Kássia Maria Marcilio RA: 044457 Prof. Márcio Rosa

2

Índice

Introdução pág. 3 Funções pág. 4 Limite pág. 5 Limite global pág. 5 Limite lateral pág. 5 Derivada pág. 7 Derivada de uma constante pág. 7 Regra da Potência pág. 7 Regra do Produto pág. 8 Regra do Quociente pág. 8 Regra da Cadeia pág. 8 Derivadas superiores pág. 9 Integral pág. 10 Integral Indefinida pág. 10 Integral Definida pág. 11 Área sobre Gráfico pág. 11 Área entre curvas pág. 13 Área de sólidos de revolução pág. 15 Gráficos pág. 18 Otimização pág. 18 Máximo e Mínimo pág. 19 Bibliografia pág. 21

3

Introdução

São muitas as contribuições de vários matemáticos para o nascimento do Cálculo. Porém, aqueles que proporcionaram a união dos dados conhecidos a este respeito e um posterior aperfeiçoamento de técnicas foram Newton e Leibniz, que deram origem aos fundamentos mais importantes do Cálculo: as Derivadas e as Integrais.

O Cálculo pode ser dividido em duas partes: uma relacionada às derivadas ou Cálculo Diferencial e outra parte relacionada às integrais, ou Cálculo Integral.

“O Cálculo” é uma expressão adotada pelos matemáticos para se referir à ferramenta matemática usada para analisar variações que ocorrem em fenômenos. Quando do seu surgimento, no século XVII, o cálculo tinha por objetivo resolver quatro classes principais de problemas científicos:

1. Determinação da reta tangente a uma curva, em um dado ponto. 2. Determinação do comprimento de uma curva, da área de uma região e

do volume de um sólido. 3. Determinação dos valores máximo e mínimo de uma quantidade, por

exemplo, as distâncias máxima e mínima de um corpo celeste a outro, ou qual ângulo de lançamento proporciona alcance máximo a um projétil.

4. Conhecendo uma fórmula que descreva a distância percorrida por um corpo, em um intervalo qualquer de tempo, determinar a velocidade e a aceleração.

Atualmente, o estudo do Cálculo passa por um importante aperfeiçoamento, com a utilização de programas matemáticos que auxiliam no estudo.

Neste pequeno tutorial, iremos dar uma volta pelo estudo do Cálculo através do Mathematica, um programa que nos proporciona um estudo visual desta matéria tão importante para nossas vidas.

4

Funções

O Mathematica divide as suas funções em “áreas” de estudo. Por exemplo, temos: funções numéricas, funções matemáticas, funções algébricas, funções de matrizes e funções gráficas. Estas opções podem ser encontradas no Help do programa. Neste texto vamos nos concentrar nas funções do cálculo, que podem ser encontradas em “Algebric Computations Calculus”.

Dentro destas opções temos: • D: retorna o valor da derivada parcial. • Integrate: retorna o valor da integral indefinida • Limit: retorna o valor do limite.

Vamos estudar a fundo cada uma destas funções.

5

Limites O limite é entendido como o valor que a função atinge quando deixamos o

valor da variável tão próximo de L quanto se queira. No Mathematica, o limite é calculado da seguinte maneira:

Este exemplo de limite calcula o limite direito e esquerdo da função, isto é,

quando a funções assume valores negativos e positivos tão próximos de 3. Mas podemos calcular estes valores em separado.

O parâmetro Direction é utilizado para a definição de qual limite lateral estamos querendo. Ele recebe os valores –1 e 1, que significa valores menores que L e maiores que L, respectivamente. (L representa o limite que queremos dar à função).

No exemplo acima, os limites laterais possuem o mesmo valor, mas isso não é regra geral. Quando uma função não está definida para um determinado

6

número, é necessário calcular os limites laterais e a função não possui um limite global.

A função tangente não está definida para π

2 , então a função não apresenta um limite global.

7

Derivada

A derivada é entendida, em um primeiro momento, como a inclinação da reta tangente de um ponto no gráfico. Mas ela é também utilizada nas resoluções de problemas de taxa de variação, e ajuda no traçado de curvas. A definição de derivada de uma função f é o limite de uma função quando o denominador tende a zero. Iremos ver, a seguir, algumas regras de diferenciação, suas aplicações e o aspecto que assumem no Mathematica.

1. Derivada de uma constante:

A derivada de uma constante é zero. Para a demonstração disto, é necessário a criação de uma constante, c, através do comando SetAttributes.

2. Regra da Potencia:

A regra da potencia nos diz que a derivada de uma função f(x) = xn é: f´(x) = nxn – 1, o que é observado na figura acima.

8

3. Regra do produto:

4. Regra do Quociente:

5. Regra da Cadeia:

9

As derivadas podem ser utilizadas para encontrar assíntotas de funções, achar pontos máximos e mínimos, mas isso será discutido quando falarmos de gráficos. Todas essas regras também podem ser aplicadas para derivadas superiores. Vejamos o exemplo:

Para realizar este tipo de cálculo, utiliza-se entre chaves o seguinte parâmetro {a, b} onde a representa a variável na qual está se derivando e b representa a qual derivada estamos nos referindo, no caso do exemplo acima, o 2 significa a derivada segunda.

