Universidade Estadual de CampinasUNICAMP

Tutorial

MuPAD Light 2.5.2

para windowsEzzizis Carvalho Costa Alegre

RA:047085 MA111, TurmaC Janeiro de 2006

Índice

Introdução............................................ Oque é MuPAD.................................. Como Obtê-lo Pela Internet................ Iniciando o programa.......................... Equações............................................. Funções............................................... Derivadas ........................................... Intregrais............................................ Limites............................................... Gráfico................................................

Gráficos Bidimensionais...................... Gráficos Tridimensionais................... Exercício Máximo Mínimo................ Comandos úteis...................................

Introdução O presente tutorial consiste numa demonstração de comandos e de operaçõesdo MuPAD, que podem ser desenvolvidos em sistemas computacionais quecarregam o tal programa , quer desta versão, ou em outra, por indivíduos que têmdomínio nas áreas de cálculo ou em matemática.

Os comandos, que serão descritos, exige muita dedicação e muita organização daparte dos usuários. Este sistema computacional desenvolve trabalhos e estudosbásicos, mas também realiza operações complexas que envolvem gráficos ,funções , limites , Integrais entre outras, que compõem as ferramentas do cálculo eda geometria analítica. A versão Mupad light 2.5.2 é a versão livre, mas já não está disponível para todos. Faremos uma breve apresentação deste programa, das suas versões e restrições, edeixaremos explicitamente os comandos de execução e os seus respectivosexemplos. O objetivo principal deste trabalho é ensinar e promover estudos sobre o Mupad edesfrutar de recursos que compõem o sistema, com o fim de levar o aluno , professore demais, aperfeiçoar e ampliar cada vez mais os seus conhecimentos científicos

Anteriormente os estudos ligados a esfera de cálculo, eram desenvolvidosmanualmente sem a presença de calculadoras ou de outra técnica científica , porpessoas que demostram talento e dedicação, para toda a humanidade , dispondo atéhoje ferramentas que são extremamente importantes para o progresso e odesenvolvimento intelectual de cada homem.

Deve-se realcar ou mesmo homenagear os matemáticos, fisicos, filósofos edemais , que formularam conceitos que até hoje são usados por todo universo emuito exaltado nos estudos científicos.Atualmente pode-se realizar um cálculo “complexo “ numa simples calculadora oumesmo num dos softwares de uma forma rápida e eficaz, que a tecnologia, emcomunhão, com a ciência nos oferece ,como é o caso do Mupad.

Mas espera-se que a homem saiba dar valor....

O QUE É MuPAD

Mupad é um sistema algébrico computacional desenvolvido pelo MuPADResearch Group na Universidade de panderborn(Alemanha), sob a direção doprofessor B.Fchssteiner.Este projeto teve início em setembro de 1989 , com a tese de mestrado de KarstenMorisse e Oliver Kluge . Andreas Kemper, em sua tese de mestrado, desenvolveulinguagem de programação MuPAD, semelhante em diversos aspectos ao Pascal -linguagem de programação de aprendiozado relativamente fácil. A palavra” MuPAD” advém do expressão mupas que foi substituido em 1990 pelaexpressão atual representando, por um lado a ( Multi Processing Algebra DateTool, ferramenta de processamento de dados algébricos ) e por outro o local deorigem do projeto ( universidade de Panderborn).

Existe duas versões para windows ; uma Pro(v 2.5.3) e Light(v 2.5.2). A versão Pro 2.5.3 do Windows dispõe de uma interface mais amigável e pode serutilizada para fins comerciais. Atividades comerciais devem pagar US$500 ,00 oumais por uma licença individual; usuários governamentais ou acadêmicos pagamUS$ 300.00, e alunos US$ 100,00. Pode-se experimentar essa versão por 30 diascom recursos limitados

A versão Light 2.5.2 é a versão livre , disponível para todos que desejam disfrutardeste sistema. Atualmente esta versão não existe no mapa do download do site noprograma Em 2003 , estava presente e disponível para todos, que quizessem baixar e instalá-lo no seu computador.No presente ano deste tutorial esta versão é quase inexistente.A versão light é muito eficaz funciona em windows 98, 2000 , XP mas não se adequaao windows 3.1 Com o desenvolvimento da ciência surgiram novas versões e indicações de comobaixar e instalar no computador, é o caso de Macintosh, Linux, Unix,etc.

