, uma das características das oficinas de ensino, encontradas em
[VIE96].
Ao final do encontro, o entusiasmo dos alunos era muito grande, tendo sido
difícil encerrar as atividades no horário previsto. Ficou acertada uma reunião com as
monitoras, para o dia seguinte pela manhã, a fim de avaliar o encontro e planejar o
próximo, quando se procedeu à avaliação dos testes de sondagem aplicados,
verificando-se um baixo nível de conhecimento nas questões referentes à conceituação
de função, domínio, conjunto-imagem e imagem de um elemento.
Em vista disso, no segundo encontro procurou-se sanar estas dificuldades,
uma vez que as mesmas eram pré-requisitos à continuidade das demais tarefas. Para
melhor discutir os referidos conceitos, optou-se por reunir os alunos na sala de aula
tradicional; com isto, procurou-se garantir, segundo [VIE96], “a unidade entre a teoria e
a prática”. (p. 11)
Após cinqüenta minutos de explanação, os alunos foram encaminhados ao
69
laboratório, onde realizaram uma tarefa, que consistia em definir funções polinomiais de
primeiro grau e elaborar seus respectivos gráficos, usando o sistema MATHEMATICA.
Aproveitou-se, então, para introduzir o comando Plot com suas variações. Nesse
momento, havia grande disparidade no rendimento de alguns alunos: uns demonstravam
facilidade em usar a máquina e outros, mais conhecimento teórico em Matemática, o
que os levava a maior rapidez na conclusão das suas atividades. Para estes, foram
propostas questões idênticas às anteriormente citadas, mas relativas às funções
quadráticas, já previamente elaboradas para esse fim.
Aproveitou-se, ainda, o encontro, para apresentar os comandos Solve e
NSolve, visto que muitos alunos precisavam deles para resolução de equações.
No terceiro e quarto encontros, enfatizou-se o trinômio investigação, ação e
reflexão, conforme [VIE96] em relação à metodologia até então aplicada, qual seja a de
oficinas. Para isto, preparou-se um material contendo comandos e funções do software
MATHEMATICA com exemplos escritos na linguagem natural, bem como na sintaxe do
sistema, permitindo ao aprendiz usuário não só “navegar” pelo software, mas também
desenvolver o seu próprio ritmo de resolução de problemas.
Além desse material, iam sendo apresentadas tarefas escritas referentes aos
conteúdos de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e polinomiais. Com
relação às mesmas, usou-se o sistema computacional para definí-las, determinar seus
domínios e conjuntos-imagens, elaborar seus gráficos, calcular suas raízes, analisar seus
comportamentos de sinais em determinados intervalos e sua periodicidade.
Aos alunos que apresentavam maior aproveitamento, eram solicitadas
tarefas extras, conforme o tipo de pergunta que formulavam ou o conteúdo pelo qual
demostravam mais interesse. Os que demonstravam maior lentidão nas operações
computacionais recebiam o necessário atendimento de parte das monitoras.
O último encontro foi dividido em duas partes: na primeira, os alunos
concluíram as tarefas e exercícios ainda incompletos e, na segunda, realizaram uma
avaliação. Esta foi composta de quatorze questões, pelas quais o aluno avaliou o sistema
computacional utilizado e de outras quarenta e duas, em que ele foi avaliado em seus
conhecimentos de Matemática e na linguagem do software, podendo em muitas delas
fazer uso da máquina, para a solução.
70
3.3 Pesquisa C
Esta terceira pesquisa constou de um Curso de Trigonometria, com a
utilização do software MATHEMATICA, inserido no Programa de Apoio ao
Melhoramento do Ensino de Ciências no 2º Grau, articulado com o Programa
Próciências/CAPES conforme Edital nº 11/96 da Fundação de Amparo à Pesquisa do
Estado do Rio Grande do Sul - FAPERGS.
Objetivos do curso:
- Capacitar o aluno-mestre, professor de Matemática de 2º Grau, a trabalhar
com computadores, proporcionando-lhe o conhecimento do software MATHEMATICA
(36h).
- Desenvolver conteúdos de Trigonometria, fundamentando-os no Cálculo
Diferencial e Integral, partindo de problemas e usando o software MATHEMATICA
(34h).
- Propiciar ao aluno-mestre a realização de experiências de uso do
computador no ensino de Trigonometria, através de tarefas que envolvam interação de
seu aluno com a máquina (40 h).
- Proporcionar ao grupo de alunos-mestres a discussão das experiências
realizadas e a reformulação das mesmas, com vistas a uma efetiva utilização dos
recursos computacionais no ensino de 2º grau de Matemática nas escolas gaúchas
(20 h).
Conteúdos a serem desenvolvidos:
- Arcos e ângulos
- Funções Circulares
- Relações Fundamentais da Trigonometria
- Arcos Notáveis
- Transformações Trigonométricas
- Equações Trigonométricas
- Inequações Trigonométricas
- Triângulos Retângulos
71
- Triângulos Quaisquer
- Trigonometria e Números Complexos
- Funções Derivadas das Funções Trigonométricas.
Metodologia do curso:
- Introdução dos conteúdos de Trigonometria através de uma série de
problemas.
- Discussão de tópicos específicos de Trigonometria, à medida que surjam
dificuldades na resolução de problemas.
- Apresentação de problemas que exijam recursos gráficos para a solução,
oportunizando o estudo do software MATHEMATICA.
- Apresentação de problemas complexos de simplificação de expressões
trigonométricas, resolução de equações trigonométricas, inequações trigonométricas,
forma trigonométrica de um número complexo e funções derivadas das funções
trigonométricas que permitam a utilização do software MATHEMATICA.
- Solicitação da elaboração de um projeto de trabalho, a ser desenvolvido
pelos alunos-mestres junto às suas escolas de origem, durante a etapa intermediária da
presente proposta.
- Realização de um Seminário de Integração, em que os participantes
discutam os resultados da aplicação de seus projetos e revisem os conteúdos em que
ainda apresentam dificuldades ou aqueles nos quais seus alunos mostraram maiores
problemas.
A organização administrativa do curso ficou sob a responsabilidade do
Instituto de Matemática da PUCRS, no que se refere à divulgação, às inscrições e à
seleção dos trinta e três candidatos, professores de Matemática das escolas de segundo
grau da região metropolitana de Porto Alegre.
As aulas aconteceram no período de 01 de agosto a 27 de setembro de 1997,
às sextas-feiras, das 19h às 22h com atividades práticas no Laboratório de Informática e
aos sábados, das 8h às 12h com aulas teóricas, perfazendo, o curso, um total de 70h.
72
Os nove encontros, relatados a seguir, referem-se apenas às atividades
práticas desenvolvidas durante o curso, contando-se, como ocorreu na Pesquisa B, com
assessoramento de duas monitoras, alunas do Curso de Licenciatura Plena em
Matemática da PUCRS .
No primeiro encontro, ocorrido dia 1º de agosto, apresentaram-se os
objetivos aos alunos-mestres e foi distribuída uma ficha para colher dados pessoais e
informações relativas ao uso de computadores por parte dos mesmos, seguindo-se a
aplicação de um pré-teste, com vinte e quatro questões, a fim de avaliar seus
conhecimentos de Trigonometria.
Tendo como tema “Introdução ao software MATHEMATICA”, realizou-se o
segundo encontro, em oito de agosto, cujo objetivo foi o de familiarizar os professores
com o sistema de computação algébrica proposto, uma vez que, através das fichas de
informação, constatou-se um total desconhecimento de parte dos mesmos.
Foi distribuído um roteiro contento os comandos básicos, operações
aritméticas, potenciação, radiciação, logaritmos em bases quaisquer, funções
trigonométricas, números imaginários e fatorial de um número natural, para que o
usuário pudesse, através de exemplos elucidativos, averiguar as potencialidades do
sistema, interagindo, simultaneamente, com o mesmo.
O objetivo do terceiro encontro, realizado em 15 de agosto, foi o de revisar a
abordagem anterior e introduzir os comandos e funções relativos à computação
algébrica no que se refere à Matemática elementar. Para tal, foram apresentadas treze
questões, envolvendo as operações básicas já discutidas. À medida que os professores
iam concluindo esta tarefa, era-lhes entregue um gabarito, contendo as respectivas
soluções. Feito isto, procedeu-se a apresentação dos comandos relativos às operações
algébricas, entre eles: Factor, Expand, Short, Coefficient, Simplify, Numerator,
Denominator, bem como, os referentes à resolução de equações: Solve, NSolve, Roots,
Reduce.
No quarto encontro, que teve lugar no dia 22 de agosto, foram apresentados
aos mestres os mesmos exercícios que já tinham sido trabalhados com os alunos de
segundo grau, na Pesquisa B, referindo-se a definição de funções (polinomiais,
logarítmicas, exponenciais e trigonométricas), determinação de imagens de elementos e
73
construção de gráficos, utilizando a máquina. Alguns professores julgaram que seus
alunos teriam dificuldade na sintaxe dos comandos ao resolver os problemas,
principalmente no que se refere à representação gráfica.
Tendo em vista a impossibilidade de os professores, por falta de
equipamento próprio ou em suas escolas, realizarem um treinamento do que havia sido
abordado no encontro anterior, tornou-se necessária uma retomada dos comandos e
funções computacionais já apresentados, através de uma listagem dos mesmos que lhes
foi entregue no início do quinto encontro, em 29 de agosto.
Para os que já haviam concluído todas as tarefas, foi proposto um exercício
de elaboração de gráficos de funções trigonométricas, que se constituiu na atividade do
encontro seguinte (dia 05 de setembro), juntamente com a apresentação do pacote
Algebra\Trigonom.m que trabalha com expressões trigonométricas, simbolicamente.
Estas atividades só foram completadas no sétimo encontro, realizado em 12 de
setembro.
Nos projetos elaborados pelos professores não foi incluída a utilização do
software MATHEMATICA devido à inexistência deste em suas escolas e o mesmo não
ser de domínio público ou ter um custo elevado. Cinco professores utilizaram em aula,
com seus alunos, softwares diferentes do MATHEMATICA, enquanto que esse sistema
foi aproveitado na elaboração do material didático por parte de vários outros,
constituindo-se na principal atividade do oitavo encontro realizado em 19 de setembro.
A presente pesquisa teve encerramento no dia vinte e seis de setembro com
a realização de um pós-teste, constando de dez perguntas sobre o sistema computacional
empregado e outras dez, onde o professor utilizou a máquina para resolver problemas de
Trigonometria.
3.4 Pesquisa D
A quarta e última pesquisa deste trabalho foi, como a primeira, realizada
com alunos matriculados na disciplina Fundamentos da Matemática Elementar II do
Curso de Licenciatura Plena em Matemática, sendo desenvolvida durante o segundo
semestre letivo de 1997. Diferentemente da primeira, a participação dos treze alunos
74
inscritos na disciplina não foi opcional, pois agora as atividades com o computador
faziam parte do conteúdo programático. O local das atividades práticas foi o
Laboratório de Informática do Instituto de Matemática da PUCRS, o mesmo das
Pesquisas B e C.
Em julho de 1997, durante a etapa de planejamento da disciplina de
Fundamentos de Matemática Elementar II, participou-se da reunião com o professor da
turma, que já não era o mesmo do semestre anterior, a fim de inserir, em determinadas
tarefas, o uso obrigatório de computadores.
Em cinco de agosto, aconteceu o primeiro contato com a turma, onde foram
explicados os objetivos da disciplina e os das aulas de laboratório, que seriam realizadas
sempre às terças-feiras, quando necessário. Foi distribuída uma ficha para identificação
dos alunos e averiguação de seus conhecimentos sobre o uso de computadores.
Constatou-se que ninguém conhecia o software MATHEMATICA. O professor regente
da turma participou de todas as atividades de laboratório realizadas.
O segundo encontro, acontecido em doze de agosto, proporcionou aos
alunos o primeiro contato com a máquina e o sistema proposto. Foram apresentados
exercícios sobre operações aritméticas, adição, subtração, multiplicação e divisão, bem
como cálculo de potências, raízes n-ésimas e logaritmos. Foi discutida a função do
operador computacional N[x], que aproxima um número real x a um racional.
Em 19 de agosto, aconteceu o terceiro encontro, tendo por objetivo
representar funções graficamente. Foram distribuídas duas folhas com roteiros a serem
seguidos. A primeira continha informações sobre o comando Plot e exercícios sobre
gráficos de funções polinomiais de graus um e dois, e, a segunda, opções para que os
alunos pudessem elaborar gráficos de mais de uma função no mesmo sistema de eixos
coordenados e em cores diferentes.
O quarto encontro, realizado em 26 de agosto, teve por objetivo resolver um
estudo dirigido sobre funções polinomiais, usando o sistema computacional adotado. Os
alunos deveriam analisar funções da forma f (x) = a x, e g (x) = a x + b a partir de seus
gráficos, atribuindo valores para a e b. Na parte computacional, não houve dificuldades
por parte da maioria dos usuários presentes, mas, no que diz respeito a conceitos
matemáticos, sim. Este trabalho era extenso e só foi concluído na aula de laboratório
75
seguinte, dia dois de setembro. Nesse momento, houve um desinteresse por parte de
quatro alunos.
No dia vinte e três de setembro, desenvolveu-se o sexto encontro. Cada
aluno resolveu, novamente, a prova que havia sido realizada dia nove de setembro,
quando os resultados não foram satisfatórios. Adaptou-se esta avaliação para que
pudesse ser resolvida por computador. Nenhum aluno concluiu a tarefa no tempo
previsto.
O sétimo encontro foi realizado em trinta de setembro e teve por objetivo
conceituar função exponencial, elaborar seu gráfico e calcular imagens de elementos.
