com mathematica -...

Luiz Rijo

Cálculo deUma Variável

com

Mathematica

Vol. 2

� udv � uv � � vdu

CAPÍTULO 1

Aplicações da IntegralIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2

Out[1]= 4

1.1 Comprimento de arco

Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, b]

s = Ÿab è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HxL2 x

Fórmula do comprimento de arco no intervalo [a, x]

s[x] = Ÿax è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HtL2 t (1)

Daqui e do Teorema Fundamental do Cálculo segue-se que

s ' [x] = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + f' HxL2 (2)

Observe que este resultado independe do ponto a particular, a partir do qual começamos a medir o comprimento doarco. Se escolhessemos outro ponto c, em vez de a, isto só faria alterar a expressão (1) por uma constante aditivaenão mudaria a derivada (2).

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 20) Vamos calcular o comprimento de arco dado por

f HxL = cosh x =x + −x

2

In[2]:= H∗ Definição da função cosh x = H x + −xLê2 ∗L

f@x_D :=x + −x

2

In[18]:= H∗ Gráfico da função f HxL ∗LPlot@f@xD, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

In[3]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + f'@xD^2 , 8x, 0, b<E

Out[3]="#####################Cosh@bD2 Tanh@bD


1 + f'@xD^2 , 8x, 0, b<E êê TrigToExp

Out[4]=H− −b + bL "########################H −b + bL2

2 H −b + bL

Simplificando esta expressão resultab − −b

2

Uma simples mudança de escala pode levar a um integrando que não se presta a um cálculotão fácil da integral. É o que acontece quando consideremos a função g HxL =x + −x = 2 f HxL, com a qual obtemos , para o comprimento de arco a expressão

In[5]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + 4 f'@xD^2 , 8x, 0, b<EOut[5]= $Aborted

In[35]:= H∗ Gráficos das funções f HxL e g HxL = 2 f HxL ∗LPlot@8f@xD, 2 f@xD<, 8x, 0, 3<, PlotRange → 80, 9<,

PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D, RGBColor@0, 0, 1D<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

2

4

6

8

2 Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb

In[6]:= H∗ Cálculo numérico do arco aplicando a fórmula H1L ∗LNIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + 4 f'@xD^2 , 8x, 0, 2<EOut[6]= 6.11256

Nintegrate[f, {x, xmin, xmax}] calcula o valor numérico aproximado da integral de f com respeito à variável x no intervalo xmin, xmax.

EXEMPLO 2. Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio r, que supomos centrada na rigem dos eixos de coordenadas. Para isso basta tomasr o dobro do comprimento da semicircunferência dada por y = è!!!!!!!!!!!!!!!!r2 - x2 , -r § x § r, que jaz no semiplano superior y ¥ 0.

In[49]:= H∗ Definição da função y HxL =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 − x2 ∗L

Clear@x, y, rD;

y@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!

r2 − x2

In[51]:= H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗Lr = 3;Plot@y@xD, 8x, −3, 3<D;

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

In[38]:= H∗ Cálculo do arco aplicando a fórmula H1L ∗L4 IntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

1 + y'@xD^2 , 8x, 0, r<, Assumptions → r > 0EOut[38]= 2 π r

EXEMPLO 3. Seja calcular o comprimento do arco de curva y = x2ê3, 0 ≤ x ≤ 1, ilustrado na figura abaixo

In[21]:= H∗ Definição da função y HxL = x2ê3 ∗LClear@x, yD;

y@x_D := x2ê3

Rijo Cal 2 Capitulo 1.nb 3

In[11]:= H∗ Gráfico da função y = x2ê3 ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


1 + y'@xD^2 , 8x, 0, 1<E

Out[24]=127

I−8 + 13 è!!!!!!13 M

In[13]:= H∗ Valor numérico do resultado anterior ∗LN@%D

Out[13]= 1.43971

ExercíciosCalcule os comprimentos de arco das curvas dadas nos Exercícios 1 a 12,e faça os gráficos.

1. y = x3ê2, 0 § x § 3.

In[25]:= H∗ Definição da função y HxL = x3ê2 ∗LClear@x, yD;

y@x_D := x3ê2

In[18]:= H∗ Gráfico da função y = x3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, 3<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

1

2

3

4

5


1 + y'@xD^2 , 8x, 0, 1<E

Out[27]=127

I−8 + 13 è!!!!!!13 M

2. y = Hx + 1L3ê2, 1 § x § 5.


In[31]:= H∗ Definição da função y HxL = Hx+1L3ê2 ∗LClear@x, yD;

y@x_D := Hx + 1L3ê2

In[36]:= H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 5<, PlotRange → 80, 16<D;

2 3 4 5

246810121416


1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 5<E

Out[34]= −227

I11 è!!!!!!22 − 29 è!!!!!!58 M

3. Hx - 1L2 = Hy + 1L3, 0 § x § 1.

In[9]:= H∗ Definição da função y HxL = Hx−1L2ê3 − 1 ∗LClear@x, yD

y@x_D := Hx + 1L2ê3 − 1

In[4]:= H∗ Gráfico da função y = Hx + 1L3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1


1 + y'@xD^2 , 8x, 0, 1<E êê FullSimplify

Out[66]=127

I−13 è!!!!!!13 + 2 H9 + 2 21ê3L3ê2M

4. y = ln x, 1 § x § 2.

In[72]:= H∗ Definição da função y HxL = ln x ∗LClear@x, yD;y@x_D := Log@xD


In[69]:= H∗ Gráfico da função y = ln x ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 2<D;

1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7


1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 2<E êê FullSimplify

Out[81]= −è!!!2 +

è!!!5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D

5. y = ln cos x, 0 § x § p ê 4.

In[95]:= H∗ Definição da função y HxL = ln cos x ∗LClear@x, yD;y@x_D := Log@Cos@xDD

In[84]:= H∗ Gráfico da função y = ln cos x ∗LPlot@y@xD, 8x, 0, π ê4<D;

0.2 0.4 0.6 0.8

-0.35-0.3

-0.25-0.2

-0.15-0.1

-0.05


1 + y'@xD^2 , 8x, 0, π ê4<E

Out[107]= 2 ArcTanhATanA π8EE

In[108]:= N@Log@Tan@3 π ê8DDD N@%DOut[108]= True

6. y = lnH1 - x2L, -1 ê 2 § x § 1 ê 2.

In[109]:= H∗ Definição da função y HxL = ln H1 − x2L ∗LClear@x, yD;y@x_D := Log@1 − x2D


In[111]:= H∗ Gráfico da função y = ln H1 − x2L ∗LPlot@y@xD, 8x, −1ê2, 1ê2<D;

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05


1 + y'@xD^2 , 8x, −1ê2, 1ê2<EOut[112]= −1 + Log@9D

7. y = 1ÅÅÅÅ3 Hx2 + 2L3ê2, -1 § x § 1.

In[113]:= H∗ Definição da função y HxL = 1ê3 Hx2 + 2L3ê2∗L

Clear@x, yD;

y@x_D := 1ê3 Hx2 + 2L3ê2

In[115]:= H∗ Gráfico da função y = 1ê3 Hx2 + 2L3ê2∗L

Plot@y@xD, 8x, −1, 1<D;

-1 -0.5 0.5 1

1.2

1.4

1.6


1 + y'@xD^2 , 8x, −1, 1<E

Out[116]=83

8. y = 2ÅÅÅÅ3 Hx2 + 1L3ê2, -2 § x § 0.

In[11]:= H∗ Definição da função y HxL = 2ê3 Hx2 + 1L3ê2∗L

Clear@x, yD;

y@x_D := 2ê3 Hx2 + 1L3ê2


In[13]:= H∗ Gráfico da função y = 2ê3 Hx2 + 1L3ê2∗L

Plot@y@xD, 8x, −2, 0<D;

-2 -1.5 -1 -0.5

1

2

3

4

5

6

7


1 + y'@xD^2 , 8x, −2, 0<E

Out[14]=223

9. y = x2ÅÅÅÅÅÅ2 - ln xÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 , 1 § x § 2.

In[17]:= H∗ Definição da função y HxL = x2ê2 − ln xê4 ∗LClear@x, yD;y@x_D := x2 ê2 − Log@xDê4

In[19]:= H∗ Gráfico da função y = x2ê2 − ln xê4 ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 2<D;

1.2 1.4 1.6 1.8 2

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8


1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 2<E

Out[20]=14H6 + Log@2DL

10. y = x3ÅÅÅÅÅÅ3 + 1ÅÅÅÅÅÅÅÅ4 x , 1 § x § 3.

In[17]:= H∗ Definição da função y HxL = x3ê3 + 1ê4 x ∗LClear@x, yD;y@x_D := x3 ê3 + 1êH4 xL


In[21]:= H∗ Gráfico da função y = x3ê3 + 1ê4 x ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 3<D;

1.5 2 2.5 3

1

2

3

4


1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 3<E

Out[22]= 4 +Log@3D

4

11. y =è!!!!xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 - 2ÅÅÅÅ3 x3ê2, 1 § x § 3.

In[27]:= H∗ Definição da função y HxL = è!!!x ë2 − H2ê3L x3ê2 ∗LClear@x, yD;

y@x_D :=è!!!!

x ë 2 − H2ê3L x3ê2

In[29]:= H∗ Gráfico da função y = è!!!x ë2 − H2ê3L x3ê2 ∗LPlot@y@xD, 8x, 1, 3<D;

1.5 2 2.5 3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5


1 + y'@xD^2 , 8x, 1, 3<E

Out[30]= −76

+5 è!!!32

12. y = ‰x, -1 § x § 1.

In[33]:= H∗ Definição da função y HxL = x ∗LClear@x, yD;y@x_D := x


In[35]:= H∗ Gráfico da função y = x ∗LPlot@y@xD, 8x, −1, 1<D;

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5


1 + y'@xD^2 , 8x, −1, 1<E êê Simplify

Out[37]=è!!!!!!!!!!!!!1 + 2 −

è!!!!!!!!!!!!!1 + 2− ArcTanhAè!!!!!!!!!!!!!1 + 2 E + ArcTanhA

è!!!!!!!!!!!!!1 + 2E

1.2 Volume de sólidos de revolução

Fórmulas do volume dos sólidos de revolução

V = Ÿab π f HxL2

x (3)

V = Ÿab π f HyL2

y (4)

Na fórmula (3) a rotação é em torno do eixo 0x e na fórmula (4) a rotação se faz em torno do eixo 0y.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 6) Vamos utilizar o método de revolução para calcular o volume da esfera de raio r.

In[112]:= H∗ Definição da função y HxL =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!r2 − x2 ∗L

Clear@x, y, rD;

f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!!!!!!

r2 − x2


In[117]:= H∗ Gráfico da semicircunferência de raio r = 3 ∗Lr = 3;Plot@f@xD, 8x, −3, 3<D;

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

2.5

3

In[119]:= H∗ Volume da esfera de raio r pela fórmula H3L ∗LClear@rDIntegrate@π f@xD2, 8x, −r, r<D

Out[120]=4 π r3

3

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 7) Vamos achar o volume do sólido que se obtém por rotação, em torno do eixo dos y, da figura delineada pelo arco de parábola y = è!!!!!x ( 0 § x § 4), o eixo ) y e a reta y = 2. Neste caso, como se trata de sólido de revolução em torno do eixo 0y deve-se usar a fórmula (4).

In[2]:= H∗ Gráfico da da função y= è!!!x ∗Lf@x_D :=

è!!!!x

Plot@f@xD, 8x, 0, 4<D;

1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

In[42]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗LIntegrate@π f@yD2, 8y, 0, 2<D

Out[43]=32 π5

EXEMPLO 3. (GA2, pág. 7) Consideremos o sólido obtido por rotação em torno do eixo Oy, da figura compreen-dida entre o arco de parábola y = è!!!!x (0 § x § 4), o eixo Ox e a reta x = 4.(4).

O volume desse sólido é a diferença entre o volume do cilindro circular de raio 4 e altura h = 2, e o volume do s[olido considerado no exemplo anterior. Portanto


In[52]:= H∗ Volume do sólido de revolução ∗Lr = 4;h = 2;π r2 h − 32 π ê5

Out[54]=128 π5

Método das cascas cilíndricas

Fórmula do volume dos sólidos de revolução pelo método das cascas cilíndricas

V = Ÿab 2 π x f HxL x (5)

EXEMPLO 4. (GA2, pág. 8) Vamos calcular o volume do sólido gerado por rotação, em torno do eixo 0x, da região do plano 0xy delimitada pela curva y = 2x - x2 e o eixo 0x. Essa curva é o trecho da parábola y = 1 - Hx - 1L2 , que começa na origem, atinge um máximo no ponto x = 1 e volta ao valor zero no ponto x = 2.

In[4]:= H∗ Gráfico da da função y= è!!!x ∗Lf@x_D := 2 x − x2


0.5 1 1.5 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[6]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗LIntegrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 2<D

Out[6]=8 π3

ExercíciosEm cada um dos exercícios 1 a 21, calcule o volume do sólido que se obtém por rotação dada em torno do eixo indicado. Faça o gráfico em cada caso.

1. y = 3x/2, y = 0 e x =2, em volta de 0y.


In[7]:= H∗ Gráfico da função y = 3 xê2 ∗Lf@x_D := 3 xê2Plot@f@xD, 8x, 0, 2<D;

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

In[63]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := 2 yê3Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 3<D

Out[64]= 4 π

2. y = 1 - x2 , x = 0 e y = 0, em volta de 0x.

In[9]:= H∗ Gráfico da função y = 1 − x2 ∗Lf@x_D := 1 − x2


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[65]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗Lf@x_D := 1 − x2

Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D

Out[66]=8 π15

3. Mesma figura do exercício anterior, em volta de 0y.

In[67]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D :=

è!!!!!!!!!!!!!1 − y

Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<DOut[68]=

π2


In[43]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := 1 − x2

Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<DOut[44]=

π2

4. y = x2 , x = 0 e y = 1, em volta de 0x.

In[21]:= H∗ Gráfico da função y= x2 ∗Lf@x_D := x2


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[32]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗Lf@x_D := x3

π − Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D

Out[33]=6 π7


In[38]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := y1ê3

Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D

Out[39]=3 π5

In[41]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := x3

π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D

Out[42]=3 π5

6. y = Hx + 1L1ê3 , x = 0, x = 7 e y = 0, em volta de 0x.


In[61]:= H∗ Gráfico da função y= Hx + 1L1ê3 ∗Lf@x_D := Hx + 1L1ê3


1 2 3 4 5 6 7

1.2

1.4

1.6

1.8

2

In[4]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H3L ∗Lf@x_D := Hx + 1L1ê3


Out[5]=93 π5


In[84]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := y3 − 1Integrate@π f@yD2, 8y, 1, 2<D

Out[85]=163 π14

In[71]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := Hx + 1L1ê3

98 π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 7<D

Out[72]=163 π14

8. y =1/x, y = 0, x = 1 e e x = a > 1, em volta de 0x. Considere este volume com a Ø ¶ dê uma interpretação geométrica ao resultado. Considere, em seguida, o caso 0 < a < 1 e o limite com a Ø 0.

In[102]:= H∗ Gráfico da função y = 1êx ∗Lf@x_D := 1êxPlot@f@xD, 8x, 1, 4<D;

1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.30.40.50.60.70.80.9


In[91]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := 1êxIntegrate@π f@xD2, 8x, 1, a< , Assumptions → a > 1D

Out[92]=H−1 + aL π

a

In[93]:= Limit@%, a → ∞DOut[93]= π

9. y = x-1ê3 , y = 0, x = 1 e e x = e (0 < e < 1), em volta de 0x. Considere este volume com e Ø 0 e interprete o resultado geometricamente. Considere, também, o caso e >1 e o limite com e Ø ¶.

In[8]:= H∗ Gráfico da função y = x−1ê3 ∗Lf@x_D := x−1ê3


0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

4

6

8

10

In[13]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L; 0 < ε < 1 ∗Lf@x_D := x−1ê3

Integrate@π f@xD2, 8x, ε, 1< , Assumptions → 0 < ε < 1DOut[14]= −3 π H−1 + ε1ê3L

In[15]:= H∗ Limite quando ε → 0 ∗LLimit@%, ε → 0D

Out[15]= 3 π

In[16]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L, ε > 1 ∗LIntegrate@π f@xD2, 8x, 1, ε< , Assumptions → ε > 1D

Out[16]= 3 π H−1 + ε1ê3L

In[17]:= H∗ Limite quando ε → ∞ ∗LLimit@%, ε → ∞D

Out[17]= ∞

10. y = è!!!x , x = 0 e y = 1, em volta de 0y.


In[104]:= H∗ Gráfico da função y = è!!!x ∗Lf@x_D :=

è!!!!x


0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[90]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := y2

Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<DOut[91]=

π5

In[106]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D :=

è!!!!x

π − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<DOut[107]=

π5

11. y = x2 - x e y = 0, em volta de 0x.

In[108]:= H∗ Gráfico da função y = x2 − x ∗Lf@x_D := x2 − xPlot@f@xD, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

In[110]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := x2 − xIntegrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D

Out[111]=π30



In[20]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H5L ∗Lf@x_D := x2 − xπ ê4 − Integrate@2 π x f@xD, 8x, 0, 1<D

Out[21]=5 π12

13. y = x , y = è!!!!!!!!!!!!!!!1 - x2 e y = 0, em volta de 0x.

In[26]:= H∗ Acha o ponto de interseção de y = x, y =è!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 ∗L

SolveAx ==è!!!!!!!!!!!!!!!

1 − x2 , xE

Out[26]= 99x →1è!!!2

==

In[31]:= H∗ Gráfico das funções: y =è!!!!!!!!!!!!!!!!

1 − x2 e y = x ∗Lf@x_D :=

è!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2

PlotA8x, f@xD<, 9x, 0, 1 ëè!!!!2 =E;

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[33]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D :=

è!!!!!!!!!!!!!!1 − x2

g@y_D := y

IntegrateAπ f@xD2, 9x, 0, 1 ëè!!!!2 =E − IntegrateAπ g@xD2, 9x, 0, 1 ëè!!!!

2 =E

Out[35]=2 π

3 è!!!2



è!!!!!!!!!!!!!!1 − y2

g@x_D := yIntegrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D − Integrate@π g@yD2, 8y, 0, 1<D

Out[43]=π3

15. y = sen x , 0 § x § p, em volta de 0x.


In[46]:= H∗ Gráfico da função y = sen x ∗Lf@x_D := Sin@xDPlot@f@xD, 8x, 0, π<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[96]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := Sin@xDIntegrate@π f@xD2, 8x, 0, π<D

Out[97]=π2

2


In[100]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := ArcSin@yDIntegrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D

Out[101]=14

π H−8 + π2L

17. y = xn , y = 0 e x = 1, em volta de 0z, onde n é um inteiro positivo. Considere o limite desse volume com n Ø ¶ e dê uma interpretação geométrica do resultado.em volta de 0x.

In[62]:= H∗ Gráfico das funções y = x2, y = x4, y = x6, y = x8, y = x10∗LPlot@8x2, x4, x6, x8, x10<, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.01

0.02

0.03

0.04

In[63]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := xn

Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<, Assumptions → n > 1DOut[64]=

π1 + 2 n


In[65]:= H∗ Limite quando n → ∞ ∗LLimit@%, n → ∞D

Out[65]= 0

18. y = 0, y = x2 e a reta tangente a esta curva em x = 1, em volta de 0x.

In[73]:= H∗ Gráfico da funções y = x2, y = 2 x −1 ∗LPlot@8x2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<, PlotRange → 80, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[70]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := x2;g@x_D := 2 x − 1;Integrate@π f@xD2, 8x, 0, 1<D − Integrate@π g@xD2, 8x, 1ê2, 1<D

Out[72]=π30



è!!!!y ;

g@y_D := Hy + 1Lê2;Integrate@π g@yD2, 8y, 0, 1<D + Integrate@π f@yD2, 8y, 0, 1<D − π

Out[82]=π12

20. y = ‰x , y = 0, x = 0, e x = 1, em volta de 0x.

In[102]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@x_D := x


Out[103]=12H−1 + 2L π


In[104]:= H∗ Volume do sólido de revolução pela fórmula H4L ∗Lf@y_D := Log@xDIntegrate@π f@yD2, 8y, 1, <D

Out[105]= H−1 + L π Log@xD2


22. Considere uma calota determinada numa esfera de raio r por um plano cuja distância ao centro da esfera é h < r. Mostre que o volume da calota é

2 p r2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 - p h3

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 - p r2 h .

1.3 Volume de um sólido qualquer

Fórmula do volume de um sólido qualquer

V = Ÿab A HxL x

Esta fórmula serve para exprimir o volume de qualquer sólido, desde que se conheça as áreas A(x) de suas seçõiestransversais, relativamente a um eixo 0x.

EXEMPLO 1. Vamos calcular o volume de um sólido cuja base é o círculo x2 + y2 § r2 e cujas seções perpendicu-lares ao eixo Ox são triângulos isósceles ABC, retângulos em A.

A área do tiângulo é dada por r2 - x2.

In[83]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := r2 − x2

Integrate@A@xD, 8x, −r, r<D

Out[84]=4 r3

3

EXEMPLO 2. Neste exemplo vamos calcular o volume da interseção de dois cilindros circulares iguais, cujos eixos se cruzam em ângulo reto.

A área do seção é dada por Hr2 - z2L.In[87]:= H∗ Volume do sólido ∗L

A@z_D := Hr2 − z2L4 Integrate@A@zD, 8z, −r, r<D

Out[88]=16 r3

3

Princípio de Cavalieri para volumes

Se dois sólidos são tais que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes àmesma abscissa x têm áreas iguais A(x), então eles têm volumes iguais.

Princípio de Cavalieri para volume (forma geral). Consideremos dois sólidos de volumes V1 e V2 , respectiva-mente. Suponhamosque, Se dois relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais correspondentes àmesma abscissa x tenham áreas A1 (x) e A2 (x), repectivamente, tais que A1 (x) = k A2 (x), onde k é uma constante.Então V1 = k V2 .


ExercíciosCalcule o volume dos sólidos descritos nos Exercícios 1 a 6.

1. A base do sólido é o triângulo 0 § y § 1, e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissasx são semicírculos de diâmetro y.

A área do semi-círculo de diâmetro y é dada por pH1 - xL2 ê 2

In[89]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := π H1 − xL2 ê2Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D

Out[90]=π6

2. A base do sólido é o círculo x2 + y2 § r2 , e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são quadrados de lados 2

è!!!!!!!!!r^2 - x2 .

In[6]:= r = 1;Plot@8Sqrt@r^2 − x^2D, −Sqrt@r^2 − x^2D<,8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

A área do quadrado é dada por 4 Hr2 - x2LIn[93]:= H∗ Volume do sólido ∗L

A@x_D := 4 Hr2 − x2LIntegrate@A@xD, 8x, −r, r<D

Out[94]=16 r3

3

3. A base do sólido é o quadrado de vértices (± 1, ± 1), e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulosde base 2 e altura h(x) = 1 + x sen(px).

A área do triângulo é dada por 1 + x senHpxL.In[97]:= H∗ Volume do sólido ∗L

A@x_D := 1 + x Sin@π xDIntegrate@A@xD, 8x, −1, 1<D

Out[98]= 2 +2π

4. A base do sólido é o círculo x2 + y2 § r2 , e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulos equiláteros de lados 2

è!!!!!!!!!!!!!!!r2 - x2 .


In[13]:= r = 1;Plot@8Sqrt@r^2 − x^2D, −Sqrt@r^2 − x^2D<,8x, −r, r<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

A área do triângulo é dada por è!!!3 Hr2 - x2LIn[99]:= H∗ Volume do sólido ∗L

A@x_D :=è!!!!

3 Hr2 − x2LIntegrate@A@xD, 8x, −r, r<D

Out[100]=4 r3è!!!3

5. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤ H 1 - x2L , -1§ x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são triângulos de base 2 H1 - x2L e altura h(x) = cos(p x/2)..

In[103]:= H∗ Gráfico das funções y = ± H1 − x2L ∗LPlot@8−H1 − x2L, H1 − x2L<, 8x, −1, 1<D;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

A área do triângulo é dada por H1 - x2Lcos(p x/2)

In[104]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := H1 − x2L Cos@π xê2DIntegrate@A@xD, 8x, −1, 1<D

Out[105]=32π3

6. A base do sólido é a figura delineada pelas curvas y = ≤ H x + ‰x L , 0 § x § 1; e as seções perpendiculares ao eixo 0x nos pontos de abscissas x são semicírculos de raios x + ‰x.


In[106]:= H∗ Gráfico das funções y = ± Hx + xL ∗LPlot@8−Hx + xL, Hx + xL<, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-3

-2-1

12

3

A área do semicírculo é dada p Hx + ‰xL2 ê 2

In[107]:= H∗ Volume do sólido ∗LA@x_D := π Hx + xL2 ë 2

Integrate@A@xD, 8x, 0, 1<D

Out[108]=112

H11 + 3 2L π

1.4 Área de uma figura plana qualquer

Fórmula da área área de uma figura plana qualquer

A = Ÿab l HxL x

Princípio de Cavalieri para figuras planas. Se duas figuras planas são tais que, relativamente a um mesmo eixo0x, suas seções transvwesais têm comprimentos iguais l(x), então eles têm áreas iguais.

EXEMPLO 1. Vamos calcular a área da elípse de semi-eixos a e b,

O comprimento l(x) é dada por bÅÅÅÅa è!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 - x2 .

In[111]:= H∗ Área da figura plana ∗Ll@x_D := bêa

è!!!!!!!!!!!!!!!!!a2 − x2

4 Integrate@l@xD, 8x, 0, a<DOut[112]=

è!!!!!!a2 b π

Princípio de Cavalieri para figuras planas (forma geral). Consideremos duas figuras planas de áreas A1 e A2 ,respectivamente. Suponhamos que, relativamente a um mesmo eixo 0x, suas seções transvwesais tenham compri-mentos iguais l1 (x) e l2 (x), repectivamente, tais que Al1 (x) = k l2 (x), onde k é uma constante. Então A1 = k A2 .


Com esta fórmula geral, o cálculo da área da elípse no exemplo anterior fica imediato: a área da elípse é o produto do fator k = b/a pela área do círculo de raio a, ou seja A = (b/a) pa2 = p a b.

ExercíciosNos Exercícios 1 a 9, calcule a área da figura delineada pelas curvas dada e faça o gráfico em cada caso.

1. y = 2 x3 e y = 2 x, x = 0 e x =1.

In[114]:= H∗ Gráfico das funções y = 2 x3 e y = 2 x ∗LPlot@82 x^3, 2 x<, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5

1

1.5

2

In[117]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := 2 x H1 − x^2L

Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify

Out[118]=12

2. Parábola y = x2 , eixo 0x e tangente à parabola no ponto (1,1).

In[7]:= H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = 2 x −1 ∗LPlot@8x^2, 2 x − 1<, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0.5

1

In[119]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x2 − 2 x + 1Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, 1<D êê Simplify

Out[120]=13

3. y = x2 e y = è!!!x .


In[10]:= H∗ Gráfico das funções y = x2 e y = è!!!x ∗LPlotA9x2,

è!!!!x =, 8x, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[121]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D :=

è!!!!x − x2


Out[122]=13

4. Parábola y = è!!!x e reta x =1.

In[126]:= H∗ Gráfico da função y = x2 e da reta y = 1 ∗Lp1 = Plot@x^2, 8x, 0, 1<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@881, 0<, 81, 1<<,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[16]:= segmentoL@x_D := x^2

In[129]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x2


Out[130]=13

5. y = ‰-x , y = -‰-x , x ¥ 0 (região infinita).


In[134]:= H∗ Gráfico das funções y = −x e y = − −x ∗LPlot@8 −x, − −x<, 8x, 0, 3<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

In[135]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := 2 −x

Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, ∞<D êê Simplify

Out[136]= 2

6. y = x ln x, y = 1 - x e 1 § x § 2.

In[143]:= H∗ Gráfico das funções y = x ln HxL, y = 1 − x e a reta x = 2 ∗Lp1 = Plot@8x Log@xD, 1 − x<, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@882, −1<, 82, 2 Log@2D<<,


1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1

-0.5

0.5

1

In[138]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x Log@xD + x − 1Integrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D

Out[139]= −14

+ Log@4D

7. y = sen3 x, 0 § x § p.


In[27]:= H∗ Gráfico da função y = sen3 HxL, 0 ≤ x ≤ π ∗LPlot@Sin@xD3, 8x, 0, π<D;

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1

In[146]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := Sin@xD3

Integrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D

Out[147]=43

8. y = x ‰-x , y = -x cos(x), 0 § x § p/2.

In[169]:= H∗ Gráfico das funções y = x −x, y = −x cos HxL, 0 ≤ x ≤ πê2 ∗Lp1 = Plot@8x −x, −x Cos@xD<, 8x, 0, π ê2<, DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@88π ê2, 0<, 8π ê2, π −πê2 ê2<<,


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.4

-0.2

0.2

In[172]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := x −x + x Cos@xDIntegrate@segmentoL@xD, 8x, 0, π<D

Out[173]= − −π H1 + π + πL

9. y = è!!!x ln(x), y = -x ln(x), 1 § x § 2.


In[176]:= H∗ Gráfico das funções y = è!!!x ln HxL, y = −x ln HxL, 1 ≤ x ≤ 2 ∗Lp1 = PlotA9è!!!!

x Log@xD, −x Log@xD=, 8x, 1, 2<, DisplayFunction → IdentityE;

p2 = ListPlotA982, −2 Log@2D<, 92,è!!!!

2 Log@2D==,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityE;

Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

1.2 1.4 1.6 1.8 2

-1

-0.5

0.5

1

In[185]:= H∗ Cálculo da área A ∗LsegmentoL@x_D := Iè!!!!

x + xM Log@xDIntegrate@segmentoL@xD, 8x, 1, 2<D

Out[186]= −34

+ Log@4D +49I1 − 2 è!!!2 + è!!!2 Log@8DM


CAPÍTULO 2

Aproximação de Funções por PolinômiosIniciar o MathKernel

In[1]:= 2 + 2 H∗ Este comando inicia o MathKernel ∗LOut[1]= 4

2.1 Introdução

De todas as funções que temos utilizado até agora as mais simples são as funções polinomiais. Nas funçõespolinomiais, como por exemplo

p(x) = 5 - 3x - x2 + 2 x3,

so entram operações elementares, soma, subtração e multiplicação.

Funções não polinomiais, como

f(x) = x ë I2 +è!!!x M, y = sen x, g(x) = arc tg x,

envolvem operações não elementares. Consequentemente, elas são mais complicadas de serem manuseadasalgebricamente que as funções polinomiais.