COMO OBTÊ-LO PELA INTERNET

Como já fiz referência, a versão light é quase inexistente, pode-se obtê-laatravés de pessoas que baixaram e instalaram em seus computadores, no períodoque este ainda estava disponível, e agora estão partilhando às outras pessoas. Para ter acesso a demais versões, basta acessar o site www.mupad.com e fazer odownload. O site contem informações de natureza importantes, que podem servir deorientação no estudo ou pesquisa de outras versões . Fica desde já uma dica para os usuários que desejarem ampliar seus conhecimentostanto acadêmicos como ciêntificos.

O site contém novas versões que atualmente não são gratuitas, para se usufruirdelas deve-se disponibilizar uma certa quantia em dinheiro, como já havia citado,para ter acesso a este programa.As versões presente no site, são todas apresentadas na forma “ Mupad Pro” ,estasfuncionam em microsofts também diferentes. Vejam algumas versões disponíveis no site :A nova versão MuPAD Pro 3.1, adequada ao Windows, a versão MuPAD Pro2.5.3 e MuPAD Pro 3.1 .1 para Macintosh., a versão MuPAD Pro 3.2 para Linuxe Mupad pro 2.0 para Microsoft wold

Pode-se ver que as versões se encaixam ao modelo do programa que é instalado nocomputador, por isso é extremamente importante que as pessoas estejam beminformadas sobre o programa.

Tendo acesso ao software, dever-se baixá-lo e salvá-lo no computador e logo aseguir fazer a instalação.Na área de trabalho do windows aparece um ícone do programa. Antes prosseguir, quero fazer referência a duas situações que podem vir a ocorrerquando for instalado o programa. - Aqueles que forem portador de um computador pessoal poderá fazê-lo facilmenteseguindo os procedimentos que serão descritas a seguir:clicando em cima do atalho e logo a seguir o comando executar. Aparece umacaixa de diálogo com algumas informações e opções para o usuário; Seguindotodos passos, o programa será instalado.

Caso o seja um aluno ou mesmo, um professor no qua,l não tem na sua posse um

– computador deverá pedir uma licença na instituição na qual estuda ou trabalha

para fazer a instalação do programa.– Desta forma o programa será instalado ( por um técnico), e o mesmo já

estará capacitado para iniciar.

Tanto no primeiro caso como no segundo a primeira vez que iniciar o programa, oprograma exigirá um nome e uma senha pessoal de bloquei e de uso pessoal.

A senha e o nome, são importantes para que o programa não funcione comlimitações. A senha aceita são de usúários que possivelmente teriam baixado pelaprimeira vez no seu computador quando o programa ainda estava no ar.Caso contrário o programa poderá sofrer interrupções, e sempre um aviso será dadoquando o programa é utilizado.

Cumprindo todas as normas, o programa está pronto para ser usado.

Iniciando o programa

A janela do MuPAD light é composta por uma barra de menus, por umabarra de ferramentas e por um espaço denominado, área de trabalho.

O menu do programa serve de auxílio por possível dificuldade que se possater quando da execução. É composto pelos comandos File, Edit, View, Session eHelp; que posteriormente faremos referência quando estaremos explicando asnoções de cada comando. As ferramentas são componentes dos menu, cumprem asmesmas funções mas, são mais rápidas de serem utilizadas

A área de trabalho é representada por uma tela branca, nesta área todos as trabalhossão executados

O Mupad Light, versão 2.5.2, para windows, possui recursos suficientespara realizar operações básicas e complexas, ela funciona em parte como umacalculadora , como já fiz referência. A primeira coisa que se apela, é muita atenção e muita organização . Esteprograma é muito sensível ao uso, um simple erro de sintaxe e comando , podesignificar erro em toda operação .