Foi distribuída uma folha com cinco atividades. Neste dia, já estava instalado no
laboratório a versão 3.0 do software MATHEMATICA. Os alunos não tiveram muita
dificuldade em adaptar-se à nova interface. Muitos não recordavam alguns comandos
que deveriam ser utilizados para realização dos exercícios propostos.
Resolver problemas sobre funções exponenciais, usando ou não
computador, foi o objetivo do oitavo encontro, realizado em 14 de outubro. Na aula de
laboratório seguinte, dia quatro de novembro, foi apresentado o pacote TRIGRAF do
software MATHEMATICA, com o objetivo de elaborar gráficos de funções
trigonométricas.
No décimo encontro, dia onze de novembro, foi distribuída uma lista de
problemas sobre equações e inequações trigonométricas, para que os alunos
resolvessem. Sete alunos optaram por usar o pacote TRIGRAF para chegar às soluções
e outros cinco presentes não usaram a máquina para resolver. Estes últimos não
concluíram a tarefa dentro do tempo previsto.
O último encontro aconteceu dia 18 de novembro, juntamente com a
realização da terceira prova teórica do semestre. Foi realizado na sala de aula
convencional. Após a prova, os alunos responderam a um questionário com treze
perguntas, avaliando o sistema MATHEMATICA e preencheram ficha onde atribuíram,
em uma escala crescente de graus de dificuldade 0, 1 ou 2, opiniões sobre os comandos
e funções computacionais.
4 ANÁLISE DAS PESQUISAS
No que se refere ao enfoque que deve ser dado, nos dias de hoje, ao ensino
de Matemática, encontra-se uma assertiva nos Parâmetros Curriculares Nacionais,
inseridos em [BRA95]:
“No mundo do trabalho que hoje se configura, novos métodos de produção exigem indivíduos que assimilem informações rapidamente, que saibam propor e resolver problemas, que sejam criativos e polivalentes, capazes de se adaptar a contínuas mudanças. Desse modo, o papel do ensino fundamental não é preparar mão-de-obra especializada para determinados ramos de atividade, nem se render, a cada instante às oscilações do mercado de trabalho, mas sim o de desenvolver uma educação que não dissocie escola e sociedade, que coloque o aluno frente a desafios, que lhe permitam desenvolver atitudes de responsabilidade, compromisso, satisfação e que possibilitem a identificação de seus direitos e deveres.
Nesse aspecto, a Matemática pode dar sua contribuição ao constituir-se como instrumento a ser usado em outros campos do conhecimento, ao explorar metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, e favoreçam a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo, o estímulo à autonomia, através do desenvolvimento da segurança na própria capacidade. Em síntese, espera-se que a escola forme trabalhadores com essa educação matemática e com capacidade de aprendizagem permanente.” (p. 9)
Tendo em vista a viabilidade do que acima foi exposto, julga-se
imprescindível uma eficiente preparação do licenciando em Matemática através de um
currículo adaptado às exigências do mundo atual, o que já vem ocorrendo em diversas
Universidades, entre as quais situa-se a PUCRS. Em 1993, foi implantado, no Curso de
Licenciatura Plena em Matemática, um novo currículo, no qual foram introduzidas
disciplinas envolvendo conteúdos de Matemática Elementar: Fundamentos da
Matemática Elementar I e Geometria I, no primeiro semestre; Fundamentos da
Matemática Elementar II, Geometria II e Lógica Matemática, no segundo semestre, com
o objetivo de sanar deficiências dos alunos egressos do segundo grau e dar aos
licenciandos uma visão geral dos conteúdos de Matemática lecionados nas escolas de 1º
e 2º graus.
Nas quatro pesquisas realizadas enfatizou-se a familiaridade dos usuários
com o computador, que se constitui numa ferramenta que oportuniza a representação
simbólica ainda não oferecida por outro instrumento tecnológico [RIB98], bem como
oferece ao aluno a oportunidade de construir seu próprio conhecimento [DAL97]
através da viabilização de diferentes níveis de interação [GAL97].
77
Acrescenta-se, ainda, que os sistemas de computação algébrica são
considerados como veículos que atuam sobre a reorientação da instrução matemática,
bem como focalizam conceitos, habilidades de resolver problemas e atividades de
investigação geral, em lugar de habilidades manuais [HIL93].
A seguir, são analisados os resultados das quatro pesquisas realizadas, para
verificar se a utilização do software MATHEMATICA no ensino dessa disciplina pode
trazer benefícios para a formação dos licenciandos em Matemática, bem como para e
ensino dessa ciência, de um modo geral.
4.1 Pesquisa A
No início da Pesquisa A constatou-se, através de uma ficha preenchida pelos
alunos, que 42,8 % deles utilizavam computador em suas tarefas domésticas e
acadêmicas e nenhum conhecia softwares de computação algébrica. Diante deste fato,
achava-se que o primeiro contato com a máquina não seria muito fácil, mas a realidade
mostrou o contrário. Os usuários interagiram muito bem com o sistema proposto, não
demonstrando ser este o empecilho para sua aprendizagem.
Como nesta pesquisa participavam apenas sete alunos dos onze
matriculados na disciplina, optou-se por orientar os trabalhos de tal forma que houvesse
um nivelamento quanto aos conteúdos desenvolvidos em sala de aula e no laboratório.
Devido às circunstâncias do local em que foi realizada esta pesquisa, já relatadas no
capítulo anterior, os alunos trabalharam em duplas. Notou-se que o componente da
dupla que já usava computador, dispunha de maior agilidade e desenvoltura na parte
operacional da máquina e, portanto, era sempre o escolhido para operá-la. O outro
ficava como se fosse um “corretor de software simbólico”, o que , muitas vezes, gerava
grandes discussões entre eles. Durante o desenvolvimento do trabalho, o professor
provocava comentários relativos à parte teórica da Matemática., verificando-se, então,
que o trabalho em grupos de dois usuários interagindo entre si e com a máquina muito
contribuiu para uma melhor assimilação dos conceitos matemáticos, bem como,
familiaridade com a interface do sistema proposto.
Depois de os alunos interagirem sem receio com a máquina, passou-se a
propor exercícios e problemas a serem resolvidos com a ajuda do computador.
78
Dificuldades ocorreram, principalmente em conceitos fundamentais, tais como o de
função. Em [SIM87], este conceito é introduzido a partir da equação y = x2 e de seu
gráfico. A partir daí, é feita a troca da variável y por f (x) e explicada a razão, isto é, o
valor de y depende de x ou é uma função de x. Evidentemente, fica mais fácil para o
educando verificar tal fato, usando uma interface como a do MATHEMATICA e calcular
valores de y a partir dos valores de x, não só para função que já foi comentada, como
também para outras que tenham gráficos semelhantes, bem como para compará-los.
Por exemplo: para verificar qual é a semelhança entre os gráficos das
funções definidas por f1 [x] = x2, f2 [x] = x2 + 1 e f3 [x] = x2 - 1, os alunos foram
obrigados a usar o comando que define uma função no MATHEMATICA e a instrução
PLOT com suas opções de cores, proporcionalidade em relação à unidade de medida
nos eixos cartesianos e inserção de rótulos. Notou-se que ao empregar o comando
f [x_ ] = ..., a tendência do usuário era sempre esquecer a barra _ que acompanha a
variável. Neste caso, o sistema aceita, mas não define a expressão digitada como sendo
a função f [x]. É, meramente, um comando de atribuição.
Solicitava-se aos alunos uma análise escrita sobre o que era feito na
máquina. Por exemplo, nas funções f1, f2 e f3 definidas acima, eles deviam determinar
seu domínio, seu conjunto-imagem e, ainda, registrar o que observaram em relação aos
gráficos dessas funções.
Um dos exercícios propostos foi a representação gráfica, análise e
comparação entre as funções definidas por h1 [x] = log2 x, h2 [x] = log2 x + 1 e
h3 [x] = log2 (x + 1). Um aluno concluiu que as funções h2 e h3 têm o mesmo gráfico,
dizendo: “colocar ou não colocar parêntesis na fórmula da função, não influencia na
construção do gráfico”. Esta conclusão se deve a um erro de digitação que não
ocasionou problemas de sintaxe, levando o usuário a conclusões equivocadas, as quais
foram esclarecidas após verificar o procedimento empregado pelo colega da máquina ao
lado e com ajuda do professor.
No mesmo exercício, outro usuário digitou na célula de entrada as
expressões h1 [x_ ] = Log[x, 2] , h2 [x_ ] = Log[x , 2] + 1 e h3[x_ ] = Log[x + 1, 2] e o
sistema aceitou, pois não havia erro de sintaxe. Entretanto, as funções resultantes não
eram as solicitadas e sim logx 2, 1 + logx 2 e logx+1 2 , tendo havido troca de lugar dos
79
parâmetros que indicam base e logaritmando.
Outro fato que gerou muitas discussões foi a análise de gráficos de funções
racionais. O software produz automaticamente as assíntotas destas curvas. Como
exemplo, encontra-se em [FLE92], a função definida por f [x] = (x - 1)/(x + 1). Os
alunos conferiram seu gráfico, utilizando a máquina e verificando porque o domínio
desta função é o conjunto R - {-1}, conforme figura 4.1.
Figura 4.1: Gráfico da função f (x) = (x - 1)/(x + 1)
Em um dos exemplos usados na pesquisa, pedia-se aos alunos que
construíssem o gráfico da função definida por f [x] = x10 - x9 + 8x7 - 45 e, a partir deste,
analisassem seu comportamento. Já conhecendo a sintaxe dos comandos e tendo alguma
habilidade em operar o sistema, a maioria dos usuários construiu, em suas máquinas,
gráficos semelhantes ao da figura 4.2.
Figura 4.2: Gráfico da função f (x) = x10 - x9 + 8x7 - 45
Os alunos logo perceberam que, devido ao rápido crescimento da função, o
software mostrou seu gráfico de uma forma não proporcional. Tentaram “arrumar a
80
situação”, usando a opção AspectRatio->Automatic dentro do comando Plot, mas as
máquinas não processaram a instrução, pois a figura ficaria muito grande e
ultrapassariam sua capacidade de memória. Havendo necessidade de reinicializar os
computadores, aproveitou-se a oportunidade para aplicar o Teorema de Bolzano
[MAC86c] :
Se f (x) é um polinômio de coeficientes reais, e f (a) e f (b) têm sinais
contrários, então f (x) tem pelo menos uma raiz real compreendida entre os números
reais a e b . Os alunos calcularam f (-1) e f (5), resultando, -51 e 8 437 455,
respectivamente. Isto lhes assegurou a existência de, pelo menos, duas raízes reais, pois
o polinômio era de grau dez. Deduziu-se, então, que o gráfico da função f (x) corta o
eixo das abscissas.
A seguir, usou-se o comando NRoots para determinar as raízes do
polinômio, concluindo-se que as mesmas são: {-1.77918, -1.11584 - 0.630723 I, -
1.11584 + 0.630723 I, -0.285565 - 1.19618 I, -0.285565 + 1.19618 I , 0.805693 -
1.04849 I , 0.805693 + 1.04849 I, 1.27019, 1.35021 - 1.66141 I, 1.35021 + 1.66141 I };
destas, apenas duas raízes são reais, -1.77918 e 1.27019. Tendo em vista que, no gráfico
construído, não ficaram claros os pontos onde a curva corta o eixo das abscissas, pediu-
se aos alunos que experimentassem outros intervalos para visualização dos eixos, como,
por exemplo, o que consta na instrução Plot[f[x],{x,-5,5}, PlotRange -> {-150,150}],
gerando o gráfico apresentado na figura 4.3.
Figura 4.3: Gráfico da função f (x) = x10 - x9 + 8x7 - 45
Observando o gráfico da figura 4.3, embora o mesmo não apresentasse igual
escala nos eixos, os alunos puderam deduzir informações a respeito do comportamento
81
dessa função.
Foram apresentados vários problemas aos alunos, cuja solução seria
impossível obter sem um raciocínio preliminar à utilização da máquina, numa
demonstração prática de que o uso do software MATHEMATICA não implica simples
absorção de conteúdos. Em [LIM80] encontra-se um exemplo dos referidos problemas:
“A população de uma cidade era de 750 000 habitantes no fim de 1950 e
900 000 no fim de 1960. Que população pode-se prever no final do ano de 1970 ?
Quando se espera que a população atinja 1 500 000 ?”
Analisando-se as respostas dos questionários aplicados no final desta
pesquisa, verificou-se que a totalidade dos usuários chegou à conclusão de que
computadores podem ser aplicados ao ensino de Matemática, embora a expectativa de
80 % deles fosse menor do que o constatado.
Com relação ao ambiente de trabalho e ao equipamento utilizado, a maioria
dos usuários manifestou-se favoravelmente, apesar de que, conforme constou no relato
da pesquisa, o laboratório não apresentasse as condições ideais para essa atividade.
Com referência ao software MATHEMATICA, constatou-se que a totalidade
dos usuários classificou como fáceis as operações iniciais do sistema, mas julgou
necessária alguma explicação extra quanto à interface do mesmo. Quanto à série de
comandos utilizados, numa escala de grau de dificuldade crescente E = {0, 1 , 2},
sessenta por cento dos alunos situaram-se em 0, vinte por cento, em 1 e vinte por cento,
em 2, enquanto quarenta e oito por cento julgaram os mesmos comandos compatíveis
com a linguagem matemática.
Quanto ao tipo de operações realizadas pelo MATHEMATICA, ou sejam,
numéricas, algébricas e elaboração de gráficos, os usuários, em sua totalidade, optaram
pela última. Igual unanimidade obteve a afirmativa de que o uso deste software os
auxiliou na disciplina de Fundamentos de Matemática Elementar II.
