Universidade Estadual de Campinas

Faculdade de Ciências Aplicadas

Limeira

2009

LE 203 - Cálculo II

Prof. Márcio Rosa

Tutorial do Wolfram Mathematica®

Clara Aya Cunha Fukui RA: 090774

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Sumário

Introdução ......................................................................................................................... 3

Sobre o Mathematica ........................................................................................................ 4

Informações Iniciais ......................................................................................................... 5

Comandos Básicos ............................................................................................................ 6

Operações matemáticas ................................................................................................ 6

Funções Trigonométricas ............................................................................................. 6

Funções Trigonométricas Inversas ............................................................................... 6

Letras Gregas ................................................................................................................ 7

Símbolos Matemáticos ................................................................................................. 7

Outros ........................................................................................................................... 7

Funções ............................................................................................................................. 8

Inserindo Funções ......................................................................................................... 8

Resolução de Funções .................................................................................................. 8

Derivadas .......................................................................................................................... 9

Integrais ............................................................................................................................ 9

Gráficos de Funções ......................................................................................................... 9

Gráficos em duas dimensões ........................................................................................ 9

Gráficos em três dimensões ........................................................................................ 11

Gráficos de funções parametrizadas ........................................................................... 12

Gráficos de funções em coordenadas polares ............................................................. 13

Curvas de nível ........................................................................................................... 14

Um comando interessante! ......................................................................................... 16

Comando “Show” ....................................................................................................... 17

Considerações Finais ...................................................................................................... 19

Bibliografia ..................................................................................................................... 20

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Introdução

A realização deste tutorial é uma proposta do Prof. Márcio Rosa, que busca

auxiliar na fixação de conceitos desenvolvidos em sala de aula, junto com o uso do

software Wolfram Mathematica®. Este foi amplamente utilizado durante as aulas e é de

ampla utilidade não só no curso de Cálculo, mas também como uma ferramenta muito

prática e versátil. A versão utilizada para a elaboração deste tutorial é o Wolfram

Mathematica® 6.0.

Entretanto, esse tutorial não visa o aprofundamento do uso do software, visto

que existe uma infinidade de possibilidades de comandos e recursos. O propósito maior

é o de incentivar o usuário a conhecer o programa e ajudá-lo com os comandos básicos,

principalmente para o uso direcionado para o cálculo sendo, portanto, um tutorial

introdutório ao seu uso por novos usuários.

Obs: O software Wolfram Mathematica® foi desenvolvido pela Wolfram

Research Inc., ciente desta informação, simplificaremos descrevendo-o apenas como

Mathematica.

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Sobre o Mathematica

O Mathematica® é um software desenvolvido pela Wolfram Research Inc., que

foi lançado pela primeira vez em 1988. Entretanto, no início existiam diversos pacotes

para atividades individuais, com o aprimoramento e lançamento deste novo programa

pela Wolfram, foi possível atingir o objetivo visionário do programa, de possibilitar o

manejo de diversas ferramentas, desde as mais simples até as mais complexas, de

maneira rápida e descomplicada.

Usado inicialmente para fins matemáticos, nas ciências físicas e na engenharia.

Entretanto, com os anos o programa atinge vários campos, de técnicos a outros. Ele teve

um papel muito importante em diversas descobertas científicas, e também para o

desenvolvimento de diversos estudos técnicos. Na engenharia, o Mathematica tornou-se

ferramenta padrão para o desenvolvimento e a produção, e atualmente vários dos mais

importantes novos produtos tem participação do software em alguma etapa de

desenvolvimento de seu design.

A maior parte de seus usuários são técnicos ou outros profissionais. Mas também

é amplamente utilizado no ramo da educação, desde o ensino médio ao ensino superior.

Alcança também usuários como artistas, compositores, e até advogados.

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Informações Iniciais

Ao iniciar o Mathematica uma tela em branco é aberta, o chamado Notebook,

onde serão desenvolvidos todos os comandos desejados, ou seja, sua área de trabalho no

software. A partir dele são realizadas as atividades desejadas, ao colocar o cursor abaixo

da última atividade realizada pode-se dar início a um novo comando.

As palavras devem ser sempre iniciadas por letra maiúscula, o uso de letra

minúscula no início de uma palavra gera um erro de sintaxe, que impede o

reconhecimento do comando utilizado. Para executar um conjunto de comandos ou

operações, descritas corretamente, basta clicar “Shift + Enter”.