Felizmente, isto não chaga ser um problema série. Pois, funções não polinomiais podem ser aproximadas porpolinômios. Por exemplo, o polinômio liear

p(x) = 1 + x/2

aproxima a função è!!!!!!!!!!!!!1 + x para |x| pequeno.

A possibilidade de aproximar funções por polinômios é de suma importância, pois permite obter propriedades dasfunções em termos de propriedades análogas dos polinômios que as aproximam. E não é só isso, o cálculo devalores numéricos de uma certa função, em geral, só pode ser feito aproximadamente, utilizando-se um polinômioqure aproxime a função.

Vizinhança

A aproximação de uma função por um polinômio se processa na vizinhança de um ponto x0 , por isso mesmoéconveniente esclarecer este conceito. Chamamos vizinhança de um ponto x0 a qualquer intervalo com centro nesseponto, isto é, qualquer conjunto do tipo

VdHx0L = 8x : x0 - d < x < x0 + d<

onde d é um número positivo que caracteriza a vizinhança em questão. A vizinhança VdHx0L também pode sersimbolizada por | x - x0 » < d .

2.2 Aproximação linear

Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de x = 0

f(x) = f(0) + f'(0) x + R(x)

em que o erro R(x) = f '' HcL x2 ê2 onde c é um número compreendido entre 0 e x.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 23) Vamos aproximar a função f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 + x numa vizinhança de x = 0.

In[11]:= H∗ Aprxomimação linear de è!!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Sqrt@1 + x Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[14]= 1 +x2

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 24) Utilizar o resultado do exemplo anterir para determinar uma aproximação de è!!!!!!48 .

Notemos que è!!!!!!48 = è!!!!!!!!!!!!!!49 − 1 = 7 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 − 1ê49

In[6]:= H∗ Aprxomimação è!!!!!!48 ∗Lf@x_D := Sqrt@1 + x Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;7 Hf@x0D − dfdx Hx − x0LL ê. x → 1ê49% êê N

Out[9]=9714

Out[10]= 6.92857

Aproximação num ponto qualquer


Fórmula da aproximação linear de f(x) na vizinhança de um ponto qualquer x0

f(x) = f Hx0L + f ' Hx0L (x - x0 ) + R(x)

em que R(x) = f '' HcL Hx − x0L2 ê2 onde c é um número compreendido entre x0 e x.

In[1]:= H∗ GA2, Figura 2.4, pág. 22, ∗Lp1 = Plot@x^2 + .5,8x, −.5, 1<, PlotRange → 88−.5, 1.5<, 80, 1.5<<, Ticks → False,Epilog → 8Text@"a", 8.57, .05<D, Text@"fHaL", 8−.15, 3ê4<D,

Text@"fHxL", 81.1, 1.4<D<,DisplayFunction −> IdentityD;

p2 = [email protected], .35<, 81, 5ê4<<, PlotJoined → True,PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;

p3 = [email protected], 0<, 8.5, 3ê4<, 80, 3ê4<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction −> IdentityD;

In[4]:= Show@8p1, p2, p3<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

a

fHaL

fHxL

A diferencial

A diferencial de uma função f no ponto x0 é definida como sendo o produto f ' Hx0L Dx; e é indicada com ossímbolos dy, df ou df Hx0L :

df = f ' Hx0L Dx


In[1]:= p1 = Plot@82 x^2 + 2, 2 x + 3ê2<, 8x, −.2, 2<, PlotRange → 80, 8<, Axes → False,PlotStyle → [email protected], [email protected]<,TextStyle → 8FontSize → 8<, Epilog →

8Text@"x0", 8.5, .2<D, Text@"x", 81.5, .2<D, Text@"y0", 8.57, 1.5<D,Text@"∆x", 81, 2.2<D, Text@"∆y", 81.72, 5.5<D, Text@"dy", 81.82, 3.9<D,Text@"∆y − dy", 81.15, 6<D, Text@"Y", 81.35, 3.5<D<,

DisplayFunction → IdentityD;p2 = ListPlot@880, 0.5<, 82, 0.5<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;p3 = ListPlot@880, 0.5<, 80, 10<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;p4 = [email protected], 5ê2<, 81.7, 5ê2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;p5 = [email protected], 0.5<, 80.5, 5ê2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;p6 = [email protected], 0.5<, 81.5, 5ê2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;p7 = [email protected], 5ê2<, 81.5, 13ê2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected]<D, DisplayFunction → IdentityD;p8 = [email protected], 9ê2<, 81.6, 9ê2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;p9 = [email protected], 13ê2<, 81.7, 13ê2<<,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p10 = [email protected], 5ê2<, 81.55, 9ê2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD;p11 = [email protected], 9ê2<, 81.45, 13ê2<<,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p12 = [email protected], 5ê2<, 81.65, 13ê2<<,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p13 = [email protected], 3.3<, 81.75, 3.7<<,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p14 = [email protected], 5.7<, 81.42, 5.2<<,

PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD;p15 = [email protected], 3.7<, 81.47, 4.3<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD;


In[16]:= Show@8p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9, p10, p11, p12, p13, p14, p15<,DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

x0 x

y0

∆x

∆y

dy

∆y − dy

Y

ExercíciosObtenha as aproximações lineares para as funções dadas nos Exercícios 1 a 12.

1. f(x) = log|1 - x |, x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Log H1 + xL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Log@1 + xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= x

In[5]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<,PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<D;

-0.4 -0.2 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0.2

0.4

2. f(x) = cos x , x = 0.


In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[5]= 1

In[6]:= Plot@8f@xD, %<, 8x, x0 − .4, x0 + .4<, PlotStyle →

88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange → 80, 1.2<D;

-0.4 -0.2 0.2 0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3. f(x) = cos x , x = p/4.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de cos HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDx0 = Piê4;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[5]=1è!!!2

−− π

4 + xè!!!2



0.4 0.6 0.8 1.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

4. f(x) = sen x , x = p/2.


In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗Lf@x_D := Sin@xDx0 = Piê2;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 1



1.2 1.4 1.6 1.8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

5. f(x) = sen x , x = 3p/4.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = πê2 ∗Lf@x_D := Sin@xDx0 = 3 Piê4;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]=1è!!!2

−− 3 π

4 + xè!!!2



2.2 2.4 2.6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

6. f(x) = e-x , x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Exp HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Exp@−xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 1 − x



-0.4 -0.2 0.2 0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

7. f(x) = sen x2 , x = -p/4.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de sen Hx2L na vizinhança de x0 = −πê4 ∗Lf@x_D := Sin@x^2Dx0 = −Piê4;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= −12

π I π4

+ xM CosA π2

16E + SinA π2

16E


-1.2 -0.8 -0.6 -0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

8. f(x) = ex2 , x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de Exp Hx2L na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Exp@x^2Dx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 1




-0.4 -0.2 0.2 0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

9. f(x) = 1 ëè!!!!!!!!!!!1 + x , x = 0.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 + x na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := 1êSqrt@1 + xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 1 −x2



-0.4 -0.2 0.2 0.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

10. f(x) = x3ê2 , x = 1.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x3ê2 na vizinhança de x0 = 1 ∗Lf@x_D := x^H3ê2Lx0 = 1;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 1 +32H−1 + xL




0.6 0.8 1.2 1.4

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

11. f(x) = x2ê3 , x = -1.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x2ê3 na vizinhança de x0 = −1 ∗Lf@x_D := Hx2L1ê3

x0 = −1;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 1 −2 H1 + xL

3


88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 80, 1.2<D;

-1.4 -1.2 -0.8 -0.6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

12. f(x) = Log 3x , x = 1/3.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de log H3 xL na vizinhança de x0 = 1ê3 ∗Lf@x_D := Log@3 xDx0 = 1ê3;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= 3 J−13

+ xN



88RGBColor@0, 0, 0D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<, PlotRange −> 8−1, 1<D;

0.25 0.35 0.4

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

13. As funções x, sen x e tg x tendem a se cunfundir para valores pequenos de x, guardando entre elas, a relação 0 < sen x < x < tg x.

In[1]:= H∗ Aprxomimação linear de x na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := xx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[4]= x

In[5]:= H∗ Aprxomimação linear de tg HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Tan@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[8]= x

In[9]:= H∗ Aprxomimação linear de sen HxL na vizinhança de x0 = 0 ∗Lf@x_D := Sin@xDx0 = 0;dfdx = D@f@xD, xD ê. x → x0;f@x0D + dfdx Hx − x0L

Out[12]= x

In[13]:= p1 = Plot@Sqrt@1 − x^2D, 8x, .8, 1<,PlotRange → 880, 1.5<, 80, 1<<, AspectRatio → Automatic,Epilog → 8Text@" <−−−−− x", 81.1, .45<D, Text@" <−−− tgHxL", 81.25, .6<D,

Text@" <−−−− senHxL", 81.15, .1<D<, DisplayFunction −> IdentityD;p2 = ListPlot@880, 0<, 81, [email protected]<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction −> IdentityD;p3 = [email protected], 0<, 8.8, [email protected]<<, PlotJoined → True,

PlotStyle −> 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction −> IdentityD;p4 = ListPlot@881, 0<, 81, [email protected]<<, PlotJoined → True,

PlotStyle −> 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction −> IdentityD;


In[17]:= Show@8p1, p2, p3, p4<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.2

0.4

0.6

0.8

1

<−−−−− x

<−−− tgHx

<−−−− senHxL

NosExercícios 14 a 20, use aproximação lineares convenientes para obter os números indicados em representações decimais aproximadas.

14. è!!!!!!!!171

Notando que è!!!!!!!!170 = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!169 H1 + 1 ê 169L = 13 è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!1 + 1 ê 169 e aplicando a aproximação linear è!!!!!!!!!!!!!1 + x = 1 + x ê 2

vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de è!!!!!!!!!171 ∗L13 H1 + 1êH2 ∗ 169LL

Out[1]=33926

In[2]:=339

26% êê N

Out[2]=33926

Out[3]= 13.0385

15. log 0.98

Notando que log(0.98) = log(1 - 0.02) e aplicando a aproximação linear logH1 + xL = x vem

In[1]:= H∗ Aplicando linear log H0.98L ∗L−0.02

Out[1]= −0.02

16. e-0.02

Aplicando a aproximação linear e-x = 1 − x vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de e−0.02 ∗L1 − .02

Out[1]= 0.98

17. 10001ê3

Notando que 10001ê3 = (1000 + 3)1ê3 = 10 (1 + 3/1000)1ê3 e aplicando a aproximação linear H1 + xL1ê3 = 1 + xê3, vem


In[1]:= H∗ Aproximação linear de 10001ê3 ∗L10 H1 + 3êH3 ∗ 1000LL% êê N

Out[1]=1001100

Out[2]= 10.01

18. cos 0,01

Aplicando a aproximação linear cos HxL = 1 − x, vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de cos H0,01L ∗L1 − 0.01

Out[1]= 0.99

19. tg 0,5

Aplicando a aproximação linear tg HxL = x, vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de tg H0.5L ∗L0.5

Out[1]= 0.5

20. arc tg 0,02

Aplicando a aproximação linear arctg HxL = x, vem

In[1]:= H∗ Aproximação linear de arctg H0,02L ∗L0.02

Out[1]= 0.02

2.3 Fórmula de Taylor

Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = 0, o polinômio de Taylor

p(x) = f(0) + f'(0)x + f'' H0L2! x2 + ... + fHnL H0L

n! xn

aproxima f(x) em V.

Series[f[x], {x, 0, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL de grau 5 ∗LClear@x, fD;Series@f@xD, 8x, 0, 5<D

Out[2]= f@0D + f @0D x +12f @0D x2 +

16fH3L@0D x3 +

124

fH4L@0D x4 +1120

fH5L@0D x5 + O@xD6


Normal[eries[f[x], {x, 0, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n sem o termo 0 @xDn.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = ex de grau 7.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = ex de grau 7 ∗Lf@x_D := Exp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[2]= 1 + x +x2

2+x3

6+

x4

24+

x5

120+

x6

720+

x7

5040

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 26) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = sen x de grau 11.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sen x de grau 11 ∗Lf@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[2]= x −x3

6+

x5

120−

x7

5040+

x9

362880−

x11

39916800

ExercíciosObtenha as fórmulas de Taylor de grau n das funções dadas nos Exercícios 1 a 8.

1. f(x) = cox x

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = cos x de grau 11 ∗Lf@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[2]= 1 −x2

2+

x4

24−

x6

720+

x8

40320−

x10

3628800

2. f(x) = 1/(1 - x)

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Cos x de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 − xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[3]= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11

3. f(x) = 1/(1 + x) para x > -1

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 + xL de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 + xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[3]= 1 − x + x2 − x3 + x4 − x5 + x6 − x7 + x8 − x9 + x10 − x11

4. f(x) = log(1 - x).


In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 − xL de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@1 − xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[3]= −x −x2

2−x3

3−x4

4−x5

5−x6

6−x7

7−x8

8−x9

9−x10

10−x11

11

5. f(x) = log(1 + x).

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log H1 + xL de grau 11 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@1 + xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 11<DD

Out[3]= x −x2

2+x3

3−x4

4+x5

5−x6

6+x7

7−x8

8+x9

9−x10

10+x11

11

6. f(x) = e-x .

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Exp@−xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 − x +x2

2−x3

6+

x4

24−

x5

120+

x6

720−

x7

5040

7. f(x) = eax , a ∫ 0.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Exp@a xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 + a x +a2 x2

2+a3 x3

6+a4 x4

24+a5 x5

120+a6 x6

720+a7 x7

5040

8. f(x) = sen(x + p/4 ).

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = e−x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@x + π ê4DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 6<DD

Out[3]=1è!!!2

+xè!!!2

−x2

2 è!!!2−

x3

6 è!!!2+

x4

24 è!!!2+

x5

120 è!!!2−

x6

720 è!!!2

Obtenha os desenvolvimento de Taylor de ordem n = 2 para cada uma das funções dadas nos Exercícios 9 a 15.

10. f(x) = arcsen x.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arcsen x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := ArcSin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= x +x3

6+3 x5

40+5 x7

112


11. f(x) = arctg x.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arctg x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := ArcTan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= x −x3

3+x5

5−x7

7

12. f HxL = x7ê2 .

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = arc sen x de grau 7 ∗LClear@x, fD;f@x_D := x^7ê2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]=x7

2

13. f HxL = 27 x10ê3 ê350 − 16 x7ê2 ê35 + 2 x − 7 x2

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL =

27 x10ê3ê350 −16 x7ê2ê35 + 2 x − 7 x2 ∗LClear@x, fD;

f@x_D :=27

350 x^H10ê3L −

16

35 x^H7ê2L + 2 x − 7 x^2

Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 2 x − 7 x2 +27 x10ê3

350−16 x7ê2

35

14. f HxL = sec x

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = sec x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sec@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= 1 +x2

2+5 x4

24+61 x6

720+277 x8

8064

15. f HxL = log cos x

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = log cos x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@Cos@xDDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= −x2

2−

x4

12−

x6

45−17 x8

2520

16. f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 + x


In[18]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LClear@x, fD;

f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!

1 + xNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD

Out[20]= 1 +x2

−x2

8+x3

16−5 x4

128+7 x5

256

17. f HxL = Ÿ0x e−t2 t

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = Ÿ0x e−t2

t ∗LClear@x, fD;f@x_D := Integrate@Exp@−t^2D, 8t, 0, x<DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= x −x3

3+

x5

10−

x7

42+

x9

216

18. f HxL = H1 + xLn

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = H1 + xLn ∗LClear@x, fD;f@x_D := H1 + xL^nNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 5<DD

Out[3]= 1 + n x +12H−1 + nL n x2 +

16H−2 + nL H−1 + nL n x3 +

124

H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x4 +1120

H−4 + nL H−3 + nL H−2 + nL H−1 + nL n x5

19. f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 + xL

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LClear@x, fD;

f@x_D := 1 ëè!!!!!!!!!!!1 + x


Out[3]= 1 −x2

+3 x2

8−5 x3

16+35 x4

128−63 x5

256+231 x6

1024−429 x7

2048

20. f HxL =è!!!!!!!!!!!!!1 − x

In[21]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1ëè!!!!!!!!!!!!!!1 − x ∗LClear@x, fD;

f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!

1 − xNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[23]= 1 −x2

−x2

8−x3

16−5 x4

128−7 x5

256−21 x6

1024−33 x7

2048


2.4 Unicidade da fórmula de Taylor

Quando duas funções f e g são tais que o quociente f(x)/g(x) tende a zero com x tendendo a um certo x0, dizemosque f é de ordem pequena em relação a g, para x Ø x0 e escrevemos

f(x) = o(g(x)), x Ø x0 .

Por exemplo,

sen2 x = o(x) e cos 1/x = o(1/x)

pois ambos quocientes

sen2 xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx = (sen x) sen xÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅx e cosH1êxLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1êx = x cos (1/x)

tendem a zero com x Ø 0.

Quando apenas sabemos que o quociente f(x)/g(x) permanece limitado numa vizinhança de x0 , dizemos que f é deordem grande em relação a g, para, x Ø x0 e escrevemos

f(x) = O(g(x)), x Ø x0.

Por exemplo,ex − 1 − x = O Hx2L e sen x − x = O Hx3L com x → 0.

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/(1 - x)

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Taylor de f HxL = 1êH1 − xL. ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 − xLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 35) Determinar a fórmula de Taylor da função f(t) = 1/(1 + t2 )

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = 1êH1 + t2L. ∗LClear@t, fD;f@t_D := 1êH1 + t2LNormal@Series@f@tD, 8t, 0, 11<DD

Out[3]= 1 − t2 + t4 − t6 + t8 − t10

Exercícios1. Use as fórmulas de Taylor das funções ex e e-x para obter fórmulas análogas das funções cosh x = Hex + e-xL ê 2 e sinh x = Hex - e-xL ê 2


In[27]:= H∗ Fórmula de Taylor de Hex + e−xLê2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := H x + −xLê2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[29]= 1 +x2

2+

x4

24+

x6

720+

x8

40320

In[30]:= H∗ Fórmula de Taylor de cosh HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cosh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[32]= 1 +x2

2+

x4

24+

x6

720+

x8

40320

In[33]:= H∗ Fórmula de Taylor de Hex − e−xLê2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := H x − −xLê2Normal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[35]= x +x3

6+

x5

120+

x7

5040+

x9

362880

In[36]:= H∗ Fórmula de Taylor de senh HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sinh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[38]= x +x3

6+

x5

120+

x7

5040+

x9

362880

2. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = tg HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Tan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= x +x3

3+2 x5

15+17 x7

315+62 x9

2835

4. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sin x - tg x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin x − tg x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xD − Tan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= −x3

2−x5

8−13 x7

240−529 x9

24192

7. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen 2x


In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sin 2 x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@2 xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= 2 x −4 x3

3+4 x5

15−8 x7

315+

4 x9

2835

8. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = cos2 x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos2 x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xD2


Out[3]= 1 − x2 +x4

3−2 x6

45+

x8

315

9. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hsen x ê xL2

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hsin xêxL2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := HSin@xDêxL2


Out[3]= 1 −x2

3+2 x4

45−

x6

315+

2 x8

14175

10. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = Hex - 1L cos x ê ex

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = Hex − 1L cos xêex ∗LClear@x, fD;f@x_D := HExp@xD − 1L Cos@xDêExp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= x −x2

2−x3

3+5 x4

24−

x5

30−

x6

720+

x7

630

11. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = è!!!!!!!!!!!!!1 - x cos x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL =è!!!!!!!!!!!!!!1 − x cos x ∗L

Clear@x, fD;

f@x_D :=è!!!!!!!!!!!!!

1 − x Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 −x2

−5 x2

8+3 x3

16+25 x4

384−13 x5

768−349 x6

46080−401 x7

92160

12. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sen x /(x è!!!!!!!!!!!!!1 + x )

In[1]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = sen xëIx è!!!!!!!!!!!!!!1 + x M ∗LClear@x, fD;

f@x_D := Sin@xD ë Ixè!!!!!!!!!!!!!

1 + x MNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 −x2

+5 x2

24−11 x3

48+421 x4

1920−761 x5

3840+59009 x6

322560−110291 x7

645120


14. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = sec x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sec x ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sec@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 +x2

2+5 x4

24+61 x6

720

15. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = x/sen x

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêsen x ∗LClear@x, fD;f@x_D := xê Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= 1 +x2

6+7 x4

360+

31 x6

15120

16. Determine a fórmula de Taylor de f(x) = tg = sen x (1/cos x)

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen xêH1êcos xL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Tan@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]= x +x3

3+2 x5

15+17 x7

315

In[4]:= H∗ Desenvolvimento de Maclaurin de f HxL = Hsen xL H1êcos xL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xD H1êCos@xDLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[6]= x +x3

3+2 x5

15+17 x7

315

Use fórmulas de Taylor para calcular os limites dos Exercícios 17 a 22.

17. limxØ0 (2(1 - cos x) -x sen x) ê Hx2H1 - cos xLLIn[1]:= H∗ Calcule o limx→0 H2 H1−cosxL−x sen xL êHx2H1 − cos xLL ∗L

Clear@x, fD;f@x_D := H2 H1 − Cos @xDL − x Sin@xDLêHx2 H1 − Cos@xDLLNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]=16

+x2

360+

x4

15120+

x6

604800

In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, x → 0D

Out[4]=16


In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@xD, x → 0D

Out[5]=16

18. limhØ0 (è!!!!!!!!!!!!!1 + h - 1) ê sen 2 h

In[1]:= H∗ Calcule o limh→0 Iè!!!!!!!!!!!!!!1 + h −1M ê sen 2 h ∗LClear@h, fD;

f@h_D := Iè!!!!!!!!!!!!1 + h − 1M ë Sin@ 2 hD

Normal@Series@f@hD, 8h, 0, 5<DD

Out[3]=14

−h16

+19 h2

96−47 h3

768+2587 h4

23040−3937 h5

92160

In[4]:= H∗ Calcula o limite do desenvolvimento de Maclaurin de f HxL ∗LLimit@%, h → 0D

Out[4]=14

In[5]:= H∗ Calcula diretamente o limite de f HxL ∗LLimit@f@hD, h → 0D

Out[5]=14

19. limxØ0 ex sen x ë Iè!!!!!!!!!!!!!9 - x - 3M

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 ex sen x ë Iè!!!!!!!!!!!!!!9 − x − 3M ∗LClear@x, fD;

f@x_D := Exp@xD Sin@xD ë Iè!!!!!!!!!!!!!9 − x − 3M


Out[3]= −6 −35 x6

−395 x2

216+235 x3

3888+282481 x4

1399680+1542293 x5

25194240


Out[4]= −6


Out[5]= −6

20. limxØ0 I1 -è!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 3M2 /(cos x - 1)

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 I1 −è!!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 3M2íHcos x−1L ∗L

Clear@x, fD;

f@x_D := I1 −è!!!!!!!!!!!!!

1 + x M2í HCos@xD − 1L


Out[3]= −12

+x4

−19 x2

96+25 x3

192−373 x4

3840+191 x5

2560



Out[4]= −12


Out[5]= −12

21. limxØ0 (ex2 - 1)/ sen 3 x2

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 Hex2−1Lêsen 3 x2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := HExp@x2D − 1LêSin@3 x2DNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 7<DD

Out[3]=13

+x2

6+5 x4

9+19 x6

72


Out[4]=13


Out[5]=13

22. limxØ0 (log (1 + x2 ) - x2 )/((1 - cos x) sen2 x )

In[1]:= H∗ Calcule o limx→0 Hlog H1+x2L−x2LêHH1−cos xL sen2 xL ∗LClear@x, fD;f@x_D := HLog@1 + x2D − x2LêHH1 − Cos@xDL Sin@xD2LNormal@Series@f@xD, 8x, 0, 9<DD

Out[3]= −1 +x2

4−77 x4

240+7249 x6

30240−30029 x8

145152


Out[4]= −1


Out[5]= −1


2.5 Fórmula de Taylor na forma geral

Seja f(x) uma função derivável até a ordem n + 1, numa vizinhança V de x = a, o polinômio de Taylor de ordemn

p(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f'' HaL2! Hx − aL2 + ... + fHnL HaL

n! Hx − aLn

aproxima f(x) em V.

Series[f[x], {x, a, n}] gera a fórmula de Taylor de grau n na vizinhança do ponto a.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento em sériede Taylor de f HxL na vizinhança V de x = a ∗L

Clear@x, fD;Series@f@xD, 8x, a, 5<D

Out[2]= f@aD + f @aD Hx − aL +12f @aD Hx − aL2 +

16fH3L@aD Hx − aL3 +

124

fH4L@aD Hx − aL4 +1120

fH5L@aD Hx − aL5 + O@x − aD6

Normal[eries[f[x], {x, a, n}]] gera a fórmula de Taylor de grau n em torno do ponto a, sem o termo 0 @xDn.

In[1]:= H∗ Desenvolvimento em sériede Taylor de f HxL na vizinhança V de x = a ∗L

Clear@x, fD;Normal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DD

Out[2]= f@aD + H−a + xL f @aD +12H−a + xL2 f @aD +

16H−a + xL3 fH3L@aD +

124

H−a + xL4 fH4L@aD +1120

H−a + xL5 fH5L@aD

EXEMPLO 1. (GA2, pág. 43) Determinar a fórmula de Taylor da função f(x) = 1/x , relativa ao ponto a = 2.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êx relativa ao ponto a = 2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êxNormal@Series@f@xD, 8x, 2, 5<DD

Out[3]=12

+2 − x4

+18H−2 + xL2 −

116

H−2 + xL3 +132

H−2 + xL4 −164

H−2 + xL5

EXEMPLO 2. (GA2, pág. 44) Calcular o co-seno de 460 usando a formula de Taylor de cos(x) , relativa ao ponto a = p/4.


In[84]:= f@x_D := Cos@xDex2 = Normal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 2<DD ê. x −> 46 π ê180

Out[85]=1è!!!2

−π

180 è!!!2−

π2

64800 è!!!2

Esses três termos da série de Taylor são suficientes para se obter o valor do co −

seno de 460 com seis casas decimais exatas. De fato,

In[86]:= N@ex2DCos@46 π ê180D êê N

Out[86]= 0.694658

Out[87]= 0.694658

Animação

Vamos usar a fórmula de Taylor de cos(x), relativa ao ponto a = p/4, para ilustrar graficamente o comportamento da aproximação para pontos distantes de a.

In[88]:= H∗ Fórmula de Taylor de cos HxL relativa ao ponto a = πê4 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 5<DD

Out[90]=1è!!!2

−− π

4 + xè!!!2

−H− π

4 + xL22 è!!!2

+H− π

4 + xL36 è!!!2

+H− π

4 + xL424 è!!!2

−H− π

4 + xL5120 è!!!2

In[92]:= H∗ Fórmula de Taylor da função sen x relativa ao ponto de a = πê4 ∗Ltlist = Table@Normal@Series@f@xD, 8x, π ê4, n<DD, 8n, 18<D;plots = Map@Plot@8#, f@xD<, 8x, −2 Pi, 2 Pi<, PlotRange → 8−3, 3<,

PlotStyle → 88RGBColor@0, 0, 1D<, 8RGBColor@1, 0, 0D<<,Epilog → [email protected], Point@8Piê4, 1êSqrt@2D<D<D &, tlistD;

-6 -4 -2 2 4 6

-3

-2

-1

1

2

3


In[93]:= H∗ Animação da aproximação de Taylorda função sen x relativa ao ponto de a = πê4 ∗L

Show@GraphicsArray@88plots@@1DD, plots@@2DD, plots@@3DD<,8plots@@4DD, plots@@5DD, plots@@6DD<,8plots@@7DD, plots@@8DD, plots@@9DD<,8plots@@10DD, plots@@11DD, plots@@12DD<<DD;

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

-6 -4 -2 2 4 6

-3-2-1

123

ExercíciosObtenha a fórmula de Taylor de ordem n, relativa ao ponto x = a, para cada uma das funções dos Exercícios 1 a 15.

1. f(x) = log x, a = 1

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = log HxL ∗LClear@x, fD;f@x_D := Log@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 1, 5<DD

Out[3]= −1 −12H−1 + xL2 +

13H−1 + xL3 −

14H−1 + xL4 +

15H−1 + xL5 + x

2. f(x) = ex a arbitário


In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = ex, a arbitrário ∗LClear@x, fD;f@x_D := Exp@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 5<DD

Out[3]= a + a H−a + xL +12

a H−a + xL2 +16

a H−a + xL3 +124

a H−a + xL4 +1120

a H−a + xL5

3. f(x) = è!!!x a = 1.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = è!!!x , a = 1 ∗LClear@x, fD;

f@x_D :=è!!!!

xNormal@Series@f@xD, 8x, 1, 5<DD

Out[3]= 1 +12H−1 + xL −

18H−1 + xL2 +

116

H−1 + xL3 −5128

H−1 + xL4 +7256

H−1 + xL5

4. f(x) = sen x a = p/2.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = πê2 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê2, 7<DD

Out[3]= 1 −12I−

π2

+ xM2 +124

I−π2

+ xM4 −1720

I−π2

+ xM6

5. f(x) = 1 ê x a = -1.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êx, a = −1 ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êxNormal@Series@f@xD, 8x, −1, 7<DD

Out[3]= −2 − x − H1 + xL2 − H1 + xL3 − H1 + xL4 − H1 + xL5 − H1 + xL6 − H1 + xL7

6. f(x) = 1 ê H1 - Hx - 3L2L a = 3.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = 1êH1 − Hx − 3L2L, a = 3. ∗LClear@x, fD;f@x_D := 1êH1 − Hx − 3L2LNormal@Series@f@xD, 8x, 3, 9<DD

Out[3]= 1 + H−3 + xL2 + H−3 + xL4 + H−3 + xL6 + H−3 + xL8

7. f(x) = x ê Hx - 1L a = -2.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xêHx − 1L, a = −2. ∗LClear@x, fD;f@x_D := xêHx − 1LNormal@Series@f@xD, 8x, −2, 5<DD

Out[3]=23

+19H−2 − xL −

127

H2 + xL2 −181

H2 + xL3 −1243

H2 + xL4 −1729

H2 + xL5

8. f(x) = cos x a = p/4..


In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos x, x = πê4 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 4<DD

Out[3]=1è!!!2

−− π

4 + xè!!!2

−H− π

4 + xL22 è!!!2

+H− π

4 + xL36 è!!!2

+H− π

4 + xL424 è!!!2

9. f(x) = sen x a = p/4..