A última questão constou de uma escolha, por parte dos alunos, dos
conteúdos em que houve maior auxílio do sistema, selecionados entre os seguintes:
operações aritméticas, operações algébricas, resolução de equações, definição, domínio,
imagem e gráfico de funções, função linear, quadrática, composta, logarítmica,
82
exponencial, funções polinomiais e trigonométricas e simplificação de expressões
algébricas. Constatou-se que 13,5% optaram pelo conteúdo gráfico de funções,
enquanto 10,8% escolheram o domínio de funções, a função exponencial e as funções
trigonométricas.
Após o término do semestre e computados os graus obtidos pelos onze
alunos matriculados na disciplina Fundamentos de Matemática Elementar II, verificou-
se que oito deles foram aprovados, dos quais cinco participaram integralmente da
pesquisa e dois, apenas parcialmente. De posse destes resultados, das respostas ao
questionário e da observação da conduta dos alunos durante a interação com a máquina,
pode-se inferir que as atividades realizadas no laboratório tiveram influência positiva
em seu aproveitamento.
4.2 Pesquisa B
A pesquisa com alunos de 2º grau foi a única, entre as quatro, realizada em
curto espaço de tempo, isto é, uma semana. Isto possibilitou aos usuários um contato
diário com máquina e com o sistema computacional adotado. Sendo exíguo o intervalo
de tempo entre uma atividade de laboratório e outra, os alunos não precisaram recordar
comandos e funções trabalhadas anteriormente: uma vantagem em relação às demais
pesquisas que foram realizadas ao longo de um semestre, onde os contatos com os
usuários ocorriam uma vez por semana. Notou-se, talvez devido a este fato, que a
adaptabilidade dos alunos de segundo grau ao software MATHEMATICA foi bem mais
rápida do que a dos integrantes das demais pesquisas.
Foi realizado um teste de sondagem e outro final, conforme relato feito no
capítulo anterior.
Avaliando-se o resultado da sondagem, constatou-se que 46 % dos alunos
utilizam o computador em suas tarefas, mas apenas 3,8 % conheciam o software
MATHEMATICA, não sabendo, entretanto, como operá-lo. Quanto ao item referente às
questões de Matemática, nenhum aluno atingiu o mínimo de 50 % dos acertos. Notou-se
que o grupo era bastante heterogêneo, devido a seus diferentes níveis de escolaridade,
proveniência e experiência em usar computadores.
83
Consultando-se o trabalho de [BEI96], quando a autora discorre sobre os
diversos tipos de aprendizes, concorda-se com a mesma, quando afirma que o aluno
mais experiente instiga os demais a ultrapassar limites momentâneos.
Com base nos resultados obtidos nesse teste de sondagem, foram planejadas
as atividades do curso na forma de oficinas, onde o professor é o dirigente, mas também
aprendiz, cabendo a ele diagnosticar o que cada participante sabe e promover o ir além
do imediato [VIE96]. Para elaborar os exercícios consultaram-se [ANT88], [CAR92],
[IEZ77a], [IEZ77b], [IEZ77c], [LIM80], [LIM96], [MAC86a], [MAC86b], [MAC86c],
[MAC88], [NET79a], [NET79b], [NET79c], [TRO88a] e [TRO88b], livros didáticos de
Matemática que são usados em nossas escolas secundárias. Dispunha-se, também, como
material didático de apoio, da obra referida em [BUR94] que é de fácil leitura e
compreensão de parte dos iniciantes. Salienta-se que os alunos consultavam [BUR94] e
faziam questão de resolver os problemas ali propostos.
Em pesquisa realizada e relatada em [MAT95], professores observaram que,
quando estudantes usavam o MATHEMATICA para resolver equações, caso
encontrassem uma resposta estranha como 5 + Sqrt[2] para o valor da idade de uma
pessoa, desconfiavam de que algo estava errado. Entretanto, ao usarem uma calculadora
e encontrando o resultado 6,141 não questionavam o mesmo. Este fato também ocorreu
no início desta pesquisa, quando os alunos calcularam expressões aritméticas simples.
Em um dos primeiros exercícios realizado pelos alunos, no que se refere à
divisão de números inteiros, eles perceberam que o resultado fornecido pela máquina
era apresentado na forma de fração irredutível. Foi, então, o momento de introduzir-se o
comando N[expressão, n], para que pudessem obter a forma decimal, com
arredondamento estipulado pelo usuário e não apenas um arredondamento padrão, como
acontecia na maioria das calculadoras que eles possuíam.
Pediu-se, então, que calculassem 8 ÷ 7, com aproximação de vinte casas
decimais, cujo resultado obtido foi o seguinte:
In[1] := N[8/7, 20] Out[1] = 1.1428571428571428571
84
É proposto em [BUR94] que se resolva o clássico problema do inventor do
tabuleiro de xadrez, que consiste em calcular o número de grãos de trigo colocados na
grade, da seguinte forma: um na primeira casa, dois na segunda, quatro na terceira, etc,
o que, no final da operação, constitui o pagamento que o rei deve conceder ao sábio, por
serviços prestados.
Para resolver este problema, os alunos, antes de utilizar a máquina, foram
obrigados a raciocinar.
In[1] := 2 ^ 64 - 1 Out[2] = 18446744073709551615
Ficou claro, para alguns usuários, que o “computador não elimina erros
humanos” [DAV85]. (p. 429) Antes deles tentarem fazer uso da máquina deverão pôr
em atividade os seus cérebros.
Para que os alunos verificassem a capacidade do software, foi pedido, entre
outras atividades, o cálculo do fatorial de 100 e o número π com quinhentas casas
decimais.
Os conteúdos apresentados obedeceram à seguinte ordem: funções lineares,
funções do 2º grau, funções exponenciais, funções logarítmicas, funções
trigonométricas e funções polinomiais de grau maior do que dois. Com relação às
mesmas, usou-se o software para definí-las, determinar seus domínios e conjuntos-
imagens, elaborar seus gráficos, calcular suas raízes, analisar seus comportamentos de
sinais em determinados intervalos, bem como sua periodicidade.
Salienta-se que muitos comandos do MATHEMATICA têm sua sintaxe
semelhante à da linguagem matemática. Isto não só facilita o aprendizado do software,
como desenvolve, no aluno, uma maior atenção à escrita usual. Cita-se, como exemplo,
a elaboração do gráfico da função cuja lei é dada por f (x) = sen x + cos x.
Primeiramente, para definir a função, o aluno utilizou o comando:
In[3] := f [x_] = Sin[x] + Cos[x] Out[3] = Cos [x] + Sin [x]
85
Posteriormente, usando o comando Plot para elaborar o gráfico da função f
(x) no intervalo [-5 ; 5], digitaram e obtiveram, como saída, o gráfico representado na
figura 4.4.
In[4] := Plot[f[x], {x, -5, 5}] Out[4] =
Figura 4.4: Gráfico da função f (x) = sen x + cos x
Durante as atividades realizadas, a parte de visualização foi muito
explorada, tanto na representação de gráficos de funções, uma vez dada sua lei, como na
interpretação de gráficos de uma ou mais funções simultaneamente. Para isso, os alunos
usaram vários recursos que o comando Plot permite, tais como: cores, espessura das
linhas, escala nos eixos.
Para representar os gráficos de duas funções definidas por g (x) = x2 e
h (x) = x2 + 50, simultaneamente, no intervalo [-10 ; 10], usaram o comando
Plot[{g[x],h[x]},{x,-10,10}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0]} e
obtiveram a saída que se encontra na figura 4.5.
Figura 4.5: Gráficos das funções g (x) = x2 e h (x) = x2 + 50
86
Muitos alunos se deram conta de que a escala fornecida pela máquina, nos
eixos cartesianos, não é a mesma. Foi discutido o assunto e acrescentada a opção do
comando Plot, AspectRatio->Automatic, através do qual o software cria a mesma escala
nos dois eixos. Verificou-se que, no intervalo proposto do domínio, o gráfico das
funções não é perfeitamente visualizado. Por esta razão, o software opta por usar escalas
diferentes. Através desse exemplo, os alunos puderam analisar a translação do gráfico
de g(x), representado pelo gráfico de h(x).
O mesmo procedimento foi usado nas funções logarítmicas, exponenciais e
trigonométricas.
Um dos problemas propostos durante o curso consistiu em elaborar os
gráficos das funções definidas por t (x) = sen x e k (x) = 4 sen x + 3, analisá-los e
compará-los.
Usando o software o problema ficou assim resolvido:
In[14] := t [x_] = Sin[x] k [x_] = 4 Sin[x] + 3 Out[14] = Sin[x] Out[15] = 3 + 4 Sin[x] In[16] := Plot[{t[x],k[x]},{x,-3 Pi,3 Pi},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,0,1]}] Out[16] =
Figura 4.6: Gráficos das funções t (x) e k (x)
No ensino tradicional de Matemática, o professor não pede a seus alunos
que elaborem gráficos de funções polinomiais, como a definida pela expressão
p(x) = x8 + 3 x7 - 101x6 - 335x5 + 2788x4 +9580x3 - 19488x2 - 79808x - 53760 , nem
87
que os mesmos determinem os pontos onde o gráfico desta função corta o eixo das
abscissas. Usando o MATHEMATICA como ferramenta, tal dificuldade fica resolvida
em curto espaço de tempo, dando ao aluno a oportunidade de analisar o comportamento
da referida função.
Este problema foi resolvido por um usuário, da seguinte maneira:
In[21] := p [x_ ]=x^8+3x^7-101x^6-335x^5+2788x^4+9580x^3-19488x^2-79808x-53760 Out[21] = x8 + 3 x7 - 101x6 - 335x5 + 2788x4 +9580x3 - 19488x2 - 79808x - 53760 In[22] := Plot[p[x],{x, -8, 8}] Out[22] =
Figura 4.7: Gráfico da função p (x)
In[23] := Solve[p [x] = = 0]
Out[23] = {{x-> -1}, {x-> -2}, {x-> -4}, {x -> -6}, {x -> -7}, {x -> 8}, {x -> 5}, {x -> 4}}
Sabe-se que, dadas as raízes de um polinômio, pode-se determiná-lo, fato
este que também foi constatado no seguinte problema: determinar o polinômio cujas
raízes são -1, 1, 4, 4, 2 - i, 2 + i, 4 - 3i, 4 + 3i.
Os alunos resolveram da seguinte forma:
In[24] := Expand[(x+1)(x-1)(x-4)(x-4)(x-2+I)(x-2-I)(x-4+3I)(x-4-3I)] Out[24] = -2000 + 3240x - 237x2 - 2412x3 + 2063x4 - 808x5 + 173x6 - 20x7 + x8
Na mesma questão, solicitou-se a elaboração do gráfico do polinômio. Com
isto, foi possível fazer a interpretação gráfica de raízes reais e imaginárias.
88
Um grupo de nove alunos havia utilizado o software EXCEL em aulas de
Matemática, no ano anterior, para construção de gráficos de funções. Comentou-se com
os usuários que em muitas escolas vem sendo utilizado este software como instrumento
de apoio ao ensino de Matemática, havendo, inclusive, relato de pesquisas realizadas e
constatadas em [GOM94], com resultados altamente satisfatórios. Pediu-se a esses
alunos que fizessem uma comparação entre os softwares EXCEL e MATHEMATICA.
Todos acharam que este último, mesmo tendo um número muito grande de comandos e
opções, torna-se mais fácil de usar e atinge melhores resultados depois da necessária
familiaridade do usuário com sua linguagem.
Um aluno interferiu, dizendo que no EXCEL pode-se entrar com uma tabela
para gerar uma função, perguntando se no MATHEMATICA isto é possível. Foi o
momento de introduzir para este grupo de alunos o comando Table pedindo que
resolvessem um exercício, inserido em [BUR94], que propõe criar uma tabela de
números inteiros de 1 a 10 e seus respectivos cubos.
Ao término do curso, a fim de avaliar o importância do desempenho do
software no aprendizado dos alunos, foi elaborada uma tarefa que constou de um
instrumento, dividido em duas partes: na primeira, composta de 14 questões, o aluno
avaliou o sistema computacional utilizado e, na segunda, com 42 itens, foram avaliados
seus conhecimentos de Matemática e da linguagem do software.
Constatou-se, através das respostas às questões da primeira parte, que a
totalidade dos alunos acharam que computadores podem ser usados no ensino de
Matemática, tendo 72,2 % declarado que sua expectativa anterior era menor do que a
constatada durante o curso.
Nenhum aluno teve problemas no que se refere às operações iniciais do
computador, quais sejam: ligar a máquina, carregar o software, etc.
Quanto à interface do software utilizado, verificou-se que 5,6 % acharam-na
auto-explicativa e 94,4 % manifestaram a necessidade de alguma explicação extra, mas
nenhum julgou muito complicada sua operacionalidade.
Durante o curso, alguns comandos e funções do MATHEMATICA foram
exaustivamente trabalhados, sendo que 66,7 % dos alunos acharam-nos compatíveis
89
com a linguagem matemática e, em uma escala E = {0, 1, 2}, de graus de dificuldade,
verificou-se que 38,9 % atribuíram grau zero, 50 % grau um e 11,1 % grau dois. Isto
significa que 88,9 % não tiveram dificuldades em operar a máquina a fim de realizar as
atividades propostas.
Sabendo-se que o MATHEMATICA é um software que realiza operações
numéricas, algébricas e elabora gráficos, solicitou-se a opinião do aluno a respeito da
importância das referidas operações, sendo que 83,3 % acharam a construção de
gráficos mais relevante.
A maioria dos alunos julgou que o uso de software MATHEMATICA os
auxiliou na aprendizagem, ressaltando-se, como conteúdos, a resolução de equações, o
domínio e gráficos de funções e a função logarítmica.