Deve-se tomar muito cuidado com as letras maiúsculas e minúsculas , sendo estesmuitas vezes o motivo de muitos erros.

Cada linha do promp começa com um símbolo “ ”

Os comandos a serem executados(input) aparecem em vermellho enquanto asrespostas do programa( output) surgem em azul um pouco abaixo e distanciadas.Este padrão pode ser modificado através dos menus View -> Options: Botões InputRegions e Output Regions, domonstradas a baixo:

No Mupad os comandos executados não podem ser avaliado novamente namesma linha input . Este programa não permite que se faça alteração do conteúdodepois de avaliá-lo. É necessário que se escreva novamente na linha corrente doprompt.

Para se avaliar a linha da operação basta pressionar a tecla “Enter”. A mudânça de linha para divisão de um mesmo problema é feita com a

combinação das teclas “Enter + Shift”.Os comandos são os mesmos para apagar: “Bakspeace” e “Delete “

O programa realiza operações básicas com comandos e símbolos idênticos

aos outros sistemas computacionias de cálculo. É o caso da Adição, Subtração,Divisão, Potenciação e Multiplicação .

Representadas da seguinte forma :Adição: +Subtração:-Divisão : /Potenciação: ^Multiplicação: *

No mupad, o número decimal é separado por um “ponto” e não por uma

vírgula. O mupad entende a vírgula como a separação de números, que nãopossuem relação entre si, ou mesmo de operações. Vejamos agora alguns símbolos de uso do programa:

“=” Significa igualdade “!” Significa fatorial“:=” Representa a atribuição para valiar expressões mais vezes

Exemplos:

PARENTESES, CHAVES E COLCHETES

As operações no mupad mais complexas, exigem a utilização de outros

símbolos, como parênteses e chaves. Chaves “{..}” consiste em agupar uma ou mais expressões do mesmo problema .

Parênteses “ (..)” o mais usual neste programa, é usado para associar e ordenaras expressões. O uso das chaves são em última instâncias consequência dosparêntese quando este é insuficiente .Colchetes “ [ ]” são usados em alguns casos especiais. Veja o exemplo:

Note que a expressão PI foi utilizado pelo próprio programa. A expressão PI

tem o seu significado própio e nãodeve ser cunfundido, neste caso simboliza avariável “x”. Seria a mesma expressão definida acima mas com a variável diferente.

COMANDOS ÚTEIS DE ENSINAMENTOS E APRENDIZADOS

MuPAD também dispõe comandos de ajuda : info e o help

O inf esclarece a função de cada comando e das variáveis .No caso dos comandos ela diz a sua função e as variáveis diz as suas propriedades. Para obter o resultado é necessário que os parâmetros estejam entre parênteses:

O help exige parâmetros entre parênteses e entre aspas. Um modo mais fácil deutilizá-lo é digitar o ponto de interrogação (“ ? ”)antes da palavra ser pesquisada.

Para obter os resultados em expressões numéricas basta usar a função float. OMuPAD tem por padrão utilizar manipulações algébricas sempre que possível veja o exemplo:

1

Do mesmo modo que se expressa termos não exatos em casas decimais pode-sedefinir a quantidade de casa a se obter através do comando DIGITS. O DIGITS representa a quantidade de casas decimais a serem impressas toda vezque um valro numérico é desejado. O seu valor padrão é 10. Mas é só atribuir um valores neste esquema que eladetermina.Exemplo:

A barra invertida é sinal de superioridade e continuidade, superioridade da linhaprincipal e continuidade do resultado na linha abaixo. O MuPAD permite também que o resultado da expressão anterior seja obtidanovamente e relacionada com a questão principal. Este fato acontece com a ajuda docomando last(n). O last(n) é o valor atribuído ao n-ésimo output na ordem inversa, ou seja, 1 é oúltimo, 2 é o penúltimo assim sucesivamente, assumidos no lugar de “n”. Um exemplo torna as coisas mais claras

1 A primeira expressão o sistema repitiu a questão. O seno de 3 é um número não exato, para melhor precisão osistema retorna a pergunta.

