UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Faculdade de Ciências Aplicadas Trabalho de Cálculo II Prof. Márcio Rosa

Tutorial:

Wolfram Mathematica Versão 6.0 para Windows

Francisco Carlos Manesco Junior – RA 093764Cálculo II (LE209)20Semestre – 200926/11/2009

Índice

1 Introdução----------------------------------------------------------------------Página 3

2 Sobre o Wolfram Mathematica-------------------------------------------Página 4 2.1 História e atribuições--------------------------------------------------Página 4 2.2 Obtenção do programa-----------------------------------------------Página 4

3 Iniciando o uso do Mathematica-----------------------------------------Página 5 3.1Diretrizes gerais----------------------------------------------------------Página 5 3.2 Propriedades básicas--------------------------------------------------Página 6

4 Limites---------------------------------------------------------------------------Página 8

5 Derivadas-----------------------------------------------------------------------Página 9

6 Integrais-------------------------------------------------------------------------Página 10

7 Funções e equações---------------------------------------------------------Página 11

8 Construção de gráficos------------------------------------------------------Página 12 8.1 Gráficos Bidimensionais------------------------------------------------Página 12 Comandos: Plot

ParametricPlot PolarPlot

8.2 Gráficos Tridimensionais ----------------------------------------------Página 14 Comandos: Plot3D

ParametricPlot3D ContourPlot

SurfaceOfRevolution 9 Exemplo de aplicação do Mathematica----------------------------------Página 19

10 Conclusão----------------------------------------------------------------------Página 20

11 Bibliografia---------------------------------------------------------------------Página 21

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1- Introdução:

Os cursos de cálculo ministrados no ensino superior introduzem conceitos matemáticos até então não estudados pela grande maioria dos alunos e por isso podem parecer,à primeira vista,de elevada complexidade. Mas,ao longo do estudo entende-se a importância e a aplicabilidade da matéria para a grande área das ciências exatas. Graças a estudiosos como Newton e Leibniz, os fundamentos de cálculo foram organizados e desenvolvido didaticamente. Mais recentemente programas gráficos também auxiliam na resolução de problemas de cálculo, tais como o Wolfram Mathematica,que em sua versão 6.0,apresenta-se como um dos mais sofisticados softwares do ramo. O Mathematica pode ser usado para resolver os mais diversos tipos de problema,e esse tutorial tem por objetivo explorar alguns aspectos gerais e de extrema importância para o uso do programa.

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2 - Sobre o Wolfram Mathematica:

2.1 História e atribuições. Desenvolvido por uma equipe de matemáticos e programadores liderada por Stephen Wolfram, o Mathematica versão 1.0 chegou ao mercado em 1988 e desde então vem se expandindo, podendo resolver quase todos os campos da matemática. Este software é ainda um eficiente editor de arquivos para interne, textos e muito usado nas mais variadas ciências, em assuntos distintos. Para se ter noção da atual importância desses software, muitas das melhores universidades do mundo possuem e empregam o Mathematica. O tutorial a seguir é baseado na versão 6.0 do Wolfram Mathematica, uma das mais recentes.

2.2 Obtenção do programa: O Mathematica é um software pago que pode ser adquirido em contato com a Wolfram Research, empresa que o produz, ou ainda em lojas autorizadas, que se espalham por vários países, entre eles, o Brasil. A aquisição do programa requer o pagamento de uma licença, cujo custo varia de acordo com a utilização do mesmo (exemplo: pessoas físicas, jurídicas, instituições...). Além disso, a empresa disponibiliza o uso gratuito do programa por um período determinado (15 a 30 dias).Para isso, basta que se faça o download do arquivo. A instalação é bastante simplificada e após sua conclusão, o programa já está totalmente liberado pra o uso.

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3 – Iniciando o uso do Mathematica:

3.1 Diretrizes gerais:

imagem 1

A imagem 1indica a interface inicial do programa, com exemplos de comandos. Para a realização de qualquer operação, basta digitá-la na seção notebook(como se vê na imagem) seguido de <shift> + <enter>, ou <enter> do teclado numérico. Para se fazer alguma operação com um nome específico, deve-se sempre colocar a primeira letra do comando em maiúsculo, ou em caso de nomes compostos, escreve-lo sem espaços e com todas as iniciais maiúsculas (ex. ParametricPlot, ou para senos tiliza-se Sin[]), e dentro dos colchetes coloca-se o que será calculado. Para realizar comandos como <pi>,<alfa>, inserção de símbolos, dentre outros, digita-se: <esc>nome do comando ou símbolo<esc>.

Cada linha do notebook é denominada pelo programa como In[x], e sua respectiva saída como Out[x],onde “x” é o número de entrada ou saída.