Solicitados a emitir uma avaliação sobre o curso e baseados na seguinte
escala: E = {0 = fraco, 1 = regular, 2 = ótimo}, os alunos, em sua maioria ( 72,2 %),
atribuíram-lhe grau 2.
Na segunda parte do instrumento de avaliação, os alunos tiveram de
responder a quarenta e dois itens relativos aos conteúdos trabalhados durante o curso, o
que poderia ser feito sem o computador, mas todos optaram pelo uso da máquina, o que
lhes permitiu concluir o trabalho no espaço de tempo determinado (3 horas).
No cômputo geral das respostas, 61,1 % dos alunos obtiveram um índice de
acertos superior a 50 %, o que demonstrou que o sistema computacional lhes facilitou a
aprendizagem e a realização do processo de resolução das tarefas.
Em quatro perguntas descritivas, referentes a conceitos matemáticos mais
gerais tais como: função, domínio, conjunto-imagem e imagem de um elemento,
ocorreu um baixo índice (18 %) de acertos nas respostas.
Constatou-se que 63,8 % dos alunos responderam corretamente aos doze
itens referentes à resolução de equações e sistemas, demonstrando, assim, que
utilizaram a máquina de maneira adequada.
Com auxílio de duas monitoras, alunas do Curso de Licenciatura Plena em
Matemática, fez-se uma análise dos erros cometidos pelos alunos, através da
90
comparação de questões dos pré-teste e pós-teste.
Foram selecionadas, no pré-teste, as questões que abordaram o estudo das
funções: linear, quadrática, logarítmica, seno e co-seno. No pós-teste foram analisadas
questões sobre as mesmas funções.
A seguir, classificou-se os erros cometidos pelos alunos em três tipos:
Erro tipo E1: reconheceu a função, mas não soube desenhar ou reconhecer seu gráfico;
Erro tipo E2: não identificou a função;
NR: não resolveu a questão.
Analisando-se os dados obtidos no pré e pós-teste, pode-se, então, concluir
que:
- quanto à função linear houve maior compreensão, aumentando o percentual de acertos,
embora persistindo o número de erros tipo E1;
- quanto à função quadrática houve, de maneira significativa, uma melhora no seu
entendimento, embora o percentual de erros tipo E2 tenha aumentado;
- quanto à função logarítmica ocorreu melhora na sua compreensão, mesmo persistindo
o erro do tipo E1. Houve aumento do erro do tipo E2, embora tenha diminuído o
percentual de alunos que não realizaram a tarefa. Ficou evidenciado, portanto, que o
conteúdo logaritmo e a própria função logarítmica não foram compreendidos por parte
da maioria dos alunos participantes desta pesquisa;
- quanto à função seno, o percentual de erros aumentou, ainda que tivesse diminuído o
percentual de alunos que não realizaram a questão;
- quanto à função co-seno o percentual de acertos aumentou, constatando-se que houve
melhora na compreensão deste conceito.
4.3 Pesquisa C
A terceira pesquisa realizada teve como característica, diferente das demais,
91
o fato de os usuários do sistema de computação escolhido serem todos professores de
escolas de segundo grau. Portanto, os aspectos de aprendizagem de conteúdos de
Matemática elementar não foram levados em consideração. Centralizou-se o trabalho
em fatores sobre a familiaridade com o software e em comentários dos professores
sobre as possibilidades de implementação do sistema, no ensino de Matemática.
Dos trinta e três professores inscritos no curso, vinte e sete preencheram
uma ficha de informações, através da qual constatou-se que 40,7 % deles usavam
computadores. Do total dos docentes, 37 % usavam a máquina apenas para suas tarefas
pessoais, 33,3 % na elaboração de atividades didático-pedagógicas e apenas 3,7 % com
alunos. Verificou-se, também, que 48,14 % das escolas em que estes mestres
trabalhavam usavam computadores, quer direta ou indiretamente, no processo
educativo, sendo que apenas duas escolas possuíam laboratórios de Informática.
Indagados a respeito de seus conhecimentos sobre alguma linguagem computacional,
apenas dois professores manifestaram-se positivamente, sendo que nenhum conhecia
sistemas de computação algébrica.
O pré-teste, incluído, também, nesta pesquisa, constava de vinte e quatro
questões sobre Trigonometria em que os professores deveriam escolher uma alternativa
entre cinco apresentadas, como resposta. Para evitar constrangimentos, optou-se pela
não identificação dos usuários.
Analisando-se os dados deste pré-teste, constatou-se que 16,7 % dos
usuários obtiveram um aproveitamento maior do que 70 %, 25 % um desempenho entre
50 e 69 % ; o restante dos pesquisados obtiveram um rendimento abaixo de 50 %.
Verificando-se o número de acertos e de erros em cada questão do pré-teste,
observou-se que aquelas que apresentavam mais erros do que acertos eram as relativas
às identidades trigonométricas, equações trigonométricas, relações trigonométricas no
triângulo retângulo e num triângulo qualquer, transformações das funções
trigonométricas, gráficos de funções e imagens de funções trigonométricas. Nas
questões relativas a estes três últimos conteúdos notou-se que o número de erros
superou em dobro ao de acertos, evidenciando deficiências na elaboração e análise de
gráficos de funções. Por esta razão, o cronograma do curso foi alterado e este conteúdo
foi amplamente trabalhado nas aulas práticas.
92
Um dos livros indicados na bibliografia distribuída foi o citado em
[CAR92]. Dele extraíram-se vários exercícios, como os que envolviam elaboração e
análise de gráficos de funções trigonométricas, para que os professores resolvessem,
utilizando o sistema MATHEMATICA.
As primeiras aulas de laboratório transcorreram num ritmo bem mais lento
do que as equivalentes das demais pesquisas. Isto talvez se deva à faixa etária mais
elevada dos usuários, como também, ao maior grau de auto-exigência, visto terem
formação superior em Matemática. Eram programados estudos dirigidos sobre o uso do
sistema na resolução de exercícios de Trigonometria, técnica essa já experimentada,
muitas vezes, com os usuários nas pesquisas A e B. Os professores faziam questão de
realizar todas as tarefas propostas, mas, às vezes, alguns se atrasavam em relação aos
outros. Raros eram os momentos em que os usuários propunham problemas ou
questões, pois, a maior do tempo era utilizada para discussões a respeito do que se lhes
apresentava. Praticamente todos os comandos e funções do software, utilizados nas
pesquisas anteriores, foram experimentados.
Em um dos encontros, fez-se referência aos pacotes que o MATHEMATICA
possui, principalmente o relativo a Álgebra e Trigonometria, cuja sintaxe para carregá-
lo é << Algebra\Trigonom.m. Neste pacote foram salientados comandos como:
- TrigReduce[expressão] que escreve funções trigonométricas de arcos múltiplos, como
soma de produtos destas funções;
- TrigToComplex[expressão] que escreve funções trigonométricas, como funções
complexas exponenciais e
- ComplexToTrig[expressão] que escreve funções complexas exponenciais, como
funções trigonométricas.
As duas monitoras, que também participaram desta pesquisa, trabalharam
muito, ajudando os mestres em seus vários problemas de digitação.
Estavam ainda programados alguns encontros relativos a comandos usados
no Cálculo Diferencial e Integral, citados no capítulo dois deste trabalho. Mas, havendo
uma reformulação nos objetivos do curso, no que tange à fundamentação teórica da
Trigonometria através do Cálculo, optou-se por deixar a cargo do professor estes
93
comandos. Para tal, elaborou-se uma lista de exemplos e exercícios, extraídos de
[FLE92], [FIG77], [KON74], [SIM87], [SWO94] e [SPI76]. Apenas dois usuários se
interessaram em verificar estes problemas.
Com relação à operacionalidade do sistema, alguns professores alegavam
muita dificuldade em memorizar os comandos ou que a sintaxe dos mesmos era
complicada e muito extensa. Alguém disse: “- Eu quero um software em que o aluno
aperte apenas uma tecla e apareça o gráfico da função.” Outros, comparando o
MATHEMATICA com os softwares MPP e GRAPHMAT, mesmo verificando as
inúmeras vantagens e potencialidades do primeiro em relação aos dois últimos, optariam
por trabalhar com estes, pela familiaridade com suas linguagens.
Outro aspecto discutido com os professores foi a utilização do computador
como objeto de construção do próprio conhecimento, o que pode ser realizado pelo
aluno através da descrição de conceitos a serem apreendidos [MEN97].
Em [GIR91] verifica-se que o que acontece, neste momento da história da
Educação, é a discussão da utilização do computador como ferramenta capaz de
transmitir informação com aquisição de conhecimentos ou capaz de auxiliar o aluno a
construir o seu conhecimento através da análise de resultados, baseados em
experimentos e situações por ele criados. O que está faltando é uma reflexão mais
aprofundada por parte dos professores, a respeito de suas próprias concepções sobre o
uso destes recursos computacionais.
Corroborando com esta idéia, constata-se em [CUR94] que:
“Se os professores não se acostumam a fazer conjecturas sobre os conceitos matemáticos, se não refutam as resoluções de problemas e as demonstrações de teoremas propostas por outros professores ou pelos livro-texto por eles adotados, se não procuram criar novas soluções ou novas provas, se não apresentam suas idéias perante os colegas, expondo-as às críticas, então esses professores não conseguem, também, questionar as suas próprias concepções e práticas e detectar as incoerências que, por ventura, venham a apresentar.” (p. 226)
Dos trinta e três professores inscritos no curso, trinta e um o concluíram e
vinte e cinco responderam ao pós-teste realizado no último encontro. Nas dez primeiras
perguntas deste, em que o professor avaliou o sistema computacional proposto, destaca-
se que a totalidade deles se manifestou favorável ao uso de computadores no ensino de
Matemática e que o mesmo pode contribuir para melhorar a aprendizagem do aluno.
94
Perguntados sobre como classificariam as operações iniciais no computador,
96 % dos professores julgaram-nas fáceis e 92 % deles acharam que a interface do
sistema proposto é simples mas necessita de alguma explicação extra. Quanto ao grau
de dificuldade dos comandos utilizados, 8 % dos usuários acharam-nos muito fáceis,
92% deles os consideraram de dificuldade média e nenhum professor classificou-os
como muito difíceis. Todos concordaram que a linguagem o software MATHEMATICA
é bem compatível com a linguagem matemática.
Quando foram interrogados sobre qual a característica do sistema
computacional que acharam mais importante para o ensino da Matemática, 72 % dos
usuários optaram pela construção de gráficos, 7 % pela manipulação algébrica e
nenhum achou que as operações numéricas são um fator relevante.
Constatou-se que trinta e dois por cento dos usuários encontrou, como sua
maior dificuldade durante a pesquisa, o fato de ter pouco tempo para se acostumar com
a linguagem do software.
A segunda parte do pós-teste continha dez perguntas para que o professor
pudesse demonstrar o uso adequado do sistema na resolução de problemas de
Trigonometria. Em todas elas, o usuário deveria colocar a solução e os respectivos
comandos utilizados. Verificou-se em oito questões propostas um nível de acertos
superior a 80 %, enquanto que duas, a de número 14 e de número 17, tiveram um índice
de acertos abaixo de 56 %.
A questão de número quatorze foi assim formulada:
Faça um esboço dos gráficos das funções definidas por: f(x) = 3 cos (x/2), g(x) = 3 cos (2x), h(x) = 3 sen (x/2), k(x) = 3 sen (2x) e m(x) = sen(x/2) + 3, em um mesmo sistema de eixos coordenados.
A mesma apresentou um índice de 56 % de respostas certas. Os usuários
tiveram dificuldades de digitação relativamente às opções do comando Plot.
95
Com relação à questão número dezessete, isto é:
Resolva o sistema , onde z e w são números complexos, o índice de
acertos foi de apenas 28 %, ficando claro que os usuários não souberam aplicar os
comandos e funções relativos a números complexos.
⎩⎨⎧
−=+=+
1i2wiziwiz
Nos projetos implementados e apresentados no seminário de integração
levado a efeito no final do curso, verificou-se que os cinco que usaram computadores, e
não o sistema proposto, pelas razões já explicadas no capítulo anterior, obtiveram muito
êxito, ficando entusiasmados com o desempenho de seus alunos. Aqueles que optaram
por usar o software MATHEMATICA de um maneira indireta, isto é, para preparar o
material didático em lâminas e reproduzí-las no retro-projetor, tiveram, igualmente,
resultados animadores. Ficou comprovada, pelos professores, a carência que o aluno
tem na representação visual de funções trigonométricas.
Cada professor dispunha de aproximadamente vinte minutos para fazer seu
relato, após o qual era aberto espaço para discussões e perguntas. Mesmo aqueles que
não usaram computador em seus projetos, salientaram a importância atribuída por seus
alunos, na área educacional, às ferramentas computacionais. Alguns comentaram a
importância do curso no sentido de lhes permitir o contato com este tipo de ferramenta,
ao qual, até então, não tiveram acesso.
O investimento no professor deveria ter constituído a etapa básica da
implantação da Informática na Educação [COR91], não o deixando de fora do contato
com ferramentas computacionais muitas vezes manipuladas, de maneira incorreta, por
seu aluno.
Concorda-se com [CLA97] que “as ferramentas computacionais permitem
evidenciar mudanças em diversos aspectos do processo de aprendizado dos alunos”,
(p. 68) mesmo que estes sejam professores. É também destacado em [CLA97] a
capacidade de interação com a máquina, permitindo, através de alterações simples nas
linhas de comandos do software, a visualização imediata e concreta de respostas
formuladas por parte dos alunos.
96
4.4 Pesquisa D
Esta pesquisa se assemelha à primeira, no que tange ao tipo de usuário:
alunos da disciplina Fundamentos de Matemática Elementar II. Portanto, alguns
aspectos que se repetiram não serão, novamente, analisados.