Ao determinar o comando que se deseja executar e clicar “ Shift+Enter”, o

Mathematica automaticamente reconhece e denomina como ln[n]:=, o resultado obtido

por este comando aparecerá e será nomeado como Out[n]=. Por exemplo:

A descrição de números decimais deve ser feita com o uso de ponto, não de

vírgula. E ao escrever um comando, sua expressão deve ser escrita entre colchetes, e ao

determinar domínios e/ou imagem deve-se utilizar chaves, separando-os com vírgulas. É

de extrema importância atenção ao utilizá-los, pois um erro comum é esquecer-se de

fechá-los gerando um erro na execução do comando.

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O uso de ponto e vírgula (;) ao final de um comando não o executa, mas o deixa

reservado para ser utilizado em um momento posterior. Já o uso de “%” substitui um

valor determinado em uma célula imediatamente acima da atual, onde se empregou o

símbolo de porcentagem.

Comandos Básicos

Demonstraremos como inserir alguns dos comandos básicos mais utilizados no

Mathematica, como um pequeno guia.

Operações matemáticas

Adição (+)

Subtração (-)

Divisão ( / )

Multiplicação( * ) ou "space" entre os

números

Funções Trigonométricas

Seno (x) Sin [x]

Cosseno (x) Cos [x]

Tangente (x) Tan [x]

Secante (x) Sec [x]

Cossecante (x) Csc [x]

Funções Trigonométricas Inversas

Arco Seno (x) ArcSin[x]

Arco Cosseno (x) ArcCos[x]

Arco Tangente (x) ArcTan[x]

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Letras Gregas

θ "Esc+th+Esc"

λ "Esc+l+Esc"

τ "Esc+t+Esc"

ϕ "Esc+f+Esc"

μ "Esc+m+Esc"

γ "Esc+g+Esc"

ρ "Esc+r+Esc"

α "Esc+a+Esc"

β "Esc+b+Esc"

Símbolos Matemáticos

Raiz quadrada "Ctrl+2"

Expoente "Ctrl+6"

Integral "Esc+int+Esc"

Derivada "Esc+dd+Esc"

Logaritmo natural de x (ln x) Log[x]

Logaritmo de x na base b Log[b, x]

Módulo de x Abs[x]

Número neperiano elevado a x Exp[x]

Obs: Para sair da raiz quadrada ou do expoente tecle “Ctrl+Space”.

Outros

π "Esc+p+Esc"

Número Neperiano "Esc+ee+Esc"

Seta " ->"

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Funções

Uma das grandes utilidades deste software é a possibilidade de manipular todos

os tipos de funções de diversas formas, desde resolvê-las até traçar gráficos sobrepostos.

Inserindo Funções

A inserção de uma função ocorre de uma maneira simples, bastando digitá-la de

maneira intuitiva, não sendo necessários chaves ou parêntesis. Entretanto, a igualdade é

estabelecida utilizando “==”, e não apenas um símbolo de igual. Ao inseri-la e

confirmá-la com “Shift+Enter” o Mathematica apenas reagrupa as incógnitas em ordem

crescente de expoente.

Resolução de Funções

Uma das formas de manipulação das funções é achar suas raízes, que podem

inclusives ser imaginárias, o que o Mathematica faz com qualquer expressão através do

comando Solve [função]. Para resolver uma equação que envolve mais de uma

incógnita é necessário informar em relação a qual deseja o resultado.

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Derivadas

Uma das maneiras de calcular derivadas no Mathematica é utilizando apenas a

letra “D” maiúscula como comando, D[f(x), x], sendo f(x) a função a ser derivada e x a

variável. Para determinar um valor para a variável basta acrescentar ao comando

“/.variável -> valor”.

Integrais

Para calcular integrais podemos utilizar o comando “Integrate” de maneira

similar às derivadas. De maneira genérica pode ser escrita da seguinte forma:

“Integrate[f(x),x]” ou “Integrate[f(x),{x, a, b}]”, no caso da integral de f(x) em função

de x, com x variando de a até b.

Gráficos de Funções

Outra importante função muito utilizada no Mathematica é a determinação de

gráficos de funções, e as possibilidades de manipulação destes. Os gráficos podem ser

determinados em duas ou três dimensões, dependendo do número de variáveis da

função, que pode ser inclusive parametrizada ou uma superfície de revolução para

geração de um sólido.