10

Integral

A integral é também conhecida como a antiderivada de uma função, isto é, uma função y(x) cuja derivada seja f(x).

y´ (x) = f (x) A integral pode ser: indefinida e definida. No Mathematica, podemos

calcular ambas. Vamos ver como isto é feito. Algumas integrais indefinidas:

Para fazer o desenho da integral, coloca-se o seguinte comando: ´/Esc / int / Esc´ Irá aparecer o desenho da integral para colocar a função. Para colocar o d,

digita-se o comando: ´/Esc/ dd / Esc´ Estes comandos podem ser digitados ou obtidos na palheta de funções

11

Para cálculos como os de área, faz-se necessário o uso de integrais

definidas, no qual os limites de integração são utilizados e a integral retorna um valor, representando uma área.

Temos como exemplo o seguinte caso:

Ex. 43) Calcule a integral ‡05è!!!!!!!!!!25x2 x interpretando-a como a área

sob o gráfico de uma certa função. Podemos, primeiramente, obter o resultado desta integral, sem obter o

valor, somente a fórmula. Para isso, fazemos como se fosse uma integral indefinida. Depois podemos calcular o valor. Veja isto na figura abaixo:

12

Interpretando este resultado como a área sob um gráfico, concluímos que

este se encontra acima e a direita da origem do eixo x. Podemos comprovar isto na forma de um gráfico.

Gráficos serão vistos com mais detalhes no capítulo sobre Gráficos. Para o cálculo de área entre duas curvas, podemos utilizar o mesmo

raciocínio. Veja o exemplo:

13

Cap. 5.8 Ex. 21) Esboce a região delimitada pelas curvas dadas: y = 0 ; y = 25 – x2 Primeiro, igualamos a função para descobrirmos os limites de integração.

Neste caso, x = 5 e x = -5. Depois esboçamos as curvas neste intervalo.

Temos, no exemplo abaixo, a área entre as curvas y = x e y = 6 – x2

14

Inicialmente, iguala-se as duas funções e calcula-se os pontos de

intersecção. Isto pode ser feito através do comando Solve. Plota-se então o gráfico e calcula-se a integral definida para saber o volume entre as duas curvas.

15

Podemos também obter figuras de revolução. Isto é feito através do “Surfaces of Revolution”. Vejamos o exemplo abaixo:

Para a utilização deste comendo, é necessário, primeiramente, habilitar o

pacote de comandos, através de:

16

<< Graphics´SurfacesOfRevolution´ Este comando ira habilitar o pacote de funções. Temos na figura acima, o

paramento RevolutionAxis. Este comando nos permite a rotação da figura nos três eixos x, y, z, dando-lhe os valores necessários para a rotação que queremos produzir.

Para calcular a área da figura de revolução acima, podemos utilizar o método de seções transversais. Vejamos:

Temos nesta figura, o cálculo do volume de revolução do gráfico y = x2,

entre os pontos 0 e 2. No método de seções, a função é utilizada como a área da seção, e integrada nos limites que desejar.

Podemos ter a superfície de revolução gerada pela rotação de duas curvas. Vejamos:

Vemos nesta figura, a área gerada pelas duas curvas. Podemos gerar um

sólido através da rotação ao redor do eixo x. Vejamos:

17

Vemos nesta figura o sólido gerado e o valor das raízes. Podemos, através

da subtração das duas funções, calcular a área gerada. Veja:

18

Gráficos

Apesar de já termos falado de gráficos, vamos estudar um tipo muito especial: gráfico da derivada, que nos fornece os máximos e mínimos das funções. Vejamos o exemplo:

Ex. 2 – pág. 135 Uma chapa retangular de 5cm de largura e 8cm de comprimento. Cortam-

se quadrados coerentes com seus quatros cantos. A chapa resultante será dobrada de forma a formar uma caixa aberta. Qual será o valor de x para maximizar o volume da caixa?

Pelas informações do texto, teremos a equação V(x) = 4x3 – 26x2 + 40x.

Veja a resolução no Mathematica:

Temos, então, que o valor de x para maximizar o volume da caixa é 1, que

irá dar um volume de 18cm3.

19

Ex. (2) pág. 211 Trace o gráfico de 8 x5 − 5 x4 − 20 x3 e ache os máximos e mínimos:

Inicialmente, derivamos a função e achamos os pontos críticos. Em algum

destes pontos irá se encontrar os máximos e mínimos. Plotamos, então, o gráfico da função nos limitando a um intervalo próximo a estes valores. Veja:

20

Vemos, pela figura acima, que a função não possui máximos e mínimos globais dentro do intervalo que estamos considerando. Estes valores são dados pelos comandos “NMaximize” e “NMinimize”. Estes comandos nos retornam os valores de máximos e mínimos globais da função.

O que temos neste intervalor são máximos e mínimos locais, que são retornados pelos comandos “FindMaximum” e “FindMinimum”, respectivamente.

21

Bibliografia

• Cálculo com Geometria Analítica, C. H. Edwards, Jr – David E. Penney, Vol. 1, Tradução: Alfredo Alves de Faria, Editora Prentice-Hall do Brasil Ltda., Rio de Janeiro, 1997.

• www.somatematica.com.br