Através da ficha de informações preenchida pelos usuários, constatou-se que
45,4 % deles usavam computadores em suas atividades e apenas um aluno conhecia um
software de computação algébrica, o MATLAB. Contrariamente à pesquisa A, a metade
dos usuários teve grandes dificuldades em operar o sistema. Notou-se, logo de início,
que o nível de conhecimento de Matemática apresentado por esta turma era inferior ao
dos alunos matriculados no primeiro semestre.
Também, diferentemente do ocorrido na pesquisa A, o professor regente
participou de todas as atividades no laboratório, planejando-as, conjuntamente. Sempre
que havia uma dúvida em conceitos de Matemática ou na operacionalidade do sistema,
interrompiam-se as tarefas que estavam sendo realizadas, para serem dados avisos e
instruções gerais. Achou-se que, desta forma, não só era possível nivelar mais
rapidamente os alunos como ter mais tempo e organização para observá-los.
Sobre um estudo dirigido, distribuído aos alunos e já mencionado no
capítulo anterior, cabe ressaltar que aproximadamente 50 % não o realizaram por não
compreender o que era pedido. Foi solicitado que, a partir da função determinada por
f (x) = a x, eles atribuíssem para a valores positivos e negativos. O mesmo exercício
também foi exigido para a função determinada por f (x) = a x + b. Considerando as
funções construídas pelos aprendizes, os mesmos deveriam responder a uma série de
questões, usando o sistema computacional. Poucos alunos, em torno de quatro em treze,
conseguiram terminar esta tarefa no período de duas horas-aula de laboratório.
Foram propostos muitos exercícios já realizados pelos alunos desta
disciplina, no primeiro semestre. Os resultados não foram os esperados. A metade dos
usuários, além de ter falhas em seus pré-requisitos de conceitos elementares de
Matemática, como por exemplo, o de número racional e irracional, tinha muita
dificuldade e um pouco de falta de interesse em relação à operacionalidade do software
MATHEMATICA.
97
Os resultados da primeira avaliação desta turma não foram muito
animadores. Dos trezes alunos, oito ficaram com grau inferior a sete, que é o mínimo
exigido para que sejam aprovados, sem recuperação. Observou-se, então, que o auxílio
do sistema computacional não havia influenciado na aprendizagem dos usuários.
No encontro de laboratório, posterior à prova teórica, foi solicitado aos
alunos que resolvessem a mesma prova (com algumas adaptações) usando o
computador. Alguns não conseguiram terminar esta tarefa durante o período previsto.
Notou-se uma considerável melhora em seus desempenhos, talvez por realizarem a
prova pela segunda vez. Não se acredita que a máquina tenha influenciado a habilidade
de resolver os problemas propostos, pois aqueles que permitiam uma solução direta pelo
computador foram alterados para que o aluno tivesse que raciocinar antes de
implementá-los computacionalmente.
Esta pesquisa foi realizada concomitantemente à pesquisa C, cujo usuário
era o professor de segundo grau, que teve dois meses de contato com a máquina,
enquanto os da pesquisa atual dispuseram de quatro meses.
Pelas dificuldades constatadas, de operação e digitação de comandos mais
longos, pensou-se em interagir com o sistema, no sentido de torná-lo mais “amigável” a
estes usuários. Surgiu, então a idéia de criar pacotes dentro do sistema MATHEMATICA
especialmente para estes fins didático-pedagógicos, como o TRIGRAF, o POLIGRAF e
o ANIMA, já descritos no capítulo 2. O primeiro deles, como já foi visto, permite que o
aluno construa gráficos de funções trigonométricas, não se preocupando com as
formatações de tamanho, cores, proporcionalidade, etc e otimizando estas propriedades.
Os alunos interagiram muito bem com o pacote, manifestando que com o mesmo as
“coisas se tornaram mais fáceis”. Até se pode acreditar neste fato, mas fica a dúvida de
que talvez eles já possuíssem uma prática e experiência suficientes para adquirir
habilidades em operar o software .
Muitos exercícios sobre gráficos de funções trigonométricas realizados,
também, pela turma do primeiro semestre, foram perfeitamente resolvidos sem
dificuldades, usando o pacote TRIGRAF. O pacote POLIGRAF, para funções
polinomiais, foi experimentado por poucos usuários, pois o semestre já estava
terminando.
98
Verificou-se, no último mês da pesquisa, uma desenvoltura no sistema
computacional, por parte dos usuários que tinham dificuldades. Aqueles que resistiam
em usar a máquina como ferramenta para suas aprendizagens, começaram a verificar as
potencialidades da mesma e sua aplicabilidade no ensino.
Na avaliação do software utilizado, no final da pesquisas, a totalidade dos
usuários concordou que computadores podem ser empregados no ensino de Matemática.
Perguntados sobre como classificariam as operações iniciais na máquina, 33,4 % dos
alunos consideraram serem estas difíceis, fato bastante discrepante em relação às demais
pesquisas. Quanto à interface do sistema, 83,3 % dos usuários classificaram-na como
boa, necessitando, porém, de alguma explicação extra para operá-la e um aluno
classificou-a como “muito complicada”.
Utilizando, para classificar os comandos usados, a mesma escala de graus de
dificuldade das outras pesquisas, E = {0, 1, 2}, nesta, 16,7 % dos alunos atribuíram grau
zero, metade deles acharam-na de grau médio e 33,4 % deram-lhe grau dois. Um terço
da turma achou que os comandos usados não são compatíveis com a linguagem
matemática e a totalidade da mesma salienta como mais importante para o ensino de
Matemática a construção de gráficos.
Apesar de alguns usuários demonstrarem ter tido dificuldades em relação ao
sistema computacional, todos acharam que o mesmo os auxiliou na disciplina de
Fundamentos de Matemática Elementar II. Dentre uma lista apresentada de quinze
conteúdos explorados, durante o semestre, salientam-se funções trigonométricas,
logarítmicas, exponenciais, e polinomiais de graus um e dois, como sendo os mais
ajudados pela máquina.
Perguntados se o pacote TRIGRAF facilitou o uso do software, todos
concordaram, sendo que 66,6 % deles acharam auto-explicativa a interface do pacote.
Ao final do semestre constatou-se que dos treze alunos matriculados, nove
foram aprovados, isto é 69,2 % da turma. Comparando-se com a turma do semestre
anterior (80 % de aprovação), verificou-se um pequeno decréscimo, mas não o
esperado, dadas as dificuldades apresentadas pelos alunos, até a metade do semestre.
5 CONCLUSÕES
Após o estudo do software MATHEMATICA, o relato e a análise dos
resultados das quatro pesquisas realizadas com alunos de 2º grau, licenciandos de
Matemática e professores de Matemática de 2º grau, pode-se comparar os dados obtidos
e tecer algumas considerações sobre as possibilidades de uso desse sistema
computacional.
A introdução dos computadores no ensino de Matemática, em qualquer
nível de ensino, é uma realidade que não pode mais ser negada, pois é grande o número
de escolas, de 1º e 2º graus, que já oferecem esse recurso a alunos e professores. No
entanto, acredita-se que é necessário realizar um maior número de pesquisas sobre a
melhor forma de trabalhar com computadores e sobre os melhores softwares a serem
utilizados no ensino de Matemática.
Pelo estudo que foi feito do software MATHEMATICA, vê-se que ele tem
mais pontos fortes do que fracos. Para o 2º grau, há a possibilidade de representar
gráficos de funções e de resolver equações; para o 3º, inúmeros usos para o ensino e a
pesquisa em Cálculo Diferencial e Integral e Álgebra Linear.
Em qualquer nível, outro ponto forte é a possibilidade de programar pacotes
que podem ser adaptados às necessidades e dificuldades de cada contexto educacional.
Em relação às pesquisas aqui descritas, vê-se que é aproximadamente igual
a porcentagem de usuários de microcomputadores, em cada um dos conjuntos de
participantes. Após a experiência, os usuários foram praticamente unânimes em afirmar
que são favoráveis à utilização do software MATHEMATICA no ensino.
Um pouco diversas são as opiniões sobre os conteúdos em que houve maior
aproveitamento com o auxílio do software. A primeira turma de alunos do curso de
Licenciatura em Matemática considerou mais relevante a possibilidade de construir
gráficos de funções, enquanto que a segunda enfatizou a utilização para o estudo de
funções trigonométricas e polinômios. A diferença de opinião deve-se, provavelmente, à
maior ênfase que foi dada aos pacotes TRIGRAF e POLIGRAF, em vista da falta de
conhecimento desses conteúdos, apresentada pelos alunos da segunda turma. Também
100
houve consenso, em ambas as turmas, quanto à dificuldade do uso de comandos mais
extensos do sistema que exigiam maior cuidado na digitação.
Alunos e professores de 2º grau concordaram em que é relevante a
possibilidade apresentada pelo software de plotar gráficos de funções. Acredita-se que
isso se deva ao próprio conteúdo de 2º grau, pois mestres e alunos conhecem as
dificuldades enfrentadas pelos últimos no estudo dos gráficos e a necessidade de que
esse conteúdo seja melhor entendido, face às novas exigências dos exames vestibulares,
que enfatizam a análise de gráficos.
Verificando-se a pesquisa realizada com um sistema de computação
algébrica em [HIL93] constatou-se que estudantes ganham coragem para a resolução de
problemas, mediante o apoio do recurso à sua disposição. Este fato também observou-se
quando da realização das pesquisas que integram este trabalho, ocorrendo com maior
intensidade na referente aos alunos de segundo grau e com menos freqüência nas que
foram efetuadas com os licenciandos em Matemática. No que concerne aos professores,
a pesquisa deixou evidenciada, ao contrário dos demais usuários, um certo receio diante
da nova técnica, motivado por um espírito crítico acentuado e o conseguinte medo de
errar.
Na pesquisa realizada com alunos de segundo grau, ficou evidente que o uso
do sistema MATHEMATICA serviu de estímulo para levá-los a conjecturas matemáticas
e a experimentar exemplos e contra-exemplos, diferenciados dos que lhes foram
anteriormente apresentados, fato este também constatado e citado em [HIL93] e
[GRO98].
Na primeira pesquisa realizada com licenciandos em Matemática, em que os
mesmos utilizaram a máquina, conservando seus próprios ritmos, normalmente em
duplas, verificou-se um aumento em seu poder de concentração. Isto ocorreu pelo fato
de a linguagem do MATHEMATICA requerer um rigorismo, semelhante ao da
linguagem usual, o que também foi registrado em [MAT95] com o relato de uma
experiência com alunos do ensino médio em uma escola americana. O mesmo fato foi
constatado na pesquisa B, com alunos de segundo grau, quando os mesmos utilizaram a
máquina sozinhos. Cabe, portanto, ao professor elaborar tarefas desafiadoras, por um
lado, mas passíveis de serem compreendidas pelos usuários, para não ocorrer o fato de
101
os mesmos ficarem apenas digitando os comandos, sem saber interpretá-los.
Em [MOR94] é abordado o desenvolvimento de representações gráficas
para o ensino de funções com o software MATHEMATICA. Há um alerta, entretanto,
para a necessidade de certos cuidados com o uso das imagens, diante da ocorrência de
possíveis erros na apresentação de gráficos de funções. Em geral, os softwares de
computação algébrica, ao elaborarem estes gráficos, não o fazem de maneira
proporcional. Isto também ocorre não só com o MATHEMATICA, como também com o
Maple, conforme [CHA91], [CHA92] e [CUN96] e o Matlab, de acordo com [MAT94]
e [THE95]. Tal fato leva o usuário a conhecer comandos mais sofisticados e, muitas
vezes, a elaborar algoritmos, o que ocasiona grande empecilho ao uso do sistema.
A necessidade de conhecimento de comandos mais sofisticados pode ser,
portanto, uma grande dificuldade ao uso do sistema pelo usuário iniciante. Em
[MOR94], encontra-se um tutorial com a finalidade de visualizar gráficos de funções, o
que pode auxiliar o aluno, evitando a formatação dos gráficos
Não é objetivo do presente trabalho fazer a análise do software
MATHEMATICA. Pretendeu-se, antes, analisar as possibilidades de implementação do
referido sistema de computação no ensino de Matemática de 2º e 3º graus. No entanto,
no decorrer das pesquisas, motivado pelas observações feitas pelos participantes,
resolveu-se questioná-los, também, sobre o software, recebendo informações que serão
úteis em próximas aplicações do MATHEMATICA como ferramenta de aprendizagem.
De todos os quatro grupos, somente os participantes da pesquisa D
(licenciandos em Matemática) consideraram difíceis as operações iniciais do software.
É interessante notar que os alunos da pesquisa A (licenciandos em Matemática) e os da
pesquisa B (alunos de 2º grau) consideraram fáceis os comandos do software, enquanto
que os professores de 2º grau (pesquisa C) já encontraram dificuldades, que também
foram bastante citadas pelos participantes da pesquisa D. No entanto, com exceção de
alguns alunos da última turma, todos os outros participantes parecem ter considerado os
comandos do sistema utilizado compatíveis com a linguagem matemática.
Ao concluir este trabalho, há algumas considerações a serem feitas, no
sentido de oferecer sugestões para outros pesquisadores que venham a estudar a
utilização do software MATHEMATICA no ensino, bem como para os professores de 2º
102
e 3º graus que queiram empregá-lo com seus alunos.
O estudo detalhado do software MATHEMATICA permitiu concluir que sua
linguagem é semelhante à da Matemática, facilitando, em muito, sua aplicação no
ensino.
Através das experiências vivenciadas com professores, chegou-se à
conclusão de que o uso do software MATHEMATICA serve de estímulo a refletirem
sobre suas próprias concepções de ensino e sobre a importância de um trabalho em
equipe, com a troca de experiências com os colegas, buscando, quando necessário a
integração com um profissional da área de Computação.