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3.2 Propriedades básicas: Para que se possa usar os recursos do programa com certa agilidade é necessário que se conheça as características funcionais do mesmo,começando pela execução de comandos básicos, como os que seguem: Adição: sinal de +, seguido de <shift> e <enter>.Subtração: sinal de -, seguido de <shift> e <enter>.Multiplicação: um espaçamento entre os números que se deseja multiplicar seguidos de <shift> e <enter>.Divisão: sinal de / , seguido de <shift> e <enter>Potenciação: símbolo ^, seguido de <shift e <enter>, ou teclas <ctrl> e <6>Radiciação: digita-se Sqrt(detalhe para a inicial maiúscula) com o valor da raiz entre colchetes. Valor numérico (da raiz, por exemplo):digita-se N e o valor desejado entre colchetes.Módulo:digita-se Abs e o valor desejado entre colchetesNúmeros fatoriais: basta que se digite o número desejado seguido do símbolo”!”A imagem 2 indica exemplos das operações citadas acima.

imagem 2

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Seguindo nos comandos iniciais, podem-se citar as funções pré-definidas que o mathematica traz. São inúmeras funções que auxiliam no desenvolvimento dos cálculos (lembrando que devem ser escritas iniciando – se com letra maiúscula e com o valor desejado entre colchetes). Seguem alguns exemplos dessas funções:

Log[a,x]: Logaritmo de x, na base a.Exp[X]: Exponencial. Equivalente ao número e elevado a X. Sin[x]: Seno ArcSin[x]: Arco Seno Cos[x]: Cosseno ArcCos[x]: Arco Cosseno Tan[x]: Tangente ArcTan[x]: Arco Tangente Csc[x]:Cossecante ArcCsc[x]: Arco Cossecante Sec[x]: Secante ArcSec[x]: Arco Secante Cot[x]: Cotangente ArcCot[x]: Arco Cotangente

Na imagem 3, alguns exemplos das funções citadas acima.

Imagem 3

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4 – Limites:

Para efetuar cálculos com limites no Mathematica, é necessário que se entre com o comando Limit[expressão,x ->ponto] (para se inserir a flecha: “-“ e “>”),e esse ponto pode ser um número real,uma expressão,ou limite indefinido.A imagem 4 ilustra exemplos de cálculo do limite, com um gráfico ilustrando a idéia.

Imagem 4

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5 – Derivadas

O cálculo de derivadas de uma função f(x) no mathematica se dá, dentre outras maneiras da seguinte forma; *Inicialmente deve-se definir a função f(x)D[f[x],x] – realiza o cálculo da função f(x) em relação a x.D[f[x],{x,n}] – faz o calculo da n-ésima derivada de f(x) em relação a x Para o cálculo de derivadas parciais, ou seja, com funções do tipo f(x,y) ou f(x,y,z) o procedimento é semelhante, basta definir a incógnita na qual se deseja efetuar a derivação.Assim, tem-se: D[f[x,y,z],y] – realiza o cálculo da função f(x,y,z) em relação a y.

A imagem 5 mostra um exemplo de derivação de uma função com três variáveis e derivando-se em relação a cada uma delas.

Imagem 5

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6 - Integrais

Para que o Mathematica calcule uma integração, é necessário apresentar ao programa uma indicação do cálculo integral, assim como em relação a que variável é feita a integral. Dessa forma insere-se o símbolo da integral (sigma)através do seguinte comando: <esc>int<esc> O cálculo de integrais duplas e triplas exige comandos semelhantes aos do cálculo de integrais simples,sendo que agora a expressão contém outra integral. Para definir em relação a qual variável é feita a integração,usa-se,por exemplo:<esc>ddx<esc>, no caso da integração em X. Obs: os extremos da integração definida são inseridos com os comandos <ctrl> <5> e <ctrl><+> A seguir, na imagem 6 exemplos com integrais simples, duplas e triplas, respectivamente.

Imagem 6

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7 – Funções e equações: As funções podem ser expressas no Mathematica de maneira muito simples, para realizá-la, coloca-se f[x_]= , se o que se deseja é f em função de X, e em seguida entra-se com a função a ser resolvida. Para resolvê-la, basta apertar <enter> e na linha de baixo digitar f[_] (no espaço dentro dos colchetes, digita-se o número a ser substituído). No caso de equações, utiliza-se o comando “Solve” e, em seguida, a equação dentro dos colchetes, após a equação e ainda dentro dos colchetes, deve-se indicar a variável na qual deve ser dada a resposta. Como resposta, tem – se as raízes da equação dadaObs: Para dar a resposta da equação, é necessário que se digite duas vezes o símbolo de igualdade (==). A imagem 7 mostra um exemplo de função e equação resolvidas, respectivamente.

Imagem 7

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8 – Construção de gráficos: Um recurso muito interessante é a possibilidade de se trabalhar com a representação gráfica das funções. Os gráficos de funções podem ser em duas ou três dimensões, de acordo com as variáveis da função estudada. Também podem ser sólidos de revolução ou parametrização de curvas, tendo cada um destes uma maneira diferente de ser representado e uma aplicabilidade específica.