EQUAÇÕES

A resolução de equações é feitas através do comando solve. A resolução deequações com apenas uma variável é calculada através do esquema solve(equations), deste modo ela definirá automáticamente a variável.Para duas ou mais equações e variáveis, o esquema é solve(equations, variável).Vejamos o exemplo de apenas uma variável.

Duas ou mais variáveis

2

Por outro lado existe duas formas possíveis de manipulações algébricas. Umadelas é expand, como diz o nome, tem a função de expandir expressões e a outrasimplify serve para simplicar. Todas as expressões devem ser envolvidas porparênteses:Exemplo

2 Equações e variáveis são envolvidas por chaves

Em certos casos , os dois comandos exercem a mesma função.

FUNÇÕES

Mupad define as funções usando os símbolos “ - > ” e “ :=” através doesquema variável-> função As variáveis são primeiramente definidas e logo a seguir as funções Observe atentamente os exemplos:

Para obter o resultado das variáveis basta atribuí-las um valor:

Funções de variáveis diferentes são agrupadas em parênteses como no exemplo:

As funções compostas são definidas conforme a definições

As funções trigonométricas comuns como hiperbólicas são representados pelomesmo esquema

As funções logarítmicas e exponenciais o parâmetro é quase o mesmo. Asfunções logarítmicas de( base a) é definida deste modo “log (b, x)”, sendo b umnúmero real, enquanto o logarítmo natural de base ´”E” expressa-se assim “ln(x)”Exemplo:

A função módulo é assim definida “ abs(x)”-> módulo de x

DERIVADAS

A derivada das funções são rapidamente calculdas através do operador D ouo apostrofe(f `) Tanto um como o outro exercem as mesmas funções, elas sediferenciam em pequenos casos particulares que demonstraremos em diante

Espie o exemplo:

3

3 Já foi feito referência, mas realça-se mais uma vez , o MuPAD utiliza outras variáveis em suas respostas, mas estasnão influências nas mesmas. O id representa a variável x

Para além do operador D existe o diff. O comando diff é utilizado paradistinguir a função e a variável, através do esquema diff (função, variável).Algumas funções são muito restritas e exige que se explicite as suas variáveis:

Exemplo:

Observação

Se aplicarmos a operador D na função D (sinh(x)), por exemplo, o sistemanão endenderá x como uma variável , entenderá o mesmo, como um númeroqualquer. Por isso ela repete a mesma expressão.Resumidamente , pode-se ver que as funções e as variáveis quando sãoprimeiramente definidas podem ser aplicadas o operador D, caso contrário não.Então fica aí uma alerta. O operador D somente é utilizado depois das funções seremdefinidas , caso contrário o uso será o diff .

Ambos realizam derivadas de ordem superior. Segunda derivada D'', f'', diff'', assim sucesivamente, conforme a sugestão dousuário.

INTEGRAÇÃO

Para a integração o programa utiliza o operador “int”. É análogo aos esquema demostrados acima.

Vejam só: “int(função , variável )”, para integrais indefinidas

“ int( função, variável =mínimo..máximo)” para integrais definidas. No caso de interagais definidas , os intervalos são separados por dois pontos “..”identificando por um lado o limite mínimo e por outro o limite máximo.