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, x = πê4 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê4, 4<DD

Out[3]=1è!!!2

+− π

4 + xè!!!2

−H− π

4 + xL22 è!!!2

−H− π

4 + xL36 è!!!2

+H− π

4 + xL424 è!!!2

10. f(x) = senh x a arbtário.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = senh x, x arbitário ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sinh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 4<DD

Out[3]= H−a + xL Cosh@aD +16H−a + xL3 Cosh@aD +

Sinh@aD +12H−a + xL2 Sinh@aD +

124

H−a + xL4 Sinh@aD

11. f(x) = cosh x a arbtário.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cosh x, x arbitário ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cosh@xDNormal@Series@f@xD, 8x, a, 4<DD

Out[3]= Cosh@aD +12H−a + xL2 Cosh@aD +

124

H−a + xL4 Cosh@aD + H−a + xL Sinh@aD +16H−a + xL3 Sinh@aD

12. f(x) = xa, a = 1.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = xα, a = 1 ∗LClear@x, fD;f@x_D := xα


Out[3]= 1 + H−1 + xL α +12H−1 + xL2 H−1 + αL α +

16H−1 + xL3 H−2 + αL H−1 + αL α +

124

H−1 + xL4 H−3 + αL H−2 + αL H−1 + αL α

13. f(x) = sen x, a = -p.


In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = −π ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, −π, 9<DD

Out[3]= −π − x +16Hπ + xL3 −

1120

Hπ + xL5 +Hπ + xL75040

−Hπ + xL9362880

14. f(x) = cos x, a = 2 p.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = cos x, a = 2 π ∗LClear@x, fD;f@x_D := Cos@xDNormal@Series@f@xD, 8x, 2 π, 9<DD

Out[3]= 1 −12H−2 π + xL2 +

124

H−2 π + xL4 −1720

H−2 π + xL6 +H−2 π + xL8

40320

15. f(x) = sen x, a = p/6.

In[1]:= H∗ Fórmula de Taylor de f HxL = sen x, a = πê6 ∗LClear@x, fD;f@x_D := Sin@xDNormal@Series@f@xD, 8x, π ê6, 4<DD

Out[3]=12

+12è!!!3 I−

π6

+ xM −14I−

π6

+ xM2 −H− π

6 + xL34 è!!!3

+148

I−π6

+ xM4


CAPÍTULO 3

Seqüencias InfinitasIniciar o MathKernel


3.1 Introdução

O Estudo da aproximação de funções por polinômios, feito no capítulo anterior, leva, naturalmente à considerações de soma infinita. Por exemplo, vimos que a função ex tem a seguinte fórmula de Taylor:

ex = 1 + x + x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3

ÅÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅÅ4! + . . .+ xn

ÅÅÅÅÅÅÅn! + . . . RnHxL

onde RnHxL= ec xn + 1 ê Hn + 1L e c é um número entre 0 e x. Veremos mais adiante que tende a zero con n Ø ¶, o que sugere que se n crescer acima de qualquer número dado, RnHxL tenderá a zero e a função ex será dada, exatamente, pela 'soma infinita"

ex = 1 + x + x2ÅÅÅÅÅÅ2! + x3

ÅÅÅÅÅÅÅ3! + x4ÅÅÅÅÅÅÅ4! + . . .+ xn

ÅÅÅÅÅÅÅn! + . . . RnHxL

Do mesmo modo, a fórmula

lnHx + 1L = 1 - x2ÅÅÅÅÅÅ2 + x3

ÅÅÅÅÅÅ3 - . . . - H-1Ln xnÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn + H-1Ln xn + 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅHn + 1L Hn + cLn + 1

sugere que se possa exprimir ln(1 + x) em termos da seguinte "soma infinita":

lnHx + 1L = 1 - x2ÅÅÅÅÅÅ2 + x3

ÅÅÅÅÅÅ3 - x4ÅÅÅÅÅÅ4

Muitas funções que aparecem no Cálculo são passíveis de desenvolvimentos desse tipo, em que a função passa a ser um "polinômio infinito". Isto facilita muito o tratamento das funções. Entretanto, temos de interpretar essas "somas infinitas" e saber o seu significado preciso. Lidar com o infinito sempre foi um problema dif[icil.; e os matemáticos sabem disso há mais de dois milênios. E para que o leiter tenmha uma idéia das dificuldades que podem surgir, vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor. Considere a série infinita

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 . . .

Se escrevermos S = (1 - 1) + (1 - 1) + ( 1 - 1) . . . teremos, evidentemente, S = 0. Mas, também podemos escrever

S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - ...

e agora concluimos que S = 1. Ainda há uma terceira possibilidade,

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ...) = 1 - S, donde 2S = 1, donde S = 1/2.

Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que três respostas diferentes?


3.2 Seqüência infinita

Uma seqüência ou sucessão infinita a1,a2,a3, , ...,an, ...

é que uma função f, definida no conjunto dos números inteiros positivos, atribuindo a n o valor an; assim

f: 1 Ø f(1) = a1, f: 2 Ø f(2) = a2, f: 3 Ø f(3) = a3, etc.

3.3 Conceito de limite

Diz-se que uma seqüência HanL converge para um número L ou tem limite L se, dado qualquer numéro e > 0, ésempre possível encontrar um número N tal que

n > N ï |an - L| < e .

Seqüências divergentes

Diz-se que uma seqüência an tem limite +¶ , ou que é divergente para +¶, se, dado qualquer numéro K, porgrande que seja, é sempre possível determinar um número N tal que

n > N ï an > K.

Diz-se que uma seqüência an tem limite -¶ , ou que é divergente para -¶, se, dado qualquer numéro K, pode-sedeterminar N tal que n > N ï an < K.

Algumas seqüências especiais


3.4 Propriedades do limite

Diz-se que uma seqüência HanL converge para um número L ou tem limite L se, dado qualquer numéro e > 0, ésempre possível encontrar um número N tal que

n > N ï |an - L| < e

Propriedade do triângulo

Conseqüências da desigualdade do triângulo

Operações com limites

Teorema: Se HanL e HbnL convergem para os limites a e b, respectivamente, então

i) an + bn Ø a + b;

ii) an bn Ø ab;

iii) an /bn Ø a/b, no pressuposto de que os denominadores não se anulam;

iv) kan Ø ka, onde k é um número qualquer.

3.5 Seqüências monótonas

Uma seqüência HanL chama-se crescente se a1 < a2 < a3 < . . ., isto é, se an < an + 1 para todo n; e drescente se a1 >a2 > a3 > . . .Se an § an +1 para todo n, a seqüêencia é chamada não-decescente, ao passo que ela é não-crescentese a desigualdade for an ¥ an + 1 . As seqüências crescentes, decrescentes, não-crescentes e não-decrescentes sãochamadas seqüências monôtonas. Essas seqüências têm a importante propriedade de serem covergentes, casosejam limitadas.

ExercíciosDetermine a soma das séries dadas nos Exercícios 1 a 11.


1.

In[2]:= H∗ Limite da seqüência n! e nn ∗LLimit@n!, n → ∞DLimit@nn, n → ∞D

Out[2]= ∞

Out[3]= ∞

2.

In[92]:= H∗ Limite da seqüência 0, 3ê2, −2ê3, 5ê4, −4ê5, ... ,1ên + H−1L^n ∗LLimit@1ên + H−1Ln, n → ∞D

Out[92]= LimitAH−1Ln +1n

, n → ∞E

3.

In[92]:= H∗ Limite da seqüência 1, 10, 2, 102, 3, 103... ∗LLimit@1ên + H−1Ln, n → ∞D


, n → ∞E

4.

In[92]:= H∗ Limite da seqüência 2, 3, 5, 7,9, 11, 13 ... pn Hn−ésimo número primoL ∗L

Limit@1ên + H−1Ln, n → ∞D


, n → ∞E

5.

In[93]:= H∗ Limite da seqüência n∗cos è!!!n ëHn2 − 1L ∗L

Limit@n Cos@nDêHn2 + 1L, n → ∞DOut[93]= 0

6.

In[94]:= H∗ Limite da seqüência sen Hn2 − 1LêHn2 − 1L ∗LLimit@Sin@n2 + 1DêHn2 + 1L, n → ∞D

Out[94]= 0


7.

In[96]:= H∗ Limite da seqüência n2êsen H1ênL ∗LLimit@n2 êSin@1ênD, n → ∞D

Out[96]= ∞

8.

In[97]:= H∗ Limite da seqüência Hn − 1LêHn + 1L ∗LLimit@Hn − 1LêH n + 1L, n → ∞D

Out[97]= 1

9.

In[99]:= H∗ Limite da seqüência H4 n2 − 3 n + 1LêHn2 + 10 n + 5L ∗LLimit@H4 n2 − 3 n + 1LêH n2 + 10 n + 5L, n → ∞D

Out[99]= 4

10.

In[101]:= H∗ Limite da seqüência H2 + 3 nL H2 n − 10LêH4 n2 − 1L ∗LLimit@H2 + 3 nL H2 n − 1LêH 4 n2 − 1L, n → ∞D

Out[101]=32

11.

In[102]:= H∗ Limite da seqüência I3 n è!!!n + 1MëI7 − 2 n è!!!n M ∗LLimitAI3 n

è!!!!n + 1M ë I7 − 2 n

è!!!!n M, n → ∞E

Out[102]= −32

12.

In[104]:= H∗ Limite da seqüência I3 è!!!n + 2M I1 − 5

è!!!n MëH10 − 5 nL ∗LLimitAI3

è!!!!n + 2M I1 − 5

è!!!!n M ë H10 − 5 nL, n → ∞E

Out[104]= 3

13.

In[105]:= H∗ Limite da seqüência I2 −è!!!n M Iè!!!n − 1MëIè!!!n + 7M ∗L

LimitAI2 −è!!!!

n M Iè!!!!n − 1M ë Iè!!!!

n + 7M, n → ∞EOut[105]= −∞


14.

In[2]:= H∗ Limite da seqüência è!!!!!!!!!!!!!!!!n2 + 1 − è!!!n ∗LLimitAè!!!!!!!!!!!!!!!

n2 + 1 −è!!!!

n , n → ∞EOut[2]= ∞

15.

In[3]:= H∗ Limite da seqüência è!!!!!!!!!!!!!!n + 1 −è!!!n ∗L

LimitAè!!!!!!!!!!!!!n + 1 −

è!!!!!n , n → ∞E

Out[3]= 0

16.

In[4]:= H∗ Limite da seqüência n2êHn + 1L − n2êHn + a + 1L ∗LLimit@n2 êHn + 1L − n2 êHn + a + 1L , n → ∞D

Out[4]= a

17.

In[5]:= H∗ Limite da seqüência Tanh HnL ∗LLimit@Tanh@nD , n → ∞D

Out[5]= 1

18.

In[6]:= H∗ Limite da seqüência n∗enêH1 + e2 nL ∗LLimit@n n êH1 + 2 nL , n → ∞D

Out[6]= 0

19.

In[7]:= H∗ Limite da seqüência I3 è!!!!!!n! + e2 nMëI5 è!!!!!!n! − enM ∗LLimitAI3

è!!!!!!!n! + 2 nM ë I5

è!!!!!!!n! − nM, n → ∞E

Series::esss : Essential singularity encountered in GammaA 1n

+ 1 + O@nD3E.


+ 1 + O@nD3E.


+ 1 + O@nD3E.

General::stop : Further output ofSeries::esss will be suppressed during this calculation.

Out[7]= LimitA2 n + 3 è!!!!!!!n!

− n + 5 è!!!!!!!n!, n → ∞E


20.

In[8]:= H∗ Limite da seqüência n2 H1 − Cos@aênDL ∗LLimit@n2 H1 − Cos@aênDL , n → ∞D

Out[8]=a2

2

22.

In[11]:= H∗ Limite da seqüência log HnLên ∗LLimit@Log@nDên, n → ∞D

Out[11]= 0

23.

In[12]:= H∗ Limite da seqüência Hlog HnLLkên ∗LLimit@HLog@nDLk ên, n → ∞D

Out[12]= 0

24.

In[14]:= H∗ Limite da seqüência log HnLên1êk ∗LLimit@Log@nDên1êk, n → ∞D

Out[14]= Limit@n−1êk Log@nD, n → ∞D

29.

In[16]:= H∗ Limite da seqüência n1ên ∗LLimit@n1ên, n → ∞D

Out[16]= 1


CAPÍTULO 4

Séries InfinitasIniciar o MathKernel


4.1 Definição e primeiros resultados

As séries infinitas surgem quando procuramos somar todos os elementos de uma dada swqüência HanL :

a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . (4.1)

Embora seja impossível somar infinitos números, um após outro, podemos considerar as somas parciais

S1 = a1 , S2 = a2 + a2 , S3 = a1 + a2 + a3 , etc.

Em geral, denotamos por por Sn a soma dos primeiros n elementos da sequência HanL , que é chamada soma parcial ou reduzida de ordem n associada a seqüência:

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an = ⁄j = 1

n a j.

Desse modo formamos uma nova seqüência infinita,

S1 , S2 , S3 . . . Sn , . . .

Supondo que ela tenha limite S então,

Definimos a soma infinita (4.1) como sendo este limite, que também se denota com o símbolo ⁄j = 1

n a j , isto é

a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . = S = lim Sn = limn Ø ¶ ⁄j = 1

n a j = ⁄

n = 1

¶ an.

Sum[an, {n, ¶}] acha a soma da série a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . .

EXEMPLO 1. Consideremos o polinômio de Taylor da exponencial

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ . . .+

xn

n!+ . . .RnHxL

Fazendo x = 1, nesta expressão, obtemos o número e como soma de uma série infinita

ex = 2 + 12! + 1

3! + 14! + . . .+ 1

n!

In[9]:= H∗ A soma da série 1 + ⁄n = 1

∞ 1ên! ∗L

1 + Sum@1ên!, 8n, ∞<DOut[9]=

EXEMPLO 2. A série

12

+14

+18

+1

16. . . = ‚

n = 1

∞12n

tem soma igual a 1

In[8]:= H∗ A soma da série ⁄n = 1

∞ 1ê2n ∗L

Sum@1ê2n, 8n, ∞<DOut[8]= 1

EXEMPLO 3. Vamos considerar a série geométrica de razão r.

⁄n = 1

∞ rn = 1 + r + r2 + . . . rn + . . .

Seja

Sn = 1 + r + r2 + . . . rn

a soma parcial dos primeiros n + 1 termos da série. Tendo em vista que

r Sn = r + r2 + . . . rn + 1 = Sn + rn + 1 − 1 ,

obtemos

Sn = rn + 1 − 1r − 1 se r ∫ 1

isto é

1 + r + r2 + . . . rn = rn + 1 − 1r − 1

Se | r | < 1, então rn + 1 Ø 0e a expressão anterior torna-se no limite ,

⁄n = 1

¶ rn = 1 + r + r2 + . . . rn + . . . = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1- r .


∞ rn ∗L

Sum@rn, 8n, ∞<DOut[11]= −

r−1 + r

Se r>1,a série diverge para+¶.Se r<-1,a série oscila,aleternadamente,para+¶ e-¶,e nesse caso também diverge.


EXEMPLO 4. A série

13 + 1

15 + 135 + . . .+ 1

H2 n − 1 L H2 n + 1 L + . . .= ⁄n = 1

∞ 1H2 n − 1 L H2 n + 1 L

e uma série convergente. De fato,


∞ 1H2 n − 1 L H2 n + 1 L ∗L

SumA 1

H2 n − 1 L H2 n + 1 L, 8n, ∞<E

Out[12]=12

Uma série que não converge é chamada divergente. Uma série pode divergir para +¶ ou para -¶, como é o casodas séries

1 + 2 + 4 + . . . = ⁄n = 1

¶2n = + ¶ e - 2ÅÅÅÅ1 - 3ÅÅÅÅ2 - 4ÅÅÅÅ3 - . . .= ⁄

n = 1

¶ nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn - 1 = - ¶

Outro tipo de série divergente é aquela em que as reduzidas apresentam um caráter oscilatório, como acontecenas séries

⁄n = 1

¶ H-1Ln nÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn - 1 = 2 - 3ÅÅÅÅ2 + 4ÅÅÅÅ3 - 5ÅÅÅÅ4 + . . . e ⁄n = 1

¶ H-1Ln n2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅn + 1 = - 1ÅÅÅÅ2 + 4ÅÅÅÅ3 - 9ÅÅÅÅ4 + . 16ÅÅÅÅÅÅÅ5 - 25ÅÅÅÅÅÅÅ6 + . . .

Em geral não é fácil saber se uma série converge ou diverge. Para que ela seja convergente é necessário que seutermo genérico yenda a zero como afirma o seguinte teorema.

Teorema. Dada uma série convergente ⁄n = 1

¶an , seu termo genérico an tende a zero.

A série harmômica

O exemplo mais notável de série divergente de termos positivos, cujo termo genérico tende a zero, é a chamada série harmônica:

⁄n = 1

¶ 1ÅÅÅÅn = 1 + 1ÅÅÅÅ2 + 1ÅÅÅÅ3 + 1ÅÅÅÅ4 + . . . .

In[1]:= H∗ Série harmônica ∗L

SumA 1

n, 8n, ∞<E

Sum::div : Sum does not converge. More…

Out[1]= ‚n=1

∞1n

Propriedades operacionais

Teorema. a) Se ⁄n = 1

¶an converge e k é um número qualquer, então ⁄

n = 1

¶k an converge e tem a soma k ⁄

n = 1

¶an ;

b) Se ⁄n = 1

¶an e ⁄

n = 1

¶bn convergem, então ⁄

n = 1

¶Han + bnL convege e

⁄n = 1

¶Han + bnL = ⁄

n = 1

¶an + ⁄

n = 1

¶bn .


Série de termos não negativos

Teorema. Uma série de termos não- negativos ⁄n = 1

¶pn converge se a seqüência de suas reduzidas for limitada; e

diverge para + ¶ se essa seqüência não for limitada. No caso de ser convergente,, a soma da série independe daordem de seus termos.


1.

In[18]:= H∗ Determinar a soma da série 1 + 2ê3 + 4ê9 + 8ê16 + ...=

‚n=1

∞ H 23 L

n∗L

Sum@H2ê3Ln, 8n, 0, ∞<DOut[18]= 3

2.

In[19]:= H∗ Determinar a soma da série 1 − 4ê5 + 16ê25 + ... = ‚n=1

∞ H −45 Ln

∗LSum@H−4ê5Ln, 8n, 0, ∞<D

Out[19]=59

3.

In[20]:= H∗ Determinar a soma da série 2ê3 + 8ê15 + 32ê75 + ... = ‚n=1

∞ 23

H 45 L

n∗L

2ê3 Sum@H4ê5Ln, 8n, 0, ∞<D

Out[20]=103

4.

In[21]:= H∗ Determinar a soma da série 1 + 6ê7 + 36ê49 + ... ∗LSum@H6ê7Ln, 8n, 0, ∞<D

Out[21]= 7

5.

In[23]:= H∗ Determinar a soma da série 1 − 1ê3 + 1ê9 + ... ∗LSum@H−1ê3Ln, 8n, 0, ∞<D

Out[23]=34


6.

In[24]:= H∗ Determinar a soma da série 5 + 10ê7 + 20ê49 + ... ∗L5 Sum@H2ê7Ln, 8n, 0, ∞<D

Out[24]= 7

7.

In[25]:= H∗ Determinar a soma da série 4ê5 − 8ê15 + 16ê45 − 32ê135 + ... ∗L4ê5 Sum@H−2ê3Ln, 8n, 0, ∞<D

Out[25]=1225

8.

In[29]:= H∗ Determinar a soma da série ‚n=1

∞ 12 n − 1 ∗L

Sum@1êH2 n − 1L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[29]= ‚n=1

∞1

2 n − 1

9.


∞ 13 n − 2 ∗L


Out[30]= ‚n=1

∞1

3 n − 2

12.


∞ 13 n + 5 ∗L

Sum@1êH3 n + 5L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[33]= ‚n=1

∞1

3 n + 5


13.


∞ 15 n − 72 ∗L


Out[32]= ‚n=1

∞1

5 n − 72

14.


∞ 15 n − 72 ∗L


Out[32]= ‚n=1

∞1

5 n − 72

21.


∞ 1n Hn + 1L ∗L

Sum@1êHn Hn + 1LL, 8n, 1, ∞<DOut[34]= 1

22.


∞ 1n2 ∗L

Sum@1ên2, 8n, 1, ∞<D

Out[35]=π2

6

23.


∞ 1n Hn + 1L ∗L

Sum@1êHn Hn + 3LL, 8n, 1, ∞<D

Out[39]=1118

24.

In[42]:= H∗ Determinar a soma da série H−1Ln xH2 n + 1LêH2 n + 1L! ∗LSum@H−1Ln xH2 n + 1L ê H2 n + 1L!, 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify

Out[42]= Sin@xD


25.

In[43]:= H∗ Determinar a soma da série H−x2LnêH2 nL! ∗LSum@H−x^2Ln êH2 nL!, 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify

Out[43]= Cos@xD

26.

In[44]:= H∗ Determinar a soma da série xn ∗LSum@xn , 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify

Out[44]=1

1 − x

27.

In[45]:= H∗ Determinar a soma da série H−xLnên ∗L−Sum@H−xLn ên , 8n, 1, ∞<D êê FullSimplify

Out[45]= Log@1 + xD

28.

In[47]:= H∗ Determinar a soma da série H−1Ln x2 n ∗LSum@H−1Ln x2 n , 8n, 0, ∞<D êê FullSimplify

Out[47]=1

1 + x2

4.2 Teste de comparação


1.

In[48]:= H∗ Verificar se a série ‚n=1

∞ 1è!!!!n converge ou diverge ∗L

SumA1 ëè!!!!n , 8n, 1, ∞<E

Sum::div : Sum does not converge.

Out[48]= ‚n=1

∞1è!!!n


2.


∞ 5 n+13 n2+2 n−10 converge ou diverge ∗L

Sum@H5 n + 1LêH3 n2 + 2 n − 10L , 8n, 0, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[49]= ‚n=0

∞5 n + 1

3 n2 + 2 n − 10

3.


∞ n3−3 n2+53 n2+1 converge ou diverge ∗L

Sum@Hn3 − 3 n2 + 5LêH3 n2 + 1L , 8n, 0, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[50]= ‚n=0

∞n3 − 3 n2 + 5

3 n2 + 1

4.


∞ 1n è!!!!n converge ou diverge ∗L

SumA1 ë Inè!!!!

n M , 8n, 1, ∞<E

Out[55]= ZetaA 32E

5.


∞ 1Log@nD converge ou diverge ∗L

Sum@1êLog@nD, 8n, 2, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[56]= ‚n=2

∞1

Log@nD

6.


∞ 1Log@nDr converge ou diverge ∗L

Sum@1êLog@nDr , 8n, 2, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[57]= ‚n=2

∞1

Log@nDr


7.


∞ è!!!!n +1n2−4 converge ou diverge ∗L

SumAIè!!!!n + 1M ë Hn2 − 4L, 8n, 3, ∞<E

Out[58]= „n=3

∞ è!!!n + 1n2 − 4

8.


∞ Cos@3 nD2

n è!!!!n +5converge ou diverge ∗L

Sum@Cos@3 nD^2êHn Sqrt@nD + 5L, 8n, 0, ∞<D

Out[59]= ‚n=0

∞Cos@3 nD2

n è!!!n + 5

9.


∞ Log@nDn converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDên, 8n, 2, ∞<DOut[61]= −StieltjesGamma@1D

10.


∞ Log@nDn è!!!!n converge ou diverge ∗L

SumALog@nD ë Inè!!!!

n M, 8n, 2, ∞<E

Out[1]= −Zeta A 32E

11.


∞ Log@nDn2−9 n converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDêHn2 − 9 nL, 8n, 10, ∞<D

Out[4]= ‚n=10

∞Log@nDn2 − 9 n

12.


∞ Log@nDn3 converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDên3, 8n, 1, ∞<DOut[5]= −Zeta @3D


13.


∞ Log@nDn2 converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDên2, 8n, 1, ∞<DOut[11]= −Zeta @2D

14.


∞ Log@nDn−9 converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDêHn − 9L, 8n, 10, ∞<D

Out[12]= ‚n=10

∞Log@nD

n − 9

15.


∞Log HnLêHn n1ê3L converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDêHn nH1ê3LL, 8n, 1, ∞<D

Out[10]= −Zeta A 43E

16.


∞Log HnLên1.02 converge ou diverge ∗L

Sum@Log@nDên1.02, 8n, 2, ∞<DOut[16]= −655.971

17.


∞ n2

n converge ou diverge ∗LSum@n2 ê n, 8n, 1, ∞<D

Out[18]=H1 + L

H−1 + L3

18.

In[27]:= H∗ Verificar se a série ‚k=1

∞ k Cos@kD+k2

k4 Log@kD+1 converge ou diverge ∗LSum@Hk Cos@kD + k2LêHk4 Log@kD + 1L, 8k, 1, ∞<D

Out[27]= ‚k=1

∞k Cos@kD + k2

k4 Log@kD + 1


19.


∞ Hn3êHExp HnL − 1LL converge ou diverge ∗LSum@n3 êH n − 1L, 8n, 1, ∞<D

Out[20]= ‚n=1

∞n3

n − 1

20.


∞ HLog HnLêHn2−3 nLL converge ou diverge ∗LSum@Log@nDêHn2 − 3 nL, 8n, 4, ∞<D

Out[21]= ‚n=4

∞Log@nDn2 − 3 n

21.


∞ Hsen H1ên2LL converge ou diverge ∗LSum@Sin@1ên2D, 8n, 1, ∞<D

Out[22]= ‚n=1

∞

SinA 1n2 E

22.


∞ Hn7ê8 sen H1ên8ê9LL converge ou diverge ∗LSum@nH7ê8L Sin@1ênH8ê9LD, 8n, 1, ∞<D

Out[23]= ‚n=1

∞

n7ê8 SinA 1n8ê9 E

23.


∞ Hn!ênnL converge ou diverge ∗LSum@n!ênn, 8n, 1, ∞<D

Out[3]= ‚n=1

∞

n−n n!


4.3 Teste da razão, Convergência absoluta e condicional

Teorema. Seja ⁄n=1∞ an uma série de termos positivos tal que an+1 /an converge para um certo limite r. Então, a

série converge se r < 1 e diverge se r > 1. Se r = 1, nada se pode concluir.

Convergência absoluta

Diz-se que uma série ⁄n=1∞ an (cujos termos não são necessariamente positivos) converge absolutamente, ou é

absolutamente convergente, se a série ⁄n=1∞ » an » é convergente.

Teorema. Toda série absolutamente convergente é convergente, isto é, ⁄n=1∞ » an » converge ï ⁄n=1

∞ an

converge. Além disso, a soma da série dada independe da ordem em que se considera seus termos.

Séries alternadas

Uma série cujos termos são alternadamente positivos e negativos é chamada série alternada.

Teorema. Se (an ) é uma seqüência de termos positivos tal que a1 ≥ a2 ≥ ... ≥ an ≥ ... e an Æ 0, então asérie alternada ⁄n=1

∞ H−1Ln an converge.


1.


∞n2ê3n converge ou diverge ∗L

Sum@n2 ê3n, 8n, 1, ∞<D

Out[12]=32

2.


∞n3ëè!!!!!!

2n converge ou diverge ∗L

SumAn3 ëè!!!!!!2n , 8n, 1, ∞<E

Out[13]=4 I8 + 3 è!!!2 MI−2 + è!!!2 M4


3.


∞πnëè!!!!

n converge ou diverge ∗L

SumAπn ëè!!!!n , 8n, 1, ∞<E


Out[14]= ‚n=1

∞πn

è!!!n

4.


∞2nêHn9 + 3 n5 +7L converge ou diverge ∗L

Sum@2n êHn9 + 3 n5 + 7L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[15]= ‚n=1

∞2n

n9 + 3 n5 + 7

5.


∞n2ên! converge ou diverge ∗L

Sum@n2 ên!, 8n, 1, ∞<DOut[16]= 2

6.


∞n!ênn converge ou diverge ∗L

Sum@n!ênn, 8n, 1, ∞<D

Out[17]= ‚n=1

∞n!nn

7.


∞3nêH2n n5L converge ou diverge ∗L

Sum@3n êH2n n5L, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[21]= ‚n=1

∞3n

2n n5


8.


∞nkêHen + sin H3 nLL converge ou diverge ∗L

Sum@nk êH n + Sin@3 nDL, 8n, 1, ∞<D

Out[23]= ‚n=1

∞n2

n + Sin@3 nD

9


∞e2 n êHnen + 1L converge ou diverge ∗L

Sum@ 2 n êHn n + 1L, 8n, 0, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[25]= ‚n=0

∞ 2 n

n n + 1

10.


∞ H1 + nk LêHe2 n + n2L converge ou diverge ∗LSum@H1 + nkLêH 2 n + n2L, 8n, 0, ∞<D

Out[26]= ‚n=0

∞1 + nk

2 n + n2

11.

In[26]:= H∗ Verificar se a série

‚n=0

∞sin H1 + n2 LêHe2 n + n2L converge ou diverge ∗L

Sum@Sin@ n2 + 1DêHn2 + 1L, 8n, 0, ∞<D

Out[26]= ‚n=0

∞1 + nk

2 n + n2


12.


‚k=0

∞ Icos HkL − sin HkLëIk è!!!k M converge ou diverge ∗L

SumAHCos@kD − Sin@ kDL ë Ikè!!!!

k M, 8k, 0, ∞<ESum::div : Sum does not converge.



General::stop :

Further output of Sum::div will be suppressed during this calculation.

Out[27]= ‚k=0

∞Cos@kD − Sin@kD

k è!!!k

13.


‚k=2

∞Log I1 + sin Hkê2LêHk2 − 1L converge ou diverge ∗L

Sum@Log@1 + Sin@ kê2DDêHk2 − 1L, 8k, 2, ∞<D

Out[31]= „k=2

∞Log@1 + Sin@ k

2 DDk2 − 1

14.


‚k=0

∞k2 ek I1 + 2 cos HkLêHe2 k Hk2 + 1LL converge ou diverge ∗L

Sum@k2 k H1 + 2 Cos@kDLêH 2 k Hk2 + 1LL, 8k, 1, ∞<D

Out[30]=3 − 2 − 2 1+ − 2 1+2 + 2 + 2+ + 2+2

H−1 + L H− + L H−1 + 1+ L −

J 14

−4N −1− JHypergeometricPFQ@81, 1 − <, 82 − <, −1− D +

JHypergeometricPFQA81, 1 − <, 82 − <, 1 E +

HypergeometricPFQA81, 1 + <, 82 + <,1 EN +

HypergeometricPFQ@81, 1 + <, 82 + <, −1− D +2 HHypergeometricPFQ@81, 1 − <, 82 − <, −1+ D +

HypergeometricPFQ@81, 1 + <, 82 + <, −1+ DLN


15.