A vivência do sistema e a familiaridade com seu uso oportunizam ao
professor estudar sua linguagem a fim de que elabore packages e notebooks
direcionados aos alunos, de acordo com os objetivos previstos em seu planejamento.
Uma das características do MATHEMATICA que se julgou importante ao
ensino é sua visualização gráfica, e este recurso pode ser apresentado, como um pacote,
pelo professor.
No que se refere, ainda, ao aluno, o sistema apresenta, como vantagem, a
possibilidade de motivá-lo à computação científica.
Uma observação que deve ser feita diz respeito à não portabilidade do
sistema, já que o mesmo não gera arquivos executáveis. Isto obriga os usuários a terem
o núcleo do software para que possam utilizar os pacotes e notebooks, previamente
elaborados.
Outra ressalva a ser feita refere-se à interface do sistema, pois ainda que a
mesma, na versão 3.0, tenha evoluído com vistas a torná-lo mais amigável ao usuário,
em algumas situações de ensino-aprendizagem é aconselhável que o professor a elabore,
o que implica seu conhecimento da linguagem de programação do MATHEMATICA.
Não se pode deixar de abordar as dificuldades constatadas ao longo do
presente trabalho e concernentes às atuais condições econômicas que atingem o ensino,
sendo uma delas o custo elevado do software MATHEMATICA que não dispõe, ainda,
de versões mais acessíveis à escola e/ou professor.
103
Acredita-se que esta situação pode ser resolvida em parte, em nível de 2º
grau, mediante a utilização de outros softwares, não tão sofisticados quanto o
MATHEMATICA, mais baratos e , alguns ainda, de domínio público na INTERNET.
Em [BEH93], encontra-se um referencial para análise de softwares. A partir
desse trabalho e com base nas observações feitas durante a realização das quatro
pesquisas aqui analisadas, avaliou-se o software MATHEMATICA, segundo os aspectos
que se considerou mais significativos. Essa avaliação, apresentada no Anexo E,
referenda a conclusão aqui enunciada, de que o MATHEMATICA é aceitável como
ferramenta de apoio, podendo ser implementado no ensino de 2º e 3º graus, ainda que
necessite alterações, como, por exemplo, a elaboração de pacotes que minimizem as
dificuldades apresentadas para o usuário.
Como propostas de trabalhos futuros tem-se as seguintes sugestões:
- elaborar pacotes, utilizando o MATHEMATICA, para que licenciandos em Matemática
possam empregá-los em suas atividades de ensino-aprendizagem;
- proporcionar a professores de disciplinas de Matemática no 3º grau o uso do sistema
como ferramenta de apoio ao processo de ensino-aprendizagem;
- aprofundar o estudo dos recursos gráficos disponíveis no sistema a fim de
proporcionar material ao professor de 2º grau da rede escolar da comunidade, para que o
mesmo possa preparar suas aulas, quer em lâminas, ou em notebooks.
ANEXO A
O Pacote TRIGRAF
BeginPackage["Trigraf`"] (* início do pacote *) (* início da definição do “help on-line” dos comandos *) Des1::usage = "Des1[x0,x1] desenha o gráfico da função definida por T[x] = a F[bx + c] + d no intervalo [x0,x1] do eixo das abcissas, onde F[x] é uma função trigonométrica (Sin, Cos, Tan, Cot, Sec ou Csc) e a, b, c e d são valores reais. Primeiro, será desenhado o gráfico da função T[x] = a F[bx + c] + d , após, o gráfico da função F[x] e, em seguida, no mesmo sistema de eixos coordenados, os dois gráficos." Des2::usage = "Des2[x0,x1] desenha os gráficos de duas funções T1[x] = a F1[bx + c] + d e T2[x] = a F2[bx + c] + d no intervalo [x0,x1] do eixo das abcissas, onde F1[x] e F2[x] são funções trigonométricas (Sin, Cos, Tan, Cot, Sec ou Csc) e a, b, c e d são valores reais. Primeiro será desenhado o gráfico da função T1[x], após, o gráfico da função T2[x] e, em seguida, no mesmo sistema de eixos coordenados, os dois gráficos." (* final da definição do “help on-line” dos comandos *) Begin["Trigraf`Private`"] (* muda o contexto para Trigraf *) Clear["Trigraf`"] (* limpa todas as variáveis do contexto Trigraf *) Des1[x0_,x1_ ]:=Module[ {fun1,a1,b1,c1,d1}, (* variáveis locais ao procedimento *) x0aux=x0; (* atribuição de valores recebidos por parâmetro *) x1aux=x1; (* início do tratamento de exceções *) If [x0==x1,{StylePrint["Os valores de x0 e x1 devem ser diferentes.", FontColor->RGBColor[1,0,0],FontSlant->Italic],Abort[ ]}];
(* Abort termina a execução do procedimento *) If [x1<x0,{StylePrint["O valor de x0 deve ser menor que o de x1. Os valores foram trocados para possibilitar o desenho do gráfico.", FontColor->RGBColor[1,0,0],FontSlant->Italic],x0aux=x1,x1aux=x0}]; (* final do tratamento de exceções *) (* laço para a entrada da função, repetindo enquanto a função for inválida *) While[True, func1:= Input["Escolha a função F[x]: (Sin,Cos,Tan,Cot,Sec,Csc)"]; fun1=func1; If [fun1==Sin || fun1==Cos || fun1==Tan || fun1==Cot || fun1==Sec || fun1==Csc,Break[ ]]]; (* laços para a entrada dos valores de a, b, c e d, repetindo cada um enquanto o valor não for válido *) While[True, a=Input["Dada a expressão T[x] = a F[bx + c] + d Digite o valor de a:"]; a1=a; If [NumericQ[a1],Break[ ]]];
105
While[True, b=Input["Dada a expressão T[x] = a F[bx + c] + d Digite o valor de b:"]; b1=b; If [NumericQ[b1],Break[ ]]]; While[True, c=Input["Dada a expressão T[x] = a F[bx + c] + d Digite o valor de c:"]; c1=c; If [NumericQ[c1],Break[ ]]]; While[True, d=Input["Dada a expressão T[x] = a F[bx + c] + d Digite o valor de d:"]; d1=d; If [NumericQ[d1],Break[ ]]]; (* atribuição de valores para as variáveis de controle das cores dos gráficos *) cr1=0; cg1=0; cb1=0; If [fun1==Sin,cr1=1]; If [fun1==Cos,cg1=1]; If [fun1==Tan,cb1=1]; If [fun1==Cot,{cr1=0.5,cg1=0.5}]; If [fun1==Sec,{cg1=0.5,cb1=0.5}]; If [fun1==Csc,{cb1=0.5,cr1=0.5}]; asp=0.8; (* variável para controle do valor da função AspectRatio *) xim:=300; (* variáveis para controle do tamanho do gráfico - função ImageSize *) yim:=200; espaco={(d1-a1),(a1+d1)}; (* variável para controle do valor da função PlotRange *) (* atribuição de valores conforme a função pré-definid *) If [fun1==Sin || fun1==Cos,asp=Automatic]; If [fun1==Tan || fun1==Cot || fun1==Sec || fun1==Csc, {xunits[xmin_,xmax_]:=Range[Floor[xmin],Floor[xmax],1], yunits[ymin_,ymax_]:=Range[Floor[ymin],Floor[ymax],5], xim=300,yim=240,espaco=Automatic}]; If [fun1==Sin || fun1==Cos, {xunits[xmin_,xmax_ ]:=Range[Floor[xmin],Floor[xmax],1], yunits[ymin_,ymax_ ]:=Range[Floor[ymin],Floor[ymax],1]}]; Print["Gráfico da função T(x)= ",a1," ",fun1,"[",b1, "x + ",c1,"] + ",d1," : "]; Plot[a1 fun1[b1 x + c1] + d1,{x,x0aux,x1aux}, (* desenha o gráfico da função PlotStyle->RGBColor[cr1,cg1,cb1], T[x] = a F[bx + c] + d no intervalo [x0,x1] *) AspectRatio->asp, ImageSize->{xim,yim}, PlotRange->espaco, AxesOrigin->{0,0}, FrameLabel->{{fun1,"[x]"},None}, Ticks->{xunits,yunits}, AxesLabel->{"x","y"}]; Print["Gráfico da função F(x)= ",fun1,"[x]:"]; Plot[fun1[x],{x,x0,x1}, (* desenha o gráfico da função AspectRatio->asp, T[x] = F[x] no intervalo [x0,x1] *) ImageSize->{xim,yim},
106
PlotRange->Automatic, PlotStyle->GrayLevel[0.4], AxesOrigin->{0,0}, FrameLabel->{{fun1,"[x]"},None}, Ticks->{xunits,yunits}, AxesLabel->{"x","y"}]; Print["Gráfico das funções T(x)= ",a1," ",fun1,"[",b1, "x + ",c1,"] + ",d1," e F(x)= ",fun1," [x]: "]; Plot[{a1 fun1[b1 x + c1] + d1,fun1[x]},{x,x0aux,x1aux}, (* desenha o gráfico das funções PlotStyle->{RGBColor[cr1,cg1,cb1],GrayLevel[0.4]}, T1[x] = a F1[bx + c] + d e AspectRatio->asp, T2[x] = a F2[bx + c] + d no ImageSize->{xim,yim}, intervalo [x0,x1] *) PlotRange->Automatic, AxesOrigin->{0,0}, FrameLabel->{{fun1,"[x]"},None}, Ticks->{xunits,yunits}, AxesLabel->{"x","y"}]; ] (*fim do des1*) Des2[x0_,x1_]:=Module[ {fun1,fun2,a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2}, (* variáveis locais ao procedimento *) x0aux=x0; (* atribuição de valores recebidos por parâmetro *) x1aux=x1; (* início do tratamento de exceções *) If [x0==x1,{StylePrint["Os valores de x0 e x1 devem ser diferentes.", FontColor->RGBColor[1,0,0],FontSlant->Italic],Abort[ ]}];
(* Abort termina a execução do procedimento *) If [x1<x0,{StylePrint["O valor de x0 deve ser menor que o de x1. Os valores foram trocados para possibilitar o desenho do gráfico.", FontColor->RGBColor[1,0,0],FontSlant->Italic],x0aux=x1,x1aux=x0}]; (* final do tratamento de exceções *) (* laço para a entrada da primeira função, repetindo enquanto a função for inválida *) While[True, func1:=userInput= Input["Escolha a função F1[x]: (Sin,Cos,Tan,Cot,Sec,Csc)"]; fun1=func1; If [fun1==Sin || fun1==Cos || fun1==Tan || fun1==Cot || fun1==Sec || fun1==Csc,Break[ ]]]; (* laços para a entrada dos valores de a, b, c e d repetindo cada um enquanto o valor não for válido *) While[True, a=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F1[bx + c] + d Digite o valor de a:"]; a1=a; If [NumericQ[a1],Break[ ]]]; While[True, b=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F1[bx + c] + d Digite o valor de b:"]; b1=b; If [NumericQ[b1],Break[ ]]]; While[True, c=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F1[bx + c] + d Digite o valor de c:"]; c1=c; If [NumericQ[c1],Break[ ]]]; While[True, d=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F1[bx + c] + d Digite o valor de d:"];
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d1=d; If [NumericQ[d1],Break[ ]]]; (* laço para a entrada da segunda função repetindo enquanto a função for inválida *) While[True, func2:=userInput= Input["Escolha a função F2[x]: (Sin,Cos,Tan,Cot,Sec,Csc)"]; fun2=func2; If [fun2==Sin || fun2==Cos || fun2==Tan || fun2==Cot || fun2==Sec || fun2==Csc,Break[ ]]]; (* laços para a entrada dos valores de a, b, c e d repetindo cada um enquanto o valor não for válido *) While[True, a=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F2[bx + c] + d Digite o valor de a:"]; a2=a; If [NumericQ[a2],Break[ ]]]; While[True, b=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F2[bx + c] + d Digite o valor de b:"]; b2=b; If [NumericQ[b2],Break[ ]]]; While[True, c=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F2[bx + c] + d Digite o valor de c:"]; c2=c; If [NumericQ[c2],Break[ ]]]; While[True, d=userInput=Input["Dada a expressão T[x] = a F2[bx + c] + d Digite o valor de d:"]; d2=d; If [NumericQ[d2],Break[ ]]]; (* atribuição de valores para as variáveis de controle das cores dos gráficos *) cr1=0; cg1=0; cb1=0; If [fun1==Sin,cr1=1]; If [fun1==Cos,cg1=1]; If [fun1==Tan,cb1=1]; If [fun1==Cot,{cr1=0.5,cg1=0.5}]; If [fun1==Sec,{cg1=0.5,cb1=0.5}]; If [fun1==Csc,{cb1=0.5,cr1=0.5}]; asp1=0.8; (* variável para controle do valor da função AspectRatio *) xim1:=300; (* variáveis para controle do tamanho do gráfico - função ImageSize *) yim1:=200; espaco1={(d1-a1),(a1+d1)}; (* variável para controle do valor da função PlotRange *) (* atribuição de valores conforme a função *) If [fun1==Sin || fun1==Cos,asp1=Automatic]; If [fun1==Tan || fun1==Cot || fun1==Sec || fun1==Csc, {xunits[xmin_,xmax_]:=Range[Floor[xmin],Floor[xmax],1], yunits[ymin_,ymax_]:=Range[Floor[ymin],Floor[ymax],3], xim1=300,yim1=240,espaco1=Automatic}]; If [fun1==Sin || fun1==Cos, {xunits[xmin_,xmax_]:=Range[Floor[xmin],Floor[xmax],1], yunits[ymin_,ymax_]:=Range[Floor[ymin],Floor[ymax],1]}]; (* atribuição de valores para as variáveis de controle das cores dos gráficos *)
108