A continuidade e descontinuidade das funções têm de ser verificadas antes deatribuir os intervalos . As vezes podem ocorrer erros na montagem da expressãoproveniente da continuidade e descontimuidade. Os erros são avisados com umamensagem desse tipo

O limite pode dar uma ajuda para encontrar as descontinuidades

LIMITES

O cálculo de limite é representado em três formasCálculo de limite pela esquerda(se existir) “ limit (função, x=a, Left)” Exemplo:

Cálculo de limite pela direita( se exixtir) “ limit (função, x=a, Right)”

Exemplos:

Cálculo de limite bidirecional (se existir) “limit (função,x=a)”

Exemplo:

GRÁFICOS

A construção dos gráficos, considero, que seja a parte mais delicada e maisagradável do programa. Os gráficos devem ser plotados conforme os comandos.Requer muita atenção e domínio no que se está a fazer.

Os gráficos são todos realizados através da biblioteca Plot e exibidos naVCamLight.Quando se está usando o MuPAD , qualquer comando Plot também abrirá o Vcam,a menos que o comando esteja incorreto

Existe duas forma de operação de câmera: uma para gráficos de duasdimensões e outra para gráficos de três dimensões. Os gráficos de duas dimensões são controlados através das ferramentasZoon, enquanto de trés dimensões têm a vantagem de rotacionar a imagem depoisde plotada. O mupad plota curvas, tanto em duas como em três imensão , superfícies , curvasde níveis e campos vetoriais.

Qualquer gráfico pode ser salvo como uma imagem no formato VC e aberto sem anecessidade de se executar o programa

Como a janela MuPAD, a janela Vcam Light é composta pela barra de menue pela barra de ferramentas..As duas primeiras ferramentas , mostradas na tabela abaixo, apenas funcionam emgráficos 2D, permite ampliar ou reduzir o tamanho da imagem. As quatroseguintes permitem girar gráficos 3D para se obter um melhor ângulo. Os doisúltimos mudam a perspectiva , como se observador estivesse mais perto ou maislonge da imagem.

GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS

Existem diversas opções de construção de gráficos bidimensionais Vamos começar falando do comando plotfunc2d

Plotfunc2d

Com este comando as funções são facilmente plotadas e sem necessidade deespecificação de alguns parâmetros, mas este é muito limitado.Exemplos:

4

As imagens dos gráficos podem ser alteradas, atribuindo valores as intervalos X e Y ,vamos partir como o exemplo da função cúbica f(x) =X^3Vejam só:

As vezes é útil exigir maior precisão do computador: o gráfico acima não apresentatoda imagem.

Compare agora dois gráficos da mesma função f(x)= x*cos(1/x^2) definidas pelo

4 Neste exemplo a função foi definida antes de plotada. É um critério pessoal, pode-se aplicar a função diretamente nocomamdo como plotfunc2d(x^3), a solução será a mesma.

intervalo x e y

A opção Grid =n serviu para remover os pontos excessivos para a montagem dográfico mais rápido. No lado esquerdo vê-se o gráfico de 10 pontos, onde pode-seobservar com melhor precisão a imagem enquanto que do lado direito de 100 pontosnão.Os erros de aproximação númerica são mais visíveis na função a esquerda do que dadireita.

Plot2d

O comando plot2d é usado para curvas parametrizadas. plot2d ( [Mode = Curve, [x(t), y(t) ], t = [ a , b ] ] ) Observe o exemplo:

Cos(2*x) e sin(2*x) representam a função x(t) e y(t) apresentados no esquema.Estas duas servem como demonstração das duas funções.

Através deste comando pode-se definir também pontos e formas geométricaspara compor diversas funções em um único gráfico, na forma de uma lista ( Mode=List )Caso queiramos mudar o estilo das nossas curvas ou mesmo das superfícies podemosalterar as varáveis com novas opções e atribuido-as algumas cores .