∞ 1en sin H1ênL converge ou diverge ∗L

Sum@1ê n Sin@1ênD, 8n, 1, ∞<DSum::div : Sum does not converge.

Out[32]= „n=1

∞Sin@ 1

n Dk

16.


∞ H−1Lnên! converge ou diverge ∗LSum@H−1Ln ên!, 8n, 0, ∞<D

Out[33]=1

17.


∞ H−1Ln è!!!!!!2n ën! converge ou diverge ∗L

SumAH−1Ln è!!!!!!

2n ë n!, 8n, 0, ∞<E

Out[34]= −è!!!!2

4.4 Teste da integral

Teorema. Teorema. Se f(x) é uma função positiva não cescente para x > 0, então a série ⁄n=1∞ f HnL converge

se, e somente se, a integral imprópria Ÿ1∞f HxL x converge.

Corolário. Com a mesma hipótese do teorama acima, a série ⁄n=1∞ f HnL diverge para +¶, se, e somente se, o

mesmo acontece com a integral imprópria Ÿ1∞f HxL x



1.

In[38]:= H∗ Use o teste da integral para

estabelecer a convergência da série ‚n=1

∞ 1nH1 + epsL ∗L

Sum@1ênH1+epsL , 8n, 1, ∞<DOut[38]= Zeta@1 + epsD

2.



∞ 1nLog HnLH1 + epsL ∗L

Sum@1êHn Log@nDH1+epsLL , 8n, 1, ∞<D

Out[39]= ‚n=1

∞1

n Log@nD1+eps

3.

In[4]:= H∗ Use o teste da integral paraestabelecer a convergência da série ⁄n=1

∞ 1n2 ∗L

Sum@1ên2 , 8n, 1, ∞<D

Out[4]=π2

6

In[45]:= % êê N

Out[45]= 1.64493

4.


∞ 1n2 + 1 ∗L

Sum@1êHn2 + 1L , 8n, 1, ∞<D

Out[46]=12

Csch@πD Hπ Cosh@πD − Sinh@πDL

In[47]:= % êê N

Out[47]= 1.07667

5.


∞ 1n3 ∗L

Sum@1ên3 , 8n, 1, ∞<DOut[48]= Zeta@3D

In[49]:= % êê N

Out[49]= 1.20206


6.


∞ 1n3 r ∗L

Sum@1ênr , 8n, 1, ∞<DOut[50]= Zeta@rD

7.


∞ e−n ∗LSum@ −n, 8n, 1, ∞<D

Out[51]=1

−1 +

In[52]:= % êê N

Out[52]= 0.581977

8.



∞n e−n2

∗LSumAn −n2

, 8n, 1, ∞<E

Out[53]= ‚n=1

∞

n −n2

9.


∞ n e−n ∗LSum@n −n , 8n, 1, ∞<D

Out[54]= H−1 + L2

10.


∞ n6 e−n ∗LSum@n6 −n , 8n, 1, ∞<D

Out[5]=H1 + 57 + 302 2 + 302 3 + 57 4 + 5L

H−1 + L7


11.


∞ nr e−n ∗LSum@nr −n , 8n, 1, ∞<D

Out[6]= PolyLogA−r, 1 E


CAPÍTULO 5

Séries de potênciaisIniciar o MathKernel


5.1 Primeiros exemplos e propriedades

Chama-se série de potências a toda série da forma a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = ⁄n = 1∞ an xn .

Uma tal série é também chamada de série de Taylor relativa a x = 0 ou série de Maclaurin. Em geral elas sãoobtidas das fórmulas de Taylor quando o restotende a zero con n Ø ¶.

Series[f[x], {x, 0, n}] gera os primeiros n termos da série de potência da função f(x).

Sum[an, {n, ∞}] acha a soma da série de potência a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 ... = ⁄n = 1

∞ an xn .

EXEMPLO 1. função exponencial. Foi com esse procedimento que obtivemos a série de potência da função exponencial

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+ . . .+

xn

n!+ . . . = ‚

n = 0

∞xn

n!

Vimos que esta série converge qualquer que seja o valor de x.

In[7]:= H∗ Série de potências da função esponencial ∗LSeries@ x, 8x, 0, 5<D

Out[7]= 1 + x +x2

2+x3

6+

x4

24+

x5

120+ O@xD6

In[2]:= H∗ Série de potências da função esponencial ∗L

SumA xn

n!, 8n, 0, ∞<E

Out[2]= x

EXEMPLO 2. função seno e co-seno. A série de potencias do seno é expressa por

senHxL = x −x3

3!+

x5

5!−

x7

7!+ . . . = ‚

n = 0

∞

H−1Ln

H2 n + 1L! x2 n + 1

e a do co-seno

cosHxL = 1 − x22! + x4

4! − x66! + . . . = ‚

n = 0

∞ H−1LnH2 n L! x2 n

In[10]:= H∗ Série de potências da função seno ∗LSeries@Sin@xD, 8x, 0, 7<D

Out[10]= x −x3

6+

x5

120−

x7

5040+ O@xD8

In[13]:= H∗ Série de potências da função seno ∗LSumA H−1Ln

H2 n + 1L! x2 n + 1, 8n, 0, ∞<E êê FullSimplify

Out[13]= Sin@xD

In[14]:= H∗ Série de potências da função co−seno ∗LSeries@Cos@xD, 8x, 0, 7<D

Out[14]= 1 −x2

2+

x4

24−

x6

720+ O@xD8

In[15]:= H∗ Série de potências da função co−seno ∗LSumA H−1Ln

H2 n L! x2 n , 8n, 0, ∞<E êê FullSimplify

Out[15]= Cos@xD

EXEMPLO 3. série geométrica. Considerando a identidade

1 − xn + 1

1 − x = 1 + x + x2 + . . . xn

e fazendo n Ø ¶ para obter a série geométrica

11 − x = 1 + x + x2 + . . . xn = ⁄n = 0

∞ xn

In[16]:= H∗ Série geométrica ∗LSeries@1êH1 − xL, 8x, 0, 7<D

Out[16]= 1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + O@xD8

In[18]:= H∗ Série geométrica ∗LSum@xn , 8n, 0, ∞<D

Out[18]=1

1 − x


EXEMPLO 4. série binomial. Considerando a identidade

H1 + xLα = 1 + α x + α Hα − 1L2! x2 + . . . + α Hα − 1L . . . Hα − n + 1L

n! n2. . .

e fazendo n Ø ¶ para obter a série binomial

H1 + xLα = 1 + α x + α Hα − 1L2! x2 + . . . + α Hα − 1L . . . Hα − n + 1L

n! n2 + . . . = ‚n = 0

∞ JαnN xn

In[21]:= H∗ Série binomial ∗LSeries@H1 + xLα, 8x, 0, 4<D

Out[21]= 1 + α x +12H−1 + αL α x2 +

16H−2 + αL H−1 + αL α x3 +

124

H−3 + αL H−2 + αL H−1 + αL α x4 + O@xD5

Dois teoremas fundamentais

Teorema 1. Se a série de potências ⁄n = 1

¶an , converge num certo valor x = x0 ∫ 0, ela converge absolutamente

em todo ponto x do intervalo | x | < | x0 | ; e se a série diverge em x = x0 , ela diverge em todo x fora desseintervalo, isto é, | x | > | x0 |

Teorema 2. A toda série de potências ⁄n = 1

¶an que converge em algum valor x' ∫ 0 e diverge em algum valor x'',

corresponde um número positivo r tal que a série converge absolutamenmte se | x | < r e diverge se | x | > r.

Raio de convergência e intervalo de convergência

O número r no teorema anterior é chamado de raio de convergência da série.

Derivação e Integração

Toda série de potências pode ser derivada ou integrada termo a termo; e as séries resultantes têm o mesmo interva-los de convergência das séries originais.

EXEMPLO 9. A série

ln H1 − xL = − x − x22 + x3

2 . . . = ⁄n = 0∞ x

n

n

pode ser obtida por integração , termo a termo, da série

11 − x = 1 + x + x2 + . . . xn = ⁄n = 0

∞ xn

In[23]:= H∗ Série do ln H1 − xL ∗LSeries@Log@1 − xD, 8x, 0, 6<D

Out[23]= −x −x2

2−x3

3−x4

4−x5

5−x6

6+ O@xD7

In[24]:= H∗ Série geométrica ∗LSum@xn , 8n, 0, ∞<D

Out[24]=1

1 − x


EXEMPLO 10. Trocando x por - x2 na série do exemplo anterior nos leva a série

11 + x2 = 1 − x2 + x4 − x6 + . . . = ⁄n = 0

∞ H−1Ln x2 n

Integrando termo a termo de 0 a x, encontramos a série de potências de arctan (x).

arctan HxL = x − x33 + x5

5 − x77 . . . = ‚

n = 0

∞ H−1Ln x2 n + 1

2 n + 1

In[26]:= H∗ Série de arctan HxL ∗LSeries@ArcTan@xD, 8x, 0, 8<D

Out[26]= x −x3

3+x5

5−x7

7+ O@xD9

ExercíciosDetermine as séries de potencias dos Exercícios 1 a 15

1.

In[28]:= H∗ ‚n = 1

∞ xn

2 n∗L

SumA xn

2 n, 8n, 1, ∞<E

Out[28]= −12Log@1 − xD

2.

In[29]:= H∗ ‚n = 1

∞ H−1Ln n xn

2n ∗LSum@H−1Ln n xn ê2n, 8n, 1, ∞<D

Out[29]= −2 x

H2 + xL2

3.

In[30]:= H∗ ‚n = 1

∞ x2 n

3n n2 ∗LSum@x2 n êH3n n2L, 8n, 1, ∞<D

Out[30]= PolyLogA2, x2

3E

PolyLog @n, zD calcula a função n-ésima polilogaritmica defiinida por LinHzL = ⁄k=1

¶ zk ê kn

4.

In[32]:= H∗ ⁄n = 1∞ 8n n5 x3 n ∗L

Sum@8n n5 x3 n, 8n, 1, ∞<D

Out[32]=8 Hx3 + 208 x6 + 4224 x9 + 13312 x12 + 4096 x15L

H−1 + 8 x3L6


5.

In[33]:= H∗ ⁄n =10∞ H2 n +8L3 xH2 n + 1L ∗L

Sum@H2 n + 8L3 xH2 n + 1L, 8n, 0, ∞<D

Out[33]= −8 x H−64 + 131 x2 − 100 x4 + 27 x6L

H−1 + x2L4

6.

In[35]:= H∗ ⁄n = 1∞ H−1L3 n Hx − 2LêH32 n n3L ∗L

Sum@H−1L3 n Hx − 2L2 n êH32 n n3L, 8n, 1, ∞<D

Out[35]= PolyLogA3, −19H−2 + xL2E

8.

In[38]:= H∗ ‚n = 1

∞xnëè!!!!!!!!!

2n n ∗L

SumAx n ëè!!!!!!!!!2n n , 8n, 1, ∞<E

Out[38]= ‚n=1

∞xn

è!!!!!!!!!2n n

9.

In[40]:= H∗ ‚n = 1

∞ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3n Hn + 1L x2 nêHn2 + 1L ∗L

SumAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3n Hn + 1L x2 n êHn2 + 1L, 8n, 1, ∞<E

Out[40]= „n=1

∞ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!3n H1 + nL x2 n

1 + n2

10.

In[41]:= H∗ ⁄n = 1∞ n! xnênn ∗L

Sum@n! xn ênn, 8n, 1, ∞<D

Out[41]= ‚n=1

∞

n−n xn n!

11.

In[42]:= H∗ ⁄n = 1∞ xnêln HnL ∗L

Sum@xn êLog@nD, 8n, 1, ∞<D

Out[42]= ‚n=1

∞xn

Log@nD


12.

In[43]:= H∗ ⁄n = 1∞ ln HnL xn ∗L

Sum@Log@nD xn, 8n, 1, ∞<DOut[43]= −PolyLogH1,0L@0, xD + x LerchPhiH0,1,0L@x, 0, 1D

13.

In[44]:= H∗ ⁄n = 1∞ n xnêH2 nL! ∗L

Sum@n xn êH2 nL!, 8n, 1, ∞<D

Out[44]=12è!!!x SinhAè!!!x E

14.

In[45]:= H∗ ⁄n = 1∞ xnêH2 nL! ∗L

Sum@n! xn êH2 nL!, 8n, 1, ∞<D

Out[45]=12

xê4 è!!!π è!!!x ErfAè!!!x2

E

15.

In[46]:= H∗ ⁄n = 1∞ nê2n ∗L

Sum@nê2 n, 8n, 1, ∞<DOut[46]= 2

Identifique as funções definidas pelas séries de potências dadas nos exercícios 22 a 25

22.

In[47]:= H∗ xnêHn + 1L ∗LSum@xn êHn + 1L, 8n, 0, ∞<D

Out[47]= −Log@1 − xD

x

23.

In[48]:= H∗ Hn + 1L xn ∗LSum@Hn + 1L xn, 8n, 0, ∞<D

Out[48]=1

H−1 + xL2

24.

In[49]:= H∗ H−1Ln + 1 xnêHn + 1L ∗LSum@H−1Ln + 1 Hn + 1L xn, 8n, 0, ∞<D

Out[49]= −1

H1 + xL2


25.

In[50]:= H∗ Hn + 2L xnê2n + 1 ∗LSum@Hn + 2L xn ê2n + 1, 8n, 0, ∞<D

Out[50]= −−4 + x

H−2 + xL2

27.

In[51]:= H∗ Série de potências de è!!!!!!!!!!!!!!1 − x ∗LSeriesAè!!!!!!!!!!!!!

1 − x , 8x, 0, 4<E

Out[51]= 1 −x2

−x2

8−x3

16−5 x4

128+ O@xD5

28.

In[53]:= H∗ Série de potências de H1+xL−1ê2 ∗LSeries@H1 + xL−1ê2, 8x, 0, 4<D

Out[53]= 1 −x2

+3 x2

8−5 x3

16+35 x4

128+ O@xD5

In[52]:= H∗ Série de potência de è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LSeriesAè!!!!!!!!!!!!!

1 + x , 8x, 0, 4<E

Out[52]= 1 +x2

−x2

8+x3

16−5 x4

128+ O@xD5

29.

In[55]:= H∗ Série de potências de 1ëè!!!!!!!!!!!!!!!!1 − x2 ∗LSeriesA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!

1 − x2 , 8x, 0, 6<E

Out[55]= 1 +x2

2+3 x4

8+5 x6

16+ O@xD7

In[57]:= H∗ Série de potências de ArcSin@xD ∗LSeries@ArcSin@xD, 8x, 0, 8<D

Out[57]= x +x3

6+3 x5

40+5 x7

112+ O@xD9

5.2 Propriedades adicionais das séries de potêmcias

Unicidade da série de potências


É fácil demonstrar que o desenvolvimento de um função f em série de potências relativa a um pomto x0 é único,isto é, só existe uma série de potencias ⁄ an Hx − x0Ln .

Convém enfatizar o fato de que o teorema da unicidade se refere ao desenvolvimento da função num determinadoponto. Isto não impede que uma dada função tenha a séries de potências com coefficientes diferentes relativa-mente a pontos distintos.

Multiplicação e divisão de séries

Sejam f e g duas funções com séries de potências ⁄an xn e ⁄bn xn , respectivamente, no intervalo | x | < r.Então, a função f g é representada, neste intervalo, , pela série produto, assim definida

f(x) g(x) = Ha0 + a1 + a2 x2 + . . . L Hb 0 + b1 + b2 x2 + . . . L =a0 b0 + Ha0 b1 + a1 b0L x + Ha0 b2 + a1 b1 + a2 b0L x2 + . . .

Essa regra de multiplicação , juntamente com o teorema anterior sobre unicidade, permite-nos obter, facilmente, asérie quociente de duas séries.

EXEMPLO 1. Vamos obter os primeiros termos da série da função ex è!!!!!!!!!!!!!1 + x em potências de x, multiplicando os

fatores que ai aparecem

ex è!!!!!!!!!!!1 + x = ikjj1 + x +

x2

2+x3

6+

x4

24+ . . .y

{zz ikjj1 +

x2

−x2

8+

x3

16− . . . y

{zz

= 1 +32

x +78

x2 +1748

x3 + . .

In[1]:= H∗ Os primeiros termos da série da função ex è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LSeriesA x è!!!!!!!!!!!

1 + x , 8x, 0, 5<E

Out[1]= 1 +3 x2

+7 x2

8+17 x3

48+11 x4

128+107 x5

3840+ O@xD6

EXEMPLO 2. Obter os primeiros termos da série (1 + sen x)-1

In[2]:= H∗ Os primeiros termos da série da função ex è!!!!!!!!!!!!!!1 + x ∗LSeries@1êH1 + Sin@xDL, 8x, 0, 5<D

Out[2]= 1 − x + x2 −5 x3

6+2 x4

3−61 x5

120+ O@xD6

Cálculando limites

O desenvolvimento em séries de potências é um recurso muito eficazpara elucidaras indeterminações 0 ê0. Por exemplo, o desenvolvimento,

sen HxL = x −x3

6+

x5

120− . . . = x i

kjj1 −

x2

6+

x4

120− . . . y

{zz

mostra claramente o fator x na função sen x, de sorte quesen xx

= 1 −x2

6+

x4

120donde segue que sen x ê x → com x → 0.

Séries definem novas funções

A importância das séries de potências reside no fato delas serem usadas para definir funções que não têm umadefinição elementar. Por exemplo a função de Bessel J0HxL e J1HxL defenidad, respectivamente por

J0HxL = 1 - x2ÅÅÅÅÅÅ4 + x4

ÅÅÅÅÅÅÅ64 - . . . = ‚n = 0

∞ H−1LnHn !L2 H x

2 L2 n


J1HxL = xÅÅÅÅ2 - x3ÅÅÅÅÅÅÅ16 + x5

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ384 - . . . = ‚n = 0

∞ H−1Lnn! H1 + n L! H x

2 L2 n + 1

amplamente usada em Geofísica.

In[5]:= H∗ Função de Bessel J1 HxL ∗LSeries@BesselJ@0, xD, 8x, 0, 6<D

Out[5]= 1 −x2

4+

x4

64−

x6

2304+ O@xD7

In[6]:= H∗ Função de Bessel J1 HxL ∗LSeries@BesselJ@1, xD, 8x, 0, 6<D

Out[6]=x2

−x3

16+

x5

384+ O@xD7

In[10]:= H∗ Gráficos das funções de Bessel J0 HxL HvermelhoL e J1 HxL HazulL ∗LPlot@8BesselJ@0, xD, BesselJ@1, xD<, 8x, 0, 10<,

PlotStyle → 88RGBColor@1, 0, 0D<, 8RGBColor@0, 0, 1D<<D;

2 4 6 8 10

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1


CAPÍTULO 6

Equações DiferenciaisIniciar o MathKernel


6.1 Primeiros exemplos

Chama-se equações diferenciais a uma equação que envolve uma ou mais derivadas de uma função que se desejaencontrar. Assim, se y = y(x) é uma função da variável independente x, são equações diferenciais cada uma dasseguintes equações:

y' + 3 x y = 2, y - sen x y y' = 7, y'' + 9 x y' -7 y = x.

As duas primeiras dessas equações são de primeira ordem, por envolverem apenas a derivasda primeira da função y: jáa terceira é uma equação de segunda ordem, visto ser esta a ordem mais alta das derivadas que nela comparecem.

Um dos problemas mais simples que se formula naturalmente em termo de uma equação diferencial ocorre toda vezque a taxa de variação de uma função é propocional à própria função. Simbolicamente,

y' = k y

o que corresponde à equação diferencial

y' - k y = 0

A única função que a sua derivada é proporcional a própria função é a função exponencial. Assim, a solução daequação

y' - k y = 0

é a função y = C ek x

Dsolve[equation, y[x], x] fornece a solução geral, y[x], da equação diferencial equation cuja variável idependente é x.

In[28]:= H∗ Soluciona a equação diferencial y'− k y = 0 ∗LClear@x, yD;DSolve@y'@xD − k y@xD 0, y@xD, xD

Out[29]= 88y@xD → k x C@1D<<

PlotVectorField[f, {x, x0, x1}, {y, y0, y1}, options] produz um campo de vetores da função vetorial f bidimensional.

options:

Axes -> Automatic traça os eixos x e y.

HeadLength -> α determina o tamanho da seta que representa o vetor. α = 0, suprime a ponta da seta.

In[175]:= << Graphics`PlotField`Clear@x, yD;PlotVectorField@81, .2 y<, 8x, −1, 8<,8y, −2, 5<, Axes → Automatic, HeadLength → 0D;

2 4 6 8

-2

-1

1

2

3

4

5

In[35]:= H∗ Soluciona a equação diferencial y'− k y =

0 con valor inicial y H0L = 1 ∗LClear@x, yDDSolve@8y'@xD == k y@xD, y@0D == 1<, y@xD, xD

Out[36]= 88y@xD → k x<<


A expressão y = C ek x chama-se solução geral da equação y' - k y = 0 . Isto porque qualquer solução particular podeser obtida a partir da solução geral, com ajuste conveniente da constante C. A situação com equações diferenciais ésempre assim, elas possuem infinitas soluções. Em geral, quando se modela um problema por meio de uma equaçãodiferencial, é necessário prescrever condiçõies adicionais para individualizar a solução do problema que se desejaresolver. Assim, o problema típico envolvendo uma equação diferencial é o problema de valor inicial, que consiste emresolver a equação, sujeita à condição inicial y(0) = C, onde C é um valor dado.

In[160]:= << Graphics`PlotField`Clear@x, yD;p1 = PlotVectorField@81, .2 y<, 8x, −1, 8<, 8y, −1, 5<,

Axes → Automatic, HeadLength → 0, DisplayFunction → IdentityD;sol = DSolve@8y'@xD − .2 y@xD 0, y@0D == 1<, y@xD, xD;p2 = Plot@y@xD ê. sol, 8x, −1, 8.3<,

PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → Identity D;Show@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

2 4 6 8

-1

1

2

3

4

5

In[2]:= H∗ Série de potências da função esponencial ∗L

SumA xn

n!, 8n, 0, ∞<E

Out[2]= x

Problema do pára-quedistaO problema que vamos considerar agora é o de encontrar a velocidade de um pára-quedista que salta de um avião. Calcula-remos sua velocidade verticala partir da velocidade zero no instante inicial, provando que esta velocidade tende para um valor constante. Isto acontece devido aà resistência do ar.

Seja v = v(t) a velocidade do pára-quedista. Ele está sujeito à ação da força-peso mg (onde m é sua massa e g a acelaração da gravidade) e da força de resistência do ar. Experimentalmente, sabe-se que , para velocidades não muito grandes, esta força é proporcional `a própria velocidade v. Denotando por k a constante de proporcionalidade, e levando em conta que a resistência do ar atua contrariamente ao movimento, a segunda lei de Newton se exprime na forma

m dv/dt = m g - k v,


ou seja, pondo w = k/m,

v ' = g - w v

In[193]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 0 ∗LClear@g, ω, t, vDDSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 0<, v@tD, tD êê Simplify

Out[194]= 99v@tD →g − −t ω g

ω==

In[207]:= g = 9.8; ω = 1;Plot@g H1 − −ω tLêω, 8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 10<D;

1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

In[256]:= H∗ Problema do pára−quedista, v H0L = 1 ∗LClear@g, ω, t, vDsol1 = DSolve@8v'@tD == g − ω v@tD, v@0D 1<, v@tD, tD êê Simplify

Out[257]= 99v@tD →−t ω HH−1 + t ωL g + ωL

ω==


Out[253]= 99v@tD →−t ω HH−1 + t ωL g + 5 ωL

ω==



ω==




ω==

In[276]:= g = 9.8; ω = 1;Plot@8v@tD ê. sol1, v@tD ê. sol2, v@tD ê. sol3, v@tD ê. sol4<,8t, 0, 5<, PlotRange → 80, 16<D;

1 2 3 4 5

2

4

6

8

10

12

14

16

Equações e operradores lineares

A equação v ' = g - w v é do tipo chamado equação linear não-homogênea. Linear porque ela pode ser escrita naforma Lv = g, onde g é o operador linear L = d/dt + w, que atua na função v(t) da seguinte maneira

L v = (d/dt + w ) v = dv/dt + w v

Operador é um ente que age sobre funções, transformando em outras funções.

Um operador é dito linear quando ele tem a seguinte propriedade: quaisquer que sejam as funções u e v, e quaisquerque sejam as constantes a e b,

L(a u + b v) = a L u + b L v.

Estamos interessados em operadores diferenciais, aqueles que executam derivações. Eis aqui outro exemplo deoperador diferencial linear:

L1 = d2ÅÅÅÅÅÅÅÅdt2

+ f HtL dÅÅÅÅÅÅdt + gHtL

onde f e g são funções com o mesmo domínioque as funções que o operador deve atuar. Este último é um operador desegunda ordem, assim chamado por ser 2 a derivação de ordem mais alta que nele aparece.

A importância da linearidade de um operador reside na seguinte propriedade: se L é um operador linear, e u e v sãosoluções da equação L u = 0, então qualquer combinação linear de u e v também é solução, isto é, L(a u + b v) = 0,quaisquer que sejam as constantes a e b.


Dado um operador L e uma função h, as equações L u = 0 e L u = h são chamadas de equação homogênea e equaçãonão-homogênea, respectivamente. Um outro fato importante sobre operadores lineares é que qualquer solução daequação não=homogênea pode ser obtida como a soma de uma soluçãio particular qualquer desta equação com umasolução conveniente da equação homogênea. Mais explicitamente, de v0 satisfaz L v0 = 0, ebtão qualquer solução vde L v = h pode ser escrtita na forma v = u + v0 , onde u é uma solução conveniente de L u = 0.

Exercícios7. Verifique que a função y(x) = -1 - x + (1 + C) ex é solução do seguinte problema de valor inicial: y ' - y = x, y(0) = C.

In[278]:= H∗ Soluciona a equação diferencial y'− y = x ∗LClear@x, yD;DSolve@y'@xD − y@xD x, y@xD, xD

Out[279]= 88y@xD → −1 − x + x C@1D<<

11. Mostre que sen(w t) e cos(wt) são soluções da equação u '' + w2 u = 0.

In[280]:= H∗ Soluciona a equação diferencial u''+ ω2 u = 0 ∗LClear@t, uD;DSolve@u''@tD + ω2 u@tD 0, u@tD, tD

Out[281]= 88u@tD → C@1D Cos@tD + C@2D Sin@tD<<

6.2 Equações de segunda ordem

Vamos considerar nesta seção, três exemplos de equação de segunda ordem que aparecem em Geofísica. A equaçãodasdas vibrações harmônicas, a equação de Bessel e a equação de Airy.

Vibrações harmônicasA equação das vibrações harmônicas é dada por

x'' + w2 x = 0

em que x(t).

In[3]:= H∗ Soluciona a equação dasvibrações harmônicas ∗LClear@x, tD;DSolve@x''@tD + ω2 x@tD 0, x@tD, tD

Out[4]= 88x@tD → C@1D Cos@t ωD + C@2D Sin@t ωD<<

Equação de Bessel de ordem n


A equação de Bessel de ordem zero é dada por

x y'' + x y' + x2 y = 0

em que x(t).

In[9]:= H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗LClear@x, tD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + x2 y@xD 0, y@xD, xD

Out[10]= 88y@xD → BesselJ@0, xD C@1D + BesselY@0, xD C@2D<<

A equação de Bessel de ordem um é dada por

x y'' + x y' + Hx2 - 1L y = 0

em que x(t).

In[11]:= H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗LClear@x, tD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + Hx2 − 1L y@xD 0, y@xD, xD

Out[12]= 88y@xD → BesselJ@1, xD C@1D + BesselY@1, xD C@2D<<

A equação de Bessel de ordem n é dada por

x y'' + x y' + Hx2 - n2L y = 0

em que x(t).

In[13]:= H∗ Soluciona a equação de Bessel ∗LClear@x, yD;DSolve@x2 y''@xD + x y'@xD + Hx2 − n2L y@xD 0, y@xD, xD

Out[14]= 88y@xD → BesselJ@n, xD C@1D + BesselY@n, xD C@2D<<

Equação de AiryA equação de Airy é dada por

y'' + x y = 0

em que x(t).

In[17]:= H∗ Soluciona a equação de Airy ∗LClear@x, yD;DSolve@ y''@xD + x y@xD 0, y@xD, xD

Out[18]= 88y@xD → AiryAi@H−1L1ê3 xD C@1D + AiryBi@H−1L1ê3 xD C@2D<<


6.3 Modelos populacionais

O problema de valor inicial

p'(t) = k p(t), p(0) = p0 ,

que tem solução p(t) = p0 e-kt , é o mais simples de crescimento populacional. Este modelo, chamado modelo maltu-siano, é valido para intervalo de tempo não muito grande.

O modelo logístico

Um modelo mais preciso que o maltusiano foi proposto em 1883 pelo matemático-biólogo holandês F. W. Verhulst.

p'(t) = (a - b p(t)) p(t), p(0) = p0 ,

em que a é a constante de proporcionalidade que aparece na taxa de nascimento ap(t), e b a constante associada à taxade mortalidade bp(t). Verhulst chamou esta equação diferencial de equação logística.

In[19]:= H∗ Soluciona a equação de Airy ∗LClear@t, pD;DSolve@8 p'@tD == Ha − b p@tDL p@tD, p@0D p0<, p@tD, tDSolve::ifun :

Inverse functions are being used by Solve, so some solutions maynot be found; use Reduce for complete solution information. More…

Out[20]= 99p@tD →a a t p0

a − b p0 + b a t p0==


CAPÍTULO 7

Limites e integrais imprópriasIniciar o MathKernel


7.1 Limite de uma função no infinito

Diz-se que uma função f(x), com x Ø +¶ se , dado qualquer número e > 0, for sempre possível encontrar um número R tal que

x > R ï | f(x) - L | < e.

Escreve-se

limx Ø +¶ f HxL = L ou mesmo limx Ø ¶ f HxL = L .