cr2=0; cg2=0; cb2=0; If [fun2==Sin,cr2=1]; If [fun2==Cos,cg2=1]; If [fun2==Tan,cb2=1]; If [fun2==Cot,{cr2=0.5,cg2=0.5}]; If [fun2==Sec,{cg2=0.5,cb2=0.5}]; If [fun2==Csc,{cb2=0.5,cr2=0.5}]; asp2=0.8; (* variável para controle do valor da função AspectRatio *) xim2:=300; (* variáveis para controle do tamanho do gráfico - função ImageSize *) yim2:=200; espaco2={(d2-a2),(a2+d2)}; (* variável para controle do valor da função PlotRange *) (* atribuição de valores conforme a função *) If [fun2==Sin || fun2==Cos,asp2=Automatic]; If [fun2==Tan || fun2==Cot || fun2==Sec || fun2==Csc, {xunits[xmin_,xmax_]:=Range[Floor[xmin],Floor[xmax],1], yunits[ymin_,ymax_]:=Range[Floor[ymin],Floor[ymax],3], xim2=300,yim2=240,espaco2=Automatic}]; If [fun2==Sin || fun2==Cos, {xunits[xmin_,xmax_]:=Range[Floor[xmin],Floor[xmax],1], yunits[ymin_,ymax_]:=Range[Floor[ymin],Floor[ymax],1]}]; Print["Gráfico da função T1(x)= ",a1," ",fun1,"[",b1, "x + ",c1,"] + ",d1," : "]; Plot[a1 fun1[b1 x + c1] + d1,{x,x0aux,x1aux}, (* desenha o gráfico da primeira função PlotStyle->RGBColor[cr1,cg1,cb1], T1[x] = a F1[bx + c] + d no intervalo [x0,x1] *) AspectRatio->asp1, ImageSize->{xim1,yim1}, PlotRange->espaco1, AxesOrigin->{0,0}, FrameLabel->{{fun1,"[x]"},None}, Ticks->{xunits,yunits}, AxesLabel->{"x","y"}]; Print["Gráfico da função T2(x)= ",a2," ",fun2,"[",b2, "x + ",c2,"] + ",d2," : "]; Plot[a2 fun2[b2 x + c2] + d2,{x,x0aux,x1aux}, (* desenha o gráfico da segunda função PlotStyle->RGBColor[cr2,cg2,cb2], T2[x] = a F2[bx + c] + d no intervalo [x0,x1] *) AspectRatio->asp2, ImageSize->{xim2,yim2}, PlotRange->espaco2, AxesOrigin->{0,0}, FrameLabel->{{fun1,"[x]"},None}, Ticks->{xunits,yunits}, AxesLabel->{"x","y"}]; Print["Gráfico das funções T1(x)= ",a1," ",fun1,"[",b1, "x + ",c1,"] + ",d1," e T2(x)= ",a2," ",fun2,"[",b2, "x + ",c2,"] + ",d2," : "]; Plot[{(a1 fun1[b1 x + c1] + d1),(a2 fun2[b2 x + c2] + d2)},{x,x0aux,x1aux}, PlotStyle->{RGBColor[cr1,cg1,cb1],RGBColor[cr2,cg2,cb2]}, AspectRatio->Automatic, ImageSize->{xim1,yim1}, (* desenha o gráfico das duas funções juntas PlotRange->Automatic, T1[x] e T2[x] no intervalo [x0,x1] *) AxesOrigin->{0,0},
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FrameLabel->{{fun1,"[x]"},None}, Ticks->{xunits,yunits}, AxesLabel->{"x","y"}]; ] Protect[Des1,Des2] StylePrint["TRIGRAF", (* impressão das informações na abertura do pacote *) "Title", TextAlignment->Center, FontSize->24, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman", FontColor->RGBColor[0,0.5,1] ] StylePrint["Este pacote elabora gráficos de funções definidas por:", "Text", TextAlignment->Left, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman", LineSpacing->{1,0}, TextJustification->1 ] StylePrint["T[x] = a F[bx + c] + d", "Text", TextAlignment->Center, FontSize->15, FontSlant->Italic, FontFamily->"Arial Narrow", LineSpacing->{1,0}, TextJustification->1, FontColor->RGBColor[0.4,0.5,0.8] ] StylePrint["onde F[x] é uma função trigonométrica a ser escolhida entre:", "Text", TextAlignment->Left, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman", LineSpacing->{1,0}, TextJustification->1] StylePrint["Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x], Sec[x] ou Csc[x] ", "Text", TextAlignment->Center, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontSlant->Italic, FontFamily->"Times New Roman", LineSpacing->{1,0}, TextJustification->1, FontColor->RGBColor[0.4,0.5,0.8]] StylePrint["e a, b, c e d são números reais que devem ser digitados.", "Text", TextAlignment->Left, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman",
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LineSpacing->{1,0}, TextJustification->1] StylePrint["Comandos disponíveis: Des1[x0,x1] e Des2[x0,x1].", "Text", TextAlignment->Left, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontSlant->Italic, FontFamily->"Times New Roman",LineSpacing->{2,0}, TextJustification->1] End[ ] (* muda o contexto para o anterior à abertura do pacote *) EndPackage[ ] (* final do pacote *)
ANEXO B
O Pacote POLIGRAF
BeginPackage["Poligraf`"] (* início do pacote *) NotebookOpen["h:\Poligraf.nb"] (* abertura do notebook que forma a janela de funções *) Needs["Graphics`Legend`"] (* chamada para um pacote auxiliar do Mathematica *) Gráfico:=Module[ {expo,expodv1,xmin,xmax,ymin,ymax}, (* declaração das variáveis locais ao procedimento *) While[True, (* laço para a leitura da equação *) faux[x_ ]:= Input["Digite a equação:"]; f[x_ ]=faux[x]; expo := Exponent[f[x], x]; If [expo>0,Break[]]]; (* repetição do procedimento enquanto a equação não for válida *) tamr =. ; (* limpa o conteúdo das variáveis que contem o tamder =. ; número de raízes da função e de sua derivada *) If[expo == 1, (* verifica se o maior expoente de “x” é igual a 1 *) { raizaux := Reduce[f[x] == 0, x], (* cálculo da raiz da equação *) raiz := N[raizaux[[2]]], dv1[x_] := f'[x], (* derivada da função *) ti := Coefficient[f[x], x, 0], (* termo independente *) xmin := -3 - raiz, (* atribuição de valores para limites do gráfico *) xmax := 3 + raiz, If[dv1[x] > ti, {ymin := -5 + ti, ymax := 5 + dv1[x]}, {ymin := -5 + dv1[x], ymax := 5 + ti}]}, (*else (If[expo == 1*) (* verifica se o maior expoente de “x” é igual a 1 *) { raizesaux := Reduce[f[x] == 0, x], (* calcula as raízes e as coloca em uma lista *) tamr := Length[raizesaux], (* obtém número de raízes através do tamanho da lista *) raizes = Range[0], (* cria lista vazia *) listaux =., (* limpa o conteúdo da variável *) For[i = 1, i <= tamr,i++, { (* laço para extrair raízes das strings *) If[Abs[Im[N[raizesaux[[i]][[2]]]]] < 10^-8, (* se a parte imaginária for pouco listaux = Insert[raizes, Re[N[raizesaux[[i]][[2]]]], i], significativa, será ignorada *) listaux = Insert[raizes, N[raizesaux[[i]][[2]]], i]], raizes = listaux}], raizesaux =., (* limpa o conteúdo da variável auxiliar *) imagensaux = Range[0], (* cria uma lista auxiliar para imagens *) nroreais = 0, (* contador para o número de raízes reais *) nroimag = 0, (* contador para o número de imagens *) raizesreais = Range[0], (* cria lista para raízes reais *) imagens = Range[0], (* cria lista para imagens *) tamr:=Length[raizes], (* obtem número de raízes *) For[j=1,j<=tamr,j++, (* laço para obter todas as raízes e imagens If[Im[raizes[[j]]] == 0, { em listas e o número de raízes e imagens *)
112
nroreais += 1, nroimag += 1, raizesaux = Insert[raizesreais, raizes[[j]], nroreais], imagensaux = Insert[imagens, N[f[raizes[[j]]]], nroimag], raizesreais = raizesaux, imagens = imagensaux}]], raizesaux =., (* limpa listas auxiliares *) imagensaux =., raizesaux = Sort[raizesreais], (* ordena listas de raízes e imagens *) imagensaux = Sort[imagens], raizesreais = raizesaux, imagens = imagensaux, nroimag += 1, (* incrementa número de imagens*) ti := Coefficient[f[x], x, 0], (* acrescenta termo independente à lista de imagens *) imagensaux =., imagensaux = Insert[imagens, ti, nroimag], imagens = imagensaux, dv1[x_] := f'[x], (* calcula derivada da função *) expodv1 := Exponent[dv1[x], x], (* determina maior expoente da função derivada *) nroimag += 1, (* incrementa número de imagens *) imagens = imagensaux, tidv1 := Coefficient[dv1[x], x, 0], (* determina termo independente da função derivada *) imagensaux =., imagensaux = Insert[imagens, tidv1, nroimag], (* insere tidv1 na lista de imagens.*) imagens = Sort[imagensaux], (* ordena lista de imagens *) If[expodv1 == 1, (* verifica se o grau da primeira derivada é igual a 1 *) { nroreais += 1, (* incrementa nro de raízes reais *) raizdv1aux := Reduce[dv1[x] == 0, x], (* calcula raízes da função derivada *) raizesaux =., raizesaux = Insert[raizesreais, raizdv1aux[[2]], nroreais], (* insere raiz da derivada na lista de raízes reais *) raizesreais = Sort[raizesaux], (* ordena lista de raízes reais *) hmagensaux =., nroimag += 1; imagensaux = Insert[imagens, dv1[raizdv1aux[[2]]], nroimag], (* insere imagem da raiz da função derivada na lista de imagens *) imagens = Sort[imagensaux], (* ordena lista de imagens *) nroimag += 1, imagensaux = Insert[imagens, f[raizdv1aux[[2]]], nroimag], (* insere f[raizdv1aux] na lista de imagens *) imagens = Sort[imagensaux]}], (* ordena lista de imagens *) If[expodv1 > 1, (* verifica se o grau dafunção derivada é maior do que 1 *) { raizesdv1aux := Reduce[dv1[x] == 0, x], (* calcula raízes da derivada *) tamder = Length[raizesdv1aux], (* determina o número de raízes da função derivada *) raizesdv1 = Range[0], (* cria lista para raízes da função derivada *) listaux =., For[i = 1, i <= tamder,i++, { (* laço para extrair as raízes das strings *) If[Abs[Im[N[raizesdv1aux[[i]][[2]]]]] < 10^-8, (* se a parte imaginária for pouco listaux =Insert[raizesdv1, Re[N[raizesdv1aux[[i]][[2]]]], i], significativa, será ignorada *) listaux = Insert[raizesdv1, N[raizesdv1aux[[i]][[2]]], i]], raizesdv1 = listaux}], raizesaux =., (* limpa as variáveis auxiliares *) imagensaux =., For[i = 1, i <= tamder, i++, (* laço para colocar as raízes na lista If[Im[raizesdv1[[i]]] == 0, { de raízes reais e suas imagens na lista nroreais += 1, de imagens *) raizesaux =Insert[raizesreais, raizesdv1[[i]], nroreais], (* incrementa o número de raizesreais = raizesaux, raízes e de imagens *)
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nroimag += 1, imagensaux = Insert[imagens, dv1[raizesdv1[[i]]], nroimag], imagens = imagensaux, imagensaux =., nroimag += 1, imagensaux = Insert[imagens, f[raizesdv1[[i]]], nroimag], imagens = imagensaux}]], raizesaux =., raizesaux = Sort[raizesreais], (* ordena lista de raízes e de imagens *) raizesreais = raizesaux, imagensaux =., imagensaux = Sort[imagens], imagens = imagensaux }], xmin := -3 - N[raizesreais[[1]]], (* atribui valores aos limites dos gráficos *) xmax := 3 + N[raizesreais[[nroreais]]], ymin := -5 - N[imagens[[1]]], ymax := 5 + N[imagens[[nroimag]]]} ]; (*fii If[expo == 1*) (* início das funções para impressão das informações e desenho dos gráficos *) StylePrint["Função: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {1, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]]; Print["f[x] = ", f[x]]; If[expo == 1, { StylePrint["Raiz da função f[x]: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {1, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]], Print["x = ", raiz]}, { StylePrint["Raízes da função f[x]: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {1, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]], tamr=Length[raizes],
114
For[i = 1, i <= tamr, i++, Print[i, "ª raiz: ", raizes[[i]]]]}]; StylePrint["Gráfico da função: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {3, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]]; Print["f[x] = ", f[x]]; Print[" "]; Plot[f[x], {x, xmin, xmax}, PlotRange -> {ymin, ymax}, AspectRatio -> Automatic, PlotStyle -> RGBColor[0.4, 0.8, 0.4], AxesOrigin -> {0, 0}, Ticks->Automatic, ImageSize -> {280, 280}]; Print[" "]; StylePrint["Derivada da função f[x]: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {3, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]]; Print["f'[x] = ", dv1[x]]; If[expodv1 == 1, { StylePrint["Raiz da derivada da função f[x]: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {3, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]], Print["x = ", raizdv1aux[[2]]] }, { StylePrint["Raízes da derivada da função f[x]", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow",