As cores no mupad são representadas pelo esquema Color = [R,G ,B], isto é,são necessários três números que variam de 0 à 1. Esta especificam a quantidade decada cor, que comporão os pontos [ 0,0,0] correspondente ao preto e [1,1,1] aobranco.O mupad já possui consigo cores padronizadas que podem ser acessadas usando oesquema “RGB = Cor” , por exemplo “RGB=vermelho”Existe três modos de coloração : Flat(cor única), Height( gradiente, que variaconforme a altura) e function(função definida pelo usuário). Em geral a Height é amais utilizada, por dar alguns graficos melhor aparência.

Exemplo:

Para além de plotar pontos do gráfico o mupad pode também plota polígnos.O esquema é polygon(a, b,c,< opções>.), sendo o “a,b,c “ os pontos e “opções “as opções, quanto a cor , altura, preenchimento e fechado .A opção Filled(preenchido) e Closed (fechado).

Plot

O comando plot possui diversas opções e modo de plotagem. Ela é a mais “eficaz ” pois todos os objetos podem ser plotados nele.Ela carrega consigo três subcomandos: “Plot ::Implicit”, para funções implicitas, “Plot: :Contour” para obter contornos e Plot: :Vectorfield para criar campos vetoriais.

Plot :: Implicit Como diz a expressão, o comando é usado para funções implicitasExemplo: f(x) x^3 + y^3 - 3*x*y

Para criar um conjunto de isotermas, basta adicionar o operador “contour”. Ocontour pode ser usado assim “contour = a” ou contour=[$ a..b],sendo “a e b”números reais.Tanto um como om outro traduz -se na mesma linguagem.O símbolo “$” é usado como uma abreviação.

Plot :: ContourA sintaxe do comando plot::contour( [ x, y , função )], x = a .. b, y = c ..

d) , difere dos anteriores. Gráficos gerado pelo Plot::contour costumam ficarmelhores . Para o mesmo efeito existe a opção Style = attached que gera uma imagemtridimensional.Observe os dois exemplos que se seguem :

Plot contour plota funções implicitas mas estas ficam ilegível, por isso temos queadicionar várias linhas de contorno.

Plot::Vectorfield

Este comando cria campos vetoriais bidimensionais. A quantidade de vetores édefinida por Grid=[x,y]. A utilidade dos campos vetoriais é servir como camposdirecionais.

Exemplo:

Pode-se fazer novas criações associando estilo de gráficos anteriores com docampos vetoriais.

Plotar uma função junto como outros objetos através do comando plot(sem usar oplot2d ou plofunctions2d), é necessário usar a opção Plot::functions

GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS

Os parámetros são análogos aos gráfico 2D. Uma das maiores vantagens dosgráficos tridimensionais no Mupad é que é possível ajustar em tempo real o ânguloda visão.As opções de estilo dos gáficos podem ser encontadas através do menu View>Options. Esta janela contem duas formas de estilo de gráficos que explicareilogo a seguir.

A primeira diz respeito a formatação de gráficos depois de plotados, ou seja, o estilodos eixos, a quantidade de marcas, cores ,etc. A segunda informa, de como devem ser plotados os objetos, Tipos e Detalhes,que devem ser encarados pra montar a imagem

Observe imagem de algumas funções mostradas acima, mas agora em trêsdimensões:

Plot3d

Não há muito que dizer sobre os comandos apresentados, estes foramutilizados em gráficos de duas dimensões

Neste caso usamos a opção Surface para os dois parâmetros e atribuimos nova cora imagem. Explicações que já foram dadas anteriormente.

Conclusão: Acabou-se de fazer uma breve explicação do que é MuPAD e do queeste sistema é capaz. Mupad tem capacidade de realizar coisas melhores do queestas, que anos após anos , poderemos usufruir.

EXERCÍCIO MÁXIMO E MÍNIMO

Uma chapa retangular de metal tem 5 metros de largura e 8 metros de comprimento.Cortam-se quadrados coerentes com seus quatro cantos . A chapa resultante deve serdobrada e soldadade modo a formar uma caixa aberta em cima (sem tampa).Como se pode obter com este processo uma caixa de voluma máximo?