EXEMPLO 1. A função L + sen(x)/x converge para L com x Ø +¶

In[58]:= H∗ Limte de L + sen HxLêx com x Ø + ¶ ∗LLimit@L + Sin@xDêx, x → ∞D

Out[58]= L

EXEMPLO 2. A função x/(x + 12) converge para 1 com x Ø +¶

In[59]:= H∗ Limte de xêHx + 12L com x Ø + ¶ ∗LLimit@x ê Hx + 12L , x → ∞D

Out[59]= 1

EXEMPLO 3. A função ax com a < 1 converge para 0 com x Ø +¶

In[60]:= H∗ Limte de ax com x Ø + ¶ ∗LClear@aD

Limit@ax , x → ∞, Assumptions → a < 1DOut[61]= Limit@ax, x → ∞, Assumptions → a < 1D

EXEMPLO 4. A função Hx2 + cos2 xL ê H3 x + 10L diverge para + ¶ com x Ø +¶

In[62]:= H∗ Limte de Hx2 + cos2 xLêH3 x + 10L com x Ø + ¶ ∗LClear@aD

Limit@ Hx2 + Cos@xD2LêH3 x + 10L, x → ∞DOut[63]= ∞

A definição de que f(x) ö L com x Ø ¶ é inteiramente análoga à definição anterior.

Diz-se que uma função f(x), com x Ø -¶ se , dado qualquer número e > 0, for sempre possível encontrar um número R tal que

x > R ï | f(x) - L | < e.

Do mesmo modo, as definições de

limx Ø + ¶ f HxL = + ¶ , limx Ø + ¶ f HxL = - ¶ ,

limx Ø - ¶ f HxL = + ¶ , limx Ø - ¶ f HxL = - ¶ ,

são formuladas de maneira semelhante.

Teorema. Sejam f e g duas funções definidas num semi-eixo x > x0 , tendo limites F e G, respectivamente, com x Ø ¶. Então, f + g, f g, (k f), onde k uma constante qualquer, são funções convergentes além de que,

(a) limx Ø ¶ @ f HxL + gHxLD = limx Ø ¶ f HxL + limx Ø ¶ gHxL = F + G;

(b) limx Ø ¶ k f HxL = k limx Ø ¶ f HxL = k F; em particular, k = -1 nos dá limx Ø ¶ @- f HxL D = -F

(c) limx Ø ¶ @ f HxL gHxLD = limx Ø ¶ f HxL . limx Ø ¶ gHxL = F G;

(d) se, além das hipóteses acima, G ∫ 0, wntão existe limite de f ê g , igual F/G.

ExercíciosEm cada um dos Exercícios 3 a 6 calcule o limite

3. limx Ø ¶ @3 ê x2DIn[64]:= H∗ Limte de 3êx2 com x Ø + ¶ ∗L

Clear@xDLimit@ 3êx2, x → ∞D

Out[65]= 0

4. limx Ø ¶ A 5 cosHxL ëè!!!x E

In[66]:= H∗ Limte de 5 cosHxLëè!!!x com x Ø + ¶ ∗LClear@xD

LimitA 5 Cos@xD ëè!!!!x , x → ∞E

Out[67]= 0

5. limx Ø ¶ @H6 x + 1L ê H2 x + 3LD

2 Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb

In[68]:= H∗ Limte de H6 x + 1LêH2 x + 3L com x Ø + ¶ ∗LClear@xD

Limit@ H6 x + 1L êH2 x + 3L, x → ∞DOut[69]= 3

6. limx Ø ¶ AH3 x + 1L ë Iè!!!x + 1ME

In[70]:= H∗ Limte de H3 x +1LëIè!!!x + 1M com x Ø + ¶ ∗LClear@aD

LimitA H3 x + 1L ë Iè!!!!x + 1M, x → ∞E

Out[71]= ∞

Em cada um dos Exercícios 7 a 26 calcule o limite proposto

7. limx Ø ¶ AI2 x +è!!!x M ë Hx - cos xLE

In[80]:= H∗ Limte de I2 x +è!!!x MëHx - cos xL com x Ø + ¶ ∗L

LimitA I2 x +è!!!!

x M ë Hx − Cos@xDL, x → ∞EOut[80]= 2 Null

8. limx Ø ¶ AIsen x - 3 x è!!!x M ë H cos x + 5 x2LE

In[82]:= H∗ Limte de Isen x − 3 x è!!!x MëH cos x + 5 x2L com x Ø + ¶ ∗LClear@xD

LimitA ISin@xD − 3 x è!!!!

x M ë HCos@xD + 5 x2L, x → ∞EOut[83]= 0

9. limx Ø ¶ @H1 + x + 3 x2L ê H 1 - 7 x + 2 x2LDIn[84]:= H∗ Limte de H1 + x + 3 x2LêH1 − 7 x + 2 x2L com x Ø - ¶ ∗L

Limit@ H1 + x + 3 x2LêH1 − 7 x + 2 x2L, x → −∞D

Out[84]=3 Null

2

10. limx Ø ¶ AI1 + x è!!!x M ë I è!!!x - 3ME

In[85]:= H∗ Limte de I1 x è!!!x MëIè!!!x −3M com x Ø ¶ ∗LLimitA I1 x

è!!!!x M ë Iè!!!!

x − 3M, x → ∞EOut[85]= Null ∞

11. limx Ø ¶ AIsen x +è!!!!!!!

-x M ë H 2 + cos xLE

In[86]:= H∗ Limte de Isen x +è!!!!!!

−x MëH2 + cos xL com x Ø - ¶ ∗LLimitA ISin@xD +

è!!!!!!−x M ë H2 + Cos@xDL, x → −∞E

Out[86]= Null ∞

12. limx Ø ¶ @ln x ê H 1 + ln xLDIn[89]:= H∗ Limte de ln xêH1 + ln xL com x Ø ¶ ∗L

Limit@ Log@xDêH1 + Log@xDL, x → ∞D

Rijo Cal 2 Capítulo 7.nb 3

13. limx Ø ¶ @H1 - x2L ê H 3 + exLDIn[90]:= H∗ Limte de H1 − x2LêH3 + exL com x Ø -¶ ∗L

Limit@ H1 − x2LêH3 + xL, x → −∞DOut[90]= Null H−∞L

14. limx Ø ¶ AI3 x2 - x è!!!x M ë I 4 x2 + x -

è!!!x ME

In[91]:= H∗ Limte de I3 x2 − x è!!!x MëI4 x2 + x − è!!!x M com x Ø ¶ ∗LLimitA I3 x2 − x

è!!!!x M ë I4 x2 + x −

è!!!!x M, x → ∞E

Out[91]=3 Null

4

15. limx Ø ¶ AIè!!!x + ln xM ë I è!!!x ln x - 1ME

In[92]:= H∗ Limte de Iè!!!x = ln xMëIè!!!x ln x −1M com x Ø ¶ ∗LLimitA Iè!!!!

x + Log@xDM ë Iè!!!!x Log@xD − 1M, x → ∞E

Out[92]= 0

7.2 Integrais impróprias - intervalo ilimitado

Teorema. Seja f(x) uma função não decrescente e limitada superiormente num semi-eixo x ¥ a. Então, f(x) converge para o seu supremo com x Ø ¶.

Teorema. Sejam f e g funções contínuas no semi-eixo x ¥ a. Se

0 § f (x) § g (x) e Ÿa¶

g HxL „ x

converge, emtão também converge a integral imprópria de f, isto é

Ÿa¶

f HxL „ x < ¶.

Por outro lado, se

0 § f (x) § g (x) e Ÿa¶

f HxL „ x

diverge, emtão também converge a integral imprópria de g, isto é

Ÿa¶

g HxL „ x < ¶..

EXEMPLO 1. Determine a integral Ÿ1¶

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 - cos xL ê x3 „ x


In[93]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 − Cos@xDLêx3 , 8x, 1, ∞<E

Out[93]= ‡1

∞

$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1 − Cos@xDx3

x

NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] acha uma aproximação numérica da integral de com respeito à variável x de xmin a xmax.

In[96]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateAè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!H1 − Cos@xDLêx3 , 8x, 1, ∞<ENIntegrate::slwcon :

Numerical integration converging too slowly; suspect oneof the following: singularity, value of the integrationbeing 0, oscillatory integrand, or insufficientWorkingPrecision. If your integrand is oscillatory tryusing the option Method−>Oscillatory in NIntegrate. More…

NIntegrate::ncvb :

NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 284.6830912420604`. More…

Out[96]= 1.97467


‰-x è!!!!x

è!!!!!!!!!!!!!!!1 + x2 „ x

In[97]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −

è!!!!x è!!!!!!!!!!!!!!!

1 + x2 , 8x, 1, ∞<E

Out[97]= ‡1

∞−è!!!!x è!!!!!!!!!!!!!1 + x2 x

In[98]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateA −

è!!!!x è!!!!!!!!!!!!!!!

1 + x2 , 8x, 1, ∞<EOut[98]= 11.9775


x è!!!x ë Hx2 + 1L „ x

In[103]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAx

è!!!!x ë Hx2 + 1L, 8x, 0, ∞<E

Integrate::idiv : Integral ofx3ê2

1 + x2does not converge on 80, ∞<. More…

Out[103]= ‡0

∞ x3ê2

1 + x2 x

Outros tipos de integrais imprópriasEXEMPLO 4. Determine a integral Ÿ1

¶ Hx + 4L2 ë HHx - 1L6 + 1L „ x


In[113]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx + 4 L2 êHHx − 1L6 + 1L, 8x, −∞, ∞<DN@%D

Out[113]= 17 π

Out[114]= 53.4071

In[111]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrate@Hx + 4 L2 êHHx − 1L6 + 1L, 8x, −∞, ∞<D

Out[111]= 53.4071

Os valores das integrais exata e numérica coincidem até a quarta casa decimal.

Integrais absolutamente convergentes

Teorema. Seja f (x) uma função contínua para x ¥ a. Então, a integral imprópriae

Ÿa¶

f HxL „ x

converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral

Ÿa¶

» f HxL … „ x .


senHxL ê x2 „ x

In[105]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@Abs@Sin@xDêx2D, 8x, 1, ∞<D

Out[105]= −CosIntegral@1D + Sin@1D

A integral dada é absolutamente convergente

In[115]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@Sin@xDêx2, 8x, 1, ∞<DN@%D

Out[115]= −CosIntegral@1D + Sin@1DOut[116]= 0.504067

In[108]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@Sin@xDêx2, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :


NIntegrate::ncvb :


Out[108]= 0.504894


Os valores das integrais exata e numérica coincidem até a terceira casa decimal.


senHxL ê x „ x

A integral dada é absolutamente convergente

In[118]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@Sin@xDêx, 8x, 1, ∞<DN@%D

Out[118]=12Hπ − 2 SinIntegral@1DL

Out[119]= 0.624713

In[123]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@Sin@xDêx, 8x, 1, ∞<, Method → OscillatoryD

Out[123]= 0.624713

ExercíciosEm cada um dos Exercícios 1 a 28 verifique se a integral dada converge ou diverge

1. Ÿ0¶

x ê Hx3 + 2L „ x

In[124]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@xêHx3 + 2L, 8x, 0, ∞<DN@%D

Out[124]=22ê3 π

3 è!!!3Out[125]= 0.959742

In[126]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@xêHx3 + 2L, 8x, 0, ∞<D

Out[126]= 0.959742

2. Ÿ0¶

x ê Hx2 + x + 1L „ x

In[130]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LIntegrate@xêHx2 + x + 1L, 8x, 0, ∞<DIntegrate::idiv : Integral of

x1 + x + x2

does not converge on 80, ∞<. More…

Out[130]= ‡0

∞ x1 + x + x2

x


In[129]:= H∗ Integral imprópria analítica ∗LNIntegrate@xêHx2 + x + 1L, 8x, 0, ∞<DNIntegrate::slwcon :


NIntegrate::ncvb :

NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7recursive bisections in x near x = 2.288332793335697`*^56. More…

Out[129]= 23952.5

3. Ÿ0¶

Hx2 - x - 1L ê Hx4 + 1L „ x

In[131]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx2 − x − 1LêHx4 + 1L, 8x, 0, ∞<D

Out[131]= −π4

4. Ÿ1¶

cos2 x ë Ix è!!!x M „ x

In[141]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@xD2 ë Ix

è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E

N@%D

Out[141]= 1 + Cos@2D + è!!!π ikjjj−1 + 2 FresnelSA 2

è!!!πEy{zzz

Out[142]= 0.806647

In[137]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrateACos@xD2 ë Ix

è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E

NIntegrate::slwcon :


NIntegrate::ncvb :


Out[137]= 0.808726

6. Ÿ1¶

ln x ê x3 „ x


In[146]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Log@xDêx3, 8x, 1, ∞<DN@%D

Out[146]=14

Out[147]= 0.25

In[148]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Log@xDêx3, 8x, 1, ∞<D

Out[148]=14

7. Ÿ1¶

ln x ë Ix è!!!x M „ x

In[149]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD ë Ix

è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E

N@%DOut[149]= 4

Out[150]= 4.

In[152]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD ë Ix

è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E

Out[152]= 4

8. Ÿ1¶

Hln xL8 í Ix è!!!x M „ x

In[153]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD8 ë Ix

è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E

N@%DOut[153]= 20643840

Out[154]= 2.06438×107

In[155]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD8 ë Ix

è!!!!x M, 8x, 1, ∞<E

Out[155]= 20643840

9. Ÿ1¶

Hln xLr ë x1 + e „ x

In[163]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Log@xDr êx1 + ε, 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8r > 0, ε > 0<D

Out[163]= ε−1−r Gamma@1 + rD

10. Ÿ1¶ x ln x ê Hx + 1L2 „ x


In[164]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@x Log@xDêHx + 1L2, 8x, 1, ∞<D

Integrate::idiv : Integral of x Log@xDH1 + xL2 does not converge on 81, ∞<. More…

Out[164]= ‡1

∞ x Log@xDH1 + xL2 x

In[165]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrate@x Log@xDêHx + 1L2, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :


NIntegrate::ncvb :


Out[165]= 1.75681×108

11. Ÿ10¶

1 ê Hx - 5L3ê2 „ x

In[166]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@1êHx − 5L3ê2, 8x, 10, ∞<D

Out[166]=2è!!!5

12. Ÿ10¶

Hx + 1L2 ë Hx4 + 1L „ x

In[167]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx + 1L2 êHx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D

Out[167]=12I−1 + è!!!2 M π

13. Ÿ1¶

x ê Hx + sen xL2 „ x

In[168]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@x êHx + Sin@xDL2, 8x, 1, ∞<DIntegrate::idiv :

Integral of xHx + Sin@xDL2 does not converge on 81, ∞<. More…

Out[168]= ‡1

∞ xHx + Sin@xDL2 x


In[171]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrate@x êHx + Sin@xDL2, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :


NIntegrate::ncvb :


Out[171]= 23952.7

14. Ÿ1¶

x ê Hx + cos xL3 „ x

In[172]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@x êHx + Cos@xDL3, 8x, 1, ∞<D

Out[172]= ‡1

∞ xHx + Cos@xDL3 x

In[173]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LNIntegrate@x êHx + Cos@xDL3, 8x, 1, ∞<DNIntegrate::slwcon :


NIntegrate::ncvb :


Out[173]= 1.33986

15. Ÿ0¶

Hx4 + x3 + 1L ‰-x „ x

In[174]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Hx4 + x3 + 1L −x, 8x, 0, ∞<D

Out[174]= 31

16. Ÿ0¶

‰ - è!!!x lnHx + 1L „ x

In[25]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −

è!!!!x Log@x + 1D, 8x, 0, ∞<E

Integrate::idiv :

Integral of − è!!!x Log@1 + xD does not converge on 80, ∞<. More…

Out[25]= ‡0

∞

I −è!!!x Log@1 + xDM x


A integral dada não converge

17. Ÿ-¶¶

‰-x2 Hx + 1L2 „ x

In[26]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −x2 Hx + 1L2, 8x, −∞, ∞<E

Out[26]=3 è!!!π2

18. Ÿ-¶¶ H‰x - ‰-xL ê Hx2 + 1L „ x

In[28]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@H x + −xLê Hx2 + 1L, 8x, −∞, ∞<DIntegrate::idiv :

Integral of−x

1 + x2+

x

1 + x2does not converge on 8−∞, ∞<. More…

Out[28]= ‡−∞

∞ −x + x

1 + x2 x


19. Ÿ-¶0

‰-x ê Hx4 + 1L „ x

In[29]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −x êHx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D

Integrate::idiv : Integral of−x

1 + x4does not converge on 8−∞, 0<. More…

Out[29]= ‡−∞

0 −x

1 + x4 x


20. Ÿ-¶0

‰x Hx4 + 1L „ x

In[30]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ x Hx4 + 1L, 8x, −∞, 0<D

Out[30]= 25

21. Ÿ0¶senHxL ê Hx2 + 1L „ x

In[31]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@xDêHx2 + 1L, 8x, 0, ∞<D

Out[31]=12è!!!π MeijerGA99 1

2=, 8<=, 99 1

2, 1

2=, 80<=, 1

4E

In[32]:= N@%DOut[32]= 0.646761

22. Ÿ0¶cosHxL ê Ix

è!!!x + 1M „ x


In[33]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@xD ë Ix

è!!!!x + 1M, 8x, 0, ∞<E

Out[33]=MeijerG@88 1

12 ,13 ,

712 <, 8<<, 880, 1

12 ,13 ,

13 ,

712 ,

23 ,

56 <, 8 1

6 ,12 <<, 1

46656 D4 è!!!3 π5ê2

In[34]:= N@%DOut[34]= 0.474241

23. Ÿ0¶H1 - 3 senHxLL ê Hx + 1L2 „ x

In[35]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@H1 − 3 Sin@xDLêHx + 1L2, 8x, 0, ∞<D

Out[35]= 1 + 3 Cos@1D CosIntegral@1D −32

π Sin@1D + 3 Sin@1D SinIntegral@1D

In[36]:= N@%DOut[36]= −0.0301339

24. Ÿ0¶senHx2 + 1L ê Hx + 1L3ê2 „ x

In[37]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@x2 + 1DêHx + 1L3ê2, 8x, 0, ∞<D

Out[37]=196

JCos@1D J−6 CosA π8E J16 GammaA 1

4E HypergeometricPFQA9 5

8,

98=, 9 1

2,

34,

54=,

−14E + 15 GammaA−

54E HypergeometricPFQA

9 78,

118

=, 9 34,

54,

32=, −

14EN + 3 CosA 3 π

8E

J64 GammaA 34E HypergeometricPFQA9 3

8,

78=, 9 1

4,

12,

34=, −

14E +

35 GammaA−74E HypergeometricPFQA9 9

8, 13

8=, 9 5

4, 3

2, 7

4=, −

14EN +

512 HypergeometricPFQA9 34, 1,

54=, 9 5

8,

78,

98,

118

=, −14EN +

3 J−64 CosA π8E GammaA 3

4E HypergeometricPFQA9 3

8, 7

8=, 9 1

4, 1

2, 3

4=, −

14E +

32 CosA 3 π8

E GammaA 14E HypergeometricPFQA9 5

8,

98=, 9 1

2,

34,

54=, −

14E +

30 CosA 5 π8

E GammaA−54E

HypergeometricPFQA9 78,

118

=, 9 34,

54,

32=, −

14E − 35 CosA 7 π

8E

GammaA−74E HypergeometricPFQA9 9

8, 13

8=, 9 5

4, 3

2, 7

4=, −

14E +

64 HypergeometricPFQA9 14,

34, 1=, 9 1

8,

38,

58,

78=, −

14EN Sin@1DN

In[39]:= N@%DOut[39]= 0.541044

25. Ÿ0¶I1 + 2 cos

è!!!!!!!!!!!!!!x2 + 1 Më Hx + 1L2 „ x


In[40]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAI1 + 2 CosAè!!!!!!!!!!!!!!

x2 + 1 EM ë Hx + 1L2, 8x, 0, ∞<E

Out[40]= ‡0

∞ 1 + 2 CosAè!!!!!!!!!!!!!1 + x2 EH1 + xL2 x

In[41]:= N@%DNIntegrate::ncvb :


Out[41]= 1.20122

26. Ÿ2¶1 ê Hx lnxL „ x

In[42]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@1 êHx Log@xDL, 8x, 2, ∞<D

Integrate::idiv : Integral of1

x Log@xD does not converge on 82, ∞<. More…

Out[42]= ‡2

∞ 1x Log@xD x

27. Ÿ2¶1 ê HxH ln xLrL „ x

In[43]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@1 êHx Log@xDrL, 8x, 2, ∞<, Assumptions → r > 1D

Out[43]=Log@2D1−r

−1 + r

28. Ÿ1¶

xr H ln xLs ‰-x „ x

In[44]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@xr Log@xDs −x, 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8 r > 0, s > 0<D

Out[44]= Integrate@ −x xr Log@xDs, 8x, 1, ∞<, Assumptions → 8r > 0, s > 0<D

In[45]:= N@%DNIntegrate::inum :

Integrand −x xr Log@xDs is not numerical at 8x< = 82.<. More…

NIntegrate::inum :


NIntegrate::inum :


General::stop : Further output of NIntegrate::inum willbe suppressed during this calculation. More…

Out[45]= NIntegrate@ −x xr Log@xDs, 8x, 1, ∞<D

29. Ÿ1¶

xx ‰-x „ x


In[46]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@xr −x, 8x, 1, ∞<D

Out[46]= Gamma@1 + r, 1D

30. Ÿ1¶

cosHxL ê x „ x

In[47]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Cos@xDêx, 8x, 1, ∞<D

Out[47]= −CosIntegral@1D

31. Ÿ-¶¶ senHxL ê x „ x

In[48]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@xDêx, 8x, −∞, ∞<D

Out[48]= π

32. Ÿ1¶senHxL ëè!!!x „ x

In[49]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateASin@xD ëè!!!!

x , 8x, 1, ∞<E

Out[49]= $%%%%%%π2

i

kjjjjjj1 − 2 FresnelSA$%%%%%%2

πEy

{zzzzzz

33. Ÿ1¶cosHxL ëè!!!x3

„ x

In[50]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@xD ëè!!!!

x3

, 8x, 1, ∞<E

Out[50]=14J2 JExpIntegralEA 1

3, − E + ExpIntegralEA 1

3, E + GammaA 2

3EN − 3 GammaA 5

3EN

34. Ÿ1¶senHx2L „ x

In[51]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Sin@x2D, 8x, 1, ∞<D

Out[51]=12$%%%%%%π

2

i

kjjjjjj1 − 2 FresnelSA$%%%%%%2

πEy

{zzzzzz


7.3 Limites e integrais impróprias - intervalo limitado

Teorema. Seja f(x) uma função não-decrescente e limitada superiormente num semi-eixo a § x < b. Então, f(x) converge para o seu supremo S com x Ø b_ .

Teorema. Sejam f e g funções contínuas e não limitadas no intervalo a § x < b. Se

0 § f (x) § g (x) e Ÿab

g HxL „ x

converge, emtão também converge a integral imprópria de f, isto é

Ÿab

f HxL „ x = limx Ø b- Ÿab

f HxL „ x < ¶.

Por outro lado, se

0 § f (x) § g (x) e Ÿab

f HxL „ x

diverge, emtão também converge a integral imprópria de g, isto é

Ÿa¶

g HxL „ x = ¶..

Teorema. Seja f (x) uma função contínua em a § x < b, não-limitada e não necessariamente positiva. Então, a integral

Ÿab

f HxL „ x

converge se ela for absolutamente convergente, isto é, se for convergente a integral

Ÿab

» f HxL … „ x .

EXEMPLO 1. Determine a integral Ÿ0x t è!!!!!!!!!!!!!!!!H1 + t2L ëè!!!!!!!!!!!!1 - t „ t


In[190]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotAt

è!!!!!!!!!!!!!1 + t2 ëè!!!!!!!!!!!!!

1 − t , 8t, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

5

10

15

20

25

30

35

In[186]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateAt

è!!!!!!!!!!!!!1 + t2 ëè!!!!!!!!!!!!!

1 − t , 8t, 0, 1<EN@%D

Out[186]=415

i

kjjjjjj2 + 7 è!!!!!!!!!!!1 + EllipticEA ArcSinhA$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%−

12

−2E, − E −

è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!−31 + 17 EllipticFA ArcSinhA$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%−

12

−2E, − E

y

{zzzzzz

Out[187]//Short=

1.72418 − 2.36848×10−16

EXEMPLO 2. Determine a integral Ÿ0x sen@1 ê H1 - tLD ëè!!!!!!!!!!!!1 - t „ t

In[189]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotASin@1êH1 − tLD ëè!!!!!!!!!!!!!

1 − t , 8t, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-10

-5

5

10


In[191]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateASin@1êH1 − tLD ëè!!!!!!!!!!!!!

1 − t , 8t, 0, 1<EN@%D

Out[191]=è!!!!!!!2 π

i

kjjjjjj1 − 2 FresnelCA$%%%%%%2

πEy

{zzzzzz + 2 Sin@1D

Out[192]= 0.571473

EXEMPLO 3. Determine a integral Ÿ01

‰-t ta - 1 „ t

In[189]:= Plot@ −t ta − 1, 8t, 0, 1<D;

In[197]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −t ta − 1, , 8t, 0, 1<, Assumptions → a > 0D

Out[197]= Null HGamma@aD − Gamma@a, 1DL

ExercíciosEm cada um dos Exercícios 1 a 18 verifique se a integral dada converge ou diverge

1. Ÿ01

cosHtL êè!!t „ t

In[200]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotACos@tD ëè!!!!

t , 8t, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

5

10

15

20

25

In[201]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateACos@tD ëè!!!!

t , 8t, 0, 1<EN@%D

Out[201]=è!!!!!!!2 π FresnelCA$%%%%%%2

πE

Out[202]= 1.80905

2. Ÿ01

sen è!!!!!!!!!!!!!!!x2 + 1 ê Hx2ê3Hx2 + 1LL „ x


In[203]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotASinAè!!!!!!!!!!!!!!

x2 + 1 E ë Hx2ê3 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

10

20

30

40

In[204]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateASinAè!!!!!!!!!!!!!!

x2 + 1 E ë Hx2ê3 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<EN@%D

Out[204]= ‡0

1 SinAè!!!!!!!!!!!!!1 + x2 Ex2ê3 H1 + x2L x

Out[205]= 2.34022

3. Ÿ01

‰x ê Hx3ê2Hx2 + 1LL „ x

In[207]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlot@ x êHx3ê2 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

500

1000

1500


In[210]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ x êHx3ê2 Hx2 + 1LL, 8x, 0, 1<DIntegrate::idiv :

Integral ofx

x3ê2 H1 + x2L does not converge on 80, 1<. More…

Out[210]= ‡0

1 x

x3ê2 H1 + x2L x

4. Ÿ01

lnH1 - tL êè!!!!!!!!!!!!!!1 - t2 „ t

In[211]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotALog@1 − tD ëè!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2 , 8t, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

-80

-60

-40

-20

In[212]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@1 − tD ëè!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2 , 8t, 0, 1<E$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…

$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…

$RecursionLimit::reclim : Recursion depth of 256 exceeded. More…

General::stop : Further output of $RecursionLimit::reclim willbe suppressed during this calculation. More…

Out[212]= −2 Catalan −12

π Log@2D

In[213]:= N@%DOut[213]= −2.92072

In[214]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateALog@1 − tD ëè!!!!!!!!!!!!!!!

1 − t2 , 8t, 0, 1<EOut[214]= −2.92072 + 6.05189×10−51

5. Ÿ0¶

1 êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!xHx2 + 1L „ x


In[215]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x Hx2 + 1L , 8x, 0, ∞<E

Out[215]=8 Gamma@ 5

4 D2

è!!!π

6. Ÿ0¶

‰-x ê Hx2 - 1L3ê2 „ x

In[218]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −x ë Hx2 − 1L3ê2

, 8x, 0, ∞<EIntegrate::idiv :

Integral of−x

H−1 + x2L3ê2does not converge on 80, ∞<. More…

Out[218]= ‡0

∞ −x

H−1 + x2L3ê2 x

7. Ÿ-¶0

‰x êè!!!!!!!!!-x3 „ x

In[220]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA −x ëè!!!!!!!!

−x3 , 8x, −∞, 0<EIntegrate::idiv :

Integral of−x è!!!!!!!!−x3x3

does not converge on 8−∞, −1<. More…

Out[220]= ‡−∞

−1 −x

è!!!!!!!!−x3

x

8. Ÿ0¶

tanhHtL êè!!t „ t

In[221]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateATanh@tD ëè!!!!

t , 8t, 0, ∞<E

Integrate::idiv : Integral of Tanh@tDè!!!t


Out[221]= ‡0

∞ Tanh@tDè!!!t

t

9. Ÿ01

‰x êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!xH1 - xL „ x


In[223]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotA x ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x H1 − xL , 8x, 0, 1<E;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

10

20

30

40

In[222]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA x ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x H1 − xL , 8x, 0, 1<E

Out[222]=è!!! π BesselIA0, −

12E

10. Ÿ05

1 êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!5 x - x2 „ x

In[224]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!

5 x − x2 , 8x, 0, 5<E;

1 2 3 4 5

1

2

3

4

In[225]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!

5 x − x2 , 8x, 0, 5<EOut[225]= π

11. Ÿ15

ln x êè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!6 x - x2 - 5 „ x


In[226]:= H∗ Gráfico da função ∗LPlotALog@xD ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

6 x − x2 − 5 , 8x, 1, 5<E;

2 3 4 5

2

4

6

8

10

In[227]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@xD ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

6 x − x2 − 5 , 8x, 1, 5<E

Out[227]=43

+32243

HypergeometricPFQA91, 32, 2=, 9 5

2,

52=, 4

9E + π LogA 1

2I3 +

è!!!5 ME

In[228]:= N@%DOut[228]= 4.52785

12. Ÿ0¶

ln t êè!!!!!!!!!!!!t3 + t „ t

In[229]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateALog@tD ëè!!!!!!!!!!!!!!

t3 + t , 8t, 0, ∞<E

Integrate::idiv : Integral of Log@tDè!!!!!!!!!!!!!t + t3


Out[229]= ‡0

∞ Log@tDè!!!!!!!!!!!!!t + t3

t

13. Ÿ02

‰t ë H4 - t2L3ê2 „ t

In[1]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA t ë H4 − t2L3ê2

, 8t, 0, 2<EIntegrate::idiv :

Integral oft

H4 − t2L3ê2does not converge on 80, 2<. More…

Out[1]= ‡0

2 t

H4 − t2L3ê2 t

14. Ÿ-22

1 ëè!!!!!!!!!!!!!!4 - t2 „ t


In[2]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!