8.1 – Gráficos bidimensionais Gráficos em duas dimensões geralmente têm como variáveis x e y, onde Y= f(X), e suas formas variam de acordo com o grau da variável. Os comandos de construção desses gráficos no software são simples, e devem seguir da seguinte forma: Plot[função, {variável, limite mín, limite máx}]

As imagens 8 e 9 indicam gráficos em duas dimensões obtido através do comando apresentado. A imagem 9 indica intersecção de duas funções.

Imagem 8

Imagem 9

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Para a parametrização de curvas em duas dimensões, usa-se o comando ParametricPlot. Quando se deseja aplicar coordenadas polares, pode-se usar o PolarPlot, ambos exemplificados abaixo:

ParametricPlot[{x(a),y(a)},{a,amín,amáx}]PolarPlot[{x(a),y(a)},{a,amín,amáx}]

As imagens 10 e 11 ilustram o uso dessas ferramentas de parametrização.

Imagem 10 – “ParametricPlot”

Imagem 11 – “PolarPlot”

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8.2 – Gráficos tridimensionais

Quando uma função tem dependência em duas variáveis, é necessário o uso da coordenada z, ou seja, tem-se um gráfico de três dimensões, e uma das propriedades no Mathematica é a disponibilidade de plotar em três dimensões. Para isso, são listados a seguir os comandos necessários para a construção dos mesmos: Plot3D – esta função do programa gera gráficos tridimensionais em função das coordenadas cartesianas. Comandos: Plot3D[f[x,y],{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]

Exemplos do comando Plot3D:

Imagem12

Imagem 13

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ParametricPlot3D – esta função parametriza um gráfico, colocando-o em função de seno e co-seno, assim como se viu em duas dimensões. Comandos:

ParametricPlot3D[{x(a),y(a),z(a)},{a,amín,amáx}]

Exemplos de uso do comando ParametricPlot3D:

Imagem 14

Imagem 15

Imagem 16

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ContourPlot – Curvas de nível possibilitam avaliar o comportamento de gráficos em 3D, encontrando intervalos de máximos e mínimos, crescimento e decrescimento,. O Mathematica possui comandos para a construção de tais curvas utilizando-se para isso o ContourPlot.Comandos: ContourPlot[f(x,y),{x,xmín,xmáx},{y,ymín,ymáx}]

Exemplos de uso do comando ContourPlot:

Imagem 17

Imagem 18

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SurfaceOfRevolution – Alguns gráficos além de apresentarem suas funções, quando girados em torno de um eixo, tornam – se superfícies de revolução, ou seja, pode-se obter uma superfície com o formato de sua curva de origem. Tratam-se das superfícies ou sólidos de revolução. No Mathematica existe um comando que realiza a revolução e já fornece a representação gráfica da superfície determinada. Comandos: SurfaceOfRevolution[f[x], {x, xmin,xmáx}]

Seguem alguns exemplos de superfícies de revolução geradas no Mathematica:

Imagem 19

Imagem 20

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Imagem 21

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9 – Exemplo de aplicação do Mathematica:

Cálculo do volume do toro gerado pela rotação em torno do eixo y da função (x-b)2+y2=a2

Isolando-se o termo X, pode-se obter a seguinte equação:

Esta função obtida e o estudo de sua forma demonstram que este toro é formado pela revolução de uma circunferência em torno de um eixo que se encontra fora dela. De uma circunferência, sabe-se que a parte negativa da raiz é a porção inferior e a positiva a parte superior desta circunferência, e que esta está limitada em y por –a e a. Da definição de volume por seções transversas, chega-se na integral.

Na imagem seguinte, está a representação do toro e o cálculo de seu volume:

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10 – Conclusão:

Com a realização deste trabalho, percebe-se a importância e a complexidade de um software como o Wolfram Mathematica. Trata-se de um produto usado por empresas conceituadas e universidades prestigiadas. Dessa forma, o domínio das ferramentas do programa é essencial quando se está inserido num ambiente como os citados. Também vale lembra que o programa apresenta uma quantidade bastante significativa de ferramentas e cabe ao usuário decidir o que usar. Nesse trabalho o enfoque maior foi para assuntos abordados no curso de Cálculo II, e isso representa apenas uma pequena fração de todos os recursos disponíveis no Mathematica. Vale lembrar que na barra de menus do programa existe a opção<help>, bastante útil quando surge alguma dúvida em sua utilização.

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11 – Bibliografia:

- Stwart, J. Cálculo, volume II, Tradução: Cyro C. Patarra, Ana Flora Humes, Editora Pioneira Thomson Learning, São Paulo, 2001.

-C. H. Edwards, Jr. & David E. Penney, Cálculo com Geometria Analítica, vol. III Prentice-Hall do Brasil Ltda., 1997

-The Mathematica Guide, disponível em:<www.wolfram.com> ,21/11/2009

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