Solução: A chapa, suponhamos de zinco , foi dobrada em seus cantos cortados eformou uma caixa aberta como demonstra o exmplo.Como podemos escolher x de forma que a caixa tenha volume máximo ?

Neste caso o volume, é V=x(5-2x)(8-2x) conforme mostra a figura, logoem relação a x será dado como V(x)= x(5-2x)(8-2x).

Sabe-se que a função V(x)= x(5-2x)(8-2x), varia entre x=0, x=5/2 ex=4 ,ou seja , 0 < x > 4

Com a ajuda do mupad vamos calcular a derivada da funçãoe achar os respectivos pontos críticos.

No primeiro caso determinamos a variável X como função de V. Logo depoisaplicamos o operador diff para a resolução da derivada.

Pode-se verificar que esta, não nos dá um resultado satisfatório. Portantorecorremos a resolução da equação para torná-la mais simples .

Nota-se que o MuPAD responde sempre com uma alternativa e nos diz o quedevemos fazer logo a seguir.. Tivemos que repetir a equação muitas vezespara torná-la mais simples possível.

Tivemos como resultado final os pontos críticos ou zeros da derivada.

Portanto tem-se:

Zeros da função x=0, x=5/3 , x=4

Zeros da Derivada x = 1, x= 10/3

Neste caso teriamos as seguintes soluções V(0)=0V(1)=18V(10/3)=-7,4

Resposta : O x terá que ser um de forma que caixa tenha volume máximo.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA

Alguns Comandos ùteis

Sintaxe

Atribuição: :=Declaração de função: f := x -> expressão

Declaração de sequência: $ a .. bInformação sobre variável/comando: info (expresssão)ajuda detalhada: help(“expressão”)Resolução de equações /sistemas : solve({x + y + z = a , x+ y + z = b }, { x, y, z}) Ré-utilização da última saida : last(1) ou % Desenvolvimento de expressões : expand (expressão)Simplificação de expressão :simplify( expressão)Remoção de valor de variáveis: delete x, y, z............... Precisão decimal exibida :DIGITS

Funções

Módulo:abs (x)Quadrática : sqrt(x)Logarítmica (x na base b): log(b , x)Exponencial:(exp(x)Trigonométrias : sin(x), cos(x), .....................Hiperbólicas :sinh(x), tan(x).................Trigonométricas Inversas: arcsin(x)...................

Cálculo

Limites: limt(f, x = a, Left / Right)Derivação: diff( f, x ) ou D ( f )Integração : int( f, x = a .. b )

Gráficos

Plotagem geral : plot(objet)plotagem de funções em 2 dimensões : plotfunc2d(f , x = a .. b )plotagem de funções em 3 dimensões :plotfunc3d(f, x = a.. b, y = a .. b)plogem de gráficos em 2 dimensões : plot2d( [ Mode = tipo, [.. ])plotagem de gráficos em 3dimensões :plot3d ( [ Mode = tipo, [...] )

objetos para função plot funções implicitasplot::implicit( [ expressão1, expressão 2,....] , x=a..b, y = c.. d

Curvas de nívelplot::contour ( [ x, y, z ]s = a..b, t = c..d, contours = [ e.. f] )

Campos Vetoriaisplot::vectorfield :( [ Vx, Vy ], x =a .. b, y = c. . d)

Superfícies Parametrizadsplot::Surface3d ( [ x, y , z], s = a..b, t = c..d )

Outras opções de gráficos Funções 2D: plot::function2d ( f, x = a .. b)Funções 3D:plot::functions3d(f, x= a..b, y= c.. d)Curvas 2D Parametrizadas: plot::curve2d ( [ x,y], t = [a..b])Curvas 3D parametrizads : plot ::curve3d ( [ x, y], t= a..b)

Algumas opções para gráficos

Color = [R,G,B], definição de coresGrid=n , definição de pontosGrid=[x,y] , definição de vetores