4 − t2 , 8t, −2, 2<EOut[2]= π

15. Ÿ01

1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x + sen x „ x

In[3]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x + Sin@xD , 8x, 0, 1<E

Out[3]= ‡0

1 1è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!x + Sin@xD

x

In[4]:= H∗ Integral imprópria numérica ∗LNIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

x + Sin@xD , 8x, 0, 1<EOut[4]= 1.42608

16. Ÿ0¶

1 ëè!!!!!!!!!!!!!!x + x3 „ x

In[5]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!

x + x3 , 8x, 0, ∞<E

Out[5]=8 Gamma@ 5

4 D2

è!!!π

18. Ÿ01

cosHxL ê xr „ x, r ¥ 1

In[7]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Cos@xDêxr, 8x, 0, 1<, Assumptions → r ≥ 1DIntegrate::gener : Unable to check convergence. More…

Out[7]= IfAr < 3,HypergeometricPFQ@8 1

2 − r2 <, 8 1

2 ,32 − r

2 <, − 14 D

1 − r,

Integrate@x−r Cos@xD, 8x, 0, 1<, Assumptions → r ≥ 3DE

In[10]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@Cos@xDêxr, 8x, 0, 1<, Assumptions → 1 ≤ r < 3DIntegrate::gener : Unable to check convergence. More…

Out[10]=HypergeometricPFQ@8 1

2 − r2 <, 8 1

2 ,32 − r

2 <, − 14 D

1 − r

In[11]:= N@%D ê. r → 2

Out[11]= −1.48639

19. Ÿ01

‰-1êt ê t2 „ t

In[13]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −1êt êt2, 8t, 0, 1<D

Out[13]=1


20. Ÿ01tN ‰-1êt „ t

In[14]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@tN −1êt, 8t, 0, 1<D

Out[14]= Gamma@−1 − N, 1D

21. Ÿ0¶

‰-t tx -1 „ t

In[19]:= H∗ Integral imprópria exata ∗LIntegrate@ −t tx − 1, 8t, 0, ∞<, Assumptions → x > 0D

Out[19]= Gamma@xD

Integrais impróprias importantes em geofísica1. Ÿ0

¶ ‰a t cosHw tL dt = a ê Ha2 + w2L

In[7]:= Integrate@ −α t Cos@ω tD, 8t, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, α ≥ 0<DOut[7]=

αα2 + ω2

2. Ÿ0¶

‰a t senHw tL dt = w ê Ha2 + w2L

In[8]:= Integrate@ −α t Sin@ω tD, 8t, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, α ≥ 0<DOut[8]=

ωα2 + ω2

3. 2/pŸ0¶

HsenHw L cosHw tLL ê w dw = (sign(1 - t) + sign(1 + t))/2

In[23]:= 2êπ Integrate@HSin@ω D Cos@ω tDLêω,8ω, 0, ∞<, Assumptions → 8ω ≥ 0, −∞ < t < ∞<D

Out[23]=12HSign@1 − tD + Sign@1 + tDL

In[27]:= Plot@H Sign@1 − tD + Sign@1 + tDLê2,8t, −3, 3<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1


In[28]:= H∗ Gráfico da função f HtL = 1 se »t» < 1, f HtL = 0 se »t» > 1 ∗LPlot@Sign@tD, 8t, −2, 2<, PlotStyle → RGBColor@1, 0, 0DD;

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

4. Ÿ0¶

J1Hl rL „ l = 1 ê r

In[4]:= H∗ Integral de Lipschitz ∗LIntegrate@BesselJ@1, λ rD, 8λ, 0, ∞<, Assumptions → r > 0D

Out[4]=1r

5. Ÿ0¶

1ë"##################l2+ g2 J1Hl rL „ l = H1 - ‰- r gL ê Hr gL

In[31]:= IntegrateA1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!!λ2 + γ2 BesselJ@1, λ rD,

8λ, 0, ∞<, Assumptions → 8r > 0, γ > 0<E

Out[31]=1 − −r γ

r γ

6. Ÿ0¶

‰-l z J0Hl rL „ l = 1 ëè!!!!!!!!!!!!!!!!r2 + z2

In[3]:= Integrate@ −λ z BesselJ@0, λ rD, 8λ, 0, ∞<, Assumptions → 8r > 0, z ≥ 0<D

Out[3]=1

è!!!!!!!!!!!!!!!r2 + z2


CAPÍTULO 8

Seções CônicasIniciar o MathKernel


Já falamos da perábola e da hipérbole no primeiro volume, porém, apenas como gráficos das funções y = k x2 e y = k/x, e de funções obtidas dessas por translação.

8.1 A Elipse

A elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+ é constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da elipse e o ponto médio do segmento F−F+ = 2c é chamado centro.

Equação canônica da elipse x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 + y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da elipse, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.

A circunferência é uma elípse em que a = b = r. O segmento r é chamado o raio da circunferência.

In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82, 1<DD,

Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

EXEMPLO 1. H∗ A equação 2 x2+ 3 y2 = 6 ∗L

In[3]:= << Graphics`ImplicitPlot`H2 x^2 + 3 y^2 − 6Lê6 êê Expand;Print@% + 1, "= 1" Dx2

3+y2

2= 1

Os semi − eixos da elípse são a = è!!!3 e b = è!!!2 .

In[6]:= ShowAGraphicsACircleA80, 0<, 9è!!!!3 ,

è!!!!2 =EE,

Axes → True, AspectRatio → AutomaticE;

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

EXEMPLO 2. H∗ A equação 9 x2+ 4 y2 + 54 x − 16 y + 61 = 0 representa um elipse∗L9 x2 + 4 y2 +54 x - 16 y + 61 =0

Agrupando os termos em x e em y, vem

9 Hx2 + 6 xL + 4 Hy2 - 4 yL + 61 = 0

Completando os quadrados

9 Hx2 + 3L2- 81 + 4 Hy2 - 2L2

- 16 + 61 = 0

ou

9 Hx2 + 3L2+ 4 Hy2 - 2L2

= 36

Dividindo amnos os lados por 36, resulta

Hx + 3L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 + Hy - 2L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 = 1.

Os semi-eixos são: a = 2 e b = 3.


In[7]:= Show@Show@Graphics@Circle@8−3, 2<, 82, 3<DD,Axes → True, PlotRange → 88−6, 1<, 8−2, 6<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-2

-1

1

2

3

4

5

6

EXEMPLO 3. (* Achar a equação da elipse de semi eixo a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (2,-1) *)

Do exemplo anterior podemos afirmar que a equação canônica da elipse de aimi-eixos a e b centrada no ponto (x0,y0) é dada por

Hx-x0L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅa2 + Hy-y0L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅb2 = 1

Portanto, a equação canônica da elipse de aimi-eixos a = 3 e b = 3/2 centrada no ponto (x0,y0) = (2,-1) é

Hx-2L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 + Hy+1L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9ê4 = 1.

Multiplicado os dois lados da equação por 9 vem

Hx - 2L2 + 4(y +1L2 = 9.

Efetuando os quadrados obtemos a equação da elipse.

x2 + 4 y2 - 4 x + 8 y - 1 = 0

In[8]:= Show@Show@Graphics@Circle@82, −1<, 83, 3ê2<DD,Axes → True, PlotRange → 88−2, 6<, 8−3, 2<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@880, −1<, 82, −1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,


-2 -1 1 2 3 4 5 6

-3

-2

-1

1

2


Exercícios Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das elipses de equações dadas nos Exercícios 1 a 6. Faça os gráficos respectivos.

1. x2 + 4 y2 = 8

A equação canônica da elipse éx2

8+

y2

2= 1.

In[1]:= a =è!!!!

8

b =è!!!!

2c = Sqrt@a^2 − b^2De = cêa

Out[1]= 2 è!!!2Out[2]=

è!!!2Out[3]=

è!!!6

Out[4]=è!!!32

Os semi-eixos a = 2è!!!2 e b = è!!!2 , os focos ±è!!!6 e a ecentricidade c = è!!!3 /2 .

In[5]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 82 Sqrt@2D, Sqrt@2D<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

2. 9 x2 + 2 y2 = 18


2+

y2

9= 1.

In[6]:= a =è!!!!

2b = 3c = Sqrt@b^2 − a^2De = cêa

Out[6]=è!!!2

Out[7]= 3

Out[8]=è!!!7

Out[9]= $%%%%%%72


Os semi-eixos a = è!!!2 e b = 3 , os focos ±è!!!7 e a ecentricidade c = è!!!!!!!!!7 ê 2 .

In[10]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@2D, 3<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-1-0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

2

3

3. 3 x2 + 5 y2 = 10


10ê3 +y2

2= 1.

In[11]:= a =è!!!!!!!!!!!!!

10ê3

b =è!!!!

2c = Sqrt@a^2 − b^2De = cêa

Out[11]= $%%%%%%%%%103

Out[12]=è!!!2

Out[13]=2è!!!3

Out[14]= $%%%%%%25

Os semi-eixos a = è!!!!!!!!!!!10 ê 3 e b = è!!!2 , os focos ±2/è!!!3 e a ecentricidade c = è!!!!!!!!!2 ê 5 .


In[15]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 8Sqrt@10ê3D, Sqrt@2D<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

4. 4 x2 + 9 y2 + 4 x - 12 y - 31 = 0

Primeiro,vamos determinar a equação canônica da elípse.


4 Hx2 + xL + 9 Hy2 - 4 y ê 3L - 31 = 0


4 Hx + 1 ê 2L2 - 1 + 9 Hy - 2 ê 3L2 - 4 - 31= 0

ou

4 Hx + 1 ê 2L2 + 9 Hy - 2 ê3L2 - 36 = 0


Hx + 1ê2L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 + Hy - 2ê3L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 = 1.

In[16]:= a = 3b = 2c = Sqrt@a^2 − b^2De = cêa

Out[16]= 3

Out[17]= 2

Out[18]=è!!!5

Out[19]=è!!!53

Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos ±è!!!5 e a ecentricidade c = è!!!5 ë 3 .


In[20]:= Show@Show@Graphics@Circle@8−1ê2, 2ê3<, 83, 2<DD,Axes → True, PlotRange → 88−4, 3<, 8−2, 3<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−1ê2, 0<, 8−1ê2, 2ê3<, 80, 2ê3<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,


-4 -3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

5. 5 x2 + 9 y2 - 10 x + 18 y - 31 = 0



5 Hx2 - 2 xL + 9 Hy2 + 2 yL - 31 = 0


5 Hx - 1L2 - 5 + 9(y + 1L2 - 9 - 31= 0

ou

5(x -1L2 + 9(y +1L2 - 45 = 0


Hx -1L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 + Hy + 1L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5 = 1.

In[21]:= a = 3

b =è!!!!

5c = Sqrt@a^2 − b^2D;e = cêa

Out[21]= 3

Out[22]=è!!!5

Out[24]=23

Os semi-eixos a = 3 e b = è!!!5 , os focos e a ecentricidade c = 2 ê 3 .


In[25]:= ShowAShowAGraphicsACircleA81, −1<, 93,è!!!!

5 =EE,

Axes → True, PlotRange → 88−3, 6<, 8−4, 2<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,

ListPlot@881, 0<, 81, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

-2 2 4 6

-4

-3

-2

-1

1

2

6. 10 x2 + 4 y2 + 40 x - 24 y + 36 = 0



10 Hx2 + 4 xL + 4 Hy2 - 6 yL + 36 = 0


10 Hx + 2L2 - 40 + 4(y - 3L2 - 36 + 36= 0

ou

10(x + 2L2 + 4(y - 3L2 - 40 = 0


Hx + 2L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 + Hy - 3L2


In[26]:= a = 2

b =è!!!!!!

10c = Sqrt@b^2 − a^2De = cêa

Out[26]= 2

Out[27]=è!!!!!!10

Out[28]=è!!!6

Out[29]= $%%%%%%32

Os semi-eixos a = 2 e b = è!!!!!!10 , os focos c = ±è!!!6 e a ecentricidade e = è!!!!!!!!!3 ê 2 .


In[30]:= ShowAShowAGraphicsACircleA8−2, 3<, 92,è!!!!!!

10 =EE,

Axes → True, PlotRange → 88−4, 1<, 8−1, 8<<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → IdentityE,


DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

-4 -3 -2 -1 1

2

4

6

8

10. Calcule o semi-- eixo menor da órbita da Terra. Ecentricidade igual a 0,017. Trace o gráfico da órbita

In[31]:= Clear@aDb = 10;Solve@Sqrt@b^2 − a^2Dêa 0.017, aD

Out[33]= 88a → 9.99856<<

In[34]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.99856, 10<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

11. Desenhe as óbtitas de Mercúrio (ecentricidade igual a 0,206) e de Marte (ecentricidade igual a 0,093

Órbita de Mercúrio



Out[37]= 88a → 9.79434<<

In[38]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.79434, b<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

Órbita de Marte


Out[41]= 88a → 9.95703<<

In[42]:= Show@Graphics@Circle@80, 0<, 89.95703, b<DD,Axes → True, AspectRatio → AutomaticD;

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10


8.2 A Hipérbole

A hiperbóle é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos é F− e F+ é constante. Os pontos F− e F+ são chamados focos da hipérbole e o ponto médio do segmento F−F+ = 2c é chamado centro.

Equação canônica da elipse x2ÅÅÅÅÅÅÅa2 - y2

ÅÅÅÅÅÅÅb2 = 1. Os segmentos a e b são chamados semi-eixos maior e menor da hipér-pole, respectivamente. A excentridade da elipse é definida pelo qociente e = c/a.

Uma hipérbole é dita equlátera quando a = b. Neste caso a equação canônica passa a ser x2 + y2 = a2 .

Os gráficos da hiperbóle x2 ê b2 - y2 ê b2 = 1 e das duas assintotas y = ± b x/a, sendo a = 4 e b = 4 ëè!!!2

In[1]:= << Graphics`ImplicitPlot`a = 4;b = 4êSqrt@2D;Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@x2 êa2 − y2 ê b2 1,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,

AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

Os gráficos da hiperbóle equilátera x2 - y2 = a2 e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.


In[5]:= a = 4;Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@x2 − y2 a2, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

Os gráficos da hiperbóle equilátera y2 - x2 = a2 e das duas assintotas y = ± x, sendo a = 4.

In[7]:= a = 4; Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@y2 − x2 a2, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

Exercícios Determinar os semi-eixos a e b, os focos e a ecentricidade das hipérboles de equações dadas nos Exercícios 1 a 16. Faça os gráficos respectivos.

1. x2 ê 9 - y2 ê4 = 1

A equação canônica da hipérbole éx2

9−

y2

4= 1.


In[1]:= a = 3b = 2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[1]= 3

Out[2]= 2

Out[3]=è!!!!!!13

Out[4]=è!!!!!!133

Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos (±è!!!!!!13 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!13 /3 .

In[5]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0,8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-6

-4

-2

2

4

6

2. x2 ê 4 - y2 ê9 = 1

A equação canônica da hipérbole éx2

4−

y2

9= 1.

In[6]:= a = 2b = 3

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[6]= 2

Out[7]= 3

Out[8]=è!!!!!!13

Out[9]=è!!!!!!132





-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15

3. 4 x2 - 25 y2 = 100

Dividindo os dois lados da equação 4 x2 − 25 y2 = 100 por 100, vemx2

25−

y2

4= 1.

In[11]:= a = 5b = 2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[11]= 5

Out[12]= 2

Out[13]=è!!!!!!29

Out[14]=è!!!!!!295




-10 -5 5 10

-4

-2

2

4

4. 25 x2 - 9 y2 = 225


Dividindo os dois lados da equação 25 x2 − 9 y2 = 225 por 225, vemx2

9−

y2

25= 1.

In[16]:= a = 3b = 5

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[16]= 3

Out[17]= 5

Out[18]=è!!!!!!34

Out[19]=è!!!!!!343




-10 -5 5 10

-15

-10

-5

5

10

15

5. x2 - y2 = 9

Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 9 por 9, vemx2

9−

y2

9= 1.


In[21]:= a = 3b = 3

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[21]= 3

Out[22]= 3

Out[23]= 3 è!!!2Out[24]=

è!!!2

Os semi-eixos a = 3 e b = 3 , os focos (±3 è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .

In[25]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2 − y^2 9, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

6. y2 - x2 = 25

Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 25 por 25, vemy2

25−

x2

25= 1.

In[26]:= a = 5b = 5

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[26]= 5

Out[27]= 5

Out[28]= 5 è!!!2Out[29]=

è!!!2

Os semi-eixos a = 5 e b = 5 , os focos (±5 è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .


In[30]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@y^2 − x^2 25, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

7. x2 - y2 = 4

Dividindo os dois lados da equação x2 − y2 = 4 por 4, vemx2

4−

y2

4= 1.

In[31]:= a = 2b = 2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[31]= 2

Out[32]= 2

Out[33]= 2 è!!!2Out[34]=

è!!!2

Os semi-eixos a = 2 e b = 25 , os focos (±2è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .

In[35]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@x^2êa2 − y^2ê b2 − 1 0, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

8. y2 - x2 = 4

Dividindo os dois lados da equação y2 − x2 = 4 por 4, vemy2

4−

x2

4= 1.


In[36]:= a = 2b = 2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[36]= 2

Out[37]= 2

Out[38]= 2 è!!!2Out[39]=

è!!!2

Os semi-eixos a = 2 e b = 2 , os focos (±2è!!!2 , 0 ) e a ecentricidade c = è!!!2 .

In[40]:= Show@8Plot@8x, −x<, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@y^2êa2 − x^2ê b2 − 1 0, 8x, −10, 10<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

9. x2 - 4 y2 = 1

Reescrevendo da equação x2 − 4 y2 = 1, vem

x2

1−

y2

1ê4 = 1.

In[41]:= a = 1

b =è!!!!!!!!!!

1ê4

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[41]= 1

Out[42]=12

Out[43]=è!!!52

Out[44]=è!!!52

Os semi-eixos a = 1 e b = 1/2 , os focos (±è!!!5 ë 2, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!5 /2 .


In[45]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@x^2 − 4 y^2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,


-4 -2 2 4

-2

-1

1

2

10. 9 x2 - y2 = 1

Reescrevendo da equação 9 x2 − y2 = 1, vem

x2

1ê9 −y2

1= 1.

In[46]:= a =è!!!!!!!!!!

1ê9b = 1c = Sqrt@a^2 + b^2De = cêa

Out[46]=13

Out[47]= 1

Out[48]=è!!!!!!103

Out[49]=è!!!!!!10

Os semi-eixos a = 1/3 e b = 1 , os focos (±è!!!!!!10 ë 3, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!10 .

In[50]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD,ImplicitPlot@9 x^2 − y^2 − 1 0, 8x, −1, 1<, DisplayFunction → IdentityD<,


-1-0.5 0.5 1

-3

-2

-1

1

2

3

11. x2 - 25 y2 = 1


Reescrevendo a equação x2 − 25 y2 = 1, vem

x2

1−

y2

1ê25 = 1.

In[51]:= a = 1b = 1ê5

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[51]= 1

Out[52]=15

Out[53]=è!!!!!!265

Out[54]=è!!!!!!265

Os semi-eixos a = 1 e b =1/ 5 , os focos (±è!!!!!!26 ë 5, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!!!!26 /5 .

In[55]:= Show@8Plot@8bêa x, −bêa x<, 8x, −4, 4<,PlotRange → 8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@x^2 − 25 y^2 − 1 0, 8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,


-4 -2 2 4

-2-1.5-1

-0.5

0.51

1.52

12. 4 y2 - x2 = 1

Reescrevendo a equação 4 y2 − x2 = 1, vem

y2

1ê4 −x2

1= 1.

In[56]:= a = 1ê2b = 1

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[56]=12

Out[57]= 1

Out[58]=è!!!52

Out[59]=è!!!5

Os semi-eixos a = 1/2 e b = 1 , os focos (±è!!!5 ë 2, 0 ) e a ecentricidade c = è!!!5 .


In[60]:= Show@8Plot@8aê b x, −aê b x<, 8x, −2, 2<,PlotRange → 8−2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@4 y^2 − x^2 − 1 0, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD<,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 1 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

13. 4 x2 - 9 y2 - 8 x - 36 y - 68 = 0


4 Hx2 - 2 xL - 9 Hy2 + 4 yL - 68 = 0


4 Hx - 1L2 - 4 - 9 Hy + 2L2 + 36 - 68= 0

ou

4(x - 1L2 - 9(y + 2L2 - 36 = 0


Hx -1L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ9 - Hy + 2L2


In[61]:= a = 3b = 2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[61]= 3

Out[62]= 2

Out[63]=è!!!!!!13

Out[64]=è!!!!!!133

Os semi-eixos a = 3 e b = 2 , os focos ±è!!!!!!13 e a ecentricidade c = è!!!!!!13 ë 3 .


In[65]:= Show@8Plot@8bêa Hx − 1L − 2, −bêa Hx − 1L − 2<,8x, −10, 12<, PlotRange → 8−10, 8<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@Hx − 1L^2ê9 − Hy + 2L^2ê4 − 1 0,8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

14. y2 - x2 + 2 x - 4 y - 22 = 0


- Hx2 - 2 xL + Hy2 - 4 yL - 22 = 0


- Hx - 1L2 + 1 + Hy2 - 2L2 - 4 - 22= 0

ou

(x - 1L2 + (y + 2L2 - 25 = 0


Hx -1L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ25 - Hy + 2L2


In[66]:= a = 5b = 5

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[66]= 5

Out[67]= 5

Out[68]= 5 è!!!2Out[69]=

è!!!2

Os semi-eixos a = 5 e b = 5 , os focos 5è!!!2 e a ecentricidade c = è!!!2 .


In[70]:= Show@8Plot@8Hx − 1L − 2, −Hx − 1L − 2<, 8x, −10, 12<,PlotRange → 8−10, 12<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@Hx − 1L^2 − Hy + 2L^2 25, 8x, −10, 12<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -5 5 10

-10

-5

5

10

15. x2 - y2 + 4 x - 6 y - 9 = 0


Hx2 + 4 xL - Hy2 + 6 yL - 9 = 0


(x + 2L2 - 4 - Hy + 3L2 + 9 - 9 = 0

ou

(x + 2L2 - (y + 3L2 - 4 = 0


Hx + 2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 - Hy + 3L2


In[71]:= a = 2b = 2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[71]= 2

Out[72]= 2

Out[73]= 2 è!!!2Out[74]=

è!!!2



In[75]:= Show@8Plot@8Hx + 2L − 3, −Hx + 2L − 3<, 8x, −10, 6<,PlotRange → 8−10, 6<, DisplayFunction → IdentityD, ImplicitPlot@Hx + 2L^2 − Hy + 3L^2 4, 8x, −10, 6<, DisplayFunction → IdentityD<,


-10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

16. 2 y2 - 3 x2 + 12 x - 12 y + 12 = 0


2Hy2 - 6 yL - 3 Hx2 - 4 xL + 12 = 0


2(y - 3L2 - 18 - 3 Hx - 2L2 + 12 + 12 = 0

ou

2(y - 3L2 - 3 (x - 2L2 - 6 = 0


Hy - 3 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 - Hx - 2L2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 = 1.

In[76]:= a =è!!!!

3

b =è!!!!

2

c =è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

a^2 + b^2e = cêa

Out[76]=è!!!3

Out[77]=è!!!2

Out[78]=è!!!5

Out[79]= $%%%%%%53



In[80]:= ShowA9PlotA9è!!!!!!!!!!3ê2 Hx − 2L + 3, −

è!!!!!!!!!!3ê2 Hx − 2L + 3=,

8x, −3, 8<, PlotRange → 8−3, 8<, DisplayFunction → IdentityE,

ImplicitPlot@HHy − 3L^2Lê3 − HHx − 2L^2Lê2 1,8x, −3, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,

AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

-2 2 4 6 8

-2

2

4

6

8

Em cada um dos Exercícios 17 a 20 ache a equação da hip[erbole de parâmetros dados e faça um gráfico.

17. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2.

Hx - 2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4-

y2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ5

= 1.

In[81]:= ShowA9PlotA9è!!!!5 ë 2 Hx − 2L, −

è!!!!5 ë 2 Hx − 2L=, 8x, −4, 8<,

PlotRange → 8−8, 8<, DisplayFunction → IdentityE, ImplicitPlot@HHx − 2L^2Lê4 − Hy^2Lê5 1, 8x, −4, 8<, DisplayFunction → IdentityD=,


-4 -2 2 4 6 8

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

18. Focos (-1, 0), (5, 0) e semi-eixo horizontal igual a 2.

4 Hy - 3 ê 2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

25-

x2ÅÅÅÅÅÅÅÅ1

= 1.


In[82]:= Show@8Plot@85ê2 x + 3ê2, −5ê2 x + 3ê2<,8x, −4, 4<, PlotRange → 8−8, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@4 HHy − 3ê2L^2Lê25 − Hx^2L 1,8x, −4, 4<, DisplayFunction → IdentityD<,


-4 -2 2 4

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

19. Focos (-1, 1), (4, 1) e excentricidade e = 5/3.

4 Hx - 3 ê2 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

9-

Hy - 1 L2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

4= 1.

In[83]:= Show@8Plot@84ê3 Hx − 3ê2L + 1, −4ê3 Hx − 3ê2L + 1<,8x, −6, 8<, PlotRange → 8−6, 8<, DisplayFunction → IdentityD,

ImplicitPlot@4 HHx − 3ê2L^2Lê9 − HHy − 1L^2Lê4 1,8x, −6, 8<, DisplayFunction → IdentityD<,


-6 -4 -2 2 4 6 8

-6

-4

-2

2

4

6

8


8.3 A Parábola

A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta fixa e de um ponto fixo. A reta é chamada diretriz e o ponto fixo é o foco da parábola.

Equação canônica da parábola x2 + Hy - pL2 = Hy + pL2 ou equivalentemente x2 = 4 py. O eixo de simetria é chamado o eixo da parábola. A origem do sistema de coordenadas, que pertence à parábola, é chama o deu vértice. A equação da diretriz é y = - p e o foco é o ponto F = (0, p).

A equação y2 = 4 px também representa uma parábola em que a diretriz é x = p e o foco F = (p, 0).

In[1]:= p1 = Show@Plot@x^2, 8x, −2, 2<,Epilog → 8Text@"F", 8.2, 1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.3<D<,DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−2, −1<, 82, −1<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, 1.5<<,PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3ê2, −1<, 8−3ê2, 9ê4<, 80, 3ê2<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityDD;

In[2]:= p2 = Show@Plot@−x^2, 8x, −2, 2<,Epilog → 8Text@"F", 8.2, −1.5<D, Text@"D", 81.8, 0.7<D<,DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@88−2, 1<, 82, 1<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@880, −1.5<<,PlotStyle → [email protected]<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3ê2, 1<, 8−3ê2, −9ê4<, 80, −3ê2<<,PlotJoined → True, DisplayFunction → IdentityDD;

In[3]:= Show@GraphicsArray@8p1, p2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionDD;

-2 -1 1 2-1

1

2

3

4

F

D

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

F

D

Exemplo 1 (* p.147 *)

H∗ Encontar a equação da parábola com foco F=

H1,2L e diretriz a reta y = −1 ∗L

Neste caso o vértice é o ponto V = (1, 3/2) e a equação da parábola é

Hx - 1L2 + Hy - 2L2 = Hy - 1L2


isto é

x2 - 2 x + 1 - 4 y + 4 = -2 y + 1

e finalmente,

y = x2 ê 2 - x + 2

In[19]:= << Graphics`ImplicitPlot`Show@Plot@81, x^2ê2 − x + 2<, 8x, −2, 4<, PlotRange → 80, 4<,

Epilog → 8Text@"F", 81.2, 2.2<D, Text@"D", 83.8, 1.2<D<,DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@881, 2<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 1 2 3 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

F

D

Exemplo 2 (* p.147 *)

H∗ Toda equação do segundo grau y =

ax2 + bx + c representa uma parábola. ∗L

Para provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro

y = aHx2 + 2 xb ê 2 aL + c =

= aHx2 + 2 xb ê 2 a + b2 ê 4 b2L + c - b2 ê 4 b2 = aHx + b ê 2 aL2 + H4 ac - b^2L ê 4 a

Portanto,

Hx + 2 xb ê 2 a L2 = 1ÅÅÅÅa Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L

Isto sugere a transformação de eixo dada por,

X = x + b ê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL /4a

Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica

X 2 = 4pY

O foco é ara provarmos isso, cpmeçamos por completar o quadrado no dsegundo membro

y = aHx2 + 2 xb ê 2 aL + c =

= aHx2 + 2 xb ê 2 a + b2 ê 4 b2L + c - b2 ê 4 b2 = aHx + b ê 2 aL2 + H4 ac - b^2L ê 4 a


Portanto,

Hx + 2 xb ê 2 a L2 = 1ÅÅÅÅa Hy + H b^2 - 4 ac L ê 4 a L

Isto sugere a transformação de eixo dada por,

X = x + b ê 2 a e Y = y + Hb2 - 4 acL /4a

Pondo ainda p = 1/4a, a equação da parabóla assume a forma canônica

X 2 = 4pY

Exercícios Faça o gráfics das equações dadas nos Exercícios 1 a 7, indicando a diretriz, o foco e o vértice, em cada caso.

1. y = x2

In[198]:= << Graphics`ImplicitPlot`ImplicitPlot@y − x2 0, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

1

2

3

4

2. y2 = 6 x

In[34]:= ImplicitPlot@y^2 − 6 x 0, 8x, 0, 6<D;

1 2 3 4 5 6

-6

-4

-2

2

4

6

3. y2 = - 5 x


In[36]:= ImplicitPlot@y^2 + 5 x 0, 8x, −6, 0<D;

-6-5-4-3-2-1

-4

-2

2

4

4. y = 4 - x2

In[44]:= ImplicitPlot@y − 4 + x2 0, 8x, −3, 3<D;

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

5. y = x2 + 2 x - 1

In[46]:= ImplicitPlot@y − x2 − 2 x + 1 0, 8x, −4, 2<D;

-4 -3 -2 -1 1 2

-2

2

4

6

6. y = 3 x2 + 12 x + 4


In[51]:= ImplicitPlot@y − 3 x2 − 12 x − 4 0, 8x, −5, 1<D;

-5-4-3-2-1 1

-5

5

10

15

7. x = 2 y2 + 6 y + 5

In[53]:= ImplicitPlot@x − 2 y2 − 6 y − 5 0, 8x, −2, 4<D;

1 2 3 4

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5


8.4 Rotação de eixos

In[183]:= q1 = Show@[email protected], 5<<, Ticks → False, PlotRange → 88−1, 2<, 8−6, 6<<,AxesLabel → 8"x", "y"<, PlotStyle → [email protected]<,Epilog → 8Text@"X", 81.95, 3.8<D, Text@"Y", 8−.3, 5.5<D, Text@"θ",

8.5, .3<D, Text@"R", 8.8, 3.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 0<, 81.5, 5<, 80, 5<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@880, 0<, 81.5, 5<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → 8RGBColor@0, 0, 1D<, DisplayFunction → IdentityDD;

In[109]:= q2 = Show@ListPlot@880, 0<, 82.5, 4.2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,

[email protected], −14<, 8−.5, 14<<, PlotJoined → True,PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityD,

[email protected], 3<, 81.5, 5<, 8−.1, 2.2<<, PlotJoined → True, PlotStyle →

[email protected]<D, RGBColor@1, 0, 0D<, DisplayFunction → IdentityDD;

In[184]:= Show@8q1, q2<, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

x

y

X

Y

θ

R

Transformção direta Transformção inversa

x = X cosq - Y senq X = x cosq + y senq

y = X senq + Y cosq Y = -x senq + y cosq

A distância R da origem ao ponto (x, y) é um invariante, isto é, a distância R não varia com a rotação dos eixos.