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LineSpacing -> {3, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4,0.4,0.8]], tamder=Length[raizesdv1], For[i = 1, i <= tamder, i++, Print[i, "ª raiz: ", raizesdv1[[i]]]]}]; StylePrint["Gráfico da derivada da função f[x]: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {3, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]]; Print["f'[x] = ", dv1[x]]; Print[" "]; Plot[dv1[x], {x, xmin, xmax}, PlotRange -> {ymin, ymax}, AspectRatio -> Automatic, PlotStyle -> RGBColor[0.8, 0.2, 0.3], AxesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> {280, 280}]; StylePrint["A função f[x] e sua função derivada: ", "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {2, 2}, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8], TextJustification -> 1]; Print["f[x] = ",f[x]]; Print["f'[x] = ",dv1[x]]; Print[" "]; Plot[{f[x], dv1[x]}, {x, xmin, xmax}, PlotRange -> {ymin, ymax}, AspectRatio -> Automatic, PlotStyle -> {RGBColor[0.4, 0.8, 0.4], RGBColor[0.8, 0.2, 0.3]}, AxesOrigin -> {0, 0}, ImageSize -> {350, 250}, PlotLegend -> {"f[x]","f'[x]"}, LegendPosition -> {0.5,-1.0}, LegendOrientation ->Vertical, LegendBackground -> GrayLevel[.88], LegendSize->{0.4,0.3}, LegendShadow -> {.03, -.04}]] (* final das funções para impressão das informações e desenho dos gráficos *) Raízes:=Module[ {expo2}, (* declaração das variáveis locais ao procedimento *)
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While[True, (* laço para a leitura da equação *) faux[x_]:=. ; Input["Digite a equação:"]; f[x_]=faux[x]; expo2 := Exponent[f[x], x]; If [expo2>0,Break[]]]; (* repete enquanto a equação não for válida *) tamr =. ; (* limpa o conteúdo da variável *) StylePrint["Função: ", (* impressão formatada na tela *) "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {1, 0}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]]; Print["f[x] = ", f[x]]; If[expo2 == 1, (* verifica se a equação tem uma raiz *) { raizaux := Reduce[f[x] == 0, x], (* calcula raiz da equação *) raiz := N[raizaux[[2]]], StylePrint["Raiz da função f[x]: ", (* impressão formatada na tela *) "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold, FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {1, 1}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]], Print["x = ", raiz], }, (*else (If[expo2 == 1*) (* verifica se a equação tem mais de uma raiz *) { raizesaux := Reduce[f[x] == 0, x], (* calcula as raízes da equação *) tamr = Length[raizesaux], (* obtém número de raízes através do tamanho da lista *) raizes = Range[0], (* cria lista vazia *) listaux =., (* limpa conteúdo da variável *) For[i = 1, i <= tamr,i++, { (* laço para extrair as raízes das strings If[Abs[Im[N[raizesaux[[i]][[2]]]]] < 10^-8, sendo ignorada a parte imaginária listaux = Insert[raizes, Re[N[raizesaux[[i]][[2]]]], i], pouco significativa *) listaux = Insert[raizes, N[raizesaux[[i]][[2]]], i]], raizes = listaux}], listaux=raizes, raizes=Sort[listaux], (* ordena lista de raízes *) StylePrint["Raízes da função f[x]: ", (* impressão formatada na tela *) "Text", TextAlignment -> Left, FontSize -> 14, FontWeight -> Bold,
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FontSlant -> Italic, FontFamily -> "Arial Narrow", LineSpacing -> {1, 1}, TextJustification -> 1, FontColor -> RGBColor[0.4, 0.4, 0.8]], For[i = 1, i <= tamr, i++, Print[i, "ª raiz: ", raizes[[i]]]] }]] Ajuda:=NotebookOpen["h:\HelpPoli.nb"] (* abertura da ajuda quando pressionado o respectivo botão *) StylePrint["POLIGRAF", (* impressão das informações na abertura do pacote *) "Title", TextAlignment->Center, FontSize->24, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman", FontColor->RGBColor[0,0.5,1] ] StylePrint["Este pacote elabora gráficos de funções polinomiais.", "Text", TextAlignment->Left, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman", LineSpacing->{1,0}, TextJustification->1 ] StylePrint["Para utilizá-lo, clique nos botões da janela Poligraf.nb.", "Text", TextAlignment->Left, FontSize->14, FontWeight->Bold, FontFamily->"Times New Roman", TextJustification->1] Protect[Grafico,Raizes,Ajuda] EndPackage[ ] (* final do pacote *)
ANEXO C
O Notebook ANIMA
<< Graphics`Graphics` (* chama pacote auxiliar *)
Do[ DisplayTogether[ (* comando para mostrar gráficos no mesmo sistema de eixos *) Plot[ (* comando para desenhar *) Sin [x],{x,0,4Pi}], (* desenha a senóide de 0 a 4π *) Plot[ (* comando para desenhar *) Sin[x],{x,0,i}, (* desenha uma parte da senóide *) PlotStyle->{RGBColor[0.992203, 0.949233, 0.144533],Thickness[0.01]}], Show[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Circle[{0,0},1,{0,i}]}]], Ticks->{{{0,0},{0.5Pi,Pi/2},{Pi,Pi},{1.5Pi,3Pi/2},{2Pi,2Pi},{2.5Pi, 5Pi/2},{3Pi,3Pi},{3.5Pi,7Pi/2},{4Pi,4Pi}},{-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5}}, AspectRatio->Automatic, PlotRange->{-1.5,1.5}, ImageSize->{380,230}, AxesOrigin->{0,0}], (* formatação dos gráficos *) {i,0.0001,4.001Pi,0.1Pi}] (* variável e incrementos do laço *)
ANEXO D
Exemplos de Exercícios Aplicados nas Pesquisas A e C
Objetivo: usar o comando Plot do MATHEMATICA para analisar funções.
Pode-se representar graficamente uma ou mais funções simultaneamente e em cores diferentes.
Sejam as funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x2. Na linguagem do MATHEMATICA, escreve-se:
f [x_ ] = 2x + 4 g [x_ ] = x^2 Plot[{f[x], g[x]}, {x, -2, 2}, PlotStyle -> {RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,0,1]}]
Observe que o comando Plot é dividido em três partes:
{f[x], g[x]} indicando o nome das funções; {x, -2, 2} indicando a variável e o intervalo do domínio a ser considerado no gráfico; PlotStyle -> {RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,0,1]} indicando os gráficos coloridos; RGBColor[1,0,0] indicando que o gráfico da função f[x] é vermelho ( R ); RGBColor[0,0,1] indicando que o gráfico da função g[x] é azul ( B ).
Atividades: I) Represente no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções: 1) f1[x] = x2 f2[x] = x2 + 1 f3[x] = x2 - 1 2) f1[x] = x2 f4[x] = - x2 f5[x] = 2 x2
3) f1[x] = x2 f6[x] = (x +2)2 f7[x] = (x - 2)2
4) f1[x] = x2 f8[x] = 4 x2 + 5 f9[x] = -5 x2 - 8 Descreva o que você observou. II) Represente no mesmo sistema de eixos os gráficos das funções: 1) g1[x] = 2x g2[x] = 2x + 1 g3[x] = 2x - 1 2) g1[x] = 2x g4[x] = 3 ⋅ 2x g5[x] = - 4 ⋅ 2x
3) g1[x] = 2x g6[x] = 2x+1 g7[x] = 2x-1
4) g1[x] = 2x g8[x]= (1/2)x g9[x] = -2x
Descreva o que você observou. III) Represente no mesmo sistema de eixos os gráficos da funções: 1) h1[x] = log2 x h2[x] = log2 x + 1 h3[x] = log2 x - 1 2) h1[x] = log2 x h4[x] = log2 (x + 1) h5[x] = log2 (x - 1) 3) h1[x] = log2 x h6[x] = 3 log2 x h7[x] = - 3 log2 x 4) h1[x] = log2 x h8[x]= log1/2 x h9[x] = log4 x Descreva o que você observou.
120
Exemplos de Exercícios Aplicados nas Pesquisas B e C
Objetivo: usar os comandos Solve, NRoots e Plot do MATHEMATICA para analisar as raízes e gráficos de funções polinomiais.
Atividades: I) Determine as raízes dos polinômios abaixo. Faça seus gráficos. 1) f1[x] = x2 - 16 2) f2[x] = x2 +x - 6 3) f3[x] = x - 4x 4) f4[x] = x3 - x2 -14x + 24 5) f5[x] = x3 - 2x2 + x - 2 6) f6[x] = x4 - 5x2 + 4 7) f7[x] = x4 - 2x3 - 4x2 - 8x - 32 8) f8[x] = x4 - 2x3 - 25x2 + 50x 9) f9[x] = x4 + 6x3 + 3x2 + 1 10) f10[x] = 4x4 - 3x3 + 5x2 + 2x - 15 11) f11[x] = 6x4 - 5x3 - 38x2 - 5x + 6 12) f12[x] = 2x5 - 3x2 - 7 13) f13[x] = 12x5 -16x4 - 37x3 + 37x2 + 16x - 12 14) f14[x] = 2x6 - 5x5 +2x4 - 2x3 + 5x - 2 II) Dadas as raízes dos polinômios abaixo, determine-os. Faça os gráficos. 1) x1 = -4 x2 = 5 x3 = -1 2) x1 = 4 - 2i x2 = 4 + 2i x3 = 7 3) x1 = 4 x2 = 4 x3 = 4 4) x1 = 0 x2 = 2 x3 = 6 5) x1 = 0 x2 = 0 x3 = -3 6) x1 = -1 x2 = 1 x3 = 4 x4 = 4 x5 = 2 – i x6 = 2 + i x7 = 4 - 3i x8 = 4 + 3i Descreva o que você observou.
121
Exemplos de Exercícios Aplicados na Pesquisa D
Objetivo: usar os comandos do MATHEMATICA para analisar a função exponencial.
Chama-se de função exponencial de base a, a função f de ℜ em ℜ que associa a cada x real o número real ax, sendo a um número real, 0 < a ≠ 1, ou seja,
f: ℜ → ℜ, f (x) = ax .
Pense, reflita e responda: Por que o número a é maior do que zero e diferente de um?
Atividades:
I) Use o computador e defina as seguintes funções: 1) f1[x_ ] = 2x 3) f3[x_ ] = (1/2)x
2) f2[x_ ] = 4x 4) f4[x _] = (1/4)x II) O domínio da função exponencial é ℜ e sua imagem é . Use o computador e determine as imagens dos elementos indicados:
ℜ+∗
1) f1 [ 2 ] 8) f2 [ 43 ] 15) f4 [ -(53/74) ] 2) f1 [ -2 ] 9) f2 [ Pi/2 ] 16) f4 [ 3 2 ] 3) f1 [ Pi ] 10) f3 [ 1 ] 17) f4 [ -87,58 ] 4) f1 [ -(3/4) ] 11) f3 [ -1 ] 18) f4 [ 3 56 ] 5) f1 [ 2 ] 12) f3 [ 0 ] 19) f1 [ 0 ] 6) f2 [ 3 ] 13) f3 [ -2,4578 ] 20) f2 [ 0 ] 7) f2 [- 2000 ] 14) f4 [ 0 ] 21) f3 [ 8,3333]
III) Faça os gráficos das funções (f1, f2, f3 e f4) já definidas anteriormente. Use o comando Plot [ f [x], {x, a, b}]. Lembre-se de que [a, b] é o intervalo do domínio onde a máquina elaborará o gráfico. IV) Faça os gráficos das funções f1 e f3 em um mesmo sistema de eixos coordenados. Descreva o quê você observou. Faça o mesmo procedimento para as funções f2 e f4. Analise o sinal destas funções. V) Defina as funções representadas por g1[x_] = 2x + 1 , g2[x_] = 2x - 1, g3[x_] = 2x+1 , g1[x_] = 2x-1 . Faça seus gráficos. Observe e compare com a função definida por f1[x_] = 2x. Quais são as suas CONCLUSÕES ?
ANEXO E
Avaliação do Software MATHEMATICA
Para fazer uma análise quantitativa do software MATHEMATICA, segundo
as idéias apresentadas em [BEH93], foram escolhidos os aspectos mais significativos
para o propósito do presente trabalho, qual seja, a possibilidade de implementar o
MATHEMATICA no ensino de 2º e 3º graus.
Cada aspecto avaliado recebeu uma nota no conjunto {0; 0,5 ;1}. Foram
atribuídos pesos a cada item e foi feita a média ponderada das notas, obtendo-se um
valor que será indicado por RGA (Resultado Geral da Avaliação).
Os dados são apresentados no quadro abaixo:
Notas atribuídas Peso
Aspectos sim
1 às vezes
0,5 não
0 2 o software é portável X 1 o software permite reversibilidade/ações X 1 o software é rápido no processamento X 1 o software tem consistência nos dados de entrada X 1 o software possui mensagens de erro X 2 as mensagens do software são em Português X 2 o software utiliza vocabulário simples nas mensagens X 2 o vocabulário apresentado pelo software é compatível com
a linguagem matemática X
2 o software possui linguagem de programação X 1 a linguagem de programação é de fácil compreensão X 2 os módulos utilizados pelo software são reutilizáveis X 1 os comandos utilizados pelo software são de fácil
memorização X
1 é necessário o usuário possuir conhecimentos computacionais
X
2 a interface é amigável X 2 a interface é auto-explicativa X 1 o formato de exibição das informações na tela é adequado X 1 a densidade de informação na tela é adequada X 1 o software possui help on-line X 2 o software possui manual do usuário completo e claro X 1 o custo do software é aceitável X
123
RGA = 0,6
Considera-se que, para o software ser considerado inaceitável,
RGA ∈ [0; 0,5] . Se for aceitável, mas necessitar alterações, RGA ∈ [0,51; 0,75].
Finalmente, se for totalmente satisfatório, RGA ∈ [0,76; 1].
O resultado aqui obtido aponta para a conclusão de que o MATHEMATICA
é aceitável, mas necessita de alterações.
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