Gráficos em duas dimensões

Para sua construção no Mathematica utilizamos o comando “Plot”, que de forma

genérica pode ser descrito da seguinte forma: “Plot[f(x), {x, xmín, xmáx}]”.

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O PlotStyle é uma das manipulações que podem ser feitas no comando Plot, o

mesmo acontece com outros comandos. Para saber quais são as possíveis alterações

fazemos de maneira genérica: “Options[comando]”.

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Ao tentar desenhar uma circunferência com o comando “Plot” obtemos a

seguinte figura, que se assemelha visualmente a uma elipse.

Para alterar esta aparência e torná-la uma circunferência utilizamos o comando

“AspectRatio” de manipulação do gráfico, que altera as proporções do desenho.

Gráficos em três dimensões

Para sua construção no Mathematica utilizamos o comando “Plot3D”, que de

forma genérica pode ser descrito da seguinte forma: “Plot3D[f(x, y), {x, xmín, xmáx}, {y,

ymín, ymáx}]”.

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Gráficos de funções parametrizadas

O comando usado para plotar o gráfico de funções parametrizadas utilizamos de

forma genérica: “ParametricPlot[{x(θ), y(θ)}, {θ, θmín, θmáx}]”.

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Existe também a opção análoga “ParametricPlot3D”.

Gráficos de funções em coordenadas polares

O comando utilizado é o “PolarPlot”, que é utilizado quando é r é dado em

função de θ, por exemplo em cardióides e rosáceas. Escrito de maneira genérica como:

“PolarPlot[r[θ], {θ, θmín, θmáx}]. No exemplo uma rosácea, como a do exercício 4, dos

problemas 15.4, do Edwards e Penny.

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Curvas de nível

Para realizar a representação gráfica das curvas de nível utilizamos o comando

“ContourPlot” para funções do tipo f(x, y) e “ContourPlot3D” para funções do tipo

f(x,y,z).

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No comando “ContourPlot” temos a opção de determinar qual curva de nível

queremos ver, de acordo com o k constante que a determina, ou então determinar o

número de curvas que gostaríamos de representar.

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Um comando interessante!

O comando “Manipulate” se mostra muito interessante, inovador e útil. Ao se

aliar a um comando gráfico, permite que façamos a fácil variação de valores através de

constantes aliadas às funções. O que facilita o estudo de funções que, por exemplo, tem

o raio alterado de acordo com o ângulo, ou a posição de um carrinho em uma trajetória

de acordo com o tempo. Usaremos o mesmo exemplo utilizado para o comando

“PolarPlot”.

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Comando “Show”

Este é utilizado para representar mais de uma função em um mesmo eixo de

coordenadas. Para tanto, nomeamos cada uma das funções com letras gregas e as

executamos, então podemos uni-las de forma genérica: “Show[α,β]”. Utilizaremos um

toro para o exemplo.

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Considerações Finais

Com este tutorial pode-se obter algumas noções básicas do manejo do

Mathematica, que é uma ferramenta extremamente versátil e inovadora. Entretanto, não

é possível descrever a infinidade de comandos e possibilidades existentes nele, por isso

citamos apenas alguns, que foram vastamente utilizados durante o curso de Cálculo II.

O uso mais profundo do software pode ser realizado sem dificuldade

consultando os ícones de ajuda na barra de ferramentas do programa. Uma muito útil é o

Index of Functions (localizado em Help, Documentation Center, Index of Functions),

que lista todos os comandos e seus detalhes e opções de uso. Dentre os mais exóticos

existe o “KnotData” que permite a representação gráfica de nós, a seguir um exemplo.

Dentre outras facilidades que o software proporciona ao usuário, está a

possibilidade de abrir janelas que trazem ícones prontos de símbolos, eliminando a

necessidade de conhecer os atalhos no teclado. Na barra de ferramentas em Palletes

encontramos várias possibilidades dessas janelas. Alguns exemplos abaixo.

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Com tantas possibilidades, cabe ao leitor instigar-se e explorar o Mathematica, e

fazer o melhor uso possível conforme as necessidades forem aparecendo.

Bibliografia

www.wolfram.com

EDWARDS, C. H. PENNEY, David E. Cálculo com Geometria Analítica, Volume 3.

Tradução Alfredo Alves de Farias. 4ª edição. Rio de Janeiro: LTC-Livros Técnicos e

Científicos Editora S.A., 1999.