In[201]:= k = 8;Plot@8x, −x, kêx<, 8x, −10, 10<,

PlotRange → 88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;

-10-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10

In[204]:= k = −8;Plot@8x, −x, kêx<, 8x, −10, 10<,

PlotRange → 88−10, 10<, 8−10, 10<<, AspectRatio → AutomaticD;

-10-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

10


8.5 As Quádricas

A equação geral do segundo grau em duas variáveis x e y tem a forma

ax2 + b x y + c y2 + dx + ey + f = 0 (1)

Chama-se quádricas toda curva plana cujos pontos (x, y) são soluções da equação (1).

O parâmetro D = 4 a c - b2 é chamado o discriminante da equação (1). O discriminante é invariante com relação à rotação dos eixos de coordenadas.

O discriminante é usado para distinguir as quádricas:

Caso 1: D = 4 a c - b2 > 0. A equação (1) representa uma elípse, um ponto ou um conjunto vazio.

Caso 2: D = 4 a c - b2 < 0. A equação (1) representa uma hipérbole ou duas retas.

Caso 3: D = 4 a c - b2 = 0. A equação (1) representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o con-junto vazio.

EXEMPLO 1. A equação 13 x2 − 10 x y + 13 y2 + 34 è!!!2 x − 2 è!!!2 y − 22 = 0 representa uma elipse

Valor do discriminante D = 4 a c - b2

In[218]:= a = 13; b = −10; c = 13;4 a c − b2

Out[219]= 576

O discriminante é maior que zero, portanto a equação representa, de fato, uma elípse.

In[203]:= << Graphics`ImplicitPlot`ImplicitPlotA

13 x^2 − 10 x y + 13 y^2 + 34è!!!!

2 x − 2è!!!!!

2 y − 11 0, 8x, −6, 2<E;

-4 -3 -2 -1

-3

-2

-1

1


EXEMPLO 2. A equação 2 x2 − x y + 5 x − y + 3 = 0 representa duas retas


In[220]:= a = 2; b = −1; c = 0;4 a c − b2

Out[221]= −1

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hipérbole ou duas retas.

In[113]:= Factor@2 x^2 − x y + 5 x − y + 3DOut[113]= H1 + xL H3 + 2 x − yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 2x + 3.

In[115]:= Plot@8−1, 2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

2

4

6

EXEMPLO 3. A equação x2 − 9 y2 + 2 x − 6 y = 0 representa duas retas


In[222]:= a = 1; b = 0; c = −9;4 a c − b2

Out[223]= −36


In[122]:= Factor@x^2 − 9 y^2 + 2 x − 6 yDOut[122]= Hx − 3 yL H2 + x + 3 yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = x/3 e y = -x/3 - 2/3.

In[124]:= Plot@8xê3, −xê3 − 2ê3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5


ExercíciosIndique, nos Exercícios 1 a 18, as quádricas de equações dadas e efetue as transformações necessárias para se obterm as respectivas equações cônicas. Faça o gráfico em cada caso.

1. 3 x2 + 2 è!!!3 x y + y2 - 5 x = 0

Valor do discriminante D = a c - b2

In[214]:= a = 3; b = 2 è!!!!

3 ; c = 1;4 a c − b2

Out[215]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representar uma parábola.

In[133]:= FactorA3 x2 + 2 è!!!!

3 x y + y2 − 5 xE

Out[133]= −5 x + 3 x2 + 2 è!!!3 x y + y2

In[134]:= ImplicitPlotA3 x2 + 2 è!!!!

3 x y + y2 − 5 x 0, 8x, −2, 10<E;

2 4 6 8 10

-25

-20

-15

-10

-5

2. x2 - 3 x y + x = 0


In[216]:= a = 1; b = −3; c = 0;4 a c − b2

Out[217]= −9


In[138]:= Factor@x2 − 3 x y + xDOut[138]= x H1 + x − 3 yL


Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = 0 e y = x/3 + 1/3.

In[140]:= Plot@80, xê3 + 1ê3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

3. 2 x2 + 3 x y + 2 y2 - x - 5 = 0


In[224]:= a = 2; b = 3; c = 2;4 a c − b2

Out[225]= 7

O discriminante é maior que zero, portanto a equação pode representa uma elípse, um ponto ou o conjunto vazio.

In[142]:= Factor@2 x2 + 3 x y + 2 y2 − x − 5DOut[142]= −5 − x + 2 x2 + 3 x y + 2 y2

In[145]:= ImplicitPlot@2 x2 + 3 x y + 2 y2 − x − 5 0, 8x, −2, 4<D;

-2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

4. 2 y2 - 4 x y - y = 0


In[226]:= a = 0; b = −4; c = 2;4 a c − b2

Out[227]= −16


In[147]:= Factor@2 y2 − 4 x y − yDOut[147]= y H−1 − 4 x + 2 yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: y = 0 e y = 2x + 1/2.


In[148]:= Plot@80, 2 x + 1ê2<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-2

2

4

5. x2 - x y + 1 = 0


In[228]:= a = 1; b = −1; c = 0;4 a c − b2

Out[229]= −1


In[156]:= Factor@x2 − x y + 1DOut[156]= 1 + x2 − x y

In[167]:= ImplicitPlot@x2 − x y + 1 0, 8x, −3, 3<D;

-3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

4

6. x y + x + y = 0


In[230]:= a = 0; b = 1; c = 0;4 a c − b2

Out[231]= −1



In[161]:= Factor@x y + x + yDOut[161]= x + y + x y

In[170]:= ImplicitPlot@x y + x + y 0, 8x, −3, 2<D;

-3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

7. x y - x + y - 1 = 0


In[232]:= a = 0; b = 1; c = 0;4 a c − b2

Out[233]= −1


In[172]:= Factor@x y − x + y − 1DOut[172]= H1 + xL H−1 + yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas: x = -1 e y = 1.

In[175]:= Show@Plot@1, 8x, −2, 2<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@88−1, −1<, 8−1, 2<<, PlotJoined → True,

DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

8. x2 +è!!!3 x y - 1 = 0



In[234]:= a = 1; b =è!!!!

3 ; c = 0;4 a c − b2

Out[235]= −3


In[177]:= FactorAx2 +è!!!!

3 x y − 1E

Out[177]= −1 + x2 + è!!!3 x y

In[185]:= ImplicitPlotAx2 +è!!!!

3 x y − 1 0, 8x, −2, 2<E;

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

9. x2 + 2 x y + y2 - 1 = 0


In[236]:= a = 1; b = 2; c = 1;4 a c − b2

Out[237]= 0

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o conjunto vazio.

In[187]:= Factor@x2 + 2 x y + y2 − 1DOut[187]= H−1 + x + yL H1 + x + yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = -x + 1 e y = -x -1.


In[188]:= Plot@8−x + 1, −x − 1<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-3

-2

-1

1

2

3

10. x2 + x y + y2 + x - 2 y = 0


In[238]:= a = 1; b = 1; c = 1;4 a c − b2

Out[239]= 3


In[190]:= Factor@x2 + x y + y2 + x − 2 yDOut[190]= x + x2 − 2 y + x y + y2

In[192]:= ImplicitPlot@x2 + x y + y2 + x − 2 y 0, 8x, −4, 2<D;

-3 -2.5-2-1.5-1-0.5 0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

11. x2 - 4 x y + 4 y2 - 9 = 0


In[240]:= a = 1; b = 4; c = 4;4 a c − b2

Out[241]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas,uma reta ou o conjunto vazio.

In[194]:= Factor@x2 − 4 x y + 4 y2 − 9DOut[194]= H−3 + x − 2 yL H3 + x − 2 yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = x/2 - 3/2 e y = x/2 + 3/2.


In[195]:= Plot@8xê2 − 3ê2, xê2 + 3ê2<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

12. x2 + y2 - 3 x + y + 1 = 0


In[242]:= a = 1; b = 0; c = 1;4 a c − b2

Out[243]= 4


In[197]:= Factor@x2 + y2 − 3 x + y + 1DOut[197]= 1 − 3 x + x2 + y + y2

In[199]:= ImplicitPlot@x2 + y2 − 3 x + y + 1 0, 8x, 0, 3<D;

0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

13. y2 - 4 x2 - 3 y + 6 x = 0


In[244]:= a = −4; b = 0; c = 1;4 a c − b2

Out[245]= −16

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hiperbóle ou duas retas.

In[201]:= Factor@ y2 − 4 x2 − 3 y + 6 xDOut[201]= −H2 x − yL H−3 + 2 x + yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas retas paralelas: y = 2x e y = -2x + 3.


In[202]:= Plot@82 x, −2 x + 3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-4

-2

2

4

6

14. 4 x y + 4 x2 + y2 - x - y + 1 = 0


In[246]:= a = 4; b = 4; c = 1;4 a c − b2

Out[247]= 0

O discriminante é igual a zero, portanto a equação pode representa uma parábola, duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio.

In[6]:= Factor@ 4 x y + 4 x2 + y2 − x − y + 1DOut[6]= 1 − x + 4 x2 − y + 4 x y + y2

In[13]:= ImplicitPlot@4 x y + 4 x2 + y2 − x − y + 1 0,8x, −4, 0<, PlotRange → 88−4, 1<, 80, 12<<D;

-4-3-2-1 1

2

4

6

8

10

12

15. 4 x y - x2 - 4 y2 = 0


In[248]:= a = −1; b = 4; c = −4;4 a c − b2

Out[249]= 0



In[15]:= Factor@ 4 x y − x2 − 4 y2DOut[15]= −Hx − 2 yL2

Daqui segue-se que a equação original representa uma reta: y = x/2.

In[16]:= Plot@xê2, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-1

-0.5

0.5

1

16. 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y - 10 = 0


In[250]:= a = 4; b = 12; c = 9;4 a c − b2

Out[251]= 0


In[18]:= Factor@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10DOut[18]= −10 + 4 x2 + y + 12 x y + 9 y2

In[21]:= ImplicitPlot@ 4 x2 + 12 x y + 9 y2 + y − 10 0, 8x, −20, 20<D;

-15 -10 -5 5 10 15 20

-15

-10

-5

5

10

17. x2 + x y + y2 = 0



In[252]:= a = 1; b = 1; c = 1;4 a c − b2

Out[253]= 3


In[23]:= Factor@ x2 + x y + y2DOut[23]= x2 + x y + y2

Daqui segue-se que a equação original representa o ponto (0, 0).

18. x2 - 3 y2 + 2 x y - x + y = 0


In[254]:= a = 1; b = 2; c = −3;4 a c − b2

Out[255]= −16

O discriminante é menor que zero, portanto a equação pode representa uma hyperbóle ou duas retas.

In[27]:= Factor@ x2 − 3 y2 + 2 x y − x + yDOut[27]= Hx − yL H−1 + x + 3 yL

Daqui segue-se que a equação original representa duas reta: y = x e y = -x/3 + 1/3

In[28]:= Plot@8x, −xê3 + 1ê3<, 8x, −2, 2<D;

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


CAPÍTULO 9

Vetores e Curvas no PlanoIniciar o MathKernel


Ativar o pacote Add-On para traçar setas.

In[2]:= << Graphics`Arrow`

9.1 Definição de vetores e intepretação geométrica

Um vetor no plano P = (x, y) nada mais é que um par ordenado de números reais, os quais são chamados as componentes do vetor.

Dados um número real t (também chamado de escalar t) e os vetores P = (x, y) e P' = (x', y') definimos soma de vetores e multiplicação por escalar:

P + P' = (x + x', y + y'),

tP = (tx, t y) .

Dado o vetor P = (x, y), o vetor -P = (-1) P = (-x, - y) é chamao o oposto de P. A diferença P - P' é definida como sendo a soma de P com o oposto de P:

P - P' = P + (-P) = (x - x', y - y').

De modo analógo, a divisão de um vetor P = (x, y) por um escalar t ∫ 0, é definida como sendo o produto de P pelo escalar 1/t:

P/t = (1/t)P = (x/t, y/t)

Representação gráfica

Graficamente, um vetor P = (x, y) é representado pelo segnento OP, orientado de O para P, por isto mesmo indicado pelo símbolo OP

”÷÷÷÷÷ .e desenhado por uma flexa de O para P.

Ativar o pacote Add-On para traçar setas.

In[2]:= << Graphics`Arrow`

In[79]:= H∗ Representação gráfica de vetores ∗L<< Graphics`Arrow`Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,

Epilog → 8Text@"O", 80.12, −0.12<D, Text@"A", 81.1, 1.9<D,Text@"C", 80.65, −0.5<D, Text@"D", 81.65, 1.4<D<,

DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D,Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 2<D,Arrow@81ê2, −1ê2<, 83ê2, 3ê2<D<, DisplayFunction → IdentityD,


O

A

C

D

Regra do paralelograma

Regra do Paralelograma: O vetor soma de dois voutros OP”÷÷÷÷÷ .e OQ

”÷÷÷÷÷÷ , é o vetor OR”÷÷÷÷÷÷ que se obtém como uma das

diagonais do paralelograma de lados OP”÷÷÷÷÷ e OQ

”÷÷÷÷÷÷; a otra diagonal QP

”÷÷÷÷÷, representa a diferença OP

”÷÷÷÷÷ - OQ

”÷÷÷÷÷÷.


In[90]:= H∗ Soma e subtração de vetores ∗LShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5<, Axes → False, Epilog →

9Text@"O", 80.1, −0.1<D, Text@"P", 8.55, 1.1<D, Text@"Q", 81.85, 1.1<D,

Text@"R", 82.4, 2.1<D, TextA"OR”÷÷÷÷

= OP”÷÷÷÷

+ OQ”÷÷÷÷

", 81, 2.5<E,

TextA"QP”÷÷÷÷

= OP”÷÷÷÷

− OQ”÷÷÷÷

", 81, 2.2<E=, DisplayFunction → IdentityE,

Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 3<D,Arrow@80, 0<, 8.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 81.8, 1.2<D,Arrow@80, 0<, 82.3, 2.2<D, [email protected], 1.2<, 8.5, 1<D<,

DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 1.2<, 82.3, 2.2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,[email protected], 1<, 82.3, 2.2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,AspectRatio → Automatic, DisplayFunction → $DisplayFunctionE;

O

P Q

R

OR”÷÷÷÷ = OP”÷÷÷÷ + OQ”÷÷÷÷

QP”÷÷÷÷ = OP”÷÷÷÷ − OQ”÷÷÷÷

Exemplo 1 Dados os vetores O vetor P = OP”÷÷÷÷ = H−2, 1L é o mesmo que AB”÷÷÷÷ ou CD”÷÷÷÷ onde A = H1, −2L,B = H−1, −1L, C = H3, 1L, D = H1, 2L

In[63]:= H∗ Soma HsubtraçãoL de vetores ∗La = 81, −2<;b = 8−1, −1<;c = 83, 1<;d = 81, 2<;ab = b − acd = d − c

Out[67]= 8−2, 1<Out[68]= 8−2, 1<


In[83]:= H∗ Representação geométrica de vetores ∗LShow@Plot@0, 8x, −3, 4<, Axes → False,

Epilog → 8Text@"O", 8−0.1, −0.3<D, Text@"P", 8−2, 1.2<D,Text@"C", 83.2, 0.9<D, Text@"D", 81, 2.2<D, Text@"A", 81.2, −2.1<D,Text@"B", 8−1.2, −1<D, Text@"3", 83.0, −.3<D, Text@"1", 81.2, −.3<D,Text@"−2", 8−2, −.2<D, Text@"2", 8−.1, 2<D, Text@"1", 8−.1, 1.1<D,Text@"−1", 8.3, −1<D, Text@"−1", 8−1.1, .2<D,Text@"−2", 8−.2, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−2.5, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D,Arrow@80, 0<, 8−2, 1<D, Arrow@83, 1<, 81, 2<D,Arrow@81, −2<, 8−1, −1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@883, 0<, 83, 1<, 8−2, 1<, 8−2, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@880, −2<, 81, −2<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@880, −1<, 8−1, −1<, 8−1, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,


O

PC

D

A

B

31−2

2

1

−1

−1

−2

Exemplo 2 O vetor P = (-3, 4) e Q = (-4, -1) calcular a soma P + Q e a diferença P - Q

In[41]:= p = 8−3, 4<;q = 8−4, 1<;p + qp − q

Out[43]= 8−7, 5<Out[44]= 81, 3<


In[84]:= H∗ Soma e subtração de vetores ∗LShow@Plot@0, 8x, −8, 3<, Axes → False, Epilog →

8Text@"O", 80.2, −0.3<D, Text@"Q", 8−4, −1.3<D, Text@"P", 8−3, 4.3<D,Text@"P + Q", 8−7, 3.3<D, Text@"P − Q", 81.3, 5.3<D,Text@"−7", 8−7, −.3<D, Text@"−4", 8−4, .3<D, Text@"−3", 8−3, −.3<D,Text@"3", 8.3, 3<D, Text@"4", 8.3, 4<D, Text@"5", 8−.3, 5<D,Text@"−1", 8.4, −1<D, Text@"−2", 8−.2, −2.1<D<,

DisplayFunction → IdentityD,Graphics@8Arrow@8−8.5, 0<, 83, 0<D, Arrow@80, −2<, 80, 6<D,

Arrow@80, 0<, 8−7, 3<D, Arrow@80, 0<, 8−3, 4<D, Arrow@80, 0<, 8−4, −1<D,Arrow@80, 0<, 81, 5<D<, DisplayFunction → IdentityD,


ListPlot@88−4, 0<, 8−4, −1<, 80, −1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,




O

Q

P

P + Q

P − Q

−7−4

−3

3

4

5

−1

−2

Propriedades

As definições anteriores e as conhecidas leis algébricas dos números reais permitem demostrar as seguintes propriedades: quaisquer que sejam os vetores u, v e w tem-se

u + v = v + u, (u + v) + w = u + (v + w), u + 0 = u, u + (-u) = 0;

quais que que sejam os vetores u e v e os escalares r e s, tem-se

(r s)u = r (s u), (r + s)u = r u + su, r (u + v) = r u + r v, 1.u = u.

Exercício 3 Dados A =(1, -2), B = (-3, 4) efetue A + B, A - B, 3A + 2B


In[36]:= H∗ Operações com vetores ∗La = 81, −2<;b = 8−3, 4<;a + ba − b3 a + 2 b

Out[38]= 8−2, 2<Out[39]= 84, −6<Out[40]= 8−3, 2<

Exercício 4 Dados A = H−1, 2L, B = H1, −2L e C = H3, 3L determine AB”÷÷÷÷ = B − A,AC”÷÷÷÷ = C − A, BC”÷÷÷÷ = C − B,AB”÷÷÷÷ + AC”÷÷÷÷ e AB”÷÷÷÷ − AC”÷÷÷÷ .

In[69]:= H∗ Operações com vetores ∗La = 81, 2<;b = 81, −2<;c = 83, 3<;ab = b − aac = c − abc = c − bab + acab − ac

Out[72]= 80, −4<Out[73]= 82, 1<Out[74]= 82, 5<Out[75]= 82, −3<Out[76]= 8−2, −5<

Exercício 3 Dados u” = H−1ê2, 1L, v” = I1ê3, −1, calcule 2 u” + 3 v”÷÷÷÷÷÷

e 4 u” − 6 v”

In[81]:= u = 8−1ê2, 1<;v = 81ê3, −1<;2 u + 3 v4 u − 6 v

Out[83]= 80, −1<Out[84]= 8−4, 10<

Dendência e independência linear

Chama-se combinação linear de n vetores v1, v2, . . . , vn a uma expressão do tipo

a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn

onde os coeficientes a1, a2, . . . , an são números quaisquer. Diz-se que os n vetores formam um conjunto linear-mente dependente se existem coeficientes a1, a2, . . . , an , não todos nulos, tais que

a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0


Por exemplo, vetores paralelos são linearmente dependentes; e qualquer conjunto de vetores que inclui o vetor nulo é linearmente dependente.

Um conjunto de vetores v1, v2, . . . , vn é linearmente independentes se satisfaz a negativa da condição de dependência linear, isto é, se

a1 v1 + a2 v2 + . . . + an vn = 0 ï a1 = a2 = . . . = an = 0.

Espaço vetorial

Espaço vetorial é generalização (num serto sentido) do conjuto de vetores no plano. Por exemplo, vetores no espeço tridimensional formam um espaço vetorial. Analogamente, o conjunto das matrizes 2 por 2 de niméros reais também forma um espaço vetorial.

9.2 Produto escalar

Dado um vetor v” = (x, y), definimos o seu módulo, designado por »v” » , como sendo

»v” » = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2

In[85]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 80.1, −0.1<D, Text@"P", 8−1, 1.1<D,

Text@"A", 80.5, .6<D, Text@"B", 81.6, −.5<D, Text@"»v”»", 8−.4, .6<D,Text@"»v”»", 81.1, .1<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@

8Arrow@8−1, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 1<D,[email protected], −.5<, 8.5, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,


O

P

A

B

»v”»

»v”»

Definição de produto escalar

O produto escalar ou produto interno de dois vetores um vetor v” 1 = (x1 , y1 ) e v” 2 = (x2 , y2 ) simbolizado por v” 1 . v” 2, é assim definido:

v” 1 . v” 2 = x1 x2 + y1 y2.


O produto escalar é comutativo

v” 1 . v” 2 = v” 2 . v” 1.

O produto escalar será sempre zero quando um dos vetores for o vetor nulo.

Geometricamente, o produto escalar de dois vetores é o produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo que eles formam:

v” 1 . v” 2 = | v” 1 | | v” 1 | cosq

Diz-se que dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na expressão anterior.

O produto escalar dos vetores u = 8u1, u2< e v = 8v1, v2< é dado por u . v.

Vetores ortogonais

Diz-se que dois vetores são ortogonais se o seu produto escalar for zero. Com efeito, basta fazer cos(p/2) = 0 na expressão v” 1 . v” 2 = | v” 1 | | v” 1 | cosq

Exemplo 1 Os vetores (1, 5/2) e (5, -2) são ortogonais

In[166]:= a = 81, 5ê2<;b = 85, −2<;a.b

Out[168]= 0


In[91]:= Show@Plot@0, 8x, −1, 4<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 8−0.2, −0.2<D, Text@"2.5", 8−.5, 2.5<D,

Text@"−2", 8−.3, −2<D, Text@"1", 81, −.2<D, Text@"5", 85, .2<D<,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 86, 0<D,

Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D, Arrow@80, 0<, 81, 2.5<D,Arrow@80, 0<, 85, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@881, 0<, 81, 2.5<, 80, 2.5<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@880, −2<, 85, −2<, 85, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,


O

2.5

−2

15

Exemplo 2 Seja calcular o ângulo entre os vetores (2, 1) e (-3, 1) são ortogonais

In[178]:= v1 = 82, 1<;v2 = 8−3, 1<;v1.v2ê[email protected] [email protected]@%D

Out[180]= −1è!!!2

Out[181]=3 π4


In[87]:= Show@Plot@0, 8x, −4, 3<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 8−0.15, −0.15<D, Text@"−3", 8−3, −.15<D,

Text@"2", 82, −.15<D, Text@"1", 8.15, 1.1<D, Text@"»v”1»", 82, 1.15<D,Text@"»v”2»", 8−3, 1.15<D, Text@"θ", 8−.2, .15<D<,

DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−4, 0<, 83, 0<D,Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, 8−3, 1<D,Arrow@80, 0<, 82, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3, 0<, 8−3, 1<, 82, 1<, 82, 0<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,


O−3 2

1 »v”1»»v”2»

θ

Exercícios Nos Exercícios 1 a 8 determine o módulo de cada vetor dado e o vetor unitário na mesma direção.Represente cada vetor por uma seta a partir da origem e por uma seta a partir do ponto p=(1,-2).

1.

In[3]:= v = 81, 1<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[5]=è!!!2

Out[6]= 9 1è!!!2

, 1è!!!2

=


In[10]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 1.5<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

2.

In[11]:= v = 81, 2<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[13]=è!!!5

Out[14]= 9 1è!!!5

, 2è!!!5

=


In[17]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81, −2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 2.5<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

3.

In[18]:= v = 81ê2, −1<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[20]=è!!!52

Out[21]= 9 1è!!!5

, −2è!!!5

=


In[27]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 1.5<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.9, −2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 81.5, 0<D, Arrow@80, −3<, 80, 1<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

4.

In[28]:= v = 85ê2, −3<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[30]=è!!!!!!61

2

Out[31]= 9 5è!!!!!!61

, −6

è!!!!!!61=

In[37]:= Show@Plot@0, 8x, −.5, 4<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.8, −2.3<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −5<, 80, 1<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

5.


In[39]:= v = 8−2, 1<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[41]=è!!!5

Out[42]= 9−2è!!!5

, 1è!!!5

=

In[47]:= Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 8.9, −2.2<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

6.

In[48]:= v = 8−4ê3, 5ê2<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[50]=176

Out[51]= 9−8

17, 15

17=



Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −2.5<, 80, 3<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

7.

In[56]:= v = 8−4, −3<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[58]= 5

Out[59]= 9−45

, −35=


Graphics@8Arrow@8−4, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −5<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

8.


In[63]:= v = 8−6ê5, −7ê2<;p = 81, −2<;[email protected]ê%

Out[65]=3710

Out[66]= 9−1237

, −3537

=

In[70]:= Show@Plot@0, 8x, −2, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"p", 81.3, −2<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−2, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −6<, 80, 1<D,Arrow@80, 0<, vD, Arrow@p, v + pD<, DisplayFunction → IdentityD,



p

Nos Exercícios 9 a 14 determine o produto escalar e o ângulo entre os dois vetores.

9.

In[125]:= v1 = 80, 1<;

v2 = 9è!!!!3 , 1=;

v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected]

Out[127]= 1

Out[128]=π3

10.


In[121]:= v1 = 82, 1<;v2 = 80, 1<;v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected] êê N

Out[123]= 1

Out[124]= 1.10715

11.

In[129]:= v1 = 91,è!!!!

3 =;

v2 = 9−è!!!!

3 , 1=;


Out[131]= 0

Out[132]=π2

12.

In[137]:= v1 = 8−1, 1<;

v2 = 9−1, −è!!!!

3 =;

v1.v2ArcCos@%ê[email protected] [email protected] êê N

Out[139]= 1 −è!!!3

Out[140]= 1.8326

13.

In[141]:= v1 = 9−è!!!!

3 , 1=;

v2 = 9−3, −è!!!!

3 =;


Out[143]= 2 è!!!3

Out[144]=π3

14.

In[145]:= v1 = 8−1, 0<;

v2 = 9−è!!!!

3 , −3=;


Out[147]=è!!!3

Out[148]=π3

Nos Exercícios 15 a 22 determine os dois vetores unitários normais às direções dadas.

15.


In[218]:= v = 81, 2<;v1 = 81, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, −a<d = −c

Out[222]= 9 2è!!!5

, −1è!!!5

=

Out[223]= 9−2è!!!5

,1è!!!5

=

In[224]:= Show@Plot@0, 8x, −.1, 1<, Axes → False, Epilog →

8Text@"O", 8−0.1, −0.1<D, Text@"v", 8.8, 1.9<D, Text@"c", 8.8, −.5<D,Text@"d", 8−.8, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@

8Arrow@8−1, 0<, 81, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,


O

v

c

d

16.

In[257]:= v = 84, 3<;v1 = 81, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, −a<d = −c

Out[261]= 9 35

, −45=

Out[262]= 9−35

, 45=



8Text@"O", 8−0.15, −0.2<D, Text@"v", 83.5, 2.9<D, Text@"c", 8.8, −.5<D,Text@"d", 8−.8, .5<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 84, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 3<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,


O

v

c

d

17.

In[237]:= v = 85ê2, −3<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, −a<d = −c

Out[241]= 9 6è!!!!!!61

, 5è!!!!!!61

=

Out[242]= 9−6

è!!!!!!61, −

5è!!!!!!61

=


8Text@"O", 8−0.15, 0.1<D, Text@"v", 82.7, −2.9<D, Text@"c", 8.8, .4<D,Text@"d", 8−.8, −.4<D<, DisplayFunction → IdentityD,



O

v

c

d

18.


In[292]:= v = 8−1, 4ê3<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, a<d = −c

Out[296]= 9 45

,35=

Out[297]= 9−45

, −35=

In[298]:= Show@Plot@0, 8x, −1.5, 1.5<, Axes → False, Epilog → 8Text@"O", 80.15, −0.15<D,

Text@"v", 8−1., 1<D, Text@"c", 8.8, .4<D, Text@"d", 8−.8, −.4<D<,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@8−1.5, 0<, 81.5, 0<D,

Arrow@80, −1.5<, 80, 1.5<D, Arrow@80, 0<, vD, Arrow@80, 0<, cD,Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,


O

v

c

d

19.

In[299]:= v = 8−1ê2, −1ê3<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8−b, a<d = −c

Out[303]= 9−2

è!!!!!!13, 3

è!!!!!!13=

Out[304]= 9 2è!!!!!!13

, −3

è!!!!!!13=


In[317]:= Show@Plot@0, 8x, −1, 1<, Axes → False, Epilog →

8Text@"O", 80.1, 0.1<D, Text@"v", 8−.3, −.35<D, Text@"c", 8−.6, .7<D,Text@"d", 8.6, −.7<D<, DisplayFunction → IdentityD,



O

v

c

d

20.

In[360]:= v = 82, −1<;v1 = 81, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, a<d = −c

Out[364]= 9 1è!!!5

,2è!!!5

=

Out[365]= 9−1è!!!5

, −2è!!!5

=


8Text@"O", 8−0.1, 0.1<D, Text@"v", 81.9, −.8<D, Text@"c", 8.3, .9<D,Text@"d", 8−.3, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD, Graphics@

8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −1<, 80, 1<D, Arrow@80, 0<, vD,Arrow@80, 0<, cD, Arrow@80, 0<, dD<, DisplayFunction → IdentityD,


O

v

c

d

21.


In[368]:= v = 8−2, 1<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8b, a<d = −c

Out[372]= 9 1è!!!5

,2è!!!5

=

Out[373]= 9−1è!!!5

, −2è!!!5

=


8Text@"O", 80.1, −0.13<D, Text@"v", 81.9, −.8<D, Text@"c", 8.3, .9<D,Text@"d", 8−.3, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD,



O

c

d

22.

In[407]:= v = 8−5, −2<;v1 = 8−1, 0<;a = v.v1ê[email protected] [email protected];b = Sqrt@1 − a^2D;c = 8−b, a<d = −c

Out[411]= 9−2

è!!!!!!29,

5è!!!!!!29

=

Out[412]= 9 2è!!!!!!29

, −5

è!!!!!!29=



8Text@"O", 80.3, 0.2<D, Text@"v", 8−4.9, −1.6<D, Text@"c", 8−.7, .9<D,Text@"d", 8.7, −.9<D<, DisplayFunction → IdentityD,



O

v

c

d

Nos Exercícios 23 a 27 determine os dois vetores unitários que fazem o ângulo dado com o vetor dado.

23.

In[441]:= v = 8Sqrt@3D, 1<;v1 = 81, 0<;a = [email protected]ê[email protected] [email protected]


9.3 Equação da reta

Coma sabemos a equação da reta tem a forma

ax + by + c = 0.

Seja p0 = Hx0 , y0 ) um ponto fixo na reta e p = (x, y) um ponto genérico. Então,

ax0 + by0 + c = 0.

Substituindo esta equação da anterior, obtemos

aHx - x0 L + bHy - y0L = 0.

Para interpretar este resultado em termos de vetor, seja v” = (a, b). Como p - p0 = ( x - x0 , y - y0 ), a última equação pode ser escrita na forma

( x - x0 , y - y0 ).(a, b) = 0 ou (p - p0 ). v” = 0.

Geometricamente, esta equação traduz a condição de que os vetores p - p0 e v” são ortogonais. Em outras palavras, toda reta de equação

ax + by + c = 0

é perpendivular ao vetor (a, b). O vetor unitário nesta direção

u”÷ = Ha, bLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅè!!!!!!!!!!!!!!!!a2 + b2

é o vetor normal unitário à reta. Note-se que os vetores (b, -a) e (-b, a) são normais ao vetor (a, b). Logo toda reta de equação ax + by + c = 0 é paralela aos vetores (b, -a) e (-b, a).

Exemplo 1

A reta 3 x − 2 y + 4 =

0 é perpendicular ao vetor u” = H3, −2L. Como ela passa pelo ponto p0 = H0, 2L,podemos escrever a sua equação na forma Hp − p0L.u” = 0,em que o ponto p é seu ponto genérico.

Exemplo 2

Vamos obter a equação da reta pelo ponto p0 = H−1, 2L,perpendicular à direção u” = H3, 2L. Então,

In[7]:= H8x, y< − 8−1, 2<L.83, 2< 0 êê Simplify

Out[7]= 3 x + 2 y 1

Equações paramétricas

Para obtermos a equação da reta por um ponto p0 = (x0 , y0 ), paralela a um vetor u”÷ = (m, n) ∫ 0, designamos por p = (x, y) o ponto genérico da reta e impomos a condição de que p - p0 e u”÷ sejam colineares, isto é, Coma


sabemos a equação da reta tem a forma

p - p0 = tu”÷ ,

onde t 'e um escalar variável. Esta condição equivale a

x - x0 = tm, y - y0 = tn,

ou

x = x0 + tm, y = y0 + tn.

Estas são as equações paramétricas da reta, justamente porque a variável independente é o parâmetro t: diferente s valores de t conduzem a diferentes pontos p = (x, y) da reta.

Exemplo 3

Dada a reta de equação2 x + 5 y − 10 = 0,

vamos determinar a equação da reta pelo ponto p0 = H4, 2L,normal à reta dada. Então,

Solução 1

In[16]:= H8x, y< − 84, 2<L.85, −2< 0 êê Simplify

Out[16]= 5 x 2 H8 + yL

Solução 2 (equaçoes paramétricas)

In[30]:= Solve@x == 4 + 2 t, tDSolve@y == 2 + 5 t, tD

Out[30]= 99t →12H−4 + xL==

Out[31]= 99t →15H−2 + yL==

In[32]:= H−4 + xLê2 H−2 + yLê5 êê Simplify

Out[32]= 5 x 2 H8 + yL

Exemplo 4

Vamos determinar os ângulos formado pela duas retas de equações3 x + 5 y = 0 e 2 x − 3 y − 6 = 0

Estas retas têm direções u”1 = H5, −3L e u”2 = H3, 2L, respectivamente. Então

In[12]:= u1 = 85, −3<;u2 = 83, 2<;[email protected]ê[email protected] [email protected]

Out[14]= ArcCosA 9è!!!!!!!!!442

E


6.4 Projeções e Bases

Sejam u”÷ = (u1 , u2 ) e v” = (v1 , v2 ) dois vetores não colineares (portanto, nenhum deles é o vetor nulo), então qualquer outro vetor w”÷÷ = (a, b) pode ser expresso, de maneira unívoca, na forma

w”÷÷ = xu”÷ + yv” .

Os números x e y são chamados as componentes de w”÷÷ relativamente aos vetores u”÷ e v” , respectivamente. Qualquer par de vetores u”÷ e v” , não colineares, é chamado uma base. Dizemos que w”÷÷ é combinação linear de u”÷ e v” . Dize-mos também que o vetor xu”÷ é a projeção de w”÷÷ sobre a direção u”÷ segundo a direção v” . Do mesmo modo, yv” é a projeção de w”÷÷ sobre a direção v” segundo a direção u”÷ .

A equação w”÷÷ = xu”÷ + yv” é equivalente ao sistema linear de equações

u1 x + v1 y = a,

u2 x + v2 y = b.

A solução deste sistema de equações fornece as coordenadas do vetor (a, b) com respeito à base formada pelos vetores u”÷ = (u1 , u2 ) e

v” = (v1 , v2 ).

In[30]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 2.5<, 8−1, 2.5<<,Axes → False, Epilog → 8Text@"xu”", 81, −0.2<D, Text@"u”", 82, −.2<D,

Text@"v”", 8−0.7, 1<D, Text@"yv”", 8−1.2, 2<D, Text@"w”", 81.1, 2.1<D<,DisplayFunction → IdentityD, ListPlot@882, 0<, 81, 2<, 8−1, 2<<,PlotJoined → True, PlotStyle → [email protected]<D<,DisplayFunction → IdentityD, Graphics@8Arrow@80, 0<, 83, 0<D,

Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D, Arrow@80, 0<, 81, 2<D, Arrow@80, 0<, 82, 0<D,Arrow@80, 0<, 8−1ê2, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,


xu” u”

v”

yv” w”


Exemplo

Seja exprimir o vetor w”÷÷ = (7 ê 3 , -8 ê 3) como combinação linear de u”÷ = (1 , 2) e v” = (-1 , 2).

Podemos escrever (3/3, - 8/3) = x (1, 2) + y (-1, 2) ou ainda

x - y = 7/3;

2x + 2y = - 8/3.

Resolvendo este sisyema:

In[34]:= Solve@8x − y == 7ê3, 2 x + 2 y == −8ê3<, 8x, y<D

Out[34]= 99x →12

, y → −116

==

Logo, w”÷÷ = 1/2 u”÷ - 11/6 v” .

As bases mais usadas na prática são as bases ortonormais. Diz-se que uma base é e”1 e e”2 é ortogonal se os vetores que a compõem são ortogonais e têm módulos unitários, isto é, e”1 . e”2 = 0, |e”1 | = |e”2 | = 1.

Neste caso é fácil determinar as componentes de um vetor w”÷÷ qualquer: w”÷÷ = xe”1 + ye”2 .

Para se obter x multiplicamos escalarmente esta equação por e”1 :

w”÷÷ . e”1 = x (e”1 . e”1 ) + y (e”2 . e”1 ) = x.

Analogamente, multiplicando-se a equação escalarmente por e”2 , obtemos y = w”÷÷ . e”1 , logo

w”÷÷ = ( w”÷÷ . e”1 ) e”1 + ( w”÷÷ . e”2 ) e”2 .


In[85]:= ShowAPlotA0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 3<, 8−.5, 2.5<<,

Axes → False, Epilog → 9Text@"e”2", 8−.6, .8<D, TextA"e”1

”", 8.8, .7<E,

Text@"w”", 81.1, 2.1<D, Text@"w”÷ . e”1", 82.1, 1.2<D,

Text@"w”÷ . e”2", 8−1, 2.2<D=, DisplayFunction → IdentityE,


[email protected], .8<, 81, 2<, 8−.6, 1.3<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2.5<D,Arrow@80, 0<, 82, 1<D, Arrow@80, 0<, 81, .5<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D,Arrow@80, 0<, 8−.5, 1<D, Arrow@80, 0<, 8−1, 2<D,Arrow@80, 0<, 81, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,


e”2 e”1”

w”

w”÷ . e”1

w”÷ . e”2

Nos Exercícios 1 a 27 determine as componentes de cada vetor dado relativamente à base u”÷ = (2 , -1) e v” = (1 , 1). Faça gráficos em cada caso.

Para cada vetor podemos escrever (w1 , w2 ) = x (2, -1) + y (1, 1) ou ainda

2 x + y = w1 ,

- x + y = w2 .

1.In[27]:= 8w1, w2< = 81, 2<;

Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D

Out[28]= 99x → −13

, y →53==


In[54]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2.5<, PlotRange → 88−1.5, 3<, 8−2, 2.5<<,Axes → False, Epilog → 8Text@"u”", 82, −1.2<D, Text@"v”", 8.9, .7<D,

Text@"w”", 81.1, 2.1<D<, DisplayFunction → IdentityD,ListPlot@881, 0<, 81, 2<, 80, 2<<, PlotJoined → True,

PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,Graphics@8Arrow@8−1, 0<, 82.5, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2.5<D,

Arrow@8−1, .5<, 82, −1<D, Arrow@8−1, .5<, 82.5, −1.25<D,Arrow@80, 0<, 81, 1<D, Arrow@80, 0<, 82, 2<D,Arrow@80, 0<, 81, 2<D<, DisplayFunction → IdentityD,


u”

v”

w”

2.In[25]:= 8w1, w2< = 81, 0<;

Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D

Out[26]= 99x →13

, y →13==

3.In[23]:= 8w1, w2< = 80, 1<;

Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D

Out[24]= 99x → −13

, y →23==

4.In[21]:= 8w1, w2< = 8−1, −1<;

Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<DOut[22]= 88x → 0, y → −1<<

5.


In[19]:= 8w1, w2< = 8−1, 1<;Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D

Out[20]= 99x → −23

, y →13==

6.In[17]:= 8w1, w2< = 82, −2<;

Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D

Out[18]= 99x →43

, y → −23==

7.In[15]:= 8w1, w2< = 82, −3<;

Solve@82 x + y == w1, −x + y == w2<, 8x, y<D

Out[16]= 99x →53

, y → −43==

9.4 Equação Paramétrica de um Curva

Um modo muito conveniente de descrever uma curva no plano consiste em considerar as coordenadas x e y de seu ponto genérico P = (a, b) como função de uma única variável independente t:

x = x(t) e y = y(t)

A variável t é chamado de parâmetro destas equações e estas, por sua vez, são as chamadas equações paramétrica da curva. Podemos considerar o próprio vetor P = OP”÷÷ = (a, b) como função de t:

P = P(t) = (x(t), y(t)).

Este vetor costuma ser chamado vetor posição P .

Exemplo 1. As equações paramétricas do movimento de uma partícula lançada horizontalmente com velocidade v são dadas por

x = vt e y = gt2 ê 2

onde g é a aceleração da gravidade. Estas duas funções da variável independente t descrevem uma curva, que é a trajetória da particula.


In[8]:= H∗ Velocidade de lançamento v = 5 mês e g = 10 mês2 ∗LParametricPlot@85 t, −10 t^2ê2<, 8t, 0, 10<D;

10 20 30 40 50

-500

-400

-300

-200

-100

Exemplo 2. As equações paramétricas do movimento de uma partícula P em torno de uma circunferência de raio r são dadas por

x = r cos wt e y = r sen wt

onde w é a velocidade angular (radianos por segundo).

In[11]:= H∗ Velocidade angular ω = 2 rdês ∗LParametricPlot@8Cos@2 tD , Sin@2 tD<, 8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Exemplo 3.As equações paramétricas da ciclóide são dadas por

x = rq - r sen q e y = r - r cos q

In[12]:= H∗ r = 2 é o raio do círculo que gira sobre o eixo Ox .∗LParametricPlot@82 t − 2 Sin@tD , 2 − 2 Cos@tD<,8t, 0, 2 Pi<, AspectRatio → AutomaticD;

2 4 6 8 10 12

1

2

3

4


Uma função de uma variável real t representada por

f(t) = (x(t), y(t))

é denominada de função vetorial.

Exemplo 4. A função vetorial

P(t) = (sen t, cos2 t ), 0 § t § p/2

é equivalente às equaçõws paramétricas

x = sen t e y = cos2 t , com 0 § t § p/2.

Como sen2 t + cos2 t = 1, estas equações nos conduzem à equação cartesiana

y = 1 - x2

que é uma equação de um parâbola.

In[14]:= H∗ Ramo da parábola de 0 ≤ t ≤ πê2 ou de 0 ≤ x ≤ 1 ∗LParametricPlot@8Sin@tD , Cos@tD^2<, 8t, 0, Piê2<, AspectRatio → AutomaticD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exemplo 5. Traçar a curva de equações paramétricas

x = t3 e y = t2 , t real

Note que, da primeira equação, t = x1ê3. Substituindo na segunda equação, obtemos y = x2ê3 , ou ainda, x2 = y3 .


In[24]:= H∗ Gráfico da curva parametrizada Ht3, t2L com t real ∗LParametricPlot@8t^3 , t^2<, 8t, −10, 10<, PlotRange → 80, 20.1<D;

-60 -40 -20 20 40 60

5

10

15

20

Exemplo 6. Traçar a curva de equações paramétricas

x = t2 e y = t3 - t, t real

Notemos que x ¥ 0 e t = ±è!!!x . Substituindo estes valores na expressão de y, obtemos

y = è!!!x (x - 1) e y = -è!!!x (x - 1)

In[29]:= H∗ Ramo da parábola de 0 ≤ t ≤ πê2 ou de 0 ≤ x ≤ 1 ∗LParametricPlot@8t^2 , t^3 − t<, 8t, −2, 2<, PlotRange → 8−1, 1<D;

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

ExercíciosNos Exercícios 1 a 18 faça o gráfico das curvas de equaões paramétricas.dadas,obtenha as respectivas equações cartesianas.

1.

x = 2t, y = 3t - 1


In[5]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 2 t, y = 3 t−1 ∗LParametricPlot@82 t, 3 t − 1<, 8t, −1, 1<D;

-2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

2.

x = 1 - 3t, y = 1 + 3t

In[6]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 − 3 t, y = 1 + 2 t ∗LParametricPlot@81 − 3 t, 1 + 2 t<, 8t, −1, 1<D;

-2 -1 1 2 3 4

-1

1

2

3

3.

x = 2 + 5 cos t, y = 1 - 3 cos t

In[12]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 2 + 5 cos t, y = 1 − 3 cos t ∗LParametricPlot@82 + 5 Cos@tD, 1 − 3 Cos@tD<, 8t, −1, 1<D;

5.5 6 6.5 7

-1.8-1.6-1.4-1.2

-1-0.8-0.6

4.

x = t2 - 1, y = 3 t2 + 2


In[9]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t2 − 1, y = 3 t2 + 2 ∗LParametricPlot@8t^2 − 1, 3 t^2 + 2<, 8t, −2, 2<D;

-1 1 2 3

2468

101214

5. x = 5et , y = 2 - 3et

In[9]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 5 et, y = 3 et + 2 ∗LParametricPlot@8t^2 − 1, 3 t^2 + 2<, 8t, −2, 2<D;

-1 1 2 3

2468

101214

6. x = 3t, y = 3 t2

In[13]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 3 t, y = 5 t2∗LParametricPlot@83 t, 5 t^2<, 8t, −2, 2<D;

-6 -4 -2 2 4 6

5

10

15

20

7.

x = t - 2, y = t2


In[18]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t − 2, y = t2∗LParametricPlot@8 t − 2, t^2<, 8t, −4, 4<D;

-6 -4 -2 2

2.55

7.510

12.515

8. x = t + 1, y = t2 - 2

In[19]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t + 1, y = t2 − 2∗LParametricPlot@8 t + 1, t^2 − 2<, 8t, −2, 2<D;

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

9. x = t2 + 2, y = t - 1

In[20]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t2 + 2, y = t − 1 ∗LParametricPlot@8 t^2 + 2, t − 1<, 8t, −2, 2<D;

3 4 5 6

-3

-2

-1

1

10.

x = sen t, y = cos 2t , -p/2 § t § p/2


In[21]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = sen t, y = cos 2 t, −πê2 ≤ t ≤ πê2∗LParametricPlot@8 Sin@tD, Cos@2 tD<, 8t, −Piê2, Piê2<D;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

11. x = t - 1, y = t3 + 1

In[25]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t − 1, y = t3 + 1 ∗LParametricPlot@8 t − 1 , t^3 + 1<, 8t, −1, 1<D;

-2 -1.5 -1 -0.5

0.98

0.99

1.01

1.02

12.

x = t3 - 2, y = 2 t + 1

In[26]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = t3 − 2, y = 2 t + 1 ∗LParametricPlot@8 t^3 − 2 , 2 t + 1<, 8t, −2, 1<D;

-2.3 -2.2 -2.1 -1.9 -1.8

-3

-2

-1

1

2

3

13.

x = 3 cos t, y = 2 sen t , 0 § t § p.


In[27]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 3 cos t, y = 2 sen t, 0 ≤ t ≤ π∗LParametricPlot@8 3 Cos@tD, 2 Sin@tD<, 8t, 0, Pi<D;

-3 -2 -1 1 2 3

0.5

1

1.5

2

14. x = 1 + 5 sen t, y = 3 cos t - 2 , -p § t § p.

In[28]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 + 5 sen t,y = 3 cos t − 2, 0 ≤ t ≤ π∗L

ParametricPlot@8 1 + 5 Sin@tD, 3 Cos@tD − 2<, 8t, −Pi, Pi<D;

-4 -2 2 4 6

-5

-4

-3

-2

-1

1

16.

x = 2 cos2 t, y = sen t , 0 § t § p.

In[31]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = cos2 t, y = sen 2 t , 0 ≤ t ≤ π ∗LParametricPlot@8 2 Cos@tD^2, Sin@2 tD<, 8t, 0, Pi<D;

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

17.

x = 1 - cos t, y = sen t - 2 , -p § t § 0.


In[32]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 − cost, y = sen t − 2 , −π ≤ t ≤ 0 ∗LParametricPlot@8 1 − Cos@tD, Sin@ tD − 2<, 8t, −Pi, 0<D;

0.5 1 1.5 2

-2.8

-2.6

-2.4

-2.2

-2

18.

x = 1 + 1/t , y = t - 1/t

In[33]:= H∗ Traçar o gráfico da curva x = 1 + 1êt, y = t − 1êt ∗LParametricPlot@8 1 + 1êt, t − 1êt<, 8t, −1, 1<D;

-40 -20 20 40

-40

-20

20

40

9.5 Derivada de função vetorial

Diz-se que o vetor P(t) = (x(t), y(t)) tem por limite um vetor P0 = (x0 , y0 ), para t tendendo a t0 , se as compo-nentes de P(t) têm por limite as componentes de P0 , respectivamente, isto é

limxØ0 P(t) = P0 = ó limxØ0 x(t) = x0 e limxØ0 y(t) = y0 .

Diz-se que a função vetorial P(t) = (x(t), y(t)) é contínua num ponto t = t0 se limxØ0 P(t) = P0 . Como se vê, a continuidade de P(t) é equivalente à continuidade das suas componentes x(t) e y(t).

A função vetorial P(t) = (x(t), y(t)) é derivável se suas componentes são funções deriváveis e a derivada de é, então, definida por

P°(t) = P(t) = dPÅÅÅÅÅÅÅÅdt = ( dxÅÅÅÅÅÅÅdt , dyÅÅÅÅÅÅÅdt ).

Exemplo 1.


In[8]:= H∗ Determinar o vetor derivada da função vetorial P HtL = Ht2,t3−tL ∗LClear@tDD@8t^2, t^3 − t<, tD

Out[8]= 82 t, −1 + 3 t2<

Dadas uma função escalar f(t) e funções vetoriais u”÷ (t) e v” (t), todas deriváveis, então, valem as seguintes pro-priedades:

dÅÅÅÅÅÅdt [u”÷ (t) + v” (t)] = d u”÷ HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt + d v” HtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt ,

dÅÅÅÅÅÅdt [ f(t) v” (t)] = f'(t)v” HtL + f HtL v” ' HtL

dÅÅÅÅÅÅdt [u”÷ (t).v” (t)] = u”÷ ' (t).v” HtL + u”÷ (t).v” ' HtL .

Vale também a regra da derivação em cadeia: se u”÷ = u”÷ (s) é derivável em relação à variável s e s = s(t) é derivável em relação a t, então u”÷ = u”÷ (s(t)) é derivável como função de t e

dÅÅÅÅÅÅdt u”÷ HsHtLL = d u”÷ HsLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt . dsHtLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt

Comprimento de arco

O comprimento de arco s, contado a partir de um ponto A = P(a) de uma curva em forma paramétrica,

P = P(t) = (x(t), y(t)),

é dado por

s(b) = ‡a

b $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%H dxÅÅÅÅÅÅÅdt L2

+ I dyÅÅÅÅÅÅÅdt M2 „ t .

Exemplo 2. Vamos calcular o comprimento de arco dado por

x(t) = sen t - t cos t e y(t) = cos t + t sen t

onde -1 § t §1.

In[15]:= H∗ ∗LClear@tDx@t_D := Sin@tD − t Cos@tDy@t_D := Cos@tD + t Sin@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, −1, 1<D

Out[17]= 1

ExercíciosNos Exercícios 1 a 5 calcule o vetor tangente de cada curva dada e faça o gráfico.

1.

P(t) = r (sen wt, cos wt)


In[19]:= H∗ Derivada de P HtL= r Hsen ωt,cos ωtL ∗LClear@tD

D@8r Sin@ω tD, r Cos@ω tD<, tDOut[19]= 8r ω Cos@t ωD, −r ω Sin@t ωD<

2. P(q) = (rq - r sen q, r cos q - r)

In[21]:= H∗ Derivada de P HθL=Hrθ − r senθ, r cosθ − rL ∗LClear@tD

D@8r θ − r Sin@θD, r Cos@θD − r<, θDOut[21]= 8r − r Cos@θD, −r Sin@θD<

3.

P(t) = (t3 , t2 )

In[22]:= H∗ Derivada de P HtL=Ht3, t2L ∗LClear@tD

D@8t^3, t^2<, tDOut[22]= 83 t2, 2 t<

4.

P(t) = (et , e-t )

In[23]:= H∗ Derivada de P HtL=Het, e−tL ∗LClear@tD

D@8Exp@tD, Exp@−tD<, tDOut[23]= 8 t, − −t<

5.

P(t) = (t , 1 ê t ), t ∫ 0.

In[24]:= H∗ Derivada de P HtL=Ht, 1êtL ∗LClear@tD

D@8t, 1êt<, tD

Out[24]= 91, −1t2 =

Nos Exercícios 7 a 12 calcule os comprimentos dos arcos dados.

7.

P(t) = (t , t2 ), 0 § t § 1.


In[41]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht, t2L, 0 ≤ t ≤ 1. ∗LClear@tDx@t_D := ty@t_D := t^2Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, 1<D

Out[43]=14I2 è!!!5 + ArcSinh@2DM

8.

P(t) = (sen3 t , cos3 t ), 0 § t § p/2.

In[48]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Hsen3 t, cos3 tL, 0 ≤ t ≤ πê2. ∗LClear@tDx@t_D := Sin@tD^3y@t_D := Cos@tD^3Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, Piê2<D

Out[50]=32

9.

P(t) = (sen3 t , cos3 t ), 0 § t § p

In[51]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Hsen3 t, cos3 tL, 0 ≤ t ≤ π. ∗LClear@tDx@t_D := Sin@tD^3y@t_D := Cos@tD^3Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, Pi<D

Out[53]= 3

10. P(t) = (t2 , t3 ), -1 § t § 1.

In[54]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht2, t3L, −1 ≤ t ≤ 1. ∗LClear@tDx@t_D := t^2y@t_D := t^3Integrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, −1, 1<D

Out[56]=2

27I−8 + 13 è!!!!!!13 M

11.

P(t) = (t - sen t , 1 - cos t ), 0 § t § 2 p.

In[28]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht − sen t, 1 − cos tL, 0 ≤ t ≤ 2 π. ∗LClear@tDx@t_D := t − Sin@tDy@t_D := 1 − Cos@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 0, 2 Pi<D

Out[31]= 8


12.

P(t) = (t , log t ), 1 § t § 2.

In[66]:= H∗ Comprimento do arco de P HtL = Ht, log tL, 1 ≤ t ≤ 2. ∗LClear@tDx@t_D := ty@t_D := Log@tDIntegrate@Sqrt@D@x@tD, tD^2 + D@y@tD, tD^2D, 8t, 1, 2 <D êê FullSimplify

Out[68]= −è!!!2 +

è!!!5 − ArcCsch@2D + ArcSinh@1D

13.

Determine a equação da reta tangente à curva P(t) = (1 - t 2 , 1 + t ) no ponto P(2).

In[69]:= H∗ Equação da reta tangente à curva P HtL =

H1 − t2, 1 + tL no ponto P H2L. ∗LClear@tD

D@81 − t^2, 1 + t<, tDOut[69]= 8−2 t, 1<

In[9]:= t = 2;81, 2 t<.8x − 1 + t^2, y − 1 − t< 0 êê Simplify

Out[10]= x + 4 y 9

In[58]:= Show@ParametricPlot@881 − t^2, 1 + t<, 8t, −tê4 + 9ê4<<,8t, −3, 3<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@88−3, 3<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-8 -6 -4 -2 2

-2

-1

1

2

3

4

13.

Determine a equação da reta tangente à curva P(t) = (t , 1/ t ) no ponto P(1/2).

In[24]:= H∗ Equação da reta tangente à curva P HtL = Ht, 1êtL no ponto P H1ê2L. ∗LClear@tD

D@8t, 1êt<, tD

Out[25]= 91, −1t2 =


In[13]:= t = 1ê2;8−1êt^2, −1<.8x − t, y − 1êt< 0 êê Simplify

Out[14]= 4 x + y 4

In[16]:= Show@ParametricPlot@88t, 1êt<, 8t, −4 t + 4<<,8t, 0, 1<, PlotRange → 80, 10<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@881ê2, 2<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

0.2 0.4 0.6 0.8 1

2

4

6

8

10

15. Determine o ângulo entre as retas às curvas P(t) = (t, t 2 - 1) e Q(t) = (t, (t - 1L2 ) no ponto onde ela se interceptam.

In[21]:= H∗ Determine o ângulo entre as retas tangentes às curvasP HtL =

Ht, t2 − 1L e Q HtL = Ht, Ht − 1L2L no ponto onde ela se interceptam. ∗LClear@tDu@t_D = D@8t, t2 − 1<, tDv@t_D = D@8t, Ht − 1L2<, tD

Out[22]= 81, 2 t<Out[23]= 81, 2 H−1 + tL<

In[146]:= Solve@ t2 − 1 == Ht − 1L2, tDOut[146]= 88t → 1<<

In[147]:= ArcCos@[email protected]@1DêHSqrt@[email protected]@1DD Sqrt@[email protected]@1DDLD

Out[147]= ArcCosA 1è!!!5

E


In[34]:= Show@ParametricPlot@88t, t2 − 1<, 8t, Ht − 1L^2<<,8t, −1, 2<, DisplayFunction → IdentityD,

ListPlot@881, 0<<, PlotStyle → [email protected]<,DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@81, 0<, 82, 0<D, Arrow@81, 0<, 82, 2<D<,DisplayFunction → IdentityD, DisplayFunction → $DisplayFunctionD;

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-1

1

2

3

4

9.6 Coordenadas polares

As coordenadas polares de um ponto P = (x, y) do plano são as distâncias r = OP ¥ 0 e o ângulo q que o raio OP faz com o eixo Ox.

In[57]:= Show@Plot@0, 8x, 0, 2<, Axes → False,Epilog → 8Text@"O", 8−0.12, −0.12<D, Text@"P", 81.6, 1.1<D,

Text@"x", 81.5, −.1<D, Text@"y", 8−.1, 1<D, Text@"r", 8.7, .6<D,Text@"θ", 8.3, .07<D<, DisplayFunction → IdentityD,

[email protected], 0<, 81.5, 1<, 80, 1<<, PlotJoined → True,PlotStyle → [email protected]<D<, DisplayFunction → IdentityD,

Graphics@8Arrow@8−.5, 0<, 82, 0<D, Arrow@80, −.5<, 80, 2<D,Arrow@80, 0<, 81.5, 1<D<, DisplayFunction → IdentityD,


O

P

x

y

r

θ


As cordenadas cartesianas x, y de um ponto P são obtidas de suas coordenadas polares r, q mediante as equações:

x = r cos q e y = r sen q.

Por outro lado, as cordenadas polares r, q de um ponto P são obtidas de suas coordenadas cartesianas x, y mediante as equações: . r = è!!!!!!!!!!!!!!!!!x2 + y2 e q = arc tg yÅÅÅÅx .

In[58]:= << Graphics`Graphics`

ExemploIn[8]:= H∗ Coordenadas polares de um circunferência de raio r ∗L

A equação da cincunferência de raio r em coordenas polares é dada por

r = d cos

sendo d = 2r o diâmetro da circunferência e -p/2 § q § p/2.

In[67]:= PolarPlot@2 Cos@tD, 8t, −Piê2, Piê2<D;

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

Exemplo In[8]:= H∗ Traçar o gráfico da curva de equação r = cos 2 θ ∗L

In[63]:= PolarPlot@Cos@2 tD, 8t, −3 Piê4, 5 Piê4<D;

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1


com mathematica -...

Documents